MathEx - 1re - extrait by Van In Fondamental

Laurence Tistaert

Résoudre des situations mathématiques demande une maîtrise des techniques de base et un entraînement rigoureux de la part des élèves. Mathex 1re est un livre d’exercices de maths qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de compléter le cours de l’enseignant.

MAthEx 1 année

Mathex 1re, c’est : U Plus de 5000 exercices qui couvrent toutes les maths de 1re année U Des exercices classés selon une difficulté croissante U Des rappels théoriques en début de chapitres U De l’algèbre ET de la géométrie U Les réponses aux exercices sont placées en fin d’ouvrage Mathex est donc le compagnon indispensable pour réussir ses maths en 1re année !

De Boeck

ISBN : 978-2-8041-9677-6 573071

vanin.be

année

Laurence Tistaert

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Existent aussi dans la même collection MathEx 2e année MathEx 3e année

Couverture : Primo&Primo Mise en pages : Nord Compo © Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2017, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 2e édition 2017 ISBN 978-2-8041-9677-6 D/2017/0074/061 Art. 573071/01

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Avant-propos Professeur de mathématique depuis plus de 20 ans, je constate que l’élève s’entraîne de moins en moins par écrit. Il me semble que bien maîtriser les techniques de base est indispensable pour pouvoir résoudre des situations mathématiques plus complexes.

C’est avec un entraînement rigoureux que l’élève peut maîtriser ces techniques mathématiques et apprécier davantage cette discipline : il va comprendre l’importance de la rédaction de chaque étape amenant à la solution de l’exercice. MATHEX 1re est un livre d’exercices mathématiques qui a pour but d’aider l’élève dans son apprentissage de la rigueur mathématique, de fournir aux parents une source d’exercices d’entraînement et de compléter le cours de l’enseignant.

L’élève peut : • lire les exemples et le rappel théorique pour les matières qui lui posent un problème ou qu’il veut approfondir ; • choisir des séries d’exercices en fonction de ses difficultés et de la matière qu’il voit ; • apprendre à respecter des consignes et à rédiger des résolutions d’exercices ; • s’entraîner davantage par écrit, en rédigeant les étapes sur une feuille annexe si la place disponible n’est pas assez grande ; • revoir et approfondir certaines notions et techniques mathématiques ; • aller plus loin dans la résolution de certains exercices ; • se corriger grâce au solutionnaire en fin d’ouvrage.

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Les parents peuvent : • lire et s’aider du rappel théorique et des exemples nécessaires pour accompagner leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage des maths ; • choisir des séries d’exercices en fonction du niveau ou des difficultés de leur(s) enfant(s) ; • s’aider du corrigé pour évaluer la progression de leur(s) enfant(s) dans son (leur) apprentissage.

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L’enseignant peut : • utiliser ce livre comme outil d’exercices pour son cours ; • continuer à utiliser ses propres introductions et sa propre méthodologie ; • compléter le contenu théorique comme il l’entend.

Chaque chapitre de MATHEX 1re est composé, d’une part, d’un bref rappel théorique de certaines notions accompagné d’exemples avec une résolution complète, et, d’autre part, d’activités avec une multitude de séries d’exercices. Ces dernières sont proposées par gradation croissante de difficulté, afin que chaque élève puisse progresser à son rythme. À noter que certaines séries dépassent le programme de deuxième année de l’enseignement général et que, par ailleurs, pour éviter toute confusion avec la lettre x, le signe d’opération de la multiplication est remplacé par un point (.). MATHEX 1re, ce sont donc des centaines d’exercices couvrant le programme de la deuxième année de l’enseignement général avec les rappels théoriques indispensables. Tout pour réussir ses maths ! Bon entraînement ! Laurence Tistaert

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Sommaire Rappels : les tables de multiplication ................................................................... 5

Chapitre 2

Vocabulaire .............................................................................................................................................................. 11

Chapitre 3

Calculer avec les naturels ........................................................................................................... 20

Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM .............................................................. 33

Chapitre 5

Les entiers ................................................................................................................................................................... 48

Chapitre 6

Calcul littéral......................................................................................................................................................... 76

Chapitre 7

Fractions......................................................................................................................................................................101

Chapitre 8

Opérations sur les fractions ..............................................................................................121

Chapitre 9

Repérage dans le plan..................................................................................................................141

Chapitre 10

Notions de géométrie ...................................................................................................................152

Chapitre 11

Les transformations du plan ...........................................................................................170

Les corrigés

........................................................................................................................................................................................................

181

Éd

iti

Chapitre 1

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iti

Éd VA N

Chapitre 3

Calculer avec les naturels Attention ! À partir de ce chapitre, le signe de l’opération « multiplication » « × » est remplacé par « . » pour éviter toute confusion avec la lettre x.

1 Les priorités des opérations dans

Les nombres naturels sont des nombres qui permettent de désigner des quantités. Ils sont entiers sans partie décimale.

En algèbre, on ne peut pas résoudre un énoncé dans un ordre quelconque. Il est impératif de respecter les priorités des opérations !

les Exposants On calcule les puissances... (chapitre développé en deuxième année)

les Multiplications et les Divisions On effectue ensuite les multiplications et les divisions dans le sens de la lecture

les Additions et les Soustractions On effectue, enfin, les additions et les soustractions dans le sens de la lecture

4 . 5 + 7 = 20 + 7

iti

Exemple 1

Il faut donc résoudre un exercice dans l’ordre suivant : les Parenthèses On résout d’abord ce qui se trouve dans P les parenthèses en respectant l’ordre des opérations

= 27

Addition

7 . 3 – (2 . 4 + 1) = 7 . 3 – (8 + 1) =7.3–9 = 21 – 9 = 12

Multiplication dans les Parenthèses Addition dans les Parenthèses Multiplication Soustraction

25 : 5 . 2 + 7 . 3 – 2 . 4 = 10 + 21 – 8

Multiplications et Division dans le sens de la lecture Additions et Soustractions dans le sens de la lecture

Éd

Exemple 2

Multiplication

Exemple 3

= 23 Exemple 4

3 . 22 + [(3 . 5 + 1) – 2 . 3] = 3 . 22 + [(15 + 1) – 2 . 3] = 3 . 22 + [16 – 2 . 3] = 3 . 22 + [16 – 6] = 3 . 22 + 10

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= 3 . 4 + 10 = 12 + 10 = 22

Multiplication dans les Parenthèses Addition dans les Parenthèses Multiplication dans les Parenthèses Soustraction dans les Parenthèses Exposant Multiplication Addition

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Calculer avec les naturels

Chapitre 3

2 La mise en évidence dans La mise en évidence est une technique de calcul, qui permet de factoriser un énoncé afin de faciliter sa résolution. Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence de termes en un produit de facteurs. Donc lorsque tous les termes d’une somme ou d’une différence possèdent un (des) facteur(s) commun(s), on peut transformer cette somme ou différence en un produit de facteurs en mettant en évidence le(s) facteur(s) commun(s). Soient a, b, c ∈ : ab + ac = a . (b + c). 2 termes

2 termes

Exemple 1

4 . 5 + 8 . 4 = 4 . (5 + 8)

facteur commun aux deux termes qui est mis en évidence = 4 . (13)

= 52 Exemple 2

3 termes

7 . 3 + 3 . 5 + 6 . 8 = 3 . (7 + 5 + 2 . 8)

on décompose le facteur 6 pour avoir un facteur en commun dans tous les termes

3.5

2.3.8

= 3 . (7 + 5 + 16) = 3 . [28] = 84

Exemple 3

3.7

2 termes

27 . 4 + 27 = 27 . (4 + 1)

Éd

iti

27 . 4 27 . 1

Exemple 4

on décompose les facteurs pour trouver les facteurs communs aux trois termes

= 27 . (4 + 1) = 27 . (5) = 135

3 termes 12 . 7 + 36 . 5 + 18 . 3 = 2 . 3 . (2 . 7 + 2 . 3 . 5 + 3 . 3) 2.6.7

6.6.5

3.6.3

2.3.2.7 2.3.2.3.5

3.2.3.3

= 2 . 3 . (14 + 30 + 9) = 6 . 53 = 318

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Chapitre 3

Calculer avec les naturels

3 La distributivité dans Soient a, b, c, d ∈ : a . b = a . (c + d)

La distributivité est une technique d’algèbre qui permet de transformer un produit de facteurs en une somme ou une différence de termes.

on décompose le facteur en une somme ou une différence de termes

a . b = a . (c + d)

on distribue le facteur entier à chaque terme

Pour distribuer dans , il faut :

=a.c+a.d

a) décomposer un des facteurs en une somme ou une différence de termes ; b) distribuer le facteur entier à chaque terme.

