Materialet er verna etter åndsverklova. Utan uttrykkjeleg samtykke er eksemplarframstilling, som utskrift og anna kopiering, berre tillaten når ho er heimla i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnytting i strid med lov eller avtale kan føre til erstatnings- og straffansvar.
Redaktør: Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Andreas Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam
Nynorsk omsetjing: Jan Gausemel
Biletredaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske teikningar: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
ISBN 978-82-03-41399-5 www.aschehoug.no
Om Matematikk 1P
Matematikk 1P følgjer læreplanen i matematikk 1P (LK20) som gjeld frå august 2020, og består av lærebok og digitale ressursar på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på ein strukturert og forståeleg måte. Vi følgjer opp teori og døme med innlæringsoppgåver. I døma legg vi vekt på gode forklaringar og framgangsmåtar, også med GeoGebra, programmering og rekneark der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgåver, som får elevane til å gå i djupna og sjå samanhengar i faget, og SNAKK-oppgåver, som gir elevane høve til å kommunisere matematikk.
Undervegs finn du slike «lappar» med repetisjon og påminningar.
Kvart underkapittel inneheld differensierte oppgåver:
Raude oppgåver er eit naturleg framhald av innlæringsoppgåvene.
Blå oppgåver gir større utfordringar.
Til slutt i kvart kapittel finn du Blanda oppgåver, som gir både mengdetrening og djupnelæring.
Eksamensoppgåver som er gitt tidlegare, er lagde inn i alle kapitla der dei passar. På den måten kan elevane komme raskt i gang med å løyse eksamensoppgåver.
Oppgåver som bør løysast utan hjelpemiddel, er merkte med
Oppgåver som krev programmering, er merkte med
Digitale ressursar på Aunivers.no
Dei digitale ressursane har same kapittelinndeling som læreboka og inneheld mellom anna
og Excel
Som lærar får du i tillegg tilgang til
Vi håper at Matematikk 1P møter forventningane dine til eit komplett læreverk.
Vi set stor pris på kommentarar og innspel, så send oss gjerne ein e-post til matematikk1p@aschehoug.no.
Vi ønskjer deg lykke til med faget!
Helsing forfattarane
Inger Christin Borge
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
Innhald
1 Praktisk rekning
1A Proporsjonalitet 8
1B Vegen om 1 19
1C Samansette einingar 26
1D Formlar 38
Blanda oppgåver 45
Samandrag 52
Kapitteltest 53
2 Utforsking og generalisering
2A Partal og oddetal 56
2B Figurtal 64
2C Talfølgjer 74
2D Fleire talmønster 80
Blanda oppgåver 83
Samandrag 90
Kapitteltest 91
3 Funksjonar
3A Funksjonsomgrepet 94
3B Lineære funksjonar 106
3C Lineære modellar 118
3D Frå målingar til modell 126
Blanda oppgåver 131
Samandrag 136
Kapitteltest 137
4 Prosent
4A Prosent og prosentpoeng 140
4B Prosentrekning 149
4C Promille 157
4D Vekstfaktor 162
4E Eksponentiell vekst 170
4F Modellering med eksponentialfunksjonar 182
Blanda oppgåver 194
Samandrag 206
Kapitteltest 207
5 Polynomfunksjonar
5A Andregradsfunksjonar 210
5B Vekstfart 222
5C Polynomfunksjonar av høgare grad 230
5D Modellering med polynomfunksjonar 234
Blanda oppgåver 240
Samandrag 248
Kapitteltest 249
6 Potensar og røter
6A Potensar 252
6B Store og små tal 264
6C Potensfunksjonar 274
6D Omvend proporsjonalitet 279
6E Røter og rotfunksjonar 286
Blanda oppgåver 295
Samandrag 304
Kapitteltest 305
Fasit 306
Register 326
Biletliste 328
Praktisk rekning 1
1A Proporsjonalitet 8
1B Vegen om 1 19
1C Samansette einingar 26
1D Formlar 38
Ole Magnus kan vere i alpinbakken anten på formiddagen eller på ettermiddagen.
Når får han mest att for pengane?
Formiddagskort 210 kr (09.30–12.00)
SKISENTER
Ettermiddagskort 410 kr (12.00–16.30)
Når du har jobba med dette kapittelet, vil du ikkje vere i tvil om kva du skal svare Ole Magnus.
y = 200x betyr
y = 200 · x
Proporsjonalitet
Ingrid har fått jobb ved sida av skulen og tener 200 kr per time.
Jobbar ho to timar, tener ho 400 kr.
Jobbar ho tre timar, tener ho 600 kr.
Jo fleire timar ho jobbar, desto meir tener ho.
Dersom arbeidstida blir dobla, aukar lønna til det dobbelte.
Dersom arbeidstida blir tredobla, aukar lønna til det tredobbelte.
Lønna til Ingrid er proporsjonal med arbeidstida.
Vi lèt y kr vere lønna når Ingrid jobbar x timar. Då er y = 200x Talet 200 kallar vi proporsjonalitetskonstanten
I dette tilfellet er proporsjonalitetskonstanten det same som timelønna.
Når to storleikar y og x er proporsjonale storleikar, kan vi skrive
y = ax
der a er eit fast tal som vi kallar proporsjonalitetskonstanten.
Origo er punktet (0 , 0).
Vi framstiller lønna til Ingrid grafisk. Grafen til y = 200x blir ei rett linje som går gjennom origo. Ingrid kan ikkje jobbe «minus timar», derfor teiknar vi linja for x-verdiar frå og med 0.
Av figuren ovanfor ser du til dømes at Ingrid tener 800 kr dersom ho jobbar fire timar.
Når x aukar med éin, aukar y med 200. Stigningstalet til linja er 200, og i dette tilfellet er stigningstalet det same som timelønna.
Ein formel gir oss samanhengen mellom to eller fleire storleikar.
Ei rett linje gjennom origo kan vi alltid skrive på forma y = ax, der a er stigningstalet. Stigningstalet fortel kor mykje y aukar eller minkar når x aukar med 1. Du vil lære meir om stigningstal i kapittel 3.
Ein graf som viser samanhengen mellom to proporsjonale storleikar, vil alltid vere ei rett linje gjennom origo.
Stigningstalet til linja er proporsjonalitetskonstanten.
Ingrid tener 200 kr per time. Vi skriv gjer ne at lønna er 200 kr/time.
Lèt vi y kr vere lønna når Ingrid jobbar x timar, er y gitt ved formeleny = 200x
DØME 1
I butikken kostar fiskekaker 120 kr per kg.
a Forklar at prisen er proporsjonal med vekta.
b La P kr vere prisen for x kg fiskekaker.
Skriv opp ein formel for P
a For 1 kg fiskekaker betaler vi 120 kr. For 2 kg fiskekaker betaler vi 120 kr ⋅ 2 = 240 kr, og for 3 kg betaler vi 120 kr ⋅ 3 = 360 kr.
Ei dobling av vekta fører til ei dobling av prisen, ei tredobling av vekta fører til ei tredobling av prisen.
Prisen er proporsjonal med vekta.
b Her er proporsjonalitetskonstanten det same som prisen per kg.
= 120x
1.1
SparBua sel juiceboksar på tilbod for 10 kr boksen.
a Forklar at det du må betale og talet på juiceboksar som du kjøper, er proporsjonale storleikar.
b La P kr vere prisen for x juiceboksar. Skriv opp ein formel for P.
1.2
SykkelOle sel energidrikk i to pakningar. Ei pakning med tre boksar kostar 45 kr, og ei pakning med seks boksar kostar 80 kr.
Forklar at det du må betale og talet på boksar, ikkje er proporsjonale storleikar.
1.3
Figuren nedanfor viser korleis lønna til Trond varierer med kor mange timar han jobbar.
(timar)
a Kva er timelønna til Trond?
b Kor mykje tener Trond dersom han jobbar 7 timar?
c Skriv opp ein formel som viser korleis lønna til Trond varierer med kor mange timar han jobbar.
I døme 1 såg vi at proporsjonalitetskonstanten er det same som prisen per kg for fiskekakene.
Dette ser vi også om vi deler med x på begge sider i formelen y = 120x
Då får vi y x 120 |
Forholdet mellom y og x er y x , som vi også kan skrive som y : x.
Dersom forholdet mellom to variable storleikar er konstant, er dei proporsjonale.
DØME 2
I grønsakdisken ligg det ulike posar med poteter. Tabellen viser vekta i kg og prisen i kr for posane.
Vekt i kg 1,52,55
Pris i kr 4270140
Er prisen proporsjonal med vekta?
Vi utvidar tabellen med ei rad og reknar ut forholdet mellom prisen og vekta for dei tre posane.
Vekt i kg 1,52,55
Pris i kr 4270140
Prisikr
Vektikg 282828
Vi ser at forholdet mellom prisen og vekta er det same for alle posane. Altså er prisen proporsjonal med vekta.
Proporsjonalitetskonstanten er 28.
Det vil seie at potetene kostar 28 kr/kg.
Når vi skal rekne ut 42 : 1,5, kan vi tenkje slik:
Vi kan tenkje på 1,5 kg poteter som 3 posar med 0,5 kg poteter.
Éin pose med 0,5 kg kostar 42 kr : 3 = 14 kr. 1,0 kg, 2 posar, kostar 2 ⋅ 14 kr = 28 kr.
Kva for nokre av situasjonane nedanfor kan handle om proporsjonalitet?
Kva for storleikar er i så fall proporsjonale?
SNAKK
1.4
Parkteateret sel smågodt i forskjellige posar. Tabellen viser kva dei ulike posane kostar.
Vekt i hg 1,52,54,0
Pris i kr 152540
a Vis at prisen og vekta er proporsjonale storleikar.
b Kva er proporsjonalitetskontanten, og kva fortel han oss her?
1.5
Vi tek for oss to typar vaskepulver, Superreint og Ultrareint.
Tabellane viser kva det kostar for dei ulike pakningane som finst av kvar type.
Superreint
Vekt i kg 0,50,81,2
Pris i kr 203248
Ultrareint
Vekt i kg 0,51,01,5
Pris i kr 224459
Undersøk for kvar av dei to typane om prisen og vekta er proporsjonale storleikar.
1.6 (Eksamen 1P våren 2016) x 2,57,5 y 50200
Vi har tabellen ovanfor. Her er x og y proporsjonale storleikar.
Skriv av tabellen ovanfor i svaret ditt. Gjer utrekningar, og fyll ut tabellen.
1.7
I butikken har dei to ulike pakningar med italiensk salat.
Den vesle pakninga veg 125 gram og kostar 26,50 kr.
Den store pakninga veg 200 gram og kostar 44,80 kr.
Undersøk om prisen er proporsjonal med vekta.
Overslag når vi gongar:
Vi byter ut det eine talet med eit større tal og det andre talet med eit mindre tal.
Er det nokre av grafane som viser samanhengen mellom proporsjonale storleikar? Grunngi svaret.
Overslagsrekning
Vi bruker overslagsrekning til å finne eit svar som er omtrent rett. Overslagrekning kan vi også bruke til å vurdere om svaret på ei utrekning kan vere rett.
I kiosken kostar epla 24,80 kr per kg. Omtrent kor mykje vil 2,15 kg eple koste?
Vi gjer eit overslag ved å byte ut tala med andre tal som det er lettare å rekne med i hovudet.
Vi byter ut 24,80 med 25 og 2,15 med 2.
25 2 = 50
2,15 kg eple kostar omtrent 50 kr.
1.9
Roy skal til Berlin og finn eit hotellrom til 95 euro per natt.
Omtrent kor mykje er dette i norske kroner når 1 euro kostar 11,80 kr?
1.10
kjem på 3900 danske kroner. Dei veit at hundre danske kroner kostar 159,80 norske kroner.
Omtrent kor mykje kjem rekninga på i norske kroner?
DØME 4
Overslag når vi deler:
Vi byter ut begge tala med eit større tal eller med eit mindre tal.
Etter at Liz har jobba 11 timar, har ho tent 2150 kr.
Finn timelønna til Liz ved å setje opp og løyse ei likning med a overslag
b CAS
a Kallar vi timelønna for x, kan vi finne svaret ved å løyse likninga
11 x = 2150
Vi deler med 11 på begge sider og får
x = 2150 : 11 ≈ 2000 : 10 = 200
Timelønna er omtrent 200 kr.
b Vi opnar CAS og skriv inn likninga 11x = 2150.
I knapperada ser du desse knappane:
Klikkar vi på NLøys-knappen , får vi ei tilnærma løysing, som eit desimaltal.
Klikkar vi på Løys-knappen , får vi ei eksakt løysing.
Liz tener 195,45 kr per time.
Merk!
I praktiske oppgåver er det naturleg å gi svaret som eit desimaltal, og vi bruker derfor som regel NLøys.
DØME 5
Ella tener 191,50 kr per time. Ho kan velje om ho vil jobbe 12 timar, 14 timar eller 16 timar neste veke.
a Set opp og løys ei likning som fortel kva ho må velje for at lønna neste veke skal bli større enn 2800 kr.
b Teikn grafen som viser korleis lønna varierer med kor mange timar ho jobbar, og bruk grafen til å finne kva ho må velje.
a Vi løyser likninga 191,50x = 2800.
Ho må velje vakta på 16 timar for at lønna neste veke skal bli større enn 2800 kr.
b Vi teiknar linjene y = 191,50x og y = 2800 i det same koordinatsystemet. Så bruker vi Skjering mellom to objekt til å finne skjeringspunktet mellom linjene.
Ho må velje vakta på 16 timar for at lønna neste veke skal bli større enn 2800 kr.
1.11
Sverre tener 177,50 kr per time. Kor mange heile timar må han jobbe for at lønna skal bli større enn 3500 kr?
a Finn eit omtrentleg svar ved å gjere eit overslag.
b Finn svaret ved å løyse ei likning med CAS.
c Finn svaret grafisk.
1.12
Ein pose med 5,2 kg poteter kostar 108 kr.
Du skal finne omtrent kva prisen per kg er.
a Korleis vil du byte ut tala her?
b Omtrent kva er prisen per kg?
1.13
Jeanette har spart 30 000 kr til sommarferien.
Ho reknar med 2300 kr i reiseutgifter, 1200 kr per dag til overnatting og mat og 600 kr per dag til diverse utgifter.
Kor mange dagar kan Jeanette maksimalt vere på ferie?
Finn svaret på ulike måtar.
UTFORSK
, 456)
Karl og Henrik studerer figuren ovanfor.
Karl: Korleis kan vi finne stigningstalet til linja?
Henrik: Linja går gjennom origo, då kan vi bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten.
Karl: Ja, men vi kan også bruke at stigningstalet til ei rett linje er konstant. Då kan vi finne stigningstalet ved å dele endringa i y-verdien på endringa i x-verdien.
a Bruk det siste som Karl seier, til å finne stigningstalet til linja.
b Kva meiner Karl med at «stigningstalet til ei rett linje er konstant»? Forklar dette.
c Henrik seier først at vi kan «bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten» til å finne stigningstalet. Vis korleis vi kan finne proporsjonalitetskonstanten ved å bruke punktet (30 , 456).
DØME 6
timelønn = 178.25
timar = 15.5
Olav har ein deltidsjobb og tener 178,25 kr per time. Lag eit program som reknar ut lønna når han jobbar 15,5 timar per veke. 1 2 3 4 5 6
Vi får meir tid i bakken for kvar krone vi betaler, om vi kjøper formiddagskortet.
Vi får altså bekrefta at formiddagskortet er det mest økonomiske alter nativet.
Det er ved kjøp av formiddagskortet vi får mest att for pengane.
Ovanfor rekna vi ut 2,5 : 180 med ein kalkulator og fekk
0,013 888 888 …
Vi runda av svaret til 0,014.
Når vi rundar av, ser vi på det nærmaste sifferet til høgre for den mengda med desimalar vi skal runde av til.
Dersom dette sifferet er 0, 1, 2, 3 eller 4, rundar vi av nedover.
Dersom sifferet er 5, 6, 7, 8 eller 9, rundar vi av oppover.
DØME 7
Hos Soltoppen hytteutleige er prisen for leigeperioden proporsjonal med så mange døgn du leiger ei hytte. Det kostar 2025 kr å leige ei hytte i tre døgn. Kor mykje kostar det å leige ei hytte i fem døgn?
Vi går vegen om 1 og reknar først ut kva det kostar å leige ei hytte eitt døgn.
2025 3 675 |
Leigeprisen er 675 kr/døgn.
Så reknar vi ut prisen for fem døgn.
675 5 = 3375
Det kostar 3375 kr å leige ei hytte i fem døgn.
Alternativ løysingsmetode
Ovanfor rekna vi først ut prisen for eitt døgn, og deretter fann vi prisen for fem døgn. Vi kan slå desse to reknestykka saman i eitt reknestykke slik:
20255 3 3375 ⋅ =
Det kostar 3375 kr å leige ei hytte i fem døgn.
1.23
SuperKjøp sel eplejuice i kartongar på 1,5 L og 2,5 L. Kartongen på 1,5 L kostar 36 kr, og prisen for kartongen på 2,5 L er 65 kr. Finn prisen per liter for kvar av dei to kartongane.
1.24
Ei veke jobbar Lise tolv timar og tener 2316 kr
Veka etter jobbar ho sju timar meir og tener 3667 kr. Kor mykje tener Lise per time?
Finn svaret på forskjellige måtar.
1.25
Farge AS sel den same målinga i tilitersspann.
Kva kostar eit tilitersspann hos Farge AS?
DØME 8
tak av pund, dollar og euro er kursen prisen på 100 einingar av den utanlandske valutaen.
Dersom kursen på danske kroner er 156,60, vil det seie at 100 danske kroner kostar 156,60 norske kroner.
For pund, dollar og euro er kursen prisen på éi eining.
1.26
Hos Kalles grensehandel i Sverige er prisane oppgitt både i svenske kroner (SEK) og i norske kroner (NOK).
1.27
58,50 SEK/59,67 NOK
Kva er kursen på svenske kroner i Kalles grensehandel?
Linda skal på ferie til Danmark og Tyskland.
Ho bestiller tre netter på hotell i København og fire netter på hotell i Berlin. I Danmark kostar rommet 885 danske kroner per natt og i Berlin 125 euro per natt.
Kor mykje blir dette til saman i norske kroner dersom kursen på danske kroner er 156,60 og kursen på euro er 11,87?
Sverre skal veksle 2500 norske kroner til pund.
Lag eit program som reknar ut kor mange pund han får, når kursen er 14,28.
kurs = 14.28 # kursen på pund NOK = 2500 # kor mange norske kroner
pund = NOK/kurs # reknar ut kor mange pund
I Python må vi bruke / for divisjon.
print(NOK, "norske kroner er det same som", round(pund, 2), "pund.")
1.28
Ei veke seinare skal Liz bruke programmet i døme 8 til å rekne ut kor mange pund ho får for 7500 norske kroner. Kursen er no 13,25. Gjer nødvendige endringar i programmet, og finn ut kor mange pund Liz får.
1.29
Lag eit program som finn kursen på euro, når 500 euro kostar 5935 NOK.
1.30
Isak skal betale 3750 svenske kroner. Lag eit program som reknar ut kor mykje dette er i norske kroner, når kursen er 102,23.
DØME 9
0,2
0,2 kg
Prisen er proporsjonal med mengda.
Kva kostar ein pose på 1,0 kg når ein pose på 0,6 kg kostar 78 kr?
Vi kan finne svaret ved å gå «Vegen om 1», men vi kan også finne svaret ved å gå «Vegen om 0,2».
Sjå på figuren til venstre.
Vi tenkjer oss posen på 0,6 kg delt opp i posar på 0,2 kg. Vi finn prisen på éin slik pose og gongar med 5. Då finn vi prisen på 1,0 kg kaffi.
Pris i kroner for 0,2 kg: 78 : 3 = 26
Pris i kroner for 1,0 kg: 26 5 = 130
1.31
Elin løyser oppgåva i døme 9 med dette reknestykket:
78 + 39 + 13 = 130
Forklar reknestykket.
1.32
Nina får 1,2 liter eplejuice av 3,0 kg eple. Kor mange kg eple må ho bruke for å lage 2,0 liter eplejuice?
1.33
På Supern er prisen og talet på bollar du kjøper, proporsjonale storleikar. Kva må du betale for 10 bollar dersom 4 bollar kostar 18 kr?
På kor mange ulike måtar kan du finne svaret?
DØME 10
Forholdstal
På ei flaske med konsentrert saft står det at konsentrert saft og vatn skal
blandast i forholdet 1 : 4.
Viktor skal lage ei saftblanding med 2 dL konsentrert saft.
a Kor mykje vatn må han tilsetje då?
b Kva er forholdet mellom den konsentrerte safta og saftblandinga?
a Til 1 del konsentrert saft treng Viktor 4 delar vatn.
Av figuren ser vi at Viktor treng 8 dL vatn til 2 dL konsentrert saft.
Viktor må altså tilsetje 8 dL vatn.
b Av figuren ser vi at 1 del konsentrert saft gir 5 delar saftblanding.
Forholdet mellom konsentrert saft og saftblandinga er derfor 1 : 5.
1.34
På ei flaske med konsentrert saft står det at forholdet mellom konsentrert saft og vatn skal vere 1 : 3.
Petra skal lage ei saftblanding med 6 dL konsentrert saft.
a Kor mykje vatn må ho tilsetje?
b Kva er forholdet mellom den konsentrerte safta og saftblandinga?
1.35
I eit idrettslag er forholdet mellom talet på gutar og talet på jenter 4 : 3.
Det er 490 medlemmer i idrettslaget.
Kor mange jenter og kor mange gutar er medlemmer i laget?
1.36 (Eksamen 1P våren 2019)
Eit flytande reingjeringsmiddel skal blandast med vatn i forholdet 2 : 5.
Du skal lage 10,5 L ferdig blanding.
Kor mykje reingjeringsmiddel og kor mykje vatn treng du?
SNAKK
Pia og Trine skal løyse denne oppgåva:
Du har laga 10 dL saftblanding. Forholdet mellom konsentrert saft og vatn er 2 : 3.
Denne blandinga blei for sterk.
Kor mykje vatn må du tilsetje for at blandingsforholdet skal bli 1 : 4?
Trine
slik:
Pia reknar slik:
Før påfylling: 5 delar blanding svarer til 10 dL.
1 del: 10dL 5 2dL |
Eg må tilsetje 10 dL vatn.
Etter påfylling: 4 dL konsentrert saft skal no svare til 1 del.
dL
Eg må tilsetje (16 6) dL = 10 dL vatn.
Pia skjønner ikkje heilt løysinga til Trine, og Trine skjønner ikkje heilt løysinga til Pia.
Korleis vil du forklare dei to løysingane?
1.37
Du har blanda eit reingjeringsmiddel med vatn i forholdet 3 : 8.
Du har ei bøtte med 6,6 L av denne blandinga.
Du oppdagar så at blandingsforholdet skal vere 3 : 10.
Kor mykje vatn må du tilsetje for å få rett blandingsforhold i bøtta?
1.38
Oskar har ei kanne med 10 L drivstoffblanding for ei motorsag.
Forholdet mellom bensin og olje er 15 : 1.
Kva må han gjere for at blandingsforholdet skal bli 20 : 1?
1.39
Amanda har 25 L ferdigblanda måling.
Forholdet mellom gul og blå måling er 2 : 3.
Kva må ho gjere for at forholdet skal bli 1 : 1?
RAUDE OPPGÅVER
1.40
Petter og Lars var på SydStranda.
Petter parkerte i 3,5 timar og betalte 105 kr i parkeringsavgift.
Lars betalte 165 kr.
Kor lenge parkerte Lars?
1.41
Eit saftmerke blir selt i to ulike flaskestorleikar.
Normalflaska inneheld 1,5 L saft og kostar 24,90 kr
Jumboflaska inneheld 5,0 L saft og kostar 69,90 kr.
I ei kasse ligg det fotballar og basketballar. Forholdet mellom talet på fotballar og talet på basketballar er 2 : 5. Det ligg 6 fotballar i kassa.
Kor mange ballar ligg det til saman i kassa?
1.44 (Eksamen 1P hausten 2017)
Kari er bakar. Ho har ei oppskrift på brød der det står at forholdet mellom mjøl og vatn skal vere 10 : 7. a Kor mykje vatn treng Kari dersom ho skal bruke 50 L mjøl?
Når Kari baker brød heime, bruker ho til saman 3,4 L mjøl og vatn.
b Kor mykje mjøl og kor mykje vatn bruker ho?
BLÅ OPPGÅVER
1.45
Nina får 1,2 liter eplejuice av 3,0 kg eple.
Kor mange kg eple må ho bruke for å lage 4,2 liter eplejuice?
1.46
Ein film varer lenger på kino enn på TV.
På kino blir filmar viste med 24 bilete per sekund. På TV blir dei viste med 25 bilete per sekund. Filmen Titanic varer i 175 minutt på kino. Kor mange minutt kortare er han på TV?
Samansette einingar
Vi har alt brukt ulike samansetteeiningar. Eininga kr/L er eitt døme.
få kr/mL, øre/mL og så vidare.
Rekning med einingar
Når vi reknar med einingar, får vi ofte behov for å gonge eller dele med 10, 100 eller 1000.
Bruk kalkulatoren til å kontrollere desse utrekningane:
Å gonge med 10 er det same som å flytte kommaet éin plass mot høgre.
Å gonge med 100 er det same som å flytte kommaet to plassar mot høgre.
Osv.
Å dele med 10 er det same som å flytte kommaet éin plass mot venstre.
Å dele med 100 er det same som å flytte kommaet to plassar mot venstre.
Osv.
SNAKK
Å dele med 10 er det same som å gonge med 0,1.
Å dele med 100 er det same som å gonge med 0,01.
Å dele med 1000 er det same som å gonge med 0,001.
Forklar desse hugsereglane.
DØME 11
Rekn ut.
a 4,5 ⋅ 100
b 8,5 : 100
c 65 : 1000
a 4,5 ⋅ 100 = 450
Vi skal gonge med 100, altså skal vi flytte kommaet to plassar mot høgre. Når vi har flytt kommaet éin plass, står det bak 5-talet. Vi skal flytte kommaet éin plass til, det er det same som å leggje til éin 0 bakarst.
b 8,5 : 100
Vi skal dele med 100, altså flytte kommaet to plassar mot venstre.
Vi skriv nokre nullar føre 8-talet. Då blir det lettare å flytte kommaet.
00008,5 : 100
8,5 : 100 = 0,085
c Når det ikkje står noko komma i eit tal, kan vi alltid «late som om» det står eit komma og null bak det bakarste sifferet.
65 : 1000 = 65,0 : 1000
Så bruker vi «knepet» med å skrive nokre nullar føre 6-talet. Då blir det lettare å flytte kommaet tre plassar mot venstre.
000065,0 : 1000 = 0,065
65 : 1000 = 0,065
1.47
Rekn ut.
a 2,65 ⋅ 10 b 4,3 ⋅ 100 c 5,0 ⋅ 1000
d 645,8 : 100 e 12,7 : 10 f 358 : 1000
1.48
Rekn ut.
a 8 : 10 b 65 : 100
c 95 : 1000
d 6 : 1000 e 25 : 1000 f 8 : 1000
Vi får ofte bruk for å gjere om frå ei eining til ei anna. Då kan figurane nedanfor vere til hjelp.
Prefiks
Lengd
Ved omgjering av einingane i kvar rad gongar eller deler vi med 10 for kvar rute.
Eit kvadrat har sider med lengda 1,0 m.
Arealet er då 1,0 m 1,0 m = 1,0 m2
Bruker vi dm som eining, er sidene 10 dm lange.
Arealet blir då 10 dm 10 dm = 100 dm2
Vi ser at når vi går frå m2 til dm2, så må vi gonge med 10 10 = 100.
Det vil seie at vi flytter komma to plassar mot høgre.
Ved omgjering mellom volumeiningane m3, dm3 cm3 og mm3 gongar eller deler vi med 1000 for kvar rute.
Ved omgjering mellom volumeiningane L, dL, cL og mL gongar eller deler vi med 10 for kvar rute.
Einingane for tid skil seg ut ved at dei ikkje er baserte på titalssystemet. Det er 60 sekund i eitt minutt, 60 minutt i éin time og 24 timar i eitt døgn. Då kan vi setje opp figuren til venstre.
DØME 12
Bruk figurane på den førre sida til å gjere om
a 35 dm til mm d 300 cL til cm3
b 750 kg til tonn e 2 h og 4 min til sekund
c 200 cm2 til dm2
a 35 ⋅ 100 = 3500
Altså er 35 dm = 3500 mm. dmcmmm 10 10
b 750 : 1000 = 0,75
Altså er 750 kg = 0,75 tonn. tonn kg : 10: 10 : 10
c 200 : 100 = 2
Altså er 200 cm2 = 2 dm2
1.49
d 300 : 100 = 3
3 1000 = 3000
Altså er 300 cL = 3000 cm3
:10
e 2 60 60 = 7200
4 60 = 240
Altså er 2 h 4 min = 7440 s. hmins 60 60
Kva for ei eining er det mest naturleg å bruke for a lengda av ein søndagstur på ski b vekta av ein bil c høgda av ein person d ventetida på neste buss
1.50
Kva skal det stå i dei tomme rutene i tabellen?
Den første linja viser eit døme.
1.51
Frida joggar kvar dag. Ei veke noterte ho ned desse distansane:
Kor langt jogga Frida denne veka? Vel ei eining som passar.
1.52 (Eksamen 1P våren 2017)
Du har 15 L saft. Du skal helle safta over i beger.
I kvart beger er det plass til 2 dL.
Kor mange beger kan du fylle?
1.53
Arealet av skjermen til eit nettbrett er 4,07 dm2
Kor mange kvadratcentimeter svarer det til?
1.54
Utanfor Callekiosk står det på ein plakat: Smågodt 11,50 kr/hg.
Kari les plakaten og seier til Lars: då kostar 1 kg smågodt 115 kr.
Korleis trur du Kari har tenkt?
1.55 (Eksamen 1P våren 2018)
I ei oppskrift står det at du treng 4 dL mjølk og 500 g kveitemjøl for å lage 12 bollar. Tenk deg at du har 1 L mjølk og 1,5 kg kveitemjøl.
Kor mange bollar kan du lage dersom du følgjer oppskrifta?
1.56
a Klokka er 16.42, og Ailo skal rekke eit tog kl. 21.05.
Kor lenge er det til toget går?
Oppgi svaret i timar og minutt.
b Den 4. juli kl. 12.30 startar Ola på ein fjelltur.
Han kjem heim den 6. juli kl. 10.45.
Kor lenge har han vore borte?
Oppgi svaret i døgn, timar og minutt.
DØME 13
Ein pose med tre appelsinar veg 580 gram og kostar 24,07 kr.
Kor mykje kostar appelsinane per kg?
24,07kr 580g 24,07kr 0,580kg 41,50kr/kg ||
Appelsinane kostar 41,50 kr per kg.
1.57
Ei pakke med 300 g smågodt kostar 28,50 kr.
Kva er prisen i kroner per kg?
1.58
Peter finn at prisen for 1,5 g safran hos ein nettbutikk er 141 kr
Kva svarer dette til i kroner per kg?
1.59 (Eksamen 1P våren 2022)
Ved ein temperatur på 22 °C veg 1 L olje 0,9214 kg.
a Kor mange gram veg 10 mL av oljen ved denne temperaturen?
Oljen i eit beger veg 556,6 g ved ein temperatur på 22 °C.
b Kor mange desiliter olje er det i begeret?
1.60
Ein bil bruker 20 L bensin på å køyre 350 km.
Vi går ut frå at bensinforbruket er proporsjonalt med køyrelengda.
Kor mykje bensin vil bilen bruke på ein tur på 56 mil?
Finn svaret på minst to ulike måtar.
1.61
I 2024 budde det 5,52 millionar personar i Noreg. Arealet av Noreg er 385 207 km2. Sverige har eit areal på 449 964 km2, og folketalet i 2024 var 10,58 millionar.
Rekn ut folketettleiken målt i personar per km2 i Noreg og i Sverige.
Rund av til heile tal.
DØME
14
Når vi reknar med einingar, får vi kontroll på at vi har tenkt rett.
Ei flaske hostesaft på 2,0 dL inneheld 20 mg/mL av eit verkestoff.
Kor mange gram verkestoff er det i flaska?
Her må vi passe på einingane når vi reknar.
Flaska rommar 2,0 dL, som er det same som 200 mL.
1.62
I Banekiosken kostar druer 35 kr/kg. Kor mykje kostar ein pose med 600 gram druer?
1.63
Energiforbruk blir ofte oppgitt i kilokaloriar, som vi forkortar kcal. Personar på 70 kg forbrenner om lag 300 kcal/h når dei går fort. Per går ein rask tur. Han startar heimanfrå kl. 17.00 og kjem heim kl. 19.45. Kor stort har energiforbruket til Per vore?
1.64
I ein brosjyre for ein bil les vi at CO2-utsleppet er 16 g/km.
Frå Oslo til Alta er det 170 mil.
Kor mange kg CO2 vil denne bilen sleppe ut når han køyrer tur-retur Oslo–Alta?
Fart
Fart er strekning per tid. Oppgir vi strekninga i kilometer og tida i timar, får vi den mest vanlege fartseininga i Noreg: km/h. Ei anna vanleg fartseining er m/s (meter per sekund).
Vi veit at 1 km = 1000 m, og at 1 h = 3600 s, og får derfor
||| 1km/h 1km 1h 1000m 3600s 1 3,6 m/s
Når vi reknar om frå km/h til m/s, deler vi med 3,6.
Når vi reknar om frå m/s til km/h, gongar vi med 3,6.
DØME 15
DØME 16
m/skm/h
3,6 :3,6
På ein test sprang Sara 2000 m på 10 minutt og 10 sekund. Finn gjennomsnittsfarten til Sara. Oppgi svaret i m/s og km/h.
Tida i sekund: 10 60 + 10 = 610
2000 610 3,28 |
Den gjennomsnittlege farten var 3,28 m/s.
Vi bruker figuren ovanfor til å finne farten i km/h.
3,28 m/s = 3,28 3,6 km/h = 11,8 km/h
Line og laget hennar sykla 191 km frå Lillehammer til Oslo med ein gjennomsnittleg fart på 39,7 km/h. Kor lang tid brukte dei på distansen?
Farten var 39,7 km/h. Dei sykla altså 39,7 km på éin time. Vi deler den totale strekninga i km med kor mange kilometer dei sykla på éin time:
191 39,7 4, 811 | 4,811 h = 4 h + 0,811 h
tid strekning fart ||
Vi gjer om 0,811 timar til minutt.
0,811 ⋅ 60 = 48,66
48,66 min = 48 min + 0,66 min
Til slutt gjer vi om 0,66 minutt til sekund.
0,66 60 = 39,6
0,66 min = 39,6 s
Line og laget brukte 4 timar 48 minutt og 39,6 sekund på turen.
1.65
Ein bil køyrer i 70 km/h. Kor mange m/s svarer det til?
1.66
Køyreavstanden mellom Åndalsnes og Trondheim er 303 km.
Oppgi svaret i m/s og km/h.
1.67
Elena bruker 1 time og 15 minutt på å springe ein rundtur i nabolaget.
Ho spring med ein gjennomsnittleg fart på 2,5 m/s.
Kor mange mil er runden?
1.68
Vinnaren av Finnmarksløpet 2023 brukte 6 døgn, 19 timar og 35 minutt på den 1200 kilometer lange traseen.
a Rekn ut den gjennomsnittlege farten (inkludert pausar) i km/h.
Oppgi svaret med éin desimal.
Bruk svaret ditt frå oppgåve a vidare i oppgåva.
Løpet har også ein kortare trasé på 560 km.
b Kor lang tid vil utøvaren bruke på denne distansen med same gjennomsnittlege fart som i oppgåve a?
Vinnaren av den korte traseen brukte 2 døgn, 14 timar og 23 minutt.
c Kva er differansen mellom tida du fann i oppgåve b, og denne tida?
SNAKK
Henry skal springe 60-meter i kroppsøvingstimen. Lærar Ole meiner han bør setje seg som mål å springe på under 10 sekund. Henry meiner at dette er heilt urealistisk, men Ole er ikkje einig. Han grunngir det slik: «Verdsrekordhaldaren i maraton brukte omtrent 10 sekund på kvar einaste 60-meter på distansen.»
Held grunngivinga til Ole?
Massetetthet
Helium er eit grunnstoff som mellom anna har livsviktige bruksområde innanfor medisin. Helium er derfor ein ressurs vi fryktar at vi kan få mangel på.
Når vi slepper ein heliumballong, vil han stige til himmels, og heliumet er tapt for oss for alltid. Ballongen stig fordi helium har mindre massetettleik enn luft. 3. Det vil seie at 1 m3 helium
1,2 kg/m≥. Det vil seie at 1 m3 luft har massen 1,2 kg.
massetettleik masse volum ||
Eininga for massetettleik er avhengig av val av masseeining og volumeining. Både kg/m3, g/L og tonn/m3 er døme på einingar for massetettleik.
DØME 17
Betong har massetettleik 2300 kg/m3
a Kva vil det seie?
b Oppgi massetettleiken til betong i g/cm3
a At betong har ein massetettleik på 2300 kg/m3, vil seie at 1 m3 betong har ein masse på 2300 kg.
b Vi veit at 1 kg = 1000 g, og at 1 m3 = 1 000 000 cm3
Vi skriv 1 kg med eininga g og 1 m3 med eininga cm3.
DØME 18
Å gonge med 4
er det same som å doble to gonger.
Ein liten klump sølv har eit volum på 0,004 dm3.
Kor stor masse har klumpen når sølv har massetettleiken 10,5 g/cm3?
Vi gjer om volumet til cm3:
0,004dm0,0041000cm4cm 33 3 =⋅=
Vi veit at massen av 1 cm3 sølv er 10,5 g, og vi har 4 cm3 sølv.
10,5 4 = 42
Sølvklumpen har ein masse på 42 g.
1.69
Gjer om til g/cm3 a 2100 g/dm3 b 22,65 kg/dm3 c 11 350 g/L d 720 mg/mL
1.70
Granitt har ein massetettleik på 2,6 kg/dm3
Arne kjøper granittheller til hagen. Kvar helle har eit volum på 0,0096 m3
Rekn ut massen av kvar helle. (Hint: Pass på einingane dine.)
1.71
Ein grankubbe har eit volum på 8,0 dm3
a Rekn ut massetettleiken til grankubben. 3
b Vil grankubben flyte eller søkke? Grunngi svaret.
1.72
På ein terrasse ligg det 2600 dm3 snø. 3
Kva veg snøen på terrassen?
SNAKK
«Dersom eg blir usikker på om eg skal gonge eller dele i slike oppgåver, ser eg berre på einingane.
Dersom eg gongar noko som har eininga g/cm3 med noko som har eininga cm3, kan eg forkorte cm3 mot cm3. Då står eg att med g som eining i svaret, og då veit eg at eg har funne massen.»
RAUDE OPPGÅVER
1.73 (Eksamen 1P våren 2021)
Ein kopp med 220 mL cappuccino kostar 22 kr. Kor mykje kostar cappuccinoen per liter?
1.74
I ei oppskrift står det at du treng 2 dL mjølk og 300 g kveitemjøl for å lage 8 bollar. Tenk deg at du har 1 L mjølk og 1,7 kg kveitemjøl. Kor mange bollar kan du lage dersom du følgjer oppskrifta?
1.75
Bilen til Anette har eit bensinforbruk på 0,8 L/mil. a Kva vil det seie?
Ho har 55 L på tanken. b Kor mange kilometer kan ho køyre før tanken er tom?
1.76
1 knop er ei vanleg eining for farten på skip. 1 knop svarer til ei nautisk mil per time. Ei nautisk mil er 1852 m. Kor mykje svarer 1 knop til i km/h og i m/s?
1.77 (Eksamen 1P hausten 2021)
Ein tunell er 24 kilometer lang. Audun køyrer gjennom halve tunellen med ein gjennomsnittsfart på 80 km/h. På grunn av vegarbeid må han så bremse ned og køyrer resten av tunellen med ein gjennomsnittsfart på 60 km/h.
Kor mange minutt bruker Audun på å køyre gjennom tunellen?
1.78 (Eksamen 1P hausten 2024)
Ein lege rører ut eit pulver i vatn for å lage medisin til ein pasient.
Legen bruker 6 mg av pulveret per milliliter vatn.
Pasienten veg 75 kg og skal ha 15 mg pulver per kilogram kroppsvekt kvart døgn, fordelt på tre like store dosar. Kor mange milliliter av medisinen skal pasienten ha i kvar dose?
BLÅ OPPGÅVER
1.79 (Eksamen 1P våren 2017)
Tenk deg at du skal blande raud og blå måling i forholdet 2 : 5.
a Kor mykje raud måling må du tilsetje dersom du har ein boks med 7,5 dL blå måling?
b Kor mykje raud måling treng du for å lage 21 L ferdig blanding?
Du har 21 L ferdig blanding i forholdet 2 : 5, men ønskjer ei blanding i forholdet 1 : 3.
Du vil ordne dette ved å tilsetje litt meir av den eine fargen.
c Kva for ein farge må du tilsetje?
Kor mykje må du tilsetje av denne fargen?
1.80
Åshild har arva ein ring som ho trur er laga av sølv.
Ringen har eit volum på 1,2 cm3 og veg 12 gram. Sølv har massetettleiken 10,5 kg/dm3
Er det rimeleg å tru at ringen er laga av sølv?
1.81
Netflix, laste opp bilete til lagringstenester og surfe raskt.»
Breibandshastigheita er 90 Gbit/h heime hos Gro.
Er det godt nok til å strøyme Netflix?
1.82
in varmeomn har ein effekt på 1500 W.
a Kor mange kilowatt (kW) svarer dette til?
Omnen står på i åtte timar.
b Kor mange kWh bruker omnen i dette tidsrommet?
c Kor mange joule (J) svarer dette til når 1 W = 1 J/s?
d Kor mykje kostar dette når prisen er 123 øre/kWh?
1.83
Sara spring med den nye pulsklokka.
Ho les av at ho har hatt eit tempo tilsvarande 5 minutt og 27 sekund per kilometer.
a Kor langt spring ho på éin time dersom ho held same tempo?
b Kva er den gjennomsnittlege farten til Sara i m/s?
c Ein halvmaraton er 21 097,5 meter. Når vil Sara komme i mål dersom ho startar ein halvmaraton kl. 13.30 og spring med den same gjennomsnittlege farten som du fann i oppgåve b?
1.84
Ein bil bruker 0,6 liter bensin per mil.
a Kor mykje bensin bruker bilen på å køyre 150 km?
b Omtrent kor langt kan bilen køyre på ein tank som rommar 56 liter?
I USA måler dei vegstrekningar i miles, og volum måler dei i gallons.
1 mile = 1609 m, og 1 US gallon = 3,785 liter.
c Korleis vil du oppgi bensinforbruket i miles/gallon til ein venn i USA når det i Noreg blir oppgitt til å vere 0,6 L/mil?
Formlar
På side 32 las du om fart. Lèt vi v stå for fart, s for strekning og t for tid, finn vi farten ved å bruke formelen v s t |
På tilsvarande måte finn vi massetettleiken ved å bruke formelen dm V | Her står d for massetettleiken, m for massen og V for volumet.
Når vi set inn tal i ein formel, kan vi anten få svaret vi er ute etter, eller ei likning vi kan løyse for å finne svaret.
Formlar frå geometrien
Areal: Agh 2 |
Areal: Alb |
Areal: A abh() 2 = +
Omkrins: Or 2 =π
Areal: Ar 2 =π
Volum: Vlbh |
Overflateareal: Albbhlh 222=+ + Sylinder r h
Volum: Vrh 2 =π
Overflateareal: Arrh 22 2 =π+π
DØME 19
3 dm
Rekn ut arealet av rektangelet. 50 cm
Når vi set inn i formelen A = lb, må lengda og breidda ha same eining.
Vi vel å rekne ut arealet i cm2
Breidda er 3 dm, som er det same som 30 cm.
A = lb = 50 30 = 1500
Arealet av rektangelet er 1500 cm2
1.85
Ei eske har form som eit prisme.
Eska har desse måla: lengde 25 cm, breidde 8 cm og høgde 5 cm.
a Rekn ut volumet av eska i liter.
b Rekn ut overflata av eska i dm2
1.86
Eit kredittkort har form som eit rektangel med lengde 0,851 dm og breidde 5,39 cm.
Rekn ut arealet av kredittkortet i kvadratcentimeter.
1.87
Hos mange flyselskap er maksimalstorleiken på handbagasjen (ytre mål) 55cm40cm23cm
Kor stort ytre volum har ein slik handbagasje?
Vel sjølv ei høveleg eining for svaret.
1.88
Ein fiskebolleboks har tilnærma sylinderform. Diameteren er 10 cm, og høgda er 11 cm.
a Rekn ut volumet av boksen.
b Rekn ut overflata av boksen. 10 cm 11 cm
DØME 20
Lag eit rekneark som reknar ut arealet av ein sirkel når radiusen er 1 cm, 2 cm, 3 cm og så vidare opp til og med 10 cm.
Arealet av ein sirkel er =π Ar 2. Dersom vi i ei tom celle i Excel skriv =PI() og klikkar Enter, får vi π med 15 siffer. Prøv sjølv!
Ein formel i eit rekneark må alltid starte med =.
For å vise formlane vel vi først Formlar 1 og deretter Vis formlar 2
Skriv inn formelen, klikk i det nedste høgre hjørnet, dra krysset nedover. Då blir formelen kopiert. 1 2
1.89
Her skal du ta for deg forholdet mellom arealet av ein sirkel og ei kuleflate med same radius. Overflata av ei kule er gitt ved formelen Or 4 2 π =
a Lag eit rekneark som vist ovanfor. Skriv inn 1 i den gule cella og formlar i dei blå cellene slik at heile tabellen blir fylt ut. Radiusen skal vere 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm og 5 cm.
b Kva kallar vi samanhengen mellom desse to areala?
DØME 21
Lag eit program som reknar ut volumet av ein sylinder når radiusen er 4 cm og høgda er 10 cm.
Volumet av ein sylinder er gitt ved formelen Vrh 2 =π
Då treng vi å vite kva π er. Vi kunne ha skrive 3,14 i formelen, men vi har i staden valt å hente π frå modulen math i Python. Det gjer vi i linje 1 i programmet nedanfor.
from math import pi # importerer pi
r = 4 # radiusen h = 10 # høgda
V = pi * r**2 * h # formelen for volumet
print("Volumet av sylinderen er", round(V, 1), "kubikkcentimeter.") r**2 vil seie r opphøgd i andre.
1.90
Gjer nødvendige endringar slik at programmet i døme 21 reknar ut volumet av ein sylinder med radius 1,5 m og høgde 5 m. Svaret skal du oppgi som eit heilt tal.
1.91
Volumet av ei kule med radius r er gitt ved formelen = π V r 4 3 3
Lag eit program som reknar ut volumet av ei kule med radius 5,0 cm.
Svaret skal du gi med tre desimalar.
1.92
Tore har begynt å lage eit program som skal rekne ut omkrinsen av eit rektangel:
8.1 print(s)
a Kva må Tore skrive inn i linje 4?
b Tore ønskjer at programmet skal skrive ut svaret med éin desimal.
Kva må han då endre i linje 6?
DØME 22
Fleire formlar
Det finst fleire måtar å anslå kor høgt eit barn blir som vaksen.
Dersom barnet er ein gut, kan vi bruke formelen G
Dersom barnet er ei jente, kan vi bruke formelen J
MF 13 2 = ++
MF 13 2 = +−
I desse formlane står M for høgda til mor i cm og F for høgda til far i cm.
Lag eit rekneark du kan bruke til å anslå høgda av eit barn som vaksen dersom mora er 170 cm høg og faren er 184 cm høg.
Rekneark med og utan formelvising:
høgda rekna ut etter formelen J MF 13 2 = +− . Dersom ikkje, er det ein gut, og høgda blir rekna ut etter formelen G MF 13 2 = ++
1.93
Lag eit rekneark som i døme 22.
Bruk reknearket til å anslå høgda som vaksen dersom
a høgda til mor er 174 cm, høgda til far er 191 cm og barnet er ein gut b høgda til mor er 161 cm, høgda til far er 179 cm og barnet er ei jente
1.94
Energiinnhaldet i mat blir oppgitt i kilojoule (kJ) eller i kilokaloriar (kcal). 1 kcal svarer til 4,18 kJ.
Vi finn energiinnhaldet i mat med formelen E = 17K + 17P + 37F, der E er energiinnhaldet i kJ, K er kor mange gram karbohydrat det er, P angir kor mange gram protein det er, og F viser kor mange feitt gram det er.
På ein pose peanøtter står det at 100 g inneheld 9,9 g karbohydrat, 24,7 g protein og 53,0 g feitt.
Rekn ut energiinnhaldet i 100 g peanøtter.
Gi svaret både i kJ og i kcal.
1.95
I mange engelskspråklege land blir temperaturen målt i fahrenheitgradar, °F.
Lèt vi C står for celsiusgradar og F for fahrenheitgradar, er samanhengen gitt ved
CF(32) 5 9 =−⋅
a Kor mange celsiusgradar er 40 fahrenheitgradar?
b I New York steig temperaturen ein dag frå 50 °F til 60 °F.
Kor stor var temperaturauken målt i celsiusgradar?
RAUDE OPPGÅVER
1.96
Rekn ut arealet av ein trekant der grunnlinja er 8 dm og høgda er 5 cm.
1.97
Den årlege produksjonen frå ein bestemt type vindmølle finn vi ved formelen E = 0,15 L2
E er den årlege energiproduksjonen i kWh, og L er lengda av vengene i centimeter.
Lag eit program som reknar ut den årlege energiproduksjonen når lengdene av vengene er 80 cm.
1.98
Kva for påstandar er rette?
a Arealet av ein sirkel er proporsjonalt med radiusen.
b Omkrinsen av ein sirkel er proporsjonal med radiusen.
c Arealet av ein sirkel er proporsjonalt med radiusen kvadrert r 2 ()
BLÅ OPPGÅVER
1.99
Vi finn volumet av ei kjegle med radius r og høgde h ved formelen = π V rh 3 2
Kva skjer med volumet dersom vi
a held radiusen konstant og doblar høgda
b held høgda konstant og doblar radiusen
c doblar både høgda og radiusen
1.100
Testar har vist at vi kan finne makspulsen for friske vaksne menneske mellom 18 år og 70 år ved å gonge alderen med 0,64 og trekkje dette frå 211.
a Bruk dette til å rekne ut makspulsen for Ole på 38 år.
b Kall makspulsen for M og alderen for A. Finn ein formel for M.
1.101 (Eksamen 1P hausten 2015)
Formlane nedanfor kan vi bruke til å anslå kor høgt eit barn vil bli i vaksen alder.
Gut: (høgda til far + høgda til mor) ⋅ 0,5 + 7
Jente: (høgda til far + høgda til mor) ⋅ 0,5 7
Høgda til mor og far er oppgitt i centimeter.
a Kor høge vil Ola og Kari bli i vaksen alder ifølgje formlane ovanfor?
Ein annan familie består av mor, far og sonen Per, som no er vaksen. Far er 186 cm høg, og Per er 189 cm høg.
b Kor høg er mor i denne familien ifølgje den første formelen ovanfor?
Skjermstorleiken er oppgitt i tommar, og 1 tomme = 2,54 cm.
Bruk regelen ovanfor når du svarer på oppgåve a og b.
a Jean ser på ein TV med ein skjerm på 65 tommar.
Kva vil anbefalt sitjeavstand til denne TV-en vere?
Skjermstorleiken på ein TV er lengda av diagonalen i tommar.
b Jeanette skal kjøpe ein ny TV. Avstanden frå sofaen til der TV-en skal stå, er 2,5 m. I butikken finn ho TV-ar med skjerm på 35 tommar, 40 tommar, 45 tommar og så vidare.
Kva for ein TV bør Jeanette kjøpe dersom ho følgjer regelen om anbefalt sitjeavstand?
c Vi lèt L vere sitjeavstanden i meter til ein TV med skjermstorleik d Finn ein formel for L.
d Er det rett å seie at skjermstorleiken er proporsjonal med sitjeavstanden? Grunngi svaret.
1.105
I ein bank i Danmark får du opplyst at 100 danske kroner (DKK) kostar 156,40 norske kroner (NOK).
Du skal betale ei rekning på 12 500 norske kroner med danske kroner.
Kor mykje må du betale i DKK? Sjå bort frå eventuelle gebyr.
1.106
Siri skal møte Kristin på ein kafé kl. 14.00.
Ho reknar med å sykle dit med ein gjennomsnittleg fart på 4,2 m/s. Når bør ho seinast sykle heimanfrå dersom ho bur 3,8 km frå kafeen?
1.107
Gjer om til kg/m3
a 0,0021 kg/dm3
b 100 g/dm3
c 0,085 g/cm3
d 7 mg/mL
1.108
Sverre tek to kapslar med kosttilskot kvar morgon. Kor mange gram vitamin C og kor mange gram vitamin D er det i kvar kapsel han tek?
1.109 (Eksamen 1P hausten 2023)
Tobias lurer på kor mykje vatn han bør drikke kvar dag.
Han finn ulike svar på ulike nettsider.
På ei nettside finn han teksten nedanfor.
Vaksne har kvart døgn behov for ca. 30 mL væske per kilogram kroppsvekt. Hugs at vatn er den beste tørstedrikken.
Tobias veg 70 kg.
Kor mange liter vatn bør Tobias drikke kvart døgn ifølgje nettsida?
1.110
Andreas og Tiril kjøper nytt kjøleskap. I spesifikasjonane står det at det bruker 113 kWh/år.
Kor mykje kostar det å la kjøleskapet stå på i eitt år dersom prisen i gjennomsnitt er 132,6 øre/kWh?
1.111
Kvar av storleikane til venstre er lik éin til høgre. Kva for nokre er like?
0,002 kg 200 mg 2000 g 2 hg
0,2 tonn 2000 mg
200 000 mg 200 000 g
200 hg 0,002 tonn
0,0002 kg 20 kg
1.112 (Eksamen 1P hausten 2015)
På figuren ovanfor ser du rundballar som inneheld fôr til husdyr.
Ein rundball har tilnærma form som ein sylinder med diameter og høgde lik 1,2 m.
a Gjer eit overslag og bestem volumet av ein rundball. Gi svaret i liter.
b Gjer eit overslag og bestem overflata av ein rundball.
1.113 (Eksamen 1P hausten 2016)
Ein bensintank har form som eit rett, firkanta prisme.
Tanken er 40 cm brei, 90 cm lang og 30 cm høg (innvendige mål).
Kor mange liter rommar tanken?
1.114
På aftenposten.no kan vi lese at barneskuleelevane Sven og Arman har funne ut at det kvart år blir kasta over éin million liter mjølk fordi det er vanskeleg å få ut alt innhaldet av kartongane.
Eit plaskebasseng for barn rommar 200 dm3
Kor mange slike basseng kan vi minst fylle med mjølka som blir kasta?
1.115
Den engelske og amerikanske lengdeeininga inch (in) er det same som ein tomme.
1 in = 1″ = 2,54 cm og 1 fot = 30,48 cm.
a Kor mange tommar er det i ein fot?
b Vis at det stemmer.
c Gjennomsnittshøgda for menn i USA er 69 in. Oppgi høgda i fot og tommar.
1.116 (Eksamen 1P hausten 2023)
Snorre har høyrt at sjokolade er giftig for hundar, og lurer på kva han skal gjere. Han finn informasjonen nedanfor på helsenorge.no:
Sjokolade inneheld teobromin, som er giftig for hundar.
I norsk mjølkesjokolade er det ca. 1,2 mg teobromin per gram sjokolade.
Hundar som har ete meir enn 20 mg teobromin per kg kroppsvekt, kan få kliniske teikn på forgifting.
Kontakt veterinær dersom hunden din har ete ei giftig mengde sjokolade.
Gjer deg opp ei meining, lag berekningar og vurder om Snorre bør kontakte veterinær.
1.117 (Eksamen 1P hausten 2018)
Eit konditori sel marsipan. Tabellen nedanfor viser prisen for pakker med 3, 5 og 8 marsipangriser.
Kor mange marsipangriser 358
Pris per pakke (kroner) 72120180
a Er talet på marsipangriser og pris per pakke proporsjonale storleikar?
I konditoriet bruker dei ei oppskrift på marsipan der det står at forholdet mellom mandlar og melis skal vere 2 : 3.
b Kor mykje melis treng dei til 700 g mandlar?
I ein ferdiglaga porsjon marsipan er det til saman brukt 7,5 kg mandlar og melis. Porsjonen er laga etter oppskrifta ovanfor.
c Kor mykje mandlar og kor mykje melis er det brukt til denne porsjonen?
1.118 (Eksamen 1P hausten 2020)
Intravenøst drypp blir brukt for å gi pasientar væsker og flytande medisinar
For å rekne ut drypphastigheita H i dropar per minutt for intravenøse drypp bruker ein formelen
H dv t 60 = ⋅ ⋅ , der
d er dropefaktoren målt i dropar per milliliter
v er volumet i milliliter av den intravenøse væska
t er kor mange timar det vil ta å tilføre den intravenøse væska
Ein pasient skal ha intravenøse drypp i 2 timar. Volumet av den intravenøse væska er 240 mL. Dropefaktoren er 20 dropar per milliliter.
a Rekn ut drypphastigheita H
b Kva skjer med H dersom t blir dobla og d og v ikkje blir endra?
Ein annan pasient skal ha intravenøse drypp i 3 timar med ei drypphastigheit på 50 dropar per minutt. Dropefaktoren er 25 dropar per milliliter.
c Bestem volumet av den intravenøse væska denne pasienten skal ha.
1.119 (Eksamen 1P hausten 2020)
Kva for kaffi vil du lage
Kor mykje vil du ha?
Så mykje kaffi treng du 6
Sjå framgangsmåte
Ovanfor ser du eit bilete av ein kaffikalkulator frå Friele. Kalkulatoren bereknar kor mykje kaffi du treng for å lage filterkaffi. På biletet viser kalkulatoren kor mykje kaffi du treng for å lage 1 L filterkaffi.
a Kor mange desiliter filterkaffi blir det i kvar kopp?
b Kor mange strokne måleskeier kaffi vil denne kaffikalkulatoren berekne til 1,5 L filterkaffi?
FILTERKAFFI
Kula, kjegla og sylinderen på figuren har alle den same radiusen. Høgda i kjegla og sylinderen er like stor som denne radiusen.
a Lag eit rekneark som det som er vist nedanfor. Skriv inn talet 1 i den gule cella og formlar i dei blå cellene slik at heile tabellen blir fylt ut. Du får bruk for at volumet av ei kjegle er V rh 3 2 = π , og at volumet av ei kule er V r 4 3 3 = π
b Kva må radiusen vere for at kula skal ha eit volum på 1,0 L?
c Kva kan du seie om det samla volumet av kjegla og sylinderen?
d Kva kan du seie om forholdet mellom volumet av kula og volumet av kjegla?
e Kor stort volum har kjegla dersom kula har eit volum på 8,0 L?
f Vis med formlar at det du oppdaga i oppgåve c og oppgåve d, gjeld generelt.
SAMANDRAG
Proporsjonalitet
To variable storleikar (x og y) er proporsjonale dersom forholdet mellom dei er konstant, y x a | , der a er proporsjonalitetskonstanten.
Forhold
Forholdet mellom 2 og 5 er 2 5 eller 2 : 5.
Overslag når vi gongar
Vi byter ut det eine talet med eit større tal og det andre talet med eit mindre tal.
Einingar
Lengde
Volum
Overslag når vi deler
Vi byter ut begge tala med eit større tal eller med eit mindre tal.
Massetonnkg km kilo(k)hekto(h)deka(da)desi(d)centi(c)milli(m)
:10:10:10: :10:10:10:10:10 10
:10 :10 :10 dhmins 24 60 60
:60 :60 :24
Samansette einingar
Eininga m/s for fart er eit døme på ei samansett eining. Ho er sett saman av eininga for strekning, m, og eininga for tid, s.
Formlar
Ein formel gir oss samanhengen mellom to eller fleire storleikar. Døme: Agh 2 = ⋅ m³dm³cm³mm³
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Per køyrer elsykkel. Speedometeret viser 18 km/h. Kor mange m/s svarer det til?
Oppgåve 2
Lene kjøper flytande paracetamol til sonen sin. På pakka står det 24 mg/mL paracetamol. Kvar dose sonen tek, skal vere 10 mL. Han skal ta tre dosar kvart døgn.
Kor mange gram verkestoff paracetamol svarer denne døgndosen til?
Oppgåve 3
På Elvesvingen camping kostar det 650 kr å leige ei hytte eitt døgn. Kor mykje kostar det å leige ei hytte fem døgn dersom leigeprisen er proporsjonal med kor mange døgn du leiger hytta?
Oppgåve 4
Ola har laga eit program som skal rekne ut arealet av ein sirkel med radius 7,5 cm.
Programmet verkar ikkje. Kva for feil har Ola i programmet?
Oppgåve 5
Hygga gard sel eple.
Vekt i kg 2,546
Pris i kr 70108168
Undersøk om pris og vekt er proporsjonale storleikar.
Oppgåve 6
I 1973 vann hesten Secretariat løpet Belmont Stakes heile 31 hestelengder føre neste hest.
1 hestelengde 8 fot og 2 tommar
1 fot 30,48 cm
1 tomme 1 12 fot
a Vis at 1 hestelengde er 248,92 cm.
b Kor mange meter vann Secretariat med?
Vi reknar med at hestane spring med ein fart på 6 hestelengder per sekund.
c Kor mange kilometer i timen (km/h) svarer det til?
Oppgåve 7
Lise har fått lus på rosebusken sin.
Ho treng lusemiddel for å bli kvitt lusa.
I ein nettbutikk finn ho eit tilbod på lusemiddelet Super, som ho kan bruke.
Ei flaske med 250 mL Super kostar 300 kr.
På flaska står det:
a Kor mange liter ferdig utblanda lusemiddel får Lise av éi flaske Super?
b Kva blir prisen per liter ferdig lusemiddel?
2 Utforsking og generalisering
2A Partal og oddetal 56
2B Figurtal 64
2C Talfølgjer 74
2D Fleire talmønser 80
Kor mange kvadrat kan vi finne på eit sjakkbrett?
Ved første augekast vil nok mange seie at det er 64.
Men fire og fire av dei utgjer også eit kvadrat.
Det er 49 slike 2 × 2-kvadrat.
Kor mange 3 × 3-kvadrat er det?
Kor mange 4 × 4-kvadrat er det?
Ser du eit mønster?
Partal og oddetal
Dei positive partala er tala 2, 4, 6, …
Vi kan illustrere dei med figurar slik:
Det første partalet kan vi illustrere som eitt par.
Det andre partalet kan vi illustrere som to par.
Det tredje partalet kan vi illustrere som tre par.
Og slik held det fram.
Partalnr. 1:22 1
Partalnr. 2:42 2
Partalnr. 3:62 3
Partalnr.:22
Dersom vi skriv p1 for partal nummer 1, p2 for partal nummer 2 og held fram slik, får vi at p1 = 2, p2 = 4, p3 = 6 osv.
Partal nummer n, pn, er gitt ved formelen pn 2 n ||
Dei positive oddetala er tala 1, 3, 5, …
Vi kan illustrere dei med desse figurane:
Vi ser at oddetal nummer n er éin mindre enn partal nummer n.
Oddetal nummer n, on, er gitt ved formelen on21 n = =− .
DØME 1
Merk!
Formlane pn 2 n | og on21 n =− gir alle moglege partal og oddetal dersom n kan vere eit vilkårleg heilt tal. For tal vi kan illustrere med figurar, må n vere eit positivt, heilt tal: 1, 2, 3, …
Vi skriv dei positive oddetala i stigande rekkjefølgje.
a Kva for eit oddetal står på plass nummer 17?
b Kva for eit nummer i rekkjefølgja er oddetalet 91?
a Vi set n lik 17 og reknar ut: o 217133 17 =⋅−=
Oddetal nummer 17 er 33.
b Vi set on lik 91 og løyser likninga.
Vi deler med 2 på begge sider av likninga.
91 er oddetal nummer 46.
2.1
Vi skriv dei positive oddetala i stigande rekkjefølgje.
a Kva for eit oddetal står på plass nummer 29?
b Kva for eit oddetal står på plass nummer 100?
c Kva for eit nummer i rekkjefølgja er oddetalet 401?
2.2
Vi skriv dei positive partala i stigande rekkjefølgje.
a Kva for eit partal står på plass nummer 17?
b Kva for eit partal står på plass nummer 54?
c Kva for eit nummer i rekkjefølgja er partalet 200?
DØME 2
Forklar kva programmet gjer.
n = 1
while n < 51: partal = 2*n print(partal) n = n + 1
partal = 0
while partal < 100: partal = partal + 2 print(partal)
a Programmet skriv ut dei 50 første partala. I linje 1 er n sett til å vere 1. I lykkja får variabelen partal verdien 2n (linje 4) og blir skriven ut (linje 5).
Så blir verdien av n auka med 1. Dette skjer så lenge n er mindre enn 51.
Tabellen nedanfor viser kva som skjer.
nn < 51?partal
1Ja2 1 = 2 n blir auka til 2
2Ja2 2 = 4 n blir auka til 3
3Ja2 ⋅ 3 = 6 n blir auka til 4
49Ja2 49 = 98 n blir auka til 50
50Ja2 ⋅ 50 = 100 n blir auka til 51
51Nei – –
b Programmet skriv ut det same som i oppgåve a. Vi gir variabelen partal verdien 0 og går inn i while-lykkja. For kvar runde i lykkja aukar verdien av partal med 2, og verdien blir skriven ut. Lykkja blir gjenteken så lenge partal < 100. Det siste partalet som blir skrive ut, er derfor 98 + 2 = 100.
partalpartal < 100?
0Ja partal blir auka til 2
2Ja partal blir auka til 4
4Ja partal blir auka til 6
96Ja partal blir auka til 98
98Ja partal blir auka til 100
100Nei–
DØME 3
range(10)
range(5, 10)
Viss vi oppgir eitt tal, så vil sekvensen starte på 0 og gå til (men ikkje med) talet som blir oppgitt.
range(2, 10, 2)
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
5,6,7,8,9
2,4,6,8
Viss vi oppgir to tal, så vil det første talet fortelje kvar sekvensen startar, og det andre kvar sekvensen sluttar. Det siste talet kjem ikkje med.
Viss vi oppgir tre tal, så vil det siste talet vere avstanden mellom tala.
Forklar kva programmet gjer. a 1 2 3 for n in range(1 , 51): oddetal = 2*n - 1 print(oddetal)
b 1 2 for oddetal in range(1, 100, 2): print(oddetal)
noddetal
12 1 1 = 1
22 ⋅ 2 1 = 3
32 3 1 = 5
492 ⋅ 49 1 = 97
502 50 1 = 99
a Programmet skriv ut dei 50 første oddetala. Vi lagar ei for-lykkje der n tek verdiane frå og med 1 til og med 50 (51 er ikkje med). Kvar gong lykkja køyrer, får variabelen oddetal verdien 2n - 1, og verdien blir skriven ut. Sjå tabellen til venstre.
b Programmet skriv ut det same som i oppgåve a. Her har vi også brukt ei for-lykkje. Denne lykkja har steglengde 2 og startar med at oddetal tek verdien 1, og går til og med verdien 99. Variabelen oddetal får altså verdiane 1, 3, 5, …, 97, 99.
Kvar gong lykkja køyrer, blir verdien av oddetal skriven ut.
2.3
Ines har laga programmet nedanfor. 1 2 3 4 5 6 n = 5 while n < 9: p = 2*n print(p) n = n + 1
a Skriv av og fyll ut resten av tabellen nedanfor. nn < 9? p 5Ja2 5 = 10 n blir auka til 6 6
b Kva for tal blir skrivne ut?
Theo har laga programmet nedanfor.
c Kva blir utskrifta i programmet til Theo?
2.4
Nicholai har laga programmet nedanfor. Det skal skrive ut partala frå og med 500 til og med 550. Programmet verkar ikkje slik det skal. Kva har han gjort feil?
1 2 for partal in range(500, 550, 2): print (partal)
2.5
Lag eit program som skriv ut oddetala mellom 1000 og 1200 med ei
a while-lykkje
b for-lykkje
DØME 4
Otto har laga dei fire første figurane i ein figurserie.
Han ønskjer å halde fram med mønsteret.
abcabac ()+=+
a Kor mange prikkar treng han til figur nummer 5?
b Kor mange prikkar vil figur nummer n ha?
a I figur nummer 1 er det 2 1 prikkar.
I figur nummer 2 er det 2 3 prikkar.
I figur nummer 3 er det 2 5 prikkar.
I figur nummer 4 er det 2 7 prikkar.
Vi kjenner att mønsteret som det dobbelte av etterfølgjande oddetal.
I figur nummer 5 vil det derfor vere 2 9 prikkar, altså 18 prikkar.
b Talet på prikkar i figur nummer n er det dobbelte av oddetal nummer n, altså o 2 n ∃ . Vi set opp uttrykket og gongar ut parentesen:
onn 22(21)42 n ⋅=⋅−=−
Vi kunne også ha rekna slik:
oonn n 2121 42 nn+=−+− =−
Talet på prikkar i figur nummer n er n 42 4 .
Merk!
Vi kan la f1 vere talet på prikkar i figur nummer 1, f2 vere talet på prikkar i figur nummer 2 og halde fram slik. Då vil formelen for talet på prikkar i figur nummer n vere fn42 n =−
2.6
Nedanfor ser du dei fire første figurane i ein figurserie.
Gå ut frå at mønsteret held fram.
a Skildre mønsteret med ord.
b Teikn figur nummer 5. Kor mange prikkar vil den femte figuren ha?
c Kor mange prikkar vil den tiande figuren ha?
d Kor mange prikkar vil figur nummer n ha?
2.7
Rumi, Sofi og Felix jobbar med ein figurserie, og dei tre første figurane er illustrerte nedanfor. Dei ønskjer å finne ein formel for kor mange prikkar det er i figur nummer n når mønsteret held fram.
Eg ser at figurane er eit partal pluss 2.
Eg ser at figurane er eit oddetal pluss 3.
a Ta utgangspunkt i formlane for partal og oddetal og utsegnene til Rumi og Sofi, og vis at dei begge vil komme fram til at figur nummer n består av 2n + 2 prikkar.
b Forklar kvifor påstanden til Felix er rett.
Eg ser at det er eit partal, og partal nummer n er 2n
Her startar vi jo med partal nummer 2, derfor må talet på prikkar i figur nummer n være
2 · (n + 1) = 2n + 2. Felix
Rumi
Sofi
RAUDE OPPGÅVER
2.8
Til høgre ser du dei fire første figurane i ein figurserie.
Gå ut frå at mønsteret held fram. La r1 vere talet på prikkar
i figur nummer 1, r2 vere talet på prikkar
i figur nummer 2 og så vidare.
a Bestem r5
b Lag ein formel for talet på prikkar rn i figur nummer n
2.9
Vibe har laga programmet til høgre.
Kva for tal blir skrivne ut?
BLÅ OPPGÅVER
2.10
«Summen av to oddetal blir alltid eit partal.»
a Lag figurar som støttar denne påstanden.
2.11
b Kva kan du seie om summen av eit partal og eit oddetal? Illustrer. Eg ser at figurane er det dobbelte av eit oddetal pluss 1.
Sigurd, Vegard og Marie jobbar med figurserien til høgre. Dei ønskjer å finne ein formel for kor mange prikkar det er i figur nummer n dersom mønsteret held fram.
Undersøk påstandane deira.
Set opp uttrykket for kor mange prikkar det er i figur nummer n med utgangspunkt i kvar utsegn.
2.12
Kva gjer programmet?
Eg ser at figurane er det dobbelte av eit partal pluss 1. Eg ser at figurane er eit oddetal pluss eit partal.
Gå systematisk til verks og køyr programmet for ulike verdiar av a. Kva for eit mønster oppdagar du?
Kvadratet av eit tal er talet gonga med seg sjølv.
nnn 2 ⋅=
Figurtal
Vi har sett at vi kan illustrere partal og oddetal som figurar som består av kvadrat, prikkar eller liknande. Det finst fleire grupper av tal som på tilsvarande måte er knytte til figurseriar med eit veksande geometrisk mønster.
Kvadrattal
Figuren nedanfor illustrerer dei fire første kvadrattala
Lèt vi kvadrattal nummer n vere Kn , får vi
Vi seier at kvadrattal nummer n er kvadratet av n
1Figur 2
Figur 3
Figur 4
Tom har laga nokre figurar med perler ut frå eit bestemt mønster.
Han ønskjer å halde fram med å lage figurar med same mønster.
Vi lèt fnvere talet på perler i figur nummer n
a Kor mange perler er det i figur 5?
b Lag ein formel for talet på perler i figur n
a Vi kjenner att talet på perler i kvar figur som summen av to etterfølgjande kvadrattal.
f f f 12 1 (1 1)
2 (2 1)
3 (3 1)
4 ( 4 1)
Talet på perler i figur nummer 5 blir derfor f 56253661 5 22 =+=+=
b Formelen for kor mange perler det er i figur nummer n, blir fnn(1) n 22 =++
2.13
Sjå på døme 5.
Bruk formelen til å bestemme kor mange perler Tom treng totalt for å lage figur nummer 10.
Kor mange perler vil det vere av kvar farge då?
2.14
Nedanfor ser du dei tre første figurane i ein figurserie. Gå ut frå at mønsteret held fram.
a Skildre mønsteret med ord.
b Teikn figur nummer 4. Kor mange prikkar har den fjerde figuren?
c Kor mange prikkar har den tiande figuren?
d Kor mange prikkar har figur nummer n?
Figur
2.15
Matheo lagar figurar av kvite og blå kvadrat.
Figur 1Figur 2
Figur 3
a Skriv av og fyll ut det som manglar i tabellen.
b Kor mange kvadrat er det til saman i figur nummer 10?
c Kor mange kvite kvadrat treng Matheo for å lage figuren som har 100 kvadrat totalt?
2.16
Figurane nedanfor illustrerer dei fire første kvadrattala.
a Skildre fargeleggingsmønsteret i figurane ovanfor. Kor mange kuler er det av kvar farge i dei ulike figurane?
b Bruk den fjerde figuren til å forklare at summen av dei fire første positive oddetala er 16.
c Bestem summen av dei 100 første positive oddetala.
d Lag ein formel for summen av dei n første positive oddetala.
Rektangeltal og trekanttal
DØME 6
Figuren illustrerer dei fire første rektangeltala R1, R2, R3 og R4
a Lag ein formel for rektangeltal nummer n, Rn
b Er 192 eit rektangeltal?
a Vi ser at breidda av kvart rektangel er den same som nummeret til rektangeltalet, mens lengda er éin større enn nummeret.
NummerRektangeltal
1 R 212 1 (1 1) 1 ==⋅=⋅+ 2 R 62 3 2 (2 1) 2 ==⋅=⋅+ 3 R 12 34 3 (3 1) 3 ==⋅=⋅+ 4 R 2045 4 ( 4 1) 4 ==⋅=⋅+
Vi får altså
Rnnnn (1) n 2 =⋅+=+
b Dersom 192 er eit rektangeltal, finst det eit positivt heiltal, n, slik at R 192 n | Vi løyser likninga i CAS. R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12 R4 = 20
Ingen av løysingane er eit positivt heiltal, så 192 er ikkje eit rektangeltal.
2.17
Petter har laga programmet nedanfor.
1 2 3 for n in range(1, 4): r = n*(n + 1) print(r)
a Skriv av og fyll ut tabellen nedanfor.
nn*(n + 1)r
b Kva for tal blir skrivne ut?
2.18
Tala 1, 3, 6, 10, er trekanttala
a Ta utgangspunkt i figurane for rektangeltala, og lag figurar som illustrerer dei fire første trekanttala på ein slik måte at du kan grunngi kvifor dei har fått dette namnet. Kva samanheng er det mellom trekanttal og rektangeltal?
b Kva er det femte og det sjette trekanttalet?
c La Tn vere trekanttal nummer n. Vis at T nn(1) 2 n = ⋅+
d «Summen av to etterfølgjande trekanttal gir eit kvadrattal». Lag illustrasjonar som støttar denne påstanden.
2.19
Nedanfor ser du figurar som gir oss dei fire første hustala
a Følg same mønster, og teikn den femte figuren.
b Skriv opp dei sju første hustala.
c Kor mange prikkar treng du for å lage ein figur av det tiande hustalet?
d Kva samanheng er det mellom hustal, kvadrattal og trekanttal?
e Lag ein formel for kor mange prikkar det er i figur nummer n, H n
f Er 176 eit hustal?
Fleire figurtal
2.20
Nedanfor ser du dei tre første figurane i ein figurserie.
Vi går ut frå at mønsteret held fram.
a Teikn den fjerde figuren. Kor mange prikkar har han?
b Kor mange prikkar har den tiande figuren?
c Kor mange prikkar vil figur nummer n ha?
2.21
Daisy leiker med perler og lagar figurane ovanfor.
a Følg same mønster som Daisy, og teikn figur nummer 5.
b La Fn vere talet på perler i figur nummer n. Lag ein formel for Fn
c Kva for eit nummer i figurserien har figuren med 77 perler?
d Finst det ein figur i figurserien med 167 perler?
DØME 7
Max jobbar med figurserien ovanfor. Han ønskjer å finne ut kor mange kuler han treng totalt for å lage dei ti første figurane. Han lagar programmet nedanfor. Forklar programmet.
1 2 3 4 5 6 7 summen = 0
for n in range(1 , 11): figur = n**2 + n summen = summen + figur
print(summen)
n**2 er n2.
Figur nummer n er bygd opp av kvadrattal nummer n og ein «hale» med n kuler. Figur nummer n har derfor n2 + n kuler.
Max startar med å definere variabelen summen og set han lik 0. Deretter lagar han ei for-lykkje der n tek verdiane frå og med 1 til og med 10. I linje 4 blir figur nummer n rekna ut for kvar verdi av n. I linje 5 blir verdien av summen oppdatert. Den nye verdien av summen blir den gamle verdien av summen pluss talet på kuler i figur n. Når lykkja køyrer dei ti rundane, blir talet på kuler i dei ti ulike figurane summert.
I linje 7 blir den siste verdien av summen skriven ut.
nn**2 + nfigursummen + figursummen
Utskrifta blir 440
Med tal:
2.22
a Max har 1200 kuler og ønskjer å byggje figurane i døme 7.
Han startar med figur 1, byggjer deretter figur nummer 2 og held fram slik. Ta utgangspunkt i programmet til Max, og undersøk kor mange av figurane han maksimalt kan byggje. Kor mange kuler får han til overs?
b Sam ønskjer å løyse oppgåve a ved å bruke rekneark. Han lagar eit rekneark som vist nedanfor. Ta utgangspunkt i oppsettet til Sam og løys oppgåva.
Med formlar:
2.23
Til venstre ser du dei tre første figurane i ein figurserie.
Dei neste figurane følgjer same mønster.
a Lag ein illustrasjon av den fjerde figuren.
b Skriv opp dei fem første tala som figurane representerer.
c Bestem summen av dei fem første tala.
d Kor mange kvadrat treng du for å lage dei 20 første figurane?
Astrid har 1500 små kvadrat. Ho startar med å byggje den første figuren, så den andre figuren, og slik held ho fram.
e Kor mange av figurane kan ho lage? Kor mange kvadrat blir til overs?
2.24 (Eksamen 1P hausten 2021)
Marius og Maria arbeider i ein daglegvarebutikk.
Dei skal stable boksar med erter.
Marius stablar boksane slik figur 1 viser.
På figur 1 har han laga eit tårn med fire etasjar.
a Kor mange boksar treng Marius for å lage eit tårn med 20 etasjar dersom han stablar boksane på denne måten?
Marius har 400 boksar.
b Kor mange etasjar vil det vere i det største tårnet han kan lage?
Maria vil stable boksane slik figur 2 viser.
På figur 2 har ho laga eit tårn med tre etasjar.
c Kor mange boksar treng Maria for å lage eit tårn med 20 etasjar dersom ho stablar boksane på denne måten?
Maria har 4000 boksar.
d Kor mange etasjar vil det vere i det største tårnet ho kan lage?
Figur 1 Figur 2
RAUDE OPPGÅVER
2.25
Figuren illustrerer dei fire første femkanttala, F1, F2, F3 og F4
a Finn det femte femkanttalet, F5
Ein formel for femkanttal
nummer n er F nn(31) 2 n = ⋅−
b Kontroller at formelen stemmer for dei fem første femkanttala.
c Er 96 eit femkanttal?
2.26
Figuren illustrerer dei tre første tala i ein figurserie. Dei neste figurane vil følgje det same mønsteret.
a Lag ein illustrasjon av det fjerde talet.
b Bestem eit uttrykk for talet på prikkar i figur n
c Kor mange prikkar treng vi for å lage figur nummer 20?
BLÅ OPPGÅVER
2.27 (Dømesett 1P hausten 2021)
Dei tre figurane er laga av fyrstikker
Figur 1 består av eitt lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrat, og figur 3 består av ni små kvadrat.
Tenk deg at du har 10 000 fyrstikker
Du skal lage dei tre figurane og så halde fram med å lage figurar etter same mønster, éin i kvar storleik.
a Kor mange figurar kan du lage?
Figur 1Figur 2
b Kor mange fyrstikker har du att når du har laga den siste figuren?
2.28
Til høgre ser du figurar av dei fire første hustala. Stella har 500 kuler av kvar av dei to fargane og skal lage eit så stort hustal som mogleg. Kor mange kuler av kvar farge er til overs?
3
Figur
2.29
Mattis og Eivind skal lage eit program som skriv ut talet på kuler i kvar av dei 10 første figurane i figurserien til høgre.
Dei lagar kvart sitt program.
Mattis: 1 2 3 for i in range(1, 11): figur = i*4
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
Eivind:
= 4
i in range(1, 11):
= figur + 4
a Forklar korleis dei to programma er bygde opp.
b Utvid programma slik at det totale talet på kuler som er brukt til dei ti første figurane, blir skrive ut.
2.30
Dei fire første femkanttala er F 1 1 | , F 5 2 | , F 12 3 | og F 22 4 | På figuren til høgre ser du ein illustrasjon av det fjerde femkanttalet.
a Gro påstår at figuren illustrerer dei fire første femkanttala. Kva trur du at ho meiner?
b Teikn av figuren og utvid til det femte femkanttalet.
Gro oppdagar at det fjerde femkanttalet er sett saman av tre trekanttal. Ho illustrerer dette ved å lage figuren med dei to hjelpelinjene.
c Skriv det fjerde femkanttalet som ein sum av trekanttal.
d Skriv F2 og F3 som summar av trekanttal.
e Kva samanheng har du oppdaga mellom trekanttal og femkanttal?
Skriv femkanttal nummer n, Fn, som ein sum av trekanttal.
Formelen for trekanttal nummer n er T nn(1) 2 n = +
f Bruk denne formelen og uttrykket for Fn til å finne formelen for femkanttal nummer n.
DØME 8
Talfølgjer
Tal som står etter kvarandre i ei bestemt rekkjefølgje, kallar vi ei talfølgje Dersom det er eit tydeleg mønster i ei talfølgje, kan vi skildre mønsteret og forlengje talfølgja.
Vi har så langt sett på ulike figurtal. Nokre av desse er:
Skrivemåten « » markerer at følgja held fram etter same mønster.
Skildre eit mogleg mønster og skriv opp det neste talet.
a 7, 10, 13, 16, 19, b 1, 3, 9, 27, 81, c 5, 10, 16, 23, 31,
a Vi får neste tal ved å leggje til 3.
Det neste talet er derfor 19 + 3 = 22.
b Vi får neste tal ved å gonge med 3.
Det neste talet er derfor 813243 ⋅=
c 1055 −= 16106 −= 23167 −= 31238 −=
Det andre talet får vi ved å leggje 5 til det første.
Dei neste tala får vi ved å leggje til éin meir for kvar gong.
Det neste talet er derfor 31 + 9 = 40.
2.31
Ta for deg desse talfølgjene:
❶ 2, 4, 6, 8, 10, …
❷ 1, 2, 4, 8, 16, …
❸ 3, 4, 6, 9, 13, …
❹ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
a Finn eit mogleg mønster. Kva er det neste talet i kvar talfølgje?
Det første talet har plass nummer 1, det andre talet har plass nummer 2 og så vidare.
b Er talet proporsjonalt med plassnummeret i nokre av talfølgjene?
2.32
Finn talet som manglar.
a 9, 7, 5, ?, 1
b ?, 6, 18, 54, 162
c 1, 2, 4, 7, ?, 16
d 3, 2, 7, ?, 17
2.33 (Eksamen 1P våren 2024)
Knut og Sabrina jobbar med talfølgja 2, 5, 11, 23, 47,
Eg trur eg har oppdaga eit mønster, og eg er nokså sikker på at alle ledda, bortsett frå det første, er oddetal.
Nei, det klarte eg ikkje, men eg er nokså sikker på at eg har funne eit mønster som gjer at eg alltid kan finne det neste leddet i talfølgja. Eg er heilt sikker på at det berre blir oddetal vidare.
Har du funne ein formel som kan gi deg eit kva som helst ledd i talfølgja??
Ta utgangspunkt i det Knut og Sabrina seier, og
DØME 9
Vi kallar rektangeltal nummer n for Rn. Trekanttal nummer n kallar vi Tn, og kvadrattal nummer n kallar vi Kn. Har vi ikkje noko naturleg val, skriv vi ofte yn for tal nummer n i ei talfølgje.
Ta for deg talfølgja 4, 8, 12, 16, 20, …
La tal nummer n vere yn
a Lag ein formel for yn
b Finn y32
c Vis at 50 ikkje er eit av tala i følgja.
a Vi leiter etter ein samanheng mellom eit tal og kva nummer talet har i talfølgja.
Tal nummer 12345 n Tal 4812 1620 … yn
Reknestykke
Vi ser av tabellen at formelen er yn = 4n
b Vi bruker formelen vi fann i oppgåve a, og set inn n = 32.
Det gir y 432128 32 =⋅=
På plass nummer 32 står derfor talet 128.
c Vi lèt 50 vere tal nummer n, yn = 50.
Det gir likninga 4n = 50.
Nummeret n skal vere eit positivt, heilt tal, så vi forkastar løysinga.
Talet 50 er altså ikkje eit av tala i talfølgja.
2.34
Ta for deg talfølgja 3, 6, 9, 12, …
a Forklar at yn = 3n er ein formel for tal nummer n.
b Kva er det tiande talet i denne talfølgja?
Ta for deg talfølgja 2, 5, 8, 11, …
c Forklar at tal nummer n i denne talfølgja er gitt ved 3n 1.
2.35
Ta for deg talfølgja 5, 10, 15, 20, 25, …
La yn vere tal nummer n.
a Lag ein formel for yn.
b Finn y20
c Finn tal nummer 100.
d Kva nummer i talfølgja har talet 200?
e Forklar at 487 ikkje kan vere eit av tala.
2.36
Ta for deg talfølgja 2, 4, 8, 16,
a Skriv av og fyll ut det som manglar i tabellen. Tal nummer 12345 … n
Uttrykk 21 22
b Bestem tal nummer 10 i talfølgja.
c Forklar at 487 ikkje kan vere eit av tala.
d La dn vere tal nummer n i talfølgja 1, 3, 7, 15, … Lag ein formel for dn
2.37
Lou jobbar med ei talfølgje og har laga programmet nedanfor.
for n in range(1, 5): summen = summen + tal tal = tal + 4
print(summen)
a Skriv av og fyll ut tabellen nedanfor for kvar runde lykkja køyrer.
b Kva for ei talfølgje jobbar Lou med? Kva er mønsteret?
c Kva blir utskrifta?
d Kva blir utskrifta dersom linje 5 og 6 byter plass?
RAUDE OPPGÅVER
2.38
Dei fem første tala i ei talfølgje er 8, 10, 12, 14 og 16.
a Forklar at vi kan skrive tal nummer n på forma 2n + b, der b er eit konstant tal.
b Bestem verdien av talet b
c Bestem tal nummer 100 i talfølgja.
d Kva for eit nummer i talfølgja har talet 1000?
e Er 3480 eit tal i følgja?
2.39
Haroon har laga programmet nedanfor.
tal = 2 summen = 0 for n in range(1, 5): summen = summen + tal tal = tal*5
print(summen)
a Skriv av og fyll ut tabellen for kvar runde lykkja køyrer.
Vi starta med å teikne dei to kvadrata med side lik 1 og teikna deretter kvadratet med side lik 2.
a Undersøk korleis figuren er bygd opp. Teikn av figuren, og utvid han med fire kvadrat.
11 2 3
Oda har teikna med raudt på figuren.
b Hald fram med mønsteret til Oda på figuren din. Skildre det du observerer.
BLÅ OPPGÅVER
2.41
Ein stabel med røyr ligg delvis skjult bak ein murvegg.
På teikninga ser vi toppen av stabelen.
a Kor mange røyr ligg det i rad nummer n når du tel ovanfrå?
b I kva for ei rad ligg det 20 røyr?
c Kor mange rader med røyr er det i stabelen dersom det totalt er 270 røyr?
2.42
Vera skal finne neste tal i talfølgja 1, 2, 9, 22, 41, 66, …
Ho ser ikkje mønsteret med ein gong, men prøver slik:
129224166 97
17131925 31
6666 6
Det neste talet er 97.
a Forklar kva Vera gjer.
b Bruk den same strategien, og finn mønsteret og det neste talet i følgjene
1, 5, 12, 22, 35, 51, …
1, 5, 14, 30, 55, 91, …
c Vil metoden fungere for å finne mønsteret i alle talfølgjer? Forklar.
Fleire talmønster
2.43
Trekanten til høgre heiter Pascals trekant etter den berømte franske matematikaren Blaise Pascal, som levde på 1600-talet.
a Skildre mønsteret i Pascals trekant.
b Skriv av trekanten, og føy til dei tre neste radene.
c Kva for eit tal står som nummer to frå høgre i rad nummer 20?
d Finn summen av tala i kvar av dei 6 radene på figuren ovanfor. Kva blir summen av tala på rad 10?
2.44
Nokre elevar leiter etter mønster i Pascals trekant. Nedanfor ser du delar av notata deira.
Kva er det dei har oppdaga? Ser det ut til at det gjeld generelt? Undersøk!
2.45
Rekn ut 92 ∃ , 992 ∃ , 9992 ∃ , 99992 ∃ og 999992 ∃
Kva for eit mønster oppdagar du? Held mønsteret fram når du legg til fleire siffer (9-arar)? Undersøk!
2.46
Amadeus har laga programmet nedanfor.
a = 12345679 for n in range(1, 5): b = a * 9*n print(b)
a Køyr programmet. Kva for eit mønster oppdagar du?
b Vil mønsteret halde fram? Undersøk!
2.47
Ina har lært seg ein metode for å gonge tosifra tal med 11. Nedanfor ser du notata hennar:
4511=4 952111=2 31
a Forklar metoden Ina har lært seg. Bruk metoden og rekn ut 1 13 11 2 34 11
b Ina prøver metoden når ho reknar ut 67 11. Ho får det ikkje til å stemme. Kva slags endring må ho gjere i metoden dersom ho også skal bruke han når summen av siffera blir større enn eller lik 10? Undersøk!
Ein algoritme er ei presis, trinnvis skildring av framgangsmåten for å løyse eit problem.
2.48
Pelle vel fire «nabotal» i hundrekartet, markerte med gul farge på figuren. Han følgjer så denne algoritmen:
❶ Rekn ut produktet av talet øvst til høgre og talet nedst til venstre.
❷ Rekn ut produktet av talet øvst til venstre og talet nedst til høgre.
❸ Rekn ut differansen mellom talet i ❶ og talet i ❷
a Utfør algoritmen for dei fire tala Pelle har valt.
b Vel sjølv fire nye nabotal, og gjenta algoritmen for desse tala. Gjenta med endå fire nye nabotal.
c Kva observerer du? Kan du forklare kvifor det er slik?
d Pelle lurer på om noko tilsvarande vil skje dersom han vel dei fire tala slik at dei dannar hjørna i eit 3 × 3-kvadrat i staden for eit 2 × 2-kvadrat.
Undersøk!
81828384858687888990
919293949596979899100
RAUDE OPPGÅVER
2.49
Rekn ut 92 , 992, 9992, 99992 og 99 9992
Kva for eit mønster oppdagar du? Held mønsteret fram når du legg til fleire siffer (9-arar)? Undersøk!
2.50
Figuren til høgre viser Pascals trekant. På Aunivers.no finn du ein kopioriginal du kan bruke i denne oppgåva.
Forklar kva du observerer når du fargelegg alle tal i
a 2-gongen
b 3-gongen
c 4-gongen
d Prøv med andre gongetabellar også.
Observerer du fleire mønster?
BLÅ OPPGÅVER
2.51
a Kvar i Pascals trekant finn du trekanttala?
b Kvifor står dei der dei står?
c Kva for eit tal står som nummer tre frå høgre i rad nummer 20?
d Undersøk om 1000 er eitt av tala som står som nummer tre frå høgre på ei av radene i trekanten.
2.52
Trym veit at han har bursdag om 250 dagar, og lurer på kva for ein vekedag bursdagen kjem på.
Han spør Ulrik som seier: «Det er jo enkelt! I dag er det måndag, og 250 delt på 7 er 35,71.
Eg veit at 35 gonga med 7 er 245, så då må bursdagen vere på ein laurdag.»
Trym synest dette er vanskeleg å forstå. Kan du forklare?
2.53
I spelet «Hanois tårn» er målet å flytte ei viss mengde ringar frå stativ A til stativ B. Du skal flytte éin ring om gongen, og det er ikkje lov å leggje ein ring oppå ein ring med mindre radius, men du har eit ekstra stativ C som du kan velje å leggje ringar på.
Start med 2 ringar.
Kor mange flyttingar må du minst gjere?
Hald så fram med 3 ringar, 4 ringar osv.
Lag ein formel for samanhengen mellom kor mange flyttingar og kor mange ringar det er.
BLANDA OPPGÅVER
2.54
Figuren illustrerer dei fire første tala i ei talfølgje.
a Teikn det femte talet.
b Skriv opp dei seks første tala i talfølgja.
c La kn vere tal nummer n i talfølgja. Lag ein formel for kn
d Er 225 eit av tala i følgja?
2.55
Til høgre ser du tre figurar som er bygde opp etter eit bestemt mønster.
Figurane er bygde opp av små kvadrat.
Kor mange små kvadrat er det i
a figur nummer 4
b figur nummer n
2.56 (Eksamen 1P våren 2022)
1
3
2
Ovanfor ser du tre figurar. Figurane er sette saman av små klossar.
