Quadrant 5e/6e - Manuel - Extrait by VAN IN

(2 pér./sem. )

est destiné aux élèves de 5e et 6e années de l’ensemble des réseaux de l’enseignement technique de qualification. C’est un manuel : - pratique : la découverte des notions, la théorie et les exercices sont réunis dans un seul ouvrage ;

UNE NOUVELLE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT DE QUALIFICATION DE LA 3E À LA 6E ANNÉE Une mise en page en couleur et structurée. Une approche des maths en accord avec le quotidien des élèves.

- progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ;

Une pédagogie stratégique.

- fluide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre.

Des manuels au 3e degré.

Des livres-cahiers au 2e degré.

Françoise Van Dieren | Sabine Hausmann

5 /6 QUADRANT e

Françoise Van Dieren

Mathématiques

Technique de qualification

Sabine Hausmann

2 périodes / semaine

Chaque chapitre possède la même structure didactique : une mise en contexte donnant du sens à l’apprentissage. des activités proches de la vie pratique, sociale et économique des élèves.

5 /6 e

une synthèse qui récapitule la théorie indispensable. de nombreux exercices, diversifiés, préparant les élèves à l’évaluation de leurs compétences.

5 /6 QUADRANT

2 périodes / semaine

des exercices de familiarisation avec l’outil numérique.

De Boeck ISBN 978-2-8041-9578-6 573024

vanin.be

QUADRANT MANUEL

5 /6 e

QUADRANT MANUEL 2 périodes / semaine

Couverture : Double Clic Maquette : Nord Compo Mise en pages : Softwin L’éditeur remercie tous ceux qui ont accepté de lui accorder l’autorisation de publier dans le présent ouvrage les extraits dont ils détiennent les droits de reproduction. En dépit de ses recherches et sollicitations, l’éditeur n’a pas réussi à joindre certains ayants droit. Qu’ils soient avertis ici qu’il reste à leur disposition pour satisfaire, le cas échéant, à la législation sur le droit d’auteur. Crédits : © www.bornesescamotablesfaac.fr (p. 3) ; d’après http://tpe-meteo-stjo.e-monsite.com (p. 6) ; © www.jardinetsaisons.fr (p. 78) ; © Aney (p. 124) ; Fotolia : fotomek (engrenages p. 1, 37, 59, 77, 99, 109, 129), DutchScenery (p. 1), Alexei Sysoev (p. 2), Alex_Po (p. 8), katerina Pokrovsky (p. 11), peshkova (p. 12), herreneck (p. 24), sdecoret (p. 25), monticellllo (p. 28), Andrey Bandurenko (p. 34), Dreaming Andy (p. 37), niroworld (p. 40), Christian Jung (p. 43), Vincent LQ (p. 52 ht), MurielleD (p. 52 bas), Alexander Ivanov (p. 54), Neokryuger (p. 59), morganimation (p. 62 ht), Robert Kneschke (p. 62 bas), zoranphoto (p. 64), photology1971 (p. 70), makieni (p. 72), DURIS Guillaume (p. 74), beermedia.de (p. 75 ht), Jürgen Fälchle (p. 75 bas), JPC-PROD (p. 76), stlee000 (p. 77), photlook (p. 97 ht), sociopat_empat (p. 97 bas), magele-pic (p. 99), taddle (p. 109), James Steidl (p. 113), Dominique LUZY (p. 123 ht), godsandkings (p. 123 bas), dolphfyn (p. 125), IDN (p. 127), Andrey Burmakin (p. 129), shock (p. 132), Baillou (p. 133), showcake (p. 135 ht), dracozlat (p. 135 bas), photology1971 (p. 137), Gina Sanders (p. 138), science photo (p. 139), chalabala (p. 153 ht), Alonbou (p. 153 bas), mariesacha (p. 155), alexstreinu (p. 158).

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2016, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 1re édition - 2re réimpression 2018 ISBN 978-2-8041-9578-6 D/2016/0074/102 Art. 573024/03

Françoise Van Dieren

Mathématiques

Technique de qualification

Sabine Hausmann

2 périodes / semaine

5 /6 e

QUADRANT MANUEL

Avant propos

5e/6e Quadrant (2 périodes/semaine) est destiné aux élèves de cinquième et sixième années de l’enseignement qualifiant, tant dans le réseau de l’Officiel que dans le Libre. Voici la répartition des chapitres et des unités d’acquis d’apprentissage (UAA) par année :

1. Approche graphique d’une fonction 2. Statistique à une variable 3. Statistique à deux variables 4. Les suites et leurs applications 6. Probabilité

7. Croissance de fonctions

Année

UAA 1 Approche graphique d’une fonction

UAA 3 Statistique

UAA 2 Modèles de croissance

5. Évolution d’un capital

UAA

Chapitre

UAA 4 Probabilité

UAA 2 Modèles de croissance

iti

C’est un manuel : • pratique : la découverte des notions, la théorie, les énoncés des exercice sont réunis dans un seul ouvrage ; • progressif : vocabulaire, concepts, notions, méthodes s’inscrivent dans un parcours soigneusement balisé ; • fluide : des unités de sens et de contexte sont ménagées à l’intérieur de chaque chapitre, souvent sur une même page. Six étapes, identiques dans chacun des chapitres, rythment les apprentissages.

Situer ce que l’on va apprendre L’introduction est illustrée par un engrenage : chaque roue entraîne l’élève, d’étape en étape, au départ de ce qu’il sait déjà vers ce qu’il va apprendre. Les mathématiques prennent sens aux yeux de celui qui apprend quand ses acquis sont des tremplins et s’inscrivent dans une dynamique dont il perçoit les enjeux. Être conscient de la manière dont les connaissances s’enchaînent selon un ordre s’appuyant sur ce qui a été établi, c’est aussi s’approprier une forme de pensée qui est au centre de l’activité mathématique : la pensée déductive.

Rassembler et réactiver

Ramener sur le chantier ainsi ouvert les outils essentiels, en réparer quelques-uns, en ajuster d’autres, retrouver ceux qui sont perdus ; éviter donc de bâtir sur du sable mais aussi de se perdre en révisions exhaustives, c’est l’objectif de cette rubrique qui va à l’essentiel et permet de repérer à temps les lacunes qui bloqueraient la progression. IVIV

Explorer et découvrir Éveiller l’imagination, s’appuyer sur l’intelligence naturelle, mobiliser la réflexion. Toutes les étapes de cette rubrique sont construites dans cette optique. Le contexte, s’il est concret, est souvent évoqué par une photo, un texte, une question. S’il est abstrait, il s’appuie sur les acquis et sur des raisonnements logiques clairement explicités. Les questions s’enchaînent pour conduire progressivement mais sans détours vers ce qu’il faut découvrir.

Cette rubrique se prête à un enseignement inversé ou à du travail coopératif. Il s’agit d’une méthode qui demande à l’élève de découvrir chez lui, en toute autonomie, une notion ou une méthode nouvelle. En classe, le professeur répond aux questions, apporte des compléments et des précisions, met en route les exercices. Par leur progressivité et leur présentation, la plupart des explorations peuvent se prêter à une découverte autonome.

Structurer et retenir

À l’issue du travail d’exploration, les notions sont cernées, les concepts introduits, des formes de raisonnement découvertes, un vocabulaire spécifique utilisé. Il faut à présent ordonner, mettre en forme, intégrer, fixer, afin que les nouveaux acquis deviennent disponibles pour les applications et les conquêtes ultérieures.

Chaque synthèse s’inscrit dans cette dynamique : elle est introduite par une question qui porte sur l’usage qui sera fait des nouveaux acquis. Les énoncés à retenir sont numérotés et mis en évidence, des exemples rattachent la théorie aux situations dans lesquelles ils ont émergé. Ils servent de modèle dans la résolution des exercices.

Outre des définitions, des propriétés et des procédures, quelques synthèses proposent des méthodes spécifiques pour aborder certaines tâches : justifier, démontrer, résoudre certains types de problèmes.

Utiliser un logiciel

Dans certains chapitres, une rubrique « Utiliser un logiciel » propose des exercices résolus à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel. Toutes les étapes sont décrites, fournissant ainsi des modèles ou des supports dans l’utilisation de l’outil informatique.

iti

S’exercer et approfondir

Les exercices sont classés selon les catégories décrites dans le référentiel diffusé par la Fédération Wallonie-Bruxelles : Connaître, Appliquer, Transférer. Structurés par une mise en pages qui en facilite l’accès, ils peuvent être menés selon des pédagogies variées : pilotés par le professeur, résolus par petites groupes, répartis selon les profils, les goûts, les aptitudes ou le rythme des élèves. En espérant que ce manuel permettra à l’élève de découvrir sous un jour nouveau différents aspects des mathématiques : leur utilité, leur logique propre, leur beauté parfois. Et surtout, qu’il donnera à chacun une confiance renouvelée dans sa capacité à les apprendre et à les pratiquer. Françoise Van Dieren Directrice de collection

Comment utiliser ce manuel ? Ce manuel est structuré en 7 chapitres qui organisent chacun une même succession d’activités.

L’introduction

L’introduction situe ce que l’on va apprendre dans l’histoire des mathématiques, dans les sciences et les techniques.

Lors d’expériences scientifiques et plus généralement dans les collectes de données, il arrive que l’on observe conjointement deux caractères statistiques pour déterminer s’il existe une corrélation entre les deux (investissement dans la publicité et chiffre des ventes, temps d’attente aux caisses et nombre de caisses ouvertes dans un supermarché, résistance thermique d’un mur et épaisseur de l’isolant, etc.).

