Matematikk 1T by Aschehoug Utdanning

Inger Christin Borge

John Engeseth

Odd Heir

Tor Espen Kristensen

Håvard Moe

Tea Toft Norderhaug

Sigrid Melander Vie

Bokmål

Vurderingseksemplar

Læreboka Matematikk1T følger læreplanen i matematikk 1T for Vg1 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20).

Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no).

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar.

Redaktør: Harald Øyen Kittang

Graﬁsk formgiving: Marit Jakobsen

Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad

Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Víctor Paiam

Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund

Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark

Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14

Papir: 100 g G-print 1,0

Trykk og innbinding: Merkur Graﬁsk AS

ISBN 978-82-03-41400-8 www.aschehoug.no

Vurderingseksemplar

Om Matematikk 1T

Matematikk1T følger læreplanen i matematikk 1T (LK20) som gjelder fra august 2020, og består av lærebok og digitale ressurser på

Aunivers.no

Læreboka

Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver.

I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra og programmering der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver, som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver, som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk.

Underveis finner du slike «lapper» med repetisjon og påminnelser.

Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver:

Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene.

Blå oppgaver gir større utfordringer.

Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver, som gir både mengdetrening og dybdelæring.

Oppgaver som bør løses uten hjelpemidler, er merket med

Oppgaver som krever programmering, er merket med

Digitale ressurser på Aunivers.no

De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet

Vurderingseksemplar

Som lærer får du i tillegg tilgang til

Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitlene, der de passer. På den måten kan elevene komme raskt i gang med å løse eksamensoppgaver.

Vi håper at Matematikk1T møter dine forventninger til et komplett læreverk.

Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk1t@aschehoug.no.

Vi ønsker deg lykke til med faget!

Hilsen forfatterne

Inger Christin Borge

John Engeseth

Odd Heir

Tor Espen Kristensen

Håvard Moe

Tea Toft Norderhaug

Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang

Innhold

1 Tall og tallmønstre

1A Tallmengder 8

1B Potenser 13

1C Røtter 28

1D Generalisering 33

1E Utforsking og programmering 40

Blandede oppgaver 52

Sammendrag 56

Kapitteltest 57

2 Likninger og identiteter

2A Identiteter 60

2B Faktorisering 65

2C Kvadratsetningene 72

2D Likninger 84

2E Andregradslikninger 93

2F abc-formelen 102

3 Polynomfunksjoner

3A Funksjonsbegrepet 122

3B Lineære funksjoner 133

Vurderingseksemplar

Blandede oppgaver 108

Sammendrag 118

Kapitteltest 119

3C Matematiske modeller 145

3D Andregradsfunksjoner 156

3E Polynomfunksjoner av høyere grad 170

3F Modellering med polynomfunksjoner 184

Blandede oppgaver 190

Sammendrag 200

Kapitteltest 201

4 Likningssystemer og ulikheter

4A Lineære likningssystemer 204

4B Likningssystemer med flere enn to ukjente 217

4C Ikke-lineære likningssystemer 221

4D Lineære ulikheter 226

4E Polynomulikheter 231

4F Rasjonale likninger og ulikheter 239

Blandede oppgaver 246

Sammendrag 254

Kapitteltest 255

5 Mer om funksjoner

5A Vekstfart 258

5B Den deriverte 268

5C Rasjonale funksjoner 286

5D Potensfunksjoner 296

5E Eksponentialfunksjoner 302

5F Valg av modell 313

Blandede oppgaver 320

Sammendrag 334

Kapitteltest 335

6 Trigonometri

6A Trigonometriske forhold 339

6B Generelle definisjoner 356

6C Arealsetningen 362

6D Sinussetningen 368

6E Cosinussetningen 374

Vurderingseksemplar

Blandede oppgaver 382

Sammendrag 394

Kapitteltest 395

Fasit 396

Bildeliste 428

Tall og tallmønstre 1 Vurderingseksemplar

1A Tallmengder 8

1B Potenser 13

1C Røtter 28

1D Generalisering 33

1E Utforsking og programmering 40

Vurderingseksemplar

Hvilket tall er det største vi kjenner til?

Vi anslår at det «bare» er 60 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 atomer i vårt synlige univers.

Det fins større tall. Én googol er for eksempel 10100 og har hundre nuller.

Videre er én googolplex 1010100 som har én googol nuller!

Og det tar aldri slutt. Uansett hvor stort tall du foreslår som det største, får vi et tall som er større ved for eksempel å legge til 1.

Tallmengder

Tallinja

Alle tall du skal regne med i dette faget, har sin bestemte plass på tallinja.

Jo større et tall er, desto lenger til høyre på tallinja står det.

For eksempel ligger 2 lenger til høyre på tallinja enn 3, og derfor er −>−23

Tallene som er markert på tallinja ovenfor, er heletall

Symbolet for mengden av hele tall er

De positive heltallene kaller vi naturligetall

Vi regner ikke 0 som et naturlig tall.

Symbolet for mengden av naturlige tall er

De naturlige tallene og de hele tallene er eksempler på det vi kaller for tallmengder. Alle de naturlige tallene er hele tall, men det fins hele tall som ikke er naturlige tall. Tallet 4 er et slikt tall. Vi bruker symbolene ∈ og ∉ for å uttrykke om et tall er med i en mengde eller ikke.

Z −∈ 4 betyr at 4 er et helt tall.

4 ∉ N betyr at 4 ikke er et naturlig tall.

Vurderingseksemplar

På tallinja står 4 og 4 like langt fra null, men på hver sin side. Vi sier at de to tallene har samme tallverdi eller absoluttverdi, nemlig 4. Dette er avstanden mellom tallet og 0 på tallinja. Med absoluttverditegn, , kan vi uttrykke det slik: 44 og −=44

x er tallet x hvis x er et positivt tall eller null, og tallet x hvis x er negativt.

Derasjonaletallene er alle de tallene vi kan skrive som en brøk med hele tall i teller og nevner. Vi bruker symbolet Q for de rasjonale tallene. Tallene 4 5 og 1 3 er eksempler på rasjonale tall. Vi kan skrive alle rasjonale tall som desimaltall. De to tallene ovenfor kan vi skrive slik:

I det siste tallet er det uendelig mange tretall etter kommaet. Vi viser det med «…».

SNAKK

Hvilke av påstandene er riktige?

Vurderingseksemplar

Det fins uendelig mange tall på tallinja. Mellom 1 og 2 er det for eksempel uendelig mange desimaltall der det står bare tretall etter komma:

1,3, 1,33, 1,333, 1,3333 og så videre

Disse tallene kan vi skrive som brøker: 13 10 , 133 100 , 1333 1000 , 13333 10000 og så videre

Tar vi med uendelig mange tretall etter komma, får vi …= 1,3333 4 3

1.1

Bestem absoluttverdien av tallene. a 8 b 1 c 3 d

1.2

Sett inn riktig tegn i de tomme rutene. Velg mellom >=<∈ ,, , og ∉. a 35 b 35 c 33 d 3 e 0 f 3

EKSEMPEL 1

2 er det positive tallet som er slik at () = 22 2

Vis at tallene er rasjonale.

a 0,25 b 2,23 c 0,222 …

a Tallet 0,25 er det samme som 25 hundredeler:

== = 0,25 25 100 25 425 1 4

b Tallet 2,23 er det samme som +=+=20,23 200 100 23 100 223 100

c Vi kaller tallet 0,222 … for t. Da er 10t = 2,222

Så ser vi på differansen 10tt

Pytagorassetningen:

1.3

Det betyr at 9t = 2

2,222 … - 0,222 … = 2,000 …

Deler vi med 9 på begge sider, får vi t = 0,222 … 2 9

Vis at tallene er rasjonale.

Vurderingseksemplar

På den ene siden er differansen lik 9t. På den andre siden er den 2 siden alle tallene bak komma blir null når vi subtraherer 2,222 … og 0,222 … Se utregningen.

a 0,3 b 2,5 c 0,4444 … d 2,121 212 …

Selv om det fins uendelig mange rasjonale tall, så er det også uendelig mange tall som ikke kan skrives som en brøk med hele tall i nevner og teller. Dette er de irrasjonaletallene. Tallene 2, 3 og π er eksempler på slike tall.

Taster du 2 på et digitalt verktøy, får du kanskje 1,414 213 56. Men dette er bare en tilnærmet verdi for 2. Det er uendelig mange desimaler i 2 uten noe mønster

Irrasjonale tall er likevel like «virkelige» som de rasjonale tallene:

I et kvadrat med side 1 er diagonalene 2, ifølge pytagorassetningen.

Det kan vi bruke til å plassere 2 på tallinja. Se figuren.

2 2 0 2 1

EKSEMPEL 2 SNAKK

Når vi legger sammen to brøker, utvider vi brøkene slik at de får felles nevner.

Til sammen utgjør de rasjonale og de irrasjonale tallene de reelletallene.

irrasjonalt. Tallinja består av de reelle tallene. Symbolet for mengden av de reelle tallene er R

Figuren illustrerer at de naturlige tallene er en delmengde av de hele tallene, som er en delmengde av de rasjonale tallene, som igjen er en delmengde av de reelle tallene.

1.4

Sett inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a 8,5 b 3 c 3,14

Vurderingseksemplar

Hvilke av mengdene R, Q, Z og N hører tallet 0,9999 til i?

Avgjør hvilke av påstandene som alltid er sanne.

a Hvis a og b er rasjonale tall, så er a + b et rasjonalt tall.

b Hvis a og b er irrasjonale tall, så er a + b et irrasjonalt tall.

a Hvis a og b er rasjonale tall, så betyr det at vi kan skrive a som m n og

b som s t for hele tall m, n, s og t. Det gir

+ ⋅ = ⋅+⋅ abm n s t mt nt sn tn mtsn nt

Dette er et rasjonalt tall, siden ⋅+⋅ mtsn og nt er hele tall.

b Vi kan for eksempel la =− a 42 og b 2 som begge er irrasjonale.

Da er +=−+=ab 4224 .

Vi har gitt ett moteksempel og dermed vist at påstanden ikke stemmer.

1.5

Avgjør hvilke av påstandene som alltid er sanne

a Hvis a og b er rasjonale tall, så er a ⋅ b et rasjonalt tall.

b Hvis a og b er irrasjonale tall, så er a ⋅ b et irrasjonalt tall.

RØDE OPPGAVER

1.6

Sett inn >, = eller <

a 34 b 34 c 0,140,2 d 2 3 3 4

e 0,50,6 f 3 5 0,6 g 154 h π 2 9

1.7

Finn et tall som ligger mellom 3 7 og 3 8

1.8

Hvilke av tallene er rasjonale tall?

a 2 3 b 4 c 32 d 7 e 0,5

1.9

Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a b 2,5 c −⋅ 423

1.10

Skriv tallet som en brøk med heltallig teller og nevner.

a 2,3 b 7,2 c 0,111 … d 5,777 …

1.11

Om et tall får du vite at absoluttverdien er fem og at det ikke er et naturlig tall.

Hvilket tall er dette?

BLÅ OPPGAVER

1.12

Vurderingseksemplar

Fyll inn ∈ eller ∉ i de tomme rutene.

a 35 b (3)2 c 3,14

1.13

Skriv tallet som en brøk med heltallig teller og nevner.

a 0,313 131 31 … b 1,2111 … c 5,112 121 212 …

1.14

Hvilke av påstandene nedenfor er sanne?

a Hvis a er et rasjonalt tall, så er a2 et rasjonalt tall.

b Hvis b er et irrasjonalt tall, så er b2 et irrasjonalt tall.

c Det fins uendelig mange irrasjonale tall mellom 1 og 2

1B Vurderingseksemplar

Potenser

Lysfarten i vakuum er omtrent 300 000 000 m/s. Dette kan være litt tungvint både å lese og skrive. Vi kan i stedet skrive dette som

3 1010101010101010

Også dette kan virke litt tungvint. Derfor innfører vi skrivemåten

10 10101010101010108

Tallet 8 kaller vi for eksponenten. Den forteller oss hvor mange ganger vi skal multiplisere grunntallet 10 med seg selv. Vi kan altså skrive lysfarten i vakuum som 3 108 m/s.

La n og a . Da er aaaa n n faktorer …

Merk deg forskjellen på ( 2)4 og 24: ( 2)4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 16 24 = (24) = (2 2 2 2) = 16

Når vi skriver ( 2)4, er grunntallet 2.

Svaret er likevel positivt, fordi det er fire negative faktorer.

Når vi skriver 24, er grunntallet 2.

Minustegnet er fortegnet til potensen 24, ikke til grunntallet. Svaret er derfor negativt.

1.15

Skriv ned og regn ut en potens med a 2 som grunntall og 3 som eksponent b 2 som eksponent og 5 som grunntall

1.16

Regn ut. a ( 3)2 b 32 c ( 3)3 d 33

EKSEMPEL 3

1.17

Regn ut. a ( 1)3 b ( 1)8 c 18 d ( 1)8

1.18

Regn ut. a 1 ( 1)2 ( 1)3 b 22 ( 2)2 ⋅ ( 2)3

Regneregler for potenser

Vi multipliserer to (eller flere) potenser med samme grunntall ved å beholde grunntallet og legge sammen eksponentene. aaamnmn ⋅⋅= = ++

Vi begrunner regelen slik:

Regn ut xy5 x4 y3 x8

Her er det to ulike grunntall: x og y

Vi sorterer og bruker regelen ⋅= + aaamnmn for hvert grunntall.

Vurderingseksemplar

Vi dividerer to potenser med samme grunntall ved å beholde grunntallet og trekke den siste eksponenten fra den første.

aa a a mna m n mn = == =: amn 0og ( () ) ≠ ≠> >

EKSEMPEL 4

Regn ut

EKSEMPEL 5

1.19

Regn ut og skriv svaret som potenser. a 25 28 22 b x2 yx

Vurderingseksemplar

Når grunntallet i en potens er et produkt, opphøyer vi hver av faktorene i eksponenten.

abab()nnn ⋅⋅==⋅⋅

Regn ut (5x)2

(5x)2 = 52 x2 = 25x2

5 x = 5 · x

Merk!

(5x)2 er ikke lik 5x2

1.20

Regn ut.

Når grunntallet i en potens er en brøk, opphøyer vi telleren og nevneren i eksponenten. a b a b nn n

EKSEMPEL 6

EKSEMPEL 7

Regn ut.

EKSEMPEL 8

Legg merke til parentesen rundt produktet 2 y.

Vurderingseksemplar

Når en potens skal opphøyes i en ny eksponent, opphøyer vi grunntallet i potensen i produktet av eksponentene.

EKSEMPEL 9

Vis at 32n kan omformes til 9n .

Vi bruker potensregelen () = aamnmn. Den gir oss at vi kan skrive

uttrykk på formen a mn som () a mn

I dette tilfellet får vi

=== 3339 nnnn 222

1.22

Regn ut. a () x 3 6 b () 22 2

Vurderingseksemplar

1.23

a Vis at 52n kan omformes til 25n

b Vis at 4 9 kan omformes til 2 3 2

Regnereglene for potenser

aaamnmn ⋅⋅= = ++

abab()nnn

❺ aamnmn ( () ) ==

Gå sammen to og to, og ta for dere de fem regnereglene for potenser. Bytt på å forklare innholdet i reglene og å begrunne at de er riktige.

Negative eksponenter

Vi har så langt sett på potenser der eksponenten er et naturlig tall.

Vi skal nå definere potenser der eksponenten er et negativt helt tall.

Skal det ha noen hensikt å skrive for eksempel 4 3, må denne skrivemåten få et innhold som gjør at regnereglene for potenser fortsatt gjelder.

Vi tar for oss brøken 4 4 2 5 . Den kan vi skrive slik: = = 4 4 44 44444 1 4 2 53

Vi illustrerer at vi dividerer med det samme tallet i teller og nevner ved å sette en strek over faktorene vi forkorter.

Hvis regelen a a a m n mn = skal gjelde også i dette tilfellet, må 4 4 44 2 5 25 3 ==

Altså må 4 3 bety 1 43 hvis regneregelen skal stemme. Vi definerer: a a 1 n n == for a ≠ 0

Hva om eksponenten er 0?

Vi tar for oss brøken 2 2 3 3 . Vi vet at den må være lik 1, siden nevneren og

telleren er like. Hvis regelen a

= skal gjelde, må

Altså må 21 0 for at denne potensregelen skal gjelde.

Vurderingseksemplar

Vi definerer derfor: a 1 0 ( a 0)

Dette betyr at alle tall opphøyd i 0 er lik 1. Det eneste unntaket er 00, som ikke er definert.

Vi kan også skrive = a a 1 n n. Det ser vi ved å utvide brøken med an:

EKSEMPEL 10

Vi kan altså omforme uttrykk av typen 23 5 32 1 ved å «flytte» potenser mellom

teller og nevner, hvis vi samtidig skifter fortegn på eksponentene:

EKSEMPEL 11

Med CAS:

Vi skriver inn uttrykket og trykker Enter eller klikker på

Skriv tallene i stigende rekkefølge.

Sortert i stigende rekkefølge får vi

1.25

Skriv tallene i stigende rekkefølge. 220,163 12101

Standardform

Når vi regner med svært store eller svært små tall, får vi bruk for potenser med 10 som grunntall − tierpotenser:

Vi så tidligere at en praktisk måte å skrive lysfarten på, er 3108 m/s.

Når et tall er skrevet som et produkt der den ene faktoren er en tierpotens og den andre er et tall med absoluttverdi fra og med 1 til 10, sier vi at tallet er skrevet på standardform

Vurderingseksemplar

Tallene 5,210 3 og 8, 4106 er skrevet på standardform, mens tallene 13 104 og 0,3 ⋅ 104 ikke er på standardform siden absoluttverdien av 13 og 0,3 ikke ligger mellom 1 og 10.

Standardform a 10 n , der n og a 110 ≤ ≤< <

Betingelsen ≤< a 110 betyr at tallet a enten er et tall større enn eller lik 1 og mindre enn 10, eller er et tall mindre eller lik 1 og større enn 10.

EKSEMPEL 12

Skriv på standardform.

a 680 000

b 0,0068

a =⋅ =⋅ 680 0006,8100000 6, 8105

b =⋅ =⋅ 0,00686,80,001 6,810 3

680 000 = 6,8 · 105

5 plasser mot venstre

0,0068 = 6,8 · 10– 3

3 plasser mot høyre

EKSEMPEL 13

1.26

Avgjør om tallet er skrevet på standardform.

a 5 102,5 b 0,8 104 c 3,2 106 d 23

1.27

Skriv på standardform.

a 8 000 000 b 130 000 c 0,000 06 d 0,025

1.28

Vurderingseksemplar

Skriv som vanlige tall. a 4 109 b 3,8 105 c 5,99 10 4 d 2,050 10 3

Regn ut og skriv svaret på standardform.

Med CAS:

Vi skriver tallene på standardform.

Vi sorterer og regner ut tall og tierpotenser hver for seg.

1.29

Regn ut. Skriv svaret på standardform.

a 4 0000002105 b 4000000 2105 c +⋅ 4 0000002105

1.30

Regn ut. Skriv svaret på standardform.

a 4100,002 4 b ⋅+ 4100,002 4 c 410 0,002 4

1.31

Regn ut. Skriv svaret på standardform.

a 75 000 0,002 b 5000210 0,000025 10 c 40000000,001 810 4

Når du regner med tall på standardform med digitale verktøy, vil skrivemåten variere. Nedenfor har vi listet opp noen av variantene som kan forekomme. Alle disse betyr 3 500 000 000. +09 9 1.32

Regn ut med digitalt verktøy. Skriv svaret på standardform.

a 3705000

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 14

Prefikser

Hva betyr det så at det daglige energiforbruket ditt er omtrent 13 MJ, og at du bør få i deg minst 7,5 μg vitamin D daglig?

M står for mega og den greske bokstaven μ (uttales my) står for mikro. De er eksempler på det vi kaller prefikser. Tabellen nedenfor gir en oversikt over noen prefikser du bør kjenne til.

Vurderingseksemplar

a Hvor mange J er 13 MJ?

b Hvor mange g er 7,5 μg?

a Tabellen forteller oss at M er 106

Altså er 13 MJ = 13 ⋅ 106 J = 13 000 000 J.

b Tabellen forteller oss at μ er 10 6

Altså er 7,5 μg = 7,5 ⋅ 10 6 g = 0,000 0075 g.

Det daglige energiforbruket ditt er omtrent 13 000 000 J, og du bør få i deg minst 0,000 0075 g vitamin D daglig. Vi bruker prefikser for å unngå å skrive tall med så mange sifre. Praktisk, ikke sant?

EKSEMPEL 15

EKSEMPEL 16

Det kan ofte være en god strategi å gå veienom 1. Det vil si at vi først ﬁnner verdien for én enhet og deretter skalerer opp til ønsket mengde.

Hvor mange GJ er 23 500 000 000 J?

Tabellen forteller oss at G (giga) er 109.

Altså er 23 500 000 000 J = 23,5 ⋅ 109 J = 23,5 GJ.

1.33

Skriv enklere ved hjelp av et passende prefiks.

a 9 000 000 J b 24 000 g c 0,005 s d 2 500 000 000 W

1.34

Oppgi kapasiteten i

a byte (B) b megabyte (MB) c terabyte (TB)

1.35

a Hvor mange W er 72,5 MW?

Skriv svaret som vanlig tall og på standardform.

b Hvor mange MW er 1,5 108 W?

c Hvor mange mW er 6,8 10 4 W?

I kjemi er det praktisk å oppgi masse per mol av et stoff. 1023 partikler av stoffet.

Hvor mye veier 7,5 milliarder gullatomer når gull veier 197 g per mol?

Vi finner først ut vekten per gullatom:

197g 6, 0210atom 3,272410g/atom 23 22

=⋅

Vurderingseksemplar

Vi tar med ekstra desimaler i mellomsvar og runder av til slutt.

Så finner vi ut hvor mye 7,5 milliarder gullatomer veier:

⋅⋅⋅=⋅ 7,510atom3,272410g/atom2,454310g 92212

7,5 milliarder gullatomer veier så lite som 2,5 ⋅ 10 12 g = 2,5 pg.

1.36

Uran veier 238 g per mol (1 mol er 6,02 ⋅ 1023 partikler).

Hvor mye veier 4,8 milliarder uranatomer?

1.37

Én porsjon peanøtter (30 g) har et energiinnhold på 791 kJ.

Hvor stort er energiinnholdet i en pose peanøtter?

Oppgi svaret i J (på standardform) og i MJ.

SNAKK

Ingunn får en snap fra mamma:

MAMMA

Kan du kjøpe med 2 kilo poteter på vei hjem fra skolen?

Vurderingseksemplar

Hva er det egentlig mamma ber om?

RØDE OPPGAVER

1.38

Regn ut.

1.39

Regn ut.

1.40

–3,5–3–2,5–2–1,5–1–0,500,511,52,53,54,52345 –4

På tallinja har vi markert 10 punkter AJ

Avgjør hvilket punkt hvert av tallene nedenfor tilsvarer.

253(2)1 10122

1.41

Regn ut uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.

2 3 2 4

1.42

Skriv tallene i stigende rekkefølge.

1.43

Regn ut. Skriv svarene på standardform.

1.44

Skriv enklere med et passende prefiks. a 2 000 J b 9 ⋅ 106 Hz

1.45

I 2024 produserte Norge 2,4 ⋅ 1011 L olje.

Omtrent hvor mye olje produserte Norge i løpet av tre uker i 2024?

BLÅ OPPGAVER

1.46

Skriv så enkelt som mulig. a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ a b 1 b 33nn c

1.47

Regn ut uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.

1.48

På tallinja har vi markert 10 punkter AJ

Avgjør hvilket punkt hvert av tallene nedenfor tilsvarer. 21,251010,50,8 101221

1.49

Bruk relevante potensregler til å vise at a 28xx 3 b =⋅ 100,0110 xx 2

1.50

Skriv tallene i stigende rekkefølge. 2800 3500 5400 6300

1.51

Skriv på standardform. a 0,001 05 b 75 ⋅ 106 c 0,8 ⋅ 10 5 d

1.52

a ⋅ 10 5 mm. Oppgi lengden av bakterien i m og i μm.

b Hvor mange bakterier må legges etter hverandre for at den samlede lengden skal bli 1 m?

1.53

Kari har diabetes og må få tilført insulin jevnlig. I hver dose er det omtrent 3 ⋅ 1016 insulinenheter. Hormonet insulin veier 5736 g per mol, og ett mol er 6,02 ⋅ 1023 enheter. Hvor mye veier insulinet i én dose? Gi svaret med milligram som enhet.

1.54

Lysfarten i tomt rom er omtrent 3,0 ⋅ 108 m/s.

a Distansen lyset tilbakelegger på ett år, kaller vi et lysår. Hvor langt er et lysår i meter?

b Distansen fra sola til stjernen Proxima Centauri er 4,3 lysår. Hvor stor er avstanden mellom sola og Proxima Centauri i meter?

3 3 Arealet er 32 = 9 x x Arealet er x2 = 7 2 2 Arealet er 22 = 4

Røtter

Hvis et kvadrat har areal 4, vet vi at lengden av hver side må være 2, siden 22 = 4. Vi sier at kvadratet av 2 er 4, og at kvadratroten av 4 er 2.

Hvis et kvadrat har areal 9, vet vi at lengden av hver side må være 3, siden 32 = 9. Altså er 9 kvadratet av 3, og 3 er kvadratroten av 9.

Tallene 4 og 9 er eksempler på det vi kaller kvadrattall

Hva om arealet er 7?

Hvis vi lar siden i kvadratet ha lengde x må x 7 2

Det positive tallet x som er slik at x 7 2 , er kvadratroten av 7. () = 77 2

Hver side i kvadratet har altså lengden 7 , som er et irrasjonalt tall mellom 2 og 3.

Generelt har vi

Vurderingseksemplar

Kvadratroten av et positivt tall a er det positive tallet som ganget med seg selv er lik a: aa 2 ( () ) ==

Selv om både 52 og ( 5)2 er lik 25, er kvadratroten av 25 bare lik 5.

Vi har altså at 55 2 og −= (5)5 2 . Vi ser at når vi først kvadrerer og så tar kvadratroten, så får vi et positivt tall. Det vil si at vi får absoluttverdien av tallet. aa 2

1.55

Regn ut. a 644 b 644 c 6464 d 64 2()

EKSEMPEL 17

Regning med kvadratrøtter

Siden ()()() () ⋅=⋅=⋅=⋅ abababab 2 2 22 for to ikke-negative reelle tall a og b, så må

⋅=⋅ abab

Dette kan vi bruke til å omforme kvadratrøtter.

Vis at 12 kan omformes til 23

Tallet 12 kan vi skrive som et gangestykke der den ene faktoren er kvadrattallet 4. Det gir

=⋅=⋅=⋅= 1243432323

Vurderingseksemplar

1.56

a Vis at 50 kan omformes til 52

b Vis at 8 kan omformes til 22

c Vis at 27 kan omformes til 33

1.57

a Vis at 2025 , og at 18065

b Bruk resultatet fra oppgave a til å regne ut 1 20180 2 18020 3 20180 4 20180

Bruk pytagorassetningen til å vise at lengden av hypotenusen er 32 .

UTFORSK

Du har lært denne regneregelen for kvadratrøtter:

⋅=⋅ abab

Fins det tilsvarende regler for kvadratroten av en sum, kvadratroten av en differanse eller kvadratroten av en brøk (kvotient)?

EKSEMPEL 18

Hva om eksponenten er et rasjonalt tall?

Ved å bruke regelen aamnmn() = får vi utregningen

aaaa 2 2 1 1 2 1 2 () ===

som viser at kvadratet av a 1 2 er a Vi har nettopp definert at kvadratet av a er a Altså bør a 1 2 og a bety det samme.

Generelt definerer vi n-teroten av et tall slik:

Hvis a > 0 er a n 1 det positive tallet b som er slik at ba n .

EKSEMPEL 19

Vurderingseksemplar

Hvis a < 0 og n er et oddetall, så er a n 1 det negative tallet b som er slik at ba n .

Det er også vanlig å skrive slik: a n 1 na

Vi kan ikke definere n-teroten av et negativt tall når n er et partall. Årsaken er at produktet av to negative tall alltid er s. Dersom n = 2m er et partall, så vil () ===>abbb 0 nmm 2 2

Hvis vi lar sidekantene ha lengde x, vil x 343 3

Da er x 3437 3 . Altså har sidekantene lengde 7.

Regn ut tredjeroten 8 3 . Vi har at −=− (2)8 3 . Derfor er −=−82 3

Merk at selv om vi ikke kan ta kvadratroten av et negativt tall, så er det alltid mulig å ta tredjeroten av et negativt tall.

1.59

Regn ut.

a 400 b 27 3 c 10000 4

EKSEMPEL 20

Regn ut med et digitalt verktøy.

a () ⋅ 23 2 b 16807 5

a ()⋅= 2312 2

Med CAS:

b 168077 5

Med CAS:

1.60

Husk at ⋅+=⋅+⋅ abcabac ()

Vurderingseksemplar

Vi får kvadratrot i GeoGebra ved å trykke Alt + r. Vi opphøyer i 2 ved å trykke Alt + 2.

Vi kan regne ut n -terøtter på to måter i GeoGebra.

Regn ut for hånd. Kontroller med digitalt verktøy

a () 32 2 b () 28 3 3 c () ⋅+− 5255

Vi kan nå definere potenser når eksponenten er et rasjonalt tall.

aaa m nmnnm ( () ) = == =

1.61

Regn ut.

RØDE OPPGAVER

1.62

a Regn ut 125 3 b Forklar hvorfor 133111 3

1.63

Skriv tallene i stigende rekkefølge.

80 25 3 2 +⋅12 4

1.64

Skriv tallene på en enklere form.

⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3 4 2 b () 35 2 c () 25 3 6

1.65

Siden i et kvadrat har lengde 5

Regn ut lengden av diagonalene i kvadratet.

BLÅ OPPGAVER

1.66

Vis at =⋅ 88211 3 3

1.67

Skriv så enkelt som mulig. a 12 3 27 b 327212 c +−⋅ 4520108

1.68

Vurderingseksemplar

Vis at følgende regel gjelder: a b a b

1.69

Avgjør hvilke av påstandene nedenfor som er sanne.

a aa 2 for alle a

b aa 3 3 for alle a

c a m n er alltid et positiv tall for alle a når m er et partall og n er et oddetall.

Generalisering

Partall og oddetall

Tallene 8, 14 og 6 er eksempler på partall siden

824 1427 62 (3)

Vurderingseksemplar

Generelt kan vi skrive et partall på formen 2 n, der n ∈ Z

Hvis vi lar n ∈ N, får vi de positive partallene. De kan vi illustrere med figurer.

ikke er delelig med 2.

De positive oddetallene er 1, 3, 5, 7, og så videre.

Siden partall og oddetall kommer etter hverandre i tur og orden, så vil ethvert oddetall alltid være én mindre enn eller én større enn et partall. Vi kan derfor skrive et generelt oddetall på formen 2n 1 eller 2n + 1. Vi velger 2n 1, for da gir n = 1 det første positive oddetallet.

Partallene er tall som vi kan skrive på formen 2n for n ∈ Z.

Oddetallene er tall som vi kan skrive på formen 2n 1 for n ∈ Z.

I fortsettelsen skal vi se etter tallmønstre i figurserier av den typen vi har lagd ovenfor. Da tenker vi på n som figurnummeret og lar n ∈ N. Tall som kan representeres med slike figurer kaller vi for figurtall

EKSEMPEL 21

Odin har lagd de fire første figurene i en figurserie. Han ønsker å fortsette mønsteret.

Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4

a Hvor mange kuler trenger han til figur nummer 5?

b Hvor mange kuler vil figur nummer n bestå av?

a I figur nummer 1 er det 2 1 kuler.

I figur nummer 2 er det 2 ⋅ 3 kuler.

I figur nummer 3 er det 2 ⋅ 5 kuler.

I figur nummer 4 er det 2 ⋅ 7 kuler.

Vurderingseksemplar

Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4

I figur nummer 5 vil det derfor være 2 9 = 18 kuler.

b Vi kan dele hver figur i to like store deler. Hver av disse delene inneholder et oddetall antall kuler. Det betyr at antall kuler i figur nummer n er det dobbelte av oddetall nummer n

Det vil si at

nn 2(21)42

Antall kuler i figur nummer n er n 42.

1.70

Nedenfor ser du de fire første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter.

Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4

a Beskriv mønsteret med ord.

Vurderingseksemplar

b Tegn figur nummer fem. Hvor mange kuler består figuren av?

c Hvor mange kuler vil den tiende figuren bestå av?

d Hvor mange kuler vil figur nummer n bestå av?

Å finne formler

Når vi løser problemer, er det ofte nyttig å uttrykke sammenhenger på en generell måte. I stedet for å bruke spesifikke tall, representerer vi tallene med bokstaver. Disse bokstavene fungerer som symboler for generelle tall og gjør det mulig å lage formler flere størrelser.

Hvis vi bruker pn som symbol for et generelt partall og on som symbol for et generelt oddetall, kan vi lage formlene

= =− pn on 2 21 n n

Ved for eksempel å sette n = 50 inn i formlene får vi

I en oppramsing av de positive partallene og de positive oddetallene står altså henholdsvis 100 og 99 på plass nummer 50.

EKSEMPEL 22

Figurene nedenfor er lagd etter et bestemt mønster. Lag en formel for antall kvadrater Ln i figur n.

Figur 1Figur 2 Figur 3

Figur 4

Vi ser at det i hver av de 4 utstikkerne er like mange kvadrater som figurnummeret. I tillegg har vi det ene kvadratet i midten.

Figur 1Figur 2 Figur 3

Figur 4

Formelen som gir antall kvadrater i figur nummer n, er derfor

=⋅+Ln41 n

1.71

Nedenfor ser du de tre første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter.

Vurderingseksemplar

Figur 1 Figur 2 Figur 3

a Tegn den fjerde figuren. Hvor mange kuler består den av?

b Hvor mange kuler består den tiende figuren av?

c Lag en formel for antall kuler Pn i figur n.

1.72

Figurene nedenfor er lagd etter et bestemt mønster. Lag en formel for antall kvadrater Dn i figur n.

Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4

EKSEMPEL 23

1.73 K1 = 1

Arealet av en trekant: gh 2 g h

2 = 4

3 = 9

4 = 16

Figuren illustrerer de fire første kvadrattallene

a Hva er det femte og det sjette kvadrattallet?

b Lag en formel for kvadrattall nummer n, K n

c Bruk formelen i oppgave b til å bestemme K5 og K100

d Hvilket nummer har kvadrattallet 144?

1.74

Vurderingseksemplar

Tall som står etter hverandre i en bestemt rekkefølge, kaller vi en tallfølge

Foreslå for hver tallfølge et mønster som passer, og bestem ut fra det et uttrykk for tall nummer n

a 2, 5, 8, 11, 14,

b 3, 8, 13, 18, 23,

c 0, 3, 8, 15, 24, 35,

Finn en formel for arealet av et rektangel der lengden er 3 enheter lengre enn bredden.

Vi lar bredden være a

Da er lengden a 3

Arealet A er derfor gitt ved formelen

=⋅+Aaa(3)

1.75

Bestem en formel for omkretsen O av rektangelet i eksempel 23.

1.76

I en trekant er grunnlinja dobbelt så lang som høyden.

Bestem en formel for arealet A av trekanten uttrykt ved høyden h.

EKSEMPEL 24

Foreslå et generelt uttrykk for summen av de n første oddetallene.

Siden vi i utgangspunktet ikke kjenner til dette uttrykket, prøver vi oss fram og ser om vi kan finne et mønster.

SNAKK

Vi legger merke til at svaret alltid blir et kvadrattall.

Det ser med andre ord ut som at vi har følgende sammenheng:

++−=nn 13 5(21) 2

Vurderingseksemplar

Forklar hvordan du kan bruke figuren nedenfor til å argumentere for uttrykket vi kom fram til i eksempel 24.

RØDE OPPGAVER

1.77

I figurene til høyre følger antall fyrstikker i hver figur et bestemt mønster.

1Figur 2

a Hvor mange fyrstikker er det i figur 5, 6, 7 og 8?

Figur 3

b Skriv opp et generelt uttrykk for hvor mange fyrstikker det er i figur n

1.78

Fadma har lagd modeller av de første kubikktallene ved bruk av kuler.

a Skriv opp de tre første kubikktallene.

b Hvor mange kuler trenger Fadma til en modell av det fjerde kubikktallet?

c Sett opp en formel som viser antall kuler

i kubikktall nummer n

d Bruk formelen fra oppgave c til å finne ut hvor mange kuler som det går med til å lage en modell av kubikktall nummer 20.

BLÅ OPPGAVER

1.79

Lille Otto leker med perler og har lagd biltall. Antall perler

i figur n kaller vi bn

a Tegn det femte biltallet, b5

b Lag en formel for det n-te biltallet, bn

c Bruk formelen til å bestemme hvor mange perler Otto trenger for å lage det tiende biltallet. Hvor mange av disse perlene vil være røde?

1.80

Figurene til høyre er lagd av fyrstikker.

Tenk deg at vi fortsetter å lage slike figurer etter samme mønster.

Antall fyrstikker i figur n kaller vi fn.

Det vil si at f 4 1 , f 12 2 og f 24 3 .

a Hvor mange fyrstikker er det i figur 4?

b Lag en formel for fn .

Sjekk at formelen stemmer med de fire første figurene.

Figur 1Figur 2

Figur 3

Figur

EKSEMPEL 25

Utforsking og programmering

Vi har sett at vi kan finne sammenhenger og formler for figurtall og andre tallmønstre. I mange tilfeller vil programmering være egnet til å utforske videre. Da kan vi teste mønstrene, se hvordan tallene utvikler seg og beregne summer.

Løkker

Alt som står innrykket i en løkke, blir utført hver gang løkka kjører.

Løkker i programmering lar deg utføre samme handling flere ganger uten å skrive samme kode om og om igjen. Vi skal se på to typer løkker:

Forklar hva programmene nedenfor gjør.

n = 1 while n < 51: partall = 2*n print(partall) n = n + 1

Vurderingseksemplar

3 4 partall = 0 while partall < 100: partall = partall + 2 print(partall)

a Programmet skriver ut de 50 første partallene. I linje 1 er n satt til å være 1. I løkka får variabelen partall verdien 2n (linje 3) og skrives ut (linje 4). Så økes verdien av n med 1. Dette skjer så lenge n er mindre enn 51. Tabellen nedenfor viser hva som skjer.

n n < 51? partall

1Ja ⋅=21 2 n økes til 2

2Ja ⋅=22 4 n økes til 3

3Ja ⋅= 236 n økes til 4

4Ja ⋅=24 8 n økes til 5

49Ja ⋅= 24998 n økes til 50

50Ja ⋅= 2 50100 n økes til 51

51Nei

b Programmet skriver ut det samme som i oppgave a. Vi gir variabelen partall

verdien av partall med 2 og verdien skrives ut. Løkka gjentas så lenge partall < 100. Det siste partallet som skrives ut, er derfor 98 + 2 = 100.

partall partall < 100?

0Ja

partall økes til 2 2Ja

partall økes til 4 4Ja

Ines har lagd programmet til høyre.

partall økes til 6

Vurderingseksemplar

a Skriv av og fyll ut tabellen.

b Hva blir utskriften i programmet til Ines?

Theo har lagd programmet til høyre.

c Hva blir utskriften i programmet til Theo?

partall økes til 98

partall økes til 100

EKSEMPEL 26

Forklar hva programmet gjør.

1 2 3 for n in range(1, 21): a = 2*n - 1 print(a)

I for-løkka går n gjennom heltallene fra og med 1 til og med 20. For hver runde i løkka regner programmet ut et nytt tall a ved å ta to ganger n og trekke fra 1. Resultatet av beregningen er alltid et oddetall. Tallet a blir skrevet ut i hver runde i løkka.

= 2*n - 1

Vi får den samme utskriften med denne koden:

1 2 for i in range(1, 41, 2): print(i)

som

Vurderingseksemplar

Her gjennomløper i tallene fra og med 1 til og med 40 med steglengde 2. Det vil si at i har verdiene 1, 3, 5, …, 39.

Hvis vi oppgir ett tall, så vil sekvensen starte på 0 og gå til (men ikke med) tallet som oppgis.

range(10) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

range(5, 10) 5,6,7,8,9

range(2, 10, 2) 2,4,6,8

Hvis vi oppgir to tall, så vil det første tallet fortelle hvor sekvensen starter, og det andre hvor sekvensen slutter. Det siste tallet kommer ikke med.

Hvis vi oppgir tre tall, så vil det siste tallet være avstanden mellom tallene.

EKSEMPEL 27

1.82

a Lag et program som skriver ut oddetallene mellom 1000 og 1100 med en for-løkke.

b Lag et program som skriver ut oddetallene mellom 1000 og 1100 med en while-løkke.

1.83

Lag et program som skriver ut partallene mellom 500 og 550 med en a for-løkke b while-løkke

Figuren illustrerer de fire første rektangeltalleneR1, R2, R3 og R4

Vurderingseksemplar

Bestem en formel for Rn og lag et program som skriver ut de 10 første rektangeltallene.

Det er like mange kuler i bredden som figurnummeret, mens antall kuler i lengden er én større enn figurnummeret.

Hvis vi skal regne ut de fire første rektangeltallene, vil regnestykkene se slik ut:

NummerRektangeltall

Formelen for rektangeltall nummer n er derfor =⋅+Rnn(1) n 1 2 3 for i in range(1, 11): R = i*(i + 1) print(R)

Utskriften er tallene 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90 og 110.

EKSEMPEL 28

Trekanttallene kan vi illustrere med følgende figurer:

a Lag et program som skriver ut de 10 første trekanttallene.

b Utforsk og beskriv sammenhengen mellom trekanttallene og rektangeltallene.

a Vi ser at neste figur består av forrige figur i tillegg til en ny rad med kuler. Den nye raden har like mange kuler som figurnummeret.

Vurderingseksemplar

Dette bruker vi i en for-løkke som regner ut og skriver ut de 10 første trekanttallene.

# Det første trekanttallet for n in range(2, 11): print(T) # Skriver ut trekanttallet T = T + n # Beregner det neste trekanttallet

Resultatet blir tallene 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 og 45.

b Vi ser av utskriften eller av figuren nedenfor at trekanttallene er halvparten av rektangeltallene.

Det gir formelen

I eksempel 28 kunne vi også ha skrevet koden slik hvis vi hadde funnet formelen for Tn først:

1 2 3 for n in range(1, 11): T = n*(n + 1)/2 print(T)

EKSEMPEL 29

Tips: Sett n til et lavt tall mens du lager programmet, slik at du kan sjekke om programmet gir ønsket resultat.

Lag et program som skriver ut summen av de 100 første trekanttallene.

n = 100 summen = 0

Vurderingseksemplar

for i in range(1, n + 1): trekanttall = i*(i + 1)/2 summen = summen + trekanttall

print("Summen av de", n,"første trekanttallene er", summen)

I linje 1 har vi gitt n verdien 100 og summen verdien 0. For hver runde i løkka blir de ulike trekanttallene regnet ut og lagt til summen.

Utskriften blir slik: Summen av de 100 første trekanttallene er 1717000

EKSEMPEL 30

1.84

Figurene viser de fire første piltallene: P1, P2, P3 og P4.

a Bestem P5.

Berit har kommet fram til denne formelen for piltall nummer n: =⋅++ ++ Pnn nn (2) (1)(2) 2 n

b Hvordan kan Berit ha tenkt?

c Lag et program som skriver ut de 20 første piltallene og summen av dem.

Figurene nedenfor illustrerer de fire første i en figurserie. Hvor mange fyrstikker er det i figur 100?

Figur 1Figur 2

Figur 3

I hver figur er det tre flere fyrstikker enn i figuren før. Vi kan derfor finne antall fyrstikker med dette programmet:

Vurderingseksemplar

Figur 4

fyrstikker = 4 # Antall fyrstikker i figur 1 for i in range(2, 101): fyrstikker = fyrstikker + 3

print(fyrstikker)

Resultatet blir 301, som derfor er antall fyrstikker i figur 100.

1.85

a Skriv opp en formel for antall fyrstikker Fn i figur n i eksempel 30. Sjekk at formelen gir det samme som svaret i eksempelet.

b Hvor mange fyrstikker trenger vi for å lage de 100 første fyrstikktallene?

Figur 4

Figur 3

Figur 2

Figur 1

EKSEMPEL 31

Line har 1000 fyrstikker og ønsker å lage så mange figurer hun kan ut fra mønsteret i forrige eksempel. Det vil si at hun vil lage figur 1, figur 2, og så videre.

Lag et program som finner hvor mange figurer hun kan lage, og hvor mange fyrstikker som da er brukt.

fyrstikker = 4 # Fyrstikker i figur 1

brukt = 4 # Skal bli antall fyrstikker brukt n = 1 # Figurnummeret

while brukt <= 1000: n = n + 1

fyrstikker = fyrstikker + 3 # Fyrstikker i neste figur

brukt = brukt + fyrstikker

print(n - 1 , brukt - fyrstikker)

Løkka går så lenge det er brukt mindre enn eller lik 1000 fyrstikker. I linje 8 gir vi variabelen brukt ny verdi lik den gamle verdien pluss fyrstikker

Den siste gangen brukt er mindre enn eller lik 1000, blir verdien av n økt med 1 og brukt blir økt med fyrstikker

Vi må derfor skrive ut n - 1 og brukt - fyrstikker

Utskriften blir tallene 25 og 1000. Det betyr at Line kan lage akkurat 25 figurer.

1.86 (Eksamen 1T våren 2022)

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster.

a Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5?

b Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene?

Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse.

c Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har lagd figurene?

1.87 (Eksamen 1T høsten 2021)

Vurderingseksemplar

Marius har 400 bokser.

Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter.

Marius stabler boksene som vist på figur 1. På figur 1 har han lagd et tårn med fire etasjer.

a Hvor mange bokser trenger

Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten?

b Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet han kan lage?

Maria vil stable boksene som vist på figur 2. På figur 2 har hun lagd et tårn med tre etasjer.

c Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten?

Maria har 4000 bokser.

d Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

Figur 1Figur 2

Figur 3

Figur 1

Figur 2

EKSEMPEL 32

a <= b tester om a ≤ b. a == b tester om a = b.

Betingelser

Når vi programmerer, får vi ofte bruk for å teste om visse betingelser er oppfylt. Det kan være om to tall er like, om et tall er større enn et annet eller om et tall er ulikt et annet. For å sjekke om et tall er likt et annet tall bruker vi to likhetstegn (= =).

Undersøk om tallet 1596 er et trekanttall.

Vi vet at trekanttall nummer n er = ⋅+ T nn(1) 2 n , og må derfor finne ut

om det fins et naturlig tall n slik at ⋅+ = nn(1) 2 1596 .

Vurderingseksemplar

Du skal seinere lære å løse slike likninger ved regning, men nå skal vi bruke Python til å undersøke om det fins et naturlig tall som oppfyller likningen.

5 6 n = 1 while n*(n + 1)/2 <= 1596: if n*(n + 1)/2 == 1596: print("n =", n) n = n + 1

Først er n = 1, og vi sjekker om ⋅+nn(1) 2 er lik 1596.

Hvis det er tilfellet, skrives n ut.

Hvis det ikke er tilfellet, økes verdien av n med 1.

Dette gjentas så lenge ⋅+nn(1) 2 er mindre enn eller lik 1596.

Når vi kjører programmet, får vi utskriften n = 56

Det betyr at 1596 er trekantall nummer 56.

Hvis vi bruker programmet i eksempelet ovenfor til å sjekke et tall som ikke er et trekanttall, får vi ikke skrevet ut noe som helst.

1.88

Undersøk om tallene 8920 og 13 044 er trekanttall.

RØDE OPPGAVER

1.89

Figurene nedenfor illustrerer de fire første hustallene, hn

Det vil si at h1 = 1, h2 = 5, h3 = 12 og h4 = 22.

a Følg samme mønster, og tegn det femte hustallet.

b Beskriv sammenhengen mellom hustallene og kvadrattall og trekanttall.

c Hvor mange kuler trenger vi for å lage det tiende hustallet?

d Finn en formel for hn

1.90

Figurene illustrerer de fire første femkanttallene, F1, F2, F2 og F4

Vurderingseksemplar

a Finn det femte femkanttallet, F5 n er = ⋅− F nn(31) 2 n

b Lag et program som avgjør om 96 er et femkanttall.

c Lag et program som finner summen av de 100 første femkanttallene.

1.91

Lag et figurtallmønster der det er n2 + 1 kuler i figur nummer n.

BLÅ OPPGAVER

1.92

Se oppgave 1.89.

a Hvilken sammenheng er det mellom hustall, kvadrattall og trekanttall?

b Lag et program som skriver ut de ti første hustallene.

c Agnete har 500 kuler av hver av de to fargene, og skal lage et størst mulig hustall. Hvor mange kuler av hver farge er til overs etterpå?

1.93

De fire første femkanttallene er F 1 1 , F 5 2 , F 12 3 og F 22 4

På figuren til høyre ser du en illustrasjon av det fjerde femkanttallet.

a Gro påstår at figuren illustrerer de fire første femkanttallene. Hva tror du at hun mener?

b Tegn av figuren og utvid den slik at den blir en illustrasjon av det femte femkanttallet.

Gro oppdager at det fjerde femkanttallet er satt sammen av tre trekanttall. Hun illustrerer dette ved å lage figuren med de to hjelpelinjene.

c Skriv det fjerde femkanttallet som en sum av trekanttall.

d Skriv F2 og F3 som summer av trekanttall.

e Hvilken sammenheng har du oppdaget mellom trekanttall og femkanttall? Skriv femkanttall nummer n, Fn, som en sum av trekanttall.

f Formelen for trekanttall nummer n er

= + T nn(1) 2 n

Bruk denne formelen og sammenhengen du fant i oppgave e til å bestemme en formel for Fn

1.94

Lag et figurtallmønster der det er nn5 2 2 kuler i figur nummer n

BLANDEDE OPPGAVER

1.95

Ta for deg disse tallene:

2232743,710(2)0 220142

a Hvilke av tallene er med i N?

b Hvilke av tallene er med i Q?

c Hvilke av tallene har absoluttverdien 4?

1.96

Regn

1.97

Regn ut.

⋅ 1,2104,010 3,210 34 8 b 1,2104,010 3,210 34 2 8 () c ⋅+⋅

1,2104,010 3,210 34 8

1.98

I en kjøkkensvamp er det omtrent 40 milliarder bakterier per milliliter. Hvor mange bakterier er det i svampen når volumet av den er 1,5 dL? Skriv svaret på standardform.

1.99

Regn ut, og skriv svaret på standardform. Kontroller med digitalt verktøy.

a 5,0 ⋅ 106 25 000 000 b 9,010 2,5100,002 8 3 c () 0,10,008 210 3 5 4

1.100

Ta for deg antall små kvadrater i figurserien nedenfor.

a Skriv opp de fem første tallene som følger mønsteret i figurserien. b Finn en sammenheng mellom disse tallene og oddetallene.

c Lag et program som skriver ut de første 100 tallene av denne typen. d Tegn en ny figurserie som illustrerer at disse tallene er én større enn kvadrattallene.

1.101

Skriv så enkelt som mulig. a xax xa 2 3 163 2 1 0 () ⋅⋅ b () ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x x 4 2 1 1 3 c −+4827 3 3

1.102

Regn ut med digitalt verktøy. Skriv svaret på standardform.

⋅+⋅ 3,8710 2,3109,6810 6 34

1.103

Skriv så enkelt som mulig. a 5250 b 222 1 4 101 c −+⋅−328627 72 3

1.104

Skriv tallene i stigende rekkefølge.

60252(1)2,15315 2932

1.105

Vis at 35,121 212 … er et rasjonalt tall. Bruk dette til å vise at også 3,5 121 212 … er et rasjonalt tall.

1.106

Hvilket tall er størst av 275 og 350 ?

1.107

Hvor mange naturlige tall n er slik at ∈ n 12 34567 ?

1.108

Vurderingseksemplar

a Beskriv mønsteret i denne figurserien.

b Hvor mange kuler er det i den tiende figuren?

c Bestem en formel for antall kuler i figur n.

1.109

Nikoline leker seg med fyrstikker. Hun har lagd figurene til høyre. Nikoline vil lage flere figurer etter samme mønster.

a Hvor mange fyrstikker trenger hun til å lage figur nummer 4?

b Lag et program/regneark som gir en oversikt over antall fyrstikker Nikoline trenger til hver av de 25 første figurene.

c Hvilken sammenheng er det mellom antall fyrstikker hun trenger og trekanttallene? Bruk dette til å lage en formel for antall fyrstikker hun trenger i figur nummer n

d Utvid programmet/regnearket fra oppgave b slik at det også gir oversikt over det totale antallet fyrstikker Nikoline må ha for å lage alle figurene opp til og med figur nummer 25.

1.110

Figuren til høyre illustrerer de fire første tallene i et tallmønster.

a Følg samme mønster og tegn det femte tallet i følgen.

b Skriv opp de sju første tallene i følgen.

c Finn en formel for tall nummer n i følgen.

1.111 (Fra eksempelsett 1T høsten 2021)

Figur 1Figur 2

De tre figurene er lagd av fyrstikker.

Figur 3

Figur 1 består av ett lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrater, og figur 3 består av ni små kvadrater.

Tenk deg at du har 10 000 fyrstikker.

Du skal lage de tre figurene, og så fortsette å lage figurer etter samme mønster, én i hver størrelse.

a Hvor mange figurer kan du lage?

b Hvor mange fyrstikker vil du ha igjen når du har lagd den siste figuren?

1.112

Heron fra Alexandria er en kjent matematiker fra antikken. Han lagde blant annet en algoritme for å finne tilnærmingsverdier for kvadratroten av et naturlig tall n:

❶ Velg et tall a i nærheten av det du tror svaret blir.

❷ Regn ut tallet =+ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ban a 1 2

❸ La a få verdien b

❹ Gjenta punkt 2 og 3 helt til b ikke endrer seg noe særlig fra gang til gang (for eksempel at 4 desimaler er like fra gang).

Liknende metoder brukes av digitale verktøy til å finne kvadratrøtter.

algoritme er en trinnvis beskrivelse av framgangsmåten for å løse et problem.

Lag et program basert på denne algoritmen som du kan bruke til å regne ut kvadratroten av 11.

1.113 (Eksempelsett 1T våren 2020)

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

a Lag en algoritme som du kan bruke til å bestemme hvor mange små kvadrater du totalt trenger for å lage de 100 første figurene.

b Bruk et programmeringsspråk, og lag et program med utgangspunkt i algoritmen. Programmet skal beregne og skrive ut hvor mange kvadrater du trenger.

Vurderingseksemplar

Figur

Figur 2

Figur 3

SAMMENDRAG

Tallmengder

Tallinja består av uendelig mange reelle tall,

De naturlige tallene N er tallene 1, 2, 3, 4, …

De hele tallene Z er tallene …−3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …

De rasjonale tallene er alle tall som kan skrives som en brøk med hele tall i teller og nevner

Partall er tall som kan skrives på formen 2n, n

Oddetall er tall som kan skrives på formen −∈nn21,

Absoluttverdi

x er tallet x hvis x er et positivt tall eller null, og tallet x hvis x er negativt.

Potenser

Regneregler

Kvadratrøtter

Definisjon: aa 2() = Regneregler: ⋅=⋅ abab og a b a b

n-terøtter

Dersom a > 0, er an 1 det positive tallet b som er slik at ba n

Dersom a < 0 og n er et oddetall, er an 1 det negative tallet b som er slik at ba n

Standardform a 10n , der n og a 110 ≤<

Figurtall

Kvadrattall: Kn n 2

Rektangeltall: =⋅+Rnn(1) n

Trekanttall: = ⋅+ T nn(1)

KAPITTELTEST

Oppgave 1

Regn ut og skriv svaret på standardform.

a 200000 0,0080,01 b ⋅+⋅ 7,710310 0,002 87 3

Oppgave 2

Skriv så enkelt som mulig.

a 55525 2 1 0 () b −+ 20545 c ()

Oppgave 3

Nedenfor har vi et pythonprogram.

a Hva gjør dette programmet?

t = 1 while t < 500: t = t + 2 print(t)

Oppgave 4

b Hva gjør programmet hvis vi endrer linje 1 fra t = 1 til t = 0?

c Hva gjør programmet hvis rad 4 og rad 5 bytter plass?

Avgjør om påstandene nedenfor alltid er sanne.

a Hvis a og b er rasjonale tall og b 0, så er a b et rasjonalt tall.

b Hvis a og b er irrasjonale tall og b 0, så er a b et irrasjonalt tall.

Oppgave 5

Finn verdien av uttrykket. Gi svaret på standardform med én desimal. + + 249 326 1,2310 2

Oppgave 6 10 19 J.

Hvor mange fotoner er det i en laserpuls som har totalenergien 1,0 J?

Oppgave 7

Ann-Mari har illustrert de fire første stjernetallene.

a Illustrer det femte stjernetallet.

b Bestem en formel for stjernetall nummer n

c Bruk formelen til å bestemme stjernetall nummer 10.

d Lag et program som regner ut summen av de 50 første stjernetallene.

Likninger og identiteter 2

Vurderingseksemplar

2A Identiteter 60

2B Faktorisering 65

2C Kvadratsetningene 72

2D Likninger 84

2E Andregradslikninger 93

2F abc-formelen 102

Vurderingseksemplar

Se på kvadratet nedenfor. Det består av fire mindre firkanter.

b a ab

Du kan finne to uttrykk for arealet av kvadrat ved å

firkantene

Setter du de to uttrykkene for arealet lik hverandre, får du det vi kaller en identitet

Hvilken identitet får du?

2A

Hvis vi ikke skriver noe annet, vil alle bokstaver i uttrykk i dette kapittelet stå for reelle tall.

Identiteter

Uttrykk, likninger og identiteter

I et algebraiskuttrykk kombinerer vi tall og ukjente størrelser representert ved bokstaver. Til det bruker vi regneoperasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, samt potenser og rotuttrykk.

5x + 2 og aab2 1 2 er eksempler på algebraiske uttrykk.

Når vi jobber med algebraiske uttrykk, må vi huske at:

x betyr x 1 og er det samme som x

x betyr x

x betyr x og er det samme som x + x + x

x betyr xxx

x + y er det samme som y + x xy betyr xy og er det samme som yx xy2 xyy og har fire faktorer. xy 4 har tre ledd.

x + 4y kan vi ikke trekke sammen.

I en likning er to algebraiske uttrykk satt lik hverandre. En likning kan ha én eller flere ukjente.

5x 2 = x er et eksempel på en likning med én ukjent, x x + y = 2 er et eksempel på en likning med to ukjente, x og y

Vurderingseksemplar

x + 4x lik 7x

Å løse likningen 5x 2 = x er å finne verdier for x som gjør at venstresiden blir lik høyresiden. Du ser kanskje at 1 er det eneste tallet som passer i likningen? Løsningen på likningen er derfor 1.

En likning der alle mulige verdier av de ukjente størrelsene er løsninger, kaller vi en identitet.

x + 2) = x + x + x + 6 er like for alle verdier av x. De er identisklike.

x + 2) = 6 er ikke en identitet, det er en likning. Den eneste verdien for x som

EKSEMPEL 1

Algebraisk uttrykk

Likning

Identitet

Vurderingseksemplar

Parentesreglene

Når vi regner med algebraiske uttrykk, må vi ofte løse opp parenteser. Vi minner om noen nyttige identiteter.

❶ abcabcabc () () + +++==++++==+++ +

❷ abcabc () −++==−

❸ abcabac () + +==+ +

❹ abcdacadbcbd ()() + +++==+++++ +

❺ abcabcabc ()() ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅

Regel ❶ og ❺ blir kalt assosiativ lov for henholdsvis addisjon og multiplikasjon.

Regel ❸ er den distributive loven.

Regn ut xx72

=− + xxxx xx x 72 86) 786 6

Med CAS:

Vi ganger 2 inn i parentesen.

Vi løser opp parentesen.

Vi legger sammen ledd av samme type.

Husk! 1 x = x

Vi skriver inn uttrykket og trykker Enter.

2.1

Regn ut.

a xxx

c ++− xxyy245 4

2.2

Regn ut.

a x 4)

c xx 1)

2.3

Regn ut.

a +− a 12 1)

c +−cc24 )

2.4

Regn ut. Kontroller med CAS.

a +− a 42

c aa 2)

2.5

Jørgen skal regne ut +− xx4) )

Han gjør slik:

2(4+)(-3)=(8+2)(-3)

b −+ xxx 24

d +−− xyxy 26

b x 4)

d −+xx 2)

b b 5)

d dd 2

b bb

d bb 2) )

=8-24+2-6

=2+2-24 2 2

Frida lurer på hvorfor han bare ganger 2-tallet med den første parentesen.

a Hva bør Jørgen svare Frida?

Vurderingseksemplar

Jonas har en annen framgangsmåte. Han regner ut ved å først gange sammen parentesene og så gange med 2.

b Løs oppgaven med framgangsmåten til Jonas.

I oppgave 2.6 skal du bevise ﬂere av identitetene vi kaller parentesreglene. Et bevis bygger alltid på det vi vet fra før, det vil si at vi argumenterer ut fra deﬁnisjoner og setninger som er bevist tidligere. I oppgaven vil du for eksempel bruke at vi får arealet av et rektangel ved å multiplisere lengden med bredden.