Roar vil halde fram med å lage figurar etter same mønster.
a Kor mange klossar treng han for å lage figur 5?
b Kor mange klossar treng han til saman for å lage dei 10 første figurane?
Roar har 10 000 klossar. Han vil starte med den minste figuren og lage éin figur i kvar storleik.
c Kor mange figurar kan han lage?
Kor mange klossar vil han ha att når han har laga figurane?
Figur 1 Figur 2
Figur 3
Figur
Figur
Figur
2.57
La nvere eit tal.
Ta for deg uttrykka 2n, 2n 5 og 2(n 5).
a Forklar kva kvart av uttrykka fortel.
b Kan du avgjere kva for eit uttrykk som har størst verdi utan å kjenne verdien av n?
2.58
Vi lèt a og b vere symbol for to tal. Lag eit uttrykk som skildrar
a eit tal som er tre mindre enn a
b eit tal som er ti gonger så stort som b
c eit tal som er dobbelt så stort som tre meir enn b
d forholdet mellom b og a
e forholdet mellom a og kvadratet av b
f produktet av a og b
g eit tal som er dobbelt så stort som produktet av a og b
2.59
Hanna har laga programmet nedanfor.
for n in range(1, 5):
produkt = tal*tal
print(produkt)
tal = 10**n + tal
a Køyr programmet. Kva reknar programmet ut? Kva for eit mønster oppdagar du?
b Vil mønsteret halde fram? Undersøk!
2.60
Herman jobbar med ein figurserie der figurane følgjer eit mønster.
Programmet nedanfor skriv ut kor mange kuler det er i kvar av dei fire første figurane.
for n in range(3, 7):
f = 2*n + 3
print(f)
Kva tal blir skrivne ut? Lag ein illustrasjon som viser korleis dei fire figurane kan sjå ut.
2.61
Filip skal organisere fest på klubbhuset og skal setje saman små bord til eit langbord. Rundt kvart av dei små borda er det plass til seks personar, to på kvar av langsidene og éin på kvar av kortsidene. Når han set saman langbord, kan det ikkje sitje nokon på kortsidene som står inntil eit anna bord.
Lag ein formel for kor mange personar P det er plass til rundt langbordet når Filip bruker x små bord.
2.62
Ta for deg figurserien nedanfor.
La talet på kvadrat i figur nummer n vere jn
a Bestem j1, j2, j3, j4 og j5
b Finn ein samanheng mellom jn og oddetala.
c Teikn ein ny figurserie som viser at desse tala er éin større enn kvadrattala.
2.63
Undersøk og formuler samanhengar mellom partal, rektangeltal og kvadrattal.
2.64
Rekn ut kvadratet av 2 og trekk frå kvadratet av 1. Kva for eit tal får du?
Gjer det same for 3 og 2 og deretter for 4 og 3.
Kva trur du 5422 4 blir?
Kva trur du 6522 4 blir?
Kva trur du 109 2 2 4 blir?
Rekn ut og kontroller
2.65
Biletet til høgre viser ein variant av Pascals trekant utgitt i 1303, altså lenge før Pascal levde. Tala er skrivne med kinesiske bambustal.
Utforsk tala.
Korleis skriv du 1, 5, 6, 8, 10 og 20 med bambustal?
Skriv nokre fleire tal med bambustal.
2.66
Nikoline leiker seg med fyrstikker. Ho har laga figurane nedanfor.
Nikoline vil lage fleire figurar etter same mønster.
a Kor mange fyrstikker treng ho til å lage figur nummer 4?
b Lag eit program eller eit rekneark som gir ei oversikt over kor mange fyrstikker Nikoline treng til kvar av dei 25 første figurane.
c Kva samanheng er det mellom kor mange fyrstikker ho treng, og trekanttala?
Bruk dette til å lage ein formel for kor mange fyrstikker ho treng til figur nummer n
d Utvid programmet/reknearket frå oppgåve b slik at det også gir oversikt over den totale mengda med fyrstikker Nikoline må ha for å lage alle figurane opp til og med figur nummer 25.
2.67
Figuren nedanfor illustrerer dei fire første tala i ei talfølgje.
a Følg same mønster og teikn det femte talet i følgja.
b Skriv opp dei sju første tala i følgja.
c Finn ein formel for tal nummer n i følgja.
2.68
Ta for deg talfølgja som startar med 100, og der kvart tal er 20 mindre enn talet som står framanfor.
a Skriv opp dei fire første tala i følgja.
b Lag eit program som skriv ut dei ti første tala i følgja.
c Lag eit program som summerer dei ti første tala i følgja.
2.69
Said tener 190 kr per time før kl. 17.00 og 220 kr per time etter kl. 17.00.
Set opp ein formel for lønna L kr dersom han jobbar x timar før kl. 17.00 og y timar etter kl. 17.00.
2.70 (Eksamen 1P våren 2022)
Figuren viser ei lysgardin med små lyspærer.
Lyspærene heng på trådar. Den første tråden i ei lenkje har tre lyspærer, den neste har seks, og den tredje har ni. Dette mønsteret gjentek seg vidare.
Avstanden mellom kvar tråd er 10 cm.
Figuren viser altså ei gardin med lengde 80 cm.
Ei anna lysgardin av same type er éin meter lang.
a Kor mange trådar har denne lysgardina?
b Kor mange lyspærer er det på den siste tråden?
Tabellen viser kor mange lyspærer det er på lysgardiner med ulike lengder.
c Kor mange lyspærer er det på ei 15 meter lang lysgardin?
d Kva lengder, i heile meter, kan ei lysgardin ha om det skal vere ni lyspærer på den siste tråden?
2.71
Loreta har lært seg ein metode for å gonge tosifra heiltal med 5 som siste siffer med seg sjølv.
Nedanfor ser du notata hennar:
15 · 15 = 225
1 · (1 + 1) = 2
a Kva for ein metode har Loreta lært seg?
Kontroller at metoden fungerer for dei resterande tosifra tala som endar på 5.
b Fungerer metoden for tosifra heiltal som endar på andre siffer enn 5? Undersøk!
2.72
Helena kjøper bananar til 3 kr stykket, og Eskil kjøper eple til 4 kr stykket. Dei betaler like mykje.
a Kor mange bananar kan Helena ha kjøpt, og kor mange eple kan Eskil ha kjøpt?
Finn tre ulike løysingar.
b Sjå på svara dine på oppgåve a. Prøv å finne eit mønster, og skildre mønsteret.
2.73
a Rekn ut 7 ⋅ 7 + 6, 77 ⋅ 7 + 6 og 777 ⋅ 7 + 6.
Kva slags mønster oppdagar du?
b Kva trur du 7 777 777 ⋅ 7 + 6 blir?
Kontroller med eit digitalt verktøy.
2.74 (Eksamen 1P våren 2023)
Kari har brukt Non Stop og laga tre K-ar. Sjå ovanfor.
Tenk deg at ho skal halde fram med å lage K-ar etter same mønster.
a Beskriv mønsteret, og bestem kor mange Non Stop det vil vere i K4 og K5
Kari ønskjer å lage eit program som finn kor mange Non Stop ho treng for å lage kvar av dei 20 første K-ane. Ho ønskjer også å vite kor mange Non Stop ho treng til saman for å lage alle desse 20 K-ane.
b Lag eit program som Kari kan bruke. Du kan til dømes begynne slik det er vist nedanfor, men leggje inn formlar i staden for talet éin i linje 13 og 14, slik at den rette oversikta blir skriven ut.
# Startverdiar
nonstop_figur = 10 nonstop_totalt = 10
# Overskrift
print("Figurnummer Non Stop på figur Non Stop totalt") for figurnummer in range(1, 21):
# Skriver ut i tre kolonnar ved å bruke tabulatorar sep = "\t\t\t" print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t")
nonstop_figur = 1 nonstop_totalt = 1
c Kor mange Non Stop treng Kari til saman for å lage dei 20 første K-ane?
Kari har 2000 Non Stop. Ho vil starte med K1 og lage éin K i kvar storleik.
d Kor mange K-ar kan Kari lage?
2.75
a Skildre mønsteret i trekanten til høgre.
b Lag ei talfølgje der det første talet er talet i rad éin, det andre talet er summen av dei to tala i rad to, det tredje talet er summen av dei tre tala i rad tre og så vidare.
La yn vere tal nummer n i talfølgja frå oppgåve b.
c Lag ein formel for yn
2.76
Kva gjer programmet nedanfor?
a = 1156 for n in range(1, a + 1): if a == n**2: print("Ja") break else: n = n + 1 if n == a: print("Nei")
2.77
Eit palindrom er eit ord, ei setning eller eit tal som gir same resultat anten vi les frå høgre eller venstre.
Nokre døme: reker, Otto, Agnes i senga, 55, 474, 8008 og 12 521.
a Vis ved utrekning at 110, 111, 112 og 113 er palindromtal.
b Ser du ein samanheng mellom svaret i oppgåve a og Pascals trekant?
c Kva trur du 114 blir? Kontroller.
d Kva trur du 115 blir? Kontroller og kommenter.
e Skriv opp alle tosifra palindromtal. Forklar kvifor dei er delelege med 11.
f Kor mange tresifra palindromtal finst det? Kor mange av dei er delelege med 11?
g Kor mange firesifra palindromtal finst det? Undersøk om dei er delelege med 11.
Forklar kvifor / kvifor ikkje.
2.78
Fibonaccifølgja er 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
a Skildre mønsteret i følgja.
b Lag eit program som skriv ut dei 20 første tala i talfølgja.
SAMANDRAG
Figurtal
Partal nummer n er n2 , pn 2 n |
Oddetal nummer n er n 21 4 , on21 n =−
Kvadrattal nummer n er n 2 , Kn n 2 |
Rektangeltal nummer n er nn(1)⋅+ , Rnn(1) n =⋅+
Trekanttal nummer n er nn(1) 2 ⋅+ , T nn(1) 2 n = ⋅+
Talfølgjer
Tal som står etter kvarandre i ei bestemt rekkjefølgje, kallar vi ei talfølgje
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Du skal i denne oppgåva ta for deg tala PPP123,,, ⊕ , der P
1 121 12 3 21 123432 1
a Kva for eit mønster oppdagar du?
b Skriv opp P5 og P6
c Lag illustrasjonar og forklar kvifor mønsteret vil halde fram.
d Lag ein formel for tal nummer n, Pn
Oppgåve 2
William jobbar med figurserien nedanfor. Han byggjer først figur nummer 1, så figur nummer 2, og slik held han fram.
Oppgåve 3
Nedanfor ser du ein illustrasjon av dei fire første eiffeltala
a Kor mange små, kvite kvadrat treng William totalt for å lage dei 10 første figurane?
William har 500 kvite kvadrat og uavgrensa mengde med blå kvadrat.
b Kor mange figurar kan William byggje? Kor mange kvite kvadrat har han då til overs? Kor mange blå kvadrat bruker han totalt?
a Teikn dei to neste eiffeltala.
b Kor mange kuler er det i det tiande eiffeltalet?
La En vere eiffeltal nummer n
c Lag ein formel for E n
d Undersøk om 333 er eit eiffeltal.
e Alexander har 1000 kuler. Kva er det største eiffeltalet han kan lage?
Oppgåve 4
Programmet nedanfor skriv ut kor mange kuler det er i kvar av dei fire første figurane i ein figurserie. 1 2 3 for n in range(1, 5): f = 2*n + 6 print(f)
Kva tal blir skrivne ut? Lag ein illustrasjon som viser korleis figurane kan sjå ut.
Funksjonar 3
3A Funksjonsomgrepet 94
3B Lineære funksjonar 106
3C Lineære modellar 118
3D Frå målingar til modell 126
Grafen nedanfor viser korleis
avstanden frå startstaden endrar seg for ein familie på fjelltur, etter kvart som tida går.
Kva kan grafen fortelje om korleis fjellturen har arta seg for familien?
Funksjonsomgrepet
Koordinatsystemet
I kapittel 1 teikna vi koordinatsystem der tala langs aksane var positive. Vi kan utvide koordinatsystemet slik at vi også får med dei negative tala på aksane.
Andreaksen (y-aksen)
P (–2 , 3)
origo
Førsteaksen (x-aksen)
På figuren ser du eit slikt koordinatsystem. Den vassrette aksen kallar vi førsteaksen. Den loddrette aksen kallar vi andreaksen
Førsteaksen og andreaksen blir ofte kalla x-aksen og y-aksen, men vi kan også bruke andre namn på dei.
Punktet P på figuren har førstekoordinaten 2 og andrekoordinaten 3.
Vi seier at P har koordinatane ( 2 , 3), eller at P er punktet ( 2 , 3).
I praktiske oppgåver skriv vi einingar langs første- og andreaksen. Førstekoordinaten til eit punkt vil då ha same eining som førsteaksen, og andrekoordinaten har same eining som andreaksen.
3.1
Sjå koordinatsystemet til høgre.
Finn koordinatane til punkta
A, B, C, D og E.
3.2
Teikn eit koordinatsystem og merk av punkta.
a (0 , 10)
b ( 250 , 4)
c (75 , 5)
d (100 , 5)
3.3
Kvar i koordinatsystemet ligg dei punkta som har
a 2 som førstekoordinat b 4 som andrekoordinat
c 0 som førstekoordinat d 0 som andrekoordinat
3.4
I ein butikk sel dei ein spesiell type sjokolade i sjokoladeplater med ulik storleik.
Punkta A, B, C og D på figuren nedanfor representerer vekta og prisen til dei ulike sjokoladeplatene.
(kr)
a Kor mykje veg sjokolade D?
b Kor mykje kostar sjokolade B?
(g)
c I butikken står det at sjokolade A kostar 500 kr/kg. Vis at dette er rett.
d Undersøk om nokre av sjokoladeplatene kostar det same per kg.
Edwin skal kjøpe 1,5 kg sjokolade. Han ønskjer at det skal bli så rimeleg som mogleg.
e Kva typar sjokoladeplater og kor mange av kvar type rår du til at Edwin kjøper?
Funksjonar
Ingrid har fått seg jobb og har ei timelønn på 200 kr. I kapittel 1 såg vi at lønna til Ingrid (y) er proporsjonal med kor mange timar ho jobbar (x):
yx 200 |
Jobbar ho 1 time, tener ho (2001)kr200kr ⋅=
Jobbar ho 2 timar, tener ho (200 2)kr400kr⋅=
Jobbar ho 10 timar, tener ho (200 10)kr2000kr ⋅=
Sidan kvar verdi av x gir éin verdi av y, seier vi at y er ein funksjon av x
Vi veit at y står for lønn, og vi set y = L(x).
Sidan variabelen er tid, kan det vere naturleg å kalle han for t
Då får vi
Ltt ()200 |
Her er L namnet på funksjonen, og skrivemåten L(t) viser at L er ein funksjon av t. Funksjonsuttrykket er 200t
L(10) er den funksjonsverdien vi får når vi set inn 10 for variabelen t, altså kor mykje ho tener når ho jobbar 10 timar.
L(10)200102000 =⋅ =
Når kvar verdi av x gir éin funksjonsverdi f(x), seier vi at f er ein funksjon av x
La oss sjå på funksjonen gitt ved fxx()10200 =+ som eit anna døme. f x x + 200 er funksjonsuttrykket. x 3 | , blir f (3)103200230 =⋅ += .
Funksjonsverdien er 230 når x 3 | .
f(3) = 230, vil det også seie at punktet (3 , 230) er eit punkt på grafen til f. f og skrive dei opp i ein verditabell. x 2 03510 f(x) 180200230250300
Vi merkjer av punkta i eit koordinatsystem og trekkjer ei samanhengande kurve gjennom dei. Dette er grafen til funksjonen f
For hand:
Med GeoGebra:
f med grafteiknaren i GeoGebra, treng vi ikkje å lage verditabell. Vi skriv berre inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet.
Vi skriv til dømes f(3). Då får vi 230, slik vi venta.
Opphøgje
i andre i
GeoGebra:
^2 eller Alt + 2
3.5
Ein funksjon f er gitt ved f(x) = 3x 4.
Rekn ut f( 2), f(0) og f(2).
3.6
Ta for deg funksjonen Q gitt ved Qxx()5 2 =−
a Teikn grafen til Q med ein grafteiknar.
b Bestem Q (0), Q (2) og Q (2,5)
c Skriv koordinatane til tre punkt på grafen til Q
3.7
Figuren viser grafen til ein funksjon g
4 12356791011812
a Finn g(0), g(4) og g(12).
b For kva for ein verdi av x er g(x) = 80?
c Ligg punktet (2 , 40) på grafen til g?
3.8
Eit vårdøgn målte Daniel utetemperaturen kvar andre time.
Han lèt t vere tida i timar etter midnatt og T(t) vere temperaturen i °C.
Resultata ser du i tabellen nedanfor.
a Kva var temperaturen kl. 02.00 og kl. 20.00?
b Bestem T(4) og T(16).
Ein funksjon kan vere representert ved eit funksjonsuttrykk, ein graf eller ein tabell.
Definisjonsmengde og verdimengde
Ofte ønskjer vi ikkje å teikne grafen til ein funksjon for alle moglege verdiar av variabelen. Dersom vi vil avgrense variabelen til til dømes x-verdiar frå og med 0 til og med 12, kan vi skrive det på ulike måtar:
x 012 ιι
x [0,12]∴
D [0,12] f |
Vi kallar Df definisjonsmengda til f
Med GeoGebra kan vi teikne grafen ved å bruke kommandoen Funksjon(Funksjon, Start, Slutt).
f(x) =», får funksjonen namnet f. Dersom vi til dømes vil gi funksjonen namnet K
Av grafen ser vi at f(0) = 200 er den minste funksjonsverdien, og at f(12) = 320 er den største funksjonsverdien. f(x) har verdiar frå og med 200 til og med 320.
Det skriv vi slik: V [200,320] f |
Vf kallar vi verdimengda til f
La f vere ein funksjon av x.
Definisjonsmengda Df viser kva verdiar x kan ha.
Verdimengda Vf fortel kva verdiar f(x) kan få.
Merk!
Dersom det ikkje står noko anna, vel vi alltid størst mogleg definisjonsmengde.
Det skjer automatisk i GeoGebra dersom vi legg inn funksjonen utan å avgrense kva x-verdiar grafen skal teiknast for.
3.9
Funksjonen f er gitt ved fxx ()28 | D , [0,10] f |
a Teikn grafen til f
b Kva er verdimengda til f?
3.10
Figuren viser heile grafen til ein funksjon f.
a Kva er definisjonsmengda til f?
b Kva er verdimengda til f?
c Finn f(0).
d For kva verdiar av x er f(x) = 4?
Nullpunkt
Vi ser at grafen til funksjonen f i oppgåve 3.10 skjer førsteaksen for x = 2 og for x = 8. Då er funksjonsverdien lik null, f( 2) = 0 og f(8) = 0.
Dei x-verdiane som har tilhøyrande funksjonsverdi lik null, kallar vi nullpunkt f er derfor 2 og 8.
Nullpunkta til ein funksjon er dei x-verdiane som har tilhøyrande funksjonsverdi lik null.
I GeoGebra kan vi finne eventuelle nullpunkt til funksjonen f med
Legg merke til at det er førstekoordinaten til punktet vi får opp då, som er nullpunktet. Sjølve punktet er skjeringspunktet mellom grafen og førsteaksen.
3.11
Funksjonen f er gitt ved fxxD ()801,5,[0,80] f =−=
a Teikn grafen til f
b Kva er f(10)?
c Finn nullpunktet til f
Ein funksjon g er gitt ved g(x) = 3x3 9x2 18x + 24.
d Finn nullpunkta til g
DØME 1
fart strekning tid |
Å tolke grafiske framstillingar
Gustav har gått ein tur opp på ein fjelltopp. Grafen nedanfor illustrerer avstanden til heimen i kilometer som ein funksjon av tida i timar.
Skildre turen hans med utgangspunkt i grafen.
Den første halvtimen går Gustav 2 km i jamn fart.
Farten i km/h er
Det neste kvarteret endrar ikkje avstanden frå heimen seg. Vi kan gå ut frå at Gustav tek ein pause.
Den neste halvannan timen går Gustav 2 km i jamn fart.
Farten i km/h er
Farten til Gustav er ein god del lågare på dette strekket. Det kan til dømes komme av at det er brattare, og at han er sliten.
Gustav tek så pause i 45 minutt.
Deretter minkar avstanden frå heimen, så han har starta på heimturen.
Han bruker 1 time på å gå dei 4 kilometrane heim og går med jamn fart. Farten hans på heimvegen i km/h er
4 1 4 |
Den totale strekninga Gustav går, er 8 km. Han er heime att etter 4 timar.
3.12
Anton går med jamn fart til skulen. Etter ei stund får han mistanke om at han har gløymt matpakka. Han stoppar opp for å leite i sekken, men finn ikkje pakka. Då spring han heim att med jamn fart for å hente henne. Deretter småspring han jamt heile vegen til skulen. a Kva for ei av dei grafiske framstillingane nedanfor skildrar best avstanden heimanfrå som ein funksjon av tida?
heimefrå (meter)
Ta utgangspunkt i framstillinga du valde i oppgåve a.
b Kor lang tid bruker Anton totalt før han er på skulen?
c Kor langt er det til skulen? Kor langt har Anton bevegd seg totalt?
d Kva er farten til Anton i dei ulike etappane av turen til skulen? Oppgi svaret i m/s og km/h.
Graf A
Graf B
Graf C
Graf D
3.13 (Eksamen 1P våren 2023)
Ein dag går Aurora med jamn fart frå huset der ho bur, til postkontoret, som ligg nokre kilometer unna. Ho står i kø for å hente ei pakke.
Kva for ei av dei grafiske framstillingane nedanfor skildrar best lengda av turen som ein funksjon av tida?
Hugs å grunngi svaret ditt.
A
B
C
D
3.14 (Eksamen 1P hausten 2023)
Grafen nedanfor viser korleis farten til ein racerbil har variert gjennom ein runde av eit billøp.
strekning
Bilen har køyrt på ein av banane nedanfor, og runden har starta ved den raude markeringa.
Kva for ein bane har bilen køyrt på?
Hugs å argumentere for at svaret ditt er rett.
Graf
Graf
Graf
Graf
RAUDE OPPGÅVER
3.15
Funksjonen h er gitt ved hxxD ()35,[5,5] h =+=−
a Teikn grafen til h
b Kva er h(1)?
c Kva er verdimengda til h?
d Finn nullpunktet til h
3.16
Figuren viser grafen til ein funksjon f
a Kva er definisjonsmengda Df?
b Kva er verdimengda Vf?
c Kva er f(5)?
d For kva verdiar av x er funksjonsverdien lik 3?
BLÅ OPPGÅVER
3.17
Ta for deg funksjonen A gitt ved ArrD(),1,4 A 2 [] =π⋅=
a Bestem A(1) og A(4).
b Bestem VA
c Løys likninga A(r) = 10 grafisk.
d Kvifor har ikkje likninga A(r) = 60 noka løysing?
3.18
Funksjonen f er gitt ved fxx()612 =− , og verdimengda er V 12, 18 f =−[]
Finn definisjonsmengda Df
3.19 (Eksamen 1P våren 2023)
Ein bonde sel sekker med poteter.
I koordinatsystemet til høgre ser du samanhengen mellom vekt og pris for potetsekkene. Kvart av punkta A, B, C, D, E og F representerer ein potetsekk.
a Kva for ein sekk er tyngst?
b Kva for sekker kostar like mykje?
c Vil det lønne seg å kjøpe sekk B eller sekk C?
I to av sekkene kostar potetene like mykje per kilogram.
d Kva for sekker er dette?
Hugs å grunngi alle svara dine.
UTFORSK
Lineære funksjonar
Du skal no utforske grafen til funksjonen f gitt ved f(x) = ax + b ved hjelp av glidarar i GeoGebra.
x er variabelen.
Det er no laga to glidarar, ein for a og ein for b a Kva trur du skjer med grafen når du lèt glidaren a ha verdien 1 og varierer verdien på b? Undersøk! Kva fortel b om grafen?
b Kva trur du skjer når du aukar verdien av a mens b har verdien 1?
Og kva skjer når du minkar han? Undersøk! Kva fortel a om grafen?
Ein funksjon på forma
f(x) = ax + b
er ein lineær funksjon. Grafen til f er alltid ei rett linje.
a er stigningstalet.
b er konstantleddet.
Merk!
Ein lineær funksjon kan vi også kalle ein førstegradsfunksjon a b f(x) = ax + b f(x) 1 x
3.20
Funksjonen f er lineær med stigningstal 4 og konstantledd 7.
Skriv opp funksjonsuttrykket f(x).
3.21
Funksjonen f er gitt ved f(x) = 3x + 1 , Df = [−3 , 3]
a Kva er stigningstalet?
b Kva er konstantleddet?
c Teikn grafen til f med ein grafteiknar. Hugs å ta omsyn til definisjonsmengda.
d Bestem f( 1).
e Finn nullpunktet til f. Oppgi svaret med to desimalar.
3.22
Figuren viser grafen til funksjonen f
a Finn konstantleddet og stigningstalet.
b Skriv funksjonsuttrykket f(x).
3.23
Funksjonane f, g, h og i er gitt ved
f(x) = 2x 2
g(x) = 2
h(x) = x 3
i(x) = 2x 2
Kva for ein graf høyrer til kva for ein funksjon?
3.24
Funksjonen g er gitt ved g(x) = 2x 4.
a Skriv av og fyll ut verditabellen. x 2013 g(x)
b Merk av punkta i eit koordinatsystem, og teikn grafen til g
c Bruk grafen frå oppgåve b til å finne nullpunktet til g
DØME 2
Utskrifta blir i
Shaheer har laga programmet nedanfor for å berekne nokre funksjonsverdiar til funksjonen f gitt ved f(x) = 4x + 10.
1 2 3 4 def f(x): return -4*x + 10
print(f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5))
Hjelp Shaheer med å lage eit program som gjer det same med ei a for-lykkje b while-lykkje
Programmet Shaheer har laga, skriv ut funksjonsverdiane for x-verdiane 0, 1, 2, 3, 4 og 5.
a
f(x): return -4*x + 10 for x in range(6): print(f(x))
Vi lagar ei for-lykkje som startar med x = 0 og går til og med x = 5, med steglengde 1. For kvar runde i lykkja skriv programmet ut f(x) Utskrifta blir derfor funksjonsverdiane f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) og f(5). b
def f(x): return -4*x + 10
x = 0
while x <= 5: print(f(x))
x = x + 1
Vi kunne også ha skrive x += 1
Variabelen x får verdien 0, og vi går deretter inn i while-lykkja. Verdien f(x) blir skriven ut før verdien av x aukar med éin.
Så lenge x er mindre enn eller lik 5, vil koden på linje 7 og 8 bli gjenteken.
3.25
Elle har laga programmet nedanfor.
8 def f(x): return x + 2 x = 1
while x <= 10: print(f(x)) x = x + 1
Kva gjer programmet? Kva blir utskrifta?
Kontroller svaret ditt ved å køyre programmet.
3.26
Programmet nedanfor skriv ut nokre funksjonsverdiar for ein lineær funksjon f
while x <= 5: print(-2*x + 1) x = x + 1
a Kva blir utskrifta?
b Kva er funksjonsuttrykket til f?
3.27
Funksjonen g er gitt ved g(x) = 3x 2.
a Lag eit program som skriv ut dei tre funksjonsverdiane g(1), g(2) og g(3), og ingen andre.
b Gjer endringar i programmet slik at det berre skriv ut dei tre funksjonsverdiane g(0), g(1) og g(2).
c Gjer endringar i programmet slik at det berre skriv ut dei tre funksjonsverdiane g(2), g(4) og g(6).
range(5) 0,1,2,3,4
range(1, 4) 1,2,3
range(2, 6, 2) 2,4
DØME 3
Funksjonane f og g er gitt ved f(x) = 2x + 2 og g(x) = 11 x.
Bestem skjeringspunktet mellom grafane til f og g.
Med grafteiknar:
Vi teiknar grafane til funksjonane og bruker Skjering mellom to objekt
Skjeringspunktet er (3 , 8).
:= når vi definerer ein funksjon i CAS.
Med CAS:
Skjeringspunktet er (3 , 8).
Merk!
For hand:
= +=− +=− = = = f (3)232628 = ⋅+=+=
Skjeringspunktet er (3 , 8).
Vi kunne også ha rekna ut g(3). Vi veit at f og g har same funksjonsverdi når x = 3, så f(3) = g(3) = 8.
3.28
To funksjonar f og g er gitt ved f(x) = x + 2 og g(x) = 3x + 6.
Finn skjeringspunktet mellom grafane til funksjonane på ulike måtar.
DØME 4
Vi bruker ikkje kolon når funksjonsuttrykket skal setjast lik ein verdi i rad 2.
Funksjonen f er gitt ved f(x) = 2x + 8.
Kva må x vere for at funksjonsverdien skal bli 5,2?
Med grafteiknar:
Vi teiknar grafen til f og grafen til funksjonen g gitt ved g(x) = 5,2.
Vi finn deretter skjeringspunktet mellom dei to grafane.
Vi bruker Skjering mellom to objekt . Skjeringspunktet er ( 1,4 , 5,2).
Det viser at x må vere 1,4.
Med CAS:
x må vere 1,4.
For hand:
x må vere 1,4.
3.29
Funksjonen f er gitt ved f(x) = 2x + 1.
a Kva må x vere for at funksjonsverdien skal bli 2,8?
b Løys likninga f(x) = 0.
c Kva kallar vi svaret på likninga i oppgåve b?
x 35 h(x) 7,2514,9
3.30
Funksjonen h er gitt ved h(x) = 1,5x + 8.
Fyll ut verditabellen til venstre.
GeoGebra.
3.31
a Teikn grafen til f gitt ved f(x) = ax + b i GeoGebra.
La a og b vere bestemt av glidarar. Varier verdiane av a og b systematisk ved å dra glidarane.
1 Vil ein lineær funksjon alltid ha eit nullpunkt?
2 Kan ein lineær funksjon ha fleire enn eitt nullpunkt?
b Teikn grafen til g gitt ved g(x) = 3x + 2 saman med grafen til f Undersøk, ved å variere a og b, korleis f(x) må vere for at 1 grafane aldri skal skjere kvarandre 2 grafane skal skjere andreaksen i same punkt
DØME 5
f(3) == 0 gir True
f(4) == 0 gir False
Alba har laga programmet nedanfor.
def f(x): return 2*x - 6 for x in range(1, 11): if f(x) == 0: print(x)
Kva gjer programmet? Kva blir utskrifta?
Programmet sjekkar om funksjonen f gitt ved f(x) = 2x 6 har eit heiltalig nullpunkt i intervallet [1 , 10]
I linje 1 og 2 definerer Alba funksjonen. Ho lagar deretter ei for-lykkje som startar med x = 1 og går til og med x = 10, med steglengde 1.
For kvar gong lykkja køyrer, sjekkar programmet om f(x) = 0 ved å bruke operatoren ==. Dersom f(x) = 0, blir verdien av x skriven ut. Dersom ikkje (False) blir det ikkje skrive ut noko. Tabellen nedanfor viser dei verdiane f(x) får for kvar runde lykkja køyrer. x 12345678910 f(x) 4 202468101214
Vi ser at f(3) = 0. Det er altså berre der det vi sjekkar er sant (True), og utskrifta blir derfor 3.
3.32
def f(x): return -3*x + 6
x = 0
while x <= 6: if f(x) == 0: print(x) x = x + 1
Mak har laga programmet ovanfor.
a Forklar kva programmet gjer. Kva blir utskrifta?
Kontroller svaret ditt ved å køyre programmet.
Mak ønskjer å bruke programmet til å finne nullpunkta til ein funksjon med funksjonsuttrykk 20x 140. Han byter ut linje 2 med
return 20*x - 140
b Programmet gir ikkje noka utskrift. Kva er grunnen til det?
Gjer endringar i programmet slik at nullpunktet til funksjonen blir skriven ut.
c Lag eit tilsvarande program som skriv ut nullpunktet til funksjonen g gitt ved g(x) = 2x 1.
Å finne funksjonsuttrykket til ein lineær funksjon
3.33
a Legg punkta A(1 , 5), B(4 , 11) og C( 2 , 7) inn i grafikkfeltet i GeoGebra.
Vidare i oppgåva kan du ha nytte av Linje
b Den lineære funksjonen f har ein graf som går gjennom A og B
Finn funksjonsuttrykket f(x).
c Den lineære funksjonen g har ein graf som går gjennom A og C
Finn funksjonsuttrykket g(x).
d Den lineære funksjonen h har ein graf som går gjennom B og C.
Finn funksjonsuttrykket h(x).
e Bruk Skjering mellom to objekt , og finn skjeringspunktet mellom grafane til f og g. Kommenter.
Som du kanskje oppdaga i oppgåve 3.33, treng vi berre to punkt dersom vi ønskjer å teikne grafen eller finne funksjonsuttrykket til ein lineær funksjon.
Vi kan også finne funksjonsuttrykket til ein lineær funksjon utan å bruke hjelpemiddel.
La oss først sjå på korleis vi kan finne stigningstalet.
Stigningstalet a er endringa i y-verdi når x greier vi ikkje å lese av dette frå grafen. Då vel vi oss to punkt på grafen som gjer det enkelt å lese av endringa i x- og y-verdi.
Endringa i x-verdien frå P1 til P2 er xx21 4
Endringa i y-verdien er yy21 4
Stigningstalet til linja er ==ay x yy xx endringi endringi 21 21
Ei linje som går gjennom to punkt Pxy , 111 ( () ) og Pxy , 222 ( () ), har stigningstalet a y x yy xx endringi endringi 21 21
a er kjent, treng vi berre eitt punkt på grafen for å finne funksjonsuttrykket til ein lineær funksjon.
DØME 6
Grafen til den lineære funksjonen f går gjennom punkta ( 2 , 9) og (3 , 1).
Finn funksjonsuttrykket f(x).
Først finn vi stigningstalet.
Funksjonen f er derfor på forma f(x) = 2x + b
Vi ønskjer deretter å finne konstantleddet b
Vi veit at (3 , 1) er eit punkt på grafen til f, og dermed at f(3) = −1.
Det gir ei likning som b må oppfylle.
Funksjonen f er gitt ved f(x) = 2x + 5.
Med CAS:
Funksjonen f er gitt ved f(x) = 2x + 5.
3.34
Grafen til ein lineær funksjon f går gjennom punktet ( 5 , 8) og har stigningstal 5.
Finn funksjonsuttrykket f(x).
3.35
Grafen til den lineære funksjonen g går gjennom punkta ( 3 , 1) og (2 , 6).
Finn funksjonsuttrykket g(x).
3.36
Les av to punkt på grafen, og bruk desse punkta til å finne funksjonsuttrykket. Kontroller med CAS.
3.37
Etter at Lucie hadde funne stigningstalet på same måten som i døme 6, meinte ho at det var enklare å finne konstantleddet slik det er vist på figuren. Korleis kan Lucie ha tenkt?
RAUDE OPPGÅVER
3.38
Vi har fire lineære funksjonar. fxx()24 =+ gxx () 0,56=+ hxx () 25=−+ ixx ()26 =+
a Kva for nokre av desse funksjonane har ein graf som stig mot høgre?
b Kva for nokre av desse funksjonane har parallelle grafar?
c Har nokre av desse funksjonane grafar som skjer y-aksen i same punkt?
3.39
Til høgre ser vi grafen til ein funksjon f
a Finn stigningstalet til linja.
b Finn nullpunktet til f
c Finn skjeringspunkta med x- og y-aksen.
d Bestem funksjonsuttrykket f(x).
e Lag eit program som skriv ut f(1), f(2) og f(3).
3.40
Ein lineær funksjon f har stigningstalet 2 og konstantleddet 3.
a Teikn grafen til funksjonen.
b Grafen til ein annan lineær funksjon g har stigningstalet 3 og går gjennom det same punktet på y-aksen som grafen til f. Bestem funksjonsuttrykket g(x).
BLÅ OPPGÅVER
3.41
Punkta ( 3 , 10) og (1 , y) ligg på grafen til ein lineær funksjon med stigningstal 2.
Bestem y
3.42 (Eksamen 1P hausten 2021)
I koordinatsystemet til høgre ser du grafane til to lineære funksjonar f og g
a Bestem f(x) og g(x).
b Bestem arealet av den grøne trekanten.
3.43
To funksjonar f og g er gitt ved fxx()2 =+ og gxx () 3 6 =− + .
Ein tredje funksjon h er gitt ved hxfxgx ()()() =− .
a Bestem funksjonsuttrykket h(x).
b Finn nullpunktet til h. Kva fortel det oss om grafane til f og g?
3.44
Lag eit program som skriv ut stigningstalet til ei rett linje når koordinatane til to punkt på linja er kjende.
Lineære modellar
Matematiske modellar
seier vi at vi lagar ein matematiskmodell
Ein matematisk modell kan vere gitt ved eit funksjonsuttrykk, ein tabell, ein graf eller ein formel.
Ein del funksjonstypar har heile tallinja som si største definisjonsmengde.
at vi veit når modellen gjeld. Dette kallar vi gyldigheitsområdet til modellen.
La oss seie at vi ønskjer å estimere kor mange barnehageplassar ei bygd treng om nokre år. Vi kan ta utgangspunkt i statistikk over innbyggjartalet, alderssamansetninga og informasjon om inn- og utflytting dei siste åra. På bakgrunn av dette kan vi setje opp ein modell for behovet for barnehageplassar. Gyldigheitsområdet kan kanskje vere ti år fram i tid.
Dei fleste modellar byggjer på meiningar og inneber også ei forenkling av verkelegheita. Det fører til at modellane har sine avgrensingar, og vi må derfor ikkje bruke dei ukritisk. Dersom den lokale barneskulen blir lagd ned, vil det nok føre til at talet på barnefamiliar, og behovet for barnehageplassar, går drastisk ned! Då vil ikkje modellen vere like god lenger.
Jamn vekst
Åse skal ta førarkort for bil. Ho betaler 20 000 kr for dei obligatoriske kursa og 760 kr per køyretime. Vi lèt P(x) vere totalprisen når ho bruker x køyretimar.
Konstantleddet er 20 000 og svarer til kronebeløpet som Åse må betale uansett kor mange køyretimar ho bruker.
Stigningstalet er 760.
For kvar ny køyretime aukar prisen med 760 kr. Vi seier at totalprisen for køyreopplæringa aukar jamt med talet på køyretimar.
Når ein storleik aukar eller minkar jamt, kan vi bruke ein lineær funksjon til å skildre utviklinga.
DØME 7
Jonas fyller opp bensintanken på bilen sin og legg ut på langtur. Den lineære funksjonen V gitt ved
V(x) = 0,8x + 40
er ein modell for kor mange liter bensin som er att på tanken etter at Jonas har køyrt x mil.
a Gi ei tolking av modellen.
b Kva for eit gyldigheitsområde har modellen?
c Kva for føresetnader ligg til grunn for modellen?
d Kor langt har bilen køyrt når det er 24 L att på tanken ifølgje modellen?
a Stigningstalet er 0,8 og har eininga L/mil.
Det vil seie at bilen bruker 0,8 liter bensin per mil han køyrer. Konstantleddet er 40. Det vil seie at bensintanken rommar 40 L.
b Modellen gjeld frå tanken er fylt opp og til han er tom.
Gyldigheitsområdet for modellen er x [0,50]∴
c Modellen byggjer på at bensinforbruket per mil er konstant, men i verkelegheita kan jo dette variere. Bilen vil til dømes bruke meir bensin på tur oppover ei fjellside enn på tur ned. Modellen tek heller ikkje høgde for at Jonas kan komme inn i ein lang og saktegåande kø.
d Vi teiknar grafen til funksjonen g gitt ved g(x) = 24.
Vi bruker Skjering mellom to objekt og finn at skjeringspunktet er (20 , 24).
Jonas har køyrt 20 mil når det er 24 L bensin att.
3.45
Eit firma leiger ut elektriske sparkesyklar. Prisen P(t) kr for å leige ein slik sykkel
i t minutt er gitt ved Ptt()310 =+ , t > 0.
a
b Kor mykje kostar det per minutt du bruker sykkelen?
c Kor lenge kan du låne ein sparkesykkel for 40 kr?
d Er pris og tid proporsjonale storleikar i dette tilfellet?
3.46
Grafen er ein modell for korleis snødjupna varierte mellom midnatt og kl. 16 i ein by på Vestlandet.
x Tid i timar etter midnatt
a Korleis ser vi at det er ein lineær modell?
b Gi ei tolking av modellen.
c Presenter modellen som ein lineær funksjon med definisjonsmengde.
d Kva er verdimengda til funksjonen?
3.47 (Eksamen 1P våren 2022)
Markus skal leige ein bil i eit døgn. Grafane til venstre viser prisen han må betale hos firma A, firma B og firma C.
a Forklar at prisen Markus må betale hos firma A, kan skildrast med uttrykket
Axx()4600 =+
b Kva blir prisen per kilometer hos firma B dersom Markus køyrer 50 km?
Kva blir prisen per kilometer hos firma B dersom Markus køyrer 400 ?
Markus skal køyre frå Bodø til Sulitjelma og tilbake til Bodø att. På internett finn han ut at avstanden frå Bodø til Sulitjelma er 9,7 mil.
c Gjer utrekningar, og vurder kva for eit firma han bør leige bil hos.
DØME 8
I starten av 2019 var det 620 medlemmer i idrettslaget.
Frå 2019 til 2024 hadde idrettslaget ein jamn vekst i medlemsmassen, og i starten av 2024 var det 685 medlemmer i laget.
a Lag ein lineær modell for medlemsutviklinga i denne perioden.
b Kva var medlemstalet i starten av 2021 ifølgje modellen?
a På fem år auka medlemstalet med 685 620 = 65. Det var ein jamn vekst i medlemsmassen.
Vi kan derfor går ut frå at auken i medlemstalet per år var 65 5 13 |
Vi lèt M(x) vere medlemstalet x år etter starten av 2019.
Då er stigningstalet, a, lik 13, og konstantleddet, b, lik 620.
Ein lineær modell er gitt ved M(x) = 13x + 620.
b Året 2021 svarer til x = 2.
Medlemstalet var 646 i starten av 2021 ifølgje modellen.
Merk!
I modellen i dømet ovanfor lèt vi x = 0 svare til året 2019. Det er vanleg at vi lèt x = 0 svare til det første årstalet vi har målingar for, dersom ikkje noko anna er oppgitt i oppgåveteksten.
3.48
I starten av 2015 var innbyggjartalet i ein kommune 10 400.
Frå 2015 til 2020 var det ein jamn auke i innbyggjartalet.
I starten av 2020 var innbyggjartalet 10 800.
Kommunen reknar med at innbyggjartalet vil halde fram med å auke på same måten i åra som kjem.
a Lag ein lineær modell for utviklinga i innbyggjartalet x år etter starten av 2015.
b Kva er innbyggjartalet i starten av 2022 ifølgje modellen?
c
3.49
Anna har fått to tilbod frå bilutleigefirma.
Firma A skal ha 800 kr pluss 1,50 kr per km.
Hos firma B må ho betale 1000 kr pluss 1,00 kr per km.
a Lag ein funksjon A som viser kva Anna må betale om ho køyrer x km med bil frå firma A, og ein funksjon B som viser kva ho må betale dersom ho leiger hos firma B.
b Kor mange kilometer må Anna køyre for at dei to tilboda skal vere like gode?
Hos eit anna bilutleigefirma er prisen proporsjonal med kor mange kilometer
Anna køyrer.
c Lag ein funksjon C som viser kva ho må betale om ho køyrer x km med bil frå dette firmaet når proporsjonalitetskonstanten er 2,35.
3.50 (Dømesett 1P hausten 2021)
Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom prisen for ei vogn med hageslange og lengda av hageslangen.
Lengda av hageslangen (meter) 2550
Prisen for vogna med hageslangen (kroner) 450650
Denne samanhengen kan vi skildre ved hjelp av uttrykket y = ax + b, der x meter er lengda av hageslangen og y kr er prisen for vogna med hageslange.
a Bestem verdien av tala a og b
b Gi ei praktisk tolking av tala a og b i denne oppgåva.
3.51
Vi går ut frå at mønsteret held fram.
Lag ein modell for kor mange prikkar det er på figur nummer n
DØME 9
Ein familie er på veg til hytta. Grafen til høgre er ein modell for reisa.
La s(x) kilometer vere strekninga bilen har køyrt etter x timar.
Bestem funksjonsuttrykket s(x).
x (timar) s(x) (km)
Vi markerer punkta (0 , 0), (2 , 100), (2,5 , 100) og (4 , 190) i eit koordinatsystem. Deretter finn vi dei tre linjene gjennom to og to punkt.
Funksjonen s skal ha funksjonsuttrykket 50x når x 02 ≤<
Vidare skal s ha funksjonsuttrykket 100 når x 22,5 ≤<
Til slutt skal s ha funksjonsuttrykket 60x 50 når x 2,54 ιι
Vi skriv dette samla slik: sx
02 100for22,5 6050for2,54
x
3.52
Eit drosjefirma opererer med prisar for ein tur gitt ved
Px x xx () 180 for 03 13515for3 =
P(x) er prisen i kroner for ein x km lang tur.
a Kva er prisen dersom turen er 2 km lang?
b Kva er prisen dersom turen er 8 km lang?
c Kor langt kan vi køyre for 350 kr?
Jørgen, Jonas og Frida ønskjer å teikne grafen til funksjonen P i GeoGebra. Dei har ulike framgangsmåtar.
Jørgen:
f(x) = Funksjon(180, 0, 3)
g(x) = Funksjon(135 + 15x, 3, inf)
Jonas:
Du får ≤ ved å skrive <=
Frida:
d Undersøk framgangsmåtane.
Kven får teikna rett graf?
e Teikn grafen til funksjonen h gitt ved hx xx xx () 3for 05 18 2for5 = +≤≤
RAUDE OPPGÅVER
3.53
Grafen er ein modell for temperaturutviklinga ei natt i oktober.
a Gi ei tolking av modellen.
b Presenter modellen som ein lineær funksjon med definisjonsmengde.
c Kvifor kan vi ikkje bruke modellen til å seie noko om temperaturen kl. 12?
3.54
Funksjonen h gitt ved h(x) = 0,6 + 0,3x er ein modell for høgda av eit tre i meter x år etter at treet blei planta.
a Gi ei praktisk tolking av tala 0,6 og 0,3.
b Kor høgt er treet etter 5 år?
c Kva kan du seie om gyldigheitsområdet til modellen?
3.55
Mathilde skal ta førarkortet for bil. Ved trafikkskulen kostar det 800 kr for kvar køyretime, mens den obligatoriske delen av opplæringa kostar 16 000 kr.
a Lag ein lineær modell som viser korleis prisen for førarkortet er avhengig av kor mange køyretimar det er.
b Kva blir prisen for køyreopplæringa dersom Mathilde treng 15 køyretimar?
c Mathilde kan bruke 25 000 kr på køyreopplæringa. Kor mange timar kan ho ta då?
BLÅ OPPGÅVER
3.56
Figuren viser kva det kostar å sende ei noregspakke med masse mindre enn 35 kg.
Skriv funksjonsuttrykket f(x) med definisjonsmengde.
3.57
Figuren viser kor mange deltakarar det var i eit sykkelritt i åra 2020–2023.
Arrangørane reknar med at utviklinga i deltakartal vil halde fram på same måten dei fem neste åra.
La D(x) vere deltakartal i rittet x år etter 2020.
Finn funksjonsuttrykket D(x).
Kva er gyldigheitsområdet for D?