StatiStique à deux variableS

Dans ce chapitre, on apprend à utiliser deux méthodes d’ajustement pour des points qui semblent s’aligner : la droite de Mayer et la méthode des moindres carrés. Toutes deux peuvent être réalisées à l’aide d’un logiciel statistique.

Les couples de nombres qui figurent dans le tableau de valeurs ainsi recueillis forment un ensemble de points qu’on appelle nuage de points. Si les points semblent dessiner une courbe, on cherche à déterminer la nature de la courbe en procédant à un ajustement.

Méthode des moindres carrés

Ajustement par la droite de Mayer

Utilisation d’un logiciel

iti Ed ExplorEr Et découvrir

Annuités de placement

Monsieur Lambert décide de constituer un capital en déposant une somme de 1 200 € à la banque chaque premier janvier pendant cinq ans. Nous supposons que le taux annuel reste constant, fixé à 3 % pendant les 5 ans. Les intérêts sont capitalisés annuellement. Il effectue son premier dépôt le premier janvier 2014.

01/01/2014

01/01/2015

01/01/2016

01/01/2017

01/01/2018

1 200

1 200 · 1,03

1 200 · 1,032

1 200 · 1,033

1 200 · 1,034

1 200

…

2e dépôt 3e dépôt

1 200

…

4e dépôt

En résolvant ces exercices, on ravive les acquis nécessaires pour aborder les nouvelles notions et pour comprendre comment elles s’articulent à ce que l’on sait déjà.

… …

b. Lorsque le nombre de versements est plus important, les calculs sont fastidieux. Une analyse du tableau conduit à écrire S = 1 200(1 + 1,03 + 1,032 + 1,033 + 1,034) La parenthèse est une somme de cinq termes d’une suite géométrique. On a donc S = 1 200 ·

1 – 1,035 , 1 – 1,03

ce qui est bien plus rapide que de construire un tableau. Utiliser ce procédé pour calculer le capital obtenu (valeur acquise) en effectuant 15 versements annuels de 900 €, au taux de 3,2 %.

U A A 2 M o dè le s de c roi ssa n ce

Annuités de remboursement Pour entreprendre des travaux de rénovation dans sa maison, Monsieur Bozet doit solliciter un prêt. Dans le cadre de ses revenus, il peut se permettre un remboursement annuel de 2 000 € pendant 4 ans. Il veut disposer de la somme le 1er janvier 2016. Le taux est de 4 % (capitalisation annuelle). Le premier remboursement aura lieu le 31 décembre 2016. Sur quel budget peut-il compter pour faire ses travaux ? Voici comment se présente la situation. 0 2 000 × 1,04 –1 = 1 923,08 Valeurs actuelles

... ...

VIVI

............

2 000 2 000 2 000

fig. 1

a. Calculer les valeurs actuelles manquantes. b. Quel montant peut-il emprunter ? c. Calculer la valeur totale acquise par les quatre versements au 31 décembre 2019. d. Actualiser ce montant au 1er janvier 2016. e. Comparer les résultats obtenus en b. et en d.

100

2 000

...

–7

10 1

0 –7

–4

Comparer f (– 5) et f (2)

f (3,5) et f (5)

Tableau de variation La courbe ci-dessous représente une fonction définie sur l’intervalle [– 4 ; 4] 6

–4

–3

–2

–1

–2

fig. 1

Sachant que les points suivants appartiennent au graphique de f, dresser un tableau de variation de la fonction f dans cet intervalle. A( −4 ; 3, 6)

B( −2, 6 ; 5, 4)

C(0 ; 2)

D(1, 06 ; 0)

E(2, 6 ; − 1, 44)

A(4 ; 0, 4)

131

1 200 Somme =

Voici le tableau de variation d’une fonction f définie dans l’intervalle [– 7 ; 10].

–1

…

1 200

5e dépôt

Interpréter un tableau de variation x

a. Pour calculer quel sera son capital au moment du cinquième versement, recopier et compléter le tableau ci-dessous.

1er dépôt

f (x)

Rassembler et réactiver

cRoissance de fonctions

RassembleR et RéactiveR

Qualité de l’ajustement Nuage de points

Explorer et découvrir Les nouvelles notions sont abordées à partir de quelques problèmes.

7 4

Comment décrire l’allure d’une fonction, repérer son mode de croissance ? Les graphiques ci-dessous montrent comment on repère des accroissements constants entre des abscisses successives et comment on s’y prend pour voir les accroissements des ordonnées correspondantes. C’est ainsi que l’on décrit l’allure d’une fonction.

Croître régulièrement

Croître de moins en moins vite Croître de plus en plus vite

1 1

fig. 8 Décroître régulièrement

U A A 2 M o dèl es de c ro i ssance

Il faut étudier les questions et les réponses de la synthèse pour se débrouiller seul dans d’autres situations.

fig. 10

Décroître de moins en moins vite Décroître de plus en plus vite y

1 1

fig. 9

Structurer et retenir

1 1

fig. 11

fig. 13

fig. 12

Utiliser Un logiciel

142

Simulation de lancers de dés (avec Excel)

Voilà comment simuler 100 lancers de dés avec un tableur.

a. D’un jeu de 52 cartes bien mélangées, on tire une carte au hasard.

Recopier la formule précédente.

C5…C8

3, 4, …, 6

D3…D8

=FREQUENCE((A1:A100);(C3:C8))

– ENT() est la fonction qui donne la partie entière d’un nombre. – ALEA() est une fonction qui génère des nombres aléatoires compris entre 0 et 1. – ENT(ALEA()*6)+1 génère donc des nombres entiers compris entre 1 et 6. Pour simuler 100 lancers de dés, il suffit de recopier 100 fois la formule introduite dans la cellule A1 : faire apparaître la petite croix noire dans le coin inférieur droit de la cellule A1, enfoncer alors le bouton gauche de la souris et tirer vers le bas jusqu’à la cellule A100.

Avec la souris, bouton gauche enfoncé, on sélectionne les deux cellules ; on relâche le bouton et on déplace la souris vers le coin inférieur droit jusqu’à l’apparition d’une petite croix noire. On enfonce alors le bouton gauche et on tire vers le bas jusqu’à la valeur 6. Avec la souris, bouton gauche enfoncé, on sélectionne les six cellules. Dans le catalogue des fonctions, on va chercher la fonction « FREQUENCE » et on remplit les cases comme indiqué. Attention, ne pas simplement faire ENTER mais bien simultanément CTRL+SCHIFT+ENTER (fonction matricielle)

Lorsqu’on enfonce la touche F9, on obtient 100 nouveaux lancers de dés. Pour visualiser le résultat, il suffit de marquer les cellules D3, …, D8 avec le bouton gauche de la souris et d’utiliser l’assistant graphique en choisissant histogramme dans les types standard. Il faut aussi indiquer dans série étiquettes des abscisses les cellules C3 à C8. On obtient un graphique analogue à ceux des fig. 8, 9, et 10. Si l’on veut cumuler les résultats, voici comment procéder. Dans l’onglet OUTILS – OPTIONS CALCUL, cocher Itérations et « Nombre maximal d’itérations = 1 ».

121

Quelle est la probabilité

A2…A100

Commentaires

iti

Connaître Tirer les cartes

=ENT(ALEA()*6)+1

Utiliser Un logiciel

Cette rubrique donne des indications pour découvrir une notion ou résoudre un exercice à l’aide d’un tableur ou d’un logiciel graphique.

Contenu

Utiliser un logiciel

S’EXERCER Et appRofondiR

Cellule

a. de tirer un as ?

b. de tirer une image ?

c. de tirer une carte dont le chiffre est inférieur à 5 ?

S’exercer et approfondir

B. Un paquet de 7 cartes comprend le 3, le 4, le 5 et le 6 de cœur, le 3, le 4 et le 6 de trèfle. Après avoir battu ce paquet, Alicia tire une carte et note son chiffre et sa couleur. Elle replace la carte dans le paquet, extrait alors une deuxième carte et note son chiffre et sa couleur.

Les exercices de la partie « Connaître » permettent de fixer l’essentiel et d’utilier directement ce qui a été étudié.

a. Quelle est la probabilité de tirer deux cartes de couleurs différentes ?

b. Quelle est la probabilité que la première soit un trèfle et la seconde un cœur ?

c. Sachant que la première est un cœur, quelle est la probabilité que la seconde soit un trèfle ?

Lancer un dé

On lance un dé à 6 faces, non truqué. Calculer la probabilité des événements suivants. a. Obtenir un 2. b. Obtenir un nombre impair. c. Obtenir un nombre inférieur ou égal à 3. d. Obtenir un nombre au moins égal à 4. e. Le résultat est un multiple de 3 et de 4.

Lancer deux dés On lance deux dés bien équilibrés et on considère la somme des résultats obtenus. Quelle est la probabilité des événements suivants ? a. La somme des résultats est 7. b. La somme des résultats est inférieure ou égale à 6. c. La somme des résultats est 7 ou 11.

s’exercer et approfondir

123

Avec les exercices « Appliquer », on acquiert des méthodes efficaces pour interpréter un graphique, suivre une démarche, utiliser un logiciel. Les problèmes proposés dans la rubrique « Transférer » amènent à modéliser une situation et à interpréter un résultat.

