Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).
Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.
Redaktør: Harald Øyen Kittang
Grafisk formgiving: Marit Jakobsen
Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad
Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Víctor Paiam
Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund
Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark
Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14
Papir: 100 g G-print 1,0
Trykk og innbinding: Merkur Grafisk AS
ISBN 978-82-03-41400-8 www.aschehoug.no
Om Matematikk 1T
Matematikk 1T følger læreplanen i matematikk 1T (LK20) som gjelder fra august 2020, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no
Læreboka
Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver.
I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og programmering der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver, som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver, som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk.
Underveis finner du slike «lapper» med repetisjon og påminnelser.
Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:
Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.
Blå oppgaver gir større utfordringer.
Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver, som gir både mengdetrening og dybdelæring.
Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitlene, der de passer. På den måten kan elevene komme raskt i gang med å løse eksamensoppgaver.
Oppgaver som bør løses uten hjelpemidler, er merket med
Oppgaver som krever programmering, er merket med
Digitale ressurser på Aunivers.no
De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet
Som lærer får du i tillegg tilgang til
Vi håper at Matematikk 1T møter dine forventninger til et komplett læreverk.
Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk1t@aschehoug.no.
Vi ønsker deg lykke til med faget!
Hilsen forfatterne
Inger Christin Borge
John Engeseth
Odd Heir
Tor Espen Kristensen
Håvard Moe
Tea Toft Norderhaug
Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang
1 Tall og tallmønstre
1A Tallmengder 8
1B Potenser 13
1C Røtter 28
1D Generalisering 33
1E Utforsking og programmering 40
Blandede oppgaver 52
Sammendrag 56
Kapitteltest 57
2 Likninger og identiteter
2A Identiteter 60
2B Faktorisering 65
2C Kvadratsetningene 72
2D Likninger 84
2E Andregradslikninger 93
2F abc-formelen 102
Blandede oppgaver 108
Sammendrag 118
Kapitteltest 119
3 Polynomfunksjoner
3A Funksjonsbegrepet 122
3B Lineære funksjoner 133
3C Matematiske modeller 145
3D Andregradsfunksjoner 156
3E Polynomfunksjoner av høyere grad 170
3F Modellering med polynomfunksjoner 184
Blandede oppgaver 190
Sammendrag 200
Kapitteltest 201
4 Likningssystemer og ulikheter
4A Lineære likningssystemer 204
4B Likningssystemer med flere enn to ukjente 217
4C Ikke-lineære likningssystemer 221
4D Lineære ulikheter 226
4E Polynomulikheter 231
4F Rasjonale likninger og ulikheter 239
Blandede oppgaver 246
Sammendrag 254
Kapitteltest 255
5 Mer om funksjoner
5A Vekstfart 258
5B Den deriverte 268
5C Rasjonale funksjoner 286
5D Potensfunksjoner 296
5E Eksponentialfunksjoner 302
5F Valg av modell 313
Blandede oppgaver 320
Sammendrag 334
Kapitteltest 335
6 Trigonometri
6A Trigonometriske forhold 339
6B Generelle definisjoner 356
6C Arealsetningen 362
6D Sinussetningen 368
6E Cosinussetningen 374
Blandede oppgaver 382
Sammendrag 394
Kapitteltest 395
Fasit 396
Register 425
Bildeliste 428
Tall og tallmønstre 1
1A Tallmengder 8
1B Potenser 13
1C Røtter 28
1D Generalisering 33
1E Utforsking og programmering 40
Hvilket tall er det største vi kjenner til?
Vi anslår at det «bare» er 60 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 atomer i vårt synlige univers.
Det fins større tall. Én googol er for eksempel 10100 og har hundre nuller.
Videre er én googolplex 1010100 som har én googol nuller!
Og det tar aldri slutt. Uansett hvor stort tall du foreslår som det største, får vi et tall som er større ved for eksempel å legge til 1.
Generalisering
Partall og oddetall
Tallene 8, 14 og 6 er eksempler på partall siden
62 (3)
Generelt kan vi skrive et partall på formen 2 n, der n ∈ Z
Hvis vi lar n ∈ N, får vi de positive partallene. De kan vi illustrere med figurer.
ikke er delelig med 2.
De positive oddetallene er 1, 3, 5, 7, og så videre.
Siden partall og oddetall kommer etter hverandre i tur og orden, så vil ethvert oddetall alltid være én mindre enn eller én større enn et partall. Vi kan derfor skrive et generelt oddetall på formen 2n 1 eller 2n + 1. Vi velger 2n 1, for da gir n = 1 det første positive oddetallet.
Partallene er tall som vi kan skrive på formen 2n for n ∈ Z
Oddetallene er tall som vi kan skrive på formen 2n 1 for n ∈ Z
I fortsettelsen skal vi se etter tallmønstre i figurserier av den typen vi har lagd ovenfor. Da tenker vi på n som figurnummeret og lar n ∈ N. Tall som kan representeres med slike figurer kaller vi for figurtall
EKSEMPEL 21
Odin har lagd de fire første figurene i en figurserie. Han ønsker å fortsette mønsteret.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
a Hvor mange kuler trenger han til figur nummer 5?
b Hvor mange kuler vil figur nummer n bestå av?
a I figur nummer 1 er det 2 1 kuler.
I figur nummer 2 er det 2 3 kuler.
I figur nummer 3 er det 2 5 kuler.
I figur nummer 4 er det 2 7 kuler.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
I figur nummer 5 vil det derfor være 2 9 = 18 kuler.
b Vi kan dele hver figur i to like store deler. Hver av disse delene inneholder et oddetall antall kuler. Det betyr at antall kuler i figur nummer n er det dobbelte av oddetall nummer n Det vil si at
nn 2(21)42
Antall kuler i figur nummer n er n 42
1.70
Nedenfor ser du de fire første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
a Beskriv mønsteret med ord.
b Tegn figur nummer fem. Hvor mange kuler består figuren av?
c Hvor mange kuler vil den tiende figuren bestå av?
d Hvor mange kuler vil figur nummer n bestå av?
Å finne formler
Når vi løser problemer, er det ofte nyttig å uttrykke sammenhenger på en generell måte. I stedet for å bruke spesifikke tall, representerer vi tallene med bokstaver. Disse bokstavene fungerer som symboler for generelle tall og gjør det mulig å lage formler flere størrelser.
Hvis vi bruker pn som symbol for et generelt partall og on som symbol for et generelt oddetall, kan vi lage formlene
= =− pn on 2 21 n n
Ved for eksempel å sette n = 50 inn i formlene får vi
I en oppramsing av de positive partallene og de positive oddetallene står altså henholdsvis 100 og 99 på plass nummer 50.
EKSEMPEL 22
Figurene nedenfor er lagd etter et bestemt mønster. Lag en formel for antall kvadrater Ln i figur n
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
Vi ser at det i hver av de 4 utstikkerne er like mange kvadrater som figurnummeret. I tillegg har vi det ene kvadratet i midten.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
Formelen som gir antall kvadrater i figur nummer n, er derfor
=⋅+Ln41 n
1.71
Nedenfor ser du de tre første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter.
Figur 1 Figur 2 Figur 3
a Tegn den fjerde figuren. Hvor mange kuler består den av?
b Hvor mange kuler består den tiende figuren av?
c Lag en formel for antall kuler Pn i figur n
1.72
Figurene nedenfor er lagd etter et bestemt mønster. Lag en formel for antall kvadrater Dn i figur n
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
EKSEMPEL 23
1.73
Arealet av en trekant: gh 2 g h
K1 = 1 K2 = 4 K3 = 9 K4 = 16
Figuren illustrerer de fire første kvadrattallene
a Hva er det femte og det sjette kvadrattallet?
b Lag en formel for kvadrattall nummer n, K n
c Bruk formelen i oppgave b til å bestemme K5 og K100
d Hvilket nummer har kvadrattallet 144?
1.74
Tall som står etter hverandre i en bestemt rekkefølge, kaller vi en tallfølge
Foreslå for hver tallfølge et mønster som passer, og bestem ut fra det et uttrykk for tall nummer n
a 2, 5, 8, 11, 14,
b 3, 8, 13, 18, 23,
c 0, 3, 8, 15, 24, 35,
Finn en formel for arealet av et rektangel der lengden er 3 enheter lengre enn bredden.
Vi lar bredden være a
Da er lengden a 3
Arealet A er derfor gitt ved formelen
=⋅+Aaa(3)
1.75
Bestem en formel for omkretsen O av rektangelet i eksempel 23.
1.76
I en trekant er grunnlinja dobbelt så lang som høyden.
Bestem en formel for arealet A av trekanten uttrykt ved høyden h
EKSEMPEL 24
Foreslå et generelt uttrykk for summen av de n første oddetallene.
Siden vi i utgangspunktet ikke kjenner til dette uttrykket, prøver vi oss fram og ser om vi kan finne et mønster.
Vi legger merke til at svaret alltid blir et kvadrattall.
Det ser med andre ord ut som at vi har følgende sammenheng: ++++−=nn135(21) 2
SNAKK
Forklar hvordan du kan bruke figuren nedenfor til å argumentere for uttrykket vi kom fram til i eksempel 24.
RØDE OPPGAVER
1.77
I figurene til høyre følger antall fyrstikker i hver figur et bestemt mønster.
Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4
a Hvor mange fyrstikker er det i figur 5, 6, 7 og 8?
b Skriv opp et generelt uttrykk for hvor mange fyrstikker det er i figur n
1.78
Fadma har lagd modeller av de første kubikktallene ved bruk av kuler.
a Skriv opp de tre første kubikktallene.
b Hvor mange kuler trenger Fadma til en modell av det fjerde kubikktallet?
c Sett opp en formel som viser antall kuler
i kubikktall nummer n
d Bruk formelen fra oppgave c til å finne ut hvor mange kuler som det går med til å lage en modell av kubikktall nummer 20.
BLÅ OPPGAVER
1.79
Lille Otto leker med perler og har lagd biltall. Antall perler
i figur n kaller vi bn
a Tegn det femte biltallet, b5
b Lag en formel for det n-te biltallet, bn
c Bruk formelen til å bestemme hvor mange perler Otto trenger for å lage det tiende biltallet. Hvor mange av disse perlene vil være røde?
1.80
Figurene til høyre er lagd av fyrstikker.
Tenk deg at vi fortsetter å lage slike figurer etter samme mønster.
Antall fyrstikker i figur n kaller vi fn
Det vil si at f 4 1 , f 12 2 og f 24 3
a Hvor mange fyrstikker er det i figur 4?
b Lag en formel for fn
Sjekk at formelen stemmer med de fire første figurene.
Figur 1Figur 2Figur 3
EKSEMPEL 25
Utforsking og programmering
Vi har sett at vi kan finne sammenhenger og formler for figurtall og andre tallmønstre. I mange tilfeller vil programmering være egnet til å utforske videre. Da kan vi teste mønstrene, se hvordan tallene utvikler seg og beregne summer.
Løkker
Løkker i programmering lar deg utføre samme handling flere ganger uten å skrive samme kode om og om igjen. Vi skal se på to typer løkker:
Alt som står innrykket i en løkke, blir utført hver gang løkka kjører.
Forklar hva programmene nedenfor gjør.
n = 1 while n < 51: partall = 2*n print(partall) n = n + 1
a Programmet skriver ut de 50 første partallene. I linje 1 er n satt til å være 1. I løkka får variabelen partall verdien 2n (linje 3) og skrives ut (linje 4). Så økes verdien av n med 1. Dette skjer så lenge n er mindre enn 51. Tabellen nedenfor viser hva som skjer.
n n < 51? partall
1Ja ⋅= 212 n økes til 2
2Ja ⋅= 224 n økes til 3
3Ja ⋅= 236 n økes til 4
4Ja ⋅= 248 n økes til 5
49Ja ⋅= 24998 n økes til 50
50Ja ⋅= 250100 n økes til 51
51Nei−−
b Programmet skriver ut det samme som i oppgave a. Vi gir variabelen partall
verdien av partall med 2 og verdien skrives ut. Løkka gjentas så lenge partall < 100. Det siste partallet som skrives ut, er derfor 98 + 2 = 100.
partall partall < 100?
0Ja
partall økes til 2 2Ja
Ines har lagd programmet til høyre.
a Skriv av og fyll ut tabellen.
b Hva blir utskriften i programmet til Ines?
Theo har lagd programmet til høyre.
c Hva blir utskriften i programmet til Theo?
partall økes til 4
partall økes til 6
partall økes til 98
partall økes til 100
EKSEMPEL 26
Forklar hva programmet gjør.
1 2 3 for n in range(1, 21): a = 2*n - 1 print(a)
I for-løkka går n gjennom tallene fra og med 1 til og med 20. For hver runde i løkka regner programmet ut et nytt tall a ved å ta to ganger n og trekke fra 1. Resultatet av beregningen er alltid et oddetall. Tallet a blir skrevet ut i hver runde i løkka. na = 2*n - 1 Tall som skrives ut
Vi får den samme utskriften med denne koden:
1 2 for i in range(1, 41, 2): print(i)
Her gjennomløper i tallene fra og med 1 til og med 40 med steglengde 2. Det vil si at i har verdiene 1, 3, 5, , 39.
