Teoría del Enlace Químico II
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b2 y L bz Funciones propias de L Como se demostró a = l (l + 1) y, los posibles valores de m, para cada l serán l... − l. Por ejemplo: l = 0 =⇒ m = 0 l = 1 =⇒ m = −1, 0, 1 l = 2 =⇒ m = −2 , −1, 0, 1, 2 b2 Ψl,m = l (l + 1) ~2 Ψl,m L bz Ψl,m = m ~ Ψl,m (a) L 2 ∂ cosθ ∂ 1 ∂2 2 2 b pero L = −~ + + ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 2 ∂ cosθ ∂ 1 ∂2 2 2 b L Ψl,m = −~ + + Ψl,m ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 2 cosθ ∂ Ψl,m 1 ∂ 2 Ψl,m ∂ Ψl,m 2 + + −~ = l (l + 1) ~2 Ψl,m ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 cosθ ∂ Ψl,m 1 ∂ 2 Ψl,m ∂ 2 Ψl,m + + + l (l + 1) Ψl,m = 0 (c) ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 bz Ψl,m = −i~ ∂Ψl,m (b) L ∂ϕ (a) = (b) =⇒m ~ Ψl,m = −i~ m Ψl,m = −i
∂Ψl,m ∂ϕ
∂Ψl,m i ∂Ψl,m =⇒ i m Ψl,m = −i2 ∂ϕ i ∂ϕ
∂Ψl,m = m i Ψl,m ∂ϕ ∂ 2 Ψl,m por tanto = −m2 Ψl,m reemplazando en (c) 2 ∂ϕ 2 m2 ∂ cosθ ∂ + l (l + 1) − Ψl,m = 0 (d) + ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ (d) es una función asociada de Legendre. Recuérdese que se describe a una partícula en un campo central de fuerza de simetría esférica por lo que la función Ψl,m se expresa en coordenada esféricas y, explícitamente es Ψl,m (θ, ϕ). La parte dependiente de θ son los polinómios asociados de Legendre en la variable cos θ : Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 1 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación
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v u (l − m) | u u 2l + 1 . m Θ (θ) = t P (cos θ) 2 (l + m) | l .
La dependencia de ϕ se obtiene al resolver −i~
∂Ψl,m 1 = m ~ Ψl,m =⇒ Φ (ϕ) = √ eimϕ ∂ϕ 2π
Esta dependencia angular es general para cualquier función de estado que describa a un sistema en una campo central de fuerzas. En consecuencia queda por resolver la dependencia radial de la función de onda. Evaluación de N+ y N− b+ Ψa,m = N+ Ψa,m+1 . Las funciones Ψa,m y N+ Ψa,m+1 están nor(1) Para N+ . Previamente se demostró que L malizadas. Z Z
b+ Ψa,m L
∗
Z b L+ Ψa,m dv = (N Ψa,m+1 )∗ (N+ Ψa,m+1 ) dv
Z 2 b L+ Ψa,m dv = N+ (Ψa,m+1 )∗ (Ψa,m+1 ) dv | {z } por normalización | {z } 1 Z Z h ∗ i∗ h i 2 2 b b b b b b L+ Ψa,m L+ Ψa,m dv = N+ ⇐⇒ N+ = Lx + iLy Ψa,m Lx + iLy Ψa,m dv b+ Ψa,m L
Z 2 N+
=
∗ b ∗x L b x Ψa,m L Ψa,m dv + i
Z N+2
= Z
N+2
∗
=
Z
∗ b ∗x L b y Ψa,m L Ψa,m dv − i
Z
∗ b ∗y L b x Ψa,m L Ψa,m dv + (−i) i
Z
∗ b ∗y L b y Ψa,m L Ψa,m dv
∗ bx L b x + iL bx L b y − iL by L bx + L by L by Ψa,m dv Ψa,m L ∗ Ψa,m
Z 2 2 ∗ 2 b b bz Ψa,m dv b2 −L b2z − L b b b b Lx + Ly −iLy Lx + iLx Ly Ψa,m dv N+ = Ψa,m L {z } | {z } | b x ,L b y ]=−~L bz i L [ b2 −Lb2z L
b2 Ψl,m = l (l + 1) Ψl,m L bz Ψl,m = m Ψl,m y L b2z Ψl,m = m2 Ψl,m omitiendo } puesto que L Entonces
N+2
= l (l + 1) − m − m 2
Z
∗ Ψa,m dv Ψa,m | {z } por normalización | {z } 1
Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 2 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación
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p N+2 = l (l + 1) − m2 − m =⇒ N+2 = (l − m) (l + m + 1) ⇐⇒ N+ = (l − m) (l + m + 1) b+ Ψa,m = ∴L
p
(l − m) (l + m + 1) Ψa,m+1
b− Ψa,m = N− Ψa,m−1 (2) Para N− . Previamente se demostró que L Z Z
b− Ψa,m L b− Ψa,m L
∗ ∗
Z b L− Ψa,m dv = (N− Ψa,m−1 )∗ (N− Ψa,m−1 ) dv
b− Ψa,m dv = L
Z
(Ψa,m−1 )∗ (Ψa,m−1 ) dv | {z } por normalización | {z } 1 Z Z h ∗ i∗ h i 2 2 b b b x − iL by Ψa,m bx − iL by Ψa,m dv L− Ψa,m L− Ψa,m dv = N− ⇐⇒ N− = L L Z N−2
=
b∗ L b ∗ L x x Ψa,m Ψa,m dv − i Z N−2
conjugando: Z N+2
=
∗ Ψa,m
b2 L x
= b2 L y
∗ Ψa,m
N−2
Z
∗ b∗ L b ∗ L x y Ψa,m Ψa,m dv − (i)
Z
∗ b∗ L b ∗ L y x Ψa,m Ψa,m dv + (−i) i
Z
b∗ L b ∗ L y y Ψa,m Ψa,m dv
b b b b b b b b Lx Lx − iLx Ly + iLy Lx − Ly Ly Ψa,m dv
bx L b y + iL by L bx Ψa,m dv + −iL {z } | {z } | b b b −i[Lx ,Ly ]=~Lz b2 −Lb2z L
Z N−2
=
∗ b2 −L b2 + L bz Ψa,m dv Ψa,m L z
b2 Ψl,m = l (l + 1) Ψl,m L bz Ψl,m = m Ψl,m y L b2z Ψl,m = m2 Ψl,m omitiendo } puesto que L Z ∗ 2 2 Ψa,m Ψa,m dv Entonces N− = l (l + 1) − m + m | {z } por normalización | {z } 1 p N−2 = l (l + 1) − m2 + m =⇒ N+2 = (l + m) (l − m + 1) ⇐⇒ N− = (l + m) (l − m + 1) b− Ψa,m = ∴ L
p (l + m) (l − m + 1) Ψa,m−1
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