VII

Sommaire 5e Année

1. Approche graphique d’une fonction �� 1

2. Statistique à une variable �� 37

3. Statistique à deux variables �� 59

6 e A NNÉE

4. Les suites et leurs applications �� 77

5. Évolution d’un capital �� 99

6. Probabilité ��109

iti

7. Croissance de fonctions ��129

VIII VIII

Statistique à deux variables

Les couples de nombres qui figurent dans le tableau de valeurs ainsi recueillis forment un ensemble de points qu’on appelle nuage de points.

iti

Ajustement par la droite de Mayer

Si les points semblent dessiner une courbe, on cherche à déterminer la nature de la courbe en procédant à un ajustement.

Nuage de points

Méthode des moindres carrés

Qualité de l’ajustement

Utilisation d’un logiciel

Rassembler et réactiver 1

Vérifier si… Le point A(1 ; 1,7) appartient à la droite qui représente la fonction f (x) = 0,5x + 1,7. Le point B(1,7 ; 2,5) appartient à la droite qui représente la fonction f (x) = 0,5x + 1,7.

Les paramètres m et p de la fonction du premier degré et de l’équation de la droite a. Déterminer la pente de la droite a et celle de la droite b.

b. Déterminer l’ordonnée à l’origine de ces droites.

c. Ecrire la fonction du premier degré qui correspond à chacune de ces droites.

La formule y = mx + p qui permet de calculer l’ordonnée d’un point de la droite quand on connait son abscisse est appelée « équation de cette droite ».

d. Utiliser cette équation pour calculer l’ordonnée d’un point d’abscisse 15 qui appartient à b.

e. Quelle est l’abscisse d’un point d’ordonnée 100 qui appartient à la droite a ? y

U A A 3 Statis tique

iti

–1

2 F 1

0 –1

fig. 1

Statistique à deux variables

D’un tableau à l’équation de la droite Chaque tableau fournit les abscisses et ordonnées de points d’une même droite. y

101

201

–20

301

Rassembler et réactiver

Pour chaque tableau,

a. déterminer la pente et l’ordonnée à l’origine de la droite correspondante ;

On connaît la pente et un point Soit la droite d’équation y = 5x + p.

b. écrire son équation.

On sait que A(3 , 4) appartient à cette droite. Déterminer le paramètre p.

Soit A(5 ; 7,2) et B(7 ; 3,4).

On connaît deux points

a. Déterminer le paramètre m de l’équation de droite AB. b. Déterminer le paramètre p.

iti

c. Écrire l’équation de la droite AB. d. Soit C(2 ; a) ∈ AB. Déterminer a.

e. Soit D(b ; 18,6) ∈ AB. Déterminer b.

Explorer et découvrir 1

Une estimation « à vue » Une entreprise s’interroge sur sa politique de publicité et met en relation le budget qu’elle y consacre avec son chiffre d’affaires. Pour cela, elle rassemble les données de ces derniers mois. Dépense en publicité (€)

Chiffre d’affaires (€)

Jan

3 000

48 000

Fev

2 800

42 000

Mars

4 000

60 000

Avr

3 600

50 000

Mai

2 400

41 000

Juin

3 000

51 000

Jui

3 200

52 000

Août

3 200

54 000

Mois

a. Représenter ces données par des points sur un graphique en portant les dépenses publicitaires en abscisse (2,5 cm pour 500 €) et les chiffres d’affaires en ordonnée (1,5 cm pour 5 000 €).

b. Tracer une droite qui approxime, selon vous, « le mieux » ce nuage de points. Il faut qu’il y ait à peu près autant de points au-dessus de la droite que de points en dessous.

c. Lire sur ce graphique le chiffre d’affaires que l’entreprise peut espérer si ses dépenses en publicité d’élèvent à 3 400 € ; à 3 800 €. d. À partir du graphique, déterminer les paramètres m et p de l’équation de cette droite.

La droite de Mayer

iti

e. Utiliser cette équation pour déterminer le chiffre d’affaires que l’entreprise peut espérer si elle investit 6 000 € en publicité.

U A A 3 Statisti que

Le samedi après-midi, lorsque le temps d’attente aux caisses d’un supermarché est très long, les clients vont ailleurs… mais si trop de caisses sont peu fréquentées, la charge salariale des employés devient trop lourde.

Le gérant d’un supermarché dispose de 8 caisses et songe à faire des travaux pour en ouvrir de nouvelles. Il fait réaliser une étude statistique sur le temps moyen d’attente d’un client à une caisse les samedis après-midi en fonction du nombre de caisses ouvertes. Les résultats de l’étude ont été portés dans un repère cartésien.

Statistique à deux variables

y 9

Durée de l’attente en min

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

iti

Nombre de caisses ouvertes 4

a. Construire le tableau de valeurs complet qui correspond à ce graphique.

b. Calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des quatre premiers points du tableau. Soit G1 ce point moyen. c. Faire de même pour les quatre derniers points. Soit G2 ce point moyen.

d. Calculer la pente de G1 G2. e. Déterminer l’équation de G1 G2 Indication Déterminer d’abord le paramètre m. Pour déterminer p, partir de la forme générale y = mx + p dans laquelle il faut remplacer m par la valeur trouvée, puis x et y par les coordonnées de G1 (ou de G2). Ensuite isoler p. f. Utiliser cette équation pour estimer la durée de l’attente si on ouvre les 12 caisses. g. Si le gérant veut que la file d’attente des samedis après-midi ne dure pas plus de trois minutes, combien de caisses doit-il ouvrir ?

3 3

Dissolution du sel Emma fait une expérience sur la dissolution du sel dans l’eau. Elle fait chauffer une certaine quantité d’eau à la température de 20°, ensuite elle ajoute lentement du sel jusqu’au moment où le sel ajouté ne se dissout plus.

T (°C)

A (grammes)

Emma a construit le nuage de points ci-dessous.

Elle chauffe à nouveau le liquide et ajoute du sel en notant la quantité maximale qui se dissout à cette température plus élevée. Les résultats figurent dans le tableau ci-dessous. T est la température de l’eau et A est la quantité maximale de sel.

Quantité de sel (grammes)

iti

U A A 3 Statisti que

–10

Température (°C) fig. 3

Pour établir l’équation de la droite qui s’ajuste au mieux à ce nuage de points, les logiciels utilisent une méthode appelée « méthode des moindres carrés ».

Statistique à deux variables

La fig. 4 montre la droite dessinée avec le logiciel Sine qua non : Onglet utilisé : « définir une série statistique double » : Nature de la régression : « linéaire »

Quantité de sel (grammes)

Quantité de sel (grammes) = 0.35629 Température (°C) + 21.731

iti

–10

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

Température (°C) fig.4

Utiliser cette droite de régression pour estimer : a. la quantité de sel qui correspond à une température de 80° ;

b. la température qu’il faut atteindre pour une quantité maximale de 55 grammes.

3 4

La droite des moindres carrés Tout comme la droite de Mayer, la droite des moindres carrés approxime un nuage de points qui ont tendance à s’aligner. Elle est telle que la somme des carrés des écarts verticaux entre les points du nuage et ceux de la droite est minimale. D’où le nom de cette droite. On démontre que cette droite passe par le point moyen (x, y) du nuage et que sa pente m est donnée par la formule m=

∑X Y ∑X i

i 2

Dans cette formule, Xi = xi – x ,

∑X

2 i

est la somme des produits Xi · Yi, est la somme des Xi2.

∑X Y

Yi = yi – y,

On calcule p en partant de la forme générale y = mx + p dans laquelle on remplace m par la valeur trouvée ; puis x et y par les coordonnées du point moyen. Par souci d’efficacité, on dispose les calculs dans un tableau comme ci-après.

iti

60 i

x =

Yi = yi – y

XiYi

Xi2

Yi2

∑y

∑x

Xi = xi – x

∑X Y i

∑X

2 i

∑Y

y =

U A A 3 Statisti que

a. Compléter ce tableau (utiliser un tableur) en se référant aux données de l’exploration 3.

b. Écrire la droite de régression qui exprime la quantité maximale de sel qui se dissout (A) en fonction de la température de l’eau (T). c. Calculer la quantité de sel qui correspond à une température de 80°. d. Calculer la température qu’il faut atteindre pour une quantité maximale de 55 grammes.

Statistique à deux variables

Le coefficient de corrélation Une fois la droite déterminée, il faut savoir dans quelle mesure elle est « fiable ». En effet, si le nuage de points est très dispersé, la droite de régression ne constitue pas un bon « modèle » de la situation. L’utiliser pour déterminer une valeur qui n’est pas dans le tableau n’est dès lors pas pertinent. Ainsi, avant d’accepter une droite de régression comme « modèle », on calcule ce que l’on appelle en statistique un coefficient de corrélation. La formule est la suivante :

Si r2 est proche de 1, on peut considérer la droite des moindres carrés comme une bonne approximation du nuage de points.

Comparaison des deux méthodes

Emma a utilisé le logiciel Sine qua non pour examiner les données concernant la dissolution du sel (voir exploration 2) mais, dans l’onglet « Définir une série statistique double » ), elle a sélectionné « Droite de Mayer ». Voici le graphique qui s’est affiché. ( Quantité de sel (grammes)

Quantité de sel (grammes) = 0.36296 Température (°C) + 21.444

iti

Utiliser cette formule pour calculer le coefficient de corrélation de la droite de régression de l’exercice précédent (dissolution du sel).