EKSEMPEL 2

2.6

Den øverste figuren viser et stort rektangel som er delt opp i to mindre rektangler.

a Bestem et uttrykk for arealet av hvert av de tre rektanglene.

b Hvilken parentesregel kan du nå bevise geometrisk?

c Bruk den nederste figuren til å lage et geometrisk bevis for at

++=+++ abcdacadbcbd

d Tegn en egnet geometrisk figur og begrunn ut fra figuren at identiteten −=− abcabac gjelder

Vurderingseksemplar

Bestem m og n slik at likningen blir en identitet. Kontroller med CAS. −+ =+ xxmxn42 )

Vi regner ut på venstre side av likningen. −+=−−=− xxxxx42 )42222

De to sidene av likningen skal være like for alle verdier av x For at 2x 2 skal være lik mx + n, må m være lik 2 og n være lik 2.

Likningen er en identitet når m = 2 og n = 2.

Vi setter inn for m og n og kontrollerer med CAS.

Vi skriver inn uttrykket med dobbelt likhetstegn, ==. CAS viser dette som

CAS returnerer «true». Det betyr at likningen er en identitet.

2.7

Bruk CAS til å undersøke om likningen er en identitet.

a −+=−+ xx26 b + =+ x xx 1 c + =+ x x 1

2.8

Bestem m og n slik at likningen blir en identitet. Kontroller med CAS.

a +=+mxnx 64 12 b −=+ mxxn )2

RØDE OPPGAVER

2.9

Regn ut. a xxx 24 b +−+xx21 c −++ xxxx 42 7 22 d −−++xyxxy22 5

2.10

Regn ut. Kontroller med CAS.

a −+−aaa 4 b b 14 5) c c 42 ) d dd )

2.11

Regn ut. a n 52 5) b −+ nnn )1 c −+ m ) d +⋅ mm

2.12

Bestem a slik at likningen blir en identitet.

a +=+xax 4) 12 b +=−− xax2)

BLÅ OPPGAVER

2.13

Regn ut. Kontroller med CAS. a mm 5) b +−bb 2) 2) c −−−+() baab 2

2.14

Hanne gir vennene sine følgende instruksjoner:

❶ Tenk på et tilfeldig heltall.

❷ Trekk fra 2.

❸ Multipliser med 4.

❹ Legg til 16.

Vurderingseksemplar

❺ Trekk fra fire ganger så mye som det tallet du startet med.

a Gjennomfør algoritmen for tre ulike tall. Hvilket tall ender du opp med?

b La x være et vilkårlig tall. Vis at du ender opp med samme tall som i oppgave a hvis du følger instruksjonene til Hanne.

2.15

Bestem a og b slik at likningen blir en identitet.

a −=− axbx )18 b ++=++ xxaxbx 1) 2 c −−=−+ xaxxb 2)

2.16

a Regn ut summen og produktet av a og a 42

b Bestem kvadratet av a

c Regn ut summen av a 1 2 og a , og trekk deretter fra kvadratet av a 1

2B

Et primtall er et naturlig tall større enn 1 som bare er delelig med seg selv og 1.

Faktorisering

Å faktorisere et tall eller et uttrykk vil si å skrive det som et produkt av to eller flere faktorer.

Vi kan faktorisere tallet 12 på ulike måter, for eksempel: , 26 og 22

Når alle faktorene er primtall, sier vi at tallet er primtallsfaktorisert

Primtallsfaktoriseringen av 12 er altså 22

Hvis vi ikke straks ser primtallsfaktoriseringen av et tall, kan vi starte med å skrive det som et produkt av to faktorer. Hvis disse faktorene ikke er primtall, skriver vi hver av dem igjen som et produkt av to nye faktorer. Slik fortsetter vi til vi står igjen med bare primtall.

EKSEMPEL 3

eller

I Python gir % resten ved divisjon.

18 % 6 gir 0

18 % 7 gir 4

n = n + 1

I linje 1 er variabelen tall satt til å

faktorisere. Vi setter variabelen n lik 2. While-løkka kjører så lenge tall er større enn 1. For hver runde løkka kjører, skjer ett av følgende:

Hvis n er en faktor i tall, skrives verdien av n ut, og variabelen tall får ny verdi lik tall dividert med n.

Hvis n ikke er en faktor i tall, øker verdien av n med 1.

Vi bruker Faktoriser .

EKSEMPEL 4

2.17

Primtallsfaktoriser tallene for hånd. Kontroller med digitalt verktøy. a b 72 c d

2.18

Han lager en rad i tabellen for hver runde while-løkka kjører.

ntalltall > 1tall % n == 0 2

n skrives ut tall

n skrives ut tall JaNei n øker til 4

Legg til nye rader og fullfør tabellen til Wilhelm.

Felles faktor

Hvis alle leddene i et uttrykk inneholder den samme faktoren, kan vi faktorisere uttrykket ved å bruke den distributive loven. For eksempel er x en felles faktor for de to leddene i uttrykket x2 + 5x. Vi kan derfor faktorisere slik:

x og x + 5.

Vurderingseksemplar

Det neste eksempelet viser at uttrykk kan faktoriseres på flere måter.

Faktoriser uttrykket abab26 2 ved å

a sette ab2 utenfor en parentes

b sette ab2 utenfor en parentes

Første ledd i parentesen er 1 fordi abab212 = =⋅⋅ .

Pass på at fortegnene inne i parentesen blir riktige. Vi kan endre rekkefølgen på leddene i parentesen.

EKSEMPEL 5

Merk!

Når du har faktorisert et uttrykk, kan du alltid kontrollere svaret ved å multiplisere faktorene og se om du får uttrykket du startet med. I eksempel 4 får vi:

−=− abaabab )26 2 −−=−+=− abaabababab )622622

EKSEMPEL 6

Vurderingseksemplar

Faktoriser uttrykket +−+−nnnn 1) ved å sette n ) utenfor en parentes.

) )

2.19

Faktoriser uttrykket. a a 84 b b 618 c cc 2 d dd14 7

2.20 Faktoriser uttrykket.

a −+ x 24 b xx416 2 c xyxy 24 22 d xx 15 255 2

2.21

a Skriv uttrykket x 41 x + a). b Skriv uttrykket x 25 x + a).

2.22

Faktoriser uttrykket.

a xxxx 5) ) ved å sette x ) utenfor en parentes

b +−+− mmm 2 ved å sette m ) utenfor en parentes

EKSEMPEL 7

Bevis at summen av to oddetall er et partall.

La m og n være to oddetall.

Siden m er et oddetall, fins det et tall Z a slik at =−ma21

Tilsvarende fins det et tall Z b slik at =−nb21

Vi ønsker å vise at m + n er et partall.

mnabababs 21212222 )2 mns

Siden a og b er hele tall og sum og differanse av hele tall gir et helt tall, er s et helt tall.

Altså er 2s et partall, og vi har vist at summen av to oddetall er et partall.

2.23

Bevis at summen av to partall er et partall.

2.24

La det minste tallet være n

2.25

Bevis at kvadratet av et oddetall er et oddetall.

Kvadratet av et tall er tallet ganget med seg selv, ⋅= aaa2

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 8

2 n

Kn n 2

Bevis at summen av to etterfølgende trekanttall er et kvadrattall.

La n . Vi vil vise at TTnn 1 er et kvadrattall.

Bevis at summen av to etterfølgende rektangeltall gir det dobbelte av et kvadrattall. = ⋅+ T nn )

Vi setter uttrykkene på felles brøkstrek.

Vi setter ( n + 1) utenfor parentes.

Vurderingseksemplar

Vi setter 2 utenfor parentes og forkorter.

Vi gjenkjenner formelen for kvadrattall nummer n 1, Kn(1) n 1 2 = =+ + ++ .

Vi har vist at summen av trekanttallene med nummer n og nummer n + 1 gir kvadrattall nummer n + 1. Vi illustrerer resultatet for T2 og T

2.26

EKSEMPEL 9

Sum-produktmetoden for faktorisering

Vi tar for oss produktet xmxn . Når vi multipliserer, får vi xmxnxxnmxmnxnmxmn22 ++=+++=+++

Vi har derfor identiteten ++=+++ xmxnxnmxmn 2

Denne identiteten kan vi bruke til å faktorisere andregradsuttrykk av typen x2 + bx + c. Hvis vi klarer å finne to tall m og n slik at summen av dem er b og produktet av dem er c, vet vi at vi kan skrive andregradsuttrykket på formen xmxn

Faktoriser uttrykket +−xx 6 2 med sum-produktmetoden.

Vi vet at 1x = x, og vi kan skrive uttrykket slik: ++−xx 6) 2

Da ser vi at b = 1 og c = 6.

Vi leter derfor etter to tall som har produkt 6 og sum 1.

⋅−=−6)6 , men +− ≠ 6)1 =− )66, men −+ ≠ )61 =−6, men +− ≠ 1 =−6 og −+ = 1

Vi ser at produktet blir 6, og summen blir 1 når tallene er

Vi kan derfor faktorisere uttrykket slik: xxxxxx 6 ) 2) ) 2 () +−= +− ⋅+=−⋅+

Vurderingseksemplar

Merk!

Sum-produktmetoden fungerer også når m og n ikke er heltall, men da kan det være vanskeligere å finne tallene.

2.27

Faktoriser uttrykket med sum-produktmetoden. a xx56 2 b −+xx 2 c xx 12 2

RØDE OPPGAVER

2.28

Primtallsfaktoriser. a 75 b

2.29

Faktoriser uttrykket.

a x 216 b xx 2 c xyxy 24 8 2 d π+πrrh 22 2

2.30

Faktoriser uttrykket med sum-produktmetoden.

a xx68 2 b −+xx815 2

2.31

«Differansen mellom to etterfølgende kvadrattall er et oddetall.»

Lag en illustrasjon som viser at resultatet holder for a K1 og K2 b K2 og K

BLÅ OPPGAVER

2.32

Vis at 75 2 −=−()

2.33

Faktoriser og vis at +−−−=−+ xxxxx 2) 2) 1) 2

2.34

Vurderingseksemplar

Skriv uttrykket 5x a a x) b axb)

2.35

Faktoriser uttrykket xx)9 22()

2.36

Bevis påstandene nedenfor.

a n 47 er et oddetall for Z n .

b nn 2 er et partall for Z n .

c +− nn ) er et oddetall for Z n

2.37

Bevis at differansen mellom to etterfølgende kvadrattall er et oddetall.

Kn n 2

UTFORSK

Kvadratsetningene

Nedenfor ser du de tre første figurene i en figurserie. Vi antar at mønsteret fortsetter.

Bruk figurserien til å forklare at +=++nnn )2 1 22

Sammenhengen +=++nnn )2 1 22 første kvadratsetning.

Vi har tre slike identiteter som vi kaller kvadratsetningene

Vurderingseksemplar

abaabb ()2222 + +==+++ + abaabb ()2222 −==−−+ + ababab ()() 22 + +−−==− konjugatsetningen

Vi kan bruke parentesreglene til å bevise kvadratsetningene: +=++=+++=++ abababaabbabaabb 2 222 2 2 −=−−=−−+=−+ abababaabbabaabb 2 222 2 2 +−=−+−=− ababaabbabab 22 2 2

2.38

Første kvadratsetning kan vi formulere slik:

Kvadratetavsummenavtotallerkvadratetavdetførstetallet, plusstogangerproduktetavtallene,plusskvadratetavdetandretallet.

Formuler de andre kvadratsetningene med ord.

EKSEMPEL 10

Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a x )2 b () xy 2 2 c ()() +−

a Vi skal finne kvadratet av summen av to tall og bruker derfor første kvadratsetning.

+⋅⋅+=++ xxxxx )2 69 2222

b Vi skal finne kvadratet av differansen mellom to tall og bruker derfor andre kvadratsetning.

Vurderingseksemplar

c Vi skal finne produktet av to faktorer der den ene faktoren er summen av to tall og den andre faktoren er differansen mellom de samme tallene.

2 2 2

2.39

Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a x )2 b x )2

2.40

Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a xx 2) +− b x )2 c +−xx d x )2

2.41

Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a x 1)2 b +−xx 1) 1) c xy )2 d x 5)2

2.42

Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x 4 1 2 2 b xyyx 44 ()() +− c ()() −+ 5252

2.43 Christian ønsker å regne ut 2)2. Han prøver slik:

⋅⋅ (3+2)=3+232+2=9+12+4=25 222

Martine mener at framgangsmåten er unødvendig komplisert.

Hvordan tror du Martine mener at Christian bør gå fram?

EKSEMPEL 11

2.44 (Eksamen 1T våren 2022)

Bestem r og s slik at sammenhengen nedenfor blir en identitet.

2.45 + 1.

Bruk dette og første kvadratsetning til å regne ut 2

2.46 + 2.

Bruk dette og konjugatsetningen til å regne ut 28

2.47

Bruk kvadratsetningene til å regne ut.

a 21 21 b 19 19 c 6456 d 492 e 922

Bruk figuren til å gi et geometrisk bevis for første kvadratsetning.

Vi uttrykker arealet av figuren på to måter.

❶ Figuren er et kvadrat med side ab og har derfor arealet ab 2

❷ De stiplede linjene deler figuren i fire områder:

a og areal a2

a og b, og hvert av dem med areal ab

b og areal b2

Vurderingseksemplar

Arealet av figuren er summen av disse fire arealene: aabb 2 22

De to uttrykkene for arealet av figuren må være like, så derfor er +=++ abaabb 2 222, som er det vi skulle vise.

2.48

Bruk figuren til å gi et geometrisk bevis for andre kvadratsetning.

2.49

Per og Tor lager hver sin figurserie.

Pers figurserie:

Tors figurserie:

Vurderingseksemplar

Forklar hvordan vi kan bruke de to figurseriene til å gi et geometrisk bevis for konjugatsetningen.

EKSEMPEL 12

Faktorisering med kvadratsetningene

Vi kaller uttrykk på formen axbxc 2 hvis vi kan finne to tall de slik at axbxcdxe() 22 + +++==+ + .

Fullstendige kvadrater er altså andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved å bruke første kvadratsetning eller andre kvadratsetning direkte.

Hvilke av uttrykkene er et fullstendig kvadrat? ❶ xx 25 2

−+xx 25 2

De fire uttrykkene har en form som minner om første- og andre kvadratsetning. x 2 er kvadratet av x

x er to ganger produktet av x og 5.

❶ passer med første kvadratsetning: ++=+⋅⋅+=+ xxxxx 2525 5) 2222

❸ passer med andre kvadratsetning: −+=−⋅⋅+=− xxxxx 2525 5) 2222

❷ og ❹ passer verken med første- eller andre kvadratsetning fordi det siste leddet har negativt fortegn.

❶ er et fullstendig kvadrat der d = 1 og e = 5.

❸ er et fullstendig kvadrat der d = 1 og e = 5. xbxc 2 . Hvis et slikt uttrykk skal være et fullstendig kvadrat, må altså c være et positivt tall, og b må være produktet av 2 og kvadratroten av c, =⋅ bc 2

Vurderingseksemplar

Dette kan vi også skrive slik: = ⎛

EKSEMPEL 13

Faktoriser uttrykket −+yy 4129 2 .

4y2 er kvadratet av 2y, 12y er det dobbelte av produktet av 2y −+=−⋅⋅+ =− yyyy y 4129 )2 222 2

Uttrykket er et fullstendig kvadrat.

2.50

Vurderingseksemplar

a xx 16 16 2

b xx816 2

c −+xx 16 64 2

d −+xx64 2

2.51

Bestem c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat.

a −+ xxc 2

b xxc 14 2

c aac 6 2

2.52

Faktoriser uttrykket.

a xx51 2

b xx44 1 2

c −+xx 92416 2

d −+xx92 1 9 2

2.53

Ada og Sebastian vil faktorisere uttrykket −+aabb 2 22

Ada skriver at det er ab 2, mens Sebastian skriver ba 2 Hvem har rett? Kommenter.

2.54 (Eksamen 1T høsten 2020)

For hvilke verdier av k blir uttrykket nedenfor et fullstendig kvadrat?

xkx 4 1 4 2

EKSEMPEL 14

=⋅+Rnn ) n

Faktoriser uttrykket.

a x 22 2

b x 2

c +− x )64 2

a Vi setter 2 utenfor parentes og bruker konjugatsetningen. ()() −=−=−=+− xxxxx 222121 1) ) 2222

b Vi vet at () = 2 , så vi kan bruke konjugatsetningen. −=−=+−()()() xxxx 22 2

c x )2 er kvadratet av x ), og 64 er kvadratet av 8. Konjugatsetningen gir derfor

+−=+− =+++− =+− xx xx xx )6 1)8 )8 )8 7) 22 2

2.55

Faktoriser uttrykket.

2.56

Faktoriser uttrykket hvis det er mulig.

2.57

Vurderingseksemplar

Faktoriser uttrykket.

2.58

Faktoriser uttrykket. a x 2 2 b xx 21218 2 c −+yy 961 2 d nn82

2.59 La Rn være rektangeltall nummer n. Bevis at ⋅+ R 41 n er et kvadrattall.

Fullstendig kvadrat-metoden

I eksempelet nedenfor skal vi faktorisere xx 4 15 4 2 .

Det kan være vanskelig å faktorisere dette uttrykket med metodene vi har lært tidligere i kapittelet.

Vi bruker derfor en metode vi kaller fullstendigkvadrat-metoden

EKSEMPEL 15

Faktoriser om mulig uttrykket

Vurderingseksemplar

at uttrykket inneholder et fullstendig kvadrat.

Første kvadratsetning Konjugatsetningen

b Vi forsøker samme framgangsmåte som i oppgave a.

å bruke konjugatsetningen.

Vi kan ikke faktorisere xx25 2

Merk!

I eksempelet ovenfor legger vi til og trekker fra det samme tallet. Verdien av bruker i matematikk!

2.60 Faktoriser uttrykket med fullstendig kvadrat-metoden hvis det er mulig.

2.61

Kristin ønsker å faktorisere uttrykket +−xx22 2 .

Hun gjør slik:

Forklar hvert trinn i framgangsmåten hennes.

2.62

Ida ønsker å faktorisere uttrykket −+xx29 7 2

Hun starter slik:

Forklar hva hun har gjort så langt.

Fullfør faktoriseringen.

SNAKK

Vurderingseksemplar

Hvilken framgangsmåte foretrekker du når du skal faktorisere hvert av uttrykkene nedenfor? a +−xx28 2 b −+xx44 2 c xx 5 4 8 2 d xx 2 e x 218 2

EKSEMPEL 16

Brøkregning og faktorisering

Forkort brøken.

a xx x 69 412 2 b x x 28 24 2

a xx x xx x x 69 412 ) ) 4 ) 4 2 ++ + = +⋅ + + = + b x x x x

Vi faktoriserer telleren ved å bruke første kvadratsetning. Vi setter 4 utenfor en parentes i nevneren, og ser at ( x + 3) er en felles faktor i telleren og nevneren.

Vi setter 2 utenfor parentes i telleren og nevneren.

Vurderingseksemplar

Vi faktoriserer i telleren ved å bruke konjugatsetningen. Vi ser at 2( x − 2) er en faktor i telleren og nevneren.

Med CAS:

a b

Merk!

Vi har at += ⋅ += + x xx 1 4 4 1 4 4 4 , så svarene for hånd og med CAS i oppgave a i eksempel 16 er like.

2.63

Forkort brøken så mye som mulig. a x x 9 27 2 b x xx 21

⋅= a b c d ac bd a b c d a b d c :=⋅

2.64

Forkort brøken. Kontroller med CAS.

a x x 25 5 2 b x xx 1 21 2

c + x x 9 2 d −+xx x 816 16 2 2

2.65

Bestem k slik at brøken kan forkortes.

−+ xxk x 4 2 2

2.66 (Eksamen 1T høsten 2020)

Skriv så enkelt som mulig.

+− xyxy xy 4 2

2.67

Regn ut. Kontroller med CAS.

a + a a 2 1 1 6 2

b −+ a aa a a 21 1 22

c b b b b 8 81 9 2 2 2

2.68

Regn ut. Kontroller med CAS.

Vurderingseksemplar

a : xx 2 5 b : a aa a a 2 2

c : b b b b 64 15 8 2 2

RØDE OPPGAVER

2.69

I denne oppgaven skal du jobbe med uttrykkene nedenfor. 1 xx44 2 2 −+aa 12 2 3 y 2 4 nn 16 64 2

a Faktoriser uttrykkene ved å bruke kvadratsetningene.

b Hvilke av uttrykkene klarer du å faktorisere ved å bruke sum-produktmetoden?

Faktoriser de aktuelle uttrykkene med metoden.

2.70

Figuren viser et kvadrat med side s som det er skåret bort et kvadrat med side t fra.

Finn et uttrykk for arealet av det blå området på faktorisert form.

2.71

Skriv så enkelt som mulig. Kontroller med CAS.

2.72

Faktoriser uttrykket −+xx 7 2 2 med fullstendig kvadrat-metoden.

BLÅ OPPGAVER

2.73

Bruk kvadratsetningene til å regne ut a

4951

2.74

Vurderingseksemplar

Bestem a, b og c slik at likningen blir en identitet. −=−+ axxbxc )1622

2.75

Bestem k slik at brøken kan forkortes.

x 6 2

2.76

Bjørn har akkurat så mange drops at han kan legge én i hver rute på et kvadratisk brett med nn ruter. Han vil omorganisere dropsene sine slik at de i stedet fyller et rektangulært rutenett. Antall ruter i lengden skal være like mye lengre enn n som antall ruter i bredden er kortere enn n. Bjørn vil etter en slik omorganisering ha et visst antall drops til overs. Vis at dette antallet alltid er et kvadrattall. s t t s

2D

SNAKK

Likninger

Sindre løser en likning slik:

6-3(-2)=4-(2+)

6-3+6=4-2-

Forklar framgangsmåten til Sindre, linje for linje.

Vurderingseksemplar

Vi kan kontrollere løsningen på likningen til Sindre i SNAKK ved å sette inn 5 for x på venstre og høyre side i likningen. Vi kaller det å setteprøve

Hvis x = 5:

VS:6 52) 6

HS:4 5)47

Siden VS = HS, er 5 en løsning på likningen.

Legg merke til at 5 er den eneste løsningen på likningen til Sindre. Det betyr at for alle andre verdier av x er VS ≠ HS.

Løsningsmengden til likningen inneholder bare tallet 5.

På listeform skriver vi det slik: L = {5}

Hvis for eksempel både 5 og 8 er løsninger på en likning, skriver vi L = {5 , 8}

Hvis en likning viser seg å være en identitet, består løsningsmengden av alle reelle tall. For eksempel kan likningen x + 2 = 2 + xx =

og løsningen er alle reelle tall. Da skriver vi L = R.

Hvis en likning ikke har noen løsning, er løsningsmengden tom. For eksempel kan likningen x + 2 = x + x = 1. Det fins ingen tall som ganget =∅ L

2.77

Løs likningen. Sett prøve.

a −=+xx 12 618 b =−+ xx 12 c

2.78

Løs likningen.

Vurderingseksemplar

2.79

Lag en likning med løsningsmengden a L {4 }

2.80

Mak har lagd programmet nedenfor.

while x <= 5: if 5*x + 3 == 15 - x: print(x) x = x + 1

a Forklar hva programmet gjør. Hva blir utskriften?

Kontroller svaret ved å kjøre programmet.

Mak ønsker å bruke programmet til å løse likningen −=+xx24

Han bytter ut linje 4 med

if 3*x - 8 == 2*x + 4:

b Programmet gir ingen utskrift. Hva er grunnen til det?

Gjør endringer i programmet slik at du får skrevet ut løsningen på likningen.

c Gjør nødvendige endringer i programmet slik at det kan brukes til å løse likningen +=−xx 7 2

Det minste tallet som alle nevnerne går opp i, kaller vi fellesnevneren

Med CAS:

Vi regner ut parentesen først. Fellesnevneren er 24.

Vi ganger med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet.

Vi forkorter. Legg merke til ny parentes rundt ﬂerleddet teller på høyre side.

Vi trekker sammen.

Vurderingseksemplar

2.81

Vi deler på 50 på begge sider av likhetstegnet og forkorter.

Når vi bruker Løs , gir CAS en eksakt løsning.

Når vi bruker Løs numerisk , gir CAS en tilnærmet løsning.

Løs likningen. Kontroller med CAS. a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = x 2 1 2 1 b () −+= x 6 1 254 c += xx 2 5 1 2 d =− x x 95 5

2.82

Løs likningen. a + + = xx 1 5 9 4 b + = xx 2 5 1 2

2.83

Løs likningene i oppgave 2.78 med CAS.

Hvordan ser det ut i CAS når en likning har uendelig mange løsninger?

SNAKK

Forklar forskjellen på oppgavene.

a Trekk sammen uttrykket + xx 2 5 1 2

b Løs likningen + = xx 2 5 1 2

Praktisk bruk av likninger

EKSEMPEL 18

Vurderingseksemplar

Søsteren til Filip er tre år yngre enn ham. Faren hans er fem ganger så gammel som Filip. Da søsteren ble født, var moren 28 år. Til sammen er Hvor gammel er Filip?

Vi finner et uttrykk for alle aldrene:

Filips alder: x

Søsters alder: x Fars alder: 5x x + 28

Det gir oss likningen

Vi løser likningen:

Mor er 28 år eldre enn søster.

EKSEMPEL 19

En sylinder har et overflateareal på 1,5m2 og en grunnflate med

Hva er høyden av sylinderen?

=π+π Arrh 22 2

Med et overflateareal på 1,5m2 er A = 1,5. r 5 2 25

Alter nativ 1:

Alternativ 2:

Vi skriver inn formelen.

Vurderingseksemplar

Vi løser likningen. Vi bruker Sett inn og setter inn oppgitte verdier. Vi får da en likning.

Vi deﬁnerer kjente størrelser med :=.

Vi skriver inn formelen og løser likningen.

2.84

Pappa: «For hver krone du tjener til turen, skal jeg sponse deg med to kroner». Hvor mye må Ahmed tjene selv for å få råd til ferien? Finn svaret ved å sette opp og løse en likning.

2.85

I fotball får et lag tre poeng for seier og ett poeng for uavgjort. I fjor vant laget til Jostein sju flere kamper enn de spilte uavgjort. De fikk til sammen 61 poeng. Hvor mange kamper vant laget til Jostein?

2.86

1 = 1

2 = 5

3 = 9

4 = 13

Daisy leker med perler og bygger figurene ovenfor.

a Lag en formel for antall perler Fn i figur nummer n

b Hvilket nummer i figurserien har figuren med 77 perler?

c Fins det en figur i figurserien med 167 perler?

2.87

En kjegle har et overflateareal på 1,2 m2

Vurderingseksemplar

Hvor lang er sidekanten i kjegla?

2.88

På en fotballtrening drev 1 4 av de frammøtte med styrketrening, mens 2 5 drev

med teknisk trening. Resten, som var 21 personer, løp.

Hvor mange hadde møtt fram til trening?

2.89 =+fc 9 5

Her er fc er temperaturen

En sommerdag er temperaturen i New York 81 °F. Finn temperaturen i °C.

EKSEMPEL 20

Å snu på formler

Noen ganger bruker vi en formel til å lage en ny formel.

Vi går da fram på samme måte som når vi løser likninger.

Vi kan anslå høyden av en gutt i voksen alder, G, med formelen

=++GFM 1 2 7

Her er F høyden av far og M

Finn en formel for F

Formelen er altså =−− FGM 7)

Med CAS:

Vi trekker fra 7 på begge sider.

Vi ganger med 2 på begge sider.

Vi trekker fra M på begge sider.

2.90

Vurderingseksemplar

Etter kommaet legger vi inn hva vi skal ﬁnne en formel for.

Vi undersøker om uttrykket vi fant med CAS, er identisk likt det vi fant ovenfor.

Konsentrasjonen av en løsning, c, er gitt ved formelen c n V

Her er n stoffmengden målt i mol, og V er volumet målt i liter.

a Finn en formel for n.

b Finn en formel for V

2.91

Vi kan anslå høyden av en jente i voksen alder, J, med formelen

=+−JFM 1 2 6

F er høyden av far, og M

Finn en formel for M uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.

SNAKK

2.92

En sammenheng mellom strekning, fart og tid i fysikk er gitt ved formelen = + s vvt 2

Finn en formel for v uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.

a Si formelen for c når abc a b c += abc 2

=− abc

=⋅−abc 5 + = acb 2

b Forklar hvilke formler vi kan lage med utgangspunkt i fc 9 5 =+ URI =⋅ P W t Agh 1 2 A abh 2 = +

RØDE OPPGAVER

2.93

Løs likningen. a −−=xx 9 b x 7 6

x 2 d += x 1 21 e =− x x 1 2 f

2.94

Hvor lange er sidene i rektangelet?

2.95

Alba har lagd programmet nedenfor.

for x in range(1, 11): if 3*(x - 3) == 27 - x: print(x)

Hva gjør programmet? Hva blir utskriften?

BLÅ OPPGAVER

2.96

Løs likningen.

Vurderingseksemplar

2.97

a Volumet av en kjegle med radius r og høyde h er V rh 2 = π

Finn en formel for høyden av en kjegle uttrykt ved radien og volumet.

b r og sidekant s er =π+π Arrs 2

Finn en formel for sidekanten i en kjegle, uttrykt ved radien og overflatearealet.

2.98

Venstresiden i en likning er 4 ⎛ ⎝ ⎜ xx 1 2 2) ⎞ ⎠ ⎟ ++ .

a Lag en høyreside i likningen slik at L 5 {} =

b Lag en høyreside i likningen slik at =∅ L

c Lag en høyreside i likningen slik at L

UTFORSK

Andregradslikninger

I det vi i dag kaller Irak, lå det for flere tusen år siden en by som het Babylon. Babylonerne var pionerer innen mange fagfelt, blant annet matematikk.

Et typisk problem babylonerne var opptatt av å finne en løsning på, kunne være:

Arealetavetrektangeler45 m2.Denlengstesidener4mlengreenn denkorteste.Hvorlangeersideneirektangelet?

Vurderingseksemplar

For å løse problemet satte babylonerne opp likningen +=xx445 2

En babyloner løste likningen ved å tegne en figurserie.

Hvilken løsning kom babyloneren fram til?

Vis ved innsetting at 9 også er en løsning på likningen.

Er det mulig å finne hele løsningsmengden med den babylonske metoden?

Løs de to likningene nedenfor geometrisk.

Vi har gitt likningen −=xx28 2

Forklar hvorfor vi ikke kan løse denne likningen med metoden ovenfor.

Kan du finne en måte å løse denne likningen geometrisk?

Likningen +=xx445 2 andregradslikning

I en andregradslikning forekommer den ukjente i andre potens, men ikke i høyere potens.

Her er noen eksempler:

2.99

Vi har gitt likningen −+=xx29 2

Hvilke av tallene nedenfor er med i løsningsmengden til likningen? a 1 b 2 c d 4

EKSEMPEL 21

Likningen x 2 = k

Andregradslikningen xk 2 , der k , kan du løse ved å bruke det du har lært om kvadratrøtter og absoluttverdi i kapittel 1.

Løs likningen x 25 2 x x 25 25 2 2 = x 5 x 5=±

xx55

Altså er =−{} L 5,5

Merk!

Vi tar kvadratrot på begge sider av likhetstegnet.

Husk at x 2 ikke er x, men |x|, og husk at 25 ikke er 5, men 5.

Tegnet som vi bruker i eksempelet ovenfor, kaller vi veljunksjon Vi leser det som eller

Likningen x 2 = k

k > 0, er Lkk , { {} } = =−

k = 0, er L 0{ {} } ==

k < 0, er L = =∅ ∅ .

Vurderingseksemplar

2.100

Løs likningen.

a x 9 2

b x 7 2

c =− x 4 2

d x 2

2.101

Løs likningen.

a −= x 25 2

b x 12 2

c += x 2

d =π x 42 2

EKSEMPEL 22

Løs likningen += x )16 2 .

I første omgang ser vi på uttrykket x + 1 som den ukjente. Det gir

EKSEMPEL 23

Altså er =−{} L 5, 2.102

likningen.

Vurderingseksemplar

Produktregelen

Hvis produktet av to tall er null, må minst ett av tallene være null. Dette kaller vi produktregelen

Produktregelen

Hvis

likningen.

Vi bruker produktregelen.

Altså er {} = L 8

Vi faktoriserer. Vi bruker produktregelen.

2.103

Løs likningen.

a −+=xx b −−=xx 6) c +=xx 2 d xx 4 2

e −+−=xxx 5) f +−−+=xxx

2.104

a Bruk sum-produktmetoden til å faktorisere venstresiden og løs likningen.

1 −+=xx56 2 2 −−=xx28 2

b Likningen ++=xbxc 2 har løsningsmengden =−{} L 5,4

Bestem b og c

2.105

Aksel og Laurits skal løse likningen +−=xx44 2

De begynner likt:

a Forklar hvert trinn i framgangsmåten ovenfor. Sammenlikn med figurserien

Videre går de ulikt fram.

Vurderingseksemplar

Aksel: x x x xx

(+2)=49 +2=49 +2=±49

+2=7+2=–7 =5=–9 2

Laurits: ()()

x+9=0x-5=0 x=-9x=5 2 22

(x+2)=49

(x+2)-7=0

(x+2)+7(x+2)-7=0

(x+9)(x-5)=0

b Forklar hvordan hver av dem går fram.

Lykke mener det er mye enklere å løse likningen ved å bruke sum-produktmetoden for faktorisering og produktregelen.

c Løs likningen med framgangsmåten til Lykke.

EKSEMPEL 24

Praktisk bruk av andregradslikninger

Når du bruker andregradslikninger til å løse et praktisk problem, må du vurdere gyldigheten av løsningene i den praktiske situasjonen. 2

Vi lar den korteste siden være xx + 54 cm2

(x + 3) cm x cm

Vurderingseksemplar

Vi finner et uttrykk for arealet av rektangelet: =⋅=+⋅=+ Albxxxx 2 2, får vi likningen +=xx 4 2

Vi kan skrive likningen på formen +−=xx 2

Siden ⋅−=−6)54 og +− = 6) , kan vi faktorisere venstresiden av likningen med sum-produktmetoden med m = 9 og n = 6.

Likningen kan vi derfor skrive på formen

+⋅−=xx 6)

Med produktregelen får vi da at x = 9 eller x = 6.

Sum-produktmetoden ++=++ xbxcxmxn 2 , der =+ bmn og =⋅ cmn

Lengden av en side kan ikke være negativ, så vi må forkaste x = 9.

Da står vi igjen med x = + =

Kontroll: m9 =5 m2

Med CAS:

2.106

2. Hvor lang er siden i kvadratet?

2.107 2

Sett opp en andregradslikning og løs den for å finne lengden av sidene i rektangelet.

2.108

Trekanttall nummer n er gitt ved = + T nn 2 n 2 a 2628 b 924

2.109

En vinterdag kan føret være slik at stopplengden s holder farten v =+ svv 27 2

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 25

Galileo Galileis formel for fall uten luftmotstand er sgt 1 2 2 .

Her er s fallhøyden i meter, t er falltiden i sekunder og g er en konstant.

Finn t uttrykt ved s og g

Vi multipliserer med 2 på begge sider.

Vi dividerer med g begge sider. xk 2 gir xk = =± ± .

Vurderingseksemplar

Falltiden er et positivt tall, og vi forkaster den negative løsningen.

Falltiden uttrykt ved s og g blir derfor t s g 2 .

2.110

a Finn, uten hjelpemidler, en formel for radius r i grunnflaten av en kjegle uttrykt ved volumet V og høyden h.

b Bruk CAS til å finne en formel for radius r i grunnflaten av en kjegle uttrykt ved overflatearealet A og sidekanten s.

100 2 Likninger og identiteter

RØDE OPPGAVER

2.111

Hvilke av likningene er andregradslikninger? Løs andregradslikningene. a x 16 2 b +=xx 1

x 4 2

+= x 6 2

2.112

Løs andregradslikningen. a −= x 81 2

2.113

Løs likningen. a ⋅−=

2.114

Kvadrattall nummer n er gitt ved Kn n 2

Hvilket nummer har kvadrattallene 169 og 625?

2.115

Totalkostnaden i kroner per uke ved å produsere x enheter av en maskindel er gitt ved =++Kxx 12 2

a b K?

2.116

Figuren viser et kvadrat der en sirkulær del med radius r er skåret bort.

a Lag en formel for arealet A av det blå området uttrykt ved r

b Forklar hvorfor formelen er gyldig bare for radier fra og

c Regn ut arealet av det blå området når radien i sirkelen

d 2?

2.117

En babyloner løste likningen +=xx 2 ved å tegne en figurserie.

a Forklar figurserien. Hvilken løsning kom babyloneren fram til?

b Vis ved innsetting at 11 også er en løsning på likningen.

BLÅ OPPGAVER

2.118

Løs likningen.

a −= x 25 49 2 b x 18 2 c −= x 5)16 2 d −= x 2

2.119

Løs likningen.

a ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = xx ) 1 2 b −+=xxx 52

c −=xx 2 d xx 2

e −=xx29 f −++−−= xxxx51

2.120

I en rettvinklet trekant er den lengste kateteten dobbelt så lang som den korteste.

Hypotenusen er 25.

a Hvor lange er katetene i trekanten?

b Hva er arealet av trekanten?

c Hva er omkretsen av trekanten?

2.121

Figuren viser et rektangel der en halvsirkelformet bit er skåret bort.

a Lag en formel for arealet A av det hvite området.

b Hvilke verdier kan x ha i denne oppgaven?

c Bestem verdien av x når arealet er lik 15.

2.122

Vi har gitt likningen −+=xxk 2

Hva må k være for at likningen bare skal ha én løsning?

2.123

Vurderingseksemplar

a Hvor mange løsninger har likningene x 8 og x 81 4 ?

b Har likningene =− x 8 og =− x 81 4 noen løsninger?

c Lag en «regel» for hvor mange løsninger det er på likningen xk n , der n og k

2F

abc-formelen

Vi kan skrive alle andregradslikninger på formen

++=axbxc 2

der a, b, c R og a

Vi ser at likningen kan inneholde tre typer ledd: Andregradsledd, førstegradsledd og konstantledd.

a, b og c er konstante, reelle tall. Vi kaller dem koeffisienter

I likningen −−=xx 2 er a =

2 førstegradskoeffisienten, b = 2 5 konstantleddet, c = 5

Likningen +−=xx44 2 kan vi omforme til += x )49 2 ved å bruke metoden

kan framgangsmåtene i oppgaven være arbeidskrevende. Metoden med fullstendige kvadrater er derfor brukt til å utlede en generell løsningsformel som vi kaller abc-formelen. Denne formelen kan vi bruke på alle andregradslikninger.

Vi beviser formelen til slutt i dette delkapittelet.

Vurderingseksemplar

abc-formelen

axbxc 0 2 + +++= = x bbac a 4 2 2 == −±±− hvis bac40 2 −≥ ≥

EKSEMPEL 26

a Løs likningen ++=xx81 2 ved å bruke abc-formelen.

b Bruk resultatet i oppgave a til å løse likningen −−−= xx21 2 .

a Vi ser at a = 1, b = 8 og c = 15.

Vi setter inn i abc-formelen og får

EKSEMPEL 27

Altså er =−−{} L 5,

Vurderingseksemplar

b Vi ser først at 2 er felles faktor for alle leddene i likningen.

Vi deler derfor med 2 på begge sider i likningen.

Vi får ++=xx81 2 , som er den samme likningen som i oppgave a.

Altså er =−−{} L 5,

Merk!

Vi kunne ha løst oppgave b ovenfor uten å dele med felles faktor, men det er enklere å bruke abc-formelen med mindre tall.

Løs likningen −+−= xx44 2 ved å bruke abc-formelen.

Vi ser at a = 4, b = 4 og c = 1.

Vi setter inn i abc-formelen og får

Altså er = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ L 1 2 .

Merk!

Likningen ovenfor har to like løsninger, for det spiller ingen rolle om vi legger til

Vi sier gjerne at det bare er én løsning.

EKSEMPEL 28

Løs likningen −=xx 26 2 ved å bruke abc-formelen.

Vi ordner først likningen på formen ++=axbxc 2 . Vi får −+=xx26 2

Vi ser at a = 1, b = 2 og c = 6. Vi setter inn i abc-formelen og får

Vi får et negativt tall under rottegnet. Det betyr at det ikke fins noe reelt tall som passer for x i denne andregradslikningen. Likningen har ingen løsning, =∅ L

2.124

Løs likningen ved å bruke abc-formelen. Sett prøve. a

2.125

Løs likningen ved å bruke abc-formelen.

2.126

Løs likningene eksakt ved å bruke abc-formelen. Kontroller med CAS.

a +−=xx 1 2 2 2 b +−=xx81 2 c +=xx 2

Vurderingseksemplar

Antall løsninger på ax2 + bx + c = 0

bac40 2 −> > bac40 2 −= = bac40 2 −< <

2.127

bac 4 2 under kvadratroten i abc-formelen kaller vi diskriminanten.

a Hvorfor har ikke en andregradslikning løsninger når diskriminanten er negativ?

b Hvorfor har en andregradslikning bare én løsning når diskriminanten er null?

c Hvor mange løsninger har en andregradslikning når a og c har motsatt fortegn?

2.128 (Eksempeloppgave høsten 2021)

Malin arbeider med andregradslikninger og har begynt med å lage

hun får skrevet ut passende tekster.

d = b**2 - 4*a*c

if d < 0:

elif d == 0:

else:

b Forklar hva som skjer når programmet kjøres.

2.129

Gitt likningen ++=xbx 22 2

For hvilke verdier av b har likningen nøyaktig én løsning?

2.130 −+=xx26 2

Han gjør slik:

Vurderingseksemplar

Han konkluderer med at likningen ikke har noen løsning. a Forklar hvorfor han kan trekke den konklusjonen.

b xx46 2 +−= .

c Hvor mange løsninger har likningen ++ = axbxc 2 hvis axbxc 2 er et fullstendig kvadrat?

Bevis for abc-formelen

I utledningen av abc-formelen bruker vi metoden med fullstendig kvadrat som vi brukte på andregradslikninger i forrige delkapittel.

Vi trekker fra c på begge sider av likhetstegnet.

Vi deler med a på begge sider av likhetstegnet.

Vi halverer og kvadrerer b a . Resultatet legger vi til på begge sider.

Vurderingseksemplar

Vi bruker første kvadratsetning på venstre side og regner ut potensen på høyre side.

Vi utvider brøken til fellesnevner.

Vi setter på felles brøkstrek.

Vi ser i første omgang på x b a2 som ukjent.

Vi trekker fra b a2 på begge sider og tar kvadratroten i teller og nevner hver for seg.

aa42 2 , men vi trenger ikke absoluttverditegnet fordi vi har ± foran brøken.

Vi setter på felles brøkstrek.

RØDE OPPGAVER

2.131

Løs andregradslikningen ved å bruke abc-formelen.

a −+=xx71 2 b −+=xx 2

c =−xx26 4 2 d −+=xx69 2

2.132 2

Hva er omkretsen av rektangelet?

2.133

Produktet av to partall som kommer etter hverandre, er 224.

a Bestem tallene når du får vite at de er positive.

b Bestem tallene når du får vite at de er negative.

BLÅ OPPGAVER

2.134

Løs likningen.

2.135

Ta for deg andregradslikningen ++=xmxm 2 , der R m

For hvilke verdier av m har likningen én løsning?

2.136

Vurderingseksemplar

Arnt Frode ønsker å bevise abc-formelen. Han gjør slik:

Forklar framgangsmåten til Arnt Frode.

BLANDEDE OPPGAVER

2.137

Regn ut.

a x ) b y 12)

c xxx 5) d −+ yy21)

2.138

Regn ut.

a x 51)2 b x )2

c x ) d −+−+nnn 1) 1) 1)2

2.139

Bruk kvadratsetningene til å regne ut.

a x )2 b n 2)2

c +−xx7) 7) d ()() −+ 2121

2.140

Bruk kvadratsetningene til å regne ut.

a y 2 2() b x )2

c + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ x 1 2 2 d ⎛ ⎝

2.141

Regn ut.

2.142

Regn ut. Kontroller med CAS.

a +− xx )18 2 b x 1)2 c −+xx ) 22 d −+−xx 16 4)

2.143

Vurderingseksemplar

Faktoriser uttrykket hvis det er mulig.

a n 49 2 b n 49 2 c x 4 2 d

2.144

Løs likningen.

2.145

siden. Hvor gamle er de nå?

aa 25 2

2.146 (Eksempeloppgave 1T høsten 2021)

Bestem r, s og t slik at sammenhengen blir en identitet.

++=+ xxrsxt41 ) 22

2.147

Vis at + =− a a 2

2.148

a Hva blir prisen for kjøreopplæringen hvis Ingrid trenger 15 kjøretimer?

b Finn en formel for den totale prisen P T kjøretimer.

c Bruk formelen du fant i oppgave b, til å finne en formel for T d

2.149

a Sett opp en formel som viser hvor mye bensin B liter som er igjen på tanken når bilen har kjørt x mil.

b Når det er 5 liter bensin igjen på tanken, tennes et varsellys på dashbordet.

Bruk formelen du fant i oppgave a, til å bestemme hvor langt bilen kan kjøre før varsellyset tennes.

2.150

Finn en formel for x når

a ⋅=xy 25 b +=xy 25 c x y 25 d y x 25

2.151

Vurderingseksemplar

Finn en formel for x når

a −=yx x y ) 7

2.152

Regn ut.

2.153

Kan ab cb være det samme som a c ? Forklar.

2.154

Bestem k slik at andregradslikningen −+ = xxk 4 4 2 har nøyaktig én løsning.

2.155

Nedenfor ser du de fire første figurene i en figurserie. Vi antar at mønsteret fortsetter.

a Tegn den femte figuren. Hvor mange prikker består den av?

b Hvor mange prikker består den tiende figuren av?

c Hvor mange prikker vil figur nummer n bestå av?

2.156

Lag to likninger som har a flere løsninger b ingen løsninger

c nøyaktig to løsninger

2.157

Bevis at summen av fem etterfølgende hele tall er delelig med 5.

2.158

2.159 (Eksamen våren 2020)

Vurderingseksemplar

Gitt figuren ovenfor. Vis hvordan vi kan bestemme arealet av det skraverte området på to ulike måter. Figuren illustrerer en matematisk setning. Hvilken setning er det?

2.160

Bruk figurserien til å lage et uttrykk som inneholder et fullstendig kvadrat.

Hva har vi forutsatt om verdien av x?

2.161

Strømmen II P U , der PU

b Finn en formel for effekten.

c Finn en formel for spenningen.

2.162

Bruk kvadratsetningene til å regne ut. a 81 81 b 95 c 282 d yx 2 2 2()

2.163

Arealet av en trekant er 2

2.164 (Eksamen 1T høsten 2015)

Likningen ++=xbxc 2 har løsningene x1 = 4 og x2 = 2. Bestem b og c

2.165

Vurderingseksemplar

a Skriv 4x + x + a).

b Skriv xaxb).

c Skriv x 22 på formen xa ).

2.166

Faktoriser. a b 824 b cc4575 2 c y 16 2 d −+xxyy 4422

2.167

Figuren viser to sirkler med felles sentrum. 2 r 2 R

Finn et uttrykk for arealet av det skraverte området på faktorisert form.

2.168 (Eksamen 1T høsten 2024) ts t s

Hver side i det lille kvadratet har lengde s

Hver side i det store kvadratet har lengde s + t

Sett opp en matematisk identitet med utgangspunkt i arealet av det store kvadratet.

2.169

Torkel sier følgende til elevene sine:

Vurderingseksemplar

«Tenkpåettall.Multiplisertalletmedsju,leggtiltolvogtrekkfratalletselv.Tilsluttdividererdu medseks.Simeghvaduharkommetframtil,såskaljegsideghvilkettalldutenktepå.»

Hvordan kan Torkel vite det?

2.170

Løs likningen −=axc 2 med hensyn på x når a a og c b a og c c a og c

2.171

Vis at =+ x x x 2 2 2 2

2.172

La v >

a Finn en formel for v når Emv 1 2 k 2

b Finn en formel for v når mghmv 1 2 2

2.173 (Eksamen 1T høsten 2024)

n! leses som «n fakultet» og er produktet av de naturlige tallene fra og med 1 til og med n

Se eksemplene nedenfor.

1!1 2! 1 2 12

4!12 5!12 5

a Lag et program som kan regne ut n! for et gitt naturlig tall n = !1 499 b

2.174

Faktoriser om mulig. Kontroller med CAS.

a −+ x 2)2 b xx 2

2.175

Faktoriser.

Vurderingseksemplar

2.176

a Ta utgangspunkt i uttrykket xx 6 2 og vis at det kan skrives på formen +− x )9 2

b For hvilken verdi av x har uttrykket xx 6 2 sin minste verdi? Hva er verdien da?

2.177

Bestem k slik at brøken kan forkortes.

a xxk x 4 2 2 b xk x 1 2

2.178

Vis at vi kan forenkle brøken x x 5 til 5 på to måter ved å

1 sette 5 utenfor parentes i telleren, og deretter forkorte like faktorer

2 multiplisere teller og nevner med 5, deretter faktorisere telleren og forkorte like faktorer

2.179

Når vi sykler en strekning s i løpet av tiden t, er gjennomsnittsfarten v gitt ved formelen v s t

a Hvor langt har hun da syklet?

b Hvor mange minutter har han da brukt?

2.180

I en rettvinklet trekant er den korteste kateten halvparten så lang som den lengste kateten. Arealet av trekanten er 9. Hvor lang er hver av katetene?

2.181

Løs likningen uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.

a +−=xx 2

b x 4 22

c ++=xx 54 2

d −+=+xxx 2) 18 )2

e −= x 1)49 2

f −= x 18 4

g +−=xx52 2

h ++++=xx 6) 16) 1 2

2.182

Vurderingseksemplar

Figuren til høyre er tegnet på et rutenett. Rutene er kvadratiske med sider a

a Bestem arealet av figuren uttrykt ved a.

b Bestem omkretsen av figuren uttrykt ved a.

c Finn et eksakt uttrykk for a hvis arealet er −π 2 .

2.183

Lydia har lagd programmet nedenfor.

from numpy import sqrt

a = 1

b = 7

c = 12

d = b**2 - 4*a*c

x1 = (-b + sqrt(d))/(2*a)

x2 = (-b - sqrt(d))/(2*a)

print("Løsningen på andregradslikningen er:")

print("x1 =",x1, "og x2 =",x2)

a Bruk programmet til Lydia til å løse likningen ++=xx71 2 . Fungerer programmet?

b Legg inn a, b og c til likningen −+=xx69 2 . Kjør programmet.

Er resultatet som forventet?

Endre programmet slik at det gir en tilpasset utskrift for de tilfellene der vi har to like løsninger.

c Legg inn a, b og c til likningen ++=xx 2 . Kjør programmet.

Fungerer programmet? Endre programmet slik at vi ikke får feilmeldinger i slike tilfeller.

d Endre programmet slik at løsningene skrives ut med to desimaler.

2.184

Bestem c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat.

a xxc424 2 b −+yxyc 912 2

2.185

En figur er laget ved at et rektangel er skåret bort fra et trapes, som vist nedenfor. 3a a a a 3

a Lag en formel for arealet A av figuren.

b Bestem a = +⋅ A abh 2 b a h

2.186

En gjenstand med volum V er satt sammen av en kjegle og en halvkule slik figuren viser

Radien i kula og høyden av kjegla er begge R

a Vis at =π VR

b Bestem R eksakt når volumet er V = 27

2.187 1 2 3 4 5 6 7 a = 2135 if a % 3 != 0: print(a, "er ikke delelig med 3.") else: d = a/3

print(a, "er delelig med 3, og" ,a,"/3 blir" ,d)

a Forklar programmet. Hva blir utskriften?

b Hva skjer hvis den nederste linja står uten innrykk?

2.188

Vurderingseksemplar

Nedenfor ser du et eksempel på bruk av en algoritme:

,2 ,25 1,51 ,252,25 2,52 ,256,25 ,2512,25 2 2 2 2

a Beskriv algoritmen, og bruk den til å regne ut 4,52 og 5,52. Sjekk at svarene stemmer.

b Ta utgangspunkt i uttrykket n ,5)2 og vis at algoritmen alltid vil gi riktig svar.

2.189

Trekanten nedenfor heter Pascalstrekant etter den berømte

1Rad 0 Rad 1

146 2 4 1

1510105

133 11 1 1

Rad 2 Rad 3 Rad 4 Rad 5 1 1

b Skriv av trekanten og føy til de tre neste radene.

Første kvadratsetning sier at +=++ abaabb 2 222

Vi skal undersøke om det også fins noen regler vi kan bruke når uttrykket a + b andre naturlige tall enn 2.

c Bruk CAS og regn ut uttrykkene ab , ab 1 , ab 2 , ab , ab 4 og ab 5 d

e Ser du noe system i eksponentene?

f Kan du bruke mønsteret du har oppdaget, til å bestemme ab 6 og ab 7?

Kontroller med CAS.

g Bruk det du har oppdaget, til å regne ut 1 x )4 2 y )5 3 a )6

h Kan du regne ut x )4 på tilsvarende måte?

2.190

Forklar at xbxc 2 ikke kan faktoriseres hvis > ⎛

2.191

Vurderingseksemplar

Perfektetall er naturlige tall som er lik summen av faktorene sine, der 1 regnes som en faktor, men ++=12

a Vis at 6 er det minste perfekte tallet.

b De to neste perfekte tallene er 28 og 496. Vis at de er perfekte tall.

c Alle perfekte tall som er partall* er på formen () 221 kk 1 , der N k . Vis at vi kan skrive 6 og 28 på denne formen.

d Vis at 6 og 28 er trekanttall.

f Lag et program som undersøker om et tall er perfekt.

SAMMENDRAG

Parentesreglene

++=++=++ abcabcabc

−+=−− abcabc

+=+ abcabac

++=+++ abcdacadbcbd

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ abcabcabc

Sum-produktmetoden

++=++ xbxcxmxn 2 , der =+ bmn og =⋅ cmn

Kvadratsetningene

+= ++ abaabb 2 222

−=−+ abaabb 2 222

+−=− ababab22

Fullstendig kvadrat-metoden

22 22 22 2

Fullstendigkvadrat 222

Vi undersøker videre om vi kan faktorisere uttrykket med konjugatsetningen, eller ikke.

Produktregelen

Hvis ⋅=ab , er a = b =

Andregradslikninger

Likningen xk 2 har løsningene =± xk når k ≥ k <

Likningen ++=axbxc 2 , der a har løsningene gitt ved

Vurderingseksemplar

= −±− x bbac a 4 2 2 hvis −≥bac 2

Hvis −<bac 2 , har likningen ingen løsning.

KAPITTELTEST

Oppgave 1

Regn ut.

a +− aaa 6 b −−−+ xxx 24 1) 6)

c x xx x x 2 2 d + : + a a aa 4 2 2 2

Oppgave 2

Faktoriser uttrykket hvis det er mulig.

a aa 2 b b 2

c +− y 6 2 d xx65 2

Oppgave 3

Løs likningen.

a +−=xx 12 b +=xx27 4 2

Oppgave 4

Bestem c slik at likningen −+=xxc 2 har nøyaktig én løsning.

Oppgave 5

Bestem m og n slik at likningen blir en identitet.

a −+=− xxmxn41 2) 22

b −−−=− xmxnx 1) )

Oppgave 6

Tom ønsker å løse andregradslikningen

−−=xx22 12 2

Han lager programmet nedenfor.

Oppgave 7

a Bevis at produktet av to oddetall er et oddetall.

La Tn være trekanttall nummer n, = + T nn ) 2 n

b Vis at ⋅+ T 81 n er et kvadrattall.

Oppgave 8

Mattis har en kvadratisk metallplate med side y I hvert hjørne skjærer han bort et kvadratisk stykke med side x. Se figuren nedenfor.

Vurderingseksemplar

1 2 3 for x in range(1, 6): if 2*x**2 - 2*x - 12 == 0: print(x)

a Hva blir utskriften?

Tom oppdager at han ikke får skrevet ut hele løsningsmengden.

b Foreslå nødvendige endringer i programmet slik at begge løsningene blir skrevet ut.

Finn et faktorisert uttrykk som gir arealet av det som er igjen av plata. x xx xx x xx y y

Oppgave 9

Du skal lage en lufteplass for en hund. Innhegningen skal ha form som et rektangel og skal stå inntil en husvegg.

Vi lar kortsiden i rektangelet være x meter. Den ene langsiden skal ligge inntil husveggen

a Vis at arealet A lufteplassen er gitt ved =− Axx 2 2 .

b Hvor lange er sidene i rektangelet når lufteplassen har arealet 12 m2?

c arealet 15 m2.

3A Funksjonsbegrepet 122

3B Lineære funksjoner 133

3C Matematiske modeller 145

3D Andregradsfunksjoner 156

3E Polynomfunksjoner av høyere grad 170

3F Modellering med polynomfunksjoner 184

Vurderingseksemplar

Den franske filosofen og vitenskapsmannen René Descartes (1596−1650) fant opp koordinatsystemet og begynte å tegne grafer. Slik forente han geometri og algebra, og gjorde det mulig å beskrive hvordan én størrelse avhenger av en annen. Det er nettopp dette funksjoner dreier seg om.

I dette kapittelet skal du lære hvordan funksjoner kan tegnes og skrives på ulike måter. Du vil bli kjent med polynomfunksjoner, egenskapene til disse funksjonene, og hvordan vi kan bruke dem i praktiske sammenhenger.

Funksjonsbegrepet

Koordinatsystemet

P(–2 , 3)

3. kvadrant 4. kvadrant

Punktet P har koordinatene ( 2 , 3).

Førstekoordinaten er 2, og andrekoordinaten er 3.

3.1

Se figuren til høyre.

a Hva er koordinatene til origo?

b Finn koordinatene til punktene

Vurderingseksemplar

A, B, C, D og E

3.2

Hvor i koordinatsystemet ligger de punktene som har

a 0 som førstekoordinat

b 0 som andrekoordinat

c 3 som førstekoordinat

d 5 som andrekoordinat

Funksjonsbegrepet

I kapittel 1 så du at formelen Kn = n2 er en sammenheng mellom nummeret n til et kvadrattall og kvadrattallet Kn.

I kapittel 2 så du at sammenhengen mellom celsiusgrader og fahrenheitgrader er gitt ved formelen

=+fc 9 5 32

I begge tilfeller har vi en sammenheng mellom en innverdi og en utverdi

n gir utverdien Kn

c gir utverdien f

Vurderingseksemplar

Hvis det for hver gyldige innverdi bare fins én utverdi, sier vi at vi har en funksjon. Funksjonen gjør noe med innverdiene og gir oss utverdiene.

Hver verdi av n gir ett og aldri mer enn ett kvadrattall Kn

Da har vi en funksjon som kvadrerer n, og gir oss Kn. Hvis vi kaller funksjonen for K, kan vi skrive Kn = K(n).

Tilsvarende kan vi for eksempel kalle funksjonen som tar inn celsiusgrader og gir ut fahrenheitgrader, for T. Da er f = T(c).

Skrivemåten y = f(x) betyr at funksjonen f gjør noe med variabelen x og gir oss y

La oss se på funksjonen f gitt ved

f(x) = 10x + 200.

f x x + 200 er funksjonsuttrykket.

x = 3, blir

y = f(3) = 10 3 + 200 = 230. funksjonsverdien er 230.

1 10 0x + 2000 0

Når hver verdi av x gir én og aldri mer enn én funksjonsverdi f(x), sier vi at f er en funksjon av x. 3

f(3) = 230 i stedet for y = 230 får vi fram at 230 er funksjonsverdien når x har verdien 3.

f gitt ved f(x) = 10x + 200.

Siden f(3) = 230, ligger punktet (3 , 230) på grafen til f. Alle punktene på grafen til f har koordinater på formen () xfx,() . x, regnet ut de tilhørende funksjonsverdiene f(x), og skrevet dem opp i en verditabell x −2

f(x) 180200230250300

() xfx,()

trekker en sammenhengende kurve gjennom dem. Dette er grafen til funksjonen f

3.3

Vurderingseksemplar

En funksjon kan være representert ved et funksjonsuttrykk, en graf eller en tabell.

Avgjør i hvert tilfelle hva som er navnet på funksjonen og på variabelen. Forklar også hva funksjonen gjør.

a =−+fxx () 37 b =+gss () 3 2 c =−hxx()28

3.4

Ta for deg funksjonen P gitt ved P(x) = 2x 5.

Skriv koordinatene til tre punkter på grafen og tegn grafen til P.

3.5

Figuren viser grafen til en funksjon f.

a Bestem f(0), f(4) og f(12).

b Bestem x slik at f(x) = 80. f(x)

3.6

Et vårdøgn målte Daniel utetemperaturen hver andre time. Han lot t være timer etter midnatt og T(t) være temperaturen i °C. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

t 024681012141618202224

a Hva var temperaturen kl. 02.00 og kl. 20.00?

b Bestem T(4) og T(16).

Én verdi for x gir nøyaktig én funksjonsverdi.

La oss ta for oss funksjonen g gitt ved gxx ()

Vurderingseksemplar

Setter vi 4 inn i funksjonsuttrykket, får vi g (4)42. Det fins ingen verdi vi kan sette inn i funksjonsuttrykket som gir oss to ulike funksjonsverdier

Én x-verdi gir bare én y-verdi.

funksjonsuttrykket i algebrafeltet eller i CAS.

Skriver vi for eksempel g(4), får vi 2 som svar. (4 , 2) er altså et punkt på grafen til g

I algebrafeltet: I CAS:

definere

g blir tegnet i grafikkfeltet: + r kvadratrottegnet.

I CAS bruker vi = når vi løser en likning, mens vi må skrive := når vi deﬁnerer en funksjon.

