Materialet er verna etter åndsverklova. Utan uttrykkjeleg samtykke er eksemplarframstilling, som utskrift og anna kopiering, berre tillaten når ho er heimla i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatnings- og straffansvar.
Redaktør: Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Andreas Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Víctor Paiam
Nynorsk omsetjing: Jan Gausemel
Biletredaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske teikningar: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
ISBN 978-82-03-41401-5 www.aschehoug.no
SVANEMERKET
Om Matematikk 1T
Matematikk 1T følgjer læreplanen i matematikk 1T (LK20), som gjeld frå august 2020, og inneheld lærebok og digitale ressursar på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på ein strukturert og forståeleg måte. Vi følgjer opp teori og døme med innlæringsoppgåver. I døma legg vi vekt på gode forklaringar og framgangsmåtar, også med GeoGebra og programmering der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgåver, som får elevane til å gå i djupna og sjå samanhengar i faget, og SNAKK-oppgåver, som gir elevane høve til å kommunisere matematikk.
Undervegs finn du slike «lappar» med repetisjon og påminningar.
Kvart underkapittel inneheld differensierte
oppgåver:
Raude oppgåver er eit naturleg framhald av innlæringsoppgåvene.
Blå oppgåver gir større utfordringar.
Til slutt i kvart kapittel finn du Blanda oppgåver, som gir både mengdetrening og djupnelæring.
Eksamensoppgåver som er gitt tidlegare, er lagde inn i alle kapitla der dei passar. På den måten kan elevane komme raskt i gang med å løyse eksamensoppgåver.
Oppgåver som bør løysast utan hjelpemiddel, er merkte med
Oppgåver som krev programmering, er merkte med
Digitale ressursar på Aunivers.no
Dei digitale ressursane har same kapittelinndeling som læreboka og inneheld mellom anna
Som lærar får du i tillegg tilgang til
Vi håper at Matematikk 1T møter forventningane du har til eit komplett læreverk.
Vi set stor pris på kommentarar og innspel, så send oss gjerne ein e-post til matematikk1t@aschehoug.no.
Vi ønskjer deg lykke til med faget!
Helsing forfattarane
Inger Christin Borge
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
Innhald
1 Tal og talmønster
1A Talmengder 8
1B Potensar 13
1C Røter 28
1D Generalisering 33
1E Utforsking og programmering 40
Blanda oppgåver 52
Samandrag 56
Kapitteltest 57
2 Likningar og identitetar
2A Identitetar 60
2B Faktorisering 65
2C Kvadratsetningane 72
2D Likningar 84
2E Andregradslikningar 93
2F abc-formelen 102
Blanda oppgåver 108
Samandrag 118
Kapitteltest 119
3 Polynomfunksjonar
3A Funksjonsomgrepet 122
3B Lineære funksjonar 133
3C Matematiske modellar 145
3D Andregradsfunksjonar 156
3E Polynomfunksjonar av høgare grad 170
3F Modellering med polynomfunksjonar 184
Blanda oppgåver 190
Samandrag 200
Kapitteltest 201
4 Likningssystem og ulikskapar
4A Lineære likningssystem 204
4B Likningssystem med fleire enn to ukjende 217
4C Ikkje-lineære likningssystem 221
4D Lineære ulikskapar 226
4E Polynomulikskapar 231
4F Rasjonale likningar og ulikskapar 239
Blanda oppgåver 246
Samandrag 254
Kapitteltest 255
5 Meir om funksjonar
5A Vekstfart 258
5B Den deriverte 268
5C Rasjonale funksjonar 286
5D Potensfunksjonar 296
5E Eksponentialfunksjonar 302
5F Val av modell 313
Blanda oppgåver 320
Samandrag 334
Kapitteltest 335
6 Trigonometri
6A Trigonometriske forhold 339
6B Generelle definisjonar 356
6C Arealsetninga 362
6D Sinussetninga 368
6E Cosinussetninga 374
Blanda oppgåver 382
Samandrag 394
Kapitteltest 395
Fasit 396
Register 425
Biletliste 428
Tal og talmønster
1A Talmengder 8
1B Potensar 13
1C Røter 28
1D Generalisering 33
1E Utforsking og programmering 40
Kva for eit tal er det største vi kjenner til?
Vi reknar med at det «berre» er 60 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 atom i det synlege universet vårt.
Det finst større tal. Éin googol er til dømes 10100 og har hundre nullar. Vidare er éin googolplex 1010100 som har éin googol nullar!
Og det tek aldri slutt. Uansett kor stort tal du føreslår som det største, får vi eit tal som er større ved til dømes å leggje til 1.
Generalisering
Partal og oddetal
Tala 8, 14 og 6 er døme på partal sidan
62 (3)
Generelt kan vi skrive eit partal på forma 2 n, der n ∈ Z
Dersom vi lèt n ∈ N, får vi dei positive partala. Dei kan vi illustrere med figurar.
Dei positive oddetala er 1, 3, 5, 7, og så vidare.
Sidan partal og oddetal kjem etter kvarandre i tur og orden, så vil alle oddetal alltid vere éin mindre enn eller éin større enn eit partal. Vi kan derfor skrive eit generelt oddetal på forma 2n 1 eller 2n + 1. Vi vel 2n 1, for då gir n = 1 det første positive oddetalet.
Partala er tal som vi kan skrive på forma 2n for n ∈ Z
Oddetala er tal som vi kan skrive på forma 2n 1 for n ∈ Z.
Vi skal no sjå etter talmønster i figurseriar av den typen vi har laga ovanfor. Då tenkjer vi på n som figurnummeret og lèt n ∈ N. Tal som kan bli representerte med slike figurar, kallar vi figurtal
DØME 21
Odin har laga dei fire første figurane i ein figurserie. Han ønskjer å halde fram med mønsteret.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
a Kor mange kuler treng han til figur nummer 5?
b Kor mange kuler vil figur nummer n ha?
a I figur nummer 1 er det 2 ⋅ 1 kuler.
I figur nummer 2 er det 2 3 kuler.
I figur nummer 3 er det 2 5 kuler.
I figur nummer 4 er det 2 7 kuler.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
I figur nummer 5 vil det derfor vere 2 ⋅ 9 = 18 kuler.
b Vi kan dele kvar figur i to like store delar. Kvar av desse delane inneheld eit oddetal mengde med kuler. Det vil seie at mengda kuler i figur nummer n er det dobbelte av oddetal nummer n Det vil seie at
nn 2(21)42
Mengda med kuler i figur nummer n er n 42.
1.70
Nedanfor ser du dei fire første figurane i ein figurserie.
Gå ut frå at mønsteret held fram.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
a Beskriv mønsteret med ord.
b Teikn figur nummer fem. Kor mange kuler har figuren?
c Kor mange kuler vil den tiande figuren ha?
d Kor mange kuler vil figur nummer n ha?
Å finne formlar
Når vi løyser problem, er det ofte nyttig å uttrykkje samanhengar på ein generell måte. I staden for å bruke spesifikke tal representerer vi tala med bokstavar. Desse bokstavane fungerer som symbol for generelle tal og gjer det mogleg å lage formlar storleikar.
Dersom vi bruker pn som symbol for eit generelt partal og on som symbol for eit generelt oddetal, kan vi lage formlane
= =− pn on 2 21 n n
Når vi til dømes set n = 50 inn i formlane, får vi
I ei oppramsing av dei positive partala og dei positive oddetala står altså høvesvis 100 og 99 på plass nummer 50.
DØME 22
Figurane nedanfor er laga etter eit bestemt mønster.
Lag ein formel for talet på kvadrat Ln i figur n
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
Vi ser at det i kvar av dei 4 utstikkarane er like mange kvadrat som figurnummeret. I tillegg har vi det eine kvadratet i midten.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
Formelen som gir talet på kvadrat i figur nummer n, er derfor
=⋅+Ln41 n
1.71
Nedanfor ser du dei tre første figurane i ein figurserie.
Gå ut frå at mønsteret held fram.
Figur 1 Figur 2 Figur 3
a Teikn den fjerde figuren. Kor mange kuler har han?
b Kor mange kuler har den tiande figuren?
c Lag ein formel for talet på kuler Pn i figur n
1.72
Figurane nedanfor er laga etter eit bestemt mønster.
Lag ein formel for talet på kvadrat Dn i figur n
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
DØME 23
1.73
Arealet av ein trekant: gh 2 g h
K1 = 1 K2 = 4 K3 = 9 K4 = 16
Figuren illustrerer dei fire første kvadrattala
a Kva er det femte og det sjette kvadrattalet?
b Lag ein formel for kvadrattal nummer n, K n .
c Bruk formelen i oppgåve b til å bestemme K5 og K100
d Kva nummer har kvadrattalet 144?
1.74
Tal som står etter kvarandre i ei bestemt rekkjefølgje, kallar vi ei talfølgje
Føreslå for kvar talfølgje eit mønster som passar, og bestem ut frå det eit uttrykk for tal nummer n
a 2, 5, 8, 11, 14, …
b 3, 8, 13, 18, 23, …
c 0, 3, 8, 15, 24, 35, …
Finn ein formel for arealet av eit rektangel der lengda er 3 einingar lengre enn breidda.
Vi lèt breidda vere a
Då er lengda a 3
Arealet A er derfor gitt ved formelen
=⋅+Aaa(3)
1.75
Bestem ein formel for omkrinsen O av rektangelet i døme 23.
1.76
I ein trekant er grunnlinja dobbelt så lang som høgda.
Bestem ein formel for arealet A av trekanten uttrykt ved høgda h
DØME 24
Føreslå eit generelt uttrykk for summen av dei n første oddetala.
Sidan vi i utgangspunktet ikkje kjenner til dette uttrykket, prøver vi oss fram og ser om vi kan finne eit mønster.
Vi legg merke til at svaret alltid blir eit kvadrattal. Det ser med andre ord ut som at vi har denne samanhengen: ++++−=nn135(21) 2
SNAKK
Forklar korleis du kan bruke figuren nedanfor til å argumentere for uttrykket vi kom fram til i døme 24.
RAUDE OPPGÅVER
1.77
I figurane til høgre følgjer talet på fyrstikker i kvar figur eit bestemt mønster.
1Figur 2Figur 3Figur 4
a Kor mange fyrstikker er det i figur 5, 6, 7 og 8?
b Skriv opp eit generelt uttrykk for kor mange fyrstikker det er i figur n.
1.78
Fadma har laga modellar av dei første kubikktala ved å bruke kuler.
a Skriv opp dei tre første kubikktala.
b Kor mange kuler treng Fadma til ein modell av det fjerde kubikktalet?
c Set opp ein formel som viser kor mange kuler det er i kubikktal nummer n
d Bruk formelen frå oppgåve c til å finne ut kor mange kuler som går med til å lage ein modell av kubikktal nummer 20.
BLÅ OPPGÅVER
1.79
Vesle Otto leikar med perler og har laga biltal. Mengda med perler
i figur n kallar vi bn.
a Teikn det femte biltalet, b5.
b Lag ein formel for det n-te biltalet, bn
c Bruk formelen til å bestemme kor mange perler Otto treng for å lage det tiande biltalet. Kor mange av desse perlene vil vere raude?
1.80
Figurane til høgre er laga av fyrstikker.
Tenk deg at vi held fram med å lage slike figurar etter same mønster.
Mengda med fyrstikker i figur n kallar vi fn.
Det vil seie at f 4 1 , f 12 2 og f 24 3 .
a Kor mange fyrstikker er det i figur 4?
b Lag ein formel for fn
Sjekk at formelen stemmer med dei fire første figurane.
Figur 1Figur 2Figur 3
Figur
DØME 25
Utforsking og programmering
Vi har sett at vi kan finne samanhengar og formlar for figurtal og andre talmønster. I mange tilfelle vil programmering vere eigna til å utforske vidare. Då kan vi teste mønstera, sjå korleis tala utviklar seg, og berekne summar.
Lykkjer
Lykkjer i programmering lèt deg utføre same handling fleire gonger utan at du må skrive den same koden om att og om att. Vi skal sjå på to typar lykkjer:
Alt som står innrykt i ei lykkje, blir utført kvar gong lykkja køyrer.
a Programmet skriv ut dei 50 første partala. I linje 1 er n sett til å vere 1. I lykkja får variabelen partal verdien 2n (linje 3) og blir skriven ut (linje 4). Så blir verdien av n auka med 1. Dette skjer så lenge n er mindre enn 51. Tabellen nedanfor viser kva som skjer.
n n < 51? partal
1Ja ⋅= 212 n blir auka til 2
2Ja ⋅= 224 n blir auka til 3
3Ja ⋅= 236 n blir auka til 4
4Ja ⋅= 248 n blir auka til 5
49Ja ⋅= 24998 n blir auka til 50
50Ja ⋅= 250100 n blir auka til 51
51Nei−−
b Programmet skriv ut det same som i oppgåve a. Vi gir variabelen partal
partal med 2, og verdien blir skriven ut. Lykkja gjentek seg så lenge
partal < 100. Det siste partalet som blir skrive ut, er derfor 98 + 2 = 100.
partal partal < 100?
0Ja
partal blir auka til 2 2Ja
1.81
Ines har laga programmet til høgre.
a Skriv av og fyll ut tabellen.
b Kva blir utskrifta i programmet til Ines?
Theo har laga programmet til høgre.
c Kva blir utskrifta i programmet til Theo?
partal blir auka til 6
partal blir auka til 4 4Ja
partal blir auka til 98
partal blir auka til 100
DØME 26
Forklar kva programmet gjer.
1 2 3 for n in range(1, 21): a = 2*n - 1 print(a)
I for-lykkja går n gjennom heiltala frå og med 1 til og med 20. For kvar runde i lykkja reknar programmet ut eit nytt tal a ved å ta to gonger n og trekkje frå 1. Resultatet av berekninga er alltid eit oddetal. Talet a blir skrive ut i kvar runde i lykkja.
na = 2*n - 1 Tal som blir skrive ut
Vi får den same utskrifta med denne koden:
1 2 for i in range(1, 41, 2): print(i)
Her går i gjennom tala frå og med 1 til og med 40 med steglengda 2.
Det vil seie at i har verdiane 1, 3, 5, , 39.
Viss vi oppgir eitt tal, så vil sekvensen starte på 0 og gå til (men ikkje med) talet som blir oppgitt.
range(10) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
range(5, 10) 5,6,7,8,9
range(2, 10, 2) 2,4,6,8
Viss vi oppgir to tal, så vil det første talet fortelje kvar sekvensen startar, og det andre kvar sekvensen sluttar. Det siste talet kjem ikkje med.
