– forenklet
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie
1P
– forenklet
Bokmål
1 Praktisk regning
Vi legger sammen og trekker fra 5
Vi regner med positive og negative tall 7
Vi ganger og deler 8
Proporsjonalitet 11
Veien om 1 14
Vi ganger/deler med 10, 100, 1000 osv. 16
Lengdeenheter 19
Masseenheter 23
Arealenheter 25
Volumenheter 27
Tidsenheter 29
Sammensatte enheter 30
Formler 32
Programmering 35
Eksamensoppgaver 36
2 Utforsking og generalisering
Figurtall 39
Tallfølger 44
Flere tallmønstre 46
Programmering og Excel 48
Eksamensoppgaver 51
3 Funksjoner
Koordinatsystemet 55
Funksjonsbegrepet 57
Lineære funksjoner 63
Lineære modeller 67
Fra målinger til modell 71
Programmering 76
Eksamensoppgaver 78
4 Prosent
Prosent 81
Prosentpoeng 85
Prosentregning 87
Vekstfaktor 92
Prosentendring i flere perioder 95
Eksponentialfunksjonen 97
Modellering med eksponentialfunksjoner 101
Programmering 104
Eksamensoppgaver 105
5 Polynomfunksjoner
Andregradsfunksjoner 109
Vekstfart 116
Polynomfunksjoner av høyere grad 118
Regresjon med polynomfunksjoner 119
Programmering 121
Eksamensoppgaver 122
6 Potenser og røtter
Potenser 125
Regning med potenser 126
Store og små tall – standardform 133
Omvendt proporsjonalitet 137
Kvadratrot 140
Kubikkrot 141
Programmering 142
Eksamensoppgaver 143
Fasit 145
Om Matematikk 1P – forenklet
Matematikk 1P – forenklet er én av komponentene i Matematikk 1P, som består av
Forenklet bok
Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede oppgaver.
Boka kan brukes i kombinasjon med læreboka, eller den kan brukes alene. Den passer for elever som skal ha vurdering, og som trenger å repetere grunnleggende matematikk. Den kan også brukes av elever som ikke skal ha vurdering i faget.
Fagstoffet blir fulgt opp med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Alle oppgavene vi mener bør løses med hjelpemidler, er merket med
Til slutt i hvert kapittel er det oppgaver med programmering og noen eksamensoppgaver.
Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du prøve deg på oppgavene i læreboka.
Vi håper at Matematikk 1P – forenklet hjelper deg på veien til å mestre matematikk.
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk1p@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
Utforsking og generalisering 2
Figurtall 39
Tallfølger 44
Flere tallmønstre 46
Programmering og Excel 48
Eksamensoppgaver 51
Figurtall
De positive partallene er … 2,4,6,
Vi kan illustrere dem med figurer slik:
p1 p2 p3
Det første partallet er 2 = 2 1, det andre partallet er 4 = 2 2, det tredje partallet er 6 = 2 3 og så videre.
I hvert tilfelle ganger vi tallet 2 med hvilket nummer partallet er i figurserien.
Vi kaller partall nummer n for pn, slik at p1 = 2, p2 = 4, p3 = 6 osv.
Formelen for partall nummer n er pn = 2n
201
a Lag figurer som illustrerer partall nummer 4 og 5.
b Bestem partall nummer 6, p6
c Bestem partall nummer 20, p20
d Hvilket nummer har partallet 14?
e Hvilket nummer har partallet 90?
Regn og skriv svarsetning her:
202
Vi kan illustrere de tre første positive oddetallene med figurer som vist til høyre.
a Tegn figurer som illustrerer de to neste oddetallene, o5 og o6
b Bruk figurene til å forklare at det n-te oddetallet er gitt ved formelen =−on21 n
203
a Veronica skal finne ut hvilket nummer i rekkefølgen oddetallet 91 har. Hun gjør slik:
Jeg vet at oddetall nummer n er gitt ved formelen n o=2-1 n Jeg får derfor likningen:
n n n n o=91 2- 1=91
2=91+1 2 2 = 92 2 =46 n
Tallet 91 er oddetall nummer 46.
