Teoría del Enlace Químico II
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b2 y L bz Funciones propias de L Como se demostró a = l (l + 1) y, los posibles valores de m, para cada l serán l... − l. Por ejemplo: l = 0 =⇒ m = 0 l = 1 =⇒ m = −1, 0, 1 l = 2 =⇒ m = −2 , −1, 0, 1, 2 b2 Ψl,m = l (l + 1) ~2 Ψl,m L bz Ψl,m = m ~ Ψl,m (a) L 2 ∂ cosθ ∂ 1 ∂2 2 2 b pero L = −~ + + ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 2 ∂ cosθ ∂ 1 ∂2 2 2 b L Ψl,m = −~ + + Ψl,m ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 2 cosθ ∂ Ψl,m 1 ∂ 2 Ψl,m ∂ Ψl,m 2 + + −~ = l (l + 1) ~2 Ψl,m ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 cosθ ∂ Ψl,m 1 ∂ 2 Ψl,m ∂ 2 Ψl,m + + + l (l + 1) Ψl,m = 0 (c) ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 bz Ψl,m = −i~ ∂Ψl,m (b) L ∂ϕ (a) = (b) =⇒m ~ Ψl,m = −i~ m Ψl,m = −i
∂Ψl,m ∂ϕ
∂Ψl,m i ∂Ψl,m =⇒ i m Ψl,m = −i2 ∂ϕ i ∂ϕ
∂Ψl,m = m i Ψl,m ∂ϕ ∂ 2 Ψl,m por tanto = −m2 Ψl,m reemplazando en (c) 2 ∂ϕ 2 m2 ∂ cosθ ∂ + l (l + 1) − Ψl,m = 0 (d) + ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ (d) es una función asociada de Legendre. Recuérdese que se describe a una partícula en un campo central de fuerza de simetría esférica por lo que la función Ψl,m se expresa en coordenada esféricas y, explícitamente es Ψl,m (θ, ϕ). La parte dependiente de θ son los polinómios asociados de Legendre en la variable cos θ : Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 1 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación