CQFD 1re - Livre-cahier - Extrait by VAN IN

Françoise VAN DIEREN - Giuseppe BIANCHI

Livre Cahier A4+4e_VanIn.qxp_CQFD 22/03/2018 12:00 Page1

Le manuel CQFD 1re contient la matière vue en classe de 1re année. Avec CQFD, acquérir les compétences en maths se fait via des activités et des résolutions de problèmes, simples, rapides et pratiques. Chaque chapitre est structuré selon le même schéma :

u L’exploration propose, sous la guidance de l’enseignant, des activités pour mener rapidement aux notions nouvelles et concepts qu’il faut apprendre.

LIVRE-CAHIER

u La synthèse consiste à articuler les références pratiques et théoriques. u Les exercices sont diversifiés et permettent à l'élève de s'entraîner, de transférer ce qui a été appris et de se préparer à une évaluation.

CQFD 1re, c'est également : CQFD 1re CORRIGÉ Le corrigé contient les notes méthodologiques et les solutions des explorations et des exercices du livre-cahier de 1re année.

De Boeck

ISBN : 978-2-8041-9317-1 572666

vanin.be

CQFD MATHS 1re

u Une mise en page structurée et en couleurs u La construction des savoirs se fait de manière guidée u Des savoirs et savoir-faire mis en lien avec le quotidien des élèves u De nombreux exercices, soit à compléter dans l’ouvrage, soit sous forme de Fiches d’exercices (dans un cahier séparé)

u L’introduction situe les apprentissages dans la réalité quotidienne ou culturelle et indique à l’élève ce qu’il faut apprendre.

Conception graphique : Primo&Primo

UNE COLLECTION DE MATHÉMATIQUES POUR L’ENSEIGNEMENT GÉNÉRAL, DE LA 1re À LA 6e, SOUS LA DIRECTION DE FRANÇOISE VAN DIEREN

Couverture : Primo & Primo Mise en pages : Softwin Crédits photographiques : © Magali Parise (p. 2), Vladimir Wrangel (p. 2), Radu Razvan (p. 10), Jeffery Kaufmann (p. 20), Laurent Thiébault (p. 56), ArchMen (p. 147 m), Mckryak (p. 74), Yegor Korzh (p. 75), Gabriela (p. 76 ht), Paul Laroque (p. 76 m), Emanelda (p. 76 bas), Remzi (p. 29), Guy Marchand (p. 101), Alexandre (p. 104), Innovari (p. 106 g), DM7 (p. 106 d), Melisback (p. 115), Dudarev Mikhail (p. 116), Vanessa (p. 125), The Roadrunner (p. 147 g), Sever180 (p. 147 m), Franck Boston (p. 147 d), Photo Passion (p. 148), Delphimages (p. 157), EyeMark (p. 167), Dinostock (p. 167 h), Celeste Clochard (p. 168 m), Dariusz Kopestynski (p. 172 ht), CPJ Photography (p. 172 bas), Ettocecco (p. 172 b), Robert Wilson (p. 173 ht), Kavita (p. 178), Jake Hellbach (p. 180), DannyBayne (p. 185), Robynmac (p. 190), tsach (p. 193), Hervé Rouveure (p. 195), Boulevard (p. 198), Shutterbas (p. 200 h), Lapidus (p. 214 ht g), Yaskii (p. 214 ht d), Philipus (p. 214 bas g), Papajka (p. 214 bas d).

© Éditions VAN IN, Mont-Saint-Guibert – Wommelgem, 2015, De Boeck publié par VAN IN Tous droits réservés. En dehors des exceptions définies par la loi, cet ouvrage ne peut être reproduit, enregistré dans un fichier informatisé ou rendu public, même partiellement, par quelque moyen que ce soit, sans l’autorisation écrite de l’éditeur. 2e édition – 2e réimpression 2018 ISBN 978-2-8041-9317-1 D/2015/0074/232 Art. 572666/03

Avant-propos

Lorsqu’on arrive au bout d’une démonstration, on écrit : CQFD (« Ce Qu’il Fallait Démontrer ») ! Faire des mathématiques, c’est s’appuyer sur des arguments pour Démontrer, mais pour aussi

CQFD , c’est

Découvrir, Discuter, Décrire, Définir, Développer, Dessiner…

En première année du secondaire, la formation au raisonnement mathématique s’appuie sur un enchainement logique des contenus et sur l’élaboration réfléchie d’énoncés de référence. C’est pourquoi nous avons veillé à ce que le sens des apprentissages, leur progression, la façon dont ils s’articulent, soient perceptibles par les élèves. Chaque chapitre est un parcours, rythmé et balisé comme suit.

Un texte introductif situe brièvement les nouvelles notions dans le paysage des connaissances familières de l’élève, dans les contextes où ils servent, dans l’histoire des mathématiques. Chaque introduction est illustrée par un logo : une spirale qui articule « ce qui est déjà là » à « ce que l’on va apprendre », montre comment les notions s’enchainent, se déploient.

Des explorations organisent le travail autour de questions qui donnent du sens, installent des images mentales et conduisent à la synthèse. Une synthèse, sous la forme de questions-réponses, structure, précise et complète ce qui a été appris. Des exercices mobilisent et développent diverses compétences. Ils sont classés en trois catégories. – utiliser et s’entrainer, pour maitriser le langage et les notions, acquérir une habileté procédurale réfléchie.

– transférer ce qui a été appris pour affronter des questions qui requièrent de faire des liens, de prendre des initiatives.

– se préparer à une évaluation en répondant à des questions qui mobilisent l’ensemble des matières du chapitre. Les explorations, les synthèses et les exercices se prêtent à diverses méthodes d’enseignement. Selon les matières, les goûts et les difficultés des élèves, chaque enseignant peut aménager des temps :

iti

– de travail collectif qu’il anime,

– de préparations et d’exercices individuels, en classe ou à domicile, – de travaux de remédiation ou d’approfondissement.

La présentation de CQFD1 sous forme de livre-cahier permet à de jeunes élèves d’inscrire leur travail dans un contexte déjà structuré. Chaque page présente une unité de contenu et parfois de contexte, évitant ainsi le morcellement et la dispersion. Ce livre-cahier se prête tout autant à une certaine individualisation (dans le cadre par exemple, d’une pédagogie différenciée) qu’à un travail collectif piloté par l’enseignant qui sollicite la réflexion et l’imagination des élèves, favorise la communication. Nous souhaitons aux élèves de trouver, tout au long de l’année, un réel plaisir : celui de se « voir » penser, découvrir. Que dans le travail personnel, la richesse des échanges avec le professeur et les autres élèves, chacun acquière une confiance renouvelée dans son propre raisonnement ! Françoise Van Dieren Remerciements Madame Marie-Noëlle Peltgen, conseillère pédagogique, a suivi nos travaux et relu l’ensemble des chapitres. Ses remarques ont inspiré certains de nos choix. Madame Caroline Boland, enseignante à l’Institut Saint-Anne, Gosselies, a patiemment relu la première épreuve. Son regard aigu a permis quelques ajustements. Elles sont ici chaleureusement remerciées.

Avant-propos

III

Comment s’y prendre ?

L’ouvrage est structuré en 11 chapitres qui organisent chacun, une même succession d’activités.

iti

Lis attentivement l’introduction pour situer ce que l’on va apprendre.

En classe, avec le professeur et les autres élèves, tu découvres les nouvelles notions.

Comment s’y prendre ?

Explorer et découvrir

Synthèse

Étudie les questions de la synthèse pour pouvoir te débrouiller seul dans d’autres situations.

Utiliser et s’entrainer

Avec ces exercices, tu fixes l’essentiel et tu acquiers des outils pour devenir habile et précis.

Transfère les acquis pour résoudre des problèmes qui mobilisent les concepts dans des situations variées.

iti

Utiliser et s’entrainer

Ces exercices te permettent de revoir les notions, les procédures et les méthodes de résolution qui ont été travaillées au cours du chapitre.

Utiliser et s’entrainer

Comment s’y prendre ?

Sommaire

2. Diviseurs, multiples, puissances

4. Solides et objets de l’espace

3. Utiliser et écrire une formule

1. Situer les nombres

13 35 51 73

6. Additionner et retrancher des positifs, des négatifs

5. Découvrir de nouveaux nombres

7. Multiplier par un nombre positif, un négatif

8. Associativité, distributivité et calcul algébrique

111 129 147

10. Construire une expression algébrique et résoudre un problème

171

iti

9. Périmètres, aires et volumes

11. Proportionnalité, pourcentage, traitement de données

183

12. Des figures isométriques aux propriétés des figures planes 201

Sommaire

Utiliser et écrire une formule

Plusieurs siècles avant la naissance d’Eratosthène vivait à Crotone, près de Tarente, une communauté de disciples du célèbre Pythagore. À cette époque, le VIe siècle avant J.-C., le Sud de l’Italie et la Sicile étaient appelés la grande Grèce.