101 . 48 = (100 + 1) . 48

Exemple 1

= 48 . 100 + 48 . 1 = 4 800 + 48

77 . 18 = 77 . (20 – 2)

Exemple 2

= 77 . 20 – 77 . 2

= 4 848

= 1 540 – 154

4 Les puissances

= 1 386

a) Une puissance est un produit de facteurs tous égaux entre eux a

iti

Éd

la puissance

Exemple 1

Exemple 2

l’exposant

=a.a.a.….a n facteurs a

la base

27 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 7 facteurs tous égaux à 2 = 128 52 = 5 . 5 2 facteurs tous égaux à 5 = 25

b) Les cas particuliers : a1 = a et a0 = 1 a1 = a 1 fois le facteur a

Tout naturel élevé à la puissance « 1 » est égal à ce naturel.

a0 = 1 car 1 . a0 = 1 un est neutre zéro facteur a dans la multiplication

Tout naturel élevé à la puissance « 0 » vaut toujours 1. 22

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Calculer avec les naturels

Chapitre 3

c) Les puissances de 10 Une puissance de 10 est un produit de facteurs tous égaux à « 10 ». 10n = 10 . 10 . 10 . … . 10 n facteurs 10

= 1 000 … 0 n zéros !

10 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10 000

Exemple 1

4 zéros

106 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 1 000 000

Exemple 2

6 zéros

d) L’inverse d’une puissance an

1 8 1 = . =1 23 1 8

L’inverse d’une puissance se note a–1 =

23 .

Exemple

Deux puissances sont inverses lorsque leur produit vaut 1.

1 (le moins sous forme d’exposant veut dire « inverse »). a

5 –1 1 (5)–1 = ⎛⎝ ⎞⎠ = 1 5 ⎛ 2 ⎞ –1= 3 ⎝ 3⎠ 2

e) Récapitulons

Exemple

a–3

a–2

a–1

...

1 a .a. a

1 a. a

1 a

a.a

a.a.a a.a.a.a a.a.a.a.a …

iti

…

Éd

…

f) Les carrés parfaits

Un carré parfait est un nombre obtenu grâce au produit de deux facteurs égaux. Exemple

16 est le carré parfait de 4 car 42 = 42 = 16

produit de deux facteurs égaux

g) Liste des carrés parfaits est le carré parfait de

0 0

1 1

4 2

9 3

est le carré parfait de

121 11

144 12

169 13

196 14

16 4 225 15

25 5

36 6 256 16

49 7 289 17

64 8

81 9

100 10

324 18

361 19

400 20

Remarque En deuxième année, on travaille davantage avec les exposants… À découvrir dans MATHEX 2e ! 23

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Chapitre 3

Calculer avec les naturels

ACTIVITÉ 1 • PRIORITÉS DES OPÉRATIONS DANS (P E MD AS) Exercice 1 • Observe les énoncés et complète les pointillés en indiquant à chaque fois quelle étape est à effectuer. Série 1

Série 2

a) 3 . 2 + 5 ................................................................................................... a) 3 . 5 + 72 ................................................................................................... = 6 + 5.........................................................................................................

= 3 . 5 + 49 .............................................................................................

= 11

= 15 + 49 ..................................................................................................

b) 2 . 5 + (3 + 4) ......................................................................................

= 64

= 2 . 5 + 7 ................................................................................................ b) 3 + 4 . 2 + 15 : 3 ............................................................................... = 10 + 7 .....................................................................................................

= 3 + 8 + 5 ..............................................................................................

= 17

= 16

c) ((3 +4) . 2) + 5 . 3 + 12 ................................................................

= 9 + (15)2 ................................................................................................

= (7 . 2) + 5 . 3 + 12 ........................................................................

= 9 + 225 ..................................................................................................

= 14 + 5 . 3 + 12.................................................................................

= 234

= 14 + 5 . 3 + 1...................................................................................

..............................................................................................

c) 9 + (3 . 5)

= 14 + 15 + 1........................................................................................ = 30

Exercice 2 • Souligne, en vert, l’étape prioritaire à résoudre et ensuite calcule. a) 5 . 3 + 7 = ............................................................................................... f) 4 . 3 : 12 = .............................................................................................. b) 72 + 5 = ...................................................................................................... g) 5 + 18 : 6 = ............................................................................................

iti

c) 7 + 2 . 3 + 4 = ..................................................................................... h) 6 + 2 . 9 = ............................................................................................... d) (3 . 5) + (7 . 2) = ................................................................................ i) 3 . 42 = .......................................................................................................

Éd

e) (3 + 8) . 2 = ............................................................................................ j) 21 : 7 + 3 . 5 = ....................................................................................

Exercice 3 • Place des parenthèses, si c’est nécessaire, dans chaque calcul afin de respecter les égalités proposées. a) 4 . 2 + 5 = 13

e) 4 + 22 . 3 = 16

b) 4 . 2 + 5 = 28

f) 4 + 22 . 3 = 24

c) 2 . 5 + 3 . 7 = 31

g) 12 : 4 + 5 . 2 = 16

d) 2 . 5 + 3 . 7 = 91

h) 12 : 4 + 5 . 2 = 13

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Calculer avec les naturels

Chapitre 3

Exercice 4 • Calcule en respectant les priorités des opérations. Pense à souligner, à chaque étape, le calcul prioritaire. Série 1

Série 2

Série 3

a) 7 . 3 + 8 = ................................................. a) 12 + 52 = .................................................... a) (2 . 5) + (3 . 4) = .................................. b) 2 . (15 – 8) = ........................................... b) 17 . 3 + 42 = ............................................ b) 2 . 5 + 32 + (5 . 3 – 4) = ................ c) 3 . 7 + 5 . 2 = ......................................... c) (2 . 3)2 = ...................................................... c) 16 : 4 + 3 . 2 – 5 = ............................ d) 4 + 3 . 3 + 7 = ....................................... d) 2 . 51 . 2 + 4 = ....................................... d) 122 – 10 . 8 = ......................................... e) 6 . (5 + 2) = .............................................. e) 3 + 52 . 2 + 2 = ..................................... e) (4 . 3 + 7) + 22 . 3 = ......................... f) 32 + 5 = ........................................................ f) 1 + 72 + 3 . 2 = ..................................... f) (2 + 5)2 . 2 + 32 = ................................

g) 42 + 3 . 2 = ............................................... g) (1 + 72 + 3) . 2 = .................................. g) (2 + 5)2 . (2 + 32) = ............................ h) 16 : 4 + 5 . 3 = ...................................... h) (15 : 5)2 + 3 = ......................................... h) 2 + 52 . 2 + 32 = ................................... i) 12 : 3 : 1 + 3 . 2 = ............................. i) 3 . 2 + 7 + (15 – 3 . 2) = .............. i) 2 + 52 . (2 + 32) = ................................

j) (3 + 1)2 = .................................................... j) 3 + 52 – (12 : 4) = ............................... j) 2 + (52 . 2) + 32 = ................................ Série 4

Série 5

a) 102 – 5 . 2 + 3 = ................................................................................ a) 12 : 3 + 2 . (3 + 5) = ...................................................................... b) (102 – 5) . 2 + 3 = ............................................................................. b) 14 . 2 . 5 . 0 + 7 . 32 = .................................................................................. c) 102 – 5 . (2 + 3) = ............................................................................. c) 2 . (3 + 5 . 3) – 4 . 2 = .................................................................. d) 10 . 5 – 22 + 3 = ................................................................................ d) 7 . 5 – 3 . 5 + 2 . (3 + 3) = ......................................................................... e) 10 . (5 – 22 + 3) = ............................................................................. e) 4 – 2 . (32 : 9) + 5 = ........................................................................

f) (10 . 5 – 22) + 3 = ............................................................................. f) 7 + 6 . 22 + 12 = .................................................................................

g) 7 – 3 . 0 + 32 = .................................................................................... g) (14 : 2 + 5) . 2 = ................................................................................ h) 15 : 3 : 5 + 12 : 4 = ........................................................................ h) (7 + 3)2 + 3 . (22 + 5) = ................................................................ i) 10 . 5 – 3 . 7 + 2 = .......................................................................... i) (3 + 2)2 + 3 . (2 + 1)2 = ................................................................

