Issuu

Enheter

Funksjoner Tredjegradsfunksjoner f(x) = ax3 + bx2 + cx + d f(x)

a>0

f(x)

Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.

John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.

Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i ﬂere år. Hun ble tildelt Holmboeprisen i 2025.

x f(x)

Andregradsfunksjoner f(x) = ax2 + bx + c

a<0

f(x ) x

Tor Espen Kristensen har lang undervisningserfaring fra Stord vidaregåande skule og var leder for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivåer, fra grunnskole til universitet. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2022.

f(x)

a<0

a>0

Eksponentialfunksjoner f(x) = a ⋅ bx a: startverdien f(0) b: vekstfaktoren f(x)

Potensfunksjoner f(x) = a ⋅ xb b>1

a –n

1 an

Definisjoner

(a· b) p a p · b p a b

an n a a n n at t

a n

p q

p· q

:10

. 100

Regneregler

Læreboka Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk. Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitler, der de passer. Til slutt i hvert kapittel er det blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.

Aunivers.no inneholder blant annet • fullstendige løsninger av alle oppgavene • opplæringsressurser til GeoGebra, regneark og programmering • interaktive oppgaver • eksamensløsninger

. 1000 cm³

dL :10

mm³

mL :10

. 60

min

:60

9 788203 413971

40 " 100 brøk

0,40 desimaltall

y er konstant x t omvendt proporsjonale hvis x ⋅ y er konstant

Odd Heir

Tea Toft Norderhaug ISBN 978-82-03-41397-1

t proporsjonale hvis

Håvard Moe a b

. 1000

:100

To variable størrelser x og y er

Tor Espen Kristensen

a " b

. 60

:100

mm²

Proporsjonalitet

Som lærer får du også tilgang til • lærerveiledning • elevaktiviteter • egenvurderinger • kapittelprøver • terminprøver

a ⋅ b = a ⋅ b og

:100

cm²

ny verdi = gammel verdi ⋅ vekstfaktor N = G ⋅ V

John Engeseth

Regneregler:

:100

dm²

dm³

h :24

Inger Christin Borge

( a ) = a når a ≥ 0

:100

. 24

54 000 = 5,4 ⋅ 104 0,0078 = 7,8 ⋅ 10−3

Definisjon:

m²

:10

Standardform

Kvadratrøtter

:10

40 %

a p : aq a p – q

a 1

:10

a ·a a

n faktorer

Prosentregning

Potenser 0

. 10

:10

prosent

. 10

m³

Matematikk 1P følger læreplanen i matematikk 1P (LK20) og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no. q

. 10

. 1000

0< b<1

an a · a · … · a

. 10

:100

0< b< 1 b< 0

Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.

. 10

km²

Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.

f(x)

b >1

Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU, og har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i ﬂere år. Hun er lærer ved Briskeby videregående skole og Bjørknes privatskole og underviser i matematikk og kjemi.

Borge • Engeseth • Heir • Kristensen • Moe • Norderhaug • Vie

Lineære funksjoner f(x) = ax + b a: stigningstallet b: konstantleddet

Sigrid Melander Vie

Inger Christin Borge John Engeseth Odd Heir Tor Espen Kristensen Håvard Moe Tea Toft Norderhaug Sigrid Melander Vie

1P Bokmål

Læreboka Matematikk 1P følger læreplanen i matematikk 1P for Vg1 i studieforberedende utdanningsprogram (LK20). © H. Aschehoug & Co. (W. Nygaard) 2025 5. utgave / 1. opplag 2025 Materialet er vernet etter åndsverkloven. Uten uttrykkelig samtykke er eksemplarfremstilling, som utskrift og annen kopiering, bare tillatt når det er hjemlet i lov (kopiering til privat bruk, sitat o.l.) eller i avtale med Kopinor (www.kopinor.no). Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatnings- og straffansvar. Redaktør: Harald Øyen Kittang Graﬁsk formgiving: Marit Jakobsen Ombrekking: ord & form, Gudbrand Klæstad Omslag: Basta Illustrasjon & Design, Victor Paiam Bilderedaktør: Hege Rødaas Aspelund Tekniske tegninger: Framnes Tekst & Bilde AS, Eirek Engmark Grunnskrift: Frutiger LT Std 45 Light 10/14 Papir: 100 g G-print 1,0 Trykk: Merkur Graﬁsk AS Innbinding: Bokbinderiet Johnsen AS, Skien

NO - 1430

N VA

E MER K

E T

ISBN 978-82-03-41397-1 www.aschehoug.no

Om Matematikk 1P Matematikk 1P følger læreplanen i matematikk 1P (LK20) som gjelder fra august 2020, og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no.

Oppgaver som bør løses uten hjelpemidler, er merket med . Oppgaver som krever programmering, er merket med .

Læreboka

Digitale ressurser på Aunivers.no

Vi presenterer matematikken på en strukturert og forståelig måte. Vi følger opp teori og eksempler med innlæringsoppgaver. I eksemplene legger vi vekt på gode forklaringer og framgangsmåter, også med GeoGebra, programmering og regneark der det er relevant. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som får elevene til å gå i dybden og se sammenhenger i faget, og SNAKK-oppgaver som gir elevene muligheten til å kommunisere matematikk.

De digitale ressursene har samme kapittelinndeling som læreboka, og inneholder blant annet t GVMMTUFOEJHF M TOJOHFS BW BMMF PQQHBWFOF t JOUFSBLUJWF PQQHBWFS t FLTBNFOTM TOJOHFS t PQQM SJOHTSFTTVSTFS UJM (FP(FCSB 1ZUIPO og Excel

Underveis finner du slike «lapper» med repetisjon og påminnelser.

Hvert underkapittel inneholder differensierte oppgaver: Røde oppgaver er en naturlig fortsettelse av innlæringsoppgavene. Blå oppgaver gir større utfordringer. Til slutt i hvert kapittel finner du Blandede oppgaver som gir både mengdetrening og dybdelæring. Tidligere gitte eksamensoppgaver er lagt inn i alle kapitlene, der de passer. På den måten kan elevene komme raskt i gang med å løse eksamensoppgaver.

Som lærer får du i tillegg tilgang til t LBQJUUFMPNUBMFS t LBQJUUFMQS WFS t UFSNJOQS WFS t FMFWBLUJWJUFUFS Vi håper at Matematikk 1P møter dine forventninger til et komplett læreverk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikk1p@aschehoug.no. Vi ønsker deg lykke til med faget! Hilsen forfatterne Inger Christin Borge John Engeseth Odd Heir Tor Espen Kristensen Håvard Moe Tea Toft Norderhaug Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang

Innhold 1 Praktisk regning

3 Funksjoner

1A Proporsjonalitet 8

3A Funksjonsbegrepet 94

1B Veien om 1 19

3B Lineære funksjoner 106

1C Sammensatte enheter 26

3C Lineære modeller 118

1D Formler 38

3D Fra målinger til modell 126

Blandede oppgaver 45

Blandede oppgaver 131

Sammendrag 52

Sammendrag 136

Kapitteltest 53

Kapitteltest 137

2 Utforsking og generalisering

4 Prosent

2A Partall og oddetall 56

4A Prosent og prosentpoeng 140

2B Figurtall 64

4B Prosentregning 149

2C Tallfølger 74

4C Promille 157

2D Flere tallmønstre 80

4D Vekstfaktor 162

Blandede oppgaver 83

4E Eksponentiell vekst 170

Sammendrag 90

4F Modellering med eksponentialfunksjoner 182

Kapitteltest 91

Blandede oppgaver 194 Sammendrag 206 Kapitteltest 207

5 Polynomfunksjoner 5A Andregradsfunksjoner 210 5B Vekstfart 222 5C Polynomfunksjoner av høyere grad 230 5D Modellering med polynomfunksjoner 234 Blandede oppgaver 240 Sammendrag 248 Kapitteltest 249

6 Potenser og røtter 6A Potenser 252 6B Store og små tall 264 6C Potensfunksjoner 274 6D Omvendt proporsjonalitet 279 6E Røtter og rotfunksjoner 286 Blandede oppgaver 295 Sammendrag 304 Kapitteltest 305 Fasit 306 Register 326 Bildeliste 328

1 Praktisk regning

KAPITTELINNHOLD

1A Proporsjonalitet 8 1B Veien om 1 19 1C Sammensatte enheter 26 1D Formler 38

Ole Magnus kan være i alpinbakken enten på formiddagen eller på ettermiddagen. Når får han mest igjen for pengene?

