AÑO 6 No. 29 Febrero de 2017
CONTENIDO 1. Premio UPSA - ANCB-SC de Ciencias 2016 Dra. Wendy Townsend 2. Validación numérica del Modelo Civan de desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en testigos de roca 3. Conversatorio “Disponibilidad del recurso agua en Santa Cruz de la Sierra”
Premio UPSA - ANCB-SC de Ciencias 2016 Dra. Wendy Townsend Momento Histórico para la Ciencia en Santa Cruz, en el que hoy nos encontramos y en el que se concreta la construcción de un nuevo eslabón en la cadena de acciones que lleva a cabo la ANCB-SC, el Premio UPSA - ANCB-SC de Ciencias, en busca de Promover, Reconocer y Difundir la Contribución Científica y los Logros alcanzados por Investigadores, Intelectuales, Académicos y Profesionales en esta tierra de cooperación y de trabajo sin par. Una de las personalidades científicas propuestas, entre varias, al premio UPSA-ANCB-SC de Ciencias que se otorga este año, por vez primera, es la Dra. Wendy Townsend.
* Los artículos publicados en el boletín son de entera responsabilidad de los autores y no expresan en ninguna forma la posición de la ANCB-SC sobre el tema.
ACADEMIA NACIONAL DE CIENCIAS DE BOLIVIA DEPARTAMENTAL SANTA CRUZ (ANCB-SC) INFORMACIÓN GENERAL: CONSEJO EDITORIAL: Acad. Francisco García G. Acad. Victor Hugo Limpias O. Acad. Gastón Mejía B. Acad. Marcelo Michel V. Acad. Alcides Parejas M. Acad. Marión K. Schulmeyer D. Acad. Carmen Rosa Serrano N. Acad. Mario Suárez R. Acad. Herland Vaca Diez B. EDICIÓN: Diseño gráfico: Yoshimi Iwanaga Edición Financiada por la Fundación Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra - UPSA DIRECCIÓN ANCB-SC: Fundación Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra - UPSA Av. Paraguá y 4to. Anillo Tel.: +591 (3) 346 4000 int. 285 Fax: +591 (3) 347 5408 gastonmejia@upsa.edu.bo franciscogarcia@cotas.com.bo
Las instituciones científicas proponentes, de tan distinguida investigadora, lo hacen en mérito a su vasta experiencia científica como Bióloga, que se materializa, una vez más, en esta oportunidad, en una investigación de primer orden que ella misma define como fascinante, con su estudio sobre las Abejas Nativas de Santa Cruz. El proyecto se enmarca en su labor tesonera y exitosa de fusionar el conocimiento científico y el saber local y en su aporte al desarrollo Humano realizado durante más de 20 años, logros que la hicieron merecedora a que el programa UPSA ANCB-SC le otorgue el premio de Ciencias 2016.
Cafés Científicos a lanzarse el 2017 b) La Promoción del conocimiento mediante el fomento de investigaciones, tarea que se inscribe en los grandes sectores de la cultura y de la Ciencia, acciones que han permitido, en sus 5 años de vigencia, lograr aportes valiosos en temas de interés científico y cultural como lo son la valoración de la Historia precolombina y del Arte Rupestre; el conocimiento científico adecuado de fauna y flora valiosa como es el caso de Marsupiales y Murciélagos, Bufeos, Parabas, Monos, Colibríes y Abejas así como Orquídeas y Palmeras; estudiar el factor Interculturalidad en la formación universitaria; la aplicación de lenguajes simbólicos en Hidrocarburos; las TICs y uso de Redes sociales; la arqueología (Samaipata, la cultura hidráulica de Moxos, el Peabiru) y la Paleontología; los Trasplantes Renales, la autopercepción de atributos personales de hombre y de mujeres. c) La Publicación de resultados de investigaciones mediante el Boletín Tesape Arandu en temas de Cultura y de Ciencias que se publica bimensualmente desde el año 2010 hasta el presente: 27 versiones publicadas y dos en imprenta.
Esta acción trascendente del programa se inscribe en una creciente actividad de la ANCBSC, iniciada en el año 2010, con el apoyo institucional de la UPSA, dedicada a apoyar al desarrollo y difusión del conocimiento en temas de la cultura y de la ciencia de interés e importancia para el Departamento de Santa Cruz y para sus habitantes, y que se efectiviza en:
d) La Organización de la Comunidad, al crear la Academia en Santa Cruz que cuenta hoy con 9 Académicos de Número, la constitución del Consejo de Investigaciones con más de 50 miembros y, a partir del 2017, la organización de asociaciones de personas interesadas en temas comunes como los Amigos del Peabiru a ser lanzado en el 2017 y los Capítulos de Investigadores en temas de determinación de normas y patrones.
a) Mecanismos de difusión como: Galileadas, (ciclo de conferencias científicas sobre temas de vanguardia).
e) La Interacción de investigadores entre si y con miembros de la comunidad, en talleres, simposios, conferencias y otros mecanismos.
Conversatorios sobre temas críticos para el Desarrollo del Departamento, instrumento que introdujo la ANCB-SC, hace dos años, y que una nueva versión del mismos tendrá lugar en la UPSA, el jueves 8 de diciembre sobre la disponibilidad del recurso agua para Santa Cruz Metropolitano.
He ahí las cinco columnas del accionar de la ANCB-SC: Promoción, Valoración, Publicación,Organización e Interacción. Estas acciones se inscriben en un proceso a nivel mundial con cambios rápidos en Ciencia y en Cultura donde: TESAPE ARANDU
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• Algo que hace uno o dos años fue una gran contribución de la ciencia, como la demostración de la existencia Bosón de Highs llamada la partícula madre, hoy es puesta en duda por la posibilidad de la existencia de otra partícula 6 veces más pesada. • Algo que postuló A. Einstein y era solo teoría, las ondas gravitacionales, recién se comprueba en el 2016 (100 años después). • Algo que nadie consideraba, que el neutrino tenga masa, se demuestra que si la tiene, en el transcurso del primer decenio del siglo XXI. • Algo que no se podía ni pensar, que en el planeta Tierra, hace 3.700 millones de años, ya hubieran existido microbios. • Algo que era ciencia ficción, el paso del homo sapiens, en línea con nuestros antepasados los Australopitecus Ramidus y Afarensis, a otras formas de Homo está en curso, hacia el homo Ciberneticus y, en algunos años, al homo Maquinus. • Algo que hace unos meses era impensable, que la globalización económica y política este cuestionada, hoy lo está. • Algo que hace pocos años, ni se consideraba como opción posible, hoy lo es: el internet de las cosas, los vehículos autodirigidos, la nanotecnología, la llegada de vehículos espaciales a Júpiter y a Plutón, la bioimpresora en 3D para construir órganos humanos y animales, hoy es realidad.
capacidad intelectual igual a la de los humanos y operados con la mente e integración del ser humano con su entorno mediante ventanas emergentes en nuestro campo visual; trasplante del cuerpo humano; lentes bionicos (reemplazan al cristalino); píldoras del ejercicio; inmunoterapia (eliminación de enfermedades neurodegenerativas como Alzheimer, Parkinson); ciudades inteligentes; retraso del envejecimiento con el control de las telomerasas, será realidad en los próximos cinco años. Estamos inmersos, por tanto, en una actividad sin tregua, en la que la comunidad cultural y científica de Santa Cruz se enfrenta con cambios apasionantes y sin límites locales y mundiales, que vamos encontrando en lo que llamo el Peabiru de la Ciencia, ese camino de ida y vuelta, de conocer nuestras raíces y de descubrir el futuro. En ese transitar hoy nos detenemos en esa contribución científica importante que nos deja la Dra. Wendy Townsend con su aporte científico y sus investigaciones, esperando que a partir de hoy, tengamos nuevas paradas, en los años por venir, para enriquecernos con las contribuciones logradas por otros científicos de esta tierra hermosa de gente trabajadora, positiva y hogareña. Felicidades Dra. Townsend.