Éd

iti

j) (3 . 5 – 4) + (2 . 4 : 8) = .............................................................. j) 5 . (3 + 2 . 2) + 5 . 3 = .................................................................

Un peu plus compliqué… Écris bien chaque étape ! Série 6

a) 17 + 5 . (3 + 22) – 1 = .............................................................................................................................................................................................................

b) (7 . 2 – 3) + 3 . (4 . 2 + 5) = ............................................................................................................................................................................................... c) (5 – 3)2 + 2 . (42 – 32) = .......................................................................................................................................................................................................... d) [5 + (2 . 3 + 5)] + (14 : 7 + 5) = ...................................................................................................................................................................................... e) 8 . 3 + 4 . 0 . 5 + 3 . (2 + 5 – 3) = ................................................................................................................................................................................ Série 7 a) 92 + 3 . 5 + (2 . 3 + 52) = ..................................................................................................................................................................................................... b) 9 . 11 – (4 . 32) . 2 = ................................................................................................................................................................................................................. c) [(5 + 7 . 2) – 3 . 3] + [(3 . 2 – 1) + 5] = .................................................................................................................................................................... d) 2 . 33 – (22 . 3) + 5 . 0 = ......................................................................................................................................................................................................... e) 72 + 32 . (21 + 3 . 3) – 4 : 2 = ............................................................................................................................................................................................ 25

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Chapitre 3

Calculer avec les naturels

Exercice 5 • Calcule chaque proposition et ensuite complète les pointillés par le signe « = » ou « ≠ ». = ou ≠ 16 – 3 . 4 = ...................................................

.........................................................................

16 – (3 . 4) = ................................................

25 – 5 . 2 = ...................................................

.........................................................................

(28 – 5) . 2 = ................................................

13 + 2 . 5 = ................................................

.........................................................................

2 . 52 + 13 = ................................................

11 . 3 . 2 + 4 = ..........................................

.........................................................................

(11 . 3 + 2) . 2 = .......................................

45 : 15 + 7 = ...............................................

.........................................................................

(92 . 4) : 15 + 7 = .....................................

(7 + 3 . 2) – 4 . 8 = ................................

.........................................................................

(7 + 3) . 2 – 4 . 8 = ................................

(3 – 2) . 4 – 5 = .......................................

.........................................................................

160 . 24 – 5 = ...............................................

18 : 3 – 1 = ...................................................

.........................................................................

18 : (3 – 1) = ................................................

25 . 9 : 3 + 4 = ..........................................

.........................................................................

(25 . 9) : 3 + 4 = .......................................

3 . (2 + 5 . 7) + 3 . 6 = .......................

.........................................................................

3 . 2 + 5 . (7 + 3 . 6) = .......................

POUR ALLER PLUS LOIN…

Pense à souligner, à chaque étape, le calcul prioritaire.

a) 2 . 5 . 3 : 6 + 5 . (3 + 22) – 3 = ....................................................................................................................................................................................... b) [(5 . 2 + 7) + (3 . 2) – (25 : 5) + 3] + (4 . 3)2 = ................................................................................................................................................... c) (17 . 3 – 5) + [7 . (42 – 3) + 2 . 5] – 100 : 25 = ................................................................................................................................................. d) (112 + 2) . 2 – 4 . 23 + [2 . (3 + 2) – 8] = ................................................................................................................................................................

e) [(125 : 5) . 2 – 33] . 22 = ......................................................................................................................................................................................................... f) 42 . 23 – 5 . (32 + 7 : 7 – 8 : 22) + 12 . 0 = .............................................................................................................................................................

g) 15 . 5 : 3 + 7 + 8 . (22 + 4) = ............................................................................................................................................................................................ h) [45 : 9 + 3 . (2 + 42 – 3 . 1) + 6] + [(4 . 2 + 3) + (5 . 3 – 2)] = ............................................................................................................ i) 144 : 12 . 3 + 15 . 22 – 81 + (3 . 5 – 6 . 2) = .......................................................................................................................................................

iti

j) 12 : 4 + 49 : 7 . 3 + [(4 . 5 + 2) + (22 . 32 – 12 . 3)] = ................................................................................................................................

Éd

ACTIVITÉ 2 – LA MISE EN ÉVIDENCE DANS Exercice 1 • Calcule les expressions suivantes en utilisant la mise en évidence. Série 1

Série 2

a) 2 . 5 + 3 . 5 = ....................................................................................... a) 5 . 22 + 78 . 5 = ................................................................................ b) 7 . 3 + 4 . 3 = ....................................................................................... b) 17. 13 – 13 . 5 = ............................................................................... c) 10 . 6 + 6 . 7 = .................................................................................... c) 14 . 6 – 9 . 6 = .................................................................................... d) 8 . 15 + 25 . 8 = ................................................................................ d) 45 . 11 – 32 . 11 = .......................................................................... e) 17 . 2 + 5 . 2 = .................................................................................... e) 51 . 9 + 9 . 9 = .................................................................................... f) 13 . 3 + 5 . 13 = ................................................................................ f) 86 . 61 – 86 . 11 = .......................................................................... g) 11 . 16 + 14 . 11 = .......................................................................... g) 43 . 13 – 13 . 13 = .......................................................................... h) 9 . 18 + 23 . 9 = ................................................................................ h) 34 . 12 + 8 . 34 = ............................................................................. i) 21 . 14 + 19 . 14 = .......................................................................... i) 103 . 18 – 13 . 18 = ....................................................................... j) 18 . 12 + 12 = ..................................................................................... j) 86 . 17 – 86 . 6 = .............................................................................

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Calculer avec les naturels

Chapitre 3

Série 3 a) 3 . 5 + 7 . 3 + 11 . 3 = ........................................................................................................................................................................................................... b) 5 . 18 + 2 . 5 + 13 . 5 = ........................................................................................................................................................................................................ c) 17 . 4 + 11 . 17 + 5 . 17 = ................................................................................................................................................................................................. d) 21 + 4 . 21 + 5 . 21 = ............................................................................................................................................................................................................. e) 16 . 6 + 4 . 16 + 10 . 16 = ................................................................................................................................................................................................. f) 11 . 23 + 8 . 11 + 9 . 11 = ................................................................................................................................................................................................. g) 46 . 4 + 15 . 46 + 46 = ......................................................................................................................................................................................................... h) 13 . 8 + 9 . 13 + 3 . 13 = ....................................................................................................................................................................................................

i) 26 . 22 + 22 . 11 + 13 . 22 = .......................................................................................................................................................................................... j) 19 . 40 + 32 . 19 + 28 . 19 = ..........................................................................................................................................................................................

Exercice 2 • Calcule en mettant au maximum en évidence.

Pense à décomposer certains termes en un produit de facteurs.

Série 1

Série 2

a) 17 . 3 + 34 . 5 = ................................................................................ a) 12 . 5 – 16 . 3 = ................................................................................. b) 16 . 7 + 8 . 13 = ................................................................................ b) 33 . 11 – 6 . 5 = ................................................................................. c) 22 . 10 + 44 . 9 = ............................................................................. c) 14 . 17 + 21 . 8 = ............................................................................. d) 38 . 11 + 2 . 11 = ............................................................................. d) 15 . 9 + 36 . 7 = ................................................................................

e) 7 . 25 + 15 . 8 = ................................................................................ e) 25 . 8 – 15 . 11 = .............................................................................

f) 16 . 19 + 32 = ..................................................................................... f) 37 . 2 – 15 . 4 = ................................................................................. g) 7 . 12 + 3 . 5 = .................................................................................... g) 45 . 16 + 25 . 3 = ............................................................................. h) 32 . 7 + 4 . 9 = .................................................................................... h) 18 . 21 – 21 = ......................................................................................

iti

i) 16 . 11 + 12 . 3 = ............................................................................. i) 49 . 13 + 98 . 4 = .............................................................................

Éd

j) 12 + 24 . 7 = ......................................................................................... j) 36 . 11 – 24 . 7 = ............................................................................. Série 3

Série 4

a) 52 . 3 – 13 . 5 = ................................................................................. a) 2 . 3 . 5 + 4 . 15 + 8 . 5 = ....................................................... b) 27 . 17 + 18 . 15 = .......................................................................... b) 7 . 12 + 14 . 3 + 21 . 2 = .......................................................... c) 44 . 14 + 28 = ..................................................................................... c) 18 . 12 + 18 . 6 – 9 . 4 = ........................................................... d) 99 . 5 + 33 . 15 = ............................................................................. d) 5 . 11 . 6 + 77 . 3 – 22 = ........................................................... e) 22 . 17 – 33 . 5 = ............................................................................. e) 7 . 3 . 4 + 2 . 6 – 14 . 3 = ......................................................... f) 35 . 13 + 10 . 3 = ............................................................................. f) 15 . 12 – 4 . 5 + 25 . 4 = ........................................................... g) 48 . 3 – 36 = ......................................................................................... g) 6 . 11 + 44 . 3 . 5 + 11 . 8 = .................................................. h) 81 . 4 – 18 . 3 = ................................................................................. h) 112 + 32 . 3 – 16 . 4 = ................................................................ i) 63 . 11 – 28 . 2 = ............................................................................. i) 9 . 2 + 36 . 2 . 5 – 15 . 4 = ...................................................... j) 72 . 13 + 18 . 7 = ............................................................................. j) 55 .7 – 14 . 3 . 5 + 10 . 21 = .................................................

Mathex1.indb 27

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Chapitre 3

Calculer avec les naturels

ACTIVITÉ 3 – LA DISTRIBUTIVITÉ DANS Exercice 1 • Calcule après avoir transformé un des facteurs en une somme ou différence de termes. Série 1 a) 36 . 21 = .................................................................................................. a) 9 . 37 = ...................................................................................................... = ...................................................................................................

= ......................................................................................................

b) 18 . 15 = ................................................................................................... b) 45 . 99 = ................................................................................................... = ...................................................................................................

= ...................................................................................................

c) 17 . 49 = ................................................................................................... c) 61 . 13 = ................................................................................................... = ...................................................................................................

= ...................................................................................................

d) 96 . 101 = ............................................................................................... d) 29 . 17 = ................................................................................................... = ...............................................................................................

= ................................................................................................... = ...................................................................................................

= .................................................................................................

e) 16 + 12 = ................................................................................................. e) 51 . 23 = ...................................................................................................

Série 2

Série 3

a) 47 . 105 = ............................................................................................... a) 77 . 11 = ................................................................................................... b) 59 . 8 = ...................................................................................................... b) 41 . 15 = ................................................................................................... c) 32 . 89 = ................................................................................................... c) 19 . 23 = ..................................................................................................

d) 11 . 126 = ............................................................................................... d) 28 . 99 = ...................................................................................................

e) 51 . 77 = ................................................................................................... e) 101 . 18 = ............................................................................................... f) 199 . 8 = ................................................................................................... f) 29 . 16 = ................................................................................................... g) 102 . 34 = ............................................................................................... g) 13 . 55 = ................................................................................................... h) 61 . 7 = ...................................................................................................... h) 9 . 87 = .....................................................................................................

iti

i) 999 . 17 = ............................................................................................... i) 11 . 118 = ...............................................................................................

Éd

j) 29 . 19 = ................................................................................................... j) 51 . 37 = ...................................................................................................

Exercice 2 • Calcule l’aire de la figure en utilisant la technique de la distributivité. A

13 D

AireABCDEF = ..................................................... = ..................................................... = ..................................................... = .....................................................

Mathex1.indb 28

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Chapitre 3

Calculer avec les naturels Exercice 3 • Complète le tableau à partir du dessin suivant. ❋

♥

❀

✽

❀

Aire de la figure (calcul + solution)

♥

ACTIVITÉ 4 • LES PUISSANCES Exercice 1 • Complète les tableaux suivants. Série 1

2–5

………

2–3

2–2

2–1

Éd

1 10 000 ………

Série 3

iti

Série 2

2–4

105

106

107

2–6

2–7

101 102 103 1

……

10 000

……

………

a ∈ 0

a2 1 a3

……

Mathex1.indb 29

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Chapitre 3

Calculer avec les naturels

Exercice 2 • Connais-tu les nombres carrés parfaits… ? Série 1

Série 2

a) 169 est le carré parfait de ........................................................ a) 324 est le carré parfait de ........................................................ b) 81 est le carré parfait de ........................................................... b) 9 est le carré parfait de ............................................................... c) 25 est le carré parfait de ........................................................... c) 36 est le carré parfait de ........................................................... d) 16 est le carré parfait de ........................................................... d) 100 est le carré parfait de ........................................................ e) 361 est le carré parfait de ........................................................ e) 256 est le carré parfait de ........................................................ f) 121 est le carré parfait de ........................................................ f) 144 est le carré parfait de ........................................................ g) 225 est le carré parfait de ........................................................ g) 49 est le carré parfait de ...........................................................

h) 64 est le carré parfait de ........................................................... h) 289 est le carré parfait de ........................................................ i) 4 est le carré parfait de ............................................................... i) 400 est le carré parfait de ........................................................

Exercice 3 • Calcule les puissances suivantes.

Série 1

j) 196 est le carré parfait de ........................................................ j) 1 est le carré parfait de ...............................................................

Série 2

a) 22 = ................................................................................................................ a) 103 = ............................................................................................................ b) 43 = ................................................................................................................ b) 152 = ............................................................................................................ c) 52 = ................................................................................................................ c) 24 = ................................................................................................................ d) 104 = ............................................................................................................ d) 35 = ................................................................................................................

e) 82 = ................................................................................................................ e) 93 = ................................................................................................................

f) 34 = ................................................................................................................ f) 62 = ................................................................................................................ g) 54 = ................................................................................................................ g) 180 = ............................................................................................................ h) 26 = ................................................................................................................ h) 53 = ................................................................................................................

iti

i) 32 = ................................................................................................................ i) 51 = ................................................................................................................

Éd

j) 73 = ................................................................................................................ j) 25 = ................................................................................................................

Exercice 4 • Calcule en respectant les priorités des opérations. Série 1

Série 2

a) 4 . (3 + 3)2 = .......................................................................................... a) 23 . 52 = ...................................................................................................... b) 32 . (23 + 52) – 120 = ....................................................................... b) 3 . (22 + 42) = ........................................................................................ c) 52 – (3 . 22)= .......................................................................................... c) 103 – (72 + 33) = ................................................................................. d) (22 . 52)2 – 104 = .................................................................................. d) 102 : 5 + 52 = ........................................................................................ e) (62 + 33) + 22 . 8 = ............................................................................ e) (3 . 2 – 2)3 + 24 = .............................................................................. f) 22 + 2 . 52 – 25 = ................................................................................ f) (3 . 52 + 5) : 4 = .................................................................................. g) 3 + 102 – 92 = ....................................................................................... g) 42 + 62 : 3= ............................................................................................. h) (17 – 7)3 = ............................................................................................... h) (7 . 2 – 32)3 = ......................................................................................... i) (4 . 5)2 – 132 = ..................................................................................... i) (20 – 23)2 + 7 . 23 = ......................................................................... j) 103 – (7 . 2)2 – 33 = .......................................................................... j) (105 : 102) . 23 = .................................................................................

Mathex1.indb 30

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Calculer avec les naturels Série 3

Chapitre 3

Série 4

a) 152 – (3 . 22)2 = ................................................................................... a) 33 . 5 + (102 : 52) . 3 = .................................................................. b) 102 . 23 – (26 + 132) = .................................................................... b) 22 . (3 + 62) – 50 . 72 = .................................................................. c) 53 + 72 – 40 = ....................................................................................... c) 82 : 2 + 13 . (3 + 14) = .................................................................. d) 82 – 7 . 3 + 2 . (3 . 5 + 92) = ................................................... d) 3 . 23 + 43 – 52 + 2 . 7 = ............................................................. e) 29 – 52 . 23 = .......................................................................................... e) 2 . (92 – 72) + 3 . (102 – 22 . 42) = ....................................... f) (42 + 3 . 52) + (25 : 5 + 34) = .................................................. f) 112 + (23 . 5 – 3) + 33 : 9 = ...................................................... g) 160 . 82 – (43) = ................................................................................... g) (25 – 32)2 + 22 . 11 = ....................................................................... h) (10 . 3 – 52)3 + (92 – 34) + (22 . 3)2 = ................................ h) 103 : 102 + 3 . 62 + (52 – 23)2 = .............................................

i) (32 + 11)2 – (22 . 52 + 62) = ....................................................... i) 25 . 32 – 72 . 3 = ................................................................................ j) 22 . 32 + 5 . 3 – 18 = ....................................................................... j) (3 . 5 . 23 + 7) + 2 . (32 + 5 . 24) = .....................................