Les Pythagoriciens pensaient que les nombres pouvaient expliquer le monde qui nous entoure et avaient fait de l’étude des nombres, une véritable religion. Ils se sont intéressés aux nombres figurés qu’ils représentaient parfois par des cailloux.

iti

Avec le support de telles figures (nous remplacerons les cailloux par des carreaux !), nous allons apprendre comment construire un tableau de nombres, utiliser des lettres, construire et utiliser une formule.

Symboles

Tableaux de nombres

Chaines d’opérations Suites de figures

Priorité des opérations

Introduction

Explorer et découvrir Figure, tableau, formule

1 Voici une suite de figures constituées de carreaux coloriés.

Nombre de carrés rouges n Nombre de carrés verts v

1 ……

Analyse cette suite de figures en complétant le tableau suivant. 2

217

……

v = 2n + 1

En complétant le tableau, on constate que pour trouver le nombre v, il faut ajouter 1 au double du nombre n. On a traduit cela en écrivant la formule v = 2n + 1 dans la dernière case.

iti

2 Voici une autre suite.

Complète le tableau et écris une formule qui permet de calculer le nombre de carrés verts (v) quand on connaît le nombre de carrés rouges (n). Nombre de carrés rouges n Nombre de carrés verts v

3. Utiliser et écrire une formule

……

v = ……

Nombre de carrés rouges n

……

102

……

v = ……

Nombre de carrés verts v

3 Mêmes questions à propos des dessins suivants.

4 La formule qui correspond aux figures ci-dessous est v = (r − 6) ⋅ 2 , r étant un nombre naturel plus grand que 6. On peut vérifier cette formule à propos de chaque dessin.

Vérifie la formule pour

iti

le dessin B,

le dessin C,

le dessin D.

Dans le dessin A, r = 10 . On remplace donc r par 10 dans la formule. On a

v = (10 − 6) × 2 v = 4× 2 v =8 Ce qui est correct car il y a 8 carreaux verts dans la figure A.

Si r = 20 , que vaut v ? �� Si r = 30 , que vaut v ? �� Si r = 100 , que vaut v ? ��

Explorer et découvrir

5 Un nombre impair i s’obtient en ajoutant 1 à un nombre pair. Complète le tableau ci-contre.

6 Vrai ou faux ? Un multiple de 4 s’écrit 4 + n (avec n naturel).

Un multiple de 4 s’écrit 4n (avec n naturel).

...

Le nombre naturel qui précède le nombre naturel n s’écrit n – 1.

Le nombre naturel qui suit le nombre naturel n s’écrit n + 1.

Tout nombre qui vient juste après un multiple de 4 s’écrit 4n + 1 (avec n naturel).

Le nombre qui vient juste avant n + 1 est n – 1 (avec n naturel).

7 Nina colorie une rangée de carreaux rouges.

Elle colorie ensuite 4 rangées de carreaux verts, deux au-dessus, deux en dessous. À ce stade, le nombre de carrés verts est un multiple de 4.

iti

Ensuite encore 20 carreaux verts, dix à gauche et dix à droite. Maintenant le nombre de carrés verts est un multiple de 4 auquel on ajoute 20. Soit : n, le nombre de carrés rouges,

v, le nombre de carrés verts.

La formule pour calculer le nombre de carreaux verts est v = 4n + 20.

Si Nina part d’une rangée de 5 carreaux rouges, combien de verts sont nécessaires ? �� Si n = 6, que vaut v ? �� Si n = 12, que vaut v ? �� Si v = 100, que vaut n ? ��

3. Utiliser et écrire une formule

...

2n + 1

Compter les points

Voici un arrangement de points rouges et de points blancs.

iti

1 Dessine un arrangement qui comporte 5 points blancs.

2 La lettre b représente le nombre de points blancs et la lettre r représente le nombre de points rouges. Complète ce tableau.

Nbre de points blancs

Nbre de points rouges

10 41

b r=

3 Si tu dessinais un arrangement qui comporte 20 points blancs, combien y aurait-il de points rouges ? ��

4 Si un arrangement comporte 37 points rouges, combien y a-t-il de points blancs ? ��

Explorer et découvrir

Chaines d’opérations et priorité Complète

×3

– 22

....

–2

x–2

....

×x 33

....