Acad. Gastón Mejía Brown Presidente ANCB-SC
• Algo que cambiará la forma de vida del ser humano es el impacto de la tecnología que nos lleva a ordenadores con
Validación numérica del Modelo Civan de desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en testigos de roca 1. INTRODUCCIÓN El modelamiento y formulación del desplazamiento inmiscible en medios porosos, y las condiciones limite que le resultan aplicables, es un tópico de investigación continuo1,2,3. Buckley y Leverett4,5 desarrollaron la Ecuación de Avance Frontal donde el desplazamiento se asumía de tipo pistón al simplificar los efectos de la presión capilar durante el desplazamiento. Welge6 propuso mediante integración una solución analítica a esta ecuación, considerando un medio isotrópico y homogéneo unidimensional para flujo de tipo lineal, radial y esférico. La inclusión de la presión capilar en la formulación resulta en una ecuación diferencial parcial de segundo orden de tipo convección-difusión donde las dependencias entre las variables le confieren un comportamiento no lineal. 02
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Civan7 presentó una formulación para el desplazamiento inmiscible de fluidos dentro de un medio poroso donde la ecuación de continuidad macroscópica es obtenida por promediado del medio poroso y la formulación de flujo fraccional es extendida y generalizada para incluir un medio anisótropico y heterogéneo. En su forma unidimensional, la formulación asume el flujo horizontal de un fluido incompresible en un volumen poroso cilíndrico finito y limitado. Los procesos de desplazamiento inmiscible contemplan tanto los casos de imbibición y drenaje donde la fase mojante puede ser agua o petróleo. El fluido desplazante se inyecta en el medio poroso a un caudal constante, manteniendo constante la presión en la cara de salida, en una magnitud predefinida. Se asume que el flujo volumétrico del fluido desplazado y del fluido inyectado se comporta según
dictamina la forma extendida para flujo multifásico de la Ley de Darcy8, donde es incluido el concepto de permeabilidad relativa y la presión capilar. La presión del sistema se aproxima por aplicación de la formulación de Donaldson9,10 que modela la presión en un sistema bifásico, hecho que resulta conveniente pues permite el computo de una de las presiones por aplicación de la definición de presión capilar. Cuatro condiciones limite son necesarias para caracterizar el comportamiento del fenómeno de desplazamiento inmisicible. Una única condición límite para la cara de entrada por cuanto en este punto del medio poroso solo la fase inyectada se encuentra presente y tres condiciones límite para la cara de salida a fin de considerar las tres etapas del fenómeno: antes de la ruptura, después la ruptura y tras un tiempo infinito luego de la ruptura de la fase desplazante. Es cabalmente esta diferenciación en las condiciones límite en la cara de salida donde la formulación de Civan se distingue del resto, que contemplan una o dos condiciones solamente. El autor plantea la ventaja comparativa en precisión de resultados y la conveniencia de su formulación, afirmación que no se demuestra en su estudio y debe ser validado mediante implementación del modelo. 1.1. Objeto del Estudio El trabajo propuesto tiene por objetivo la investigación y la validación numérica del modelo Civan de desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en reservorios de petróleo. Un simulador numérico es diseñado con la forma discreta de la formulación de Civan y es implementado en el ordenador para aproximar el comportamiento de los experimentos comúnmente realizados en ambiente de laboratorio para el desplazamiento inmiscible de fluidos en testigos de roca. 1.2. Objetivos Son objetivos de la investigación propuesta: a) Caracterizar el modelo Civan de desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en reservorios de petróleo. b) Discretizar el modelo Civan mediante la aplicación del cálculo por diferencias finitas para expresarlo en una formulación que resulte computable por el ordenador. c) Aplicar métodos numéricos iterativos para el tratamiento de la ecuación diferencial parcial no lineal que modela el transporte en el medio poroso, presente en la formulación del modelo. d) Diseñar e implementar un simulador numérico para el cómputo la forma discreta y linear del modelo. e) Comparar los resultados del simulador con los resultados de estudios de desplazamiento inmiscible de fluidos realizados en ambiente de laboratorio. f) Determinar la precisión del modelo Civan para la generación de las curvas de saturación de fluido y de presión capilar. 1.3. Justificación La validación experimental del modelo de desplazamiento inmiscible de Civan requiere de la realización de una serie de
ensayos en laboratorio de desplazamiento bifásico sobre testigos de roca bajo diversas condiciones de inyección de fluido, a efectos de obtener los valores de las curvas de saturación antes, durante y después de la ruptura de la fase desplazante. Empero, la adquisición y el montaje del equipo de laboratorio necesario para efectuar estas pruebas resulta oneroso, así como su mantenimiento y la capacitación/contratación del personal especializado para su operación. Un enfoque práctico para evitar incurrir en estos costos, y efectuar una validación útil de la formulación propuesta por el modelo, es la implementación del mismo mediante su simulación numérica definida sobre la base de la forma discreta de sus ecuaciones constitutivas y aplicada sobre una representación geométrica finita del objeto de estudio, en este caso, el testigo de roca. Los simuladores numéricos basados en el ordenador son ampliamente empleados como medio para el tratamiento e implementación de los rigurosos modelos matemáticos que caracterizan el flujo multifásico por cuanto no se ven afectados por las limitaciones de los métodos de interpretación directa, particularmente susceptibles a error de medición y errores mecánicos. El empleo de métodos numéricos y de la simulación permite la aproximación de las pruebas de laboratorio para una rápida implementación de diversos escenarios, lo cual contribuye a alcanzar un entendimiento mejor del fenómeno físico y provee información que se complementa con los resultados de laboratorio. 1.4. Metodología La investigación se fundamenta en una revisión de los aspectos matemáticos que caracterizan al modelamiento del desplazamiento inmiscible de fluidos en un medio poroso. En esta revisión, el modelo planteado por Civan para el desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en reservorios de petróleo es caracterizado en una sola dimensión y discretizado mediante la aplicación del cálculo por diferencias finitas. La forma discreta de la formulación es expresada en una representación matricial tridiagonal para su cómputo en un ordenador por aplicación del algoritmo de Thomas. Las iteraciones Newton-Raphson11 son consideradas para el tratamiento de los términos no lineales de la ecuación diferencial parcial que modela el transporte en el medio poroso, conservando los criterios de estabilidad y convergencia mediante cómputo del número de Courant-Friedrich-Levy12. El algoritmo resultante, motor de cómputo del simulador numérico, es implementado empleando un lenguaje de programación de alto nivel. Se prové al simulador con entradas de datos obtenidas de los resultados de estudios de desplazamiento inmiscible de fluidos realizados en ambiente de laboratorio y publicados en la literatura científica especializada. El error relativo en los resultados obtenidos por simulación es calculado y se determina la precisión del modelo Civan para la generación de las curvas de saturación de fluido y de presión capilar; y la validez de las condiciones límite propuestas por el autor para modelar el comportamiento en la cara de salida del medio poroso. TESAPE ARANDU
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2. MODELOS MATEMÁTICOS CONSTITUTIVOS Se presenta la formulación de los modelos matemáticos adoptados para la simulación de las pruebas de laboratorio sobre testigos de roca, asi como sus características importantes. Asimismo, se describe la técnica de simulación numérica empleada y las ecuaciones utilizadas para la discretizacion del modelo bajo estudio. Finalmente, se presenta la forma discreta del modelo de desplazamiento inmiscible bifásico para los casos contemplados en el presente estudio. 2.1. Forma General del Modelo de Desplazamiento Bifásico Inmiscible de Civan Civan13 presentó una rigurosa formulación matemática para el desplazamiento bifásico de fluidos en un medio poroso, aplicando la formulación a la recuperación secundaria de petróleo por inyección de agua en reservorios petrolíferos. El modelo, dinámico en naturaleza, se enfoca en la determinación del perfil de saturación de agua como una función dependiente del espacio y del tiempo:
(E-1)
La condición límite generalizada para este modelo es dada por la expresión:
(E-2)
Los superíndices (+) y (-) denotan a la cara interna y externa del límite permeable. Para ambas ecuaciones, la variable t y el operador de divergencia indican la variabilidad y dependencia del modelo respecto del tiempo y del espacio. Sw denota la saturación de agua en la roca. El cambio en densidad está dado por la expresión:
(E-3)
El caudal de flujo del agua tiene la expresión:
Como consecuencia de estos supuestos, es posible realizar simplificaciones en el modelo general, llegando a una formulación sencilla de discretizar e implementar en el computador. Habiendo supuesto la homogeneidad e isotropía del medio poroso, la derivada de porosidad dependiente del tiempo de la ecuación (E-1) se cancela y tanto la porosidad como la permeabilidad absoluta se hacen constantes. De igual manera, el flujo horizontal asumido para la realización de la prueba de desplazamiento hace que el coeficiente de dispersión gravitatoria sea simplificado y eliminado de la formulación. La derivada parcial del flujo volumétrico dependiente del espacio también resulta cancelada por cuanto la condición de inyección establecida para el fluido desplazante es a caudal constante. Finalmente, la función derivada del flujo fraccional de agua puede ser expresada en términos de la saturación de agua por aplicación de la regla de diferenciación en cadena. El resultado de aplicar estas consideraciones al modelo original lleva a la expresión:
(E-6)
dónde la condición inicial está dada por: (E-4)
(E-7)
dónde el termino rw es la tasa de másica de agua perdida. El termino Fw denota la función de flujo fraccional de agua y está dada por la expresión:
dónde (Sw)* denota el valor de saturación de agua en el testigo de roca en condiciones iniciales. Respecto de las condiciones limite, éstas presentan una forma particular dependiendo del tipo de desplazamiento considerado: imbibición o drenaje.
Para el caso del proceso de drenaje, la condición límite en la cara de entrada del testigo de roca es dada por la ecuación:
(E-5)
La formulación provista por las ecuaciones precedentes es aplicable a un amplio rango de escenarios de prueba tanto en laboratorio como en simulación. 04
2.2. Forma Unidimensional del Modelo de Desplazamiento Bifásico Inmiscible Como fue expresado anteriormente, la primera etapa de validación de la formulación se hace con la forma simplificada del modelo donde se tiene únicamente dependencia en el tiempo y en una sola dimensión del espacio. Por ende, el desarrollo de la presente sección asume flujo unidimensional de fluidos incompresibles en un testigo de roca homogéneo e isotrópico, tanto para los casos de desplazamiento por imbibición y drenaje. El flujo se inicia por inyección de una fase a un caudal constante a efecto de desplazar la otra fase, saturando el volumen poroso al 100% en forma previa a la inyección de la fase desplazante. La presión se mantiene constante e igual a una atmósfera en la cara de salida del testigo de roca. Finalmente, para poder distinguir entre los casos de imbibición y drenaje y adoptar una convención para la fase considera desplazante y la fase que es desplazada, se define que el medio poroso es mojable al agua (hidrófilo).
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(E-8)
Esta expresión se obtiene por simplificación de la ecuación E-2 en vista de que el único fluido presente en la cara de entrada es el petróleo que es inyectado y, como consecuencia de esto, no existe flujo volumétrico alguno de agua y el flujo volumétrico de petróleo se corresponde directamente con el flujo de petróleo que es inyectado. Para el caso de las condiciones limite en la cara de salida, tres expresiones diferentes son consideradas para mejor modelar claramente tres periodos distinguibles de tiempo durante el suceso del fenómeno de desplazamiento inmiscible: previo a la ruptura, después de la ruptura y a inyección infinita de la fase desplazante. Esta diferenciación en las condiciones límite es conveniente para efectos del presente estudio por cuanto los datos calculados para el periodo de tiempo después de la ruptura podrán ser comparados con los reportados por estudios realizados en condiciones de laboratorio y a nivel experimental. Nótese también que, hasta el suceso del tiempo de ruptura del petróleo, el flujo de petróleo en la cara de salida es nulo por lo que el volumen de agua producida durante esta etapa es igual al volumen de petróleo que es inyectado en la cara de entrada del testigo de roca. Con esta consideración, es posible reformular la ecuación (E-2) para expresarla como se muestra a seguir:
(E-13)
Las condiciones límite en la cara de salida vienen dadas por las ecuaciones (E-14) a (E-16):
(E-14)
(E-15)
(E-16)
(E-9)
Una vez que la ruptura de la fase desplazante (petróleo en este caso) tiene lugar, y hasta el suceso de la inyección infinita, en la cara de salida se observa flujo simultaneo de agua y petróleo. En vista de ello, el balance volumétrico requiere que la suma del volumen del agua y del petróleo que son producidos debe ser igual al volumen de petróleo que es inyectado. De esta manera, la ecuación (E-2) puede ser formulada como se muestra en la ecuación (E-10) y respetando la condición de balance de materia establecida por la ecuación (E-11) complementaria:
(E-10)
(E-11)
Finalmente, al llegar el momento donde se observa la inyección infinita de la fase desplazante, el flujo de agua medido en la cara de salida es nulo debido a que la fase acuosa ha alcanzado su saturación irreducible y, como consecuencia, el balance volumétrico para ambas fases establece que el volumen de petróleo que es producido y medido en la cara de salida sea igual al volumen del petróleo que es inyectado en la cara de entrada del testigo de roca. Siendo así, la condición límite establecida por la ecuación (E-2) puede ser reformulada para adoptar la expresión que se muestra en la ecuación (E-12):
Para el caso donde el proceso de desplazamiento inmiscible es una imbibición, similar análisis puede ser conducido sobre la condición limite generalizada, ecuación (E-2), de modo que puedan ser deducidas las condiciones límite tanto para la cara de entrada como para la cara de salida del testigo de roca. El resultado se muestra en las ecuaciones (E-13) a (E-16) donde por simple inspección de los subíndices en las variables de viscosidad, velocidad de flujo y permeabilidad relativa es posible notar el cambio del petróleo por agua como la fase desplazante. La condición limite en la cara de entrada viene dada por la ecuación (E-13):
(E-12)
2.3. Análisis de Dependencias Funcionales en el Modelo de Desplazamiento Es importante notar que existe una relación de dependencia implícita presente en la formulación del modelo de Civan respecto de la saturación de agua (Sw), para la mayor parte de las variables que le constituyen. Aunque esta situación conduce a una no linealidad en los términos diferenciales, es conveniente por cuanto la dependencia en una única variable reduce significativamente la complejidad del cómputo, en particular, cuando éste se realizado por medio de un ordenador. Se presentan las variables con dependencia funcional respecto de la saturación de agua:
(E-17)
(E-18)
(E-19)
(E-20)
Cualquier otro término algebraico en la formulación del modelo de desplazamiento inmiscible dado por las ecuaciones (E-6) a (E-16) puede ser considerado como constante en vista de las TESAPE ARANDU
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consideraciones hechas para delimitar el problema bajo estudio: el flujo volumétrico de la fase inyectada se mantendrá constante durante el suceso del proceso de desplazamiento inmiscible y tanto las viscosidades de ambas fases se mantendrán constantes toda vez que el desplazamiento es un proceso isotérmico. De este modo la formulación del modelo resultante puede ser expresada como función dependiente únicamente de la magnitud de la saturación de agua.
La expresión formulada originalmente por Darcy14 fue deducida para su aplicación en un medio poroso donde solo una única fase homogénea se encontraba presente. Esta ecuación fue llevada a una forma generalizada para incluir los efectos gravitatorios:
El tratamiento de la no linealidad de la ecuación diferencial de transporte del modelo, ecuación (E-6), se presenta en la discusión de la técnica numérica empleada para la formulación discreta del mismo y su resolución (véase acápite 3.1).
Para describir el flujo simultaneo de dos o más fluidos en el medio poroso, es necesario extender el concepto de permeabilidad para incluir las nociónes de permeabilidad efectiva y permeabilidad relativa15,16,17. Para el caso de un sistema bifásico agua-petróleo, y manteniendo las mismas restricciones aplicadas al modelo de desplazamiento inmiscible, el flujo es descrito por las ecuaciones:
2.4. Modelo de Diferencial de Presión La selección de la formulación para el cómputo del perfil de presión se hace con base en las condiciones de flujo establecidas para el problema. Fueron asumidas condiciones de flujo inestable para el suceso de las pruebas de desplazamiento inmiscible donde el caudal de inyección es constante con una caída de presión a lo largo del testigo de roca y con la presión en la cara de salida fijada en una atmósfera, El modelo presentado por Donaldson et al, para la caracterización de la presión en un sistema bifásico, resulta apropiado bajo estas condiciones. Este modelo expresa la derivada de la presión de agua para flujo horizontal:
(E-21)
Considerando la relación entre el caudal (q) y el flujo volumétrico (v), es posible reformular la ecuación (E-21):
(E-22)
La determinación de la derivada de presión de petróleo no es necesaria por cuanto la presión capilar y la presión del agua son usadas para el computo del flujo volumétrico de petróleo. La diferencia de presión medida a lo largo del testigo de roca durante el suceso del desplazamiento inmiscible puede ser computada por integración directa de la ecuación (E-23):
(E-23)
El examen de las dependencias funcionales en este modelo permite inferir que la única existente es respecto de la saturación de agua, siempre bajo condiciones y limitaciones establecidas al inicio del problema. 2.5. Modelo de Flujo Volumétrico Multifásico La formulación adoptada para el modelo de flujo volumétrico multifásico viene dada por la forma extendida de la Ley de Darcy. 06
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(E-24)
(E-25)
(E-26)
Los vectores de flujo vw y vo de las fases inmiscibles fluyendo en el medio poroso son dependientes del diferencial de presión de la fase que movilizan. En un punto del espacio unidimensional, cuando ambas fases entran en contacto, se suscita una diferencia entre ambas presiones de fase, Po y Pw, a nivel de una interface de equilibrio curvada y referida como presión capilar. Esta presión capilar establece la relación entre la presión del petróleo y la presión del agua:
(E-27)
La presión capilar es comúnmente medida en condiciones de laboratorio mediante experimentos de inyección de mercurio o por centrifugación de muestras. Si esta información está disponible, entonces es posible despejar la presión del petróleo (Po) en la ecuación (E-27) y reemplazarla en la ecuación (E-26) a efectos de obtener una formulación dependiente únicamente en una sola presión de fase:
(E-28)
Para expresar la relación de dependencia existente entre la presión capilar y la saturación de agua, en la ecuación (E-28) precedente, la derivada parcial de la presión capilar respecto del espacio fue expandida empleado la regla de diferenciación en cadena. Ambas ecuaciones, (E-25) y (E-28), pueden ser también expresadas en la forma del flujo volumétrico total instantáneo (vt). Este flujo se computa por simple adición de los vectores de flujo existentes en un instante t de tiempo.
(E-29)
Si bien los flujos volumétricos de las ecuaciones (E-25), (E28) y (E-29) establecen el suceso del desplazamiento de fase, en la práctica y en el diseño de pruebas de laboratorio, el uso del caudal volumétrico es preferido por cuanto la medición del volumen inyectado y desplazado por unidad de tiempo resulta menos complejo en su implantación. En este estudio, se aplicó un caudal de inyección constante de la fase desplazante. Se presenta la relación entre el caudal y el flujo volumétrico.
(E-30)
La información de caudal volumétrico para ambas fases y para los casos de imbibición y drenaje es importante para el análisis cabal del proceso de desplazamiento inmiscible. Por ende, la magnitud del caudal volumétrico acumulado durante este proceso debe ser registrado. Al tratarse de valor acumulativo entre dos instantes de tiempo, la relación entre el flujo volumétrico y el caudal volumétrico acumulado es dada en la ecuación (E-31), donde el subíndice i denota a ambas fases (agua y petróleo):
(E-31)
El mismo principio empleado en la deducción de la ecuación (E29) puede ser aplicado para inferir el caudal volumétrico total (qt) y el caudal volumétrico acumulado total (Qt).
(E-32)
(E-33)
2.6. Análisis de Dependencias Funcionales en el Modelo de Flujo Volumétrico A partir de las ecuaciones (E-22) a (E-30) es posible identificar nuevas dependencias funcionales como resultado de las restricciones aplicadas al problema general. El flujo volumétrico de petróleo expresado en la ecuación (E-25) exhibe una dependencia con la saturación de agua, la permeabilidad relativa del petróleo, la presión capilar y la presión del agua. Por otra parte, el flujo volumétrico del agua de la ecuación (E-22) depende únicamente de su presión y de su permeabilidad relativa. Considerando las ecuaciones (E-17) a (E-20), es fácil inferir, por transitividad, que la dependencia de ambos flujos volumétricos existe solo para la saturación de agua y la presión de agua.
(E-34)
(E-35)
Una tercera dependencia de los flujos volumétricos, la dependencia respecto del tiempo, ya ha sido caracterizada y modelada por medio de las ecuaciones (E-6) a (E- 16), empleando el modelo de desplazamiento inmiscible de fluidos de Civan.
En lo que respecta a los caudales volumétricos y caudales volumétricos acumulados, presentados en las ecuaciones (E-30 a E-33), estas expresiones son exclusivamente dependientes del tiempo por cuanto las funciones de velocidad también lo son. Si consideramos que la saturación de agua es también una variable dependiente del tiempo, entonces era posible establecer una dependencia en términos de la saturación del agua y la presión del agua. En este punto, es evidente que el modelo de flujo volumétrico mulitfásico como un todo presenta una dependencia intrínseca con estas dos variables y, por esto, su cálculo está supeditado a la determinación previa de estas dos cantidades. La dependencia con la saturación de agua se resuelve por aplicación y cómputo del modelo de desplazamiento inmiscible presentado en las ecuaciones (E-6) a (E-16). La dependencia con la presión de agua es resuelta por aplicación del modelo de perfil de presión presentado en las ecuaciones (E-21) a (E-23). 3. MOLÉCULA DISCRETA PARA CÓMPUTO DEL MODELO La formulación del modelo de desplazamiento inmiscible bifásico consiste en una ecuación diferencial parcial parabólica de segundo orden, sujeta a cuatro condiciones límite que contienen términos diferenciales de primer orden18. Su tratamiento a nivel computacional requiere que dicha formulación sea llevada en su forma discreta a efecto de expresarla en una forma adecuada para su tratamiento numérico y posterior implementación en el ordenador. El cálculo por diferencias finitas19 es una herramienta conveniente para este propósito, siendo este esquema numérico el seleccionado para el presente estudio. La primera y segunda derivadas parciales de la dimensión espacial son discretizadas por aplicación de la forma central de diferencia finita, esquema adecuado no solo por exhibir un error aceptable de segundo orden sino porque requiere menor cantidad de términos de la función primitiva para la estimación del diferencial. Se presenta la forma discreta general de la primera y segunda derivadas parciales20.
(E-36)
(E-37)
La primera derivada respecto del tiempo21 es aproximada por una diferencia finito hacia atrás, en su expresión de primer orden de truncamiento.
(E-38)
Los subíndices denotan la dimensión espacial y los superíndices denotan la dimensión temporal. Una geometría de grilla centrada en bloque22 fue considerada en virtud al conveniente tratamiento que se hace de las condiciones límite para el flujo volumétrico, TESAPE ARANDU
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medido en las caras de entrada y salida del testigo de roca. Esto se aprecia mejor en la Figura F-1:
Figura F-1. Grilla de Simulación centrada en el bloque
Fue adoptado enfoque de solución implícito para la implementación de la solución, no solamente por el beneficio que supone su mayor estabilidad y rápida convergencia23, cuando se compara con los enfoques explícitos sino, también, por la naturaleza iterativa del enfoque que permite hacer un tratamiento adecuado de las tolerancias al error. Es necesario remarcar que el enfoque de solución implícito requiere de la selección de incrementos de tiempo discreto (□t) suficientemente pequeños para evitar la propagación de error que supone el empleo de una diferencia finita de primer orden de truncamiento en la forma discreta de la primera derivada parcial respecto del tiempo. Esta derivada es evaluada en tiempo de simulación futuro (t = n + 1), por lo que será incógnita hasta el suceso del cómputo de ese tiempo discreto en particular. En consecuencia, la forma discreta del modelo de desplazamiento inmiscible bifásico adoptar la forma de un sistema de ecuaciones algebraicas y es necesario seleccionar un método numérico de resolución para los puntos espaciales de la grilla adoptada para representar la geometría del testigo de roca. En el estudio presente el método numérico seleccionado es el propuesto por Thomas por cuanto la forma discreta final del modelo puede ser expresada como una matriz simétrica tridiagonal y la descomposición Cholesky24 en matriz LU que aplica el método de Thomas permite que la solución del sistema de ecuaciones sea eficiente en términos de tiempo y memoria principal. De esta forma, la molécula computacional implícita25 es la que se muestra en la Figura F-2.
Figura F- 2. Molécula Computacional Implícita
Nótese que Δt no necesariamente debe ser igual a Δx. 08
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3.1. Forma Discreta del Modelo de Desplazamiento Inmiscible Para la aplicación de la molécula computacional implícita en la discretización del modelo de desplazamiento bifásico inmiscible, es necesario llevarlo a una expresión reducida que minimice la complejidad del tratamiento algebraico. Para este efecto, las ecuaciones constitutivas del modelo son expandidas y reagrupadas para introducir dos coeficientes que llevan a la ecuación diferencial parcial a su forma parabólica general:
(E-39)
dónde y representan los coeficientes de pseudo advección y pseudo difusión, que se definen como:
(E-40)
(E-41)
Aplicando las ecuaciones E-36 a E-38 a la ecuación E-39, el sistema de ecuaciones algebraicas por diferencias finitas puede ser expresado en:
(E-42)
dónde N denota el número total de punto discretos en la grilla. La ecuación (E-42) puede ser reformulada para llegar a la expresión:
(E-43)
Cabe notar que, en la ecuación (E-40), D es una función de la saturación de agua por cuanto la ecuación (E-41) presenta el termino diferencial dPc/dSw. En vista de ello, esta derivada puede ser expresada como , por aplicación de la regla en cadena de diferenciación, y permite evidenciar la existencia del término diferencial que no es linear y resulta encubierto por la factorización realizada sobre la ecuación (E-6) y que origina al coeficiente de pseudo advección , ecuación (E-40). De esta forma, los productos y generan expresiones no lineales dependientes de la saturación de agua y con evaluación en tiempo futuro t = n + 1, aspecto que complica la discretización matemática al producir un sistema de ecuaciones no lineales cuyo tratamiento no podrá ser abordad a través del método de Thomas. Este problema es resuelto redefiniendo el tiempo evaluación de los coeficientes y para pasarlos de tiempo futuro a tiempo presente t = n. Al hacer esto, ambos coeficientes serán computados con los valores de saturación del
n-ésimo ciclo de simulación, y , y podrán ser tratados como constantes al momento de calcular el sistema de ecuaciones del n-ésimo subsiguiente ciclo. Bajo esta consideración, la ecuación (E-43) puede ser expresada como se muestra en las ecuaciones (E-44) a (E-48):
(E-44)
(E-45)
(E-46)
3.1.1. Forma Discreta para el caso de Drenaje Las condiciones límite para la cara de entrada y salida, en el caso de Drenaje, fueron presentadas en las ecuaciones (E-8) a (E-12) y ahora son expresadas en su forma discreta. En el espacio unidimensional discreto, la cara de entrada del volumen poroso se encuentra en la mitad de la distancia que separa el punto centrado en el bloque ficticio S0 y el punto centrado en el bloque ficticio S1 (Figura F-1). Esto hace que, en un dominio discreto, la cara de entrada se encuentre en la posición i = 1/2. La forma discreta de la ecuación (E-8) en este punto tiene la expresión:
(E-51a)
Acomodando términos se tiene:
(E-47)
(E-48)
En esta forma discreta del modelo, la simplificación aplicada estima el termino de segundo orden (Sn+1)2 con el producto SnSn+1. El error computacional introducido es reducido mediante iteraciones tipo Newton dentro de cada ciclo de tiempo, donde el error relativo entre el valor de saturación de agua tiempo presente y el valor de saturación tiempo futuro es reducido hasta alcanzar una magnitud inferior al 1%.
(E-51b)
Si se reemplaza la ecuación (E-51b) en la ecuación (E-50a), se tiene:
(E-52a)
Tras factorizar términos es posible deducir una expresión que caracterice el estado del sistema para la cara de entrada.
(E-52b)
(E-53)
(E-54)
(E-49)
Por cuanto el volumen poroso es dividido en una grilla unidimensional de N nodos (Figura F-1), la expresión de la forma discreta general del modelo de desplazamiento inmiscible (ecuación E-44) debe ser evaluada tanto para el nodo que representa la cara de entrada (i = 1) como para el nodo que representa la cara de salida (i = N), y ajustada a las condiciones límite presentadas en las ecuaciones (E-8) a (E-16). Evaluando la ecuación (E-44) para las caras de entrada y salida se obtiene:
(E-50a)
(E-50b)
En ambos casos se hace presente un nodo que queda fuera de la representación geométrica del volumen poroso del testigo de roca: el nodo S0 en la ecuación (E-50a) y el nodo SN+1 en la ecuación (E-50b). Estos nodos se corresponden con los nodos ficticios presentados en trazo segmentado en la Figura (F-1) y deben ser expresados en función de los nodos reales del modelo. La forma algebraica discreta de estos dos nodos es dependiente de la expresión de las condiciones límite del modelo y, dado que estas varían según el desplazamiento sea drenaje o imbibición, se presentará en el acápite correspondiente a cada caso.
Para la forma discreta de la cara de salida, es el punto en la mitad de la distancia entre el punto centrado del bloque SN y el punto centrado del bloque ficticio SN+1 el lugar que le corresponde dentro del espacio unidimensional. Esto hace que la cara de salida se encuentre en la posición i = N+1/2. En vista de ello, siguiendo procedimiento similar al presentado para la cara de entrada, es posible deducir la forma discreta de las ecuaciones (E-9) a (E-12). Una expresión común puede ser deducida para las tres condiciones límite, puesto que cada formula se diferencia de otra únicamente en los términos de flujo volumétrico presentes según el tiempo considerado. Se presenta la forma discreta del modelo para la cara de salida del volumen poroso.
(E-55)
(E-56) TESAPE ARANDU
09
(E-57)
La ecuación (E-57) contiene los términos de flujo volumétrico por cuanto considera la condición límite, expresada en las ecuaciones (E-10) y (E-11). Ambos flujos volumétricos incluyen en su formulación los términos de permeabilidad relativa (kri) y derivada de la presión capilar (dPc/dx), ambas funciones dependientes de la saturación de agua (Sw), que es la incógnita a resolver en el modelo. Sin embargo, por cuanto las ecuaciones (E-10) y (E-11) son aplicables en tiempo posterior a la ruptura (t > tb), es posible afirmar con certeza que existen valores de saturación de agua disponibles (de tiempo t = n) para el cálculo de ambos flujos (en tiempo t = n + 1). Con estas consideraciones, el modelo de desplazamiento inmiscible para el caso de drenaje presenta la forma discreta dada por la ecuación (E-58) y sujeta a la condición inicial dada por la ecuación (E-59):
(E-61a)
Para el caso del coeficiente de pseudo difusión, , siendo que las funciones dependientes de saturación expresadas en las ecuaciones (E-17) a (E-20) están disponibles en forma tabular y son conocidas, el cómputo es directo.
(E-61b)
3.1.2. Forma Discreta para el caso de Imbibición Las condiciones límite para el caso imbibición fueron presentadas en las ecuaciones (E-13) a (E-26) y son ahora deducidas su forma discreta. De igual forma que en el caso de drenaje, la ecuación de la cara de entrada es evaluada en el punto de inicio (i=1/2):
(E-62a)
(E-62b)
(E-58)
(E-59)
dónde S* representa la saturación de agua inicial presente en el volumen poroso. La función gi(S) claramente representa un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y puede ser expresada en forma matricial:
Reemplazando la ecuación (E-62b) en la ecuación (E-50a) se tiene:
(E-63a)
Tras factorizar términos es posible deducir una expresión que caracterice el estado del sistema para la cara de entrada. Esto se muestra en las ecuaciones (E-63b) a (E-65):
(E-60)
Por cuanto la matriz de coeficientes es de tipo triangular simétrico, el sistema es soluble aplicando el método de Thomas. Finalmente, los coeficientes de pseudo convección y pseudo difusión, dados por las ecuaciones (E-40) y (E-41), son llevados a su forma discreta. En el caso del coeficiente de pseudo advección, ¸ se presenta en forma discreta. 010
TESAPE ARANDU
(E-63b)
(E-64)
(E-65)
Para la forma discreta de la cara de salida, es posible deducir las expresiones dadas por las ecuaciones (E-66) a (E-68):
(E-66)
(E-67)
(E-68)
Con estas modificaciones, el modelo puede ser expresado en forma general por la ecuación (E-58) y sujeto a la condición inicial establecida por la ecuación (E-59). En consecuencia, su forma matricial es presentada en la ecuación (E-60). 3.2. Forma Discreta del Modelo de Diferencial de Presión La formulación del modelo está basada en el cómputo de la derivada de la presión de agua, (ecuación E-22). La presión en la cara de salida ha sido preestablecida y asumida igual a una atmósfera para ambas fases. La forma discreta general de la ecuación (E-22), para el punto discreto i, tiene la expresión:
(E-69)
Los valores para la derivada de la presión capilar en los distintos puntos de la grilla unidimensional, que representa al volumen poroso, son calculados numéricamente empleando los valores de presión capilar tabulados a varias magnitudes de saturación de agua y que se asumen conocidos. Bajo esta consideración, el diferencial de presión respecto del espacio puede ser resuelto por integración a lo largo del testigo de roca. Al tratarse de un modelo discreto, esta integral es estimada numéricamente empleando la Regla de Simpson, como se muestra en la ecuación (E-70):
(E-70)
Nótese que en las dos ecuaciones precedentes es requerido el conocimiento del valor de la saturación de agua tanto en la cara de entrada (i = 1/2) como en la cara de salida (i = N + 1/2). A este efecto, y considerando la geometría mostrada en la Figura F-1, los valores de saturación pueden ser estimados por media aritmética:
(E-71)
(E-72)
Finalmente, se recuerda que tanto S0 como SN+1 presentan diferente expresión algebraica de acuerdo al tipo de desplazamiento inmiscible que sea simulado (imbibición o drenaje). 3.3. Forma Discreta del Modelo de Flujo Volumétrico Multifásico La formulación base para el modelo de flujo volumétrico multifásico fue presentada en las ecuaciones (E-25), (E-28) y (E30). Por conveniencia, son empleados caudales en vez de flujos para la discretización de este modelo. Aplicando la ecuación (E30) a la ecuación (E-25) se obtiene una expresión para la tasa de flujo volumétrico del agua. Por cuanto la medición de este valor se hace en la cara de salida, la derivada de presión de agua es evaluada únicamente en el último nodo de la grilla (x = L).
(E-73)
De manera similar, el valor de la tasa de flujo volumétrico del petróleo en el nodo de salida es obtenida de la ecuación (E-28) como sigue:
(E-74)
Los valores de diferencial de presión a lo largo del volumen poroso son obtenidos del modelo dado por la ecuación (E-70) y presentado en la sección precedente.
TESAPE ARANDU
011
Para el caso del caudal de flujo volumétrico acumulado es necesario aplicar un método numérico diferente para estimar el valor de la integral en la ecuación (E-31). Considérese que, en tiempo de simulación t, un valor es computado para el flujo volumétrico en la cara de salida una vez que tanto el diferencial de presión y de saturación de agua a lo largo del volumen poroso son determinados. Un valor para una función de flujo volumétrico respecto del tiempo es generada después de cada t-ésimo ciclo de simulación, proveyendo un conjunto de datos tabulares. Por lo tanto, es posible aplicar la Regla de Simpson para calcular numéricamente la integral. Esto se muestra en las ecuaciones (E-75) y (E-76), según se disponga de un número impar o par de valores de caudal calculados:
(E-75)
(E-76)
3.4. Tratamiento de la Interpolación En el presente estudio, las funciones dependientes de la saturación de agua expresadas en las ecuaciones (E-17) a (E-20) fueron obtenidas de mediciones experimentales reportadas en forma tabular. En este sentido, por cuanto el modelo de desplazamiento inmiscible no siempre produce valores que coincidan con las entradas de estas tablas discretas, fue adoptado el método de interpolación de Lagrange para la estimación de los valores no tabulados.