Forklar framgangsmåten til Veronica, linje for linje.
b Hvilket nummer i rekkefølgen har oddetallet 211?
204
Figuren nedenfor illustrerer de fire første kvadrattallene
1 K2 K3 K4
a Tegn K5 og K6
b Bestem kvadrattall nummer 7.
En formel for kvadrattall nummer n er Kn n 2
c Bruk formelen og bestem K10
Løs oppgave 202, 203 og 204 her:
205
Til høyre ser du de tre første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter.
a Hvilken sammenheng er det mellom disse tallene og kvadrattallene?
b Tegn figur nummer 4. Hvor mange prikker består den fjerde figuren av?
c Hvor mange prikker består den tiende figuren av?
d Hvor mange prikker består figur nummer n av?
Regn og skriv svarsetning her:
206
Figuren til høyre viser de fire første rektangeltallene
a Tegn R5
b Bestem rektangeltall nummer 6. Formelen for rektangeltall nummer n er =⋅+Rnn(1) n
c Bruk formelen til å bestemme R5 og R10
Regn og skriv svarsetning her:
207
Figuren til høyre viser de fire første trekanttallene
a De fire første trekanttalene er:
T1 = T2 =
T3 = T4 =
b Tegn det neste trekanttallet, T5
c Sammenlikn trekanttallene og rektangeltallene. Hva oppdager du?
Formelen for trekanttall nummer n er = ⋅+ T nn(1) 2 n
d Bruk formelen og regn ut
T5 = T10 = T20 =
e Du har 50 kuler.
Hvilket nummer har det største trekanttallet du kan bygge med disse kulene?
Hvor mange kuler har du da til overs?
Regn og skriv svarsetning her:
Tallfølger
Tall som står etter hverandre i en bestemt rekkefølge, kaller vi en tallfølge
Hvis det er et tydelig mønster (system) i en tallfølge, kan vi beskrive mønsteret og forlenge følgen.
EKSEMPEL 1
Skriv opp det neste tallet i tallfølgen.
a 1, 5, 9, 13, …
b 1, 2, 4, 8, ….
a 5 1 = 4
9 5 = 4
13 9 = 4
Vi får det neste tallet i tallfølgen ved å legge til 4. Det neste tallet i tallfølgen er derfor 17.
b 2 1 2 4 2 2 8 4 2
Vi får det neste tallet i tallfølgen ved å gange med 2. Det neste tallet tallfølgen er derfor 16.
208
Ta for deg tallfølgen 20,17,14,11, a Hva er mønsteret i følgen?
b Det neste tallet i tallfølgen er
209
Ta for deg tallfølgen 2,6,18,54, a Hva er mønsteret i følgen?
b Det neste tallet i tallfølgen er
210
Bestem tallet som mangler i tallfølgen.
a 13,12,11,10,
c 2000,200,20,2,
e 2,4,8, ,32
b 10,20,30,40,
d 4,1, ,11,16
EKSEMPEL 2
Ta for deg tallfølgen 3, 6, 9, 12, …
Vi lar tall nummer n i tallfølgen ha symbolet (navnet) yn
I tallfølgen ovenfor er y1 = 3, y2 = 6, osv.
a Lag en formel for yn
b Finn y10
211
Ta for deg tallfølgen 4,8,121620,,
Vi lar tall nummer n ha symbolet yn
a Vi leter etter en sammenheng mellom et tall i tallfølgen og plassnummeret tallet har.
Tall nummer (n) 1234
Tall (yn) 36912
Uttrykk 3 1 3 2 3 3 3 4
Vi ser av tabellen at formelen er yn = 3n
b Vi bruker formelen vi fant i oppgave a, og setter inn n = 10.
Det gir y10 = 3 10 = 30.
På plass nummer 10 i tallfølgen står derfor tallet 30.
a Fyll ut de tomme radene i tabellen nedenfor.