Disse skrivemåtene betyr det samme:

[ =→ D 0, g

[ ∈→ x 0, x 0

3.7

Ta for deg funksjonen r gitt ved =−rxx()3 .

a Tegn grafen til r.

b Bestem r(3), r(7) og r(19).

c Skriv koordinatene til tre punkter som ligger på grafen til r

Definisjonsmengde og verdimengde

Ser vi på funksjonen f gitt ved =+fxx ( )10200, så kan vi gange et hvilket som helst tall med 10 og deretter legge til 200. definisjonsmengden til f er alle reelle tall.

Det skriver vi slik: Df

Slik er det derimot ikke for funksjonen g gitt ved gxx () . Siden vi ikke kan ta kvadratroten av negative tall, er definisjonsmengden til g alle reelle tall som er

intervall: [ =→ D 0, g f og g

Vurderingseksemplar

Mengden av alle funksjonsverdiene kaller vi verdimengden til funksjonen. Av grafene ovenfor ser vi at f(x) kan bli et hvilket som helst reelt tall, mens g(x) bare kan bli et tall som er større enn eller lik null.

f skiver vi da Vfg skriver vi [ =→ V 0, g

Ovenfor så du at funksjonsuttrykket i seg selv kan begrense definisjonsmengden. Det kan også være andre årsaker til å begrense definisjonsmengden. En funksjon som beskriver figurtall, vil normalt ha definisjonsmengde Df , fordi det ikke gir mening å snakke om for eksempel figur nummer 3,2. I dette tilfellet blir også verdimengden en liste med tall, ikke et intervall.

I et lukket intervall [] ab , er a og b med i intervallet.

I et åpent intervall ab , er a og bikke med i intervallet.

⎡ ⎣ ab , og ab , kalles halvåpne intervaller.

La oss anta at vi ønsker å begrense definisjonsmengden til f ovenfor slik at den inneholder alle reelle tall større enn 0 og mindre enn eller lik 12. Det skriver vi ] = D 0,12 f , og vi kan tegne grafen som vist på figuren.

vi tegnet ≤ ved å skrive <=

Vurderingseksemplar

f(12) = 320 og punktet (12 , 320) ligger på grafen til f. Det er markert med hakeparentes på figuren. Punktet (0 , 200) ligger ikke på grafen til f. Det er markert med spissparentes. Funksjonsverdien f(x) kan altså ikke være 200, men kan ha verdier fra 200 til og med 320.

] = V 200,320 f

f(x)=10x + 200, x>0, x≤200.

se av grafen om ] = D 0,12 f eller for eksempel [] = D 0,12 f

La f være en funksjon av x

Definisjonsmengden Df viser hvilke verdier x kan ha.

Verdimengden Vf forteller hvilke verdier f ( x ) kan få.

Merk!

Hvis det ikke er oppgitt noen definisjonsmengde for funksjonen, så er den gitt funksjonen uten å begrense hvilke x-verdier som grafen skal tegnes for.

Figuren viser grafen til en funksjon f

a Hva er definisjonsmengden Df?

b Hva er verdimengden Vf?

c Hva er f(0)?

d For hvilke verdier av x er f(x) = 4?

3.9

Funksjonen T er gitt ved [ =−=TttD ()801,5,0,20 T Bestem verdimengden til T

3.10

Funksjonen f er gitt ved fxx () 2

a Finn f (3), f (0) og f (3)

b Finn Df og Vf

c Finn fk() , fk (2 ), fx(2), fab() og fab()

3.11

Funksjonen K gitt ved Knn () 2 gir kvadrattallene.

a Bestem DK

Vurderingseksemplar

b Avgjør om 64 og 99 er med i VK

EKSEMPEL 1

Funksjonen f er gitt ved

f(x) = x2 + 2x , Df = [ 4 , 2].

Lag et program i Python som skriver ut en verditabell for f med x-verdiene 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2.

def, og vi gir funksjonen et navn, her f return for å angi hvilken verdi funksjonen skal gi tilbake.

def f(x): return x**2 + 2*x

for x in range(-4, 3): print(x, f(x))

Utskriften blir:

Vi deﬁnerer f gitt ved f ( x ) = x 2 + 2 x.

Vurderingseksemplar

For hver runde i løkka skrives x -verdien og tilhørende funksjonsverdi ut.

x -verdiene står i venstre kolonne. Funksjonsverdiene står i høyre kolonne. Merk at den siste x -verdien er 2.

3.12

Ta utgangspunkt i programmet i eksempel 1. Df = [ 5 , 5].

a heltallige x-verdier i definisjonsmengden.

b Lag et program som skriver ut verditabellen med en while-løkke i stedet for for-løkke.

c Lag et program som skriver ut en verditabell for f med x-verdiene 5, 3, 1, 1, 3, 5.

3.13

Petra har lagd programmet nedenfor. Hva gjør programmet? Hva blir utskriften? Kontroller svaret ditt ved å kjøre programmet. 1 2

def f(x): return -4*x + 10

x = 0

while x <= 5: print(x, f(x)) x = x + 1

Merk!

I linje 8 kunne Petra også ha skrevet x += 1. Tilsvarende som når vi skriver x = x + 1, betyr det at variabelen x øker med 1 for hver runde i løkka.

en verditabell. Da trenger vi også å ta vare på verdiene. Til det bruker vi arrayer numpy for å få tilgang til kommandoen linspace() matplotlib.pyplot for å kunne numpy ved å skrive np.<kommando> og matplotlib ved å skrive plt.<kommando>

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 2

y_verdier er en ny array som inneholder de tilhørende funksjonsverdiene til x_verdier .

Definer funksjonen f gitt ved f(x) = x2 + 2x i Python og tegn grafen. Bruk x-verdier i intervallet [ 5 , 5]. 1 2 3 4 5 6

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

def f(x): return x**2 + 2*x

x_verdier = np.linspace(-5, 5, 100)

y_verdier = f(x_verdier)

plt.plot(x_verdier, y_verdier) plt.show()

Vi importerer nødvendige biblioteker.

np.linspace(-5, 5, 100) lager en array med 100 x -verdier jevnt fordelt fra og med –5 til og med 5.

plt.plot() tegner grafen, og plt.show() viser den.

Vurderingseksemplar

3.14

Ta utgangspunkt i programmet i eksempel 2.

a Tegn grafen i eksempelet med elleve punkter i stedet for 100. Sammenlikn og kommenter.

b Endre funksjonsuttrykket i programmet til x 2 og kjør det. Hvorfor gir programmet en feilmelding eller advarsel?

c Hvilken endring bør du gjøre i programmet for å unngå advarselen?

3.15

Ta utgangspunkt i programmet i eksempel 2.

a Utvid programmet slik at det også skriver ut f( 5), f( 1), f(3) og f(5).

b Bestem Vf.

RØDE OPPGAVER

3.16

Figuren viser grafen til en funksjon f

a Hva er definisjonsmengden til f?

b Hva er verdimengden til f?

c Hva er f(5)?

d For hvilke verdier av x er funksjonsverdien lik 3?

3.17

Ta for deg funksjonen A gitt ved ArrD(),[1,4] A 2 =π⋅=

a Bestem eksakte verdier for A(1) og A(4).

b Bestem VA

3.18

Figuren viser grafen til en funksjon f med definisjonsmengden Df

a Hva er verdimengden til f?

b Finn f(0).

c For hvilke verdier av x er f(x) = 4?

BLÅ OPPGAVER

3.19

Funksjonen f er gitt ved =−fxx () 612, og verdimengden er =−[] V 12,18 f

Finn definisjonsmengden Df

3.20

Funksjonen g er gitt ved =− gxx ()3

a Hva er g(x) når x = 1?

b Hva er x når gx() 1?

c Finn definisjonsmengden og verdimengden til g

3.21

Ta for deg funksjonen f gitt ved =−+fxxx () 32 2 . La a være en konstant.

Bestem a f(a) b f(2a) c f(a + 1)

3.22

Undersøk hvordan programmet fungerer, og forklarer hva det skriver ut.

def fakultet(n): a = 1 for i in range(1, n + 1): a = a * i return a

3B

Lineære funksjoner

f gitt ved f(x) = 10x + 200 som vi så på i forrige

f(1) f(0) = 210 200 = 10

f(2) f(1) = 220 210 = 10

f(3) f(2) = 230 220 = 10

Og slik fortsetter det. x

stigningstallet er 10.

En funksjon som har egenskapen at funksjonsverdien øker eller avtar like mye hver gang variabelen øker med 1, kaller vi for en lineær funksjon.

Ordet lineær kommer fra det latinske ordet linea lineær funksjon er en rett linje.

En funksjon f som har funksjonsuttrykk på formen

fxaxb () = =+ + , der ab ,

kalles en lineær funksjon, eller en førstegradsfunksjon.

Grafen til f er alltid en rett linje.

b = f(0) er konstantleddet. a er stigningstallet.

Vurderingseksemplar

Når a > 0, stiger linja mot høyre.

Når a < 0, synker linja mot høyre.

Når a = 0, går linja parallelt med x-aksen.

En linje med likningen x = c går parallelt med y-aksen.

Merk!

Det er også vanlig å skrive y = ax + b i stedet for f(x) = ax + b.

Da er y = ax + b likningen til linja med stigningstall a og konstantledd b I tillegg kan vi skrive likningen på formen ax + by = c, men da blir betydningen av a og b noe annet.

3.23

Funksjonen f er gitt ved f(x) = 3x 2.

a I hvilket punkt skjærer grafen til f andreaksen?

b Hvor mye øker funksjonsverdien hvis variabelen x øker fra 4 til 5?

3.24

Skriv funksjonsuttrykket g(x) hvis

a konstantleddet er 6 og stigningstallet er 7

b g(0) = 3 og stigningstallet er 4

c grafen går gjennom punktene (0 , 8) og (1 , 10)

d grafen til g er parallell med x-aksen og går gjennom punktet (2 , 3)

3.25

Hvilke grafer og funksjonsuttrykk hører sammen?

a =−−fxx () 22 b gx() 2

c =−hxx () 3 d =−kxx () 22

Vurderingseksemplar

Nullpunkter

x-verdiene som innsatt i funksjonsuttrykket gir verdien 0. Det vil si at x er et nullpunkt hvis f(x) = 0, og at vi kan bestemme nullpunktene til funksjonen ved å løse denne likningen.

Hvis vi ser på grafen til f, vil nullpunktene være x-verdiene til skjæringspunktene mellom grafen og x-aksen.

Figuren nedenfor viser altså grafen til en funksjon med nullpunktene 2 og 8.

Vurderingseksemplar

Et nullpunkt til en funksjon f er en løsning på likningen f(x) = 0.

Et nullpunkt til en funksjon f er førstekoordinaten til et skjæringspunkt mellom grafen til f og førsteaksen.

x-aksen i ett punkt og har derfor ett nullpunkt. Unntaket er hvis stigningstallet er null, for da er grafen en linje som er parallell med x-aksen.

tilbake til.

EKSEMPEL 3

Funksjonen f er gitt ved

=− fxx ()60 3 2

Bestem nullpunktet til f fx() 0

For hånd:

Med CAS: f er 40.

Vurderingseksemplar

:= f er 40.

Merk!

Et nullpunkt er bare x-verdien til et skjæringspunkt mellom grafen og førsteaksen.

I den grafiske løsningen ovenfor kan det se ut som nullpunktet er (40 , 0), men det er 40.

3.26

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen, og eventuelle skjæringspunkter mellom grafen til funksjonen og koordinataksene.

a = fxx () 3 5 b =+gxx () 47

Husk

likhetstegn når vi skal sjekke om noe er likt. f(x) == 0 er sant hvis f(x) har verdien 0.

3.27

Funksjonen f er gitt ved =−fxx () 26.

a Bestem nullpunktet til f. Jesper finner nullpunktet til f ved å bruke programmet nedenfor. x −2−1012345 f(x) −10−8−6

I verditabellen nedenfor har han begynt å fylle ut hvilke verdier f(x) får for hver runde som løkka i programmet kjører. 1 2 3 4 5 6 def f(x): return 2*x - 6

for x in range(-2, 6): if f(x) == 0: print(x)

b Skriv av og fyll ut resten av tabellen og forklar hvordan programmet fungerer.

c Lag et program som gjør akkurat det samme som programmet ovenfor, men som i stedet bruker en while-løkke.

d Evert vil bruke programmet ovenfor til å finne nullpunktene til funksjonen g gitt ved =+gxx () 76 . Han endrer funksjonsuttrykket i programmet, men det finner ikke nullpunktene. Hvorfor ikke?

3.28

Funksjonen f er gitt ved f(x) = 20 3x

a Tegn grafen til f

b Hva er nullpunktet til f? f

De har lagd programmet nedenfor og begynt å fylle ut en tabell.

x = 0 while f(x) >= 0: x =

c Forklar hvordan programmet fungerer.

d Hva skal stå i de tomme cellene i rad 3, 4 og 5?

e Hvor mange runder går løkka?

Funksjonen g er gitt ved g(x) = 5x + 7.

f g

EKSEMPEL 4

Skjæringspunkter

Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = 2x + 2 og g(x) = 11 x.

Bestem skjæringspunktet mellom grafene til f og g

Med graftegner:

Skjæringspunktet er (3 , 8).

For hånd: I skjæringspunktet mellom grafene er funksjonsverdiene like. f(x) = g(x) og løser den. = +=− += = = fxgx xx xx x x ()() 2211 2112 39 3 =⋅+=+= f (3)232628

Vurderingseksemplar

Vi kunne også ha regnet ut g (3). Vi vet at f og g har samme funksjonsverdi når x = 3, så g (3) = f (3) = 8.

Altså er skjæringspunktet (3 , 8).

Med CAS:

Husk := når vi deﬁnerer en funksjon i CAS.

Vi skriver bare = når vi skal løse en likning.

3.29

To funksjoner f og g er gitt ved f(x) = x + 2 og g(x) = 3x + 6.

Finn skjæringspunktet mellom grafene til funksjonene på ulike måter.

3.30

Funksjonen f er gitt ved f(x) = 2x + 1.

a Hva må x være for at funksjonsverdien skal bli 2,8?

b Løs likningen f(x) = 0.

c Forklar hva du ut fra oppgave b har funnet ut om funksjonen f

3.31

Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = 2x + 6 og g(x) = 7 x

a Bestem skjæringspunktet mellom grafene til f og g

Vurderingseksemplar

b Bestem skjæringspunktet mellom grafen til f og den rette linja y = 3.

3.32

Funksjonene f og g er gitt ved f(x) = ax + 3 og g(x) = ax 3, der a 0

Bestem skjæringspunktet mellom grafene til f og g ved regning for hånd.

Kontroller med CAS.

3.33

Ta for deg funksjonene f og g gitt ved =−fxx () 23 og =+ gxx ()1 2 3

Løs likningen og forklar hva løsningen forteller oss.

a =− gx() 2 b fxgx () () c fxg () (4)

3.34

Undersøk programmet nedenfor.

Forklar hvordan det fungerer og hva utskriften forteller oss. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 def f(x): return 2*x + 8 x = -5 while f(x) <= 5.2: x = x + 0.1

print(x)

SNAKK

Se figurene nedenfor.

Hvor kom det ekstra kvadratet fra da vi stokket om på brikkene?

Forholdet mellom

a og b er a b

Forholdet mellom

b og a er b a

nok til å finne funksjonsuttrykket til en lineær funksjon.

Figuren nedenfor viser en rett linje gjennom to punkter P1 og P2

Det er vanlig å la den greske bokstaven delta, Δ, stå for endring. Δx som endringenix

Vurderingseksemplar

Δ =− xxx sluttverdientilstartverdientil

Endringen i x-verdien fra P1 til P2 er xx21

Endringen i y-verdien er yy21

I de to trekantene på figuren er tilsvarende vinkler like store, og trekantene er derfor formlike. Da er forholdet mellom to sider i den ene trekanten likt

a 1 y x

Dette gir oss at stigningstallet til linja er

a = y x = y 2 y1

x 2 x1

En linje som går gjennom to punkter Pxy , 111 ( () ) og Pxy , 222 ( () ), har stigningstallet

a = y x = y 2 y 1 x 2 x1 a er kjent, trenger vi bare ett punkt for å finne likningen til linja.

() xy , 11 og har stigningstallet a xy (,) være et generelt punkt på linja.

Vurderingseksemplar

Denne formelen kaller vi ettpunktsformelen for en rett linje.

Ettpunktsformelen

Likningen til en rett linje som går gjennom punktet xy , 11 ( () ) og har stigningstallet a, er gitt ved

yyaxx 11 ( () ) −==−

Med utgangspunkt i ettpunktsformelen finner vi likningen til den rette linja.

yyaxx yaxaxy yaxyax yaxb 11 11 11 () ()

yax11 er et tall som vi kaller b

EKSEMPEL 5

f går gjennom punktene ( 2 , 10) og (3 , 5).

Finn funksjonsuttrykket f(x).

Først finner vi stigningstallet. = = == ayy xx 5(10) 3(2) 15 5 3 21 21

Deretter bruker vi ettpunktsformelen med punktet ( 2 , 10) som det kjente punktet () xy , 11 yyaxx yx yx yx () (10)3(2) 1036 34 11 ()

Likningen til linja er =−yx34

Funksjonsuttrykket til f er =−fxx () 34

Med CAS:

eller

Vurderingseksemplar

Merk!

så får du likningen på formen +=−xy 34 og må eventuelt endre formen i innstillingene etterpå.

3.35

Finn likningen til den rette linja som går gjennom punktene ( 3 , 1) og (2 , 6).

3.36

Les av to punkter på grafen, og bruk disse punktene til å finne funksjonsuttrykket.

3.37 (Eksamen 1T høsten 2021)

Vurderingseksemplar

Likningen for en linje ℓ er gitt ved =−+yx29 En annen linje m er parallell med linja ℓ og går gjennom punktet (5 , 6). Bestem likningen for linja m

3.38 f går gjennom punktet (3 , 1) og har stigningstallet 2.

Ariel vil finne funksjonsuttrykket f(x) og løser oppgaven slik:

Forklar framgangsmåten til Ariel.

RØDE OPPGAVER

3.39

Figuren viser grafen til en funksjon f

a Hva er skjæringspunktet med førsteaksen?

b Hva er skjæringspunktet med andreaksen?

c Hva er nullpunktet til f?

d For hvilken verdi av x er f(x) = 0?

e Hva er f(0)?

3.40 f går gjennom punktene (2 , 7) og (5 , 1).

a Bestem funksjonsuttrykket til f

b Ligger punktet (4 , 3) på grafen til f? Begrunn svaret.

c Hva er nullpunktet til f?

d Løs likningen f(x) = 10. Hva forteller svaret?

BLÅ OPPGAVER

3.41

To ulike lineære funksjoner f og g har lik definisjonsmengde og verdimengde.

DD [1,5] fg og VV [3,11] fg

Bestem funksjonsuttrykkene til begge funksjonene.

3.42

Linja er gitt ved =−yx23

En linje m står vinkelrett på linja og går gjennom punktet (2 , 4).

a Hva er stigningstallet til linja m? Begrunn svaret.

b Bestem likningen til linja m

Vurderingseksemplar

c Forklar at når produktet av stigningstallene til to rette linjer er 1, så står linjene alltid vinkelrett på hverandre.

3.43

Figuren viser grafene til to lineære funksjoner f og g

a Bestem funksjonsuttrykkene til f og g med eksakte koeffisienter a og b.

b Bestem nullpunktene til f og g eksakt.

c Bestem den eksakte løsningen på likningen fxgx () () .

3.44

Lag et program som skriver ut stigningstallet til en rett linje når koordinatene til to punkter på linja er kjent.

3C

Matematiske modeller

sier vi at vi lager en matematiskmodell

Du kjenner kanskje til vei-fart-tid-formelen?

s = vt

Forholdet mellom

a og b er a b

Forholdet mellom

b og a er b a

Vurderingseksemplar

Formelen sier at strekningen s som en gjenstand beveger seg, avhenger av tiden t, når farten v er konstant.

La oss anta at føreren av en bil vil kjøre en strekning i farten v = 50 km/h.

I løpet av én time kjører bilen 50 km. I løpet av to timer kjører bilen 100 km. I løpet av tre timer kjører bilen 150 km.

Hvis kjøretiden dobles, så dobles også kjørelengden. Hvis kjøretiden tredobles, så tredobles kjørelengden. forholdet mellom kjørelengde s og kjøretid t er konstant. s og t er proporsjonale størrelser.

Forholdet s t kalles proporsjonalitetskonstanten og er her farten.

Proporsjonalitet

Når to størrelser y og x er proporsjonale størrelser, kan vi skrive y = kx, der k er proporsjonalitetskonstanten. tiden.

En slik modell har alltid begrensninger. Bilen i eksempelet vårt klarer neppe å holde en helt jevn fart. Det er svinger, lyskryss og andre biler på veien. Dette gjør at farten kan endre seg noe underveis. Formelen gjelder derfor bare så lenge bilen har tilnærmet konstant fart. Tidsrommet der modellen gir en god beskrivelse av virkeligheten, kaller vi modellens gyldighetsområde

EKSEMPEL 6

Tredje potens av x er x3

Høyden av en plante i cm er proporsjonal med kvadratet av tiden, målt i døgn fra den begynte å spire.

Proporsjonalitetskonstanten er 0,2.

Kall høyden for h og tiden for t Lag en formel for sammenhengen mellom h og t

Kvadratet av t er t2

Høyden h er proporsjonal med t2, og proporsjonalitetskonstanten er 0,2.

ht 0, 2 2

Merk!

t i planteeksempelet står for antall dager som har gått fra planten begynte å spire. Formelen kan derfor ikke gjelde for negative verdier av t for alle verdier av t < t < 30. Da kan planten bli 1,8 m høy.

3.45

For et materiale med tetthet (rho), er massen m proporsjonal med volumet V Lag en formel for sammenhengen.

3.46

I et bestemt fjellvann er det ørret. En modell sier at sammenhengen mellom lengde L meter og vekt m gram av ørreten er slik at vekten er proporsjonal med tredje potens av lengden. Proporsjonalitetskonstanten er 9630. a Sett opp en formel for sammenhengen mellom lengde og vekt.

Vurderingseksemplar

Hvor mye veier ørreten ifølge modellen?

EKSEMPEL 7

Funksjoner som modeller

den tilsvarer gyldighetsområdet til modellen.

En modell M for makspulsen til et menneske målt i antall slag per minutt, er gitt ved M(x) = 0,64x + 211, der x er alderen i år når ∈ x [18 , 70].

Hva sier denne modellen?

Modellen sier at makspulsen avtar jevnt med alderen. Stigningstallet er 0,64. Det betyr at makspulsen avtar med 0,64 slag i minuttet for hvert år alderen øker.

20406080

∈ x [18 , 70]. Det betyr at modellen konstantleddet 211 som makspulsen til nyfødte. x

Funksjonen M

Vurderingseksemplar

forskere fant denne modellen basert på studier av makspulsen til friske mennesker i alderen 18−70 år. Derfor er definisjonsmengden avgrenset til dette intervallet.

Når en størrelse y øker eller avtar jevnt med en størrelse x, kan vi bruke en lineær funksjon til å beskrive sammenhengen mellom x og y

3.47

En modell for vekten m kg til jentebarn er gitt ved

m(t) = 0,61t + 3,68 , der t [1,9]

Her er t tiden målt i måneder etter fødselen.

a Hva sier denne modellen?

b Hva er gyldighetsområdet for modellen?

c Hva sier modellen om vekten på barnets fireårsdag? d

Regresjon

Hvis vi vil undersøke en sammenheng i virkeligheten, må vi først hente inn data.

koordinatsystem. Så prøver vi å finne en graf som passer best mulig (men vanligvis ikke perfekt) med målepunktene, og funksjonsuttrykket til en funksjon som har denne grafen. Dette kaller vi regresjon kurvetilpasse ved å bruke øyemål eller ved å bruke et digitalt verktøy.

SNAKK

Foreslå, om mulig, en funksjon som har en graf som passer omtrent med målepunktene i de to tilfellene.

Vurderingseksemplar

ovenfor, blir det vanskelig å lage en modell. Selv på figuren til venstre er det ikke enkelt å avgjøre hvilken modell som passer best.

Punktene ligger omtrent på en rett linje, så en lineær modell vil trolig være et godt valg. Til høyre har vi tegnet to forslag, men vi kunne tegnet mange flere!

verktøy for å finne linja som passer best. På Aunivers.no har vi også beskrevet hvordan det er mulig å avgjøre hvilken linje som er best uten å bruke digitale verktøy.

Uttrykket til en lineær modell er ax + b der ab , to parametre, a og b. I eksempelet ovenfor er den beste modellen når parametrene er a = 0,8 og b = 1,57.

3.48

Tabellen nedenfor viser hvordan en plante vokste de første dagene.

Høyden h(x) er målt i centimeter, og variabelen x står for tiden målt i dager etter at planten ble plantet. x 02358 h(x) 1214151719

a Tegn punktene i tabellen inn i et koordinatsystem. Trekk den linja du mener passer best med punktene.

b Bruk linja til å finne h(x).

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 8

Hver fødselsdag fra hun var 4 år, har Janne målt høyden sin. Tallene har hun i en tabell i fotoalbumet sitt. Dessverre har bestefar sølt kaffe på deler av tabellen, og noen tall har blitt uleselige, som du ser nedenfor.

Alder876549 (år)

h(t) stå for høyden av Janne målt i cm når hun er t år.

a Finn en lineær modell for utviklingen av høyden av Janne.

b Bruk modellen til å anslå høyden av Janne da hun var 6 og 8 år.

c Bruk modellen til å anslå hvor høy Janne blir når hun er 15 og 30 år.

a ❶ fra tabellen: aldrene i kolonne A og høydene i kolonne B.

Vurderingseksemplar

og gi likningen til linja.

En lineær modell for høydeutviklingen til Janne er h(t) = 5,54t + 76,6.

b t = 6 og t = 8 i modellen. Dette kan vi gjøre under Symbolsk utregning i regresjonsvinduet.

Ifølge modellen var høyden av Janne 109,9 cm da hun var 6 år, og 120,9 cm da hun var 8 år.

c På tilsvarende måte som i oppgave b setter vi t = 15 og t = 30 inn i modellen.

Ifølge modellen er Janne 159,7 cm høy når hun blir 15 år, og hele 242,9 cm høy når hun blir 30 år!

Vurderingseksemplar

Merk!

For eksempel ser vi at linja i eksempelet skjærer andreaksen i 76,6. Hvis du skal arbeide videre med modellen, kan du overføre grafen til grafikkfeltet ved å klikke på øverst i regresjonsvinduet ❹

I eksempel 8 brukte vi først modellen til å anslå høyden av Janne da hun var 6 år og 8 år. Dette er høyder som ligger innenfor dataområdet vi bruker til å interpolerer for å finne alderen, eller at vi bestemmer den ved interpolasjon Da vi brukte modellen for å anslå hvor høy Janne blir når hun er 15 år og 30 år, ekstrapolerte vi. Dette er høyder som ligger utenfor dataområdet vi brukte for

Den første verdien er kanskje ikke så usannsynlig, men den andre er veldig usannsynlig. Hvis vi setter inn høyere aldre, vil høyden også øke ytterligere.

verdien, og at modellen ikke lenger er gyldig.

Å interpolere vil si å anslå en verdi innenfor området der funksjonsverdiene er kjente.

Å ekstrapolere vil si å bestemme eller anslå en verdi som ligger utenfor området vi bruker til å finne funksjonen.

Inter betyr mellom. Ekstra betyr utenfor.

3.49

Tabellen til høyre viser hvordan vekten av jentebarn varierer med alderen de ni første månedene.

m(t) er målt i kg, og variabelen t står for tiden målt i måneder etter fødselen.

a Finn en lineær modell for vekten av jentebarn de ni første månedene ved hjelp av et digitalt verktøy.

b Bruk modellen til å anslå vekten av et jentebarn på 7 måneder.

c Bruk modellen til å anslå vekten av et jentebarn på 2 år.

d Kommenter svarene i oppgave b og c.

Har du utført en interpolasjon eller en ekstrapolasjon?

EKSEMPEL 9

Ifølge Hookeslov i fysikken er strekkraften proporsjonal med forlengelsen.

F(x) newton med en kraftmåler og forlengelsen x meter med linjal. Målingene er gitt i tabellen nedenfor.

x 0,0050,0100,0150,0260,0320,0400,046

F(x) 0,150,340,500,640,831,031,27

Lag en modell for sammenhengen mellom kraften og forlengelsen hvis sammenhengen følger Hookes lov.

F(x) = 25,1x + 0,06

Vurderingseksemplar

Dette er en lineær funksjon, som stemmer godt med dataene, men siden vi vet at kraften er proporsjonal med forlengelsen, ønsker vi at modellen F er på formen F(x) = k ⋅ x

høyreklikker og velger Lag, og så Liste med punkt.

Så skriver vi Reg(l1, k ⋅ x ) i algebrafeltet:

Modellen er ifølge Hookes lov gitt ved F(x) = 26,8x

Vurderingseksemplar

3.50

v(t) til en liten kule som faller, er proporsjonal med tiden t. De måler sammenhørende verdier for tiden i sekunder og farten i m/s.

t (s) 0,130,260,400,530,66

v(t) (m/s) 1,62,94,25,26,1

t og v(t) er proporsjonale størrelser, og finn funksjonsuttrykket v(t).

UTFORSK

gummistrikk. I stedet for å bruke en kraftmåler kan du henge opp små lodd med forskjellig masse i strikken, og måle forlengelsen. Hvis du henger opp et lodd med massen 10 g eller 0,01 kg, så er kraften som strekker i strikken

0,01 ⋅

Finner du en proporsjonal sammenheng mellom kraft og forlengelse?

RØDE OPPGAVER

3.51

Jon driver med dykking. Han har lært at trykket P(x) målt i atm (atmosfærer) kan uttrykkes med funksjonen P(x) = 0,10x + 1,0, der x er dybden målt i meter.

a Hva sier denne modellen?

b Bestem gyldighetsområdet for modellen.

3.52

I 2015 var innbyggertallet i en kommune 10 400. Fra 2015 til 2020 var det en jevn økning i innbyggertallet. I 2020 var innbyggertallet 10 800. Kommunen regner med at innbyggertallet vil fortsette å øke på samme måte i årene som kommer.

a Lag en lineær modell for utviklingen i innbyggertallet t år etter 2015.

b Hva er innbyggertallet i 2022, ifølge modellen?

3.53

Den årlige energiproduksjonen E fra en type vindmølle er proporsjonal med kvadratet av lengden L av vingene. E er den årlige produksjonen målt i kWh, og L er lengden av vingene på vindmølla målt i cm. Proporsjonalitetskonstanten er 0,15.

Regn ut den årlige energiproduksjonen for en vindmølle med en vingelengde på 0,60 m.

3.54

I en såkalt ohmsk motstand gjelder Ohms lov. Den sier at spenningen U over motstanden er proporsjonal med strømmen I som går gjennom motstanden. Strømmen er målt i ampere (A) og

I (A) 0,220,500,740,901,1

U(I) (V) 1,83,85,77,08,1

Vurderingseksemplar

Finn et uttrykk for spenningen som funksjon av strømmen, og vurder om dette er en ohmsk motstand.

3.55

TIMSS-undersøkelsen (Trends in Mathematics and Science Study) fra 1995 til 2015. Skårene viser hvordan elevene presterte i de ulike årene, målt på en fast skala.

År 19952003200720112015

Matematikkskår på 4. trinn 476451476495493

a La x = 0 svare til 1995, og finn likningen til linja som passer best med punktene.

BLÅ OPPGAVER

3.56

I et forsøk ble et jordstykke delt inn i 8 like store arealer. Jordstykkene ble så gjødslet med ulike mengder gjødsel, og avlingen fra hvert stykke ble registrert.

Tabellen nedenfor viser resultatet av forsøket.

x kg gjødsel, får vi avlingen a(x) tonn.

x kg 5050100100150150200200

a(x) tonn 1,421,391,521,391,671,551,711,82

a Finn en modell for sammenhengen mellom avlingen og mengde gjødsel.

Synes du det er grunnlag for å si at mer gjødsling gir større avling?

b Bruk modellen du fant i oppgave a, til å anslå avlingen uten gjødsling.

c Anslå hvor mye gjødsel som skal til for å doble avlingen sammenlignet med uten gjødsel.

Kommenter svaret.

3.57 (Eksempeleksamen 1T våren 2021, noe endret)

Sarah har deltidsjobb som bokselger.

Modellen viser timelønnen hennes når hun selger x bøker i løpet av en time.

Sarah tjener 15 kr for hver bok hun selger.

a Bestem k

b Bestem en modell T som viser hvor mye

Sarah tjener hvis hun selger x bøker.

3.58

y Timelønn (kroner)

(10 , 300)

(k , 480)

x Antall solgte bøker

Kondisjonstallet er forholdet mellom hvor mye oksygen kroppen tar opp, og kroppsvekten.

En måte å finne kondisjonstallet på er å måle hvor langt en person løper på 12 minutter.

Denne testen kalles Cooper-testen.

Vurderingseksemplar

En modell K for kondisjonstallet er gitt ved K(x) = 0,022x 11,122, der x er antall meter personen løper på 12 minutter.

a Hva sier denne modellen?

Tabellen sier hvor god form en person i alderen 20−29 år er i, målt ved kondisjonstallet.

b Emma er 25 år og løper 2,5 km på 12 minutter. Hun mener hun er i middels god form. Stemmer det med modellen og tabellen ovenfor?

c Hvor langt må en mann i aldersgruppa 20−29 år løpe på 12 minutter for å være i svært god form, ifølge modellen og tabellen ovenfor?

Andregradsfunksjoner 3D

f gitt ved fxx () 2

−=xx ()22. Det kan vi utnytte til å tegne grafen. x-koordinatene er positive,

og deretter speiler vi dem om y-aksen (de røde).

–2–3–4–5

sammenhengende, glatt kurve gjennom punktene, får vi en graf med et bunnpunkt i origo. En slik graf kaller vi en parabel

g gitt ved g(x) = ax2 har ulik form for ulike verdier av a Jo større a er, desto krummere blir parabelen.

Vurderingseksemplar

r Hvis a > 0, har parabelen et bunnpunkt t Hvis a < 0, har parabelen et toppunkt.

Siden g(0) = 0, går grafen gjennom origo.

Siden g(1) = a, stiger eller synker grafen a enheter hvis vi går 1 enhet til høyre fra henholdsvis bunnpunktet eller toppunktet.

UTFORSK f, g, h og k gitt ved =−fxx () 2 2 =−gxx () (1)2 =+hxx () (1)2 kxx () 1 2 2

Sett sammen grafen og funksjonsuttrykket som hører sammen.

UTFORSK

Vurderingseksemplar

Skriv inn fxaxrd () ()2 =−+ a, r og d

a Hva tror du verdien av d forteller om grafen?

Sett a = 1 og r = 1, og varier d for å undersøke hypotesen din.

b Sett a = 1 og d = 1, og varier r. Hva forteller r om grafen?

c Sett r = 1 og d = 1, og varier a Beskriv hvordan formen på grafen endrer seg og er avhengig av verdien av a y a r d 1 x Alle andregradsfunksjoner kan skrives på formen

fxaxrd ()()2 = =−−+ + , der ard ,, og a 0 r , d).

bunnpunktet, synker eller stiger grafen med a enheter. x = r.

EKSEMPEL 10

Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon f. Bruk grafen til å bestemme funksjonsuttrykket f(x).

Bunnpunktet er (2 , 1).

Da er r = 2 og d = 1.

Hvis vi går 1 enhet til høyre fra bunnpunktet, stiger grafen med 2 enheter. Det betyr at a = 2.

Dermed er f(x) = 2(x 2)2 + 1.

3.59

Funksjonene f, g, h og i er gitt ved

fxx()(3)1 2 =−+

gxx()2(3)1 2 =−−+

hxx()2(3)1 2 =−++

ixx ()(3)1 2 =−++

Vurderingseksemplar

Figuren viser grafen til én av funksjonene. Bestem hvilken av dem.

3.60

Bruk grafen til å bestemme funksjonsuttrykket.

EKSEMPEL 11

Funksjonen f er gitt ved =+−fxxx () 83 2

a Skriv funksjonsuttrykket på formen fxaxrd () ()2 =−+

b Avgjør om grafen har et toppunkt eller bunnpunkt, og bestem punktet.

a fxxx

Vurderingseksemplar

b Av funksjonsuttrykket ser vi at a = 1, altså er a > 0. r = 4 og d = 19.

Bunnpunktet er derfor ( 4 , 19).

3.61

Funksjonen f er gitt ved =+−fxxx () 65 2

a Skriv funksjonen på formen fxaxrd ()()2=−+

b Forklar at punktet (3 ,14) er et bunnpunkt på grafen til f

3.62

Bestem topp- eller bunnpunktet på grafen til f

a =−+fxxx () 21 2 b =++fxxx () 242 2

c =−−fxxx () 63 2 d =+ fxxx () 3 2

3.63

a Finn et funksjonsuttrykk til en andregradsfunksjon g der grafen går gjennom punktet (1 , 6) og har et toppunkt i (3 , 2).

b Forklar hvordan du kan vite at også punktet (5 , 6) ligger på grafen til g

c Bruk informasjonen fra oppgave a og b til å tegne grafen til g

3.64 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021)

Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon f.

a Begrunn ut fra grafen at =++fxxx () 43 2 .

f slik at bunnpunktet blir ( funksjon g

b Bestem funksjonsuttrykket g(x).

Andregradsfunksjoner på formen f(x) = ax 2 + bx + c

det er på formen fxaxrd () ()2 =−+ .

Hva kan uttrykket på formen =++ fxaxbxc () 2 fortelle oss? y

Symmetrilinje x = –3

Vf = [–1 , ⟩

Symmetrilinje x = 3

Toppunkt (3 , 6)

= ⟨ , 6] f(x) = x2 + 6x+ 8

Nullpunkter –4 og –2

Bunnpunkt (–3 , –1)

Nullpunkter 1 og 5

3.65

Bruk figurene ovenfor.

a Bestem konstantleddene c til hvert av funksjonsuttrykkene.

b Hvordan må vi endre konstantleddene hvis funksjonene skal få 1 ett nullpunkt 2 ingen nullpunkt

c Hvilken type likning er likningene f(x) = 0 og g(x) = 0?

Hva finner du ut om funksjonene hvis du løser likningene?

Vurderingseksemplar

d Hvordan endrer antallet løsninger på likningene i oppgave c seg hvis vi endrer på konstantleddet c til funksjonene?

3.66

Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx () 87 2

a Finn nullpunktene til f.

b Bruk nullpunktene til å finne symmetrilinja til grafen til f.

c Bruk abc-formelen til å forklare at formelen for symmetrilinja må være

=− x b a2

d Forklar at formelen for symmetrilinja i oppgave c også gjelder for andregradsfunksjoner som ikke har nullpunkt.

EKSEMPEL 12

Grafen til en andregradsfunksjon på formen fxaxbxc () 2 = =+++ + har en symmetrilinje gitt ved x b a2 = =− , der a 0

Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx () 483 2

Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter på grafen til f

Siden a > 0, har grafen et bunnpunkt. Bunnpunktet ligger på symmetrilinja. x b a2 8 24 1 =−=− ⋅ =

Symmetrilinja er x = 1. Det gir oss bunnpunktet () f 1,(1) =⋅−⋅+=− f (1)418131 2

Bunnpunktet på grafen til f er (1 , 1).

Vurderingseksemplar

3.67

La funksjonen f være gitt ved =−++fxxx () 1 2 4 2

a Bestem symmetrilinja til grafen til f

b Finn nullpunktene til f

c Bruk nullpunktene til å kontrollere svaret du fikk i oppgave a.

d Avgjør om grafen til f har et toppunkt eller et bunnpunkt, og bestem dette punktet.

e Hva er definisjonsmengden til f?

3.68

Om en andregradsfunksjon får vi vite at 1 som andrekoordinat f (0)3 og −= f (1)8

a Hva er likningen til symmetrilinja?

b Har grafen et toppunkt eller et bunnpunkt, og hva er koordinatene til punktet?

c Forklar hvorfor vi nå vet at f (4 )3 og f (5)8.

3.69 (Eksamen 1T våren 2023)

Funksjonen f er gitt ved

=−−fxxx () 28 2

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen x-aksen?

3.70

Mathilde har lagd programmet nedenfor. 1 2

def f(x): return -x**2 + 5*x

x = 0

while f(x + 0.1) > f(x): x = x + 0.1

print(x)

a Forklar hva Mathilde finner ut med programmet, og hva utskriften blir.

b Hvilken endring må du gjøre i programmet hvis du vil at det skal fungere for funksjonen g gitt ved =−gxx () 23 2 ?

3.71 (Eksamen 1T våren 2022) 1 2 3 4 5

x = 1

while f(x) <= 400: print(f(x)) x = x + 1

Forklar hva som skjer når programmet ovenfor kjøres. Hva blir resultatet?

3.72

Vurderingseksemplar

def f(x): return x**2 # Definerer funksjonen f gitt ved f(x) = x^2

Funksjonen f er gitt ved =−+fxaxx () 45 2

f går gjennom punktet ( 2 , 1).

a Finn funksjonsuttrykket til f

b Undersøk om punktet ( 1 , 12) ligger på grafen til f

finne eventuelle topp- og bunnpunkter med Ekstremalpunkt , men vi får ikke med endepunktene.

EKSEMPEL 13

a , b], er endepunktene afa ,( ) () og bfb ,( ) () også eventuelle topp- eller bunnpunkter.

3.73

Andregradsfunksjonen f er gitt ved fxxxD () 1 2 27,[2,7] f 2 =−++=−

a Forklar at grafen til f har ett toppunkt og to bunnpunkter.

b Hva er verdimengden til funksjonen?

x enheter av en vare er overskuddet i kroner gitt ved

O(x) = 0,3x2 + 210x 30 000 , x > 0

Vurderingseksemplar

a Hva er det størst mulige overskuddet?

b Hvilke produksjonsmengder gir overskudd?

c Hvilke produksjonskostnader gir et overskudd på over 5000 kr?

O i rad 1, og grafen til O blir da tegnet i grafikkfeltet.

Andrekoordinaten til toppunktet forteller oss at det største mulige overskuddet er 6750 kr.

b O ligger over x-aksen, for da er O(x) positiv. Det gjør den mellom nullpunktene til funksjonen.

Altså gir produksjonsmengder mellom 200 enheter og 500 enheter overskudd.

c Overskuddet er 5000 kr når O(x Overskuddet er over 5000 kr ved produksjonsmengder fra og med 274 enheter til og med 426 enheter.

Merk!

vi ønsker å tegne grafen med riktig definisjonsmengde, bruker vi algebrafeltet.

3.74

Trine kaster et spyd. Banen spydet følger gjennom lufta, kan tilnærmet beskrives ved funksjonen f gitt ved

fxxxx ()0,010,52,1,0 2 =−++≥

Her er x avstanden langs bakken målt i meter fra der spydet ble kastet, og f(x) er høyden over bakken målt i meter.

a Hvor høyt over bakken er spydet idet Trine kaster spydet?

b Hvor høyt over bakken er spydet på det høyeste?

c Hvor langt kaster Trine?

d Hva er definisjonsmengden og verdimengden til f?

e Hvor er spydet når det er 6,0 m over bakken?

Trine har lagd dette programmet:

a = 0 h = 0.01

while f(a + h) > f(a): a = a + h

print(a)

f Forklar hva Trine ønsker å beregne med dette programmet.

g Foreslå en endring i programmet, slik at det kan brukes til å beregne lengden av kastet.

Vurderingseksemplar

Nullpunktfaktorisering

En funksjon f er gitt ved =−+ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ fxxx ()3(4) 1 3 . f(x) = 0 med produktregelen, finner vi at nullpunktene til funksjonen er 4 og 1 3

=+ + fxaxbxc () 2 ved å gange ut parentesene. Det gir

=−−fxxxxx ()3(4) 1 3 3114 2

Motsatt, hvis funksjonen f er gitt på formen =−−fxxx () 3114 2 , kan vi faktorisere f(x) ved å først finne nullpunktene.

Vurderingseksemplar

Nullpunktmetoden

En andregradsfunksjon f gitt ved

Beviset for nullpunktmetoden finner du på Aunivers.no, eller du kan forsøke selv i oppgave 3.92. y x

fxaxbxc () 2 = =+++ +

kan ha ingen, ett eller to nullpunkter.

x1 og x2, kan vi faktorisere funksjonsuttrykket slik

fxaxxxx () 12 ( ())(() ) = =− x1, sier vi at det er et dobbelt nullpunkt og faktoriserer slik:

axbxcaxxxxaxx 2 111 2 ( ())(())(() ) + +++==− −==−

faktorisere funksjonsuttrykket.

EKSEMPEL 14

Bruk nullpunktmetoden til å faktorisere andregradsuttrykkene.

a +−xx 26 2 b −+− xx 0, 522 2 c xx46 2

a Først finner vi eventuelle nullpunkter. Det gjør vi ved å løse likningen +−=xx 26 0 2 med abc-formelen.

Løsningene er 2 og 3 2

Vi ser at vi får bort brøken hvis vi ganger 2 inn i den siste parentesen.

b −+ −= xx 0, 5220 2

Likningen har bare én løsning: 2. xx 2 12 og =− a 0, 5

xxx 0, 5220,5(2) 22

c Likningen ++=xx46 0 2 har ingen løsninger. xx46 2

3.75

Vurderingseksemplar

Bruk nullpunktmetoden til å faktorisere uttrykkene hvis det er mulig. Kontroller svaret ved å multiplisere ut faktorene. a −+xx27 3 2 b −+xx48 4 2 c xx510 2

3.76

Faktoriser og forkort.

a x xx 25 295 2 2

b ++ −−+ xx xx 816 12 2 2

SNAKK

3.77

Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon f.

a Forklar at vi kan skrive =+−fxaxx () (2)(6)

b Forklar at f (0)6, og bruk dette til å bestemme a.

c Skriv funksjonsuttrykket på formen axbxc 2

3.78

Figuren viser grafen til en andregradsfunksjon. Bruk figuren til å finne funksjonsuttrykket.

Vurderingseksemplar

3.79

a Finn en andregradsfunksjon som har nullpunktene 1 og 2.

b Finn en andregradsfunksjon P som har nullpunktene 6 og 2, og der P (3)15

c Finn en andregradsfunksjon som har 6 som dobbelt nullpunkt.

3.80

Funksjonen f er gitt ved

=−+−fxxkx () 28 2

For hvilke to verdier av k har funksjonen f nøyaktig ett nullpunkt? former.

=++ fxaxbxc () 2 fxaxrd ()()2=−+ fxaxxxx () 12 =−−()()

Hva forteller hver av skrivemåtene om grafen til funksjonen?

Prøv å begrunne betydningen av koeffisientene i hver av skrivemåtene.

Kan alle andregradsfunksjoner skrives på alle tre formene?

RØDE OPPGAVER

3.81

Figuren viser grafen til andregradsfunksjonen f

a Bestem bunnpunktet på grafen til f og nullpunktene til f

b Bestem symmetrilinja til grafen.

c Hva er funksjonsuttrykket f(x)?

d Forklar at likningen f(x) = 3 har løsningene 3 og 1.

e Forklar at likningen f(x) = 5 ikke har løsninger.

3.82

Funksjonen f er gitt ved =−−fxxx () 45 2

a Bestem skjæringspunktet mellom grafen og andreaksen.

b Bestem nullpunktene til f

c Forklar hvorfor grafen til f har et bunnpunkt, og finn deretter bunnpunktet.

3.83

Funksjonene f og g er gitt ved =−+fxxx () 2811 2 og =−gxx () 47

Finn eventuelle skjæringspunkter mellom grafene til f og g

3.84

Jenny planter en busk. De ti første dagene er høyden tilnærmet gitt ved =+hxx () 0,24,0 2

Her er x tiden målt i dager etter at busken ble plantet, og h(x) er høyden målt i cm.

a Bestem definisjonsmengden og verdimengden til h

b Hva forteller tallet 4,0 i funksjonsuttrykket?

3.85

Vurderingseksemplar

Faktoriser uttrykket hvis det er mulig.

3.86

a Finn en andregradsfunksjon som har nullpunktene 4 og 5.

b Finn en andregradsfunksjon som har nullpunktene 2 og 7.

c Bestem b slik at funksjonen g gitt ved gxxbx ()44 2 =++ har 1 som eneste nullpunkt.

BLÅ OPPGAVER

3.87

Funksjonene f og g er gitt ved =+−fxaxx ()4 1 2 2 og =+ gxxb ()

f og g skjærer hverandre i punktet (5 , 7).

a Bestem funksjonsuttrykkene f(x) og g(x).

b Finn dette punktet.

c Undersøk om punktet (3 , 7) ligger på en av grafene.

3.88

La funksjonen h være gitt ved =−hxx () (3)2

a Bestem eventuelle nullpunkter til h

b Avgjør om grafen til h har topp- eller bunnpunkt, og bestem deretter koordinatene.

c Hvor skjærer grafen til h andreaksen?

La funksjonen i være gitt ved =+ixhx () ()5

d Bestem topp- eller bunnpunktet på grafen til i og eventuelle nullpunkter til i

3.89

Figuren viser grafen til en funksjon h

a Bestem funksjonsuttrykket til h på formen =++ hxaxbxc () 2 eksakt.

b Bestem nullpunktene til h eksakt.

3.90

Funksjonen p er gitt ved =+−pxxx () 236 2

a Lag et program som finner bunnpunktet på grafen til p

b Utvid programmet slik at det også finner begge nullpunktene til p

3.91

Vurderingseksemplar

I denne oppgaven skal du studere koeffisientene til en andregradsfunksjon skrevet på formen fxaxrd () ()2 =−+ og på formen =++ fxaxbxc () 2

a =− bar 2 og =+ card 2

b Bruk resultatet til å forklare at = r

c Løs likningen axrd () 0 2 −+= med hensyn på x.

d Bruk resultatene fra oppgave b og c til å utlede abc-formelen.

3.92

Uttrykket axbxc 2 har nullpunktene = −+− x bbac a 4 2 1 2 og = x

. axbxcaxxxx 2 12 ++=−−()() ved å sette inn for x

UTFORSK

Polynomfunksjoner av høyere grad

Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner tilhører en gruppe funksjoner som vi kaller polynomfunksjoner Polynom betyr flerleddet uttrykk.

Uttrykket x 34 har førstegradsleddet 3x og nultegradsleddet 4.

Uttrykket xx53 4 2 har i tillegg andregradsleddet 5x2 og er derfor et andregradspolynom.

xx35 2 3 er et tredjegradspolynom, og x 17 4 er et fjerdegradspolynom.

Tallet 6 er et eksempel på et polynom av grad null x 66 0 () =

Hvis et funksjonsuttrykk er et polynom, så har vi det vi kaller en polynomfunksjon.

Tegn grafen til funksjonen f gitt ved =+++ fxaxbxcxd () 32 med a,b, c og d blir bestemt av glidere.

a Sett b = c = d = 1, og varier a

Beskriv hvordan formen på grafen endrer seg og er avhengig av verdien av a

b a,b, c og d systematisk.

Vurderingseksemplar

1 Hva kan du si om antall nullpunkter?

2 Hva kan du si om topp- og bunnpunkter?

c =++++ fxaxbxcxdxe () 432

d Hva tror du om antall nullpunkter og antall topp- og bunnpunkter for en femtegradsfunksjon?

Tredjegradsfunksjoner

Alle tredjegradsfunksjoner kan vi skrive på formen

fxaxbxcxd () 32 = =+++++ + , der abcd ,,, og a 0

En tredjegradsfunksjon kan ha ett, to eller tre nullpunkter.

fxaxxxxxx () 123 ( () ) ( ())(() ) = =− , der nullpunktene er x1, x2 og x3

Grafen har enten både ett topp- og ett bunnpunkt, eller den har verken topp- eller bunnpunkt.

Vurderingseksemplar

3.93

Toppunkt (–2 , 9)

Nullpunkter –4, 1 og 4

Bunnpunkt (2,7 , –3,7)

Figuren til høyre viser grafen til f gitt ved =−++ fxxxxd () 3269

a Bruk figuren til å bestemme verdien av d

Tenk deg at vi endrer verdien av d

b For hvilke verdier av d har f

1 to nullpunkter

2 tre nullpunkter

3 ett nullpunkt

3.94

a Regn ut −+−xxx 2( 1)(2)(3)

Funksjonen f er gitt ved

=−−+ fxxxx ( )241012 32

b Forklar ut fra utregningen din i oppgave a at f har tre nullpunkter.

c Ligger toppunktet eller bunnpunktet på grafen til f lengst til venstre i koordinatsystemet?

3.95

Funksjonen f er gitt ved =−++fxxx () 33 3 .

a Forklar hvorfor største mulige definisjonsmengde for denne funksjonen er Df .

b Hva er verdimengden til f? Begrunn svaret.

3.96

Funksjonen g er gitt ved =+++ gxxbxxb () 32

Bestem b når du får vite at 2 er et nullpunkt til g

EKSEMPEL 15

Figuren viser grafen til tredjegradsfunksjonen f

Bestem funksjonsuttrykket til f 1 og 2.

=+−fxaxx () (1)(2)2

bestemme a ved å løse likningen f (0) = 3.

3.97

Hver figur viser grafen til en tredjegradsfunksjon.

Bestem funksjonsuttrykket til funksjonen.

a b

3.98

Funksjonen f er gitt ved

Vurderingseksemplar

=+−fxxx () 1 2 (1)(3) 2

a Bestem nullpunktene til f

f har et toppunkt som ligger på x-aksen.

b Hva er koordinatene til toppunktet?

3.99

For årene fra og med 2006 til og med 2013 var

=−++ Ntttt ( )2,53090200 32

en god modell for antall elg i et område.

I modellen står N(t) for antall elg ved tiden t år etter 1. januar 2006, slik at t = 0 svarer til 1. januar 2006, t = 1 svarer til 1. januar 2007, osv.

a Hvor mange elg var det i området 1. januar 2006?

b Hva er DN?

c Løs likningen Nt ( )220, og forklar hva løsningene forteller oss.

d e

f I hvilken periode var det nedgang i elgbestanden?

UTFORSK

Polynomdivisjon

Klarer du å finne uttrykkene som mangler i disse to «polynompuslespillene»?

andregradslikning, og kjenner vi nullpunktene, kan vi skrive funksjonsuttrykket på faktorisert form.

For polynomer av høyere grad enn 2 skal vi bruke polynomdivisjon til å løse likninger, finne nullpunkter og faktorisere polynomer.

Du har tidligere lært å dele ett tall med et annet. Anta at 851 kr skal deles på 23 personer.

Hver person kan få 3 tiere, og vi har nå delt ut 23 30 kr = 690 kr.

690 kr = 161 kr.

Dette deler vi nå på de 23 personene, og det blir 7 kr til hver.

Altså får hver person 30 kr + 7 kr = 37 kr.

Dette kan vi stille opp som vist til høyre.

851 : 23 = 37 –690

161 –161 0

Polynomdivisjon minner om metoden vi viste for 851 : 23. I matematikken kaller vi ofte slike ferdige metoder for en algoritme.

I en polynomdivisjon må dividenden (det vi deler) ha minst like høy grad som divisoren (det vi deler på).

EKSEMPEL 16

Utfør divisjonen xxxx25 2 (1) 32 ()−++:− .

❶ Se på xxx25 2 32 () −++ og x (1) Hva må vi multiplisere x med for å få x 2 3? Jo, x 2 2 xx(1)2 2, får vi xx 2232

Vurderingseksemplar

❷ xxxxxxx25 2 2232 32 322 () () −++−−=−++

❸ Se på xx 32 2 () −++ og x (1) x med x 3 for å få x 3 2 xx (1)(3), får vi −+xx33 2

❹ xxxxx 323322 22() −++−−+=−+

❺ x med 2 for å få 2x

❻ −+−−+= xx22 (22)0. Differansen er null, og divisjonen går derfor opp.

Med CAS:

Merk!

0 bak kommaet betyr at resten er null. Divisjonen går opp.

Forklaring på algoritmen finner du på Aunivers.no.

SNAKK

3.100

Utfør divisjonen.

a xxxx 22 ( 1) 32 ()+++:+ b xxx 6104(24) 2 ()−−:−

c xxx 671(21) 32 ()+−:+ d xxx 4226(2)()−−:+

e xxx x 22 1 1 32 2 f xxx25422321 ()() −−:+

3.101

Bruk resultatet fra eksempel 16 til å

a forkorte brøken −++xxx x 25 2 1 32

b forklare at xxxxxx25 2 322232(1) () −++=−−−

Nullpunktsetningen

La f(x) være et polynom og k et tall.

Divisjonen f(x) : (xk) går da opp hvis f(k) = 0.

Og motsatt så er f(k) = 0 hvis divisjonen f(x) : (xk) går opp.

Vi sier at f(x) er delelig med (xk).

Beviset for nullpunktsetningen finner du på Aunivers.no.

3.102

a Bestem a slik at −++ xxxa 32611 har 2 som nullpunkt.

b Bestem a slik at xxxa27 4 32 er delelig med x + 2.

Dina skal utføre divisjonen 225 : 17.

Til høyre ser du utregningen.

Dina sier hun får 4 i rest.

Hva mener hun med det?

Vurderingseksemplar

Forklar divisjonen til Dina.

225 : 17 = 13 + 4 17

–170 55 – 51 4

EKSEMPEL 17

Funksjonen f er gitt ved =−−fxxx () 27 5 2 .

Undersøk om divisjonen fxx () (3):− vil gå opp, uten å dividere. Utfør deretter divisjonen.

f (3)237358

Divisjonen vil ikke gå opp, siden f (3)0

Vurderingseksemplar

Siden divisjonen ikke går opp, får vi ikke 0 på siste linje.

Resten i divisjonen er 8.

Resten skal vi også dividere med x 3.

Det siste leddet (restleddet) i svaret er derfor x 8 3

Med CAS:

–8 bak kommaet betyr at resten er –8. Divisjonen går ikke opp.

Polynomdivisjonen i eksempel 17 gikk ikke opp.

Derfor er ikke 3 et nullpunkt til f.

8 som rest da vi utførte divisjonen, og vi så at =− f (3)8

La P være et polynom som vi skal dividere med (x – k). r = P(k).

3.103

En regel sier:

Hvis alle koeffisientene i likningen +++=axbxcxd 0 32 er hele tall og a = 1, vil alle heltallsløsninger være en faktor i konstantleddet d. +++=xxx 13 47350

a Hvilke åtte tall er ifølge regelen mulige løsninger på likningen?

b Finn én heltallig løsning.

c Finn alle løsningene.

EKSEMPEL 18

Faktoriser polynomet P gitt ved =−−Pxxx () 76 3

For å faktorisere må vi løse likningen P(x) = 0. 6.

De hele tallene som går opp i 6, er 1, 1, 2, 2, 3, 3, 6 og 6.

P (1)0 , så 1 er ikke et nullpunkt.

P( 1) = 0, så 1 er et nullpunkt. Divisjonen Pxx () (1):+ går da opp.

Dividenden «mangler» andregradsledd.

Vi setter derfor inn leddet 0 x 2 .

Da kan vi skrive xxxxx 76 ( 321)6 −−=+−−()

Eventuelle andre nullpunkter finner vi ved å løse andregradslikningen −−=xx 60 2 .

Den har løsningene 2 og 3. xxxxxx 6 1(2)(3)(2)(3) 2 () −−=⋅−−−=+− . xxxxxxxx 7 326(1)6(1)(2)(3) () −−=+−−=++−

3.104

a Funksjonen f er gitt ved fxxxx ()2323 32 =−−+ . Faktoriser f ( x ) i tre lineære faktorer.

b Funksjonen g er gitt ved gxxxx () 2510 32 =+−− .

Finn ett nullpunkt til g og vis at det ikke fins flere nullpunkter.

3.105 (Eksamen 1T høsten 2023)

Funksjonen f er gitt ved

=+−−fxxxx () 32256

I hvilke punkter skjærer grafen til funksjonen x-aksen?

3.106

Funksjonen f er gitt ved

Vurderingseksemplar

=−++−fxxxx () 324318

Undersøk om grafen til f har et topp- eller bunnpunkt som ligger på førsteaksen.

3.107

Bestem k slik at brøken kan forkortes.

+−− + xkxx x 412 2 32

3.108 (Eksamen 1T våren 2023)

−−+=−+− xxxxxaxb 325812(1)()()

Bestem a og b slik at likningen blir en identitet.

3.109 (Eksamen 1T våren 2024)

at faktoriseringen nedenfor er riktig.

xxxxxx 23116273(2) 32 2 () +−−=++⋅−

Hvilke to divisjoner kan hun ha utført?

Utfør de to polynomdivisjonene, og forklar at hver av dem viser at faktoriseringen er riktig.

SNAKK

3.110 (Eksamen 1T våren 2022)

Funksjonen f er gitt ved

=+−−fxxxx () 2189 32

a fxx () (3):− går opp.

b grafen til f

En funksjon f er definert i hele intervallet [a , b].

Bruk figurene til å forklare hvordan vi kan bruke fortegnet på produktet fafb () () til å avgjøre om det fins et nullpunkt i intervallet.

Hvordan vil dette fungere om det fins to eller flere nullpunkter i intervallet?

Vurderingseksemplar

3.111

Odin vil finne nullpunktene til funksjonen f gitt ved

=−+fxxx () 3242

Han klarer ikke å finne noen heltallige nullpunkter, men han tegner grafen til f, og ser at funksjonen har tre nullpunkter.

Han lager så programmet nedenfor:

a = -1

while f(a)*f(a + 0.01) > 0:

a = a + 0.01

print(round(a, 2))

Vurderingseksemplar

a Forklar hvordan programmet fungerer, og hva det skriver ut.

b Utvid programmet slik at det finner alle tre nullpunktene til f

RØDE OPPGAVER

3.112

Funksjonen N gitt ved

N(x) = 4,68x3 + 63,4x2 32,3x + 29,1

er en modell for utviklingen i bredbåndsabonnementer i perioden 2000−2008.