(E-77)
3.5. Criterios de Estabilidad La formulación que gobierna el fenómeno de desplazamiento inmiscible, ecuación (E- 23), es una expresión diferencial parcial con efecto de convección-difusión. El análisis de estabilidad Von Neumann para este tipo de ecuaciones en su forma linear se enfoca en los términos algebraicos contenidos en los coeficientes de pseudo advección y pseudo difusión26 definidos en las ecuaciones (E-24) y (E-25). Estas cantidades son empleadas para el cómputo de Número de Courant (C) y el Número de Difusión (α) de cada celda27, cuya formulación se muestra en las ecuaciones (E-78) y (E-79):
(E-78)
(E-79)
La importancia de estos dos valores de estabilidad radica en su empleo para el cálculo del Factor de Amplificación (G) y el Número de Péclet28 de cada celda (Pec). 012
TESAPE ARANDU
(E-80)
(E-81)
dónde i es el número imaginario y θ es el ángulo de fase para la estabilidad que se computa en función del incremento espacial Δx. Por cuanto fue aplicado un enfoque de solución implícito en la forma de una molécula discreta central en el espacio y regresiva en el tiempo, las magnitudes del factor de amplificación y del número de Péclet de celda deben observar las restricciones que se indican en las ecuaciones (E-82) y (E-83) para que la solución no sólo sea estable, sino que además exhiba un significado físico interpretable29:
(E-82)
(E-83)
Pozrikidis30 demostró para ecuaciones lineales que si el valor absoluto de G es menor a la unidad para cualquier valor posible de α y C, entonces el método son incondicionalmente estable. Aun así, la condición indicada por la ecuación (E-83) debe ser observada al momento de elegir la magnitud del incremento espacial Δx. Por cuanto la ecuación (E-23) es de naturaleza no lineal, aunque haya sido empleada una técnica numérica para salvar la dependencia funcional con la saturación de agua existente entre los coeficientes y , las ecuaciones de estabilidad no tienen solución única para el modelo de desplazamiento inmiscible y y cambien en tiempo de computo. varian en la medida que En vista de ello, es necesario determinar el rango de variabilidad que exhiben tanto el coeficiente de pseudo convección como el coeficiente de pseudo difusión y cómo, inciden en el comportamiento del Número de Courant, el Número de Difusión, el Número de Péclet y el Factor de Amplificación. A este efecto, y considerando que por definición la saturación de agua sólo puede variar en el intervalo dado por Swc ≤ Sw ≤ 1-Sor , las ecuaciones (E-24), (E-25), (E-78), (E-79) y (E-81) fueron calculadas empleando los datos de laboratorio que se muestra en la Tabla T-1, para varios valores de Δx y Δt. En esta forma se determina el valor máximo posible de Δx que honra la ecuación (E-81). Propiedad
Valor
L [cm]
10,0
ф (fracción)
0,30
Propiedad μw [cP]
Valor 1,0
μo [cP]
1,5
k [mD]
50
Swc (fracción)
0,10
d [cm]
3,5
Sor (fracción)
0,00
μw [cP]
1,0
σor [mN/m]
30,00
Tabla T-1. Datos de Experimentos empleados para Análisis de Variabilidad Figura F-5. Variación del Número de Courant en el rango de Saturación de Agua
Figura F-3. Variación del Número de Péclet en el rango de Saturación de Agua Figura F-6. Comportamiento del coeficiente de Pseudo Advección
Figura F-7. Comportamiento del coeficiente de Pseudo Difusión
Debido a que la ecuación (E-81) depende únicamente de Δx, el valor de Δt no tiene impacto alguno en la magnitud del Número de Péclet. La tabla T-2 muestra el valor del incremento espacial empleado en las Figuras (F-3) a (F-7) y el valor máximo del Número de Péclet observado en la Figura F-3: v Δx
0.065
Pec
1.996
Tabla T- 2. Incremento Espacial (Δx) Crítico Figura F-4. Variación del Número de Difusión en el rango de Saturación de Agua
Para el caso del Factor de Amplificación, el cambio de la magnitud de la saturación del agua de bloque en bloque de la grilla de simulación impacta en los valores de Número de Courant y del Número de Difusión y esta variabilidad se transfiere al Factor de Amplificación. Pero, a nivel de cada bloque, los valores de C y α son constantes de modo que la condición impuesta por la ecuación (E-82) es cumplida y se puede asumir que la solución es estable para los casos considerados. TESAPE ARANDU
013
3.6. Criterio de Generalidad El modelo de desplazamiento inmiscible bifásico presenta en su formulación el parámetro de caudal de flujo de inyección (qi) como elemento motriz del fenómeno de transporte que se sucede en el medio poroso. Esta caudal de flujo es dependiente, por la definición vista en la ecuación (E-30), de la velocidad de flujo y del área seccional donde el flujo incide.
en la Figura F-8. La solución analítica es obtenida empleando la Ecuación de Avance Frontal2 cuya expresión algebraica tiene la forma:
Para una misma velocidad de flujo, el caudal puede tener infinitas magnitudes en función del área sobre la cual el vector de velocidad actúa. El área es dependiente, a su vez, de la geometría de la cara de entrada de la muestra de roca sobre la cual se conduce el desplazamiento inmiscible. Resulta impráctico comparar dos resultados calculados por este modelo a un mismo caudal de inyección y para dos cuerpos porosos diferentes, si estos cuerpos porosos cilíndricos tienen diferentes radios.
Una curva de presión capilar despreciable fue empleada para generar una solución comparable a la carencia de este dato en el método de Buckley-Leverett. La figura F-8 muestra el resultado calculado por el Método de Buckley-Leverett, con corrección Welge, y la comparativa entre métodos. La solución del modelo Civan se muestra en línea sólida sin viñeta. La Figura F-9 exhibe la aplicación del Método Tangencial de Welge2, 6 para la corrección del Método Buckley-Leverett.
(E-85)
El presente estudio ha uso del concepto de Número Capilar para lograr un nivel de generalidad tal que permita la comparacion de resultados en forma indistinta a la magnitud de la geometría de la muestra de roca. El Número Capilar se define como la relación existente a nivel de poro entre las fuerzas viscosas y las fuerzas capilares:
(E-84)
dónde v es el flujo de la fase mojante, es la viscosidad de la fase mojante, y es la tensión interfacial existente entre la fase mojante y la fase no mojante. El flujo volumétrico v de la fase mojante es calculado expresando la ecuación (E-30) en función del caudal de inyección empleado y el área seccional de la muestra de roca.
Figura F-8. Comparación con la solución Buckley-Leverett.
4. VALIDACIÓN DEL MODELO Ha sido establecida la mejora que supone la formulación matemática propuesta por Civan para el modelamiento del desplazamiento inmiscible en un medio poroso. Esta aseveración debe ser acompañada por una apropiada validación por comparación de los valores de saturación de fase calculados por aplicación del modelo respecto de los obtenidos por medición experimental en laboratorio, por métodos similares codificados en software comercial y por la Ecuación de Avance Frontal Buckley-Leverett. De obtenerse valores comparables a los medidos en laboratorio, y a los empleados en software comercial, se tiene la certeza de que el método modela adecuadamente el suceso de flujo inmiscible dentro de la roca muestra y, por ende, produce valores con precisión y confianza suficientes. 4.1. Comparación con el Modelo de Desplazamiento Inmiscible de Buckley- Leverett La comparación entre la solución que se investiga y el modelo de Desplazamiento Inmiscible de Buckley-Leverett4,5 se muestra 014
TESAPE ARANDU
Figura F-9. Aplicación del Método Tangencial de Welge2, 6.
4.2. Validación del Modelo con Resultados de Laboratorio El modelo de desplazamiento inmiscible es validado por comparación del perfil de saturación de agua calculado en tiempo de simulación respecto de valores medidos en condiciones de laboratorio.
4.2.1. Experimento de Watson et al. Watson31 et al. realizaron una serie de experimentos de desplazamiento inmiscible de tipo drenaje bajo caudal de flujo constante en testigos de roca mojados al agua. Fueron realizados tanto experimentos con caudal de flujo único como a caudal de flujo múltiple, por los objetivos establecidos en dicho estudio. Para la validación del simulador, y por las condiciones a las que se encuentra sujeto el modelo bajo estudio, son empleados únicamente los resultados reportados por Watson para los experimentos con caudal de flujo único constante. Las curvas de permeabilidad relativa, presión capilar y flujo fraccional empleadas por Watson et al. se muestran en las figuras F-10, F-11 y F-12.
Figura F-12. Curva de Flujo Fraccional – Watson et al.
El experimento de Watson fue realizado con un caudal de inyección de petróleo igual a 0,1 (cm3/min) para desplazar el agua que saturaba una muestra de roca cilíndrica de 3,5 (cm) de diámetro y 10 (cm) de longitud. Las propiedades petrofísicas y de fluido de interés son reportadas en la Tabla T-3.
Propiedad
Figura F-10. Curvas de Permeabilidad Relativa – Watson et al.
Valor
Propiedad
Valor
L [cm]
10,0
μw [cP]
1,0
ф (fracción)
0,30
μo [cP]
1,5
Swc (fracción)
0,10
k [mD]
50
d [cm]
3,5
Sor(fracción)
0,00
μw [cP]
1,0
σor[mN/m]
30,00
Tabla T- 3. Propiedades Petrofísicas y de Fluido. Experimento de Watson.