Tall nummer (n) 12345
Tall (yn) 48
b Formelen for tall nummer n i tallfølgen, yn, er
c På plass nummer 20 i tallfølgen står tallet
212
I en tallfølge er yn = 3n 1.
Skriv opp de fire første tallene i tallfølgen.
213
Ta for deg tallfølgen 6,12,18,24, Lag en formel for tall nummer n i tallfølgen, yn
Regn her:
Flere tallmønstre
214
Trekanten nedenfor heter Pascals trekant etter den berømte, franske matematikeren Blaise Pascal, som levde på 1600-tallet.
a I trekanten har vi tegnet to piler fra tallene 6 og 4 til tallet 10. Hva tror du er grunnen til det?
Beskriv mønsteret i Pascals trekant.
b Skriv av trekanten og føy til de tre neste radene.
c Hvilket tall står som tall nummer to fra høyre i rad nummer
d Hvilket tall står som nummer to fra høyre i rad nummer 20?
e Finn summen av tallene på hver av de 6 radene på figuren ovenfor. Hva blir summen av tallene på rad 10?
Tegn her:
Noen elever leter etter mønstre i Pascals trekant. Nedenfor ser du deler av notatene deres.
Hva har de oppdaget? Ser det ut til at det gjelder generelt? Undersøk!
Regn og skriv svarsetning her:
Programmering og Excel
Hvisvioppgiretttall,såvilsekvensenstarte på0oggåtil(menikkemed)talletsomoppgis.
range(10) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
range(5, 10) 5,6,7,8,9
EKSEMPEL 3
Christina har lagd programmet nedenfor.
1 2 for n in range(1 , 11): print(n**2)
Hva gjør programmet? Hva blir utskriften?
Hvisvioppgirtotall,såvil detførstetalletfortellehvor sekvensenstarter,ogdetandre hvorsekvensenslutter.Detsiste talletkommerikkemed.
Løkka starter med n = 1 og går til og med n = 10 (11 er ikke med), med steglengde lik 1.
Hver gang løkka kjører, skrives n2 ut.
Legg merke til at vi bruker to stjerner når vi skriver potenser i Python.
Tabellen nedenfor viser verdien til n2 for hver runde i løkka.
216
Skriv av og kjør programmet i eksempel 3.
Vi vet at formelen for kvadrattallene er Kn n 2
Det er altså de ti første kvadrattallene som blir skrevet ut.
De to første linjene og de to siste linjene i utskriften blir 1 4 81 100
Gjør endringer i programmet slik at det skriver ut de 20 første kvadrattallene.
217
Julie har lagd programmet nedenfor.
1 2 for n in range(1 , 6): print(2*n)
a Fyll ut tabellen nedenfor.
n2*n
12 1 = 2
22 2 = 3 4 5
b Hvilke tall blir skrevet ut? Kontroller svaret ditt ved å kjøre programmet. Hva kaller vi disse tallene?
218
Erik har lagd programmet nedenfor.
1 2 for n in range(1 , 6): print(n*(n + 1))
a Fyll ut tabellen nedenfor.
nn*(n + 1)
11 ⋅ (1 + 1) = 1 ⋅ 2 = 2
22 (2 +1) = 3 4 5
b Hvilke tall blir skrevet ut? Kontroller svaret ditt ved å kjøre programmet. Hva kaller vi disse tallene?
EKSEMPEL 4
Christian har lagd programmet nedenfor. 1 2 3 4 5 6 summen = 0 for n in range(1 , 11): summen = summen + n**2 print(summen)
Hva gjør programmet?
Hva blir utskriften?
Christian starter med å definere variabelen summen og setter den lik 0.
Deretter lager han en for-løkke der n tar verdiene fra og med 1 til og med 10.
I linje 4 oppdateres verdien av summen. Den nye verdien av summen blir den gamle verdien av summen pluss kvadrattall nummer n. Når løkka kjører de ti rundene, blir de ti første kvadrattallene summert.