Hvis vi oppgir ett tall, så vil sekvensen starte på 0 og gå til (men ikke med) tallet som oppgis.
range(10) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
range(5, 10) 5,6,7,8,9
range(2, 10, 2) 2,4,6,8
Hvis vi oppgir to tall, så vil det første tallet fortelle hvor sekvensen starter og det andre hvor sekvensen slutter. Det siste tallet kommer ikke med.
Hvis vi oppgir tre tall, så vil det siste tallet være avstanden mellom tallene.
EKSEMPEL 27
1.82
a Lag et program som skriver ut oddetallene mellom 1000 og 1100 med en for-løkke.
b Lag et program som skriver ut oddetallene mellom 1000 og 1100 med en while-løkke.
1.83
Lag et program som skriver ut partallene mellom 500 og 550 med en a for-løkke b while-løkke
Figuren illustrerer de fire første rektangeltalleneR1, R2, R3 og R4
Bestem en formel for Rn og lag et program som skriver ut de 10 første rektangeltallene.
Det er like mange kuler i bredden som figurnummeret, mens antall kuler i lengden er én større enn figurnummeret.
Hvis vi skal regne ut de fire første rektangeltallene, vil regnestykkene se slik ut:
NummerRektangeltall
( 4 1) 4 ==⋅=⋅+
Formelen for rektangeltall nummer n er derfor =⋅+Rnn(1) n 1 2 3 for i in range(1, 11): R = i*(i + 1) print(R)
Utskriften er tallene 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90 og 110.
EKSEMPEL 28
Trekanttallene kan vi illustrere med følgende figurer:
a Lag et program som skriver ut de 10 første trekanttallene.
b Utforsk og beskriv sammenhengen mellom trekanttallene og rektangeltallene.
a Vi ser at neste figur består av forrige figur i tillegg til en ny rad med kuler. Den nye raden har like mange kuler som figurnummeret.
Dette bruker vi i en for-løkke som regner ut og skriver ut de 10 første trekanttallene.
# Det første trekanttallet for n in range(2, 11): print(T) # Skriver ut trekanttallet T = T + n # Beregner det neste trekanttallet
Resultatet blir tallene 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 og 45.
b Vi ser av utskriften eller av figuren nedenfor at trekanttallene er halvparten av rektangeltallene.
Det gir formelen
I eksempel 28 kunne vi også ha skrevet koden slik hvis vi hadde funnet formelen for Tn først:
1 2 3 for n in range(1, 11): T = n*(n + 1)/2 print(T)
EKSEMPEL 29
Tips: Sett n til et lavt tall mens du lager programmet, slik at du kan sjekke om programmet gir ønsket resultat.
Lag et program som skriver ut summen av de 100 første trekanttallene.
n = 100 summen = 0
for i in range(1, n + 1): trekanttall = i*(i + 1)/2 summen = summen + trekanttall
print("Summen av de", n,"første trekanttallene er", summen)
I linje 1 har vi gitt n verdien 100 og summen verdien 0. For hver runde i løkka blir de ulike trekanttallene regnet ut og lagt til summen.
Utskriften blir slik: Summen av de 100 første trekanttallene er 1717000
EKSEMPEL 30
1.84
Figurene viser de fire første piltallene: P1, P2, P3 og P4
a Bestem P5
Berit har kommet fram til denne formelen for piltall nummer n: =⋅++ ++ Pnn nn (2) (1)(2) 2 n
b Hvordan kan Berit ha tenkt?
c Lag et program som skriver ut de 20 første piltallene og summen av dem.
Figurene nedenfor illustrerer de fire første i en figurserie. Hvor mange fyrstikker er det i figur 100?
Figur 1Figur 2Figur 3
I hver figur er det tre flere fyrstikker enn i figuren før. Vi kan derfor finne antall fyrstikker med dette programmet:
Figur 4
fyrstikker = 4 # Antall fyrstikker i figur 1 for i in range(2, 101): fyrstikker = fyrstikker + 3
print(fyrstikker)
Resultatet blir 301, som derfor er antall fyrstikker i figur 100.
1.85
a Skriv opp en formel for antall fyrstikker Fn i figur n i eksempel 30. Sjekk at formelen gir det samme som svaret i eksempelet.
b Hvor mange fyrstikker trenger vi for å lage de 100 første fyrstikktallene?
Figur 4
Figur 3
Figur 2
Figur 1
EKSEMPEL 31
Line har 1000 fyrstikker og ønsker å lage så mange figurer hun kan ut fra mønsteret i forrige eksempel. Det vil si at hun vil lage figur 1, figur 2, og så videre.
Lag et program som finner hvor mange figurer hun kan lage, og hvor mange fyrstikker som da er brukt.
fyrstikker = 4 # Fyrstikker i figur 1 brukt = 4 # Skal bli antall fyrstikker brukt n = 1 # Figurnummeret
while brukt <= 1000: n = n + 1
fyrstikker = fyrstikker + 3 # Fyrstikker i neste figur brukt = brukt + fyrstikker
print(n - 1 , brukt - fyrstikker)
Løkka går så lenge det er brukt mindre enn eller lik 1000 fyrstikker. I linje 8 gir vi variabelen brukt ny verdi lik den gamle verdien pluss fyrstikker
Den siste gangen brukt er mindre enn eller lik 1000, blir verdien av n økt med 1 og brukt blir økt med fyrstikker Vi må derfor skrive ut n - 1 og brukt - fyrstikker
Utskriften blir tallene 25 og 1000. Det betyr at Line kan lage akkurat 25 figurer.
1.86 (Eksamen 1T våren 2022)
1Figur 2Figur 3
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser.
Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?
b Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?
Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.
c Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har lagd figurene?
1.87 (Eksamen 1T høsten 2021)
Marius har 400 bokser.
Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.
Marius stabler boksene som vist på figur 1. På figur 1 har han lagd et tårn med fire etasjer.
a Hvor mange bokser trenger
Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?
b Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?
Maria vil stable boksene som vist på figur 2. På figur 2 har hun lagd et tårn med tre etasjer.
c Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?
Maria har 4000 bokser.
d Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?
Figur
Figur 1
Figur 2
EKSEMPEL 32
a <= b tester om a ≤ b. a == b tester om a = b.
Betingelser
Når vi programmerer, får vi ofte bruk for å teste om visse betingelser er oppfylt. Det kan være om to tall er like, om et tall er større enn et annet eller om et tall er ulikt et annet. For å sjekke om et tall er likt et annet tall bruker vi to likhetstegn (==).
Undersøk om tallet 1596 er et trekanttall.
Vi vet at trekanttall nummer n er = ⋅+ T nn(1) 2 n , og må derfor finne ut
om det fins et naturlig tall n slik at ⋅+ = nn(1) 2 1596
Du skal seinere lære å løse slike likninger ved regning, men nå skal vi bruke Python til å undersøke om det fins et naturlig tall som oppfyller likningen.
n = 1 while n*(n + 1)/2 <= 1596: if n*(n + 1)/2 == 1596: print("n =", n)
n = n + 1
Først er n = 1, og vi sjekker om ⋅+nn(1) 2 er lik 1596.
Hvis det er tilfellet, skrives n ut.
Hvis det ikke er tilfellet, økes verdien av n med 1.
Dette gjentas så lenge ⋅+nn(1) 2 er mindre enn eller lik 1596.
Når vi kjører programmet, får vi utskriften n = 56
Det betyr at 1596 er trekantall nummer 56.
Hvis vi bruker programmet i eksempelet ovenfor til å sjekke et tall som ikke er et trekanttall, får vi ikke skrevet ut noe som helst.
1.88
Undersøk om tallene 8920 og 13 044 er trekanttall.
RØDE OPPGAVER
1.89
Figurene nedenfor illustrerer de fire første hustallene, hn
Det vil si at h1 = 1, h2 = 5, h3 = 12 og h4 = 22.
a Følg samme mønster, og tegn det femte hustallet.
b Beskriv sammenhengen mellom hustallene og kvadrattall og trekanttall.
c Hvor mange kuler trenger vi for å lage det tiende hustallet?
d Finn en formel for hn
e
1.90
Figurene illustrerer de fire første femkanttallene, F1, F2, F2 og F4
a Finn det femte femkanttallet, F5 n er = ⋅− F nn(31) 2 n
b Lag et program som avgjør om 96 er et femkanttall.
c Lag et program som finner summen av de 100 første femkanttallene.
1.91
Lag et figurtallmønster der det er n2 + 1 kuler i figur nummer n
BLÅ OPPGAVER
1.92
Se oppgave 1.89.
a Hvilken sammenheng er det mellom hustall, kvadrattall og trekanttall?
b Lag et program som skriver ut de ti første hustallene.
c Agnete har 500 kuler av hver av de to fargene, og skal lage et størst mulig hustall. Hvor mange kuler av hver farge er til overs etterpå?
1.93
De fire første femkanttallene er F 1 1 , F 5 2 , F 12 3 og F 22 4
På figuren til høyre ser du en illustrasjon av det fjerde femkanttallet.
a Gro påstår at figuren illustrerer de fire første femkanttallene. Hva tror du at hun mener?
b Tegn av figuren og utvid den slik at den blir en illustrasjon av det femte femkanttallet.
Gro oppdager at det fjerde femkanttallet er satt sammen av tre trekanttall. Hun illustrerer dette ved å lage figuren med de to hjelpelinjene.
c Skriv det fjerde femkanttallet som en sum av trekanttall.
d Skriv F2 og F3 som summer av trekanttall.
e Hvilken sammenheng har du oppdaget mellom trekanttall og femkanttall? Skriv femkanttall nummer n, Fn, som en sum av trekanttall.
f Formelen for trekanttall nummer n er
= + T nn(1) 2 n
Bruk denne formelen og sammenhengen du fant i oppgave e til å bestemme en formel for Fn
1.94
Lag et figurtallmønster der det er nn5 2 2 kuler i figur nummer n
BLANDEDE OPPGAVER
1.95
Ta for deg disse tallene:
2232743,710(2)0 220142
a Hvilke av tallene er med i N?
b Hvilke av tallene er med i Q?
c Hvilke av tallene har absoluttverdien 4?
1.96
Regn
1.97
Regn ut.
a ⋅ 1,2104,010 3,210 34 8 b 1,2104,010 3,210 34 2 8 () c ⋅+⋅ ⋅ 1,2104,010 3,210 34 8
1.98
I en kjøkkensvamp er det omtrent 40 milliarder bakterier per milliliter. Hvor mange bakterier er det i svampen når volumet av den er 1,5 dL? Skriv svaret på standardform.
1.99
Regn ut, og skriv svaret på standardform. Kontroller med digitalt verktøy.
a 5,0 ⋅ 106 25 000 000 b 9,010 2,5100,002 8 3 c () 0,10,008 210 3 5 4
1.100
Ta for deg antall små kvadrater i figurserien nedenfor.
a Skriv opp de fem første tallene som følger mønsteret i figurserien.
b Finn en sammenheng mellom disse tallene og oddetallene.
c Lag et program som skriver ut de første 100 tallene av denne typen.
d Tegn en ny figurserie som illustrerer at disse tallene er én større enn kvadrattallene.
1.101
Skriv så enkelt som mulig. a xax xa 2 3 163 2 1 0 () ⋅ b () ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x x 4 2 1 1 3 c −+4827 3 3
1.102
Regn ut med digitalt verktøy. Skriv svaret på standardform.
⋅+⋅ 3,8710 2,3109,6810 6 34
1.103
Skriv så enkelt som mulig. a 5250 b 222 1 4 101 c −+⋅−328627 72 3
1.104
Skriv tallene i stigende rekkefølge.
60252(1)2,15315 2932
1.105
Vis at 35,121 212 … er et rasjonalt tall. Bruk dette til å vise at også 3,5 121 212 … er et rasjonalt tall.
1.106
Hvilket tall er størst av 275 og 350 ?
1.107
Hvor mange naturlige tall n er slik at ∈ n 1234567 ?
1.108
a Beskriv mønsteret i denne figurserien.
b Hvor mange kuler er det i den tiende figuren?
c Bestem en formel for antall kuler i figur n.
1.109
Nikoline leker seg med fyrstikker. Hun har lagd figurene til høyre. Nikoline vil lage flere figurer etter samme mønster.
a Hvor mange fyrstikker trenger hun til å lage figur nummer 4?
b Lag et program/regneark som gir en oversikt over antall fyrstikker Nikoline trenger til hver av de 25 første figurene.
c Hvilken sammenheng er det mellom antall fyrstikker hun trenger og trekanttallene? Bruk dette til å lage en formel for antall fyrstikker hun trenger i figur nummer n
d Utvid programmet/regnearket fra oppgave b slik at det også gir oversikt over det totale antallet fyrstikker Nikoline må ha for å lage alle figurene opp til og med figur nummer 25.
1.110
Figuren til høyre illustrerer de fire første tallene i et tallmønster.
a Følg samme mønster og tegn det femte tallet i følgen.
b Skriv opp de sju første tallene i følgen.
c Finn en formel for tall nummer n i følgen.