3(x – 2)

Pour calculer la valeur numérique de 3 · (x – 2) pour x = 10, on effectue d’abord la soustraction qui est entre parenthèses, puis la multiplication.

....

3x – 2

Pour calculer la valeur numérique de 3x – 2 pour x = 10, on effectue d’abord la multiplication par 3, puis on soustrait 2.

×5

....

– 23

....

–3

....

Utilise les mêmes conventions pour compléter ces quatre chaines.

.... ....

....

iti

×x 35

au carré

x 10

× 23

....

×3

.... ....

3. Utiliser et écrire une formule

au carré

3x2

Pour calculer la valeur numérique de 3x2 pour x = 10, on effectue d’abord la puissance, puis on multiplie par 3.

....

(3x)2 ....

Pour calculer la valeur numérique de (3x)2 pour x = 10, on effectue d’abord la multiplication qui est entre parenthèses, puis la puissance.

Tableaux et formules Complète ces tableaux. Formule t = 4n + 2

Formule t = 2n3

Formule t = 3n – 2

…

331

…

2000

…

604

…

250

…

4n + 2

VA n

…

Formule t = 3(n – 2)

Formule t = 4(n + 2)

Formule t = (2n)3

…

333

…

1000

…

100

…

603

…

8000

…

iti

Explorer et découvrir

Calcul numérique et priorité des opérations 1 Voici cinq expressions littérales et cinq nombres. Relie chaque expression à sa valeur. Si a = 2 et b = 5

Si a = 1 et b = 7

• 13

b + 3a •

• 101

b2 + 3a •

• 11

b2 + 3a •

• 52

2b2 + 3

•

• 37

2b2 + 3

•

• 4

3a2 + 1

•

• 53

3a2 + 1

•

• 10

b2 + 3a2 •

• 31

b2 + 5a2 •

b + 3a •

• 54

Si a = 5 12 + 11a

12 + 11a2

5(a + 1)2

11 + 3a

iti

5a + 11

Si a = 7

5(a + 11)

2 Calcule la valeur numérique de chaque expression pour a = 5, puis pour a = 7.

5a2 + 11 11 + 3a2

3 Les nombres a et b sont liés par la formule b = 100 – 6 a (a étant un nombre naturel compris entre 1 et 10 inclus). a) Quelle est la plus grande valeur de b ? �� b) Quelle est la plus petite valeur de b ? ��

3. Utiliser et écrire une formule

Synthèse 1

Comment analyser une suite de figures pour découvrir une formule ?

Exemples Voici un arrangement de perles bleues et de perles jaunes. On cherche comment calculer le nombre de perles jaunes quand on connait le nombre de bleues. En observant le dessin, on voit qu’il faut multiplier le nombre de perles bleues par 4, puis ajouter 20 perles. Si on appelle n le nombre de bleues et j le nombre de jaunes,

la formule est

j = 4n + 20.

S’il y a 120 perles jaunes, combien de bleues ?

Pour trouver n quand on connait j, il faut « remonter la chaine d’opérations » : d’abord retrancher 20, puis diviser par 4.

Voici un arrangement de carrés et d’octogones.

On cherche comment calculer le nombre de carrés quand on connait le nombre d’octogones. On appelle n le nombre d’octogones et c le nombre de carrés.

iti

En se référant aux figures, on construit un tableau qui met en relation ces deux nombres. n

n+1

On observe que c est toujours un multiple de 3 auquel on ajoute 1.

Synthèse

SY9

omment s’y prendre pour calculer la valeur numérique d’une expression C qui comporte plusieurs opérations ?

3.1. Priorité des opérations Par convention, les opérations placées dans les parenthèses doivent être effectuées avant les autres. Afin d’éviter une surcharge de parenthèses, on convient : 1) que les multiplications doivent être effectuées avant les additions. 2) que les puissances doivent être effectuées avant les multiplications.

