Готовиться к экзамену помогают диагностики
Числа и вычисления Проверяемое умение: выполнять, сочетая устные и письменные приемы, арифметические действия с рациональными числами, сравнивать действительные числа, вычислять значения числовых выражений, переходить от одной формы записи чисел к другой. Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий 0, 3 1.1. (74%) Найдите значение выражения . 3 1− 4 1.2. (44%) Запишите в ответе номера верных равенств. 3 1) 1, 6 × = 0, 6 8
2) 1 :
4 4 = 7 7
3)
0, 3 = 0, 25 3 1− 4
4)
3 + 0, 8 = 1, 4 5
1.3. (47%) Расположите выражения в порядке возрастания их значений. В ответе укажите последовательность номеров. 0, 9 1) 4
1 1 2) × 4 3
1 1 3) − 2 5
4) 0, 48 ×0, 25 Журнал «Математика» № 9/2012
Совет Выполнение арифметических действий с обыкновенными дробями
Перевод обыкновенных дробей со знаменателями 2, 4, 5, 8, 20, 25, 50 в десятичные
Представление десятичной дроби в виде обыкновенной
Журнал «Математика» № 9/2012
Числа и вычисления Проверяемое умение: решать текстовые задачи, включая задачи, связанные с отношением, пропорциональностью величин, дробями, процентами.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий
1.4. (63%) Для приготовления маринада для огурцов на 1 л воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 8 л маринада?
Журнал «Математика» № 9/2012
1.5. (46%) Для приготовления отвара из лекарственных трав взяли цветки шалфея и ромашки в отношении 9 : 11. Какой процент в этой смеси составляют цветки шалфея? 1.6. (43%) Тест по математике содержит 17 заданий, из которых 11 заданий по алгебре, остальные — по геометрии. В каком отношении содержатся в тесте алгебраические и геометрические задания? 1.7. (87%) Сколько заплатит покупатель за товар стоимостью 780 р., оплачивая его только с 5%-й скидкой по дисконтной карте? Журнал «Математика» № 9/2012
Совет Решать разнообразные задачи, которые встречаются в реальных ситуациях, и прямые, и обратные.
Предложить учащимся вспомнить, встречались ли они сами с ситуациями, в которых надо было выполнять вычисления с процентами или отношениями.
Журнал «Математика» № 9/2012
Алгебраические выражения Проверяемое умение: выполнять основные действия и алгебраическими дробями.
с
многочленами
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий (a − 2b)2 − 4b2 2.1. (39%) Упростите выражение a и найдите его значение при a = 0,3, b = –0,35. 2.2. (41%) Упростите выражение (b – 2)2 – 4b(2b – 1) и найдите его значение при b = 0, 3.
b b2 2.3. (30%) Упростите выражение : 2 2 2 a + ab a − b и найдите его значение при a = 5 − 1, b = 5 + 1. Журнал «Математика» № 9/2012
Совет Обратить внимание на учащихся, отметка которых колеблется между тройкой и четверкой, они должны уверенно выполнять преобразования, аналогичные тем, что даны в задании 2.3.
Отработать со слабыми учащимися основные правила и действия, необходимые при преобразовании алгебраических выражений, применение основных формул, а также все действия с дробями.
Журнал «Математика» № 9/2012
Алгебраические выражения Проверяемое умение: выполнять основные действия со степенью с целым показателем,
применять свойства арифметических квадратных корней для преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий 2.4. (67%) Укажите выражение, тождественно равное
x −8 ×x 5 . дроби 4 x 1) x3 2) x 3) x–7 4) x9 2.5. (39%) Какому из данных выражений равно произведение 81 · 3k? 1) 243k 2) 34k 3) 3k + 4 4) 81k + 3 2.6. (52–59%) Какое из данных выражений не равно 3 1) 5 7
3 5 2) 7
25 × 3 3) 7
75 ? 7
15 4) 21 Журнал «Математика» № 9/2012
Совет Продолжать формировать преобразований выражений, и корни.
навыки содержащих
выполнения степени
От учащихся со слабой подготовкой нужно добиваться знания свойств, понимания структуры предлагаемых выражений и четкого выполнения действий в простейших ситуациях .
Не следует предлагать учащимся со слабой подготовкой громоздкие выражения или выражения, содержащие сразу все возможные действия. Журнал «Математика» № 9/2012
Алгебраические выражения Проверяемое умение: составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач,
находить значения буквенных выражений, осуществляя необходимые подстановки и преобразования.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий 2.7. (62%) Из прямоугольника со сторонами 5 см и 7 см вырезали квадрат со стороной 3 см. Найдите площадь оставшейся фигуры. Ответ дайте в см2. 2.8. (25%) Из прямоугольника со сторонами a и b вырезали квадрат со стороной c. Составьте выражение для вычисления площади закрашенной фигуры. 2.9. (14%) Запишите формулу для вычисления площади закрашенной части. Журнал «Математика» № 9/2012
Совет
Необходимо добиться понимания свойств площади, ведь это имеет не только теоретическое значение — похожие ситуации могут встретиться учащимся в жизни.
Журнал «Математика» № 9/2012
Алгебраические выражения Примеры заданий 2.10. (58%) Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия (t °C) в шкалу Фаренгейта (t °F) пользуются формулой F = 1,8C + 32, где C — градусы Цельсия, F — градусы Фаренгейта. Какая температура (в градусах) по шкале Фаренгейта соответствует 20° по шкале Цельсия?
Журнал «Математика» № 9/2012
2.11. (52%) Из уравнения Менделеева–Клапейрона p · V = v · R · T выразите температуру T.
mv 2 2.12. (24%) Из формулы E = mgh + 2 скорость v .
выразите
2.13. (36%) Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле
1 S = d1d2 sin α, 2 где d1, d2 — длины его диагоналей, а α — угол между ними. Вычислите sin α, если S = 21, d1 = 7, d2 = 15. Журнал «Математика» № 9/2012
Совет
Отработать такой элемент алгебраической подготовки, как подстановка в формулу значений переменной.
Журнал «Математика» № 9/2012
Уравнения и неравенства Проверяемое умение: решать линейные, квадратные уравнения.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий x 4 3.1. (46%) Решите уравнение x + = . 7 7
3.2. (63%) Решите уравнение 2x2 + x – 3 = 0. 3.3. (57%) Решите уравнение (2x + 7)(x – 1) = 0. 3.4. (51%) Решите уравнение 4x2 + x = 0. 3.5. (81%) Решите уравнение 4x2 – 16 = 0. 3.6. (40%) Решите уравнение 9x2 – 1 = 0.
Журнал «Математика» № 9/2012
Совет
Не следует забывать о решении линейных уравнений и с дробными коэффициентами. Научить избавляться от дробей и переходить к целым коэффициентам. Решение неполных квадратных уравнений и применение навыков разложения двучлена на множители. Журнал «Математика» № 9/2012
Уравнения и неравенства Примеры заданий
3.7. (36%) Решите неравенство 3x – 4(2 – x) ≤ 12x + 3. 3.8. (51%) Решите неравенство 4(3 – x) – 3x ≤ –9.
Журнал «Математика» № 9/2012
Совет
Отработать навыки применения свойств неравенств на простейших примерах.
Уделить внимание умению раскрывать скобки.
Журнал «Математика» № 9/2012
Уравнения и неравенства Проверяемое умение: решать текстовые задачи алгебраическим методом,
интерпретировать полученный результат,
проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий
3.9. (48%) Велосипедист от деревни до озера ехал со скоростью 15 км/ч, а обратно — со скоростью 10 км/ч. Сколько часов ушло на дорогу от деревни до озера, если на весь путь туда и обратно велосипедист затратил 5 ч? 3.10. (32%) От города до поселка автомобиль доехал за 3 ч. Если бы он увеличил скорость на 25 км/ч, он затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Скольким километрам равно расстояние от города до поселка?
Журнал «Математика» № 9/2012
Совет Сделать акцент на составлении уравнения по условию текстовой задачи и отработать прежде всего этот элемент решения. Предлагать составлять разные уравнений, беря за неизвестное разные величины. Обратить особое внимание на умение переформулировать условия, которые связывают величины, фигурирующие в задаче.
Журнал «Математика» № 9/2012
Функции Проверяемое умение:
определять свойства функции по ее графику, строить графики изученных функций, описывать их свойства.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий 4.1. (49%) Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график. 1)
2)
3)
4)
Формула: А. y = 3x – 1 Б. y = –3x – 1 В. y = –3x + 1 Ответ: А. __________ Б. __________ В. __________ Журнал «Математика» № 9/2012
4.2. (47%) Даны функции вида y = kx + b. Для каждого графика укажите соответствующие ему знаки коэффициентов k и b. Графики: А
Б
Значения k и b: 1) k > 0, b > 0 3) k < 0, b > 0
В
Г
2) k > 0, b < 0 4) k < 0, b < 0 Журнал «Математика» № 9/2012
4.3. (27%) Даны функции вида y = ax2 + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующие ему знаки коэффициентов a и c. Графики: А
Б
Значения a и c: 1) a > 0, c > 0 3) a < 0, c > 0
В
Г
2) a > 0, c < 0 4) a < 0, c < 0 Журнал «Математика» № 9/2012
Совет
Учить понимать, как расположен в координатной плоскости график функции y = kx + b в зависимости от коэффициентов k и b, график функции y = ax2 + c — в зависимости от коэффициентов a и c, причем как в общем случае, так и в случае конкретных прямых сформировать соответствующие образы.
Журнал «Математика» № 9/2012
Функции Проверяемое умение: описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами,
интерпретировать графики реальных зависимостей.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий 4.4. (76%) Фирма «Связь» выпустила в продажу две новые модели телефонов — модель А и модель В. На графиках показано, как эти модели продавались в течение года. (По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала продаж, — в месяцах, а по вертикальной — число телефонов, проданных за это время, — в тыс. штук.) На сколько телефонов модели А было продано больше, чем телефонов модели В за первые 8 месяцев года? Ответ дайте в тыс. штук.
Журнал «Математика» № 9/2012
4.5. (57%) Из пункта A в пункт B вышел пешеход и через некоторое время вслед за ним выехал велосипедист. На рисунке изображены графики движения пешехода и велосипедиста. На сколько минут меньше затратил на путь из A в B велосипедист, чем пешеход?
Журнал «Математика» № 9/2012
4.6. (47%) Турист во время прогулки сначала шел пешком по ровной проселочной дороге, а потом дорога пошла в гору. На рисунке изображен график его движения. По вертикальной оси откладывается длина пройденного им пути в километрах, а по горизонтальной — время движения в минутах. Определите, с какой скоростью турист шел по ровной дороге. (Ответ дайте в км/ч.)
Журнал «Математика» № 9/2012
Совет
Выявить учащихся, которые ошибаются при чтении графиков реальных зависимостей: по известному значению независимой переменной не могут найти соответствующее ей значение зависимой и наоборот. С остальными учащимися больше внимания уделять работе по смысловому интерпретированию различных графиков, учить задавать по графику различные содержательные вопросы. Журнал «Математика» № 9/2012
Координаты на прямой и плоскости Проверяемое умение: изображать числа точками на координатной прямой, сравнивать действительные числа.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий 5.1. (91%) На координатной прямой отмечено число a. Какому из отрезков принадлежит число a? 1) [–5; –4]
2) [–4; –3]
3) [–3; –2]
4) [3; 4]
5.2. (54%) На координатной прямой отмечено число a. Какое из утверждений относительно этого числа является верным? 1) a + 4 > 0 2) 2 – a > 0 3) a + 5 < 0 4) 3 – a < 0 5.3. (60%) Какое целое число расположено между числами
80 и
90 ?
Журнал «Математика» № 9/2012
Совет Необходимо проверить, все ли учащиеся могут определить положение точки на координатной прямой, а также все ли могут указать промежуток, которому принадлежит число а + 4 или число –а. Отдельно следует выяснить, знают ли учащиеся свойства числовых неравенств и умеют ли применять их, в том числе к заданиям с числовой прямой.
Журнал «Математика» № 9/2012
Координаты на прямой и плоскости Проверяемое умение:
применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств.
Журнал «Математика» № 9/2012
Примеры заданий 5.4. (71%) Используя графики, решите систему уравнений
x + y = 2, 2 x − y = 4.
5.5. (71%) Окружность, изображенная на рисунке, задается уравнением x2 + y2 = 5, а прямая — уравнением y = –2x. Вычислите координаты точки B. Журнал «Математика» № 9/2012
Совет Рассмотреть различные случаи взаимного расположения двух графиков: окружности x2 + y2 = r2 и прямой вида y = c или y = kx; параболы y = x2 + c и прямой; гиперболы и прямой; параболы y = x2 + c и окружности x2 + y2 = r2; 1 параболы y = x + c и гиперболы y = . x 2
При этом обсуждать возможное количество точек пересечения, особенностей их расположения и составлять соответствующие системы уравнений. Журнал «Математика» № 9/2012