Her er N(x) antallet målt i 1000, og x er antall år etter år 2000.

a Hvor mange bredbåndsabonnenter var det i 2005?

b Begrunn hvorfor modellen ikke lenger kan være gyldig.

3.113

Undersøk, uten å dividere, om polynomet −++xxx 32664 er delelig med a x 1 b x 2 c x 2 d x 3

3.114

Utfør divisjonen.

a xxx37 4(1) 2 ()++:+

b xxx 2212(24) 2 ()+−:−

c xxxxx 2( 1) 432 ()+−++:+

3.115

Funksjonen f er gitt ved =+−−fxxxx () 3244

a Løs likningen f(x) = 0. Hva har du funnet ut om f?

b Faktoriser f(x).

3.116

Funksjonen g er gitt ved =++ gxxxx () 3243

Bestem nullpunktene til g

3.117

Vurderingseksemplar

Figuren viser grafen til en tredjegradsfunksjon g Bruk figuren til å bestemme funksjonsuttrykket.

3.118 (Eksamen 1T høsten 2021)

Løs likningen +−+=xxx 27 40 32 .

3.119

Polynomet P er gitt ved =−++Pxxaxx () 32 32 .

a Bestem a slik at P(x) er delelig med x 2.

b Utfør divisjonen Pxx () :(2) med den verdien for a som du fant i oppgave a.

BLÅ OPPGAVER

3.120

a Løs likningen −−=xx19300 3

b Faktoriser polynomet gitt ved Pxxx () 4234=+−

3.121

Funksjonen f er gitt ved =−+− fxxxx () 210146 32

Undersøk om grafen til f har et topp- eller et bunnpunkt som ligger på x-aksen.

3.122

a Uttrykket −−+ xxxx25 3 432 kan vi faktorisere som xxaxbxc (2 3) 2 −++()

Bestem verdiene av a, b og c

b Bestem de eksakte løsningene på likningen −−+=xxxx25 30 432

3.123

Funksjonen f er gitt ved =−++fxxaxbx () 3 32

Bestem a og b slik at både 1 og 2 er nullpunkter til f

3.124

Funksjonen f er gitt ved =−++fxxxx () 32664

Bestem eksakte verdier for nullpunktene til f

3.125

Funksjonen f er gitt ved =−+ fxxbxbx () 2 322 , der b ∈ R

a Forklar at funksjonen, uavhengig av b, har to nullpunkter, og at det ene av dem er 0.

b Finn funksjonsuttrykket til f når grafen til f går gjennom punktet (1 , 9) og b > 0.

3.126 (Eksamen 1T våren 2019, noe endret)

Funksjonene L og N er gitt ved

Vurderingseksemplar

=−+−+ Lxxxx ( )0,00250,0890,676,12 32 , x [0,24]

=− +−+Nxxxx ( )0,000160,010,311,15 32 , x [0,24]

Funksjonene viser temperaturene L(x) grader celsius ved Lindesnes og N(x) grader celsius ved x timer etter midnatt et døgn i januar 2019.

b Hvor stor var forskjellen da?

EKSEMPEL 19

Modellering med polynomfunksjoner

For en lineær modell er det to ukjente parametre å bestemme, og for en andregradsmodell er det tre. For polynomfunksjoner øker antall parametre med graden.

En tredjegradsmodell axbxcxd 32 har for eksempel fire parametre (a, b, c og d).

En bedrift har undersøkt hvordan overskuddet per døgn varierer med antall produserte enheter. Tabellen viser resultatet av undersøkelsen.

Antall produserte enheter 405080100120

Overskudd (i kroner) 12 50016 49521 49021 07017 420

Lag en modell for overskuddet O(x) kr ved x produserte enheter.

kolonne A og overskuddet i kolonne B.

på en parabel. I rullegardinmenyen under Regresjonsmodell velger vi derfor Polynom, og vi velger 2 for et polynom av andre grad.

En modell for overskuddet er gitt ved

Oxxx ( )4,17139253

UTFORSK

3.127

Tabellen nedenfor viser overskuddet O(x) i kroner ved å produsere og selge x enheter av en vare per uke.

x enheter 600850110016502000

O(x) kr 63 000122 000156 000141 00070 000

a Finn andregradsfunksjonen som passer best til tallene i tabellen.

b Bruk funksjonen i oppgave a til å bestemme hvor mange enheter bedriften bør produsere for at overskuddet skal bli størst mulig.

Hva er overskuddet da?

3.128

Vurderingseksemplar

Tabellen nedenfor viser temperaturen ved utvalgte tidspunkter gjennom et døgn.

Klokkeslett

a Plott punktene og forklar at en tredjegradsmodell passer bra til datasettet.

b Lag en modell T som gir temperaturen i °C t timer etter midnatt.

c Bruk modellen til å beregne temperaturen kl. 12.30.

d Per og Kari diskuterer figurtall og regresjon.

Kan vi bruke polynomregresjon til å finne formler for figurtall?

Ja, for i mange tilfeller er disse formlene andre- eller tredjegradsuttrykk. La oss ta rektangeltallene som eksempel. Legg inn figurnummeret i kolonne A og figurtallet i kolonne B.

Aha, da får jeg perfekt match med en andregradsfunksjon!

Hvordan stemmer resultatet med formelen Rn = n ⋅ (n + 1) fra kapittel 1?

Undersøk noen flere figurtall. Hvorfor er det viktig å sjekke at grafen går nøyaktig gjennom alle punktene i datasettet når vi bruker regresjon til å finne formler for figurtall?

Kan du være helt sikker på om du har funnet riktig formel selv om grafen går nøyaktig gjennom punktene?

Av en kvadratisk plate med side 9 cm skal vi lage en eske (uten lokk).

a Finn et uttrykk for volumet V(x) i cm3 av esken.

b Hva er høyden av esken når volumet er størst mulig?

Hva er det største volumet?

a 2x) cm.

Høyden er x cm. Høyden må være positiv, så vi har x > 0.

så dermed har vi også at x < 4,5.

b V og ser at den har et toppunkt.

Vurderingseksemplar

Esken har størst volum når høyden er 1,5 cm.

Det største volumet er 54 cm3.

3.129

Av en rektangulær plate med sider på 18 cm og 12 cm skal vi lage en eske uten x cm i hvert hjørne og bretter opp de fire sidekantene.

a Finn et uttrykk for volumet V(x) i cm3 av esken.

b Hva er definisjonsmengden til funksjonen V?

c Hva er høyden av esken når volumet er størst mulig?

Hvor stort er volumet da?

3.130

Tora skal gjerde inn et rektangelformet område av hagen.

Hun har 60 m gjerde.

a Lag en modell for arealet av det inngjerdede området.

b Bestem gyldighetsområdet for modellen.

c Bestem det største arealet området kan ha.

Vurderingseksemplar

d Hvordan kan området se ut hvis arealet skal være 200 m2?

3.131 (Eksamen 1T våren 2023)

En gruppe speidere har slått opp telt ved en elv. De har et tau som er 80 m langt, og fire pinner. Tauet og pinnene skal de bruke til å sette opp et gjerde rundt teltet. Området de gjerder inn, skal ha form som et rektangel, og de vil ikke sette opp gjerde langs elven. Se skissen ovenfor.

a Hvor stort blir arealet av området dersom de velger at lengden skal være 60 m?

Herman påstår at arealet av området blir størst dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.

b Lag en systematisk oversikt som viser arealet av ulike områder som de kan gjerde inn. Bruk oversikten til å argumentere for at Hermans påstand kan være riktig.

Josefine lurer på om de kan tegne en graf som viser at Herman har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

c Sett opp et funksjonsuttrykk for Josefine. Tegn grafen og vis at Hermans påstand er riktig.

Bredde Lengde

3.132 (Eksamen 1T høsten 2022)

En bedrift produserer gardiner. Hver gardin skal ha form som en parabel. Høyden skal være 70 cm. Lengden øverst skal være 150 cm. Se figuren til høyre.

Bedriften vil klippe ut gardinene fra tøyruller som er 140 cm brede. For å bruke så lite tøy som mulig vil en maskin klippe ut gardinene slik figuren nedenfor viser.

å lage åtte gardiner.

3.133

Figuren viser grafen til funksjonen f gitt ved

Under grafen til f er det tegnet et rektangel.

Rektangelet har hjør ner i (0 , 0), (k , 0), kfk , () () og fk 0 , () ()

Vurderingseksemplar

a Bestem arealet av rektangelet hvis k = 2.

b Forklar at arealet A av rektangelet for ulike verdier av k er gitt ved

c For hvilken verdi av k har rektangelet størst areal? Hvor stort er arealet da?

RØDE OPPGAVER

3.134

År

1960197019801990200020062009

Folketallet i millioner 3,593,874,094,254,454,644,80

a Finn en tredjegradsfunksjon fx år etter 1960.

Hvordan stemmer det med modellen?

c Hva kan du si om gyldighetsområdet for modellen du lagde i oppgave a?

3.135 (Eksamen 1P våren 2022)

Et rektangel er tre ganger så langt som det er bredt. Arealet av rektangelet er 432 cm2

Hvor bredt er rektangelet?

BLÅ OPPGAVER

3.136

En bilmekaniker undersøker hvordan dekk slites basert på lufttrykket i dekket.

Han måler levetiden til dekket (i antall kilometer det varer) ved forskjellige lufttrykk.

Lufttrykk (bar) 1,52,02,53,03,5

Levetid (km) 15 00026 500 31 00026 20014 500

a Plott punktene i et koordinatsystem og forklar at både en andregradsmodell og en fjerdegradsmodell passer bra til datasettet.

Vurderingseksemplar

b Lag modellene og undersøk hva som er den lengste levetiden til dekkene ifølge hver av dem.

3.137

I et rektangel skal tre av sidene være til sammen 36 cm.

x cm være en av sidene i rektangelet og A(x) cm2 være arealet av rektangelet.

Finn lengden av sidene i rektangelet når arealet er størst mulig.

Hvor stort er arealet da?

3.138

Over en 20 m bred elv skal det bygges en parabelformet bro. Under broen skal det kunne passere lastebåter.

over vannflaten.

Hvor høy må broen være på det høyeste?

BLANDEDE OPPGAVER

3.139

Den lineære funksjonen g har negativt stigningstall. =− D [3,9] g og =−− V [7,1] g

Finn funksjonsuttrykket til g

3.140 A(2,3), B (4,7) og C (2,8)

a Finn likningen til en linje ℓ som går gjennom punktene A og B

b Finn likningen til en linje m som er parallell med ℓ og som går gjennom punktet C

c En linje n skjærer linja m på y-aksen og linja ℓ i punktet A Finn likningen til denne linja.

3.141

En funksjon f er gitt ved =−+fxxx () 1 2 3 1 2 2 g skjærer grafen til f i to punkter.

Førstekoordinatene til skjæringspunktene er 1 og 7.

Finn funksjonsuttrykket til g.

3.142

Et hagesenter selger hageslange med stativ. Tabellen viser prisen du må betale for ulike lengder hageslange med stativ.

Hageslangens lengde (m) 102030

Pris for slange med stativ (kr) 340450560

a Hva koster hageslangen per meter, og hva koster stativet?

b Lag en funksjon som gir prisen for slange med stativ som funksjon av slangelengden.

3.143

Vurderingseksemplar

minutt. Tabellen nedenfor viser temperaturutviklingen i vannet. Temperaturen T(t) er målt i °C, og variabelen t står for tiden i minutter.

t 01234567

T(t) 2024283340455157

a Finn en lineær modell for temperaturutviklingen i vannet.

b Bruk modellen til å anslå hvor varmt vannet er etter 9 minutter.

3.144 (Eksamen 1T våren 2019, noe endret)

I tabellen nedenfor ser du sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit.

Grader celsius (°C) 50 300 10

Grader fahrenheit (°F) 58 223250

a Hvor kaldt må det være ute for at de to gradestokkene skal vise samme verdi?

b Bestem en formel som viser sammenhengen mellom grader celsius og grader fahrenheit.

c Bruk formelen du fant i oppgave c, til å vise at 100 °C er det samme som 212 °F.

3.145

Funksjonen f er gitt ved =⋅+ftat () 3 2 , der a er en konstant.

Bestem a slik at f(2) = 5.

3.146

Funksjonene f og g er gitt ved =−++fxxbx () 7 2 og =+gxax () 1 f og g skjærer hverandre i punktet (2 , 3).

a Finn funksjonsuttrykkene f(x) og g(x).

3.147

En funksjon f er gitt =−++fxxx () 45 2

a Skriv funksjonsuttrykket på faktorisert form.

Hva ser du lett når funksjonsuttrykket er skrevet på denne måten?

b Skriv funksjonsuttrykket på formen fxaxrd () ()2 =−+

Bruk resultatet til å forklare hva som er toppunktet på grafen til f

3.148 (Eksamen 1T høsten 2011)

Vurderingseksemplar

Funksjonen f er gitt ved =⋅−+ fxaxbc () ()2 , der a, b og c er reelle tall.

a Bestem c slik at grafen til f har nøyaktig ett nullpunkt uansett hvilke verdier vi velger for a og b

b Bestem b slik at grafen til f har et ekstremalpunkt for x = 3 uansett hvilke verdier vi velger for a og c

3.149

Funksjonen g er gitt ved =++ gxaxbxc () 2 og har bare ett nullpunkt.

a Bruk abc-formelen til å vise at nullpunktet da må være b a2

b Forklar at topp- eller bunnpunktet på grafen til g er det samme som skjæringspunktet mellom grafen og x-aksen.

3.150

En parabel går gjennom punktene A(1 , 4), B(3 , 2) og C(5 , 6).

a Finn funksjonsuttrykket til parabelen.

b Undersøk om parabelen også går gjennom punktet D(4 , 4).

c Finn den enkleste funksjonen som har en graf som går gjennom punktene A, B, C og D

3.151 (Eksamen 1T våren 2018)

Funksjonen f er gitt ved =++fxxkx () 4 2 . For hvilke verdier av k har grafen til f

1 ingen skjæringspunkter med x-aksen

2 ett skjæringspunkt med x-aksen

3 to skjæringspunkter med x-aksen

3.152

Funksjonen f er gitt ved =+−fxxx () 83 2

Martin finner eksakte verdier for nullpunktene til f slik:

fxxx x xx ()=+8–3 =(+4)–19 =+4–19+4+19 2 2 ()()

Forklar framgangsmåten til Martin. Hva er nullpunktene til f?

3.153

En vårdag var temperaturen tilnærmet gitt ved

TtttD ()0,241,216,[0,12] T 2 =−++=

der T(t) står for temperaturen i celsiusgrader t timer etter kl. 12.

a Hva var temperaturen kl. 12 og kl. 16?

c d

e Hvor lenge var temperaturen over 17 °C?

3.154 (Eksamen 1T høsten 2022)

Per og Solveig har nok materialer til å lage et gjerde som er 64 m langt. De skal gjerde inn et område som skal ha form som et rektangel, og de ønsker at området skal få størst mulig areal.

Per påstår at arealet blir størst mulig dersom alle sidekantene er like lange.

a med omkrets 64 m.

Solveig lurer på om de kan tegne en graf som viser at Per har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

b Sett opp funksjonsuttrykket for Solveig. Tegn grafen, og vis at Per sin påstand er riktig.

3.155

En tredjegradsfunksjon har nullpunktene 2, 1 og 2. y-aksen i punktet (0 , 8).

Finn funksjonsuttrykket på formen =+++ fxaxbxcxd () 32

3.156

Vurderingseksemplar

En dag fra midnatt (kl. 00.00) til kl. 20.00 var temperaturen gitt ved

=−+−+ Txxxx ( )0,0050,120,26 32

Her står T(x) for temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt.

b Hvor mange grader forskjell var det mellom den laveste og den høyeste temperaturen i perioden?

c Løs likningen Tx() 12 . Hva forteller svaret oss?

3.157 (Eksamen 1T våren 2023)

Trym og Eira arbeider med oppgaven nedenfor.

Funksjonen f er gitt ved

=−+fxxx () 3232

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter.

Jeg ser med én gang at grafen må ha et topp- eller bunnpunkt som ligger på y-aksen.

Hvordan ser du det?

Funksjonsuttrykket har ikke et førstegradsledd. Da må det være slik.

Ja, i alle fall for alle tredjegradsfunksjoner. Det har jeg lært meg.

Men det er jo ikke slik for grafen til x3

Æsj! Det stemmer.

Det kan jo hende at du har litt rett likevel.

Løs oppgaven elevene arbeider med.

Ta utgangspunkt i dialogen ovenfor. Utforsk og kommenter Trym sin «regel».

3.158

Fyllingsgraden i vannmagasinene i Olshorn kommune i 2014 er gitt ved funksjonen m, der

=−+−++ mxxxxx ( )0,1453,526,15656,8 432 , [ = D 0,12 m

Her er m(x) fyllingsgraden i prosent, x måneder etter 1. januar.

b Bestem verdimengden Vm

c Hvilke tidsperioder er fyllingsgraden over 50 %?

3.159

Tomine ønsker å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til funksjonen f gitt ved =−+−fxxx () 4243, og har lagd programmet nedenfor.

def f(x):

return -x**4 + 4*x**2 - 3

a = 0

dx = 0.01

while f(a + dx) > f(a):

a = a + dx

print(a)

Forklar hvorfor programmet ikke kommer til å gi Tomine et fullstendig svar. Foreslå endringer som gjør at det gir et fullstendig svar

3.160

Hva er minste og største antall mulige nullpunkter for en polynomfunksjon av grad n hvis

a n er et oddetall

b n er et partall forskjellig fra null

3.161

En bedrift har undersøkt hvor mange enheter den får solgt ved fire ulike priser. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Pris (kr)

Etterspørsel (antall enheter)

Vurderingseksemplar

30456080

500387300200

e(x) være etterspørselen (hvor mange enheter bedriften selger) når enheten koster x kr.

a Lag en modell for sammenhengen mellom pris og etterspørsel.

c e(x) enheter, hver til prisen x kr, er inntekten xex()

Bruk modellen til å anslå hvilken pris de bør selge varen for hvis inntekten skal bli størst mulig.

3.162

Kostnadene K(x) kr ved å produsere og selge x enheter av en vare er gitt ved

KxxxD ()0,115900,[20,200] K 2 =−+=

Inntekten I(x) kr ved å selge x enheter av varen er gitt ved

IIxxD ()8,[20,200]

a Løs likningen KxIx () (). Hva forteller svaret?

b Hvor mange enheter kan bedriften produsere og selge hvis den skal gå med overskudd?

c Forklar at overskuddet O(x) i kroner er gitt ved

O(x) = I(x) K(x)

d Finn den største verdien overskuddet kan få.

3.163

En elevbedrift produserer og selger fuglekasser. De regner med at kostnadene K(x) kr ved å produsere og selge x fuglekasser per uke er gitt ved

=−+Kxxx ( )0,8142880 2

De selger fuglekassene for 90 kr per stykk.

a Bestem en funksjon O som gir overskuddet ved å produsere og selge x fuglekasser per uke.

b Hva er det største mulige overskuddet for bedriften per år?

3.164

Åpningen under en gangbro har mål slik figuren viser. I et bestemt koordinatsystem følger underkanten av gangbroen grafen til en andregradsfunksjon av typen

=−+fxax () 4,3 2

Vurderingseksemplar

a Hva blir definisjonsmengden til f?

a 0,043.

En lastebil er 2,5 meter bred og 4,0 meter høy

b Undersøk om lastebilen kan kjøre gjennom åpningen.

c Bestem den største bredden en vei gjennom åpningen kan ha hvis høyden over hele veien skal være minst 3,2 meter

3.165

Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a xx 84 2 b −−∈xmxmm 3 4 , 22 c R {} +−∈ k xxkk 1 2,\0 2

3.166

Skriv så enkelt som mulig. a +− −+ xxx xx 12 21218 32 2 b −+−xxx xx 32221 2 c

3.167 f, g og h

Bestem funksjonsuttrykket til hver av funksjonene.

3.168 (Eksamen 1T høsten 2023) y

gP x = 1

Vurderingseksemplar

fQ x

Ovenfor har Sara tegnet grafene til funksjonene f og g gitt ved

=+fxx () 28 =−−+gxxxx () 48 32

Linja x = 1 skjærer grafen til f i punktet P og grafen til g i punktet Q.

a Bestem avstanden fra til P til Q.

Sara skal tegne en ny linje x = a der a 1,3 i koordinatsystemet. Hun vil kalle skjæringspunktet mellom linja og grafen til f for R, og skjæringspunktet mellom linja og grafen til g for S

b Bestem a slik at avstanden fra R til S blir størst mulig. Oppgi svaret eksakt.

3.169 (Eksamen 1T våren 2024)

Figuren til høyre viser tre grafer som til sammen danner en lukket kurve. y-aksen.

A og punktet B har samme y-koordinat.

Bruk tre ulike funksjoner og lag en tilsvarende figur slik at kravene i begge kulepunktene ovenfor er oppfylt.

Det skal gå klart fram av besvarelsen hvilke funksjonsuttrykk du har brukt.

Husk å forklare hvordan du har tenkt, og argumenter for at løsningen din er riktig.

3.170

Funksjonene g og h er gitt ved

=−+gxxx () 4243 og =−+ hxxxx () 254 53

a Forklar at g( x) = g(x) og h( x) =−h(x).

b Tegn grafene til g og h. Hva ser du?

c Forklar at grafen til en polynomfunksjon er symmetrisk om y-aksen hvis og bare hvis alle potensene i funksjonsuttrykket er på formen xn22, der n

d Formuler en tilsvarende setning for når grafen til en polynomfunksjon er symmetrisk om origo.

3.171

Figuren viser en tønne der h er høyden, r er radien på toppen og bunnen, og R er radien på midten av tønna.

a Finn en modell (en formel som gir en tilnærmingsverdi) for volumet av tønna uttrykt ved h, r og R, ved å bruke kjente geometriske formler.

b Bruk modellen du fant i oppgave a, til å regne ut en tilnærmet verdi for volumet av en tønne der h = 0,9, r = 0,3 og R = 0,4. Enheten er meter.

c volumet av tønna på figuren ved å bruke formelen () = π ++ V h rrRR 15 34822

Regn ut det eksakte volumet av tønna i oppgave b.

3.172 (Eksamen 1T våren 2023)

Til høyre ser du grafen til funksjonen f gitt ved

=+−fxxx () 1 9 (1)(6)2

Thea ønsker å bestemme en tilnærmet verdi for arealet av det grønne området som er avgrenset av y-aksen, x-aksen og grafen til f

Hun vil gjøre dette ved å legge sammen arealene av små rektangler. Hun begynner som vist på figur 2 og figur 3 nedenfor, og vil så øke antall rektangler for å få en bedre tilnærming.

a Bestem arealet av de seks rektanglene i figur 2.

b Lag et program som Thea kan bruke når hun skal øke antallet rektangler. Du kan for eksempel begynne som vist nedenfor.

Vurderingseksemplar

def f(x): return 1/9*(x + 1)*(x - 6)**2 # Definerer funksjonen f

x_min = 0 # Minste x-verdi x_maks = 6 # Største x-verdi

n = 6000 # Antall rektangler

bredde = # Bredden av hvert rektangel

c Bruk programmet til å bestemme arealet dersom hun bruker 6000 rektangler.

Figur 1

Figur 2Figur 3

SAMMENDRAG

Funksjoner x gir høyst én verdi for f(x), sier vi at f er en funksjon av x

Kurven på figuren er grafen til en funksjon.

A og D er toppunkter på grafen. B er et bunnpunkt på grafen. x-verdien i C er et nullpunkt.

Definisjonsmengden Df viser hvilke verdier x kan ha. Vf viser hvilke verdier f(x) kan få.

Polynomfunksjoner

Lineærefunksjoner: =+ fxaxb ()

1 b x f(x)

a: stigningstallet

b: konstantleddet

På figuren er a negativ. = ayy xx 21 21

Ettpunktsformelen: yyaxx 11 −=−()

Vurderingseksemplar

Matematisk modell

Andregradsfunksjoner: =++ fxaxbxc () 2 () =−+ fxaxrd () 2 x f(x)

Tredjegradsfunksjoner: =+++ fxaxbxcxd () 32 x f(x)

r , d) hvis a < 0 r , d) hvis a > 0

Funksjonen har ingen, ett eller to nullpunkter.

Hvis nullpunktene er x1 og x2: fxaxxxx () 12 =−−()()

enten både ett toppunkt og ett bunnpunkt eller verken toppunkt eller bunnpunkt

Funksjonen har ett, to eller tre nullpunkter.

Hvis nullpunktene er x1, x2 og x3: fxaxxxxxx () 123() ()() =−−−

Interpolasjon: anslå en verdi som ligger innenfor området hvor vi har data

Ekstrapolasjon: anslå en verdi som ligger utenfor området hvor vi har data

KAPITTELTEST

Oppgave 1

Funksjonene f, g og h er gitt ved

=+−fxx () (2)3 2

=+−gxxx () 23 2

=−−hxxx () 23 2

a På figuren er grafen til én av disse funksjonene tegnet.

Hvilken funksjon gir grafen? Begrunn svaret.

b En rett linje ℓ går gjennom punktene () f 2,(2) og () f 2,(2)

Bestem likningen til linja.

Oppgave 2

Funksjonen f er gitt ved =−++ fxxxx () 41024 32

Bestem nullpunktene til f

Oppgave 3

Funksjonen f er en polynomfunksjon av tredje grad. f er 1 og 2.

Toppunktet på grafen til f er (0 , 4), og bunnpunktet er (2 , 0).

Bestem funksjonsuttrykket til f

Oppgave 4

Punktet P kan bevege seg på grafen til funksjonen f gitt ved

=−<<fxxx () 20,5,04

a Lag en modell for arealet av det markerte området på figuren.

b Hva er det største arealet området kan få?

Oppgave 5

En bedrift har undersøkt sammenhengen mellom produksjonskostnader og antall produserte og solgte enheter. Tabellen nedenfor viser resultatet.

K(x) være produksjonskostnadene i kroner ved x produserte enheter.

x enheter 3657100150

K(x) kr 720010 00022 00047 000

a Finn en andregradsmodell for produksjonskostnadene.

b Bruk modellen til å anslå kostnadene ved produksjon av 80 enheter og ved produksjon av 200 enheter.

c Hvilket av resultatene i oppgave b bør du ha størst tillit til? Forklar.

Oppgave 6

Hva vil de finne ut med programmet?

def f(x):

return x**2 - 1

def g(x): return -x**2 + x + 1

def h(x):

return g(x) - f(x)

x = 0

while h(x + 0.01) > h(x): x = x + 0.01

print(h(x))

Likningssystemer og ulikheter 4

Vurderingseksemplar

KAPITTELINNHOLD

4A Lineære likningssystemer 204

4B Likningssystemer med flere enn to ukjente 217

4C Ikke-lineære likningssystemer 221

4D Lineære ulikheter 226

4E Polynomulikheter 231

4F Rasjonale likninger og ulikheter 239

Vurderingseksemplar

I et julehefte fant vi denne oppgaven:

Summen av to tall er ti.

Multipliserer vi det største tallet med to og trekker fra det minste tallet, får vi åtte.

For å finne hvilke tall dette er, kan vi løse et likningssystem med to ukjente.

I dette kapittelet skal du lære om likningssystemer, og du skal lære om ulikheter.

4A

Lineære likningssystemer

Vi ser nærmere på oppgaven fra juleheftet på forrige side:

Summen av to tall er ti. Multipliserer vi det største tallet med to og trekker fra det minste tallet, får vi åtte.

Kaller vi det største tallet for x og det minste for y, kan vi uttrykke de to betingelsene i to likninger slik:

Vi skal finne hvilket tall x står for og hvilket tall y står for i de to likningene.

Vi sier da at de to likningene til sammen utgjør et likningssystem, eller et likningssett. Det er et lineært likningssystem fordi både x og y er av første grad.

Hvis vi ser på hver likning for seg, har de uendelig mange løsninger.

I likning ❶ passer x = 8 og y = 2. Det gjør også x = 7,2 og y = 2,8. Men ingen av disse tallene passer i likning ❷

De eneste tallene som passer i begge likningene, er x = 6 og y = 4.

Løsningen på likningssystemet er altså x = 6 og y = 4.

Det skriver vi slik: =∧=xy64

Tegnet kaller vi konjunksjon. Vi leser det som ogsamtidig

Løsningen kan vi også skrive som tallparet (6 , 4), eller som løsningsmengden {} () = L 6,4

Vurderingseksemplar

Å løse et lineært likningssystem med flere ukjente vil si å finne én verdi for hver av de ukjente som passer i alle likningene.

Vi kan løse et likningssystem på flere måter. Vi kan løse det grafisk, numerisk ved programmering, eller ved ulike strategier med regning.

EKSEMPEL 1

Grafisk løsning

Løs likningssystemet grafisk, både uten og med hjelpemidler.

Hvis vi skal løse likningssystemet grafisk uten hjelpemidler, er det ofte lurt å finne y uttrykt ved x i begge likningene.

Så tegner vi de to rette linjene i det samme koordinatsystemet.

Hvert punkt på linje ❶ gir en løsning på likningen x + y = 10.

Tilsvarende gir hvert punkt på linje ❷ en løsning på likningen 2xy = 8.

Det eneste punktet som passer i begge likningene, er skjæringspunktet mellom linjene.

Koordinatene til skjæringspunktet er (6 , 4). Likningssystemet har løsningen

=∧=xy64.

Altså er {} () = L 6,4

Med graftegner:

Vi bruker Skjæring mellom to objekt til å finne skjæringspunktet mellom linjene.

Likningssystemet har løsningen

=∧=xy64.

Altså er {} () = L 6,4

Vi trenger ikke ordne likningene før vi skriver dem inn i GeoGebra.

4.1

Løs likningssystemet grafisk, både uten og med hjelpemidler. a += −= xy xy 6 2 b −+= += xy xy 25 25

xy xy 1 24

4.2

Sverre skal løse likningssystemet

+= −= yx yx 10 28

Han starter med å løse begge likningene med hensyn på y, og får

yx yx 10 28

Så lager han dette programmet:

f(x): return 10 - x def g(x): return 2*x - 8 x = 0 while f(x) >= g(x): x = x + 0.1

print("x = ", round(x), "y = ", round(f(x)))

Forklar strategien Sverre har brukt for å løse likningssystemet.

Vurderingseksemplar

4.3

Lag et program som løser likningssystemet. +=

yx yx 3, 2 2,18

Programmet skal gi løsningen på likningssystemet med én desimal.

EKSEMPEL 2

Innsettingsmetoden

Når vi bruker innsettingsmetoden, finner vi først et uttrykk for x eller y av den ene likningen. Dette uttrykket setter vi så inn i den andre likningen. Da får vi én likning med én ukjent.

Løs likningssystemet med innsettingsmetoden.

Vi bruker likning ❶ til å finne et uttrykk for x

Vurderingseksemplar

Vi setter inn uttrykket for x i likning ❷ xy yy yy y y 21 2( 1 )1

Vi setter inn 3 for y i uttrykket for x xy11 ( 3)132=−−=−−−=−+=

xy23

Altså er L (2 ,3) =−{}

4.4

Se på eksempel 2.

Bruk likning ❶ til å finne et uttrykk for y Løs så likningssystemet med innsettingsmetoden.

SNAKK

Vi skal løse likningssystemet

−= xy xy 37 23 1

Hvordan mener du vi bør starte her?

Hvorfor mener du vi bør starte akkurat på denne måten?

4.5

Løs likningssystemet med innsettingsmetoden.

xy xy 35 53 13

Addisjonsmetoden

Vi skal løse likningssystemet

−= xy xy 37 1 ❶ ❷

Av likning ❷ ser vi at xy = 1. Likheten i likning ❶ blir derfor bevart om vi legger til xy på venstre side og 1 på høyre side. Vi har da lagt til like mye på hver side i likning ❶

Når vi gjør dette, ser vi at y faller bort. Vi får x x 48 2

Vurderingseksemplar

Vi kan så sette inn for x i en av likningene og finne y. Vi velger å sette inn 2 for x i likning ❷

xy y y y 1 21 1 1

Likningssystemet har løsningen =∧ = xy21. Altså er {} () = L 2,1 .

EKSEMPEL 3

Når vi bruker addisjonsmetoden, kan det være nødvendig å multiplisere likningene med hvert sitt tall først, slik at den ene ukjente faller bort når vi legger sammen.

Løs likningssystemet med addisjonsmetoden. xy xy 23 4 34 11 −=− +=

Vi velger at x skal falle bort når vi legger sammen likningene.

Multipliserer vi likning ❶ med 3 og likning ❷ med 2, får vi

Vurderingseksemplar

Deretter setter vi 2 inn for y i én av likningene og finner x.

Vi velger å sette inn 2 for y i likning ❶.

234

xy12

Altså er {} () = L 1,2

4.6

Se på eksempel 3.

a Anta at vi vil at y skal falle bort når vi legger sammen likningene i stedet. Hva må vi da multiplisere hver av likningene med?

b Løs likningssystemet på denne måten.

4.7

Løs likningssystemet med addisjonsmetoden.

a −= += xy xy 32 5 2210 b

xy xy 346 27

EKSEMPEL 4

Løsning med CAS

Løs likningssystemet med CAS.

Vi skriver inn likningene slik de står.

4.8 Løs oppgave 4.7 med CAS.

SNAKK

Vi markerer begge radene og klikker på .

Lise og Terje løser dette likningssystemet: +=

Lises løsning: Terjes løsning:

Både Lise og Terje klarer å løse likningssystemet. Forklar strategien Lise bruker. Gjør det samme for Terje sin strategi.

4.9

Løs likningssystemet.

Vurder i hvert enkelt tilfelle hvilken strategi som er den mest effektive.

a −= += xy xy 37 5 b −+= += xy xy 53 23 5713 c +=− −+= xy yx 37 11 6517

4.10

Løs likningssystemet.

Vurder i hvert enkelt tilfelle hvilken strategi som er den mest effektive.

a −=− += xy xy 35 23 b =− −+ = xy xy 44 21 0 c +−= =+ xy xy 27 0 36 4

4.11

En elev løser et likningssystem.

I 2x - 5y = 5

II x + 4y = 9 /·2

I 2x - 5y = 5

II 2x + 8y = 18

II - I 13y = 13 y = 1 innsettes i II

II x + 4 · 1 = 9 x = 4

L =(4 , 1)

Hvordan tenker eleven?

Er løsningen riktig?

Å sette opp likningssystemer

SNAKK

Vurderingseksemplar

1496 kr

Hvor mye koster en T-skjorte?

Hvor mye koster en bukse?

(Eksamen 2P våren 2023)

1046 kr

EKSEMPEL 5

To voksne og tre barn betaler til sammen 310 kr for billetter til en innebandykamp. En voksenbillett koster 30 kr mer enn en barnebillett.

Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?

Vi har to ukjente: Prisen på en barnebillett og prisen på en voksenbillett.

Vi lar x kr stå for prisen på en barnebillett og y kr for prisen på en voksenbillett.

Trebarnebillettertovoksenbilletter310 32310

pris voksen prisbarn30 30

Vi får likningssystemet:

=∧=xy5080

En bar nebillett koster 50 kr og en voksenbillett koster 80 kr.

Vurderingseksemplar

4.12

På en skole er det 560 elever. Det er 40 flere gutter enn jenter.

a Sett opp et likningssystem med to ukjente som vi kan bruke til å finne antall jenter og antall gutter på skolen.

b Løs likningssystemet.

4.13 (Eksamen 1T våren 2017)

To voksne og tre barn betaler til sammen 520 kr for billetter til en kinoforestilling. En voksenbillett koster 40 kr mer enn en barnebillett.

Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?

4.14

En rett linje går gjennom punktene ( 2 , 6) og (8 , 1).

a Likningen til en rett linje kan vi skrive på formen =+ yaxb . Sett opp et likningssystem med to ukjente som vi kan bruke til å finne likningen til linja.

b Løs likningssystemet i oppgave a, og skriv opp likningen til linja.

4.15

Lars spør tante Lise hvor gammel hun er. Tante Lise svarer: «Til sammen er vi to 54 år. Tar vi min alder og trekker fra din alder, får vi 30 år.»

Hvor gammel er tante Lise, og hvor gammel er Lars?

Har et likningssystem alltid løsninger?

UTFORSK

Vurderingseksemplar

a Løs likningssystemet med addisjonsmetoden.

= xy xy 53 57

b Hvordan vil det grafiske bildet se ut hvis vi prøver å løse likningssystemet ovenfor grafisk?

c Vi har et likningssystem med to ukjente.

Hvordan kan vi, uten å løse likningssystemet, undersøke om likningssystemet har én løsning, ingen løsning eller uendelig mange løsninger?

Hvordan ser det grafiske bildet ut i hvert av de tre tilfellene?

4.16

Ta utgangspunkt i UTFORSK ovenfor når du løser denne oppgaven.

Vi har gitt to likningssystemer, A og B

xy xy 24 428

yx yx 24 369

Hvilket av likningssystemene har ingen løsning?

Hvilket har uendelig mange løsninger?

Begrunn svarene.

4.17 (Eksamen 1T høsten 2021)

⋅+= xy sxy 423 2

Hvilken verdi må s ha for at likningssystemet ikke skal ha løsning?

Løsningsformler for å løse lineære likningssystemer med to ukjente

Vi kan skrive lineære likningssystemer med to ukjente på formen

+= += axbyc dxeyf

Gabriel Cramer var en sveitsisk matematiker som levde på 1700-tallet.

Hvis et lineært likningssystem med to ukjente er skrevet på formen ovenfor, og hvis ae bd ikke er 0, viste han at løsningene er gitt ved

= x cebf aebd og = y afcd aebd

4.18

Vi har likningssystemet

−=

+= xy xy 35 11 23 1

a Løs likningssystemet med CAS.

b Løs likningssystemet med formlene til Cramer.

4.19

a Vis hvordan vi kommer fram til formlene til Cramer uten og med bruk av hjelpemidler.

b Hva skjer om aebd = 0?

4.20

Vurderingseksemplar

Lag et program som bruker formlene til Cramer. Bruk programmet til å løse likningssystemet

−=

+= xy xy 35 11 23 1

4.21

a Test programmet du lagde i oppgave 4.20 på likningssystemet

4 2 6 2 3 += +=

Forklar feilmeldingen du får.

b Gjør endringer i programmet du brukte i oppgave a slik at det gir en relevant tilbakemelding når vi legger inn tallene og kjører programmet. Tilbakemeldingen kan for eksempel være:

Vurderingseksemplar

RØDE OPPGAVER

4.22

Løs likningssystemet grafisk, uten og med hjelpemidler. a

xy xy 23 2

4.23 (Eksamen 1T våren 2018)

Løs likningssystemet += += xy xy 52 4 346

4.24

I noen engelskspråklige land måles temperatur i grader fahrenheit..

På nettet leser vi at 10 °C er det samme som 14 °F, og at 20 °C er det samme som 68 °F Lar vi C stå for temperaturen i celsiusgrader og F for temperaturen i fahrenheitgrader, er sammenhengen mellom dem på formen F = aC + b.

Bestem a og b

BLÅ OPPGAVER

4.25

Løs likningssystemet uten og med hjelpemidler. a

23823

xyxy

4.26

I en undersøkelse ble 1000 personer spurt om treningsaktivitetene sine.

Vurderingseksemplar

Tre av ti svarte at de deltok i organiserte treningsaktiviteter. 15 % av mennene og 40 % av kvinnene svarte at de deltok i organiserte aktiviteter. Hvor mange kvinner og hvor mange menn deltok i undersøkelsen?

4.27

Vi har gitt dette likningssystemet: += −= kxy xy 3 21

a For hvilke verdier av k har likningssystemet 1 én løsning 2 ingen løsninger

4.28 (Eksamen 1T våren 2018)

En sirkel S1 har omkrets 5π

b Hvorfor er det ikke mulig å finne en verdi for k som gir uendelig mange løsninger på likningssystemet?

En annen sirkel S2 har et areal som er fire ganger så stort som arealet av S1

Bestem radius i sirkelen S2

EKSEMPEL 6

Likningssystemer med flere enn to ukjente

Når vi skal løse likningssystemer med flere enn to ukjente, kan vi bruke de samme strategiene som vi brukte da vi løste likningssystemer med to ukjente.

Løs likningssystemet

Vi løser ❶ med hensyn på z

Vi ordner likningene og gir dem nummer ❹ og ❺ Vi setter inn for z i ❷ og ❸ , og får to likninger med to ukjente.

Vi multipliserer ❹ med –3 og gir den nummer ❻

+ ❺

Vi setter inn 2 for x i

Til slutt setter vi inn 2 for x og 3 for y i ❶: =−⋅+−+=−−+= z 22 (3)84381

Løsningen er =∧ =−∧=xyz 23 1

Altså er L 2, 3,1 {} =−()

Se på utregningene i eksempelet på forrige side og legg merke til:

med x og y som ukjente. x. y og z

Vi kunne holdt oss til én metode og brukt innsettingsmetoden til å finne x Vi kunne også løst oppgaven ved å bruke addisjonsmetoden i to omganger. Prøv selv!

4.29

Løs likningssystemet uten og med hjelpemidler.

EKSEMPEL 7

Om andregradsfunksjonen f gitt ved =++ fxaxbxc () 2 får vi vite: 1).

Bestem a, b og c

Se rad 2. Vi får vite at 3 er et nullpunkt.

Det gir oss likningen = ⋅+⋅ += ++= f abc abc (3)0 3 3 0 9 3 0 2

Se rad 3 og 4. Grafen har et bunnpunkt i (2 , 1).

Det gir oss to likninger. f abc abc (2)1 221 421 2 =− ⋅++=− ++=− b a2 2 =

Symmetrilinja går gjennom bunnpunktet.

Av rad 5 ser vi at a = 1, b = 4 og c = 3.

Husk gangetegn!

SNAKK

4.30

Om andregradsfunksjonen g(x) = ax2 + bx + c får vi vite: 1 er et nullpunkt.

g har et toppunkt i (1 , 8).

a Bruk metoden i eksempel 7 til å bestemme a, b og c

b Bruk det du kan om andregradsfunksjoner til å finne det andre nullpunktet til g

c Bruk blant annet svaret på oppgave b til å bestemme a, b og c

4.31

Om tredjegradsfunksjonen =+++ fxaxbxcxd () 32 får vi vite: 1 er nullpunkter. f

Bestem a, b, c og d

Vurderingseksemplar

Hvor mange punkter på grafen må vi minst kjenne for å kunne bestemme funksjonsuttrykket:

1 f(x) = ax2 + bx

2 g(x) = x4 + bx2 + c

RØDE OPPGAVER

4.32

Løs likningssystemet uten og med hjelpemidler.

Tenk gjennom hvilke strategier du vil bruke når du løser uten hjelpemidler

a +=zx28 b −=xz 1 c +−=xyz 1 −= yzx29 −+=− xy 1 ++=xyz29 =+xz 24 +=yz 2 +−=yz 70

4.33

Totalkostnaden for å produsere 50 enheter av en vare er 1800 kr. Ved produksjon av 200 enheter og 300 enheter er totalkostnaden henholdsvis 9300 kr og 17 300 kr. Finn en andregradsmodell for totalkostnaden.

4.34

Nanna, Carmine og Gustav var på fruktinnkjøp.

Nanna kjøpte 0,4 kg kiwi, 1,5 kg appelsiner og 1 kg epler. Hun betalte 71 kr for dette. Carmine kjøpte 0,8 kg kiwi, 1,5 kg appelsiner og 1,4 kg epler. Hun betalte 97 kr for dette. Gustav kjøpte 0,5 kg kiwi, 1 kg appelsiner og 0,6 kg epler. Dette betalte Gustav 55 kr for. Hva var prisen per kilogram på kiwi, appelsiner og epler?

BLÅ OPPGAVER

4.35

Løs likningssystemet uten og med hjelpemidler.

Vurderingseksemplar

4.36

Om funksjonen f gitt ved =++ fxaxbxc () 2 får vi vite at f(2) = 15, f(4) = 22 og f(6) = 31. Finn a, b og c.

4.37

Figuren til høyre viser grafen til tredjegradsfunksjonen f Bestem funksjonsuttrykket til f

EKSEMPEL 8

Ikke-lineære likningssystemer

Likningssystemet

består av en andregradslikning, ❶ og en lineær likning, ❷ Likningssystemet er derfor et eksempel på et ikke-lineært likningssystem.

Vurderingseksemplar

Løs likningssystemet grafisk.

Vi omformer likning ❶ og får y = x2 2

Likning ❶ gir altså en krum kurve, en parabel.

Likning ❷ gir en rett linje, y = x + 4.

De eneste punktene som passer i begge likningene, er skjæringspunktene mellom linja og parabelen. Antall løsninger er derfor bestemt av antall skjæringspunkter mellom parabelen og linja.

Det er to skjæringspunkter, og likningssystemet har derfor to løsninger.

Den ene løsningen er =−∧=xy22

Den andre løsningen er =∧ = xy37.

Dette kan vi skrive som to tallpar: ( 2 , 2) eller (3 , 7)

Altså er =−{} L (2,2),(3,7)

I eksempel 8 er det to skjæringspunkter mellom parabelen og linja. Da får vi to løsninger på likningssystemet, men hva om linja hadde gått lenger ned? Da kunne vi ha fått én av disse to situasjonene:

Ett skjæringspunkt mellom linja og parabelen.

Én løsning på likningssystemet.

4.38 Vi har gitt likningssystemet xy xys 2 2 +=− −=

For hvilke verdier av s vil likningssystemet ha

Vurderingseksemplar

Ingen skjæringspunkter mellom linja og parabelen.

Ingen løsninger på likningssystemet.

EKSEMPEL 9

Løs likningssystemet.

Vi setter inn for x i

: =− x 1 gir =−=−−=+=yx22 ( 1)213 x 2 gir =−=−=yx222 0

Likningssystemet har to løsninger.

Den ene løsningen er =−∧=xy13.

Den andre løsningen er =∧=xy20

Altså er =−{} L (1,3),(2,0)

Med CAS:

Vi multipliserer ❷ med x og gir den nummeret ❸ . Vi løser andregradslikningen.

Vurderingseksemplar

Merk!

For hver verdi av x får vi én verdi for y .

Husk gangetegn!

I eksempel 9 brukte vi addisjonsmetoden. Når vi skal løse ikke-lineære likningssystemer uten hjelpemidler, er addisjonsmetoden ofte den mest effektive.

4.39

Vis hvordan vi kan løse likningssystemet i eksempel 9 med innsettingsmetoden.

4.40

Løs likningssystemet uten og med hjelpemidler. a +=

UTFORSK

4.41

Vi har gitt likningssystemet

−+ = xyy xy 38 354 2

a Vis at −−=yy 20 2

b Løs likningssystemet.

4.42 (Eksamen 2P våren 2024, noe endret)

Sara og Ole jobber med å løse likningssystemer. For å løse likningssystemet

def f(x): return 4*x + 12

def g(x): return -2*x**2 + 2*x + 24

har Sara lagd programmet til høyre. x = -3 og y = 0 x = 2 og y = 20

for x in range(-5 , 5): if f(x) == g(x): print("x =", x , "og y =" , f(x))

a Forklar strategien Sara har brukt for å løse likningssystemet.

Ole arbeider med likningssystemet

+− = xy xxy 2 8 48 2

b Hvilke endringer må Ole gjøre i programmet til Sara for å finne løsningen på likningssystemet han arbeider med?

Vurderingseksemplar

Vi har gitt likningssystemet += += xy xyk 4 22 2

For hvilke verdier av k har likningssystemet

RØDE OPPGAVER

4.43

Løs likningssystemet uten og med hjelpemidler.

a += ⋅= xy xy 3 2 b = =+ xy xy 6 2 c += −= xy yx 2 411 22

4.44

For å finne lengden og bredden av et rektangel kan vi løse dette likningssystemet:

xy xy 48 22 32 ⋅= +=

a Hva står x, y, 48 og 32 for i dette likningssystemet?

b Løs likningssystemet.

BLÅ OPPGAVER

4.45

Løs likningssystemet uten og med hjelpemidler.

a += =+ xy yx 4 2 22

4.46 (Eksamen 1T våren 2016)

Løs likningssystemet xyx xy 23 1 22+=+ −+=

4.47

Vurderingseksemplar

Et rektangel har et areal på 60 m2. Lengden av diagonalen i rektangelet er 13 m.

a Finn lengden og bredden av rektangelet.

b Vis hvordan vi kan finne omkretsen av rektangelet uten først å finne lengden og bredden.

4.48 (Eksamen 1T høsten 2021)

Vis at likningssystemet ikke har løsning +−=− +=− xxy xy 21 2 2

UTFORSK

Lineære ulikheter

2x 1 < 2 + x er et eksempel på en lineærulikhet eller en førstegradsulikhet

Når vi løser ulikheten 2x 1 < 2 + x, skal vi finne de verdiene for x som gjør venstresiden mindre enn høyresiden.

Skriv av og fullfør tabellen.

Hva ser løsningen på ulikheten 2x 1 < 2 + x ut til å være?

Vi kan, på samme måte som når vi løser en likning, legge til eller trekke fra det samme tallet eller bokstavuttrykket på begge sider i en ulikhet.

Hvordan er det når vi multipliserer eller dividerer på begge sider i en ulikhet?

Vi ser på ulikheten 3 < 5.

Vurderingseksemplar

Først ser vi hva som skjer når vi multipliserer på begge sider med et positivt tall, for eksempel 4.

< ⋅<⋅ < 35 34 54 1220

Ulikheten stemmer fortsatt.

Så ser vi hva som skjer når vi multipliserer på begge sider med et negativt tall, for eksempel 4.

< < −<− 35 3(4)5(4) 1220

Den siste ulikheten stemmer ikke, for 12 er større enn 20, ikke mindre.

Vi må altså snu ulikhetstegnet når vi multipliserer med et negativt tall på begge sider av ulikhetstegnet.

< > −>− 35 3(4)5(4) 1220

Vi kan vise at det vi kom fram til ovenfor, gjelder generelt: Lar vi m være et positivt tall og antar at

a < b ❶

Da gjelder

ma < mb

Vurderingseksemplar

Hvis vi trekker fra både a og b på begge sider i ❶, får vi

b < a

Det er det samme som a > b

Nå kan vi multiplisere med m på begge sider og vi får

m( a) > m( b)

Dette er det samme som

( m)a > ( m)b

Vi ser at hvis vi multipliserer med et negativt tall ( m), så snus ulikheten.

samme bokstavuttrykket på begge sider i en ulikhet. positivt tall på begge sider i en ulikhet, skal ulikhetstegnet stå som før. negativt tall på begge sider i en ulikhet, må vi snu ulikhetstegnet.

EKSEMPEL 10

Løs ulikheten 2x 2 < 3x 5.

For hånd:

Løsningsmengden for ulikheten er =→ L 3,

Med CAS: Vi multipliserer med −1 på begge sider og snur ulikhetstegnet.

Altså er =→ L 3,

Grafisk løsning:

Vurderingseksemplar

(x) = 2x –

(x) = 3x – 5 (3 , 4)

Altså er =→ L 3,

Vi lar venstresiden i ulikheten være f(x) = 2x 2, og høyresiden være g(x) = 3x 5. Vi tegner grafen til f (blå) og grafen til g (rød), og finner skjæringspunktet mellom linjene. Vi ser at den blå linja ligger under den røde linja når x > 3.

For hånd:

Altså er ] =← L ,1

Med CAS:

Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren 6, og vi forkorter.

Vi multipliserer med −1 på begge sider, og vi må snu ulikhetstegnet.

Vurderingseksemplar

4.49 Løs ulikheten uten og med hjelpemidler.

RØDE OPPGAVER

4.50

Løs ulikheten uten og med hjelpemidler.

a −−<+ xxx 25(24)412 b −≥+ xx 425(5) c

4.51

Løs ulikheten grafisk.

4.52

Hos treningsstudioet Form koster medlemskapet 650 kr per måned. Da kan du trene så ofte du vil.

Uten medlemskap må du betale 95 kr hver gang du trener

La x være antall ganger du trener per måned.

Sett opp en ulikhet og bruk ulikheten til å regne ut hvor mange ganger per måned du må trene for at det skal lønne seg å bli medlem.

4.53

Temperaturen i en termosflaske er 81 °C.

Temperaturen synker med 1,5 °C per time.

Still opp ulikheter du kan bruke til å løse oppgave a og b nedenfor.

a Hvor lenge er temperaturen høyere enn 69 °C?

b Når er temperaturen lavere enn 63 °C?

c Løs ulikhetene i oppgave a og b.

BLÅ OPPGAVER

4.54

Løs ulikheten uten og med hjelpemidler. a −+≥−xx 2 3 (1)22 4 3 b −−+> xxx 3 4 (2) 1 8 1 2

Vurderingseksemplar

4.55

Helena brukte figuren til høyre til å løse en førstegradsulikhet.

Hun fikk x 4 som svar på ulikheten.

Hvilken ulikhet løste Helena?

4.56

Kjøper du et sesongkort til 350 kr på Badebussen, koster hver tur 25 kr.

Uten sesongkort koster hver tur 40 kr

a Hva kan løsningen på ulikheten +<xx 350 2540 fortelle oss?

b Løs ulikheten og tolk svaret.

Polynomulikheter

Fortegnslinjer

Vurderingseksemplar

På figuren ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f(x) = x + 2. I mange sammenhenger er vi ikke opptatt av hva funksjonsverdien er for ulike verdier av x, bare om den er positiv, negativ eller null. Det viser vi ved å tegne en fortegnslinje.

Vi ser at x + 2 = 0 når x = 2

x + 2 < 0 når x < 2

x + 2 > 0 når x > 2

Vi tegner en tallinje og markerer nullpunktet til x + 2. Deretter lager vi en fortegnslinje for uttrykket x + 2: –5–4–3–2–1

+ 2

Her er x + 2 negativt

Her er x + 2 positivt

Legg merke til at vi markerer med stiplet linje der uttrykket x + 2 er negativt, og med heltrukken linje der x + 2 er positivt.

EKSEMPEL 12

Tegn fortegnslinja for uttrykket 12 3x.

−= = x x 12 30 4

Siden 12 3x er null bare for x = 4, har uttrykket 12 3x samme fortegn for alle x-verdier mindre enn 4 og samme fortegn for alle x-verdier større enn 4.

Vi velger en x-verdi som er større enn 4. Vi velger x = 6.

For x = 6 får vi 12 3 6 = 12 18 = 6 < 0, altså negativt fortegn.

Da er 12 3x negativt for alle x-verdier som er større enn 4.

Så velger vi en x-verdi som er mindre enn 4. Vi velger x = 0.

For x = 0 får vi 12 3 0 = 12 0 = 12 > 0, altså positivt fortegn.

Da er 12 3x positivt for alle x-verdier som er mindre enn 4. 4 12 – 3x 0 x

4.57

Det er vanlig å merke av bare de tallene vi får bruk for på tallinja.

Tegn fortegnslinja for uttrykkene. a x + 3 b 2x 4 c x d 8 e x2

4.58

Finn et uttrykk som passer til fortegnslinjene.

Vurderingseksemplar

4.59

a I eksempel 12 fant vi at uttrykket 12 3x er lik null for x = 4.

Forklar hvordan vi kan bruke det vi vet om grafen til den lineære funksjonen f(x) = 12 3x til å tegne fortegnslinja for uttrykket 12 3x.

b Funksjonen g er gitt ved g(x) = 2x + 5.

Finn nullpunktet til g, og bruk blant annet det til å tegne fortegnslinja for uttrykket 2x + 5.

eller ⇔ er symbolet for ekvivalens, og vi kan lese det som «hvis og bare hvis».

Faktoriseringsmetoden

Hvis en ulikhet er på formen p(x) ≤ 0 eller p(x) ≥ 0, er løsningsmengden bestemt av nullpunktene til p og fortegnet til p(x) for ulike verdier av x. Vi kan derfor bruke fortegnslinja til p(x) til å finne løsningsmengden til ulikheten.

Ulikheten x2 x ≤ 2 er eksempel på en andregradsulikhet som ikke er skrevet på ønsket form. Ved å trekke fra 2 på begge sider av ulikhetstegnet får vi x2 x 2 ≤ 0, som er skrevet på formen p(x) ≤ 0. Denne ulikheten må ha den samme løsningsmengden som ulikheten vi startet med. En løsning av den ene ulikheten er en løsning av den andre, og motsatt. Vi sier at de to ulikhetene er ekvivalente, og vi kan skrive det slik:

x – 2

(x 2)(x + 1) ≤ 0

Vi faktoriserer venstre side av ulikheten.

Vi lager nå et fortegnsskjema, der vi bruker fortegnslinjene for hver faktor til å lage fortegnslinja for (x 2)(x + 1).

x 2 –1

x + 1 0 0

00 (x – 2)(x + 1)

Vurderingseksemplar

x < 1, er (x 2) et negativt tall og (x + 1) et negativt tall.

Derfor er (x 2)(x + 1) positivt.

1 < x < 2, er (x 2) et negativt tall og (x + 1) et positivt tall.

får vi et negativt svar. Derfor er (x 2)(x + 1) negativt.

x > 2, er både (x 2) et positivt tall og (x + 1) et positivt tall. Derfor er (x 2)(x + 1) positivt.

Fortegnslinja viser at løsningsmengden til ulikheten (x − 2)(x + 1) ≤ 0, og dermed også x2 − x ≤ 2, er alle reelle tall fra og med 1 til og med 2. Det skriver vi slik: L = [ 1, 2]

Hvis vi har samme uttrykk som ovenfor, men med ulikhetstegnet andre veien, (x 2)(x + 1) ≥ 0, vil vi få samme faktorisering og samme fortegnsskjema. Men da skal vi finne de x-verdiene der uttrykket er positivt eller 0. Det er når x ≤ 1 eller x ≥ 2. Det skriver vi slik:

] =←−∪→ ⎡ ⎣ , L ,12 , der symbolet betyr union.

Vi bruker (union) for å kombinere de to intervallene til én mengde.

] ←−∪→ ⎡ ⎣ , ,12 betyr altså alle tallene som er element i det ene eller i det andre intervallet.

EKSEMPEL 13

Vi skriver vanligvis ikke ⇔ mellom de ekvivalente ulikhetene i løsningen.

Løs ulikheten +<− xx 223 2 .

Vi må først ordne ulikheten. Det må stå null på den ene siden av ulikhetstegnet.

−+ + < xx xx 223 2320 2 2

Vi løser likningen −++= xx23 20 2 med abc-formelen. Det gir =−

Så faktoriserer vi med nullpunktmetoden.

Vi tegner fortegnsskjema.

Da er også xx23 20 2 −++< når x 1 2 <− og når x 2

Vurderingseksemplar

Løsningsmengden for ulikheten xx23 20 2 −++< er derfor L , 1 2 2, =←−∪→

Ulikheten xx 223 2 −+<− som vi startet med, er ekvivalent med xx23 20 2 −++< , og den har derfor den samme løsningsmengden.

Altså er L , 1 2 2, =←−∪→

Med CAS:

Legg merke til hvordan CAS gir svaret.

SNAKK

Andregradsfunksjonen f gitt ved =−++fxxx () 2 2 har nullpunktene 1 og 2.

Hvordan kan vi bruke det, sammen med det vi vet om grafen til f, til å løse ulikheten −++< xx 20 2 uten å tegne fortegnsskjema for ulikheten?

4.60

Løs ulikheten uten og med hjelpemidler. a +−>xx 20 2 b +≤xx62 0 2 c −>xx34 2 d ≥+xx 4 2

4.61

Vi har gitt ulikheten −+−> xx22 0 2

a Undersøk om likningen −+−= xx22 0 2 har noen løsning.

Vurderingseksemplar

b Hva kan vi si om fortegnslinja til uttrykket −+− xx22 2 ut fra svaret vi fikk i oppgave a?

c Hva er løsningsmengden for ulikheten +−>xx220 2 ?

4.62

Funksjonen f er gitt ved =+−fxxx () 310 2

a Bestem nullpunktene til f

b Bruk svaret på oppgave a og det du vet om grafen til f, til å løse ulikheten f(x) ≤ 0.

c Illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

4.63 (Eksamen 1T høsten 2019)

Løs ulikheten

2(x + 2)(x 4) > 0

4.64 (Eksamen 1T våren 2019)

Løs ulikheten xx23 0 2 −−+>

UTFORSK

I eksempel 13 løste vi ulikheten med faktoriseringsmetoden. Vi kan også løse ulikheter med det som vi kaller testmetoden. Det skal du gjøre i UTFORSK nedenfor.

Følg denne algoritmen for å løse ulikheten 2x2 + 6x 8 > 0 med testmetoden:

1 Løs likningen +−=xx26 80 2

Nå har du funnet nullpunktene for uttrykket. Marker dem på en fortegnslinje.

2 Likningen har to nullpunkter. Da velger vi tre testverdier, én mindre enn det minste nullpunktet, én mellom nullpunktene og én større enn det største nullpunktet.

3 Undersøk om uttrykket +−xx26 8 2 er større enn eller mindre enn null for hver av disse tre testverdiene. Marker dette på fortegnslinja.

4 Bruk fortegnslinja til å skrive opp løsningsmengden for ulikheten.

Hva er forskjellen på faktoriseringsmetoden og testmetoden?

4.65

Løs ulikheten med testmetoden.

a +−>xx 20 2

b +≤xx62 0 2

c −>xx34 2

d ≥+xx 4 2

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 14

Løs ulikheten x3 + 2x2 x 2 > 0.

Vi prøver oss fram og finner at 1, 1 og 2 er nullpunktene til uttrykket på venstresiden. Det kan vi bruke til å skrive venstresiden på faktorisert form.

(x 1)(x + 1)(x + 2) > 0

Så tegner vi fortegnsskjema.