Los experimentos de drenaje fueron conducidos por un total de 250 minutos, con la particularidad de que la muestra de roca se encontraba saturada al 100% con fase acuosa en forma previa al experimento. Para lograr esta condición, la roca fue desecada totalmente y luego embebida en la fase mojante. Se presenta el perfil de saturación resultante, para el experimento con un caudal de inyección de petróleo igual a 0,1 (cm3/min).
Figura F-11. Curva de Presión Capilar – Watson et al.
TESAPE ARANDU
015
Por cuanto se desea calcular resultados para luego compararlos con los producidos y reportados en el trabajo experimental de Watson, se presentan las propiedades petrofísicas y del fluido empleadas en la configuración del simulador (Tabla T-3). 4.2.1.2. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados Se muestra que las curvas de saturación de agua simuladas con el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan se corresponden con los valores experimentales reportados por Watson (Figura F-15), para el caso del experimento de drenaje con caudal de inyección de petróleo igual a 0,1 (cm3/min). A este caudal de inyección, y dada la geometría de la muestra, le corresponde una magnitud de número capilar (Nca) igual a 5,77x10-8.
Figura F-13. Perfil de Saturación de Agua para experimento de Drenaje.
4.2.1.1. Configuración del Simulador Los experimentos de desplazamiento inmiscible reportados por Watson fueron conducidos con caudales de flujo de inyección (qi) en el intervalo 1,0 ≤ qi ≤ 5,0 (cm3/min). Debido a que los efectos de capilaridad son mejor observados con bajos caudales de inyección, para la configuración de este parámetro en el simulador fue seleccionado el subintervalo 0,01 ≤ qi ≤ 1,0 (cm3/min). Los experimentos fueron simulados en secuencia iniciando con qi igual a 0,01 (cm3/min) e incrementando con Δq = 0.01 (cm3/min) hasta alcanzar el valor de qi = 0,1 (cm3/min), donde el incremento para caudales mayores fue establecido en Δq = 0,1 (cm3/min). A fin de que los resultados sean comparables con los que pudiesen ser obtenidos para otras muestras de roca con geometría diferente, los resultados son reportados en función del Número Capilar. Para las dimensiones y caudales seleccionados en la configuración del simulador, la Figura F-14 muestra que las magnitudes de Número Capilar correspondientes se encuentran en el intervalo 10-9 ≤ Nca ≤ 10-6.
Figura F-15. Curvas de Saturación de Agua (Nca = 5,77x10-8) - Drenaje.
La tabla T-4 presenta la comparación de los resultados obtenidos de ambos simuladores y el error relativo calculado. Simulador
tb [min]
Sw(tb) (fr)
tsim [min]
Sw(tsim) (fr)
Watson
210
0,98
250
0,86
Civan
210
0,96
250
0,85
εr
2,1%
1,1%
Tabla T-4. Comparación de Resultados con datos de Watson et al.
El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio (0,05 cm) y tiempo (0,08 s) seleccionados.
Figura F-14. Número Capilar como función del Caudal de Flujo de Inyección.
016
TESAPE ARANDU
4.2.1.3. Simulación de un Experimento de Imbibición Validado el modelo de desplazamiento inmiscible para el caso de drenaje, se presentan resultados estimados para el caso de imbibición sobre la misma muestra de roca y condiciones experimentales.
La simulación es conducida para varios caudales de inyección del intervalo 0,01 ≤ qin ≤ 1,0 (cm3/min) (5,77x10-9 ≤ Nca ≤ 5.77x10-7). Los resultados más representativos se muestran en las Figura F-16 a F-18. La configuración del simulador empleada para cada caso se muestra en la Tabla T-5:
Δx
Δt [s]
Bloques
Tiempo Simulado [hr]
5,77x10-9
0,06
0,10
168
54
0,1
5,77x10
-8
0,05
0,08
201
18
1,0
5,77x10
-7
0,04
0,06
251
9
q [cm3/min]
Nca
0,01
Tabla T-5. Parámetros de Simulación Figura F-18. Curvas de Saturación de Agua –q=1,0 (cm3/min) (Nca = 5,77x10-7)
Por observación de las curvas de saturación reportadas en las figuras F-16 a F18, es posible establecer el efecto que produce el caudal de inyección en el comportamiento del frente de desplazamiento. El perfil más abrupto del frente en la figura F-18, comparada con las figuras F-16 y F-17 y en tiempos de inyección menores, se debe a que, a menores magnitudes de caudal de inyección, la presión capilar en el medio poroso ejerce mayor resistencia al flujo de la fase desplazante, creando un frente de desplazamiento más suavizado y extenso. Solo a un caudal de inyección de magnitud alta para la geometría del medio poroso se observa un mecanismo de frente de desplazamiento abrupto (tipo pistón) similar al del mecanismo Buckley-Leverett.
Figura F-16. Curvas de Saturación de Agua –q=0,01 (cm /min) (Nca =5,77x10 ) 3
-9
4.2.2. Experimento de Graue et al Graue et al.32 condujeron experimentos de desplazamiento en rocas de mojabilidad al agua intermedia y moderada para estudiar el efecto de esta propiedad petrofísica en el mecanismo de flujo. Las curvas de permeabilidad relativa, presión capilar y flujo fraccional empleadas por Graue et al. se muestran en las figuras F-19, F-20 y F-21, y fueron obtenidas en ambiente de laboratorio mediante el método de Medición Directa de la Saturación (DMS por sus siglas en inglés).
Figura F-17. Curvas de Saturación de Agua –q=0,1 (cm3/min) (Nca = 5,77x10-8)
Figura F-19. Curvas de Permeabilidad Relativa – Graue et al
TESAPE ARANDU
017
al experimento. El perfil de saturación para el experimento con un caudal de inyección de petróleo igual a 1,0 (cm3/min), se muestra en la figura F-22.
Figura F-20. Curva de Presión Capilar – Graue et al
Figura F-22. Perfil de Saturación de Agua para experimento de Imbibición.
4.2.2.1. Configuración del Simulador Los experimentos de desplazamiento inmiscible reportados por Graue fueron conducidos con caudales de flujo de inyección (qi) en el intervalo 1,0 ≤ qi ≤ 5,0 (cm3/min). Debido a que los efectos de capilaridad son mejor observados con bajos caudales de inyección, para la configuración de este parámetro en el simulador fue seleccionado el subintervalo 0,01 ≤ qi ≤ 1,0 (cm3/min).
Figura F-21. Curva de Flujo Fraccional – Graue et al.
El experimento de desplazamiento fue realizado con un caudal de inyección de agua constante igual a 1,0 (cm3/min) para desplazar el agua que saturaba una muestra de roca cilíndrica de 3,7 (cm de diámetro) y 5,2 (cm de longitud). Las propiedades petrofísicas y de fluido de interés son reportadas en la Tabla T-6. Propiedad
Valor
Propiedad
Valor
L [cm]
5,2
μw [cP]
1,05
ф(fracción)
0,48
μo [cP]
2,7
k [mD]
2,0
Swc (fracción)
0,16
d [cm]
3,7
Sor(fracción)
0,24
μw [cP]
1,05
σor[mN/m]
30,00
Los experimentos fueron simulados en secuencia iniciando con qi igual a 0,01 (cm3/min) e incrementando con Δq = 0,01 (cm3/min) hasta alcanzar el valor de qi = 0,1 (cm3/min), donde el incremento para caudales mayores fue establecido en Δq = 0,1 (cm3/min). A fin de que los resultados sean comparables con los que pudiesen ser obtenidos para otras muestras de roca con geometría diferente, los resultados son determinados en función del Número Capilar. Para las dimensiones y caudales seleccionados en la configuración del simulador, la Figura F-23 muestra que las magnitudes de Número Capilar correspondientes se encuentran en el intervalo 10-9 ≤ Nca ≤ 10-6.
Tabla T-6. Propiedades Petrofísicas y de Fluido. Experimento de Graue.
Los experimentos de imbibición fueron conducidos por un total de 6.300 minutos (100 horas), alcanzando la saturación residual de petróleo a los 1.080 minutos (18 horas) de inyección continua. La muestra de roca fue previamente saturada por completo (100%) con fase acuosa salina, conteniendo 5 wt% NaCl y 3,8 wt% CaCl2, y luego fue saturada con petróleo hasta alcanzar la saturación irreducible de agua (16%), todo esto en forma previa 018
TESAPE ARANDU
Figura F-23. Número Capilar como función del Caudal de Flujo de Inyección.
Por cuanto lo que se desea es calcular resultados para luego compararlos con los producidos y reportados en el trabajo experimental de Graue, las propiedades petrofísicas y del fluido empleadas en la configuración del simulador son las presentadas en la Tabla T-5. 4.2.2.2. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados Se muestra que las curvas de saturación de agua simuladas con el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan (Figura F-24) se corresponden con los valores experimentales reportados por Graue (Figura F-22), para el caso del experimento de imbibición con caudal de inyección de agua igual a 1,0 (cm3/min). A este caudal de inyección, y dada la geometría de la muestra, le corresponde una magnitud de número capilar (Nca) igual a 5,17x10-8.