Exemples Pour a = 10 5 ( 2 + a ) = 5 × 12 = 60

3 + 5a = 3 + 5 × 10 = 53

5 2 + a2 = 5 × 102 = 510

(5a)2 = 502 = 2 500

( 3 + 5) a = 8 × 10 = 80

3 + 5a3 = 3 + 5 × 1 000 = 5 003

a + 7 2 + a2

(

)

= 10 + 7 ( 2 + 100 )

on iti Ed SY10

3. Utiliser et écrire une formule

)

= 30 + 5 (1 + 1 000 ) = 30 + 5 × 1 001 = 30 + 5 005 = 5 035

= 10 + 7 × 102 = 10 + 714 = 724

(

3a + 5 1 + a3

)

(

5a3 = 5 × 1 000 = 5 000

Utiliser et s’entraîner 1 Le nombre n étant un nombre naturel, indique si l’énoncé est vrai ou faux. S’il est vrai, illustre-le par deux exemples. S’il est faux, cite un contre-exemple. g = 5 × 2 × 3 × n est divisible par 60

b = 4n + 8 est un multiple de 4

h = 3n + 3 est divisible par 3

c = 4n + 3 est un nombre pair

i = 10n est divisible par 5

d = 10n + 3 se termine par 3

j = 5n est divisible par 10

e = n + 5 se termine par 5

k = 5n – 1 est un multiple de 5 auquel on a soustrait 1

f = 3n est divisible par 3

l = 10n + 1 est un nombre qui se termine par 1

a = n + 4 est un nombre pair

2 Soit la formule w = 5b – 6.

Si b = 4, que vaut w ? �� Si b = 8, que vaut w ? ��

3 Si b = 1

z = ��

a = 10 + 2b

a = ��

t = 3b + 4

t = ��

iti

q = ��

q = 12 + 4b

z = 6b + 1

4 a. Tous les nombres premiers a inférieurs à 100 vérifient-ils la formule

a = 6n ± 1 (avec n naturel non nul) ?

Examine la liste des nombres premiers (page SY4) et note tes observations.

b. Peut-on trouver des nombres du tableau qui vérifient la formule a = 6n ± 1 et qui ne sont pas premiers ? Si oui, écris-en deux.

Utiliser et s’entraîner

5 Calcule la valeur des expressions suivantes. Si a = 3

Si a = 10

12 + 11a 5(a + 11) 5a + 11 11 + 3a

12 + 11a2 5(a + 1)2

5a2 + 11

11 + 3a2

6 Complète ces tableaux.

…

iti

…

100

…

100

…

604

…

5n – ….

…

3n+…

Formule t = ...................................

3. Utiliser et écrire une formule

Formule t = ...................................

7 Voici quatre formules et quatre configurations (A, B, C et D). La lettre e représente le nombre d’étoiles

et la lettre n, le nombre de carrés.

e = 2n + 4

e = 2n + 2

e = 2n + 1

e = 2n – 6

Calcule e pour n = 3

Calcule e pour n = 2

Calcule e pour n = 1

Calcule e pour n = 4

��

Nom de la configuration Nom de la configuration Nom de la configuration Nom de la configuration correspondante : correspondante : correspondante : correspondante : ��

��

Calcule e pour n = 7

Calcule e pour n = 17

Calcule e pour n = 20

Calcule e pour n = 10

��

iti

Utiliser et s’entraîner

8 Complète le tableau. Écris une formule qui permet de calculer le nombre

d’hexagones blancs (b) quand on connait le nombre de verts (n).

Nombre d’hexagones verts n

Nombre d’hexagones blancs b

1 2 3

4 5

Formule : ��

iti

9 D’après le premier dessin, trouve la formule qui permet de calculer le nombre de carreaux blancs (b) quand on connait le nombre de verts (n).

Vérifie cette formule pour n = 3, puis pour n = 5.

3. Utiliser et écrire une formule

Transférer 10 Voici une suite de dessins. Pour passer de l’un à l’autre, on

trace des segments perpendiculaires aux extrémités et on prolonge chaque extrémité. Le premier dessin comporte deux extrémités, le second en a 4. Les dessins engendrés de cette façon sont appelés des « fractales ».

Numéro du dessin n

Nombre d’extrémités e

22 = 4

Complète le tableau ci-contre.

3 4

5 6

(1)

(2)

(3)

11 La locomotive d’un train-marchandise possède huit roues et chaque wagon en a quatre.

Complète ce tableau.

iti

On appelle n le nombre de wagons et r le nombre de roues.

Quelle est la formule qui permet de calculer r quand on connait n ? �� Combien y a-t-il de roues quand il y a 12 wagons ? ��

Utiliser et s’entraîner

12 Sur le dessin en perspective d’un cube ou d’une pile de cubes, on ne voit

que certaines faces.

Nombre de cubes (n)

Nombre de faces vues ( f )

…

Complète ce tableau.

Écris une formule qui permet de calculer le nombre de faces vues ( f ) quand on connaît le nombre de cubes (n).