DØME 10
Frå målingar til modell
målingane som punkt i eit koordinatsystem og prøver å finne ein funksjon som har ein graf som passar best mogleg med punkta. Dette kallar vi regresjon
Ser det ut som om punkta ligg omtrentleg på ei rett linje, vil ein lineær modell vere eit godt val. Vi finn den rette linja som passar best mogleg til punkta. Dette kallar vi lineær regresjon.
Luc fyller vatn i ein kjele og set han på ei kokeplate. Han måler temperaturen kvart minutt og fører resultata inn i ein tabell.
t (minutt) 02468
T (°C) 2028395162
a Finn ein lineær modell for temperaturauken.
b Bestem gyldigheitsområdet for modellen.
a Vi markerer målingane i eit koordinatsystem og bruker ein linjal til å teikne den rette linja som vi med augemål meiner passar best til punkta.
Linja startar i punktet (0 , 20), og konstantleddet er derfor 20.
For å finne stigningstalet må vi finne eit anna punkt på grafen som det er enkelt å lese av. Det ser ut som linja også går gjennom punktet (10 , 70).
ayy xx 7020 100 50 10 5 21 21 = = ==
Vi får den lineære modellen T gitt ved Txx () 520=+ .
b Minuttalet kjelen kan stå på plata, kan ikkje vere negativt.
Vatn koker ved 100 °C, så temperaturen kan ikkje vere høgare enn det. Av grafen ser vi at det skjer etter 16 minutt. Gyldigheitsområdet for modellen er [0 , 16]
3.58 (Eksamen 1P våren 2023)
Tabellen nedanfor viser kor høg Klara var nokre år frå ho var 4 år, til ho var 10 år.
Alder (år) 45810
Høgde (cm) 100107128142
a Lag ein modell som viser samanhengen mellom høgda og alderen til Klara basert på tala i tabellen.
b Kor høg vil Klara vere når ho fyller 19 år ifølgje modellen?
Klara var 50 cm høg då ho blei fødd.
c Gjer berekningar og vurder gyldigheitsområdet til modellen du fann i oppgåve a.
3.59
Tabellen nedanfor viser korleis vekta av jentebarn varierer med alderen dei ni første månadene.
Vekta er V(t) kg når det har gått t månader etter fødselen.
t (månader) 0369
V(t) (kg) 3,65,97,58,6
a Plott punkta for hand i eit koordinatsystem, og teikn den rette linja du meiner passar best til punkta.
b Finn ein lineær modell for vektutviklinga til jentebarn dei ni første månadene.
3.60
Samanlikn modellane du fann i oppgåve 3.58 og 3.59, med modellane til ein medelev.
Fann de same modell?
Kva kan vere grunnen til at de fann same eller ulik modell i dei to tilfella?
DØME 11
Regresjon ved bruk av GeoGebra
Kvar fødselsdag frå ho var 4 år, har Janne målt høgda si. Dessverre har bestefar sølt kaffi på delar av tabellen.
Alder876549 (år)
Vi lèt h(t) stå for høgda til Janne målt i cm når ho er t år.
a Finn ein lineær modell for utviklinga av høgda til Janne.
b Bruk modellen til å anslå høgda til Janne då ho var 6 og 8 år.
c Bruk modellen til å anslå kor høg Janne blir når ho er 15 og 30 år.
a ❶ Vi opnar Rekneark i GeoGebra og legg inn dei leselege dataa frå tabellen: aldrane i kolonne A og høgdene i kolonne B.
❷ Vi markerer cellene og vel Regresjonsanalyse. GeoGebra opnar eit vindauge der punkta er teikna inn.
❸ Vel Lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell.
GeoGebra teiknar linja som passar best til punkta, og gir likninga til denne linja.
Ein lineær modell for høgdeutviklinga til Janne er h (t) = 5,54t + 76,6.
b Vi set inn 6 og 8 for t i modellen.
Ut frå modellen var høgda til Janne 109,9 cm då ho var 6 år, og 120,9 cm då ho var 8 år.
c På tilsvarande måte som i oppgåve b set vi 15 og 30 inn for t i modellen. Ut frå modellen er Janne 159,7 cm høg når ho blir 15 år, og heile 243,9 cm høg når ho blir 30 år!
Merk!
GeoGebra kuttar gjerne aksane i regresjonsvindauget. Vi ser mellom anna at linja i dømet skjer andreaksen i 76,6. Dersom du skal arbeide vidare med modellen, kan du overføre grafen til grafikkfeltet ved å klikke på øvst i regresjonsvindauget ❹
I døme 11 brukte vi modellen til å anslå høgda til Janne då ho var 6 år og 8 år.
bruker modellen på denne måten, seier vi at vi interpolerer for å finne alderen, eller at vi bestemmer han ved interpolasjon Då vi brukte modellen for å anslå kor høg Janne blir når ho er 15 og 30 år, ekstrapolerte vi. Dette er høgder som ligg utanfor dei dataa vi brukte for å lage modellen. Vi fekk høgda 159,7 cm ved 15 år og 243,9 cm ved 30 år. Den første verdien er kanskje ikkje så usannsynleg, men den andre er svært usannsynleg. Dersom vi set inn høgare aldrar, vil høgda også auke endå meir.
risikere at resultatet avvik mykje frå den faktiske verdien, og at modellen ikkje lenger er gyldig.
Å interpolere vil seie å anslå ein verdi innanfor området der funksjonsverdiane er kjende.
Å ekstrapolere vil seie å bestemme eller anslå ein verdi som ligg utanfor området vi bruker til å finne funksjonen.
Inter tyder mellom. Ekstra tyder utanfor.
3.61
Bruk tabellen frå oppgåve 3.59.
a Bruk GeoGebra og finn ein lineær modell for samanhengen mellom alderen til jentebarna i månader og vekta i kg.
b Bruk modellen til å anslå vekta av eit jentebarn på 7 månader.
c Bruk modellen til å anslå vekta av eit jentebarn på 2 år.
d Kommenter svara i oppgåve b og c.
Har du utført ein interpolasjon eller ein ekstrapolasjon?
RAUDE OPPGÅVER
3.62 (Eksamen 1P hausten 2024)
Gradar celsius (°C) og gradar fahrenheit (°F) er to ulike måleiningar for temperatur.
Det er ein lineær samanheng mellom dei to måleiningane. Punkta i koordinatsystemet til høgre viser temperaturar målt i gradar celsius og i gradar fahrenheit.
a Bestem ein formel som vi kan bruke til å rekne om temperaturar frå gradar celsius til gradar fahrenheit.
b Kor mange gradar celsius svarer 68 °F til?
3.63
Tabellen viser målte verdiar av straumen I gjennom ein motstand og spenninga U over motstanden.
Straum (ampere) 0,220,500,740,901,1
a Finn ein lineær modell for samanhengen mellom spenninga og straumen.
b I teorien er spenning og straum proporsjonale storleikar. Vurder om måleresultata er i tråd med det.
BLÅ OPPGÅVER
3.64
I eit forsøk blei eit jordstykke delt inn i 8 like store areal.
Jordstykka blei så gjødsla med ulike mengder gjødsel, og avlinga frå kvart stykke blei registrert. Tabellen viser resultatet av forsøket. x kg gjødsel, får vi avlinga a(x) tonn.
a Plott data og finn regresjonslinja for punkta. Synest du det er grunnlag for å seie at meir gjødsling gir større avling?
b Bruk modellen du fann i oppgåve a, til å anslå avlinga utan gjødsling.
c Anslå kor mykje gjødsel som skal til for å doble avlinga frå den utan gjødsel. Kommenter svaret.
3.65
Tabellen til høgre viser medlemstalet i det lokale idrettslaget nokre utvalde år.
La M(x) vere medlemstalet x år etter 2010.
Spenning (volt) 1,83,85,77,08,1 x 5050100100150150200200 a(x) 1,421,391,521,391,671,551,711,82 x 20102013201520192024 M(x) 9581705326
a Merk samanhøyrande verdiar for x og M(x) som punkt i eit koordinatsystem.
b Teikn ei rett linje som passar best mogleg til punkta, og bruk denne linja til å lage ein lineær modell for utviklinga av medlemstalet. Kva fortel stigningstalet oss?
c Vurder kva gyldigheitsområdet til modellen kan vere.
BLANDA OPPGÅVER
3.66
Funksjonen f er gitt ved fxx ()1,56,0 =− + , der x 2,5 ∈−[]
a Korleis kan vi ut frå funksjonsuttrykket seie at grafen til f går ned mot høgre?
b Teikn grafen til f
c Finn f( 1) og f(2).
d Finn skjeringspunktet mellom grafen og y-aksen.
e Finn skjeringspunktet mellom grafen og x-aksen.
f Kva er nullpunktet til f?
g Finn x når f(x) = 2,5.
h Kva er verdimengda til f?
i Teikn grafen til funksjonen g gitt ved gxx()0,53 =− saman med grafen til f Finn skjeringspunktet mellom grafane.
3.67
Ta for deg grafane til dei lineære funksjonane f, g og h
Skriv funksjonsuttrykka f(x), g(x) og h(x).
3.68
Tabellen nedanfor viser korleis ei plante veks dei første dagane.
Høgda h(x) er målt i centimeter, og variabelen x står for tida målt i dagar etter at planta blei planta.
x 02358
h(x) 1214151719
a Finn ein lineær modell for høgda av planta x dagar etter at ho blei planta.
b Er høgda av planta og dagtalet proporsjonale storleikar i dette tilfellet?
3.69 (Eksamen 1P hausten 2021)
Morten har kjøpt ny varmtvasstank. Han fyller varmtvasstanken med kaldt vatn og koplar til straumen.
Formelen T = 9t + 7 kan vi bruke for å berekne temperaturen T gradar celsius (°C) i vatnet
t timar etter straumen er kopla til.
a Kor lang tid vil det gå før temperaturen i vatnet er 52 °C?
b Gi ei praktisk tolking av tala 9 og 7 i formelen ovanfor.
3.70 (Eksamen 1P hausten 2024)
Du har fått tilbod om jobb hos tre ulike bedrifter. Bedriftene har ulike måtar å rekne ut lønn på.
Bedrift Fast månadslønn Tillegg ved reiseoppdrag
A
B 63 000 kr
000 kr
000 kr
C 75 000 kr 8 000 kr
a Bestem årslønna di hos kvar av bedriftene dersom du får tre reiseoppdrag gjennom året.
Du reknar med å ha like mange reiseoppdrag hos kvar av dei tre bedriftene.
b Kor mange reiseoppdrag må du ha i løpet av eitt år for at du skal få best lønn i bedrift A, for at du skal få best lønn i bedrift B, og for at du skal få best lønn i bedrift C?
3.71
Etter at ein bil har køyrt x mil, er det B(x) liter bensin att på tanken, der B(x) = 60 0,8x , x [0,75]∴
a Kva står tala 60 og 0,8 for?
b Teikn grafen til B
c Kor mykje bensin er det att på tanken etter at bilen har køyrt 25 mil?
d Rekn ut B(32).
Kva fortel svaret?
e Finn nullpunktet til B.
Kva for opplysning gir nullpunktet?
f Bestem verdimengda til B.
g Løys likninga B(x) = 12. Forklar kva svaret fortel.
3.72
Harley har laga programmet nedanfor.
def f(x): return -4*x + 10 for x in range(4): print(f(x))
a Forklar kva programmet gjer. Kva blir utskrifta?
b Hjelp Harley med å lage eit program som gjer det same med ei while-lykkje.
3.73
5 minutt, aukar ho farten til 10,5 km/h. Ho held denne farten dei neste 20 minutta.
Vi lèt v(t) km/h vere løpsfarten ved tida t målt i minutt etter at ho starta mølleøkta.
Teikn grafen til v og bestem funksjonsuttrykket.
3.74 (Eksamen 2P hausten 2017)
Eit tog køyrde frå by A til by B. Sjå diagrammet til høgre.
a Bestem reisetida mellom dei to byane.
b Skildre kva som skjer 20 km frå by A.
c Bestem farten til toget når det er 10 km frå by A, og når det er 10 km frå by B. Du skal gi svara i km/h.
3.75
Petra fyller kakao med temperaturen 88 °C på ein termos. Tabellen viser korleis temperaturen på kakaoen endrar seg.
Etter 3 timarEtter 5 timarEtter 7 timar
79 °C73 °C67 °C
a Lag ein modell T for temperaturen i termosen i °C etter t timar.
b Kor lang tid tek det før temperaturen er under 60 °C?
c Forklar kvifor modellen T
3.76
a Kor mange kuler består den femte figuren av?
b Kor mange kuler består den tiande figuren av?
c Kor mange kuler vil figur nummer n bestå av?
3.77
Funksjonane f og g er gitt ved fxx()23 =− + og gxx () 1 2 1 2 =+
Eit trekanta område blir avgrensa av x-aksen og grafane til dei to funksjonane.
Bestem arealet av området.
3.78 (Eksamen 1P hausten 2023)
ein hund er 1 år gammal, svarer det til 16 menneskeår. Sjå tabellen til høgre.
Sondre har ein hund som er 2 år gammal. Han meiner funksjonen H gitt ved
Hxx()612 =+
kan nyttast som ein modell for kor mange menneskeår H(x) ein stor hund er når han er x hundeår.
a Forklar korleis Sondre kan ha komme fram til dette uttrykket, og argumenter for når uttrykket er gyldig.
Sondre påstår at modellen han har funne, viser at alderen til ein hund er proporsjonal med alderen til eit menneske.
b Stemmer påstanden til Sondre? Hugs å argumentere for svaret ditt.
Så gammal er hunden din
To månader 2 år2 år2 år
Fire månader 6 år6 år6 år
Seks månader 10 år10 år10 år
Åtte månader 12 år12 år12 år
Ti månader 14 år14 år14 år
1 år 16 år16 år16 år
1,5 år 20 år20 år20 år
2 år 24 år24 år24 år
3 år 29 år30 år31 år
4 år 34 år36 år38 år
5 år 39 år42 år45 år
6 år 44 år48 år52 år
7 år 49 år54 år59 år
8 år 54 år60 år66 år
9 år 59 år66 år73 år
10 år 64 år72 år80 år
11 år
12 år
13 år
69 år78 år87 år
74 år84 år94 år
79 år90 år101 år
14 år 84 år96 år108 år
Små/ mellomstore hundar Store hundar Veldig store hundar
3.79
Undersøk om punkta ( 3 , 7,5), ( 1 , 1,5) og (4 , 3) ligg på grafen til funksjonen f gitt ved f(x) = 1,5x + 3.
3.80
Elliot og Billy har køyreopplæring på ein skule som tek ein fast pris for den obligatoriske delen av opplæringa. I tillegg betaler dei ein timepris for køyretimane.
Elliot har 10 køyretimar og betaler totalt 26 000 kr
Billy har 13 køyretimar og betaler totalt 28 250 kr.
Lag ein formel for totalprisen av køyreopplæringa for ein elev som har x køyretimar.
3.81 (Eksamen 2P hausten 2018)
Anne trener på ei tredemølle. I ei treningsøkt sprang ho til saman 10 km. Ho starta med å springe 3 km med ein fart på 10 km/h. Så sprang ho 7 km med ein fart på 12 km/h.
a Forklar at Anne bruker 6 minutt på kvar kilometer når farten er 10 km/h.
b Kor mange minutt bruker Anne per kilometer når farten er 12 km/h?
c Lag eit koordinatsystem med strekning i kilometer langs x-aksen og tid i minutt langs y-aksen.
Lag ei grafisk framstilling som illustrerer løpeturen til Anne i dette koordinatsystemet.
d Kor mange minutt brukte Anne i gjennomsnitt på kvar kilometer ho sprang?
3.82
Skriv funksjonsuttrykket enklare. Bestem stigningstal og konstantledd dersom funksjonen er lineær.
a fxx ()7(5) =− +
b gxxx ()(1)(5) =+−
c hxx()32(4) =++
d ixxx ()2(1)(22) =−− +
3.83
For å løyse ei likning grafisk teikna Aril to grafar.
Parentesreglane
❶ abcabc () ++=++
❷ abcabc ()+=−−
❸ abcabac ()+= +
❹ abcdacadbcbd ()()++= +++
a Kva er løysinga på likninga?
b Skriv likninga som Aril skulle løyse.
SAMANDRAG
Funksjonar
(x)
x gir éin funksjonsverdi ff er ein funksjon av x
Definisjonsmengde, Df Verdimengde, Vf
Lineære funksjonar (førstegradsfunksjonar)
Lineære funksjonar kan vi skrive på forma f(x) = ax + b Grafen er ei rett linje.
a: stigningstalet der | y x a endringi endringi
b: konstantleddet
Matematisk modell
Ein matematisk modell er ei forenkla skildring av eit fenomen ved hjelp av matematikk.
Gyldigheitsområde
x-verdiane der modellen gir pålitelege og meiningsfulle resultat.
Regresjon
Regresjon er ein metode vi kan bruke for å lage modellar. Vi finn ein funksjon som passar best mogleg til dei dataa vi har.
Lineær regresjon gir oss likninga y = ax + b til den linja som passar best til nokre gitte punkt. Ein lineær modell har to parametrar, a og b.
Interpolasjon og ekstrapolasjon
Å interpolere vil seie å anslå ein verdi innanfor gyldigheitsområdet for modellen.
Å ekstrapolere vil seie å bestemme eller anslå ein verdi som ligg utanfor gyldigheitsområdet. f(x) x a b 1
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Figuren viser grafen til ein funksjon f
a Finn nullpunktet til f
b Bestem f(0).
c Finn skjeringspunkta med x- og y-aksen.
d Finn stigningstalet.
e Bestem funksjonsuttrykket til funksjonen.
f Bestem f(1).
g Løys likninga f(x) = 3.
Oppgåve 2
Tabellen nedanfor viser folketalet i verda for nokre år.
År 1960199020002014
Folketal i milliardar 3,025,286,097,22
La x stå for kor mange år etter 1960.
a Lag ein modell som du kan bruke til å anslå kor mange menneske det er i verda i 2025.
b Den 1. januar 2025 var det 8,20 milliardar menneske i verda. Undersøk om verdien modellen gir for befolkninga i verda i 2025, samsvarer med verkelegheita.
Oppgåve 3
Adrian har laga programmet nedanfor.
def f(x): return 3*x - 2
def g(x): return 2*x + 2
for x in range(1, 11): if f(x) == g(x): print("(", x, "," , f(x), ") ")
Kva gjer programmet? Kva blir utskrifta?
Oppgåve 4
Tabellen nedanfor er verditabellen til ein lineær funksjon f x 4 3 2
f(x) 1197
a Kva er stigningstalet?
b Finn f(0).
c Finn x slik at f(x) = 0.
Oppgåve 5
56 L bensin på tanken. Hadidja har funne ut at bilen bruker 0,7 L/mil. Ho startar med full tank.
a Kor langt har Hadidja køyrt når ho har brukt ein firedel av bensinen på tanken?
b Lag ein matematisk modell for kor mykje bensin Hadidja har att på tanken etter at ho har køyrt x mil.
c Kva for vurderingar ligg til grunn for modellen?
d Lag ein matematisk modell for kor mykje bensin Hadidja har brukt etter at ho har køyrt x mil.
e Illustrer dei to modellane med kvar sin graf i eit koordinatsystem.
f Bestem skjeringspunktet mellom grafane. Kommenter.
Prosent 4
Trykk på Hjem-knappen for å åpne
4F Modellering med eksponentialfunksjonar 182 13:24 søndag 20. april
4A Prosent og prosentpoeng 140
4B Prosentrekning 149
4C Promille 157
4D Vekstfaktor 162
4E Eksponentiell vekst 170
1
Prosent og prosentpoeng
Hos SSB (Statistisk sentralbyrå) fann vi dette:
«Tal frå Norsk mediebarometer viser at bruken av sosiale medium som nyheitskjelde har auka betydeleg, spesielt blant unge. Heile 40 prosent i aldersgruppa 16 til 19 år seier at dei får med seg nyheiter på TikTok.»
«At 40 % av dei spurde i aldersgruppa 16 til 19 år seier at dei får med seg nyheiter på TikTok», er det same som at 40 av 100 seier det.
Andelen som bruker TikTok som nyheitskjelde, er 40 100 , eller 0,40. Vi seier gjerne også at prosentdelen er 40.
Når vi reknar ut prosent, finn vi kor stor del noko er av eit heile. Det heile er 100 %. Tenk på ein pizza: Heile pizzaen er 100 %. Dersom vi et halvparten, har vi ete 50 % av pizzaen. Heile pizzaen er grunnlaget som vi reknar ut frå.
Med prosent meiner vi altså del av hundre eller hundredelar.
p % er det same som brøken p 100 40% 40 100 0,40 prosentbrøkdesimaltal | || |
Skriv som desimaltal.
8 % b 35 %
Å dele med 100 er det same som å flytte kommaet to gonger til venstre.
3,5 % d 137 %
DØME 2
Skriv som prosent.
DØME 3
4.1
Skriv som desimaltal.
4.2
Skriv som prosent. a 0,06 b 0,15 c 0,25 d 0,95 e 1,17
Skriv som prosent. a 2 5 b 6 300 a Vi finn først éin femdel, 1 5
100 : 5 = 20
Altså er 1 5 = 20 %. 2 5 er dermed 2 20 % = 40 %. Vi kan også rekne slik:
Merk!
Med tilgang til kalkulator eller andre digitale verktøy kan vi rekne om brøkdelen direkte til desimaltal. I oppgåve b i dømet ovanfor er da 6 300 0,022% || Vi utvidar med 20. Vi forkortar med 3.
5 av 6 er det same som 5 6
4.3
Bruk figuren og skriv som prosent.
a 1 4
b 3 4
4.4
Bruk figuren og skriv som prosent.
a 1 8 b 3 8
c 6 8
4.5
Skriv som prosent.
4.6
Skriv som prosent.
4.7
Fem av seks elevar på ein skule deltok på ei markering. Kor mange prosent av elevane deltok?
På figuren er det 100 små ruter. 1 rute er 1 %.
DØME 4
4.8
Kraftig underrapportering av sykkelulykker uroar forskarane.
Dei antydar at 9 av 10 ulykker ikkje blir registrerte.
a Kor mange prosent av ulykkene blir ikkje registrert?
b Kor mange prosent av ulykkene blir registrert?
4.9
På nettsida ungdata.no fann vi dette:
«På ungdomstrinnet har halvparten av gutane og fire av ti jenter venner som dei berre har kontakt med via nettet.»
Kor mange prosent av gutane og kor mange prosent av jentene utgjorde dette?
4.10
Nokre venner leigde ei hytte. Hytteleiga var 27 500 kr.
Alma skulle betale 11 000 kr.
Kor mange prosent av hytteleiga skulle Alma betale?
I kinobillett for barn kostar 120 kr, mens ein vaksenbillett kostar 180 kr.
a Kor mange prosent dyrare er vaksenbilletten enn barnebilletten?
b Kor mange prosent billigare er barnebilletten enn vaksenbilletten?
a Prisskilnaden på billettane er 180 kr 120 kr = 60 kr.
Vi finn kor mykje 60 kr er av 120 kr.
60
120 1 2 50% ||
Vaksenbilletten er 50 % dyrare enn barnebilletten.
b Vi finn kor mykje 60 kr er av 180 kr.
60 180 1 3 33% ||
Barnebilletten er 33 % billigare enn vaksenbilletten.
4.11
Ein flybillett frå Bergen til Oslo kostar 1500 kr på morgonen og 2000 kr på kvelden.
a Finn prisskilnaden.
b Kor mange prosent dyrare er kveldsbilletten enn morgonbilletten?
c Kor mange prosent billigare er morgonbilletten enn kveldsbilletten?
SNAKK
4.12
Eit treningsstudio tilbyr to typar medlemskap:
Basis: 399 kr per månad
Premium: 749 kr per månad
a Kor mange prosent dyrare er premiumabonnementet enn basisabonnementet?
b Kor mange prosent billigare er basisabonnementet enn premiumabonnementet?
4.13 (Eksamen 1P våren 2023, litt endra)
Marko har kjøpt ei sjokoladeplate til 20 kr på butikken.
Mari har kjøpt ei sjokoladeplate til 50 kr på bensinstasjonen.
Ta stilling til om kvar av påstandane stemmer, og grunngi svaret:
A: Sjokoladen er 150 % dyrare på bensinstasjonen enn på butikken.
B: Sjokoladen er 60 % billigare på butikken enn på bensinstasjonen.
brøkar og prosentar
I april 2021 blei det, i ein debatt på NRK om covid-19-smitte blant barn, hevda at berre 0,05 % av alle bar n mellom 0 og 17 år testa positivt for smitte. Det viste seg at NRK hadde blanda omgrepa andel og prosentdel, og at det rette talet skulle vere 5 %.
Forklar med dine eigne ord skilnaden på andel og prosentdel.
DØME 5
Prosentpoeng
Ein bank set opp renta på bustadlån frå 5,70 % per år til 5,90 % per år.
Vi seier at banken set opp renta med 0,2 prosentpoeng. Ei endring i prosentdel oppgir vi i prosentpoeng.
Eit politisk parti gjekk i ei meiningsmåling fram frå 16 % til 20 %.
a Kor mange prosentpoeng var framgangen på?
b Kor mange prosent var framgangen på?
Eit anna parti gjekk tilbake frå 6,0 % til 5,1 %.
c Kor mange prosentpoeng var tilbakegangen på?
d Kor mange prosent var tilbakegangen på?
a 20 16 = 4
Framgangen var på 4 prosentpoeng.
b Vi finn kor mange prosent 4 er av 16. 4 16 1 4 0,2525%|||
Vi forkortar med 4.
Framgangen var på 25 %.
Partiet gjekk fram 4 prosentpoeng, noko som svarte til ein auke på 25 %.
c 6 5,1 = 0,9
Tilbakegangen var på 0,9 prosentpoeng.
d Vi finn kor mange prosent 0,9 er av 6.
Vi utvidar med 10.
Så forkortar vi med 3.
Til slutt utvidar vi med 5.
Tilbakegangen var på 15 %.
Partiet gjekk tilbake 0,9 prosentpoeng, noko som svarte til ein tilbakegang på 15 %.
Forklar skilnaden på endring i prosentpoeng og endring i prosent.
4.14
I ei meiningsmåling gjekk eit parti fram frå 8,0 % til 10,0 % i oppslutning.
a Kor stor var auken i prosentpoeng?
b Kor mange prosent gjekk partiet fram?
4.15
Ved ein skule var det eit år 60 % jenter.
Året etter hadde andelen gått ned til 57 %.
a Kor mange prosentpoeng var nedgangen på?
b Kor mange prosent var nedgangen på?
På ein annan skule var det 60 % gutar.
Året etter hadde andelen gått ned til 51 %.
c Kor mange prosentpoeng var nedgangen på?
d Kor mange prosent var nedgangen på?
4.16
Eit land planlegg å auke prosentdelen fornybar energi frå 5 % til 8 %.
Kor mange prosent vil auken utgjere?
4.17
Ei undersøking viser kor mange prosent av elbileigarane som opplever kø ved ladestasjonane i nokre utvalde fylke. Skriv av og fyll ut tabellen.
4.18
Tabellen viser oppslutninga til tre parti ved kommunevalet i år og ved det førre valet.
Kva for nokre av påstandane nedanfor stemmer?
1 Parti A og parti B har like stor framgang i prosent.
2 Alle partia har same endring i prosentpoeng.
3 Parti B har dobla oppslutninga si.
4 Parti A nådde målet sitt om å auke oppslutninga med 25 %.
RAUDE OPPGÅVER
4.19
Skriv tala i stigande rekkjefølgje. 0,47 83 % 0,128 2 3 300 %
4.20
Kor mange prosent er 20 kr av 200 kr?
4.21
a I ei undersøking svarte 40 av 50 at dei veit kven Martin Ødegaard er.
Kor mange prosent svarer det til?
b I ein handballkamp redda målvakta 8 av 20 skot på mål.
Kva var redningsprosenten?
4.22
I eit bed er det 5 gule, 3 grøne og 8 oransje tulipanar.
a Kor mange prosent av tulipanane er grøne?
b Kor mange prosent av tulipanane er ikkje oransje?
4.23
Oda tener 210 kr i timen og får ein lønnsauke på 40 kr.
Kor mange prosent svarer lønnsauken til?
4.24
Cecilie spring vanlegvis i 10 km/h på mølla. Ho aukar farten til 10,5 km/h.
Kor mange prosent fortare spring ho no?
4.25
Ved kommunevalet fekk eit parti 15 % av røystene i ein kommune.
Ved siste meiningsmåling var oppslutninga om partiet auka med 5 prosentpoeng.
a Kva var oppslutninga ved den siste meiningsmålinga?
b Kor mange prosent var auken på?
4.26
I ein pose er det grøne, raude og gule seigmenn.
3
5 av seigmennene er raude, og 1 10 av dei er gule.
Kor mange prosent av seigmennene er grøne?
BLÅ OPPGÅVER
4.27
I vg1 på skulen er det 56 elevar. Av dei er 14 jenter.
Kor mange prosent av elevane er jenter?
4.28
I ei undersøking les vi
«Ungdom mellom 16 og 19 år bruker mest tid på internett med 7 timar og 14 minutt dagleg. Til samanlikning bruker dei over 80 år berre ein halvtime på internett i løpet av ein dag.»
a Kor mange prosent meir tid bruker 16–19-åringar på internett enn dei over 80 år?
b Kor mange prosent mindre bruker dei over 80 år på internett enn 16–19-åringane?
4.29
I ei meiningsmåling aukar oppslutninga om eit politisk parti med 1,4 prosentpoeng til 29,1 %.
Med kor mange prosent gjekk partiet fram?
4.30 (Eksamen 1P hausten 2023, litt endra)
På ssb.no les vi:
Ni av ti nordmenn bruker sosiale medium 88 % av nordmenn bruker sosiale medium.
Dei siste fem åra har talet på nordmenn som bruker sosiale medium, auka med 8 prosentpoeng.
Vil du seie at overskrifta samsvarer med den første setninga i teksten?
Kor mange prosent svarer auken på 8 prosentpoeng til?
4.31
Farmor har laga syltetøy. Det inneheld 20 % sukker. Barnebarna synest syltetøyet er surt, så farmor lagar nytt syltetøy der ho har like mykje bær, men set til dobbelt så mykje sukker. Ho meiner no at syltetøyet inneheld 40 % sukker, men barnebarna forstår at det er feil.
Kor mange prosent sukker er det i det nye syltetøyet?
DØME 6
Prosentrekning
Når vi reknar med prosent, er det mange måtar å tenkje på og løyse oppgåvene på. Vi viser derfor fire alternative løysingsmetodar i dømet nedanfor. Finn ut kva du liker best, og kva som er mest hensiktsmessig i kvar enkelt oppgåve!
Eit par ski kosta 3500 kr. Dei blir selde med 20 % avslag.
Finn avslaget i kroner.
Alternativ 1:
Vi går vegen om 1 %.
100 % svarer til 3500.
1 % svarer då til 3500 : 100 = 35.
20 % svarer derfor til 35 20 = 700.
Avslaget er 700 kr.
Alternativ 2:
Vi går vegen om 1 %, men set det opp som eitt reknestykke.
350020 100 3520700 ⋅ =⋅=
Avslaget er 700 kr.
Alternativ 3:
100 : 20 = 5.
20 % er det same som éin femdel, 1 5
20 % svarer då til 3500 : 5 = 700.
Avslaget er 700 kr.
Alternativ 4:
20 % = 0,2.
20 % av 3500 er dermed
35000,2700 ⋅=
Avslaget er 700 kr.
Vi deler med 100 for å finne 1 %, så gongar vi med 20 for å finne 20 %.
4.32
Ein hybel blir leigd ut for 5000 kr per månad. Prisen blir sett opp med 6 %.
Kor mykje blir prisen sett opp?
4.33
På ein skule med 320 elevar svarer 25 % at dei ser på Netflix kvar dag. Kor mange av elevane ser dagleg på Netflix?
4.34
Timelønna i ei bedrift blei sett opp med 2 % frå 245 kr.
a Kor mykje blei lønna sett opp i kroner?
b Kva blei den nye timelønna?
4.35
På ein skule er det 740 elevar. 30 % av elevane er gutar. Finn kor mange gutar det er på skulen ved at du bruker figuren nedanfor og går vegen om 10 %.
740 elevar svarer til 100 %
10 %
30 % gutar
SNAKK
Eg føretrekkjer å ha berre éin måte å rekne på, seier Tiril. Derfor vel eg å gå vegen om 1 % kvar gong.
Kva vil du seie til Tiril? Du kan til dømes ta utgangspunkt i oppgåva ovanfor.
4.36
I ei gruppe på 320 elevar er det 10 % som aldri gjer lekser, og 30 % som bruker meir enn 6 timar på mobilen kvar dag.
a Kor mange av elevane gjer aldri lekser?
b Kor mange av elevane bruker meir enn 6 timar på mobilen kvar dag?
4.37
Ein genser som kostar 480 kr, blir sett ned i pris med 40 %.
a Kor mykje blei prisen sett ned?
b Kva blei den nye prisen?
4.38
Eit egg veg 60 g.
30 % av egget er plomme og 60 % kvite. Resten er skal.
a Kor mykje veg plomma i egget?
b Kor mykje veg skalet?
DØME 7
Eit alarmselskap sel abonnement til 720 kr per månad.
Dei ønskjer å auke denne prisen med 15 %.
Kor mykje vil dei auke prisen med i kroner?
100 % svarer til 720 kr.
10 % er det same som éin tidel, 1 10
10 % svarer altså til 720 : 10 = 72.
5 % svarer då til 72 : 2 = 36.
15 % = 10 % + 5 %, og svarer dermed til 72 + 36 = 108.
Selskapet vil auke prisen med 108 kr.
4.39
Prisen på ein sykkel blei sett ned med 15 % frå 9000 kr.
a Kor mykje blei prisen sett ned i kroner?
b Kva kostar sykkelen no?
4.40
Ein singlet kosta opphavleg 320 kr, men blir no seld med 35 % rabatt.
Kva kostar singleten no?
UTFORSK
Eldrid skal finne kor mykje 16 % er av 75.
For å finne svaret reknar ho ut 75 % av 16, noko ho meiner er enklare. Undersøk om svaret blir rett når Eldrid reknar på denne måten.
Vis at dette gjeld generelt:
x % av y = y % av x
Finn utan å bruke hjelpemiddel.
a 12 % av 25
b 15 % av 50
c 36 % av 75
DØME 8
1 milliard
= 1000 millionar
Med digitale verktøy er det ofte enklast å finne ein prosentdel ved å gonge det heile med andelen.
Eit kraftverk slepper ut omtrent 2,4 milliardar kg CO2 gjennom eitt år. Kraftverket ønskjer å redusere utsleppa med 6,5 % for å nå miljømåla sine. Kor mange kg CO2 må kraftverket redusere utsleppa med?
6,5% 6,5
100 0,065 ||
2,4 0,065 = 0,156
Vi gjer om frå prosent til desimaltal.
Vi bruker eit digitalt verktøy og gongar det heile med andelen.
Utsleppa må reduserast med 0,156 milliardar kg CO2
Dette svarer til 156 millionar kg CO2
4.41
Eit forsikringsselskap tek 2,6 % av verdien for å forsikre fotoutstyr. Kor mykje kostar forsikringa dersom verdien av utstyret er 50 000 kr?
4.42
Det var 5,5 millionar menneske i Noreg i 2024. Ein dag i 2024 les 0,65 % av innbyggjarane den same nyheitssaka i ei nettavis. Kor mange personar svarer det til?
4.43
I ei talfølgje er tala 10 % større enn det føregåande talet.
Det første talet er 200. Skriv opp dei 5 første tala i denne følgja.
4.44
Ei stor bedrift har årlege driftskostnader på 1,25 milliardar kroner.
Leiinga ønskjer å kutte kostnadene for å betre lønnsemda.
Kor mykje pengar vil bedrifta spare ved å kutte 5 %?
Meirverdiavgift
Når du handlar i butikken, betaler du meirverdiavgift (mva.).
Dette er ei avgift til staten som du må betale når du kjøper dei fleste varer og tenester. Til dagleg er det mange som kallar denne avgifta for moms.
4.45
Ei kalvesteik kostar 347 kr utan meirverdiavgift. Meirverdiavgifta er 15 % for næringsmiddel (mat).
Kor mykje skal staten ha i meirverdiavgift?
4.46
Per har laga denne formelen for meirverdiavgifta M kr når ein kinobillett kostar p kr utan meirverdiavgift:
M = 0,12 ⋅ p
a Kva er meirverdiavgifta for kinobillettar?
b Kor mykje meirverdiavgift skal betalast inn for ein kinobillett som kostar 160 kr utan meirverdiavgift?
4.47
Ein genser kostar 599 kr utan meirverdiavgift. Meirverdiavgifta er 25 %.
a Kor mykje skal staten ha i meirverdiavgift?
b Kor mykje kostar genseren for kundane?
UTFORSK
Mari, Marie og Maria veit at 20 % av jentene og 20 % av gutane i ein klasse har hund. Dei ønskjer å finne ut kor mange prosent av elevane i klassen som har hund. Mari meiner det er 20 %, Marie meiner det er 40 %, mens Maria meiner vi ikkje kan svare på dette utan å vite kor mange jenter og gutar det er i klassen. Kva meiner du?
4.48
I ei avis står det:
«80 % røysta nei til kommunesamanslåinga. Valdeltakinga var på 62 %.»
Kor mange prosent av dei røysteføre røysta nei?
DØME 9
Under eit sal blei nokre utvalde varer i ein butikk selde med eit avslag på 25 %. For éi vare svarte dette til 615 kr. Kva var prisen på denne vara før salet?
Prisen på vara før salet svarer til 100 %.
25 % svarer til 615 kr.
50 % svarer derfor til 2 ⋅ 615 kr = 1230 kr.
100 % svarer dermed til 2 ⋅ 1230 kr = 2460 kr.
4.49
I ein skuleklasse er det ein dag 7 elevar som er heime med influensa.
Det svarer til 25 %. Kor mange går det i klassen?
4.50
Ei gruppe på 12 personar har kjøpt billettar til ein film på kino.
Dette utgjer 40 % av alle seta i kinosalen.
Kor mange sete er det totalt i kinosalen?
4.51
På eit treningssenter er 7 treningsapparat aldri i bruk.
Dette utgjer 28 % av treningsapparata.
Kor mange treningsapparat har senteret?
DØME 10
Kaja og Kristian baker peparkaker til julemarknaden på skulen.
Dei mister eit brett i golvet, og 14 peparkaker blir knuste.
Det svarer til 17,5 % av alle peparkakene.
Kor mange peparkaker har dei bakt?
17,5 % svarer til 14 peparkaker.
1 % svarer då til 14 17,5 .
100 % svarer dermed til 14 17,5 10080⋅=
Alter nativt:
Vi kallar alle peparkakene for x
Vi reknar ut med digitalt verktøy.
Når vi gongar det totale talet på peparkaker med andelen som blir knust, får vi talet på knuste peparkaker.
Det gir x 0,175 = 14.
Vi løyser likninga i CAS:
Dei har bakt 80 peparkaker.
4.52
I ei avis står det at det blei selt 25 000 fleire elsyklar i 2020 enn i 2019, og at dette svarer til ein auke på 45 %.
Kor mange elsyklar blei det selt i 2019?
4.53
På den første konserten i ein turné blir 488 billettar selde, noko som utgjer
60 % av det totale billettalet.
Kor mange billettar låg ute til sals?
4.54
I ei avis les vi:
«I gjennomsnitt gjennomfører rundt 7500 kvinner og menn førstegongstenesta kvart år. Det utgjer omtrent 13 % av kvart årskull. I 2021 var 71 % av dei menn og 29 % kvinner.»
a Omtrent kor mange kvinner og kor mange menn gjennomførte førstegongstenesta i 2021 ifølgje desse tala?
b Omtrent kor stort var årskullet i 2021?
DØME 11
Timelønna i sommarjobben er 230 kr etter ein lønnsauke på 15 %.
Finn lønna før lønnsauken.
100 % + 15 % = 115 %
230 svarer derfor til 115 % av den gamle lønna.
Vi går vegen om 1 %:
1 % svarer då til 230 : 115 = 2.
100 % svarer dermed til 2 100 = 200.
Lønna før lønnsauken var 200 kr.
4.55
Cornelia har ei timelønn på 300 kr når ho arbeider utanfor ordinær arbeidstid.
Då har ho fått eit tillegg på 50 %.
Kva er timelønna for ordinær arbeidstid?
4.56
Prisen på eit dataspel blei sett ned med 25 % til 330 kr.
Kva var den opphavlege prisen?
RAUDE OPPGÅVER
4.57
a Ei konfekteske kosta 155 kr. Prisen blei sett ned med 20 %. Kva blei den nye prisen?
b Ei bukse kosta 400 kr etter ein prisreduksjon på 20 %. Kva kosta buksa før prisreduksjonen?
4.58
På skulebiblioteket er 9 av elevane i klassen til stades. Dette utgjer 30 % av alle elevane i klassen. Kor mange elevar går det totalt i klassen?
4.59
288 elevar på ein skule melde seg på eit elevarrangement. Dette utgjorde 60 % av elevane. Kor mange elevar går det på skulen?
4.60
Ein teaterbillett kostar 480 kr. Med studentrabatt kostar billetten 240 kr.
a Kor mange prosent dyrare er den vanlege billetten enn studentbilletten?
b Kor mange prosent billigare er studentbilletten enn den vanlege billetten?
4.61
Ved stortingsvalet i 2021 var det 3,88 millionar røysteføre. Valdeltakinga var på 77 %.
Kor mange personar røysta ved stortingsvalet i 2021?
BLÅ OPPGÅVER
4.62
Smågodt blir selt i laus vekt til 14 kr/hg. Ein pose ferdigplukka smågodt inneheld 280 g og kostar 49,50 kr
Kor mange prosent dyrare er det å kjøpe ferdigplukka smågodt enn å kjøpe i laus vekt?
4.63
Oliver tener 210 kr i timen. Han skal gå opp i lønn og får velje mellom ein auke i lønn på 20 % eller 40 kr meir per time. Kva bør han velje?
4.64
På ei vare som kosta 1000 kr, gjekk prisen opp med 20 %. Ei stund seinare hadde forretninga sal, og prisen blei sett ned med 20 %. Finn prisen under salet.
4.65
Prisen på ein elektrisk sparkesykkel blei sett ned med 15 %. Dette utgjorde ein rabatt på 1575 kr. Kva var den opphavlege prisen?
4.66
Andreas er på sal. Han kjøper ein genser som har kosta 499 kr, men som er sett ned med 20 %. Han kjøper også ei bukse som har kosta 899 kr, men som no er sett ned med 40 %. Kor mange prosent har han spart til saman på begge plagga i forhold til den opphavlege totalprisen?
Å dele med 1000 er det same som å flytte kommaet tre plassar til venstre.
Promille
Når prosentdelane er små, er det vanleg å bruke promille i staden for prosent. Å «køyre med promille» vil seie å køyre når blodet inneheld meir enn 0,2 promille med alkohol. Det er det same som 0,2 tusendelar med alkohol. 1promille1‰ 1 1000 0,001 | || || |
DØME 12
Skriv som promille. a 0,005 b 3 500 c 1 % d 0,3 %
a 0,005 = 5 0,001 = 5 1 1000 5‰ ⋅=
b 3 av 500 500 er det same som 6 av 1000.
Vi kan også rekne slik med digitalt verktøy:
Alternativt:
I oppgåve c fann vi at 1 % = 10 ‰. Altså må vi gonge med 10. Det er det same som å flytte kommaet éin plass til høgre.
0,3 % = 3 ‰
1 m = 1000 mm
4.67
Skriv som promille.
a 8 1000 b 0,003 c 0,0025
d 2 500 e 1,5 250 f 0,2 %
4.68
Eit sølvsmykke er stempla med 925 S.
Det vil seie at det inneheld 925 promille med sølv. Kor mange prosent sølv inneheld smykket?
4.69
I ein promillekontroll hadde ein av bilførarane 1,26 promille alkohol i blodet. Skriv dette som desimaltal.
4.70
Ei pakke ost veg 500 gram. Av dette er 12 gram feitt. Kor mange promille er feitt?
4.71
Ei prøve frå eit vassreservoar viser at det er 0,7 gram salt per liter vatn. Kor mange promille av vatnet består av salt?
4.72
1 liter vatn veg 1 kg.
Berre 5 promille av elektrisitetsproduksjonen i Noreg kjem frå sol. Kor mange prosent svarer det til?
4.73
Ein maskin produserer metallstenger med ei lengde på 1 meter, men tillèt ein feilmargin på 2 promille. Kva er det største og det minste målet som blir rekna som innanfor feilmarginen? Oppgi svaret i m og i mm.
4.74
Ei elv hadde eit blyinnhald på 0,04 %. Nye målingar viser at nivået har auka til 1,1 promille.
a Kor mange prosent har innhaldet auka?
b Kva er auken i promille?
DØME 13
1 kg = 1000 g
I 2024 stod Noreg for omtrent 1,5 promille av dei totale CO2-utsleppa i verda. Det totale utsleppet i verda var nesten 46 milliardar tonn. Kor mange tonn CO2 sleppte Noreg ut?
46 milliardar = 46 000 millionar
1000 ‰ svarer til 46 000.
1 ‰ svarer då til 46 000 : 1000 = 46. 0,5 ‰ svarer dermed til 46 : 2 = 23.
1,5 ‰ svarer derfor til 46 + 23 = 69.
Noreg sleppte ut 69 millionar tonn CO2
Alternativt:
460001,5 1000 69 =
Vi deler med 1000 for å finne 1 promille, og gongar så med 1,5 for å finne 1,5 promille.
Noreg sleppte ut 69 millionar tonn CO2
4.75
Arne har ei hytte med ein likningsverdi på 400 000 kr. Han må betale 3 promille av likningsverdien i eigedomsskatt kvart år. Kor mykje må han betale i eigedomsskatt?
4.76
I ein by blir det sleppt ut totalt ut 5000 tonn CO2 i året.
Det er to store bedrifter i byen.
Bedrift A slepper ut 0,5 promille av det totale utsleppet.
Bedrift B slepper ut 0,2 promille av det totale utsleppet. Kor mykje CO2 slepper kvar av bedriftene ut?
4.77
Ein pasient har 0,8 promille av eit bestemt medikament i blodet. Pasienten har 5 kg blod i kroppen. Kor mykje medikament er det totalt i blodet?
DØME 14
1 g = 1000 mg
Harald betaler 7000 kr i eigedomsskatt kvart år.
Det svarer til 3,5 promille av likningsverdien på bustaden hans.
Kva er likningsverdien på bustaden?
3,5 ‰ svarer til 7000.
7 ‰ er dobbelt så mykje, altså 14 000.
1 ‰ svarer då til 14 000 : 7 = 2000.
1000 ‰ svarer dermed til 1000 2000 = 2 000 000.
Likningsverdien på bustaden er 2 000 000 kr, altså 2 millionar kroner.
Med CAS:
3,5‰
3,5 1000 0,0035 ||
Vi lèt verdien av bustaden vere x kr.
Det gir likninga x 0,0035 = 7000.
Vi løyser likninga:
Vi gjer om frå promille til desimaltal.
Likningsverdien på bustaden er 2 000 000 kr, altså 2 millionar kroner.
4.78
I ein kommune må innbyggjarane betale 2,5 promille av likningsverdien av bustaden i eigedomsskatt.
Eigedomsskatten på ein bustad er 12 500 kr.
a Kva er likningsverdien på bustaden?
