Funciones Especiales de la Física Matemática by carlos.hernandez-umce

Teoría del Enlace Químico II

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Funciones Especiales de la Física Matemática Ciertas ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen relevancia en el ámbito de la Física cuando se plantean situaciones a resolver por la vía de la mecánica cuántica. Las funciones que satisfacen esas ecuaciones son denominadas Funciones Especiales de la Física Matemática. En el contexto de esta asignatura son de interés: las funciones de Legendre, las funciones asociadas de Legendre, las funciones de Hermite, las funciones de Laguerre y las funciones asociadas de Laguerre. A continuación se resolverán dichas ecuaciones diferenciales focalizándose en el desarrollo matemático. La situación física, mecanocuántica, será trata posteriormente cuando cada caso sea estudiado. 1.- Ecuación de Legendre

d2 y (x) dy (x) 1−x − 2x + ky (x) = 0 con k = constante dx2 dx 2

Sea y (x) =

∞ P

′

An xn ,entonces y (x) =

n=0

∞ P n=0

nAn xn−1 y y ” (x) =

∞ P

(1)

n (n − 1) An xn−2 ,

n=0

reemplazando en (1) .

Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 1 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II

1−x

∞ X

n (n − 1) An x

n−2

− 2x

∞ X

n=0

∞ X

n An x

n=0

(n + 2) (n + 1) An+2 x − n

|n=0

n−1

Pagina 2

}

∞ X

An xn = 0 (2)

n=0

n (n − 1) An x −2 n

n=0

∞ X

nAn x +k

n=0

∞ X

An xn = 0

n=0

sumando 2 a n para igualar potencia de x

(3)

∞ X

∞ X 2 (n + 2) (n + 1) An+2 x = n − n + 2n − k An xn

n=0

∞ X

∞ X 2 n + n − k An xn (n + 2) (n + 1) An+2 x = n

(4)

(5)

n=0

(n + 2) (n + 1) An+2 = [n (n + 1) − k] An

An+2 =

[n (n + 1) − k] An (n + 2) (n + 1)

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(6)

(7)

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Pagina 3

Aplicando la fórmula de recurrencia se generan los términos para la serie función solución:

n = 0 =⇒ A2 = − k2 A0

n = 2 =⇒ A4 =

(6−k) 12 A2

−k(6−k) A0 24

n = 1 =⇒ A3 =

(2−k) 6 A1

n = 3 =⇒ A5 =

(12−k) 20 A3

(12−k)(2−k) A1 120

··· Reemplazando los coeﬁciente de An se tiene la función solución:

y (x) =

∞ X

An x = A0

n=0

...A1

k 2 k (6 − k) 4 1− x − x + ... + ... 2! 4!

(2 − k) 3 (12 − k) (2 − k) 5 x+ x + x + ... 3! 5!

(8)

La función solución(8) de la ecuación de Legendre es una serie de potencias compuesta por dos series, una de potencias pares dependiente de A0 y la otra, de potencias impares, dependiente de A1 . Estas series sólo tienen sentido físico si son convergentes. Por ello se debe probar su convergencia, es decir si la sucesión de sumas parciales tiene un límite. En otras palabras la serie converge sí la relacion del valor absoluto entre dos términos sucesivos es menor que la unidad (criterio de convergencia de D’Alambert)

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lı́mk→∞

ak+1 ak

= L ∈ [0, +∞]

An+2 =

A su vez,

An+2 xn+2 An x n

Pagina 4

   L < 1, la serie converge        L > 1, la serie no converge    L = ∞, la serie no converge       L = 1, el criterio no discierne, puede ser convergente o no

[n (n − 1) − k] An An+2 [n (n − 1) − k] =⇒ = (n + 2) (n + 1) An (n + 2) (n + 1)

An+2 x2 An en consecuencia, de acuerdo con

(9) =⇒

(9)

[n(n−1)−k] 2 (n+2) (n+1) x evaluando

la convergencia:

[ n ( n − 1 )− k ]

lı́mn→∞

[n(n−1)−k] x2

< 1 = lı́mn→∞

nn n2 n n n1 x2

< 1 = (n+2) (n+1) (n+n) (n+n)

1 1− 1 − k

lı́mn→∞

[ ( 2 n ) n1 ] x2

< 1 =⇒ x2 < 1 (1+ n ) (1+ n ) Por lo tanto la convergencia se cumple si −1 < x < 1 . Para x2 = 1 las series pueden ser convergente o no. Si k = l (l + 1) con l = 0, 1, 2, 3, ... se asegura la convergencia incluso para x2 = 1.