Vurderingseksemplar

Løsningsmengden for ulikheten x3 + 2x2 x 2 > 0 er =−−∪→ L 2,11, 4.66

Løs ulikheten.

a x3 x ≥ 0

b x3 + 2x2 5x 6 < 0

c x3 5x2 + 8x 4 ≤ 0

d 5x3 + 21x2 21x 5 > 0

RØDE OPPGAVER

4.67

Finn to forskjellige uttrykk som passer til fortegnslinja nedenfor. 2 0 x

4.68

På figuren til høyre ser du grafene til tre funksjoner f, g og h.

f(x) = x2 + 4x +1

g(x) = x + 1

h(x) = x + 5

Bruk en eller flere av funksjonene til å lage en ulikhet som bare har positive løsninger. Bruk figuren til å løse ulikheten.

4.69

Løs ulikhetene uten hjelpemidler. Kontroller svarene med CAS.

a +−<xx (2)(4)0 b −+≥xxx(1)(2)0 c −+<− xx 2 2 d −−≤xx 60 2

BLÅ OPPGAVER

4.70

Finn et uttrykk som passer til fortegnslinja nedenfor.

Vurderingseksemplar

00 x 2 –4

4.71

Funksjonen g er gitt ved g(x) = x4 1.

a Finn nullpunktene til g. b Bruk blant annet svaret på oppgave a til å tegne fortegnslinje for uttrykket x4 1.

4.72

Løs ulikheten.

a +>−xx43 2 b (x 1)(x + 4) < (x 1) c +−<+xxx 2( 2)(3)2

UTFORSK

Rasjonale likninger og ulikheter

Ekvivalens ved løsning av likninger

Tre elever jobber med likningen (x 1)(x + 3) = 5(x 1).

Elevene har hver sin løsningsstrategi:

Vurderingseksemplar

Samuel ganger ut parentesene, ordner likningen og bruker abc-formelen.

Julia dividerer med x 1 på begge sider i likningen og løser så likningen x + 3 = 5.

Ingvild ordner likningen slik at hun får null på høyresiden.

Det gir likningen (x 1)(x + 3) 5(x 1) = 0.

Hun faktoriserer så ut (x 1) og løser med produktregelen.

Hvem finner riktig svar på likningen?

Begrunn hvorfor løsningsstrategiene fungerer eller ikke fungerer.

Likningene += x 32 11 og x 39 har samme løsning. Likningene er ekvivalente.

+= = x x 32 11 39

På samme måte som for ulikheter skriver vi vanligvis ikke ekvivalenstegn mellom trinnene når vi løser likninger, men for noen typer likninger må vi tenke gjennom om overgangene er ekvivalente.

To ekvivalente likninger har den samme løsningsmengden.

likhetstegnet

faktor som ikke er null

EKSEMPEL 15

Løs likningen (x 2)(x + 5) = 3(x 2).

På begge sider av likningen har vi faktoren (x 2). Vi kan likevel ikke uten videre dele med (x 2), siden vi da risikerer å dele med null. Dette håndterer vi ved å sjekke om 2 er en løsning på likningen. Vi setter 2 inn for x og får

−⋅+=− = (2 2)(25)3(22) 00

som viser at 2 er en løsning.

Videre forutsetter vi at x 2. Med denne forutsetningen kan vi dele med (x 2) på begge sider. Da får vi += =− x x 53 2

Altså er =−{} L 2,2

Løser vi likningen med ekvivalente overganger, får vi

xxx xx xx (2)(5)3(2) (2)(5)3(2)0 (2)(53)0 (2)(2)0 xx22 =∨=− =± x 2

Vurderingseksemplar

Altså er =−{} L 2,2 4.73

Løs likningen.

a (x + 4)(2x 3) = (x + 4)(x + 2) b xxxx 4 12 2 ()−=

Rasjonale likninger

Et rasjonalt uttrykk er et uttrykk som kan skrives på formen px qx () () for to polynomer p og q der qx() 0 .

En rasjonal likning er en likning der den ukjente forekommer i nevneren.

Likningene

4 er eksempler på rasjonale likninger.

Når den ukjente forekommer i nevneren til minst én av brøkene i likningen, kan nevneren være null for én eller flere verdier av den ukjente. Når vi ganger likningen med fellesnevneren, risikerer vi å få «falske» løsninger fordi det ikke er ekvivalens mellom overgangene.

For å sikre at vi kan sette ekvivalens, forutsetter vi først hvilke løsninger likningen ikke kan ha.

EKSEMPEL 16

Vi faktoriserer nevnerne og ser at fellesnevneren er 2 x ( x 3).

Vi forutsetter x 0 og x 3 .

Vi ganger med fellesnevneren på begge sider i likningen.

Vi ser at vi får en andregradslikning, som vi løser med abc -formelen.

Vi forutsatte x 3 og forkaster derfor 3 som løsning. Altså er L = {4}

4.74 Løs likningen.

EKSEMPEL 17

Rasjonale ulikheter

En rasjonal ulikhet er en ulikhet med et rasjonalt uttrykk.

+ ≤ x x 4 1 0 , x 2 2 og + > x x 1 4 0 2 er eksempler på rasjonale ulikheter.

Vi skal løse ulikheten + ≤ x x 4 1 0

Da må vi huske på at hvis vi multipliserer begge sider av ulikheten med noe som er negativt, må vi snu ulikhetstegnet.

Dersom vi starter med å multiplisere med 1 x, multipliserer vi med noe som kan være både positivt og negativt, avhengig av verdien på x. Vi vet altså ikke hvilken vei ulikhetstegnet skal stå etter multiplikasjonen.

Ulikhetene x + 4 ≤ 0 og + ≤ x x 4 1 0 er ikke ekvivalente, og har derfor ikke samme løsningsmengde.

av ulikhetstegnet og null på den andre siden

Løs ulikheten + ≤ x x 4 1 0

I ulikheten blir en brøk sammenliknet med null.

Derfor kan vi løse ulikheten ved å tegne fortegnsskjema for brøken.

En brøk er negativ når telleren og nevneren har motsatte fortegn.

Brøken er positiv når telleren og nevneren har samme fortegn.

Vurderingseksemplar

En brøk er null når telleren er null.

Brøken er ikke definert for x 1, for da blir nevneren null. Det har vi markert ved å sette på fortegnslinja for brøken.

Av fortegnslinja for brøken ser vi at + ≤ x x 4 1 0 når ≤− x 4 og når x 1

Altså er ] =←−∪→ L ,41,

Med CAS:

Altså er ] =←−∪→ L ,41,

4.75

Se på eksempel 17.

a Hvorfor er ikke ] =←−∪→ ⎡ ⎣ L ,41, ?

b Hva er løsningen på ulikheten + ≥ x x 4 1 0?

c Hva er løsningen på ulikheten + < x x 4 1 0?

4.76

Løs ulikheten. Kontroller med CAS.

a + ≥ x x 4 42 0 b + < x 2 3 0

c + < x x 13 32 0 d ≥ x 4 3 0

4.77 Løs ulikheten.

a + ≥ x x 2 23 0 b + < x x 23 25 0

merke til hvordan CAS gir svaret.

Vurderingseksemplar

c > x x 4 1 0 d ≤ x x 23 2 0

Legg

EKSEMPEL

Vi tegner fortegnsskjema.

Vi ordner ulikheten for å få null på høyresiden.

Vi gjør om –1 til en brøk med ( x + 1) som nevner. x 1 –1 3 – 3x x + 1 0 0 0 3 – 3x x + 1 ×

Altså er ] =− L 1,1

Merk!

I eksempelet ovenfor har ulikheten + ≥ x x 33 1 0 den samme løsningsmengden

som ulikheten vi startet med, ulikheten + ≥ x x 42 1 1. Det er fordi vi hele tiden har gjort ekvivalente overganger fra linje til linje.

Vurderingseksemplar

4.78

Løs ulikheten uten og med hjelpemidler

RØDE OPPGAVER

4.79

Løs likningen eller ulikheten.

4.80

Løs ulikheten uten og med hjelpemidler.

BLÅ OPPGAVER

4.81

Løs likningen eller ulikheten.

4.82

Løs likningen eller ulikheten uten og med hjelpemidler.

4.83

Et rasjonalt uttrykk Q(x) har denne fortegnslinja: Finn et mulig uttrykk for Q når =− Q (0)6

4.84

Bestem k slik at ulikheten + ≤ xk x 3 1 2 får løsningsmengden =− ⎡ ⎣ L 4,1

4.85

Polynomet P er gitt ved =−−+Pxxxx () 32256

a Vis at divisjonen P(x) : (x 1) går opp.

b Løs ulikheten P(x) > (x + 2)(x 1).

4.86

a Vis at x 1 er en faktor i polynomet +−−xxx99 32 .

b Løs ulikheten +− + ≥+ xxx x x 23 3 3 32

BLANDEDE OPPGAVER

4.87 (Eksamen 1T våren 2015)

Løs likningssystemet

+= += xy xy 61 24 6

4.88

På en festival ble det solgt 8400 festivalpass for til sammen 2 691 180 kr.

Festivalpasset for voksne kostet 350 kr, for bar n kostet passet 240 kr.

Hvor mange barn og hvor mange voksne var det på festivalen?

4.89

Familien Olsen og familien Bye besøker Sommerparken.

Familien Olsen betaler 740 kr for to voksne og to barn.

Familien Bye er medlemmer av idrettslaget og får derfor 20 % rabatt.

Familien Bye betaler 1440 kr for fire voksne og seks barn.

Hvor mye koster en barnebillett, og hvor mye koster en voksenbillett?

4.90

Drikken SommerSol er en blanding av eplesaft til 20 kr per liter og konsentrert juice til 40 kr per liter.

SommerSol selges i litersflasker, og én flaske koster 26 kr

Vi skal finne ut hvor mye eplesaft og hvor mye konsentrert juice det er i én liter SommerSol.

a Forklar at opplysningene i teksten kan gi oss likningssystemet:

+= += xy xy 1 20 40 26

Vurderingseksemplar

b Løs likningssystemet i oppgave a, og finn ut hvor mye eplesaft og hvor mye konsentrert juice det er i én liter SommerSol.

4.91

Figuren til høyre viser grafen til tredjegradsfunksjonen f.

Bruk figuren til å svare på oppgavene.

a Bestem funksjonsuttrykket til f.

b Løs ulikheten f(x) < 0.

4.92

Gitt likningssystemet

−= xky xky 28 26

der k er en konstant.

a Vis at x = 2.

b Bestem k når y 1 8

4.93

Løs likningssystemet både med og uten hjelpemidler.

a ++=−

2 239 25 b

233 22 424

4.94

I en rettvinklet trekant er den korteste siden 18. Differansen mellom de to andre sidene er 6. Hvor lang er den lengste siden i denne trekanten?

4.95

Vi har gitt likningssystemet

= yx yxxa 239 2 2

a Sett a = 4 og løs likningssystemet grafisk.

b Hva må a være for at =−∧=xy 2 3 2 skal være en løsning på likningssystemet?

Vurderingseksemplar

Hva blir da den andre løsningen?

c For hvilke verdier av a har likningssystemet 1 én løsning 2 to løsninger

4.96

Når en bil kjører med farten v km/h, er stopplengden s målt i meter tilnærmet gitt ved =⋅+⋅ savbv . 2

På tørt sommerføre er stopplengden 26 meter når farten er 50 km/h, og 64 meter når farten er 94 km/h. Finn a og b.

4.97

På figuren ser du grafen til en tredjegradsfunksjon f.

Bruk figuren til å løse ulikhetene

a fx() 0

b fx()0

4.98

Skriv av tabellen og fyll inn det som mangler i de tomme rutene.

4.99

Gitt likningssystemet += +− = xy xxyy 2 2 22

a Vis at −+=xx62 0 2 b Løs likningssystemet.

4.100

a Tegn grafen til funksjonen f gitt ved fxxx () 21 2 =−+ .

b Bruk grafen i oppgave a til å løse ulikhetene

1 −+−≤ xx21 0 2

2 −+−< xx21 0 2

3 −+−> xx21 0 2

4 −+−≥ xx21 0 2

4.101

Hvilke verdier for x gjør begge ulikhetene sanne samtidig?

a −<−xx 2( 3)3 og ≤+−xx 3(1)23(1)

b −≥+xx 2(46)44 og −≤+ ⎛

xx342 1 2

4.102 (Eksamen 1T våren 2015)

Løs ulikheten

−−>xx3100 2

4.103

Et andregradsuttrykk f(x) er positivt for x < 2 og for x > 3. Funksjonen f har nullpunktene 2 og 3.

a Tegn fortegnslinja for f

b Finn et uttrykk som passer med fortegnslinja.

4.104 (Eksamen 1T våren 2016)

Løs ulikheten

+>xx23 2 2

4.105

Vurderingseksemplar

På figuren har vi tegnet grafen til funksjonene f og g

Bruk figuren til å løse ulikheten.

a fx() 0

b fx()6

c fxgx () ()

På figuren ovenfor ser vi grafen til funksjonen f gitt ved

f(x) = x2 2x 3

Pernille skal løse oppgaven x2 2x > 3

Vis hvordan Pernille kan løse oppgaven ved å bruke figuren.

4.107 (Eksamen 1T våren 2024)

Figuren viser grafen til en funksjon f

Vurderingseksemplar

(–3 , 0) (0 , 24)

a Bestem f(x).

b Løs ulikheten f(x) > 12.

På figuren ovenfor ser du grafen til en andregradsfunksjon f og en lineær funksjon g

f(x) = x2 + 7x 6

Bruk figuren til å sette opp en ulikhet som har løsningen 2 < x < 4.

Husk å begrunne svaret.

4.109

Du får vite at likningen −+=xx23 0 2 ikke har noen løsning.

Bruk blant annet dette til å løse ulikheten −+<xx23 0 2

4.110 (Eksamen 1T våren 2018)

Løs ulikheten

−−≥xx28 0 2

Vurderingseksemplar

4.111 (Eksamen 1T våren 2022)

a Løs likningen (x 2)(x + 1) = 0.

b Sett opp en ulikhet som har løsning ∈←−∪→ x ,12, Husk å grunngi svaret.

4.112 (Eksamen 1T høsten 2024)

Funksjonen f er gitt ved

=++−fxxxx () 327412

Løs ulikheten f(x) < 0 og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

4.113

Sett opp en ulikhet som har løsningen x ,21, ∈←−∪→ .

4.114

Løs ulikhetene uten og med hjelpemidler.

a −+≤−xxx 3( 1)(3)1 b ≥ x x 4 3 0 2

4.115

(–4 , 7) (–2 , 0) (0 , –3) (6 , 12) (3 , 0)

På figuren ser du grafene til funksjonene f og g

Bruk figuren til å løse ulikheten.

a fx() 0

b fxgx () ()

c fxgx () ()

4.116

−≤xx (4 )0

Vurderingseksemplar

a Tegn et koordinatsystem og marker området der de tre ulikhetene gjelder samtidig.

yxy2,7≥+ ≤ og ≤+ yx 3

b Regn ut arealet av det markerte området.

4.117

I likningen nedenfor er a en konstant: = x xa x 5 22

Bestem a slik at likningen får løsningsmengden

a L = {3} b =∅ L

4.118

Likningen += xx 2 er et eksempel på en irrasjonal likning.

Når vi skal løse en irrasjonal likning, kan vi følge denne algoritmen:

❶ Kvadrer begge sider.

❷ Løs andregradslikningen.

❸ Undersøk om løsningene på andregradslikningen passer i den opprinnelige likningen.

❹ Skriv opp løsningsmengden.

a Bruk algoritmen til å løse likningen += xx 2

b To ekvivalente likninger har den samme løsningsmengden. Se på løsningen din. Hvor mister du ekvivalensen?

4.119

Bruk algoritmen i oppgave 4.118 til å løse likningen.

a −= x 94 2

b +=+ xx 64

4.120

Løs likningen.

4.121

Løs likningen.

4.122

Løs ulikheten.

Vurderingseksemplar

4.123

Løs ulikheten.

+ ≥ x x 1 1

4.124

Løs ulikheten.

SAMMENDRAG

Grafisk løsning av likningssystem –4 –5 –3–2–11234 –3 –2 –1 1 2 y x

Løsning: x 1 og =− y 2 =−{} L (1,2)

Innsettingsmetoden

Vi løser én av likningene med hensyn på én av de ukjente og setter inn i den andre likningen. Vi får da en likning som bare inneholder én av de ukjente.

Addisjonsmetoden

Vi multipliserer likningene med hvert sitt tall slik at den ene ukjente faller bort når vi legger sammen eller trekker fra hverandre likningene. Vi får da en likning som bare inneholder én av de ukjente.

Grafisk løsning av ulikheter ab y g f x

fxgx () ()

Lineære ulikheter (førstegradsulikheter)

<−< <> xx xx 624624 44

Vi bruker de samme regnereglene som for likninger, med dette unntaket: Vi må snu ulikhetstegnet når vi multipliserer eller dividerer med et negativt tall.

Polynomulikheter

Vurderingseksemplar

ulikhetstegnet. x-linje.

testmetoden til å finne fortegnet på hver side av nullpunktene.

løsningsmengden.

Rasjonale likninger

Rasjonale likninger inneholder brøkuttrykk der den ukjente er i nevneren.

Vi kan multiplisere med fellesnevneren under forutsetning av at den ukjente ikke kan ha en verdi slik at fellesnevneren er null.

Rasjonale ulikheter

ulikhetstegnet. faktoriser.

løsningsmengden.

Ulikheten stemmer når grafen til f ligger over grafen til g. Lab , fxgx () ()

Ulikheten stemmer når grafen til f ligger under grafen til g =←∪→Lab,,

KAPITTELTEST

Oppgave 1

Løs likningen eller ulikheten.

a −−>+xxx 32(1)43

b −= x xxxx 2 34 2 2

c −+≥+ xxx ( 3)(2)2(2)

d + ≥ x x 21 4 1

Oppgave 2

Løs likningssystemet både med og uten hjelpemidler

+= −= xy xy 23 10 327

Oppgave 3

Løs likningssystemet.

+= += xy xyy 24 310 2

Oppgave 4

Figuren viser fortegnslinja for uttrykket Ux()

U(x) –5

0 x 1

Hva er løsningsmengden til ulikheten Ux() 0?

Oppgave 5

Oppgave 6

For hvilke verdier av k har ulikheten

++≤xkx 90 2

a én løsning

b ingen løsning

Oppgave 7

Finn de eksakte løsningene på likningssystemet. += += yxy xy 244 234 2 22

Oppgave 8

Løs ulikheten grafisk.

xxx 1 2 34 3 2 8 2

Oppgave 9

Vurderingseksemplar

Kari og Lars er til sammen 28 år.

Kari er dobbelt så gammel som Lars var for fire år siden.

Hvor gamle er Kari og Lars?

To voksne og tre barn betaler til sammen 590 kr for billetter til skolerevyen.

En voksenbillett koster sytti kroner mer enn en barnebillett.

Hvor mye koster en voksenbillett, og hvor mye koster en barnebillett?

Oppgave 10

a Lag en andregradsulikhet som har løsningsmengden =− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ L 3, 1 2

b Bestem k slik at likningssystemet har nøyaktig én løsning.

+= += xy xyk 25 22

Mer om funksjoner 5 Vurderingseksemplar

5A Vekstfart 258

5B Den deriverte 268

5C Rasjonale funksjoner 286

5D Potensfunksjoner 296

5E Eksponentialfunksjoner 302

5F Valg av modell 313

Vurderingseksemplar

I 1985 oppdaget tre forskere et dramatisk fall i ozonmengden over Antarktis. Hvorfor ble ikke dette oppdaget av satellitten Nimbus 7, som hadde avansert utstyr for ozonmålinger?

Ved nærmere undersøkelser viste det seg at satellitten helt siden 1976 hadde registrert lave ozonforekomster.

De hadde imidlertid blitt behandlet som ekstreme verdier, og automatisk blitt forkastet av dataprogrammet.

Denne feilen forsinket tiltak mot ozonnedbrytende stoffer med nesten et tiår.

I dette kapittelet skal du lære mer om funksjoner og modeller.

Når vi lager matematiske modeller, kan det noen ganger være klokt å forkaste ekstreme verdier, men vi må ikke gjøre det ukritisk!

SNAKK

Vekstfart

To gjenstander A og B beveger seg langs en rett strekning.

Tilbakelagt strekning til gjenstand A er a(t) meter etter t sekunder.

Tilbakelagt strekning til gjenstand B er b(t) meter etter t sekunder.

Figuren viser grafene til funksjonene a og b

Gjenstand B beveger seg med konstant fart, 12 m på 4,0 sekunder.

Hva er farten til gjenstand B?

Gjenstand A har ikke konstant fart.

Hva er gjennomsnittsfarten til gjenstand A i løpet av de tre første sekundene?

Vurderingseksemplar

Vekstfarten til en funksjon sier noe om hvordan funksjonsverdiene endrer seg når x øker.

For lineære funksjoner er vekstfarten det samme som stigningstallet. Den viser hvor mye funksjonsverdien øker eller avtar når x-verdien øker med én

Hva om vi ikke har en lineær funksjon, men for eksempel en andregradsfunksjon? Hvordan kan vi da beskrive vekstfarten til funksjonen?

Spørsmålet har ikke noe klart svar, fordi vekstfarten nå vil avhenge av hvor på grafen vi befinner oss. Men vi kan spørre om hva vekstfarten er i gjennomsnitt i et intervall, altså fra en x-verdi til en annen.

I praktiske oppgaver er enheten for vekstfarten den samme som enheten for f(x) dividert med enheten for x.

Gjennomsnittlig vekstfart

Vi skal se mer på funksjonene a og b i SNAKK ovenfor. På grafen til a kan vi for eksempel lese av punktene (0 , 0) og (3 , 9).

Når t endrer seg fra 0 til 3, endrer funksjonsverdien seg fra 0 til 9.

Den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen i intervallet [0 , 3] er derfor

== 90 30 9 3 3

Den praktiske tolkningen av dette er at gjenstand A har gjennomsnittsfarten 3 m/s i tidsrommet fra t = 0 til t = 3. Dette er det samme som den konstante farten som gjenstand B har i det samme tidsrommet.

Vi tar nå for oss en vilkårlig funksjon f

Vurderingseksemplar

(x2) f (x1)

På grafen til f har vi markert punktene () xfx11,() og () xfx22,()

Når x-verdien endrer seg fra x1 til x2, endrer funksjonsverdiene seg fra fx() 1 til fx() 2

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [] xx , 12 er derfor

fxfx xx ()() 21 21

Dette er det samme som stigningstallet til den rette linja gjennom punktene () xfx11,() og () xfx22,()

Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet xx , 12 [ [] ] er

f ( x ) x = f ( x 2 ) f ( x1) x 2 x1

EKSEMPEL 1

En full vanntank rommer 60 liter. Vi åpner en kran i bunnen av tanken og lar vannet renne til tanken er tom. I de 20 minuttene det varer, er vannvolumet V i liter gitt ved =−+Vxxx () 0,15660 2

der x er tiden målt i minutter etter at kranen ble åpnet.

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 4] Hva forteller svaret?

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 4] er 5,1.

Det betyr at vi tapper ut i gjennomsnitt 5,1 liter vann hvert minutt (liter/minutt) i perioden fra det har gått 2 til det har gått 4 minutter, altså i det tredje og det fjerde minuttet krana er åpen.

Med graftegner:

Vi tegner grafen og legger inn punktene () V 2,(2) og () V 4,(4) Så tegner vi linja gjennom punktene med Linje.

Vurderingseksemplar

Vi ser at stigningstallet til linja er 5,1. Altså tappes det ut 5,1 liter hvert minutt.

5.1

Se eksempel 1.

a Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til V i intervallene nedenfor.

Gi en praktisk tolkning av svarene.

1 [0 , 2] 2 [16 , 18] 3 [0 , 20]

b Hva forteller svarene i eksempelet og i oppgave a om grafen til V?

5.2

En dag var temperaturen tilnærmet gitt ved

Her er T(x) temperaturen i grader celsius x timer etter kl. 8 om morgenen.

a Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 5]

Hva forteller svaret?

b Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 8]

Hva forteller svaret?

Vurderingseksemplar

c Forklar hvorfor den gjennomsnittlige vekstfarten ble større i oppgave b enn i oppgave a.

5.3 (Eksamen 1T våren 2024)

Ada har lagd programmet nedenfor.

def f(x): return

- 3*x + 7 a = 0 b = 5 v = (f(b) - f(a))/(b - a) print(v)

Hvilken verdi skrives ut når Ada kjører programmet, og hva forteller denne verdien?

5.4

Vi lar en kopp med kaffe stå til avkjøling i et rom der temperaturen er 20 °C. Grafen til funksjonen f viser temperaturen i kaffekoppen t minutter etter at vi satte den til avkjøling.

(t) (grader celsius)

a Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [0 , 3] og i intervallet [8 , 11] Hva forteller svarene?

b Vi sammenlikner de to intervallene i oppgave a. Gir det mening at vi sier at temperaturen synker raskest i intervallet [0 , 3], og samtidig sier at den gjennomsnittlige vekstfarten til funksjonen er størst i intervallet [8 , 11]?

5.5 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021) y

Vurderingseksemplar

Timer etter midnatt (14 , 7,3) (4 , 4,7)

x 12 16 20 24 84

Grafen ovenfor viser temperaturen ved Lindesnes fyr x timer etter midnatt et døgn i januar.

a Vis hvordan du kan regne ut stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene (4 , 4,7) og (14 , 7,3).

b Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

Momentan vekstfart

I mange sammenhenger er vi interessert i å finne vekstfarten til en funksjon for én bestemt x-verdi.

På figuren har vi tegnet inn punktet xfx ,( 11) () og en linje som akkurat berører grafen i dette punktet. Denne linja kaller vi tangenten til grafen i xfx ,( 11) () x

f(x)

Vurderingseksemplar

(x1 , f (x1))

Hvis vi zoomer inn på punktet () xfx11,() , er grafen og tangenten så godt som sammenfallende i dette punktet. Vekstfarten når x = x1 er altså stigningstallet til tangenten i punktet () xfx11,() . Denne vekstfarten kaller vi momentanvekstfart

Den momentane vekstfarten til en funksjon f når x = x1, er stigningstallet til tangenten til grafen i punktet xfx11,() ( () )

Å tegne en tangent uten digitale verktøy er ikke så lett. Vi kan bruke en linjal, men det er vanskelig å se nøyaktig hvordan vi skal legge den.

Med GeoGebra bruker vi kommandoen Tangent(). x f(x)

EKSEMPEL 2

En dag var temperaturen tilnærmet gitt ved

TxxxD ()0,240,174,1,0,8 T 2 [] =++=

Her er T(x) temperaturen i celsiusgrader x timer etter kl. 8 om morgenen.

Finn den momentane vekstfarten når x = 3.

Hva forteller svaret?

Vi tegner grafen til T og en tangent i det aktuelle punktet med kommandoen Tangent(3,T).

Stigningstallet til tangenten er 1,6.

Den momentane vekstfarten er 1,6 °C/time. Dette forteller oss at temperaturen kl. 11 er i ferd med å øke med 1,6 °C/time.

5.6

Se eksempel 2.

Vurderingseksemplar

a Finn den momentane vekstfarten når x = 6.

Hva forteller svaret?

b Forklar hvorfor du på forhånd kunne ha sagt at den momentane vekstfarten til funksjonen ble større i oppgave a enn den vi fant i eksempel 2.

5.7

Høyden av en plante er gitt ved

hxxxD ( )0,12,150,[0,14] h 32 =−++=

Høyden er h (x) mm x dager etter at den ble plantet.

a Finn den momentane vekstfarten når x 3 og når x 12

Hva forteller svarene?

b Bruk grafen til h til å avgjøre når planten vokser raskest, dvs. når den momentane vekstfarten er størst.

5.8

På figuren til høyre er punktene ()Axfx11,() og ()Bxfx22,() inntegnet.

a Hva er den momentane vekstfarten til f når x = x1?

b Hva kan du si om den momentane vekstfarten til f når x = x2 sammenliknet med den når x = x1?

5.9

Figuren viser grafen til en funksjon f

Vurderingseksemplar

a Hva er den momentane vekstfarten når x = 4?

b Hva kan du si om den momentane vekstfarten når x = 3 sammenliknet med den momentane vekstfarten når x = 5?

5.10

På figuren er det merket av fem punkter på grafen til en funksjon f a I hvilke av disse punktene er stigningstallet til tangenten 1 positivt 2 negativt 3 null b I hvilket av disse punktene er den momentane vekstfarten størst?

RØDE OPPGAVER

5.11

På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f og tangenter i punktene () f 1,(1) og () f 5,5,(5,5)

a Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallene [1 , 3] og [3 , 5]

b Hva er den momentane vekstfarten når x = 1?

c Hva er den momentane vekstfarten når x = 5,5?

d Hva er den momentane vekstfarten når x = 3?

5.12

En vårdag var temperaturen tilnærmet gitt ved

TtttD ()0,241,216,0,12 T 2 [] =−++=

der T(t) står for temperaturen i celsiusgrader t timer etter kl. 12.

a Bestem stigningstallet til den rette linja gjennom punktene () T 0,(0) og () T 12,(12)

Gi en praktisk tolkning av svaret.

b Hva kan du si om temperaturendringen rundt kl. 22?

5.13

Den veilengden som en bil kjører fra føreren ser en hindring i veibanen til bilen stopper, kaller vi stopplengden. En vinterdag er Erik på vei til hytta, og stopplengden S (målt i meter) er gitt ved

=+ Svvv ( )0,30,014 2

når farten er v km/h.

a Bestem stigningstallet til den rette linja gjennom punktene () S 80,(80) og () S 90,(90)

Gi en praktisk tolkning av svaret.

b Bestem den momentane vekstfarten til S når x = 80 og når x = 90.

c Undersøk ved hvilken fart stopplengden er i ferd med å øke med 2 m per km/h.

Vurderingseksemplar

(Hint: Lag et punkt på grafen som du kan skyve på.)

5.14

På figuren har vi tegnet inn grafen til en funksjon f og markert punktet Axfx ,( 11) ()

a Hva kan du si om den momentane vekstfarten i x = x1?

b Hva kan du si om den momentane vekstfarten når

1 x < x1 2 x > x1

sammenliknet med den momentane vekstfarten når x = x1?

BLÅ OPPGAVER

5.15

En god tilnærming til den momentane vekstfarten til en funksjon når x = a er å finne den gjennomsnittlige vekstfarten i et veldig lite intervall [a , a + dx].

Tashiba har lagd programmet nedenfor.

def f(x): return 1.19*x**3

a = 6 dx = 0.1

vekst = (f(a + dx) - f(a))/dx

print(round(vekst, 1))

a Sammenlikn utskriften i programmet med den momentane vekstfarten når x = 6.

b Foreslå en endring i koden som vil gi Tashiba et mer nøyaktig svar.

5.16

Funksjonen f er gitt ved fxx () 0,5 3 for ∈− x [3 ,3]

a Finn momentan vekstfart når x = 1 og x = 1.

b I hvilket punkt er den momentane vekstfarten lik null?

5.17

Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx () 285 2

a For hvilken x-verdi er den momentane vekstfarten lik 6?

Et punkt ()Axfx11,() ligger på grafen til f slik at den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [] x 0, 1 er 1 3

Vurderingseksemplar

b Bestem koordinatene til A

5.18

Om en andregradsfunksjon f får du opplyst at den momentane vekstfarten er 2 når x = 3, og at den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [ 3 , 1] er lik null.

a Lag ulike skisser som viser hvordan grafen til f kan se ut.

b Finn et mulig funksjonsuttrykk f(x).

SNAKK

Den deriverte

Se på figuren nedenfor.

Avgjør om stigningstallet til tangenten i de punktene som er avmerket på grafen, er positivt, negativt eller null.

Hva vil du si om stigningstallet til tangenten i et topp- eller bunnpunkt?

Vurderingseksemplar

Se på grafen i SNAKK ovenfor. Vi ser at den momentane vekstfarten er forskjellig for ulike x-verdier, og at til én bestemt verdi av x er det bare én bestemt verdi for den momentane vekstfarten.

Vi får altså en ny funksjon, la oss kalle den s. Den er slik at s(x) er stigningstallet til tangenten i punktet () xfx,() på grafen til f

I SNAKK ovenfor er s ( 2) = 9, s ( 1) = 0, s (0) = 3, s (1) = 0 og s (2) = 9.

Funksjonen som gir oss stigningstallet, vil vi kalle stigningstallfunksjonen.

EKSEMPEL 3

a Bestem stigningstallfunksjonen s for funksjonen f gitt ved fxx () 2 .

b Bruk funksjonen s til å finne stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet () f 7,(7) .

a Vi tegner grafen til f med noen punkter og tangenter.

Vurderingseksemplar

For å få oversikt lager vi en verditabell. Vi leser av koordinatene til punktene xfx ,( ) () og stigningstallene s(x) til tangentene.

x 3 2 10123

f(x) 9410149

s(x) 6 4 20246

Når vi sammenlikner verdiene til x og s(x), ser vi at vi kommer fra x til s ( x ) ved å gange med to.

Stigningstallfunksjonen s ser altså ut til å være gitt ved sxx () 2

b Vi bruker funksjonsuttrykket vi fant i oppgave a. Det gir =⋅= s (7)2714

Stigningstallet til tangenten til grafen til f i punktet () f 7,(7) er 14.

5.19

Bruk en liknende framgangsmåte som i eksempel 3 til å finne et funksjonsuttrykk for stigningstallfunksjonen s.

Bestem deretter s( 5).

a =+fxx () 4 2 b fxx () 3 2

c =−fxx () 31 2

SNAKK

Ta utgangspunkt i eksempel 3 og oppgave 5.19 ovenfor.

Formuler en generell sammenheng mellom f(x) og s(x) når f(x) er et andregradspolynom.

5.20

Ta utgangspunkt i grafen til funksjonen f i SNAKK på side 268.

a Les av noen punkter på grafen og bruk regresjon til å finne en polynomfunksjon som passer perfekt med punktene.

b Bruk regresjon til å finne et funksjonsuttrykk s(x) som kan passe for stigningstallsfunksjonen s

Hvis vi finner gjennomsnittlig vekstfart i et veldig lite intervall, er den tilnærmet lik den momentane vekstfarten i et punkt. På den første figuren nedenfor er punktene xfx ,( 11) () og xfx ,( ) 22 () inntegnet.

Legg merke til at x 2 = x1 + x , slik at vi kan skrive stigningstallet til linja gjennom punktene som

f ( x1 + x ) f ( x1) x

Vurderingseksemplar

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [] xx , 12 er gitt av stigningstallet til den svarte linja i de tre første figurene.

Den momentane vekstfarten i x1 er gitt av stigningstallet til den grønne linja i den siste figuren. Jo mindre vi gjør Δx, desto mer likt blir stigningstallet til den grønne og den svarte linja.

Dette kan vi utnytte hvis vi vil tegne grafen til stigningstallfunksjonen.

EKSEMPEL 4

Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx () 34 3 , = Df [ 1 , 3].

a Lag et program som plotter grafen til stigningstallfunksjonen s sammen med grafen til f.

b Forklar sammenhengen mellom grafen til f og grafen til stigningstallfunksjonen s

a Vi lager en funksjon s som regner ut vekstfarten i mange små intervaller x, og plotter grafen.

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

dx = 0.01

def f(x):

# Delta x

Vurderingseksemplar

# Definerer f return x**3 - 3*x + 4

def s(x):

# Definerer s return (f(x + dx) - f(x))/dx

x_verdier = np.linspace(-1, 3, 500)

plt.plot(x_verdier, f(x_verdier), label="f")

plt.plot(x_verdier, s(x_verdier), label="s")

plt.legend()

plt.grid()

plt.show()

# Legger inn navn på grafene

# Legger inn rutenett

# Viser grafene

b Grafen til f synker i intervallet –1,1

Det betyr at den momentane vekstfarten er negativ i dette intervallet. Funksjonsverdiene s(x) må altså være negative, og det samsvarer med at grafen til s ligger under x-aksen.

Når x = 1, har grafen til f et bunnpunkt.

Da er vekstfarten 0. Dette stemmer med at s har et nullpunkt.

Grafen til f stiger i intervallet 1,3 . Det betyr at den momentane vekstfarten er positiv i dette intervallet. Funksjonsverdiene s(x) er altså positive, og det samsvarer med at grafen til s ligger overx-aksen.

5.21

Plott grafen til stigningstallfunksjonen s sammen med grafen til f, for x ∈ [ 3 , 3].

Forklar sammenhengen mellom grafene.

a =−+fxx () 1 2 5 b =+fxx () 4 2

c =−fxx () 34 3 d =− fxxx () 42

5.22

Funksjonen s er stigningstallfunksjonen til en funksjon f Hvilke grafer hører sammen? (Sett sammen tall og bokstav.)

5.23

Funksjonen g er gitt ved =− gxxx () 4 3 , Df = [ 2 , 2].

Vurderingseksemplar

Plott grafen til stigningstallfunksjonen s sammen med grafen til g. a Forklar sammenhengen mellom grafen til g og grafen til stigningstallfunksjonen s

b Hvordan kan du bruke grafen til s til å avgjøre hvorgrafen til g er brattest?

5.24

Vi har en funksjon f med tilhørende stigningstallfunksjon s. Figuren viser grafen til to funksjoner b og r. Forklar hvilken av de to grafene som er grafen til f, og hvilken som er grafen til s.

Den deriverte

Stigningstallfunksjonen s er utledet fra funksjonen f. Du kjenner kanskje det engelske ordet «derive» som betyr å utlede. Vi sier at vi får s ved å deriveref, eller at s er den deriverte av f. Vi har en egen skrivemåte for den deriverte funksjonen. I stedet for s skriver vi f

Den deriverte av funksjonen f i et punkt der x 3, skriver vi f (3) f (3) leser vi «den deriverte av f for x = 3» eller «f-derivert av 3».

Den deriverte av f for en vilkårlig x-verdi skriver vi fx()

Vurderingseksemplar

Funksjonen f er slik at funksjonsverdien fx() er lik stigningstallet til tangenten i punktet xfx ,( ) ( () ) på grafen til f.

I stedet for å si at den momentane vekstfarten i punktet () f 3,(3) er 1,5, kan vi si at ′ = f (3) 1,5 5.25

Figuren viser grafen til en funksjon f. Bruk figuren til å bestemme a ′ f (3) b f (3) c f (1)

I GeoGebra kan vi finne den deriverte i CAS og i algebrafeltet.

5.26

Finn fx(), f (2) og ′ f (3) uten hjelpemidler. Kontroller med CAS.

a =+fxx () 24 b =+fxx () 25 c =−fxx () 27 d =−+fxx () 3 e =−+fxx () 2 f =−−fxx () 9

5.27

Finn fx() når f(x) = ax + b.

5.28

Funksjonene t og f er gitt ved

txx () 3 og fxx () 4

a Bestem tx()

Hva er sammenhengen mellom uttrykkene tx() og tx()?

b Bestem fx()

Hva er sammenhengen mellom uttrykkene fx() og fx()?

Med en derivasjonsregel kan vi finne fx() når vi kjenner f(x).

I oppgave 5.27 fant du én slik derivasjonsregel.

La f være en lineær funksjon gitt ved fxaxb () = =+ +

Da er fxa ()′′ ==

Fordi konstantleddet b ikke har noen betydning for hva den deriverte er, er det mange forskjellige lineære funksjoner som har den samme deriverte.

Dette betyr at vi med sikkerhet kan vite at ′ = fxa () når fxaxb () =+ , men hvis vi derimot vet at ′ = fxa () , så kan vi ikke vite hva funksjonsuttrykket f(x) er. Dette formulerer vi med en implikasjon

Vurderingseksemplar

f ( x ) = ax + b f ( x ) = a

Så langt har vi også funnet disse reglene:

f ( x ) = x 2 f ( x ) = 2 x

f ( x ) = x 3 f ( x ) = 3 x 2

f ( x ) = x 4 f ( x ) = 4 x 3

Kanskje har du også sett at det er et mønster? Når r , kan det se ut som at

f ( x ) = x r f ( x ) = rxr 1 ⋅

Dette skriver vi også slik: xrx rr 1 ()′ =⋅

SNAKK

Hva om vi vil derivere g gitt ved gxx () 4 2?

Sammenliknet med fxx () 2 blir alle funksjonsverdiene 4 ganger så store.

Da blir også vekstfarten i et intervall 4 ganger så stor. Altså er det rimelig å anta gxxx () 428 ′ =⋅ = .

Hvis k er konstant, har vi generelt at når g(x) = k ⋅ f(x) for en funksjon f, så er ′ =⋅ ′ gxkfx ()()

Hvis h(x) = f(x) + g(x), så vil stigningstallet til h være lik summen av stigningstallene til f og g, altså at ′ = ′ + ′ hxfxgx ()()()

Vurderingseksemplar

I R1 skal vi bevise derivasjonsreglene. Her slår vi dem bare fast:

La kr , og f og g være funksjoner av x. Da er

axba() ++ ′′ == xrx rr 1 ( () ) ′′ = =⋅⋅ kfxkfx ()() ( () ) ′′ = =⋅⋅ ′′ fxgxfxgx ()()()() ( () ) ++ ′′ == ′′ ++ ′′

Forklar med egne ord hva derivasjonsreglene ovenfor sier.

Forklar at den siste regelen også gjelder for differanser, slik at ()′ = ′ ′ fxgxfxgx ()()()()

EKSEMPEL 5

Funksjonen f er gitt ved

fxxxx () 32453

a Finn fx()

b Bestem stigningstallet til tangenten til grafen når x = 2.

a Vi deriverer ledd for ledd og får

b Stigningstallet til tangenten når x = 2 er ′ f (2)

−= + =− f (2)3(2)8(2)5 9 2

Altså er stigningstallet 9.

Med CAS:

SNAKK

5.29

Deriver funksjonen.

a fxx () 5 b gxx () 6

c hxx () 100 d ix() 6

5.30

Deriver funksjonen uten digitalt verktøy. Kontroller med CAS.

a =+− fxxxx () 584 32

b =−+gxxx () 1 3 1 2 8 32

5.31

Funksjonen f er gitt ved =− fxxx () 4 2

Vurderingseksemplar

a Finn stigningstallet til tangenten i punktet (3 ,3) på grafen til f

b Finn likningen til tangenten i det samme punktet.

5.32

Funksjonen f er gitt ved =+−+fxxxx () 1 3 34 32

a Bestem ′ f (2) og gi en tolkning av svaret.

b Løs likningen ′ =− fx() 3.

Hva forteller svaret?

c Løs likningen ′ = fx() 0.

Hva forteller svaret?

5.33

Funksjonen f er gitt ved =−++fxxxx () 32442

For hvilke verdier av x er stigningstallet til tangenten til grafen lik

a 0

b 1

c 4

En tredjegradsfunksjon er gitt, og du får vite at ′ = fa() 0

Hva kan du vite om punktet () afa,() på grafen til f?

Hva mer må du vite for å kunne avgjøre mer nøyaktig hva slags punkt det er?

Nedenfor har vi tegnet grafen til en funksjon f og markert de stasjonære punktene A, B og C på grafen.

Grafen til en funksjon f har et stasjonært punkt når fx()0′′ = = .

På nedsiden av grafen har vi tegnet fortegnslinja for f(x) og for den deriverte fx() Vi har også markert om en tangent i ulike intervaller er stigende eller synkende.

Se fortegnslinja for fx() og grafen til f

x der grafen stiger, er ′ > fx() 0

Vurderingseksemplar

x der grafen synker, er ′ < fx() 0

()Aafa,() er et bunnpunkt på grafen til f

Da er ′ = fa() 0, og den deriverte skifter fortegn fra negativ til positiv når x = a

()Ccfc,() er et toppunkt på grafen til f

Da er ′ = fc() 0 , og den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ når x = c

()Bbfb,() er et terrassepunkt på grafen til f

Da er ′ = fb() 0, men den deriverte skifter ikke fortegn når x = b. a og c er x-verdiene til bunn- og toppunktene.

Merk!

Når vi i GeoGebra finner topp- og bunnpunkter på grafen til en funksjon med kommandoen Ekstremalpunkt(), er det førstekoordinatene til disse punktene som er ekstremalpunktene til funksjonen.

Legg merke til at vi bruker ordet punkt både om et punkt på grafen til en funksjon og når vi bare er interessert i en x-koordinat.

Figurene ovenfor viser grafene til to funksjoner. Hvilken av de to funksjonene har en derivert som har fortegnslinja nedenfor? Begrunn svaret.

Vurderingseksemplar

5.35

Tegn fortegnslinja for den deriverte. a

Figuren viser grafen til en funksjon f

a Tegn fortegnslinja for fx() ved å bruke grafen.

b Bestem funksjonsuttrykket f(x).

c Bestem funksjonsuttrykket fx()

d Hvordan stemmer fortegnslinja du tegnet i oppgave a, med funksjonsuttrykket du fant i oppgave c?

5.37

For en funksjon f kjenner vi fortegnet til fx() og fx().

Skisser grafer for f og f som passer til dette.

(–3,12 , 0)(1 , 0)(5,12 , 0) y

5.38 (Eksamen 1T våren 2023) x 2468 –4–2

Ovenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon f Nullpunktene til f er x = 4, x = 2, x = 4 og x = 6.

Lag en skisse som viser hvordan grafen til f kan se ut. Husk å argumentere for hvorfor du mener skissen er riktig.

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 6

Funksjonen f er gitt ved =−+−fxxx () 3231

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f

I topp- og bunnpunkter er tangenten til grafen vannrett. Vi finner for hvilke x-verdier ′ = fx() 0 og tegner fortegnslinje for ′ fx() for å avgjøre om grafen har topp-, bunn- eller terrassepunkter for disse verdiene.

Vurderingseksemplar

Vi lager fortegnslinja med testmetoden.

Fortegnet til den deriverte forteller oss at grafen har et bunnpunkt for x = 0 og et toppunkt for x = 2.

Bunnpunkt: () =− f 0,(0)(0,1)

Toppunkt: () = f 2,(2)(2,3)

Når vi skal ﬁnne funksjonsverdien til et topp- eller bunnpunkt, må vi sette inn x -verdien i f ( x ), ikke i fx()

5.39

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f a =+− fxxxx () 3 2 6 32 b =− fxxx () 3843

5.40

Av en kvadratisk plate med side 6 dm skal Eli lage en eske uten lokk ved å klippe bort et kvadrat i hvert hjørne og brette opp kantene.

Høyden på boksen er x dm.

a Finn et uttrykk for volumet V(x) i dm3 av esken.

b Hva må høyden av esken være for at den skal få størst mulig volum? Hva er det størst mulige volumet?

EKSEMPEL 7

Grafen til en tredjegradsfunksjon f har 1 , 16)

() f 1,(1) med stigningstall 12.

a Bestem fx() b Bestem f(x).

a Når f er en tredjegradsfunksjon med ekstremalpunktene 1 og 3, må f være en andregradsfunksjon med nullpunktene 1 og 3.

Da kan vi skrive ′ =+ fxaxx()(1)(3)

Tangenten i () f 1,(1) med stigningstall 12 forteller oss at ′ = f (1) 12

Da har vi

Vurderingseksemplar

a a a (1 1)(13)12

Altså er

()3(1)(3)

b En generell tredjegradsfunksjon har fire koeffisienter.

Da trenger vi fire likninger.

Når grafen har bunnpunkt ( 1 , 16), må f( 1) = 16 og ′ −= f (1) 0

Når grafen har toppunkt (3 , 16), må f(3) = 16 og ′ = f (3) 0

T il sammen har vi altså fire likninger.

(Alternativt kunne vi erstattet en av dem med ′ = f (1) 12.)

Vi bruker CAS til å løse likningssystemet og finne koeffisientene a, b, c og d.

Funksjonsuttrykket er =−++−fxxxx () 323911

5.41 (Eksamen 1T høsten 2022)

Vurderingseksemplar

Om grafen til en andregradsfunksjon f får du vite at 2 , 0) har likningen y = 9x + 18 10) har likningen y = 11x + 78

Bestem fx()

5.42 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021)

Figuren til høyre viser grafen til en tredjegradsfunksjon f.

Figuren viser også tangentene til grafen i tre ulike punkter.

Bruk tangentene til å finne funksjonsuttrykket til den deriverte funksjonen f

5.43 (Eksamen 1T våren 2022)

Grafen til en andregradsfunksjon f har

() f 1,(1) med stigningstall 0

() f 4,(4) med stigningstall 6

a Bestem fx()

Grafen til f skjærer y-aksen i punktet (0 , 4).

b Bestem fx()

5.44

Grafen til en tredjegradsfunksjon f har

() f 2,(2)

() f 6,(6)

a Bestem fx()

b Bestem f(x).

() f 3,(3) med likningen =−yx954

RØDE OPPGAVER

5.45

Finn fx() og f (3) når funksjonen f er gitt ved

a =+fxx () 37 b =−+fxx () 22 2 c =+ fxxx () 3 3 d fx() 4

5.46

Ved produksjon og salg av x enheter av en vare er overskuddet i kroner gitt ved

O(x) = 0,3x2 + 210x 30 000 , x ≥ 0

a Bestem O(200) og O (200). Hva forteller svarene?

b Løs likningen ′ = Ox()0. Hva forteller svaret?

5.47

Skisser grafen til f i et koordinatsystem uten tall på y-aksen når grafen til f ser ut som på figurene nedenfor

Vurderingseksemplar

Skisser grafen til en funksjon f som stemmer med fortegnslinja til fx()

5.49

Figuren viser grafen til en funksjon g, med inntegnet tangent i punktet (3 , 3).

Bruk figuren til å

a tegne fortegnslinje for g(x) og gx()

b finne g (3)

c løse likningen ′ = gx() 0

BLÅ OPPGAVER

5.50

Figuren til høyre viser grafen til f Skisser grafen til en funksjon f som passer til grafen på figuren, når du i tillegg får vite at f(0) = 4.

5.51

Ta utgangspunkt i fortegnslinjene for fx() og fx(), og skisser hvordan grafen til f kan se ut.

5.52

Funksjonen g er gitt ved =+−gxxx () 1 3 4 10 3 3

Grafen til g har to tangenter med stigningstall 5. Bestem likningene til disse tangentene.

5.53 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021) En funksjon f er gitt ved

=−−fxxx () 1 3

Grafen til f har to tangenter som er parallelle med linja =+yx 1 2 2

a Bestem en eksakt verdi for nullpunktet til hver av disse tangentene. b Tegn en fortegnslinje for f og en fortegnslinje for f

Vurderingseksemplar

5.54 (Eksamen 1T høsten 2023)

En tredjegradsfunksjon f er gitt ved

=++−fxaxbxcx () 64 32

Punktet (8,0) er toppunkt på grafen til f. Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [0 , 5] er 64 5 . Bestem a, b og c.

Rasjonale funksjoner

Funksjonen f gitt ved = + fxx xx () 21 3 er et eksempel på en rasjonal funksjon fordi funksjonsuttrykket er en brøk med et polynom både i teller og i nevner.

Funksjonen g gitt ved =+ gx x () 7 3 2 er også rasjonal fordi vi kan omforme funksjonsuttrykket til en brøk med et polynom i telleren og et i nevneren: = + gx x x () 76 3

En rasjonal funksjon kan skrives på formen

fxpx qx () () () der p og q er polynomfunksjoner.

Vi vil tegne grafen til den rasjonale funksjonen f gitt ved fx x () 1

Vi legger merke til at vi ikke kan ha x = 0 i funksjonsuttrykket fordi vi ikke kan ha 0 i nevner. Alle andre verdier av x kan vi sette inn. Definisjonsmengden til f er derfor alle reelle tall, bortsett fra 0. Det skriver vi slik: D \{ 0} f

Vi ser at −= =−=− fx xx fx () 11 ()

Vurderingseksemplar

Det betyr at hvis (x , y) er et punkt på grafen, så er også ( x , y) et punkt på grafen. Da er grafen symmetrisk om origo. Dette kan vi utnytte når vi skal tegne grafen.

Vi regner først ut noen funksjonsverdier der x-koordinatene er positive, og legger dem i en verditabell.

x 00,20,250,5 1245 f(x) 54210,5 0,250,2

Vi tegner så punktene i et koordinatsystem (blå punkter på figuren).

Deretter speiler vi dem (røde punkter) om origo.

Når vi trekker en glatt kurve gjennom punktene, får vi en graf. En slik graf kaller vi en hyperbel

Vi ser av figuren til venstre at hyperbelen nærmer seg koordinataksene. Det er fordi små x-verdier gir store funksjonsverdier, og store x-verdier gir små funksjonsverdier.

UTFORSK

Vurderingseksemplar

Nedenfor har vi tegnet grafene til funksjonen

Forklar at dette er fire rasjonale funksjoner. Sett sammen riktig graf og funksjon.

1234

De rasjonale funksjonene i UTFORSK ovenfor har alle funksjonsuttrykk som kan skrives på formen = + fxa xr c ()

Vi skal se nærmere på denne typen rasjonale funksjoner.

UTFORSK

Skriv inn = + fxa xr c () i GeoGebra, slik at du får lagd tre glidere, a, r og c.

a Hva tror du verdien av c forteller om grafen?

Sett a = 1 og r = 1, og varier c for å undersøke hypotesen din.

b Sett a = 1 og c = 0, og varier r.

Hva forteller r om grafen?

c Sett r = 0 og c = 0, og varier a

Beskriv hvordan formen på grafen endrer seg og er avhengig av verdien av a

d Skriv Asymptote(f) i algebrafeltet.

Varier parametrene a, r og c, og beskriv observasjonene.

En asymptote er en linje som grafen nærmer seg for økende eller avtakende verdier av x eller y

En loddrett asymptote kalles også en vertikal asymptote.

En vannrett asymptote kalles også en horisontal asymptote.

Vurderingseksemplar

Vannrett asymptote

Loddrett asymptote

Når en rasjonal funksjon kan skrives på formen

fxa xr c () == ++ , der arc ,, og a 0

har grafen følgende egenskaper:

x = r er en loddrett asymptote

Dr\{} f

y = c er en vannrett asymptote

Vc\{} f

mellom asymptotene.

Merk!

Hvis vi trekker sammen de to leddene i funksjonsuttrykket på formen = + fxa xr c () , får vi et uttrykk på formen = + + fxAxB CxD ()

Da ser vi at det er en brøk der teller og nevner er polynomfunksjoner.

EKSEMPEL 8

Figuren viser grafen til en rasjonal funksjon f og asymptotene for funksjonen.

Vurderingseksemplar

Bruk grafen til å bestemme funksjonsuttrykket f(x), og skriv det på formen = + + fxAxB CxD ()

Likningen til den loddrette asymptoten er x = 2.

Da er r = 2.

Likningen til den vannrette asymptoten er y = 1.

Da er c = 1.

Skjæringspunktet mellom asymptotene er (2 , 1).

Hvis vi går én enhet til høyre fra dette punktet, må vi gå 5 enheter opp før vi treffer grafen.

Da er a = 5.

Dermed er = + fx x () 5 2 1

Vi skriver om funksjonsuttrykket ved å sette på felles nevner

Altså er = + fxx x () 3 2

5.55

Figuren viser grafen til en funksjon f.

a Bruk grafen til å bestemme funksjonsuttrykket f(x) på formen = + fxa xr c ()

b Skriv funksjonsuttrykket på formen = + + fxAxB CxD ()

5.56 (Eksamen 1T våren 2023)

Nedenfor ser du grafen til en rasjonal funksjon f

Bestem f(x).

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Vurderingseksemplar

5.57

Se oppgave 5.56.

Finn funksjonsuttrykket til f ved å lese av punkter på grafen og løse et likningssystem.

5.58 (Eksamen 1T våren 2022)

En rasjonal funksjon f har vertikal asymptote x = 2 og horisontal asymptote y = 3.

Bestem to mulige funksjonsuttrykk for f. Husk å forklare hvordan du tenker.

EKSEMPEL 9

Funksjonen f er gitt ved

+ fxx

() 23 1

a Bestem den loddrette asymptoten for f Hva er definisjonsmengden til f?

b Bestem den vannrette asymptoten for f Hva blir verdimengden til f?

Vurderingseksemplar

c Finn eventuelle nullpunkter ved regning. d Tegn grafen til f på papir.

a Vi ser at nevneren er null for x 1

Linja x 1 er en loddrett asymptote.

D \{1} f

b For å finne den vannrette asymptoten ser vi på hva som skjer med funksjonsuttrykket når x blir stor.

Linja y 2 er en vannrett asymptote.

V \{ 2} f

c Vi finner eventuelle nullpunkter ved å løse likningen fx() 0

En brøk er 0 når telleren er 0.

Nullpunktet er 3 2

d Vi tegner først inn asymptotene og merker av nullpunktet.

Deretter regner vi ut noen punkter på grafen, og speiler om skjæringspunktet mellom asymptotene. x 24610 f(x) 73,732,6

5.59

Ta for deg funksjonen f gitt ved = fxx x () 46 3

a Bestem asymptotene for funksjonen f

b Bestem definisjonsmengden og verdimengden til f

Vurderingseksemplar

c Forklar at likningen f(x) = 4 har løsningsmengden =∅ L

d Regn ut funksjonsverdier, eller finn x-verdier ved å løse likninger, og fyll ut det som mangler i tabellen nedenfor. x 0122,53,5456 y 3,5354,5

e Tegn grafen til f

5.60

Jenny finner asymptotene i eksempel 9 slik:

x (2+3):(–1)=2+5 –1 –(x2–2)

fx x xx ()=2+3 –1 = 5 –1 +2

x=1erenloddrettasymptote.

y=2erenvannrettasymptote.

a Forklar framgangsmåten til Jenny.

Vurderingseksemplar

b Bruk tilsvarende metode for å bestemme asymptotene for funksjonen i oppgave 5.59.

5.61

Finn loddrett og vannrett asymptote, Df og Vf, og eventuelle nullpunkter til funksjonen.

Tegn så grafen til funksjonen.

a = + fxx x () 42 22 b

5.62 (Eksamen 1T høsten 2022)

Lars har skrevet en programkode. Ovenfor ser du koden og resultatet Lars får når han kjører programmet.

Når programmet har skrevet ut de seks linjene, kommer en feilmelding.

a Hva ønsker Lars å bruke programmet til, og hvorfor får han en feilmelding?

b Foreslå endringer Lars kan gjøre i koden for å unngå feilmeldingen.

c Skisser grafen til funksjonen f som Lars har definert i linje 1 og 2 i koden.

5.63

Forklar at funksjonen har to vertikale asymptoter, og bestem likningen til asymptotene.

a = + +− fxx xx () 1 2 2 b = fx x () 3 9 2

5.64

Ta for deg funksjonen f gitt ved = +− fxxx xx () 23 23 2 2

a Hva er definisjonsmengden til f?

b Hva skjer med funksjonsuttrykket hvis absoluttverdien av x blir veldig stor?

c Hva forteller svarene i oppgave a og b deg om grafen til f?

d Tegn grafen og finn asymptotene med kommandoen Asymptote().

Sammenlikn med svaret ditt i oppgave c.

5.65 (Eksamen 1T høsten 2023)

Funksjonene f og g er gitt ved

a Hvilken av grafene nedenfor er grafen til f?

b Hvilken av grafene nedenfor er grafen til g?

Husk å argumentere for at svarene dine er riktige.

Vurderingseksemplar

RØDE OPPGAVER

5.66

Bruk figuren til å bestemme funksjonsuttrykket f(x) på formen fxAxB CxD () = + + a b

5.67

Vi har gitt funksjonen = + + fxx x () 54 24

a Finn nullpunktet og skjæringspunktet med andreaksen.

b Bestem asymptotene.

c Tegn grafen til f

d Hva er definisjonsmengden og verdimengden til f?

BLÅ OPPGAVER

5.68

Vi har gitt funksjonen = hxxx x () 325 2 2

Vurderingseksemplar

a Finn eventuelle nullpunkter og skjæringspunktet med andreaksen.

b Bestem den loddrette asymptoten.

Funksjonen h har en skråasymptote

c Bruk blant annet polynomdivisjon til å forklare at den skrå asymptoten er gitt ved likningen =+yx34

d Tegn grafen til h med asymptoter.

Hvorfor har ikke funksjonen en vannrett asymptote?

5.69

Funksjonen f er gitt ved = ++++ + fxxxxx x () 5 1 432 2

a Utfør polynomdivisjonen xxxxx 432251() ( ) ++++:+

b Tegn grafen til f sammen med grafen til funksjonen g gitt ved =+ gxxx () 2 Forklar det du ser.

UTFORSK

Potensfunksjoner

Funksjonene f og g gitt ved fxx () 3 5 og gxx () 1,2 2,4 er eksempler på potensfunksjoner.

En potensfunksjon kan vi skrive på formen fxax () b = =⋅⋅ , der ab,\{0}.

Hvis b 0 , er D 0, f [[ = =→ → .

Hvis b 0 , er D 0, f = =→ → .

Legg merke til at formen til funksjonsuttrykket til en potensfunksjon minner om ett av leddene i en polynomfunksjon, men i motsetning til i polynomfunksjonen hvor eksponenten må være et naturlig tall eller 0, kan eksponenten i potensfunksjonen være et hvilket som helst reelt tall bortsett fra null.

Tegn grafen til =⋅ kxax () b med en glider for a og b La a være positiv, og forklar hvordan grafen ser ut når 1 b 1 2 b 1 3 b 01 4 b 0

5.70

Funksjonene f, g og h er gitt ved

Vurderingseksemplar

På figuren ser du grafen til tre funksjoner.

a Avgjør hvilken graf som hører til hvilken funksjon.

b De tre grafene skjærer hverandre i ett punkt.

Hva er koordinatene til dette punktet?

y I II III x

Funksjonen M har et delt funksjonsuttrykk.