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

( ∑ X i2 )( ∑ Yi 2 )

r =

( ∑ Xi Yi )2

–10

Température (°C)

fig. 5

À partir de ce graphique, estimer : a. la quantité de sel qui correspond à une température de 80° ; b. la température qu’il faut atteindre pour une quantité maximale de 55 grammes. Ces résultats sont-ils significativement différents de ceux obtenus avec la droite de régression ?

Structurer et retenir 1

Comment déterminer une droite de régression par la méthode de Mayer ? La droite de Mayer est une droite de régression qui passe le point moyen du nuage de points et par deux points moyens calculés en partageant le nuage de points (ordonné selon les abscisses) en deux parties égales à une unité près. Exemple Voici un tableau qui met en relation le nombre de commandes d’une entreprise de vente en ligne avec son chiffre d’affaires. On demande :

a. d’estimer le chiffre d’affaires mensuel que l’entreprise peut espérer réaliser si elle reçoit 60 commandes ; b. combien de commandes l’entreprise devrait recevoir pour espérer un chiffre d’affaires de 5 000 €. Chiffre d’affaires mensuel en € yi

2 500

37 39

Nombre de commandes xi

3 000 3 200 3 400 3 700

4 000

iti

1) Partager le nuage de points en deux nuages de même taille si le nombre de points est pair ou de même taille à une unité près si le nuage comporte un nombre impair de points.

2) Calculer les coordonnées du point G1, point moyen premier nuage et les coordonnées du point G2, point moyen du deuxième nuage.

U A A 3 Statisti que

3) Calculer la pente de la droite G1 G2.

4) Le point G1 (37 ; 2 900) doit vérifier l’équation de la droite qui passe par ces points

2 500

3 400

3 000

3 700

3 200

4 000

G1(30 ; 2 900) G2(44 ; 3 700)

3700 − 2900 = 57,14 44 − 30 y = 57,14 x + p

2900 = 57,14 ⋅ 30 + p p = 1185, 8 y = 57,14 x + 1185, 8

y = 57,14 ⋅ 60 + 1185, 8 y = 4614, 2

5000 = 57,14 ⋅ x + 1185, 8 5000 − 1185, 8 x=  66, 45 57,14

Le chiffre d’affaires mensuel estimé sera de 4 614,2 €

L’entreprise doit recevoir 67 commandes

Statistique à deux variables

Comment déterminer une droite de régression par la méthode des moindres carrés ? Partons d’un exemple dont les données sont peu nombreuses. Elles figurent dans le tableau ci-contre et sont représentées par le nuage de points montré par la fig. 6. y

(6 , 8)

y = ax + b (7 , 5)

(2 , 2) (5 , 1)

x 1

La droite de régression est la droite pour laquelle la somme des carrés des écarts verticaux est minimale.

Le tableau ci-dessous montre comment déterminer le paramètre a de la droite de régression y = ax + b. Dans les situations réelles, les données sont plus nombreuses et les calculs fastidieux. On utilise donc un tableur. Xi = xi – x

Yi = yi – y

XiYi

Xi2

Yi2

– 3

– 2

– 3

iti

6 7

∑x

= 20

x = 5

∑y

∑X Y

= 16

= 12

∑X

2 i

= 14

∑Y

Structurer et retenir

fig. 6

= 30

y = 4

∑X Y ∑X i

i 2

12 6 = . 14 7

Comme la droite passe le point moyen, on a b= y− a x = 4 −

6 2 ×5 = − . 7 7

L’équation de la droite de régression est y=

6 2 x− . 7 7

3 3

Comment déterminer le coefficient de corrélation ? Les logiciels utilisent le plus souvent la formule ci-dessous pour calculer l’indice de confiance, r2, appelé coefficient de corrélation :  ∑ ( X i Yi ) 12 × 12 r =  2 = ≈ 0, 34 2 14 × 30 ∑ X i ∑ Yi 2

(

)(

)

On trouve toujours une valeur pour r2 telle que 0 ≤ r 2 ≤ 1 . Si r2 est proche de 1, la corrélation est forte, elle est faible si r2 est proche de 0.

Dans l’exemple traité dans la synthèse 2 (r2 = 0,34), la droite de régression n’est pas un bon modèle. On peut voir en effet sur la fig. 6 que les points du nuage sont fort dispersés, qu’ils ne semblent pas s’aligner.

Par contre dans la droite de régression qui modélise la dissolution du sel (voir exploration), la corrélation est 0,9962. Cette droite est donc un bon outil pour déterminer d’autres quantités de sel pour une température choisie ou pour calculer d’autres températures pour une quantité de sel choisie.

Ne pas confondre corrélation et causalité ! Deux variables peuvent, selon un modèle mathématique, avoir entre elles une forte corrélation et cependant n’avoir aucun lien direct.

Exemple

La droite de régression qui met en relation la vente de produits solaires et la vente de crèmes glacées peut avoir un excellent coefficient de corrélation. On ne peut pas dire pour autant que la vente d’un des deux articles dépend de la vente l’autre.

U A A 3 Statisti que

iti

Nombre de crèmes glacées

En réalité, ces deux variables dépendent d’une troisième : la température extérieure !

Nombre de produits solaires fig. 7

S’exercer et approfondir

Connaître 1

On ne connaît que deux couples Écrire l’équation des droites suivantes et déterminer l’ordonnée d’un point d’abscisse 25 qui appartient à cette droite. a. d1 passe par A(0 ; 12) et B (5 ; 17). b. d2 passe par A(10 ; 12) et B (5 ; 17).

D’après le graphique

La fig. 8 montre un nuage de points et la droite de Mayer correspondante.

a. Déterminer l’équation de la droite de Mayer qui correspond à ce nuage de points.

b. Vérifier que le point moyen de ce nuage appartient à cette droite. y 250

(20 ; 242)

225

(15 ; 210)

150

iti

175

200

(10 ; 130)

125

100

(5 ; 78)

fig. 8

s’exercer et approfondir

c. d2 passe par A(10 ; 5) et B (5 ; 15).

3 3

D’après les points moyens On donne les deux points moyens G1(11 ; 900) et G2(20 ; 2 700) d’un nuage de points. a. Écrire la droite de Mayer. b. Calculer l’ordonnée du point d’abscisse 30 de la droite de Mayer. c. Calculer l’abscisse du point d’ordonnée 15 de la droite de Mayer.

Prévoir le stock Le gérant d’un camping fait le compte du nombre de cannettes de limonades vendues chaque jour. Il décide de mettre ces données en relation avec la température moyenne de la journée afin d’organiser le stockage dans le frigidaire.

Nombre de cannettes vendues

Température moyenne en degrés Celsius

Appliquer

14 16 16 17 18 20 20 22 24 24 26 28 29 31

a. Représenter les données recueillies sur un graphique, déterminer et tracer la droite de Mayer.

b. Utiliser l’équation pour prévoir le nombre de cannettes à stocker si la météo annonce 25°.

2 3 5 4 5 6 10 9 12 15 14 18 20 24

Le poids idéal d’un joueur de basket

iti

Transférer

Un entraîneur s’est renseigné sur la masse et la taille de quelques joueurs de basket réputés.

U A A 3 Statisti que

Il veut déduire de ces renseignements une relation entre la taille et la masse qu’il proposera aux joueurs qu’il doit entraîner, afin de déterminer pour chacun d’eux une masse idéale (ou du moins une fourchette raisonnable). Comment peut-il s’y prendre ?

Taille (en cm)

Masse (en kg)

Taille (en cm)

Masse (en kg)

178 182 183 184 185 186 188 190 193 195 195

70 82 85 82 87 87 87 83 92 89 89

197 197 200 202 203 204 207 208 208 213 219

95 103 84 98 91 98 100 105 112 115 109

Statistique à deux variables

Import-export Le tableau ci-après donne les montants (en milliards d’euros) des exportations et des importations de la Belgique pour les années 1999 à 2005. 1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

Exportations (xi)

147,1

173,8

177,5

178,8

180,9

197,1

213,7

Importations (yi)

138

168,1

171

168,4

171

188,9

211,9

260

Pour savoir si les importations et les exportations sont corrélées et, si c’est le cas, par quelle relation elles le sont, on présente ces données sous la forme d’un nuage de points. y Exportations

240

220 200

180 160 140

120

100 80

40 20

iti

Ed 0

Importations 80

100

120

140

160

180

200

fig. 9 Il semble qu’à des augmentations d’importations correspondent des accroissements d’exportations à peu près proportionnels. Utiliser une droite de régression pour répondre aux questions suivantes. a. Si les exportations s’élèvent à 160 milliards d’euros, estimer le montant des exportations. b. Si les importations s’élèvent à 250 milliards d’euros, estimer le montant des importations.

s’exercer et approfondir

3 7

Scolarisation et mortalité infantile

Scolarisation dans le primaire pour les filles (taux net UNESCO) (/100)

85,1

100

40,8

Mortalité infantile (/1 000) (2003)

112

Arabie Brésil Cambodge Saoudite

Maroc Belgique Éthiopie Chine

On dispose, pour dix pays, de deux séries statistiques : l’une concernant la scolarisation des filles dans l’enseignement primaire et l’autre concernant la mortalité infantile.

Égypte

USA

Inde

56,5

97,4

83,2

88,3

93,3

75,7

a. Examiner si la corrélation entre ces deux séries est forte ou faible.