Viss vi oppgir tre tal, så vil det siste talet vere avstanden mellom tala.
DØME 27
1.82
a Lag eit program som skriv ut oddetala mellom 1000 og 1100 med ei for-lykkje.
b Lag eit program som skriv ut oddetala mellom 1000 og 1100 med ei while-lykkje.
1.83
Lag eit program som skriv ut partala mellom 500 og 550 med ei a for-lykkje b while-lykkje
Figuren illustrerer dei fire første rektangeltalaR1, R2, R3 og R4
1 = 2 R2 = 6 R3 = 12
4 = 20
Bestem ein formel for Rn og lag eit program som skriv ut dei 10 første rektangeltala.
Det er like mange kuler i breidda som figurnummeret, mens talet på kuler i lengda er eitt større enn figurnummeret.
Dersom vi skal rekne ut dei fire første rektangeltala, vil reknestykka sjå slik ut:
NummerRektangeltal
Formelen for rektangeltal nummer n er derfor =⋅+Rnn(1) n
1 2 3 for i in range(1, 11): R = i*(i + 1) print(R)
Utskrifta er tala 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90 og 110.
DØME 28
Trekanttala kan vi illustrere med følgjande figurar:
a Lag eit program som skriv ut dei 10 første trekanttala.
b Utforsk og gjer greie for samanhengen mellom trekanttala og rektangeltala.
a Vi ser at neste figur består av den førre figuren i tillegg til ei ny rad med kuler. Den nye rada har like mange kuler som figurnummeret.
Dette bruker vi i ei for-lykkje som reknar ut og skriv ut dei 10 første trekanttala.
# Det første trekanttalet for n in range(2, 11): print(T) # Skriv ut trekanttalet T = T + n # Bereknar det neste trekanttalet
Resultatet blir tala 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 og 45.
b Vi ser av utskrifta eller av figuren nedanfor at trekanttala er halvparten av rektangeltala.
Det gir formelen
I døme 28 kunne vi også ha skrive koden slik dersom vi hadde funne formelen for Tn først:
1 2 3 for n in range(1, 11): T = n*(n + 1)/2 print(T)
DØME 29
Tips: Set n til eit lågt tal mens du lagar programmet, slik at du kan sjekke om programmet gir ønskt resultat.
Lag eit program som skriv ut summen av dei 100 første trekanttala.
n = 100 summen = 0
for i in range(1, n + 1): trekanttal = i*(i + 1)/2 summen = summen + trekanttal print("Summen av dei", n,"første trekanttala er", summen)
I linje 1 har vi gitt n verdien 100 og summen verdien 0. For kvar runde i lykkja blir dei ulike trekanttala rekna ut og lagde til summen.
Utskrifta blir slik: Summen av dei 100 første trekanttala er 1717000
DØME 30
1.84
Figurane viser dei fire første piltala: P1, P2, P3 og P4
a Bestem P5
Berit har komme fram til denne formelen for piltal nummer n: =⋅++ ++ Pnn nn (2) (1)(2) 2 n
b Korleis kan Berit ha tenkt?
c Lag eit program som skriv ut dei 20 første piltala og summen av dei.
Figurane nedanfor illustrerer dei fire første i ein figurserie. Kor mange fyrstikker er det i figur 100?
Figur 1Figur 2Figur 3
Figur 4
I kvar figur er det tre fleire fyrstikker enn i figuren før. Vi kan derfor finne kor mange fyrstikker det er, med dette programmet:
fyrstikker = 4 # Kor mange fyrstikker i figur 1 for i in range(2, 101): fyrstikker = fyrstikker + 3 print(fyrstikker)
Resultatet blir 301, som derfor er talet på fyrstikker i figur 100.
1.85
a Skriv opp ein formel for mengda med fyrstikker Fn i figur n i døme 30. Sjekk at formelen gir det same som svaret i dømet.
b Kor mange fyrstikker treng vi for å lage dei 100 første fyrstikktala?
Figur 4
Figur 3
Figur 2
Figur 1
DØME 31
Line har 1000 fyrstikker og ønskjer å lage så mange figurar ho kan ut frå mønsteret i det førre dømet. Det vil seie at ho vil lage figur 1, figur 2, og så vidare.
Lag eit program som finn kor mange figurar ho kan lage, og kor mange fyrstikker som då er brukte.
fyrstikker = 4 # Fyrstikker i figur 1 brukt = 4 # Skal bli talet på brukte fyrstikker n = 1 # Figurnummeret
while brukt <= 1000: n = n + 1
fyrstikker = fyrstikker + 3 # Fyrstikker i neste figur brukt = brukt + fyrstikker
print(n - 1 , brukt - fyrstikker)
Lykkja går så lenge det er brukt mindre enn eller lik 1000 fyrstikker. I linje 8 gir vi variabelen brukt ny verdi lik den gamle verdien pluss fyrstikker
Den siste gongen brukt er mindre enn eller lik 1000, blir verdien av n auka med 1, og brukt blir auka med fyrstikker Vi må derfor skrive ut n - 1 og brukt - fyrstikker
Utskrifta blir tala 25 og 1000.
Det vil seie at Line kan lage akkurat 25 figurar.
1.86 (Eksamen 1T våren 2022)
Figur 1Figur 2Figur 3
Ovanfor ser du tre figurar. Figurane er sette saman av små klossar.
Roar vil halde fram med å lage figurar etter det same mønsteret.
a Kor mange klossar treng han for å lage figur 5?
b Kor mange klossar treng han til saman for å lage dei 10 første figurane?
Roar har 10 000 klossar. Han vil starte med den minste figuren og lage éin figur i kvar storleik.
c Kor mange figurar kan han lage? Kor mange klossar vil han ha att når han har laga figurane?
1.87 (Eksamen 1T hausten 2021)
Marius har 400 boksar.
Marius og Maria arbeider i ein daglegvarebutikk. Dei skal stable boksar med erter.
Marius stablar boksane slik det er vist på figur 1. På figur 1 har han laga eit tårn med fire etasjar. a Kor mange boksar treng
Marius for å lage eit tårn med 20 etasjar dersom han stablar boksane på denne måten?
b Kor mange etasjar vil det vere i det største tårnet han kan lage?
Maria vil stable boksane slik det er vist på figur 2. På figur 2 har ho laga eit tårn med tre etasjar.
c Kor mange boksar treng Maria for å lage eit tårn med 20 etasjar dersom ho stablar boksane på denne måten?
Maria har 4000 boksar.
d Kor mange etasjar vil det vere i det største tårnet ho kan lage?
Figur 1
Figur 2
DØME 32
a <= b testar om a ≤ b. a == b testar om a = b.
Vilkår
Når vi programmerer, får vi ofte bruk for å teste om visse vilkår er oppfylte. Det kan vere om to tal er like, om eit tal er større enn eit anna, eller om eit tal er ulikt eit anna. For å sjekke om eit tal er likt eit anna tal, bruker vi to likskapsteikn (==).
Undersøk om talet 1596 er eit trekanttal.
Vi veit at trekanttal nummer n er = ⋅+ T nn(1) 2 n , og må derfor finne ut om det finst eit naturleg tal n slik at ⋅+ = nn(1) 2 1596
Du skal seinare lære å løyse slike likningar ved rekning, men no skal vi bruke Python til å undersøkje om det finst eit naturleg tal som oppfyller likninga. 1 2 3 4 5 6 n = 1 while n*(n + 1)/2 <= 1596: if n*(n + 1)/2 == 1596: print("n =", n) n = n + 1
Først er n = 1, og vi sjekkar om ⋅+nn(1) 2 er lik 1596.
Dersom det er tilfellet, blir n skrive ut.
Dersom det ikkje er tilfellet, blir verdien av n auka med 1.
Dette blir gjenteke så lenge
⋅+nn(1) 2 er mindre enn eller lik 1596.
Når vi køyrer programmet, får vi utskrifta n = 56
Det betyr at 1596 er trekanttal nummer 56.
Dersom vi bruker programmet i dømet ovanfor til å sjekke eit tal som ikkje er eit trekanttal, får vi ikkje skrive ut noko som helst.
1.88
Undersøk om tala 8920 og 13 044 er trekanttal.
RAUDE OPPGÅVER
1.89
Figurane nedanfor illustrerer dei fire første hustala, hn
Det vil seie at h1 = 1, h2 = 5, h3 = 12 og h4 = 22.
a Følg same mønster, og teikn det femte hustalet.
b Beskriv samanhengen mellom hustala og kvadrattal og trekanttal.
c Kor mange kuler treng vi for å lage det tiande hustalet?
d Finn ein formel for hn
e
1.90
Figurane illustrerer dei fire første femkanttala, F1, F2, F3 og F4
a Finn det femte femkanttalet, F5 n er = F nn(31) 2 n
b Lag eit program som avgjer om 96 er eit femkanttal.
c Lag eit program som finn summen av dei 100 første femkanttala.
1.91
Lag eit figurtalmønster der det er n2 + 1 kuler i figur nummer n
BLÅ OPPGÅVER
1.92
Sjå oppgåve 1.89.
a Kva samanheng er det mellom hustal, kvadrattal og trekanttal?
b Lag eit program som skriv ut dei ti første hustala.
c Agnete har 500 kuler av kvar av dei to fargane og skal lage eit størst mogleg hustal. Kor mange kuler av kvar farge er til overs etterpå?
1.93
Dei fire første femkanttala er F 1 1 , F 5 2 , F 12 3 og F 22 4
På figuren til høgre ser du ein illustrasjon av det fjerde femkanttalet.
a Gro påstår at figuren illustrerer dei fire første femkanttala. Kva trur du at ho meiner?
b Teikn av figuren og utvid han slik at han blir ein illustrasjon av det femte femkanttalet.
Gro oppdagar at det fjerde femkanttalet er sett saman av tre trekanttal. Ho illustrerer dette ved å lage figuren med dei to hjelpelinjene.
c Skriv det fjerde femkanttalet som ein sum av trekanttal.
d Skriv F2 og F3 som summar av trekanttal.
e Kva samanheng har du oppdaga mellom trekanttal og femkanttal? Skriv femkanttal nummer n, Fn, som ein sum av trekanttal.
f Formelen for trekanttal nummer n er
= + T nn(1) 2 n
Bruk denne formelen og samanhengen som du fann i oppgåve e, til å bestemme ein formel for Fn
1.94
Lag eit figurtalmønster der det er nn5 2 2 kuler i figur nummer n
BLANDA OPPGÅVER
1.95
Ta for deg desse tala:
2232743,710(2)0 220142
a Kva for nokre av tala er med i N?
b Kva for nokre av tala er med i Q?
c Kva for nokre av tala har absoluttverdien 4?
1.96
Rekn ut.
1.97
Rekn ut.
a 1,2104,010 3,210 34 8 b 1,2104,010 3,210 34 2 8 () c ⋅+⋅ 1,2104,010 3,210 34 8
1.98
I ein kjøkkensvamp er det om lag 40 milliardar bakteriar per milliliter. Kor mange bakteriar er det i svampen når volumet av han er 1,5 dL? Skriv svaret på standardform.
1.99
Rekn ut og skriv svaret på standardform. Kontroller med digitalt verktøy.
a 5,0 106 25 000 000 b ⋅ ⋅⋅ 9,010 2,5100,002 8 3 c () ⋅ 0,10,008 210 3 5 4
1.100
Ta for deg mengda med små kvadrat i figurserien nedanfor.
a Skriv opp dei fem første tala som følgjer mønsteret i figurserien.
b Finn ein samanheng mellom desse tala og oddetala.
c Lag eit program som skriv ut dei første 100 tala av denne typen.
d Teikn ein ny figurserie som illustrerer at desse tala er éin større enn kvadrattala.
1.101
Skriv så enkelt som mogleg. a xax xa 2 3 163 2 1 0 () ⋅ b () ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x x 4 2 1 1 3 c −+4827 3 3
1.102
Rekn ut med digitalt verktøy. Skriv svaret på standardform.
⋅+⋅ 3,8710 2,3109,6810 6 34
1.103
Skriv så enkelt som mogleg. a 5250 b 222 1 4 101 c −+⋅−328627 72 3
1.104
Skriv tala i stigande rekkjefølgje.
60252(1)2,15315 2932
1.105
Vis at 35,121 212 … er eit rasjonalt tal. Bruk dette til å vise at også 3,5 121 212 … er eit rasjonalt tal.
1.106
Kva for eit tal er størst av 275 og 350 ?
1.107
Kor mange naturlege tal n er slik at ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∈ n 12 34567 ?
1.108
a Gjer greie for mønsteret i denne figurserien.
b Kor mange kuler er det i den tiande figuren?
c Bestem ein formel for kor mange kuler det er i figur n.
1.109
Nikoline leikar seg med fyrstikker. Ho har laga figurane til høgre.
Nikoline vil lage fleire figurar etter same mønster.
a Kor mange fyrstikker treng ho til å lage figur nummer 4?
b Lag eit program/rekneark som gir ei oversikt over kor mange fyrstikker Nikoline treng til kvar av dei 25 første figurane.
c Kva samanheng er det mellom talet på fyrstikker som ho treng, og trekanttala? Bruk dette til å lage ein formel for kor mange fyrstikker ho treng i figur nummer n
d Utvid programmet/reknearket frå oppgåve b slik at det også gir oversikt over det totale talet på fyrstikker Nikoline må ha for å lage alle figurane opp til og med figur nummer 25.
1.110
Figuren til høgre illustrerer dei fire første tala i eit talmønster.
a Følg same mønster og teikn det femte talet i følgja.
b Skriv opp dei sju første tala i følgja.
c Finn ein formel for tal nummer n i følgja.
1.111 (Frå dømesett 1T hausten 2021)
Figur 1Figur 2Figur 3
Dei tre figurane er laga av fyrstikker.
Figur 1 består av eitt lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrat, og figur 3 består av ni små kvadrat.
Tenk deg at du har 10 000 fyrstikker.
Du skal lage dei tre figurane og så halde fram med å lage figurar etter same mønster, éin i kvar storleik.
a Kor mange figurar kan du lage?
b Kor mange fyrstikker vil du ha att når du har laga den siste figuren?
1.112
Heron frå Alexandria er ein kjend matematikar frå antikken.
Han laga mellom anna ein algoritme for å finne tilnærmingsverdiar for kvadratrota av eit naturleg tal n:
❶ Vel eit tal a i nærleiken av det du trur svaret blir.