1 − x2

d2 y (x) dy (x) − 2x + l (l + 1) y (x) = 0 con l = 0, 1, 2, 3, ... dx2 dx

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(10)

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Pagina 5

La ecuación (10) es la ecuación de Legendre. Sus soluciones particulares son convergentes para −1 ≤ x ≤ 1 . Según el valor de l las soluciones a la ecuación de Legendre son:

l = 0 =⇒ y0 = A0 x0 =⇒ y0 = A0 l = 1 =⇒ y1 = A1 x1 l = 2 =⇒ y2 = A0 1 − k2 x2 = A0 1 − 3x2 (2−k) 3 l = 3 =⇒ y3 = A1 x + 3! x = A1 x − 53 x3 k(6−k) 4 k l = 4 =⇒ y4 = A0 1 − 2! x − 4! x = A0 1 − 10x2 +

35 4 3x

etc. Como se evidencia, cada una de las soluciones particulares queda dependiente de A0 o

A1 . Si los polinomios se hacen igual a 1, cuando x = 1, se generan los polinomios de Legendre:

y0 = A0 x0 =⇒ 1 = A0 10 =⇒ 1 = A0 =⇒ P0 = 1 y1 = A1 x1 =⇒ 1 = A1 11 =⇒ 1 = A1 =⇒ P1 = x y2 = A0 1 − 3x2 =⇒ 1 = A0 1 − 3· 12 =⇒ − 21 = A0 =⇒ P2 = 12 3x2 − 1 y3 = A1 x − 53 x3 =⇒ 1 = A1 1 − 53 · 13 =⇒ − 23 = A1 =⇒ P3 = 12 5x3 − 3x 35 4 4 2 y4 = A0 1 − 10x2 + 35 x =⇒ 1 = A 1 − 10· 1 + · 1 =⇒ 38 = A0 0 3 3 luego P4 = 18 35x4 − 30x2 + 3 etc. Los polinomios de Legendre también se pueden generados aplicando la fórmula de Rodrigues:

Pl =

1 dl l! dxl

x2 − 1

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Los polinomios de Legendre son ortogonales en el rango −1 ≤ x ≤ 1, es decir:

1 −1 Pn (x) Pm (x) dx

= 0 si n ̸= m

2 por otra parte −1 [Pn (x)] dx = 2n+1

si n = m

2.- Ecuación Asociada de Legendre

Esta ecuación está directamente relacionada con la ecuación de Legendre. Tiene la siguiente forma:

2 2 d y (x) dy (x) m 1 − x2 − 2x y (x) = 0 con m2 ≤ l2 + l (l + 1) − 2 2 dx dx 1−x (11) Para su resolución considere y (x) = 1 − x2

u (x)

(12)

y reemplazando en (11) resulta:

1−x

d2 d u(x) −2x (m + 1) u(x) +[l (l + 1) − m (m + 1)] u(x) = 0 dx2 dx (13)

Si m = 0 la ecuación (13) se transforma en la ecución de Legendre, cuya solución son los polinomios de Legendre Pl (x) . Ahora, si se deriva (12) y se reemplaza en (13) queda: Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 6 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Teoría del Enlace Químico II 1−x

... +

d3 dx3 u(x)

− 2x [(m + 1) + 1]

Pagina 7

d2 dx2 u(x)

+...

d u(x) [(l + 1 + m)(l − m) − 2(m + 1)] = 0 dx

(14)

Lo anterior (14) se puede escribir de la siguiente forma:

1−x

′ ′ ′ ” u (x) −2x [(m + 1) + 1] u (x) +[l (l + 1) − (m + 1) (m + 2)] u (x) = 0 ′

(15) Si se examinan las ecuaciones (15) y (13) se concluye que la ecuación (13) se transforma ′

en la ecuación (15) con u (x) en vez de u(x) y m = m + 1 . Por lo tanto, si:

Pl (x)

es solución con m = 0

entonces ′

Pl (x)

es solución con m = 1

Pl” (x)

es solución con m = 2

ası́ sucesivamente Para cualquier m =⇒

d m Pl (x) dx m

Entonces y (x) = 1 − x2

y (x) = Pl m (x) = 1 − x2

será la función u (x) solución.

u (x) =⇒ y (x) = 1 − x2

d m Pl (x) dx m

(17)

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(16) .

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Pagina 8

Los Pl m (x) son los polininomios asociados de Legendre de grado l y orden m y son solución a la ecuación asociada de Legendre (11) .Si m = 0, la ecuación asociada de Legendre se transforma en la ecuación de Legendre. En consecuencia, la ecuación de Legendre es un caso particular de la ecuación asociada de Legendre. Los polinomios asociados de Legendre son ortogonales en el rango −1 ≤ x ≤ 1, es decir:

1 m m −1 Pn (x) Pl (x) dx

= 0 si n ̸= l

(n+m)!

2 por otra parte −1 [Pnm (x)] dx = 2n+1 (n−m)!

si n = l

3.- Ecuación de Hermite

dy (x) d2 y (x) − 2x + 2py (x) = 0 con p = constante dx2 dx Sea y (x) =

∞ P

′

An xn ,entonces y (x) =

n=0

∞ P

nAn xn−1 y y ” (x) =

∞ P

(16)

n (n − 1) An xn−2 ,

n=0

reemplazando en (16) .

∞ X n=0

n (n − 1) An x

n−2

−2

∞ X n=0

n An x + 2p

∞ X

An xn = 0

n=0

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(17)

Teoría del Enlace Químico II

∞ X

(n + 2) (n + 1) An+2 x

|n=0

−2

}

∞ X

n An x + 2p

n=0

Pagina 9

∞ X

An xn = 0

(18)

n=0

sumando 2 a n para igualar potencia de x

∞ X

∞ X (n + 2) (n + 1) An+2 x = (2n − 2p) An xn n

n=0

(19)

n=0

(n + 2) (n + 1) An+2 = 2 (n − p) An

An+2 =

(20)

2 (n − p) An (n + 2) (n + 1)

(21)

Aplicando la fórmula de recurrencia se generan los términos para la serie función solución:

n = 0 =⇒ A2 = −pA0

n = 2 =⇒ A4 =

(2−p) 6 A2

−p(2−p) A0 6

n = 1 =⇒ A3 =

(1−p) 3 A1

n = 3 =⇒ A5 =

2(3−p) 20 A3

··· Reemplazando los coeﬁciente de An se tiene la función solución:

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(3−p)(1−p) A1 60

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y (x) =

∞ X n=0

Pagina 10

p (2 − p) An xn = A0 1 − px2 − x4 + ... + ... 6!

(1 − p) 3 (3 − p) (1 − p) 5 ...A1 x + x + x + ... 3 30

(22)

La función solución(22) de la ecuación de Hermite es una serie de potencias compuesta por dos series, una de potencias pares dependiente de A0 y la otra, de potencias impares, dependiente de A1 . Estas series sólo tienen sentido físico si son convergentes. Por ello se debe probar su convergencia, es decir si la sucesión de sumas parciales tiene un límite. En otras palabras la serie converge sí la relacion del valor absoluto entre dos términos sucesivos es menor que la unidad (criterio de convergencia de D’Alambert)

lı́mk→∞

ak+1 ak

= L ∈ [0, +∞]

An+2 =

A su vez,

An+2 xn+2 An x n

2 (n − p) An+2 2 (n − p) An =⇒ = (n + 2) (n + 1) An (n + 2) (n + 1)

An+2 x2 An en consecuencia, de acuerdo con

(23) =⇒

(23)

2(n−p) 2 (n+2) (n+1) x evaluando

la convergencia: Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 10 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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Pagina 11