Entre décembre et juin

iti

b. Supposons qu’en Inde le taux de scolarisation passe de 75,7 % à 80 %. À quel taux de mortalité infantile peut-on s’attendre selon ce modèle ?

Voici les résultats (en %) de 10 élèves aux examens de décembre et de juin. 37

Note en juin

Note en décembre

Représenter ces données par un nuage de points en plaçant les notes de décembre sur l’axe des x et les notes de juin sur l’axe des y.

U A A 3 Statis tique

Déterminer la droite de régression par la méthode des moindres carrés.

La corrélation est-elle forte ou faible ? a. Un élève a obtenu une note de 48 % à l’examen de décembre. Il est absent à l’examen de juin. Estimer la note qu’on pourrait lui attribuer en juin suivant ce modèle. b. Un autre élève, absent en décembre, obtient 62 % en juin. D’après ce modèle, quelle note peut-on lui attribuer en décembre ?

Statistique à deux variables

Dilatation d’une poutre métallique En chauffant, les atomes de la matière se mettent à vibrer avec une plus grande amplitude et la distance entre eux devient plus grande. Depuis les origines du chemin de fer, la dilatation des rails a été source de désagrément pour les exploitants ferroviaires. Ce problème fut résolu en laissant, aux joints entre les rails, un espace suffisant à leur libre dilatation.

Dans un laboratoire, on a observé l’allongement d’une barre de métal de 10 mètres de long lorsqu’on la chauffe à différentes températures. Voici les résultats de l’expérience. 60

100

120

140

160

180

Allongement en mm

5,0

8,0

10,9

13,8

16,8

19,0

22,6

Température en °C

a. Quelle était la longueur de la barre lorsque la température a atteint 70 °C ? b. Quelle pouvait être la température lorsque la barre mesurait 10,02 m ?

Isoler sa maison

0,83

1,34

1,63

2,29

2,44

2,93

4,06

4,48

iti

Le mur d’une habitation est constitué d’une couche de béton et d’une couche de polystyrène d’épaisseur variable x (en cm). On a mesuré la résistance thermique R de ce mur pour diverses valeurs de x, et on a obtenu les résultats suivants :

a. Quelle résistance thermique peut-on espérer obtenir avec une épaisseur de polystyrène de 25 cm ?

b. Pour quelle épaisseur a-t-on une résistance thermique de 3,68 ?

s’exercer et approfondir

3 11

Consommation d’essence Dans le cadre de la lutte contre le réchauffement climatique, on a relevé la consommation d’essence (en l/100 km) et la puissance (en chevaux vapeur) pour différentes voitures neuves. Puissance (en CV)

100

120

140

160

175

190

Consommation (en l/100 km)

4,7

5,1

5,7

6,1

6,3

7,1

7,4

8,0

Utiliser une droite de régression pour estimer la consommation (en l/100 km) pour une voiture neuve d’une puissance de 90 CV.

Coût d’utilisation d’une voiture

Sept automobilistes qui utilisent le même modèle de voiture ont noté la distance qu’ils avaient parcourue l’année dernière. Ils ont calculé le coût d’utilisation en incluant les taxes, les assurances, le carburant et l’entretien. Le tableau ci-après rassemble ces données. 6 000

12 000 18 000 24 000 36 000 48 000

Coût yi (en €)

2 340

3 430

Distance xi (en km)

4 460

5 500

7 920

10 100

a. À l’aide d’un tableur, représenter le nuage de points et tracer la droite de régression.

b. Prévoir le coût d’utilisation de cette voiture pour une distance annuelle de 45 000 km.

c. Si l’automobiliste ne veut pas dépenser plus de 1500 € par an, à combien de kilomètres par an devra-t-il se limiter ?

Tension artérielle 56

12,5

16,0

11,8

14,9

12,8

15,0

14,5

11,5

14,0

iti

Dans ce tableau, x représente l’âge d’une femme et y sa tension artérielle.

14,7

U A A 3 Statis tique

a. À l’aide d’un tableur, représenter le nuage de points, tracer la droite de régression et déterminer le coefficient de corrélation.

b. Évaluer la tension artérielle d’une femme de 50 ans.

Probabilité

Entre le pur hasard et la certitude, se situe le probable (en latin, probare signifie « éprouver, estimer »).

C’est le jeu de dés qui en a fourni l’image la plus frappante et par là le vocabulaire le plus familier : le terme hasard (en arabe, az zahr signifie « jeu de dés » ; en latin, alea signifie « coup de dé »). L’ancienne forme du mot chance est chéance. Or, en latin, cadere signifie « tomber », ce qui renvoie à la manière dont tombent les dés.

Le bébé attendu sera-t-il une fille ou un garçon ? Va-t-il pleuvoir demain ? Vais-je avoir un accident de voiture dans l’année ? Le billet de tombola que j’ai acheté serat-il gagnant ? Mon voisin âgé de 35 ans, qui a contracté une assurance-vie, sera-t-il toujours en vie dans 10 ans ? À toutes ces questions, pas de réponse définie : on peut seulement répondre en termes de probabilité. Si, par exemple, on a vendu 1 000 billets de tombola et qu’il y a 50 billets gagnants, on dit que la probabilité de gagner est 50/1 000 = 0,05.

iti

Les probabilités sont utilisées entre autres par les assurances. Bien sûr il n’est pas possible de prévoir le décès de mon voisin, mais la compagnie d’assurances calcule une probabilité basée sur ses propres données ou sur les statistiques nationales. Ainsi par exemple, si, sur 4 000 clients qui ont contracté une assurance au même âge, 20 sont morts entre 35 et 45 ans, la probabilité de décès dans cette tranche d’âge est de 20/4 000 = 0,005. La compagnie d’assurance utilise de tels calculs pour fixer la prime. Fréquence statistique

Événements dépendants

Probabilité conditionnelle Événements équiprobables

Événements indépendants

Dans ce chapitre, on apprend à exploiter le calcul des probabilités pour analyser un phénomène aléatoire.

Explorer et découvrir 1

Fille ou garçon ? Pour prédire le sexe de l’enfant, certains utilisent un pendule, tirent les cartes… Mais que dit un annuaire statistique ? Nombre de naissances, par région et par sexe (1980-2005) 1980

Belgique

1990

2000

2001

2002

2003

2004

2005

124 794 123 554 114 883 114 172 111 225 112 149 115 618 118 002 63 917

63 304

58 790

58 243

57 044

57 339

59 429

60 575

Filles

60 877

60 250

56 093

55 929

54 181

54 810

56 189

57 427

Région de Bruxelles-Capitale

12 520

12 852

13 626

14 513

13 929

Garçons

6 384

6 596

7 038

7 351

7 078

Filles

6 136

6 256

6 588

7 162

6 851

Région flamande

72 491

69 492

61 877

60 645

Garçons

37 248

35 601

31 572

31 013

Filles

35 243

33 891

30 305

29 632

Région wallonne

39 783

41 210

39 380

39 014

Garçons

20 285

21 107

20 180

Filles

19 498

20 103

19 200

14 668

15 173

15 492

7 427

7 799

7 911

7 241

7 374

7 581

59 725

59 964

62 374

63 906

30 683

30 740

32 061

32 900

29 042

29 224

30 313

31 006

37 571

37 517

38 071

38 604

19 879

19 283

19 172

19 569

19 764

19 135

18 288

18 345

18 502

18 840

Garçons

Source : Direction générale Statistique et Information économique – Service Démographie. tab. 1

a. Si on tire au hasard le nom d’un enfant né en 2005 dans le registre de la population wallonne, quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un garçon ?

iti

b. D’après ces statistiques, en 2005, la probabilité d’avoir un garçon est-elle la même dans les trois régions ?

Les quatre billes

On place deux billes blanches et deux billes colorées dans un récipient qui permet d’observer leurs positions respectives après avoir secoué le tout (voir fig. 2 et 3). Chaque fois que deux billes blanches sont côte à côte, c’est un succès ; si les billes blanches sont opposées, il s’agit d’un échec.

U A A 4 Probabilité

La fig. 1 montre comment on a enregistré les résultats de 20 essais sur un diagramme en « arbre » conçu pour rassembler les expériences qui n’ont que deux résultats possibles. On y a noté trois succès puis deux échecs et à nouveau trois succès…

110

Probabilité

Succès !

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

Échec !

fig. 2

Note : adapter l’énoncé aux couleurs des billes dont on dispose !

s on

fig. 3

fig. 1

iti

a. Sur une photocopie du diagramme (page suivante), noter les 50 résultats de vos propres expériences.

– Si c’est un succès, colorier un point situé à droite du point de départ ou du point précédent. – Si c’est un échec, colorier un point situé à gauche du point de départ ou du point précédent. En abaissant une verticale à partir du point qui correspond à la dernière expérience, on peut lire le pourcentage de gains. Déterminer ce pourcentage pour 50 expériences.

b. Rassembler le nombre de gains de tous les élèves de la classe, puis calculer un pourcentage pour l’ensemble de la classe. c. La fig. 4 montre une façon de modéliser la situation pour les deux événements qui figurent sur les photos. Pour expliquer pourquoi les résultats convergent vers un même pourcentage, compléter la fig. 4 en passant en revue toutes les positions possibles des quatre billes et en sélectionnant les configurations « gagnantes ».

fig. 4

111

U A A 4 Probabilité

iti

Ed s N

112

Probabilité

Le lièvre et la tortue Le jeu du lièvre et de la tortue se joue avec un dé et en groupe de trois élèves. On répartit les rôles au sein du groupe : jeter le dé, avancer les pions, compléter les diagrammes. La règle du jeu est la suivante : – si le 6 sort, le lièvre gagne ; – si c’est un autre nombre, la tortue avance d’une case. Il faut donc qu’aucun 6 ne survienne pendant 6 lancers de suite pour que la tortue gagne.