❷ Rekn ut talet =+ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ban a 1 2
❸ La a få verdien b.
❹ Gjenta punkt 2 og 3 heilt til b ikkje endrar seg noko særleg frå gong til gong (til dømes at 4 desimalar er like frå gong til gong).
Liknande metodar blir brukte av digitale verktøy til å finne kvadratrøter.
algoritme er ei stegvis skildring av framgangsmåten for å løyse eit problem.
Lag eit program basert på denne algoritmen som du kan bruke til å rekne ut kvadratrota av 11.
1.113 (Dømesett 1T våren 2020)
1Figur 2
Figur 3
Ovanfor ser du tre figurar. Figurane er sette saman av små kvadrat. Tenk deg at du skal halde fram med å lage figurar etter same mønster.
a Lag ein algoritme som du kan bruke til å bestemme kor mange små kvadrat du totalt treng for å lage dei 100 første figurane.
b Bruk eit programmeringsspråk, og lag eit program med utgangspunkt i algoritmen. Programmet skal berekne og skrive ut kor mange kvadrat du treng.
Figur
SAMANDRAG
Talmengder
Tallinja består av uendeleg mange reelle tal, Dei naturlege tala N er tala 1, 2, 3, 4,
Dei heile tala Z er tala …−3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …
Dei rasjonale tala er alle tal vi kan skrive som ein brøk med heile tal i teljar og nemnar.
Partal er tal vi kan skrive på forma 2n, n .
Oddetal er tal vi kan skrive på forma −∈nn21,
Absoluttverdi
x er talet x dersom x er eit positivt tal eller null, og talet x dersom x er negativt.
Potensar
Reknereglar
Kvadratrøter
Definisjon: aa 2() = Reknereglar: ⋅=⋅ abab og a b a b
n-terøter
Dersom a > 0, er an 1 det positive talet b som er slik at ba n
Dersom a < 0 og n er eit oddetal, er an 1 det negative talet b som er slik at ba n
b Kva gjer programmet dersom vi endrar linje 1 frå t = 1 til t = 0?
c Kva gjer programmet dersom rad 4 og rad 5 byter plass?
Oppgåve 4
Avgjer om påstandane nedanfor alltid er sanne.
a Dersom a og b er rasjonale tal og b 0, så er a b eit rasjonalt tal.
b Dersom a og b er irrasjonale tal og b 0, så er a b eit irrasjonalt tal.
Oppgåve 5
Finn verdien av uttrykket. Gi svaret på standardform med éin desimal. + + ⋅ 249 326 1,2310 2
Oppgåve 6
⋅ 10 19 J.
Kor mange foton er det i ein laserpuls som har totalenergien 1,0 J?
Oppgåve 7
Ann-Mari har illustrert dei fire første stjernetala.
a Illustrer det femte stjernetalet.
b Bestem ein formel for stjernetal nummer n
c Bruk formelen til å bestemme stjernetal nummer 10.
d Lag eit program som reknar ut summen av dei 50 første stjernetala.
Meir om funksjonar 5
5A Vekstfart 258
5B Den deriverte 268
5C Rasjonale funksjonar 286
5D Potensfunksjonar 296
5E Eksponentialfunksjonar 302
5F Val av modell 313
I 1985 oppdaga tre forskarar eit dramatisk fall i ozonmengda over Antarktis. Kvifor blei ikkje dette oppdaga av satellitten Nimbus 7, som hadde avansert utstyr for ozonmålingar?
Ved nærmare undersøkingar viste det seg at satellitten heilt sidan 1976 hadde registrert låge ozonførekomstar. Men dei hadde blitt behandla som ekstreme verdiar og automatisk blitt forkasta av dataprogrammet. Denne feilen forseinka tiltak mot ozonnedbrytande stoff med nesten eit tiår.
I dette kapittelet skal du lære meir om funksjonar og modellar.
Når vi lagar matematiske modellar, kan det nokre gonger vere klokt å forkaste ekstreme verdiar, men vi må ikkje gjere det ukritisk!
Vekstfart
To gjenstandar A og B beveger seg langs ei rett strekning.
Tilbakelagd strekning til gjenstand A er a(t) meter etter t sekund.
Tilbakelagd strekning til gjenstand B er b(t) meter etter t sekund.
Figuren viser grafane til funksjonane a og b
Gjenstand B beveger seg med konstant fart, 12 m på 4,0 sekund.
Kva er farten til gjenstand B?
Gjenstand A har ikkje konstant fart.
Kva er gjennomsnittsfarten til gjenstand A dei tre første sekunda?
Vekstfarten til ein funksjon seier noko om korleis funksjonsverdiane endrar seg når x aukar.
For lineære funksjonar er vekstfarten det same som stigningstalet. Han viser kor mykje funksjonsverdien aukar eller minkar når x-verdien aukar med éin
Kva om vi ikkje har ein lineær funksjon, men til dømes ein andregradsfunksjon?
Korleis kan vi då skildre vekstfarten til funksjonen?
Spørsmålet har ikkje noko klart svar fordi vekstfarten no vil vere avhengig av kvar på grafen vi er. Men vi kan spørje om kva vekstfarten er i gjennomsnitt i eit intervall, altså frå ein x-verdi til ein annan.
I praktiske oppgåver er eininga for vekstfarten den same som eininga for f(x) dividert med eininga for x
Gjennomsnittleg vekstfart
Vi skal sjå meir på funksjonane a og b i SNAKK ovanfor.
På grafen til a kan vi til dømes lese av punkta (0 , 0) og (3 , 9).
Når t endrar seg frå 0 til 3, endrar funksjonsverdien seg frå 0 til 9.
Den gjennomsnittlege vekstfarten til funksjonen i intervallet [0 , 3] er derfor
== 90 30 9 3 3
Den praktiske tolkinga av dette er at gjenstand A har gjennomsnittsfarten 3 m/s i tidsrommet frå t = 0 til t = 3. Dette er det same som den konstante farten som gjenstand B har i det same tidsrommet.
Vi tek no for oss ein vilkårleg funksjon f
(x2) f (x1)
På grafen til f har vi markert punkta () xfx11,() og () xfx22,()
Når x-verdien endrar seg frå x1 til x2, endrar funksjonsverdiane seg frå fx() 1 til fx() 2
Den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [] xx , 12 er derfor
fxfx xx ()() 21 21
Dette er det same som stigningstalet til den rette linja gjennom punkta () xfx11,() og () xfx22,()
Den gjennomsnittlege vekstfarten til f i intervallet xx , 12 [ [] ] er
f ( x ) x = f ( x 2 ) f ( x1) x 2 x1
DØME 1
Ein full vasstank rommar 60 liter. Vi opnar ei kran i botnen av tanken og lèt vatnet renne til tanken er tom.
I dei 20 minutta det varer, er vassvolumet V i liter gitt ved =−+Vxxx ()0,15660 2
der x er tida målt i minutt etter at krana blei opna.
Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [2 , 4]. Kva fortel svaret?
Den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [2 , 4] er 5,1.
Det betyr at vi tappar ut i gjennomsnitt 5,1 liter vatn kvart minutt (liter/minutt) i perioden frå det har gått 2 til det har gått 4 minutt, altså i det tredje og det fjerde minuttet krana er open.
Med grafteiknar:
Vi teiknar grafen og legg inn punkta () V 2,(2) og () V 4,(4) Så teiknar vi linja gjennom punkta med Linje.
Vi ser at stigningstalet til linja er 5,1. Altså blir det tappa ut 5,1 liter kvart minutt.
5.1
Sjå døme 1.
a Finn den gjennomsnittlege vekstfarten til V i intervalla nedanfor.
Gi ei praktisk tolking av svara.
1 [0 , 2] 2 [16 , 18] 3 [0 , 20]
b Kva fortel svara i dømet og i oppgåve a om grafen til V?
5.2
Ein dag var temperaturen tilnærma gitt ved
Her er T(x) temperaturen i gradar celsius x timar etter kl. 8 om morgonen.
a Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [2 , 5]
Kva fortel svaret?
b Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [2 , 8]
Kva fortel svaret?
c Forklar kvifor den gjennomsnittlege vekstfarten blei større i oppgåve b enn i oppgåve a.
5.3 (Eksamen 1T våren 2024)
Ada har laga programmet nedanfor.
f(x):
- 3*x + 7 a = 0 b = 5 v = (f(b) - f(a))/(b - a) print(v)
Kva verdi blir skriven ut når Ada køyrer programmet, og kva fortel denne verdien?
5.4
Vi lèt ein kopp med kaffi stå til avkjøling i eit rom der temperaturen er 20 °C.
Grafen til funksjonen f viser temperaturen i kaffikoppen t minutt etter at vi sette han til avkjøling.
f(t) (gradar celsius)
a Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [0 , 3] og i intervallet [8 , 11]. Kva fortel svara?
b Vi samanliknar dei to intervalla i oppgåve a. Gir det meining at vi seier at temperaturen går raskast ned i intervallet [0 , 3], og samstundes seier at den gjennomsnittlege vekstfarten til funksjonen er størst i intervallet [8 , 11]?
5.5 (Dømeeksamen 1T hausten 2021)
y
Timar etter midnatt (14 , 7,3) (4 , 4,7)
x 12 16 20 24 8 4
Grafen ovanfor viser temperaturen ved Lindesnes fyr x timar etter midnatt eit døgn i januar.
a Vis korleis du kan rekne ut stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta (4 , 4,7) og (14 , 7,3).
b Gi ei praktisk tolking av dette stigningstalet.
Momentan vekstfart
I mange samanhengar er vi interesserte i å finne vekstfarten til ein funksjon for éin bestemt x-verdi.
På figuren har vi teikna inn punktet xfx11,() () og ei linje som akkurat kjem borti grafen i dette punktet. Denne linja kallar vi tangenten til grafen i xfx11,() () x
f(x)
(x1 , f (x1))
(x1 , f (x1))
Dersom vi zoomar inn på punktet () xfx11,() , er grafen og tangenten så godt som samanfallande i dette punktet. Vekstfarten når x = x1, er altså stigningstalet til tangenten i punktet () xfx11,() . Denne vekstfarten kallar vi momentanvekstfart.
Den momentane vekstfarten til ein funksjon f når x = x1, er stigningstalet til tangenten til grafen i punktet xfx11,() ( () ) .
Å teikne ein tangent utan digitale verktøy er ikkje så lett. Vi kan bruke ein linjal, men det er vanskeleg å sjå nøyaktig korleis vi skal leggje han.
f(x)
Med GeoGebra bruker vi kommandoen Tangent(). x
DØME 2
Ein dag var temperaturen tilnærma gitt ved
TxxxD ()0,240,174,1,0,8 T 2 [] =++=
Her er T(x) temperaturen i celsiusgradar x timar etter kl. 8 om morgonen.
Finn den momentane vekstfarten når x = 3.
Kva fortel svaret?
Vi teiknar grafen til T og ein tangent i det aktuelle punktet med kommandoen Tangent(3,T).
Stigningstalet til tangenten er 1,6.
Den momentane vekstfarten er 1,6 °C/time. Dette fortel oss at temperaturen kl. 11 er i ferd med å auke med 1,6 °C/time.
5.6
Sjå døme 2.
a Finn den momentane vekstfarten når x = 6.
Kva fortel svaret?
b Forklar kvifor du på førehand kunne ha sagt at den momentane vekstfarten til funksjonen blei større i oppgåve a enn den vi fann i døme 2.
5.7
Høgda til ei plante er gitt ved
hxxxD ()0,12,150,[0,14] h 32 =−++=
Høgda er h(x) mm x dagar etter at ho blei planta.
a Finn den momentane vekstfarten når x 3, og når x 12
Kva fortel svara?
b Bruk grafen til h til å avgjere når planta veks raskast, det vil seie når den momentane vekstfarten er størst.
5.8
På figuren til høgre er punkta ()Axfx11,() og ()Bxfx22,() teikna inn.
a Kva er den momentane vekstfarten til f når x = x1?
b Kva kan du seie om den momentane vekstfarten til f når x = x2 samanlikna med når x = x1?
5.9
Figuren viser grafen til ein funksjon f.
a Kva er den momentane vekstfarten når x = 4?
b Kva kan du seie om den momentane vekstfarten når x = 3 samanlikna med den momentane vekstfarten når x = 5?
5.10
På figuren er det merkt av fem punkt på grafen til ein funksjon f
a I kva for nokre av desse punkta er stigningstalet til tangenten 1 positivt 2 negativt 3 null b I kva for eit av desse punkta er den momentane vekstfarten størst?
RAUDE OPPGÅVER
5.11
På figuren har vi teikna grafen til ein funksjon f og tangentar i punkta () f 1,(1) og () f 5,5,(5,5)
a Finn gjennomsnittleg vekstfart i intervalla [1 , 3] og [3 , 5]
b Kva er den momentane vekstfarten når x = 1?
c Kva er den momentane vekstfarten når x = 5,5?
d Kva er den momentane vekstfarten når x = 3?
5.12
Ein vårdag var temperaturen tilnærma gitt ved
TtttD ()0,241,216,0,12 T 2 [] =−++=
der T(t) står for temperaturen i celsiusgradar t timar etter kl. 12.
a Bestem stigningstalet til den rette linja gjennom punkta () T 0,(0) og () T 12,(12)
Gi ei praktisk tolking av svaret.
b Kva kan du seie om temperaturendringa rundt kl. 22?
5.13
Den veglengda som ein bil køyrer frå føraren ser ei hindring i vegbanen til bilen stoppar, kallar vi stopplengda. Ein vinterdag er Erik på veg til hytta, og stopplengda S (målt i meter) er gitt ved
=+ Svvv ()0,30,014 2
når farten er v km/h.
a Bestem stigningstalet til den rette linja gjennom punkta () S 80,(80) og () S 90,(90) . Gi ei praktisk tolking av svaret.
b Bestem den momentane vekstfarten til S når x = 80, og når x = 90.
c Undersøk ved kva for ein fart stopplengda er i ferd med å auke med 2 m per km/h.
(Hint: Lag eit punkt på grafen som du kan skyve på.)
5.14
På figuren har vi teikna inn grafen til ein funksjon f og markert punktet Axfx11,() ()
a Kva kan du seie om den momentane vekstfarten i x = x1?
b Kva kan du seie om den momentane vekstfarten når
1 x < x1 2 x > x1
samanlikna med den momentane vekstfarten når x = x1?