Exercice 5 • Complète le tableau suivant. a2

2.a

2 . a2

5a + a2

4 . a4 + 2 . a3

2 3 5

Exercice 6 • Réflexion !

Série 1

3.a

Valeur de a

Complète les pointillés par une puissance.

Série 2

Complète les pointillés par un naturel.

a) La moitié de 216 est .......................................................................... a) 58 est ................................................... fois plus petit que 510.

iti

b) Le quart de 220 est ............................................................................ b) 311 est .............................................. fois plus grand que 310. c) Le tiers de 36 est ................................................................................. c) 206 est .............................................. fois plus petit que 208.

Éd

d) Le double de 28 est .......................................................................... d) 28 est .................................................. fois plus grand que 24. e) Le triple de 316 est ............................................................................. e) 127 est .............................................. fois plus petit que 125. f) On multiplie 312 par ............................. pour obtenir 315 f) 413 est .............................................. fois plus grand que 410. g) On multiplie 23 par ............................... pour obtenir 220 g) 345 est .............................................. fois plus grand que 341. h) On divise 218 par ..................................... pour obtenir 212 h) 116 est .............................................. fois plus petit que 118. i) On divise 516 par ..................................... pour obtenir 514 i) 513 est .............................................. fois plus grand que 510. j) On multiplie 34 par ................................. pour obtenir 38 j) 108 est ........................................... fois plus grand que 103. Série 3

Vrai ou faux (corrige si c’est faux).

a) 10–1 est l’opposé de 101. b) 1012 est un nombre avec trois zéros. c) Le cube de quatre est égal au carré de huit. d) 5–2 est un nombre négatif. e) 10–2 est la moitié de 10–4.

Mathex1.indb 31

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Chapitre 3

Calculer avec les naturels

f) Si je multiplie par 10–5 c’est comme si je divisais par 100 000. g) 57 est le quintuple de 107. h) Le cube de deux est six. i) 79 est 14 fois plus grand que 77. j) Tout nombre naturel à la puissance zéro vaut zéro. Série 4

Voici quelques expressions littérales (avec des lettres). Calcule la valeur numérique de ces expressions si a = 10 ; b = 4 ; c = 9 et d = 2.

a) 2 . a + 4 . c = ........................................................................................ f) 3 . c + 6 : d + b2 = ........................................................................... b) 3 . a + 2 . d – b = .............................................................................. g) (4 . b + 8) . a = ....................................................................................

c) a3 – (2 . b + c2) = ............................................................................... h) 3 . d2 + (a . c – c2)2 = ...................................................................... d) b . c . d = .................................................................................................. i) d . (c : 3 + b2 – a) = ......................................................................... e) a . c – b . d = ........................................................................................ j) c . d + a . b + d5 = ............................................................................ Série 5

Pour chaque figure proposée, cherche le périmètre en écrivant le calcul sur une seule ligne.

Figure

Calcul du périmètre

Solution

12 6

iti

Éd

C B 12 25

C A

Mathex1.indb 32

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM 1 À savoir

Exemples 15 est multiple de 3 car 15 = 3 . 5

a) Le multiple d’un nombre naturel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un produit de ce nombre par un autre naturel.

14 est multiple de 7 car 14 = 7 . 2

b) Le diviseur d’un nombre naturel est un nombre qui divise le dividende de sorte que le reste soit égal à zéro.

Exemple

5 est diviseur de 75

car 5 . 15 = 75

car 75 : 5 = 15 + 0 (le reste)

c) L’ensemble des multiples d’un nombre naturel a s’écrit a . Un multiple d’un nombre naturel a s’écrit an.

Exemples

• L’ensemble des multiples de 4 s’écrit 4 . • Déﬁnition en extension : 4 = {0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; … ; 40 ; …}

iti

• Un multiple de 4 s’écrit 4n.

d) L’ensemble des diviseurs d’un nombre naturel a s’écrit div a.

Éd

Exemples

• L’ensemble des diviseurs de 15 s’écrit div 15. • Déﬁnition en extension : div 15 = {1 ; 3 ; 5 ; 15} ensemble de tous les diviseurs de 15

• Zéro n’est jamais diviseur !

e) Soient a, b et c ∈ 0 : Si a = b . c, alors on dit que : • a est un multiple de b et a est un multiple de c ; • a est divisible par b et a est divisible par c ; • b est un diviseur de a et c est diviseur de a. f) Un multiple de 2 s’écrit 2n. g) Un nombre impair s’écrit 2n + 1.

Mathex1.indb 33

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

h) Les nombres pairs consécutifs. 1er nombre pair 2n

Exemple

2e nombre pair

2n + 2

3e nombre pair … +2

2n + 4

… nombres pairs consécutifs 3 nombres pairs consécutifs

i) Les nombres impairs consécutifs.

Exemple 18 + 1 = 19

2n + 3

2n + 5

… nombres impairs consécutifs 3 nombres impairs consécutifs

2n + 1

3e nombre impair …

1er nombre impair 2e nombre impair

2 Critères de divisibilité b) Critère de divisibilité par 2

Un nombre entier est divisible par 2 lorsque son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.

c) Critère de divisibilité par 3

Un nombre entier est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est divisible par 3.

iti

d) Critère de divisibilité par 4

Éd

Un nombre entier est divisible par 4 lorsque les deux derniers chiffres de son écriture forment un multiple de 4. e) Critère de divisibilité par 5 Un nombre entier est divisible par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.

f) Critère de divisibilité par 6 Un nombre entier est divisible par 6 lorsqu’il est divisible à la fois par 2 et par 3. g) Critère de divisibilité par 8 Un nombre entier est divisible par 8 lorsque les trois derniers chiffres de son écriture forment un multiple de 8. h) Critère de divisibilité par 9 Un nombre entier est divisible par 9 lorsque la somme des chiffres qui composent son écriture est divisible par 9. i) Critère de divisibilité par 10 Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.

Mathex1.indb 34

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Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Chapitre 4

j) Critère de divisibilité par 11 Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair de son écriture est divisible par 11. Exemple

4578321 est divisible par 11 15 – 15 = 0 et 0 ∈ 11N

k) Critère de divisibilité par 12 Un nombre entier est divisible par 12 lorsqu’il est divisible à la fois par 3 et par 4. l) Critère de divisibilité par 15

Un nombre entier est divisible par 15 lorsqu’il est divisible à la fois par 3 et par 5. m) Critère pour d’autres nombres

Pour savoir si un nombre est divisible par un autre, il faut chercher un produit qui forme le diviseur ; les facteurs de ce produit doivent être premiers entre eux. a) Un nombre est divisible par 12 s’il est divisible par 3 et par 4.

Exemples

12 = 1 . 12 (on cherche le critère pour 12) = 2 . 6 (pas premiers entre eux) =3.4

b) Un nombre est divisible par 18 s’il est divisible par 2 et par 9. 18 = 1 . 18 (on cherche le critère pour 18) =2.9 = 3 . 6 (pas premiers entre eux)

3 Définition

Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. 7 ; 11 ; 2 ; …

iti

Exemples

Éd

Le chiffre « 1 » n’est pas premier car il n’a pas deux diviseurs distincts.

