Momentun angular orbital y de spin

Teoría del Enlace Químico II

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Momentun Angular Los operadores momentun angular orbital y de spin son buenos ejemplos de las reglas que se derivan de los postulados de la mecánica cuántica. Momentun Angular Orbital Para una partícula en un campo central de fuerza los operadores correspondientes a las componentes del momentun angular orbital son ∂ ∂ bx = −i~ y L −z ∂z ∂y ∂ ∂ b Ly = −i~ z −x ∂x ∂z ∂ ∂ b −y Lz = −i~ x ∂y ∂x Estos operadores no conmutan entre sí: h

i b b b Lx, Ly = i~Lz

h

i b Lz b = i~Lx b Ly,

h

i b Lx b = i~Ly b Lz,

h i h i h i b2 , Lx b = L b2 , Ly b = L b2 , Lz b = 0. No es posible conocer simultáneamente Sí conmutan L el valor de dos de las componentes si una de ella permanece constante tras cada medición. Las funciones propias de las otras dos componentes son diferente en cada medición puesto que no conmutan. Si es posible conocer en forma exacta y simultánea el valor del momentun b y χi es angular total y la de una de las tres componentes. Si Φi es función propia de Lx b y Ψi es función propia de Lz, b cada una de ella será también función función propia de Ly b2 . Si se considera al electrón como una partícula que se mueve en un campo propias de L central de fuerzas de simetría esférica, lo más conveniente es expresar el momentun angular en el sistema de coordenadas esféricas. Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 1 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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∂ ∂ bx = −i~ −senϕ L − cotθ cosϕ ∂θ ∂ϕ ∂ ∂ b Ly = −i~ cosϕ − cotθ senϕ ∂θ ∂ϕ bz = −i~ ∂ L ∂ϕ 2 ∂ cosθ ∂ 1 ∂2 2 2 b L = −~ + + ∂Θ2 senθ ∂θ sen2 Θ ∂ϕ2 b2 y L bz Valores propios de L bz en coordenadas esféricas hace más fácil describir al electrón, Dado la forma sencilla de L b2 y L bx . que se mueve en un campo central de fuerzas, en una base de funciones propias de L Sea Ψa,m ese conjunto de funciones propias. Entonces: b2 Ψa,m = a~2 Ψa,m L bz Ψa,m = m~Ψa,m con a ≥ m2 L b+ y operador de bajada L b− Operadores de escala: operador de subida L Definiciones: b+ = L b x + iL by L b− = L b x − iL by L bz resulta: Aplicando los operadores escala sobre L b+ L bz = L bx L bz + iL by L bz L bz L b+ = L bz L bx + iL bz L by L h

i b+ , L bz = L b+ L bz − L b L b − iL b L b bz L b+ = L b L b −L b L b + iL L | x hz {z z i x } | y z {z z y } h i bz , L bx by , L bz − L i L | {z } | {z } i~Ly i~Lx

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Teoría del Enlace Químico II h

i b b L+ , Lz = −i~Ly + i2 ~Lx

h

i b+ , L bz = −i~Ly − ~Lx L

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h

i b b L+ , Lz = −~ (Lx + iLy ) | {z } L+ h i h i b+ , L bz = −~L b+ y como se acostumbr a escribir =⇒ L b+ , L bz = −L+ omitiendo ~ L

h i b− , L bz = ~L b− y, como se acostumbra a Con un desarrollo equivalente se demuestra que L h i b− , L bz = L− omitiendo ~ escribir, =⇒ L h i b+ , L bz Evaluar L h

i b b b+ L bz − L bz L b + = −L bz L c+ = −L b+ − L b+ L bx = L bz L b+ = L b+ + L b+ L bx L+ , Lz = L

bz L b+ Ψa,m = L b+ + L b+ Ψa,m + L b+ L bx Ψa,m = L b+ L bx Ψa,m = L b+ Ψa,m + L b+ mΨa,m Así L b+ Ψa,m + L b+ mΨa,m = (m + 1) L b+ Ψa,m =⇒ L bz L b+ Ψa,m = (m + 1) L b+ Ψa,m en consecuencia L b+ Ψa,m L bz con valor propio (m + 1)∴ L b+ Ψa,m = N+ Ψa,m+1 N+ es una constante es función propia de L