1.111 (Fra eksempelsett 1T høsten 2021)
Figur 1Figur 2Figur 3
De tre figurene er lagd av fyrstikker.
Figur 1 består av ett lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrater, og figur 3 består av ni små kvadrater.
Tenk deg at du har 10 000 fyrstikker.
Du skal lage de tre figurene, og så fortsette å lage figurer etter samme mønster, én i hver størrelse.
a Hvor mange figurer kan du lage?
b Hvor mange fyrstikker vil du ha igjen når du har lagd den siste figuren?
1.112
Heron fra Alexandria er en kjent matematiker fra antikken. Han lagde blant annet en algoritme for å finne tilnærmingsverdier for kvadratroten av et naturlig tall n:
❶ Velg et tall a i nærheten av det du tror svaret blir.
❷ Regn ut tallet =+ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ban a 1 2
❸ La a får verdien b
❹ Gjenta punkt 2 og 3 helt til b ikke endrer seg noe særlig fra gang til gang (for eksempel at 4 desimaler er like fra gang).
Liknende metoder brukes av digitale verktøy til å finne kvadratrøtter.
algoritme er en trinnvis beskrivelse av framgangsmåten for å løse et problem.
Lag et program basert på denne algoritmen som du kan bruke til å regne ut kvadratroten av 11.
1.113 (Eksempelsett 1T våren 2020)
1Figur 2
3
Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.
a Lag en algoritme som du kan bruke til å bestemme hvor mange små kvadrater du totalt trenger for å lage de 100 første figurene.
b Bruk et programmeringsspråk, og lag et program med utgangspunkt i algoritmen. Programmet skal beregne og skrive ut hvor mange kvadrater du trenger.
Figur
Figur
SAMMENDRAG
Tallmengder
Tallinja består av uendelig mange reelle tall,
De naturlige tallene N er tallene 1, 2, 3, 4, …
De hele tallene Z er tallene …−3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …
De rasjonale tallene er alle tall som kan skrives som en brøk med hele tall i teller og nevner.
Partall er tall som kan skrives på formen 2n, n
Oddetall er tall som kan skrives på formen −∈nn21,
Absoluttverdi
x er tallet x hvis x er et positivt tall eller null, og tallet x hvis x er negativt.
Potenser
Regneregler
Kvadratrøtter
Definisjon: aa 2() = Regneregler: ⋅=⋅ abab og a b a b n-te røtter
Dersom a > 0, er an 1 det positive tallet b som er slik at ba n
Dersom a < 0 og n er et oddetall, er an 1 det negative tallet b som er slik at ba n
b Hva gjør programmet hvis vi endrer linje 1 fra t = 1 til t = 0?
c Hva gjør programmet hvis rad 4 og rad 5 bytter plass?
Oppgave 4
Avgjør om påstandene nedenfor alltid er sanne.
a Hvis a og b er rasjonale tall og b 0, så er a b et rasjonalt tall.
b Hvis a og b er irrasjonale tall og b 0, så er a b et irrasjonalt tall.
Oppgave 5
Finn verdien av uttrykket. Gi svaret på standardform med én desimal.
+ + 249 326 1,2310 2
Oppgave 6 ⋅ 10 19 J.
Hvor mange fotoner er det i en laserpuls som har totalenergien 1,0 J?
Oppgave 7
Ann-Mari har illustrert de fire første stjernetallene.
a Illustrer det femte stjernetallet.
b Bestem en formel for stjernetall nummer n
c Bruk formelen til å bestemme stjernetall nummer 10.
d Lag et program som regner ut summen av de 50 første stjernetallene.
Mer om funksjoner 5
5A Vekstfart 258
5B Den deriverte 268
5C Rasjonale funksjoner 286
5D Potensfunksjoner 296
5E Eksponentialfunksjoner 302
5F Valg av modell 313
I 1985 oppdaget tre forskere et dramatisk fall i ozonmengden over Antarktis. Hvorfor ble ikke dette oppdaget av satellitten Nimbus 7, som hadde avansert utstyr for ozonmålinger?
Ved nærmere undersøkelser viste det seg at satellitten helt siden 1976 hadde registrert lave ozonforekomster.
De hadde imidlertid blitt behandlet som ekstreme verdier, og automatisk blitt forkastet av dataprogrammet.
Denne feilen forsinket tiltak mot ozonnedbrytende stoffer med nesten et tiår.
I dette kapitlet skal du lære mer om funksjoner og modeller.
Når vi lager matematiske modeller, kan det noen ganger være klokt å forkaste ekstreme verdier, men vi må ikke gjøre det ukritisk!
SNAKK
Vekstfart
To gjenstander A og B beveger seg langs en rett strekning.
Tilbakelagt strekning til gjenstand A er a(t) meter etter t sekunder.
Tilbakelagt strekning til gjenstand B er b(t) meter etter t sekunder.
Figuren viser grafene til funksjonene a og b
Gjenstand B beveger seg med konstant fart, 12 m på 4,0 sekunder.
Hva er farten til gjenstand B?
Gjenstand A har ikke konstant fart.
Hva er gjennomsnittsfarten til gjenstand A i løpet av de tre første sekundene?
Vekstfarten til en funksjon sier noe om hvordan funksjonsverdiene endrer seg når x øker.
For lineære funksjoner er vekstfarten det samme som stigningstallet. Den viser hvor mye funksjonsverdien øker eller avtar når x-verdien øker med én
Hva om vi ikke har en lineær funksjon, men for eksempel en andregradsfunksjon? Hvordan kan vi da beskrive vekstfarten til funksjonen?
Spørsmålet har ikke noe klart svar, fordi vekstfarten nå vil avhenge av hvor på grafen vi befinner oss. Men vi kan spørre om hva vekstfarten er i gjennomsnitt i et intervall, altså fra en x-verdi til en annen.
I praktiske oppgaver er enheten for vekstfarten den samme som enheten for f(x) dividert med enheten for x
Gjennomsnittlig vekstfart
Vi skal se mer på funksjonene a og b i SNAKK ovenfor. På grafen til a kan vi for eksempel lese av punktene (0 , 0) og (3 , 9).
Når t endrer seg fra 0 til 3, endrer funksjonsverdien seg fra 0 til 9.
Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen i intervallet [0 , 3] er derfor
== 90 30 9 3 3
Den praktiske tolkningen av dette er at gjenstand A har gjennomsnittsfarten 3 m/s i tidsrommet fra t = 0 til t = 3. Dette er det samme som den konstante farten som gjenstand B har i det samme tidsrommet.
Vi tar nå for oss en vilkårlig funksjon f
(x2) f (x1)
På grafen til f har vi markert punktene () xfx11,() og () xfx22,()
Når x-verdien endrer seg fra x1 til x2, endrer funksjonsverdiene seg fra fx() 1 til fx() 2
Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [] xx , 12 er derfor fxfx xx ()21() 21
Dette er det samme som stigningstallet til den rette linja gjennom punktene () xfx11,() og () xfx22,()
Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet xx , 12 [ [] ] er
f ( x ) x = f ( x 2 ) f ( x1) x 2 x1
EKSEMPEL 1
En full vanntank rommer 60 liter. Vi åpner en kran i bunnen av tanken og lar vannet renne til tanken er tom.
I de 20 minuttene det varer, er vannvolumet V i liter gitt ved =−+Vxxx ()0,15660 2
der x er tiden målt i minutter etter at kranen ble åpnet.
Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 4] Hva forteller svaret?
Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 4] er 5,1.
Det betyr at vi tapper ut i gjennomsnitt 5,1 liter vann hvert minutt (liter/minutt) i perioden fra det har gått 2 til det har gått 4 minutter, altså i det tredje og det fjerde minuttet krana er åpen.
Med graftegner:
Vi tegner grafen og legger inn punktene () V 2,(2) og () V 4,(4) Så tegner vi linja gjennom punktene med Linje.
Vi ser at stigningstallet til linja er 5,1. Altså tappes det ut 5,1 liter hvert minutt.
5.1
Se eksempel 1.
a Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til V i intervallene nedenfor.
Gi en praktisk tolkning av svarene.
1 [0 , 2] 2 [16 , 18] 3 [0 , 20]
b Hva forteller svarene i eksempelet og i oppgave a om grafen til V?
5.2
En dag var temperaturen tilnærmet gitt ved
Her er T(x) temperaturen i grader celsius x timer etter kl. 8 om morgenen.
a Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 5]
Hva forteller svaret?
b Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 8]
Hva forteller svaret?
c Forklar hvorfor den gjennomsnittlige vekstfarten ble større i oppgave b enn i oppgave a.
5.3 (Eksamen 1T våren 2024)
Ada har lagd programmet nedenfor.
def f(x): return
- 3*x + 7 a = 0 b = 5 v = (f(b) - f(a))/(b - a) print(v)
Hvilken verdi skrives ut når Ada kjører programmet, og hva forteller denne verdien?
5.4
Vi lar en kopp med kaffe stå til avkjøling i et rom der temperaturen er 20 °C.
Grafen til funksjonen f viser temperaturen i kaffekoppen t minutter etter at vi satte den til avkjøling.
(grader celsius)
a Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [0 , 3] og i intervallet [8 , 11] Hva forteller svarene?
b Vi sammenlikninger de to intervallene i oppgave a. Gir det mening at vi sier at temperaturen synker raskest i intervallet [0 , 3], og samtidig sier at den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen er størst i intervallet [8 , 11]?
5.5 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021)
y
(4 , 4,7)
Timer etter midnatt (14 , 7,3)
Grafen ovenfor viser temperaturen ved Lindesnes fyr x timer etter midnatt et døgn i januar.
a Vis hvordan du kan regne ut stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene (4 , 4,7) og (14 , 7,3).
b Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
Momentan vekstfart
I mange sammenhenger er vi interessert i å finne vekstfarten til en funksjon for én bestemt x-verdi.
På figuren har vi tegnet inn punktet xfx11,() () og en linje som akkurat berører grafen i dette punktet. Denne linja kaller vi tangenten til grafen i xfx11,() () x
f(x)
(x1 , f (x1))
(x1 , f (x1))
Hvis vi zoomer inn på punktet () xfx11,() , er grafen og tangenten så godt som sammenfallende i dette punktet. Vekstfarten når x = x1 er altså stigningstallet til tangenten i punktet () xfx11,() . Denne vekstfarten kaller vi momentanvekstfart
Den momentane vekstfarten til en funksjon f når x = x1, er stigningstallet til tangenten til grafen i punktet xfx11,() ( () )
Å tegne en tangent uten digitale verktøy er ikke så lett. Vi kan bruke en linjal, men det er vanskelig å se nøyaktig hvordan vi skal legge den.
f(x)
Med GeoGebra bruker vi kommandoen Tangent(). x
EKSEMPEL 2
En dag var temperaturen tilnærmet gitt ved
TxxxD ()0,240,174,1,0,8 T 2 [] =++=
Her er T(x) temperaturen i celsiusgrader x timer etter kl. 8 om morgenen.
Finn den momentane vekstfarten når x = 3.
Hva forteller svaret?
Vi tegner grafen til T og en tangent i det aktuelle punktet med kommandoen Tangent(3,T).
Stigningstallet til tangenten er 1,6.
Den momentane vekstfarten er 1,6 °C/time. Dette forteller oss at temperaturen kl. 11 er i ferd med å øke med 1,6 °C/time.
5.6
Se eksempel 2.
a Finn den momentane vekstfarten når x = 6.
Hva forteller svaret?
b Forklar hvorfor du på forhånd kunne ha sagt at den momentane vekstfarten til funksjonen ble større i oppgave a enn den vi fant i eksempel 2.
5.7
Høyden av en plante er gitt ved
hxxxD ()0,12,150,[0,14] h 32 =−++=
Høyden er h (x) mm x dager etter at den ble plantet.
a Finn den momentane vekstfarten når x 3 og når x 12
Hva forteller svarene?
b Bruk grafen til h til å avgjøre når planten vokser raskest, dvs. når den momentane vekstfarten er størst.
5.8
På figuren til høyre er punktene ()Axfx11,() og ()Bxfx22,() inntegnet.
a Hva er den momentane vekstfarten til f når x = x1?
b Hva kan du si om den momentane vekstfarten til f når x = x2 sammenliknet med den når x = x1?
5.9
Figuren viser grafen til en funksjon f
a Hva er den momentane vekstfarten når x = 4?
b Hva kan du si om den momentane vekstfarten når x = 3 sammenliknet med den momentane vekstfarten når x = 5?
5.10
På figuren er det merket av fem punkter på grafen til en funksjon f a I hvilke av disse punktene er stigningstallet til tangenten 1 positivt 2 negativt 3 null b I hvilket av disse punktene er den momentane vekstfarten størst?
RØDE OPPGAVER
5.11
På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f og tangenter i punktene () f 1,(1) og () f 5,5,(5,5)
a Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallene [1 , 3] og [3 , 5]
b Hva er den momentane vekstfarten når x = 1?
c Hva er den momentane vekstfarten når x = 5,5?
d Hva er den momentane vekstfarten når x = 3?
5.12
En vårdag var temperaturen tilnærmet gitt ved
TtttD ()0,241,216,0,12 T 2 [] =−++=
der T(t) står for temperaturen i celsiusgrader t timer etter kl. 12.
a Bestem stigningstallet til den rette linja gjennom punktene () T 0,(0) og () T 12,(12)
Gi en praktisk tolkning av svaret.
b Hva kan du si om temperaturendringen rundt kl. 22?
5.13
Den veilengden som en bil kjører fra føreren ser en hindring i veibanen til bilen stopper, kaller vi stopplengden. En vinterdag er Erik på vei til hytta, og stopplengden S (målt i meter) er gitt ved
=+ Svvv ()0,30,014 2
når farten er v km/h.
a Bestem stigningstallet til den rette linja gjennom punktene () S 80,(80) og () S 90,(90)
Gi en praktisk tolkning av svaret.
b Bestem den momentane vekstfarten til S når x = 80 og når x = 90.
c Undersøk ved hvilken fart stopplengden er i ferd med å øke med 2 m per km/h?
(Hint: Lag et punkt på grafen som du kan skyve på.)
5.14
På figuren har vi tegnet inn grafen til en funksjon f og markert punktet Axfx11,() ()
a Hva kan du si om den momentane vekstfarten i x = x1?
b Hva kan du si om den momentane vekstfarten når
1 x < x1 2 x > x1
sammenliknet med den momentane vekstfarten når x = x1?
BLÅ OPPGAVER
5.15
En god tilnærming til den momentane vekstfarten til en funksjon når x = a er å finne den gjennomsnittlige vekstfarten i et veldig lite intervall [a , a + dx].
Tashiba har skrevet programmet nedenfor.
def f(x): return 1.19*x**3
a = 6
dx = 0.1
vekst = (f(a + dx) - f(a))/dx
print(round(vekst, 1))
a Sammenlikn utskriften i programmet med den momentane vekstfarten når x = 6.
b Foreslå en endring i koden som vil gi Tashiba et mer nøyaktig svar.
5.16
Funksjonen f er gitt ved fxx ()0,5 3 for ∈− x [3,3]
a Finn momentan vekstfart når x = 1 og x = 1.
b I hvilket punkt er den momentane vekstfarten lik null?
(Hint: Lag et punkt på grafen som du kan skyve på.)
5.17
Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx ()285 2
a For hvilken x-verdi er den momentane vekstfarten lik 6?
Et punkt ()Axfx11,() ligger på grafen til f slik at den gjennomsnittlige vekstfarten
i intervallet [] x 0, 1 er 1 3 .
b Bestem koordinatene til A
5.18
Om en andregradsfunksjon f får du opplyst at den momentane vekstfarten er 2 når x = 3, og at den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [ 3 , 1] er lik null.
a Lag ulike skisser som viser hvordan grafen til f kan se ut.
b Finn et mulig funksjonsuttrykk f(x).
SNAKK
Den deriverte
Se på figuren nedenfor.
Avgjør om stigningstallet til tangenten i de punktene som er avmerket på grafen er positivt, negativt eller null.
Hva vil du si om stigningstallet til tangenten i et topp- eller bunnpunkt?
Se på grafen i SNAKK ovenfor. Vi ser at den momentane vekstfarten er forskjellig for ulike x-verdier, og at til én bestemt verdi av x er det bare én bestemt verdi for den momentane vekstfarten.
Vi får altså en ny funksjon, la oss kalle den s. Den er slik at s(x) er stigningstallet til tangenten i punktet () xfx,() på grafen til f
I SNAKK ovenfor er s ( 2) = 9, s ( 1) = 0, s (0) = 3, s (1) = 0 og s (2) = 9.
Funksjonen som gir oss stigningstallet, vil vi kalle stigningstallfunksjonen
EKSEMPEL 3
a Bestem et uttrykk s(x) hvis f er gitt ved fxx () 2
b Bruk funksjonen s til å finne stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet () f 7,(7)
a Vi tegner grafen til f med noen punkter og tangenter.
For å få oversikt lager vi en verditabell. Vi leser av koordinatene til punktene xfx,() () og stigningstallene s(x) til tangentene.
x 3 2 10123
f(x) 9410149
s(x) 6 4 20246
Når vi sammenlikner verdiene til x og s(x), ser vi at vi kommer fra x til s ( x ) ved å gange med to.
Stigningstallsfunksjonen s ser altså ut til å være gitt ved sxx ()2 .
b Vi bruker funksjonsuttrykket vi fant i oppgave a. Det gir =⋅= s (7)2714 .
Stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet () f 7,(7) er 14.
5.19
Bruk en liknende framgangsmåte som i eksempel 3 til å finne et funksjonsuttrykk for stigningstallfunksjonen s Bestem deretter s( 5).
a =+fxx()4 2 b fxx ()3 2
c =−fxx()31 2
SNAKK
Ta utgangspunkt i eksempel 3 og oppgave 5.19 ovenfor.
Formuler en generell sammenheng mellom f(x) og s(x) når f(x) er et andregradspolynom.
5.20
Ta utgangspunkt i grafen til funksjonen f i SNAKK på side 268.
a Les av noen punkter på grafen og bruk regresjon til å finne en polynomfunksjon som passer perfekt med punktene.
b Bruk regresjon til å finne et funksjonsuttrykk s(x) som kan passe for stigningstallsfunksjonen s
Hvis vi finner gjennomsnittlig vekstfart i et veldig lite intervall, er den tilnærmet lik den momentane vekstfarten i et punkt. På den første figuren nedenfor er punktene xfx11,() () og xfx22,() () inntegnet.
Legg merke til at x 2 = x1 + x , slik at vi kan skrive stigningstallet til linja gjennom punktene som
f ( x1 + x ) f ( x1) x
Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [] xx , 12 er gitt av stigningstallet til den svarte linja i de tre første figurene.
Den momentane vekstfarten i x1 er gitt av stigningstallet til den grønne linja i den siste figuren. Jo mindre vi gjør Δx, desto mer likt blir stigningstallet til den grønne og den svarte linja.
Dette kan vi utnytte hvis vi vil tegne grafen til stigningstallfunksjonen.
EKSEMPEL 4
Når vi tegner i python, kaller vi det gjerne å plotte.
Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx ()34 3 , = Df [ 1 , 3].
a Lag et program som plotter grafen til stigningstallfunksjonen s sammen med grafen til f
b Forklar sammenhengen mellom grafen til f og grafen til stigningstallfunksjonen s
a Vi lager en funksjon s som regner ut vekstfarten i mange små intervaller x, og plotter grafen.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
dx = 0.01
def f(x):
# Delta x
# Definerer f return x**3 - 3*x + 4
def s(x):
# Definerer s return (f(x + dx) - f(x))/dx
x_verdier = np.linspace(-1, 3, 500)
plt.plot(x_verdier, f(x_verdier), label="f")
plt.plot(x_verdier, s(x_verdier), label="s")
plt.legend()
# legger inn navn på grafene plt.grid() # legger inn rutenett
plt.show() # viser grafene
b Grafen til f synker i intervallet –1,1
Det betyr at den momentane vekstfarten er negativ i dette intervallet. Funksjonsverdiene s(x) må altså være negative, og det samsvarer med at grafen til s ligger under x-aksen.
Når x = 1, har grafen til f et bunnpunkt.
Da er vekstfarten 0. Dette stemmer med at s har et nullpunkt.
Grafen til f stiger i intervallet 1,3 . Det betyr at den momentane vekstfarten er positiv i dette intervallet. Funksjonsverdiene s(x) er altså positive, og det samsvarer med at grafen til s ligger overx-aksen.
5.21
Plott grafen til stigningstallfunksjonen s sammen med grafen til f, for x ∈ [ 3 , 3].
Forklar sammenhengen mellom grafene.
a =−+fxx () 1 2 5 b =+fxx()4 2
c =−fxx()34 3 d =− fxxx () 42
5.22
Funksjonen s er stigningstallfunksjonen til en funksjon f Hvilke grafer hører sammen? (Sett sammen tall og bokstav.)
5.23
Funksjonen g er gitt ved =− gxxx ()4 3 , Df = [ 2 , 2].
Plott grafen til stigningstallfunksjonen s sammen med grafen til g. a Forklar sammenhengen mellom grafen til g og grafen til stigningstallfunksjonen s b Hvordan kan du bruke grafen til s til å avgjøre hvor g er brattest?
5.24
Vi har en funksjon f med tilhørende signingstallfunksjon s Figuren viser grafen til to funksjoner b og r Forklar hvilken av de to grafene som er grafen til f, og hvilken som er grafen til s
Den deriverte
Stigningstallfunksjonen s er utledet fra funksjonen f. Du kjenner kanskje det engelske ordet «derive» som betyr å utlede. Vi sier at vi får s ved å deriveref, eller at s er den deriverte av f. Vi har en egen skrivemåte for den deriverte funksjonen. I stedet for s skriver vi f
Den deriverte av funksjonen f i et punkt der x 3, skriver vi f (3) f (3) leser vi «den deriverte av f for x = 3» eller «f-derivert av 3».
Den deriverte av f for en vilkårlig x-verdi skriver vi fx()
Funksjonen f er slik at funksjonsverdien fx() er lik stigningstallet til tangenten i punktet xfx,() ( () ) på grafen til f
I stedet for å si at den momentane vekstfarten i punktet () f 3,(3) er 1,5, kan vi si at ′ = f (3)1,5 5.25
Figuren viser grafen til en funksjon f. Bruk figuren til å bestemme a ′ f (3) b f (3) c f (1)
I GeoGebra kan vi finne den deriverte i CAS og i algebrafeltet.
5.26
Finn fx(), f (2) og ′ f (3) uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.
a =+fxx()24 b =+fxx()25 c =−fxx()27 d =−+fxx()3 e =−+fxx()2 f =−−fxx()9
5.27
Finn fx() når f(x) = ax + b.
5.28
Funksjonene t og f er gitt ved
txx () 3 og fxx () 4
a Bestem tx()
Hva er sammenhengen mellom uttrykkene tx() og tx()?
b Bestem fx()
Hva er sammenhengen mellom uttrykkene fx() og fx()?
Med en derivasjonsregel kan vi finne fx() når vi kjenner f(x).
I oppgave 5.27 fant du én slik derivasjonsregel.
La f være en lineær funksjon gitt ved fxaxb () = =+ +
Da er fxa ()′′ = =
Fordi konstantleddet b ikke har noen betydning for hva den deriverte er, er det mange forskjellige lineære funksjoner som har den samme deriverte.
Dette betyr at vi med sikkerhet kan vite at ′ = fxa () når fxaxb () =+ , men hvis vi derimot vet at ′ = fxa () , så kan vi ikke vite hva funksjonsuttrykket f(x) er. Dette formulerer vi med en implikasjon
f ( x ) = ax + b f ( x ) = a
Så langt har vi også funnet disse reglene:
f ( x ) = x 2 f ( x ) = 2 x
f ( x ) = x 3 f ( x ) = 3 x 2
f ( x ) = x 4 f ( x ) = 4 x 3
Kanskje har du også sett at det er et mønster? Når r , kan det se ut som at
f ( x ) = x r f ( x ) = rxr 1
Dette skriver vi også slik: xrx rr 1 ()′ =⋅
Hva om vi vil derivere g gitt ved gxx ()4 2? Sammenliknet med fxx () 2 blir alle funksjonsverdiene 4 ganger så store.
Da blir også vekstfarten i et intervall 4 ganger så stor. Altså er det rimelig å anta gxxx ()428 ′ =⋅=
Hvis k er konstant, har vi generelt at når g(x) = kf(x) for en funksjon f, så er ′ =⋅ ′ gxkfx ()()
Hvis h(x) = f(x) + g(x), så vil stigningstallet til h være lik summen av stigningstallene til f og g, altså at ′ = ′ + ′ hxfxgx ()()()
I R1 skal vi bevise derivasjonsreglene. Her slår vi dem bare fast:
Forklar med egne ord hva derivasjonsreglene ovenfor sier.
Forklar at den siste regelen også gjelder for differanser, slik at ()′ = ′ ′ fxgxfxgx ()()()()
EKSEMPEL 5
Funksjonen f er gitt ved
fxxxx ()453 32
a Finn fx()
b Bestem stigningstallet til tangenten til grafen når x = 2.
a Vi deriverer ledd for ledd og får
b Stigningstallet til tangenten når x = 2 er ′ f (2)
(2)3(2)8(2)5 9 2
Altså er stigningstallet 9.
Med CAS:
SNAKK
5.29
Deriver funksjonene.
a fxx () 5 b gxx () 6
c hxx () 100 d ix()6
5.30
Deriver funksjonen uten digitalt verktøy. Kontroller med CAS.
a =+− fxxxx ()584 32
b =−+gxxx () 1 3 1 2 8 32
5.31
Funksjonen f er gitt ved =− fxxx ()4 2
a Finn stigningstallet til tangenten i punktet (3,3) på grafen til f
b Finn likningen til tangenten i det samme punktet.
5.32
Funksjonen f er gitt ved =+−+fxxxx () 1 3 34 32
a Bestem ′ f (2) og gi en tolkning av svaret.
b Løs likningen ′ =− fx()3
Hva forteller svaret?
c Løs likningen ′ = fx()0
Hva forteller svaret?
5.33
Funksjonen f er gitt ved =−++fxxxx ()442 32
For hvilke verdier av x er stigningstallet til tangenten til grafen lik
a 0
b 1
c 4
En tredjegradsfunksjon er gitt, og du får vite at ′ = fa()0
Hva kan du vite om punktet () afa,() på grafen til f?
Hva mer må du vite for å kunne avgjøre mer nøyaktig hva slags punkt det er?
Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon f og markert de stasjonære punktene A, B og C på grafen
Grafen til en funksjon f har et stasjonært punkt når fx()0′′ =
På nedsiden av grafen har vi tegnet fortegnslinja for f(x) og for den deriverte fx() Vi har også markert om en tangent i ulike intervaller er stigende eller synkende.
Se fortegnslinja for fx() og grafen til f
x der grafen stiger, er ′ > fx()0 x der grafen synker, er ′ < fx()0
()Aafa,() er et bunnpunkt på grafen til f
Da er ′ = fa()0, og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når x = a
()Ccfc,() er et toppunkt på grafen til f
Da er ′ = fc()0 , og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når x = c
()Bbfb,() er et terrassepunkt på grafen til f
Da er ′ = fb()0, men den deriverte skifter ikke fortegn når x = b a og c er x-verdiene til bunn- og toppunktene.
Merk!
Når vi i GeoGebra finner topp- og bunnpunkter på grafen med kommandoen Ekstremalpunkt, er det førstekoordinatene til disse punktene som er ekstremalpunktene til funksjonen.
Legg merke til at vi bruker ordet punkt både om et punkt på grafen til en funksjon og når vi bare er interessert i en x-koordinat.
Figurene ovenfor viser grafene til to funksjoner. Hvilken av de to funksjonene har en derivert som har fortegnslinja nedenfor? Begrunn svaret.
5.35
Tegn fortegnslinja for den deriverte. a
Figuren viser grafen til en funksjon f
a Tegn fortegnslinja for fx() ved å bruke grafen.
b Bestem funksjonsuttrykket f(x).
c Bestem funksjonsuttrykket fx()
d Hvordan stemmer fortegnslinja du tegnet i oppgave a, med funksjonsuttrykket du fant i oppgave c?
5.37
For en funksjon f kjenner vi fortegnet til fx() og fx()
Skisser grafer for f og f som passer til dette.
5.38 (Eksamen 1T våren 2023)
(–3,12 , 0)(1 , 0)(5,12 , 0)
2468 –4–2
Ovenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon f Nullpunktene til f er x = 4, x = 2, x = 4 og x = 6.
Lag en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. Husk å argumentere for hvorfor du mener skissen er riktig.
EKSEMPEL 6
Funksjonen f er gitt ved
=−+−fxxx ()31 32
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f
I topp- og bunnpunkter er tangenten til grafen vannrett. Vi finner for hvilke x-verdier ′ = fx()0 og tegner fortegnslinje for ′ fx() for å avgjøre om grafen har topp-, bunn- eller terrassepunkter for disse verdiene.
Vi lager fortegnslinja med testmetoden.
Fortegnet til den deriverte forteller oss at grafen har et bunnpunkt for x = 0 og et toppunkt for x = 2.
Bunnpunkt: () =− f 0,(0)(0,1)
Toppunkt: () = f 2,(2)(2,3)
Når vi skal finne funksjonsverdiene til topp- og bunnpunktet, må vi sette inn x -verdien i f ( x ), ikke i fx()
5.39
Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f a =+− fxxxx () 3 2 6 32 b =− fxxx ()3843
5.40
Av en kvadratisk plate med side 6 dm skal Eli lage en eske uten lokk ved å klippe bort et kvadrat i hvert hjørne og brette opp kantene.
Høyden på boksen er x dm.
a Finn et uttrykk for volumet V(x) i dm3 av esken.
b Hva må høyden av esken være for at den skal få størst mulig volum? Hva er det største volumet?
EKSEMPEL 7
Grafen til en tredjegradsfunksjon f har 1 , 16)
() f 1,(1) med stigningstall 12.
a Bestem fx() b Bestem f(x).
a Når f er en tredjegradsfunksjon med ekstremalpunktene 1 og 3, må f være en andregradsfunksjon med nullpunktene 1 og 3.
Da kan vi skrive ′ =+−fxaxx()(1)(3)
Tangenten i () f 1,(1) med stigningstall 12 forteller oss at ′ = f (1)12
Da har vi
a a a (11)(13)12
Altså er ′
3
2
b En generell tredjegradsfunksjon har fire koeffisienter.
Da trenger vi fire likninger.
Når grafen har bunnunkt ( 1 , 16), må f( 1) = 16 og ′ −= f (1)0
Når grafen har toppunkt (3 , 16),
må f(3) = 16 og ′ = f (3)0
Til sammen har vi altså fire likninger.
(Alternativt kunne vi erstattet en av dem med ′ = f (1)12.)
Vi bruker CAS til å løse likningssystemet og finne koeffisientene a, b, c og d
Funksjonsuttrykket er =−++−fxxxx ()3911 32
5.41 (Eksamen 1T høsten 2022)
Om grafen til en andregradsfunksjon f får du vite at 2 , 0) har likningen y = 9x + 18 10) har likningen y = 11x + 78
Bestem fx()
5.42 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021)
Figuren til høyre viser grafen til en tredjegradsfunksjon f.
Figuren viser også tangentene til grafen i tre ulike punkter.
Bruk tangentene til å finne funksjonsuttrykket til den deriverte funksjonen f
5.43 (Eksamen 1T våren 2022)
Grafen til en andregradsfunksjon f har
() f 1,(1) med stigningstall 0
() f 4,(4) med stigningstall 6
a Bestem fx()
Grafen til f skjærer y-aksen i punktet (0 , 4).
b Bestem fx()
5.44
Grafen til en tredjegradsfunksjon f har
() f 2,(2)
() f 6,(6)
a Bestem fx()
b Bestem f(x).
() f 3,(3) med likningen =−yx954
RØDE OPPGAVER
5.45
Finn fx() og f (3) når funksjonen f er gitt ved
a =+fxx()37 b =−+fxx()22 2 c =+ fxxx ()3 3 d fx()4
5.46
Ved produksjon og salg av x enheter av en vare er overskuddet i kroner gitt ved
O(x) = 0,3x2 + 210x 30 000 , x ≥ 0
a Bestem O(200) og O (200). Hva forteller svarene?
b Løs likningen ′ = Ox()0. Hva forteller svaret?
5.47
Skisser grafen til f i et koordinatsystem uten tall på y-aksen når grafen til f ser ut som på figurene nedenfor.
Skisser grafen til en funksjon f som stemmer med fortegnslinja til fx()
5.49
Figuren viser grafen til en funksjon g, med inntegnet tangent i punktet (3 , 3).
Bruk figuren til å
a tegne fortegnslinje for g(x) og gx()
b finne g (3)
c løse likningen ′ = gx()0
BLÅ OPPGAVER
5.50
Figuren til høyre viser grafen til f Skisser grafen til en funksjon f som passer til grafen på figuren, når du i tillegg får vite at f(0) = 4.
5.51
Ta utgangspunkt i fortegnslinjene for fx() og fx(), og skisser hvordan grafen til f kan se ut.
5.52
Funksjonen g er gitt ved =+−gxxx () 1 3 4 10 3 3
Grafen til g har to tangenter med stigningstall 5. Bestem likningene til disse tangentene.
5.53 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021) En funksjon f er gitt ved
=−−fxxx ()1 3
Grafen til f har to tangenter som er parallelle med linja =+yx 1 2 2
a Bestem en eksakt verdi for nullpunktet til hver av disse tangentene. b Tegn en fortegnslinje for f og en fortegnslinje for f
5.54 (Eksamen 1T høsten 2023)
En tredjegradsfunksjon f er gitt ved
=++−fxaxbxcx ()64 32
Punktet (8,0) er toppunkt på grafen til f Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [0 , 5] er 64 5 Bestem a, b og c
BLANDEDE OPPGAVER
5.115 (Eksamen 1T høsten 2021)
En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022. Anta at funksjonen S gitt ved
=−+≤≤ Sxxxxx ()0,7559,51200,052 32
kan brukes som en modell for hvor mange par ski S(x) butikken vil kunne selge per uke x uker etter salgsstart.
a Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5000 par ski, ifølge modellen?
b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () S 0,(0) og () S 12,(12) Gi en praktisk tolkning av svaret.
5.116 (Eksamen 1T våren 2012)
Funksjonen f gitt ved
=−++ fxxx ()0,052,600,50 2
viser sammenhengen mellom alder og vekt for en type griser.
Her er f(x) vekten til en gris målt i kilogram når grisen er x måneder gammel.
a Hvor mye veier en gris ved fødselen?
b Hva er alderen til en gris når vekten passerer 20 kg?
Hvor mye øker vekten i gjennomsnitt per måned fram til da?
c Hvor fort øker vekten til en gris når grisen er nøyaktig 12 måneder gammel?
En gris skal slaktes når vekten øker med mindre enn 0,5 kg per måned.
d Hvor gammel er en gris når den skal slaktes?
5.117 (Eksamen 1T våren 2024)
Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.
Solgte bagetter
100130160175190220235
Overskudd (kroner) 1450230030503365372041404175
a Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen O gitt ved
=−+− Oxxx ()0,0951,042776,98 2
er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger x bagetter i løpet av uka.
b Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen O, for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?
c Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () O 100,(100) og () O 200,(200) . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
5.118 (Eksamen 1T våren 2022)
En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut. Anta at funksjonen V gitt ved
kan brukes som en modell for hvor mange liter vann V(x) som er tappet ut av tanken x minutter etter at tappingen startet.
a Bestem V(0). Gi en praktisk tolkning av svaret.
b Bestem verdimengden til V
c Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?
d Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () V 0,(0) og () V 30,(30) Gi en praktisk tolkning av svaret.
e Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt?
5.119
Figuren viser grafen til funksjonen f
a Hva er f (1), f (3,5) og f (5) ?
b Bruk figuren til å finne f (6)
c Bruk figuren til å løse likningene 1 fx()1 2 ′ = fx()1
5.120 (Eksamen 1T høsten 2023)
Funksjonen f er gitt ved
=−−+fxxxx ()34 32
Bestem likningen til tangenten til grafen til f i punktet () f 1,(1)
5.121
Skisser en graf som passer til fortegnslinjene.
5.122
Er det mulig å skissere en graf som passer til fortegnslinjene?
Begrunn svaret.
5.123
Skisser grafen til f i et koordinatsystem uten tall på y-aksen når grafen til f ser ut som på figurene nedenfor.
a b c
5.124
Figuren til høyre viser grafen til funksjonen f a Tegn en fortegnslinje for fx() b Skisser grafen til f
5.125
Funksjonen f er gitt ved
=−+ fxxx () 1 2 3 2
Grafen til f har en tangent med stigningstall 5.
Bestem likningen til denne tangenten.
5.126
Funksjonen f er gitt ved =+fxx()31 2
Grafen til f har en tangent med likning =−yx1211
Bestem koordinatene til tangeringspunktet.
5.127 (Eksamen 1T våren 2024)
Den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre, er den deriverte av en funksjon f
Punktet P(1 , 2) ligger på grafen til f
Bestem likningen til tangenten til grafen til f i punktet P
Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.
5.128
Om funksjonen f får du vite at
=+fa(3)3
′ = fa (3)
a Finn likningen til tangenten til f i punktet x = 3.
b Tangenten skjærer x-aksen i x = 5. Finn a
5.129
Funksjonen g er gitt ved
=−+gxxx ()341 2
En tangent til grafen har stigningstall 2. Finn likningen til tangenten.
5.130 (Eksempeleksamen 1T våren 2021)
Figuren til høyre viser grafen til en funksjon f Nullpunktene til f er 4, 0 og 4, og bunnpunktene har koordinater 22,64 () og 22,64 ()
Tegn en fortegnslinje for f og en fortegnslinje for f
5.131 (Eksamen 1T våren 2022)
Funksjonen f er gitt ved
=−⋅++⋅ fxxbxbx ()2(3) 322 , der b
a Vis at f bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av b b Løs likningen ′ = fx()0
For hvilke verdier av b har grafen til b bare ett stasjonært punkt?
Dersom b 0, har grafen til f to tangenter med stigningstall 3.
c Bestem likningene for disse tangentene.
5.132 (Eksamen 1T høsten 2021)
Til høyre ser du grafen til en tredjegradsfunksjon f Grafen har bunnpunkt ( 2 , 11) og toppunkt (4 , 25).
Likningen til tangenten til grafen i punktet (1 , 7) er y = 9x 2.
Skisser grafen til den deriverte funksjonen f
5.133
Til høyre ser du grafene til polynomfunksjonene f og g
a Bestem f (0) og f (0)
b Løs likningen fxgx ()()
c Tegn fortegnslinje for gx() og for gx()
d Forklar ut fra grafen til g hvorfor ′ < ′ gg(1)(2)
5.134
Figuren nedenfor til venstre viser grafene til førstegradsfunksjonen t og andregradsfunksjonene f, g og h
Figuren nedenfor til høyre viser grafene til tredjegradsfunksjonene p, q, r og s som er gitt ved =⋅ pxtxfx ()()() =⋅ qxtxgx ()()() =⋅ rxtxhx ()()() =⋅ sxtxkx ()()()
a Hvilken graf (A, B, C eller D) tilhører hver av funksjonene p, q og r? Begrunn svaret.
b Lag en skisse av andregradsfunksjonen k som gjør at den fjerde grafen passer til funksjonen s
5.135 (Eksamen 1T høsten 2017)
Om en lineær funksjon f får du vite at f (2)4
′ = f (2)3
Bestem funksjonsuttrykket fx()
5.136
Funksjonen g er gitt ved =−+ gxxxk () 3 , der k ∈ R
Bestem k slik at linja y = 11x 14 er en tangent til grafen til g
5.137
Funksjonen f er gitt ved
=++−fxxbxcx () 1 3 3 42 , der b og c er konstanter
Grafen til f har et bunnpunkt i () f 1,(1) og en tangent med stigningstallet 3 i () f 2,(2)
Bestem de eksakte verdiene av b og c
5.138
Funksjonen f er gitt ved
=−+ fxxbxx () 32
a Undersøk hvordan antall nullpunkter for f avhenger av b Avhengig av b har grafen til f enten én eller to tangenter med stigningstall 1. b For hvilken verdi av b har grafen bare én tangent med stigningstall 1?
5.139 (Eksamen 1T våren 2019)
Du får vite følgende om fire funksjoner p, q, r og s:
′ = p (0)0 og ′ −< p (1)0
′ =− q (1)2 og ′ =− q (2)2
Den gjennomsnittlige vekstfarten til r i intervallet [2,0] er 3.
Tangentene til grafen til s i punktene () s 2,(2) og () s 2,(2) har likningene =−−yx816 og =−+yx816
Nedenfor ser du seks grafer. Hvilken graf er grafen til p, grafen til q, grafen til r og grafen til s?
Husk å begrunne svarene dine.
5.140 (Eksamen 1T høsten 2023)
En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og lagd en modell gitt ved
Fxxxxx () 1
1000 0,0275,82207900 , 32 () =⋅ −++ ∈ [0 , 80]
for folketallet F(x) tusen innbyggere i området x år etter 1960.
a Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.
b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () F 30,(30) og () F 70,(70) Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
c Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?
5.141 (Eksamen 1T våren 2023)
De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkter noen dager hver uke.
er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen Tx() °C hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar x = 2 svare til 1. februar, x = 3 til 1. mars, x = 4 til 1. april og så videre.
a Omtrent hvor mange døgn i perioden 1. februar−1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over 0 °C ifølge modellen?
b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene ( ) T 3,(3) og () T 7,(7) Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.
c Gjør rede for nullpunkter og ekstremalpunkter til den deriverte funksjonen T Gjør rede for hva koordinatene til hvert av punktene forteller om gjennomsnittstemperaturen utenfor huset til Lars.
5.142
Ta for deg funksjonen f gitt ved = + fxx x () 24 1
a Ligger punktene ( 1 , 1) og (3 , 5) på grafen til f? Begrunn svaret.
b Bestem likningen til den loddrette asymptoten til grafen til f. Hva er Df?
c Bestem likningen til den vannrette asymptoten til grafen til f. Hva er Vf?
5.143
Finn likningen til asymptotene til funksjonen.
a = + + fxx x () 52 21 2 b = ++kxxx xx () 2711 45 2 2
5.144
Ta for deg funksjonen = fxxx x () 2 1 2
a Finn nullpunktene til funksjonen.
b Finn skjæringspunktet mellom grafen til funksjonen og andreaksen.
c Finn den loddrette asymptoten.
d Bruk polynomdivisjon til å vise at f har en skrå asymptote.
e Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 3]
5.145
Ta for deg funksjonen gitt ved = + fxx x () 3 1 2 2
a Forklar at fx()0 for alle verdier av x
b Løs likningen fx()0
c Vis at −= fxfx ()() . Hva forteller det om grafen til f?
d Finn eventuelle asymptoter.
e Finn bunnpunktet på grafen til f
f Skisser grafen til f
5.146 (Eksamen 1T høsten 2023)
Nedenfor ser du grafen til funksjonen f gitt ved = + fx x () 8 20 2
Rektangelet under grafen har hjørner i punktene (0 , 0), (5 , 0), () f 5,(5) og f 0,(5) ()
a Bestem arealet av rektangelet.
b Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene (0 , 0), (n , 0), () nfn,() og () fn 0,() for n {1,2,3,...,10}
c Bestem k slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene (0 , 0), (k , 0), kfk,() () og () fk 0,() , blir størst mulig.
y
5.147 (Eksamen 1T høsten 2021)
Skissen til høyre viser grafen til funksjonen f gitt ved fx x () 1 og tangenten til grafen i punktet sfs,() ()
a Vis at likningen til tangenten er =−⋅+ y s x s 12 2
Tangenten skjærer koordinataksene i punktene A og B
b Bestem koordinatene til A og B uttrykt ved s
c Bestem arealet av OAB
5.148 (Eksamen 1T høsten 2013)
En kjegle er innskrevet i en kule. Kula har sentrum i S og radius R = 3. Grunnflaten i kjegla har radius r
Høyden i kjegla er h = 3 + y, der y er avstanden fra S til grunnflaten i kjegla. Se skissen til høyre.
Sett r = 2.
a Hvor høy er kjegla?
b Bestem volumet av kjegla.
Sett nå r = x.
c Vis at volumet av kjegla da er gitt ved fxx () 1 3 2 =π⋅⋅ x 39 2 () +−
5.149
Beløpet på en sparekonto økte fra 2000 kr til 2295 kr på fire år. Hva var renta i prosent per år?
5.150
d Hvor stor må radius og høyde i den innskrevne kjegla være for at volumet av kjegla skal bli størst mulig? Hvor stort blir volumet?
a Finn f(0) og ff(1)(0) når f er en lineær funksjon gitt ved =+ fxaxb () Kommenter.
b Finn g(0) og g g (1) (0) når g er en eksponentialfunksjon gitt ved =⋅ gxab () x Kommenter.
5.151 (Eksamen 1T høsten 2021)
En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.
a Sett opp en modell L(x) som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.
b Sett opp en modell E(x) som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.
c Tegn grafen til funksjonen gitt ved
F(x) = L(x) − E(x) , x [0,13]
d Bestem toppunktet på grafen til F og skjæringspunktene mellom grafen til F og hver av de rette linjene x = 12 og y = 12. Gi en praktisk tolkning av svarene du får.
5.152
Lufttrykket avtar med høyden over havet. Vi måler trykket i hektopascal (hPa).
Normalt lufttrykk ved havoverflaten er 1013 hPa.
Lufttrykket avtar med 12 % per 1000 meter over havet.
a Hva er normalt lufttrykk 1000 meter over havet?
Funksjonen f er gitt ved fx()10130,88 x =⋅
b Forklar at f er en matematisk modell for lufttrykket når x er høyden over havet målt i kilometer.
c Bruk grafen til å finne normalt lufttrykk på toppen av Galdhøpiggen, 2469 meter over havet, og
Mount Everest, 8850 meter over havet (ifølge de siste målingene).
d På en fjelltur har du med deg et barometer som viser at lufttrykket på stedet er 800 hPa.
Hvor høyt over havet er du da? Hvorfor kan du ikke være sikker på at denne høyden er helt korrekt?
5.153 (Eksamen 1T høsten 2024)
Funksjonen P gitt ved
P(x) = 3600 0,85x + 600
er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis x år etter 2010.
a Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.
b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () P 4,(4) og () P 14,(14) Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
c Bestem den momentane vekstfarten når x = 10. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.
I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.
d Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?
5.154
For å vise tilnærmet utviklingen av antall solgte elbiler i Norge i årene 2003−2013 bruker vi en funksjon S som har to forskjellige uttrykk som gjelder i hver sin del av definisjonsmengden [0 , 10]
S(x) er antall solgte elbiler x år etter 2003, slik at x = 0 svarer til 2003.
a Finn antall solgte elbiler i 2007 og i 2012.
b Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallene [0 , 7] og [8 , 10] Hva forteller svarene?
c Vurder om modellen egner seg for å si noe om antall solgte elbiler i dag.
5.155
En eksponentialfunksjon f er gitt ved =⋅ fxab () x Grafen til funksjonen går gjennom punktene (1 , 10) og (3 , 250).
Bestem funksjonsuttrykket.
5.156
Silje la ut en video på TikTok. Den første uka var det 100 stykker som så videoen. For hver uke de påfølgende ukene, var det 15 % flere som så videoen enn uka før. Lag et program som finner hvor mange som så videoen den tjuende uka. Utvid programmet slik at det også finner det totale antallet som hadde sett videoen etter tjue uker.
5.157 (Eksamen 1T høsten 2023)
I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur.
Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene på figuren. Lengdene av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.
90 cm
100 cm
a Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene på figuren.
b Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker på figuren. Hvor mange linjestykker må vi ha med på figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?
c Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker på figuren fra 50 til 100?
5.158 (Eksamen 1T våren 2024)
Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa). Jo høyere over havet vi befinner oss, desto lavere er lufttrykket. Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa.
Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn 100 °C.
Se tabellen nedenfor.
Lufttrykk (hPa)Kokepunkt for vann (°C)
a Bestem en modell K på formen =⋅ Kxax () b
som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket x hPa og kokepunktet K(x) °C.
Ari: Betyr dette at det ikke går an å få egg hardkokte oppe på et høyt fjell?
Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn 85 °C.
Lisa: Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?
Ari: Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er x kilometer over havets overflate.
Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. 12 % per km.
Lisa: Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver 5,5 km.
Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.
b Lag modellene for Ari og Lisa.
c Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?
5.159 (Eksamen 1T høsten 2022)
Figuren til venstre viser en pendel. Tiden pendelen bruker på å svinge fra posisjon A til posisjon B og tilbake til posisjon A igjen, kalles svingetiden.
Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder.
Tabellen nedenfor viser svingetiden til pendler med åtte ulike snorlengder.
a Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen
Sxax () b
som viser svingetiden S(x) sekunder til en pendel med snorlengde x meter.
Formelen
T L g 2π =
Snor
kan brukes til å regne ut svingetiden T til en pendel, når vi ser bort fra friksjon og luftmotstand.
L er snorlengden gitt i meter, og g er tyngdens akselerasjon.
På jorda er g = 9,81 m/s2
b Vis at denne formelen kan forenkles til TL 2
c Sammenlikn modellen du fant i oppgave a med formelen for T
5.160 (Eksamen 1T våren 2022)
Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.
Formel for å regne ut volumet av en boks med radius r og høyde h
=π⋅⋅ Vrh 2
Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen
=π⋅+⋅π⋅⋅ Orrh 2 2
Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha V på 450 cm3 O
Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen
=π⋅⋅ Vrh 2
a Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.
Radius, r (cm)Høyde, h (cm)Overflate, O (cm2)Volum, V (cm3)
Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius. b Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.
c Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?
SAMMENDRAG
Gjennomsnittlig vekstfart
f (x2) f (x1)
Momentant vekstfart. Den deriverte
(x)
(x1)
f ( x ) x = fx 2 () fx1 () x 2 x1 ′ = fxa () 1
Momentan vekstfart til f i x = x1 er stigningstallet for tangenten i () xfx11,() x1 x2 x f (x) x2 –x1 f (x2) –f (x1)
Rasjonale funksjoner fxpx qx () () () , der p og q er polynomfunksjoner.
Hvis verken p eller q er av høyere grad enn 1, kan funksjonen skrives på formen = + fxa xr c ()
x = r er en loddrett (vertikal) asymptote. y = c er en vannrett (horisontal) asymptote.
Potensfunksjoner
Vannrett asymptote Loddrett asymptote
Eksponentialfunksjoner
=⋅ fxax () b , der a 0, b 0 =⋅ fxab () x , der a 0 og b 0
Hvis b 0 , er D 0, f [ =→ a er funksjonsverdien når x = 0. Hvis b 0, er D 0, f =→ b er vekstfaktoren.
Df
)
< 1
KAPITTELTEST
Oppgave 1
Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx () 1 2 46 2
a Finn gjennomsnittlig vekstfart for f i intervallet [2 , 8]
b Bestem f(5) og f (5)
Oppgave 2
Figuren viser grafen til tredjegradsfunksjonen f
Oppgave 4
Anita har med seg en termos med kaffe på jobben. En modell for temperaturen i termosflaska er =⋅+ ft()600,920 t Her står ft() for temperaturen i °C ved tiden t timer etter at kaffen ble fylt på termosen.
a Hva var temperaturen i kaffen da den ble helt på termosen?
b Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i kaffen er under 50 °C?
c Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene f 3,(3) () og () f 6,(6) Gi en praktisk tolkning av svaret.
d Bestem den momentane vekstfarten når x = 10. Gi en praktisk tolkning av svaret.
e Gi en praktisk tolkning av tallet 20 i modellen.
Oppgave 5
a Løs likningen ′ = fx()0
b Tegn fortegnslinja for fx()
Tangenten til grafen i f 2,(2) () har stigningstall 3 2
c Finn funksjonsuttrykket fx()
Oppgave 3
Figuren viser grafen til en funksjon g
Hva ser ut til å være funksjonsuttrykket g(x).
Argumenter for svaret.
Tuppen og Lillemor lager fem kuleformede snøballer i ulik størrelse. De måler først diameteren med en linjal og bestemmer deretter volumet av dem i et litermål.
a Hjelp Tuppen og Lillemor med å lage en modell d på formen
=⋅ dVaV () b
som tilnærmet viser sammenhengen mellom volumet V mL og diameteren d(V) cm.
Radien r i en kule med volum V er gitt ved formelen
r V 3 4 3 = ⋅π
b Gjør nødvendige beregninger og vurder samsvaret mellom denne formelen og modellen i oppgave a.
Trigonometri 6
6A Trigonometriske forhold 339
6B Generelle definisjoner 356
6C Arealsetningen 362
6D Sinussetningen 368
6E Cosinussetningen 374
Ordet trigonometri betyr trekantmåling og dreier seg om sammenhenger mellom vinkler og sider i en trekant.
Struvesmeridianbue består av mange målepunkter og går gjennom 10 land. Den 282 mil lange buen starter i Hammerfest og ender opp ved Svartehavet i Ukraina. Astronomen Friedrich Georg Wilhelm Struve ledet fra 1816 til 1855 arbeidet med meridianbuen. Formålet var å bestemme størrelse og form på planeten vår så nøyaktig som mulig.
Med utgangspunkt i kjente punkter, vinkelmålinger og observasjoner mot stjerner bestemte han plasseringen av nye punkter. Dette er grunnlaget for moderne kart- og oppmålingsarbeid, som i dag gjøres med GPS.
Struves arbeid er et eksempel på praktisk bruk av trigonometri.
Noen spesielle mangekanter
Rettvinklet trekant
Trekant der én vinkel er 90°.
Likesidet trekant
Trekant der alle sider er like lange og alle vinkler er 60°.
Halvt likesidet trekant
Trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°. I slike trekanter er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.
Likebeint trekant
Trekant der to sider er like lange og to vinkler er like store.
Kvadrat
Firkant der alle sider er like lange og alle vinkler er 90°.
Rektangel
Firkant der to og to sider er like lange og alle vinkler er 90°.
Vinkler og lengder i mangekanter
Nedenfor ser du en figur av trekanten ABC, ABC
Vinkelen i hjørnet A kan vi skrive som
Linjestykket BC er motstående side til vinkel A og har lengden a
Vi skriver BC = a. Videre er AC motstående side til vinkel B og har lengden b AB er motstående side til vinkel C og har lengden c
Vinkelsummen i en trekant er 180°.
ABC 180
Vinkelsummen i en firkant er 360°.
ABCD 360
Pytagorassetningen
A = 90° a2 = b 2 + c 2
SNAKK Kan en trekant være både rettvinklet og likesidet? Kan en trekant være både rettvinklet og likebeint? Hva er summen av de to andre vinklene i en rettvinklet trekant? Er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den korteste kateten?
Trigonometriske forhold
Formlikhet
Bildet lengst til venstre er en forstørrelse av det midterste bildet, og bildet til høyre er speilvendt.
Når vi forminsker, forstørrer, roterer, forskyver eller speilvender en figur, får vi en formlik figur. I formlike figurer er tilsvarendevinkler like store. På bildene ovenfor har vi markert et eksempel på tilsvarende vinkler.
SNAKK
Er alle likesidede trekanter formlike? Er alle rettvinklede trekanter formlike?
I trekantene nedenfor er ∠=∠AD , ∠=∠BE og ∠=∠CF
Trekantene ABC og DEF er formlike fordi vinklene er parvis like store. Det kan vi skrive slik: ABC DEF
Sider markert med samme farge på figuren ovenfor er tilsvarendesider Forholdet mellom lengdene av to tilsvarende sider er lik forholdet mellom to andre tilsvarende sider. Vi kan for eksempel skrive AB DE AC DF eller c f b e
EKSEMPEL 1
Hvis vi multipliserer på begge sider med DE og dividerer på begge sider med AC, får vi
AB AC DE DF eller c b f e
Forholdet mellom lengdene av to sider i den ene av to formlike trekanter er lik forholdet mellom lengdene av de to tilsvarende sidene i den andre trekanten.
Når vi kjenner forholdet mellom lengdene av to sider i en trekant, kan vi bruke det til å finne lengden av en ukjent side i en annen trekant som er formlik.
Bestem lengden av EF
Vinklene er parvis like store, så trekantene ABC og DEF er formlike.
Forholdet mellom BC og AB er BC AB 4 5 0,8
Forholdet EF DE er derfor også lik 0,8. Det gir
EF EF 8 0,8 6,4
Lengden av EF er 6,4.
6.1
a Begrunn at trekanten GHI er formlik med trekantene i eksempel 1.
b Bestem lengden av GH
38,7° 12 IG H
Motstående og hosliggende kateter
Når vi jobber med rettvinklede trekanter, er det nødvendig å skille mellom de to katetene, avhengig av hvilken vinkel vi ser dem fra.
Hosliggende katet til vinkel A Hypotenus Motstående katet til vinkel A
Sett fra vinkel A
AB er hosliggende katet. BC er motstående katet.
6.2
Figuren viser en rettvinklet trekant ABC
Motstående katet til vinkel C Hypotenus Hosliggende katet til vinkel C
Sett fra vinkel C
AB er motstående katet. BC er hosliggende katet.
a Hvor lang er hypotenusen?
b Hvor lang er den hosliggende kateten til vinkel A?
c Hvor lang er den motstående kateten til vinkel B?
d Hva er forholdet mellom lengden av den motstående kateten og lengden av den hosliggende kateten til vinkel A?
e Hva er forholdet mellom lengden av den hosliggende kateten til vinkel B og lengden av hypotenusen?
f Vis at pytagorassetningen stemmer for ABC
Trekantene DEF og GHI er formlike med trekanten ABC
g Hvilke vinkler i DEF og GHI er like store som B ?
h Bestem verdien av forholdet d e
i Bestem verdien av forholdet g i
UTFORSK
Tegn en rettvinklet trekant der en av vinklene er 35°.
Mål lengden av sidene med en linjal.
Ta utgangspunkt i vinkelen på 35° og regn ut forholdet mellom lengdene av
Sammenlikn resultatene dine med andres, eller tegn flere større og mindre trekanter selv og gjenta beregningene av forholdene.
Kommenter og forklar.
Konstante forhold i rettvinklede trekanter
Hypotenus
v
Hosliggende katet til v
Hypotenus
Motstående katet til v
Motstående katet til v
v
Hosliggende katet til v
Forholdet mellom lengdene av motstående katet og hosliggende katet til en vinkel v i en rettvinklet trekant er det samme, uavhengig av størrelsen på trekanten. Tilsvarende er forholdet mellom lengdene av motstående katet og hypotenus og forholdet mellom lengdene av hosliggende katet og hypotenus også det samme.
Hva om vi lagde tabeller med disse tre forholdene for heltallige vinkler mellom 0° og 90°? Nedenfor ser du et utdrag fra en slik tabell der forholdene er avrundet til 4 desimaler.
6.3
I en rettvinklet trekant ABC er ∠=° A 42 og ∠=° B 90 Bruk tabellen ovenfor til å finne forholdet mellom
a AB og AC
b BC og AB
c BC og AC
6.4
I en rettvinklet trekant DEF er ∠=° E 90 , DE = 10,0 cm og EF = 7,0 cm.
a Tegn trekanten.
b Bestem forholdet mellom EF og DE
c Bruk tabellen ovenfor til å bestemme ∠D Kontroller svaret med en gradskive.
6.5
I en rettvinklet trekant GHI er ∠=° G 31 , ∠ =° H 90 og GH = 10,0 cm.
Bruk blant annet tabellen ovenfor til å bestemme lengden av HI
6.6
I en rettvinklet trekant JKL er ∠J = 30° og ∠=° K 90
Begrunn at forholdet mellom KL og JL er eksakt lik 1 2
Sinus, cosinus og tangens
Forholdene vi har sett på i rettvinklede trekanter, har egne navn.
Forholdet mellom lengden av den motstående kateten til en vinkel v og lengden av hypotenusen har fått navnet sinustilv. Vi skriver dette som sin v
På tilsvarende måte har forholdet mellom lengdene av den hosliggende kateten og hypotenusen fått navnet cosinustilv. Vi skriver dette som cos v
Videre har forholdet mellom lengdene av den motstående og den hosliggende kateten til vinkel v fått navnet tangenstilv. Vi skriver dette som tan v
Av tabellen på side 343 kan vi for eksempel se at
sin 35° = 0,5736 cos 35° = 0,8192 tan 35° = 0,7002
Hvordan stemmer dette med resultatene dine i UTFORSK på side 342?
v v sin
motståendekatettil hypotenus
v v cos hosliggende katettil hypotenus
Hypotenus
Motstående katet til v v
Hosliggende katet til v
motståendekatettil hosliggende katettil
v v v tan
Før i tiden var det vanlig å slå opp i tabeller for å finne sinus, cosinus og tangens til en vinkel. Nå bruker vi vanligvis digitale verktøy til å finne trigonometriske verdier.
Finn tilnærmet verdi med fire desimaler for sinus, cosinus og tangens til 38,7°.
Legg merke til parentesen rundt vinkelen. Hurtigtasten for gradtegn er Alt + o.
For noen utvalgte vinkler kan vi utlede eksakte trigonometriske verdier.
EKSEMPEL 3
Finn eksakt verdi for sinus, cosinus og tangens til 30°.
Hvis en av vinklene i en rettvinklet trekant er 30°, er den siste vinkelen 60°. I en slik 30°−60°−90°-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten.
Vi velger å sette lengden av den korteste kateten lik 1. Hypotenusen har da lengden 2. Se hjelpefiguren nedenfor.
Selv om vi velger en lengde for den motstående kateten, gjelder resultatene generelt. Det er fordi forholdene er de samme for alle mulig valg, så lenge vinkelen er 30°.
Vi bruker definisjonen av sinus og får
°=sin30 1 2
motståendekatet hypotenus
For å komme videre må vi regne ut den hosliggende kateten AB Pytagorassetningen gir
= = AB AB AB 12 3 3 222 2
Vi bruker definisjonen av cosinus og får
°=cos30 3 2
hosliggende katet hypotenus
Vi bruker definisjonen av tangens og får
°=tan30 1 3
Merk!
motståendekatet hosliggende katet
CAS kan også gi oss eksakte verdier.
Tilsynelatende får vi her et annet svar enn i eksempel 3, men vi kan vise at de to svarene er like:
⋅ = 1 3 3 3 3 3 33 1 3
6.7
Finn med digitalt verktøy en tilnærmet verdi med to desimaler for a sin 70°
b cos 70°
c tan 70°
6.8
Ta utgangspunkt i hjelpefiguren i eksempel 3 og finn eksakt verdi for a sin 60°
b cos 60°
c tan 60°
6.9
Ta utgangspunkt i figuren til høyre og finn eksakt verdi for a sin 45°
b cos 45°
c tan 45°
6.10 (Eksamen 1T høsten 2022)
Gitt trekanten til høyre.
Vis at u u u sin cos tan
6.11 (Eksamen 1T våren 2024)
Tom har arbeidet med trekanten til venstre
og påstår at ⋅=uv tantan1
a Vis at Tom har rett.
b Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler u og v
6.12 (Eksamen 1T våren 2022)
Om en rettvinklet trekant ABC får du vite at ∠= B tan 3 4
∠= B sin 3 10 ?
Husk å begrunn alle tre svarene.
Fra forholdstall til vinkel
For hver spiss vinkel v i en rettvinklet trekant har vi sett at det fins en bestemt verdi for forholdene sin v, cos v og tan v
Omvendt gjelder at til hver verdi av forholdet svarer det en bestemt spiss vinkel v. Å gå fra forholdstallet til vinkelen heter arcus eller invers
I oppgave 6.4c fant du ut at arcus tangens til 0,7 var 35°.
Av oversikten med eksakte verdier ovenfor kan vi for eksempel se at 1 2 er 60° 1 2 er 30°
Det varierer hvordan kommandoer for dette ser ut i digitale verktøy. Arcus tangens forkortes for eksempel gjerne arctan, eller bare atan. En vanlig skrivemåte for invers tangens er tan 1
EKSEMPEL 4
Finn vinkelen v i en rettvinklet trekant når cos v = 0,35.
I CAS kan vi skrive acosd(0.35) og klikke på
I «acosd» gjør d at vi får svaret i grader (degree).