5.71

Høyden av en prydbusk er gitt ved

hxx () 0,8 0,4 , der x 06

h(x) er høyden i meter ved tiden x år etter at prydbusken ble sådd som et frø.

a Hvor høy var prydbusken etter ett år?

b Etter hvor mange år har prydbusken vokst til 1,4 m?

c Hvor mye vokste prydbusken det fjerde året?

5.72

Ved tiden x uker etter befruktning er den gjennomsnittlige fostervekten hos mennesker i gram tilnærmet gitt ved =⋅ Vxx ( )0,035 3,15

a Løs likningen Vx ( )2500

Hva forteller svaret?

b Det er vanlig å regne med at et svangerskap er på 40 uker.

Hva er fødselsvekten for et barn etter denne modellen?

Ser vi bort fra at vekten går noe ned rett etter fødselen, kan vi lage en lineær modell for vekten av barnet i tiden etter fødselen. Funksjonen M gitt ved Mx xx xx () 0, 035,040 1502105,4080 3,15 =

er en modell for vekten i gram av et menneske, de første 80 ukene etter befruktning.

c Tegn grafen til M sammen med grafen til V. Kommenter.

5.73

Vurderingseksemplar

Tabellen nedenfor viser lengden og massen av alligatorer fanget og målt i Texas, USA. Lengden x er målt i cm, og massen m(x) er målt i kg. x cm 239373218160175325208224188229173290 m(x) kg 65320401618183403527532099

a Lag en modell for sammenhengen mellom lengden og massen av alligatorer ved å finne den potensfunksjonen som passer best med tallene i tabellen. (Bruk regresjon og velg Potens som regresjonsmodell.)

b Bruk modellen til å anslå massen av en 3,0 m lang alligator.

c Anslå lengden av en alligator som veier 400 kg.

d Kommenter svarene i oppgave b og c.

Har du utført en interpolasjon eller ekstrapolasjon?

Omvendt proporsjonalitet

Hvis vi setter eksponenten i en potensfunksjon lik 1, får vi fxaxa x a x () 1 1 1 =⋅=⋅=

For positive verdier av a og x beskriver denne funksjonen et spesialtilfelle av stor praktisk betydning. Det er slik at hvis variabelen x øker til det dobbelte, så synker funksjonsverdien f (x) til det halve. Figuren viser et eksempel.

Vurderingseksemplar

Legg også merke til at produktet av x og f (x) i alle punkter på grafen er konstant. Produktet kaller vi proporsjonalitetskonstanten, k Vi sier at f (x) og x er omvendtproporsjonale størrelser.

Når y og x er omvendt proporsjonale størrelser, kan vi skrive y k x , der k \{0} er proporsjonalitetskonstanten.

5.74

Hans Jacob betaler 600 kr for et dagskort i alpinbakken. a Forklar at prisen P (x) kr per tur er omvendt proporsjonal med antall turer x b Lag en modell som viser hvordan prisen per tur varierer med antall turer.

5.75

Et treningsstudio har lagd figuren nedenfor for å illustrere sammenhengen mellom antall treninger og prisen per trening for dem som er medlemmer.

Pris per trening i kroner

Vurderingseksemplar

Antall treninger per måned

a Forklar at dette er et eksempel på omvendt proporsjonale størrelser.

b Hvor mye koster det per måned å være medlem?

La P(n) kr være prisen per trening hvis et medlem trener n ganger per måned.

c Finn funksjonsuttrykket P(n).

Rotfunksjoner

Potensfunksjonen f er gitt ved fxx () 0,5

Siden xx 0,5, kan vi skrive fxx ()

Dette er en kvadratrotfunksjon. Grafen er selvsagt den samme, hva enn vi velger å kalle funksjonen.

Mange rotfunksjoner kan vi derimot ikke skrive som potensfunksjoner. Et eksempel på det er funksjonen gitt ved =−hxx()3. Vi kan skrive om til =−hxx () (3)0,5, men vi får ikke til å skrive funksjonsuttrykket på formen axb .

5.76

En pendel er en kule som henger i en snor. Svingetiden er en funksjon av lengden av snora, og er gitt ved

TL L g ()2π =

Her er T(L) svingetiden i sekunder når snorlengden er L meter.

Tyngdeakselerasjonen g = 9,81 m/s2 på jorda.

a Hvor lang må snora være for at svingetiden skal være 1 ett sekund 2 to sekunder

b Vis at funksjonen t gitt ved tLL ()2 er en tilnærming til svingetiden for en pendel.

c Tegn grafen til T og grafen til t i samme koordinatsystem, og vurder tilnærmingen som ble gjort i oppgave b.

5.77

Funksjonen f er gitt ved

=− fxx ()7

a Bestem definisjonsmengden og verdimengden til f

Siri har lagd dette programmet:

Vurderingseksemplar

from math import sqrt def f(x): return sqrt(7 - x) x = 7 while f(x) < 7.5: x = x - 0.1 print(x)

b Skriv av og kjør programmet. Forklar hva utskriften forteller oss om grafen til f.

5.78

Tegn grafen til funksjonene f og g gitt ved =− fxx ()4 2 og =− gxfx () () i samme koordinatsystem. Hvilken geometrisk figur har du fått?

RØDE OPPGAVER

5.79

Hva er perfekt koketid for et bløtkokt egg? Dette er det forsket på, og på et engelsk universitet kom de fram til at koketiden T(m) sekunder for et egg på m gram er gitt ved =⋅ Tmm () 18,6 0,664

Du har to egg, ett på 50 gram og ett på 55 gram. Hvor mye lenger må egget på 55 gram koke enn det på 50 gram for at det skal bli perfekt?

5.80

Et resultat av den globale oppvarmingen er at noen isbreer smelter. Tolv år etter at isen forsvinner, vil det vokse fram lav på fjell. Hvert lav vokser utover omtrent i sirkelform. Sammenhengen mellom diameteren i sirkelen og alderen til lavet er tilnærmet gitt ved

=⋅−dtt()7,012

Her er d(t) diameteren til lavet i millimeter t år etter at isen forsvant.

a Jakob måler diameteren til et lav og finner ut at den var 35 millimeter.

Hvor mange år er det siden isen forsvant på dette stedet?

b Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [12 , 16]. Hva forteller svaret?

c Finn momentan vekstfart når t = 16. Hva forteller svaret?

5.81

Ofte er det slik at salget av en vare går ned når prisen på varen går opp. Undersøkelser viser at salget S(x) per måned av en bestemt vare er gitt ved =⋅ Sxx ()40000 0,85, der x er prisen i kroner.

Modellen gjelder for x [80 ,100]

Hvor mange prosent går salget ned hvis prisen økes fra 90 kr til 100 kr?

BLÅ OPPGAVER

5.82

Vurderingseksemplar

En bestemt vannledning har et vanntrykk på 5 atm. Hvis det går hull på denne ledningen, vil vannmengden som renner ut per uke, være gitt ved =⋅ fxx () 11,56 1,78 , der x er diameteren på hullet i mm. f(x) måles i m3/uke.

Hvor mange prosent øker vanntapet hvis diameteren på hullet øker med 10 %?

5.83

Når tøy sentrifugeres, blir det delvis tørt. Hvor tørt tøyet blir, avhenger av omdreiningsfarten på sentrifugen. Når omdreiningsfarten x er oppgitt i omdreininger per minutt, er restfuktigheten f(x) i prosent gitt ved

fxxx ()4600,[500,1500] 0,63 =⋅∈

Finn den prosentvise endringen i restfuktigheten når omdreiningsfarten økes med 20 %.

25% 25 100 0,25

Eksponentialfunksjoner

Vekstfaktor ved p prosent endring

Anta at du har 3000 kr i aksjer, og at verdien stiger med 25 %.

Den nye verdien er da

300030000,253000(10,25)3000 1, 25 100% 25%av3000 vekstfaktor

Hvis aksjene i stedet synker 25 % i verdi, er den nye verdien

300030000,253000(10,25)3000 0,75 100% 25%av3000 vekstfaktor

Tallene 1,25 og 0,75 i eksemplene ovenfor kaller vi vekstfaktoren

Legg merke til at vi kaller det vekstfaktor selv om det er en reduksjon.

ny verdigammelverdivekstfaktor =

Økning på p %: Vp 1 100 = =+ +

Reduksjon på p %: Vp 1 100 = =−

Vurderingseksemplar

5.84

a Hva er vekstfaktoren ved en økning på 1 5 % 2 15 % 3 15,5 % 4 0,5 % b Hva er vekstfaktoren ved en reduksjon på 1 5 % 2 15 % 3 15,5 % 4 0,5 %

5.85

Bestem den prosentvise endringen når vekstfaktoren er a 1,75 b 1,045 c 0,6 d 0,975 e 1,072 f 1,005 g 0,992 h 0,003

5.86

En vare koster 240 kr. Bruk regning med vekstfaktor til å finne ut hvor mye varen vil koste hvis prisen

a øker med 20 % b faller med 10 %

5.87

Sindre fikk 5 % lønnsøkning.

Hva var den gamle lønna når den nye ble 549 570 kr?

5.88

Et tre vokste fra 2,1 m til 2,4 m i løpet av sommeren.

Med hvor mange prosent vokste treet?

EKSEMPEL 10

I en bakteriekultur er det 15 000 bakterier.

Antallet øker med 10 % per time.

Lag et program som finner når antallet bakterier i kulturen passerer 50 000.

Vekstfaktoren er 1,10. Vi bruker en while-løkke og ganger med vekstfaktoren i hver runde i løkka. Løkka går til bakterieantallet passerer 50 000.

b = 15000 # antall bakterier i starten v = 1.10 # vekstfaktor

t = 0

while b <= 50000:

b = b * v t = t + 1

print(t)

Vurderingseksemplar

Programmet skriver ut 13.

Det tar 13 timer før bakteriantallet passerer 50 000.

5.89

Ta utgangspunkt i eksempel 10.

a Hvor lang tid tar det før bakterieantallet passerer 200 000?

b Lag et program som skriver ut bakterieantallet hver time de 12 første timene.

5.90

En ny låt legges ut på Spotify. Den første dagen spilles den 1000 ganger.

De påfølgende dagene er antall avspillinger 30 % flere enn dagen før.

a Lag et program som finner hvor mange ganger låten ble spilt på dag 30.

b Even har lagd de to programmene nedenfor for å se på utviklingen i antall avspillinger, men bare programmet til venstre fungerer.

1 Hva er det han ønsker å finne ut med programmene?

2 Hvilke to feil har han gjort i programmet til høyre?

Program 1

Program 2

print(t)

Eksponentialfunksjoner

Vi ser nærmere på bakteriekulturen i eksempel 10.

Etter én time er antall bakterier ⋅= 15 0001,1016500

Etter to timer er antall bakterier ⋅⋅ =⋅= (150001,10)1,10150001,1019965 2

Vurderingseksemplar

Etter x timer er det fx() bakterier i kulturen, der =⋅ fx ( )150001,10 x

Når vi lar variabelen være antall perioder, får vi en funksjon på formen =⋅ fxab () x , der fx() tilsvarer ny verdi, a er funksjonsverdien f(0) og b er vekstfaktoren.

Antall bakterier øker med 10 % per time. Vi sier at antall bakterier øker eksponentielt. Eksponentiell vekst blir også kalt for prosentvis vekst.

En funksjon for eksponentiell vekst kaller vi en eksponentialfunksjon.

UTFORSK

En eksponentialfunksjon kan vi alltid skrive på formen

fxab () x = =⋅⋅ , der a ≠ 0 og b 0

Her er a funksjonsverdien når x = 0, og b er vekstfaktoren.

Df =

5.91

Vurderingseksemplar

Lise setter i begynnelsen av hvert år 20 000 kr inn på en konto der renta er 3,0 % per år

Hun lar pengene stå urørt. Etter x år vil hun ha K(x) kroner på kontoen.

a Finn et uttrykk for K(x).

b Hvor mye har hun på kontoen etter 7 år?

Skriv inn =⋅ fxab () x i GeoGebra, slik at du får lagd to glidere, a og b

a Hva skjer med funksjonsverdien for en eksponentialfunksjon når 1 vekstfaktoren er større enn 1 og x øker 2 vekstfaktoren er mindre enn 1 og x øker

b Hva er den størst mulige definisjonsmengden til en eksponentialfunksjon?

c Hva er den størst mulige verdimengden hvis funksjonsverdien er positiv når x 0?

5.92

En ny bil koster 345 000 kr. Anta at verdien av bilen synker med 18 % per år i de neste sju årene.

a Sett opp et funksjonsuttrykk V(t) som viser bilens verdi i kroner etter t år.

b Hva er Dv og Vv?

c Finn verdien av bilen etter tre år.

d Regn ut verditapet i kroner det tredje året.

e Forklar, uten å regne ut, hvorfor verditapet i kroner blir mindre det fjerde året enn det tredje året.

f Finn hvor lang tid det tar før verdien av bilen er halvert.

5.93

Vi fyller kakao på termosen Super. Det viser seg at temperaturen avtar med 8 % per time de første 10 timene. Vi heller kakao på termosen og måler temperaturen. Den er 85,0 °C.

Etter hvor mange timer vil temperaturen ha sunket til 40 °C?

5.94

Et datavirus sprer seg eksponentielt i et nettverk. Antall smittede datamaskiner dobles hver time, og det startet med 5 maskiner. Hvor mange maskiner er smittet etter et døgn om ikke viruset stoppes?

5.95

En eksponentialfunksjon N er gitt ved =⋅ Ntab () t Grafen til funksjonen går gjennom punktene (0 , 5) og (2 , 45).

a Bestem funksjonsuttrykket til funksjonen.

b Undersøk om punktet ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 3, 5 27 ligger på grafen til N

c Løs likningen Nt ( )405

5.96

En dag Richard var på fjelltur, registrerte han lufttrykket i forskjellige høyder. Tabellen nedenfor viser Richards registreringer.

Høyde over havet (km) 0,100,621,101,702,10

Lufttrykk (hPa) 1001935880815775

Enheten hPa står for hektopascal.

a Bruk h for høyde over havet i kilometer og p(h) for lufttrykket målt i hPa ved høyden h km.

Lag en eksponentialmodell som viser sammenhengen mellom høyde og lufttrykk.

(Velg Eksponentiell modell i GeoGebra, ikke Eksponentiell 2.)

b Hva var lufttrykket ved havoverflaten ifølge modellen?

c Hvor mange prosent minker lufttrykket for hver høydekilometer ifølge modellen?

d Finn den gjennomsnittlige vekstfarten til modellen i de ulike intervallene i tabellen. Tolk svarene i lys av modellen.

5.97 (Eksamen 1T høsten 2022)

UTFORSK

Vurderingseksemplar

Strømmen som holder vannet i et hagebasseng varmt, blir slått av.

Anta at funksjonen T gitt ved

T(x) = 3,5 + 34,5 0,87x , x ≥ 0

kan brukes som en modell for temperaturen T(x) °C i vannet x timer etter at strømmen blir slått av.

a Hva er temperaturen i vannet når strømmen blir slått av?

b Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i vannet er under 20 °C?

c Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () T 0,(0) og () T 4,(4)

Gi en praktisk tolkning av svaret.

d Undersøk om temperaturen i vannet noen gang vil synke med mer enn 5 °C i løpet av en time.

e Gi en praktisk tolkning av tallet 3,5 i modellen.

Ta stilling til denne påstanden: «For eksponentialfunksjoner har grafen til funksjonen og grafen til den deriverte funksjonen omtrent samme form.»

SNAKK

Numerisk løsning av likninger − halveringsmetoden

Gå sammen med en annen elev.

En av dere tenker på et helt tall mellom 1 og 100.

Den andre skal gjette hvilket tall det er og får vite om gjettingen er riktig, for høy eller for lav.

Hvor mange forsøk er nødvendig for å klare å gjette tallet?

Kan du forklare hvorfor du alltid kan klare å komme fram til riktig tall etter høyst 7 forsøk?

Vi vil løse likningen

=− x 24 x

Denne likningen klarer vi ikke å løse analytisk, ved å gjøre algebraiske regneoperasjoner på hver side av likhetstegnet.

Vi ordner likningen slik at det står 0 på den ene siden av likhetstegnet.

−+= x 24 0 x

Å løse denne likningen er da det samme som å finne nullpunktene til funksjonen f gitt ved

=−+ fxx () 24 x

Vurderingseksemplar

Vi har tidligere sett hvordan vi på ulike måter kan finne nullpunktene til en funksjon ved å lete gjennom økende x-verdier. Vi skal nå se hvordan vi kan gå fram på en annen måte. Da skal vi bruke sammenhengen nedenfor.

La f være en funksjon med sammenhengende graf i intervallet ab [,], der f(a) og f(b) har motsatt fortegn.

Da er fafb()()0 ⋅⋅< < , og midtpunktet i intervallet er m ab 2 == ++

For funksjonen f gitt ved =−+ fxx () 24 x er for eksempel =−+=− =− + = f f (0)2403 (2)2422 0 2

Da er ⋅<ff(0)(2)0 , og det fins et nullpunkt i intervallet [0 , 2], se figuren til venstre nedenfor.

Midtpunktet i intervallet er m = 1. Vi halverer intervallet slik at vi får to nye intervaller, [0 , 1] og [1 , 2]. Nullpunktet ligger i ett av disse to intervallene.

Avhengig av hvilket av de to intervallene nullpunktet ligger i, er enten

⋅<ff(0)(1)0 og ⋅>ff(1)(2)0, eller så er det er motsatt.

Vurderingseksemplar

I eksempelet vårt er =− +=− f (1)2411 1 , altså er ⋅<ff(1)(2)0, og nullpunktet ligger i intervallet [1 , 2], se figuren i midten nedenfor

Nå gjentar vi prosessen.

Vi finner midtpunktet i m i intervallet [1 , 2]. Det er 1,5.

Vi halverer og får to nye intervaller [1 , 1,5] og [1,5 , 2] Nullpunktet ligger i ett av dem, og det halverer vi på nytt.

Slik fortsetter vi å halvere intervallet nullpunktet ligger innenfor. Når vi har fått snevret intervallet tilstrekkelig inn, er midtpunktet m i intervallet en tilnærming av nullpunktet, f(m) ≈ 0.

Har funksjonen mer enn ett nullpunkt, må vi gjennomføre metoden flere ganger, én gang for hvert nullpunkt.

EKSEMPEL 11

Lag et program som finner en tilnærmet løsning på likningen =− x 24 x ved å halvere intervallet [0 , 2] åtte ganger.

Vi finner nullpunktet til funksjonen gitt ved =−+ fxx ()24 x

a = 1 # startverdi intervall

b = 2 # sluttverdi intervall

def f(x): return 2**x - 4 + x

m = (a + b)/2 # finner midtpunkt i intervall

for i in range(8): if f(a)*f(m) < 0:

b = m else:

a = m

m = (a + b)/2 print(m)

Når vi kjører programmet, blir utskriften: 1.25

Vurderingseksemplar

Utskriften viser at vi med 8 gjentakelser av algoritmen finner at løsningen er 1,38.

Merk!

I eksempelet ovenfor sier vi at den tilnærmede løsningen er 1,38 og ikke 1,384 765 625. Vi bruker altså bare de sifrene i svaret som ikke ser ut til å endre seg om vi lar løkka i programmet gå flere runder.

5.98

I denne oppgaven skal du løse likningen =+ x 0, 2212 x .

a Tegn en graf i GeoGebra eller med Python som du kan bruke til å avgjøre hvor mange løsninger likningen har.

b Bruk grafen til å finne et intervall du mener det fins én løsning i.

c Lag et program som finner en tilnærmingsverdi for løsningen ved å halvere intervallet 12 ganger.

d Hvor mange desimaler vil du si at det er riktig å ta med i løsningen? Hva blir løsningen på likningen da?

5.99

Likningen x 32 10 x =+ har to løsninger.

a Tegn en graf i Python og finn to intervaller som hvert inneholder én av de to løsningene.

Vurderingseksemplar

b Bruk halveringsmetoden to ganger for å finne løsningene på likningen.

c Hva skjer om du starter med et intervall som inneholder begge løsningene? Forklar.

5.100

For en type fisk er sammenhengen mellom fiskens stoffskifte f(x) målt i mg O2 per kg per time og havtemperaturen x målt i °C gitt ved =⋅ fx ( )651,10 x

a Bruk graftegner til finne ut hva havtemperaturen er når stoffskiftet er 204 mg O2 per kg per time.

b Løs oppgave a ved å bruke halveringsmetoden.

RØDE OPPGAVER

5.101

Etter t timer er antall bakterier i en bakteriekultur gitt ved NtD ( )200001,40,[0,5] t N =⋅=

a Hvor mange bakterier var det i bakteriekulturen til å begynne med?

b Hvor stor var økningen i antall bakterier per time i prosent?

c Finn antall bakterier etter tre timer.

d Hvor lang tid tar det før antall bakterier er tredoblet?

5.102

Folketallet i en kommune var 12 500 i starten av 2025. En prognose viser at folketallet sannsynligvis vil minke med 4 % per år i en femårsperiode.

a Finn en modell F(x) for folketallet x år etter starten av 2025.

b Bruk funksjonsuttrykket til å regne ut det forventede folketallet etter fem år.

5.103

Ved dypfrysing av en matrett avkjøles maten fra 90 °C til 20 °C. Når avkjølingen har pågått i

t minutter, er temperaturen f(t) °C, der f er gitt ved ft ( )1200,9820 t =⋅−

a Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0 , 5]. Hva forteller svaret?

b Finn momentan vekstfart når 1 t = 5 2 t = 10 3 t = 15 Hva forteller svarene?

BLÅ OPPGAVER

5.104

Grafen til en eksponentialfunksjon f går gjennom punktene (0 , 4) og (2 , 100).

a Ligger punktet ( 2 , 0,16) også på grafen?

b Løs likningen fx ( )500

5.105

Vurderingseksemplar

I perioden 2008−2018 økte folketallet i en kommune med 2 % per år

I 2012 var folketallet 11 900.

a Hva var folketallet i kommunen i 2018?

b Hva var folketallet i 2010?

c Hvor mange prosent økte folketallet fra 2008 til 2018?

5.106

En funksjon f er gitt ved =⋅ ftab () t , der t > 1.

Doblingstiden T er den tiden det tar fra vi går fra en bestemt funksjonsverdi til en funksjonsverdi som er dobbelt så stor.

a Forklar at vi kan finne doblingstiden ved å løse likningen +=⋅ ftTft () 2()

b Vis med utgangspunkt i oppgave a at doblingstiden er løsningen på likningen b 2 T

c Oppgave b forteller oss at T er uavhengig av t. Hva forteller det oss om eksponentialfunksjoner?

Valg av modell

Når vi skal modellere, må vi velge en passende modell. En modell er aldri riktig eller gal, den er god eller mindre god.

5.107

Hvilken funksjonstype ser ut til å passe best til punktene i koordinatsystemet?

Vurderingseksemplar

Vi bør velge en modell ut fra kunnskap om det vi modellerer, for eksempel om sannsynlig utvikling over tid.

I tillegg bør vi velge den enkleste modellen. Det er som regel den som har færrest parametre. Dette prinsippet har fått navnet Ockhamsbarberkniv. Det har dukket opp i ulike varianter gjennom idéhistorien, helt tilbake til Aristoteles. Lineære modeller, potensmodeller og eksponentialmodeller har to parametre. Ofte er en modell som består av en eksponentialfunksjon og et konstantledd, et godt valg. En slik modell har tre parametre. Med polynomfunksjoner blir det flere parametre desto høyere grad vi velger. Bruker vi polynommodeller av høy grad, kan vi nesten alltid finne en modell som passer med alle målepunktene, men da kan også interpolasjon bli upresis.

EKSEMPEL 12

Tabellen nedenfor viser gjennomsnittsavstanden mellom sola og planetene i solsystemet, og dessuten omløpstiden planetene har rundt sola. Avstanden x er målt i milliarder km, og omløpstiden er målt i år.

Planet MerkurVenusJordaMarsJupiterSaturnUranusNeptun

x (milliarder km) 0,05790,1080,1500,2280,7781,432,874,50

Omløpstid (år) 0,2410,61511,8811,929,584,1162

a Finn ulike modeller som viser omløpstiden som funksjon av x og som passer til tallene i tabellen

b Dvergplaneten Pluto har gjennomsnittsavstand 5,91 milliarder km til sola. Finn omløpstiden til Pluto ifølge modellene fra oppgave a.

c Kommenter svarene i oppgave a og b.

a Vi bruker regresjon og finner tre forskjellige modeller som alle ser ut til å passe bra med dataene.

Potensfunksjonen P er gitt ved = Pxx () 17,22 1,50

Andregradsmodellen P2 er gitt ved =+−Pxxx ( )4,5116,221,74 2 2

Tredjegradsmodellen P3 er gitt ved =−++− Pxxxx ( )0,628,679,800,58 3 32

b Potensmodellen gir at omløpstiden til Pluto er P (5,91)247, altså 247 år

Andregradsmodellen gir at omløpstiden er P (5,91)253 2 , altså 253 år.

Tredjegradsmodellen gir at omløpstiden er P (5,91)231 3 , altså 231 år.

c Alle modellene passer godt til målepunktene.

Når vi ekstrapolerer og bruker modellene på Pluto, blir imidlertid forskjellen stor mellom de ulike modellene.

Eksperter på planetbevegelse kan fortelle oss at potensmodellen er den beste.

Den heter Keplers 3. lov, oppkalt etter matematikeren og astronomen

Johannes Kepler. Ifølge astronomiske tabeller er omløpstiden til Pluto 248 år.

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 13

Bremselengde

Andreas og Inger vil undersøke sammenhengen mellom farten en bil har, og strekningen bilen trenger for å stoppe.

De måler bremselengden til bilen for ulike farter.

Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Fart (km/h)

1020304050

Bremselengde (m) 0,52,04,58,013

a Finn ulike modeller som viser bremselengden ut fra farten på bilen idet bremsingen begynner.

b Hvilke modeller ser ut til å passe best?

a Vi plotter måleresultatene i et koordinatsystem og finner en rett linje gjennom punktene. Linja er gitt ved funksjonsuttrykket

=−bxx () 0,313,7 ❶

Vi forsøker å tilpasse dataene med en andregradsfunksjon, og får

=−+ fxxx ( )0,00570,0330,30 2 ❷

Vi forsøker med en potensfunksjon og får

=⋅ gxx ( )0,0048 2,0

b Andregradsfunksjonen og potensfunksjonen ser ut til å passe bedre med målingene enn den lineære funksjonen.

Andregradsmodellen gir en bremselengde også når bilen står stille, siden f (0)0,30 Potensfunksjonen har en graf som går gjennom origo, og derfor passer den enda bedre enn andregradsfunksjonen. Den beste modellen er gitt ved =⋅ gxx ( )0,0048 2,0

I testen var det tørr asfalt på parkeringsplassen, og bilen hadde gode sommerdekk. Dette sier noe om under hvilke forhold modellen gjelder. Skal modellen brukes under andre forhold, må den justeres.

5.108

I et naturfagforsøk på vg1 slipper elevene stålkuler fra forskjellige høyder og måler tiden de bruker på å nå underlaget. Tabellen nedenfor viser resultatene.

Tid (s) 0,450,550,720,931,091,15

Høyde (m) 1,001,502,554,205,806,45

a Lag en modell som beskriver høyden som funksjon av tiden. b Lag en modell som beskriver tiden som funksjon av høyden.

5.109

Jakob fester en kule i en snor som han fester i en krok i taket. Han tar tiden kula bruker på å svinge fra det ene ytterpunktet og tilbake til det samme ytterpunktet. Vi kaller denne tiden perioden. Tabellen nedenfor viser resultatene for ulike snorlengder.

Snorlengde (meter) 0,100,270,440,80

Periode (sekunder) 0,631,021,321,80

a Lag en modell for perioden f(x) som funksjon av snorlengden x

b Hvordan tror du det går med perioden når snorlengden nærmer seg null? Stemmer dette med din modell?

c Marie gjør også en måling. Hun finner at perioden er 2,45 s når snorlengden er 1,50 m. Hvordan stemmer dette med modellen din?

Juster eventuelt modellen.

5.110 (Eksamen 1T høsten 2023)

Tabellen nedenfor viser antall personer i Norge som hadde fiske som hovedyrke noen år i perioden 1952−2022.

Vurderingseksemplar

År 195219821992200220122022

Antall fiskere 65 95625 28919 78013 84198259591

a La x være antall år etter 1950, og bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en modell som du mener kan brukes til å si noe om antall personer som har hatt fiske som hovedyrke i perioden 1952−2022.

b Hvor mange personer i Norge vil i 2050 ha fiske som hovedyrke ifølge modellen fra oppgave a?

Vurder modellens gyldighetsområde.

EKSEMPEL 14

Johannes vil lage en modell for hvordan temperaturen i en nybakt bolle rett fra ovnen, avtar med tiden. Han stikker et termometer inn i en bolle og leser av temperaturen hvert annet minutt. Måleresultatene ser du i tabellen nedenfor.

Tid (min) 02468101214

Hvordan kan Johannes gå fram for å lage modellen?

Johannes kan velge å la T (t) være temperaturen i grader celsius t minutter etter at han satte i termometeret.

Med utgangspunkt i målingene gir eksponentiell regresjon modellen

T(t) = 92,1 0,95 t

Vurderingseksemplar

Modellen tilsier imidlertid at temperaturen i bollene vil synke mot null grader. Selv om modellen passer bra med punktene viser den ikke en realistisk utvikling.

Bollene vil etter en tid få samme temperatur som rommet de står i Temperaturforskjellen mellom bollene og rommet vil altså avta mot null. Det tyder på at temperaturforskjellen kan modelleres med en eksponentialfunksjon.

Temperaturen i rommet er 22 °C. Vi lager en ny rad med temperaturforskjellene F(t) = T(t) 22 i tabellen.

t 02468101214

T(t) 94,082,973,665,759,753,348,544,4

) 72,060,951,643,737,731,326,522,4

Eksponentiell regresjon på punktene () tFt,() , gir modellen F(t) = 72,1 0,92 t

Funksjonen F representerer temperaturforskjellen mellom boller og rom, F(t) = T(t) 22. Dermed blir modellen for bolletemperaturen

T(t) = F(t) + 22, som gir

T(t) = 72,1 0,92 t + 22

Vi tegner grafen til de to modellene sammen med målepunktene, og ser at begge modellene passer godt med punktene, men at den siste modellen (rød graf) passer bedre over tid enn den første (blå graf). Den siste modellen har altså et større gyldighetsområde.

SNAKK

Johannes ser på grafen i eksempel 14. Det ekstra konstantleddet i funksjonsuttrykket =⋅+ Tt ( )72,10,9222 t «hever» grafen opp, tenker han.

a Hva mener Johannes?

b Hva ville du ha gjort hvis du ønsket å «senke» grafen?

Merk!

Modellen i eksempel 14 hadde vi også kunnet finne ved å legge inn i GeoGebra hvilken form vi ønsker at modellen vår skal ha, i dette tilfellet abt + c

I dette tilfellet ble modellen T (t) = 73,2 0,92t + 20,7.

5.111

En literkartong med melk blir stående igjen på kjøkkenbenken etter frokost. I stedet for å sette den tilbake i kjøleskapet måler David temperaturen hver halve time. Resultatene er gitt i tabellen.

Tid (timer) 00,511,522,5 Temperatur (°C) 5,08,511,213,314,816,0

a Lag en modell for temperaturen i melka. Vi antar at kjøkkentemperaturen er 20 °C.

b Hvor lang tid tar det før temperaturen er over 15 °C?

Vurderingseksemplar

RØDE OPPGAVER

5.112

I dag er det 280 kaniner innenfor et avgrenset område. Anta at en sykdom brer seg blant kaninene, slik at antallet synker, og at det om 20 måneder bare vil være 40 kaniner igjen i området.

a Sett opp ulike modeller som viser hvor mange kaniner det vil være i området om x måneder. Anta at det om ett år vil være 96 kaniner igjen i området.

b Vurder hvilken modell som passer best ut fra denne antakelsen.

5.113

Diagrammet viser hvordan gjennomsnittshøyden for norske rekrutter har utviklet seg i perioden 1900−2010.

a Lag en modell for gjennomsnittshøyden h(x) cm x år etter 1900.

b Forklar hvorfor h ikke er en god modell for framtiden.

c Angi et rimelig gyldighetsområde for modellen.

BLÅ OPPGAVER

5.114 (Eksempeleksamen 1T høsten 2021)

En skål med blåbærgelé ble satt til avkjøling i et rom der temperaturen var 20 °C. Tabellen viser temperaturen i blåbærgeléen x minutter etter at den ble satt til avkjøling.

Vurderingseksemplar

Tid (minutter) 48162040607590

Temperatur (°C) 90,686,578,975,461,050,344,139,2

Stine vil prøve å lage en modell som viser temperaturen i geleen x minutter etter at den ble satt til avkjøling. Hun setter opp en ny tabell.

Tid (minutter) 48162040607590

Temperatur °C 70,666,558,955,441,030,324,119,2

a Lag en modell T på formen T(x) = abx + 20 som viser temperaturen i geleen x minutter etter at den ble satt til avkjøling.

b Hvilket gyldighetsområde vil du si modellen kan ha? x Tid i år etter 1900 Høyde (cm) y

BLANDEDE OPPGAVER

5.115 (Eksamen 1T høsten 2021)

En nettbutikk vil starte salg av en ny type ski 1. november 2022. Anta at funksjonen S gitt ved

=−+≤≤ Sxxxxx ( )0,7559,51200,052 32

kan brukes som en modell for hvor mange par ski S(x) butikken vil kunne selge per uke x uker etter salgsstart.

a Hvor mange uker vil butikken kunne selge mer enn 5000 par ski, ifølge modellen?

b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () S 0,(0) og () S 12,(12) Gi en praktisk tolkning av svaret.

5.116 (Eksamen 1T våren 2012)

Funksjonen f gitt ved

=−++ fxxx ( )0,052,600,50 2

viser sammenhengen mellom alder og vekt for en type griser. Her er f(x) vekten til en gris målt i kilogram når grisen er x måneder gammel.

a Hvor mye veier en gris ved fødselen?

b Hva er alderen til en gris når vekten passerer 20 kg?

Hvor mye øker vekten i gjennomsnitt per måned fram til da?

c Hvor fort øker vekten til en gris når grisen er nøyaktig 12 måneder gammel?

En gris skal slaktes når vekten øker med mindre enn 0,5 kg per måned.

d Hvor gammel er en gris når den skal slaktes?

5.117 (Eksamen 1T våren 2024)

Tabellen nedenfor viser hvor mange bagetter en kantine har solgt hver av de siste sju ukene, og hvor stort overskudd salget har gitt.

Solgte bagetter

Vurderingseksemplar

100130160175190220235

Overskudd (kroner) 1450230030503365372041404175

a Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen O gitt ved

=−+− Oxxx ( )0,0951,042776,98 2

er en god modell for hvor stort overskuddet en uke blir når kantinen produserer og selger x bagetter i løpet av uka.

b Hvor mange bagetter må kantinen produsere og selge i løpet av en uke, ifølge modellen O, for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort blir dette overskuddet?

c Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () O 100,(100) og () O 200,(200) . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

5.118 (Eksamen 1T våren 2022)

En fabrikk har en vanntank. Vannet i tanken skal tappes ut. Anta at funksjonen V gitt ved

kan brukes som en modell for hvor mange liter vann V(x) som er tappet ut av tanken x minutter etter at tappingen startet.

a Bestem V(0). Gi en praktisk tolkning av svaret.

b Bestem verdimengden til V

c Hvor lang tid vil det ta før halvparten av vannet er tappet ut av tanken?

d Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () V 0,(0) og () V 30,(30) Gi en praktisk tolkning av svaret.

e Undersøk om det noen gang vil tappes ut mer enn 105 liter vann i løpet av ett minutt.

5.119

Figuren viser grafen til funksjonen f

a Hva er f (1), f (3, 5) og f (5) ?

b Bruk figuren til å finne f (6)

c Bruk figuren til å løse likningene 1 fx() 1 2 ′ = fx() 1

5.120 (Eksamen 1T høsten 2023)

Funksjonen f er gitt ved =−−+fxxxx () 3234

Bestem likningen til tangenten til grafen til f i punktet () f 1,(1)

5.121

Skisser en graf som passer til fortegnslinjene.

5.122

Er det mulig å skissere en graf som passer til fortegnslinjene? Begrunn svaret.

5.123

Skisser grafen til f i et koordinatsystem uten tall på y-aksen når grafen til f ser ut som på figuren nedenfor.

a b c

5.124

Figuren til høyre viser grafen til funksjonen f a Tegn en fortegnslinje for fx() b Skisser grafen til f

5.125

Funksjonen f er gitt ved

=−+ fxxx () 1 2 3 2

Grafen til f har en tangent med stigningstall 5.

Bestem likningen til denne tangenten.

5.126

Funksjonen f er gitt ved =+fxx () 31 2

Vurderingseksemplar

Grafen til f har en tangent med likning =−yx1211

Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

5.127 (Eksamen 1T våren 2024)

Den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre, er den deriverte av en funksjon f.

Punktet P(1 , 2) ligger på grafen til f.

Bestem likningen til tangenten til grafen til f i punktet P.

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

5.128

Om funksjonen f får du vite at

=+fa(3)3

′ = fa (3)

a Finn likningen til tangenten til f i punktet x = 3.

b Tangenten skjærer x-aksen i x = 5. Finn a

5.129

Funksjonen g er gitt ved

=−+gxxx () 341 2

En tangent til grafen har stigningstall 2. Finn likningen til tangenten.

5.130 (Eksempeleksamen 1T våren 2021)

Figuren til høyre viser grafen til en funksjon f Nullpunktene til f er 4, 0 og 4, og bunnpunktene har koordinater 22,64 () og 22,64 ()

Tegn en fortegnslinje for f og en fortegnslinje for f

5.131 (Eksamen 1T våren 2022)

Funksjonen f er gitt ved

=−⋅++⋅ fxxbxbx () 3222(3) , der b

a Vis at f bare har ett nullpunkt uavhengig av verdien av b

b Løs likningen ′ = fx() 0

Vurderingseksemplar

For hvilke verdier av b har grafen til b bare ett stasjonært punkt?

Dersom b 0, har grafen til f to tangenter med stigningstall 3.

c Bestem likningene for disse tangentene.

5.132 (Eksamen 1T høsten 2021)

Til høyre ser du grafen til en tredjegradsfunksjon f.

Grafen har bunnpunkt ( 2 , 11) og toppunkt (4 , 25).

Likningen til tangenten til grafen i punktet (1 , 7) er y = 9x 2.

Skisser grafen til den deriverte funksjonen f .

, –11)

–10–2–3–4–5–6–7

5.133

Til høyre ser du grafene til polynomfunksjonene f og g.

a Bestem f (0) og f (0)

b Løs likningen fxgx () ()

c Tegn fortegnslinje for gx() og for gx()

d Forklar ut fra grafen til g hvorfor ′ < ′ gg (1) (2)

5.134

Figuren nedenfor til venstre viser grafene til førstegradsfunksjonen t og andregradsfunksjonene f, g og h

Figuren nedenfor til høyre viser grafene til tredjegradsfunksjonene p, q, r og s som er gitt ved =⋅ pxtxfx () ()() =⋅ qxtxgx () ()() =⋅ rxtxhx () ()() =⋅ sxtxkx () ()()

a Hvilken graf (A, B, C eller D) tilhører hver av funksjonene p, q og r? Begrunn svaret. b Lag en skisse av andregradsfunksjonen k som gjør at den fjerde grafen passer til funksjonen s

5.135 (Eksamen 1T høsten 2017)

Om en lineær funksjon f får du vite at f (2)4

′ = f (2) 3

Vurderingseksemplar

Bestem funksjonsuttrykket fx()

5.136

Funksjonen g er gitt ved =−+ gxxxk () 3 , der k ∈ R

Bestem k slik at linja y = 11x 14 er en tangent til grafen til g.

5.137

Funksjonen f er gitt ved

=++−fxxbxcx () 1 3 3 42 , der b og c er konstanter

Grafen til f har et bunnpunkt i () f 1,(1) og en tangent med stigningstallet 3 i () f 2,(2)

Bestem de eksakte verdiene av b og c

5.138

Funksjonen f er gitt ved

=−+ fxxbxx () 32

a Undersøk hvordan antall nullpunkter for f avhenger av b Avhengig av b har grafen til f enten én eller to tangenter med stigningstall 1. b For hvilken verdi av b har grafen bare én tangent med stigningstall 1?

5.139 (Eksamen 1T våren 2019)

Du får vite følgende om fire funksjoner p, q, r og s:

′ = p (0) 0 og ′ −< p (1) 0

′ =− q (1) 2 og ′ =− q (2) 2

Den gjennomsnittlige vekstfarten til r i intervallet [2 ,0] er 3.

Tangentene til grafen til s i punktene () s 2,(2) og () s 2,(2) har likningene =−−yx816 og =− + yx816

Nedenfor ser du seks grafer. Hvilken graf er grafen til p, grafen til q, grafen til r og grafen til s?

Husk å begrunne svarene dine.

5.140 (Eksamen 1T høsten 2023)

En gruppe statistikere har sett på hvordan folketallet i et område har endret seg siden 1960, og lagd en modell gitt ved

Fxxxxx () 1

1000 0,0275,82207900 , 32 () =⋅ −++ ∈ [0 , 80]

for folketallet F(x) tusen innbyggere i området x år etter 1960.

a Vis hvordan du på to ulike måter kan bestemme når folketallet var høyest ifølge modellen.

b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () F 30,(30) og () F 70,(70) Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

c Når vil folketallet avta raskest ifølge modellen?

5.141 (Eksamen 1T våren 2023)

De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkter noen dager hver uke.

Han har funnet at funksjonen T gitt ved

Txxxxxx ()0,0481,413,3645,835,2, 432 =−+−+∈ [2 , 10]

er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen Tx() °C hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar x = 2 svare til 1. februar, x = 3 til 1. mars, x = 4 til 1. april og så videre.

a Omtrent hvor mange døgn i perioden 1. februar−1. oktober er gjennomsnittstemperaturen over 0 °C ifølge modellen?

b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene ( ) T 3,(3) og () T 7,(7) Gi en praktisk tolkning av dette stigningstallet.

c Gjør rede for nullpunkter og ekstremalpunkter til den deriverte funksjonen T Gjør rede for hva koordinatene til hvert av punktene forteller om gjennomsnittstemperaturen utenfor huset til Lars.

5.142

Vurderingseksemplar

Ta for deg funksjonen f gitt ved = + fxx x () 24 1

a Ligger punktene ( 1 , 1) og (3 , 5) på grafen til f? Begrunn svaret.

b Bestem likningen til den loddrette asymptoten til grafen til f. Hva er Df?

c Bestem likningen til den vannrette asymptoten til grafen til f. Hva er Vf?

5.143

Finn likningen til asymptotene til funksjonen.

a = + + fxx x () 52 21 2 b = ++kxxx xx () 2711 45 2 2

5.144

Ta for deg funksjonen = fxxx x () 2 1 2 .

a Finn nullpunktene til funksjonen.

b Finn skjæringspunktet mellom grafen til funksjonen og andreaksen.

c Finn den loddrette asymptoten.

d Bruk polynomdivisjon til å vise at f har en skrå asymptote.

e Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet [2 , 3]

5.145

Ta for deg funksjonen gitt ved = + fxx x () 3 1 2 2

a Forklar at fx() 0 for alle verdier av x

b Løs likningen fx()0

c Vis at −= fxfx () () . Hva forteller det om grafen til f?

d Finn eventuelle asymptoter.

e Finn bunnpunktet på grafen til f.

f Skisser grafen til f.

5.146 (Eksamen 1T høsten 2023)

Nedenfor ser du grafen til funksjonen f gitt ved = + fx x () 8 20 2

Rektangelet under grafen har hjørner i punktene (0 , 0), (5 , 0), () f 5,(5) og f 0,(5) ()

a Bestem arealet av rektangelet.

b Lag en systematisk oversikt som viser arealet av rektanglene som har hjørner i punktene (0 , 0), (n , 0), () nfn,() og () fn 0,() for n {1,2,3,...,10}

c Bestem k slik at arealet av rektangelet som har hjørner i punktene (0 , 0), (k , 0), kfk,() () og () fk 0,() , blir størst mulig.

0,2 0,4 y

0,1 0,3

Vurderingseksemplar

5.147 (Eksamen 1T høsten 2021)

Skissen til høyre viser grafen til funksjonen f gitt ved fx x () 1 og tangenten til grafen i punktet sfs ,( ) ()

a Vis at likningen til tangenten er =−⋅+ y s x s 12 2

Tangenten skjærer koordinataksene i punktene A og B

b Bestem koordinatene til A og B uttrykt ved s

c Bestem arealet av OAB

5.148 (Eksamen 1T høsten 2013)

En kjegle er innskrevet i en kule. Kula har sentrum i S og radius R = 3. Grunnflaten i kjegla har radius r

Høyden i kjegla er h = 3 + y, der y er avstanden fra S til grunnflaten i kjegla. Se skissen til høyre.

Sett r = 2.

a Hvor høy er kjegla?

b Bestem volumet av kjegla.

Sett nå r = x.

c Vis at volumet av kjegla da er gitt ved fxx () 1 3 2 =π⋅⋅ x 39 2 () +−

5.149

Beløpet på en sparekonto økte fra 2000 kr til 2295 kr på fire år. Hva var renta i prosent per år?

5.150

d Hvor stor må radius og høyde i den innskrevne kjegla være for at volumet av kjegla skal bli størst mulig? Hvor stort blir volumet?

a Finn f(0) og ff(1)(0) når f er en lineær funksjon gitt ved =+ fxaxb () Kommenter.

b Finn g(0) og g g (1) (0) når g er en eksponentialfunksjon gitt ved =⋅ gxab () x Kommenter.

5.151 (Eksamen 1T høsten 2021)

En dyrebestand består i dag av 500 dyr. En forsker antar at bestanden vil doble seg i løpet av de ti neste årene.

a Sett opp en modell L(x) som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år, dersom vi antar at bestanden øker lineært.

b Sett opp en modell E(x) som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år, dersom vi antar at bestanden øker eksponentielt.

c Tegn grafen til funksjonen gitt ved

F(x) = L(x) − E(x) , x [0 ,13]

d Bestem toppunktet på grafen til F og skjæringspunktene mellom grafen til F og hver av de rette linjene x = 12 og y = 12. Gi en praktisk tolkning av svarene du får.

5.152

Lufttrykket avtar med høyden over havet. Vi måler trykket i hektopascal (hPa).

Normalt lufttrykk ved havoverflaten er 1013 hPa.

Lufttrykket avtar med 12 % per 1000 meter over havet.

a Hva er normalt lufttrykk 1000 meter over havet?

Funksjonen f er gitt ved fx ( )10130,88 x =⋅

b Forklar at f er en matematisk modell for lufttrykket når x er høyden over havet målt i kilometer

c Bruk grafen til å finne normalt lufttrykk på toppen av Galdhøpiggen, 2469 meter over havet, og

Mount Everest, 8849 meter over havet (ifølge de siste målingene).

d På en fjelltur har du med deg et barometer som viser at lufttrykket på stedet er 800 hPa.

Hvor høyt over havet er du da? Hvorfor kan du ikke være sikker på at denne høyden er helt korrekt?

5.153 (Eksamen 1T høsten 2024)

Funksjonen P gitt ved

P(x) = 3600 ⋅ 0,85x + 600

er en modell som viser hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven av en avis x år etter 2010.

a Vis hvordan du på to ulike måter kan finne ut hvor mange personer som abonnerte på papirutgaven i 2010.

b Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene () P 4,(4) og () P 14,(14) . Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

c Bestem den momentane vekstfarten når x = 10. Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

I 2019 abonnerte 1000 personer på den digitale utgaven av avisen. Antallet personer som abonnerte på den digitale utgaven, økte med 5,5 % hvert år fra 2019 til 2024.

d Hvilket år var det for første gang flere personer som abonnerte på den digitale utgaven av avisen enn på papirutgaven?

5.154

For å vise tilnærmet utviklingen av antall solgte elbiler i Norge i årene 2003−2013 bruker vi en funksjon S som har to forskjellige uttrykk som gjelder i hver sin del av definisjonsmengden [0 , 10]

S(x) er antall solgte elbiler x år etter 2003, slik at x = 0 svarer til 2003.

a Finn antall solgte elbiler i 2007 og i 2012.

b Finn gjennomsnittlig vekstfart i intervallene [0 , 7] og [8 , 10] Hva forteller svarene?

c Vurder om modellen egner seg for å si noe om antall solgte elbiler i dag.

5.155

En eksponentialfunksjon f er gitt ved =⋅ fxab () x Grafen til funksjonen går gjennom punktene (1 , 10) og (3 , 250).

Bestem funksjonsuttrykket.

5.156

Silje la ut en video på TikTok. Den første uka var det 100 stykker som så videoen. For hver uke de påfølgende ukene, var det 15 % flere som så videoen enn uka før Lag et program som finner hvor mange som så videoen den tjuende uka. Utvid programmet slik at det også finner det totale antallet som hadde sett videoen etter tjue uker.

5.157 (Eksamen 1T høsten 2023)

I denne oppgaven skal du arbeide med linjestykker som settes sammen til en figur. Skissen nedenfor viser de 16 første linjestykkene på figuren. Lengdene av et linjestykke er alltid 90 % av lengden av det forrige linjestykket. Det første linjestykket er 100 cm langt.

90 cm

100 cm

Vurderingseksemplar

a Bestem summen av lengdene av de 8 første linjestykkene på figuren.

b Lag et program som du kan bruke til å bestemme summen av lengdene av linjestykkene dersom det er mange linjestykker på figuren. Hvor mange linjestykker må vi ha med på figuren dersom summen av lengdene skal bli minst 9 meter?

c Hvor mange prosent øker summen av lengdene dersom vi øker antall linjestykker på figuren fra 50 til 100?

5.158 (Eksamen 1T våren 2024)

Lufttrykk måles ofte i hektopascal (hPa). Jo høyere over havet vi befinner oss, desto lavere er lufttrykket. Lufttrykket ved havets overflate er ca. 1000 hPa.

Når lufttrykket er lavere enn 1000 hPa, vil kokepunktet for vann være lavere enn 100 °C.

Se tabellen nedenfor.

Lufttrykk (hPa)Kokepunkt for vann (°C)

a Bestem en modell K på formen =⋅ Kxax () b

som tilnærmet viser sammenhengen mellom lufttrykket x hPa og kokepunktet K(x) °C.

Ari: Betyr dette at det ikke går an å få egg hardkokte oppe på et høyt fjell?

Et egg blir ikke hardkokt dersom temperaturen i vannet er lavere enn 85 °C.

Lisa: Det kommer vel an på hvor høyt fjellet er?

Ari: Jeg vil lage en modell som viser hvor høyt lufttrykket er x kilometer over havets overflate.

Jeg har lært at lufttrykket minker med ca. 12 % per km.

Vurderingseksemplar

Lisa: Jeg har lært at lufttrykket halveres for hver 5,5 km.

Jeg vil ta utgangspunkt i dette og lage en modell på samme form som den du lager, Ari.

b Lag modellene for Ari og Lisa.

c Omtrent hvor høyt over havet er det mulig å få egg hardkokte?

5.159 (Eksamen 1T høsten 2022)

Figuren til venstre viser en pendel. Tiden pendelen bruker på å svinge fra posisjon A til posisjon B og tilbake til posisjon A igjen, kalles svingetiden. Klasse 1STA har utført et forsøk i naturfag. De har målt svingetiden til pendler med ulike snorlengder

Tabellen nedenfor viser svingetiden til pendler med åtte ulike snorlengder.

Snorlengde (meter)

0,10,30,50,81,01,31,62,0

Svingetid (sekund) 0,691,171,441,822,082,272,532,80

a Bruk tallene i tabellen, og lag en modell på formen

Sxax () b

som viser svingetiden S(x) sekunder til en pendel med snorlengde x meter.

Formelen

T L g 2π =

Snor

kan brukes til å regne ut svingetiden T til en pendel, når vi ser bort fra friksjon og luftmotstand.

L er snorlengden gitt i meter, og g er tyngdens akselerasjon.

På jorda er g = 9,81 m/s2

b Vis at denne formelen kan forenkles til TL 2

c Sammenlikn modellen du fant i oppgave a med formelen for T

5.160 (Eksamen 1T våren 2025)

Isabel er industridesigner. Hun arbeider med et design på bokser med form som sylindre.

Formel for å regne ut volumet av en boks med radius r og høyde h

=π⋅⋅ Vrh 2

Formel for å regne ut arealet av overflaten av boksen

=π⋅+⋅π⋅⋅ Orrh 2 2

Isabel lurer på hvor stor radius hun bør velge og hvor høye boksene må være, når hver boks skal ha V på 450 cm3 O

Isabel ser at når hun har gitt volum og radius, kan hun regne ut høyden ved å bruke formelen =π⋅⋅ Vrh 2

a Lag en oversikt som vist nedenfor. Gjør beregninger og fyll inn verdiene som mangler.

Radius, r (cm)Høyde, h (cm)Overflate, O (cm2)Volum, V (cm3)

Isabel ønsker å lage en modell som viser overflaten av ulike bokser hun kan lage ved å endre radius.

b Sett opp et funksjonsuttrykk Isabel kan bruke, og lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom radius og overflate.

c Hvor stor må radius i boksene være for at overflaten skal bli minst mulig? Hvor stor blir overflaten da?

SAMMENDRAG

Gjennomsnittlig vekstfart

f (x2) f (x1)

Momentant vekstfart. Den deriverte

f ( x ) x = fx 2 () fx1 () x 2 x1 ′ = fxa () 1

Momentan vekstfart til f i x = x1 er stigningstallet for tangenten i () xfx11,() x1 x2 x f (x) x2 –x1 f (x2) –f (x1)

Rasjonale funksjoner fxpx qx () () () , der p og q er polynomfunksjoner.

Hvis verken p eller q er av høyere grad enn 1, kan funksjonen skrives på formen = + fxa xr c ()

x = r er en loddrett (vertikal) asymptote. y = c er en vannrett (horisontal) asymptote.

Vurderingseksemplar

Potensfunksjoner

asymptote

Eksponentialfunksjoner

=⋅ fxax () b , der a 0, b 0 =⋅ fxab () x , der a 0 og b 0

Hvis b 0 , er D 0, f [ =→ a er funksjonsverdien når x = 0. Hvis b 0, er D 0, f =→ b er vekstfaktoren.

)

< 1

Df .

KAPITTELTEST

Oppgave 1

Funksjonen f er gitt ved =−+fxxx () 1 2 46 2

a Finn gjennomsnittlig vekstfart for f i intervallet [2 , 8]

b Bestem f(5) og f (5)

Oppgave 2

Figuren viser grafen til tredjegradsfunksjonen f

Oppgave 4

Anita har med seg en termos med kaffe på jobben. En modell for temperaturen i termosflaska er =⋅+ ft() 600,920 t Her står ft() for temperaturen i °C ved tiden t timer etter at kaffen ble fylt på termosen.

a Hva var temperaturen i kaffen da den ble helt på termosen?

b Hvor lang tid vil det ta før temperaturen i kaffen er under 50 °C?

a Løs likningen ′ = fx() 0

b Tegn fortegnslinja for fx()

Tangenten til grafen i f 2,(2) () har stigningstall 3 2

c Finn funksjonsuttrykket fx()

Oppgave 3

Figuren viser grafen til en funksjon g

Hva ser ut til å være funksjonsuttrykket g(x).

Argumenter for svaret.

Vurderingseksemplar

c Bestem stigningstallet til den rette linja som går gjennom punktene f 3,(3) () og () f 6,(6) Gi en praktisk tolkning av svaret.

d Bestem den momentane vekstfarten når x = 10. Gi en praktisk tolkning av svaret.

e Gi en praktisk tolkning av tallet 20 i modellen.

Oppgave 5

Tuppen og Lillemor lager fem kuleformede snøballer i ulik størrelse. De måler først diameteren med en linjal og bestemmer deretter volumet av dem i et litermål.

Diameter (cm) 4,86,88,510,212,1 Volum (mL) 60170320560930

a Hjelp Tuppen og Lillemor med å lage en modell d på formen

=⋅ dVaV () b

som tilnærmet viser sammenhengen mellom volumet V mL og diameteren d(V) cm.

Radien r i en kule med volum V er gitt ved formelen

r V 3 4 3 = ⋅ ⋅π

b Gjør nødvendige beregninger og vurder samsvaret mellom denne formelen og modellen i oppgave a.

Trigonometri 6 Vurderingseksemplar

6A Trigonometriske forhold 339

6B Generelle definisjoner 356

6C Arealsetningen 362

6D Sinussetningen 368

6E Cosinussetningen 374

Vurderingseksemplar

Ordet trigonometri betyr trekantmåling og dreier seg om sammenhenger mellom vinkler og sider i en trekant.

Struvesmeridianbue består av mange målepunkter og går gjennom 10 land. Den 282 mil lange buen starter i Hammerfest og ender opp ved Svartehavet i Ukraina. Astronomen Friedrich Georg Wilhelm Struve ledet fra 1816 til 1855 arbeidet med meridianbuen. Formålet var å bestemme størrelse og form på planeten vår så nøyaktig som mulig.

Med utgangspunkt i kjente punkter, vinkelmålinger og observasjoner mot stjerner bestemte han plasseringen av nye punkter. Dette er grunnlaget for moderne kart- og oppmålingsarbeid, som i dag gjøres med GPS.

Struves arbeid er et eksempel på praktisk bruk av trigonometri.

Noen spesielle mangekanter

Rettvinklet trekant

Trekant der én vinkel er 90°.

Likesidet trekant

Trekant der alle sider er like lange og alle vinkler er 60°.

Halvt likesidet trekant

Trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°. I slike trekanter er hypotenusen dobbelt så lang som den minste kateten.

Likebeint trekant

Trekant der to sider er like lange og to vinkler er like store.

Kvadrat

Firkant der alle sider er like lange og alle vinkler er 90°.

Rektangel

Firkant der to og to sider er like lange og alle vinkler er 90°.

Vinkler og lengder i mangekanter

Nedenfor ser du en figur av trekanten ABC, ABC. Vinkelen i hjørnet A kan vi skrive som

Linjestykket BC er motstående side til vinkel A og har lengden a

Vi skriver BC = a. Videre er AC motstående side til vinkel B og har lengden b AB er motstående side til vinkel C og har lengden c

Vinkelsummen i en trekant er 180°.

ABC 180

Vinkelsummen i en firkant er 360°.

ABCD 360

Pytagorassetningen

A = 90° a2 = b 2 + c 2

SNAKK Kan en trekant være både rettvinklet og likesidet? Kan en trekant være både rettvinklet og likebeint? Hva er summen av de to andre vinklene i en rettvinklet trekant? Er hypotenusen alltid dobbelt så lang som den korteste kateten?

Trigonometriske forhold

Formlikhet

Bildet lengst til venstre er en forstørrelse av det midterste bildet, og bildet til høyre er speilvendt.

SNAKK

Vurderingseksemplar

Når vi forminsker, forstørrer, roterer, forskyver eller speilvender en figur, får vi en formlik figur. I formlike figurer er tilsvarendevinkler like store. På bildene ovenfor har vi markert et eksempel på tilsvarende vinkler.

Er alle likesidede trekanter formlike? Er alle rettvinklede trekanter formlike?

I trekantene nedenfor er ∠=∠AD , ∠=∠BE og ∠=∠CF

Trekantene ABC og DEF er formlike fordi vinklene er parvis like store. Det kan vi skrive slik: ABC DEF .

Sider markert med samme farge på figuren ovenfor er tilsvarendesider. Forholdet mellom lengdene av to tilsvarende sider er lik forholdet mellom to andre tilsvarende sider. Vi kan for eksempel skrive AB DE AC DF eller c f b e

EKSEMPEL 1

Hvis vi multipliserer på begge sider med DE og dividerer på begge sider med AC, får vi

AB AC DE DF eller c b f e

Forholdet mellom lengdene av to sider i den ene av to formlike trekanter er lik forholdet mellom lengdene av de to tilsvarende sidene i den andre trekanten.

Når vi kjenner forholdet mellom lengdene av to sider i en trekant, kan vi bruke det til å finne lengden av en ukjent side i en annen trekant som er formlik.

Bestem lengden av EF

Vinklene er parvis like store, så trekantene ABC og DEF er formlike.

Forholdet mellom BC og AB er BC AB 4 5 0,8

Vurderingseksemplar

Forholdet EF DE er derfor også lik 0,8. Det gir

EF EF 8 0,8 6,4

Lengden av EF er 6,4.

6.1

a Begrunn at trekanten GHI er formlik med trekantene i eksempel 1.

b Bestem lengden av GH 38,7° 12 IG H

Motstående og hosliggende kateter

Når vi jobber med rettvinklede trekanter, er det nødvendig å skille mellom de to katetene, avhengig av hvilken vinkel vi ser dem fra.

Hosliggende katet til vinkel A Hypotenus Motstående katet til vinkel A

Sett fra vinkel A

AB er hosliggende katet. BC er motstående katet.

6.2

Figuren viser en rettvinklet trekant ABC

Motstående katet til vinkel C Hypotenus Hosliggende katet til vinkel C

Sett fra vinkel C

Vurderingseksemplar

AB er motstående katet. BC er hosliggende katet.

a Hvor lang er hypotenusen?

b Hvor lang er den hosliggende kateten til vinkel A?

c Hvor lang er den motstående kateten til vinkel B?

d Hva er forholdet mellom lengden av den motstående kateten og lengden av den hosliggende kateten til vinkel A?

e Hva er forholdet mellom lengden av den hosliggende kateten til vinkel B og lengden av hypotenusen?

f Vis at pytagorassetningen stemmer for ABC

Trekantene DEF og GHI er formlike med trekanten ABC.

g Hvilke vinkler i DEF og GHI er like store som B ?

h Bestem verdien av forholdet d e

i Bestem verdien av forholdet g i .