Formiddagskort

210 kr

(09.30–12.00)

SKISENTER Ettermiddagskort 410 kr (12.00–16.30)

Når du har jobbet med dette kapittelet, vil du ikke være i tvil om hva du skal svare Ole Magnus.

1 Praktisk regning

Proporsjonalitet Ingrid har fått jobb ved siden av skolen og tjener 200 kr per time. Jobber hun to timer, tjener hun 400 kr. Jobber hun tre timer, tjener hun 600 kr. Jo flere timer hun jobber, jo mer tjener hun. Hvis arbeidstiden dobles, øker lønna til det dobbelte. Hvis arbeidstiden tredobles, øker lønna til det tredoble.

y = 200x betyr y = 200 · x

Lønna til Ingrid er proporsjonal med arbeidstiden. Vi lar y kr være lønna når Ingrid jobber x timer. Da er y = 200x. Tallet 200 kaller vi proporsjonalitetskonstanten. I dette tilfellet er proporsjonalitetskonstanten det samme som timelønna.

Når to størrelser y og x er proporsjonale størrelser, kan vi skrive y = ax der a er et fast tall som vi kaller proporsjonalitetskonstanten.

Origo er punktet (0 , 0).

Vi framstiller lønna til Ingrid grafisk. Grafen til y = 200x blir en rett linje som går gjennom origo. Ingrid kan ikke jobbe «minus timer», derfor tegner vi linja for x-verdier fra og med 0. y (kr) 1000 800 600 400 200 x (antall timer) 1

Av figuren ovenfor ser du for eksempel at Ingrid tjener 800 kr hvis hun jobber fire timer. Når x øker med én, øker y med 200. Stigningstallet til linja er 200, og i dette tilfellet er stigningstallet det samme som timelønna.

1A Proporsjonalitet y

–1

1 1

–1

x 2

–1

x 1

–1

En rett linje gjennom origo kan vi alltid skrive på formen y = ax der a er stigningstallet. Stigningstallet forteller hvor mye y øker eller avtar når x øker med 1. Du vil lære mer om stigningstall i kapittel 3.

En graf som viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, vil alltid være en rett linje gjennom origo. En formel gir oss sammenhengen mellom to eller ﬂere størrelser.

EKSEMPEL 1

Stigningstallet til linja er proporsjonalitetskonstanten.

Ingrid tjener 200 kr per time. Vi skriver gjerne at lønna er 200 kr/time. Lar vi y kr være lønna når Ingrid jobber x timer, er y gitt ved formelen y = 200x.

I butikken koster fiskekaker 120 kr per kg. a Forklar at prisen er proporsjonal med vekten. b La P kr være prisen for x kg fiskekaker. Skriv opp en formel for P. a For 1 kg fiskekaker betaler vi 120 kr. For 2 kg fiskekaker betaler vi 120 kr ⋅ 2 = 240 kr, og for 3 kg betaler vi 120 kr ⋅ 3 = 360 kr. En dobling av vekten fører til en dobling av prisen, en tredobling av vekten fører til en tredobling av prisen. Prisen er proporsjonal med vekten. b Her er proporsjonalitetskonstanten det samme som prisen per kg. P = 120x

1 Praktisk regning 1.1 SparBua selger juicebokser på tilbud for 10 kr boksen. a Forklar at det du må betale og antall juicebokser du kjøper, er proporsjonale størrelser. b La P kr være prisen for x juicebokser. Skriv opp en formel for P. 1.2 SykkelOle selger energidrikk i to pakninger. En pakning med tre bokser koster 45 kr, og en pakning med seks bokser koster 80 kr. Forklar at det du må betale og antall bokser ikke er proporsjonale størrelser. 1.3 Figuren nedenfor viser hvordan lønna til Trond varierer med antall timer han jobber. y (kr) 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

x (timer) 1

a Hva er timelønna til Trond? b Hvor mye tjener Trond hvis han jobber 7 timer? c Skriv opp en formel som viser hvordan lønna til Trond varierer med antall timer han jobber. I eksempel 1 så vi at proporsjonalitetskonstanten er det samme som prisen per kg for fiskekakene. Dette ser vi også om vi deler med x på begge sider i formelen y = 120x. y Da får vi " 120 . x

Forholdet mellom y og x er

y , som også kan skrives som y : x. x

Hvis forholdet mellom to variable størrelser er konstant, er de proporsjonale.

1A Proporsjonalitet

EKSEMPEL 2

I grønnsaksdisken ligger det ulike poser med poteter. Tabellen viser vekten i kg og prisen i kr for posene. Vekt i kg

1,5

2,5

Pris i kr

140

Er prisen proporsjonal med vekten? Vi utvider tabellen med en rad, og regner ut forholdet mellom prisen og vekten for de tre posene. Vekt i kg

1,5

2,5

Pris i kr

140

Pris i kr Vekt i kg

Vi ser at forholdet mellom prisen og vekten er det samme for alle posene. Altså er prisen proporsjonal med vekten. Proporsjonalitetskonstanten er 28. Det betyr at potetene koster 28 kr/kg.

Når vi skal regne ut 42 : 1,5, kan vi tenke slik: 42 kr

0,5 kg 0,5 kg 0,5 kg

SNAKK

14 kr

Vi kan tenke på 1,5 kg poteter som 3 poser med 0,5 kg poteter. Én pose med 0,5 kg koster 42 kr : 3 = 14 kr. 1,0 kg, 2 poser, koster 2 ⋅ 14 kr = 28 kr.

Hvilke av situasjonene nedenfor kan handle om proporsjonalitet? Hvilke størrelser er i så fall proporsjonale? t 1FS IBS FO EFMUJETKPCC PH UKFOFS LS QFS UJNF t ) ZEF PH WFLU UJM FO QFSTPO t 7J GZMMFS WBOO J FU CBTTFOH WFE IKFMQ BW FO TMBOHF t &O CJM LK SFS NFE LPOTUBOU GBSU t .BSJB M QFS FO UVS IWFS EBH FUUFS TLPMFO

1 Praktisk regning 1.4 Parkteateret selger smågodt i forskjellige poser. Tabellen viser hva de ulike posene koster. Vekt i hg

1,5

2,5

4,0

Pris i kr

a Vis at prisen og vekten er proporsjonale størrelser. b Hva er proporsjonalitetskontanten, og hva forteller den oss her? 1.5 Vi tar for oss to typer vaskepulver, Superrent og Ultrarent. Tabellene viser hva det koster for de ulike pakningene som fins av hver type. Superrent Vekt i kg

0,5

0,8

1,2

Pris i kr

Vekt i kg

0,5

1,0

1,5

Pris i kr

Ultrarent

Undersøk for hver av de to typene, om prisen og vekten er proporsjonale størrelser. 1.6 (Eksamen 1P våren 2016) x

2,5

7,5 200

Gitt tabellen ovenfor. Her er x og y proporsjonale størrelser. Skriv av tabellen ovenfor i besvarelsen din. Gjør beregninger, og fyll ut tabellen. 1.7 I butikken har de to ulike pakninger med italiensk salat. Den lille pakningen veier 125 gram og koster 26,50 kr. Den store pakningen veier 200 gram og koster 44,80 kr. Undersøk om prisen er proporsjonal med vekten.

1A Proporsjonalitet 1.8 a

x 1

Er det noen av grafene som viser sammenhengen mellom proporsjonale størrelser? Begrunn svaret.

Overslagsregning Vi bruker overslagsregning til å finne et svar som er omtrent riktig. Overslagregning kan vi også bruke til å vurdere om svaret på en utregning kan være riktig.

EKSEMPEL 3

Overslag når vi ganger: Vi bytter ut det ene tallet med et større tall og det andre tallet med et mindre tall.

I kiosken koster eplene 24,80 kr per kg. Omtrent hvor mye vil 2,15 kg epler koste? Vi gjør et overslag ved å bytte ut tallene med andre tall som det er lettere å regne med i hodet. Vi bytter ut 24,80 med 25 og 2,15 med 2. 25 ⋅ 2 = 50 2,15 kg epler koster omtrent 50 kr.