��

13 Voici une suite de dessins. Le premier comporte 3 triangles

rouges, le deuxième en comporte 9, le troisième 27, etc.

iti

En supposant que l’on poursuive avec la même règle, complète le tableau ci-contre.

Numéro du dessin n

Nombre de triangles rouges r

32 = 9

3 4 5 6 7

Écris une formule qui permet de calculer le nombre de triangles rouges r quand on connaît le numéro du dessin n.

3. Utiliser et écrire une formule

14 Chaque pile de la figure contient une rangée de plus que la précédente.

N° de la pile

Nombre de carrés

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = ...

1 + 2 + 3 + 4 = ...

...

Comment prévoir combien il y aura de carrés dans la 10 pile ?

Complète le tableau ci-contre.

��

...

Les nombres 1, 3, 6, 10, 15 21, ... furent appelés « nombres triangulaires » par les mathématiciens grecs de l’Antiquité. Ils avaient découvert une formule pour calculer très rapidement de telles sommes.

Cette formule repose sur l’observation du rectangle ci-contre qui contient deux fois le 5e nombre triangulaire : une fois à l’endroit, une fois à l’envers.

Ce rectangle contient 5 rangées de 6 carreaux chacune. Ainsi, le double du 5e nombre triangulaire vaut 30.

Utilise cette idée :

– Pour calculer le 20e nombre triangulaire.

��

iti

– Pour le 50e.

�� Établis une formule pour calculer le ne nombre triangulaire. ��

Utiliser et s’entraîner

Se préparer à une évaluation 1 Que vaut b lorsque a = 9 dans chacune de ces formules ? 20 – a = b

3a – 8 = b

100 – 8a = b

2a – 10 = b

a–9=b

12a – 8 = b

…

2 Complète ces tableaux.

…

330

…

147

…

600

…

300

…

102

5(n – 3)

3n2

5n + 2

iti

3 La lettre e représente le nombre d’étoiles et la lettre n le nombre de carrés.

Entoure la formule qui correspond à cette configuration.

e=n+3 e = 2n + 3 e=n+6 e = 2n + 6

3. Utiliser et écrire une formule

Table des matières

Avant-propos III Comment s’y prendre ?

Sommaire VI Situer les nombres

Introduction 1 Explorer et découvrir

Synthèse SY1 SY1

2. Comment tronquer ou arrondir un nombre ?

SY1

3. Comment placer une fraction sur la demi-droite des nombres ?

SY2

4. Comment construire et utiliser un repère à deux dimensions sur une feuille quadrillée ? Utiliser et s’entraîner

SY2 7

1. Comment construire et utiliser la demi-droite des nombres ?

Diviseurs, multiples, puissances

Introduction 13

iti

Explorer et découvrir

Synthèse SY3 1. Comment utiliser les mots « multiple » et « diviseur » ?

SY3

2.1 Multiple et diviseur SY3

2. Qu’est-ce qu’un nombre carré, une racine carrée ?

SY4

3. Qu’appelle-t-on « nombre premier » ?

SY4

2.2 Nombre premier SY4 Utiliser et s’entraîner 19 Explorer et découvrir

Synthèse SY5 4.

Comment savoir si deux nombres sont « premiers entre eux » ?

SY5

2.3 Nombres premiers entre eux SY5 5.

Quelles sont les propriétés qui permettent de savoir si un nombre est multiple ou diviseur d’un ou plusieurs autres nombres ?

SY5

2.4 Un nombre en divise deux autres SY5 6.

Quels sont les caractères de divisibilité les plus utiles ?

SY6

2.5 Caractère de divisibilité par 2 et par 5 SY6

Table des matières

227

2.6 Caractère de divisibilité par 4 et par 25 SY6 2.7 Caractère de divisibilité par 8 et par 25 SY6 2.8 Caractère de divisibilité par 3 et par 9 SY6 7.

Comment décomposer un nombre naturel en facteurs premiers ?

SY7 SY8

8. Puissances

2.9 Puissance à exposant naturel SY8 Utiliser et s’entraîner 27

Utiliser et écrire une formule

Introduction 35 Explorer et découvrir

Synthèse SY9 1.

Comment analyser une suite de figures pour découvrir une formule ?

Comment s’y prendre pour calculer la valeur numérique d’une expression qui comporte plusieurs opérations ?

SY9 SY10

Solides et objets de l’espace

3.1. Priorité des opérations SY10 Utiliser et s’entraîner 43

Introduction 51 Explorer et découvrir

Synthèse SY11 Qu’est-ce que la perspective parallèle, la perspective cavalière ?