Kommunen vil auke eigedomsskatten til 3,0 promille.
b Kor mange prosent er auken?
c Kor mange prosentpoeng er auken?
4.79
Kreatin er rekna som eit avfallsprodukt i kroppen. Kreatinnivået i urin og blod fortel derfor kor effektivt nyrene fjernar avfallsstoff.
a For ein vaksen person på 70 kg består omtrent 8 % av kroppsvekta av blod.
I blodet er det 0,05 promille kreatin.
Kor mange gram kreatin har personen i blodet?
b Ein pasient har 2,25 mg kreatin i 1,5 dl urin. 1 dl urin veg omtrent 100 g.
Kor mange promille kreatin er det i urinen?
RAUDE OPPGÅVER
4.80
Skriv som promille.
a 6 1000 b 0,007 c 0,0025 d 1 2000 e 0,9 % f 0,02 %
4.81
Kor mykje er 3 promille av 10 000 000 kr?
4.82
I ein promillekontroll blei andelen av alkohol i blodet for ein bilførar målt til 0,14 %.
Kor mange promille «blåste» bilføraren?
4.83
I ein by med 34 000 innbyggjarar jobbar 300 personar i brannvesenet. Oppgi andelen som jobbar i brannvesenet i promille og i prosent.
BLÅ OPPGÅVER
4.84 (Eksamen 1P våren 2024)
Gå ut frå at det på eit tidspunkt vil bu 18 millionar menneske i eit land, og at dette vil svare til 2 promille av befolkninga i verda.
Kor stor vil befolkninga i verda vere på dette tidspunktet?
4.85
I 2024 produserte Noreg totalt 150 TWh elektrisk energi, og av dette kom 5 promille frå solkraft.
a Kor mykje av produksjonen kom frå solkraft?
b Dersom solkraftproduksjonen blir auka til 1,5 TWh, kor stor er då auken i prosent?
4.86
1 TWh = 1 milliard kWh
Forklar kva som skjer når programmet nedanfor blir køyrt. Kva skriv det ut?
verdi = 1000000 if verdi < 1500000: sats = 8
skatt = verdi*sats/1000
else: sats = 1
skatt = verdi*sats/100
UTFORSK
Vekstfaktor
Undersøk og vurder dei ulike påstandane.
Det var like mange som sykla i oktober som i august.
Frå august til september steig talet som sykla til jobben med 20 %. Frå september til oktober minka talet med 20 %.
Det var 4 % færre som sykla i oktober enn i august.
Det var fleire som sykla i oktober enn i august.
Desse tala fortel ingenting så lenge vi ikkje veit kor mange tilsette det er.
Jenta i den rosa genseren i UTFORSK ovanfor har brukt vekstfaktorar då ho sette opp reknestykket sitt.
Vekstfaktoren større enn éin
Dersom ein verdi aukar med 25 %, er den nye verdien 100 % + 25 % = 125 % av den gamle verdien.
La oss gå ut frå at ein verdi på 566 stig med 25 %. Den nye verdien er då
5665660,25566(10,25)5661,25
100% 25%av566
125 % er 1,25 som desimaltal.
Å leggje til 25 % er derfor det same som å gonge med 1,25. Talet 1,25 kallar vi vekstfaktoren for ein auke på 25 %.
DØME 15
Vekstfaktoren mindre enn éin
Dersom ein verdi minkar med 25 %, er den nye verdien 100 % 25 % = 75 % av den gamle verdien.
Dersom ein verdi på 680 minkar med 25 %, blir den nye verdien
6806800,25680(10,25)6800,75 100% 25%av680
75 % er 0,75 som desimaltal.
Å trekkje frå 25 % er derfor det same som å gonge med 0,75.
Talet 0,75 kallar vi vekstfaktoren for ein reduksjon på 25 %.
Legg merke til at vi kallar det vekstfaktor sjølv om det er ein reduksjon.
ny verdi = gammal verdi · vekstfaktor
N = G · V
Timelønna i ei bedrift blir sett opp med 3 % frå 265 kr.
Kva er den nye timelønna?
Den nye timelønna blei 100 % + 3 % = 103 % av den gamle.
103 % = 1,03
Vekstfaktoren er 1,03.
265 1,03 = 272,95
Den nye timelønna er 272,95 kr.
Merk!
Vi reknar ut 265 · 1,03 med eit digitalt verktøy.
I dømet ovanfor kunne vi ha valt først å finne at 3 % av 265 kr svarer til 7,95 kr, og deretter at 265 kr + 7,95 kr = 272,95 kr.
Det er altså meir effektivt å rekne med vekstfaktor. Dette vil bli endå meir synleg når vi mot slutten av underkapittelet skal rekne med prosentendring i fleire periodar.
DØME 16
4.87
Kva er vekstfaktoren når prisen på ei vare går opp med a 5 % b 15 % c 15,5 % d 0,5 %
4.88
Prisen på ei vare blei sett opp med 12 % frå 800 kr. a Kva er vekstfaktoren? b Kva er den nye prisen?
Eit par ski blei sett ned med 12 % frå 9600 kr.
Kva er den nye prisen?
Den nye prisen blei 100 % 12 % = 88 % av den gamle prisen. Vekstfaktoren er 88 % = 0,88.
9600 0,88 = 8448
Den nye prisen blei 8448 kr.
4.89
Kva er vekstfaktoren når prisen på ei vare går ned med a 5 % b 15 % c 15,5 % d 0,5 %
4.90
Prisen på ein flybillett er 3400 kr. I ein kampanje blir prisen sett ned med 35 %. a Kva er vekstfaktoren? b Kva er kampanjeprisen?
4.91
Timelønna til Ola aukar med 3,5 % frå 350 kr.
Kva for eit av desse reknestykka gir den nye timelønna?
A 350 ⋅ 0,035 B 350 ⋅ 1,035 C 350 ⋅ 1,35
4.92
Prisen på ei vare blei sett ned med 16 % frå 800 kr. Kva for eit av desse reknestykka gir den nye prisen?
A 800 ⋅ 0,16 B 800 ⋅ 1,16 C 800 ⋅ 0,84
SNAKK
Kva er vekstfaktoren ved halvering?
Kva er vekstfaktoren ved dobling?
Kva vil det seie at vekstfaktoren er 1,5?
Kva vil det seie at vekstfaktoren er 2?
Kva vil det seie at vekstfaktoren er 1?
Kva vil det seie at vekstfaktoren er 0?
Kan vekstfaktoren vere negativ?
DØME 17
Etter ein lønnsauke på 3 % tente Oline 187,60 kr per time.
a Kva var timelønna før lønnsauken?
Ved det neste lønnsoppgjeret aukar timelønna frå 187,60 kr til 195,10 kr.
b Kor stor er denne auken i prosent?
a Vekstfaktoren er 1,03.
Vi bruker formelen N = GV og set inn tala for N og V
Timelønna før lønnsauken var 182,14 kr.
b Vi bruker igjen formelen N = GV og set inn tala for N og G
Vekstfaktoren er 1,04.
Timelønna aukar med 4 %.
4.93
Energiforbruket for ein husstand var 2300 kWh i mai 2024. Dette er 18,2 % lågare enn energiforbruket i mai 2023.
a Kva er vekstfaktoren?
b Kor høgt var energiforbruket i mai 2023?
4.94
Prisen på ei hyttetomt går opp frå 950 000 kr til 1 120 000 kr.
Kor stor er prisauken i prosent?
4.95
I desember 2019 blei 14 personar drepne i trafikken her i landet. Dette var ein auke på 133 % av talet på trafikkdrepne i desember 2018. Kor mange blei drepne i trafikken i desember 2018?
4.96
Frå mai til juni i 2019 auka talet på personar som skadde seg etter fall med elektrisk sparkesykkel i Oslo, frå 46 til 107. Kor mange prosent auka talet på skadde personar?
4.97
Dersom du et på ein kafé, må du betale 25 % mva. fordi det er mva.-satsen for serveringstenester.
Dersom du heller vel å ta med deg maten og drikken, betaler du berre 15 % mva. fordi det er mva.-satsen på kjøp av næringsmiddel.
Mona kjøpte ein kaffi og valde å ta han med seg. Ho betalte 45 kr. Kva måtte Mona ha betalt for kaffien dersom ho skulle drukke han på kafeen?
4.98
Figuren viser korleis salet av elsyklar auka frå 2012 til 2018. a Kor mange prosent auka salet av elsyklar
1 frå 2012 til 2014
2 frå 2014 til 2016
3 frå 2016 til 2018
Selde elsyklar
b Hans meiner at ein kan leggje saman prosentsvara i oppgåve a for å finne kor mange prosent salet av elsyklar auka frå 2012 til 2018. Kva meiner du?
Prosentendring i fleire periodar
Eit heilårsabonnement på treningssenteret kostar 4600 kr. Senteret set opp prisen med 10 %. Då går medlemstalet kraftig ned, og den nye prisen blir derfor sett ned med 20 %.
Kva er prisen etter prisreduksjonen?
Dette er eit døme på prosentendring i fleire periodar. Ein prisauke på 10 % svarer til ein vekstfaktor på 1,10. Prisen etter prisauken er 4600 kr ⋅ 1,10 = 5060 kr.
Ein prisreduksjon på 20 % svarer til ein vekstfaktor på 0,80. Prisreduksjonen på 20 % skal reknast av prisen etter prisauken på 10 %, altså av 5060 kr.
Prisen etter prisreduksjonen blir 5060 kr ⋅ 0,80 = 4048 kr. Dette er det same som 4600 kr ⋅ 1,10 ⋅ 0,80 = 4048 kr.
Når vi har fleire prosentendringar etter kvarandre, finn vi sluttverdien ved å gonge den opphavlege verdien med vekstfaktoren for kvar endring.
Årstal
4.99
Ei bukse kosta 799 kr. Prisen blei først sett ned med 20 % og deretter ned med 10 %.
a Kor mykje kostar buksa no? Rund av til nærmaste heile krone.
b Kor mange prosent er prisen sett ned totalt?
4.100
I 2012 blei det spådd at elsykkelsalet ville auke med 110 % kvart år dei neste åra. Det blei selt 2030 elsyklar i 2012.
Kor mange elsyklar blei det selt i 2014 dersom salet auka med 110 % kvart år?
4.101
Ein aksje blei kjøpt for 5000 kr for 4 år sidan.
Verdien av aksjen i dag er
5000 kr 1,02 1,03 0,95 1,08 = 5389,58 kr
a Kva fortel reknestykket om korleis verdien av aksjen har endra seg?
b Kor mange prosent har aksjen auka i verdi dei fire åra?
4.102
Prisen på ei vare blei først sett opp 10 % og deretter sett ned 30 %.
No kostar vara 380 kr.
Ulrik gjer denne berekninga i CAS:
Kva er det Ulrik ønskjer å finne ut?
Kva konklusjon kan han trekkje av berekninga?
RAUDE OPPGÅVER
4.103
Timelønna for ein jobb er 200 kr. Lønna går opp med 8 %.
a Kva for eit av tala nedanfor må du gonge 200 kr med for å finne den nye timelønna?
1 1,8 2 1,08 3 1,008
b Finn den nye timelønna.
4.104
Prisen på ein sykkel var 5999 kr. Prisen blei sett ned med 8 %.
a Kva for eit av tala nedanfor må du gonge 5999 kr med for å finne den nye prisen?
1 0,08 2 0,8 3 0,92
b Finn den nye prisen.
4.105
Ei vare kostar først 350 kr. Ho stig 10 % i pris, før ho fell 25 % i pris.
Set opp eit reknestykke som vil gi prisen på vara etter prisendringane.
4.106 (Eksamen 1P våren 2022)
Diagrammet viser elevtalet ved ein vidaregåande skule dei fire siste åra.
Når var det størst prosentvis auke i elevtalet frå eit år til det neste?
4.107 (Eksamen 1P hausten 2023)
På ei nettside har Dennis funne teksten nedanfor. Elevar ved skulen
Verdifallet utgjer den største kostnaden ved å ha bil
Verdifallet er i dei aller fleste tilfella størst det første året.
For ein ny bil kan du vente eit verdifall på 20 % det første året.
Deretter 14 % av bruktprisen det andre året, 13 % det tredje året osv., heilt ned til 10 % det sjette året.
Frå og med det sjette året må du rekne med eit verdifall på 10 % årleg.
Dennis vil kjøpe ein ny bil som kostar 490 000 kr.
Set opp eit reknestykke som vil gi verdien av bilen etter 2 år.
BLÅ OPPGÅVER
4.108
a Eit par sko blei sett ned frå 1299 kr til 499 kr.
Kor stort var avslaget i prosent?
b Eit par skøyter blei sett ned frå 449 kr til 399 kr.
Kor stort var avslaget i prosent?
c Per kjøpte eitt par sko og eitt par skøyter.
Kor mange prosent avslag fekk Per ved kjøpet?
4.109
I ei forretning A kostar ei bukse 950 kr.
I ei forretning B er buksa 8 % dyrare enn i forretning A.
Hanna får 10 % avslag i forretning B.
a Kva må ho betale for buksa?
b Kor mange prosent mindre betalte Hanna for buksa i forretning B samanlikna med prisen i forretning A?
4.110
Ein butikk set opp prisen på ei vare med 20 %. Etter ei stund har dei sal, og prisen på vara blir sett ned med 20 %. Kva for ein av påstandane nedanfor er rett?
a Vara kostar mindre enn ho gjorde før prisen blei sett opp.
b Vara kostar det same under salet som det ho gjorde før prisen blei sett opp.
c Vara kostar meir under salet enn det ho gjorde før prisen blei sett opp.
4.111
Ein sportsbutikk selde eit år 600 fritidsjakker til 1280 kr per stykk.
Året etter sette butikken opp prisen med 10 %, og då gjekk salet ned med 8 %.
Kor mange prosent endra salsinntektene seg?
4.112
Vi går mindre på ski enn før.
Dette går fram av ei levekårsundersøking som Statistisk sentralbyrå har gjort.
Spesielt blant dei unge i 16–24-årsalderen har andelen som går korte skiturar, gått ned frå 44 % i 2011 til 33 % i 2017.
Kor mange prosent har andelen gått ned?
4.113 (Eksamen 1P hausten 2023)
Sofie har eit rektangelforma uteområde.
Ho vil endre på dette området ved å auke lengda med 10 % og redusere breidda med 20 %.
Kor stor vil den prosentvise endringa i arealet bli?
4.114
Det er venta at bustadprisane i Oslo kjem til å stige 30 % frå 2025 til 2028.
Kor mange prosent må lønningane stige kvart år for å halde tritt med bustadprisane?
DØME 18
Eksponentiell vekst
Gjenteken prosentendring
Eirik kjøpte aksjar for 10 000 kr.
Dei to første åra steig aksjeverdien med 10 % kvart år.
Det første året steig verdien med 1000 kr.
Det andre året steig verdien med 1100 kr.
Kvifor steig verdien meir det andre året enn det første året?
Når vi skal rekne ut kor mykje verdien av aksjen steig med det andre året, så er grunnlaget vi reknar ut frå, større enn for det første året.
At eit beløp stig med like mange prosent fleire gonger etter kvarandre, vil ikkje seie at det stig like mykje kvar gong.
Folketalet i ein kommune er 9467.
Kommunen reknar med at folketalet vil auke med 3 % per år.
a Lag eit program vi kan bruke til å finne folketalet etter 12 år.
b Gjer endringar i programmet slik at det reknar ut når folketalet passerer 15 000.
a Vi finn folketalet etter 12 år ved å bruke ei for-lykkje til å gonge folketalet med vekstfaktoren kvart år.
folk = 9467 # startverdi for folketalet vf = 1.03 # vekstfaktor ved 3 % auke for år in range(1, 13): folk = folk * vf print("Folketalet er", round(folk),"etter", år, "år.") Vi bruker round() for å runde av folk til eit heilt tal.
Programmet skriv ut:
Folketalet er 13498 etter 12 år.
b Vi byter frå ei for-lykkje til ei while-lykkje i programmet.
folk = 9467
# startverdi for folketalet vf = 1.03
# vekstfaktor ved 3 % auke år = 0 # startverdi for talet på år
while folk < 15 000: folk = folk * vf år = år + 1
print("Folketalet er", round(folk), "etter", år, "år.")
folkårfolk < 15 000?folk 9467 0Ja9467 ⋅ 1,03 = 9751 år blir auka til 1 9751 1Ja9751 1,03 = 10 044 år blir auka til 2 10 044 2Ja10 044 ⋅ 1,03 = 10 345 år blir auka til 3 14 74915Ja14 749 1,03 = 15 192 år blir auka til 16 15 19216Nei – –
Programmet skriv ut:
Folketalet er 15192 etter 16 år.
4.115
Ta utgangspunkt i døme 18.
Gjer endringar i programmet slik at du finn a folketalet etter 20 år dersom denne utviklinga held fram b når folketalet passerer 20 000 dersom denne utviklinga held fram c når folketalet passerer 8 000 dersom folketalet gårned med 3 % per år
DØME 19 4.116 (Eksamen 1P våren 2022)
startverdi = 2000
verdi = startverdi
vekstfaktor = 1.05 år = 0
while verdi < startverdi * 2: verdi = verdi * vekstfaktor år = år + 1
print(verdi)
print(år)
Ein elev har skrive programkoden ovanfor. Kva ønskjer eleven å finne ut?
Forklar kva som skjer når programmet blir køyrt.
1. januar 2024 hadde Årdal kommune 5239 innbyggjarar
Statistisk sentralbyrå (SSB) reknar med at folketalet i kommunen vil gå ned med 0,85 % kvart år fram til 2050.
a Lag eit rekneark som vist til høgre. Kva for ein formel har vi brukt i celle B4 og i celle B8?
b Utvid reknearket og bruk det til å finne kva for eit år folketalet minkar til under 5000 ifølgje prognosane til SSB.
Formel i celle B4: =1-B2/100
Formel i celle B8: =B7*$B$4
Formlar startar med =
Dollarteikna i celle B8 gjer at referansen til celle B4 held seg når vi kopierer formelen.
Skriv inn formelen, klikk i nedste høgre hjørne, dra krysset nedover. Då blir formelen kopiert.
Vi ser at folketalet har gått ned til under 5000 i løpet av 2030 dersom prognosane til SSB stemmer.
4.117
Folketalet i Ullensaker kommune var 43 000 i starten av januar 2024. SSB reknar med at folketalet i Ullensaker vil auke med 1 % kvart år fram til 2050.
Kva for eit år vil folketalet passere 50 000 dersom prognosane til SSB stemmer?
4.118
Ein ny låt blir lagd ut på Spotify. Den første dagen blir låten spelt 1000 gonger, og deretter aukar talet på avspelingar med 30 % kvar dag.
a Bruk eit rekneark til å finne ut kor mange avspelingar det er av låten den tiande dagen etter at han blei lagd ut.
b Even har laga dei to programma nedanfor for å sjå på utviklinga i talet på avspelingar, men berre programmet til venstre fungerer.
1 Kva er det han ønskjer å finne ut med programma?
2 Kva for to feil har han gjort i programmet til høgre?
print(t)
Potensar
1,033 Grunntal Eksponent
1,033 er det same som 1,03 1,03 1,03.
Eksponentialfunksjonar
Vi ser nærmare på kommunen i døme 18, der folketalet er 9467 og kommunen reknar med at folketalet vil auke med 3 % per år.
Vekstfaktoren er 1,03. Vi bruker formelen NGV =⋅
Folketalet etter eitt år: 94671,039751 ⋅=
Ettereittår 2 ⋅⋅=⋅=
Folketalet etter to år: 94671,031,0394671,0310044
Folketalet etter tre år: 94671,031,0394671,0310345 2
Ettertoår 3 ⋅⋅=⋅=
Vi ser eit mønster og kan setje opp eit uttrykk for folketalet etter t år: 94671,03t ∃
Fordi folketalet ovanfor er avhengig av tida, kan vi seie at det nye folketalet N(t) er ein funksjon av tida t Nt()94671,03t =⋅
Når noko aukar eller minkar med like mange prosent i kvar periode, seier vi at det er ein prosentvis vekst eller eksponentiell vekst.
Ein funksjon som skildrar ein slik vekst, kallar vi ein eksponentialfunksjon.
Ein eksponentialfunksjon kan vi alltid skrive på forma
eller
der N(t) er verdien ein startverdi G = N(0) har auka eller minka til i løpet av tida t med ein vekstfaktor V per tidseining.
Merk!
Vi kallar det eksponentiell vekst sjølv om noko minkar og ikkje aukar. Då er veksten negativ
UTFORSK
Nedanfor har vi teikna to ulike eksponentialfunksjonar og markert nokre sentrale eigenskapar.
Teikn grafen til f gitt ved f(x) = abx med grafteiknar, og la a og b vere positive tal bestemt av glidarar.
a Forklar at dette er ein eksponentialfunksjon med vekstfaktor b og startverdi a
b Kva fortel startverdien a om grafen til funksjonen?
Varier verdien av a, og undersøk om det du meiner, stemmer.
c Kva fortel vekstfaktoren b om funksjonen?
Korleis ser grafen ut når
1 b er større enn 1
2 b er mindre enn 1
Varier verdien av b, og undersøk om det du meiner, stemmer.
d Kva skjer med funksjonsverdien dersom vekstfaktoren er
1 større enn 1 og x aukar
2 mindre enn 1 og x aukar
e Finst det nokre verdiar av a og b som gjer at funksjonen har nullpunkt?
DØME 20
DØME 21
Ein kommune reknar med at folketalet kjem til å auke i åra framover. Dersom utviklinga skjer slik kommunen ventar, vil folketalet N(t) etter t år vere gitt ved
Nt()250001,035t =⋅
a Kva er folketalet no?
b Kor mange prosent reknar kommunen at folketalet skal auke kvart år?
c Kva er folketalet etter 10 år dersom denne utviklinga held fram?
a N(0) = 25 000
Folketalet er 25 000 no.
b Vekstfaktoren er 1,035.
Folketalet aukar med 3,5 % kvart år dersom utviklinga blir slik det er venta.
c N (10)250001,035
35 265 10 =⋅ =
Folketalet er nesten 35 300 etter 10 år.
I GeoGebra skriv vi 1.035^10 for å få potensen.
Ein pasient får ein injeksjon av ein medisin i blodet. Konsentrasjonen M av medisinen i blodet er målt i mg/mL og er etter x timar gitt ved
M(x) = 4,0 0,98x
a Kor stor var konsentrasjonen i starten?
b Kor mange prosent minkar konsentrasjonen med per time?
c Medisinen er verksam så lenge konsentrasjonen er større enn 0,9 mg/mL.
Kor lenge verkar ein slik medisin?
a M(0) = 4,0
Konsentrasjonen i starten var 4,0 mg/mL.
b Vekstfaktoren er 0,98.
Konsentrasjonen minkar med 2 % per time.
c Grafisk løysing:
Vi teiknar linja y = 0,9 og
finn skjeringspunktet
mellom denne og grafen til M med Skjering mellom
to objekt . Skjeringspunktet er (73,83 , 0,9).
Medisinen er verksam i 73,8 timar, altså litt over 3 døgn.
SNAKK
Løysing med CAS:
Når konsentrasjonen er 0,9 mg/mL, så er M(x) = 0,9.
Vi løyser likninga 0,9 = 4,0 ⋅ 0,98x:
Medisinen er verksam i 73,8 timar, altså litt over 3 døgn.
4.119
Etter t timar er bakterietalet i ein bakteriekultur gitt ved
N(t) = 25 000 1,08t
a Kor mange bakteriar er det i bakteriekulturen i starten?
b Kor mange bakteriar er det i bakteriekulturen etter 5 timar?
c Kor stor er auken i bakterietalet per time i prosent?
4.120
Etter x år er verdien av ein bil i kroner gitt ved
f(x) = 450 000 0,85x
a Kva kosta bilen då han var ny?
b Kva er verditapet kvart år i prosent?
c Kor stort er verditapet i kroner det første året og det andre året?
Samanlikn korleis ein lineær funksjon og ein eksponentialfunksjon veks eller minkar. Kva er skilnaden på stigningstal og vekstfaktor?
4.121
Ei bedrift bestemmer seg for å redusere talet på tilsette i åra framover. Bedrifta bestemmer seg for at reduksjonen av talet på tilsette skal tilnærma følgje funksjonen A gitt ved
A(t) = 860 0,94t
Her er A(t) talet på tilsette t år etter starten av 2025.
t = 0 svarer til 2025.
a Kor mange tilsette hadde bedrifta i 2025?
b Kor mange prosent blei talet på tilsette redusert med per år?
c Bedrifta har som mål å redusere talet på tilsette til 670.
Kva for eit år kjem bedrifta til å nå dette målet?
4.122
Amund sette i starten av 2025 inn pengar på ein bankkonto og bestemte seg for å la kontoen stå urørt i 10 år.
Funksjonen K viser kor mykje pengar det vil vere på kontoen etter x år.
K(x) = 5000 ⋅ 1,035x
Her svarer x = 0 til starten av 2025.
a Kor mykje pengar sette Amund inn på kontoen?
b Kor mange prosent gir banken i renter per år?
c Kor mykje står det på kontoen i starten av 2029?
d I kva for eit år passerer beløpet 7000 kr?
4.123
Amund i oppgåve 4.122 lagar eit program han kan bruke for å få oversikt over pengebeløpet på sparekontoen.
def K(x): return g * v**x
while K(x) <= 2*g: x = x + 1
print(x)
Kva ønskjer Amund å finne ut med dette programmet?
4.124
Verdien V kr av ein bil etter x år er gitt ved V(x) = 340 000 ⋅ 0,82x dei seks første åra etter at han blei kjøpt.
a Kva kosta bilen då han blei kjøpt?
b Kor stort er det årlege verditapet i prosent?
c Kor mange år går det før verdien er halvert?
4.125
Figuren nedanfor viser grafane til funksjonane f og g gitt ved
f(x) = 3 ⋅1,06x og g(x) = 3 ⋅ 0,94x . y x
a Kva for ein graf er grafen til f?
b Kva er skjeringspunktet mellom grafane og andreaksen?
c Kor mange prosent stig eller fell f(x) når x aukar med 1?
d Kor mange prosent stig eller fell g(x) når x aukar med 1?
4.126
Funksjonane h og k er gitt ved
h(x) = 860 0,94x og k(x) = 500 1,035x
a Teikn grafane, og finn skjeringspunktet mellom dei.
b Skildre eit praktisk problem der det du gjorde i oppgåve a, vil vere ein måte å løyse problemet på.
RAUDE OPPGÅVER
4.127
Etter at ein kultur med mikroorganismar fekk tilført ei næringsoppløysning, er talet på mikroorganismar gitt ved
f(x) = 1500 1,35x
Her er x tida målt i timar etter at kulturen fekk tilført næring.
a Talet på mikroorganismar veks med ein viss prosent per time. Kor stor er denne prosenten?
b Kor mange mikroorganismar er det i kulturen etter 6 timar?
c Når passerer talet på mikroorganismar 7000?
4.128
I ein kommune reknar dei med at folketalet x år etter 2024 vil vere gitt ved
N(x) = 5000 1,025x
a Gi ei praktisk tolking av tala 5000 og 1,025.
b Kva vil folketalet vere etter to år?
c Kor mykje vil folketalet auke i desse to åra?
4.129
I eit land er folketalet 50 000. Det er venta at folketalet vil gå ned med 2 % dei neste åra.
Lag eit program som finn
a folketalet etter 5 år
b kor mange år det tek før folketalet har minka til under 42 000
BLÅ OPPGÅVER
4.130
Facebook blei brukt av tilnærma 100 % av norske ungdommar i 2015. Sidan den gong har populariteten gått drastisk ned og følgt modellen M gitt ved
M(t) = 100 ⋅ 0,8t
Her er M(t) prosentdelen norske ungdommar som bruker Facebook t år etter 2015.
a Kor mange prosent gjekk prosentdelen ned kvart år?
b Kor mange prosentpoeng gjekk prosentdelen ned det andre året?
c Kor lang tid tok det før prosentdelen som bruker Facebook, var under 10 %?
4.131 (Eksamen 1P hausten 2024)
Lisa driv ein butikk. Butikken skal begynne å selje eit nytt produkt 1. januar 2025.
Lisa håper å selje 1000 einingar av produktet i januar.
Ho håper også at salet av produktet vil auke kvar månad.
Lisa har laga dei to programma nedanfor.
a Gi ei praktisk tolking av koden Lisa bruker i linje 7 i kvart av programma.
b Kva vil verdiane som blir skrivne ut, fortelje Lisa?
4.132
Silje la ut ein video på TikTok. Den første veka var det 100 personar som såg videoen. For kvar veke dei neste vekene var det 15 % fleire som såg videoen enn veka før.
a Lag eit program som finn kor mange som såg videoen den tjuande veka.
b Utvid programmet slik at det også finn kor mange personar totalt det var som hadde sett videoen etter tjue veker.
4.133 (Eksamen 1P hausten 2023)
I denne oppgåva skal du arbeide med linjestykke som blir sette saman til ein figur.
Skissa nedanfor viser dei 16 første linjestykka på figuren. Lengda av eit linjestykke er alltid 90 % av lengda av det førre linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.
100
a Bestem summen av lengdene av dei 8 første linjestykka på figuren.
b Lag eit program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykka dersom det er mange linjestykke på figuren.
Kor mange linjestykke må vi ha med på figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
c Kor mange prosent aukar summen av lengdene dersom vi aukar talet på linjestykke på figuren frå 50 til 100?
SNAKK
Modellering med eksponentialfunksjonar
Nora og mamma er einige om at Nora skal få vekepengar dersom ho vaskar badet og ryddar rommet sitt kvar veke i to år mens ho går på vidaregåande skule. Nora vil spare vekelønna si. Mamma føreslår to variantar av vekelønn.
❶ Nora får 150 kr i veka.
❷ Nora får 10 kr den første veka som blir lagde i ein «pott».
Dei neste vekene blir beløpet auka med 10 % kvar veke.
Renta på Noras bankkonto er låg, og ho skal berre spare i to år, så vi kan sjå bort frå rentene.
a Kva for eit alternativ ville du ha valt?
b Kva grunnar kan Nora ha til å velje annleis enn det du gjer?
Når vi bruker matematikk til å skildre noko frå den verkelege verda som aukar eller minkar, lagar vi ein vekstmodell.
Nokre situasjonar taler for ein bestemt funksjonstype som modell:
å skildre utviklinga.
tidsperiode, kan vi bruke ein eksponentialfunksjon til å skildre utviklinga.
DØME 22
Elise kjøpte ein bil til 275 000 kr i 2025.
Seljaren sa at ho måtte rekne med eit årleg verditap på 15 %.
a Lag ein eksponentiell modell N for verdiutviklinga.
b Kva for avgrensingar har modellen?
a Vi lèt verdien t år etter 2025 vere N(t).
t = 0 svarer altså til 2025.
Verdien i 2025 er då N(0) = 275 000
Ein nedgang på 15 % per år gir vekstfaktoren 0,85.
Modellen N er derfor gitt ved
N(t) = 275 000 0,85t
b Modellen føreset eit fast årleg verditap på 15 %, men det kan endre seg. Dersom Elise til dømes ikkje sørgjer for nødvendig vedlikehald, kan verditapet bli større. Den eksponentielle modellen seier også at verdien av bilen skal nærme seg null ein gong i framtida, men i verkelegheita kan Elise når som helst levere bilen til bilopphogging og heve vrakpanten (3000 kr i 2025).
DØME 23
Eit datavirus spreier seg eksponentielt i eit nettverk. Talet på smitta datamaskinar blir dobla kvar time, og det starta med 5 maskinar.
a Set opp ein modell f som viser talet på infiserte maskinar.
b Kva for avgrensingar har modellen?
a Spreiinga av viruset starta med 5 maskinar, så f(0) = 5.
Når talet på infiserte maskinar doblar seg kvar time, er det ein auke på 100 %. Det svarer til ein vekstfaktor på 2.
Ein modell f som får fram utviklinga, er gitt ved
f(x) = 5 ⋅ 2x
der x er tida målt i timar etter at dei første maskinane fekk viruset.
b I verkelegheita vil talet på tilgjengelege maskinar i nettverket avgrense spreiinga, noko som gjer at modellen ikkje gjeld etter ei viss tid. Det kan også vere tiltak som bremsar spreiinga (til dømes brannmurar).
4.134
Even set 130 000 kr inn på ein sparekonto med fast rente på 4,1 %.
a Lag ein modell P som viser kor mykje som står på kontoen etter x år.
b Kor mange år tek det før beløpet på kontoen har auka til 180 000 kr dersom renta er uendra?
4.135
I ein bakteriekultur er det på eit tidspunkt 100 000 bakteriar.
Bakterietalet aukar med 40 % kvar time det neste døgnet.
a Lag ein eksponentiell modell for utviklinga av bakterietalet.
b Kva er gyldigheitsområdet for modellen?
4.136
Vi fyller kakao på termosen Super og måler temperaturen. Han er 85,0 °C.
Det viser seg at temperaturen går ned med 8 % per time dei første 10 timane.
Kor mange timar tek det før temperaturen har blitt 40 °C?
4.137
Målingar anslår at det var 10 000 aurar i ein innsjø i 2020.
I åra etter 2020 har talet minka med 4 % kvart år.
a Set opp ein modell f som viser aureutviklinga, og teikn grafen til f
b Kva vil skje med talet på aurar etter lang tid?
Gjeddebestanden i innsjøen blei målt til 800 i 2020. Ein ventar at denne bestanden kjem til å auke med 3 % kvart år i åra framover.
c Set opp ein modell g som viser gjeddeutviklinga.
d Kor lang tid tek det før det er like mange aurar og gjedder i innsjøen?
4.138
Folketalet i ein kommune auka frå 12 600 i 2009 til 14 600 i 2020.
a Lag ein lineær modell for folketalet i kommunen i perioden 2009–2020.
b Lag ein eksponentiell modell for folketalet i kommunen i perioden 2009–2020.
c Kva blir folketalet i 2030 dersom vi legg til grunn
1 den lineære modellen
2 den eksponentielle modellen
DØME 24
Martin har kjøpt ein tre år gammal skuter for 12 500 kr. Han har fått vite at verdien av skuteren går ned med 15 % kvart år. Kva kosta skuteren då han var ny?
Vi lagar ein modell for verdiendringa på skuteren der x = 0 svarer til tidspunktet då skuteren var ny. Då er verdien i dag N (3) = 12 500. Med 15 % nedgang i verdien kvart år blir vekstfaktoren V = 0,85. Vi set inn for N(x), V og x i uttrykket N(x) = GVx og får ei likning som vi løyser i CAS:
Skuteren kosta 20 354 kr då han var ny.
Alternativt:
354 kr
500 kr
(år)
Vi lagar ein modell på forma N(x) = G ⋅ Vx for verdiendringa på skuteren der x = 0 svarer til verdien i dag. Altså er N(0) = G = 12 500, og vekstfaktoren er V = 0,85.
Då får vi modellen N gitt ved N (x) = 12 500 ⋅ 0,85x
Tre år tidlegare er då x = 3, og verdien N ( 3).
N ( 3) = 12 500 ⋅ 0,85 3 = 20 354
534 kr
Skuteren kosta 20 354 kr då han var ny.
4.139
Folketalet i ein kommune er 48 400. Dei tjue siste åra har folketalet i gjennomsnitt auka med 3 % kvart år. Kor mange budde det i kommunen for 10 år sidan?
4.140
Mona har ein bil. Verdien har minka med 12 % per år, og ho reknar med at verditapet vil vere det same i åra framover. No er bilen verd 240 000 kr.
a Kva vil verdien av bilen vere om tre år?
b Kva var verdien av bilen for tre år sidan?
c Forklar, utan å rekne, kvifor verditapet i kroner per år blir mindre og mindre etter kvart.
DØME 25
Henny kjøpte ei hytte til 1 350 000 kr.
Etter seks år selde ho hytta for 1 850 000 kr.
Husk := når vi definerer en funksjon i CAS.
Kor stor har den gjennomsnittlege årlege verdiauken vore i prosent?
Modellen N som skildrar verdiauken, er på forma
N(x) = GVx
Vi lèt x = 0 svare til tidspunktet då Henny kjøpte hytta.
Altså N(0) = G = 1 350 000, mens N(6) = 1 850 000.
Vi set inn i funksjonsuttrykket og får ei likning som vi løyser med CAS:
Ein vekstfaktor er alltid positiv, så vi forkastar den negative løysinga.
Vekstfaktoren er 1,054. Det svarer til ein årleg auke av verdien på 5,4 %.
Den gjennomsnittlege årlege verdiauken har vore på 5,4 %.
Alternativt:
Hugs := når vi definerer ein funksjon i CAS.
Vi løyser likninga N(6) = 1850000. Då bruker vi ikkje kolon.
Den gjennomsnittlege årlege verdiauken har vore på 5,4 %.
4.141
Lisa har selt eit måleri for 138 500 kr.
Då Lisa kjøpte måleriet for 20 år sidan, betalte ho 8500 kr for det.
Kor mange prosent har verdien av måleriet auka med i gjennomsnitt per år?
4.142
På ein skule var det 400 elevar i fjor. Det er venta at elevtalet vil auke eksponentielt dei neste åra, og i år har elevtalet auka til 420.
Set opp ein eksponentiell modell som vi kan bruke til å studere utviklinga i elevtalet.
4.143
Eirik har i dag 60 000 kr på ein sparekonto. Pengane har stått urørt på kontoen i seks år. Renta har vore 3,95 % per år.
a Kor mykje hadde Eirik på kontoen for seks år sidan?
b Kor mange prosent har beløpet auka i løpet av heile denne perioden?
4.144 (Eksamen 1P våren 2024, litt endra)
For fem år sidan sette Gaute inn sparepengane sine på ein konto med ei fast rente på 3,25 % per år. I dag står det litt over 105 607 kr på kontoen.
Finn både grafisk og ved å gjere berekningar:
a Kor mykje vil det vere på kontoen om fem år?
b Kor mykje sette Gaute inn på kontoen for fem år sidan?
DØME 26
Eksponentiell regresjon
Tabellen viser mengda av hushaldsavfall per innbyggjar i Noreg i utvalde år i perioden 1992–2008.
kg per innbyggjar
a Vi lèt avfallsmengda per innbyggjar vere A(t) kg t år etter 1992. Lag ein modell som passar med tala. b Bruk modellen til å finne den årlege prosentendringa i avfallsmengda per innbyggjar.
c I 2018 var det 411 kg hushaldsavfall per innbyggjar i Noreg. Korleis stemmer det med modellen du laga i oppgåve a? Kor mange prosent avvik modellen frå den faktiske verdien?
a Sidan A(t) er avfallsmengda per innbyggjar t år etter 1992, vil det seie at i 1992 er t = 0, i 1996 er t = 4 osv.
Vi legg inn t-verdiane i kolonne A og A(t)-verdiane i kolonne B og vel Eksponentiell under Regresjonsmodell.
Vi vel Eksponentiell i rullegardinmenyen under Regresjonsanalyse, ikkje Eksponentiell 2.
Eksponentialfunksjonen som passar best med tala, er gitt ved A(t) = 237 ⋅ 1,039t
Når vi bruker andre namn på variablane enn x og y , må vi endre når vi svarer. Her vil x svare til t og y svare til A ( t ).
b Av funksjonsuttrykket vi fann i oppgåve a, ser vi at vekstfaktoren er 1,039. Det svarer til ei årleg prosentendring i avfallsmengde per innbyggjar på 3,9 %.
c År 2018 svarer til t = 26.
Ifølgje modellen er avfallsmengda per innbyggjar tilnærma 641 kg i 2018, noko som stemmer dårleg med den faktiske avfallsmengda på 411 kg.
641 411 = 230
230 : 411 = 0,56 = 56 %
Avviket er 230 kg, som svarer til 56 %. Modellen gir ein verdi som er 56 % høgare enn den faktiske verdien. Vi er altså utanfor gyldigheitsområdet til modellen.
Mens modellen gir ein årleg vekst på 3,9 % per år, viser måledataa at søppelmengda er lågare i 2018 enn ho var i 2008.
Merk!
Kanskje synest du det like gjerne kunne passe med ein lineær modell for dataa i døme 26?
Det hender at fleire modellar kan passe når vi interpolerer, men at éin modell passar betre dersom vi ekstrapolerer. For å avgjere kva for ein modell som passar best over tid, må vi ha kunnskap om det vi modellerer.
4.145
Tabellen viser kor mange registrerte personbilar det var i Noreg per 31.12. for utvalde år.
La x vere talet på år etter 2002.
a Bestem ein lineær modell og ein eksponentiell modell som begge kan vise korleis talet på personbilar aukar.
b Kor mykje aukar talet på personbilar per år ut frå den lineære modellen?
c Kor mange prosent aukar talet på personbilar per år ut frå den eksponentielle modellen?
Ved utgangen av 2023 var det 2 876 000 registrerte personbilar i Noreg.
d Korleis stemmer dette med modellane frå oppgåve a?
DØME 27
Johannes vil lage ein modell for korleis temperaturen i ein nybakt bolle rett frå omnen går ned med tida. Han stikk eit termometer inn i ein bolle og les av temperaturen kvart andre minutt. Måleresultata ser du i tabellen nedanfor.
Tid (min) 02468101214
Temperatur (°C) 94,082,973,665,759,753,348,544,4
Korleis kan Johannes gå fram for å lage modellen sin?
Johannes kan velje å la T(t) vere temperaturen i gradar celsius t minutt etter at han sette i termometeret.
Med utgangspunkt i målingane gir eksponentiell regresjon modellen
T(t) = 92,1 0,95 t
Men modellen tilseier at temperaturen i bollane vil gå ned mot null gradar. Sjølv om modellen passar bra med punkta, viser han ikkje ei realistisk utvikling.
Bollane vil etter ei tid få same temperatur som rommet dei står i Temperaturskilnaden mellom bollane og rommet vil altså minke mot null. Det tyder på at temperaturskilnaden kan modellerast med ein eksponentialfunksjon.
Temperaturen i rommet er 22 °C. Vi lagar ei ny rad med temperaturskilnadene
F(t) = T(t) 22 i tabellen.
t 02468101214
T(t) 94,082,973,665,759,753,348,544,4
Eksponentiell regresjon på punkta () tFt,() , gir modellen F(t) = 72,1 0,92 t
Funksjonen F representerer temperaturskilnaden mellom bollar og rom,
F(t) = T(t) 22. Dermed blir modellen for bolletemperaturen
T(t) = F(t) + 22, som gir
T(t) = 72,1 ⋅ 0,92 t + 22
Vi teiknar grafen til dei to modellane saman med målepunkta og ser at begge modellane passar godt med punkta, men at den siste modellen (raud graf) passar betre over tid enn den første (blå graf). Den siste modellen har altså eit større gyldigheitsområde.
SNAKK
Johannes ser på grafane i døme 27.
Det ekstra konstantleddet i funksjonsuttrykket T(t) = 72,1 ⋅ 0,92t + 22 «hevar» grafen opp, tenkjer han.
a Kva meiner Johannes?
b Kva ville du ha gjort dersom du ønskte å «senke» grafen?
Modellen i døme 27 kunne vi også ha funne ved å leggje inn i GeoGebra kva for ei form vi ønskjer at modellen vår skal ha, i dette tilfellet abx + c
Vi legg først målingane i reknearket og markerer dei, høgreklikkar og vel Lag, og så Liste med punkt.
Vi får ei punktliste i algebrafeltet som heiter l1.
Så skriv vi Reg(l1, a*b^x + c) i algebrafeltet:
I dette tilfellet blei modellen T(t) = 73,2 0,92t + 20,7.
4.146
Ein literkartong med mjølk blir ståande att på kjøkkenbenken etter frukost. I staden for å setje mjølka inn i kjøleskapet måler David temperaturen kvar halvtime. Tabellen nedanfor viser resultata.
Tid (timar) 00,511,522,5
Temperatur (°C) 5,08,511,213,314,816,0
a Lag ei ny rad i tabellen med temperaturskilnaden mellom rommet og mjølka. Vi går ut frå at kjøkkentemperaturen er 20 °C.
b Finn ein modell F for temperaturskilnaden på mjølka og kjøkkentemperaturen.
c Lag ein modell T for temperaturen i mjølka.
d Kor lang tid tek det før temperaturen i mjølka er over 15 °C?
RAUDE OPPGÅVER
4.147
Folketalet i Opptur kommune var 7537 i starten av 2024.
Ein prognose viser at folketalet vil stige med 3 % per år dei neste åra.
a Set opp ein modell som viser utviklinga av folketalet.
b Finn folketalet i Opptur i starten av 2027.
c Kor mange år tek det før folketalet passerer 10 000?
Folketalet i Nedtur kommune var 27 489 i starten av 2024.
Ein prognose viser at folketalet vil gå ned med 4 % per år dei neste åra.
d Set opp ein modell som viser utviklinga av folketalet.
e Finn kor lang tid det tek før det er like mange innbyggjarar i dei to kommunane.
4.148
Anita undersøkjer korleis temperaturen går ned i varmt vatn som får stå for seg sjølv i romtemperatur.
Ho varmar opp ei mengde vatn og les av temperaturen av og til. Resultata ser du i tabellen nedanfor.
Tid (minutt) 0816304560
Temperatur (°C) 71,5605338,530,523
Anita bruker regresjon til å lage ein modell for temperaturen T(x) (målt i °C) som funksjon av tida x (målt i minutt). Ho lagar både ein lineær og ein eksponentiell modell.
a Kva for to modellar kjem Anita fram til?
b Vurder kva for ein modell som eignar seg best til å vise temperaturutviklinga i vatnet.
c Kva var temperaturen i vatnet etter 20 minutt ifølgje modellen i oppgåve b?
d Når var temperaturen i vatnet 65 °C ifølgje modellen i oppgåve b?
4.149 (Eksamen 1P hausten 2024)
For 8 månader sidan hadde Isabel 290 000 følgjarar på Snapchat. I dag har ho 340 000 følgjarar.
a Set opp eit uttrykk for ein funksjon som skildrar utviklinga dersom talet på følgjarar har auka med like mange kvar månad. Gjer greie for val av funksjon.
b Set opp eit uttrykk for ein funksjon som viser utviklinga dersom talet på følgjarar har auka med same prosent kvar månad. Gjer greie for val av funksjon.
4.150
I ein bakteriekoloni er det 100 bakteriar. Bakteriemengda doblar seg kvar dag i ein periode.
Kor mange bakteriar er det i kolonien etter 10 dagar?
4.151
I perioden 2014–2019 auka folketalet i ein kommune med 2,7 % per år.
I starten av januar 2014 var folketalet 17 450.
a Kva var folketalet i starten av januar 2019?
b Kor mange prosent auka folketalet frå 2014 til 2019?
Vi går ut frå at folketalet held fram med å auke med 2,7 % også etter 2019.
c I kva for eit år vil folketalet nå 25 000?
BLÅ OPPGÅVER
4.152
Ei bedrift får pålegg om å halvere utsleppa sine i løpet av fem år. Kor mange prosent må ho då redusere utsleppa kvart år?
4.153
Folketalet i Utopia auka frå 2,5 millionar i starten av 2016 til 3,1 millionar i starten av 2019.
a Lag ein lineær modell for folketalet U(x) i Utopia x år etter 2016.
b Lag ein eksponentiell modell for folketalet U(x) i Utopia x år etter 2016.
c Kva for avgrensingar ser du ved modellane?
Gå ut frå at folketalet i Utopia har følgt ein eksponentiell modell sidan 2010.
d Lag ein eksponentiell modell for folketalet U(x) i Utopia x år etter starten av 2010.