1.9 Roy skal til Berlin og finner et hotellrom til 95 euro per natt. Omtrent hvor mye er dette i norske kroner når én euro koster 11,80 kr? 1.10 .BSJB PH KFOUFHKFOHFO FS VUF PH TQJTFS QÌ FO SFTUBVSBOU J , CFOIBWO Regningen kommer på 3900 danske kroner. De vet at hundre danske kroner koster 159,80 norske kroner. Omtrent hvor mye kommer regningen på i norske kroner?

1 Praktisk regning

EKSEMPEL 4

Etter å ha jobbet 11 timer har Liz tjent 2150 kr. Finn timelønna til Liz ved å sette opp og løse en likning med a overslag b CAS a ,BMMFS WJ UJNFM OOB GPS x, kan vi finne svaret ved å løse likningen

Overslag når vi deler: Vi bytter ut begge tallene med et større tall eller med et mindre tall.

11 ⋅ x = 2150 Vi deler med 11 på begge sider og får x = 2150 : 11 ≈ 2000 : 10 = 200 Timelønna er omtrent 200 kr. b Vi åpner CAS og skriver inn likningen 11x = 2150. I knapperaden ser du disse knappene:

,MJLLFS WJ QÌ /- T LOBQQFO som et desimaltall.

, får vi en tilnærmet løsning,

,MJLLFS WJ QÌ - T LOBQQFO

, får vi en eksakt løsning.

Liz tjener 195,45 kr per time.

Merk! I praktiske oppgaver er det naturlig å gi svaret som et desimaltall, og vi bruker derfor som regel NLøs.

1A Proporsjonalitet

EKSEMPEL 5

Ella tjener 191,50 kr per time. Hun kan velge om hun vil jobbe 12 timer, 14 timer eller 16 timer neste uke. a Sett opp og løs en likning som forteller hva hun må velge for at lønna neste uke skal bli større enn 2800 kr. b Tegn grafen som viser hvordan lønna varierer med antall timer, og bruk den til å finne hva hun må velge. a Vi løser likningen 191,50x = 2800.

Hun må velge vakten på 16 timer for at lønna neste uke skal bli større enn 2800 kr. b Vi tegner linjene y = 191,50x og y = 2800 i det samme koordinatsystemet. Så bruker vi Skjæring mellom to objekt til å finne skjæringspunktet mellom linjene.

Hun må velge vakten på 16 timer for at lønna neste uke skal bli større enn 2800 kr.

1.11 Sverre tjener 177,50 kr per time. Hvor mange hele timer må han jobbe for at lønna skal bli større enn 3500 kr? a Finn et omtrentlig svar ved å gjøre et overslag. b Finn svaret ved å løse en likning med CAS. c Finn svaret grafisk.

1 Praktisk regning 1.12 En pose med 5,2 kg poteter koster 108 kr. Du skal finne omtrent hva prisen per kg er. a Hvordan vil du bytte ut tallene her? b Omtrent hva er prisen per kg? 1.13 Jeanette har spart 30 000 kr til sommerferien. Hun regner med 2300 kr i reiseutgifter, 1200 kr per dag til overnatting og mat, og 600 kr per dag til diverse utgifter. Hvor mange dager kan Jeanette maksimalt være på ferie? Finn svaret på forskjellige måter.

UTFORSK

y 1000

800 (50 , 760) 600 (30 , 456)

400

200 x 10

,BSM PH )FOSJL TUVEFSFS GJHVSFO PWFOGPS ,BSM )WPSEBO LBO WJ GJOOF TUJHOJOHTUBMMFU UJM MJOKB Henrik: Linja går gjennom origo, da kan vi bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten. ,BSM

+B NFO WJ LBO PHTÌ CSVLF BU TUJHOJOHTUBMMFU UJM FO SFUU MJOKF FS LPOTUBOU Da kan vi finne stigningstallet ved å dele forandringen i y-verdien på forandringen i x-verdien.

a #SVL EFU TJTUF TPN ,BSM TJFS UJM Ì GJOOF TUJHOJOHTUBMMFU UJM MJOKB b )WB NFOFS ,BSM NFE BU jTUJHOJOHTUBMMFU UJM FO SFUU MJOKF FS LPOTUBOUx Forklar dette. c Henrik sier først at vi kan «bruke det vi kan om proporsjonalitet og proporsjonalitetskonstanten» til å finne stigningstallet. Vis hvordan vi kan finne proporsjonalitetskonstanten ved å bruke punktet (30 , 456).

1A Proporsjonalitet

EKSEMPEL 6

Olav har en deltidsjobb og tjener 178,25 kr per time. Lag et program som regner ut lønna når han jobber 15,5 timer per uke.

1 2 3 4 5 6

timelønn = 178.25 timer = 15.5 lønn = timelønn * timer

Vi bruker desimalpunktum i desimaltall.

# regner ut lønna

print("Lønna for", timer, "timer er", lønn, "kr.")

På Aunivers.no finner du et grunnkurs i pythonprogrammering. 1.14 Før du starter på oppgaven, bør du skrive inn og kjøre programmet i eksempel 6. a Hva tror du skjer hvis du i det opprinnelige programmet endrer linje 6 til:

print("Lønna for", timer, "timer er", round(lønn, 2), "kr.")

Gjør det, og kjør programmet. b Hva tror du skjer hvis du endrer kommandoen round(lønn, 2) til round(lønn) i linje 6? Gjør det, og kjør programmet. 1.15 Olav får tilbud om en ny stilling i firmaet. Timelønna i den nye stillingen er 190,75 kr, og han skal jobbe 17 timer per uke. Lag et program som regner ut og skriver ut den nye ukelønna. 1.16 Hos Larsen og Sønn er timelønna 204,50 kr. En arbeidsuke er 37,5 timer. Lag et program som regner ut og skriver ut ukelønna.

1 Praktisk regning

RØDE OPPGAVER 1.17 (Eksamen 1P våren 2022) a Gi et eksempel på to størrelser som er proporsjonale. b Lag en grafisk framstilling som viser sammenhengen mellom de to størrelsene. 1.18 Lokalavisa har studentpris på abonnementet. Et abonnement på tre måneder koster 825 kr, mens et abonnement på tolv måneder koster 3120 kr. Er prisen proporsjonal med varigheten på abonnementet? 1.19 Nehna leser en bok. Etter tre dager har hun lest 51 sider, etter fem dager 85 sider. a Forklar at hvis hun leser med samme tempo, så vil antall sider hun har lest, være proporsjonal med antall dager hun har lest. b Boka er på 357 sider. Hvor mange dager vil hun bruke på boka hvis hun fortsetter å lese i samme tempo? 1.20 Energidrikken SuperSprek selges i ulike størrelser. Vi ser at prisen for 300 mL er 28,50 kr. Hva koster de to andre kartongene hvis pris og volum er proporsjonale størrelser? 200 mL

BLÅ OPPGAVER 1.21 Per leser en bok. Etter fire dager har han lest 52 sider. Etter seks dager 26 sider til. Boka er på 361 sider. Hvor mange sider vil han lese den siste dagen hvis han fortsetter i samme tempo? 1.22 Hos Fjellrast hytteutleie kan du leie hytter med fire, seks eller tolv sengeplasser. Hytteprisen per døgn er proporsjonal med antall sengeplasser. Hvis fire personer leier den minste hytta i to døgn, blir prisen 1200 kr. Hva vil det koste for en vennegjeng på 12 personer å leie den største hytta i én uke?

300 mL 28,50 kr

500 mL

1 Praktisk regning

SAMMENDRAG Proporsjonalitet To variable størrelser (x og y) er proporsjonale hvis forholdet y mellom dem er konstant, " a, der a er proporsjonalitetskonstanten. x

y = ax

Forhold 2 Forholdet mellom 2 og 5 er eller 2 : 5. 5

Overslag når vi ganger Vi bytter ut det ene tallet med et større tall og det andre tallet med et mindre tall.

Overslag når vi deler Vi bytter ut begge tallene med et større tall eller med et mindre tall.