Arrivée

fig. 6

Tortue

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

Lièvre

fig. 5

a. Avant de jouer, prévoir (sans calculs) qui, du lièvre ou de la tortue, a le plus de chances de gagner. b. Chaque groupe joue vingt parties. Recopier la fig. 6 et dresser un tableau comme suit.

iti

Gagnant Lièvre Tortue

relevé |||| |||| | |||| ||||

répétition 11 9

tab. 2

c. Qui gagne le plus souvent ? Les prévisions sont-elles vérifiées ?

d. Rassembler les résultats des différents groupes et compléter un nouveau tableau. Le tab. 3 correspond à une classe de 15 élèves. Gagnant

Répétition Groupe 1 Groupe 2 Groupe 3 Groupe 4 Groupe 5

Totaux

Lièvre Tortue

tab. 3

À partir de ce tableau, calculer la probabilité (expérimentale) – que la tortue gagne, – que le lièvre gagne.

113

6 4

Simulation de lancers de dés Dans la rubrique « Utiliser un logiciel » (pages 121-122), on explique comment simuler avec un tableur autant de lancers de dés que l’on souhaite. Voici les résultats obtenus lors de trois expériences. La fig. 7 est un diagramme qui relate les résultats de 100 lancers de dés. La fig. 8 montre les résultats de 1 000 lancers et la fig. 9 ceux de 10 000 lancers. a. Quels commentaires peut-on faire à propos de ces résultats ?

b. Si l’on fait de nouvelles simulations avec le même programme et pour le même nombre d’expériences, obtiendra-t-on exactement les mêmes diagrammes ? Discuter. 0,25 0,2 0,15

0,25 0,2 0,15

0,1 0,05

fig. 7

fig. 8

fig. 9

0,25 0,2 0,15

Avant de passer aux explorations suivantes, il est recommandé d’étudier les trois premières synthèses.

Une famille de trois garçons

Revenir au jeu du lièvre et de la tortue

iti

D’après le tab. 1 « Nombre de naissances… », quelle est la probabilité pour une famille bruxelloise d’avoir trois garçons ?

Calculer « a priori » (c’est-à-dire, sans se référer aux expériences) la probabilité : que la tortue gagne, que le lièvre gagne.

U A A 4 Probabilité

Pour se faire une idée de la situation, partir d’un arbre comme celui montré par la fig. 10. On y voit qu’il est plus facile de calculer d’abord « les chances » de la tortue plutôt que celles du lièvre.

114

5 6 5 6 5 6 5 6

5 6 1 6

T 1 6 L gagne

T 1 6

5 6

T gagne

1 6

L gagne

fig. 10

Probabilité

Sondage Un sondage d’opinion a donné les résultats suivants : Oui

Non

Je ne sais pas

Hommes

Femmes

tab. 4

Ces bulletins sont placés dans une urne. On en tire un au hasard.

b. Quelle est la probabilité que la réponse soit « oui » ?

c. Quelle est la probabilité que la réponse ne soit pas « je ne sais pas » ?

d. Parmi l’ensemble des réponses, quelle est la probabilité que la réponse soit un « oui » d’une femme ? e. Quelle est la probabilité que la réponse soit celle d’un homme ?

f. Quelle est la probabilité que la réponse donnée par un homme soit « oui » ?

EXPLORER ET DÉCOUVRIR

a. Quelle est la probabilité que la réponse soit « non » ?

g. Quelle est la probabilité que la réponse donnée par un homme ne soit pas « je ne sais pas » ? h. Quelle est la probabilité que la réponse « oui » soit donnée par une femme ?

Club sportif

iti

Dans un club de sport, 25 % des garçons et 10 % des filles font du basket. Les filles constituent 60 % de l’effectif total. Pour modéliser cette situation, on réalise un tableau qui croise le choix du sport et le fait d’être fille ou garçon. Basket

Fille

Autre sport

Totaux 60

Garçon

Totaux

100

tab. 5

a. Recopier et compléter ce tableau. b. Si on choisit au hasard un élève qui fait du basket, quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une fille ?

115

STRUCTURER ET RETENIR 1

Comment déterminer une probabilité expérimentale ou statistique ? Exemple 1 Si on lance un dé 150 fois et que l’on obtient 20 fois le « 2 », la probabilité expérimentale d’obtenir un « 2 » est 20 = 0,1333... 150 Exemple 2

Les statistiques pour la Belgique (voir tab. 1) montrent que sur 934 397 naissances, il y a eu 455 756 filles. La probabilité qu’un enfant attendu soit une fille est 455756 = 0, 4877 . 934397

D’où la probabilité d’avoir un garçon est 1 – 0,4877 ≈ 0,5123.

Si lors de n épreuves, un événement s’est produit r fois, alors la probabilité expérimenr tale est le rapport . n

Comment déterminer une probabilité « a priori » ?

Exemple 1

iti

Lorsqu’on lance un dé bien équilibré et que l’on fait l’hypothèse que toutes les faces ont la même « chance » d’apparaître, on peut déterminer la probabilité d’avoir, par exemple, un multiple de 3 sans faire d’expérience. On procède comme ceci : l’ensemble des événements favorables est {3, 6}, il contient deux éléments. L’ensemble des événements possibles est {1, 2, 3, 4, 5, 6}, il contient 6 éléments. La probabilité d’avoir « un multiple de 3» est 2 = 0, 333... . 6

Exemple 2

U A A 4 Probabilité

Lorsqu’on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes, toutes les cartes ont la 12 = 0, 23 . même probabilité d’être tirées. La probabilité d’avoir une image est 52

116

Lorsque les événements élémentaires sont équiprobables, la probabilité a priori est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles. On écrit la formule P( A) =

nombre de cas favorables nombre de cas possibles

La probabilité d’un événement A, notée P(A), est un nombre compris entre 0 et 1. 0 ≤ P ( A) ≤ 1

Probabilité

Comment déterminer la probabilité d’événements composés ? Exemple 1. Événements indépendants, équiprobables A. Déterminer la probabilité d’avoir trois fois « pile » en lançant trois fois une pièce de monnaie bien équilibrée. On peut modéliser la situation par un diagramme en arbre.

Pile

1/2

Face

PPF

1/2

Pile

PFP

1/2

Face Pile

PFF FPP

1/2

Face

FPF

1/2

Pile

FFP

1/2

Face

FFF

Face 1/2

1/2 Face

1/2

Pile

1/2

Face

fig. 11

Lorsqu’on lance trois fois une pièce de monnaie, il y a huit résultats possibles.

Un seul cas est « favorable » : PPP. La probabilité est donc

1 . 8

On peut calculer la probabilité de l’événement composé « PPP » en multipliant entre elles les probabilités de chacun des événements « Pile ». On a

iti

P (PPP)  =

Structurer et retenir

Pile

Premier jet 1/2

Troisième jet Résultats possibles Deuxième jet PPP Pile 1/2

1 1 1 1 × × = . 2 2 2 8

B. Déterminer la probabilité d’avoir au moins une fois « face ». L’ensemble des cas favorables est {PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF}. La probabilité 7 est donc . 8 On peut calculer cette probabilité en additionnant les probabilités des événements composés qui apparaissent au bout des dernières branches. On a

P (au moins une fois F) =

1 1 1 1 1 1 1 7 + + + + + + = . 8 8 8 8 8 8 8 8

La probabilité d’avoir « au moins une fois face » est la même que celle de « ne pas avoir trois fois pile ». On a donc P (au moins une fois F) = 1 −

1 7 = . 8 8

Dans un arbre, chaque événement composé apparaît « au bout » de la dernière branche. On calcule la probabilité de cet événement en multipliant entre elles les probabilités des événements qui figurent sur les branches intermédiaires.

117

6 Exemple 2. Événements indépendants, non équiprobables Si on se demande quelles sont les probabilités, pour une famille de deux enfants (en Belgique), d’avoir deux filles, deux garçons, d’abord une fille puis un garçon, d’abord un garçon puis une fille, on construit un « arbre » (voir fig. 12). On porte sur chaque branche la probabilité correspondante.

Deuxième enfant Premier enfant 0,5123

0,4877

0,5123

0,4877

fig. 12

0,4877

0,5123

Résultats possibles

Les extrémités de l’arbre sont des événements composés. On calcule leur probabilité en effectuant le produit des probabilités de chaque branche intermédiaire. On trouve ainsi que la probabilité

iti

– d’avoir une fille puis un garçon est 0,4877 × 0,5123 = 0,24985 – d’avoir deux filles est 0,4877 × 0,4877 = 0,23785

– d’avoir deux garçons est 0,5123 × 0,5123 = 0,26245 – d’avoir un garçon puis une fille est 0,5123 × 0,4877 = 0,24985

U A A 4 Probabilité

– d’avoir fille et garçon 0,24985 + 0,24985 = 0,4997.