4 Décomposer un nombre naturel en facteurs premiers

C’est décomposer un nombre en un produit de facteurs qui sont des nombres premiers. Exemple

nombre naturel

75 25 5 1

diviser par ion solut diviser par ion solut diviser par ion solut

facteurs premiers

5 5 1

1 75 = 3 . 5 . 5 . 1 = 3 . 52 . 1 35

Mathex1.indb 35

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Petite astuce ! Si le nombre se termine par un zéro, on peut directement le diviser par 2 et par 5 (soit 10) pour faciliter la décomposition. Exemple

350 35

2 5 5

1 350 = 2 . 5 . 5 . 7 . 1 = 2 . 52 . 7 . 1

5 PGCD

diviser par

Notion du PGCD : c’est le plus grand diviseur commun de deux ou plusieurs nombres. Utilité du PGCD : il nous permet, entre autres, de rendre une fraction irréductible. Technique pour trouver le PGCD :

Exemple 1

a) on décompose les nombres naturels en facteurs premiers ; b) on écrit chaque nombre naturel sous forme de produit de facteurs ; c) on sélectionne uniquement les facteurs communs aux différents nombres ; d) on calcule le produit des facteurs sélectionnés. 72 et 48

2 2 2 3 3 1

48 24 12 6 3 1 1

Éd

iti

72 36 18 9 3 1 1

72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 1

2 2 2 2 3 1

48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 1

PGCD = 2 . 2 . 2 . 3 . 1 = 24

Exemple 2 12 et 35 12 2

35 5

6 2

7 7

3 3

1 1

1 12 = 2 . 2 . 3 . 1

12 et 35 sont des nombres premiers entre eux

35 = 5 . 7 . 1 PGCD = 1

Mathex1.indb 36

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Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Chapitre 4

Petites astuces ! • Si les nombres sont consécutifs, le PGCD est 1 (ex. : PGCD de (14 ; 15) est 1). • Si les nombres sont tous des nombres premiers, alors le PGCD est 1 (ex. : PGCD de (7 ; 11) est 1). • Si les nombres sont des multiples, alors le PGCD est le plus petit de ces multiples (ex. : PGCD de (6 ; 36 ; 48) est 6). Deux nombres sont premiers entre eux si les nombres n’ont que 1 comme diviseur commun. Leur PGCD est 1. S’ils sont consécutifs, ils sont d’office premiers entre eux.

6 PPCM

Notion du PPCM : c’est le plus petit commun multiple à deux ou plusieurs nombres ; c’est donc le premier multiple commun aux tables de multiplications des nombres proposés.

Technique pour trouver le PPCM :

Utilité du PPCM : chercher, entre autres, le dénominateur commun dans une somme ou différence de fractions. a) on décompose les nombres naturels en facteurs premiers ; b) on écrit chaque nombre naturel sous forme de produit de facteurs ; c) on sélectionne tous les facteurs différents dans chaque décomposition et, s’il y a des facteurs

communs, on sélectionne ceux qui sont en plus grand nombre dans l’une des décompositions ; Exemple 1

d) on calcule le produit des facteurs sélectionnés.

72 et 48 48 2

36 2

24 2

18 2

12 2

9 3

6 2

Éd

iti

72 2

3 3

1 1

72 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 1

48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 1

PPCM = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 1 = 144 Exemple 2 12 et 35 12 2

35 5

6 2

7 7

3 3

1 1

1 12 = 2 . 2 . 3 . 1

35 = 5 . 7 . 1

PPCM = 1 . 2 . 2 . 5 . 7 . 3 = 420

Mathex1.indb 37

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Petites astuces ! • Si les nombres sont des multiples, alors le PPCM est le plus grand des multiples (ex. : PPCM de (5 ; 25 ; 75) est 75). • Si les nombres sont consécutifs, le PPCM est le produit des nombres (ex. : PPCM de (22 ; 23) est 506).

7 La division euclidienne a) • Une division euclidienne est une division où le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.

dividende (D)

diviseur (d)

98 –9 08 – 6 2

quotient (q)

98 est le dividende (D)

3 est le diviseur (d)

32 est le quotient (q)

reste (r)

Exemple

Conclusion de la division :

2 est le reste (r)

dividende = diviseur . quotient + reste D

et reste < diviseur

b) Il faut différencier la division exacte et la division avec reste.

Division exacte 5

Éd

98 –9 08 –6 2

iti

75 –5 25 –25 0

Division avec reste

75 = 5 . 15

3 32

98 = 3 . 32 + 2

c) Encadrement d’une division avec reste. Tout nombre entier peut être encadré par deux multiples consécutifs d’un nombre entier donné.

Exemple 1

Encadrer 98 par deux multiples consécutifs de 3 3 . 32 ≤ 98 < 3 . 33

Exemple 2

Encadrer la division suivante 458 : 5 a) on effectue la division b) on encadre à partir du quotient obtenu et du diviseur donné 458 –45 08 –5 3

5 91

Mathex1.indb 38

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Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Chapitre 4

Conclusion : 458 = 5 . 91 + 3. Encadrement : 5 . 91

≤

458

. 92

diviseur . quotient ≤ dividende < diviseur . (quotient + 1) valeur approchée par excès

valeur approchée par défaut

ACTIVITÉ 1 • DIVISEURS ET MULTIPLES

Exercice 1 • Définis, en extension, les ensembles suivants. Série 1

Série 2

a) div 12 = ...................................................................................................... a) 12 = ..........................................................................................................

b) div 28 = ...................................................................................................... b) div 48 = ...................................................................................................... c) 3 = .............................................................................................................. c) 10 = .......................................................................................................... d) div 7 = ......................................................................................................... d) div 100 = ...................................................................................................

e) 5 = .............................................................................................................. e) 4 = .............................................................................................................. Série 3

Série 4

a) div 1 = ......................................................................................................... a) div 85 = ...................................................................................................... b) div 84 = ...................................................................................................... b) 15 = ..........................................................................................................

c) 11 = .......................................................................................................... c) div 13 = ...................................................................................................... d) 25 = .......................................................................................................... d) 13 = ..........................................................................................................

e) div 250 = ................................................................................................... e) div 126 = ...................................................................................................

Exercice 2 • Réponds aux questions suivantes.

iti

a) Quels sont les diviseurs de 45 qui sont multiples de 5 ? b) Quels sont les multiples de 13 inférieurs ou égaux à 169 ?

Éd

c) Quels multiples de 2 sont diviseurs de 36 ? d) Quels sont les diviseurs de 126 ? e) Je suis multiple de tous les nombres : qui suis-je ? f) Quels sont les diviseurs de 63 strictement inférieurs à 21 ? g) Quels sont les multiples de 7 inférieurs à 30 ? h) Quels sont les multiples de 5 compris entre 30 et 90 ? i) Quels sont les diviseurs de 60 compris entre 10 et 20 ? j) Quels sont les multiples de 7 qui divisent 84 ? k) Quels sont les multiples de 11 compris entre 100 et 160 ? l) Quels diviseurs de 50 sont des multiples de 10 ? m) Quels diviseurs de 60 sont des multiples de 15 ? n) Quels diviseurs de 168 sont compris entre 1 et 50 ? o) Je suis diviseur de tous les nombres : qui suis-je ? p) Quels multiples de 325 sont compris entre 500 et 1 300 ?

Mathex1.indb 39

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Exercice 3 • Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Pour t’aider, pense à remplacer « n » par un entier. Série 1

Justifie !

a) 12n est un multiple de 6. b) 2n est un multiple de 2. c) 3 est un multiple de 3. d) 2n et 2n + 2 sont deux nombres entiers consécutifs. e) 10n + 2 est un multiple de 5. f) 3n et 3n + 1 sont deux multiples de 3.

g) 5n est un multiple de 10. h) 18n est un multiple de 9. i) 2n + 4 et 2n + 6 sont deux nombres pairs consécutifs. j) 2n + 3 et 2n + 4 sont deux nombres entiers consécutifs.

Série 2 a) Tous les diviseurs de 12 sont multiples de 6.

b) Tous les multiples de 9 sont multiples de 3. c) 18 est diviseur de 9. d) 4n est divisible par 8. e) 12n est un multiple de 6. g) 51 est un nombre premier.

f) Tous les diviseurs de 11 sont des nombres premiers.

h) Tous les diviseurs d’un nombre premier sont des nombres premiers. i) Aucun multiple de 7 n’est premier.

iti

j) Zéro est multiple de tous les nombres.