UTFORSK

Tegn en rettvinklet trekant der en av vinklene er 35°. Mål lengden av sidene med en linjal.

Ta utgangspunkt i vinkelen på 35° og regn ut forholdet mellom lengdene av

Sammenlikn resultatene dine med andres, eller tegn flere større og mindre trekanter selv og gjenta beregningene av forholdene.

Kommenter og forklar.

Konstante forhold i rettvinklede trekanter

Hypotenus

Hosliggende katet til v

Hypotenus

Motstående katet til v

Vurderingseksemplar

Motstående katet til v

Hosliggende katet til v

Forholdet mellom lengdene av motstående katet og hosliggende katet til en vinkel v i en rettvinklet trekant er det samme, uavhengig av størrelsen på trekanten. Tilsvarende er forholdet mellom lengdene av motstående katet og hypotenus og forholdet mellom lengdene av hosliggende katet og hypotenus også det samme.

Hva om vi lagde tabeller med disse tre forholdene for heltallige vinkler mellom 0° og 90°? Nedenfor ser du et utdrag fra en slik tabell der forholdene er avrundet til 4 desimaler.

Vurderingseksemplar

6.3

I en rettvinklet trekant ABC er ∠=° A 42 og ∠=° B 90

Bruk tabellen ovenfor til å finne forholdet mellom

a AB og AC

b BC og AB

c BC og AC

6.4

I en rettvinklet trekant DEF er ∠=° E 90 , DE = 10,0 cm og EF = 7,0 cm.

a Tegn trekanten.

b Bestem forholdet mellom EF og DE

c Bruk tabellen ovenfor til å bestemme ∠D Kontroller svaret med en gradskive.

6.5

I en rettvinklet trekant GHI er ∠=° G 31 , ∠ =° H 90 og GH = 10,0 cm.

Bruk blant annet tabellen ovenfor til å bestemme lengden av HI.

6.6

I en rettvinklet trekant JKL er ∠J = 30° og ∠=° K 90

Begrunn at forholdet mellom KL og JL er eksakt lik 1 2

Sinus, cosinus og tangens

Forholdene vi har sett på i rettvinklede trekanter, har egne navn.

Forholdet mellom lengden av den motstående kateten til en vinkel v og lengden av hypotenusen har fått navnet sinustilv. Vi skriver dette som sin v

På tilsvarende måte har forholdet mellom lengdene av den hosliggende kateten og hypotenusen fått navnet cosinustilv. Vi skriver dette som cos v

Videre har forholdet mellom lengdene av den motstående og den hosliggende kateten til vinkel v fått navnet tangenstilv. Vi skriver dette som tan v

Av tabellen på side 343 kan vi for eksempel se at

Vurderingseksemplar

sin 35° = 0,5736 cos 35° = 0,8192 tan 35° = 0,7002

Hvordan stemmer dette med resultatene dine i UTFORSK på side 342?

v sin

motståendekatettil hypotenus

v v cos hosliggende katettil hypotenus

Hypotenus

Motstående katet til v v

Hosliggende katet til v

motståendekatettil hosliggende katettil

v v v tan

Før i tiden var det vanlig å slå opp i tabeller for å finne sinus, cosinus og tangens til en vinkel. Nå bruker vi vanligvis digitale verktøy til å finne trigonometriske verdier

Finn tilnærmet verdi med fire desimaler for sinus, cosinus og tangens til 38,7°.

Legg merke til parentesen rundt vinkelen. Hurtigtasten for gradtegn er Alt + o.

For noen utvalgte vinkler kan vi utlede eksakte trigonometriske verdier.

EKSEMPEL 3

Finn eksakt verdi for sinus, cosinus og tangens til 30°.

Hvis en av vinklene i en rettvinklet trekant er 30°, er den siste vinkelen 60°.

I en slik 30°−60°−90°-trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den korteste kateten.

Vi velger å sette lengden av den korteste kateten lik 1. Hypotenusen har da lengden 2. Se hjelpefiguren nedenfor.

Selv om vi velger en lengde for den motstående kateten, gjelder resultatene generelt. Det er fordi forholdene er de samme for alle mulige valg, så lenge vinkelen er 30°.

Vurderingseksemplar

Vi bruker definisjonen av sinus og får

°=sin30 1 2

motståendekatet hypotenus

For å komme videre må vi regne ut den hosliggende kateten AB Pytagorassetningen gir

= = AB AB AB 12 3 3 222 2

Vi bruker definisjonen av cosinus og får

°=cos30 3 2

hosliggende katet hypotenus

Vi bruker definisjonen av tangens og får

°=tan30 1 3

Merk!

motståendekatet hosliggende katet

CAS kan også gi oss eksakte verdier.

Tilsynelatende får vi her et annet svar enn i eksempel 3, men vi kan vise at de to svarene er like: == = 1 3 3 3 3 3 33 1 3

6.7

Finn med digitalt verktøy en tilnærmet verdi med to desimaler for a sin 70°

b cos 70°

c tan 70°

6.8

Ta utgangspunkt i hjelpefiguren i eksempel 3 og finn eksakt verdi for a sin 60°

b cos 60°

c tan 60°

6.9

Ta utgangspunkt i figuren til høyre og finn eksakt verdi for a sin 45°

b cos 45°

c tan 45°

6.10 (Eksamen 1T høsten 2022)

Gitt trekanten til høyre.

Vis at u u u sin cos tan .

6.11 (Eksamen 1T våren 2024)

Tom har arbeidet med trekanten til venstre

og påstår at ⋅=uv tantan1

a Vis at Tom har rett.

b Avgjør om påstanden stemmer for alle rettvinklede trekanter med to spisse vinkler u og v

6.12 (Eksamen 1T våren 2022)

Om en rettvinklet trekant ABC får du vite at ∠= B tan 3 4

Vurderingseksemplar

∠= B sin 3 10 ?

Husk å begrunne alle tre svarene.

Fra forholdstall til vinkel

Vurderingseksemplar

For hver spiss vinkel v i en rettvinklet trekant har vi sett at det fins en bestemt verdi for forholdene sin v, cos v og tan v

Omvendt gjelder at til hver verdi av forholdet svarer det en bestemt spiss vinkel v. Å gå fra forholdstallet til vinkelen heter arcus eller invers

I oppgave 6.4c fant du ut at arcus tangens til 0,7 var 35°.

Av oversikten med eksakte verdier ovenfor kan vi for eksempel se at 1 2 er 60° 1 2 er 30°

Det varierer hvordan kommandoer for dette ser ut i digitale verktøy. Arcus tangens forkortes for eksempel gjerne arctan, eller bare atan. En vanlig skrivemåte for invers tangens er tan 1

EKSEMPEL 4

Finn vinkelen v i en rettvinklet trekant når cos v = 0,35.

I CAS kan vi skrive acosd(0.35) og klikke på .

I «acosd» gjør d at vi får svaret i grader (degree).

Alternativt kan vi skrive acos(0.35)/° og klikke på

Vi skriver /° for å få svaret i grader.

En tredje måte i CAS er å løse en likning.

Da kan vi få flere løsninger. Siden vi foreløpig bare er interessert i vinkler mellom 0° og 90°, legger vi inn dette som en betingelse.

Med Python kan vi gjøre slik: 1 2 3 4 from numpy import arccos, degrees v = arccos(0.35) print(degrees(v))

Vurderingseksemplar

Vi klikker på

Vi skriver degrees(v) for å få svaret i grader.

Når vi kjører programmet, får vi utskriften 69.51268488527734

I alle tilfeller har vi funnet at vinkel v er 69,5°.

Merk!

I de fleste digitale verktøy er radianer standard vinkelmål. Det er grunnen til at vi i eksempelet måtte gjøre ulike grep for å få svaret i grader. Vinkelmålet radianer er tema i Matematikk R2.

6.13

Finn vinkelen v i en rettvinklet trekant når a v cos0,25 b v sin0,83 c v tan3,9

EKSEMPEL 5

6.14

Finn vinkelen v i en rettvinklet trekant når

Ukjente sider og vinkler i rettvinklede trekanter

Finn vinkel u

Vi kjenner den motstående kateten til vinkel u og hypotenusen.

Da kan vi bruke definisjonen av sinus til å finne vinkel u

motståendekatet hypotenus

Vinkel u er 53,1°.

EKSEMPEL 6

Finn de ukjente vinklene i trekanten ABC.

Vi kjenner katetene i trekanten. Da kan vi bruke definisjonen av tangens til å finne for eksempel vinkel A

motståendekatet hosliggende katet

Vinkel A er 32,0°.

Vi kan finne vinkel C på tilsvarende måte, men siden vi nå kjenner to av de tre vinklene, er det enklest å bruke at vinkelsummen i en trekant er 180°.

Vinkel C er 58,0°.

6.15 Finn vinkel x

6.16

Finn de ukjente vinklene i trekanten ABC

6.17 Finn vinkel v 1

EKSEMPEL 7

På figuren er avstanden BC fra punktet B til dronen lik 50 m.

BC danner vinkelen 22° med en horisontal slette.

a Hvor høyt over bakken er dronen?

b Hva er avstanden mellom punktene A og B?

a Høyden AC er motstående katet til vinkel B. Videre kjenner vi hypotenusen. Derfor bruker vi definisjonen av sinus til å sette opp en likning som AC må oppfylle.

Dronen er omtrent 19 m over bakken.

Vurderingseksemplar

Vi klikker på .

b Avstanden mellom punktene A og B er hosliggende katet til vinkel B Derfor bruker vi cosinus.

Avstanden mellom punktene A og B er omtrent 46 m.

Merk!

Etter å ha funnet AC i første del av eksempel 7 kunne vi ha valgt å finne AB med pytagorassetningen.

=−=−=ABBCAC22225018,7346,36

I så fall er det god praksis å ta med noen flere desimaler i AC enn det var i det avrundede svaret på oppgave a.

EKSEMPEL 8

Finn lengden av siden AB når B tan 1 4 . Definisjonen av tangens gir

Lengden av siden AB er 32.

6.18

Bestem lengden x a b

6.19 Bestem lengden x

Vurderingseksemplar

6.20 (Eksamen 1T våren 2021)

Du får vite følgende om trekanten ABC: AC 10 A sin 3 5

Bestem lengden av BC

Vurderingseksemplar

6.21

Per og Kari står på en rett kyststripe og ser på Lars som kiter.

Per, Kari og Lars danner hjørnene i en trekant PKL, der ∠=∠=° PK 21, 8

Avstanden mellom Per og Kari er 300 m.

Hvor langt fra land er Lars?

6.22

En vaier støtter en 18 m høy mast.

Vaieren er festet i bakken og i toppen av masta.

Vaieren danner 70° med bakken, som er horisontal.

Tegn hjelpefigur og regn ut hvor lang vaieren er.

6.23

I en rettvinklet trekant ABC er vinkel A den rette vinkelen.

BC 43 og B sin 3 2

Finn lengden av siden AB.

RØDE OPPGAVER

6.24

Tegn en trekant ABC der

a vinkel A er rett og B sin 3 4

b vinkel B er rett og C tan 5 12

6.25 (Eksamen 1T våren 2023)

En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10.

Se figuren til høyre.

Vis at +=uu (sin )(cos)1 22

6.26 (Eksamen 1T høsten 2023)

En likesidet trekant har sidelengder 2.

Se figuren til høyre.

Bruk trekanten til å vise at °=cos60 1 2

6.27

6.28

I en rettvinklet trekant er en av de spisse vinklene 60°.

Den hosliggende kateten til denne vinkelen er 8,0 cm.

Lag en målsatt tegning av trekanten. Vis nødvendige beregninger.

6.29 8

Vurderingseksemplar

22 2 13 m 1,5 m

Finn de ukjente vinklene og den ukjente siden i en rettvinklet trekant der a de to katetene er 3 og 4 b hypotenusen er 12,5 cm og den ene kateten er 8,0 cm

For å måle høyden av en husvegg sikter Vilde mot toppen av veggen fra et punkt 13 m fra huset, slik figuren viser.

Finn høyden av veggen.

BLÅ OPPGAVER

6.30

En båt ligger fortøyd til brygga slik figuren viser.

Vannet stiger 0,50 m.

Hva vil avstanden fra båten til brygga være etter at vannet har steget?

Vi forutsetter at tauet som holder båten fortsatt er stramt.

6.31

Hvis summen av to vinkler er 90°, sier vi at de er komplementvinkler

Tegn en passende hjelpefigur, og vis sammenhengen mellom sin u og cos v når u og v er komplementvinkler.

6.32

I en rettvinklet trekant ABC er ∠=° A 90 og AB = 4,5 cm.

Tegn trekanten slik at C sin 0,6

6.33

I en rettvinklet trekant ABC er ∠ =° A 90

Finn BC når AB 33 og C tan3

6.34

Tegn en trekant ABC som stemmer med at A tan

6.35

I en rettvinklet trekant ABC er ∠=° B 90 , C cos 3 3 og AC 43

Finn eksakte verdier for omkretsen og arealet av trekanten.

Generelle definisjoner

Hvis du studerer matematikk og naturvitenskap videre, vil du erfare at sinus, cosinus og tangens dukker opp i mange sammenhenger, blant annet i forbindelse med tidevann, nordlys og elektromotorer. På veien dit må vi utvide definisjonene fra forrige underkapittel.

Definisjonene av sinus, cosinus og tangens er så langt knyttet til rettvinklede trekanter og spisse vinkler.

Venstrebein

Høyrebein

Vinkelen u på figuren ovenfor er stump fordi den er mellom 90° og 180°. Vi ønsker en definisjon som også gjelder for stumpe vinkler.

Enhetssirkelen

Sirkelen med radius 1 og sentrum i origo kaller vi enhetssirkelen

Vurderingseksemplar

Nå tegner vi en spiss vinkel u med toppunkt i origo (O) og det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet P. Normalen fra P ned på førsteaksen har fotpunktetF.

Vi ser nå på den rettvinklede trekanten OFP. Siden hypotenusen OP er radius i enhetssirkelen, er OP = 1.

Definisjonene av cosinus, sinus og tangens i rettvinklede trekanter gir

u OF OP OF OF cos 1 , som er førstekoordinaten til P

u FP OP FP FP sin 1 , som er andrekoordinaten til P

u FP OF tan , som er forholdet mellom koordinatene til P

Vi har altså at koordinatene til P er uu (cos ,sin), og at u u u tan sin cos

Vi legger inn en stump vinkel v på tilsvarende måte, med toppunkt i origo og det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen.

Vurderingseksemplar

Også nå vil det andre vinkelbeinet skjære sirkelen i et bestemt punkt P. Ved å definere cosinus, sinus og tangens ved hjelp av koordinatene til dette punktet har vi en definisjon som gjelder for stumpe vinkler. Som vi har vist ovenfor, sammenfaller den med vår opprinnelige definisjon for spisse vinkler.

En slik definisjon behøver vi ikke å begrense til spisse og stumpe vinkler. Vi kan tenke oss at det venstre vinkelbeinet dreies hele veien rundt i enhetssirkelen. Den eneste begrensningen er at tangens ikke lar seg definere for 90° eller 270°, for da er førstekoordinaten til P, altså nevneren i definisjonen av tangens, lik 0.

La v være en vilkårlig vinkel med toppunkt i origo og det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen i et koordinatsystem.

Skjæringspunktet mellom det andre vinkelbeinet og enhetssirkelen er P. Da er

cos v = førstekoordinaten til P sin v = andrekoordinaten til P v v v tan sin cos

EKSEMPEL 9

Bruk figuren til å finne

cos 127°, sin 127° og tan 127°.

Vi tenker oss det ene vinkelbeinet langs den positive førsteaksen og ser at det andre vinkelbeinet skjærer enhetssirkelen i punktet (0,6,0,8)

Ifølge den generelle definisjonen har vi da

cos1270,6

sin1270,8

Bruk figuren til å finne tilnærmet verdi for a cos 110° b sin 110° c tan 110°

Vurderingseksemplar

6.37

a Hva er størst av sin 37° og sin 44°?

b Hva er størst av sin 137° og sin 144°?

6.38

To vinkler u og v er begge stumpe.

a Hvilken av vinklene er størst hvis sin u = 0,3 og sin v = 0,4?

b Hvilken av vinklene er størst hvis cos u = 0,3 og cos v = 0,4?

6.39

Tegn en enhetssirkel og forklar at a cos 90° = 0 b sin 90° = 1

c cos 180° = 1 d sin 270° = 1

EKSEMPEL 10

Supplementvinkler

For hver spiss vinkel fins det en stump vinkel slik at de til sammen utgjør 180°. Et slikt par av vinkler kaller vi supplementvinkler.

Vinklene x og y til høyre er supplementvinkler.

x = 30°, er y = 150°.

x = 40°, er y = 140°.

Nedenfor har vi tegnet inn supplementvinklene u og v i enhetssirkelen.

Vurderingseksemplar

Venstrebeina til vinklene skjærer enhetssirkelen i hvert sitt punkt P og Q På grunn av symmetri har P og Q lik andrekoordinat og motsatt førstekoordinat. Det betyr ifølge den generelle definisjonen av sinus at vinklene har lik sinusverdi og motsatt cosinusverdi.

La u og v være supplementvinkler. Da er

sin u = sin v cos u = cos v

Finn eksakte verdier for sin 150° og cos 150°.

Vi har tidligere vist at °=sin30 1 2, og at °=cos30 3 2 .

Siden 30° og 150° er supplementvinkler, er

°=°=sin150sin30 1 2

°=−°=−cos150cos30 3 2

EKSEMPEL 11

I trekanten ABC er =° B 62,5 og sin C = 0,75.

Bestem vinkel A.

I en trekant er vinklene mellom 0° og 180°, så vi legger inn dette som betingelse.

Vi klikker på

Vi ser at det er to vinkler som har sinusverdien 0,75. Løsningen 131,4° må vi forkaste. Det er fordi 131,4° + 62,5° overstiger vinkelsummen i trekanter (180°).

Altså er ∠=° A 48,6

6.40

Hvilken vinkel mellom 0° og 180° har samme sinusverdi som a 20° b 50° c 75° d 120°

6.41

Vi har tidligere vist at °=sin60 3 2 , og at °=cos60 1 2

Bruk dette til å finne eksakt verdi for a sin 120° b cos 120°

6.42

a Hva er supplementvinkelen til 135°?

b Finn eksakt verdi for sin 135°.

Vurderingseksemplar

c Finn eksakt verdi for cos 135°.

6.43

I trekanten ABC er B = 32,5° og sin C = 0,75. Skissér hvordan trekanten kan se ut.

6.44 (Eksamen 1T høsten 2024)

I koordinatsystemet til høyre har vi tegnet en sirkel med radius r = 1.

Punktet P(0,64 , 0,77) ligger på sirkelen.

a Er tan 50° > 1? Husk å begrunne svaret ditt.

b Er tan 130° > 0? Husk å begrunne svaret ditt.

RØDE OPPGAVER

6.45

Tegn enhetssirkelen og bruk den til å finne a sin 0° b sin 180° c cos 0° d cos 270°

6.46

Bruk figuren til å finne tilnærmet verdi for a sin 159,5° b cos 159,5° c cos 20,5° d sin 20,5°

6.47

Hvilken vinkel mellom 0° og 180° har samme sinusverdi som a 30° b 70° c 100° d 175°

BLÅ OPPGAVER

6.48

Hva kan du si om en vinkel i en trekant hvis a sinus til vinkelen er 0,9 b cosinus til vinkelen er 0,9 c tangens til vinkelen er 0,9 d sinus til vinkelen er et positivt tall og cosinus til vinkelen er et negativt tall e tangens til vinkelen er et negativt tall

6.49

Vurderingseksemplar

Punktene A(2 , 1), B(5 , 1) og C(6 , 3) er gitt. Bestem sinusverdien, cosinusverdien og tangensverdien til ∠ABC

6.50

Ta for deg likningssystemet += =− xy yx 1 22

a Løs likningssystemet både grafisk og med CAS. b Forklar hvorfor og hvordan resultatet kan brukes å finne eksakte verdier for cos 135° og sin 135°.

Arealsetningen 6C

Vi bruker F for ﬂate i stedet for A for areal siden A er et hjørne i trekanten.

I trekanten ovenfor kjenner vi både grunnlinja og høyden. Da er det lett å finne arealet F av trekanten. =⋅⋅=⋅⋅= F 1 2 grunnlinjehøyde 1 2 5020500

Hva om høyden i trekanten ikke er gitt?

C c

Vurderingseksemplar

I trekanten ABC til venstre ovenfor kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem. Høyden er ukjent, men vi tegner den inn som en hjelpelinje med lengde h

Se figuren til høyre ovenfor. Hjelpelinja deler trekanten i to rettvinklede trekanter. Vi bruker definisjonen av sinus i rettvinklede trekanter til å finne høyden uttrykt ved de kjente størrelsene. = =⋅ A h b hbA sin sin

Arealet av trekanten er da

I utledningen ovenfor er vinkel A spiss.

Hvis vinkel A er rett, får vi ==°=⋅= FbcAbcbcbc

Dette er åpenbart riktig, siden grunnlinja er c og høyden er b i dette tilfellet. C b AcB

Da gjenstår det å undersøke om formelen også gjelder hvis A er en stump vinkel. b

AB C c bh

AB C c u

Hjelpelinjene danner en rettvinklet trekant på utsiden av ABC

I denne trekanten er u h b sin , som gir =⋅ hbu sin

Vurderingseksemplar

Siden vinkel u er supplementvinkelen til vinkel A, er uAsinsin

Høyden er altså =⋅ hbA sin også når vinkel A er stump, og da blir formelen for arealet den samme som vi fant når vinkel A er spiss.

Vi har nå bevist det vi kaller arealsetningen med utgangspunkt i vinkel A

Vi kunne like gjerne ha tatt utgangspunkt i vinkel B eller vinkel C

Arealsetningen

Arealet av en trekant er lik halve produktet av to sider ganget med sinus til vinkelen mellom dem.

AB a c

FbcA 1 2 sin

FacB 1 2 sin

FabC 1 2 sin b C

EKSEMPEL 12

EKSEMPEL 13

I trekanten ABC er AB = 8, BC = 3 og ∠B = 150°.

Finn arealet av trekanten.

Først lager vi en hjelpefigur.

Vi kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen.

Da kan vi bruke arealsetningen med utgangspunkt i denne vinkelen.

1 2 38sin150

Arealet av trekanten er 6.

I en trekant ABC er AB = 10 cm og AC = 8 cm. Arealet av trekanten er 36 cm2 Finn vinkel A og tegn trekanten.

Vi bruker arealsetningen med utgangspunkt i vinkel A. Det gir likningen

Vi løser likningen med CAS.

Vurderingseksemplar

Vi har ingen grunn til å forkaste noen av løsningene. Det betyr at det er to trekanter som tilfredsstiller opplysningene i oppgaven. I den ene trekanten er ∠A = 64,2°, og i den andre er ∠A =115,8°.

Se nærmere på trekantene i eksempel 13. Forklar at en linje gjennom de to punktene merket C1 ogC2 er parallell med en linje gjennom A og B

1 mål = 1000 m2

6.51

Bestem arealet av trekanten ABC når sin A = 0,6.

6.52

I trekanten ABC er AB = 2, BC = 4 og ∠B = 45°.

Finn arealet av trekanten.

6.53 (Eksamen 1T høsten 2023)

Vurderingseksemplar

Hvilken av de to trekantene har størst areal?

Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

6.54

I en trekant ABC er ∠A = 35°, AB = 15 cm og AC = 12,5 cm.

Finn arealet av trekanten.

6.55

En trekant ABC har arealet 36,0 cm2

Videre er ∠A = 50° og AB = 12,5 cm.

Finn lengden av AC

6.56

Finn arealet av firkanten ABCD.

6.57

En tomt har form som en firkant ABCD.

AB = 54,2 m

BD = 78,3 m

DC = 61,7 m

∠=° ABD 32,9

∠=° BDC 44,5

Hva er arealet av tomta? Gi svaret i mål.

RØDE OPPGAVER

6.58

a Avgjør, uten å regne, hvilken trekant som har størst areal.

b Regn ut arealet av trekantene.

6.59

Regn ut arealet av trekantene. a

6.60

a Regn ut arealet av en trekant når en side er 5,8 m, en annen side er 8,1 m og vinkelen mellom de to sidene er 53,2°.

b I en trekant er en av sidene 10,0 cm, og en annen av sidene er 12,0 cm. Hvor stort er arealet av trekanten når den mellomliggende vinkelen er 134,5°?

c Tegn trekantene som stemmer med opplysningene i oppgavene a og b.

6.61

Vurderingseksemplar

Om en firkantet tomt ABCD vet vi at

= 35,4 m

BC = 20,4 m

CD = 38,9 m

AD = 27,1 m

∠ =° ABC 106

ADC 85,1 ∠= °

Hva er arealet av tomta?

BLÅ OPPGAVER

6.62

I en trekant ABC med arealet 202 er AB = 10 og AC = 8. Avgjør om det er én eller flere trekanter som passer til beskrivelsen. Lag målsatt(e) skisse(er).

6.63

Om en firkantet tomt ABCD vet vi at AB = 35,4 m, BC = 20,4 m, AD = 27,1 m,

∠BAD = 50,0° og ∠B = 90,0°.

Hva er arealet av tomta?

6.64

22 m A

32°

31° B 16 m C D

En bonde skal felle trær i et flatt område som har målene på figuren. Hvert tre opptar i gjennomsnitt et areal på 9 m2

Hvor mange trær vokser det på hele området?

6.65 (Eksamen 1T våren 2023)

30° r r r C B A S

Vurderingseksemplar

Punktene A, B og C ligger på en sirkel med sentrum i S og radius r.

∠=° SBA 30 og ∠= ° BSC 90 .

Arealet av =+ ABC 236

Se figuren ovenfor

Bestem en eksakt verdi for r

Sinussetningen

Vi tar for oss en vilkårlig trekant ABC

b C

AB a c

Når vi skal bruke arealsetningen til å finne arealet av trekanten, kan vi ta utgangspunkt i vinkel A, vinkel B eller vinkel C. De tre ulike uttrykkene vi da får for arealet, må være like. Det gir

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ bcAacBabC 1 2 sin 1 2 sin 1 2 sin

Vi multipliserer med 2 og får

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ bcAacBabC sin sinsin

Så dividerer vi med abc og forkorter. Da får vi A a B b C c sinsinsin

Vi har nå utledet sinussetningen, som gjelder for alle trekanter

Sinussetningen

Vurderingseksemplar

I en trekant er forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av den motstående siden det samme for alle de tre vinklene.

A a B b C c sinsinsin

b C

AB a c

Vi kan bruke sinussetningen til å finne en ukjent vinkel eller en ukjent side i en trekant. Da velger vi to av brøkene, slik at vi har bare én ukjent størrelse, og setter dem lik hverandre.

EKSEMPEL 14

Ukjent side

I trekanten ABC er AB = 6,0 cm, ∠A = 36,9° og ∠C = 11,5°.

Finn lengden av BC

Vi tegner først en hjelpefigur.

Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt

i vinklene A og C

Det gir likningen

° = ° BC sin36,9sin11,5 6,0

som vi løser med CAS.

Lengden av siden BC er 18,1 cm.

Vurderingseksemplar

6.66

Bestem x på figuren til høyre.

6.67

Se figuren til høyre.

a Finn ∠C

b Finn lengden av AC

c Finn lengden av BC

6.68

I en trekant ABC er = 6

∠B = 45°

∠C = 30°

Finn lengden av AC.

6.69

Finn lengden av sidene i trekanten.

EKSEMPEL 15

Ukjent vinkel

I trekanten ABC er a = 6,5, b = 3,9 og ∠A = 41,6°.

Bestem vinkel B

Vi lager hjelpefigur.

= 6,5 b = 3,9

41,6°

Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B

Det gir likningen = ° B sin 3,9 sin41,6 6,5

som vi løser med CAS.

156,52° + 41,6° er større enn 180°.

Derfor forkaster vi løsningen B = 156,52°.

Vinkel B er 23,5°.

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 16

I trekanten ABC er a = 8,0, b = 12,0 og ∠A = 31°.

Bestem ∠B.

Vi lager hjelpefigur og ser at det fins to trekanter som passer til opplysningene, trekantene AB1C og AB2C

= 12,0

= 8,0

Vurderingseksemplar

Vi bruker sinussetningen med utgangspunkt i vinklene A og B

Vinklene B1 = 50,6° og B2 = 129,4° passer i hver sin trekant.

Merk!

Når vi bruker sinussetningen til å finne en ukjent vinkel i en trekant, får vi i første omgang to løsninger. Det er fordi det er to vinkler mellom 0° og 180° som har samme sinusverdi. Disse vinklene er supplementvinkler. Det eneste unntaket er hvis vinkelen viser seg å være eksakt 90°.

Det er bare når vi kjenner to sider og den motstående vinkelen til den korteste av dem, at det faktisk kan være to trekanter som passer til opplysningene.

I eksempel 15 kjente vi to sider og den motstående vinkelen til den lengste av dem. Figuren nedenfor viser at det bare fins én trekant som passer til opplysningene.

UTFORSK

6.70

Bestem x.

6.71

a Hvor stor er vinkel A?

b Hvor stor er vinkel B?

c Hvor lang er siden AC?

6.72

I trekanten ABC er a = 16,2, c = 12,4 og ∠A = 130,6°.

a Tegn hjelpefigur og vurder om det er én eller to trekanter som passer til opplysningene.

b Bestem den ukjente siden og de ukjente vinklene i trekanten(e).

6.73

I en trekant ABC er ∠A = 50°, AB = 10,0 cm og BC = 8,5 cm.

a Tegn hjelpefigur og vurder om det er én eller to trekanter som passer til opplysningene.

b Bestem den ukjente siden og de ukjente vinklene i trekanten(e).

Figuren viser siden AC og vinkelen A i en trekant ABC

Vurderingseksemplar

For hvilke lengder av BC er det

Hvor må punkt B plasseres hvis lengden av BC skal være så kort som mulig?

RØDE OPPGAVER

6.74

Finn x i trekantene. a b

6.75

a Finn lengden av AC

b Finn ABC

c Finn arealet av firkanten ABCD

BLÅ OPPGAVER

6.76

Bestem arealet av trekanten ABC på figuren til høyre.

6.77

I en trekant er ∠A = 51°, AB = 4,3 og BC = 3,9.

Hva kan arealet av trekanten være?

6.78 (Eksamen 1T våren 2022)

Gitt firkanten ABCD til høyre.

a Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

b Vis at forholdet mellom arealet av ABD og

arealet av BCD er () + 3 2 31

6.79

I en trekant ABC er A sin 6 3 B sin 3 4 = 6

Finn en eksakt verdi for lengden av de ukjente sidene i trekanten.

Cosinussetningen

Pytagorassetningen gjelder for rettvinklede trekanter, men det fins en «utvidet pytagorassetning» som gjelder for alle trekanter. Vi kaller den cosinussetningen

Cosinussetningen

abcbcA 2cos 222 = =++−

C AB a c a2 = b2 + c2

Her har vi formulert cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel A, men vi kan også ta utgangspunkt i en av de andre vinklene. Med utgangspunkt i vinkel B får vi

=+−⋅ bacacB 2cos 222

Legg merke til at cosinussetningen sammenfaller med pytagorassetningen når trekanten er rettvinklet. Hvis for eksempel vinkel A er rett, får vi =+−⋅°=+−⋅=+ abcbcbcbcbc 2 cos90 20 222 22 22

Vi skal bevise setningen, men først viser vi noen eksempler på hvordan vi bruker den.

Vurderingseksemplar

EKSEMPEL 17

Finn avstanden mellom vindmøllene A og B.

950 m

Vurderingseksemplar

Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i den kjente vinkelen. Det gir likningen =+−⋅⋅⋅° AB 550 2229502550950cos23,8

som vi løser med CAS.

Vi forkaster den negative løsningen. Avstanden mellom vindmøllene er omtrent 500 m.

6.80

To sider i en trekant er 3,3 cm og 4,5 cm.

Den mellomliggende vinkelen er 41,7°.

Tegn hjelpefigur og finn lengden av den ukjente siden.

6.81

Se figuren. Bestem x

x 30° 4 34

6.82

Se figuren til høyre.

a Formuler cosinussetningen med utgangspunkt i 1 vinkel D 2 vinkel E 3 vinkel F

b Anta at =+−⋅ddE 75 10cos 222 Hvilken side har lengde 5?

EKSEMPEL 18

Bestem vinklene i trekanten.

b = 10,0 c = 8,0 a = 5,0

Siden vi kjenner alle sidene, kan vi fritt velge hvilken vinkel vi tar utgangspunkt i. Vi bruker cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel B og får en likning som vi løser med CAS.

For å finne neste vinkel kan vi velge å bruke cosinussetningen på nytt, eller vi kan velge å bruke sinussetningen. Vi velger å bruke cosinussetningen en gang til. Det er det to grunner til. Vi unngår å bruke en tidligere beregnet verdi, og vi slipper å få to løsninger å ta stilling til.

For å finne den siste vinkelen er det enklest å bruke at summen av vinklene i trekanten er 180°.

180° (29,7° + 97,9°) = 52,4

Vurderingseksemplar

Altså har vi funnet at ∠A = 29,7°, ∠B = 97,9° og ∠C = 52,4°.

6.83

Regn ut vinklene i en trekant der sidene er 6,0, 7,0 og 10,0.

6.84

Siv har brukt cosinussetningen til å finne en ukjent vinkel v i en trekant. Hun endte opp med cos v = 2 og skjønte at hun måtte ha gjort noe galt.

Hvordan kunne Siv vite at noe var galt?

6.85

Bestem vinkel A.

6.86

I en trekant ABC er AB = 1, BC 5 og AC 22

Bestem vinkel A

SNAKK

Legg en plan for hvordan du vil gå fram for å finne arealet av trekanten ABC når ∠>° B 90

Hvorfor er opplysningen om at vinkel B er stump, nødvendig?

Vurderingseksemplar

a Finn lengden av diagonalen AC

b Finn vinkel D

c Finn arealet av firkanten ABCD

6.88

Se tilbake på eksempel 16. Sett lengden av AB lik c

a Bruk cosinussetningen til å sette opp en likning med c som ukjent. Løs likningen.

b Bruk cosinussetningen til å vise at resultatet i oppgave a gir de samme to mulighetene for ∠B som vi fant i eksempelet.

6.89 (Eksamen 1T høsten 2023)

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren til høyre.

Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

SNAKK

Forklar hvordan du vil gå fram for å finne

arealet av firkanten ABCD

Legg vekt på å formidle strategien og på å bruke fagbegreper på en riktig måte

Bevis for cosinussetningen

Vi tar utgangspunkt i den spisse vinkelen A i trekanten ABC nedenfor.

Vi lar CD være normalen fra C ned på AB, som har lengden c

Vi setter AD = x. Da blir DB = cx

Av trekanten ADC ser vi at =− hbx222 , og at x = b cos A

Vi bruker pytagorassetningen på trekanten DBC

Vurderingseksemplar

Vi setter inn b 2 − x 2 for h 2 .

Så setter vi inn b ⋅ cos A for x. Da får vi cosinussetningen med utgangspunkt i vinkel A:

Hvis vi setter A = 90°, får vi =+−⋅°=+−⋅=+ abcbcbcbcbc 2 cos90 20 222 22 22

Dette er pytagorassetningen, og den aksepterer vi som bevist fra før.

Da gjenstår å vise at cosinussetningen også gjelder for A > 90°.

Vi tar utgangspunkt i den stumpe vinkelen A på figuren nedenfor.

På figuren er CD normalen fra C ned på forlengelsen av BA

Vi setter CD = h og DA = x

Siden u og A er supplementvinkler, har vi at =− uAcoscos

Av figuren ser vi at =− hbx222 , og at ==− xbubA coscos

Vi bruker pytagorassetningen på trekanten DBC og får

Vurderingseksemplar

Nå har vi bevist at cosinussetningen gjelder når vinkelen vi tar utgangspunkt i, er spiss, rett eller stump, og dermed at den gjelder for alle trekanter.

RØDE OPPGAVER

6.90

Finn x i trekantene. a b 123º 3,0 3,6 x

6.91

Finn de ukjente sidene og vinklene i trekanten ABC når

a AB = 6, AC = 5 og A = 20°

b AB = 6,8, BC = 5,6 og CA = 3,8

6.92

En familie tar båten fra Spirabukta S til Dueøya D

Deretter drar familien til Kråkeøya K

Avstanden SD er 1950 m, og avstanden SK er 1600 m.

Fra Kråkeøya drar familien tilbake til Spirabukta.

Vinkel KSD er 40°.

Hvor lang er turen?

Vurderingseksemplar

BLÅ OPPGAVER

a Bestem arealet av trekanten ABC

b Bestem lengden av siden

6.94

Finn avstanden AD på figuren.

6.95 (Eksamen 1T høsten 2022)

Nina og Edvard arbeider med å finne en ukjent side x i en trekant. De har brukt cosinussetningen og satt opp likningen

=+ xx141616 222

a Hvilke opplysninger kan Nina og Edvard ha fått om trekanten?

Siden likningen ovenfor er en andregradslikning, antar Nina at det er to ulike trekanter som passer med opplysningene de har fått.

b Løs likningen og lag én skisse som viser at Ninas antakelse er riktig. Sett mål på skissen.

Nina og Edvard vet at andregradslikninger kan ha to løsninger, én løsning eller ingen løsning. Edvard bytter ut 142 med 52. Da har likningen ovenfor ingen løsning. «Det kunne vi sett om vi hadde lagd en skisse», sier Nina. «Jeg lurer på hvilket tall vi måtte erstattet 142 med for å få nøyaktig én løsning.»

c Ta utgangspunkt i skissen du har lagd. Gjør beregninger og bestem lengdene av sidene i det tilfellet der likningen har nøyaktig én løsning. Bruk eksakte verdier

BLANDEDE OPPGAVER

6.96

Figuren viser et tre som er brukket.

a Hvor høyt var treet?

b Finn vinkelen mellom de brukne delene av stammen.

6.97

I en rettvinklet trekant er hypotenusen dobbelt så lang som den ene kateten.

Den andre kateten er 9.

a Finn den eksakte lengden av den ukjente kateten.

b Finn den eksakte verdien av sinus til den minste vinkelen i trekanten.

6.98 (Eksamen 1T våren 2019)

a Vis at 4843 , og at 7553

b Vis eller forklar at °=cos60 1 2

Gitt trekanten ABC til høyre.

c Bestem en eksakt verdi for lengden av siden BC

6.99 (Eksamen 1T våren 2024) u m v

Vurderingseksemplar

Når en lysstråle går fra luft til vann, skifter den retning.

På figuren står linja m vinkelrett på vannoverflaten, og lysstrålen går fra å danne en vinkel u med m til å danne en vinkel v med m

Når lysstrålen går fra luft til vann, vil

=⋅ uv sin 1,33sin

a Hvor stor må vinkelen u være for at vinkelen v skal bli 39°?

b Hva vil skje med vinkelen v dersom vinkelen u nærmer seg 90°?

c Kan vinklene u og v bli like store?

Husk å begrunne svarene dine.

6.100

Om en firkantet tomt ABCD er det oppgitt at ∠A = ∠B = 90°, AB = 39 m, BC = 32 m, og at diagonalen BD = 55 m.

Langs tomtegrensen blir det satt opp et gjerde.

a Bestem vinkelen som diagonalen BD danner med gjerdet BC

b Regn ut lengden av gjerdet.

6.101

I en rettvinklet trekant ABC er A lik 90°. Tegn en trekant som stemmer med at

a B tan 4 5 b B tan 4 3

6.102

Figuren viser en rett veistrekning med jevn stigning.

Vi kan oppgi stigningen i grader (vinkel ) eller i prosent.

a Vi setter a = 20 og c = 250. Bestem stigningen i grader og i prosent.

b Vis at en stigning på 11 % er det samme som en stigning på ca. 6,3°.

c Hvor mange grader er en stigning på 100 %?

6.103 2,1 1,8 5,6 v Bestem vinkel v

6.104

Vurderingseksemplar

En stige står mot en husvegg og danner 75° med bakken. Hvor lang må stigen være for å nå 5,0 m opp på veggen?

6.105

Bruk opplysningene på figuren til å finne

a vinkel v

b lengden av BC

c lengden av AB

6.106

AuB u

Figuren viser tverrsnittet av hemsen på en hytte.

AB er gulvet på hemsen. Vinkel u er 32°.

På hver side av hemsen er det satt opp en vegg som er 40 cm høy.

Hvor bred blir hemsen mellom disse to veggene?

6.107

AB C D 7,0m 22° 22°

Takvinkelen på et hus skal være 22°.

Det skal være 7,0 m fra mønet ned til kanten av taket.

Finn bredden av huset (AB på figuren).

6.108 ADB C 30 m

Finn lengden av AD

Vurderingseksemplar

6.109 2 v v v 3 4 5

Området på figuren er satt sammen av tre trekanter.

Bestem den spisse vinkelen v slik at arealet av området blir 6,5.

6.110

Figuren viser et kvadrat med side c som står skråstilt inni et større kvadrat med side a + b

Vi får da fire like store rettvinklede trekanter med grunnlinje a og høyde b

Bruk figuren til å bevise pytagorassetningen.

6.111

Vurderingseksemplar

I trekanten ABC ovenfor er ∠=° C 90 . Høyden fra C ned på AB treffer AB i D a Forklar at ∼ ABCACD , og at ∼ ABCCBD b Bruk figuren til å bevise pytagorassetningen, altså at += ACBCAB 222

6.112 a x b c Figuren viser et kvadrat med side a Finn x eksakt når b = 4 og c = 3.

6.113

Et trippel (a , b , c) av naturlige tall kaller vi et pytagoreisktrippel hvis += abc222 .

Vi kan regne ut pytagoreiske tripler ved å bruke følgende formel for a, b og c og velge passende verdier for n og t:

a Sett t = 2, og lag et program som skriver ut pytagoreiske tripler for heltallige n-verdier i intervallet [3 , 7]

Et pytagoreisk trippel er primitivt hvis 1 er den største felles faktoren til a, b og c

b Hvilke av de pytagoreiske triplene i oppgave a er primitive?

c Gjør om programmet i oppgave a slik at programmet skriver ut triplene (7 , 24 , 25) og (16 , 30 , 34).

6.114

Arealet av trekanten er () + 233

Bruk dette til å vise at °=+()sin75 1 4 26

Vurderingseksemplar

6.115 h c ba AB C

a Vis at hab c .

b Bruk resultatet i oppgave a og pytagorassetningen til å vise at

abh 111222

c I en rettvinklet trekant ABC er ∠=° C 90 , BC = 3 og AC = 4. Finn høyden h fra C på hypotenusen AB

6.116 ba

c AB C RR S E Buen AB

Periferivinkelsetningen sier at når periferivinkelen ACB og sentralvinkelen ASB i sirkelen spenner over samme sirkelbue, er sentralvinkelen dobbelt så stor som periferivinkelen.

Bruk dette til å vise at c C R sin 2 , der R er radien i sirkelen.

Vis at dette også gjelder for vinklene A og B Forklar at dette er et bevis for sinussetningen.

6.117 (Eksamen 1T høsten 2024) 2 1

Vurderingseksemplar

Snorre har funnet formelen nedenfor i en matematikkbok.

⋅⋅=⋅ uuu 2 sin()cos()sin(2)

Bruk trekanten ovenfor og vis at formelen gjelder når u = 30°.

6.118 (Eksamen 1T høsten 2024)

Maria skal lage en stjerne ved å sette sammen 12 like store likesidede trekanter. Lengdene av sidekantene i trekantene er 4.

Ved å bruke pytagorassetningen og arealberegninger har Maria kommet fram til at arealet av stjernen vil bli 483

Vis at du kan komme fram til samme resultat ved å bruke trigonometri.

6.119 (Eksamen 1T høsten 2024)

Klassen til Isabel og Anniken skal vise at de kan bruke trigonometri for å bestemme arealet av figuren nedenfor

Vurderingseksemplar

Læreren har delt klassen i grupper og gitt hver gruppe noen opplysninger i tillegg til informasjonen som kan leses ut fra figuren.

Gruppa til Isabel har fått vite at AD = 6,0, BC = 10,0, og at diagonalen AC = 16,4.

a Vis hvordan gruppa til Isabel kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

Gruppa til Anniken har fått vite at ∠A = 62,5°, ∠C = 38,3°, ∠ABD = 45,5° og ∠CBD = 85,5°.

b Vis hvordan gruppen til Anniken kan bestemme arealet ved å bruke opplysningene de har tilgang til. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

6.120 (Eksamen 1T våren 2024)

Du får vite følgende om en trekant ABC:

AB er 8

∠A = 120° 43

Bestem lengden av sidene AC og BC eksakt.

6.121

Lag et program som beregner arealet av en trekant der alle sidene er kjent.

6.122 (Eksamen 1T våren 2023)

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.

Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

6.123 (Eksamen 1T høsten 2022) 45° B C A S

Vurderingseksemplar

En sirkel har sentrum i S. AB er diameter, og C ligger på sirkelperiferien. Arealet av SBC er 32.

a Bestem sirkelens radius. Bruk eksakte verdier.

b Bestem arealet av ABC . Bruk eksakte verdier.

6.124 (Eksamen 1T høsten 2021)

AB a C

Gitt firkanten ABCD

a Vis at =⋅ BDa 3

b Bestem et eksakt uttrykk for omkretsen av firkanten.

c Bestem a slik at arealet av firkanten blir lik 3

6.125 (Eksamen 1T våren 2021)

Siri har brukt cosinussetningen og fått likningen

=+− axx 22288

Undersøk hvordan trekanter som tilfredsstiller denne likningen, kan se ut for ulike verdier av a

6.126 Embla har lagd dette programmet:

from numpy import sin, radians, degrees

a = 4

c = 10

B = 0 def F(B): return 0.5*a*c*sin(B) while B < radians(180): if F(B) <= 10: print(round(degrees(B)))

B = B + radians(1)

Forklar hva Embla ønsker å finne ut.

6.127

Til høyre ser du en skisse av en sokk sett fra siden.

a Finn ut hvor mye stoff sokken består av, ved å tilnærme arealet av sokken med arealet av kjente geometriske figurer.

b Hvor bratt er sokken over midtpartiet i gjennomsnitt?

6.128 tak

2,4 m

En kule er festet i enden av en 1,3 m lang tråd, som er hengt opp i en krok i taket.

Sigvart gir kula en dytt. Da svinger kula ut en vinkel α til siden før den svinger tilbake. Se figuren.

a Bestem α hvis kula var 1,9 meter over gulvet da den snudde.

Etter at kula har svinget fram og tilbake noen ganger, måler Sigvart at α = 50° idet den snur.

b Hvor høyt over gulvet var kula da den nå snudde? Kommenter svaret.

6.129

Bruk blant annet enhetssirkelen til å løse likningene når x ∈[0° , 360°]

a 2sin x = 1

b 2cos x = 1

6.130

Bruk halveringsmetoden (se kapittel 5) til å løse likningen 2sin x = cos x når x ∈[0° , 90°]

6.131

Vurderingseksemplar

En akebakke har form som grafen til funksjonen f gitt ved

=− fx()1,161 x , x 015

Her er både x og f(x) målt i meter.

a Hvor mange grader er den gjennomsnittlige helningsvinkelen i akebakken?

b Hvor i akebakken er bakken like bratt som den er i gjennomsnitt?

6.132 (Eksamen 1T våren 2019)

En funksjon f er gitt ved fxaxba () , 0 =+> .

Nedenfor ser du en skisse av grafen til f. Her er AD = 1.

y x 1 C f D A

a Forklar at CDa

Grafen til funksjonen g er en rett linje som går gjennom punktet A og står vinkelrett på grafen til f

Se skissen nedenfor.

y x 1 C f D B A a g

b Forklar at ADC og BDA er formlike.

(T ips: Forklar at begge trekantene er formlike med ABC .)

Vurderingseksemplar

c Bruk resultatet fra oppgave b til å vise at BD a 1

d Vis at påstanden nedenfor er riktig.

Påstand

Dersom grafene til to lineære funksjoner står normalt på hverandre, vil produktet av stigningstallene være lik 1.

BLANDEDE OPPGAVER

6.133 R h h+x h x r Vi ønsker å utlede formelen for volumet av en avkortet kjegle med høyde h, store radius R og lille radius r. Se figuren.

Volumet av en kjegle er gitt ved uttrykket π⋅⋅radiushøyde 3 2

a Bruk formlikhet til å vise at = x hr Rr

La VS være volumet av kjegla med radius R og høyde h + x

La VL være volumet av kjegla med radius r og høyde x

b Uttrykk volumet av den avkortede kjegla, VA, ved VS og VL

c Bruk formelen du fant i oppgave b til å vise at volumet av den avkortede kjegla er

hRRrr 3 A 22 () = π++

d En avkortet kjegle har volum 73 , høyde 3 og store radius lik 4.

Lag en tegning som beskriver snittflaten vi får hvis denne avkortede kjegla blir delt i to langs en diameter fra toppen til bunnen.

Vurderingseksemplar

SAMMENDRAG

Rettvinklede trekanter

Trekantberegninger

c v b a AB C v P cos v sin v b C

AB a c

Arealsetningen hvis vi kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen.

FbcAacBabC 1 2 sin 1 2 sin 1 2 sin

= v b a sin = v c a cos = v b c tan

=+ abc222

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens v v v tan sin cos , v ≠ 90° , v ≠ 270°

Vurderingseksemplar

Sinussetningen hvis vi kjenner to vinkler og én side eller to sider og én ikke-mellomliggende vinkel.

A a B b C c sinsinsin

Cosinussetningen hvis vi kjenner alle sidene eller to sider og én vinkel. =+− =+ =+− abcbcA bacacB cababC 2cos 2cos 2cos 222 222 222

Vi må vurdere om det er én eller to løsninger som stemmer med opplysningene hvis vi bruker en vinkel

Eksakte trigonometriske verdier v 0°30°45°60°90°

KAPITTELTEST

Oppgave 1 4 v

Bestem de ukjente sidene og vinklene i trekanten ovenfor når du får vite at v tan 3 4

Oppgave 2

I en rettvinklet trekant ABC med B som rett vinkel er A cos 4 5

a Tegn en trekant som stemmer med opplysningene.

b Hva er tan A?

c Hvor lang er AC hvis lengden av AB er 8?

Oppgave 3 66

8 AB C

Se figuren.

a Bestem en eksakt verdi for tan A

b Finn arealet av trekanten ABC

Oppgave 4

Oppgave 5

Figuren viser et landområde ABC som er omgitt av en vei.

a Regn ut arealet av landområdet.

Vurderingseksemplar

b Det går en sti fra punktet C til veien AB Hvor kort kan denne stien være?

c Bestem vinkel C

Oppgave 6

Bruk trigonometri til å beregne lengden av de ukjente sidene i og arealet av firkanten ABCD

Oppgave 7

I den likebeinte trekanten PQR er ∠P = 120°, og PQ = 2.

a Finn vinkel Q og vinkel R

b Finn lengden av PR og QR.

c Finn arealet av trekanten.

a Finn lengden av siden BD

b Finn arealet av firkanten ABCD

Fasit

Du ﬁnner fullstendige løsninger av alle oppgavene på Aunivers.no, også de som er merket med −.

1 Tall og tallmønstre

1.1 a 8 b 1 c 3 d 0 e 3,544

1.2 a > b < c = d ∈ e ∉ f ∈

1.3 a − b − c − d −

1.4 a ∉ b ∉ c ∈

1.5 a Alltid sann b Ikke alltid sann

1.6 a < b > c < d < e > f = g < h > 1.7 −

1.8 a Rasjonalt b Rasjonalt c Ikke rasjonalt d Rasjonalt e Rasjonalt

1.9 a ∈ b ∈ c ∉

1.10 a 23 10 b 36 5 c 1 9 d 52 9 1.11 −5

1.12 a ∈ b ∈ c ∉

1.13 a 31 99 b 109 90 c 1687 330

Vurderingseksemplar

1.14 a Sann b Usann c Sann 1.15 a 23 = 8 b ( 5)2 = 25 1.16 a 9 b 9 c 27 d 27 1.17 a 1 b 1 c 1 d 1 1.18 a 1 b 28 1.19 a 215 b x13y9 c x 1.20 a x4y4 b 64x2 c 8x3y3 d 9x7y5 1.21 a x y 6 6 b 1 27 c x 25 4

3 3 1.22 a x18 b 16 c 25x6

y 8 15 1.23 a − b − 1.24 a 1 b x2 c x10 d 4x6 1.25 2 2 3 1 2 1 60 0,1 1

1.26 a Ikke standardform b Ikke standardform c Standardform d Ikke standardform e Standardform

1.27 a 8 106 b 1,3 105 c 6 10 5 d 2,5 10 2

1.28 a 4 000 000 000 b 380 000 c 0,000 599 d 0,002 05

1.29 a 8 1011 b 2 10 c 4,2 106

1.30 a 8 10 7 b 2,4 10 3 c 2 10 1

1.31 a 1,5 102 b 4 1018 c 5 106

1.32 a 2,47 1014 b 2,83 1012 c 1,49 10 10

1.33 a 9 MJ b 24 kg c 5 ms d 2,5 GW

1.34 a 512 000 000 000 W b 512 000 MB c 0,512 TB

1.35 a 72 500 000 B = 7,25 107 W b 150 MW c 0,68 mW

1.36 1,9 pg

1.37 8,7 ⋅ 106 J = 8,7 MJ

1.38 a a8 b a c 8a3 d a15 e 9 4

Vurderingseksemplar

1.39 a 9n2 b 4 c k 4 5 d x15 e a b 9 2

1.40 G, H, F, I, D

1.41 a 4y10 b x 56 2 c 3x8

1.42 4 10 3 3 10 5 0,0001 2 10 4 0,001 570 000 000 6 108

1.43 a 6 1010 b 9 10 9 c 3 108 d 8 1011

1.44 a 2 kJ b 9 MHz c 5 μm d 750 nm

1.45 14 GL

1.46 a b a b 32n c 25 d ab 1 5 7 e 52

1.47 a x15 b 12x6 c 1

1.48 G, I, E, B, F, J

1.49 a − b − c −

1.50 6300 3500 2800 5400 1.51 a 1,05 10 3 b 7,5 107 c 8 10 6 d 5,02 10 15

1.52 a 2 10 8 m 2 10 2 μm b 50 milliarder

1.53 0,3 mg

1.54 a 9,5 ⋅ 1015 m b 4,1 ⋅ 1016 m

1.55 a 10 b 16 c 64 d 64

1.56 a − b − c −

1.57 a − b 1 85 2 45 3 45 4 60

1.58 − 1.59 a 20 b 3 c 10 1.60 a 18 b 64 c 25

1.61 a 16 b 1000 c 1 25

1.62 a 5 b −

1.63 25 3 80 124 +⋅ 2

1.64 a 3 16 b 45 c 1600

1.65 10

1.66 − 1.67 a 3 b 53 c 5

1.68 −

1.69 a Usann b Sann c Sann

1.70 a − b 19 c 39 d 4n 1

1.71 a 9 b 19 c Pn = 2n + 1

1.72 Dn = 2n + 3

1.73 a K5 = 25, K6 = 36 b Kn = n2 c K5 = 25, K100 = 10 000 d 12

1.74 a 3n 1 b 5n 2 c n2 1

1.75 O = 4a + 6

1.76 A = h2

1.77 a 11, 13, 15, 17 b 2n + 1

1.78 a 1, 8, 27 b 64 c kn = n3 d 8000 kuler

1.79 a − b bn = 2n2 + 2n +1 c b10 = 221, 100 røde perler

1.80 a 40 b fn = 2n2 + 2n

1.81 a

nn < 9?p

5Ja2 5 = 10 n økes til 6

6Ja2 6 = 12 n økes til 7

7Ja2 7 = 14 n økes til 8

8Ja2 8 = 16 n økes til 9

9Nei− b 10, 12, 14, 16 c 16

1.82 a − b −

1.83 a − b −

1.84 a P5 = 56 b − c −

1.85 a Fn = 3n + 1 b 15 250

1.86 a 55 b 1210 c 17 ﬁgurer, 1279 klosser igjen

1.87 a 210 b 27 c 1540 d 27

1.88 Ingen av tallene er trekanttall.

1.89 a − b − c 145 d hnnnnn (1) 2 (31) 2 n 2 =+ = e Ja

Vurderingseksemplar

1.90 a 35 b − c −

1.91 −

1.92 a − b − c 16 blå og 269 røde 1.93 a − b − c F4 = T4 + 2T3 d F3 =

1.94 − 1.95 a | 2|, 70 og ( 2)2

b | 2|, 3 2 , 22, 70, 4 1, 3,7 10 4, ( 2)2 og 0

c 22 og ( 2)2

1.96 a 26 = 64 b 47 4

1.97 a 15 b 0,006 c 50 000

f Fnn(31) 2 n =

1.98 6 1012 bakterier 1.99 a 2,0 107 b 1,8 1014 c 3,2 1011

1.100 a 2, 5, 10, 17, 26 b − c − d − 1.91 a a x 6 6 2 b x 1 8 6 c 23

1.102 1,18 ⋅ 109

1.103 a 0 b 0 c 92

1.104 52 22 ( 1)9 60 2,13 315 | 25| 1.105 − 1.106 350 1.107 60

1.108 a − b 65 c Enn(3) 2 n = + 1.109 a 30 b − c 3 Tnnn 3 2 (1) d −

Vurderingseksemplar

1.110 a − b 3, 9, 19, 33, 51, 73, 99 c 2n2 + 1

1.111 a 23 ﬁgurer b 800 fyrstikker

1.112 −

1.113s a − b −

Oppgave 1 a 2,5 109 b 1 1017

Oppgave 2 a 5 b 45 c 2n2

Oppgave 3 a Skriver ut oddetallene fra og med 3 til og med 501 b Skriver ut partallene fra og med 2 til og med 500 c Skriver ut oddetallene fra og med 1 til og med 499

Oppgave 4 a Alltid sann b Ikke alltid sann

Oppgave 5 9,1 102

Oppgave 6 3,1 1018 fotoner

Oppgave 7 a − b 3n2 + 2n c 320 d −

2 Likninger og identiteter

2.1 a 9x b 3x c 6x + y d xy

2.2 a 2x 8 b 2

2.5 a − b −

2.6 a Det store: a(b + c), til venstre: ab og til høyre: ac b Regel nr. 3 (den distributive loven) c − d −

2.7 a Nei b Ja c Nei

2.8 a m = 4, n = 2 b m = 2, n = 4

2.9 a 7x b x + 3 c 3x2 + 3x d 5xyy

2.10 a 0 b 5b + 7 c 2c 4 d 2d2 + 9d + 9

2.11 a 6n + 15 b 6n2 c 3m 5 d 3m2 + 6m

2.12 a a = 3 b a = 2

2.13 a 10m + 15 b 6b2 8b + 8 c 4a + 6 2.14 a 8 b 8

2.15 a a = 3, b = 12 b a = 3, b = 7 c a = 6, b = 12

2.16 a Sum: 9a 5, 20a2 22a + 6

b 25a2 30a + 9

c a2 a + 2

2.17 a 2 3 5 7 b 23 32

2.18 −

2.19 a 4(2 a) b 6(b + 3)

c 2 3 53 d 2 52

c 10c(2 3c) d 7d2(2d 1)

2.20 a 2(x 2) b 4x(1 + 4x) c 8xy(4y 3x) d 5(3x2 + 5x + 1)

2.21 a x 4 1 4 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b x 2 5 2 + ⎛

2.22 a (x + 5)(2x + 3) b (m + 3)(6 m)

2.23 − 2.24 − 2.25 − 2.26 − 2.27 a (x + 3)(x + 2) b (x 1)(x 3) c (x + 3)(x 4) 2.28 a 3 5 5 b 2 2 3 5 5

2.29 a 2(x + 8) b x(x 3) c 8xy(3x 1) d 2πr(r + h)

2.30 a (x + 2)(x + 4) b (x 3)(x 5)

2.31 a − b − 2.32 − 2.33 − 2.34 a 5(2 x) b

x 10 1 2 1

2.35 6(x 3)

2.36 a − b − c −

2.37 − 2.38 − 2.39 a x2 + 4x + 4 b x2 12x + 36 c x2 16 d x2 8x + 16 2.40 a x2 4 b x2 + 2x + 1 c x2 9 d

a 9

Vurderingseksemplar

2.42 a xx164 1 4 2 −+ b 9y2 x8 c 1

2.43 (3 + 2)2 = 52 = 25

2.44 r = 25, s = 5

2.45 961

2.46 896

2.47 a 441 b 361 c 3584 d 2401 e 8464

2.48 − 2.49 −

2.50 a Nei b (x + 4)2 c (x 8)2 d Nei

2.51 a 25 b 49 c 9

2.52 a x 51 2() + b x (2 1)2 c x (34)2 d x 3 1 3 2 ⎛

2.53 Begge har rett. 2.54 k = 2 eller k = 2

2.55 a (x + 4)(x 4) b (x + 9)(x 9) c (1 + x)(1 x) d xx (2 4)(24)+− eller xx 4(2)(2) +−

2.56 a xx22 ()() +− b Ikke mulig c (y + 2)(y 8) d xx 1 2 1 2 + ⎛

2.57 a (x 3)2 b (x + 6)(x 6) c (x + 9)2 d (y + 12)(y 12)

2.58 a 2(x + 10)(x 10) b 2(x + 3)2 c (3y 1)2 d 2n(2n + 1)(2n 1)

2.59 −

2.60 a (x + 6)(x 2) b Ikke mulig c xx 3 1 2 ()+−

⎝ ⎜

⎟ 2.61 − 2.62 − 2.63 a x 1 3 b x xx 5 22 2 c x 1 2 d 1 2 2.64 a x 5 3 b x 1 1 c

Vurderingseksemplar

(s + t)(st) 2.71 a y y 2 b x + 1 c a 8 d b 1 5 2.72 xx 2 3 2 () ⎛

2.83 − 2.84 4200 kr

2.85 17 kamper

2.86

2.87 97 cm

2.88 60 personer 2.89 27 ºC

2.90 a ncV =⋅ b Vn c

2.91 M = F + 2J + 12

2.92 v stv t s t v 2 2 0 0 = =−

2.93 a L {2} b L {4,2} c L {0} d L {3}=− e L 3 8 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ f L 1 2 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ g L 10 3 =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ h L 11 2 =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

2.94 10 cm og 15 cm

2.95 9

2.96 a L 135 29 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ b L {3 } =− c L {3}

2.97 a hV r 3 2 = π b s Ar r A r r 2 = −π π = π

2.98 a − b − c − 2.99 a Ja b Nei c Ja d Nei

2.100 a L {3 ,3} =− b L 7,7 =−{} c L =∅ d L {0 }

2.101 a L {5 ,5} =− b L 23,23 =−{} c L =∅ d L 2 , 2 =− ππ ⎧ ⎨ ⎪

2.102 a L {5 ,1} =− b L {2,16}=− c L {2,2}=− d L {0 ,10} e L {2}=− f L 3 2 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

2.103 a L {3 ,4} =− b L 2 {} = c L {5,0}=− d L {0 ,4} e L {5,2,3}=− f L {2,4}=−

2.104 a 1 L {2 ,3} 2 L {2,4}=− b b = 1, c = 20

2.105 a − b − c L {9 ,5} =−

2.106 8 cm

2.107 4 cm og 8 cm

2.108 a Ja, nummer 72 b Nei

2.109 71 km/h

2.110 a r V h 3 = π b r Ass 4 2 22 = π+π−π π

2.111 a L {4,4}=− b Nei c L {5 ,5} =− d Nei

Vurderingseksemplar

2.112 a L {9 ,9} =− b L =∅ c L 1 3 , 1 3 =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ d L {5 ,5} =−

2.113 a L {0 ,3} b L {2,5}=− c L {3,1}=− d L {0,2}

2.114 13 og 25

2.115 a 279 b Faste kostnader

2.116 a Ar 100 2 =−π b − c 80 cm2 d 4,0 cm

2.117 a − b −

2.118 a L 7 5 , 7 5 =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ b L 32,32 =−{} c L 2 5 ,2 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ d L =∅

2.119 a L {3 ,12} b L 5 2 ,0,1 =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ c L 0, 3 2 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ d L {0 ,1} e L 32 2 ,0, 32 2 = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ f L 1 3 ,2 =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

2.120 a 55 og 105 b 125 c 25155

2.121 a Axx 10 2 2 =−

2.122 k = 4

2.123 a Én løsning og to løsninger b − c −

2.124 a L {3 ,2} =− b L {3,5}=− c L {1,11}=−

2.125 a L 2 =−{} b L =∅ c L 4 =−{}

2.126 a L {4 ,1} =− b L 424,424 {} =−−− c

2.127 a − b − c To løsninger

2.128 a − b

2.129 b = 4 og b = 4

2.130 a − b To løsninger c Én løsning

2.131 a L

2.132 12 cm

2.133 a 14 og 16 b 16 og 14

2.134 a L 31 2 ,

2.135 m = 0 og m = 8

2.136 −

a x 7 b 36

2.138 a 25x2 + 10x b

Vurderingseksemplar

x2 72x +

c x3 + 12x2 + 48x + 64 d 4n 2

2.139 a x2 18x + 81 b 4n2 4n + 1 c 4 49x2 d 1

2.140 a 9y4 6y2 + 1 b 18x2 + 36x + 18 c xx 1 4 2 d x 1 1 4

2.142 a x2 + 81 b 2xx2 c 6x 9 d x2 2.143 a (n + 7)(n 7) b Ikke mulig c (x + 2)(x 2)

2.144 a x = 10 b x = 12 c x = 1 d x 9 5

2.145 Synne er 37 år. Reidun er 25 år.

2.146 r = 16 , s = 2 , t = 4 eller r = 16 , s = 2 , t = 4

2.147 −

2.148 a 28 000 kr b P = 800T + 16 000 c T P 800 20 =− d Inntil 11 timer

2.149 a B = 60 0,7x b 78,6 mil

2.150 a x y 25 b x = 25 y c x = 25y d xy 25

2.151 a xy y 3 37 2 = + b xy y 2 = c x aa a 22 2 3 2 = ++ d xy y 2 2 2 = +

2.152 a b3 2 b 2x c x x 4 2 + d y 8 4

2.153 − 2.154 k = 1

2.155 a 45 b 190 c 2n2 n d Nei

2.156 a − b − c −

2.157 −

2.158 a (x + 1)2 b Nei c Nei d Ja. (x 2)2

2.159 Andre kvadratsetning

2.160 −

2.161 a 9,1 A b P = IU c U P I d 222 V

2.162 a 6561 b 9975 c 784 d x2 4xy2 + 4y4

2.163 10 cm

2.164 b = 2 , c = 8

2.165 a x 4 3 4 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b x 5 1 5 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ c x 22() +

2.166 a 8(b 3) b 15c(3c 5) c (y + 4)(y 4) d (2xy)2

2.167 π(R + r)(Rr)

2.168 −

2.169 −

2.170 a Lac a ac a 2 , 2 = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ b L 0 {} = c L =∅

2.171 −

2.172 a v E m 2 k b vgh 2

2.173 a − b − 2.174 a (x 1)(x + 5) b − c 9(y 2)2 d (x + 2)(x + 10)

2.175 a xx 7 2 7 2 + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b (x 3)(x + 7) c 3(x 3)(x + 3) d (x 2)(x + 2) x 4 2 () +

2.176 a − b x = 3. Verdien er da 9.