BLÅ OPPGÅVER
5.15
Ei god tilnærming til den momentane vekstfarten til ein funksjon når x = a, er å finne den gjennomsnittlege vekstfarten i eit veldig lite intervall [a , a + dx].
Tashiba har laga programmet nedanfor.
def f(x): return 1.19*x**3
a = 6
dx = 0.1
vekst = (f(a + dx) - f(a))/dx
print(round(vekst, 1))
a Samanlikn utskrifta i programmet med den momentane vekstfarten når x = 6.
b Føreslå ei endring i koden som vil gi Tashiba eit meir nøyaktig svar.
5.16
Funksjonen f er gitt ved fxx ()0,5 3 for ∈− x [3,3]
a Finn momentan vekstfart når x = 1 og x = 1.
b I kva for eit punkt er den momentane vekstfarten lik null?
5.17
Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx ()285 2
a For kva x-verdi er den momentane vekstfarten lik 6?
Eit punkt ()Axfx11,() ligg på grafen til f slik at den gjennomsnittlege vekstfarten
i intervallet [] x 0, 1 er 1 3
b Bestem koordinatane til A
5.18
Om ein andregradsfunksjon f får du opplyst at den momentane vekstfarten er 2 når x = 3, og at den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [ 3 , 1] er lik null.
a Lag ulike skisser som viser korleis grafen til f kan sjå ut.
b Finn eit mogleg funksjonsuttrykk f(x).
SNAKK
Den deriverte
Sjå på figuren nedanfor.
Avgjer om stigningstalet til tangenten i dei punkta som er merkte av på grafen, er positivt, negativt eller null.
Kva vil du seie om stigningstalet til tangenten i eit topp- eller botnpunkt?
Sjå på grafen i SNAKK ovanfor. Vi ser at den momentane vekstfarten er forskjellig for ulike x-verdiar, og at til éin bestemt verdi av x er det berre éin bestemt verdi for den momentane vekstfarten.
Vi får altså ein ny funksjon, la oss kalle han s. Han er slik at s(x) er stigningstalet til tangenten i punktet () xfx,() på grafen til f
I SNAKK ovanfor er s( 2) = 9, s( 1) = 0, s(0) = 3, s(1) = 0 og s(2) = 9.
Funksjonen som gir oss stigningstalet, vil vi kalle stigningstalfunksjonen
DØME 3
a Bestem stigningstalfunksjonen s for funksjonen f gitt ved fxx () 2
b Bruk funksjonen s til å finne stigningstalet til tangenten til grafen til f i punktet () f 7,(7)
a Vi teiknar grafen til f med nokre punkt og tangentar.
For å få oversikt lagar vi ein verditabell. Vi les av koordinatane til punkta xfx,() () og stigningstala s(x) til tangentane.
x 3 2 10123
f(x) 9410149
s(x) 6 4 20246
Når vi samanliknar verdiane til x og s(x), ser vi at vi kjem frå x til s(x) ved å gonge med to.
Stigningstalfunksjonen s ser altså ut til å vere gitt ved sxx ()2
b Vi bruker funksjonsuttrykket vi fann i oppgåve a. Det gir =⋅= s (7)2714
Stigningstalet til tangenten til grafen til f i punktet () f 7,(7) er 14.
5.19
Bruk ein liknande framgangsmåte som i døme 3 til å finne eit funksjonsuttrykk for stigningstalfunksjonen s.
Bestem deretter s( 5).
a =+fxx()4 2 b fxx ()3 2
c =−fxx()31 2
SNAKK
Ta utgangspunkt i døme 3 og oppgåve 5.19 ovanfor.
Formuler ein generell samanheng mellom f(x) og s(x) når f(x) er eit andregradspolynom.
5.20
Ta utgangspunkt i grafen til funksjonen f i SNAKK på side 268.
a Les av nokre punkt på grafen og bruk regresjon til å finne ein polynomfunksjon som passar perfekt med punkta.
b Bruk regresjon til å finne eit funksjonsuttrykk s(x) som kan passe for stigningstalfunksjonen s
Dersom vi finn gjennomsnittleg vekstfart i eit veldig lite intervall, er han tilnærma lik den momentane vekstfarten i eit punkt. På den første figuren nedanfor er punkta xfx11,() () og xfx22,() () teikna inn.
Legg merke til at x 2 = x1 + x , slik at vi kan skrive stigningstalet til linja gjennom punkta som
f ( x1 + x ) f ( x1) x
Gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [] xx , 12 er gitt av stigningstalet til den svarte linja i dei tre første figurane.
Den momentane vekstfarten i x1 er gitt av stigningstalet til den grøne linja i den siste figuren. Jo mindre vi gjer Δx, desto meir likt blir stigningstalet til den grøne og den svarte linja.
Dette kan vi utnytte dersom vi vil teikne grafen til stigningstalfunksjonen.
DØME 4
Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx ()34 3 , = Df [ 1 , 3].
a Lag eit program som plottar grafen til stigningstalfunksjonen s saman med grafen til f
b Forklar samanhengen mellom grafen til f og grafen til stigningstalfunksjonen s
a Vi lagar ein funksjon s som reknar ut vekstfarten i mange små intervall x, og plottar grafen.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
dx = 0.01
def f(x):
# Delta x
# Definerer f return x**3 - 3*x + 4
def s(x):
# Definerer s return (f(x + dx) - f(x))/dx
x_verdiar = np.linspace(-1, 3, 500)
plt.plot(x_verdiar, f(x_verdiar), label="f")
plt.plot(x_verdiar, s(x_verdiar), label="s")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
# Legg inn namn på grafane
# Legg inn rutenett
# Viser grafane
b Grafen til f går nedover i intervallet
–1,1 . Det betyr at den momentane vekstfarten er negativ i dette intervallet. Funksjonsverdiane s(x) må altså vere negative, og det samsvarer med at grafen til s ligg under x-aksen.
Når x = 1, har grafen til f eit botnpunkt. Då er vekstfarten 0. Dette stemmer med at s har eit nullpunkt.
Grafen til f stig i intervallet 1,3 . Det betyr at den momentane vekstfarten er positiv i dette intervallet. Funksjonsverdiane s(x) er altså positive, og det samsvarer med at grafen til s ligg overx-aksen.
5.21
Plott grafen til stigningstalfunksjonen s saman med grafen til f, for x ∈ [ 3 , 3].
Forklar samanhengen mellom grafane.
a =−+fxx () 1 2 5 b =+fxx()4 2
c =−fxx()34 3 d =− fxxx () 42
5.22
Funksjonen s er stigningstalfunksjonen til ein funksjon f. Kva for grafar høyrer saman? (Set saman tal og bokstav.)
5.23
Funksjonen g er gitt ved =− gxxx ()4 3 , Df = [ 2 , 2].
Plott grafen til stigningstalfunksjonen s saman med grafen til g.
a Forklar samanhengen mellom grafen til g og grafen til stigningstalfunksjonen s
b Korleis kan du bruke grafen til s til å avgjere kvar grafen til g er brattast?
5.24
Vi har ein funksjon f med tilhøyrande stigningstalfunksjon s
Figuren viser grafen til to funksjonar b og r. Forklar kva for ein av dei to grafane som er grafen til f, og kva for ein som er grafen til s
Den deriverte
Stigningstalfunksjonen s er utleidd frå funksjonen f. Du kjenner kanskje det engelske ordet «derive», som tyder å utleie. Vi seier at vi får s ved å deriveref, eller at s er den deriverte av f. Vi har ein eigen skrivemåte for den deriverte funksjonen. I staden for s skriv vi f
Den deriverte av funksjonen f i eit punkt der x 3, skriv vi f (3) f (3) les vi «den deriverte av f for x = 3» eller «f-derivert av 3».
Den deriverte av f for ein vilkårleg x-verdi skriv vi fx()
Funksjonen f er er slik at funksjonsverdien fx() er lik stigningstalet til tangenten i punktet xfx,() ( () ) på grafen til f
I staden for å seie at den momentane vekstfarten i punktet () f 3,(3) er 1,5, kan vi seie at ′ = f (3)1,5.
5.25
Figuren viser grafen til ein funksjon f. Bruk figuren til å bestemme a ′ f (3) b f (3) c f (1)
I GeoGebra kan vi finne den deriverte i CAS og i algebrafeltet.
5.26
Finn fx(), f (2) og ′ f (3) utan hjelpemiddel. Kontroller med CAS.
a =+fxx()24 b =+fxx()25 c =−fxx()27 d =−+fxx()3 e =−+fxx()2 f =−−fxx()9
5.27
Finn fx() når f(x) = ax + b.
5.28
Funksjonane t og f er gitt ved
txx () 3 og fxx () 4
a Bestem tx()
Kva er samanhengen mellom uttrykka tx() og tx()?
b Bestem fx()
Kva er samanhengen mellom uttrykka fx() og fx()?
Med ein derivasjonsregel kan vi finne fx() når vi kjenner f(x).
I oppgåve 5.27 fann du éin slik derivasjonsregel.
La f vere ein lineær funksjon gitt ved fxaxb () = =+ + .
Då er fxa ()′′ = .
Fordi konstantleddet b ikkje har noko å seie for kva den deriverte er, er det mange ulike lineære funksjonar som har den same deriverte. Dette betyr at vi med sikkerheit kan vite at ′ = fxa () når fxaxb () =+ , men dersom vi derimot veit at ′ = fxa () , så kan vi ikkje vite kva funksjonsuttrykket f(x) er. Dette formulerer vi med ein implikasjon
f ( x ) = ax + b f ( x ) = a
Så langt har vi også funne desse reglane:
f ( x ) = x 2 f ( x ) = 2 x
f ( x ) = x 3 f ( x ) = 3 x 2
f ( x ) = x 4 f ( x ) = 4 x 3
Kanskje har du også sett at det er eit mønster? Når r , kan det sjå ut som at
f ( x ) = x r f ( x ) = rxr 1
Dette skriv vi også slik: xrx rr 1 ()′ =⋅
Kva om vi vil derivere g gitt ved gxx ()4 2?
Samanlikna med fxx () 2 blir alle funksjonsverdiane 4 gonger så store. Då blir også vekstfarten i eit intervall 4 gonger så stor. Altså er det rimeleg å anta at gxxx ()428 ′ =⋅=
Dersom k er konstant, har vi generelt at når g(x) = kf(x) for ein funksjon f, så er ′ =⋅ ′ gxkfx ()()
Dersom h(x) = f(x) + g(x), så vil stigningstalet til h vere lik summen av stigningstala til f og g, altså at ′ = ′ + ′ hxfxgx ()()()
I R1 skal vi bevise derivasjonsreglane. Her slår vi dei berre fast:
La kr , og f og g vere funksjonar av x Då er axba() + + ′′ = xrx rr 1 ( () ) ′′ = =⋅⋅
kfxkfx ()() ( () ) ′′ = =⋅⋅ ′′
fxgxfxgx ()()()() ( () ) + + ′′ = ′′ + ′′
SNAKK
Forklar med dine eigne ord kva derivasjonsreglane ovanfor seier.
Forklar at den siste regelen også gjeld for differansar, slik at ()′ = ′ ′ fxgxfxgx ()()()()
DØME 5
Funksjonen f er gitt ved
fxxxx ()453 32
a Finn fx()
b Bestem stigningstalet til tangenten til grafen når x = 2.
a Vi deriverer ledd for ledd og får
b Stigningstalet til tangenten når x = 2 er ′ f (2)
−=−+ =− f (2)3(2)8(2)5 9 2
Altså er stigningstalet 9.
Med CAS:
SNAKK
5.29
Deriver funksjonen.
a fxx () 5 b gxx () 6
c hxx () 100 d ix()6
5.30
Deriver funksjonen utan digitalt verktøy. Kontroller med CAS.
a =+− fxxxx ()584 32
b =−+gxxx () 1 3 1 2 8 32
5.31
Funksjonen f er gitt ved =− fxxx ()4 2
a Finn stigningstalet til tangenten i punktet (3,3) på grafen til f
b Finn likninga til tangenten i det same punktet.
5.32
Funksjonen f er gitt ved =+−+fxxxx () 1 3 34 32
a Bestem ′ f (2) og gi ei tolking av svaret.
b Løys likninga ′ =− fx()3
Kva fortel svaret?
c Løys likninga ′ = fx()0
Kva fortel svaret?
5.33
Funksjonen f er gitt ved =−++fxxxx ()442 32
For kva verdiar av x er stigningstalet til tangenten til grafen lik
a 0
b 1 c 4
Ein tredjegradsfunksjon er gitt, og du får vite at ′ = fa()0
Kva kan du vite om punktet () afa,() på grafen til f?
Kva meir må du vite for å kunne avgjere meir nøyaktig kva slags punkt det er?
Nedanfor har vi teikna grafen til ein funksjon f og markert dei stasjonære punkta A, B og C på grafen
Grafen til ein funksjon f har eit stasjonært punkt når fx()0′′ = =
På nedsida av grafen har vi teikna forteiknslinja for f(x) og for den deriverte fx() Vi har også markert om ein tangent i ulike intervall er stigande eller fallande.
Sjå forteiknslinja for fx() og grafen til f. x der grafen stig, er ′ > fx()0 x der grafen fell, er ′ < fx()0 ()Aafa,() er eit botnpunkt på grafen til f
Då er ′ = fa()0, og den deriverte skiftar forteikn frå negativ til positiv når x = a ()Ccfc,() er eit toppunkt på grafen til f
Då er ′ = fc()0 , og den deriverte skiftar forteikn frå positiv til negativ når x = c
()Bbfb,() er eit terrassepunkt på grafen til f
Då er ′ = fb()0, men den deriverte skiftar ikkje forteikn når x = b a og c er x-verdiane til botn- og toppunkta.
Merk!
Når vi i GeoGebra finn topp- og botnpunkt på grafen til ein funksjon med kommandoen Ekstremalpunkt(), er det førstekoordinatane til desse punkta som er ekstremalpunkta til funksjonen.
Legg merke til at vi bruker ordet punkt både om eit punkt på grafen til ein funksjon, og når vi berre er interesserte i ein x-koordinat.
Då
Figurane ovanfor viser grafane til to funksjonar. Kva for ein av dei to funksjonane har ein derivert som har forteiknslinja nedanfor? Grunngi svaret.
Teikn forteiknslinja for den deriverte. a
Figuren viser grafen til ein funksjon f
a Teikn forteiknslinja for fx() ved å bruke grafen.
b Bestem funksjonsuttrykket f(x).
c Bestem funksjonsuttrykket fx().
d Korleis stemmer forteiknslinja du teikna i oppgåve a, med funksjonsuttrykket du fann i oppgåve c?