ACTIVITÉ 2 • CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ

Éd

Exercice 1 • Remplace le symbole * par 0, 1, 2, 4 ou 5 afin que la proposition soit vraie. a) 3*4 est divisible par 3.

h) 15*5 est divisible par 25.

b) 193* est divisible par 5.

i) 15*8 est divisible par 4.

c) *32 est divisible par 8.

j) 3*2 est divisible par 11.

d) 6*6 est divisible par 11.

k) *32 est divisible par 9.

e) 3*6 est divisible par 9.

l) 6*6 est divisible par 8.

f) 37* est divisible par 3.

m) 338* est divisible par 4.

g) 183* est divisible par 4.

Mathex1.indb 40

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Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Chapitre 4

Exercice 2 • Sans effectuer, réponds par « ✓ » si les divisions proposées sont exactes et par « ✗ » si ce n’est pas le cas. Série 2

a) 475 : 3

a) 4 620 : 3

b) 7 634 : 11

b) 4 620 : 12

c) 550 : 5

c) 3 585 : 15

d) 4 500 : 25

d) 5 436 : 18

e) 348 : 4

e) 5 436 : 3

f) 1 384 : 9

f) 3 080 : 20

g) 124 : 2

g) 123 456 : 3

h) 522 : 6

h) 52 245 : 9

i) 520 : 3

i) 23 049 : 3

j) 49 075 : 25

j) 6 445 : 11

Série 1

Exercice 3 • Pour chaque nombre, détermine tous les diviseurs possibles parmi les propositions suivantes : 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 15, 18, 25. Série 2

Série 3

a) 5 496

a) 65 745

a) 7 152

b) 13 302

b) 6 534

b) 46 350

c) 11 088

c) 15 930

c) 480

d) 10 575

d) 60 060

d) 5 412

e) 2 376

Série 1

e) 27 450

e) 163 350

Série 1

iti

Exercice 4 • Coche les cases d’une croix si le nombre est divisible par un des diviseurs proposés. est divisible par

Éd

438

Série 2 est divisible par

253

250

176

562

540

608

648

744

280

462

5 562

5 544

575

3 696

446 235

1 008

1 620

2 232

Mathex1.indb 41

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM Série 1 2

est divisible par

11 10 25

est divisible par

123 456

135

29 669

4 620

124

3 600

8 910

792

999 975

4 800

3 240

231

459 805

920

15 840

462

768

1 680

9 186 372

10 8

Série 3

ACTIVITÉ 3 • DÉCOMPOSITION DE NOMBRES NATURELS Exercice 1 • Décompose les nombres suivants en facteurs premiers. Série 2 a) 198

b) 78

b) 246

c) 128

c) 456

d) 126

d) 340

e) 48

e) 294

a) 28

b) 950 c) 1 020

a) 156

a) 456

b) 144

b) 476

c) 150

c) 528

d) 175

d) 490

e) 186

e) 640

Série 6

Série 7

a) 987

a) 5 040

b) 2 520

b) 9 504

c) 7 560

c) 25 200

d) 32 400

d) 14 256

e) 67 500

e) 26 460

Éd

d) 1 188

Série 4

iti

Série 5 a) 820

Série 3

Série 1

Pense à utiliser les critères de divisibilité !

e) 1 440

Exercice 2 • Les produits suivants sont-ils corrects ? Indique « ✓ » si oui et « ✗ » si non. Série 1

Série 2

a) 456 = 2 . 2 . 2 . 3 . 18 . 1

a) 2 904 = 2 . 2 . 2 . 3 . 11 . 1

b) 100 = 5 . 5 . 2 . 2 . 1

b) 1 925 = 5 . 5 . 7 . 11 . 1

c) 540 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 1

c) 1 512 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 7 . 1

d) 144 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 1

d) 5 346 = 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 11 . 1

e) 480 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 1

e) 3 672 = 2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 17 . 1

Mathex1.indb 42

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Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Chapitre 4

Exercice 3 • Complète les pointillés par des puissances de facteurs premiers. a) 22 . 52 . ……… = 300

f) 22 . ……… . 52 = 8 100

b) 3 . ……… . 5 = 480

g) ……… . 5 . 23 = 3 680

c) ……… . 5 . ……… = 450

h) ……… . 53 . ……… = 636

d) 2 . 3 . ……… . ……… = 780

i) 2 . ……… . ……… = 550

e) 2 . ……… . 5 = 360

j) ……… . 5 . ……… = 6 480

2 3

ACTIVITÉ 4 • PGCD ET PPCM

Exercice 1 • Utilise la technique de décomposition de nombres pour trouver le PGCD des paires de nombres suivantes. Série 1

Série 2

Série 3

Série 4

a) PGCD (4 ; 8)

a) PGCD (30 ; 45)

a) PGCD (3 ; 10)

b) PGCD (10 ; 15)

b) PGCD (22 ; 33)

b) PGCD (24 ; 22)

b) PGCD (105 ; 65)

c) PGCD (13 ; 39)

c) PGCD (12 ; 16)

c) PGCD (17 ; 51)

c) PGCD (88 ; 48)

d) PGCD (12 ; 36)

d) PGCD (28 ; 64)

d) PGCD (60 ; 15)

d) PGCD (156 ; 96)

e) PGCD (9 ; 15)

e) PGCD (50 ; 75)

e) PGCD (33 ; 121)

e) PGCD (128 ; 108)

Série 5

Série 6

a) PGCD (87 ; 66)

Série 7

Série 8

a) PGCD (261 ; 203)

a) PGCD (51 ; 34)

a) PGCD (8 752 ; 4 488)

b) PGCD (57 ; 12)

b) PGCD (272 ; 228)

b) PGCD (26 ; 55)

b) PGCD ( 1250 ; 1 600)

c) PGCD (16 ; 160)

c) PGCD (248 ; 200)

c) PGCD (630 ; 990)

c) PGCD (6 824 ; 880)

d) PGCD (21 ; 28)

d) PGCD (165 ; 264)

d) PGCD (945 ; 819)

d) PGCD (2 580 ; 1 860)

e) PGCD (378 ; 210)

e) PGCD (770 ; 910)

e) PGCD (3 648 ; 1 056)

a) PGCD (92 ; 12)

e) PGCD (140 ; 210)

iti

Exercice 2 • Détermine le PGCD des nombres suivants. a) PGCD (4 ; 12 ; 20)

Éd

b) PGCD (15 ; 30 ; 55) c) PGCD (16 ; 40 ; 72) d) PGCD (22 ; 23 ; 24) e) PGCD (21 ; 35 ; 91)

Exercice 3 • Utilise la technique de décomposition de nombres pour trouver le PPCM des paires de nombres suivantes. Série 1

Série 2

Série 3

a) PPCM (2 ; 7)

a) PPCM (13 ; 2)

a) PPCM (18 ; 30)

b) PPCM (12 ; 8)

b) PPCM (12 ; 48)

b) PPCM (8 ; 15)

c) PPCM (10 ; 15)

c) PPCM (16 ; 18)

c) PPCM (14 ; 21)

d) PPCM (9 ; 6)

d) PPCM (12 ; 20)

d) PPCM (20 ; 16)

e) PPCM (11 ; 12)

e) PPCM (22 ; 16)

e) PPCM (12 ; 22)

Mathex1.indb 43

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Série 4

Série 5

Série 6

a) PPCM (14 ; 35)

a) PPCM (41 ; 82)

a) PPCM (234 ; 24)

b) PPCM (24 ; 36)

b) PPCM (75 ; 250)

b) PPCM (88 ; 24)

c) PPCM (54 ; 45)

c) PPCM (36 ; 30)

c) PPCM (125 ; 45)

d) PPCM (28 ; 35)

d) PPCM (99 ; 18)

d) PPCM (85 ; 15)

e) PPCM (70 ; 60)

e) PPCM (22 ; 38)

e) PPCM (21 ; 28)

Série 7

Série 8

Série 9

a) PPCM (250 ; 75)

a) PPCM (16 ; 77)

b) PPCM (92 ; 12)

b) PPCM (120 ; 42)

b) PPCM (25 ; 110)

c) PPCM (65 ; 26)

c) PPCM (80 ; 140)

c) PPCM (48 ; 240)

d) PPCM (38 ; 95)

d) PPCM (256 ; 88)

d) PPCM (60 ; 190)

e) PPCM (26 ; 39)

e) PPCM (128 ; 120)

e) PPCM (55 ; 125)

a) PPCM (48 ; 84)

Exercice 4 • Détermine le PPCM des nombres suivants. a) PPCM (99 ; 33 ; 18)

b) PPCM (7 ; 8 ; 9) c) PPCM (12 ; 20 ; 24) d) PPCM (28 ; 36 ; 12) e) PPCM (25 ; 35 ; 14)

a) 50 et 75

d) 16 et 98

Éd

e) 121 et 132

Série 3

a) 165 et 550

a) 5 ; 6 et 7

b) 480 et 336

b) 24 ; 36 et 72

c) 348 et 68

c) 18 ; 198 et 765

d) 840 et 532

d) 13 ; 69 et 975

e) 560 et 250

e) 10 ; 88 et 40

iti

b) 7 et 49 c) 12 et 13

Série 2

Série 1

Exercice 5 • Détermine le PGCD et le PPCM des nombres suivants en utilisant la décomposition de nombres en facteurs premiers.