Enheter . 10

. 10

1SFmLT

. 10

kilo (k) hekto (h) deka (da)

Lengde

mil

Volum Masse

. 10

tonn

:10

. 10

desi (d) centi (c) milli (m) m

:10

Areal

:10

Volum

. 100

km²

m²

:100

. 100

dm² :100

cm²

:100

. 1000

. 100 mm²

m³

. 1000

dm³

. 60

. 24 d

h :24

min :60

dL :10

. 60

cm³

mm³

:100 L

Tid

. 1000

:10

mL :10

:60

Sammensatte enheter Enheten m/s for fart er et eksempel på en sammensatt enhet. Den er satt sammen av enheten for strekning, m, og enheten for tid, s. Formler g ⋅h En formel gir oss sammenhengen mellom to eller flere størrelser. Eksempel: A = 2

Kapitteltest

KAPITTELTEST Oppgave 1 Per kjører elsykkel. Speedometeret viser 18 km/h. Hvor mange m/s tilsvarer det?

Oppgave 6 I 1973 vant hesten Secretariat løpet Belmont Stakes hele 31 hestelengder foran neste hest.

Oppgave 2 Lene kjøper flytende paracetamol til sønnen sin. På pakka står det 24 mg/mL paracetamol. Hver dose sønnen tar, skal være 10 mL. Han skal ta tre doser hvert døgn.

1 hestelengde

8 fot og 2 tommer

1 fot

30,48 cm

1 tomme

1 fot 12

Hvor mange gram virkestoff paracetamol tilsvarer denne døgndosen?

a Vis at 1 hestelengde svarer til 248,92 cm. b Hvor mange meter vant Secretariat med? Vi regner med at hestene løper med en fart på 6 hestelengder per sekund. c Hvor mange kilometer i timen (km/h) tilsvarer det?

Oppgave 3 På Elvesvingen camping koster det 650 kr å leie en hytte ett døgn. Hvor mye koster det å leie en hytte fem døgn hvis leieprisen er proporsjonal med antall døgn du leier hytta? Oppgave 4 Ola har lagd et program som skal regne ut arealet av en sirkel med radius 7,5 cm.

1 2 3 4 5

Oppgave 7 Lise har fått lus på rosebusken sin. Hun trenger lusemiddel for å bli kvitt lusa. I en nettbutikk finner hun et tilbud på lusemiddelet Super, som hun kan bruke. En flaske med 250 mL Super koster 300 kr. På flaska står det:

from math import pi t ,POTFOUSBU TPN UJMTFUUFT WBOO t NJMMJMJUFS LPOTFOUSBU QFS MJUFS WBOO

areal = pi*7,5^2 print(areal)

a Hvor mange liter ferdig utblandet lusemiddel får Lise av én flaske Super? b Hva blir prisen per liter ferdig lusemiddel?

Programmet virker ikke. Hvilke(n) feil har Ola i programmet? Oppgave 5 Hygga gård selger epler. Vekt i kg

2,5

Pris i kr

108

168

Undersøk om pris og vekt er proporsjonale størrelser.

Utforsking og generalisering

KAPITTELINNHOLD

2A Partall og oddetall 56 2B Figurtall 64 2C Tallfølger 74 2D Flere tallmønstre 80

Hvor mange kvadrater kan vi finne på et sjakkbrett? Ved første øyekast vil nok mange si at det er 64. Men fire og fire av dem utgjør også et kvadrat. Det er 49 slike 2 × 2-kvadrater.

Hvor mange 3 × 3-kvadrater er det? Hvor mange 4 × 4-kvadrater er det? Ser du et mønster?

2 Utforsking og generalisering

Partall og oddetall De positive partallene er tallene 2, 4, 6, … Vi kan illustrere dem med figurer slik:

Det første partallet kan vi illustrere som ett par. Det andre partallet kan vi illustrere som to par. Det tredje partallet kan vi illustrere som tre par. Og slik fortsetter det. Partall nr. 1: 2 = 2 ⋅1 Partall nr. 2: 4 = 2 ⋅ 2 Partall nr. 3: 6 = 2 ⋅ 3 Partall nr. n: 2n = 2 ⋅ n Hvis vi skriver p1 for partall nummer 1, p2 for partall nummer 2 og fortsetter slik, får vi at p1 = 2, p2 = 4, p3 = 6 osv.

Partall nummer n, pn, er gitt ved formelen pn " 2n.

De positive oddetallene er tallene 1, 3, 5, … Vi kan illustrere dem med følgende figurer:

Vi ser at oddetall nummer n er én mindre enn partall nummer n.

Oddetall nummer n, on, er gitt ved formelen on = 2n − 1.

2A Partall og oddetall Merk! Formlene pn " 2n og on = 2n − 1 gir alle mulige partall og oddetall hvis n kan være et vilkårlig helt tall. For tall vi kan illustrere med figurer, må n være et positivt, helt tall: 1, 2, 3, …

EKSEMPEL 1

Vi skriver de positive oddetallene i stigende rekkefølge. a Hvilket oddetall står på plass nummer 17? b Hvilket nummer i rekkefølgen er oddetallet 91? a Vi setter n lik 17 og regner ut: o17 = 2 ⋅17 − 1 = 33 Oddetall nummer 17 er 33. b Vi setter on lik 91 og løser likningen. on = 91 2n − 1 = 91 2n = 91+ 1 2n 92 = 2 2 n = 46

Vi deler med 2 på begge sider av likningen.

91 er oddetall nummer 46.

2.1 Vi skriver de positive oddetallene i stigende rekkefølge. a Hvilket oddetall står på plass nummer 29? b Hvilket oddetall står på plass nummer 100? c Hvilket nummer i rekkefølgen er oddetallet 401? 2.2 Vi skriver de positive partallene i stigende rekkefølge. a Hvilket partall står på plass nummer 17? b Hvilket partall står på plass nummer 54? c Hvilket nummer i rekkefølgen er partallet 200?

2 Utforsking og generalisering

EKSEMPEL 2

Forklar hva programmet gjør. a 1 2 3 4 5 6

n = 1

1 2 3 4 5

while n < 51: partall = 2*n print(partall) n = n + 1

partall = 0 while partall < 100: partall = partall + 2 print(partall)

a Programmet skriver ut de 50 første partallene. I linje 1 er n satt til å være 1. I løkka får variabelen partall verdien 2n (linje 4) og skrives ut (linje 5). Så økes verdien av n med 1. Dette skjer så lenge n er mindre enn 51. Tabellen nedenfor viser hva som skjer. n

n < 51?

partall

2⋅1 = 2

n økes til 2

2⋅2 = 4

n økes til 3

2⋅3 = 6

n økes til 4

2 ⋅ 49 = 98

n økes til 50

2 ⋅ 50 = 100

n økes til 51

Nei

–

b Programmet skriver ut det samme som i oppgave a. Vi gir variabelen partall verdien 0 og går inn i while-løkka. For hver runde i løkka øker verdien av partall med 2, og verdien skrives ut. Løkka gjentas så lenge partall < 100. Det siste partallet som skrives ut, er derfor 98 + 2 = 100. partall

partall < 100?

partall økes til 2

partall økes til 4

partall økes til 6

partall økes til 98

partall økes til 100

100

Nei

–

2A Partall og oddetall

Hvis vi oppgir ett tall, så vil sekvensen starte på 0 og gå til (men ikke med) tallet som oppgis.

range(10)

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

range(5, 10)

5,6,7,8,9

range(2, 10, 2)

2,4,6,8

Hvis vi oppgir to tall, så vil det første tallet fortelle hvor sekvensen starter og det andre hvor sekvensen slutter. Det siste tallet kommer ikke med.

Hvis vi oppgir tre tall, så vil det siste tallet være avstanden mellom tallene.