Alternativt kan vi skrive acos(0.35)/° og klikke på
Vi skriver /° for å få svaret i grader.
En tredje måte i CAS er å løse en likning.
Da kan vi få flere løsninger. Siden vi foreløpig bare er interessert i vinkler mellom 0° og 90°, legger vi inn dette som en betingelse.
Med Python kan vi gjøre slik: 1 2 3 4 from numpy import arccos, degrees v = arccos(0.35) print(degrees(v))
Vi klikker vi på
Vi skriver degrees(v) for å få svaret i grader.
Når vi kjører programmet, får vi utskriften 69.51268488527734
I alle tilfeller har vi funnet at vinkel v er 69,5°.
Merk!
I de fleste digitale verktøy er radianer standard vinkelmål. Det er grunnen til at vi i eksempelet måtte gjøre ulike grep for å få svaret i grader. Vinkelmålet radianer er tema i Matematikk R2.
6.13
Finn vinkelen v i en rettvinklet trekant når a v cos0,25 b v sin0,83 c v tan3,9
EKSEMPEL 5
6.14
Finn vinkelen v i en rettvinklet trekant når
Ukjente sider og vinkler i rettvinklede trekanter
Finn vinkel u
Vi kjenner den motstående kateten til vinkel u og hypotenusen.
Da kan vi bruke definisjonen av sinus til å finne vinkel u
motståendekatet hypotenus
Vinkel u er 53,1°.
EKSEMPEL 6
Finn de ukjente vinklene i trekanten ABC
Vi kjenner katetene i trekanten. Da kan vi bruke definisjonen av tangens til å finne for eksempel vinkel A
motståendekatet hosliggende katet
Vinkel A er 32,0°.
Vi kan finne vinkel C på tilsvarende måte, men siden vi nå kjenner to av de tre vinklene, er det enklest å bruke at vinkelsummen i en trekant er 180°.
Vinkel C er 58,0°.
6.15 Finn vinkel x
6.16
Finn de ukjente vinklene i trekanten ABC
6.17
Finn vinkel v 1
EKSEMPEL 7
På figuren er avstanden BC fra punktet B til dronen lik 50 m.
BC danner vinkelen 22° med en horisontal slette.
a Hvor høyt over bakken er dronen?
b Hva er avstanden mellom punktene A og B?
a Høyden AC er motstående katet til vinkel B. Videre kjenner vi hypotenusen. Derfor bruker vi definisjonen av sinus til å sette opp en likning som AC må oppfylle.
Dronen er omtrent 19 m over bakken.
Vi klikker vi på .
b Avstanden mellom punktene A og B er hosliggende katet til vinkel B Derfor bruker vi cosinus.
Avstanden mellom punktene A og B er omtrent 46 m.
Merk!
Etter å ha funnet AC i første del av eksempel 7 kunne vi ha valgt å finne AB med pytagorassetningen.
=−=−=ABBCAC22225018,7346,36
I så fall er det god praksis å ta med noen flere desimaler i AC enn det var i det avrundede svaret på oppgave a.
EKSEMPEL 8
Finn lengden av siden AB når B tan 1 4
Definisjonen av tangens gir
Lengden av siden AB er 32.
6.18
Bestem lengden x a
6.19
Bestem lengden x
6.20 (Eksamen 1T våren 2021)
Du får vite følgende om trekanten ABC: AC 10 A sin 3 5
Bestem lengden av BC
6.21
Per og Kari står på en rett kyststripe og ser på Lars som kiter.
Per, Kari og Lars danner hjørnene i en trekant PKL, der ∠=∠=° PK 21,8
Avstanden mellom Per og Kari er 300 m.
Hvor langt fra land er Lars?
6.22
En vaier støtter en 18 m høy mast.
Vaieren er festet i bakken og i toppen av masta.
Vaieren danner 70° med bakken, som er horisontal.
Tegn hjelpefigur og regn ut hvor lang vaieren er.
6.23
I en rettvinklet trekant ABC er vinkel A den rette vinkelen.
BC 43 og B sin 3 2
Finn lengden av siden AB
RØDE OPPGAVER
6.24
Tegn en trekant ABC der
a vinkel A er rett og B sin 3 4
b vinkel B er rett og C tan 5 12
6.25 (Eksamen 1T våren 2023)
En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10.
Se figuren til høyre.
Vis at +=uu (sin)(cos)1 22
6.26 (Eksamen 1T høsten 2023)
En likesidet trekant har sidelengder 2.
Se figuren til høyre.
Bruk trekanten til å vise at °=cos60 1 2
6.27
Finn de ukjente vinklene og den ukjente siden i en rettvinklet trekant der a de to katetene 3 og 4
b hypotenusen er 12,5 cm og den ene kateten er 8,0 cm
6.28
I en rettvinklet trekant er en av de spisse vinklene 60°.
Den hosliggende kateten til denne vinkelen er 8,0 cm.
Lag en målsatt tegning av trekanten. Vis nødvendige beregninger.
6.29
22 2 13 m 1,5 m 22°
For å måle høyden av en husvegg sikter Vilde mot toppen av veggen fra et punkt 13 m fra huset, slik figuren viser.
Finn høyden av veggen.
BLÅ OPPGAVER
6.30
En båt ligger fortøyd til brygga slik figuren viser.
Vannet stiger 0,50 m.
Hva vil avstanden fra båten til brygga være etter at vannet har steget? Vi forutsetter at tauet som holder båten fortsatt er stramt.
6.31
Hvis summen av to vinkler er 90°, sier vi at de er komplementvinkler
Tegn en passende hjelpefigur, og vis sammenhengen mellom sin u og cos v når u og v er komplementvinkler.
6.32
I en rettvinklet trekant ABC er ∠=° A 90 og AB = 4,5 cm.
Tegn trekanten slik at C sin0,6
6.33
I en rettvinklet trekant ABC er ∠ =° A 90 Finn BC når AB 33 og C tan3
6.34
Tegn en trekant ABC som stemmer med at A tan
6.35
I en rettvinklet trekant ABC er ∠=° B 90 , C cos 3 3 og AC 43 Finn eksakte verdier for omkretsen og arealet av trekanten.
Generelle definisjoner
Hvis du studerer matematikk og naturvitenskap videre, vil du erfare at sinus, cosinus og tangens dukker opp i mange sammenhenger, blant annet i forbindelse med tidevann, nordlys og elektromotorer. På veien dit må vi utvide definisjonene fra forrige underkapittel.
Definisjonene av sinus, cosinus og tangens er så langt knyttet til rettvinklede trekanter og spisse vinkler.
Venstrebein
u
Høyrebein
Vinkelen u på figuren ovenfor er stump fordi den er mellom 90° og 180°. Vi ønsker en definisjon som også gjelder for stumpe vinkler.
Enhetssirkelen
Sirkelen med radius 1 og sentrum i origo kaller vi enhetssirkelen
Nå tegner vi en spiss vinkel u med toppunkt i origo (O) og det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet P. Normalen fra P ned på førsteaksen har fotpunktet F
Vi ser nå på den rettvinklede trekanten OFP Siden hypotenusen OP er radius i enhetssirkelen, er OP = 1.
Definisjonene av cosinus, sinus og tangens i rettvinklede trekanter gir
u OF OP OF OF cos 1 , som er førstekoordinaten til P
u FP OP FP FP sin 1 , som er andrekoordinaten til P
u FP OF tan , som er forholdet mellom koordinatene til P
Vi har altså at koordinatene til P er uu (cos,sin), og at u u u tan sin cos
Vi legger inn en stump vinkel v på tilsvarende måte, med toppunkt i origo og det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen.
Også nå vil det andre vinkelbeinet skjære sirkelen i et bestemt punkt P. Ved å definere cosinus, sinus og tangens ved hjelp av koordinatene til dette punktet har vi en definisjon som gjelder for stumpe vinkler. Som vi har vist ovenfor, sammenfaller den med vår opprinnelige definisjon for spisse vinkler.
En slik definisjon behøver vi ikke å begrense til spisse og stumpe vinkler. Vi kan tenke oss at det venstre vinkelbeinet dreies hele veien rundt i enhetssirkelen. Den eneste begrensningen er at tangens ikke lar seg definere for 90° eller 270°, for da er førstekoordinaten til P, altså nevneren i definisjonen av tangens, lik 0.
La v være en vilkårlig vinkel med toppunkt i origo og det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen i et koordinatsystem.
Skjæringspunktet mellom det andre vinkelbeinet og enhetssirkelen er P. Da er
cos v = førstekoordinaten til P sin v = andrekoordinaten til P v v v tan sin cos
EKSEMPEL 9
Bruk figuren til å finne
cos 127°, sin 127° og tan 127°.
Vi tenker oss det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen og ser at det andre vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen i punktet (0,6,0,8)
Ifølge den generelle definisjonen har vi da
cos1270,6
sin1270,8
Bruk figuren til å finne tilnærmet verdi for a cos 110° b sin 110° c tan 110°
6.37
a Hva er størst av sin 37° og sin 44°?
b Hva er størst av sin 137° og sin 144°?
6.38
To vinkler u og v er begge stumpe.
a Hvilken av vinklene er størst hvis sin u = 0,3 og sin v = 0,4?
b Hvilken av vinklene er størst hvis cos u = 0,3 og cos v = 0,4?
6.39
Tegn en enhetssirkel og forklar at a cos 90° = 0 b sin 90° = 1
c cos 180° = 1 d sin 270° = 1
EKSEMPEL 10
Supplementvinkler
For hver spiss vinkel fins det en stump vinkel slik at de til sammen utgjør 180°. Et slikt par av vinkler kaller vi supplementvinkler
Vinklene x og y til høyre er supplementvinkler.
x = 30°, er y = 150°.
x = 40°, er y = 140°.
Nedenfor har vi tegnet inn supplementvinklene u og v i enhetssirkelen.
Venstrebeina til vinklene skjærer enhetssirkelen i hvert sitt punkt P og Q På grunn av symmetri har P og Q lik andrekoordinat og motsatt førstekoordinat. Det betyr ifølge den generelle definisjonen av sinus at vinklene har lik sinusverdi og motsatt cosinusverdi.
La u og v være supplementvinkler. Da er
sin u = sin v
cos u = cos v
Finn eksakte verdier for sin 150° og cos 150°.
Vi har tidligere vist at °=sin30 1 2, og at °=cos30 3 2
Siden 30° og 150° er supplementvinkler, er
°=°=sin150sin30 1 2
°=−°=−cos150cos30 3 2
EKSEMPEL 11
I trekanten ABC er =° B 62,5 og sin C = 0,75.
Bestem vinkel A
I en trekant er vinklene mellom 0° og 180°, så vi legger inn dette som betingelse.
Vi klikker på .
Vi ser at det er to vinkler som har sinusverdien 0,75. Løsningen 131,4° må vi forkaste. Det er fordi 131,4° + 62,5° overstiger vinkelsummen i trekanter (180°).
Altså er ∠=° A 48,6
6.40
Hvilken vinkel mellom 0° og 180° har samme sinusverdi som a 20° b 50° c 75° d 120°
6.41
Vi har tidligere vist at °=sin60 3 2 , og at °=cos60 1 2
Bruk dette til å finne eksakt verdi for a sin 120° b cos 120°
6.42
a Hva er supplementvinkelen til 135°?
b Finn eksakt verdi for sin 135°.
c Finn eksakt verdi for cos 135°.
6.43
I trekanten ABC er B = 32,5° og sin C = 0,75. Skissér hvordan trekanten kan se ut.
6.44 (Eksamen 1T høsten 2024)
I koordinatsystemet til høyre har vi tegnet en sirkel med radius r = 1.
Punktet P(0,64 , 0,77) ligger på sirkelen.
a Er tan 50° > 1? Husk å begrunne svaret ditt.
b Er tan 130° > 0? Husk å begrunne svaret ditt.
RØDE OPPGAVER
6.45
Tegn enhetssirkelen og bruk den til å finne a sin 0° b sin 180° c cos 0° d cos 270°
6.46
Bruk figuren til å finne tilnærmet verdi for a sin 159,5° b cos 159,5° c cos 20,5° d sin 20,5°
6.47
Hvilken vinkel mellom 0° og 180° har samme sinusverdi som a 30° b 70° c 100° d 175°
BLÅ OPPGAVER
6.48
Hva kan du si om en vinkel i en trekant hvis a sinus til vinkelen er 0,9 b cosinus til vinkelen er 0,9 c tangens til vinkelen er 0,9 d sinus til vinkelen er et positivt tall og cosinus til vinkelen er et negativt tall e tangens til vinkelen er et negativt tall
6.49
Punktene A(2 , 1), B(5 , 1) og C(6 , 3) er gitt. Bestem sinusverdien, cosinusverdien og tangensverdien til ∠ABC
6.50 Ta for deg likningssystemet += =− xy yx 1 22
a Løs likningssystemet både grafisk og med CAS. b Forklar hvorfor og hvordan resultatet kan brukes å finne eksakte verdier for cos 135° og sin 135°.