Exercice 6 • Petits défis… a) Comment partager une feuille de papier de 48 cm sur 36 cm en petits carrés dont le côté vaut 3 cm ? Détermine le nombre de carrés de 3 cm tracés. b) Le sol de ma cuisine mesure 4,55 m de long et 3,85 m de large. Je veux carreler cette surface avec un nombre entier de dalles carrées de côté maximal, en cm. Combien de dalles dois-je placer ? Que mesure le côté d’une dalle ? c) Quelle serait la longueur du côté de la plus petite surface carrée que je pourrais couvrir avec un nombre entier de dalles de 24 cm de long et 15 cm de large ? d) Pour une tombola, nous avons reçu 600 savons, 400 vernis, 35 dentifrices et 200 « eau de toilette ». Nous voudrions confectionner le maximum de sachets identiques. Combien de sachets obtenons-nous ? Décris la composition d’un sachet.

Mathex1.indb 44

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Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Chapitre 4

ACTIVITÉ 5 • LA DIVISION EUCLIDIENNE Exercice 1 • Effectue les divisions suivantes et note la conclusion. Série 1

Série 2

Série 3

a) 156 : 8 = ..................................................... a) 142 : 7 = ..................................................... a) 589 : 13 = .................................................. b) 97 : 3 = ......................................................... b) 158 : 9 = ..................................................... b) 847 : 15 = .................................................. c) 84 : 5 = ......................................................... c) 247 : 3 = ..................................................... c) 784 : 16 = .................................................. d) 78 : 6 = ......................................................... d) 580 : 11 = .................................................. d) 618 : 21 = .................................................. e) 73 : 8 = ......................................................... e) 459 : 12 = .................................................. e) 487 : 17 = .................................................. Série 5

Série 6

Série 4

a) 1 256 : 12 = ............................................. a) 4 588 : 12 = ............................................. a) 7 859 : 34 = ............................................. b) 2 548 : 9 = ................................................ b) 8 554 : 13 = ............................................. b) 9 875 : 41 = ............................................. c) 1 984 : 16 = ............................................. c) 4 750 : 15 = ............................................. c) 7 482 : 35 = .............................................

d) 2 647 : 22 = ............................................. d) 3 541 : 8 = ................................................ d) 9 856 : 8 = ................................................ e) 3 589 : 8 = ................................................ e) 6 847 : 3 = ................................................ e) 15 688 : 14 = ..........................................

b) 351 : 7

Exercice 2 • Exprime par un encadrement les divisions suivantes.

c) 482 : 13

c) 6 553 : 15

Série 1

a) 1 569 : 6

a) 148 : 11

b) 115 : 4

d) 856 : 12

d) 527 : 4 e) 196 : 3

Série 2

e) 980 : 9

Exercice 3 • Complète les pointillés afin de respecter l’égalité proposée.

iti

Série 1

Série 2

Série 3

a) 126 = 11 . 11 +..................................... a) 77 = 8 . ...............................................+ 5 a) 61 = ............................................... . 3 + 1

Éd

b) 97 = 8 . 12 + ........................................... b) 89 = 6 . ............................................... + 5 b) 165 = ............................................ . 6 + 3 c) 197 = 15 . 13 +..................................... c) 157 = 12 . ...................................... + 1 c) 233 = ........................................ . 14 + 9 d) 258 = 18 . 14 +..................................... d) 278 = 13 . ...................................... + 5 d) 457 = ........................................ . 19 + 1 e) 359 = 9 . 39 + ........................................ e) 876 = 7 . .......................................... + 1 e) 799 = ........................................ . 22 + 7 Série 4

Série 5

a) 48 = 9 . ......................................... + .................................................... a) ........................................................................................... = 15 . 6 + 2 b) 176 = ......................................... . 9 + .................................................... b) ........................................................................................ = 16 . 12 + 9 c) 463 = 21 . ................................... + ................................................... c)

....................................................................................

= 19 . 22 + 15

d) 987 = 8 . ....................................... + ................................................... d) ........................................................................................ = 42 . 16 + 3 e) 709 = .................................... . 25 + ................................................... e) ........................................................................................ = 126 . 8 + 7

Mathex1.indb 45

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Chapitre 4

Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Exercice 4 • Complète les pointillés par le bon nombre. Série 1

Série 2

Série 3

a) 85 = ......................................... . 10 + 5 a) 102 = 8 . ............................................+ 6 a) 3 000 = 356 . ....................... + 152 b) ............................................. = 32 . 3 + 2 b) 143 = 11 . ................ + .......................... b) ...................................... = 122 . 13 + 3 c) 54 = 7 . ............................................. + 5 c)

.............................................

= 23 . 8 + 3 c) 2 456 = 17 . 144 + ...........................

d) 66 = 9 . 7 + ............................................. d) 256 = ...................................... . 15 + 1 d) 1 698 = ........... . 14 + .......................... e) 71 = ............................................. . 6 + 5 e) 741 = ................ . 49 + ........................ e) 3 647 = 25 . ......... + .......................... Série 4

Série 5

a) 1 569 = 9 . ................................................................................... + 3 a) 4 851 = 231 . ...................................... + ........................................

b) .................................................................................... = 32 . 206 + 6 b) ........................................................................................ = 32 . 35 + 5 c) 2 222 = ............................................................................ . 13 + 12 c) 5 896 = 131 . 45 + ......................................................................... d) 4 563 = 147 . .................................. + ............................................ d) 2 355 = 11 . ...................................... + ...........................................

Exercice 5 • Complète les tableaux suivants.

D a)

169

798

15 5

Éd

iti

Division euclidienne

156

Série 2 a)

e) f)

c) d)

Série 1

e) 1 244 = ......................................... . 7 + ............................................ e) 4 753 = ............................................................................... . 25 + 3

8 9

198

427

963

148 530

23 569

159

57 894

9 21 17

Division euclidienne

23 2 13

Mathex1.indb 46

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Diviseurs et multiples PGCD et PPCM

Chapitre 4

Exercice 6 • Petits défis… a) Marcel doit couper le ﬁl d’une clôture de 86 m en 5 morceaux de même longueur. Détermine la longueur de chaque morceau. Reste-t-il un peu de ﬁl ? b) M. Olivier fait des équipes de 6 élèves à partir d’un groupe de 47 élèves. Combien d’équipes forme-t-il ? c) Si le professeur distribue 127 feuilles entre 11 élèves, combien de feuilles au minimum chaque élève reçoit-il ? d) Si je peux courir 500 m sans m’arrêter, combien de longueurs de 12 m puis-je faire ? e) Mon voisin Gérard a eu besoin de 3 257 dalles carrées pour recouvrir les sols de sa grande maison. Combien de caisses de dalles a-t-il dû acheter si il y a 22 pièces dans chacune ?

f) Pour une fête de famille, Karim achète 630 sandwiches. Il souhaite en mettre 24 par plateau. Combien de plateaux doit-il prévoir ? Combien de sandwiches lui manque-t-il pour faire un plateau supplémentaire ? g) Sachant que, dans la division euclidienne de 1 075 par 36, le quotient est 29 et le reste 31, détermine, sans effectuer de division, le reste et le quotient dans la division de 1 075 par 29. h) Entre quels entiers consécutifs multipliés par 37 le dividende 464 est-il compris ?

i) Dans la division euclidienne, le diviseur est 9, le quotient est 12 et le reste 3. Quel est le dividende ?

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j) Le quotient entier de la division de x par 7 est 32 et le reste 4. Que vaut x ?

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IN N VA s on iti Éd Mathex1.indb 240

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