SY11

Comment reconnaître un prisme ?

SY11

4.1. Prisme SY11 Comment reconnaître une pyramide ?

SY12

4.2 Pyramide SY12 4.

Comment utiliser les instruments de dessin ?

SY13

4.4 Unicité de la parallèle

SY13

Comment dessiner un cube en perspective parallèle ? Utiliser et s’entraîner

SY14 57

iti

4.3 Unicité de la perpendiculaire SY13

Explorer et découvrir

Synthèse SY15

Comment imaginer un solide à partir de son développement ?

SY15

Comment réaliser plusieurs vues d’un même objet ?

SY16

Utiliser et s’entraîner

Explorer et découvrir

Synthèse SY17 8. 9.

Comment déterminer et désigner les objets de l’espace ?

SY17

Quels sont les énoncés utilisés dans les constructions planes ?

SY20

4.5 Énoncés fondamentaux de la géométrie plane SY20 10. Dans l’espace, comment situer les droites les unes par rapport aux autres ? Utiliser et s’entraîner

228

Table des matières

SY20 71

Découvrir de nouveaux nombres

Introduction 73 Explorer et découvrir

Synthèse SY21 1.

Comment situer les nombres négatifs ?

SY21

Qu’est-ce que la valeur absolue d’un nombre ?

SY21

5.1 Valeur absolue SY21 5.2 Nombres opposés SY21 3.

Comment ordonner et comparer des positifs et des négatifs ?

SY21

Comment désigner les ensembles de nombres ?

SY22

Utiliser et s’entraîner

Additionner et retrancher des positifs, des négatifs

5.3 Ensembles de nombres SY22 77

Introduction 85 Explorer et découvrir

Synthèse SY23 Comment ajouter ou retrancher un nombre positif, un nombre négatif ?

SY23

6.1 Règle d’addition SY23 6.2 Règle de soustraction SY23 2.

Comment calculer la valeur numérique d’une expression littérale ?

SY23

Quelles sont les propriétés de l’addition et de la soustraction de deux nombres ?

SY24

6.3 Commutativité de l’addition SY24 6.4 Non commutativité de la soustraction SY24

6.5 Élément neutre pour l’addition SY24 6.6 Élément neutre pour la soustraction SY24 6.7 Nombres opposés SY24

iti

Utiliser et s’entraîner

Multiplier par un nombre positif, un négatif

111

Introduction 111 Explorer et découvrir

112

Synthèse SY25

Comment multiplier un nombre par un positif, par un négatif ?

SY25

7.1 Règle des signes d’un produit SY25

Quelles sont les propriétés de la multiplication de deux nombres ?

SY26

7.2 Commutativité de la multiplication SY26 7.3 Elément absorbant SY26 7.4 Elément neutre SY26 7.5 Multiplication par −1 SY26 3.

Comment situer les points qui correspondent à la formule y = – 2x ? SY27

Comment calculer la valeur numérique d’une expression littérale ? Utiliser et s’entraîner

SY28 117

Table des matières

229

Associativité, distributivité et calcul algébrique

129

Introduction 129 Explorer et découvrir

130

Synthèse SY29 1.

Quelles sont les propriétés qui permettent d’additionner plusieurs nombres ?

SY29

8.1 Associativité de l’addition SY29 2.

Quelles sont les propriétés qui permettent de multiplier plusieurs nombres ?

SY29

8.2 Associativité de la multiplication SY29 8.3 Signe du produit de plusieurs facteurs SY30

Comment multiplier un produit par – 1 ?

SY30

8.4 Opposé d’un produit

SY30

Comment réduire l’écriture littérale d’un produit ?

SY30

8.5 Réduire un produit SY30 5.

Comment déterminer le signe d’une puissance ?

SY30

8.6 Signe d’une puissance SY30 Utiliser et s’entraîner

Explorer et découvrir

135 138

Synthèse SY31 6.

Comment multiplier une somme par un nombre ?

SY31

8.7 Distributivité de la multiplication pour l’addition SY31 7.

Dans une somme, comment mettre un facteur commun en évidence ?

SY32

Dans une somme algébrique, comment réduire les termes semblables ?

SY32

Utiliser et s’entraîner

8.8 Termes semblables SY32

Périmètres, aires et volumes

141

147

Introduction 147

iti

Explorer et découvrir

148

Synthèse SY33 Comment illustrer les propriétés et les règles de calcul algébrique par une figure géométrique ?