EKSEMPEL 3

Forklar hva programmet gjør. a 1 2 3

for n in range(1 , 51): oddetall = 2*n - 1 print(oddetall)

1 2

for oddetall in range(1, 100, 2): print(oddetall)

oddetall

2⋅1 − 1 = 1

2⋅2 − 1 = 3

2⋅3 − 1 = 5

49 2 ⋅ 49 − 1 = 97 50 2 ⋅ 50 − 1 = 99

a Programmet skriver ut de 50 første oddetallene. Vi lager en for-løkke der n tar verdiene fra og med 1 til og med 50 (51 er ikke med). Hver gang løkka kjører, får variabelen oddetall verdien 2n - 1 og verdien skrives ut. Se tabellen til venstre. b Programmet skriver ut det samme som i oppgave a. Her har vi også brukt en for-løkke. Denne løkka har steglengde 2, og starter med at oddetall tar verdien 1 og går til og med verdien 99. Variabelen oddetall får altså verdiene 1, 3, 5, …, 97, 99. Hver gang løkka kjører, skrives verdien av oddetall ut.

2 Utforsking og generalisering 2.3 Ines har lagd programmet nedenfor.

1 2 3 4 5 6

n = 5 while n < 9: p = 2*n print(p) n = n + 1

a Skriv av og fyll ut resten av tabellen nedenfor. n

n < 9?

2 ⋅ 5 = 10

n økes til 6

b Hvilke tall blir skrevet ut? Theo har lagd programmet nedenfor.

1 2 3 4 5 6

n = 5 while n < 9: p = 2*n n = n + 1 print(p)

c Hva blir utskriften i programmet til Theo? 2.4 Nicholai har lagd programmet nedenfor. Det skal skrive ut partallene fra og med 500 til og med 550. Programmet virker ikke slik det skal. Hva har han gjort feil?

1 2

for partall in range(500, 550, 2): print (partall)

2A Partall og oddetall 2.5 Lag et program som skriver ut oddetallene mellom 1000 og 1200 med en a while-løkke b for-løkke

EKSEMPEL 4

Otto har lagd de fire første figurene i en figurserie. Han ønsker å fortsette mønsteret.

a Hvor mange prikker trenger han til figur nummer 5? b Hvor mange prikker vil figur nummer n bestå av? a I figur nummer 1 er det 2 ⋅ 1 prikker. I figur nummer 2 er det 2 ⋅ 3 prikker. I figur nummer 3 er det 2 ⋅ 5 prikker. I figur nummer 4 er det 2 ⋅ 7 prikker.

Vi gjenkjenner mønsteret som det dobbelte av etterfølgende oddetall. I figur nummer 5 vil det derfor være 2 ⋅ 9 prikker, altså 18 prikker. b Antall prikker i figur nummer n er det dobbelte av oddetall nummer n, altså 2 on . Vi setter opp uttrykket og ganger ut parentesen: a( b + c ) = ab + ac

2 ⋅ on = 2 ⋅ (2n − 1) = 4n − 2 Vi kunne også ha regnet slik: on + on = 2n − 1+ 2n − 1 = 4n − 2 Antall prikker i figur nummer n er 4n 2.

Merk! Vi kan la f1 være antall prikker i figur nummer 1, f2 være antall prikker i figur nummer 2 og fortsette slik. Da vil formelen for antall prikker i figur nummer n være fn = 4n − 2.

2 Utforsking og generalisering 2.6 Nedenfor ser du de fire første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter.

a b c d

Beskriv mønsteret med ord. Tegn figur nummer 5. Hvor mange prikker vil den femte figuren bestå av? Hvor mange prikker vil den tiende figuren bestå av? Hvor mange prikker vil figur nummer n bestå av?

2.7 Rumi, Sofi og Felix jobber med en figurserie, og de tre første figurene er illustrert nedenfor. De ønsker å finne en formel for antall prikker i figur nummer n når mønsteret fortsetter.

Jeg ser at ﬁgurene er et partall pluss 2.

a Ta utgangspunkt i formlene for partall og oddetall og utsagnene til Rumi og Sofi, og vis at de begge vil komme fram til at figur nummer n består av 2n + 2 prikker. b Forklar hvorfor påstanden til Felix stemmer.

Jeg ser at det er et partall, og partall nummer n er 2n. Her starter vi jo med partall nummer 2, derfor må antall prikker i ﬁgur nummer n være 2 · (n + 1) = 2n + 2.

Felix

Rumi

Jeg ser at ﬁgurene er et oddetall pluss 3.

Soﬁ

2A Partall og oddetall

RØDE OPPGAVER 2.8 Til høyre ser du de fire første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter. La r1 være antall prikker i figur nummer 1, r2 være antall prikker i figur nummer 2, og så videre. a Bestem r5. b Lag en formel for antall prikker rn i figur nummer n. 2.9 Vibe har lagd programmet til høyre. Hvilke tall blir skrevet ut?

1 2 3

for n in range(5, 11): o = 2*n - 1 print(o)

BLÅ OPPGAVER 2.10 «Summen av to oddetall blir alltid et partall.» a Lag figurer som støtter denne påstanden. b Hva kan du si om summen av et partall og et oddetall? Illustrer. 2.11 Sigurd, Vegard og Marie jobber med figurserien til høyre. De ønsker å finne en formel for antall prikker i figur nummer n hvis mønsteret fortsetter.

Jeg ser at figurene er det Jeg ser at dobbelte av figurene er det et oddetall dobbelte av minus 1. Jeg ser at et partall figurene er et pluss 1. oddetall pluss et partall.

Undersøk påstandene deres. Sett opp uttrykket for antall prikker i figur nummer n med utgangspunkt i hvert utsagn. 2.12 Hva gjør programmet? Gå systematisk til verks og kjør programmet for ulike verdier av a. Hvilket mønster oppdager du?

1 2 3 4 5 6 7

summen = 0 a = 11 for n in range(1, a): summen = summen + (2*n - 1) print(summen)

2 Utforsking og generalisering

Figurtall Vi har sett at partall og oddetall kan illustreres som figurer som består av kvadrater, prikker eller liknende. Det fins flere grupper av tall som på tilsvarende måte er knyttet til figurserier med et voksende geometrisk mønster.

Kvadrattall Figuren nedenfor illustrerer de fire første kvadrattallene.

Lar vi kvadrattall nummer n være K n , får vi K1 = 1⋅1 = 12 K 2 = 2 ⋅ 2 = 22 Kvadratet av et tall er tallet ganget med seg selv. n ⋅ n = n2

K3 = 3 ⋅ 3 = 32 K 4 = 4 ⋅ 4 = 42 K n = n ⋅ n = n2 Vi sier at kvadrattall nummer n er kvadratet av n.

2B Figurtall

EKSEMPEL 5 Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Tom har lagd noen figurer med perler ut fra et bestemt mønster. Han ønsker å fortsette å lage figurer med samme mønster. Vi lar fn være antall perler i figur nummer n. a Hvor mange perler er det i figur 5? b Lag en formel for antall perler i figur n.

a Vi gjenkjenner antall perler i hver figur som summen av to etterfølgende kvadrattall. f1 = 12 + 22 = 12 + (1+ 1)2 f2 = 22 + 32 = 22 + (2 + 1)2 f3 = 32 + 42 = 32 + (3 + 1)2 f4 = 42 + 52 = 42 + (4 + 1)2 Antall perler i figur nummer 5 blir derfor f5 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61. b Formelen for antall perler i figur nummer n blir fn = n2 + ( n + 1)2.

2.13 Se på eksempel 5. Bruk formelen til å bestemme hvor mange perler Tom trenger totalt for å lage figur nummer 10. Hvor mange perler vil det være av hver farge da? 2.14 Nedenfor ser du de tre første figurene i en figurserie. Anta at mønsteret fortsetter.

a b c d

Beskriv mønsteret med ord. Tegn figur nummer 4. Hvor mange prikker består den fjerde figuren av? Hvor mange prikker består den tiende figuren av? Hvor mange prikker består figur nummer n av?

2 Utforsking og generalisering 2.15 Matheo lager figurer av hvite og blå kvadrater.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a Skriv av og fyll ut det som mangler i tabellen.

Figurnummer

Antall hvite kvadrater

Antall blå kvadrater

Antall kvadrater til sammen

4 n b Hvor mange kvadrater er det til sammen i figur nummer 10? c Hvor mange hvite kvadrater trenger Matheo for å lage figuren som har 100 kvadrater totalt? 2.16 Figurene nedenfor illustrerer de fire første kvadrattallene.

a Beskriv fargeleggingsmønsteret i figurene ovenfor. Hvor mange kuler er det av hver farge i de ulike figurene? b Bruk den fjerde figuren til å forklare at summen av de fire første positive oddetallene er 16. c Bestem summen av de 100 første positive oddetallene. d Lag en formel for summen av de n første positive oddetallene.

2B Figurtall

Rektangeltall og trekanttall EKSEMPEL 6

R1 = 2

R2 = 6

R3 = 12

R4 = 20

Figuren illustrerer de fire første rektangeltallene R1, R2, R3 og R4. a Lag en formel for rektangeltall nummer n, Rn. b Er 192 et rektangeltall? a Vi ser at bredden av hvert rektangel er den samme som nummeret til rektangeltallet, mens lengden er én større enn nummeret. Nummer

Rektangeltall

R1 = 2 = 1⋅ 2 = 1⋅ (1+ 1)

R2 = 6 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ (2 + 1)

R3 = 12 = 3 ⋅ 4 = 3 ⋅ (3 + 1)

R4 = 20 = 4 ⋅ 5 = 4 ⋅ (4 + 1)

Vi får altså Rn = n ⋅ (n + 1) = n2 + n b Hvis 192 er et rektangeltall, fins det et positivt heltall, n, slik at Rn " 192. Vi løser likningen i CAS.

Ingen av løsningene er et positivt heltall, så 192 er ikke et rektangeltall.

2 Utforsking og generalisering 2.17 Petter har lagd programmet nedenfor.

1 2 3

for n in range(1, 4): r = n*(n + 1) print(r)

a Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. n

n*(n + 1)

b Hvilke tall blir skrevet ut? 2.18 Tallene 1, 3, 6, 10, … er trekanttallene. a Ta utgangspunkt i figurene for rektangeltallene og lag figurer som illustrerer de fire første trekanttallene på en slik måte at du kan begrunne hvorfor de har fått dette navnet. Hvilken sammenheng er det mellom trekanttall og rektangeltall? b Hva er det femte og det sjette trekanttallet? n ⋅ ( n + 1) . c La Tn være trekanttall nummer n. Vis at Tn = 2 d «Summen av to etterfølgende trekanttall gir et kvadrattall». Lag illustrasjoner som støtter denne påstanden. 2.19 Nedenfor ser du figurer som gir oss de fire første hustallene.

a b c d e f

Følg samme mønster, og tegn den femte figuren. Skriv opp de sju første hustallene. Hvor mange prikker trenger du for å lage en figur av det tiende hustallet? Hvilken sammenheng er det mellom hustall, kvadrattall og trekanttall? Lag en formel for antall prikker i figur nummer n, Hn . Er 176 et hustall?

2B Figurtall

Flere figurtall 2.20 Nedenfor ser du de tre første figurene i en figurserie. Vi antar at mønsteret fortsetter.

a Tegn den fjerde figuren. Hvor mange prikker består den av? b Hvor mange prikker består den tiende figuren av? c Hvor mange prikker vil figur nummer n bestå av? 2.21

F1 = 1

F2 = 5

F3 = 9

F4 = 13

Daisy leker med perler og lager figurene ovenfor. a Følg samme mønster som Daisy, og tegn figur nummer 5. b La Fn være antall perler i figur nummer n. Lag en formel for Fn. c Hvilket nummer i figurserien har figuren med 77 perler? d Fins det en figur i figurserien med 167 perler?

2 Utforsking og generalisering

EKSEMPEL 7

Max jobber med figurserien ovenfor. Han ønsker å finne ut hvor mange kuler han trenger totalt for å lage de ti første figurene. Han lager programmet nedenfor. Forklar programmet.

1 2 3 4 5 6 7

summen = 0 for n in range(1 , 11): figur = n**2 + n summen = summen + figur

n**2 er n2.

print(summen)

Figur nummer n er bygd opp av kvadrattall nummer n og en «hale» med n kuler. Figur nummer n består derfor av n2 + n kuler. Max starter med å definere variabelen summen og setter den lik 0. Deretter lager han en for-løkke der n tar verdiene fra og med 1 til og med 10. I linje 4 regnes figur nummer n ut for hver verdi av n. I linje 5 oppdateres verdien av summen. Den nye verdien av summen blir den gamle verdien av summen pluss antall kuler i figur n. Når løkka kjører de ti rundene, blir antall kuler i de ti ulike figurene summert. I linje 7 blir den siste verdien av summen skrevet ut. n

n**2 + n

figur

summen + figur

summen

12 1

0+2

22 2

2+6

32 3

8 + 12

9 9

240 + 90

330

102 10

110

330 + 110

440

Utskriften blir 440.

2B Figurtall 2.22 a Max har 1200 kuler og ønsker å bygge figurene i eksempel 7. Han starter med figur 1, bygger deretter figur nummer 2 og fortsetter slik. Ta utgangspunkt i programmet til Max og undersøk hvor mange av figurene han maksimalt kan bygge. Hvor mange kuler får han til overs? b Sam ønsker å løse oppgave a ved å bruke regneark. Han lager et regneark som vist nedenfor. Ta utgangspunkt i oppsettet til Sam og løs oppgaven. Med tall:

Med formler:

2.23 Til venstre ser du de tre første figurene i en figurserie. De neste figurene følger samme mønster. a Lag en illustrasjon av den fjerde figuren. b Skriv opp de fem første tallene figurene representerer. c Bestem summen av de fem første tallene. d Hvor mange kvadrater trenger du for å lage de 20 første figurene? Astrid har 1500 små kvadrater. Hun starter med å bygge den første figuren, så den andre figuren og slik fortsetter hun. e Hvor mange av figurene kan hun lage? Hvor mange kvadrater blir til overs?

Figur 1

2.24 (Eksamen 1P høsten 2021) Marius og Maria arbeider i en dagligvarebutikk. De skal stable bokser med erter. Marius stabler boksene som vist på figur 1. På figur 1 har han lagd et tårn med fire etasjer. a Hvor mange bokser trenger Marius for å lage et tårn med 20 etasjer dersom han stabler boksene på denne måten? Marius har 400 bokser. b Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet Figur 2 han kan lage? Maria vil stable boksene som vist på figur 2. På figur 2 har hun lagd et tårn med tre etasjer. c Hvor mange bokser trenger Maria for å lage et tårn med 20 etasjer dersom hun stabler boksene på denne måten? Maria har 4000 bokser. d Hvor mange etasjer vil det være i det største tårnet hun kan lage?

2 Utforsking og generalisering

RØDE OPPGAVER 2.25 Figuren illustrerer de fire første femkanttallene, F1, F2, F3 og F4 . a Finn det femte femkanttallet, F5. En formel for femkanttall n ⋅ (3n − 1) nummer n er Fn = . 2 b Kontroller at formelen stemmer for de fem første femkanttallene. c Er 96 et femkanttall?

2.26 Figuren illustrerer de tre første tallene i en figurserie. De neste figurene vil følge det samme mønsteret. a Lag en illustrasjon av det fjerde tallet. b Bestem et uttrykk for antall prikker i figur n. c Hvor mange prikker trenger vi for å lage figur nummer 20?

BLÅ OPPGAVER 2.27 (Eksempelsett 1P høsten 2021) De tre figurene er lagd av fyrstikker. Figur 1 består av ett lite kvadrat, figur 2 består av fire små kvadrater, og figur 3 består av ni små kvadrater. Tenk deg at du har 10 000 fyrstikker. Du skal lage de tre figurene, og så fortsette å lage figurer etter samme mønster, Figur 1 Figur 2 én i hver størrelse. a Hvor mange figurer kan du lage? b Hvor mange fyrstikker har du igjen når du har lagd den siste figuren? 2.28 Til høyre ser du figurer av de fire første hustallene. Stella har 500 kuler av hver av de to fargene, og skal lage et så stort hustall som mulig. Hvor mange kuler av hver farge er til overs?

Figur 3

2B Figurtall

2.29 Mattis og Eivind skal lage et program som skriver ut antall kuler i hver av de 10 første figurene i figurserien til høyre.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

De lager hvert sitt program. Mattis: 1 2 3

Eivind: for i in range(1, 11): figur = i*4 print(figur)

1 2 3 4 5

figur = 4 for i in range(1, 11): print(figur) figur = figur + 4

a Forklar hvordan de to programmene er bygd opp. b Utvid programmene slik at det totale antall kuler som er brukt til de ti første figurene, blir skrevet ut. 2.30 De fire første femkanttallene er F1 " 1, F2 " 5, F3 " 12 og F4 " 22. På figuren til høyre ser du en illustrasjon av det fjerde femkanttallet. a Gro påstår at figuren illustrerer de fire første femkanttallene. Hva tror du at hun mener? b Tegn av figuren og utvid til det femte femkanttallet. Gro oppdager at det fjerde femkanttallet er satt sammen av tre trekanttall. Hun illustrerer dette ved å lage figuren med de to hjelpelinjene. c Skriv det fjerde femkanttallet som en sum av trekanttall. d Skriv F2 og F3 som summer av trekanttall. e Hvilken sammenheng har du oppdaget mellom trekanttall og femkanttall? Skriv femkanttall nummer n, Fn, som en sum av trekanttall. n( n + 1) Formelen for trekanttall nummer n er Tn = . 2 f Bruk denne formelen og uttrykket for Fn til å finne formelen for femkanttall nummer n.

Figur 4

Blandede oppgaver

BLANDEDE OPPGAVER 2.54 Figuren illustrerer de fire første tallene i en tallfølge.

a b c d

Tegn det femte tallet. Skriv opp de seks første tallene i tallfølgen. La kn være tall nummer n i tallfølgen. Lag en formel for kn. Er 225 et av tallene i følgen?

2.55 Til høyre ser du tre figurer bygd opp etter et bestemt mønster. Figurene er bygd opp av små kvadrater. Hvor mange små kvadrater er det i a figur nummer 4 b figur nummer n

Figur 1

Figur 2

2.56 (Eksamen 1P våren 2022)

Figur 3 Figur 1

Figur 2

Figur 3

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små klosser. Roar vil fortsette å lage figurer etter samme mønster. a Hvor mange klosser trenger han for å lage figur 5? b Hvor mange klosser trenger han til sammen for å lage de 10 første figurene? Roar har 10 000 klosser. Han vil starte med den minste figuren og lage én figur i hver størrelse. c Hvor mange figurer kan han lage? Hvor mange klosser vil han ha igjen når han har lagd figurene?

2 Utforsking og generalisering

2.57 La n være et tall. Ta for deg uttrykkene 2n, 2n − 5 og 2(n − 5). a Forklar hva hvert av uttrykkene forteller. b Kan du avgjøre hvilket uttrykk som har størst verdi uten å kjenne verdien av n? 2.58 Vi lar a og b være symboler for to tall. Lag et uttrykk som beskriver a et tall som er tre mindre enn a b et tall som er ti ganger så stort som b c et tall som er dobbelt så stort som tre mer enn b d forholdet mellom b og a e forholdet mellom a og kvadratet av b f produktet av a og b g et tall som er dobbelt så stort som produktet av a og b 2.59 Hanna har lagd programmet nedenfor.

1 2 3 4 5 6

tall = 1 for n in range(1, 5): produkt = tall*tall print(produkt) tall = 10**n + tall

a Kjør programmet. Hva regner programmet ut? Hvilket mønster oppdager du? b Vil mønsteret fortsette? Undersøk! 2.60 Herman jobber med en figurserie der figurene følger et mønster. Programmet nedenfor skriver ut antall kuler i hver av de fire første figurene.

1 2 3

for n in range(3, 7): f = 2*n + 3 print(f)

Hvilke tall blir skrevet ut? Lag en illustrasjon som viser hvordan de fire figurene kan se ut.

Blandede oppgaver

2.61 Filip skal organisere fest på klubbhuset og skal sette sammen små bord til et langbord. Rundt hvert av de små bordene er det plass til seks personer, to på hver av langsidene og én på hver av kortsidene. Når han setter sammen langbord, kan det ikke sitte noen på kortsidene som står inntil et annet bord. Lag en formel for antall personer P det er plass til rundt langbordet når Filip bruker x små bord. 2.62 Ta for deg figurserien nedenfor.

La antall kvadrater i figur nummer n være jn. a Bestem j1, j2, j3, j4 og j5. b Finn en sammenheng mellom jn og oddetallene. c Tegn en ny figurserie som viser at disse tallene er én større enn kvadrattallene. 2.63 Undersøk og formuler sammenhenger mellom partall, rektangeltall, og kvadrattall. 2.64 Regn ut kvadratet av 2 og trekk fra kvadratet av 1. Hvilket tall får du? Gjør det samme for 3 og 2 og deretter for 4 og 3. Hva tror du 52 42 blir? Hva tror du 62 52 blir? Hva tror du 102 92 blir? Regn ut og kontroller. 2.65 Bildet til høyre viser en variant av Pascals trekant utgitt i 1303, altså lenge før Pascal levde. Tallene er skrevet med kinesiske bambustall. Utforsk tallene. Hvordan skriver du 1, 5, 6, 8, 10 og 20 med bambustall? Skriv noen flere tall med bambustall.

2 Utforsking og generalisering

2.66 Nikoline leker seg med fyrstikker. Hun har lagd figurene nedenfor.

Nikoline vil lage flere figurer etter samme mønster. a Hvor mange fyrstikker trenger hun til å lage figur nummer 4? b Lag et program eller et regneark som gir en oversikt over antall fyrstikker Nikoline trenger til hver av de 25 første figurene. c Hvilken sammenheng er det mellom antall fyrstikker hun trenger og trekanttallene? Bruk dette til å lage en formel for antall fyrstikker hun trenger til figur nummer n. d Utvid programmet/regnearket fra oppgave b slik at det også gir oversikt over det totale antallet fyrstikker Nikoline må ha for å lage alle figurene opp til og med figur nummer 25. 2.67 Figuren nedenfor illustrerer de fire første tallene i en tallfølge.

a Følg samme mønster og tegn det femte tallet i følgen. b Skriv opp de sju første tallene i følgen. c Finn en formel for tall nummer n i følgen. 2.68 Ta for deg tallfølgen som starter med 100, og der hvert tall er 20 mindre enn det foran. a Skriv opp de fire første tallene i følgen. b Lag et program som skriver ut de ti første tallene i følgen. c Lag et program som summerer de ti første tallene i følgen. 2.69 Said tjener 190 kr per time før kl. 17.00 og 220 kr per time etter kl. 17.00. Sett opp en formel for lønna L kr hvis han jobber x timer før kl. 17.00 og y timer etter kl. 17.00.

Blandede oppgaver

2.70 (Eksamen 1P våren 2022) Figuren viser et lysgardin med små lyspærer. Lyspærene henger på tråder. Den første tråden i en lenke har tre lyspærer, den neste har seks, og den tredje har ni. Dette mønsteret gjentas videre. Avstanden mellom hver tråd er 10 cm. Figuren viser altså et gardin med lengde 80 cm. Et annet lysgardin av samme type er én meter langt. a Hvor mange tråder har dette lysgardinet? b Hvor mange lyspærer er det på den siste tråden? Tabellen viser antall lyspærer på lysgardiner med ulike lengder. c Hvor mange lyspærer er det på et 15 meter langt lysgardin? d Hvilke lengder, i hele meter, kan et lysgardin ha om det skal være ni lyspærer på den siste tråden? 2.71 Loreta har lært seg en metode for å gange tosifrede heltall med 5 som siste siffer med seg selv. Nedenfor ser du notatene hennes:

80 cm

Meter

Antall lyspærer

126

183

243

306

363

15 · 15 = 225

75 · 75 = 5625

45 · 45 = 2025

1 · (1 + 1) = 2 5 · 5 = 25

7 · (7 + 1) = 56 5 · 5 = 25

4 · (4 + 1) = 20 5 · 5 = 25

a Hvilken metode har Loreta lært seg? Kontroller at metoden fungerer for de resterende tosifrede tallene som ender på 5. b Fungerer metoden for tosifrede heltall som ender på andre sifre enn 5? Undersøk! 2.72 Helena kjøper bananer til 3 kr stykket, og Eskil kjøper epler til 4 kr stykket. De betaler like mye. a Hvor mange bananer kan Helena ha kjøpt, og hvor mange epler kan Eskil ha kjøpt? Finn tre forskjellige løsninger. b Se på svarene dine på oppgave a. Prøv å finne et mønster og beskriv mønsteret.

2 Utforsking og generalisering

2.73 a Regn ut 7 ⋅ 7 + 6, 77 ⋅ 7 + 6 og 777 ⋅ 7 + 6. Hva slags mønster oppdager du? b Hva tror du 7 777 777 ⋅ 7 + 6 blir? Kontroller med et digitalt verktøy. 2.74 (Eksamen 1P våren 2023)

Kari har brukt Non Stop og lagd tre K-er. Se ovenfor. Tenk deg at hun skal fortsette å lage K-er etter samme mønster. a Beskriv mønsteret, og bestem hvor mange Non Stop det vil være i K4 og K5. Kari ønsker å lage et program som finner antall Non Stop hun trenger for å lage hver av de 20 første K-ene. Hun ønsker også å vite hvor mange Non Stop hun trenger til sammen for å lage alle disse 20 K-ene. b Lag et program som Kari kan bruke. Du kan for eksempel begynne slik som vist nedenfor, men legge inn formler i stedet for tallet én i linje 13 og 14 slik at den riktige oversikten skrives ut.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

# Startverdier nonstop_figur = 10 nonstop_totalt = 10 # Overskrift print("Figurnummer

Non Stop på figur

Non Stop totalt")

for figurnummer in range(1, 21): # Skriver ut i tre kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t\t" print(figurnummer, nonstop_figur, nonstop_totalt, sep = "\t\t\t") nonstop_figur = 1 nonstop_totalt = 1

c Hvor mange Non Stop trenger Kari til sammen for å lage de 20 første K-ene? Kari har 2000 Non Stop. Hun vil begynne med K1 og lage én K i hver størrelse. d Hvor mange K-er kan Kari lage?

Blandede oppgaver

2.75 a Beskriv mønsteret i trekanten til høyre. b Lag en tallfølge der det første tallet er tallet i rad én, det andre tallet er summen av de to tallene i rad to, det tredje tallet er summen av de tre tallene i rad tre, og så videre. La y n være tall nummer n i tallfølgen fra oppgave b. c Lag en formel for y n. 2.76 Hva gjør programmet nedenfor?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 3 7

5 9

13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 .. .. .. .. .. ..

a = 1156 for n in range(1, a + 1): if a == n**2: print("Ja") break else: n = n + 1 if n == a: print("Nei")

2.77 Et palindrom er et ord, en setning eller et tall som gir samme resultat enten vi leser fra høyre eller venstre. Noen eksempler: reker, Otto, Agnes i senga, 55, 474, 8008 og 12 521. a Vis ved utregning at 110, 111, 112 og 113 er palindromtall. b Ser du en sammenheng mellom svaret i oppgave a og Pascals trekant? c Hva tror du 114 blir? Kontroller. d Hva tror du 115 blir? Kontroller og kommenter. e Skriv opp alle tosifrede palindromtall. Forklar hvorfor de er delelig med 11. f Hvor mange tresifrede palindromtall fins det? Hvor mange av dem er delelig med 11? g Hvor mange firesifrede palindromtall fins det? Undersøk om de er delelig med 11. Forklar hvorfor/hvorfor ikke. 2.78 Fibonaccifølgen er 1, 1, 2, 3, 5, 8, … a Beskriv mønsteret i følgen. b Lag et program som skriver ut de 20 første tallene i tallfølgen.

2 Utforsking og generalisering

SAMMENDRAG Figurtall

Partall nummer n er 2n , pn " 2n.

Oddetall nummer n er 2n 1, on = 2n − 1.

Kvadrattall nummer n er n2, K n " n2.

Rektangeltall nummer n er n ⋅ ( n + 1), Rn = n ⋅ ( n + 1).

Trekanttall nummer n er

n ⋅ ( n + 1) n ⋅ ( n + 1) . , Tn = 2 2

Tallfølger Tall som står etter hverandre i en bestemt rekkefølge, kaller vi en tallfølge.

Kapitteltest

KAPITTELTEST Oppgave 1 Du skal i denne oppgaven ta for deg tallene P1, P2, P3 , , der

Oppgave 3 Nedenfor ser du en illustrasjon av de fire første eiffeltallene.

P1 = 1 P2 = 1+ 2 + 1 P3 = 1+ 2 + 3 + 2 + 1 P4 = 1+ 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 a Hvilket mønster oppdager du? b Skriv opp P5 og P6. c Lag illustrasjoner og forklar hvorfor mønsteret vil fortsette. d Lag en formel for det tall nummer n, Pn. Oppgave 2 William jobber med figurserien nedenfor. Han bygger først figur nummer 1, så figur nummer 2 og slik fortsetter han.

a Hvor mange små, hvite kvadrater trenger William totalt for å lage de 10 første figurene? William har 500 hvite kvadrater og ubegrenset antall blå kvadrater. b Hvor mange figurer kan William bygge? Hvor mange hvite kvadrater har han da til overs? Hvor mange blå kvadrater bruker han totalt?

a Tegn de to neste eiffeltallene. b Hvor mange kuler er det i det tiende eiffeltallet? La En være eiffeltall nummer n. c Lag en formel for En. d Undersøk om 333 er et eiffeltall. e Alexander har 1000 kuler. Hva er det største eiffeltallet han kan lage?

Oppgave 4 Programmet nedenfor skriver ut antall kuler i hver av de fire første figurene i en figurserie.

1 2 3

for n in range(1, 5): f = 2*n + 6 print(f)

Hvilke tall blir skrevet ut? Lag en illustrasjon som viser hvordan figurene kan se ut.

Enheter

Funksjoner Tredjegradsfunksjoner f(x) = ax3 + bx2 + cx + d f(x)

a>0

f(x)

Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.

John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.

x f(x)

Andregradsfunksjoner f(x) = ax2 + bx + c

a<0

f(x ) x

f(x)

a<0

a>0

Eksponentialfunksjoner f(x) = a ⋅ bx a: startverdien f(0) b: vekstfaktoren f(x)

Potensfunksjoner f(x) = a ⋅ xb b>1

a –n

1 an

Definisjoner

(a· b) p a p · b p a b

an n a a n n at t

a n

p q

p· q

:10

. 100

Regneregler

Aunivers.no inneholder blant annet • fullstendige løsninger av alle oppgavene • opplæringsressurser til GeoGebra, regneark og programmering • interaktive oppgaver • eksamensløsninger

. 1000 cm³

dL :10

mm³

mL :10

. 60

min

:60

9 788203 413971

40 " 100 brøk

0,40 desimaltall

y er konstant x t omvendt proporsjonale hvis x ⋅ y er konstant

Odd Heir

Tea Toft Norderhaug ISBN 978-82-03-41397-1

t proporsjonale hvis

Håvard Moe a b

. 1000

:100

To variable størrelser x og y er

Tor Espen Kristensen

a " b

. 60

:100

mm²

Proporsjonalitet

Som lærer får du også tilgang til • lærerveiledning • elevaktiviteter • egenvurderinger • kapittelprøver • terminprøver

a ⋅ b = a ⋅ b og

:100

cm²

ny verdi = gammel verdi ⋅ vekstfaktor N = G ⋅ V

John Engeseth

Regneregler:

:100

dm²

dm³

h :24

Inger Christin Borge

( a ) = a når a ≥ 0

:100

. 24

54 000 = 5,4 ⋅ 104 0,0078 = 7,8 ⋅ 10−3

Definisjon:

m²

:10

Standardform

Kvadratrøtter

:10

40 %

a p : aq a p – q

a 1

:10

a ·a a

n faktorer

Prosentregning

Potenser 0

. 10

:10

prosent

. 10

m³

Matematikk 1P følger læreplanen i matematikk 1P (LK20) og består av lærebok og digitale ressurser på Aunivers.no. q

. 10

. 1000

0< b<1

an a · a · … · a

. 10

:100

0< b< 1 b< 0

Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.

. 10

km²

Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.

f(x)

b >1

Borge • Engeseth • Heir • Kristensen • Moe • Norderhaug • Vie

Lineære funksjoner f(x) = ax + b a: stigningstallet b: konstantleddet

Sigrid Melander Vie