5.37 For ein funksjon f kjenner vi forteiknet til fx() og fx()
Skisser grafar for f og f som passar til dette.
5.38 (Eksamen 1T våren 2023)
(–3,12 , 0)(1 , 0)(5,12 , 0)
2468 –4–2
Ovanfor ser du grafen til den deriverte av ein funksjon f. Nullpunkta til f er x = 4, x = 2, x = 4 og x = 6.
Lag ei skisse som viser korleis grafen til f kan sjå ut. Hugs å argumentere for kvifor du meiner skissa er rett.
DØME 6
Funksjonen f er gitt ved =−+−fxxx ()31 32
Bestem koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f
I topp- og botnpunkt er tangenten til grafen vassrett. Vi finn for kva x-verdiar ′ = fx()0 og teiknar forteiknslinje for ′ fx() for å avgjere om grafen har topp-, botn- eller terrassepunkt for desse verdiane.
Vi lagar forteiknslinja med testmetoden
Forteiknet til den deriverte fortel oss at grafen har eit botnpunkt for x = 0 og eit toppunkt for x = 2.
Botnpunkt: () =− f 0,(0)(0,1)
Toppunkt: () = f 2,(2)(2,3)
Når vi skal finne funksjonsverdiane til eit topp- eller botnpunktet, må vi setje inn x -verdien i f ( x ), ikkje i fx()
5.39
Bestem koordinatane til eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til f a =+− fxxxx () 3 2 6 32 b =− fxxx ()3843
5.40
Av ei kvadratisk plate med side 6 dm skal Eli lage ei eske utan lokk ved å klippe bort eit kvadrat i kvart hjørne og brette opp kantane.
Høgda på boksen er x dm.
a Finn eit uttrykk for volumet V(x) i dm3 av eska.
b Kva må høgda av eska vere for at ho skal få størst mogleg volum?
Kva er det største mogelege volumet?
DØME 7
Grafen til ein tredjegradsfunksjon f har 1 , 16)
() f 1,(1) med stigningstal 12.
a Bestem fx() b Bestem f(x).
a Når f er ein tredjegradsfunksjon med ekstremalpunkta 1 og 3, må f vere ein andregradsfunksjon med nullpunkta 1 og 3.
Då kan vi skrive ′ =+−fxaxx()(1)(3)
Tangenten i () f 1,(1) med stigningstal 12 fortel oss at ′ = f (1)12
Då har vi
−= =− a a a (11)(13)12 412 3
Altså er ′ =−+−
fxxx xx ()3(1)(3) 369 2
b Ein generell tredjegradsfunksjon har fire koeffisientar. Då treng vi fire likningar.
Når grafen har botnpunkt ( 1 , 16), må f( 1) = 16 og ′ −= f (1)0.
Når grafen har toppunkt (3 , 16), må f(3) = 16 og ′ = f (3)0
Til saman har vi altså fire likningar.
(Alternativt kunne vi erstatta ei av dei med ′ = f (1)12.)
Vi bruker CAS til å løyse likningssystemet og finne koeffisientane a, b, c og d
Funksjonsuttrykket er =−++−fxxxx ()3911 32
5.41 (Eksamen 1T hausten 2022)
Om grafen til ein andregradsfunksjon f får du vite at 2 , 0) har likninga y = 9x + 18 10) har likninga y = 11x + 78
Bestem fx()
5.42 (Dømeeksamen 1T hausten 2021)
Figuren til høgre viser grafen til ein tredjegradsfunksjon f.
Figuren viser også tangentane til grafen i tre ulike punkt.
Bruk tangentane til å finne funksjonsuttrykket til den deriverte funksjonen f
5.43 (Eksamen 1T våren 2022)
Grafen til ein andregradsfunksjon f har
() f 1,(1) med stigningstal 0
() f 4,(4) med stigningstal 6
a Bestem fx()
Grafen til f skjer y-aksen i punktet (0 , 4).
b Bestem fx()
5.44
Grafen til ein tredjegradsfunksjon f har
() f 2,(2)
() f 6,(6)
a Bestem fx()
b Bestem f(x).
() f 3,(3) med likninga =−yx954
RAUDE OPPGÅVER
5.45
Finn fx() og f (3) når funksjonen f er gitt ved
a =+fxx()37 b =−+fxx()22 2 c =+ fxxx ()3 3 d fx()4
5.46
Ved produksjon og sal av x einingar av ei vare er overskotet i kroner gitt ved
O(x) = 0,3x2 + 210x 30 000 , x ≥ 0
a Bestem O(200) og O (200). Kva fortel svara?
b Løys likninga ′ = Ox()0. Kva fortel svaret?
5.47
Skisser grafen til f i eit koordinatsystem utan tal på y-aksen når grafen til f ser ut som på figurane nedanfor.
Skisser grafen til ein funksjon f som stemmer med forteiknslinja til fx()
5.49
Figuren viser grafen til ein funksjon g, med innteikna tangent i punktet (3 , 3).
Bruk figuren til å
a teikne forteiknslinje for g(x) og gx()
b finne g (3)
c løyse likninga ′ = gx()0
BLÅ OPPGÅVER
5.50
Figuren til høgre viser grafen til f Skisser grafen til ein funksjon f som passar til grafen på figuren, når du i tillegg får vite at f(0) = 4.
5.51
Ta utgangspunkt i forteiknslinjene for fx() og fx(), og skisser korleis grafen til f kan sjå ut.
5.52
Funksjonen g er gitt ved =+−gxxx () 1 3 4 10 3 3
Grafen til g har to tangentar med stigningstal 5. Bestem likningane til desse tangentane.
5.53 (Dømeeksamen 1T hausten 2021)
Ein funksjon f er gitt ved
=−−fxxx ()1 3
Grafen til f har to tangentar som er parallelle med linja =+yx 1 2 2
a Bestem ein eksakt verdi for nullpunktet til kvar av desse tangentane. b Teikn ei forteiknslinje for f og ei forteiknslinje for f
5.54 (Eksamen 1T hausten 2023)
Ein tredjegradsfunksjon f er gitt ved
=++−fxaxbxcx ()64 32
Punktet (8,0) er toppunkt på grafen til f Den gjennomsnittlege vekstfarten til f i intervallet [0 , 5] er 64 5 . Bestem a, b og c.
BLANDA OPPGÅVER
5.115 (Eksamen 1T hausten 2021)
Ein nettbutikk vil starte sal av ein ny type ski 1. november 2022. Gå ut frå at funksjonen S gitt ved =−+≤≤ Sxxxxx ()0,7559,51200,052 32
kan nyttast som ein modell for kor mange par ski S(x) butikken vil kunne selje per veke x veker etter salsstart.
a Kor mange veker vil butikken kunne selje meir enn 5000 par ski ut frå modellen?
b Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta () S 0,(0) og () S 12,(12) Gi ei praktisk tolking av svaret.
5.116 (Eksamen 1T våren 2012)
Funksjonen f gitt ved =−++ fxxx ()0,052,600,50 2
viser samanhengen mellom alder og vekt for ein type griser.
Her er f(x) vekta til ein gris målt i kilogram når grisen er x månader gammal.
a Kor mykje veg ein gris ved fødselen?
b Kva er alderen til ein gris når vekta passerer 20 kg?
Kor mykje aukar vekta i gjennomsnitt per månad fram til då?
c Kor fort aukar vekta til ein gris når grisen er nøyaktig 12 månader gammal?
Ein gris skal slaktast når vekta aukar med mindre enn 0,5 kg per månad.
d Kor gammal er ein gris når han skal slaktast?
5.117 (Eksamen 1T våren 2024)
Tabellen nedanfor viser kor mange bagettar ei kantine har selt kvar av dei siste sju vekene, og kor stort overskot salet har gitt.
Selde bagettar 100130160175190220235
Overskot (kroner) 1450230030503365372041404175
a Bruk opplysningane ovanfor til å vise at funksjonen O gitt ved
=−+− Oxxx ()0,0951,042776,98 2
er ein god modell for kor stort overskotet ei veke blir når kantina produserer og sel x bagettar i løpet av veka.
b Kor mange bagettar må kantina produsere og selje i løpet av ei veke ut frå modellen O for at overskotet skal bli størst mogleg? Kor stort blir dette overskotet?
c Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta () O 100,(100) og () O 200,(200) Gi ei praktisk tolking av svaret du får.
5.118 (Eksamen 1T våren 2022)
Ein fabrikk har ein vasstank. Vatnet i tanken skal tappast ut. Gå ut frå at funksjonen V gitt ved
kan nyttast som ein modell for kor mange liter vatn V(x) som er tappa ut av tanken x minutt etter at tappinga starta.
a Bestem V(0). Gi ei praktisk tolking av svaret.
b Bestem verdimengda til V
c Kor lang tid vil det ta før halvparten av vatnet er tappa ut av tanken?
d Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta () V 0,(0) og () V 30,(30)
Gi ei praktisk tolking av svaret.
e Undersøk om det nokon gong vil bli tappa ut meir enn 105 liter vatn i løpet av eitt minutt.
5.119
Figuren viser grafen til funksjonen f.
a Kva er f (1), f (3,5) og f (5) ?
b Bruk figuren til å finne f (6)
c Bruk figuren til å løyse likningane 1 fx()1 2 ′ = fx()1
5.120 (Eksamen 1T hausten 2023)
Funksjonen f er gitt ved
fxxxx ()34 32
Bestem likninga til tangenten til grafen til f i punktet () f 1,(1) .
5.121
Skisser ein graf som passar til forteiknslinjene.
5.122
Er det mogleg å skissere ein graf som passar til forteiknslinjene?
Grunngi svaret.
5.123
Skisser grafen til f i eit koordinatsystem utan tal på y-aksen når grafen til f ser ut som på figuren nedanfor. a b c
5.124
Figuren til høgre viser grafen til funksjonen f.
a Teikn ei forteiknslinje for fx(). b Skisser grafen til f
5.125
Funksjonen f er gitt ved
Grafen til f har ein tangent med stigningstal 5.
Bestem likninga til denne tangenten.
5.126
Funksjonen f er gitt ved =+fxx()31 2
Grafen til f har ein tangent med likning =−yx1211
Bestem koordinatane til tangeringspunktet.
5.127 (Eksamen 1T våren 2024)
Den rette linja som er teikna i koordinatsystemet til høgre, er den deriverte av ein funksjon f
Punktet P(1 , 2) ligg på grafen til f.
Bestem likninga til tangenten til grafen til f i punktet P
Hugs å argumentere for at svaret ditt er rett.
5.128
Om funksjonen f får du vite at
=+fa(3)3
′ = fa (3)
a Finn likninga til tangenten til f i punktet x = 3.
b Tangenten skjer x-aksen i x = 5. Finn a.
5.129
Funksjonen g er gitt ved
=−+gxxx ()341 2
Ein tangent til grafen har stigningstal 2. Finn likninga til tangenten.
5.130 (Dømeeksamen 1T våren 2021)
Figuren til høgre viser grafen til ein funksjon f. Nullpunkta til f er 4, 0 og 4, og botnpunkta har koordinatane 22,64 () og 22,64 ()
Teikn ei forteiknslinje for f og ei forteiknslinje for f
5.131 (Eksamen 1T våren 2022)
Funksjonen f er gitt ved
=−⋅++⋅ fxxbxbx ()2(3) 322 , der b
a Vis at f berre har eitt nullpunkt uavhengig av verdien av b b Løys likninga ′ = fx()0
For kva verdiar av b har grafen til b berre eitt stasjonært punkt?
Dersom b 0, har grafen til f to tangentar med stigningstal 3. c Bestem likningane for desse tangentane.
5.132 (Eksamen 1T hausten 2021)
Til høgre ser du grafen til ein tredjegradsfunksjon f
Grafen har botnpunkt ( 2 , 11) og toppunkt (4 , 25).
Likninga til tangenten til grafen i punktet (1 , 7) er y = 9x 2.
Skisser grafen til den deriverte funksjonen f
5.133
Til høgre ser du grafane til polynomfunksjonane f og g
a Bestem f (0) og f (0)
b Løys likninga fxgx ()()
c Teikn forteiknslinje for gx() og for gx()
d Forklar ut frå grafen til g kvifor ′ < ′ gg(1)(2)
5.134
Figuren nedanfor til venstre viser grafane til førstegradsfunksjonen t og andregradsfunksjonane f, g og h
Figuren nedanfor til høgre viser grafane til tredjegradsfunksjonane p, q, r og s, som er gitt ved =⋅ pxtxfx ()()() =⋅ qxtxgx ()()() =⋅ rxtxhx ()()() =⋅ sxtxkx ()()()
a Kva for ein graf (A, B, C eller D) høyrer til kvar av funksjonane p, q og r? Grunngi svaret.
b Lag ei skisse av andregradsfunksjonen k som gjer at den fjerde grafen passar til funksjonen s
5.135 (Eksamen 1T hausten 2017)
Om ein lineær funksjon f får du vite at f (2)4
′ = f (2)3
Bestem funksjonsuttrykket fx()
5.136
Funksjonen g er gitt ved =−+ gxxxk () 3 , der k ∈ R
Bestem k slik at linja y = 11x 14 er ein tangent til grafen til g
5.137
Funksjonen f er gitt ved
=++−fxxbxcx () 1 3 3 42 , der b og c er konstantar
Grafen til f har eit botnpunkt i () f 1,(1) og ein tangent med stigningstalet 3 i () f 2,(2)
Bestem dei eksakte verdiane av b og c
5.138
Funksjonen f er gitt ved
=−+ fxxbxx () 32
a Undersøk korleis talet på nullpunkt for f er avhengig av b
Avhengig av b har grafen til f anten éin eller to tangentar med stigningstal 1. b For kva verdi av b har grafen berre éin tangent med stigningstal 1?
5.139 (Eksamen 1T våren 2019)
Du får vite dette om fire funksjonar p, q, r og s:
′ = p (0)0 og ′ −< p (1)0
′ =− q (1)2 og ′ =− q (2)2
Den gjennomsnittlege vekstfarten til r i intervallet [2,0] er 3.
Tangentane til grafen til s i punkta () s 2,(2) og () s 2,(2) har likningane =−−yx816 og =−+yx816.
Nedanfor ser du seks grafar. Kva for ein graf er grafen til p, grafen til q, grafen til r og grafen til s?