4.154
For fem år sidan sette Endre inn sparepengane sine på ein sparekonto med ei fast rente på 4,25 % per år. I dag står det 136 405 kr på kontoen.
a Kor mykje vil det vere på kontoen om fem år?
b Kor mykje sette Endre inn på kontoen for fem år sidan?
4.155
I juli 2021 kunne vi lese i nyheitene at Oljefondet hadde passert 12 000 milliardar kroner for første gong. Då hadde verdien auka med 1000 milliardar sidan nyttår (altså på seks månader).
Kor mange prosent auka Oljefondet i gjennomsnitt kvar månad?
4.156 (Eksamen 1P våren 2022)
Ein bakterie formeirar seg ved todeling kvart 20. minutt.
Det vil seie at om det i starten er éin bakterie, vil det etter 20 minutt vere 2 bakteriar, etter 40 minutt fire bakteriar osv.
Kor mange bakteriar vil det vere etter 12 timar?
4.157 (Dømeeksamen 1P hausten 2021)
Ei skål med blåbærgelé blei sett til avkjøling i eit rom der temperaturen var 20 °C.
Tabellen viser temperaturen i blåbærgeleen x minutt etter at han blei sett til avkjøling.
Tid (minutt) 48162040607590
Temperatur (°C) 90,686,578,975,461,050,344,139,2
Stine vil prøve å lage ein modell som viser temperaturen i geleen x minutt etter at han blei sett til avkjøling. Ho set opp ein ny tabell.
Tid (minutt) 48162040607590
°C over romtemperatur 70,666,558,955,441,030,324,119,2
a Lag ein modell T på forma T(x) = abx + 20 som viser temperaturen i geleen x minutt etter at han blei sett til avkjøling.
b Kva for eit gyldigheitsområde vil du seie modellen kan ha?
BLANDA OPPGÅVER
4.158
a Kor mange prosent av figuren er blå?
Stine vil måle 37,5 % av dei kvite rutene raude.
b Kor mange prosent av heile figuren blir då raud?
4.159 (Eksamen 1P hausten 2013)
Per har lese 150 sider i ei bok. Dette er 30 % av sidene i boka.
Kor mange sider er det i boka?
4.160 (Eksamen 1P våren 2019)
Ei bilforretning har laga eit diagram som viser kor mange bilar dei har selt dei siste fire åra. Det har komme nokre flekker på diagrammet.
a Frå 2015 til 2016 auka salet med 15 %.
Kor mange bilar selde forretninga i 2016?
b Kor mange prosent gjekk bilsalet ned med frå 2017 til 2018?
c Frå 2014 til 2015 gjekk bilsalet ned med 20 %.
Kor mange bilar selde forretninga i 2014?
4.161
Eit sølvsmykke veg 55 gram. Det inneheld 925 ‰ reint sølv.
Kva er verdien av det reine sølvet i dette smykket dersom vi set sølvprisen til 2480 kr per kg?
4.162 (Eksamen 1P hausten 2023)
Opplysningane nedanfor er henta frå nrk.no.
ville vi ha komme to og ein halv gong rundt jorda.
a Kor mange pølser et vi i gjennomsnitt kvart sekund i Noreg?
b Kor mange prosent av pølsene et vi 17. mai?
Jorda har ein radius på 6378 km ved ekvator.
c Omtrent kor lang har NRK rekna at ei pølse er?
4.163
SuperPris og LågPris sel vaskepulveret SuperReint. Prisen er den same i begge butikkane.
SuperPris set opp prisen på SuperReint med 10 %.
LågPris set først opp prisen med 5 % og etter ei tid med 5 % til.
Ola påstår at prisen framleis er den same i begge butikkane.
Har Ola rett? Forklar.
Selde bilar
4.164 (Eksamen 1P våren 2022)
Ei flaske dusjsåpe kostar det same i fire butikkar. Dei fire butikkane bestemmer seg for å setje ned prisen. Dette gjer dei på kvar sin måte. Sjå nedanfor.
Butikk A
TilbOd dusjsåpe
Butikk B
TilbOd dusjsåpe
Ta 3 flasker, og betal for 2 av deI
Butikk C
TilbOd dusjsåpe
Betal full pris for éI flaske, og få 75 % rabatt på den neste
30 % rabatt
Butikk D
TilbOd dusjsåpe
Betal full pris for 3 flasker, og få i tillegg 2 gratis
Gjer berekningar, og set opp ei oversikt der du sorterer tilboda etter kor gode dei er.
4.165
Av tabellen til høgre les vi at prosentdelen gutar i alderen 12–17 år som gamar meir enn 6 timar på kvardagar, er 3,0.
Kor mange prosent av gutar i alderen 12–17 år gamar a meir enn 6 timar kvar dag på fridagar b mindre enn éin time kvar dag på kvardagar c meir enn éin time kvar dag på fridagar
4.166
I ei avis les vi:
Gamar opptil 1 time
Gamar 1–2 timar
Gamar 2–4 timar
Gamar 4–6 timar
Gamar meir enn 6 timar 3,016,7
«Det blei i Oslo registrert 764 ulykker i 2019 og 1331 ulykker i 2020 som følgje av elsparkesyklar. Det er unge menn som oftast blir skadde. Av 286 skadar der elsparkesyklistar fekk hovudskadar, var det berre 4 elsparkesyklistar som brukte hjelm.»
a Kor stor prosentdel av syklistane som fekk hovudskadar, hadde brukt hjelm?
b Kor stor var prosentendringa i ulykkestalet på frå 2019 til 2020?
4.167
TelePorten lanserer ein ny mobiltelefon. Figuren viser salet kvar veke dei første 18 vekene.
800
Vekessal 1618
a Skriv av tabellen, og bruk figuren til å fylle han ut.
Veke 2461012
Vekessal
b Etter kor mange veker var vekessalet størst?
c Kor stor var auken i vekessalet frå veke 2 til veke 5?
d Kor stor var nedgangen frå veke 10 til veke 12?
e Kor mange prosent auka vekessalet frå veke 2 til veke 5?
f Skildre korleis vekessalet endra seg dei første 18 vekene.
4.168
Meirverdiavgifta for persontransport er 12 %, mens den generelle satsen er 25 %.
Anders tok T-banen for å kjøpe ein sykkel. Han betalte 28,57 kr utan mva. for billetten. Han kjøpte ein sykkel for 3600 kr utan mva. Kor mykje betalte Anders til saman med mva. for billetten og sykkelen?
4.169
Til vårsalet blei prisen på ei vare sett ned frå 1400 kr til 1120 kr.
a Kva var avslaget i prosent?
Etter vårsalet blei prisen sett opp igjen til 1400 kr.
b Kor mange prosent var denne prisauken på?
4.170 (Eksamen 1P hausten 2021)
Angelica har laga blåbærsaft. Safta inneheld 10 % sukker. Angelica synest safta er sur og vil lage ei ny saftblanding med 50 % meir sukker. Kor mange prosent sukker vil den nye saftblandinga innehalde?
Veker
BLANDA OPPGÅVER
4.171
Det blei gitt 700 kr rabatt på ei vare. Dette svarte til 35 % av prisen. Kor mykje kosta vara før prisen blei sett ned?
4.172
Line har ei månadslønn på 38 500 kr og får ein lønnsauke på 4 %.
a Kva for eit av desse reknestykka gir den nye lønna?
1 38 500 1,04 2 38 500 1,4 3 38 500 0,04
b Kva blir den nye lønna?
4.173
Prisen på ei vare blei sett ned frå 3999 kr til 3199 kr.
a Kor stort var avslaget i prosent?
Prisen blei sett ned ved ei misforståing.
b Med kor mange prosent må butikken auke tilbodsprisen for å få att den opphavlege prisen?
4.174
Sommaren 2019 meinte Yrkesorganisasjonenes Sentralforbund at ein ungdom over 18 år burde få ei timelønn på minimum 134 kr for ein sommarjobb.
For dei som denne sommaren jobba i eit gatekjøkken, låg timelønna i snitt på 110 kr.
a Kor mange prosent lågare enn 134 kr var timelønna i eit gatekjøkken?
b Kor mange prosent høgare burde timelønna i gatekjøkken ha vore for å nå 134 kr?
4.175
Tabellen viser kor mange som besøkte eit museum i juni, juli og august.
Månad junijuliaugust
Kor mange besøkjande 560073008000
Kor stor var auken i besøkstalet i prosent frå a juni til juli b juli til august c juni til august
4.176
Ved Traumesenteret ved Ullevål sjukehus i Oslo blei det i 2000 registrert 41 personar med sykkelskadar. I 2017 hadde talet på registrerte sykkelskadar auka til 164.
Kor mange prosent auka talet på registrerte sykkelskadar frå 2000 til 2017?
4.177
I ein artikkel fann vi dette:
«Transportsektoren står for om lag ein tredel av alle klimagassutslepp (CO2) i Noreg.
I 2017 gjekk CO2-utsleppa frå vegtrafikk ned frå 9,7 millionar tonn i 2016 til 8,8 millionar tonn.»
Kor stor var nedgangen av CO2-utsleppa i prosent?
4.178
Figuren viser korleis vasstanden, målt i cm, endra seg i Kristiansand frå midnatt til kl. 12 den 5. mai 2022.
a Kor mange prosent steig vasstanden med frå kl. 6 til kl. 9?
b Kor mange prosent gjekk vasstanden ned med frå midnatt til kl. 3?
4.179
Elin kjøpte både sykkeltrøye og sykkelhjelm. Kor mange prosent avslag til saman fekk ho i forhold til ordinær pris?
4.180 (Eksamen 1P hausten 2019)
Tora og Espen skal kjøpe ny bil. Bilen kostar 194 000 kr.
Tora har lese at verdien av ein bil av den typen dei har valt, går ned med omtrent 17 % per år.
Dei lurer på kva verdien av bilen vil vere om tre år. Nedanfor ser du berekningane dei gjer.
Toras berekningar:
17 % + 17 % + 17
Espens berekningar:
1 – 0,17 = 0,83
000 kr · 0,833 ≈ 110 927 kr
Forklar korleis Tora og Espen kan ha tenkt.
Kva for ei løysing er rett, og kva er feil i den andre løysinga?
4.181
Med kundekort på Kaffibaren får du kvar sjette kopp kaffi gratis.
Svanhild har kundekort. Kor mange prosent har ho spart i forhold til vanleg pris når ho har drukke 14 koppar kaffi på Kaffibaren?
4.182
Du skal ha 8 personar til middag og vil servere lammesteik som hovudrett. Du bereknar 150 g ferdig steik per person og reknar med eit steikjesvinn på 20 %.
Kor stor lammesteik må du kjøpe?
BLANDA OPPGÅVER
4.183
Oslo Spektrum dekkjer eit areal på omtrent 5000 m2.
a Skriv arealet med dekar som eining når du får vite at 1 dekar = 1000 m2
Ein artist set opp ei scene som dekkjer 21 600 dm2
b Kor mange prosent av totalarealet dekkjer scena?
4.184
Arealet av skjermen til ein mobiltelefon er 99 cm2
a Kor mange kvadratmillimeter (mm2) svarer det til?
Ein annan mobiltelefon har ein skjerm med areal 0,6 dm2
b Kor mange prosent mindre er arealet av skjermen til denne mobilen enn arealet av skjermen til mobilen i oppgåve a?
4.185
a Eit par ski kostar 5000 kr. Prisen blir først sett ned med 30 % og deretter med 20 %.
1 Kor mykje kostar skiparet etter prisavslaga?
2 Kor stort har det samla prisavslaget vore i prosent?
b For tre månader sidan var prisen for eit dobbeltrom på Skogen Høgfjellshotell 1400 kr.
Dette reknestykket gir oss prisen for rommet denne månaden:
1400 kr 0,90 0,80 1,2 = 1210 kr
Kva viser reknestykket om korleis prisen på rommet har endra seg?
4.186
Tabellen viser tal frå Statistisk sentralbyrå for årleg sal av bensin og diesel til bilar her i landet.
a Kva er endringa i prosent for bensin og for diesel?
b Kor stor var endringa i det totale salet av bensin og diesel, både i millionar liter og i prosent?
4.187
Produkt
20182023
Bensin (1000 liter) 1 087 890903 882
Diesel (1000 liter) 2 727 6223 004 535
I 2020 sa 21 % av befolkninga at dei hadde gått på ein lang skitur i løpet av dei siste 12 månadene. I 2011 var prosentdelen 29 %.
Kor stor var nedgangen i prosent frå 2011 til 2020?
4.188
Dei siste fem åra har prisen på årskortet i Badeland auka med 5 % per år.
I år kostar årskortet 3300 kr.
a Kva vil årskortet koste om tre år dersom prisauken held fram med å vere 5 % per år?
b Kva kosta årskortet for eitt år sidan?
c Når kosta årskortet 2851 kr?
4.189
I tidsrommet 2024–2028 går vi ut frå at prisen på ei vare vil auke med 10 % kvart år.
I 2025 er prisen på vara 220 kr.
a Kva vil prisen på vara vere i 2026?
b Kva var prisen på vara i 2024?
4.190 (Eksamen 1P hausten 2019)
Noreg har eit areal på 385 200 km2
Dette svarer til 0,26 % av den delen av overflatearealet på jorda som ikkje er dekt av hav.
a Finn arealet av den delen av overflatearealet på jorda som ikkje er dekt av hav.
Noregs befolkning utgjer 0,72 % av Europas befolkning.
Europas befolkning utgjer 9,67 % av verdas befolkning.
b Kor stor prosentdel utgjer Noregs befolkning av verdas befolkning?
4.191
Tabellen viser informasjon om sykkelpasseringar ved sykkelteljarar i fire norske byar i veke 33 i 2019 og i 2020.
Skriv av og fyll ut det som manglar i tabellen.
By 2019 2020Endring i prosent
Oslo 103 28880 %
Bergen 37 03856 449
Trondheim 12 55118,5 %
Tromsø
4.192
I jaktåret 2021 blei 7093 rådyr drepne på veg og jernbane. I 2022 var talet 7590. Kor mange prosent fleire blei drepne i jaktåret 2022 enn i jaktåret 2021?
4.193 (Eksamen 2P hausten 2017)
I dag er det 280 kaninar innanfor eit avgrensa område. Gå ut frå at ein sjukdom breier seg blant kaninane, og at det om 20 månader berre vil vere 40 kaninar att i området.
a Set opp ein modell som viser kor mange kaninar det vil vere i området om x månader dersom talet minkar lineært.
b Set opp ein modell som viser kor mange kaninar det vil vere i området om x månader dersom talet minkar eksponentielt.
Gå ut frå at det om eitt år vil vere 96 kaninar att i området.
c Vurder om det då er mest rimeleg å tru at nedgangen vil vere lineær eller eksponentiell.
BLANDA OPPGÅVER
4.194
Eit så å seie samrøystes bystyre i Oslo slutta seg i 2019 til at «innen 2025 skal det være 25 % sykkelandel» på reiser i Oslo.
Frå 2014 til 2018 auka sykkelandelen på reiser i Oslo frå 5 % til 7 %.
a Kor mange prosentpoeng og kor mange prosent var auken på?
b Vurder om takten i auken frå 2014 til 2018 kan føre til at målet om 25 % i 2025 blir nådd.
4.195 (Eksamen 1P våren 2019)
Parklands formel blir brukt for å finne kor mange milliliter væske ein pasient med store brannskadar skal ha tilført dei 24 første timane etter ei forbrenning.
Parklands formel er V = 4 mA
V: kor mange milliliter væske
m: kor mange kilogram pasienten veg
A: den prosentdelen av kroppsoverflatearealet som er forbrent
Ein pasient veg 63 kg, og 25 % av kroppsoverflatearealet er forbrent.
a Kor mange liter væske skal pasienten ha tilført dei 24 første timane etter forbrenninga?
Ein annan pasient veg 85 kg. Ein lege bereknar at pasienten skal ha tilført 10 L væske dei første 24 timane etter ei forbrenning.
b Kor stor prosentdel av kroppsoverflatearealet er forbrent hos denne pasienten?
4.196
Stein Rike kjøper eit kunstverk på auksjon.
Han går ut frå at verdien av kunstverket vil følgje ein modell gitt ved V(x) = 750 000 1,07x , der x er talet på år etter at han kjøpte kunstverket.
a Kva fortel modellen om kunstverket og kva slags vurderingar Stein Rike gjorde då han laga modellen?
b Kva vil verdien av kunstverket vere om sju år etter denne modellen?
c Kor mange år går det før verdien har stige til 1,5 millionar kroner?
4.197
Eit grafikkbilete blir kjøpt for 1000 kr. Vi går ut frå at grafikkbiletet vil stige i verdi med 3,0 % per år i åra framover.
a Set opp ein modell for verdien av grafikkbiletet x år etter at det blei kjøpt.
b Kor stor var verdien av grafikkbiletet etter 5 år?
c Bruk rekneark til å finne kor mange år det tek før verdien av grafikkbiletet har auka til meir enn 1500 kr.
4.198 (Eksamen 1P hausten 2021, litt endra)
Mathilde har kjøpt ny bil. Bilen kosta 390 000 kr. Mathilde vil lage ei oversikt som viser verdifallet for bilen i prosent dei første seks åra. Kvart år vil ho samanlikne verdien til bilen med verdien året før. I tillegg vil ho kvart år samanlikne verdien til bilen med verdien då han var ny.
a Vis korleis Mathilde kan ha komme fram til 31 % i celle C4.
b Lag reknearket og legg inn formlar for å rekne ut verdiar i dei grøne cellene.
Mathilde vil også ha ei oversikt som viser verdifallet i kroner for bilen ho kjøpte. Kvart år skal oversikta vise verdifallet i kroner frå året før. I tillegg skal oversikta for kvart år vise verdifallet i kroner frå då bilen var ny.
c Utvid reknearket frå oppgåve b slik at du også får med ei slik oversikt.
4.199
I ein kommune var folketalet 1755 i starten av januar 2014.
I åra 2014–2019 auka folketalet med 3 % per år.
Frå 2020 reknar kommunen med at folketalet vil gå ned med 4 % per år
a Kva vil folketalet etter dette vere i starten av januar 2024?
b I kva for eit år vil etter dette folketalet vere mindre enn 1400?
4.200
I ein kommune er det 20 000 innbyggjarar. Kommunen reknar med at innbyggjartalet vil auke med 3,0 % per år. I ein annan kommune er det 15 000 innbyggjarar. Denne kommunen reknar med at innbyggjartalet vil auke med 5,0 % per år.
Finn kor lang tid det tek før det er like mange innbyggjarar i dei to kommunane.
4.201
I ein bakteriekultur er det 100 000 bakteriar.
Bakterietalet aukar med 40 % per time det neste døgnet.
a Lag ein formel for bakterietalet B etter t timar.
b For kva verdiar av t er formelen gyldig?
BLANDA OPPGÅVER
4.202
Ein mann har drukke alkohol. Tabellen viser promillen i blodet t timar etter at han slutta å drikke.
Tid i timar t 2345
Promille
a Kor mange prosentpoeng gjekk promillen ned i tidsrommet
1 frå t = 2 til t = 3
2 frå t = 3 til t = 4
3 frå t = 4 til t = 5
b Kor mange prosent gjekk promillen ned i tidsrommet
1 frå t = 2 til t = 3
2 frå t = 3 til t = 4
3 frå t = 4 til t = 5
4.203
I ei undersøking om musikkvanane til nordmenn i 2018 les vi: 88 % av nordmenn strøymer musikk (både gratistenester og betalte tenester). 58 % av nordmenn som strøymer musikk, bruker tenesta Spotify. Det er ein auke på 7 prosentpoeng frå 2017.
a Kor mange prosent av dei som strøymde musikk i Noreg i 2017, brukte Spotify?
b Kor mange prosent av befolkninga i Noreg nytta Spotify i 2018?
4.204
Ariel jobbar med ei talfølgje og lagar programmet nedanfor.
print(round(summen))
a Skildre kva som kjenneteiknar talfølgja Ariel jobbar med, og forklar kva ho vil finne med programmet.
La dn vere det n-te talet i talfølgja.
b Lag ein formel for dn
4.205
Ta for deg talfølgja som startar med 100, og der kvart tal er 20 % større enn talet som står føre.
a Skriv opp dei fire første tala i følgja.
b Lag eit program som summerer dei fem første tala i følgja.
Rund av svaret til eit heiltal.
4.206
Ståle undersøkjer korleis termosen Super held på varmen i kakaoen han har laga.
Han lagar grafen nedanfor som ein modell for temperaturutviklinga.
a Bestem funksjonsuttrykket T(x).
b Kva for avgrensingar har modellen?
c Kva er eit rimeleg gyldigheitsområde for modellen.
4.207 (Eksamen 1P våren 2023]
Tabellen nedanfor viser sal av energidrikk i Noreg kvart år frå 2015 til 2021.
a Lag ein modell på forma E(x) = a ⋅ bx som passar godt med tala i tabellen.
b Kva fortel tala a og b i modellen du fann i oppgåve a?
I 2022 var salet av energidrikk 73 109 tusen liter.
c Kor stor var auken i salet av energidrikk i prosent frå 2021 til 2022? Vurder korleis dette passar med modellen i oppgåve a.
4.208
Ein basehoppar får farten v(t) = 70 (1 0,85t), der v(t) er farten i m/s, før ho opnar fallskjermen.
t er tida i sekund frå ho hoppar utfor fjellkanten.
a Finn farten etter 3 s og etter 4 s.
b Kor mange prosent større er farten etter 4 s enn etter 3 s?
BLANDA OPPGÅVER
4.209
For å spare pengar blir straumen på ein skule skrudd av etter skuletid. Temperaturen i skulebygget er då gitt ved funksjonen f(x) = 27 0,92x 4, der f(x) er temperaturen i ºC og x er kor mange timar straumen har vore skrudd av.
Straumen blir skrudd av kl. 16.00.
a Finn temperaturen i skulebygget kl. 20.00.
b Kva skjer med temperaturen på skulen om straumen ikkje blir skrudd på att ifølgje modellen?
c Kva for avgrensingar har modellen?
4.210
Rekordar er til for å bli slått. I tabellen nedanfor ser du nokre av verdsrekordane på sprintdistansen 500 m hurtigløp skøyter for menn.
Ein auke frå 12 % til 15 % svarer til ein auke på 3 prosentpoeng.
Auken i prosent er då 3 av 12, som svarer til 25 %.
Ein nedgang frå 15 % til 12 % svarer til ein nedgang på 3 prosentpoeng.
Nedgangen i prosent er då 3 av 15, som svarer til 20 %.
Vekstfaktor
100 % + 12 % = 112 %
Vekstfaktoren ved ein auke på 12 % er 1,12.
100 % 12 % = 88 %
Vekstfaktoren ved ein nedgang på 12 % er 0,88.
ny verdi = gammal verdi vekstfaktor N = G ⋅ V
Eksponentialfunksjonar
Når noko veks eller minkar med same prosent i kvar periode, har vi eksponentiellvekst
Ein eksponentialfunksjon kan vi skrive på forma
f (x) = a ⋅ bx , der b > 0
eller
N(t) = G ⋅ Vt , der V > 0
Her G = N(0) og V er vekstfaktoren.
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
a Ein sykkel kostar 8000 kr. Prisen blei sett ned med 30 %. Kva kostar sykkelen no?
b I fjor var det 800 tilskodarar på revyen. I år er det 1000 tilskodarar.
Kor mange prosent er auken?
c 660 elevar er fornøgde med kantina på skulen. Dette svarer til 60 % av elevane.
Kor mange elevar er det på skulen?
Oppgåve 2
Magne kjøpte ny bil for tre år sidan. Han har laga eit program for å studere verdiutviklinga til bilen. Kva ønskjer han å finne med programmet?
pris = 275000 verdi = pris vekstfaktor = 0.85 år = 0
while verdi > pris/3: verdi = verdi * vekstfaktor år = år + 1
print(verdi) print(år)
Oppgåve 3
Ei ny strøymeteneste startar med 1 million abonnentar. Deretter minkar talet på abonnentar eksponentielt. Etter 6 månader er det 500 000 abonnentar att.
a Finn ein modell som viser nedgangen i talet på abonnentar.
b Kva er gyldigheitsområdet for modellen din?
c Kor lang tid vil det ta før talet på abonnentar er redusert til 100 000?
Oppgåve 4
Etter at Anne kjøpte leilegheita si, har bustadprisane først stige 2 %, så steig dei 3 %, før dei gjekk ned 1 %.
Anne kjøpte leilegheita si for 2 100 000 kr. Set opp eit reknestykke for verdien av leilegheita i dag.
Oppgåve 5
Skal kommunen byggje nytt badeland?
Figuren viser prosentdelen
som svarte ja på spørsmålet i mars, april og mai.
MarsAprilMai
a Kor mange prosentpoeng auka «ja-sida» med frå mars til april?
b Auka andelen som svarte ja på spørsmålet, meir frå april til mai enn frå mars til april?
c Frå mai til juni auka andelen som svarte ja, med 15 prosentpoeng.
Kor mange prosent auke svarer dette til?
Oppgåve 6
Tabellen viser summen av lånegjelda til alle norske hushald ved inngangen til kvart av åra 2000 til 2006. Tala for gjelda er oppgitt i millionar kroner.
ÅrGjeld (mill. kr)
2000 735 377
2001 816 904
2002 909 582
2003 1 001 563
2004 1 111 599 2005 1 239 996 2006 1 403 658
a La den samla gjelda til hushalda vere G(x) millionar kroner x år etter 2000.
Finn den eksponentielle modellen som passar best til tala i tabellen.
b Ved inngangen til 2022 var den samla gjelda til hushalda 4134 milliardar kroner.
Korleis stemmer det med modellen du laga i oppgåve a?
Polynomfunksjonar
5A Andregradsfunksjonar 210
5B Vekstfart 222
5C Polynomfunksjonar av høgare grad 230
5D Modellering med polynomfunksjonar 234
Poly kjem frå gresk og tyder mange eller fleire, som i til dømes polysakkarid (mange sukkermolekyl) og polygon (mangekant). Ein polynomfunksjon har gjerne fleire ledd med ulike potensar av variabelen.
Den lineære funksjonen gitt ved
f (x) = 3x + 4
har to ledd. Førstegradsleddet er 3x, og nultegradsleddet er 4. I kapittel 6 lærer du om bakgrunnen for desse namna.
Vi seier at funksjonen er ein polynomfunksjon av første grad, eller berre ein førstegradsfunksjon.
Funksjonen gitt ved
f (x) = 5x2 + 3x + 4
har i tillegg eit andregradsledd, 5x2 Vi kallar han ein andregradsfunksjon.
I ein tredjegradsfunksjon må variabelen maksimalt førekomme i tredje potens, som til dømes i funksjonen gitt ved
f (x) = x3 + 5x2 + 3x + 4
Andregradsfunksjonar
Sjå på desse funksjonsuttrykka:
fxxx
gxxx () 68 () 91,57,5 2 2 =++ =−−
Dei er andregradsfunksjonar fordi dei har eit ledd der x 2 inngår utan at det også finst ledd med høgare potens av x
Funksjonen gitt ved
hxxx()4 23 =++
er derimot ikkje ein andregradsfunksjon. Rett nok ser vi eit andregradsledd, men sidan funksjonsuttrykket også har eit tredjegradsledd, er dette ein tredjegradsfunksjon.
Kva med ixxx ()(4)(2) =+ + ? Ved første augekast kan det sjå ut til at andregradsleddet manglar. Men dersom vi gongar ut parentesane og ordnar, får vi akkurat det same funksjonsuttrykket som for f ovanfor. Prøv sjølv!
Grafen til f og grafen til i er derfor samanfallande.
Alle andregradsfunksjonar kan vi skrive på forma
fxax bxc () 2 = =+++ +
der a må vere forskjellig frå null.
Grafen til ein andregradsfunksjon kallar vi ein parabel
UTFORSK
Teikn grafen til funksjonen f gitt ved fxaxbxc () 2 =++ med grafteiknaren i GeoGebra. La tala a,b og c vere bestemde av glidarar.
a Set b = 1 og c = 1, og varier a.
Skildre korleis forma på grafen endrar seg og er avhengig av verdien av a
b Talet c kallar vi gjerne konstantleddet.
Kva trur du verdien av c fortel om grafen?
Set a = 1 og b = 1, og varier c for å undersøkje hypotesen din.
c Teikn linja x b a2 = saman med parabelen.
Varier i tur og orden a, b og c.
Kva kan du seie om denne linja?
Nedanfor har vi teikna to parablar og markert nokre sentrale eigenskapar.
Symmetrilinje x = –3
(x) = x2 + 6x+ 8
f = [–1 , ⟩
Symmetrilinje x = 3
Toppunkt (3 , 6)
Nullpunkt –4 og –2
–2 –1 –4 –3 –6 –5 –7
Botnpunkt (–3 , –1)
Nullpunkt 1 og 5
Ein parabel er symmetrisk om ei loddrett linje gjennom toppeller botnpunktet.
r Parabelen har botnpunkt dersom andregradsleddet er positivt.
t Parabelen har toppunkt dersom andregradsleddet er negativt.
I GeoGebra
kan vi bruke
Ekstremalpunkt til å finne topp- og botnpunkt.
5.1
Teikn grafen til dei to andregradsfunksjonane f og g gitt ved
fxxx
gxxx () 85 ()364 2 2 =+− =−++
med ein grafteiknar.
a Kvar skjer grafane andreaksen?
b Forklar korleis du av funksjonsuttrykka kan føreseie resultatet i oppgåve a.
c Finn eventuelle topp- eller botnpunkt på grafane.
d Forklar korleis du av funksjonsuttrykka kan føreseie at grafen til f har eit botnpunkt, og at grafen til g har eit toppunkt.
5.2
Figuren viser nokre punkt på grafen til ein andregradsfunksjon f
a Kva kallar vi den stipla linja på figuren?
b Skriv koordinatane til botnpunktet på grafen.
c Kva er nullpunkta til funksjonen?
d Bestem f (4), f (5) og f (6)
e Lag eit koordinatsystem på eit ruteark, og teikn grafen til funksjonen.
Funksjonsuttrykket er på forma
fxaxxc()6 2 =−+ , der a og c er tal.
f Er a eit positivt eller eit negativt tal?
g Kva er verdien av c?
5.3
Om ein andregradsfunksjon veit vi at nullpunkta er 1 og 3.
Lag ei skisse av korleis grafen til funksjonen kan sjå ut dersom
a andregradsleddet er negativt b andregradsleddet er positivt
c konstantleddet er 10 d konstantleddet er 0
5.4
Torbjørn jobbar med andregradsfunksjonen f gitt ved fxxx ()813 2 =−+
a I skriveboka hans står denne utrekninga:
Kva har Torbjørn funne ut med denne utrekninga?
b Torbjørn reknar vidare ut f (3), f (4) og f (5).
«No veit eg kva botnpunktet på grafen er», tenkjer han etterpå.
Gjer dei same utrekningane som Torbjørn, og forklar korleis han kan vite kva botnpunktet er.
DØME 1
Funksjonen f er gitt ved fxxx ()0,21,211 2 =−− .
a Bestem verdimengda til f.
b Bestem x slik at funksjonsverdien er 16.
a Vi teiknar grafen til f og bruker Ekstremalpunkt til å finne botnpunktet.
Vi ser at den minste moglege funksjonsverdien er 12,8. Verdimengda er derfor V 12,8, f [ =−→
b Vi teiknar den horisontale linja y 16 | og bruker Skjering til å finne skjeringspunkta mellom linja og grafen til f
Figuren viser at x må vere 9 eller 15 for at funksjonsverdien skal vere 16.
SNAKK
5.5
Teikn grafen til funksjonane f og g gitt ved
fxxx
gxxx () 35 ()34 2 2 =++ =−++
i same koordinatsystem.
a Bestem botnpunktet på grafen til f
Kva er verdimengda til f?
b Bestem toppunktet på grafen til g
Kva er verdimengda til g?
c Bestem x slik at funksjonsverdien til f er 3.
d Bestem x slik at funksjonsverdien til g er 0.
e Finn eventuelle skjeringspunkt mellom grafen til f og grafen til g
5.6
Funksjonen f er gitt ved
fxxxc ()8 2 =++
der c er eit tal.
a Teikn grafen og finn eventuelle nullpunkt til f når c = 15, c = 16 og c = 17.
b Teikn grafen for fleire verdiar av c
Kor mange nullpunkt ser det ut til at ein andregradsfunksjon kan ha?
5.7
Gi døme på ein andregradsfunksjon der grafen har toppunkt og funksjonen har
a to nullpunkt
b eitt nullpunkt
c ingen nullpunkt
Frode ser på funksjonen f gitt ved fxx()1 2 =+ og seier:
«Eg ser på funksjonsuttrykket at funksjonen ikkje har nullpunkt.
Eg kan også sjå at grafen har eit botnpunkt.»
Korleis kan Frode sjå dette utan at han har teikna grafen?
DØME 2
Ved produksjon og sal av x einingar av ei vare er overskotet i kroner gitt ved
O(x) = 0,3x2 + 210x 30 000 , x > 0
a Kva er det største moglege overskotet? b Kva for produksjonsmengder gir overskot?
a Vi teiknar grafen til andregradsfunksjonen O og bruker Ekstremalpunkt til å finne toppunktet på grafen.
Andrekoordinaten til toppunktet fortel oss at det største moglege overskotet er 6750 kr.
b Overskot har vi så lenge grafen ligg over x-aksen, for då er O(x) positiv. Det gjer han mellom nullpunkta til funksjonen. Vi bruker Nullpunkt og får nullpunkta 200 og 500. Produksjonsmengder mellom 200 einingar og 500 einingar gir derfor overskot.
3
5.8
Ved produksjon og sal av x einingar av ei vare er overskotet i kroner gitt ved
O(x) = 0,5x2 + 184x 15 000 , x ≥ 0
a Kva er det største moglege overskotet?
Kor mange einingar må produserast og seljast for å oppnå dette?
b Kva for produksjonsmengder gir overskot?
c Kva er konstantleddet i funksjonsuttrykket?
Kva fortel det oss?
Petter har laga dette programmet:
O(x) < 0: x = x + 1 print(x)
d Kva trur du utskrifta blir?
Køyr programmet og vurder om resultatet blei slik det var venta.
Petrine har laga dette programmet:
O(x): return -0.5*x**2 + 184*x - 15000 for x in range(300): if O(x) > 0: print(x)
e Kva trur du utskrifta blir?
Køyr programmet og vurder om resultatet blei slik det var venta.
Ein modell for kor mykje CO2 ein bestemt dieselbil slepper ut ved langkøyring, er gitt ved
Her er M(v) utsleppet i g/km, og v er farten i km/h.
a Bestem verdimengda til M. Kva fortel svaret?
b Kor fort køyrer bilen dersom utsleppet er 200 g/km?
a Vi teiknar grafen til M for verdiar av v frå og med 30 til og med 100.
Ekstremalpunkt gir oss botnpunktet, og vi ser at den minste funksjonsverdien er 177,4. Vidare er den største funksjonsverdien M (30)254 | .
Verdimengda er altså VM | [177,4 , 254]. Det fortel oss at CO2-utsleppet varierer mellom 177,4 g/km og 254 g/km for denne bilen.
b Vi teiknar linja y 200 | og bruker Skjering til å finne kvar ho kryssar grafen til M
Sidan det er to skjeringspunkt, er utsleppet 200 g/km ved to ulike fartar. Bilen køyrer anten 50 km/h eller 97,5 km/h.
5.9
Ein modell for kor mykje CO2 bilen til Tore slepper ut ved langkøyring, er gitt ved mvvvv ()0,0445,2375,30100 2 =−+≤≤
Her er m(v) utsleppet i gram per kilometer, og v er farten i km/h.
a Kva er utsleppet av CO2 frå denne bilen dersom farten er 90 km/h?
b Ved kva for ein fart er utsleppet av CO2 frå denne bilen minst?
Kor stort er utsleppet ved denne farten?
c Ved kva for ein fart er utsleppet av CO2 frå denne bilen størst?
Kor stort er utsleppet ved denne farten?
d Kva er definisjonsmengda og verdimengda til m?
Tore gjer denne berekninga i CAS:
e Kva ønskjer Tore å finne ut?
Kva konklusjon kan Tore trekkje ut frå berekninga?
f Tore køyrer omtrent 15 000 km årleg.
Kor stort er det totale utsleppet av CO2 frå bilen til Tore i løpet av eit år?
5.10
Trine kastar eit spyd. Banen spydet følgjer gjennom lufta, kan vi tilnærma skildre ved funksjonen h gitt ved
hxxxx ()0,010,52,1,0 2 =−++≥
Her er x avstanden langs bakken målt i meter frå der spydet blei kasta, og hx() er høgda over bakken målt i meter.
a Kor høgt over bakken er spydet idet Trine kastar spydet?
b Kor høgt er spydet over bakken på det høgaste?
c Kor langt kastar Trine?
d Kva er definisjonsmengda og verdimengda til h?
e Kvar er spydet når det er 6,0 m over bakken?
Trine har laga dette programmet:
x = 0 tillegg = 0.01
while h(x + tillegg) > h(x): x = x + tillegg
print(x)
f Forklar kva Trine ønskjer å berekne med dette programmet.
g Føreslå ei endring i programmet, slik at Trine kan bruke det til å berekne lengda av kastet.
RAUDE OPPGÅVER
5.11
Figuren viser grafen til ein andregradsfunksjon f
a Kva er koordinatane til botnpunktet?
b Bestem skjeringspunkta med koordinataksane.
c Kva er nullpunkta til f?
d Bestem f(0), f(2) og f(3).
e Kvar går symmetrilinja?
f Kva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til f?
g Kva er x når funksjonsverdien er 1 3 2 1 3 2
5.12
Funksjonane f og g er gitt ved f(x) = x2 4 og g(x) = 4 x2
a Finn avstanden mellom botnpunktet på grafen til f og toppunktet på grafen til g
b Finn avstanden mellom skjeringspunkta mellom grafane.
c Bruk funksjonsuttrykka til å forklare kvifor grafane er spegelbilete av kvarandre om x-aksen.
5.13
Jenny plantar ein busk. Dei ti første dagane etter plantinga er høgda av busken tilnærma gitt ved
hxx()0,24,0 2 =+
Her er x tida målt i dagar etter at busken blei planta, og h(x) er høgda målt i cm.
a Bestem definisjonsmengda og verdimengda til h
b Kva fortel talet 4,0 i funksjonsuttrykket?
c Når var busken 6,0 cm høg?
5.14
Ein vårdag var temperaturen tilnærma gitt ved
TtttD ()0,241,216,0,12 T 2 [] =−++=
der T(t) står for temperaturen i celsiusgradar t timar etter kl. 12.
a Kva var temperaturen kl. 12 og kl. 16?
b Når var temperaturen høgast, og kva var temperaturen då?
c Når var temperaturen 10 °C?
d Når skifta det frå varmegradar til kuldegradar?
e Kor lenge var temperaturen over 17 °C?
BLÅ OPPGÅVER
5.15
Funksjonen f er gitt ved fxxx ()184 2 =−−
a Forklar at grafen til f har eit toppunkt.
Symmetrilinja til ein parabel er x b a2 = når funksjonsuttrykket er på forma axbxc 2 22
b Rekn ut koordinatane til toppunktet på grafen til f
5.16
La funksjonen h vere gitt ved hxx ()( 3)2 =−
a Bestem eventuelle nullpunkt til h
b Avgjer om grafen har topp- eller botnpunkt, og bestem deretter koordinatane.
c Kvar skjer grafen til h andreaksen?
d Skriv funksjonsuttrykket på forma hxaxbxc () 2 =++
La funksjonen i vere gitt ved ixhx ()()5 =+
e Bestem eventuelle nullpunkt til i og eventuelle topp- eller botnpunkt på grafen til i
5.17
Turi har laga dette programmet:
def f(x):
x**2 - 5*x + 6 for i in range(10): if f(i - 0.1)*f(i + 0.1) < 0: print(i)
a Forklar kva Turi ønskjer å finne ut med dette programmet.
b Vurder om programmet gir ønskt resultat for alle andregradsfunksjonar.
5.18
Ei elevbedrift produserer og sel fuglekasser.
Elevane reknar med at kostnadene K(x) kr ved å produsere og selje x fuglekasser per veke er gitt ved
Kxxx ()0,8142880 2 =−+
Dei sel fuglekassene for 90 kr per stykk.
a Bestem ein funksjon O som gir overskotet ved å produsere og selje x fuglekasser per veke.
b Kva er det største moglege overskotet bedrifta kan få per år?
Vekstfart
Vekstfarten til ein funksjon har å gjere med korleis funksjonsverdiane endrar seg. For lineære funksjonar er vekstfarten det same som stigningstalet, som viser kor mykje funksjonsverdien aukar eller minkar når x-verdien aukar med éin
Men kva dersom funksjonen ikkje er lineær og grafen ikkje er ei rett linje?
Spørsmålet har ikkje noko klart svar fordi vekstfarten no vil vere avhengig av kvar på grafen vi er.
Gjennomsnittleg vekstfart
Vi vil bruke den rette linja gjennom to punkt på grafen til å finne kva vekstfarten er i gjennomsnitt i eit bestemt intervall.
Vi tek for oss ein vilkårleg funksjon f På grafen til f har vi valt punkta
Axfx , 11 () () og Bxfx , 22 () ()
Når x-verdien endrar seg frå x1 til x2, endrar funksjonsverdiane seg frå fx1 () til fx 2 ()
Endringa i x er xx21 4
Endringa i fx() er fxfx21 ()()
Den gjennomsnittlege vekstfarten frå A til B er derfor fxfx xx 21 21 ()()
Dersom til dømes linja går gjennom punkta A(1,2) og B (4,8), vil endringa i x vere 4 1, mens endringa i f(x) er 8 2.
Mellom punkta A og B er den gjennomsnittlege vekstfarten
82 41 6 3 2 ==
Dette er det same som stigningstalet til den rette linja gjennom A og B.
Den gjennomsnittlege vekstfarten mellom to punkt på ein graf er stigningstalet til linja gjennom punkta.
DØME 4
Ein dag var temperaturen tilnærma gitt ved
TxxxD ()0,240,174,1,0,8 T 2 [] =++=
der T(x) står for temperaturen i celsiusgradar x timar etter kl. 8 om morgonen.
Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå x = 2 til x = 5.
Kva fortel svaret?
Vi teiknar grafen til T og legg inn punkta () T 2 , (2) og () T 5 , (5)
Så teiknar vi linja gjennom punkta med Linje.
Vi ser at stigningstalet til linja er omtrent 1,9.
Den gjennomsnittlege vekstfarten er derfor 1,9 °C/time.
Dette vil seie at temperaturen i gjennomsnitt aukar med 1,9 gradar per time mellom kl. 10 og kl. 13.
Merk!
Vekstfarten i døme 4 har den samansette eininga °C/time. Dette er eininga for funksjonsverdien (°C) dividert med eininga for variabelen (timar).
5.19
Sjå døme 4.
a Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå x = 2 til x = 8.
Kva fortel svaret?
b Forklar kvifor den gjennomsnittlege vekstfarten blei større i oppgåve a enn i døme 4.
5.20
Ved produksjon og sal av x einingar av ei vare er overskotet i kroner gitt ved
O(x) = 0,3x2 + 210x 30 000 , x ≥ 0
a Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå x = 200 til x = 300.
Kva fortel svaret?
b Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå x = 300 til x = 400.
Kva fortel svaret?
c Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå x = 400 til x = 500.
Kva fortel svaret?
5.21
Tito har laga dette programmet:
f(x): return 2000 * 1.2**x
start = 2 slutt = 8
vekst = (f(slutt) - f(start))/(slutt - start)
print(round(vekst, 1))
Forklar kva Tito ønskjer å finne ut.
5.22
Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [1 , 3] for funksjonen gitt ved
a fxx()4 2 =−
b gx()32x =⋅
c hxx()54 =+
Momentan vekstfart
I mange samanhengar er vi interesserte i å finne vekstfarten for ein bestemt x-verdi, det vil seie vekstfarten i eit bestemt punkt på grafen.
På figuren har vi teikna inn punktet A og ei linje som akkurat er nær grafen i dette punktet. Denne linja kallar vi tangenten til grafen i A x
Dersom vi zoomar inn på punktet A, er grafen og tangenten så godt som samanfallande. Vekstfarten i punktet A er stigningstalet til tangenten i punktet. Denne vekstfarten kallar vi momentan vekstfart.
Den momentane vekstfarten i eit punkt på ein graf er stigningstalet til tangenten i dette punktet.
DØME 5
Ein dag var temperaturen tilnærma gitt ved
Txxx ()0,240,174,1 2 =++ D ,0,8 T [] =
der T(x) står for temperaturen i celsiusgradar x timar etter kl. 8 om morgonen.
Finn den momentane vekstfarten når x = 3.
Kva fortel svaret?
Vi teiknar grafen til T og lagar ein tangent i det aktuelle punktet med kommandoen Tangent(3,T).
Stigningstalet til tangenten er omtrent 1,6.
Den momentane vekstfarten er 1,6 °C/time.
Dette fortel oss at temperaturen kl. 11 er i ferd med å auke med 1,6 gradar per time.
5.23
Sjå døme 5.
a Finn den momentane vekstfarten når x = 6.
Kva fortel svaret?
b Forklar kvifor den momentane vekstfarten blei større i oppgåve a enn i døme 5.
5.24
Ved produksjon og sal av x einingar av ei vare er overskotet i kroner gitt ved
O(x) = 0,3x2 + 210x 30 000 , x ≥ 0
a Finn den momentane vekstfarten når x = 200.
Kva fortel svaret?
b Finn den momentane vekstfarten når x = 350.
Kva fortel svaret?
c Finn den momentane vekstfarten når x = 500.
Kva fortel svaret?
5.25
Funksjonen f er gitt ved fx()3250000,75 x =⋅
a Finn momentan vekstfart når x = 2, og når x = 5.
b Forklar kva svara i oppgåve a fortel om grafen til f
5.26
a Kva er den momentane vekstfarten i punktet A på figuren til høgre?
b Kva kan du seie om den momentane vekstfarten i punktet B samanlikna med den i punktet A?
5.27
Figuren viser grafen til ein andregradsfunksjon f
a Kva er den momentane vekstfarten når x = 4?
b Kva kan du seie om den momentane vekstfarten når x = 3, samanlikna med den momentane vekstfarten når x = 5?
Gjer greie for likskapar og skilnader mellom omgrepa vekstfaktor og vekstfart.
RAUDE OPPGÅVER
5.28
På figuren er det merkt av fem punkt på grafen til ein funksjon f
a Avgjer for kvart punkt om den momentane vekstfarten er positiv, negativ eller null.
b Kva kan du seie om den gjennomsnittlege vekstfarten frå
1 A til B 2 A til D 3 C til D
c I kva for eit punkt er den momentane vekstfarten størst?
5.29
På figuren har vi teikna tangentane til ein graf i punkta A og B
a Kva er den momentane vekstfarten i kvart av punkta A og B?
b I kva for eit punkt på grafen er den momentane vekstfarten 0?
c Kva er den gjennomsnittlege vekstfarten frå B til A?
5.30
Konsentrasjonen av eit stoff i blodet er gitt ved
ct()2,50,9t =⋅
Her er t tid i timar etter at ei registrering av konsentrasjonen starta, og c(t) er konsentrasjon i mg/mL.
a Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten dei første 4 timane av registreringa.
Kva fortel svaret?
b Bestem den momentane vekstfarten etter 4 timar.
Kva fortel svaret?