I linje 6 blir den siste verdien av summen skrevet ut.
nn**2summen + n**2 summen (ny verdi)
112 = 10 + 11
222 = 41 + 45
332 = 95 + 914
992 = 81204 + 81285
10102 = 100285 + 100385
Utskriften blir 385, som er summen av de ti første kvadrattallene.
219
Hamza bygger kvadrattall med perler. Han bygger først K1, så K2, og slik fortsetter det.
a Skriv av programmet i eksempel 4 og bruk programmet til å bestemme hvor mange perler Hamza bruker totalt når antall kvadrattall han bygger er 5: 15:
Hamza har totalt 900 perler.
b Undersøk hvor mange av kvadrattallene Hamza maksimalt kan bygge. Hvor mange perler har han da til overs?
220
Karianne ønsker å løse oppgave 219 med regneark. Hun lager et regneark som vist nedenfor. Skriv av regnearket til Karianne i Excel. Utvid regnearket og løs oppgaven.
Med tall:
Med formler:
Eksamensoppgaver
221 (Eksamen 1P våren 2025)
Til høyre ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små blå kvadrater.
Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a Hvor mange små blå kvadrater vil det være i figur 5?
b Lag en formel for antallet små blå kvadrater i figur n
Regn og skriv svarsetning her:
222 (Eksamen 1P våren 2022, noe endret)
Til høyre ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?
b Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?
Regn og skriv svarsetning her:
Figur 1Figur 2Figur 3
Figur 1Figur 2Figur 3
223 (Eksamen 1P våren 2024)
Knut og Sabrina jobber med tallfølgen 2, 5, 11, 23, 47, …
Jegtrorjegharoppdaget etmønster,ogjegernokså sikkerpåatalleleddenebortsett fradetførsteeroddetall.
Nei,detklartejegikke, menjegernoksåsikker påatjegharfunnetet mønstersomgjøratjeg alltidkanfinnedetneste leddetitallfølgen. Jegerheltsikkerpåatdet barebliroddetallvidere.
Hardufunnetenformel somkangidegethvilketsom helstledditallfølgen?
Ta utgangspunkt i det Knut og Sabrina sier og
Regn og skriv svarsetning her:
224 (Eksamen 1P høsten 2021)
I tabellen til høyre har vi fargelagt to kvadrater.
a Bestem differansen mellom tallet nederst til venstre og tallet øverst til høyre, og differansen mellom tallet nederst til høyre og tallet øverst til venstre. Bestem så produktet av de to differansene. Du skal altså regne ut (112)(121) for det blå kvadratet og (3728)(3827) for det gule kvadratet.
b Gjør tilsvarende beregninger som i oppgave a for flere kvadrater med samme størrelse som i oppgave a. Forklar hva du oppdager, og argumenter for at dette er riktig.
c Gjør tilsvarende beregninger som i oppgave a for kvadrater med ulike størrelser.
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100
Lag en oversikt der du presenterer resultatene på en systematisk måte. Forklar hva du oppdager, og argumenter for at dette er riktig.
Regn og skriv svarsetning her:
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun ble tildelt Holmboeprisen i 2025.
Tor Espen Kristensen har lang undervisningserfaring fra Stord vidaregåande skule og var leder for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivåer, fra grunnskole til universitet. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2022.
Matematikk 1P følger læreplanen i Matematikk 1P for vg1 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20) og består av lærebok, forenklet bok og digitale ressurser for elever og lærere på Aunivers.no
Forenklet bok
Denne boka har de samme kapitlene som læreboka og er lagd for innskriving. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede oppgaver.
Eleven loses gjennom fagstoffet med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Til slutt i hvert kapittel er det oppgaver med programmering og noen eksamensoppgaver.
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU, og har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun er lærer ved Briskeby videregående skole og Bjørknes privatskole og underviser i matematikk og kjemi.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.
Digitale ressurser
Aunivers.no inneholder blant annet
• opplæringsressurser til GeoGebra, regneark og Python
• interaktive oppgaver
• eksamensløsninger
Som lærer får du i tillegg tilgang til
• lærerveiledning
• kapittelprøver
• terminprøver
• aktivt klasserom