Hugs å grunngi svara dine.
5.140 (Eksamen 1T hausten 2023)
Ei gruppe statistikarar har sett på korleis folketalet i eit område har endra seg sidan 1960, og laga ein modell gitt ved
Fxxxxx () 1
1000 0,0275,82207900 , 32 () =⋅ −++ ∈ [0 , 80]
for folketalet F(x) tusen innbyggjarar i området x år etter 1960.
a Vis korleis du på to ulike måtar kan bestemme når folketalet var høgast ut frå modellen.
b Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta () F 30,(30) og () F 70,(70) Gi ei praktisk tolking av dette stigningstalet.
c Når vil folketalet minke raskast ifølgje modellen?
5.141 (Eksamen 1T våren 2023)
Dei siste åra har Lars budd på Svalbard frå 1. februar til 1. oktober. Kvart år har han målt temperaturen utanfor huset sitt på ulike tidspunkt nokre dagar kvar veke.
er ein rimeleg bra modell for gjennomsnittstemperaturen Tx() °C kvart døgn dei månadene han bur på Svalbard, når han lèt x = 2 svare til 1. februar, x = 3 til 1. mars, x = 4 til 1. april og så vidare.
a Om lag kor mange døgn i perioden 1. februar−1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over 0 °C ut frå modellen?
b Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta ( ) T 3,(3) og () T 7,(7) Gi ei praktisk tolking av dette stigningstalet.
c Gjer greie for nullpunkt og ekstremalpunkt til den deriverte funksjonen T . Gjer greie for kva koordinatane til kvart av punkta fortel om gjennomsnittstemperaturen utanfor huset til Lars.
5.142
Ta for deg funksjonen f gitt ved = + fxx x () 24 1
a Ligg punkta ( 1 , 1) og (3 , 5) på grafen til f? Grunngi svaret.
b Bestem likninga til den loddrette asymptoten til grafen til f. Kva er Df?
c Bestem likninga til den vassrette asymptoten til grafen til f. Kva er Vf?
5.143
Finn likninga til asymptotane til funksjonen.
a = + + fxx x () 52 21 2 b = ++kxxx xx () 2711 45 2 2
5.144
Ta for deg funksjonen = fxxx x () 2 1 2
a Finn nullpunkta til funksjonen.
b Finn skjeringspunktet mellom grafen til funksjonen og andreaksen.
c Finn den loddrette asymptoten.
d Bruk polynomdivisjon til å vise at f har ein skrå asymptote.
e Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [2 , 3]
5.145
Ta for deg funksjonen gitt ved = + fxx x () 3 1 2 2
a Forklar at fx()0 for alle verdiar av x.
b Løys likninga fx()0
c Vis at −= fxfx ()() . Kva fortel det om grafen til f?
d Finn eventuelle asymptotar.
e Finn botnpunktet på grafen til f
f Skisser grafen til f
5.146 (Eksamen 1T hausten 2023)
Nedanfor ser du grafen til funksjonen f gitt ved = + fx x () 8 20 2
Rektangelet under grafen har hjørne i punkta (0 , 0), (5 , 0), () f 5,(5) og f 0,(5) ()
a Bestem arealet av rektangelet.
b Lag ei systematisk oversikt som viser arealet av rektangla som har hjørne i punkta (0 , 0), (n , 0), () nfn,() og () fn 0,() for n {1,2,3,...,10} .
c Bestem k slik at arealet av rektangelet som har hjørne i punkta (0 , 0), (k , 0), kfk,() () og () fk 0,() , blir størst mogleg.
5.147 (Eksamen 1T hausten 2021)
Skissa til høgre viser grafen til funksjonen f gitt ved fx x () 1 og tangenten til grafen i punktet sfs,() ()
a Vis at likninga til tangenten er =−⋅+ y s x s 12 2
Tangenten skjer koordinataksane i punkta A og B
b Bestem koordinatane til A og B uttrykt ved s
c Bestem arealet av OAB
5.148 (Eksamen 1T hausten 2013)
Ei kjegle er innskriven i ei kule. Kula har sentrum i S og radius R = 3. Grunnflata i kjegla har radius r
Høgda i kjegla er h = 3 + y, der y er avstanden frå S til grunnflata i kjegla. Sjå skissa til høgre.
Sett r = 2.
a Kor høg er kjegla?
b Bestem volumet av kjegla.
Set no r = x.
c Vis at volumet av kjegla då er gitt ved fxx () 1 3 2 =π⋅⋅ x 39 2 () +−
5.149
Beløpet på ein sparekonto auka frå 2000 kr til 2295 kr på fire år. Kva var renta i prosent per år?
5.150
d Kor stor må radiusen og høgda i den innskrivne kjegla vere for at volumet av kjegla skal bli størst mogleg? Kor stort blir volumet?
a Finn f(0) og ff(1)(0) når f er ein lineær funksjon gitt ved =+ fxaxb () Kommenter.
b Finn g(0) og g g (1) (0) når g er ein eksponentialfunksjon gitt ved =⋅ gxab () x Kommenter.
5.151 (Eksamen 1T hausten 2021)
Ein dyrebestand består i dag av 500 dyr. Ein forskar går ut frå at bestanden vil doble seg dei ti neste åra.
a Set opp ein modell L(x) som viser kor mange dyr det vil vere i bestanden om x år, dersom vi reknar med at bestanden aukar lineært.
b Set opp ein modell E(x) som viser kor mange dyr det vil vere i bestanden om x år, dersom vi reknar med at bestanden aukar eksponentielt.
c Teikn grafen til funksjonen gitt ved
F(x) = L(x) − E(x) , x [0,13]
d Bestem toppunktet på grafen til F og skjeringspunkta mellom grafen til F og kvar av dei rette linjene x = 12 og y = 12. Gi ei praktisk tolking av svara du får.
5.152
Lufttrykket minkar med høgda over havet. Vi måler trykket i hektopascal (hPa).
Normalt lufttrykk ved havoverflata er 1013 hPa.
Lufttrykket minkar med 12 % per 1000 meter over havet.
a Kva er normalt lufttrykk 1000 meter over havet?
Funksjonen f er gitt ved fx()10130,88 x =⋅
b Forklar at f er ein matematisk modell for lufttrykket når x er høgda over havet målt i kilometer.
c Bruk grafen til å finne normalt lufttrykk på toppen av Galdhøpiggen, 2469 meter over havet, og Mount Everest, 8849 meter over havet (ut frå dei siste målingane).
d På ein fjelltur har du med deg eit barometer som viser at lufttrykket på staden er 800 hPa. Kor høgt over havet er du då? Kvifor kan du ikkje vere sikker på at denne høgda er heilt korrekt?
5.153 (Eksamen 1T hausten 2024)
Funksjonen P gitt ved
P(x) = 3600 0,85x + 600
er ein modell som viser kor mange personar som abonnerte på papirutgåva av ei avis x år etter 2010.
a Vis korleis du på to ulike måtar kan finne ut kor mange personar som abonnerte på papirutgåva i 2010.
b Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta () P 4,(4) og () P 14,(14) . Gi ei praktisk tolking av svaret du får.
c Bestem den momentane vekstfarten når x = 10. Gi ei praktisk tolking av svaret du får.
I 2019 abonnerte 1000 personar på den digitale utgåva av avisa. Talet på personar som abonnerte på den digitale utgåva, auka med 5,5 % kvart år frå 2019 til 2024.
d Kva for eit år var det for første gong fleire personar som abonnerte på den digitale utgåva av avisa enn på papirutgåva?
5.154
For å vise tilnærma utviklinga av talet på selde elbilar i Noreg i åra 2003−2013 bruker vi ein funksjon S som har to ulike uttrykk som gjeld i kvar sin del av definisjonsmengda [0 , 10]
S(x) er talet på selde elbilar x år etter 2003, slik at x = 0 svarer til 2003.
a Finn kor mange selde elbilar det var i 2007 og i 2012.
b Finn gjennomsnittleg vekstfart i intervalla [0 , 7] og [8 , 10] Kva fortel svara?
c Vurder om modellen eignar seg for å seie noko om talet på selde elbilar i dag.
5.155
Ein eksponentialfunksjon f er gitt ved =⋅ fxab () x
Grafen til funksjonen går gjennom punkta (1 , 10) og (3 , 250).
Bestem funksjonsuttrykket.
5.156
Silje la ut ein video på TikTok. Den første veka var det 100 som såg videoen. For kvar veke dei neste vekene var det 15 % fleire som såg videoen enn veka før.
Lag eit program som finn kor mange som såg videoen den tjuande veka.
Utvid programmet slik at det også finn det totale talet på personar som hadde sett videoen etter tjue veker.
5.157 (Eksamen 1T hausten 2023)
I denne oppgåva skal du arbeide med linjestykke som blir sette saman til ein figur.
Skissa nedanfor viser dei 16 første linjestykka på figuren. Lengda av eit linjestykke er alltid 90 % av lengda av det førre linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.
90 cm
100 cm
a Bestem summen av lengdene av dei 8 første linjestykka på figuren.
b Lag eit program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykka dersom det er mange linjestykke på figuren. Kor mange linjestykke må vi ha med på figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
c Kor mange prosent aukar summen av lengdene dersom vi aukar talet på linjestykke på figuren frå 50 til 100?
5.158 (Eksamen 1T våren 2024)
Lufttrykk blir ofte målt i hektopascal (hPa). Jo høgare over havet vi er, desto lågare er lufttrykket.
Lufttrykket ved havoverflata er om lag 1000 hPa.
Når lufttrykket er lågare enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vatn vere lågare enn 100 °C.
Sjå tabellen nedanfor.
Lufttrykk (hPa)Kokepunkt for vatn (°C)
a Bestem ein modell K på forma =⋅ Kxax () b
som tilnærma viser samanhengen mellom lufttrykket x hPa og kokepunktet K(x) °C.
Ari: Vil dette seie at det ikkje går an å få egg hardkokte oppe på eit høgt fjell?
Eit egg blir ikkje hardkokt dersom temperaturen i vatnet er lågare enn 85 °C.
Lisa: Det kjem vel an på kor høgt fjellet er?
Ari: Eg vil lage ein modell som viser kor høgt lufttrykket er x kilometer over havoverflata.
Eg har lært at lufttrykket minkar med om lag 12 % per km.
Lisa: Eg har lært at lufttrykket blir halvert for kvar 5,5 km.
Eg vil ta utgangspunkt i dette og lage ein modell på same form som den du lagar, Ari.
b Lag modellane for Ari og Lisa.
c Om lag kor høgt over havet er det mogleg å få egg hardkokte?
5.159 (Eksamen 1T hausten 2022)
Figuren til venstre viser ein pendel. Tida pendelen bruker på å svinge frå posisjon A til posisjon B og tilbake til posisjon A att, kallar vi svingetida. Klasse 1STA har utført eit forsøk i naturfag. Elevane har målt svingetida til pendlar med ulike snorlengder.
Tabellen nedanfor viser svingetida til pendlar med åtte ulike snorlengder.
a Bruk tala i tabellen, og lag ein modell på forma =⋅ Sxax () b
som viser svingetida S(x) sekund til ein pendel med snorlengde x meter.
Formelen T L g 2π =
kan vi bruke til å rekne ut svingetida T til ein pendel når vi ser bort frå friksjon og luftmotstand.
L er snorlengda gitt i meter, og g er akselerasjonen til tyngda. På jorda er g = 9,81 m/s2
b Vis at vi kan forenkle denne formelen til TL 2 .
c Samanlikn modellen du fann i oppgåve a, med formelen for T
Snor
5.160 (Eksamen 1T våren 2025)
Isabel er industridesignar. Ho arbeider med eit design på boksar med form som sylindrar.
Formelen for å rekne ut volumet av ein boks med radius r og høgde h er:
=π⋅⋅ Vrh 2
Formelen for å rekne ut arealet av overflata av boksen er:
=π⋅+⋅π⋅⋅ Orrh 2 2
Isabel lurer på kor stor radius ho bør velje, og kor høge boksane må vere når kvar boks skal ha V på 450 cm3 O
Isabel ser at når ho kjenner volumet og radiusen, kan ho rekne ut høgda ved å bruke formelen =π⋅⋅ Vrh 2 .
a Lag ei oversikt som vist nedanfor. Gjer berekningar og fyll inn verdiane som manglar.
Radius, r (cm)Høgde, h (cm)Overflate, O (cm2)Volum, V (cm3)
Isabel ønskjer å lage ein modell som viser overflata av ulike boksar ho kan lage ved å endre radius.
b Set opp eit funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag ei grafisk framstilling som viser samanhengen mellom radius og overflate.
c Kor stor må radiusen i boksane vere for at overflata skal bli minst mogleg? Kor stor blir overflata då?
SAMANDRAG
Gjennomsnittleg vekstfart
f (x2)
f (x1)
Momentant vekstfart. Den deriverte
(x)
(x1)
f ( x ) x = fx 2 () fx1 () x 2 x1
′ = fxa () 1 Momentan vekstfart til f i x = x1 er stigningstalet for tangenten i () xfx11,() x1 x2 x f (x) x2 –x1 f (x2) –f (x1)
Rasjonale funksjonar
fxpx qx () () () , der p og q er polynomfunksjonar.
Dersom verken p eller q er av høgare grad enn 1, kan vi skrive funksjonen på forma = + fxa xr c ()
x = r er ein loddrett (vertikal) asymptote. y = c er ein vassrett (horisontal) asymptote.
Potensfunksjonar
asymptote Loddrett asymptote
Eksponentialfunksjonar
=⋅ fxax () b , der a 0, b 0 =⋅ fxab () x , der a 0 og b 0
Viss b 0 , er D 0, f [ =→ a er funksjonsverdien når x = 0. Viss b 0, er D 0, f =→ b er vekstfaktoren.
Df
)
< 1
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx () 1 2 46 2
a Finn gjennomsnittleg vekstfart for f i intervallet [2 , 8]
b Bestem f(5) og f (5)
Oppgåve 2
Figuren viser grafen til tredjegradsfunksjonen f
Oppgåve 4
Anita har med seg ein termos med kaffi på jobben. Ein modell for temperaturen i termosflaska er =⋅+ ft()600,920 t
Her står ft() for temperaturen i °C ved tida t timar etter at kaffien blei fylt på termosen.
a Kva var temperaturen i kaffien då han blei helt på termosen?
b Kor lang tid vil det ta før temperaturen i kaffien er under 50 °C?
c Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta f 3,(3) () og () f 6,(6) Gi ei praktisk tolking av svaret.
d Bestem den momentane vekstfarten når x = 10. Gi ei praktisk tolking av svaret.
e Gi ei praktisk tolking av talet 20 i modellen.