bz L b− Ψa,m = (m − 1) L b− Ψa,m en conseCon el mismo procedimiento se puede demostrar L b− Ψa,m es función propia de L bz con valor propio (m − 1)∴ L b− Ψa,m = N− Ψa,m−1 N− cuencia L es una constante. bz . Debe Con estos operadores escala se puede generar el conjunto de funciones propias L bz compatible con a ≥ m2 haber un valor máximo y mínimo para los valores propios de L Sea m’ el valor más alto y m el valor más bajo. Entonces: b+ Ψ ′ = 0 y L b+ Ψa,m” = 0 ⇐⇒ L b− L b+ Ψ ′ = 0 L a,m a,m Un desarrollo previo: h

i bx , L by = L bx L by − L by L bx = −i~L bz ̸· i ̸ L

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h

i h i b b b b b b b b b bz i Lx , Ly = iLx Ly − iLy Lx = −~Lz =⇒ i Lx , Ly = −~L b2 = L b2x + L b2y + L b2z = L b2 − L b2z = L b2x + L b2y pero L ′

volvamos ahora a nuestro propósito de encontrar m : b b b b b b ′ L− L+ Ψa,m = Lx − iLy Lx + iLy Ψa,m′ = 0 b 2 − iL by L bx + iL bx L by + L b2 Ψ ′ = 0 b− L b+ Ψ ′ = L L x y a,m a,m by L bx + iL bx L by Ψ ′ = 0 b2x + L b2y − iL b− L b+ Ψ ′ = L L a,m a,m  b− L b+ Ψ ′ L a,m



   2  2 b +L b − −iL by L bx + iL bx L by  Ψ ′ = 0 = L x y   a,m | {z } | {z } b x ,L b y ]=−~L bz i[L b2 −Lb2z L

b− L b+ Ψ ′ = L b2 −L b2z − Lz Ψ ′ = 0 L a,m a,m ′ ′2 2 2 b b b b b b b ′ ′ ′ ′ ′ L− L+ Ψa,m = L Ψa,m −Lz Ψa,m − Lz Ψa,m = 0 L− L+ Ψa,m = a−m − m Ψa,m′ = 0 b− L b+ Ψ ′ = a − m′ 2 + m′ Ψ ′ = 0 =⇒ a − m′ 2 + m′ = 0 =⇒ a = m′ m′ + 1 = 0 L a,m a,m b+ L b− Ψa,m” = L b x + iL by L bx − iL by Ψa,m” = 0 El mismo procedimiento se aplica a L b+ L b− Ψa,m” = L b2 − iL bx L b y + iL by L b x − i2 L b2 Ψa,m” = 0 L x y b+ L b− Ψa,m” = L b2x − i2 L b2y − iL bx L by + iL by L bx Ψa,m” = 0 L  b+ L b− Ψa,m” L

b+ L b− Ψa,m” L



    2 2 by L bx − iL bx L by  Ψa,m” = 0 b +L b + iL = L x y   | {z } | {z } b y ,L b x ]=−i2 ~L bz i[L b2 −Lb2z L b 2 −L b2z + Lz Ψa,m” = 0 = L

b+ L b− Ψa,m” = L b2 Ψa,m” −L b2 Ψa,m” + Lz Ψa,m” = 0 L z Prof. Carlos Hernández T. email:carlos.hernandez@umce.cl 4 Departamento de Química, Facultad de Ciencias Básicas, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

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b− Ψa,m” = a−m”2 + m” Ψa,m” = 0 b+ L L b+ L b− Ψa,m” = a − m”2 − m” = 0 =⇒ a = m” m” − 1 = 0 L ′

′

en consecuencia a = m m + 1

y a = m” m” − 1

′ ′ Por lo tanto: m m + 1 = m” m” − 1 ′

′

′

′

luego m 2 + m = m”2 − m” =⇒ m 2 + m − m”2 + m” = 0 ′ y, como m > m” entonces, el valor más bajo de m m” es igual al valor más alto de m ′ ′ m con el signo cambiado, o sea m = −m” Sea l el valor más alto de m m

′

bz entonces el valor propio de L b2 es a = l (l + 1). para L

Por lo que el valor más alto de m es l y el valor más bajo es −l. Los valores posibles de m son l, l − 1, l − 2, ... − l. Así, si l = 0, 1, 2, 3, ...entonces m es 0, ±1, ±2, ±3, ... ± l

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