2.177 a k = 4 b k = 1

2.178 −

2.179 a 12 km b 45 minutter

2.180 3 og 6

Vurderingseksemplar

2.181 a L {3 ,1} =− b L {4,4}=− c L =∅ d L 3 2 , 3 2 =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ e L {3 ,4} =− f L {3 ,3} =− g L 335 2 , 335 2 = ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ h L 20 =−{}

2.182 a A = a2(π + 6) b Oa 2104 =π++() c a 6 =−π

2.183 a Ja, L {4 ,3} =− b L {3} c Nei d − 2.184 a c = 36 b c = 4x2

2.185 a a5 3 2 b a = 6

2.186 a − b R 3 3 = π

2.187 a 2135 er ikke delelig med 3. b − 2.188 a 4,52 = 20,25, 5,52 = 30,25 b −

2.189 a − b − c − d − e − f − g 1 − 2 − 3 − h −

2.190 −

2.191 a − b − c − d − e − f −

Oppgave 1 a a b 5x2 11x c x 6 d a 3 2 2

Oppgave 2 a (a + 10)2 b Ikke mulig c (y 4)(y + 8) d (x + 1)(x + 5)

Oppgave 3 a L 3, 1 2 =−

⎨ ⎩

Oppgave 4 c = 9

⎬ ⎭ b L 4, 1 2 =−

Oppgave 5 a m = 9 , n = 3 b m = 3 , n = 7

Oppgave 6 a 3 b −

Oppgave 7 a − b −

Oppgave 8 (y + 2x)(y 2x)

Oppgave 9 a − b 2 m og 6 m eller 3 m og 4 m c Nei

3 Polynomfunksjoner

Vurderingseksemplar

3.1 a (0 , 0) b A(125 , 10), B(0 , 12,5), C( 125 , 10), D(125 , 17,5) og E( 150 , 10)

3.2 a På andreaksen b På førsteaksen c På linja x = 3 d På linja y = 5

3.3 a Navn: f, variabel: x b Navn: g, variabel: s c Navn: h, variabel: x

3.4 F.eks. (0 , 5) , (1 , 3) , (3 , 1)

3.5 a f(0) = 40, f(4) = 60 og f(12) = 100 b x = 8

3.6 a Kl. 02.00: 0,8 °C, kl. 20.00: 2,5 °C b T(4) = 1,5 og T(16) = 3,0

3.7 a − b r(3) = 0, r(7) = 2 og r(19) = 4 c F.eks. (3 , 0), (7 , 2) og (19 , 4)

3.8 a D [6 ,14 f =−〉 b Vf = [ 8 , 10] c f(0) = 5 d x = 1 og x = 7

3.9 V 50 ,80] T =〈

3.10 a f( 3) = 9, f(0) = 0 og f(3) = 9 b Df , V [0, f =→〉 c f(k) = k2 , f(2k) = 4k2 , f(2x) = 4x2 , f(a + b) =

3.11 a DK b 64 er med i VK, men ikke 99.

3.12 a − b − c −

3.13 − 3.14 a − b − c −

3.15 a − b Vf = [ 1 , 35]

3.16 a D 1,6,5] f =〈 b Vf = [1 , 4] c f(5) = 4 d x = 3,7 og x = 6,1

3.17 a A(1) =π og A(4)16=π b V [, 16] A =ππ

3.18 a V [2,2, f =−→〉 b f(0) = 4 c x = 0 og x = 5

3.19 D [0 ,5] f

3.20 a g(1) = 2 b x = 4 c D [0 , g =→〉 og V ,3 g ] =←

3.21 a f(a) = a2 3a + 2 b f(2a) = 4a2 6a + 2 c f(a + 1) = a2 a

3.22 −

3.23 a (0 , 2) b 3

3.24 a g(x) = 7x + 6 b g(x) = 4x + 3 c g(x) = 2x + 8 d g(x) = 3

3.25 a 3 b 2 c 1 d 4

3.26 a Nullpunkt: 3, skjæringspunkt: 0, 3 5 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ og (3 , 0)

b Nullpunkt: 7 4 , skjæringspunkt: (0 , 7) og 7 4 ,0 ⎛ ⎝ ⎜

3.27 a 3 b x 2

− d −

3.28 a − b 20 3 c − d − e 68 f −

3.29 (1 , 3)

3.30 a x = 0,9 b x 1 2 c Nullpunktet til f er 1 2

3.31 a 1 3 , 20 3 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎟ b 3 2 ,3

3.32 a 3 ,0 ⎛

a L 9 2 =− ⎧

3.34 −

3.35 y = x 4

3.36 a fxx () 5 4 15 2 =+ b g(x) = 12x + 180

3.37 y = 2x + 4

3.38 − 3.39 a (4 , 0) b (0 , 2) c 4 d x = 4 e f(0) = 2

3.40 a f(x) = 2x + 11 b Ja c 11 2 d L 1 2 = ⎧

3.41 f(x) = 2x + 1 og g(x) = 2x + 13, eller motsatt

Vurderingseksemplar

⎭ , Punktet 1 2 ,10 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ligger på grafen til f

3.42 a 1 2 b yx 1 2 5 =−+ c −

3.43 a fxx () 7 100 2 =− og gxx () 1 30 11 3 =−+ b f: 200 7 og g: 110 c x 1700 31

3.44 −

3.45 m = ρ ⋅ V

3.46 a m = 9630L3 b 260 g

3.47 a − b t [1,9] c 33 kg d Etter 6,3 måneder

3.48 a − b h(x) = 0,9x + 12

3.49 a m (t) = 0,6x + 3,7 b 8,0 kg c 18,3 kg d Interpolasjon i b, ekstrapolasjon i c

3.50 v(t) = 8,5t + 0,63

3.51 a − b x [0 , ∈→〉

3.52 a f(t) = 80t + 10 400 b 10 960 c I midten av 2027

3.53 540 kWh

3.54 U(I) = 7,3I + 0,2

3.55 a S(x) = 1,4x + 463 b Varierende, men en svak bedring

3.56 a a(x) = 0,0025x + 1,25. Ja, mer gjødsel gir større avling.

b 1,25 tonn

c 500 kg

3.57 a k = 22 b T(x) = 15x + 150

3.58 a − b Stemmer ganske bra c 3051 m

3.59 h

3.60 a 2x2 + 1 b (x 2)2 c 2(x 1)2 + 3

3.61 a (x + 3)2 14 b −

3.62 a Bunnpunkt: (1 , 0) b Bunnpunkt: ( 1 , 0)

c Bunnpunkt: (3 , 12) d Bunnpunkt: 1 6 , 1 12 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟

Vurderingseksemplar

3.63 a g(x) = x2 + 6x 11 b − c −

3.64 a − b g(x) = (x + 4)2 + 1

3.65 a f: c = 8, g: c = 7,5 b 1 f: c = 9, g: c = 13,5

2 f: c > 9, g: c < 13,5

c Andregradslikninger, nullpunktene til funksjonene d −

3.66 a 1 og 7 b x = 4 c − d −

3.67 a x = 1 b 2 og 4 c − d Toppunkt: 1, 9 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ e Df

3.68 a x = 2 b Bunnpunkt: (2 , 1) c −

3.69 ( 2 , 0) og (4 , 0)

3.70 a Utskrift: 2,5 b −

3.71 −

3.72 a f(x) = 3x2 4x + 5 b Nei

3.73 a − b V 7 2 ,9 f =− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤

3.74 a 2,1 m b 8,4 m c 53,9 m d Df = [0 , 53,9] og Vf = [0 , 8,4] e 9,7 m eller 40,3 m f − g −

3.75 a xx2(3) 1 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b 4(x 1)2 c Ikke mulig

3.76 a x x 5 21 b x x 4 3

3.77 a − b a 1 2 =− c xx 1 2 26 2 −++

3.78 a g(x) = 2x2 + 5x 3 b h(x) = x2 + 7x 6

3.79 a F.eks. f(x) = (x 1)(x 2) b P(x) = x2 + 4x + 12 c F.eks. g(x) = (x 6)2

3.80 k = 8 og k = 8

3.81 a Bunnpunkt: ( 2 , 4), nullpunkter: 4 og 0 b x = 2 c f(x) = x2 + 4x d − e −

3.82 a (0 , 5) b 1 og 5 c (2 , 9)

3.83 (3 , 5)

3.84 a Dh = [0 , 10] og Vh = [4 , 24]

b Hvor høy busken var da den ble plantet.

c Etter 3,2 dager

3.85 a xx4(2) 1 4 −+ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b 2(x + 3)2 c xx 3( 1)(2) +

d Ikke mulig e (x 1)(x + 2) f (x 2)(x 3)

3.86 a F.eks. f(x) = (x 4)(x 5) b F.eks. f(x) = (x 2)(x + 7) c b = 8

3.87 a fxxx () 1 2 4 1 2 2 =−+− og g(x) = x + 2 b (1 , 3) c Ja, på f

3.88 a 3 b Bunnpunkt: (3 , 0)

c (0 , 9) d Bunnpunkt: (3 , 5), ingen nullpunkter

3.89 a hxxx () 1 4 1 2 =−++ b 222 og 222

3.90 a − b −

3.91 a − b − c xr d a =±− d −

3.92 − 3.93 a d = 2 b 1 dd40=− ∨= 2 d 4,0∈− 3 d ,40, ∈←−∪→

3.94 a 2x3 4x2 10x + 12 b − c Toppunktet

3.95 a − b Vf

3.96 b = 2

3.97 a fxxxx () 1 6 1 2 5 3 4 32 =+−− b gxxxx () 1 5 9 5 35 32 =−+−−

3.98 a 1 og 3 b ( 1 , 0)

3.99 a 200

Vurderingseksemplar

b D [0 ,8 N =〉 c L {0,2,4,7,7,1} , Bestanden var på 220 dyr rundt mars 2006, september 2010 og januar 2013.

d Januar 2008 og desember 2013, 280 elg e Januar 2006 og januar 2012, 200 elg f Fra og med januar 2008 til og med desember 2011

3.100 a x2 + 2 b 3x + 1 c 3x2 + 2x 1 d x2 3 e 2x + 1 f x2 3

3.101 a 2x2 3x 2 b −

3.102 a a = 6 b a = 4

3.103 a 35, 7, 5, 1, 1, 5, 7 og 35 b 1 c 7, 5 og 1

3.104 a fxxxx () (1)(1)(23)=+

b 2, gxxxx () 255(2) 2 () =++− der xx25 5 2 ikke har nullpunkter.

3.105 ( 3 , 0), ( 1 , 0) og (2 , 0)

3.106 Toppunkt: (3 , 0)

3.107 k = 3

3.108 a = 2 og b = 6, eller a = 6 og b = 2

3.109 −

3.110 a − b Graf C

3.111 a −0,66 b −

3.112 a 867 600 b −

3.113 a Ikke delelig b Ikke delelig c Delelig d Ikke delelig

3.114 a 3x + 4 b x + 3 c x3 x + 2

3.115 a L {4 ,1,1} =− , Nullpunktene er 4, 1 og 1. b xxx (1)(1)(4) −+ +

3.116 3, 1 og 0

3.117 gxxxx () 3 2 3 3 2 3 32 =−−+

3.118 L {4,1}=−

3.119 a a = 4 b x2 2x 1

3.120 a L {3 ,2,5} =− b Pxxxx () (1)(1)4 2 =−++()

3.121 Toppunkt: (1 , 0)

3.122 a a = 1, b = 1 og c = 1 b L 51 2 ,0, 51 2 , 3 2 = ⎧ ⎨ ⎪

3.123 a 5 2 og b 1 2 =−

Vurderingseksemplar

3.124 26 , 2 og 26

3.125 a b f(x) = x3 8x2 + 16x

3.126 a 8,0 °C b Kl. 20, 10,7 °C

3.127 a O(x) = 0,2x2 + 524,8x 179 659 b 1312 enheter, 164 525 kr

3.128 a b T(t) = 0,006t3 + 0,21t2 1,54t 1,97 c 0,1 °C d −

3.129 a V(x) = (18 2x)(12 2x)x b D 0,6 V c Høyden er 2,4 cm, volumet er 228 cm3

3.130 a A(x) = x(30 x) b D 0,30 A c 225 m2 d Rektangel med sider 10 m og 20 m

3.131 a 600 m2 b − c Axxx () (802)=−

3.132 4,7 m

3.133 a 72 b − c Størst for x 4 5 5 =⋅ . Da er arealet 4096 125 573, 3

3.134 a f(x) = 14,7x3 1019,9x2 + 39 241x + 3 583 655 b 1930: Dårlig, 2024: Ganske bra c −

3.135 12 cm

3.136 a − b f(x) = 15 914,3x2 + 79 311,4x 68 217,1 eller

f(x) = 3133,3x4 31 266,7x3 + 97 616,7x2 97 983,3x + 3200. Lengste levetid er 30 598 km eller 31 001 km.

3.137 9 cm og 18 cm, 162 cm2

3.138 Minst 8,6 m

3.139 gxx () 1 2 5 2 =−−

3.140 a y = 2x 1 b y = 2x + 4 c yx 1 2 4 =−+

3.141 g(x) = x 3

3.142 a Hageslangen: 11 kr/m, stativet: 230 kr b p(x) = 11x + 230

3.143 a T(t) = 5,4t + 18,4 b 67 °C

3.144 a 40 °C b f = 1,8c + 32 c −

3.145 a 1 2

3.146 a f(x) = x2 3x + 7 og g(x) = 2x + 1 b ( 3 , 7)

3.147 a f(x) = (x + 1)(x 5). Vi ser lett nullpunktene til f

b f(x) = (x 2)2 + 9 Toppunkt (2 , 9)

3.148 a c = 0 b b = 3

3.149 a − b −

3.150 a fxxx () 3 4 4 29 4 2 =−+ b Nei c fxxxx () 1 4 3 39 4 11 32 =−+−+

3.151 1 k 4,4∈− 2 k 4, 4 { } ∈− 3 k ,44, ∈←−∪→

3.152 419 og 419−+

3.153 a Kl. 12: 16,0 °C, kl. 16: 17,0 °C b Kl. 14.30: 17,5 °C c Omtrent kl. 20 d Omtrent kl. 23 e 2,9 timer

3.154 a − b Axxx () 32 2 =−+

3.155 f(x) = 2x3 + 2x2 8x 8

3.156 a Kl. 15.07 b 7,2 °C c L = {11,6 , 18,2}

3.157 Toppunkt: (0 , 2), bunnpunkt: (2 , 2)

3.158 a 1. januar var fyllingsgraden 56,8 %.

b V 11,7,93,2] m =〈

c Både fra 1.januar til 1. mai, og fra tidlig oktober til 1. desember

3.159 −

3.160 a Minst ett, maks n b Minst null, maks n

3.161 a F.eks. exx ( )5,94666 =− + eller e(x) = 0,0374x2 10,1x + 768

b Den lineære modellen er ikke gyldig, men andregradsmodellen kan være det. c 56 kr (55 kr med andregradsmodellen)

3.162 a L = {50 , 180} b Mellom 50 og 180 enheter

c − d 422,5 kr

3.163 a O(x) = 0,8x2 + 104x 2880 b 26 000 kr

3.164 a Df = [ 10 , 10] b Ja c 10,1 m

3.165 a Umulig b x m x m 2 3 2 + ⎛

⎟ c k xkxk 1 ()(2) −+

3.166 a xx x 4 26 2 + b xx x 1 2 −+ c xx x 22 2 2 d xx x 3 1 2 −+

Vurderingseksemplar

3.167 f(x) = x3 2x2 x + 2, gxxx () 1 2 3 2 1 3 =−− og hxxx () 5 24 35 24 1 4 3 =−+

3.168 a 6 b a 119 3 = +

3.169 −

3.170 a − b − c − d −

3.171 a F.eks. V hRr() 4 2 = π+ b 0,35 m3

c V 609 5000 =π , som svarer til 0,38 m3 d −

3.172 a 196 9 b − c 20

Oppgave 1 a g b y = 4x + 5

Oppgave 2 1 2 , 1 og 2

Oppgave 3 f(x) = x3 3x2 + 4

Oppgave 4 a A(x) = 2x 0,5x2 b 2

Oppgave 5 a K(x) = 2,35x2 88,5x + 7361,7

b 80 enheter: 15 331 kr, 200 enheter: 83 717 kr

c 80 enheter

Oppgave 6 Hvor høyt g ligger i forhold til f på det meste, det vil si den største differansen g(x) f(x).

4 Likningssystemer og ulikheter

4.1 a L (4 ,2) {} = b L (3,1) =−{} c L (2,1) =−{}

4.2 −

4.3 −

4.4 y = 1 xL (2 ,3) =−{}

4.5 a L (2 ,1) =−{} b L 9 5 , 13 5 =−

c L (1,2) {} = d L 3 2 ,4=−−

4.6 a Multiplisere likning 1 med 4 og likning 2 med 3 b L (1,2) {} =

4.7 a L (1,4) =−−{} b L (2,3) =−{} c L (2 ,4) =−−{} d L (1,2) =−{}

4.8 a L (1,4) =−−{} b L (2,3) =−{}

c L (2 ,4) =−−{} d L (1,2) =−{}

4.10 a L (2 ,1) =−{} b L 1 2 ,2 = ⎛

Vurderingseksemplar

4.9 a L (3 ,2) {} = b L (4,1) =−{} c L (1,2) =−{}

⎭ c L 4, 3 2 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎧

4.11 Eleven resonnerer riktig, men gjør en liten regnefeil på slutten. {} = L (5) ,1

4.12 a F.eks. GJ GJ 560 40 += −= b L (300 ,260) {} =

4.13 Én barnebillett koster 88 kr og én voksenbillett koster 128 kr.

4.14 a ab ab 62 18 =− + =+ b L 1 2 ,5 =− ⎛ ⎝ ⎜

4.15 Tante Lise: 42 år, Lars: 12 år

⎩ ⎫ ⎬ ⎭ , yx 1 2 5 =−+

⎠ ⎟

4.16 Uten løsning: B, Uendelig mange løsninger: A

4.17 s = 2

4.18 a L (2 ,1) =−{} b L (2,1) =−{}

4.19 a − b Likningssystemet har ingen eller uendelig mange løsninger.

4.20 L (2 ,1) =−{}

4.21 a − b −

4.22 a L (2 ,2) =−{} b L (2,0,5) {} =

4.23 L (2 ,3) =−{}

4.24 a 9 5 og b = 32

4.25 a L 1 7 , 10 7 =− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ b L (2 ,9) {} = c L 1 4 , 1 2 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

4.26 Kvinner: 600, menn: 400

4.27 a Én løsning: k \ 1 2 , ingen løsninger: k 1 2 =− b −

4.28 5

4.29 a L (2 ,2,2) =−{} b L (1,3,2) =−{} c L (4,3,2) =−{}

4.30 a a = 2, b = 4 og c = 6 b x = 3 c a = 2, b = 4 og c = 6

4.31 a 1 2 , b 3 2 =− , c = 0 og d = 2

4.32 a L (3,2,2) =−{} b L (2,1,1) {} = c L (4,6,1) =−{}

4.33 fxxx () 3 25 20500 2 =++

4.34 Kiwi: 40 kr, appelsiner: 20 kr, epler: 25 kr

4.35 a L (1,1,1) =−{} b L (1,3,3) =−{} c L 3 5 ,1, 7 5 =− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

4.36 a 1 4 , b = 2 og c = 10

4.37 fxxxx () 2 56 32 =−++−

4.38 Ingen løsninger: s 9 4 , én løsning: s 9 4 , to løsninger: s 9 4

4.39 −

4.40 a L (3,6),(6,3) {} = b L (2,1),(4,4) =−{} c L ( 2,4),(5,3) =−−{} d L (2,5) {} =

4.41 a b L ( 3,1),(2,2) =−−{}

4.42 a b −

4.43 a L (1,2),(2,1) {} = b L (4,2),(9,3) =−{} c L 1 3 , 5 3 ,(5,3) = ⎛ ⎝ ⎜

4.44 a x og y står for lengden og bredden, 48 står for arealet og 32 for omkretsen.

b L ( 4,12),(12,4) {} =

4.45 a L ( 2,0),(0,2) =−{} b L (1,4),(2,1) {} =

c L 16 9 , 4 9 = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ d L (2,4),(6,12) =−{}

4.46 L ( 1,0),(1,2) =−{}

4.47 a Lengde: 5 m og bredde: 12 m, eller lengde: 12 m og bredde: 5 m b −

4.48 −

4.49 a L ,2 =← b L 0, =→ c L 18, =−→ ⎡ ⎣ d L ,12] =←

Vurderingseksemplar

4.50 a L 2 3 , =→ b L ,3] =←− c L ,2 =←

4.51 a L 2, =→ b L 2, =−→ ⎡ ⎣ c L ,2=←−

4.52 650 > 95x, 7 ganger eller mer

4.53 a 81 1,5x > 69 b 81 1,5x < 63 c a: x < 8 og b: x > 12

4.54 a L ,2] =← b L , 8 3 =←− c L , 17 11 =←

4.55 xx 3 4 2 1 4 6 +≤ −+

4.56 a Hvor mange turer du må ta for at det skal lønne seg med sesongkort.

b L 23,33, =→ ⎡ ⎣ . Det lønner seg med sesongkort hvis du tar mer enn 23 turer.

4.57 a − b − c − d − e −

4.58 a F.eks.: 4x 3 b F.eks.: 3 4x

4.59 a − b 5 2 −

4.60 a L ,21, =←−∪→ b L 1 3 ,0 =− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

c L ,14, =←−∪→ d L , 117 2 117 2 , =← ⎤ ⎦ ⎥ ∪ + → ⎡

4.61 a Ingen løsning b Alltid negativt c L =∅

4.62 a 5 og 2 b L 5, 2 =−[] c −

4.63 L 2,4=− 4.64 L 3,1=−

4.65 a L ,21, =←−∪→ b L 1 3 ,0 =− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥

c L ,14, =←−∪→ d L , 117 2 117 2 , =← ⎤

4.66 a L 1,01,[] =−∪→ ⎡ ⎣ b L ,31,2=←−∪−

Vurderingseksemplar

c L ,12 ] {} =←∪ d L 5, 1 5 1, =−−∪→

4.67 − 4.68 − 4.69 a L 2,4=− b L 2,01,[] =−∪→ ⎡ ⎣

c L ,12, =←−∪→ d L 2,3 =−[]

4.70 − 4.71 a 1 og 1 b −

4.72 a L ,31, =←−∪−→ b L 3,1=− c L 2, 7 2 =−

4.73 a L 4, 5 =−{} b L 2, 0,6 =−{}

4.74 a L 1 {} = b L 5 =−{}

c L 5, 1 =−{} d L 1 {} = 4.75 a b L 4,1=− ⎡ ⎣ c L ,41, =←−∪→

4.76 a L 4,2=− ⎡ ⎣ b L ,3=←−

c L , 3 2 1 3 , =←−∪→ d L 3, =→

4.77 a L , 3 2 0, =←−∪→ ⎡ ⎣ b L , 3 2 2 5 , =←−∪→

c L 0,1 d L 0, 3 2

4.78 a L ,25, =←∪→ b L 3,4 ] = c L ,1 1 2 ,0 ] =←−∪− ⎤ ⎦ ⎥ d L 2, 4 3 =− ⎤ ⎦ ⎥

4.79 a L ,24, =←−∪→ b L =∅

c L 01,{} =∪→ d L , 5 2 3, =←∪→

4.80 a L 1,1=− ⎡ ⎣ b L 2,5=−

c L ,0 1 3 , =←∪→ d L 0,1 = ⎡ ⎣

4.81 a L =∅ b L 14 {} = c L 0 {} = d L ,11,3=←−∪

4.82 a L 2 3 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ b L 6,26, =−∪→ c L ,10,5[] =←−∪ d L ,12,3=←∪

4.83 F.eks.: Qxx x () 26 1 = +

4.84 k = 2

4.85 a − b L 2,14, =−∪→

4.86 a − b L ,13, ] =←−∪→ ⎡ ⎣

4.87 L (5 ,1) =−{}

4.88 Barn: 2262, voksne: 6138

4.89 Barnebillett: 160 kr, voksenbillett: 210 kr

4.90 a − b Eplesaft: 0,7 liter, konsentrert juice: 0,3 liter

4.91 a fxxxx () 4 4 32 =−−+ b L ,21,2=←−∪

4.92 a − b k = 32

4.93 a L (2 ,1,3) =−−{} b L (1,1,2) =−{}

4.94 30

4.95 a L ( 1,3),(5,12) =−{} b a = 3, Den andre løsningen blir xy 6 27 2 =∧= c 1 13 2 a < 13

4.96 a = 0,0037 og b = 0,34

4.97 a L 4, =→ b L ,11,4=←∪ 4.98

4.99 a − b L 37,17,37,17 {} () =−−++−−()

4.100 a − b 1 L 2 L ,11, =←∪→ 3 L =∅ 4 L {1}

Vurderingseksemplar

4.101 a L 2 3 ,3 = ⎡ ⎣ ⎢ b L 4, 5 [] = 4.102 L ,25, =←−∪→ 4.103 a − b F.eks.: f(x) = (x + 2)(x 3) 4.104 L ,2 1 2 , =←−∪→ 4.105 a L 3,4=− b L 2,3=− c L ,23, =←−∪→

4.106 −

4.107 a fxxx () 2224 2 =−++ b L 2,3=−

4.108 x2 + 7x 6 > x + 2

4.109 L =∅

4.110 L ,24, ] =←−∪→ ⎡ ⎣

4.111 a L 1, 2 =−{} b F.eks.: (x 2)(x + 1) > 0

4.112 L ,62,1=←−∪−

4.113 −

4.114 a L 8 3 ,1 =− ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ b L ,22,3 ] =←−∪ ⎡ ⎣ c L ,01, =←∪→ d L ,04, ] =←∪→ ⎡ ⎣

4.115 a L ,23, =←−∪→ b L 4,6=− c L ,46, ] =←−∪→ ⎡ ⎣

4.116 a − b 9

4.117 a a = 2 b a = 3

4.118 a L 2 {} = b I kvadreringen

4.119 a L 5, 5 =−{} b L 2 =−{}

4.120 a L 0, 1 {} = b L 3,4 {} = c L 1, 2 {} =

4.121 a L 3 2 = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ b L 4 {} = c L =∅

4.122 a L ,24, =←−∪→ b L 01,{} =∪→ c L 2,5=− d L 0,1 = ⎡ ⎣

4.123 a L 1, =→ ⎡ ⎣ b L 0,24, =∪→ ⎡ ⎣ ⎡ ⎣ c L 1,13, =−∪→ d L ,11,3=←−∪

Vurderingseksemplar

4.124 a L 4,11,=− ⎡ ⎣ ∪→ b L ,42, =←−∪→ c L ,02,3=←∪ d L ,31,36, ]] =←−∪∪→

Oppgave 1 a L , 1 3 =←−

b L 1 {} = c L ,25, ] =←−∪→ ⎡ ⎣ d L ,45, =←−∪→ ⎡ ⎣

Oppgave 2 L 1 13 , 44 13 =− ⎛

Oppgave 3 L ( 3,10),(1,2) =−{}

Oppgave 4 L 51,{} =−∪→ ⎡ ⎣

Oppgave 5 Kari: 16 år, Lars: 12 år

Oppgave 6 a k = ±6 b k ∈ 〈−6 , 6〉

Oppgave 7 L 3,4, 42 3 , 112 3 , 42 3 , 112 3 ,3,4 () () =−−−

Oppgave 8 L ,18, =←∪→

Oppgave 9 Voksenbillett: 160 kr, barnebillett: 90 kr

Oppgave 10 a F.eks.: (2x 1)(x + 3) ≤ 0 b 52

5 Mer om funksjoner

5.1 a 1 5,7 2 0,9 2 3 b −

5.2 a 1,85 b 2,57 c −

5.3 2,0. Gjennomsnittlig vekstfart for f i intervallet [0 , 5]

5.4 a 10 og 1,67 b Ja

5.5 a 0,26 b −

5.6 a 3,05 b −

5.7 a 9,9 og 7,2, antall mm planten vokser per dag b Etter 7 dager

5.8 a 1,7 b Den er større.

5.9 a 0 b Samme absoluttverdi. Positiv i x = 3, negativ i x = 5

5.10 a 1 C 2 A og E 3 B og D b C

5.11 a 1 og 1 b 2 c 3 d 0

5.12 a 1,68 b Temperaturen synker med 3,6 celsiusgrader per time.

5.13 a 2,68 b 2,54 og 2,82 c ca. 60 km/h

5.14 a Positiv b 1 Mindre 2 Større

5.15 a 130,7 mot faktisk verdi 128,5 b Gi dx en mindre verdi.

5.16 a 1,5 og 1,5 b x = 0

5.17 a x = 3,5 b (3,8 , 3,7)

5.18 a − b F.eks.: f(x) = 0,25x2 + 0,5x

5.19 a s(x) = 2xs( 5) = 10

b s(x) = 6xs( 5) = 30

c s(x) = 6xs( 5) = 30

5.20 a f(x) = x3 + 3x + 4 b s(x) = 3x2 + 3

5.21 a − b − c − d −

5.22 1 og C, 2 og A, 3 og B

5.23 a − b −

5.24 r er f og b er s

5.25 a 2 b 1 c 0

5.26 a 2 b 2 c 2 d 1 e 1 f 1

5.27 fxa () ′ =

5.28 a txx () 3 2 ′ = b fxx () 4 3 ′ =

5.29 a fxx () 5 4 ′ = b gxx () 6 5 ′ = c hxx ( )100 99 ′ = d ix() 0 ′ =

5.30 a fxxx ( )15164 2 ′ =+− b gxxx () 2 ′ =−

5.31 a 2 b y = 2x 9

5.32 a 3 b L 2, 0 =−{} c L 3,1 =−{}

5.33 a 2 3 og 2 b 1 og 5 3 c 0 og 8 3

5.34 g(x)

5.35 a − b −

5.36 a − b fxxx () 1 4 1 2 3 4 2 =−− c fxx () 1 2 1 2 ′ =− d −

5.37 − 5.38 −

5.39 a Toppunkt: ( 2 , 10), bunnpunkt: 1, 7 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ b Bunnpunkt: (2 , 16)

5.40 a Vxxxxxx () (62)42436 232 =−=−+ b 1 dm, 16 dm3

Vurderingseksemplar

5.41 fxx () 25 ′ =− +

5.42 fxx () 33 2 ′ =−

5.43 a fxx () 22 ′ =− b f(x) = x2 2x + 4

5.44 a fxxx () 32436 2 ′ =− +− b f(x) = x3 + 12x2 36x

5.45 a fx() 3 ′ = og f (3)3 ′ = b fxx ()4 ′ =− og f (3)12 ′ =− c fxx () 91 2 ′ =+ og f (3)82 ′ = d fx()0 ′ = og f (3)0 ′ =

5.46 a O(200) = 0 og O (200)90 ′ = b L { 350}

5.47 a − b − c −

5.48 − 5.49 a − b 2 c L {2}

5.50 − 5.51 −

5.52 yx 5 8 3 =− og y = 5x 4

5.53 a 22 og 22 b −

5.54 a 1 5 , b 11 5 og c 16 5 =−

5.55 a fx x () 4 3 4 = + b fxx x () 48 3 = +

5.56 fx x x x () 3 1 3 36 1 = +=

5.57 fx x x x () 3 1 3 36 1 = +=

5.58 −

5.59 a x = 3 og y = 4 b D \{ 3} f og V \{ 4} f c − d x 9 30122,53,5456915 y 3,5321 2 816107654,5 e −

Vurderingseksemplar

5.60 a − b x = 3 og y = 4

5.61 a Asymptoter: x = 1 og y = 2 D \{1} fV \{2} f Nullpunkt: 1 2 b Asymptoter: x 3 2 og y 5 2 D \ 3 2 f = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ V \ 5 2 f = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ Nullpunkt: 3 5 c Asymptoter: x 1 2 og y 5 2 =− D \ 1 2 f = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ V \ 5 2 f =− ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ Nullpunkt: 0

5.62 a − b − c − 5.63 a x = 2 og x = 1 b x = 3 og x = 3

5.64 a D \{ 3,1} f =− b Verdien går mot 1. c − d x = 3, x = 1 og y = 1

5.65 a C b F

5.66 a fxx x () 2 1 = −+ + b fxx x () 36 2 =

5.67 a x 4 5 =− og y = 1 b x = 2 og y 5 2 c − d D \{ 2} f =− og V \ 5 2 f = ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭

5.68 a x = 1, x 5 3 og y 5 2 b x = 2 c − d −

5.69 a xx x 5 1 2 2 b −

5.70 a I hører til g. II hører til f. III hører til h b (1 , 1)

5.71 a 0,8 m b 4,05 år c 15 cm

5.72 a L 35 {} = b 3895 gram c −

5.73 a m(x) = 2,48 10 7 x3,52 b 132 kg c 411 cm d Interpolasjon i a og ekstrapolasjon i b

5.74 a − b Px x () 600

5.75 a − b 720 kr c Pn n () 720

5.76 a 1 25 cm 2 99 cm b − c −

5.77 a D ,7 f ] =← og V 0, f =→ ⎡ ⎣ b −

5.78 En sirkel med sentrum i origo og radius 2

5.79 16 sekunder

5.80 a 37 år b 3,5 mm/år c 1,75 mm/år

5.81 8,6 %

5.82 18 %

5.83 11 %

5.84 a 1 1,05 2 1,15 3 1,155 4 1,005 b 1 0,95 2 0,85 3 0,845 4 0,995

5.85 a 75 % økning b 4,5 % økning

c 40 % reduksjon d 2,5 % reduksjon

e 7,2 % økning f 0,5 % økning

g 0,8 % reduksjon h 99,7 % reduksjon

5.86 a 288 kr b 216 kr

5.87 523 400 kr

5.88 14 %

5.89 a 28 timer b −

5.90 a − b 1 − 2 −

5.91 a K(x) = 20 000 1,03x b 24 597 kr

5.92 a V(t) = 345 000 0,82t b DV = [0 , 7] og VV = [86 003 , 345 000]

c 190 222 kr d 41 756 kr

e − f 3,5 år

5.93 9 timer

5.94 83 886 080

5.95 a N(t) = 5 3t b Punktet ligger på grafen. c L 4 {} =

5.96 a p(h) = 1013 0,88h

b 1013 hPa

c 12 %

d 127 hPa per km, 115 hPa per km, 108 hPa per km og 100 hPa per km

5.97 a 38 °C b 5,3 timer c 3,7 °C per time

d Nei e Lufttemperaturen

5.98 a Tre løsninger b F.eks. [ 5 , 0]

Vurderingseksemplar

c − d Med intervallet [ 5 , 0]: 2 desimaler, L {1,38}=−

5.99 a F.eks. [ 6 , 4] og [2 , 3] b L {5,0,2,5}=− c −

5.100 a 12 °C b 12 °C

5.101 a 20 000 b 40 % c 54 880 d 3,3 timer

5.102 a F(x) = 12 500 ⋅ 0,96x b 10 192

5.103 a 2,31 °C per time

b 1 2,19 °C per time 2 1,98 °C per time 3 1,79 °C per time

5.104 a Ja b L {3 }

5.105 a 13 401 b 11 438 c 22 %

5.106 a − b − c −

5.107 a Andregradsfunksjon b Potensfunksjon c Tredjegradsfunksjon d Lineær funksjon e Eksponentialfunksjon f Eksponentialfunksjon

5.108 a F.eks.: h(t) = 4,9t2 b F.eks.: t(h) = 0,45h0,5

5.109 a F.eks.: f(x) = 2x0,5 b 0 sekunder c −

5.110 a F.eks.: f(x) = 66 360 0,97x b 3658

5.111 a F.eks.: T (x) = 20 15 0,589x b 2,1 timer

5.112 a − b −

5.113 a − b − c −

5.114 a T(x) = 75 0,985x + 20 b −

5.115 a 20 uker b 594 ski per uke

5.116 a 0,50 kg b 9 måneder, øker med 1,6 kg/mnd c 1,4 kg/mnd. d 21 mnd.

5.117 a − b 284 bagetter 4459 kr c 24 kr per bagett

5.118 a V(0) = 0, 0 liter etter 0 min b V 0 ,2000 V [] = c 11,7 min d 62,5 L/min e Nei

5.119 a f (1)2 ′ = , f (3,5)1 ′ =− , f (5)0 ′ = b f (6)1 ′ = c 1 L 0, 75,5 {} = 2 L 1,5,6 {} =

5.120 y = 4x + 5

5.121 −

5.122 Nei

5.123 a − b − c −

5.124 a − b −

5.125 y = 5x + 2

5.126 (2 , 13)

5.127 y = 2x + 4

5.128 a y = ax + 3 2a b a = 1

5.129 y = 2x 2

5.130 −

5.131 a − b L bbbb29 3 , 29 3 22 = −−+−

⎨ ⎪ ⎩ ⎪

c y = 3x og yxb 3 4 27 3 =+

5.132 −

Vurderingseksemplar

⎪ , ett stasjonært punkt når b = ±3

5.133 a f(0) = 3 og f (0) 1 2 ′ = b L 3 {} = c − d −

5.134 a p: C q: A r: D b −

5.135 f(x) = 3x 2

5.136 k = 30 eller k = 2

5.137 b 3 2 =− og c 5 2 =−

5.138 a Ett nullpunkt: b 2,2∈−

To nullpunkter: b = ±2

Tre nullpunkter: b ,22, ∈←−∪→

b b = 0

5.139 p: A q: E r: F s: B

5.140 a − b 0,1467, gjennomsnittlig nedgang på 150 per år

c 2031 (x = 71,6)

5.141 a 95 døgn b 5, gjennomsnittlig økning på 5 °C per mnd c −

5.142 a ( 1 , 1) ligger ikke på grafen. (3 , 5) ligger på grafen.

b x = 1, D \{1} f

c y = 2, V \{ 2} f

5.143 a y = 0 b x = 1, x = 5 og y = 2

5.144 a 1 og 2 b (0 , 2) c x = 1 d − e 2

5.145 a − b L 0 {} = c Grafen er symmetrisk om y-aksen.

d y = 3 e (0 , 0) f −

5.146 a 8 9 b − c k 25

5.147 a − b A(2s , 0) og B s 0, 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ c 2

5.148 a h 35=+ b V 435 3 () = π+ c − d r 22 , h = 4, V 32 3 = π

5.149 3,5 %

5.150 a f(0) = bf(1) − f(0) = a b g(0) = ag g b (1) (0)

5.151 a Lxx ( )50500 =+

b E(x) = 500 1,072x

c −

d Toppunkt: (5,2 , 42), skjæringspunkter (12 , 52) og (0,85 , 12)

5.152 a 891 hPa

b −

c Galdhøpiggen: 739 hPa, Mount Everest: 327 hPa

d 1847 meter

5.153 a −

b 151, gjennomsnittlig nedgang på 150 abonnenter per år c 115, nedgang på 115 abonnenter per år

d Midten av 2021

5.154 a 2007: 1960 2012: 9726 b 325 biler/år og 6819 biler/år c −

5.155 f(x) = 2 5x

5.156 −

5.157 a 569,5 cm b − c 0,5 %

5.158 a K(x) = 7,56 x0,38 b A(x) = 1000 0,88x,L 1000 1 2 x 5,5 =⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ c 4,3 km

Vurderingseksemplar

5.159 a S(x) = 2,0 x0,47 b − c −

5.160 a − b =π⋅+Orr r () 900 2 c radius 5,2 cm og overﬂate 258 cm2

Oppgave 1 a 1 b f (5) 3 2 =− og f (5)1 ′ =

Oppgave 2 a L {0 ,4} b − c fxxx () 3 8 3 2 2 ′ =−+

Oppgave 3 gx x x () 34 2 = −+ +

Oppgave 4 a 80 °C

b 6,6 timer

c 3,95, nedgang på 3,95 °C per time

d 2,2, nedgang på 2,2 °C per time

e Temperaturen i termosﬂaska går mot 20 °C.

Oppgave 5 a dVV () 1,2 0,34 =⋅ b −

6 Trigonometri

6.1 a − b 15

6.2 a 13 cm b 5 cm c 5 cm d 12 5 e 12 13 f − g E og H h 12 5 i 12 13

6.3 a 0,7431 b 0,9004 c 0,6691

6.4 a − b 0,7 c 35°

6.5 6,0 cm

6.6 −

6.7 a 0,94 b 0,34 c 2,75

6.8 a 3 2 b 1 2 c 3

6.9 a 2 2 b 2 2 c 1

6.10 − 6.11 a − b Stemmer

6.12 Nei, ja, ja

6.13 a 75,5° b 56,1° c 75,6°

6.14 a 60° b 45° c 60°

6.15 a 17,9° b 21,8°

6.16 A 64,6 ∠= ° , B 25,4 ∠= °

6.17 30°

6.18 a 6,1 b 5 c 3,1

6.19 a 12 b 8

6.20 6 6.21 60 m

6.22 19 m 6.23 23

Vurderingseksemplar

6.24 a − b − 6.25 − 6.26 − 6.27 a Hypotenusen er 5. Vinklene er 36,9° og 53,1° b Kateten er 9,6 cm. Vinklene er 39,8° og 50,2° 6.28 − 6.29 6,8 m 6.30 3,2 m

6.31 − 6.32 − 6.33 6 6.34 −

6.35 O 44243=++ , A 82

6.36 a 0,34 b 0,94 c 2,76

6.37 a sin 44° b sin 137° 6.38 a u b v

6.39 a

6.41 a

6.43 −

6.44 a Ja b Nei

6.45 a

6.46 a

6.47 a

6.51 4,5

6.52 22

6.53 Trekanten til høyre har størst areal.

6.54 53,8 cm2

6.55 7,5 cm

6.56 7,04

6.57 2,85 mål

6.58 a

6.59 a 7,34 b 8,9

6.60 a 18,8 m2 b 42,8 cm2 c −

6.61 872 m2

6.62 To mulige trekanter

6.63 551 m2

6.64 28 trær

6.65 22

Vurderingseksemplar

6.66 5,4

6.67 a 75° b 46 c 20

6.68 62

6.69 AB = 65,8 BC = 22,6 AC = 63,8

6.70 16,6°

6.71 a 32° b 23° c 2,4

6.72 a Én mulig trekant b b

6.73 a To mulige trekanter b AC = 10,1 cm, B 65,7 ∠= ° og C 64,3 ∠= ° eller AC = 2,7 cm, B 14,3 ∠= ° og C 115,7 ∠= °

6.74 a 3,6 b 22,1°

6.75 a 15,0 b 66,7° c 112,0

6.76 23,3

6.77 1,2 eller 7,9

6.78 a a 3327 () ++ b −

6.79 AB 2326 =⋅+() , BC 82

6.80 3,0 cm

6.81 4

6.82 a defefD 2cos 222=+− edfdfE 2cos 222=+− fdedeF 2cos 222=+− b DE

6.83 36°, 44° og 100°

6.84 −

6.85 41,4°

6.86 45°

6.87 a 28,4 m b 88,4° c 407 m2

6.88 a 82

6.89 39

6.90 a 5,8 b 93,8°

6.91 a BC = 2,2, B 52,7 ∠= ° og

Vurderingseksemplar

6.92 4808 m

6.93 a 13,1 b 6,3

6.94 294 m

6.95 a − b L {6 ,10} c − 6.96 a 18,0 m b 80,3°

6.97 a 33 b 1 2

6.98 a − b − c 37

6.99 a u = 56,82° b 48,75° c Ja, når u = v = 0°

6.100 a 45,2° b 149 m

6.101 a − b −

6.102 a 4,6° 8 % b − c 45°

6.103 14,3°

6.104 5,2 m

6.105 a 11,5° b 24 m c 38 m

6.106 5,7 m

6.107 13,0 m

6.108 13,5 m

6.109 20°

6.110 − 6.111 a − b −

6.112 15 4

6.113 a − b (5 , 12 , 13), (20 , 21 , 29) og (28 , 45 , 53) c − 6.114 − 6.115 a − b − c 2,4 6.116 −

6.117 − 6.118 −

6.119 a 58,5 b 58,5

6.120 AC 2, BC 221

6.121 −

6.122 51

6.123 a 23 b 62

6.124 a − b a 2 3 2 2 1 2 6 ++ ⎛ ⎝ ⎜

6.125 −

6.126 −

6.127 a Omtrent 220 cm2 b 16,7°

6.128 a 67,4° b 1,6 m

c 62

6.129 a L { 30,150}=° ° b L {60,300}=° °

6.130 26,57°

6.131 a 29° b I punktet (8,8 , 2,7)

6.132 a − b − c − d −

6.133 a − b VVV ASL =− c − d −

Oppgave 1 Katet: 3 Hypotenus: 5 v 36,9 =° Den andre spisse vinkelen: 53,1° Oppgave 2 a − b 3 4 c 10 Oppgave 3 a 5 2 b 85 Oppgave 4 a QR 30 ∠= ∠=° b PR = 2 og QR 23 c 3 Oppgave 5 a 9,0 km2 b 2,8 km c 99,2°

Oppgave 6 AD = 47,2 CD = 36,7 Areal: 1388

Oppgave 7 a 4,5 b 9,7

Vurderingseksemplar

Register

A

abc-formelen 102, 106 absoluttverdi 8, 20, 28, 56, 94 addisjonsmetoden 208, 254 algebraisk uttrykk 60, 61 algoritme 55, 174, 309 analytisk løsning 308 andre kvadratsetning 72 andreaksen 122, 356 andregradsfunksjon 156, 200 andregradskoefﬁsient 102 andregradsledd 102, 170 andregradslikning 93, 97, 118 andregradsmodell 184 andregradspolynom 170 andregradsulikhet 233 andrekoordinat 122 arcus cosinus 347, 348 arcus sinus 347, 349 arcus tangens 347, 350 areal 362 arealsetningen 362, 363, 394 assosiativ lov 61 asymptote 288

B bevis 62, 106 billion 23 brøkregning 81 bunnpunkt 156, 160, 200, 278

deka 23

delt funksjonsuttrykk 297 delta 140

den deriverte 273, 334 derivasjonsregler 275 Descartes, René 121 desi 23 diskriminanten 104 distributiv lov 61 dividend 174 divisor 174 dobbelt nullpunkt 165

eksakt løsning 86 eksakte trigonometriske verdier 345, 347, 359, 394 eksponent 13

eksponentialfunksjon 302, 305, 334 ekstrapolasjon 151, 200, 314 ekstremalpunkt 278 ekvivalens 233, 239, 242, 244, 253 enhetssirkelen 356 ettpunktsformelen 141, 200

Vurderingseksemplar

fahrenheitgrader 89 faktor 13, 60

celsiusgrader 89 centi 23 cosinus 344, 394 cosinus, generell deﬁnisjon 357 cosinussetningen 374, 378

deﬁnisjon 62 deﬁnisjonsmengde 126, 200, 286

faktorisering av polynom 178 faktorisering 65, 76, 81 faktoriseringsmetoden 233, 254 fakultet 113 fellesnevner 86, 241, 254 femkanttall 50 ﬁgurtall 33, 40, 56 fjerdegradspolynom 170 forhold 140, 145, 340, 342 forkorte brøk 81 formel 35 formelsnuing 90 formlikhet 140, 339

fortegnslinje 231, 278 fortegnsskjema 233, 242, 254 fotpunkt 356 fullstendig kvadrat 76 fullstendig kvadrat-metoden 79, 118, 159 funksjon 123, 124 funksjonsbegrepet 123, 200 funksjonsuttrykk 123 funksjonsverdi 123, 259 første kvadratsetning 72 førsteaksen 122, 356 førstegradsfunksjon 133 førstegradskoefﬁsient 102 førstegradsledd 102, 170 førstegradsulikhet 226, 254 førstekoordinat 122

generalisering 33 GeoGebra arcus cosinus 348 arcus sinus 349 arcus tangens 350 Asymptote 288 bunnpunkt 163 ByttUt 172 cosinus 344

deﬁnere en funksjon 125 deﬁnere kjent størrelse 88 den deriverte 273, 276 divisjon 175

Ekstremalpunkt 163, 278 faktorisering 65 false 63 identitet 63 kvadratrot 31, 125 likningsløsning 86 likningssystem 210, 218, 223, 282 linje 142, 260 Løs 86, 90

NLøs 86

n-terot 31 nullpunkt 136 regresjon 150, 184, 318 Sett inn 88 sinus 344, 360 skjæringspunkt 205 tangens 344, 345 Tangent 264 toppunkt 163 true 63 ulikhet 228, 229, 234 == 90 giga 23 gjennomsnittlig vekstfart 259, 270, 334 googol 7 googolplex 7 GPS 337 grafen til en funksjon 124, 200 graﬁsk løsning 205, 221, 254 grunnlinje 362 grunntall 13 gyldighetsområde 145, 200, 317

halveringsmetoden 309 halvt likesidet trekant 338 halvåpent intervall 127 hekto 23 hele tall 8, 11, 56 horisontal asymptote 288, 334 hosliggende katet 341 hustall 50 hyperbel 287 hypotenus 341 høyde 362

J joule 23

K katet 341

Kepler, Johannes 314 kilo 23

koefﬁsient 102

konjugatsetningen 72 konjunksjon 204 konstantledd 102, 133, 200 koordinat 122

koordinatsystem 122

kubikktall 39 kurvetilpasning 148

kvadrant 122

kvadrat 28, 30, 59, 68, 338 kvadratrot 28, 29, 56, 94 kvadratrotfunksjon 299

kvadratsetningene 59, 72, 118 kvadrattall 28, 56, 69

ledd 60, 102

likebeint trekant 338

likesidet trekant 338 likning 60, 61, 84 likningssett 204

likningssystem 204, 217, 254

likningssystem med to ukjente 204 likningssystem med tre ukjente 217 lineær funksjon 133, 147, 200 lineær ulikhet 226, 254 lineært likningssystem 204 listeform 84

motstående katet 341 motstående side 338 mål 363

N nano 23 naturlige tall 8, 11, 56 negativ eksponent 18, 20 normal 356 n-terøtter 30, 56 nullpunkt 135, 160, 165, 180, 200 nullpunktfaktorisering 165 nullpunktmetoden 165 nullpunktsetningen 176 nultegradsledd 170 numerisk løsning 308

Vurderingseksemplar

loddrett asymptote 288, 334 lukket intervall 127

I identitet 59, 60, 61 ikke-lineært likningssystem 221 implikasjon 274 innsettingsmetoden 207, 254 innverdi 123 interpolasjon 151, 200, 314 intervall 126 invers 347 irrasjonal likning 253 irrasjonale tall 10

løsningsmengde 84, 204, 221, 228, 233, 254

matematisk modell 145, 200, 313

mega 23

mikro 23

milli 23

milliard 23

million 23

mol 24, 90 momentan vekstfart 263, 268, 334

Ockhams barberkniv 313 oddetall 33, 56, 68 omvendt proporsjonalitet 298 origo 122, 356

parabel 156, 221 parameter 148 parentesregler 61, 118 partall 33, 56, 68 perfekte tall 117 periferivinkel 387 piko 23 piltall 46 polynom 170, 286 polynomdivisjon 174 polynomfunksjon 170, 200, 286, 334 polynomulikhet 231, 254 potensdeﬁnisjoner 56 potensfunksjon 296, 298, 334 potensregler 14, 17, 56 preﬁkser 23 primtall 65 primtallsfaktorisering 65 produktregelen 95, 118, 165 proporsjonalitet 145 proporsjonalitetskonstant 145 prosentvis endring 302 pytagorassetningen 10, 338, 374 pytagoreisk trippel 386

Python arccos() 348

arrayer 130, 131 betingelser 49 biblioteker 130, 131 deﬁnere en funksjon 129 for-løkke 40 graftegning 131, 271 halveringsmetoden 310 if 65 løkke 40 rest i divisjon 65 true 137 variabel 40 while-løkke 40, 65

radianer 348 rasjonal funksjon 286, 334 rasjonal likning 241, 254 rasjonal ulikhet 242, 254 rasjonale tall 9, 11, 31, 56 rasjonalt uttrykk 242 reelle tall 11, 85, 126 regresjon 148, 314 rektangel 338 rektangeltall 43, 44, 56, 78 rest i divisjon 176, 177 rettvinklet trekant 338, 356, 394 rotfunksjon 299 røtter 28

S setning 62 sette prøve 84

sinus 344, 394

sinus, generell deﬁnisjon 357 sinussetningen 368, 394 snu på formler 90 spiss vinkel 356, 363 standardform 20, 56 stasjonært punkt 278 stigningstall 133, 140, 200, 259, 263, 270, 334 stigningstallfunksjonen 268, 273 stjernetall 57 Struves meridianbue 337 stump vinkel 356, 363 sum-produktmetoden 70, 97, 118 supplementvinkel 359, 363, 371 symmetrilinje 157, 160, 161, 218

tallfølge 37 tallinja 8, 56 tallmengde 8, 55 tangens 344, 394 tangens, generell deﬁnisjon 357 tangent 263, 268, 334 tera 23

terrassepunkt 278, 281 testmetoden 236, 254 tierpotens 20 tilnærmet løsning 86 tilsvarende sider 339 tilsvarende vinkler 339 tom mengde 85, 104 toppunkt 156, 160, 200, 278 tredje kvadratsetning 72 tredjegradsfunksjon 171, 200

tredjegradsmodell 184 tredjegradspolynom 170 tredjerot 30, 31 trekanttall 44, 45, 56, 69 trigonometri 337 trigonometriske verdier 344, 394

ulikhet 226, 254 union 233 utverdi 123

vannrett asymptote 288, 334 variabel 123 veien om 1 24 vekstfaktor 302, 304, 334 vekstfart 258 veljunksjon 94 verdimengde 126, 160, 200 verditabell 124 vertikal asymptote 288, 334 vinkelbein 356 vinkelsum 338

x-aksen 122

Y y-aksen 122

Vurderingseksemplar

åpent intervall 127

Bildeliste

s. 6–7 kertlis/iStock, s. 22 Wirestock/iStock, s. 25 Joel Rodrigues Vitoria/iStock, s. 38 Paolino Massimiliano Manuel/iStock, s. 45 Thawatchai Chawond/iStock, s. 48 a og b Tor Espen Kristensen, s. 58–59 Xuanyu Han/Getty Images, s. 68–69 Bernard Schaffer/Shutterstock/NTB, s. 75 Safak Oguz/iStock, s. 89 akinbostanci/iStock, s. 91 pilesasmiles /iStock, s. 93 David Lee/Corbis Historical/Getty Images, s. 98 igoriss/iStock, s. 102 Ryshkov Oleksandr/Shutterstock/NTB, s. 106 Johner Images/Plattform/NTB, s. 117 Shutterstock Editorial/NTB, s. 120–121 Stock Montage/Getty Images, s. 130 Izusek/iStock, s. 146 Michalicenko/Shutterstock/NTB, s. 149 CemSelvi/iStock, s. 152 Ganna Zelinska/iStock, s. 164 Martinan/iStock, s. 176 Mario Guti/iStock, s. 181 asbe/iStock, s. 202–203 MarkusBeck/iStock, s. 215 izusek/iStock, s. 219 Maskot/Getty Images, s. 222 Sorajack/iStock, s. 229 Zukvosten/iStock, s. 236–237 Susan Gonska/Alamy Stock Photo/NTB, s. 243 malerapaso/iStock, s. 256–257 Science Photo Library/NTB, s. 270 AscentXMedia/iStock, s. 275 Peopleimages/iStock, s. 280 claudiad/iStock, s. 306 Visual Stories/iStock, s. 307 amriphoto/iStock, s. 311 Ashley Wiley, s. 314 alxpin/iStock, s. 318 Hege R. Aspelund, s. 336–337 Lumir Pecold/iStock, s. 337 Kart: Statens Kartverk, s. 339 tolgart/iStock, s. 347 AMLBox/iStock, s. 349 pbk-pg/iStock, s. 353 Raul_Mellado/iStock, s. 374 cookelma/iStock, s. 380 nickalbi/iStock