5.31
Ein vårdag var temperaturen tilnærma gitt ved
TtttD ()0,241,216,0,12 T 2 [] =−++=
der T(t) står for temperaturen i celsiusgradar t timar etter kl. 12.
a Bestem stigningstalet til den rette linja gjennom punkta T 0, (0) () og () T 12,(12) .
Gi ei praktisk tolking av svaret.
b Korleis var temperaturen i ferd med å endre seg kl. 22?
BLÅ OPPGÅVER
5.32
Gjennomsnittleg vekstfart mellom to punkt som ligg nær kvarandre, gir ein tilnærma verdi for den momentane vekstfarten. Tashiba har laga dette programmet for å finne momentan vekstfart:
def f(x): return 3000 * 1.19**x
a = 6
dx = 0.1
vekst = (f(a + dx) - f(a))/dx
print(round(vekst, 1))
a Kor mange prosent feil blir svaret ho får når ho køyrer programmet?
b Føreslå ei endring i programmet som vil gi Tashiba eit meir korrekt svar.
5.33
Funksjonen f er gitt ved fxxx ()285 2 =−+
a For kva for ein x-verdi er den momentane vekstfarten lik 6?
Eit punkt B ligg på grafen til f slik at den gjennomsnittlege vekstfarten frå () f 0,(0) til B er 2.
b Bestem koordinatane til B
5.34
Om ein andregradsfunksjon f får du opplyst at den momentane vekstfarten er 2 når x = 3, og at den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [ 3 , 1] er lik null.
a Lag ulike skisser som viser korleis grafen til f kan sjå ut.
b Finn eit mogleg funksjonsuttrykk f(x).
5.35
Den veglengda som ein bil køyrer frå føraren ser ei hindring i vegbanen til bilen stoppar, kallar vi stopplengda. Ein vinterdag er Erik på veg til hytta, og stopplengda S(v) meter er gitt ved
Svvv ()0,30,014 2 =+
når farten er v km/h.
a Bestem stigningstalet til den rette linja gjennom punkta S 80,(80) () og S 90,(90) (). Gi ei praktisk tolking av svaret.
b Bestem den momentane vekstfarten til S når v = 80, og når v = 90.
c Kor mange prosent lengre er stopplengda for bilen til Erik ved 90 km/h enn ved 80 km/h?
d Ved kva for ein fart er stopplengda i ferd med å auke med 2 m per km/h?
e Kva er funksjonsuttrykket dersom farten er gitt i m/s i staden for i km/h?
Polynomfunksjonar av høgare grad
Sjå på desse funksjonsuttrykka:
fxxx
gxxx ()756 () 7 56 3 4 3 =++ =++
Sidan f(x) har eit ledd der x 3 inngår utan at det også finst ledd med høgare potens av x, er dette døme på ein tredjegradsfunksjon. Av tilsvarande grunn kallar vi g ein fjerdegradsfunksjon.
Det finst også femtegradsfunksjonar, sjettegradsfunksjonar og så vidare, men vi har sjeldan bruk for slike polynomfunksjonar.
Alle tredjegradsfunksjonar kan skrivast på forma
fxax bxcxd () 32 = =+++++ +
der a må vere forskjellig frå null.
Nedanfor ser du ein typisk graf for tredjegradsfunksjonar der nokre sentrale eigenskapar er markerte.
Toppunkt (–2 , 9)
Nullpunkt –4, 1 og 4
Botnpunkt (2,7 , –3,7)
UTFORSK
Teikn grafen til funksjonen f gitt ved fxaxbxcxd () 32 =+++ med ein grafteiknar. La tala a,b, c og d vere bestemde av glidarar.
a Set b = c = d = 1, og varier a.
Skildre korleis forma på grafen endrar seg og er avhengig av verdien av a
b Varier verdiane av a,b, c og d systematisk.
1 Kva kan du seie om talet på nullpunkt?
2 Kva kan du seie om topp- og botnpunkt?
c Gjenta undersøkingane i oppgåve b for ein fjerdegradsfunksjon på forma fxaxbxcxdxe () 432 =++++
d Kva trur du no om talet på nullpunkt og talet på topp- og botnpunkt for ein femtegradsfunksjon?
5.36
Tre polynomfunksjonar er gitt ved fxxx gxxx hxxx ()35 ()34 ()(2) 3 24 2 =++ =+− =⋅−
a Avgjer kva for ein grad f, g og h har.
b Kvar skjer grafane til f, g og h andreaksen?
5.37
Figuren viser grafen til ein tredjegradsfunksjon.
a Kva er koordinatane til topp- og botnpunktet på grafen?
b Kva er nullpunkta til funksjonen?
c Har grafen ei symmetrilinje?
d Kva er den gjennomsnittlege vekstfarten frå x = 0 til x = 4?
e For kva verdiar av x er den momentane vekstfarten negativ?
f Funksjonsuttrykket er fxxxxd ()69 32 =−++ , der d er eit tal. Bestem verdien av d
5.38
Figuren viser grafen til ein fjerdegradsfunksjon f
a Kva er koordinatane til topp- og botnpunkta på grafen?
b Kva er nullpunkta til funksjonen?
c Har grafen ei symmetrilinje?
d Kva er verdimengda til funksjonen?
e Kva er løysinga på likninga fx()2 | ?
5.39 (Eksamen 1P våren 2022)
Siri har eit stykke papp og vil lage ei eske. Ho har sett opp ein modell som viser volumet V(x) cm3 av eska dersom ho lagar henne x cm høg.
Vxxxxx ()4100600,010 32 =−+<<
a Kor stort volum får eska dersom Siri lagar henne 5 cm høg?
b Kva finn Siri ut dersom ho løyser likninga Vx()500 | ?
5.40 (Eksamen 1P våren 2023)
Dei siste åra har Lars budd på Svalbard frå 1. februar til 1. oktober
Kvart år har han målt temperaturen utanfor huset sitt på ulike tidspunkt nokre dagar kvar veke.
Han har funne at funksjonen T gitt ved
Txxxxxx ()0,0481,413,3645,835,2,210 432 =−+−+≤≤
er ein rimeleg bra modell for gjennomsnittstemperaturen Tx() °C kvart døgn dei månadene han bur på Svalbard, når han lèt x = 2 svare til 1. februar, x = 3 til 1. mars, x = 4 til 1. april og så vidare.
a Omtrent kor mange døgn i perioden 1. februar–1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over 0 °C ifølgje modellen?
b Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta T 3,(3) () og T 7, (7) ().
Gi ei praktisk tolking av dette stigningstalet.
RAUDE OPPGÅVER
5.41
Funksjonen N gitt ved N(x) = 4,68x3 + 63,4x2 32,3x + 29,1 er ein modell for utviklinga i talet på breibandsabonnentar i perioden 2000–2008.
Her er N(x) talet målt i 1000, og x er talet på år etter år 2000.
a Kva slags type funksjon er N eit døme på?
b Kor mange breibandsabonnentar var det i 2005?
c Forklar at vi ikkje kan bruke modellen til å finne ut kor mange breibandsabonnentar det er i dag.
5.42
Ved produksjon og sal av x einingar av ei vare er overskotet i kroner gitt ved
a Bestem O(50).
Kva fortel svaret?
b Kva er det største moglege overskotet?
Kor mange einingar må produserast og seljast for å få til dette?
c Kva for produksjonsmengder gir overskot?
d Finn nullpunkta til O
Kva fortel dei?
e Finn den gjennomsnittlege vekstfarten frå x = 180 til x = 200.
Kva fortel svaret?
BLÅ OPPGÅVER
5.43
Tomine ønskjer å finne eventuelle topp- og botnpunkt på grafen til ein funksjon f
a = 0
dx = 0.01
while f(a + dx) > f(a):
a = a + dx
print(a)
Teikn grafen til f med ein grafteiknar.
Bruk grafen til å forklare at programmet ikkje kjem til å gi Tomine eit fullstendig svar.
Føreslå endringar Tomine kan gjere for å få eit fullstendig svar.
Modellering med polynomfunksjonar
Polynomregresjon
Du har i kapittel 3 og 4 utført lineær og eksponentiell regresjon. Då er det to ukjende parametrar å bestemme. For polynomfunksjonar aukar talet på parametrar med graden.
axbxc 2 22 har tre parametrar (a, b og c).
axbxcxd 32222 har fire parametrar (a, b, c og d). Og så vidare.
Når vi finn ein polynomfunksjon ved regresjon, er tilnærminga til datasettet generelt sett betre desto høgare grad vi vel. Likevel bør vi ikkje velje høgare grad enn nødvendig. Det følgjer av eit viktig prinsipp i modellering som er kjent som Ockhamsbarberkniv. Dette prinsippet går ut på at i valet mellom to gode modellar bør vi velje den enklaste. Det vil som oftast seie den modellen med færrast parametrar.
UTFORSK
tredjegradsfunksjon.
a Kor godt treffer grafane til funksjonane punkta i diagrammet?
b Kva trur du vil skje dersom du lagar ein modell med ein fjerdegradsfunksjon ut frå ein tabell med fem punkt?
c Kva trur du vil skje dersom du prøver å lage ein modell med ein andregradsfunksjon ut frå ein tabell med berre to punkt?
DØME 6
Vi rundar av parameterverdiane.
Ei bedrift har undersøkt korleis overskotet per døgn varierer med kor mange einingar som blir produserte. Tabellen viser resultatet av undersøkinga.
Kor mange produserte einingar 405080100120
Overskot (kroner) 12 50016 49521 49021 07017 420
Lag ein modell for overskotet O(x) kr ved x produserte einingar.
Vi vel Rekneark i GeoGebra og legg inn talet på produserte einingar i kolonne
A og overskotet i kolonne B.
Vi markerer cellene og vel Regresjonsanalyse. Punkta ser ut til å liggje på ein parabel. I rullegardinmenyen under Regresjonsmodell vel vi derfor Polynom, og vi vel 2 for eit polynom av andre grad.
Ein modell for overskotet er gitt ved Oxxx ()4,17139253 2 =−+−
5.44 (Eksamen 1P våren 2024)
Tabellen nedanfor viser kor mange bagettar ei kantine har selt kvar av dei siste sju vekene, og kor stort overskot salet har gitt.
Selde bagettar 100130160175190220235
Overskot (kroner) 1450230030503365372041404175
a Bruk opplysningane ovanfor til å vise at funksjonen O gitt ved Oxxx ()0,0951,042776,98 2 =−+−
er ein god modell for kor stort overskotet ei veke blir når kantina produserer og sel x bagettar gjennom veka.
b Kor mange bagettar må kantina produsere og selje gjennom ei veke, ifølgje modellen O, for at overskotet skal bli størst mogleg? Kor stort blir dette overskotet?
c Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta
O 100,(100) () og O 200 ,(200) ()
Gi ei praktisk tolking av svaret du får.
5.45
Tabellen nedanfor viser temperaturen ved utvalde tidspunkt gjennom eit døgn.
a Plott punkta og vurder kva for ein funksjonstype som passar best til datasettet.
b Lag ein modell som gir temperaturen T(t) °C t timar etter midnatt.
c Bruk modellen til å berekne temperaturen kl. 12.30.
d Vurder om vi kan bruke modellen til å seie noko om temperaturen neste dag.
DØME 7
5.46
Per og Kari diskuterer figurtal og regresjon.
Kan vi bruke polynomregresjon til å finne formlar for figurtal?
Ja, for i mange tilfelle er desse formlane andregrads- eller tredjegradsuttrykk.
La oss ta rektangeltala som døme.
Då meiner du 2, 6, 12, 20 og så vidare?
Ja, det er dei fire første. Start GeoGebra, og legg inn 1, 2, 3 og 4 i kolonne A og dei tilsvarande rektangeltala i kolonne B.
Aha, då får eg perfekt match med ein andregradsfunksjon!
a Gjer som Per.
Korleis stemmer resultatet med formelen Rnn(1) n =⋅+ frå kapittel 2?
b Vis at funksjonsuttrykket gir rett verdi for rektangeltal nummer 37.
c Kvifor er det viktig å sjekke at grafen går nøyaktig gjennom alle punkta i datasettet når vi bruker regresjon til å finne formlar for figurtal?
Å lage polynommodellar
Trygve skal gjerde inn eit rektangelforma område av hagen.
Han har 50 m gjerde.
a Lag ein modell for arealet av det inngjerda området.
b Bestem gyldigheitsområdet for modellen.
a La to av sidene i rektangelet ha lengda x m.
Då er det att x (502)m 4 å fordele på dei to andre sidene.
Altså er lengda av desse sidene x (25)m 4 x x 25 – x 25 – x
Arealet av eit rektangel er produktet av lengda og breidda.
Ein modell for arealet er derfor gitt ved Axxxxx ()(25)25 2 =⋅−=−
b Både x og 25 x skal vere positive tal.
Gyldigheitsområdet er derfor x 0,25 ∴
5.47
Tora skal gjerde inn eit rektangelforma område av hagen. Ho har 60 m gjerde.
a Lag ein modell for arealet av det inngjerda området.
b Bestem gyldigheitsområdet for modellen.
c Bestem det største arealet området kan ha.
d Korleis kan området sjå ut dersom arealet skal vere 200 m2?
5.48 (Eksamen 1P våren 2023)
Ei gruppe speidarar har slått opp telt ved ei elv. Dei har eit tau som er 80 m langt, og fire pinnar. Tauet og pinnane skal dei bruke til å setje opp eit gjerde rundt teltet.
Området dei gjerdar inn, skal ha form som eit rektangel, og dei vil ikkje setje opp gjerde langs elva.
Sjå skissa til venstre.
a Kor stort blir arealet av området dersom dei vel at lengda skal vere 60 m?
Herman påstår at arealet av området blir størst dersom lengda er dobbelt så lang som breidda.
b Lag ei systematisk oversikt som viser arealet av ulike område som dei kan gjerde inn. Bruk oversikta til å argumentere for at Hermans påstand kan vere rett.
Josefine lurer på om dei kan teikne ein graf som viser at Herman har rett. Ho prøver å setje opp eit funksjonsuttrykk som ho kan bruke.
c Set opp eit funksjonsuttrykk for Josefine. Teikn grafen og vis at Hermans påstand er rett.
5.49
Av ei kvadratisk plate med side 8 dm skal Eli lage ei eske utan lokk ved at ho klipper bort eit kvadrat i kvart hjørne og brettar opp kantane. Ho lagar arbeidsteikningar:
a Forklar at volumet av eska er gitt ved Vxxx()(82)2 =⋅−
b Kva for ei eining har volumet Eli reknar ut med denne modellen?
c For kva x-verdiar er modellen gyldig?
d Lag ein målsett figur av korleis eska ser ut når volumet er størst mogleg.
Breidde
Lengde
RAUDE OPPGÅVER
5.50
Bruk regresjon til å finne ein polynomfunksjon av lågast mogleg grad som passar til tala i tabellen. a
5.51
Tabellen viser folketalet i Noreg i nokre utvalde år. År
1960197019801990200020062009
Folketalet i millionar 3,593,874,094,254,454,644,80
a Finn ein tredjegradsfunksjon f som kan vere ein modell for folketalet i Noreg x år etter 1960.
b Folketalet i Noreg var 2,80 millionar i 1930 og 5,55 millionar i 2024.
Korleis stemmer det med modellen?
c Kva kan du seie om gyldigheitsområdet for modellen du laga i oppgåve a?
5.52 (Eksamen 1P våren 2022)
Eit rektangel er tre gonger så langt som det er breitt. Arealet av rektangelet er 432 cm2. Kor breitt er rektangelet?
BLÅ OPPGÅVER
5.53
Eit rektangel har ein omkrins lik 36 cm.
Vi lèt A(x) cm2 vere arealet av rektangelet.
a Vis at vi kan skrive arealet av dette rektangelet som Axxx ()18 2 =−
b Finn lengda av sidene i rektangelet når arealet er 750 mm2
c Finn lengda av sidene i rektangelet når arealet er størst mogleg. Kor stort er arealet då?
5.54
Finn, dersom det er mogleg, eit uttrykk for tal nummer n ved regresjon.
a 1, 4, 10, 20, 35, … b 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
5.55
Av ei rektangulær plate med sider på 18 cm og 12 cm skal vi lage ei eske utan lokk.
Vi klipper bort eit kvadrat med side x cm i kvart hjørne og brettar opp dei fire sidekantane.
a Lag ein modell for volumet V av eska målt i liter.
b Kva for eit gyldigheitsområde har modellen?
c Kva er høgda av eska når volumet er størst mogleg?
d Kva er det største volumet eska kan ha?
BLANDA OPPGÅVER
5.56 (Eksamen 1P hausten 2015)
Funksjonane f, g og h er gitt ved fxx gxxx hxx () ()2 () 1 2 1 2 =− =−++ =+
Nedanfor ser du grafane til seks ulike funksjonar. Kva for ein graf er grafen til f, kva for ein graf er grafen til g, og kva for ein graf er grafen til h? Grunngi svara dine.
5.57
Funksjonen f er gitt ved fxxx ()68 2 =−+
a Korleis kan vi ut frå funksjonsuttrykket seie at grafen til f har eit botnpunkt?
b Kvar kryssar grafen til f andreaksen?
c Skriv av og fyll ut det som manglar i tabellen.
x 101234567
f(x) 15
d Teikn grafen til f
e Kva er nullpunkta til f?
f Kva er den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [4 , 6]?
g Løys likninga f(x) = 4 grafisk.
h Kva er verdimengda til f?
Teikn grafen til funksjonen g gitt ved gxx()2 =+ saman med grafen til f
i Finn skjeringspunkta mellom grafane.
BLANDA OPPGÅVER
5.58
Funksjonen f er gitt ved fxxx () 1 2 4 2 =−++
a Avgjer, utan å teikne grafen til f, om han har eit toppunkt eller eit botnpunkt.
b Teikn grafen til f saman med symmetrilinja.
c Kva for eit punkt er skjeringspunktet mellom grafen og symmetrilinja? Bestem koordinatane til punktet.
5.59
Avgjer om funksjonane a til l nedanfor er polynomfunksjonar, og bestem i så fall graden.
Funksjonane viser temperaturane L(x) gradar celsius ved Lindesnes og N(x) gradar celsius ved Nordkapp x timar etter midnatt eit døgn i januar 2019.
a Bruk grafteiknar til å teikne grafane til L og N
b I kva for eit tidsrom var temperaturen ved Lindesnes høgare enn 8 °C dette døgnet?
c Bestem temperaturskilnaden mellom Lindesnes og Nordkapp kl. 12.00.
d Bestem den momentane vekstfarten til kvar av funksjonane når x = 8.
Gi ei praktisk tolking av desse svara.
Funksjonen F er gitt ved
FxLxNxx ()()(),[0,24] =− ∈
e Bruk grafteiknar til å teikne grafen til F
f Bestem toppunktet på grafen til F.
Kva for praktisk informasjon gir koordinatane til dette punktet?
5.63 (Eksamen 1P hausten 2018, litt endra)
Ein funksjon f er gitt ved
fxxx ()2 3 2 =−++
a Skriv av og fyll ut verditabellen nedanfor.
x 2 101234
f(x)
b Teikn grafen til f
c Finn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [ 1, 4].
5.64
For å vise tilnærma utviklinga av kor mange elbilar som blei selde i Noreg i åra 2003–2013, bruker vi ein funksjon S som har to ulike uttrykk som gjeld i kvar sin del av definisjonsmengda [0 , 10]
Sx xxx x () 35 80 108007,5 27,121,74 7,510 x 2 1,18 =
S(x) er talet på selde elbilar x år etter 2003, slik at x = 0 svarer til 2003.
a Teikn grafen til S
b Finn kor mange elbilar som blei selde i 2007 og i 2012.
c Finn gjennomsnittleg vekstfart i intervalla [0 , 7] og [8 , 10]
Kva fortel svara?
d Vurder om modellen eignar seg for å seie noko om talet på selde elbilar i dag.
5.65
For å komme inn i ein park kan vi gå gjennom ei parabelforma opning.
Når vi legg eit koordinatsystem med x-aksen langs bakken og y-aksen midt i opninga vertikalt på bakken, er parabelen gitt ved
f(x) = 0,088x2 + 220
der x og f(x) har eininga centimeter.
a Forklar at høgda midt i opninga er 220 cm, og at breidda ved bakken er 100 cm.
b Finn f( 25) og f(25). Kva fortel svara?
c Finn breidda av opninga 185 cm over bakken.
5.66 (Eksamen 1P hausten 2021)
Ein nettbutikk vil starte sal av ein ny type ski 1. november 2022. Gå ut frå at funksjonen S gitt ved
Sxxxxx ()0,7559,51200,052 32 =−+≤≤
kan nyttast som ein modell for kor mange par ski S(x) butikken vil kunne selje per veke x veker etter salsstart.
a Kor mange veker vil butikken kunne selje meir enn 5000 par ski ifølgje modellen?
b Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta S 0,(0) () og S 12,(12) ()
Gi ei praktisk tolking av svaret.
5.67 (Eksamen 1P våren 2022)
Ein fabrikk har ein vasstank. Vatnet i tanken skal tappast ut. Gå ut frå at funksjonen V gitt ved
Vx x x ()200020001 40 ,040 2 =−⋅−
kan nyttast som ein modell for kor mange liter vatn V(x) som er tappa ut av tanken x minutt etter at tappinga starta.
a Bestem V(0). Gi ei praktisk tolking av svaret.
b Bestem verdimengda til V
c Kor lang tid vil det ta før halvparten av vatnet er tappa ut av tanken?
d Bestem stigningstalet til den rette linja som går gjennom punkta V 0,(0) () og V 30 ,(30) ()
Gi ei praktisk tolking av svaret.
e Undersøk om det nokon gong vil bli tappa ut meir enn 105 liter vatn i løpet av eitt minutt.
5.68 (Eksamen 1P hausten 2022)
def f(x): return 3*x - 15
x = 0
while x <= 10: if f(x) == 0: print(x) x = x + 1
Lars har laga programmet ovanfor.
a Kva ønskjer han å finne ut?
Kva blir resultatet når han køyrer programmet?
b Kva vil resultatet bli om han endrar funksjonsuttrykket til xx68 2 −+ ?
Lars endrar funksjonsuttrykket til x 144 2 4 og ser at han må gjere noko med programmet.
c Føreslå endringar Lars kan gjere.
5.69
Eit vendepunkt på grafen til ein funksjon er eit punkt der grafen går frå å vende hol side opp til å vende hol side ned, eller motsett.
Vi har teikna grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved
fxxxx ()34 2 32 =−++−
a Bruk glidar og legg inn eit punkt Pafa ,( ) () og ein tangent til grafen i punktet. Undersøk kvar den momentane vekstfarten er størst. Kommenter svaret.
b Teikn grafen til funksjonane g og h gitt ved
gxxxx hxxx () 69 ()23 32 32 =−+− =−+
Prøv å lese av vendepunkta på grafane til funksjonane på augemål.
Kontroller med kommandoen Vendepunkt(Polynom).
c Gjenta oppgåve a for funksjonane g og h. Kommenter.
d Eit generelt tredjegradspolynom er på forma
ixaxbxcxda () , 0 32 =+++≠
I reknearket nedanfor er a og b tala som er gonga med høvesvis x3 og x2
I kolonne E reknar vi ut b a3 4
I kolonne F samanliknar vi verdien vi får i kolonne E, med x-koordinaten til vendepunktet. Er dei like, skal det stå «Ja», og er dei ulike, skal det stå «Nei». Fyll inn resten av reknearket. Du skal skrive inn tal i dei gule cellene og formlar i dei lyseblå cellene.
e Kva for ein formel trur du vi kan bruke for å finne x-koordinaten til vendepunktet på grafen til ein tredjegradsfunksjon?
5.70
Diagrammet viser korleis gjennomsnittshøgda for norske rekruttar har utvikla seg.
a Lag ein modell for gjennomsnittshøgda h(x) cm x år etter 1900.
b Vis eit rimeleg gyldigheitsområde for modellen.
5.71 (Eksamen 1P hausten 2023)
Klassen til Maria og Martin arbeider med oppgåva nedanfor.
Eit rektangel er innskrive i ein likebeint, rettvinkla trekant.
Trekanten har hjørne i punkta A( 6 , 0), B(6 , 0) og C(0 , 6).
Punktet P er eit hjørne i rektangelet og ligg på linjestykket BC
Bestem koordinatane til punktet P slik at arealet av rektangelet blir størst mogleg.
Martin og Maria diskuterer korleis dei skal komme i gang, og vurderer ulike strategiar.
Skal vi begynne med å prøve oss litt fram? Vi lagar ei oversikt som viser arealet av ulike rektangel.
Ja, det kan vi gjere. Vi kan starte med å velje x = 1. Då blir y = 5 fordi y = 6 x
Korleis kan du sjå det? Og korleis kan vi finne arealet dersom vi veit at x = 1 og y = 5?
Eg kan vise deg det! Hugs kva vi har lært om rette linjer.
Eg trur også vi bør setje opp eit funksjonsuttrykk som viser arealet, og teikne ein graf.
Då kan vi bruke funksjonen til å vise at det vi kjem fram til når vi prøver oss fram, er rett.
Ta utgangspunkt i samtalen mellom Martin og Maria, og løys oppgåva klassen har fått.
5.72
Ein kommune ønskte i 2015 å undersøkje kor mange sekstenåringar det vil vere i kommunen ved skulestart i 2030. Det skulle ein bruke til å vurdere om kapasiteten ved den lokale vidaregåande skulen er stor nok då.
a I 2015 var det 209 eittåringar i kommunen.
Visste dei då kor mange sekstenåringar det blir i 2030? Grunngi svaret.
Tabellen nedanfor viser utviklinga i talet på 16-åringar i kommunen over tid.
År etter 2000 0123456789101112131415
Kor mange 16-åringar 185207217248239262288268260286273274293285274243
Ein prognose er ei føreseiing om eller berekning av korleis noko vil utvikle seg.
b Bruk tabellen ovanfor til å lage ein prognose for kor mange sekstenåringar det vil vere i kommunen ved skulestart i 2030. Vurder kor sikker prognosen er.
I 2025 bestemmer kommunen seg for å revidere berekninga dei gjorde i 2015. No kjenner dei også talet på sekstenåringar frå åra 2016–2024, sjå tabellen nedanfor.
Årstal 201620172018201920202021202220232024
Kor mange 16-åringar 238280246270255239277253260
c Juster modellen frå oppgåve b ved at du også tek inn dei nye opplysningane frå åra 2016–2024, og lag ein ny prognose for kor mange sekstenåringar det vil vere ved skulestart i 2030.
d Kommunen har tilgang til befolkningsdata om fleire årsklassar enn sekstenåringane.
Korleis kunne dei ha brukt data frå fleire årsklassar til å lage ein sikrare prognose?
e Tenk deg at du er kommuneplanleggjar i kommunen din. Søk opp data om folketalet i kommunen. Lag to prognosar for behovet ti år fram i tid. Den eine prognosen gjeld barnehageplassar, og den andre gjeld skuleplassar for ungdomsskulen. Diskuter kva for ein prognose som vil bli den mest usikre.
SAMANDRAG
Polynomfunksjonar
Funksjonsuttrykket til ein polynomfunksjon består av fleire ledd. Kvart ledd er eit tal multiplisert med variabelen opphøgd i eit ikkje-negativt heiltal. Eksponenten til den høgaste potensen av variabelen bestemmer graden.
Andregradsfunksjonar
Alle andregradsfunksjonar kan vi skrive på forma
fxaxbxc () 2 =++
der a, b og c er tal og a må vere forskjellig frå null. Grafen til ein andregradsfunksjon kallar vi ein parabel.
Dersom a > 0, har grafen eit botnpunkt.
Dersom a < 0, har grafen eit toppunkt.
Den vertikale linja som vi kan teikne gjennom toppunktet eller botnpunktet, kallar vi symmetrilinja.
Tredjegradsfunksjonar
Alle tredjegradsfunksjonar kan vi skrive på forma
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
der a, b, c og d er tal og a må vere forskjellig frå null.
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Ei stålkule blir send oppover ei renne. Figuren viser kor langt kula er frå utgangspunktet målt i meter, som ein funksjon av tida målt i sekund.
a Kor langt frå utgangspunktet er kula etter 3,0 s?
b Når er kula 0,5 m frå utgangspunktet?
c Kva er definisjonsmengda og verdimengda for avstandsfunksjonen s?
d Kva er koordinatane til toppunktet på grafen? Kva fortel svaret?
e Kva er gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [0 , 6]? Kva fortel svaret om rørsla?
f Kva er forteiknet på den momentane vekstfarten etter 4,0 s?
Gi ei praktisk tolking av svaret.
Oppgåve 2
Punktet P kan bevege seg på grafen til funksjonen f gitt ved
fxxx ()20,5,04 =− < <
a Lag ein modell for arealet av det markerte området på figuren.
b Kva er det største arealet området kan få?
Oppgåve 3
Funksjonen g er gitt ved gxxx()31 3 =−−
a Teikn grafen til g saman med den rette linja gjennom topp- og botnpunktet.
b Linja skjer grafen til g i eit tredje punkt. Finn koordinatane til dette punktet.
c Beskriv plasseringa av punktet i oppgåve b i forhold til toppunktet og botnpunktet.
d Undersøk om samanhengen i oppgåve c gjeld for alle tredjegradsfunksjonar.
Oppgåve 4
Ei bedrift har undersøkt samanhengen mellom produksjonskostnader og talet på produserte og selde einingar. Tabellen nedanfor viser resultatet.
Kor mange einingar
3657100150
Produksjonskostnader (kr) 720010 00022 00047 000
a Finn ein modell for produksjonskostnadene.
b Bruk modellen til å anslå kostnadene ved produksjon av 80 einingar og ved produksjon av 200 einingar.
c Kva for eit av resultata i oppgåve b bør du ha størst tillit til? Forklar.
d Kor mykje er produksjonskostnadene i ferd med å auke per eining når bedrifta produserer 100 einingar?
Bedrifta reknar med å kunne ta ein pris på mellom 200 kr og 250 kr per eining.
e Lag ulike modellar for overskotet.
f Kva er det største moglege overskotet bedrifta kan få?
Potensar og røter
6A Potensar 252
6B Store og små tal 264
6C Potensfunksjonar 274
6D Omvend proporsjonalitet 279
6E Røter og rotfunksjonar 286
Kva for eit tal er det største vi kjenner til?
Vi anslår at det er «berre» 60 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 atom i vårt synlege univers.
Det finst større tal. Éin googol er til dømes 10100, og har hundre nullar.
Vidare er éin googolplex 1010100 , som har éin googol nullar!
Og det tek aldri slutt. Uansett kor stort tal du føreslår som det største, får vi eit tal som er større ved til dømes å leggje til 1.
Potensar
Multiplikasjon av potensar
Potensane 45 og 43 har same grunntal, men ulik eksponent.
444444 4444 5 3 =⋅⋅⋅⋅ =⋅⋅
Dersom vi gongar dei to potensane, får vi ein ny potens med same grunntal.
44(44444)(444)444444444 53 8 ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
Vi ser at den nye eksponenten er summen av dei opphavlege (5 + 3 = 8).
Dette gjeld generelt når vi gongar potensar med same grunntal.
aaapqpq ⋅⋅= = ++ ❶
DØME 1
Rekn ut. a 22234 ∃∃ b xx 335248 ∃∃∃
a Her har vi same grunntal i alle potensane. Då kan vi leggje saman eksponentane. 22 2 222 2 2 34314 314 8 ⋅⋅=⋅⋅ = = ++
2 kan vi skrive som 21
b Her har vi har potensar med ulike grunntal. For å få betre oversikt samlar vi potensar med same grunntal før vi reknar ut. xxxx x x 333 3 3 3 52485428 5428 910 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ =⋅ =⋅ ++
6.1
Rekn ut.
6.2
Rekn ut.
6.3
Potensen 26 kan vi skrive som eit produkt av toarpotensar på fleire måtar.
Eitt døme er 23 22 2.
Kva andre måtar klarer du å finne?
Divisjon av potensar
Dersom vi deler potensen 45 med potensen 43, får vi også ein potens med same grunntal. Det kan vi sjå ved å skrive som ein brøk og forkorte.
Den nye eksponenten er differansen mellom dei opphavlege (5 3 = 2). Dette gjeld generelt når vi deler potensar med same grunntal.
DØME 2
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
a Vi kan rekne ut teljar og nemnar kvar for seg før vi utfører divisjonen.
Alternativt kan vi kombinere regel ❶ og regel ❷ i éin operasjon.
b Vi samlar potensar med same grunntal før vi reknar ut.
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
6.6
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
Kva om eksponenten er null?
Vi ser på divisjonen 43 : 43.
Svaret må bli 1 fordi vi deler eit tal med seg sjølv. Men dersom vi bruker regelen aaapqpq := , får vi
4444 33330 :==
Dersom rekneregelen skal gjelde, må 40 og 1 vere det same talet. Dersom vi generelt definerer at potensar med 0 som eksponent er lik 1, så vil regelen aaapqpq := gjelde også når p = q
= 1 (a ≠ 0)
Det vil seie at alle tal opphøgd i 0 er lik 1. Det einaste unntaket er 00, som vi ikkje definerer.
Kva om eksponenten er negativ?
Vi ser på divisjonen 43 : 45
Skriv vi divisjonen som brøk og forkortar, får vi
Dersom vi bruker regelen aaapqpq := , får vi
4444 35352 :==
Det vil seie at 4 2 4 må vere ein annan skrivemåte for brøken 1 42
Generelt definerer vi derfor potensar med negativ eksponent som brøkar.
DØME 3
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
222385 ⋅⋅
a Vi bruker regel ❶ og legg saman eksponentane.
38(5)5(5)550 −++++−−==++−−==−−=
b Vi bruker regel ❷ og trekkjer eksponenten i nemnaren frå eksponenten i teljaren.
Å trekkje frå eit negativt tal er det same som å leggje til det motsette talet.
6.7
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
222945 ⋅⋅
6.8
Rekn ut. Skriv svaret både som ein potens og som ein brøk.
6.9
Rekn ut. Skriv svaret som ein potens.
SNAKK
Læraren ber klassen skrive 2 4 4 2 4 4 så enkelt som mogleg. Laura reknar slik: 2 4 4 2
Forklar korleis Laura kan ha tenkt. Finn du andre måtar å løyse oppgåva på?
DØME 4
Skriv tala i stigande rekkjefølgje.
Vi skriv potensane som heiltal eller desimaltal, for då er det enklare å sortere.
Sortert i stigande rekkjefølgje får vi
6.10
Skriv tala i stigande rekkjefølgje.
220,163 12101 444 4
6.11
Skriv som desimaltal eller heiltal.
Når grunntalet er samansett
Vi ser på potensen (4 ⋅ 5)3. Her er grunntalet eit produkt.
Vi ser at begge faktorane får eksponenten 3.
Dette gjeld generelt når grunntalet er eit produkt.
abab() ppp⋅⋅==⋅⋅
Så ser vi på potensen 4 5 3 ⎛
⎟ . Her er grunntalet ein brøk.
Vi ser at både teljaren og nemnaren får eksponenten 3. Dette gjeld generelt når grunntalet er ein brøk.
Til slutt ser vi på potensen 45 3() . Her er grunntalet ein potens.
4444444 5 3 5555555315 () =⋅⋅=== ++⋅
Vi ser at den nye eksponenten er produktet av dei opphavlege eksponentane. Dette gjeld generelt når grunntalet er ein potens. aa p q pq ( () ) == ❺
DØME 5
Rekn ut. Kontroller med CAS.
Uttrykket består av potensar med samansette grunntal, så vi må bruke reglane ❸, ❹ og ❺ før vi kan bruke reglane ❶ og ❷
❸ og regel ❹
Med CAS:
Vi skriv inn uttrykket og klikkar på
Merk! (2x)3 er ikkje lik 2x3
6.12
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg. a (4x)2 b (2b)0 c (2xy)3
6.13
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
DØME 6
6.14
Rekn ut. Skriv svaret som ein potens.
6.15
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
6.16
Bruk CAS til å rekne ut. Vis at du kan få same resultat ved å bruke potensreglane.
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
Her har ikkje potensane same grunntal. For å komme vidare skriv vi 25 som 52 og 10 som 5 2.
Det gir
6.17
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
SNAKK
Du har no vore gjennom fleire reknereglar og definisjonar som er knytte til potensar. Sjå ramma nedanfor. Forklar innhaldet i reknereglane og definisjonane med dine eigne ord.
Reknereglar
RAUDE OPPGÅVER
6.18
Rekn ut.
6.19 Rekn
6.20
Rekn
6.21
Rekn ut.
6.22
Skriv som brøk og som desimaltal.
6.23
Rekn ut.
6.24
Rekn
6.25
Bruk potensreglane til å rekne ut. Kontroller svaret med CAS.
BLÅ OPPGÅVER
6.26
Bruk potensreglane til å rekne ut. Skriv så enkelt som mogleg. Kontroller med CAS.
a ab ab 2 2 3 4 2 32 3 ()() () ⋅ ⋅ b a 3 22 3 () ⋅ c aa22 22 3 21 4()() ⋅ d aa a nn n 2 2 2 2 () () ⋅
6.27
Rekn ut. Skriv så enkelt som mogleg.
a 44nn ∃ b 333 nnn 22 c aa a 22 16 3 2 4 () ⋅ d aab ab 42 3 32 2 () () ⋅
6.28
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg. a 2212 + b 416 1 ⋅ c a a 2 3 2 4 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ d 22 2 1212 6 +
6.29
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg. a 210310410510 2102 ⋅+⋅+⋅+⋅ b 629311 c 188132 ⋅ d
6.30 Vis at 100,0110 nn 2 =⋅
6.31
a Skriv tala som eit produkt der éin av faktorane er eit kvadrattal, det vil seie eit tal på forma n2 1 20 2 48 3 50 4 54
b Skriv tala som eit produkt der éin av faktorane er eit kubikktal, det vil seie eit tal på forma n3 1 16 2 48 3 54 4 128
6.32
Avgjer kva som er størst av 275 og 350
6.33 (Eksamen 1P hausten 2021)
Grunngi kvifor xx23 } når x < 0.
Store og små tal
Undersøkingar har vist at mange skrollar 460 000 m i løpet av tenåra.
Professor John Ugelstad (1921–1997) fann opp Ugelstad-kulene. Dette er kuler med ein diameter på 0,000 0002 m. Kulene blir brukte til å behandle enkelte typar kreft.
Døma ovanfor viser at når vi skal skrive store og små tal, blir tala ofte veldig «lange». Vi treng ein meir praktisk skrivemåte. Då får vi bruk for potensar av 10.
6.34
Skriv som potens med 10 som grunntal.
a 1 000 000
b 0,001
c 0,000 001
6.35
Skriv som potens med 10 som grunntal.
a Hundre tusen
b Éin tidel
c Éin milliard
Standardform
Vi vil skrive tala 460 000 og 0,000 000 2 ved hjelp av tiarpotensar. Det kan vi gjere på fleire måtar.
På siste linja er tala skrivne på standardform. Den eine faktoren er då ein tiarpotens, og den andre eit tal som er større enn eller lik 1 og mindre enn 10.
Oppsummert:
Mange skrollar 4,6 105 m i løpet av tenåra, og ei Ugelstad-kule har ein diameter på 2 10−7 m.
Vi kan skrive alle tal på standardform
a 10 n ± ±⋅⋅
der a er større enn eller lik 1 og mindre enn 10 og n er eit heilt tal.
DØME 7
Skriv tala på standardform.
a 640 000
b 0,0024
a 6400006,4100000
6,4 10 5 =⋅ =⋅
b 0,00242,4:1000 2,4 10 3 = =⋅
640 000 = 6,4 · 105
5 plassar mot venstre 0,0024 = 2,4 · 10–3
3 plassar mot høgre
6.36
Skriv tala på standardform.
a 600 000 b 38 000 000 c 250 000 d 200
e 0,004 f 0,000 012 g 120 000 h 0,000 15
6.37
Eit menneskehår har ein gjennomsnittleg tjukkleik på omtrent 0,000 07 m.
Skriv tjukkleiken av eit menneskehår på standardform.
6.38
Skriv som vanlege tal.
a 3,5 106
b 7,510 4 ⋅
c 9,5 107
d 3,53105 ∃
6.39
Skriv på standardform.
a Tre hundre og femti tusen
b Fem tusendelar
c Tolv millionar
d Tre milliondelar
6.40 (Eksamen 1P hausten 2024)
Forskarar har komme fram til at det er omtrent 20 billiardar maurar på jorda.
Ein billiard er tusen millionar millionar.
a Skriv 20 billiardar på standardform.
I ei normalt stor maurtue er det mellom 200 000 og 300 000 maurar.
Gå ut frå at ein maur veg mellom 7 mg og 9 mg.
b Omtrent kor mange kilogram veg alle maurane i ei normalt stor maurtue til saman?
6.41
Kva for nokre av tala er skrivne på standardform?
Skriv dei tala som ikkje alt er det, på standardform. a 0,5 ⋅ 103 b 2,5 ⋅ 10 5 c 27 ⋅ 103 d 2,0005 ⋅ 106
6.42
Undersøkingar har vist at ein del ungdommar sender 600 snappar kvar dag.
Kor mange snappar sender dei då kvart år?
Skriv svaret på standardform.
DØME 8
Standardform og digitale verktøy
Når du reknar med tal på standardform med digitale verktøy, vil skrivemåten variere. Vi listar opp nokre variantar, som alle tyder 3 500 000, skrivne på standardform:
Bak komma skriv vi inn kor mange gjeldande siffer vi vil ha i svaret.
Rekn ut og skriv svaret på standardform. Kontroller med CAS. 80004,510 0,002 4 ∃∃
Vi skriv tala på standardform.
Vi sorterer tal og tiarpotensar kvar for seg.
Potensregel ❶ og ❷
Svaret er førebels ikkje på standardform.
Med CAS: eller
6.43
Rekn ut og skriv svaret på standardform. Kontroller med CAS. a 200 000 ⋅ 40 000 b 8,01051036 ⋅⋅⋅
c 0,00020,000015 0,001 ∃ d 6410 3,210 3 2 ⋅ ⋅
6.44
Rekn ut. Skriv svaret på standardform. a 0,004 2000 b 1010 2000 1516 2
c 0,045 200 000 d 7,5 4 103 5
6.45
Rekn ut. Skriv svaret på standardform.
a 8,0105,010 56 ⋅+⋅
b 0,0004 450 000
c 200000810 0,004 4 +⋅
6.46
Ein dag før jul blei det gjennomført 7,2 millionar betalingar med kort.
Kvar betaling var i gjennomsnitt på 400 kr.
Kor mykje var kortbetalingane på til saman denne dagen?
Oppgi svaret på standardform i milliardar kroner.
6.47
Natta til 1. januar frå kl. 00.15 til 01.30 blei det eit år i gjennomsnitt sendt 1250 snappar per sekund.
Kor mange snappar blei det til saman sendt i dette tidsrommet?
Gi svaret på standardform.
6.48
Direktoratet for samfunnstryggleik og beredskap (DSB) sende i 2024 ut ein brosjyre til alle norske husstandar. Der stod det mellom anna at ein burde ha lagra 9 L vatn per person. Det var omtrent 5,6 millionar innbyggjarar i Noreg i 2024. Kor mykje vatn vil til saman stå lagra i norske heimar dersom vi går ut frå at alle følgjer dette rådet? Skriv svaret på standardform.
6.49 (Eksamen 1P våren 2023)
mange maurar som menneske på jorda. Omtrent kor mange maurar er det på jorda? Skriv svaret på standardform.
DØME 9
Prefiks
Du har sett at vi kan bruke prefikset k (kilo) for å lage meir høvelege einingar som til dømes kg og kW i staden for g og W. Tabellen nedanfor gir ei oversikt over prefiks du kan ha bruk for når tala blir svært store eller svært små.
T tera1012
1 000 000 000 000billion
G giga109 1 000 000 000milliard
M mega106 1 000 000million
k kilo103 1000 tusen
h hekto102 100 hundre
da deka101 10 ti 100 1 éin
d desi10−1 0,1 tidel
c centi10−2 0,01hundredel
m milli10−3 0,001tusendel
μ mikro10−6 0,000 001milliondel
n nano10−9 0,000 000 001milliarddel
p piko10−12 0,000 000 000 001billiondel
Energi blir målt i joule (J). Kor mange J er 15 TJ?
Tabellen fortel at T står for tera, som vil seie 1012 (billion). Vi får altså
15TJ1510J15000000000000J 12 T =⋅=
DØME 10
Ein bakterie er 1,5 μm lang.
Oppgi lengda av bakterien i meter og i millimeter.
Tabellen fortel at μ står for mikro, som vil seie 10 6 (milliondel).
1,5m1,510m 0,000 0015m 0,0015mm 6 μ=⋅ = = μ
Lengda av bakterien er 0,000 0015 m eller 0,0015 mm. 1 m = 1000 mm
DØME 11
Elektrisk effekt blir målt i watt (W).
Kor mange MW er 3 400 000 000 W?
Tabellen fortel at M står for million, så vi skriv 3 400 000 000 som eit produkt der 1 000 000 er ein faktor.
6.50
Skriv med meter (m) som eining.
a 4 km
b 4 mm
c 4 nm
d 4 μm
6.51
Skriv med joule (J) som eining.
a 2 kJ
b 0,3 MJ
c 10,8 GJ
d 0,03 TJ
6.52
a Kor mange W er 6 MW?
b Kor mange kW er 6 MW?
c Kor mange MW er 8 000 000 W?
d Kor mange GW er 14,5 MW?
6.53
Ein mobiltelefon har eit minne på 128 GB (gigabyte).
Kor mange MB (megabyte) er det?
RAUDE OPPGÅVER
6.54
Kva for tal er lik 240 000?
6.55
Skriv som vanlege tal.
a 3,5 103 b 7,5 106
6.56
Rekn ut. Skriv svaret på standardform. a 0,002 500 000 b 0,05 8 103
6.57
Rekn ut. Skriv svaret på standardform og som desimaltal. a 4,510 9,0100,510 8
6.58
I desember selde kafeen på kjøpesenteret 7200 liter kaffi.
Kor mange koppar med kaffi selde kafeen når kvar kopp rommar 1,5 dL?
6.59
Vi går ut frå at eit menneskehjarte i gjennomsnitt slår 60 slag per minutt. Kor mange slag vil hjartet slå i løpet av 50 år?
Skriv svaret på standardform.
6.60
Elektrisk spenning blir målt i volt (V).
a Kor mange V er 1,2 kV?
b Kor mange V er 1600 mV?
c Kor mange kV er 700 V?
d Kor mange mV er 0,8 kV?
6.61
Susanne skal ha 3 g smertestillande medisin per døgn. Det skal fordelast likt på to dosar. Kor mange tablettar må Susanne ta per dose når kvar tablett inneheld 500 mg av den smertestillande medisinen?
BLÅ OPPGÅVER
6.62
Rekn ut. Skriv svaret på standardform. a 2,510610 0,01510 32 3 ⋅⋅⋅ b 800200 0,0210 3 3 ⋅ ⋅ c 4,510610 0,0001 45
6.63
Rekn ut. Skriv svaret på standardform. a 3 104 + 2
6.64
Ein bakteriekultur doblar seg kvart 15. minutt.
I starten var det 1000 bakteriar i kulturen.
a Forklar at bakterietalet i kulturen etter éin time er 24 1000.
b Kor mange bakteriar er det i kulturen etter tre timar? Gi svaret på standardform.
6.65
Adrian drikk vanlegvis éi halvlitersflaske brus kvar dag.