Oppgåve 5
a Løys likninga ′ = fx()0
b Teikn forteiknslinja for fx()
Tangenten til grafen i f 2,(2) () har stigningstal 3 2
c Finn funksjonsuttrykket fx()
Oppgåve 3
Figuren viser grafen til ein funksjon g.
Kva ser ut til å vere funksjonsuttrykket g(x)?
Argumenter
Tuppen og Veslemor lagar fem kuleforma snøballar i ulik storleik. Dei måler først diameteren med ein linjal og bestemmer deretter volumet av dei i eit litermål.
a Hjelp Tuppen og Veslemor med å lage ein modell d på forma
=⋅ dVaV () b
som tilnærma viser samanhengen mellom volumet V mL og diameteren d(V) cm.
Radiusen r i ei kule med volum V er gitt ved formelen
r V 3 4 3 = ⋅ ⋅π
b Gjer nødvendige berekningar, og vurder samsvaret mellom denne formelen og modellen i oppgåve a.
Trigonometri 6
6A Trigonometriske forhold 339
6B Generelle definisjonar 356
6C Arealsetninga 362
6D Sinussetninga 368
6E Cosinussetninga 374
Ordet trigonometri tyder trekantmåling og dreier seg om samanhengar mellom vinklar og sider i ein trekant.
Struves meridianboge består av mange målepunkt og går gjennom 10 land. Den 282 mil lange bogen startar i Hammerfest og endar opp ved Svartehavet i Ukraina.
Astronomen Friedrich Georg Wilhelm Struve leidde frå 1816 til 1855 arbeidet med meridianbogen. Formålet var å bestemme storleik og form på planeten vår så nøyaktig som mogleg.
Med utgangspunkt i kjende punkt, vinkelmålingar og observasjonar mot stjerner bestemte han plasseringa av nye punkt. Dette er grunnlaget for moderne kart- og oppmålingsarbeid, som i dag blir gjort med GPS.
Struves arbeid er eit døme på praktisk bruk av trigonometri.
Nokre spesielle mangekantar
Rettvinkla trekant
Trekant der éin vinkel er 90°.
Likesida trekant
Trekant der alle sidene er like lange og alle vinklane er 60°.
Halvt likesida trekant
Trekant der vinklane er 30°, 60° og 90°. I slike trekantar er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.
Likebeint trekant
Trekant der to sider er like lange og to vinklar er like store.
Kvadrat
Firkant der alle sidene er like lange og alle vinklane er 90°.
Rektangel
Firkant der to og to sider er like lange og alle vinklane er 90°.
SNAKK
Vinklar og lengder i mangekantar
Nedanfor ser du ein figur av trekanten ABC, ABC
Vinkelen i hjørnet A kan vi skrive som
Linjestykket BC er motståande side til vinkel A og har lengda a
Vi skriv BC = a.
Vidare er AC motståande side til vinkel B
og har lengda b
AB er motståande side til vinkel C og har lengda c
Vinkelsummen i ein trekant er 180°.
∠+∠+∠=° ABC 180
Vinkelsummen i ein firkant er 360°. ∠+∠+∠+∠=° ABCD 360
Pytagorassetninga
A = 90° a2 = b 2 + c 2
Kan ein trekant vere både rettvinkla og likesida?
Kan ein trekant vere både rettvinkla og likebeint?
Kva er summen av dei to andre vinklane i ein rettvinkla trekant?
Er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den kortaste kateten?
Trigonometriske forhold
Formlikskap
Biletet lengst til venstre er ei forstørring av biletet i midten, og biletet til høgre er spegelvendt.
Når vi forminskar, forstørrar, roterer, forskyver eller spegelvender ein figur, får vi ein formlik figur. I formlike figurar er tilsvarandevinklar like store. På bileta ovanfor har vi markert eit døme på tilsvarande vinklar.
SNAKK
Er alle likesida trekantar formlike?
Er alle rettvinkla trekantar formlike?
I trekantane nedanfor er ∠=∠AD , ∠=∠BE og ∠=∠CF
Trekantane ABC og DEF er formlike fordi vinklane er parvis like store. Det kan vi skrive slik: ABC DEF .
Sider som er markerte med same farge på figuren ovanfor, er tilsvarandesider Forholdet mellom lengdene av to tilsvarande sider er lik forholdet mellom to andre tilsvarande sider. Vi kan til dømes skrive
AB DE AC DF eller c f b e
DØME 1
Dersom vi multipliserer på begge sider med DE og dividerer på begge sider med AC, får vi
AB AC DE DF eller c b f e
Forholdet mellom lengdene av to sider i den eine av to formlike trekantar er lik forholdet mellom lengdene av dei to tilsvarande sidene i den andre trekanten.
Når vi kjenner forholdet mellom lengdene av to sider i ein trekant, kan vi bruke det til å finne lengda av ei ukjend side i ein annan trekant som er formlik.
Bestem lengda av EF
Vinklane er parvis like store, så trekantane ABC og DEF er formlike.
Forholdet mellom BC og AB er BC AB 4 5 0,8
Forholdet EF DE er derfor også lik 0,8. Det gir
8 0,8 6,4
Lengda av EF er 6,4.
6.1
a Grunngi at trekanten GHI er formlik med trekantane i døme 1.
b Bestem lengda av GH 38,7° 12 IG H
Motståande og hosliggjande katetar
Når vi jobbar med rettvinkla trekantar, er det nødvendig å skilje mellom dei to katetane, avhengig av kva for ein vinkel vi ser dei frå.
Hosliggjande katet til vinkel A Hypotenus Motståande katet til vinkel A
Sett frå vinkel A
AB er hosliggjande katet. BC er motståande katet.
6.2
Figuren viser ein rettvinkla trekant ABC.
Motståande katet til vinkel C Hypotenus Hosliggjande katet til vinkel C
Sett frå vinkel C
AB er motståande katet. BC er hosliggjande katet.
a Kor lang er hypotenusen?
b Kor lang er den hosliggjande kateten til vinkel A?
c Kor lang er den motståande kateten til vinkel B?
d Kva er forholdet mellom lengda av den motståande kateten og lengda av den hosliggjande kateten til vinkel A?
e Kva er forholdet mellom lengda av den hosliggjande kateten til vinkel B og lengda av hypotenusen?
f Vis at pytagorassetninga stemmer for ABC
Trekantane DEF og GHI er formlike med trekanten ABC
g Kva for vinklar i DEF og GHI er like store som B ?
h Bestem verdien av forholdet d e .
i Bestem verdien av forholdet g i
UTFORSK
Teikn ein rettvinkla trekant der ein av vinklane er 35°.
Mål lengda av sidene med ein linjal.
Ta utgangspunkt i vinkelen på 35°, og rekn ut forholdet mellom lengdene av Samanlikn resultata dine med andre sine resultat, eller teikn fleire større og mindre trekantar sjølv, og gjenta berekningane av forholda.
Kommenter og forklar.
Konstante forhold i rettvinkla trekantar
Hypotenus
v
Hosliggjande katet til v
Hypotenus
Motståande katet til v
Motståande katet til v
v
Hosliggjande katet til v
Forholdet mellom lengdene av motståande katet og hosliggjande katet til ein vinkel v i ein rettvinkla trekant er det same, uavhengig av storleiken på trekanten. Tilsvarande er forholdet mellom lengdene av motståande katet og hypotenus og forholdet mellom lengdene av hosliggjande katet og hypotenus også det same.
Kva om vi laga tabellar med desse tre forholda for heiltalige vinklar mellom 0° og 90°? Nedanfor ser du eit utdrag frå ein slik tabell der forholda er avrunda til 4 desimalar.
vinkel v i gradar motståandekatet hypotenus hosliggjande katet hypotenus motståandekatet hosliggjande katet
6.3
I ein rettvinkla trekant ABC er ∠=° A 42 og ∠=° B 90 Bruk tabellen ovanfor til å finne forholdet mellom
a AB og AC
b BC og AB
c BC og AC
6.4
I ein rettvinkla trekant DEF er ∠=° E 90 , DE = 10,0 cm og EF = 7,0 cm.
a Teikn trekanten.
b Bestem forholdet mellom EF og DE
c Bruk tabellen ovanfor til å bestemme ∠D Kontroller svaret med ei gradskive.
6.5
I ein rettvinkla trekant GHI er ∠=° G 31 , ∠ =° H 90 og GH = 10,0 cm.
Bruk mellom anna tabellen ovanfor til å bestemme lengda av HI
6.6
I ein rettvinkla trekant JKL er ∠J = 30° og ∠=° K 90
Grunngi at forholdet mellom KL og JL er eksakt lik 1 2
DØME 2
Sinus, cosinus og tangens
Forholda vi har sett på i rettvinkla trekantar, har eigne namn.
Forholdet mellom lengda av den motståande kateten til ein vinkel v og lengda av hypotenusen har fått namnet sinustilv. Vi skriv dette som sin v
På tilsvarande måte har forholdet mellom lengdene av den hosliggjande kateten og hypotenusen fått namnet cosinustilv. Vi skriv dette som cos v.
Vidare har forholdet mellom lengdene av den motståande og den hosliggjande kateten til vinkel v fått namnet tangenstilv. Vi skriv dette som tan v
Av tabellen på side 343 kan vi til dømes sjå at
sin 35° = 0,5736 cos 35° = 0,8192 tan 35° = 0,7002
Korleis stemmer dette med resultata dine i UTFORSK på side 342?
v v sin
motståandekatettil hypotenus
v v cos hosliggjande katettil hypotenus
Hypotenus
Motståande katet til v v Hosliggjande katet til v
v v v tan
motståandekatettil hosliggjande katettil
Før i tida var det vanleg å slå opp i tabellar for å finne sinus, cosinus og tangens til ein vinkel. No bruker vi vanlegvis digitale verktøy til å finne trigonometriske verdiar.
Finn tilnærma verdi med fire desimalar for sinus, cosinus og tangens til 38,7°.
Legg merke til parentesen rundt vinkelen. Hurtigtasten for gradteikn er Alt + o.
For nokre utvalde vinklar kan vi utleie eksakte trigonometriske verdiar.
DØME 3
Finn eksakt verdi for sinus, cosinus og tangens til 30°.
Dersom ein av vinklane i ein rettvinkla trekant er 30°, er den siste vinkelen 60°.
I ein slik 30°−60°−90°-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den kortaste kateten.
Vi vel å setje lengda av den kortaste kateten lik 1. Hypotenusen har då lengda 2. Sjå hjelpefiguren nedanfor.
Sjølv om vi vel ei lengde for den motståande kateten, gjeld resultata generelt. Det er fordi forholda er dei same for alle moglege val så lenge vinkelen er 30°.
Vi bruker definisjonen av sinus og får
°=sin30 1 2
motståandekatet hypotenus
For å komme vidare må vi rekne ut den hosliggjande kateten AB
Pytagorassetninga gir
= = AB AB AB 12 3 3 222 2
Vi bruker definisjonen av cosinus og får
°=cos30 3 2
hosliggjande katet hypotenus
Vi bruker definisjonen av tangens og får
°=tan30 1 3
Merk!
motståandekatet hosliggjande katet
CAS kan også gi oss eksakte verdiar.
Tilsynelatande får vi her eit anna svar enn i døme 3, men vi kan vise at dei to svara er like: == ⋅ = 1 3 3 3 3 3 33 1 3
6.7
Finn med digitalt verktøy ein tilnærma verdi med to desimalar for a sin 70°
b cos 70°
c tan 70°
6.8
Ta utgangspunkt i hjelpefiguren i døme 3 og finn eksakt verdi for a sin 60°
b cos 60°
c tan 60°
6.9
Ta utgangspunkt i figuren til høgre og finn eksakt verdi for a sin 45°
b cos 45°
c tan 45°
6.10 (Eksamen 1T hausten 2022)
Vi har trekanten til høgre.
Vis at u u u sin cos tan
6.11 (Eksamen 1T våren 2024)
Tom har arbeidd med trekanten til venstre
og påstår at ⋅=uv tantan1
a Vis at Tom har rett.
b Avgjer om påstanden stemmer for alle rettvinkla trekantar med to spisse vinklar u og v.
6.12 (Eksamen 1T våren 2022)
Om ein rettvinkla trekant ABC får du vite at ∠= B tan 3 4
∠= B sin 3 10 ?
Hugs å grunngi alle tre svara.
Frå forholdstal til vinkel
For kvar spiss vinkel v i ein rettvinkla trekant har vi sett at det finst ein bestemt verdi for forholda sin v, cos v og tan v
Omvendt gjeld at til kvar verdi av forholdet svarer det ein bestemt spiss vinkel v
Det å gå frå forholdstalet til vinkelen heiter arcus eller invers
I oppgåve 6.4c fann du ut at arcus tangens til 0,7 var 35°.
Av oversikta med eksakte verdiar ovanfor kan vi til dømes sjå at 1 2 er 60° 1 2 er 30°
Det varierer korleis kommandoar for dette ser ut i digitale verktøy. Arcus tangens blir til dømes gjerne forkorta arctan, eller berre atan.
Ein vanleg skrivemåte for invers tangens er tan.
DØME 4
Finn vinkelen v i ein rettvinkla trekant når cos v = 0,35.
I CAS kan vi skrive acosd(0.35) og klikke på
I «acosd» gjer d at vi får svaret i gradar (degree).
Alternativt kan vi skrive acos(0.35)/° og klikke på .
Vi skriv /° for å få svaret i gradar.
Ein tredje måte i CAS er å løyse ei likning.
Då kan vi få fleire løysingar. Sidan vi førebels berre er interesserte i vinklar mellom 0° og 90°, legg vi inn dette som eit vilkår.
Med Python kan vi gjere slik: 1 2 3 4 from numpy import arccos, degrees v = arccos(0.35) print(degrees(v))
Vi klikkar på
Vi skriv degrees(v) for å få svaret i gradar.
Når vi køyrer programmet, får vi utskrifta 69.51268488527734
I alle tilfelle har vi funne at vinkel v er 69,5°.
Merk!
I dei fleste digitale verktøy er radianar standard vinkelmål. Det er grunnen til at vi i dømet måtte gjere ulike grep for å få svaret i gradar. Vinkelmålet radianar er tema i Matematikk R2.