[ 2 ( n − p )]

lı́mn→∞

[2(n−p)] x2

< 1 = lı́mn→∞

n n 2 n nn 1 x2

< 1 = (n+2) (n+1) (n+n) (n+n)

lı́mn→∞

[0·(1)] x2

< 1 =⇒ 0· x2 < 1 (1) (1) Por lo tanto la convergencia se cumple si −∞ < x < ∞. Según el valor de p = n las soluciones a la ecuación de Hermite son:

p = 0 =⇒ serie A0 hasta x0

y0 = A0 x0 =⇒ y0 = A0

p = 1 =⇒ serie A1 hasta x1

y1 = A1 x1

p = 2 =⇒ serie A0 hasta x2

y2 = A0 1 − 2x2

p = 3 =⇒ serie A1 hasta x3

y3 = A1 x − 23 x3

p = 4 =⇒ serie A0 hasta x4

y4 = A0 1 − 4x2 + 43 x4

etc. Como se evidencia, cada una de las soluciones particulares queda dependiente de A0 o

A1 . Se ajustan A0 y A1 en cada polinomios de manera que el término de mayor orden sea n

igual a (2x) :

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Pagina 12

n = 0 =⇒ (2x)0 = 1 ∴ A0 = 1 =⇒ y0 = x0 =⇒ H0 = 1 n = 1 =⇒ (2x)1 = 1 ∴ A1 x = 2x =⇒ A1 = 2 luego y1 = 2x =⇒ H1 = 2x n = 2 =⇒ (2x)2 = 1 ∴ −2x2 A0 = 4x2 =⇒ A0 = −2 luego y2 = −2 1 − 2· x2 =⇒ H2 = 4x2 − 2 n = 3 =⇒ (2x)3 = 1 ∴ − 32 x3 A1 = 8x3 =⇒ A1 = −12 luego y3 = −12 x − 23 · x3 =⇒ H3 = 8x3 − 12x n = 4 =⇒ (2x)4 = 1 ∴ 34 x4 A0 = 16x3 =⇒ A0 = 12 luego y4 = 12 1 − 4x2 + 34 x4 =⇒ H4 = 16x4 − 48x2 + 12 etc. Los polinomios de Hermite también se pueden generar aplicando la fórmula de Rodrigues:

Hn = (−1)n ex

d n x2 dxn e

Los polinomios de Hermite no son ortogonales, pero sí lo son las funciones: x2

Ψn (x) = e− 2 Hn (x)

4.- Ecuación de Laguerre

d2 y (x) dy (x) x + (1 − x) + py (x) = 0 con p = constante 2 dx dx

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(24)

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Sea y (x) =

∞ P

′

An xn ,entonces y (x) =

n=0

∞ P

Pagina 13

nAn xn−1 y y ” (x) =

n=0

∞ P

n (n − 1) An xn−2 ,

n=0

reemplazando en (24)

∞ X

n (n − 1) An x

n−2

n=0

∞ X

n An x

n−1

−x

n=0

∞ X

n−1

n An x

n=0

∞ X

An xn = 0

n=0

(25)

∞ X

|n=0

n (n + 1) An+1 xn {z

∞ X

(n + 1) An+1 xn

|n=0

}

sumando 1 a n para igualar potencia de x

}

−

∞ X

nAn xn +p

n=0

∞ X

A n xn = 0

n=0

sumando 1 a n para igualar potencia de x

(26)

∞ X

∞ X [n (n + 1) + n + 1] An+1 x = (n − p) An xn n

n=0

(27)

n=0

∞ X n=0

∞ X (n + 1) An+1 x = (n − p) An xn 2

(28)

n=0

(n + 1)2 An+1 = (n − p) An

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(29)

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An+1 =

(n − p) An (n + 1)2

Pagina 14

(30)

Aplicando la fórmula de recurrencia se generan los términos para la serie función solución:

n = 0 =⇒ A1 = −pA0

n = 1 =⇒ A2 =

(1−p) 4 A1

−p(1−p) A0 4

n = 2 =⇒ A3 =

(2−p) 9 A2

−p(1−p)(2−p) A0 36

n = 3 =⇒ A4 =

(3−p) 16 A3

−p(1−p)(2−p)(3−p) A0 576

··· Reemplazando los coeﬁciente de An se tiene la función solución:

y (x) =

∞ X n=0

p (1 − p) 2 p (1 − p) (2 − p) 3 p (1 − p) (2 − p) (3 − p) 4 An x = A0 1 − px − x − x − x + ... 4 36 576 (31) n