118

Probabilité

Exemple 3. Événements dépendants, non équiprobables Dans une classe de physique qui comporte 13 garçons et 9 filles, le professeur tire au sort deux élèves qui devront ranger le laboratoire. Il écrit le nom de chaque élève sur un carton, il place les cartons dans une boîte et tire deux noms l’un après l’autre. 1. Quelle est la probabilité que sur les deux cartons tirés figurent des noms de filles ? 2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des deux cartons tirés porte un nom de fille ?

Quand on tire un second nom, la probabilité de tirer un nom de fille n’est plus la même. Le nombre de cas favorables a changé et le nombre de cas possibles aussi.

Résultats possibles

13/22

9/21

13/21

9/22

fig. 13

iti

8/21

Structurer et retenir

Premier nom 12/21

Deuxième nom

9 8 72 × = ≈ 0,16 22 21 462

13 12 306 – d’avoir au moins un nom de fille est 1 −  × = ≈ 0, 66.  22 21 462

119

6 4

Comment déterminer une probabilité conditionnelle ? Exemple Dans une grande ville, on a constitué un fichier qui reprend pour chaque voiture sa date de mise en circulation et sa provenance. Ces données sont résumées dans le tableau ci-après. Voiture fabriquée en Voiture fabriquée hors Communauté européenne Communauté européenne 186

Voiture d’occasion

128

250

tab. 6

Voiture neuve

1. Si on prend une fiche au hasard, quelle est la probabilité qu’il s’agisse : – d’une voiture d’occasion ?

– d’une voiture fabriquée en Communauté européenne ? – d’une voiture d’occasion fabriquée en Communauté européenne ?

2. On a tiré une voiture fabriquée en Communauté européenne : quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une voiture d’occasion ? 3. On a tiré une voiture d’occasion : quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une voiture fabriquée en Communauté européenne ? Pour répondre à de telles questions, on prolonge le tableau donné en calculant les sommes de chaque ligne et de chaque colonne. D. Voiture fabriquée hors Communauté européenne

Totaux

C. Voiture neuve

186

228

B. Voiture d’occasion

128

250

378

Totaux

314

292

606

iti

A. Voiture fabriquée en Communauté européenne

378 ≈ 0,62 606

P(B si A) =

128 ≈ 0,41 314

P(A) =

314 ≈ 0,52 606

P(A si B) =

128 ≈ 0,34. 378

P(B et A) =

128 ≈ 0,21 606

P(B) =

U A A 4 Probabilité

120

tab. 7

Les deux dernières probabilités sont appelées «  probabilités conditionnelles  ». Observons que 128 128 606 P( B et A) P(B si A) = = = P( A) 314 314 606 On retiendra la formule P( B si A) =

P( B et A) . P( A)

Utiliser un logiciel

Simulation de lancers de dés (avec Excel) Voilà comment simuler 100 lancers de dés avec un tableur. Cellule

Contenu

Commentaires – ENT() est la fonction qui donne la partie entière d’un nombre.

– ALEA() est une fonction qui génère des nombres aléatoires compris entre 0 et 1.

=ENT(ALEA()*6)+1

– ENT(ALEA()*6)+1 génère donc des nombres entiers compris entre 1 et 6.

iti

=FREQUENCE((A1:A100);(C3:C8))

D3…D8

Dans le catalogue des fonctions, on va chercher la fonction « FREQUENCE » et on remplit les cases comme indiqué. Attention, ne pas simplement faire ENTER mais bien simultanément CTRL+SCHIFT+ENTER (fonction matricielle)

Lorsqu’on enfonce la touche F9, on obtient 100 nouveaux lancers de dés.

Utiliser un logiciel

3, 4, …, 6

C5…C8

Recopier la formule précédente.

A2…A100

Pour simuler 100 lancers de dés, il suffit de recopier 100 fois la formule introduite dans la cellule A1 : faire apparaître la petite croix noire dans le coin inférieur droit de la cellule A1, enfoncer alors le bouton gauche de la souris et tirer vers le bas jusqu’à la cellule A100.

Pour visualiser le résultat, il suffit de marquer les cellules D3, …, D8 avec le bouton gauche de la souris et d’utiliser l’assistant graphique en choisissant histogramme dans les types standard. Il faut aussi indiquer dans série étiquettes des abscisses les cellules C3 à C8. On obtient un graphique analogue à ceux des fig. 7, 8, et 9. Si l’on veut cumuler les résultats, voici comment procéder. Dans l’onglet OUTILS – OPTIONS CALCUL, cocher Itérations et « Nombre maximal d’itérations = 1 ».

121

6 Cellule

Contenu

0 ou 1

=SI($F$1=0;0;H1+1)

Cette cellule joue le rôle d’un compteur, elle compte le nombre de fois que l’on a fait 100 lancers.

=SI($F$1=0;0;F3+D3)

Cette cellule totalise le nombre de fois que la face « 1 » est apparue.

F4….F8

Recopier la formule précédente.

Pour savoir combien de fois les faces « 2 », « 3 »,…, « 6 » sont apparues, il suffit de recopier la formule introduite dans la cellule F3 : faire apparaître la petite croix noire dans le coin inférieur droit de la cellule F3, enfoncer alors le bouton gauche de la souris et tirer vers le bas jusqu’à la cellule F8.

= F3/($H$1*100)

Cette cellule donne la fréquence d’apparition de la face « 1 ».

0 pour recommencer la simulation.

1 pour démarrer la simulation.

Recopier la formule précédente.

G4…G8

Commentaires

Pour connaître les fréquences d’apparition des faces « 2 », « 3 »,…, « 6 », il suffit de recopier la formule introduite dans la cellule G3 : faire apparaître la petite croix noire dans le coin inférieur droit de la cellule G3, enfoncer alors le bouton gauche de la souris et tirer vers le bas jusqu’à la cellule G8.

Pour visualiser le résultat, il suffit de marquer les cellules G3,…, G8 avec le bouton gauche de la souris et d’utiliser l’assistant graphique en choisissant histogramme dans les types standard. Il faut aussi indiquer dans série étiquettes des abscisses les cellules C3 à C8.

U A A 2 Probabilité

iti

En enfonçant plusieurs fois la touche F9, on observe les fréquences d’apparition des faces du dé lors de 100, 200, 300,… lancers.

122

S’EXERCER et approfondir

Connaître 1

Tirer les cartes A. D’un jeu de 52 cartes bien mélangées, on tire une carte au hasard. Quelle est la probabilité a. de tirer un as ?

b. de tirer une image ? c. de tirer une carte dont le chiffre est inférieur à 5 ?

B. Un paquet de 7 cartes comprend le 3, le 4, le 5 et le 6 de cœur, le 3, le 4 et le 6 de trèfle. Après avoir battu ce paquet, Alicia tire une carte et note son chiffre et sa couleur. Elle replace la carte dans le paquet, extrait alors une deuxième carte et note son chiffre et sa couleur.

a. Quelle est la probabilité de tirer deux cartes de couleurs différentes ? b. Quelle est la probabilité que la première soit un trèfle et la seconde un cœur ? c. Sachant que la première est un cœur, quelle est la probabilité que la seconde soit un trèfle ?

Lancer un dé

a. Obtenir un 2.

On lance un dé à 6 faces, non truqué. Calculer la probabilité des événements suivants. b. Obtenir un nombre impair.

iti

c. Obtenir un nombre inférieur ou égal à 3. d. Obtenir un nombre au moins égal à 4.

Lancer deux dés On lance deux dés bien équilibrés et on considère la somme des résultats obtenus. Quelle est la probabilité des événements suivants ? a. La somme des résultats est 7. b. La somme des résultats est inférieure ou égale à 6. c. La somme des résultats est 7 ou 11.

s’exercer et approfondir

e. Le résultat est un multiple de 3 et de 4.

123

6 Appliquer 4

Dés truqués A. Un dé est truqué de telle sorte que la probabilité pour que « 1 » apparaisse est de 1/3 tandis que les autres événements élémentaires sont équiprobables. On jette le dé une seule fois. Calculer la probabilité :

a. que « 2 » apparaisse, b. que « 2 » n’apparaisse pas, c. d’obtenir un nombre pair, d. d’obtenir un nombre impair.

B. On truque un dé de telle sorte que les nombres pairs aient tous des chances égales d’apparaître et les nombres impairs aient également tous des chances égales d’apparaître. Mais on s’arrange pour que chaque nombre pair ait deux fois plus de chance d’apparaître que n’importe quel nombre impair. Calculer la probabilité d’obtenir : a. un nombre pair, b. un nombre impair.

Location de vacances

Un sondage sur les pratiques en matière de location de logements de vacances a donné les résultats suivants. Directement au propriétaire

Par agence

En Ardennes

À l’étranger

iti

À la mer

tab. 8

On tire au hasard un contrat de location d’une des personnes interrogées. Quelle est la probabilité que ce soit le contrat d’une personne qui a loué : a. à l’étranger ?

b. par agence et à l’étranger ?

U A A 4 Probabilité

c. à l’étranger, si on sait qu’elle a loué par agence ?

124

d. par agence, si on sait qu’elle a loué à l’étranger ?

Probabilité

Réussite Dans une école de 600 élèves, 79 % des élèves réussissent en français, 84 % réussissent en anglais et 70 % réussissent dans les deux cours. Réussite en français

Échec en français

Totaux

Réussite en anglais

504

Échec en anglais Totaux

474

600

a. Recopier et compléter le tableau.

tab. 9

b. On choisit un élève au hasard.

– Sachant qu’il a raté en anglais, quelle est la probabilité qu’il réussisse en français ?