Brusen har eit energiinnhald på 167 kJ per 100 mL.
a Kor mykje energi gir éi halvlitersflaske av brusen Adrian drikk?
b Kor lang tid tek det før Adrian har fått i seg 1 GJ energi frå brusen?
6.66
Etter eit kraftig regnvêr oppdagar Julie at det dryp frå taket.
Det kjem éin drope vatn kvart fjerde sekund. Kl. 8.35 set ho fram eit litermål som fangar opp vatnet. Vi går ut frå at 1 mL vatn svarer til 20 dropar.
Når har det blitt samla opp 2 dL vatn i litermålet?
6.67
Kari har diabetes og må få tilført hormonet insulin jamleg.
I kvar dose er det omtrent 3 ⋅ 1016 insulineiningar.
Insulin veg 5736 g per mol.
Eitt mol er 6,02 ⋅ 1023 einingar.
Kor mykje veg insulinet i éin dose? Gi svaret med mikrogram som eining.
DØME 12
Potensfunksjonar
Funksjonane f og g gitt ved fxx ()3 5 = og gxx ()2 3,4 | er døme på potensfunksjonar. Legg merke til at variabelen er grunntalet i ein potens, og at funksjonsuttrykket har berre eitt ledd.
Ein potensfunksjon kan vi skrive på forma
f(x) = a · xb
der x > 0 og a b ,0 ∝∝ .
Tanja investerte 250 000 kr i eit fond for to og eit halvt år sidan. No blir avtalen avslutta, og Tanja får overført verdien av investeringa til bankkontoen sin.
a La x vere vekstfaktoren som svarer til den gjennomsnittlege avkastninga i prosent per år. Set opp eit uttrykk for kor mykje Tanja får overført til bankkontoen sin, f(x) kr.
b Kor stor har den gjennomsnittlege avkastninga per år i prosent vore dersom Tanja får 400 000 kr overført til bankkontoen sin?
a Vi bruker det vi veit om prosentvis vekst. Det gir oss potensmodellen
fxx ()250000 2,5 =⋅
N = G · Vt
b Vi set funksjonsverdien lik 400 000 og får ei likning.
Vekstfaktoren er 1,21.
Avkastninga har derfor i gjennomsnitt vore 21 % per år.
6.68
Tormod investerte 650 000 kr i eit fond for 3,5 år sidan.
No blir verdien av investeringa overført til bankkontoen hans.
a La x vere vekstfaktoren som svarer til den gjennomsnittlege avkastninga i prosent per år, og la f(x) kr vere beløpet som blir overført til Tormod. Set opp eit uttrykk for f(x).
b Kor stor har den gjennomsnittlege avkastninga i prosent per år vore dersom Tormod får overført éin million kroner til bankkontoen sin?
c Gjenta oppgåve a og b, men la no x vere vekstfaktoren som svarer til den gjennomsnittlege avkastninga i prosent per månad.
6.69
Høgda av ein prydbusk er gitt ved funksjonen
hxx ()0,8 0,4 | , x 06 ιι
Her er h(x) høgda i meter x år etter at prydbusken blei sådd som eit frø.
a Kor høg var prydbusken etter eitt år?
b Etter kor mange år har prydbusken vakse til 1,4 m?
c Kor mykje voks prydbusken det fjerde året?
6.70
Funksjonane f, g og h er gitt ved fxx gxx hxx () () () 1,7 1,7 0,7 = = =
På figuren ser du grafen til tre funksjonar.
a Avgjer kva for ein graf som høyrer til kva for ein funksjon.
b Dei tre grafane skjer kvarandre i eitt punkt. Kva er koordinatane til dette punktet?
DØME 13
Tabellen viser lengda og massen av alligatorar som er fanga og målte i Florida, USA.
Lag ein modell for samanhengen mellom lengda x meter og massen m kilogram.
Vi legg inn x-verdiane i kolonne A og m-verdiane i kolonne B. Vi ser at ein potensmodell passar godt, og vel Potens i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell.
Modellen er gitt ved mxx ()2,75 3,52 =⋅
6.71
For planetane i solsystemet vårt viser tabellen gjennomsnittsavstanden til sola og omløpstida (tida for éin runde) omkring sola. Vi lèt omløpstida vere
T(x) år når gjennomsnittsavstanden til sola er x milliardar km.
a Finn ein potensfunksjon som passar til tala i tabellen.
b Dvergplaneten Pluto hadde status som den niande planeten i solsystemet vårt fram til 2006. Pluto har gjennomsnittsavstanden 5,91 milliardar km til sola. Bruk modellen til å anslå omløpstida for Pluto.
Skildre skilnaden mellom ein potensfunksjon og ein
a eksponentialfunksjon
b polynomfunksjon
Gi to døme på potensfunksjonar og to døme på funksjonar som ikkje er potensfunksjonar.
RAUDE OPPGÅVER
6.72
Kva er den perfekte koketida for eit blautkokt egg? Dette er det forska på, og på eit engelsk universitet kom dei fram til at koketida T(m) sekund for eit egg på m gram er gitt ved
T(m) = 18,6 m0,664
a Teikn grafen til T for 40 ≤ m ≤ 56.
b Finn den perfekte koketida for eit egg på 50 gram.
c Kor mykje lengre er perfekt koketid for eit egg på 55 gram enn egget i oppgåve b?
d Finn den gjennomsnittlege vekstfarten i intervallet [50 , 55]
Kva fortel svaret?
e Finn den momentane vekstfarten for m = 48.
Kva fortel svaret?
6.73
Ofte er det slik at salet av ei vare går ned når prisen på vara går opp. Undersøkingar viser at salet S(x) per månad av ei bestemt vare er gitt ved Sxx () 40000 0,85 =⋅ , der x er prisen i kroner. Modellen gjeld for x [80,100]∴
a Rekn ut salet når prisen er 90 kr.
b Kor mange prosent går salet ned dersom prisen aukar frå 90 kr til 100 kr?
c Kor mange prosent vil salet auke dersom prisen blir sett ned frå 90 kr til 80 kr?
BLÅ OPPGÅVER
6.74
Ein bestemt vassleidning har eit vasstrykk på 5 atmosfærar (atm).
Dersom det går hol på denne leidningen, vil vassmengda som renn ut per veke, vere gitt ved fxx ()11,56 1,78 =⋅ , der x er diameteren på holet i mm. Eininga til f(x) er m3/veke.
a Kor mykje vatn renn det ut per månad frå eit hol som har ein radius på 1,0 mm?
b Finn diameteren på holet når det renn ut 200 m3/veke.
c Kor mange prosent aukar vasstapet dersom diameteren på holet aukar med 10 %?
6.75
Når tøy blir sentrifugert, blir det delvis tørt. Kor tørt tøyet blir, er avhengig av omdreiingsfarten på sentrifugen. Når omdreiingsfarten x er oppgitt i omdreiingar per minutt, er restfukta f(x) i prosent gitt ved fxxx ()4600,[500,1500] 0,63 =⋅∈ .
Finn prosentendringa i restfukta når omdreiingsfarten blir auka med 20 %.
DØME 14
Omvend proporsjonalitet
Dersom vi set eksponenten i ein potensfunksjon lik 1, får vi
fxaxa x a x () 1 1 1 =⋅=⋅=
For positive verdiar av a og x skildrar denne funksjonen eit spesialtilfelle som har mykje å seie i praksis. Det er nemleg slik at dersom variabelen x aukar til det dobbelte, så går funksjonsverdien f(x) ned til det halve. Figuren viser eit døme.
Legg også merke til at produktet av x og f(x) i alle punkt på grafen blir det same. Vi seier at f(x) og x er omvend proporsjonale storleikar.
Når y og x er omvend proporsjonale storleikar, kan vi skrive y a x || eller xya ⋅⋅= = der a er eit tal.
Hans Jacob betaler 600 kr for eit dagskort i alpinbakken.
a Forklar at prisen per tur er omvend proporsjonal med talet på turar
b Lag ein modell som viser korleis prisen per tur varierer med kor mange turar det er.
a Dersom Hans Jacob køyrer éin tur, er prisen per tur 600 kr.
Køyrer han to turar, er prisen per tur 600 2 kr300kr | .
Køyrer han fire turar, er prisen per tur 600 4 kr150kr |
Og slik held det fram. Sidan prisen per tur blir halvert når talet på turar blir dobla, er dette omvend proporsjonale storleikar
b Vi lèt P(x) kr vere prisen per tur når han køyrer x turar. Då får vi
6.76
Nanna planlegg ein fest der dei som blir med, må spleise på leige av lokalet. Ho noterer i ein tabell kva kvar enkelt må betale i nokre tilfelle. 4
a Kva kostar lokalet Nanna har tenkt å leige?
b Skriv av og fyll ut resten av tabellen.
c Kva må kvar enkelt betale dersom det kjem 16 personar?
d Kva kan du seie om prisen per person dersom talet på dei som kjem, blir dobla?
e Kva kallar vi samanhengen mellom kor mange personar som spleisar, og det dei må betale for å bli med?
La P(x) kr vere det kvar enkelt må betale dersom det deltek x personar.
f Finn funksjonsuttrykket til P. Teikn grafen og bruk han til å kontrollere svara dine på oppgåvene ovanfor.
6.77
Eit treningsstudio har laga figuren nedanfor for å illustrere samanhengen mellom talet på treningar og prisen per trening for dei som er medlemmer.
Pris per trening i kroner
Tal på treningar per månad
a Forklar at dette er eit døme på omvend proporsjonale storleikar.
b Kor mykje kostar det å vere medlem?
La P(n) kr vere prisen per trening dersom ein medlem trenar n gonger per månad.
c Finn funksjonsuttrykket P(n).
DØME 15
6.78 (Eksamen 1P våren 2023)
Gi eit døme på ein praktisk situasjon der to storleikar er omvend proporsjonale.
Grunngi at storleikane er omvend proporsjonale. Teikn ein graf som viser samanhengen mellom storleikane.
Vis at x og y er omvend proporsjonale storleikar, og finn ein formel for y x 2 31045 y 4530 9 2
Vi utvidar tabellen med ei rad til og reknar ut produktet av samanhøyrande verdiar for x og y x 2 31045 y 4530 9 2 x · y 90909090
x og y er omvend proporsjonale fordi produktet av dei er eit fast tal.
Vi får ein formel for y ved å dele med x på begge sider i formelen xy 90 ⋅=
Då får vi y x 90 | .
6.79
Undersøk om x og y er omvend proporsjonale storleikar, og lag i så fall ein formel for y a x 1234 y 8432 b x 12346 y 2412864
SNAKK
Proporsjonalitet eller omvend proporsjonalitet?
I kapittel 1 lærte du om proporsjonale storleikar. Forklar skilnaden på proporsjonale storleikar og omvend proporsjonale storleikar.
Gi to døme på storleikar som verken er proporsjonale eller omvend proporsjonale.
6.80 (Eksamen 1P hausten 2024)
Nedanfor kan du lese om tre situasjonar. Fullfør siste setning i kvar skildring ved at du set inn teksten som står i ei av rutene nedanfor.
proporsjonale storleikar
omvend proporsjonale storleikar verken proporsjonale eller omvend proporsjonale storleikar
Hugs å argumentere for alle tre svara dine.
Situasjon A
Det kostar 2200 kr å leige ei badstove. Kor mange personar som er med på å betale leiga, og prisen per person er ...
Situasjon B
Når du kjøper brus, kan du ta tre flasker og betale for to. Kor mange flasker du kjøper, og prisen du betaler for alle flaskene, er ...
Situasjon C
Kor mange porsjonar vaffelrøre du lagar, og mengda mjøl du treng, er ...
6.81 (Eksamen 1P hausten 2023)
Ohms lov seier at straumen (I) gjennom ein metallisk leiar med konstant temperatur er proporsjonal med spenninga (U) og omvend proporsjonal med motstanden (R) i leiaren.
Argumenter for om kvar av påstandane er sann eller usann.
1 Dersom vi aukar spenninga, vil straumen også auke.
2 Dersom vi aukar motstanden, vil straumen også auke.
SNAKK
Per og Kari diskuterer kva for eit tal som skal stå i staden for spørsmålsteiknet i tabellen til høgre.
Per meiner at det skal stå 4, og Kari meiner at det skal stå 4.
Argumenter for at begge kan ha rett. x 23456 y 128?
UTFORSK
Nokre elevar har begynt å lage eit rekneark dei kan bruke til å avgjere om eit datasett er døme på proporsjonalitet eller omvend proporsjonalitet.
I dei blå rutene skriv dei inn tal frå datasettet.
I dei gule og rosa rutene lagar dei formlar.
I dei rosa rutene ønskjer dei å få svaret ja eller nei på spørsmålet som er stilt.
Då er strukturen =HVIS(OG(logisk1;...);SANN;USANN) grei å bruke.
Hjelp elevane med å lage ferdig reknearket.
Rasjonale funksjonar
Det er også mogleg å sjå på funksjonar som skildrar omvend proporsjonalitet, som eit spesialtilfelle av ein annan type funksjonar, som vi kallar rasjonale funksjonar.
Funksjonane f, g og h gitt ved
UTFORSK
er døme på korleis rasjonale funksjonar er bygde opp.
a Funksjonen f er gitt ved fxx x () 33 24 = + f
x blir svært stor? Forklar.
x nærmar seg 2? Forklar.
Bruk kommandoen Asymptote(f).
Prøv å skildre kva ein asymptote er.
b Teikn grafen til f gitt ved fxaxb cxd () = + + med grafteiknar.
La a, b, c og d vere bestemt av ein glidar, og varier verdiane av dei systematisk. Skildre korleis verdien av a, b, c og d påverkar eigenskapane til funksjonen.
RAUDE OPPGÅVER
6.82
Det kostar 24 000 kr å leige ei hytte med 16 sengeplassar i éi veke. a Åtte venner leiger hytta i éi veke. Kor mykje må kvar betale?
b Ti venner leiger hytta i to veker. Kor mykje må kvar betale?
La P kr stå for prisen i kroner som kvar må betale når x personar skal dele på hytteleiga.
c Finn eit uttrykk for P
d For kva verdiar av x gjeld uttrykket du fann i oppgåve c?
6.83
Undersøk om x og y er proporsjonale storleikar, omvend proporsjonale storleikar eller ingen av delane. Finn, dersom det er mogleg, y uttrykt ved x a x 1,52,03,04,0 y 8,06,05,02,5
b x 1245 y 1052,52
6.84 (Eksamen 1P våren 2024)
Ovanfor ser du grafane til fire funksjonar f, g, p og q. proporsjonale.
omvend proporsjonale. Hugs å argumentere for svara dine.
BLÅ OPPGÅVER
6.85
Trond har komme opp i munnleg-praktisk eksamen i naturfag, og temaet er naturvitskapleg metode. Han vel å gjere nokre målingar av straumen gjennom og spenninga over ein elektrisk komponent med fast effekt. Sjå tabellen.
Spenning (volt) 1,52,53,03,5
Straum (ampere) 4,953,122,512,14
a Gjer berekningar og hjelp Trond med å skildre samanhengen mellom straum og spenning i dette tilfellet.
b Hjelp Trond med å lage ein modell som viser korleis spenninga U(I) volt er avhengig av straumen I ampere.
6.86
Formelen v s t | gir samanhengen mellom gjennomsnittsfarten v, strekninga s og tida t
a Vi held v konstant. Kva kallar vi då samanhengen mellom s og t?
b Vi held s konstant. Kva kallar vi då samanhengen mellom v og t?
c Vi held t konstant. Kva kallar vi då samanhengen mellom v og s?
6.87
Kroppsøvingslærarane får inn tilbod på buss til aktivitetsdagen.
Blåbuss AS tilbyr buss for 260 kr per deltakar. Prisen er basert på 35 deltakarar.
Blir det fleire eller færre enn 35 deltakarar, må skulen likevel betale for 35 deltakarar.
a Bruk informasjonen ovanfor til å fylle ut tabellen.
Kor mange deltakarar 21283640
Pris per deltakar (kr)
b Forklar at tilbodet frå Blåbuss AS ikkje er eit døme på omvend proporsjonalitet.
c Lag eit tenkt tilbod frå Grønbuss AS, der prisen per deltakar er omvend proporsjonal med talet på deltakarar.
6.88
Volumet V av ein sylinder med radius r og høgde h er =π Vrh 2 .
Lisbeth har dreidd tre sylinderforma lysestakar der høgdene og diametrane er omvend proporsjonale.
Sylinder A er 16 cm høg og har ein diameter på 10 cm.
Sylinder B er 8 cm høg, og sylinder C har ein radius på 6 cm.
Finn volumet av dei tre lysestakane.
Røter og rotfunksjonar
Røter
25 er eit døme på ei kvadratrot. Vi minner om at kvadratrota av 25 er det positive talet som gonga med seg sjølv blir 25. Derfor er 255 | (og ikkje 5, sjølv om også dette talet gonga med seg sjølv blir 25).
Kvadratrota av eit positivt tal a er det positive talet som gonga med seg sjølv er lik a.
aa 2 ( () ) ==
Vi kan ikkje ta kvadratrota av eit negativt tal.
Utan hjelpemiddel er det lettast å finne kvadratrota av eit tal dersom talet er eit av kvadrattala (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ).
Vi vil utvide rotomgrepet.
8 3 er eit døme på ei kubikkrot (tredjerot).
Kubikkrota av 8 er det talet som gonga med seg sjølv 3 gonger blir 8.
82 3 | fordi 23 = 8
Legg merke til at vi kan finne tredjerota av negative tal.
8 2 3 −=− fordi ( 2)3 = 8
Kubikkrota av eit tal a er det talet som opphøgd i tredje potens er lik a.
aa 3 3 ( () ) ==
DØME 16
Utan hjelpemiddel er det lettast å finne kubikkrota av eit tal dersom talet er eit av kubikktala (1, 8, 27, 64, 125, …).
På tilsvarande måte kan vi definere fjerderot,femterot og så vidare.
n-terota av eit tal a er det talet som opphøgd i n-te potens er lik a.
aa n n ( () ) ==
Dersom n er eit partal, skal både a og a n vere positive tal.
Dersom vi skal kunne finne n-terota av eit tal utan hjelpemiddel, må vi kunne skrive talet som ein potens med n som eksponent.
Finn, dersom det er mogleg, 16 4 og 16 4 4
162 4 | fordi 24 = 16 16 4 4 kan vi ikkje finne, for det finst ikkje noko tal som opphøgd i 4 blir negativt.
Med CAS i GeoGebra finn vi n-terøter med kommandoen nrot(x,n).
Vi finn til dømes 50 5 ved å skrive nrot(50,5) og klikke på
6.89
Rekn ut dersom det er mogleg. a 1000 3 b 32 5 c 32 5 4
6.90
Skriv tala i stigande rekkjefølgje.
6.91
Bruk eit digitalt verktøy til å berekne ein tilnærmingsverdi med to desimalar.
a 10 3
b 17 4
c 64 7 4
d 1,65 12
Reknereglar for røter
Vi tek utgangspunkt i at 10010 | , at 42 | og at 255 |
Sidan 10 = 2 5, har vi då at 100425 =⋅
Men sidan vi kan skrive 100 som 4 25, kan vi skrive
Vi ser her at kvadratrota av eit produkt er produktet av kvadratrøtene av faktorane.
På tilsvarande måte kan vi argumentere for at 4 25 4 25 |
Vi ser her at kvadratrota av ein brøk er kvadratrota av teljaren dividert med kvadratrota av nemnaren.
Dei to reknereglane vi no har sannsynleggjort, gjeld generelt for alle slags røter.
Reknereglar for røter
DØME 17
a Vis at 18 kan formast om til 32 .
b Skriv x 1000 3 3 så enkelt som mogleg.
a Vi faktoriserer 18 slik at den eine faktoren er eit kvadrattal. Sidan 9 er eit kvadrattal, vel vi faktoriseringa 18 = 9 ⋅ 2. Så bruker vi rekneregelen for kvadratrota av eit produkt. Det gir
b Vi bruker rekneregelen for tredjerota av ein brøk. Det gir
6.92
a Vis at 12 kan formast om til 23 b Vis at 8 kan formast om til 22 c Vis at 27 kan formast om til 33 d Vis at 54 3 kan formast om til 32 3
6.93
Skriv så enkelt som mogleg.
Potensar med brøkeksponent
Vi vil at potensreglane frå underkapittel 6A også skal gjelde når eksponentane er brøkar.
Men kva skal til dømes 8 1 3 tyde?
Bruker vi potensregelen aapqpq() = , kan vi rekne slik:
Kubikkrota 8 3 er det talet som opphøgd i tredje potens er lik 8.
Utrekninga ovanfor viser derfor at 8 1 3 er det same som 8 3
DØME 18
Generelt definerer vi: aa n n 1 ||
Vi bruker potensreglane og definisjonen ovanfor til å forme om potensen a t n på to måtar:
t n t ntnt n 1 1 () ===
Når t og n er positive heile tal, og a og n er positive tal, har vi denne definisjonen:
( () ) =
Skriv tala i stigande rekkjefølgje.
68 er eit tal mellom 8 og 9, sidan 82 = 64 og 92 = 81.
Sortert i stigande rekkjefølgje får vi
2
14() Å opphøgje i 1 2 er det same som å ta kvadratrota.
DØME 19
6.94
Skriv tala i stigande rekkjefølgje.
6.95
Skriv så enkelt som mogleg.
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
Vi skriv om rotuttrykka til potensar.
Så bruker vi potensreglane frå underkapittel 6A.
Regel ❶ og regel ❷
Fellesnemnaren er 6.
Vi forkortar.
6.96
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
DØME 20
Rotfunksjonar
Potensfunksjonen gitt ved fxx () 0,5 | kan vi skrive om til fxx () |
Dette kallar vi også ein kvadratrotfunksjon. Grafen er sjølvsagt den same, kva enn vi vel å kalle funksjonen.
Ein pendel er ei kule som heng i ei snor.
Svingetida er ein funksjon av lengda av snora og er gitt ved =π TL L g ()2
Her er T(L) svingetida i sekund når snorlengda er L meter.
Tyngdeakselerasjonen g = 9,81 m/s2 på jorda.
Kor lang må snora vere for at svingetida skal vere eitt sekund?
Vi teiknar grafen til T og finn skjeringspunktet med linja y = 1.
Lengda av snora må vere 0,248 m = 24,8 cm for at svingetida skal vere eitt sekund.
6.97
Sjå døme 20.
a Kor lang må snora i ein pendel vere for at svingetida skal vere to sekund?
b Bruk ein relevant rekneregel for røter til å vise at funksjonen t gitt ved tLL ()2 | er ei tilnærming til svingetida for ein pendel.
c Teikn grafen til T og grafen til t i same koordinatsystem, og vurder tilnærminga som blei gjord i oppgåve b.
Pendelkule
Snor
6.98
a Bruk GeoGebra til å teikne grafen til funksjonen f gitt ved fxx()3 =− .
b Kvifor ser vi ingen graf for x-verdiar mindre enn 3?
c Bestem definisjonsmengda og verdimengda til f.
Siri har laga dette programmet:
from math import sqrt
def f(x): return sqrt(x - 3)
x = 3
while f(x) < 7.5: x = x + 0.1
print(x)
d Skriv av og køyr programmet. Forklar kva utskrifta fortel oss om grafen til f.
6.99
Teikn grafane til funksjonane f og g gitt ved fxx ()4 2 =− og gxfx ()() =− i same koordinatsystem.
Kva for ein geometrisk figur har du fått?
6.100 (Eksamen 1P hausten 2022)
, 10)
Ovanfor ser du grafen til ein funksjon f.
a Set opp eit mogleg uttrykk for f(x). Hugs å forklare korleis du tenkjer.
b Bestem, dersom det er mogleg, f(16), f(400), f
f( 25).
Om du meiner det ikkje er mogleg å bestemme éin eller fleire av verdiane, må du hugse å argumentere for dette.
RAUDE OPPGÅVER
På tallinja har vi markert 10 punkt, A–J
Finn ut kva for eit punkt som passar til kvart av tala nedanfor.
6.102
Skriv så enkelt som mogleg.
6.103
Eit resultat av den globale oppvarminga er at isbrear smeltar. Tolv år etter at isen forsvinn, vil små planter som heiter lav, begynne å vekse fram på fjell. Kvart lav veks utover omtrent i sirkelform. Samanhengen mellom diameteren i sirkelen og alderen til lavet er tilnærma gitt ved dtt()7,012 =⋅−
Her er d(t) diameteren til lavet i millimeter t år etter at isen forsvann.
a Teikn grafen til d
b Kva er diameteren til lavet 16 år etter at isen forsvann?
c Jakob måler diameteren til eit lav og finn ut at han er 35 millimeter. Kor mange år er det sidan isen forsvann på denne staden?
d Finn gjennomsnittleg vekstfart i intervallet [12 , 16]. Kva fortel svaret?
e Finn momentan vekstfart når t = 16. Kva fortel svaret?
BLÅ OPPGÅVER
6.104
Skriv så enkelt som mogleg.
6.105
Vis at
c Finn to heile tal a og b slik at 25 a b er lik 5. d Finn to heile
BLANDA OPPGÅVER
6.106
Ta for deg denne uferdige tabellen med samanhøyrande verdiar for x og y x 1832 y 42
Skriv av og fyll ut det som manglar i tabellen dersom x og y er
a proporsjonale storleikar
b omvend proporsjonale storleikar
6.107 (Eksamen 1P hausten 2022)
I denne oppgåva skal du sjå på samanhengar mellom ulike storleikar og avgjere om storleikane er proporsjonale, omvend proporsjonale eller ingen av delane.
a y Fart (km/t) Tid (minutt)
Er fart og tid proporsjonale storleikar, omvend proporsjonale storleikar eller ingen av delane i den grafiske framstillinga ovanfor?
b Nedanfor ser du ein hugseregel for å bestemme bremselengder.
«Når farten blir dobla, blir bremselengda firedobla.»
Er fart og bremselengde proporsjonale storleikar, omvend proporsjonale storleikar eller ingen av delane ifølgje denne hugseregelen?
c For å gjere om frå gradar fahrenheit F til gradar celsius C kan vi bruke formelen
C F 32 1,8 =
Er gradar celsius og gradar fahrenheit proporsjonale storleikar, omvend proporsjonale storleikar eller ingen av delane?
6.108 (Eksamen 1P våren 2024)
Fat er ei eining for volummåling av olje.
1 fat ≈ 158,987 liter
I 2023 blei det i gjennomsnitt produsert 1,794 millionar fat olje på norsk sokkel kvart døgn.
a Omtrent kor mange liter olje blei det produsert på norsk sokkel i 2023? Skriv svaret på standardform.
I 2022 blei det i gjennomsnitt produsert 1,685 millionar fat kvart døgn.
b Kor mange prosent steig produksjonsmengda med frå 2022 til 2023?
6.109 (Eksamen 1P våren 2024)
Lufttrykk blir ofte målt i hektopascal (hPa). Jo høgare over havet vi er, desto lågare er lufttrykket.
Lufttrykket ved havoverflata er om lag 1000 hPa.
Når lufttrykket er lågare enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vatn vere lågare enn 100 °C.
Sjå tabellen nedanfor.
Lufttrykk (hPa)Kokepunkt for vatn (°C)
a Bestem ein modell K på forma
Kxax () b =⋅
som tilnærma viser samanhengen mellom lufttrykket x hPa og kokepunktet K(x) °C.
Ari: Vil dette seie at det ikkje går an å få egg hardkokte oppe på eit høgt fjell?
Eit egg blir ikkje hardkokt dersom temperaturen i vatnet er lågare enn 85 °C.
Lisa: Det kjem vel an på kor høgt fjellet er?
Ari: Eg vil lage ein modell som viser kor høgt lufttrykket er x kilometer over havoverflata. Eg har lært at lufttrykket minkar med om lag 12 % per km.
Lisa: Eg har lært at lufttrykket blir halvert for kvar 5,5 km. Eg vil ta utgangspunkt i dette og lage ein modell på same form som den du lagar, Ari.
b Lag modellane for Ari og Lisa.
c Omtrent kor høgt over havet er det mogleg å få egg hardkokte?
BLANDA OPPGÅVER
6.110 (Eksamen 1P våren 2022)
Då Eline og Malene kom til hytta, var temperaturen i stova 2,0 °C. Dei skrudde på varmen og stilte termostaten på 20 °C. Tabell 1 viser temperaturen i stova x minutt etter at dei skrudde på varmen.
Tid (minutt) 151020305080120
Temperatur (°C) 2,03,75,38,010,213,416,418,4
Tabell 1
Eline og Malene vil lage ein modell som viser temperaturen i stova x minutt etter at dei skrudde på varmen. Dei startar med å bruke tala i tabell 1 til å lage ein modell T1 på forma Txax () b 1 =⋅
a Bestem tala a og b b Vurder gyldigheitsområdet til modellen T1
Eline og Malene ønskjer å forbetre modellen T1. Eline føreslår at skal trekkje 20 °C frå kvar temperatur dei har målt, og heller bruke ein eksponentialfunksjon som modell. Ho set opp ein ny tabell.
Tid (minutt) 151020305080120
Tabell 2
c Lag ein eksponentialfunksjon f som passar godt til tala i tabell 2.
d Teikn grafen til T1 og grafen til f i same koordinatsystem.
Skildre skilnaden mellom dei to grafane.
Malene meiner dei kan bruke funksjonen f til å lage ein betre modell enn T1 for temperaturen i stova.
«Vi løfter grafen til f opp til 20 °C, slik at han startar omtrent i punktet (0 , 2)», seier ho.
«Då vil han passe perfekt.»
e Bruk funksjonen f, og lag ein modell T2 ved å gjere som Malene føreslår. Kva vil temperaturen i stova vere etter 4 timar ifølgje modellen T2?
6.111 (Eksamen 1P hausten 2021)
Avgjer kva for ein eller kva for nokre av påstandane nedanfor som er riktig(e).
Hugs å grunngi svara dine.
Påstand 1: Dersom utgiftene til ein klassefest skal delast likt mellom elevane som er med på festen, vil beløpet kvar elev må betale, alltid vere omvendt proporsjonalt med kor mange elevar det er.
Påstand 2: To storleikar er alltid proporsjonale dersom det er slik at når den eine aukar, så aukar den andre også.
Påstand 3: To storleikar er alltid omvend proporsjonale dersom den eine storleiken doblar seg når den andre blir halvert.
Påstand 4: Arealet av ein sirkel er alltid proporsjonalt med omkrinsen av sirkelen.
6.112
Gjennom to punkt, til dømes (2 , 5) og (7 , 10), kan vi teikne grafen til éin eller fleire lineære funksjonar, andregradsfunksjonar, tredjegradsfunksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar. For kva for nokre av desse funksjonstypane er det berre éin einaste funksjon som har ein graf som går gjennom dei to punkta? Grunngi svaret.
6.113
Tabellen viser det samla fruktbarheitstalet SFT (forventa tal på barn i gjennomsnitt i løpet av livet) for kolombianske kvinner på ulike tidspunkt.
År 196519701975198019851990199520002005
SFT 6,575,554,523,973,422,992,662,392,2
a Lag både ein andregradsmodell og ein eksponentiell modell for SFT for kolombianske kvinner x år etter 1965.
I 1988 var forventa tal på barn per kvinne 3,14, og i 2018 var talet 1,82.
b Korleis passar tala med dei to modellane?
c Når vi ekstrapolerer med x-verdiar større enn 40, får vi eit for høgt tal når vi bruker andregradsmodellen og eit for lågt tal når vi bruker den eksponentielle modellen.
Kvifor blir det slik?
d Kvifor kan du ikkje bruke ein potensfunksjon for å lage ein modell med desse dataa?
6.114
Ved tida x veker etter befruktning er den gjennomsnittlege fostervekta i gram hos menneske tilnærma gitt ved Vxx ()0,035 3,15 =⋅
a Teikn grafen til V for x [2,40]∴
b Løys likninga Vx()2500 | . Kva fortel svaret?
c Når er den momentane vekstfarten lik 10 gram per veke?
d Det er vanleg å rekne at eit svangerskap er på 40 veker. Kva er fødselsvekta for eit barn etter denne modellen?
Ser vi bort frå at vekta går litt ned rett etter fødselen, kan vi lage ein lineær modell for vekta av bar net i tida etter fødselen. Funksjonen M gitt ved
Mx xx xx () 0, 035 040 15021054080 3,15 = ≤≤ −<≤ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪
er ein modell for vekta av eit menneske dei første 80 vekene etter befruktning.
e Teikn grafen til M saman med grafen til V. Kommenter.
BLANDA OPPGÅVER
6.115 (Eksamen 1P hausten 2022)
Figuren til venstre viser ein pendel. Tida pendelen bruker på å svinge frå posisjon A til posisjon B og tilbake til posisjon A att, kallar vi svingetida. Klasse 1STA har gjort eit forsøk i naturfag. Elevane har målt svingetida til pendlar med ulike snorlengder.
Tabellen nedanfor viser svingetida til pendlar med åtte ulike snorlengder.
a Bruk tala i tabellen, og lag ein modell på forma
Sxax () b =⋅
som viser svingetida S(x) sekund til ein pendel med snorlengde x meter.
Formelen T L g 2π ==
kan vi bruke til å rekne ut svingetida T til ein pendel når vi ser bort frå friksjon og luftmotstand.
L er snorlengda gitt i meter, og g er tyngdeakselerasjonen.
På jorda er g = 9,81 m/s2
b Vis at denne formelen kan forenklast til TL 2 ∍
c Samanlikn modellen du fann i oppgåve a, med formelen for T
6.116
Ivar skal lage ei eske som rommar 125 L = 125 dm3
Botnen og lokket skal vere kvadrat med side x dm.
a Vis at høgda h i eska er x 125 2 dm.
b Lag ein modell for overflatearealet av eska.
c Bestem det minste overflatearealet eska kan få.
d Lag ein målsett figur av korleis eska ser ut når overflatearealet er minst mogleg.
Pendelkule Snor
6.117
Skriv så enkelt som mogleg. a aa a 7 6
6.118
Rekn ut og gi svaret på standardform. a 20003
6.119
Rekn ut.
6.120
Skriv så enkelt som mogleg. a aa a nn n 2 2
6.121
a Vis at 3242 | , og at 7262 |
b Bruk resultatet frå oppgåve a til å rekne ut 1 3272 2 2 7232 4 3 3272 ∃ 4
6.122 (Eksamen 2P våren 2016)
Det er 7,5 milliardar menneske på jorda. Gå ut frå at kvart menneske treng 2 L drikkevatn kvar dag. Omtrent kor mange liter drikkevatn vil då alle menneska på jorda til saman trenge kvar månad?
Skriv svaret på standardform.
6.123 (Eksamen 2P våren 2016)
Sorter tala i stigande rekkjefølgje.
6.124 (Eksamen 1P våren 2019)
Nokre venner vil leige ein seglbåt i sommarferien. Det kostar 18 000 kr å leige båten.
Utgiftene skal delast likt mellom alle som blir med på turen.
a Kor mykje må kvar person betale dersom åtte personar blir med på turen?
b Bestem eit funksjonsuttrykk U(x) som viser kor mykje kvar person må betale dersom x personar blir med på turen.
c Kva for ein av dei to grafane nedanfor kan vere grafen til U? Grunngi svaret ditt.
Pris per person
6.125
Pris per person
a Lag eit rekneark som reknar ut kvadratrota av eit tal. Når du skriv inn det du ønskjer å ta kvadratrota av i den gule cella, skal du få resultatet i den blå cella.
b Bruk reknearket til å bestemme 16 og 20
c Excel har ikkje ein eigen funksjon som finn tredjerota av eit tal. Korleis vil du gå fram for å finne tredjerota av eit tal i Excel?
Utvid reknearket slik at det også finn tredjerota av talet du skriv inn.
d Bruk det utvida reknearket til å bestemme 125 3 og 10 3
6.126
Gutelaget skal arrangere sesongavslutningsfest. Dei leiger eit lokale med plass til maksimalt 50 personar. Det kostar 1200 kr å leige lokalet, og komiteen reknar med å kjøpe inn dukar og pynt for 450 kr. Maten kostar 150 kr per person.
a Kva blir prisen per person dersom 20 melder seg på festen?
La prisen per person vere E(x) kr når x personar melder seg på festen.
b Vis at Ex x () 1650 150 =+
c Kor mange må minst melde seg på for at prisen per person skal komme under 250 kr?
d Er prisen per person og talet på påmelde personar proporsjonale storleikar, omvend proporsjonale storleikar eller ingen av delane?
6.127
Sjå oppgåve 6.71.
Keplers tredje lov seier at planetane går i ellipsebanar rundt sola, og at kvadratet av omløpstida er proporsjonalt med kuben av den store halvaksen. Det vil seie at Txax () 2 3 () =⋅ , der a er eit tal.
Undersøk kor godt dette stemmer for dei oppgitte dataa.
6.128
Tabellen nedanfor viser vekt og energibehov for vadefuglar.
Vekt (g)
80130200300440
Energibehov (kJ/døgn) 142200275370490
a Lag ein potensmodell for energibehovet til vadefuglar som funksjon av vekta.
b Kor mykje energi treng ein vadefugl med vekt 550 g i løpet av eit døgn ifølgje modellen?
c Kva er vekta av ein vadefugl som har eit energibehov på 900 kJ/døgn?
6.129
Kva type modell vil du velje til datasettet?
6.130
Finn ut om det passar med ein eksponentialfunksjon, ein potensfunksjon, ein lineær funksjon, ein andregradsfunksjon eller ein tredjegradsfunksjon. Det kan hende at fleire funksjonstypar kan passe.
a Grafen startar i origo, og deretter stig han, men han stig saktare og saktare.
b Skjeringspunktet med y-aksen har positiv y-verdi, grafen går nedover, men det skjer saktare og saktare, og han flatar ut mot x-aksen.
c Grafen går nedover eller stig jamt.
d Grafen både stig og går nedover.
e Grafen nærmar seg x-aksen når x-verdien blir svært stor.
6.131
I sykkelsporten bruker ein formelen
p h L 100 =
til å finne den gjennomsnittlege stigningsprosenten p på ein etappe når lengda av han er L km og høgdeskilnaden er h km.
a Grunngi at stigningsprosenten og høgdeskilnaden er proporsjonale storleikar for ein etappe med gitt lengde.
b Grunngi at stigningsprosenten og lengda er omvend proporsjonale storleikar for ein etappe med gitt høgdeskilnad.
6.132
Talsystemet vårt kallar vi titalssystemet fordi vi bruker ti ulike siffer: 0, 1, 2, , 9.
Titalssystemet er eit plassverdisystem. La oss ta talet 2365 som eit døme. 55100 =⋅ 606101 =⋅ 3003102 =⋅ 20002103 =⋅
Vi kan skrive talet på utvidaform: 2365210310610510 3210 =⋅+⋅+⋅+⋅
a Skriv talet 555 på utvida form, og forklar at vi kan skrive det som 5(100101) ⋅+ +
b Bruk resultatet i oppgåve a til å forklare at 555 er deleleg med 5, 111, 3 og 37.
c La x vere eit av siffera i titalssystemet, bortsett frå 0.
Kva for tal er talet xxx deleleg med?
Det finst andre plassverdisystem enn titalssystemet.
Til dømes bruker sjutalssystemet siffera 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6.
I dette talsystemet vil «2365» bety 27376757 3210 ⋅+⋅+⋅+⋅ , som er lik 880.
d Kva vil «2365» bety i åttetalssystemet?
e Kvifor er ikkje «2365» eit tal i firetalssystemet?
f Kva for siffer blir nytta i totalssystemet?
g Korleis skriv vi 2365 i totalssystemet?
SAMANDRAG
Potensar og røter
Reknereglar
Standardform
Vi kan skrive alle tal på standardforma a 10n ±⋅
der a er større enn eller lik 1 og mindre enn 10 og n er eit heilt tal.
Potensfunksjonar
Ein potensfunksjon kan vi skrive på forma f(x) = axb , der x > 0.
Omvend proporsjonalitet
To variable storleikar x og y er omvend proporsjonale dersom produktet av dei er konstant, xya ⋅=
Då vil ei dobling av den eine storleiken gi ei halvering av den andre. x y y= a x
KAPITTELTEST
Oppgåve 1
Rekn ut. Skriv svaret så enkelt som mogleg.
Oppgåve 2
Ein vassdrope som er så liten at vi knapt kan sjå han, kan innehalde tre hundre trillionar vassmolekyl. Éin trillion er éin million millionar millionar.
a Skriv 300 trillionar på standardform. Éin slik vassdrope veg omtrent 9 mg.
b Kor mange slike vassdropar er det i eit stort glas som er fylt med 0,45 kg vatn?
Gi svaret på standardform.
Oppgåve 3
Klassen skal arrangere sommaravslutning. Utgiftene per person er omvend proporsjonale med talet på elevar som deltek. Dersom 20 elevar blir med, må kvar elev betale 90 kr.
Kor mange elevar må minst vere med dersom kvar elev maksimalt skal betale 70 kr?
Oppgåve 4
Tuppen og Lillemor lagar fem kuleforma snøballar i ulik storleik.
Dei måler først diameteren med ein linjal og bestemmer deretter volumet av dei med eit litermål.
Diameter (cm) 4,86,88,510,212,1
Volum (mL) 60170320560930
a Hjelp Tuppen og Lillemor med å lage ein modell d på forma
dVaV () b =⋅
som tilnærma viser samanhengen mellom volumet V mL og diameteren d(V) cm.
Radiusen r i ei kule med volum V er gitt ved formelen π = ⋅ r V 3 4 3
b Gjer nødvendige berekningar, og vurder samsvaret mellom denne formelen og modellen dei laga i oppgåve a.
Fasit
Du finn fullstendige løysingar av alle oppgåvene på Aunivers.no, også dei som er merkte med –.
1 Praktisk rekning
1.1 a – b P = 10x
1.2 –
1.3 a 150 kr b 1050 kr c L = 150 ⋅ x
1.4 a – b Proporsjonalitetskonstanten er 10. Han fortel at prisen er 10 kr/hg.
1.5 Superreint: Proporsjonale Ultrareint: Ikkje proporsjonale
1.6 x = 10, y = 150
1.7 Ikkje proporsjonale
1.8 b viser samanhengen mellom proporsjonale storleikar.
2.56 a 55 b 1210 c 17 figurar, 1279 klossar til overs
2.57 a – b –
2.58 a a 3 b 10b c 2(b + 3) d b a e a b2 f ab g 2ab
2.59 a – b Nei, mønsteret held ikkje fram.
2.60 9, 11, 13, 15
2.61 P = 4x + 2
2.62 a j1 = 2, j2 = 5, j3 = 10, j4 = 17, j5 = 26 b – c –
2.63 –
2.64 3, 5, 7, 9, 11, 19
2.65 –
2.66 a 30 b – c Fn = nn nn 3 (1) 2 1,51,5 2 ⋅+ =+ d –
2.67 a – b 3, 9, 19, 33, 51, 73, 99 c 2n2 + 1
2.68 a 100, 80, 60, 40 b – c –
2.69 L = 190x + 220y
2.70 a 11 b 6 c 903 d 2 m, 5 m, 8 m, 11 m osv.
2.71 a – b Nei
2.72 a – b –
2.73 a 55, 545, 5445 b 54 444 445
2.74 a 22, 26 b – c 960 d 29
2.75 a – b 1,8,27,64,125, c yn = n3
2.76 Programmet sjekkar om a er eit kvadrattal.
2.77 a 1, 11, 121, 1331 b – c 14 641 d 161 051 e 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 f 90 tresifra palindromtal, 8 av dei er delelege med 11 g 90 firesifra palindromtal, alle er delelege med 11
2.78 a Kvart tal er summen av dei to føregåande. b –
Oppgåve 1 a –
c –
d Pn = n2
Oppgåve 2 a 315 b 12 figurar, 62 kvite kvadrat til overs. Han bruker 650 blå kvadrat.
Oppgåve 3 a – b 65 c E nn n nn n (1) 2 3 2 2 = ⋅+ += +
s.6–7 Peter Ekvall/iStock, s. 18 Eva-Katalin/iStock, s. 32 ø Dusan Petcovic/iStock, s.32 n Granfondoworldtour.com, s. 33 Geir Stian Altmann Larsen, s. 34 joingate/iStock, s.36 Terje Pedersen/NTB, s. 43 Marccophoto/iStock, s. 47 ø mujijoa79/Shutterstock/NTB, s.47 n monkeybusinessimages/iStock, s. 53 wjarek/iStock, s. 54–55 Ingo Jezierski/EyeEm/ Getty Images, s. 57 Mauricio Graiki/Shutterstock/NTB, s. 64 schankz/iStock, s.69 akinbostanci/iStock, s. 80 Shutterstock Editorial/NTB, s. 87 iprogressman/iStock, s.91 scaliger/iStock, s. 92–93 Tea Toft Norderhaug, s. 101 Darren W Essman/iStock, s.102 Tea Toft Norderhaug, s. 103, Zorica Nastasic/iStock, s. 122 phive2015/iStock, s.124 Ruben Ramos/iStock, s. 138–139 Farknot_Architect/iStock, s. 167 deepblue4you/ iStock, s. 175 Simon Skafar/iStock, s. 179 olvius/iStock, s. 182 milan2099/iStock, s.187 Stian Schløsser Møller/NTB, s. 208–209 VisualStories/iStock, s. 218 ByoungJoo/iStock, s.219 Martinan/iStock, s. 225 ZU_09/iStock, s. 232 EyeEm Mobile GmbH/iStock, s.236 monticello/iStock, s. 241 Karel Stipek/iStock, s. 250–251 Supoj Buranaprapapong/ Getty Images, s. 253 antishock/iStock, s. 257 -UserGI15769699/iStock, s. 261 Maskot/NTB, s.265 Andrea Migliarini/iStock, s. 267 Lars Johansson/TT/iStock, s. 269 Lars Johansson/TT/ iStock, s. 277 alxpin/iStock
GeoGebra i 1P
❶ Algebrafeltet.
Her kan vi mellom anna skrive inn funksjonsuttrykk.
❷ Grafikkfeltet.
Her blir grafen til funksjonen vist.
❸ Verktøyknappar.
Dette er snarvegar til kommandoar i algebrafeltet. I undermenyane ligg det mange verktøy.
❹ Stilmenyen.
Her vel vi innstillingar for grafar og koordinatsystemet.
❺ CAS.
Her løyser vi likningar og reknar med symbolske uttrykk.
❻ Kommandoknappar.
Dette er snarvegar til kommandoar i CAS.
❼ Hovudmenyen.
Her kan vi lagre og velje innstillingar, som til dømes kor mange desimalar det skal vere i svar.
Hurtigtastar
Tilbake til Esc
Opphøgd i n Alt + n
KvadratrotAlt + r
Pi Alt + p
GradteiknAlt + o
Tips
•Du må bruke desimalpunktum i staden for desimalkomma.
•Du må bruke gongeteikn eller mellomrom når du gongar to bokstavsymbol.
•Dersom du er usikker på ein kommando, får du automatisk forslag når du begynner å skrive i CAS eller i algebrafeltet.
Rad 1: Når vi definerer ein funksjon, skriv vi := og trykkjer enter.
Rad 2: Når vi løyser ei likning, skriver vi berre = før vi klikkar på eller .
Python i 1P
Variablar og datatypar
a = "hei" Tekst (streng) må stå i hermeteikn.
b = 2.718 Desimaltal (flyttal) skriv vi med punktum i staden for komma.
c = round(b, 2) Avrunding til 2 desimalar (her 2.72).
d = round(b, 1) Avrunding til 1 desimal (her 2.7).