La función solución(31) de la ecuación de Leguerre es una serie de potencias dependiente de A0 . Esta serie sólo tienen sentido físico si es convergente. Por ello se debe probar su

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Pagina 15

convergencia, es decir si la sucesión de sumas parciales tiene un límite. En otras palabras la serie converge sí la relacion del valor absoluto entre dos términos sucesivos es menor que la unidad (criterio de convergencia de D’Alambert)

lı́mk→∞

ak+1 ak

= L ∈ [0, +∞]

An+1 =

A su vez,

An+1| xn+1 An x n

(n − p) An An+1 (n − p) =⇒ = An (n + 1)2 (n + 1)2

An+1 x An en

consecuencia, de acuerdo con (9) =⇒

(32)

(n−p) 2 x evaluando (n+1)

la convergencia:

( nn − np )

(1− np )

lı́mn→∞

(n−p)2 x

< 1 = lı́mn→∞

n 2 x

< 1 = lı́mn→∞

1 2 x

< 1 =⇒ (n+1) ( +1) (1+ ) n

x<1 Por lo tanto la convergencia se cumple para todo x . Si p = n = 0, 1, 2, 3, ... se tienen soluciones particulares a la ecuación de Laguerre:

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Pagina 16

p = 0 =⇒ y0 = A0 x0 =⇒ y0 = A0 p = 1 =⇒ y1 = A0 (1 − x) p = 2 =⇒ y2 = A0 1 − 2x + 12 x2

p = 3 =⇒ y3 = A0 1 − 3x + 32 x2 − 16 x3

p = 4 =⇒ y4 = A0 1 − 4x + 3x2 − 23 x3 + 24x4

etc. Como se evidencia, cada una de las soluciones particulares queda dependiente de A0 . Si en cada polinomios A0 se reemplaza por n! , se generan los polinomios de Laguerre:

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Pagina 17

y0 = A0 x0 =⇒ A0 = 0! =⇒ A0 = 1 ∴ L0 (x) = 1

y1 = A0 (1 − x) =⇒ A0 = 1! =⇒ A0 = 1 ∴ L1 (x) = 1 − x y2 = A0 1 − 2x + 21 x2 =⇒ A0 = 2! =⇒ A0 = 2 ∴ L2 (x) = 2 − 4x + x2 y3 = A0 1 − 3x + 32 x2 − 16 x3 =⇒ A0 = 3! =⇒ A0 = 6 ∴ L3 (x) = 6 − 18x + 9x2 − x3

y4 = A0 1 − 4x + 3x2 − 32 x3 +

1 4 24 x

=⇒ A0 = 4! =⇒ A0 = 24

∴ L4 (x) = 24 − 96x + 72x2 − 16x3 + x4

etc. Los polinomios de Laguerre también se pueden generados aplicando la fórmula de Rodrigues:

Ln (x) =

1 x dn n n! e dxn x

e−x

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Pagina 18

5.- Ecuación Asociada de Laguerre

Si se deriva k veces la ecuación de Laguerre se obtiene la ecuación asociada de Laguerre:

dk y (x) x dxk

”

dk y (x) +(k + 1 − x) dxk

′

dk y (x) +(n − k) dxk

= 0 conkentero ≤ n (33)

dk y(x)

Si u (x) = dxk , ′

xu (x)” + (k + 1 − x) u (x) + (n − k) u (x) = 0 con k entero ≤ n

(34)

Como la ecuación asociada de Laguerre se obtiene como resultado de derivar la ecuación de Laguerre k veces, su solución resulta de la deriva de orden k del polinomio de Laguerre

u (x) =

dk Ln (x) dxk

= Lkn (x)

Lkn (x) son los polinomios asociado de Laguerre de grado n y orden k , solución a la ecución asociada de Laguerre.

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