SY33

Comment illustrer les règles de calcul avec des fractions par une figure géométrique ?

SY34

Utiliser et s’entraîner

155

Explorer et découvrir

160

Synthèse SY35

Comment calculer le périmètre d’une figure ?

SY35

Comment calculer l’aire d’une figure usuelle ?

SY35

Comment calculer l’aire d’un polygone quelconque ?

SY36

Comment calculer le volume d’un prisme droit, d’un cylindre ?

SY36

Utiliser et s’entraîner

10. Construire une expression algébrique et résoudre un problème

163

171

Introduction 171 Explorer et découvrir

230

Table des matières

172

Synthèse SY37 1.

Comment construire une expression littérale, une formule ?

SY37

Qu’est-ce qu’une équation ?

SY37

10.1 Notion et vocabulaire SY37 3. 4.

Comment résoudre une équation ?

SY38

Comment résoudre un problème par une équation ?

SY38 175

Utiliser et s’entraîner

11. Proportionnalité, pourcentage, traitement de données

183

Introduction 183 Explorer et découvrir

184

Synthèse SY39 Qu’est-ce qu’un tableau de proportionnalité ?

SY39

11.1 Tableau de proportionnalité SY39 Comment calculer une quatrième proportionnelle ? 11.2 Quatrième proportionnelle 3.

Comment utiliser l’échelle d’une carte ou d’un plan ?

SY40 SY40

SY40

Utiliser et s’entraîner Explorer et découvrir

11.3. Échelle d’une carte ou d’un plan SY40 187 190

Synthèse SY41 4.

Comment prendre p % d’une grandeur ?

SY41

11.4 Calculer un pourcentage SY41 Comment transformer un rapport en un pourcentage et réciproquement ?

SY41

11.5 Exprimer le rapport entre deux nombres en % SY41 6.

Comment passer d’un pourcentage à une mesure d’angle (ou le contraire) pour construire ou pour utiliser un diagramme circulaire ?

SY42

11.6 Convertir la mesure d’un secteur angulaire en % du disque SY42 Comment représenter des données statistiques par un diagramme en bâtons ?

SY43

Comment représenter des données statistiques par un diagramme évolutif ?

SY44

iti

Utiliser et s’entraîner

12. Des figures isométriques aux propriétés des figures planes

195

201

Introduction 201 Explorer et découvrir

202

Synthèse SY45

Comment reconnaître, construire et caractériser une translation ?

SY45

12.1 Image par une translation SY45 2.

Comment reconnaître, construire et caractériser une symétrie orthogonale ?

SY45

12.2 Image par une symétrie orthogonale SY45 3.

Comment reconnaître, construire et caractériser une symétrie centrale ?

SY45

12.3 Image par une symétrie centrale SY45 4.

Quels sont les invariants d’une translation ?

SY46

12.4 Invariants de la translation SY46

Table des matières

231

Quels sont les invariants d’une symétrie orthogonale ?

SY46

12.5 Invariants de la symétrie orthogonale SY46 6.

Quels sont les invariants d’une symétrie centrale ?

SY46

12.6 Invariants de symétrie centrale SY46 7.

Comment reconnaître une rotation ?

SY47

Comment construire ou mesurer un angle ?

SY47

Comment construire un hexagone régulier à la règle et au compas ?

SY48

10. Comment construire un angle de 60°, un triangle équilatéral à la règle et au compas?

SY48

Utiliser et s’entraîner

209

Explorer et découvrir

217

Synthèse SY49 11. Quelles sont les droites remarquables d’un triangle ? 12. Quelles sont les propriétés du triangle isocèle?

SY49 SY49

12.7 Propriétés du triangle isocèle SY49 SY50

14. Comment relier les propriétés du rectangle, du losange et du carré aux invariants de la symétrie orthogonale ?

SY50

15. Comment enchainer les définitions des quadrilatères ?

SY50

13. Comment relier les propriétés du parallélogramme aux invariants de la symétrie centrale ?

12.8 Définitions et propriétés des quadrilatères SY50 16. Comment construire la médiatrice d’un segment à la règle et au compas ?

SY51

17. Comment construire la bissectrice d’un angle à la règle et au compas ?

SY51

18. Comment utiliser le compas pour reporter un angle et construire des angles adjacents ?

SY52

iti

Utiliser et s’entraîner

12.9 Angles adjacents, supplémentaire, complémentaires SY52

232

Table des matières

219

iti

Annexe

233