6.13
Finn vinkelen v i ein rettvinkla trekant når a v cos0,25 b v sin0,83 c v tan3,9
DØME 5
6.14
Finn vinkelen v i ein rettvinkla trekant når a v cos
Ukjende sider og vinklar i rettvinkla trekantar
Finn vinkel u.
Vi kjenner den motståande kateten til vinkel u og hypotenusen.
Då kan vi bruke definisjonen av sinus til å finne vinkel u.
motståendekatet hypotenus
Vinkel u er 53,1°.
DØME 6
Finn dei ukjende vinklane i trekanten ABC
Vi kjenner katetane i trekanten. Då kan vi bruke definisjonen av tangens til å finne til dømes vinkel A.
motståandekatet hosliggjande katet
Vinkel A er 32,0°.
Vi kan finne vinkel C på tilsvarande måte, men sidan vi no kjenner to av dei tre vinklane, er det enklast å bruke at vinkelsummen i ein trekant er 180°.
°−°−°=° 1809032,058,0
Vinkel C er 58,0°.
6.15 Finn vinkel x.
6.16
Finn dei ukjende vinklane i trekanten ABC 3 7 AB C
6.17
Finn vinkel v 1
DØME 7
På figuren er avstanden BC frå punktet B til dronen lik 50 m.
BC dannar vinkelen 22° med ei horisontal slette.
a Kor høgt over bakken er dronen?
b Kva er avstanden mellom punkta A og B?
a Høgda AC er motståande katet til vinkel B. Vidare kjenner vi hypotenusen. Derfor bruker vi definisjonen av sinus til å setje opp ei likning som AC må oppfylle.
Dronen er om lag 19 m over bakken.
Vi klikkar på .
b Avstanden mellom punkta A og B er hosliggjande katet til vinkel B Derfor bruker vi cosinus.
Avstanden mellom punkta A og B er om lag 46 m.
Merk!
Etter at vi har funne AC i første del av døme 7, kunne vi ha valt å finne AB med pytagorassetninga.
=−=−=ABBCAC22225018,7346,36
I så fall er det god praksis å ta med nokre fleire desimalar i AC enn det var i det avrunda svaret på oppgåve a.
DØME 8
Finn lengda av sida AB når B tan 1 4
Definisjonen av tangens gir
Lengda av sida AB er 32.
6.18
Bestem lengda x a
6.19
Bestem lengda x. a
6.20 (Eksamen 1T våren 2021)
Du får vite dette om trekanten ABC: AC 10 A sin 3 5
Bestem lengda av BC
6.21
Per og Kari står på ei rett kyststripe og ser på Lars som kitar.
Per, Kari og Lars dannar hjørna i ein trekant PKL, der ∠=∠=° PK 21,8
Avstanden mellom Per og Kari er 300 m.
Kor langt frå land er Lars?
6.22
Ein vaier støttar ei 18 m høg mast.
Vaieren er festa i bakken og i toppen av masta.
Vaieren dannar 70° med bakken, som er horisontal.
Teikn hjelpefigur og rekn ut kor lang vaieren er.
6.23
I ein rettvinkla trekant ABC er vinkel A den rette vinkelen.
BC 43 og B sin 3 2
Finn lengda av sida AB.
RAUDE OPPGÅVER
6.24
Teikn ein trekant ABC der
a vinkel A er rett og B sin 3 4
b vinkel B er rett og C tan 5 12
6.25 (Eksamen 1T våren 2023)
Ein rettvinkla trekant har sidelengder 8, 6 og 10.
Sjå figuren til høgre.
Vis at +=uu (sin)(cos)1 22
6.26 (Eksamen 1T hausten 2023)
Ein likesida trekant har sidelengder 2.
Sjå figuren til høgre.
Bruk trekanten til å vise at °=cos60 1 2
6.27
Finn dei ukjende vinklane og den ukjende sida i ein rettvinkla trekant der a dei to katetane er 3 og 4 b hypotenusen er 12,5 cm og den eine kateten er 8,0 cm
6.28
I ein rettvinkla trekant er ein av dei spisse vinklane 60°.
Den hosliggjande kateten til denne vinkelen er 8,0 cm.
Lag ei målsett teikning av trekanten. Vis nødvendige berekningar.
6.29
2 13 m 1,5 m
For å måle høgda av ein husvegg siktar Vilde mot toppen av veggen frå eit punkt 13 m frå huset, slik figuren viser.
Finn høgda av veggen.
BLÅ OPPGÅVER
6.30
Ein båt ligg fortøydd til bryggja slik figuren viser.
Vatnet stig 0,50 m.
Kva vil avstanden frå båten til bryggja vere etter at vatnet har stige? Vi føreset at tauet som held båten, framleis er stramt.
6.31
Dersom summen av to vinklar er 90°, seier vi at dei er komplementvinklar
Teikn ein høveleg hjelpefigur, og vis samanhengen mellom sin u og cos v når u og v er komplementvinklar.
6.32
I ein rettvinkla trekant ABC er ∠=° A 90 og AB = 4,5 cm.
Teikn trekanten slik at C sin0,6
6.33
I ein rettvinkla trekant ABC er ∠ =° A 90 Finn BC når AB 33 og C tan3
6.34
Teikn ein trekant ABC som stemmer med at A tan 4 3 og B tan 4 5
6.35
I ein rettvinkla trekant ABC er ∠=° B 90 , C cos 3 3 og AC 43 Finn eksakte verdiar for omkrinsen og arealet av trekanten.
Generelle definisjonar
Dersom du studerer matematikk og naturvitskap vidare, vil du erfare at sinus, cosinus og tangens dukkar opp i mange samanhengar, mellom anna i samband med tidvatn, nordlys og elektromotorar. På vegen dit må vi utvide definisjonane frå det førre underkapittelet.
Definisjonane av sinus, cosinus og tangens er så langt knytte til rettvinkla trekantar og spisse vinklar.
Venstrebein
u
Høgrebein
Vinkelen u på figuren ovanfor er stump fordi han er mellom 90° og 180°. Vi ønskjer ein definisjon som også gjeld for stumpe vinklar.
Einingssirkelen
Sirkelen med radius 1 og sentrum i origo kallar vi einingssirkelen
No teiknar vi ein spiss vinkel u med toppunkt i origo (O) og det eine vinkelbeinet langs den positive førsteaksen. Det andre vinkelbeinet skjer sirkelen i punktet P. Normalen frå P ned på førsteaksen har fotpunktetF
Vi ser no på den rettvinkla trekanten OFP
Sidan hypotenusen OP er radius i einingssirkelen, er OP = 1.
Definisjonane av cosinus, sinus og tangens i rettvinkla trekantar gir
u OF OP OF OF cos 1 , som er førstekoordinaten til P
u FP OP FP FP sin 1 , som er andrekoordinaten til P
u FP OF tan , som er forholdet mellom koordinatane til P
Vi har altså at koordinatane til P er uu (cos,sin), og at u u u tan sin cos
Vi legg inn ein stump vinkel v på tilsvarande måte med toppunkt i origo og det eine vinkelbeinet langs den positive førsteaksen.
Også no vil det andre vinkelbeinet skjere sirkelen i eit bestemt punkt P. Ved å definere cosinus, sinus og tangens ved hjelp av koordinatane til dette punktet har vi ein definisjon som gjeld for stumpe vinklar. Som vi har vist ovanfor, fell han saman med vår opphavlege definisjon for spisse vinklar.
Ein slik definisjon treng vi ikkje å avgrense til spisse og stumpe vinklar. Vi kan tenkje oss at det venstre vinkelbeinet blir dreidd heile vegen rundt i einingssirkelen. Den einaste avgrensinga er at tangens ikkje lèt seg definere for 90° eller 270°, for då er førstekoordinaten til P, altså nemnaren i definisjonen av tangens, lik 0.
La v vere ein vilkårleg vinkel med toppunkt i origo og det eine vinkelbeinet langs den positive førsteaksen i eit koordinatsystem.
Skjeringspunktet mellom det andre vinkelbeinet og einingssirkelen er P. Då er
cos v = førstekoordinaten til P sin v = andrekoordinaten til P
v v v tan sin cos
DØME 9
Bruk figuren til å finne
cos 127°, sin 127° og tan 127°.
Vi tenkjer oss det eine vinkelbeinet langs den positive førsteaksen og ser at det andre vinkelbeinet skjer einingssirkelen i punktet (0,6,0,8)
Ut frå den generelle definisjonen har vi då
cos1270,6
sin1270,8
Bruk figuren til å finne tilnærma verdi for a cos 110° b sin 110° c tan 110°
6.37
a Kva er størst av sin 37° og sin 44°?
b Kva er størst av sin 137° og sin 144°?
6.38
To vinklar u og v er begge stumpe.
a Kva for ein av vinklane er størst dersom sin u = 0,3 og sin v = 0,4?
b Kva for ein av vinklane er størst dersom cos u = 0,3 og cos v = 0,4?
6.39
Teikn ein einingssirkel og forklar at a cos 90° = 0 b sin 90° = 1
c cos 180° = 1 d sin 270° = 1
Supplementvinklar
For kvar spiss vinkel finst det ein stump vinkel slik at dei til saman utgjer 180°. Eit slikt par av vinklar kallar vi supplementvinklar
Vinklane x og y til høgre er supplementvinklar.
x = 30°, er y = 150°.
x = 40°, er y = 140°.
Nedanfor har vi teikna inn supplementvinklane u og v i einingssirkelen.
Venstrebeina til vinklane skjer einingssirkelen i kvart sitt punkt P og Q
På grunn av symmetri har P og Q lik andrekoordinat og motsett førstekoordinat. Det betyr ut frå den generelle definisjonen av sinus at vinklane har lik sinusverdi og motsett cosinusverdi.
La u og v vere supplementvinklar. Då er
sin u = sin v cos u = cos v
Finn eksakte verdiar for sin 150° og cos 150°.
Vi har tidlegare vist at °=sin30 1 2, og at °=cos30 3 2
Sidan 30° og 150° er supplementvinklar, er
°=°=sin150sin30 1 2
°=−°=−cos150cos30 3 2
DØME 11
I trekanten ABC er =° B 62,5 og sin C = 0,75.
Bestem vinkel A
I ein trekant er vinklane mellom 0° og 180°, så vi legg inn dette som vilkår.
Vi ser at det er to vinklar som har sinusverdien 0,75.
Vi klikkar på .
Løysinga 131,4° må vi forkaste. Det er fordi 131,4° + 62,5° overstig vinkelsummen i trekantar (180°).
Altså er ∠=° A 48,6
6.40
Kva for ein vinkel mellom 0° og 180° har same sinusverdi som a 20° b 50° c 75° d 120°
6.41
Vi har tidlegare vist at °=sin60 3 2 , og at °=cos60 1 2
Bruk dette til å finne eksakt verdi for a sin 120° b cos 120°
6.42
a Kva er supplementvinkelen til 135°?
b Finn eksakt verdi for sin 135°.
c Finn eksakt verdi for cos 135°.
6.43
I trekanten ABC er B = 32,5° og sin C = 0,75.
Skisser korleis trekanten kan sjå ut.
6.44 (Eksamen 1T hausten 2024)
I koordinatsystemet til høgre har vi teikna ein sirkel med radius r = 1.
Punktet P(0,64 , 0,77) ligg på sirkelen.
a Er tan 50° > 1? Hugs å grunngi svaret ditt.
b Er tan 130° > 0? Hugs å grunngi svaret ditt.
RAUDE OPPGÅVER
6.45
Teikn einingssirkelen og bruk han til å finne a sin 0° b sin 180° c cos 0° d cos 270°
6.46
Bruk figuren til å finne tilnærma verdi for a sin 159,5° b cos 159,5° c cos 20,5° d sin 20,5°
6.47
Kva for ein vinkel mellom 0° og 180° har same sinusverdi som a 30° b 70° c 100° d 175°
BLÅ OPPGÅVER
6.48
Kva kan du seie om ein vinkel i ein trekant dersom a sinus til vinkelen er 0,9 b cosinus til vinkelen er 0,9 c tangens til vinkelen er 0,9 d sinus til vinkelen er eit positivt tal og cosinus til vinkelen er eit negativt tal e tangens til vinkelen er eit negativt tal
6.49
Punkta A(2 , 1), B(5 , 1) og C(6 , 3) er gitt. Bestem sinusverdien, cosinusverdien og tangensverdien til ∠ABC
6.50
Ta for deg likningssystemet += =− xy yx 1 22
a Løys likningssystemet både grafisk og med CAS. b Forklar kvifor og korleis vi kan bruke resultatet å finne eksakte verdiar for cos 135° og sin 135°.
Håvard Moe har brei realfagleg utdanning og har skrive lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærar ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdanna sivilingeniør frå NTNU. Ho jobbar som lærar ved Rud videregående skole, underviser i matematikk og fysikk og har skrive lærebøker i matematikk for vidaregåande skole i fleire år. Ho blei tildelt Holmboeprisen i 2025.
Tor Espen Kristensen har lang undervisningserfaring frå Stord vidaregåande skule og var leiar for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivå, frå grunnskole til universitet. Han blei tildelt Holmboeprisen i 2022.
Odd Heir har i ei årrekkje vore lærar, lærebokforfattar og kurshaldar i matematikk for vidaregåande skole. Han blei tildelt Holmboeprisen i 2009.
John Engeseth har brei undervisningspraksis og underviser til dagleg ved Elvebakken videregående skole. Han har vore forfattar av matematikkbøker for vidaregåande skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk frå NTNU og har skrive lærebøker i matematikk for vidaregåande skole i fleire år. Ho er lærar ved Briskeby videregående skole og Bjørknes privatskole og underviser i matematikk og kjemi.
Inger Christin Borge har doktorgrad innanfor algebra frå University of Oxford. Ho er tilsett ved Universitetet i Oslo der ho er førstelektor ved Matematisk institutt.
Matematikk 1T følgjer læreplanen i matematikk 1T (LK20) og består av lærebok og digitale ressursar på Aunivers.no
Læreboka
Læreboka inneheld teori, døme og innlæringsoppgåver og også differensierte oppgåver til kvart underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgåver som får elevane til å gå i djupna og sjå samanhengar i faget, og SNAKK-oppgåver som gir elevane høve til å kommunisere matematikk. Eksamensoppgåver som er gitt tidlegare, er lagde inn i alle kapitla der dei passar. Til slutt i kvart kapittel er det blanda oppgåver, samandrag og kapitteltest.