Tirage

– Sachant qu’il a raté en français, quelle est la probabilité qu’il rate aussi en anglais ?

Un sac contient trois boules rouges, quatre boules vertes et sept boules blanches. On tire une première boule. a. Quelle est la probabilité qu’elle soit verte, qu’elle ait une autre couleur ? b. Après avoir remis la première boule dans le sac, on en tire une seconde. Quelle est la probabilité que l’on ait tiré une verte puis une rouge ?

c. On tire une seconde boule sans remettre la première. Quelle est la probabilité que l’on ait tiré une verte puis une rouge ?

D’après la météo1…

iti

La probabilité qu’aujourd’hui soit une belle journée ensoleillée est 1/3. S’il fait beau aujourd’hui, la probabilité qu’il pleuve demain est 1/2. S’il pleut aujourd’hui, la probabilité qu’il pleuve demain est 2/3. Après avoir dessiné un diagramme en arbre, trouver la probabilité d’avoir : a. deux jours de pluie, b. deux belles journées, c. un seul jour de pluie.

Stylos à bille défectueux Une caisse de 144 stylos à bille contient 5 pièces défectueuses. a. Si on en achète un au hasard, quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ? b. Si le premier stylo acheté est défectueux, et qu’une deuxième personne achète un stylo prélevé dans la même caisse, quelle est la probabilité que ce stylo soit défectueux ? c. Quelle est la probabilité que deux stylos achetés successivement fonctionnent bien ? 1

D’après SMP Book 4

s’exercer et approfondir

125

6 10

Anniversaire Rechercher la probabilité que, dans un groupe de six personnes, au moins deux d’entre elles aient leur anniversaire le même mois, semble difficile sinon impossible. Pourtant, en inversant la question, on y arrive : on recherche la probabilité que ces six personnes aient toutes leur anniversaire un mois différent. Voici comment s’y prendre. a. Appeler A, B, C, D, E et F les six personnes. Quelle est la probabilité que B n’ait pas son anniversaire le même mois que A ? b. Si A et B n’ont pas leur anniversaire le même mois, quelle est la probabilité que C n’ait pas son anniversaire ces deux mois-là ?

c. Si A, B et C n’ont pas leur anniversaire le même mois, quelle est la probabilité que D n’ait pas son anniversaire un de ces trois mois-là ?

d. Quelle est la probabilité que deux personnes au moins aient leur anniversaire le même mois ?

Confitures aux fraises

Maladie

Deux cultivateurs A et B produisent respectivement 65 % et 35 % de la quantité totale de fraises vendues à une fabrique artisanale de confiture. Les pourcentages de fruits sains sont respectivement 97 % et 95 %. On choisit une fraise au hasard. Si elle n’est pas saine, quelle est la probabilité pour qu’elle ait été cultivée par B ?

La probabilité pour qu’une personne donnée contracte la grippe en un an est 0,4 et la probabilité pour que cette personne soit atteinte d’une maladie M autre que la grippe pendant la même période de un an est 0,2. On suppose que contracter la grippe n’influence pas la probabilité d’avoir la maladie M.

iti

a. Quelle est la probabilité pour que cette personne contracte la grippe et la maladie M la même année ?

b. Quelle est la probabilité pour qu’elle contracte au moins l’une de ces deux maladies en un an ? c. Quelle est la probabilité pour qu’elle contracte seulement la grippe en un an ?

d. Quelle est la probabilité pour qu’elle n’en contracte aucune des deux en un an ?

U A A 4 Probabilité

126

Avoir « 9 » au total

On lance un dé non truqué 2 fois de suite. Quelle est la probabilité pour que la somme des points obtenus soit 9 sachant qu’au premier jet le point amené est impair ?

Bon anniversaire Rechercher quelle est la probabilité que, dans un groupe de dix personnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire le même jour.

Probabilité

Groupes sanguins

Le tableau suivant fournit quelques informations sur les fréquences des groupes sanguins dans nos régions. A

1,5 %

0,4 %

Totaux

42 %

37,8 % 10 %

36 %

Rh−

Totaux

45 %

15,1 % tab. 8

Le sang humain est classé en quatre groupes distincts : A, B, AB et O. Indépendamment du groupe, le sang peut posséder le facteur Rhésus. Si le sang d’un individu possède ce facteur, il est dit de rhésus positif (noté Rh+) ; s’il ne possède pas ce facteur, il est dit de rhésus négatif (noté Rh–). Un individu du groupe O et de rhésus négatif est appelé donneur universel. Toute personne de groupe AB et de rhésus positif est receveur universel.

Recopier et compléter le tableau ci-dessus.

a. On choisit une personne au hasard dans la population. Quelle est la probabilité que cette personne soit – donneur universel ?

– receveur universel ?

– du groupe B sachant qu’elle est rhésus négatif ?

– de rhésus positif, sachant qu’elle est du groupe A ? b. On sait que 84,9 % de la population a la caractéristique Rh+ et que les autres individus possèdent le caractère Rh–.

iti

– Quelle est la probabilité qu’un ménage soit constitué d’un homme Rh+ et d’une femme Rh– ?

Prédire le sexe de l’enfant attendu… Des relevés statistiques sur plusieurs années ont montré une stabilisation de la fréquence de naissances de filles (48,65 %) et de naissances de garçons. Utiliser ces données pour calculer la probabilité qu’une famille de trois enfants compte : a. exactement un garçon ; b. au moins un garçon ; c. au moins un enfant de chaque sexe.

s’exercer et approfondir

– Dans les ménages où l’homme est Rh+ et la femme Rh–, il se produit, dans 8 % des naissances, des accidents qui nécessitent un traitement spécial du nouveau-né. Déterminer la probabilité qu’un nouveau-né quelconque doive subir ce traitement.

127

iti

Ed s N

Table des matières

Avant propos

Comment utiliser ce manuel ?

IV VI

Sommaire VIII Approche graphique d’une fonction Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir

1 2 5 16

Comment représenter une fonction ?

Comment lire graphiquement un domaine ?

Comment décrire le sens de variation d’une fonction ?

Comment construire le tableau de variation d’une fonction ?

Comment résoudre graphiquement une équation ? S’exercer et approfondir

20 21

Statistique à une variable

Explorer et découvrir Structurer et retenir

38 44

Quel est le vocabulaire de base utilisé dans une étude statistique ?

Comment traiter des données très nombreuses ou des données dont le caractère est continu ?

Comment et pourquoi construire un diagramme des effectifs cumulés, des fréquences cumulées ?

1. 2. 3.

iti

Comment déterminer le mode, la classe modale ?

Comment calculer la moyenne arithmétique ?

Comment déterminer la médiane ?

Quelle valeur centrale choisir ?

Comment déterminer l’étendue ?

Comment déterminer l’intervalle interquartile, calculer l’écart interquartile ?

10. Comment calculer la variance et l’écart type ? S’exercer et approfondir

48 49

163

Statistique à deux variables

Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir

60 62 68

Comment déterminer une droite de régression par la méthode de Mayer ?

Comment déterminer une droite de régression par la méthode des moindres carrés ?

Comment déterminer le coefficient de corrélation ?

Ne pas confondre corrélation et causalité ! S’exercer et approfondir

70 71

Les suites et leurs applications

Explorer et découvrir Structurer et retenir Qu’est-ce qu’une suite ?

Comment reconnaître une suite arithmétique et utiliser les notations appropriées ?

Comment représenter une suite arithmétique dans un repère cartésien ?

Quelles sont les formules les plus utiles ?

Comment calculer rapidement la somme des termes d’une suite arithmétique ?

Comment reconnaître une suite géométrique et utiliser les notations appropriées ?

Comment représenter une suite géométrique dans un repère cartésien ?

Quelles sont les formules les plus utiles ?

Comment calculer la somme des termes d’une suite géométrique ?

11. Comment utiliser les suites géométriques lorsqu’il s’agit d’un intérêt composé ?

12. Comment calculer la durée ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

90 91 92

10. Comment utiliser les suites arithmétiques pour calculer l’intérêt simple ?

Évolution d’un capital

99 100 101

C omment calculer la valeur acquise, au moment du dernier versement, par une suite de versements égaux et équidistants à un taux donné ?

101

C omment calculer la valeur actuelle (une période avant le premier versement) d’une suite de versements égaux et équidistants à un taux donné ?

101

Quelles sont les différentes formes de crédit à la consommation ?

102

Comment calculer le montant des mensualités d’un financement ou d’un prêt personnel ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

103 104 106

iti

Explorer et découvrir Structurer et retenir 1.

164

78 85

Probabilité 109 Explorer et découvrir Structurer et retenir

110 116

Comment déterminer une probabilité expérimentale ou statistique ?

116

Comment déterminer une probabilité « a priori » ?

116

Comment déterminer la probabilité d’événements composés ?

117

Comment déterminer une probabilité conditionnelle ? Utiliser un logiciel S’exercer et approfondir

120 121 123

Croissance de fonctions

129 130 132 140

Comment majorer ou minorer un nombre d’un certain pourcentage ?

140

Comment combiner des taux d’accroissement sur plusieurs périodes ?

140

Comment déterminer le taux de croissance moyen ?

141

Comment décrire l’allure d’une fonction, repérer son mode de croissance ?

142

Comment examiner la croissance de quelques fonctions de référence ? S’exercer et approfondir

143 150

iti

Rassembler et réactiver Explorer et découvrir Structurer et retenir

165

iti

Ed s N