Adicionalmente, y tal como se hizo en el caso anterior, se estudiado el efecto de la magnitud del caudal de inyección sobre las curvas de saturación de agua. Se presentan tres resultados en las figuras F-25 a F-27, donde uno de ellos es el mismo caso base el cual es reportado con mayor detalle. La configuración empleada para cada caso reportado se muestra en la Tabla T-8.
q [cm /min]
Nca
Δx
Δt [s]
Bloques
Tiempo Simulado [hr]
0,01
5,17x10-9
0,04
0,02
135
36
0,1
5,17x10-8
0,04
0,02
135
18
1,0
5,17x10
0,03
0,05
175
2
3
-7
Tabla T-8. Parámetros de Simulación
Figura F-24. Curvas de Saturación de Agua (Nca = 5,77 x 10-8) - Imbibición.
La tabla T-7 presenta la comparación de resultados obtenidos y el error relativo calculado, para el caso con caudal de inyección igual a q = 1,0 (cm3/min) (Nca = 5,17 x 10-7). Simulador
tb [min]
Sw(tb) (fr)
tsim [min]
Sw(tsim) (fr)
Graue
12
0,171
120
0,755
Civan
12
0,165
120
0,760
εr
3,5%
Figura F-25. Curvas de Saturación de Agua –q=1,0 cm3/min (Nca = 5,17 x 10-7)
0,7%
Tabla T-7. Comparación de Resultados con Graue et al.
Para la configuración presentada del experimento de desplazamiento inmiscible, el tiempo de ejecución para el simulador desarrollado alcanza los 18 minutos. El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio 0,03 (cm) y tiempo 0,05 (s) seleccionados.
Figura F-26. Curvas de Saturación de Agua –q=0,1 cm3/min (Nca = 5,17 x 10-8)
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019
Figura F-29. Curva de Presión Capilar – Richmond et al Figura F-27. Curvas de Saturación de Agua –q=0,01 cm3/min (Nca = 5,17 x 10-9)
Aunque el experimento realizado paras curvas de saturación reportadas en las figuras F-16 a F18 corresponde al caso de Imbibición, opuesto al de Drenaje estudiado en el caso anterior, el efecto que produce el caudal de inyección en el comportamiento del frente de desplazamiento es el mismo: a menores magnitudes de este caudal, la presión capilar en el medio poroso ejerce mayor resistencia al flujo de la fase desplazante, creando un frente de desplazamiento suavizado y extenso. Para un caudal de inyección de magnitud alta se observa un mecanismo de frente de desplazamiento tipo pistón similar al del mecanismo BuckleyLeverett. 4.2.3. Experimento de Richmond et al Richmond et al.33 analizaron experimentos de desplazamiento de fluidos en rocas fuertemente mojables al agua para el desarrollo de un método para análisis de curvas de permeabilidad relativa. Las curvas de permeabilidad relativa, presión capilar y flujo fraccional empleadas por Richmond et al. se muestran en las figuras F-28, F-29 y F-30, y fueron obtenidas por su representación en base a splines Beta (B-spline) sobre datos de saturación de agua calculados por simulación numérica aplicando la formulación de presión implícita y saturación explicita (IMPES por sus siglas en inglés).
Figura F-30. Curva de Flujo Fraccional – Richmond et al
El experimento de desplazamiento fue realizado con un caudal de inyección de petróleo constante igual a 2,0 (cm3/min) (Nca = 2,26x10-6) y 0,01 (cm3/min) (Nca = 1,13 x 10-8) para desplazar el agua que saturaba una muestra de roca cilíndrica de 2,5 (cm) de diámetro y 7,6 (cm) de longitud. Las propiedades petrofísicas y de fluido de interés son reportadas en la Tabla T-9. Propiedad
Valor
Propiedad
Valor
L [cm]
7,6
μw [cP]
1,0
ф (fracción)
0,25
μo [cP]
10,0
k [mD]
1270
Swc (fracción)
0,30
d [cm]
2,5
Sor (fracción)
0,24
μw [cP]
1,0
σor [mN/m]
30,00
Tabla T-9. Propiedades Petrofísicas y de Fluido. Experimento de Richmond
Figura F-28. Curvas de Permeabilidad Relativa – Richmond et al
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Los experimentos de drenaje fueron conducidos por un total de 540 minutos (9 horas), alcanzando la saturación irreducible de agua a los 300 minutos (5 horas) de inyección continua. Se presenta el perfil de saturación, para el experimento con un caudal de inyección de petróleo igual a 0,1 (cm3/min) (Figura F-31).
4.2.3.2. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados Se muestra que las curvas de saturación de agua simuladas con el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan (Figura F-32) se corresponden con los valores sintéticos reportados por Richmond (Figura F-31), para el caso del experimento de drenaje con caudal de inyección de agua igual a 0,1 (cm3/min). A este caudal de inyección, y dada la geometría de la muestra, le corresponde una magnitud de número capilar (Nca) igual a 1,13x10-8.
Figura F-31. Perfil de Saturación de Agua para experimento de Drenaje
4.2.3.1. Configuración del Simulador Los experimentos de desplazamiento inmiscible reportados por Richmond fueron conducidos con caudales de flujo de inyección (qi) en el intervalo 0,01 ≤ qi ≤ 2,0 [cm3/min]. Para la configuración de este parámetro en el simulador, fue seleccionado el subintervalo 0,01 ≤ qi ≤ 1,0 [cm3/min] por cuanto los efectos de capilaridad son mejor observados con bajos caudales de inyección, observando similar secuencia de incrementos de caudal que en los casos precedentes. A fin de que los resultados sean comparables con los que pudiesen ser obtenidos para otras muestras de roca con geometría diferente, los resultados son reportados en función del Número Capilar. Para las dimensiones y caudales seleccionados en la configuración del simulador, se muestra que las magnitudes de Número Capilar correspondientes se encuentran en el intervalo 10-9 ≤ Nca ≤ 10-6.
Figura F-33. Curvas de Saturación de Agua (Nca = 1,13 x 10-8) - Drenaje
Se presenta la comparativa de los resultados obtenidos de ambos simuladores y el error relativo calculado. Simulador
tb [min]
Sw (tb) (fr)
tsim [min]
Sw (tsim) (fr)
Richmond
140
0,751
540
0,3
Civan
140
0,718
540
0,3
εr
4,4%
0,0%
Tabla T-10. Comparación de Resultados con Richmond et al
Figura F-32. Número Capilar como función del Caudal de Flujo de Inyección
Para la configuración del experimento de desplazamiento inmiscible, el tiempo de ejecución alcanza a 21 minutos. El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio 0,04 (cm) y tiempo 0,02 (s) seleccionados. Adicionalmente, y tal como se hizo en los casos anteriores, se estudió el efecto de la magnitud del caudal de inyección sobre las curvas de saturación de agua. Se observan tres resultados en (figuras F-34 a F-36), donde el segundo es el mismo caso base el cual es reportado con mayor detalle. La configuración empleada para cada caso reportado se presenta en la Tabla T-11.
Para el cálculo de resultados y compararlos con los producidos y reportados en el trabajo de Richmond, se presentan las propiedades petrofísicas y del fluido empleadas en la configuración del simulador (Tabla T-9). TESAPE ARANDU
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Δx
Δt [s]
Tiempo Simulado [hr]
1,13x10-8
0,05
154
18
0,1
1,13x10
-7
0,04
192
9
1,0
1,13x10
-6
0,04
192
4
q [cm3/ min]
Nca
0,01
Tabla T- 11. Parámetros de Simulación
Figura F-36. Curvas de Saturación de Agua –q=1,0 (cm3/min) (Nca = 1,13 x 10-6)
El comportamiento observado en las curvas de saturación reportadas (Figuras F-34 a F-36), todos casos de drenaje, es consistente con lo inferido respecto al efecto del caudal de inyección en los dos casos anteriores y corrobora el análisis realizado.
Figura F-34. Curvas de Saturación de Agua –q=0,01 (cm3/min) (Nca = 1,13 x 10-8)
Figura F-35. Curvas de Saturación de Agua –q=0,1 (cm3/min) (Nca = 1,13 x 10-7)
4.3. Validación del Modelo con Software Comercial La validación de la formulación objeto de estudio del presente trabajo, y de la precisión del simulador desarrollado en base a ésta, debe hacerse también respecto de los resultados producidos por la implementación numérica de otro modelo matemático que no presente las limitaciones de la Ecuación de Avance Frontal y ofrezca similares ventajas a la formulación propuesta por Civan. Los aplicativos de software comercial especializado en la simulación de flujo en reservorios de hidrocarburos, presentan motores de cálculo dados por la forma numérica de modelos matemáticos tradicionales y, en algunos casos, desarrollados específicamente para la casa de software propietaria del simulador. En la presente sección, el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan es validado por comparación del perfil de saturación de agua calculado en tiempo de simulación, con los valores computados por un simulador comercial (Petex IPM MBal®), para un conjunto de datos sintético. 4.3.1. Simulador Petex IPM MBal® El simulador comercial seleccionado para la comparación con la formulación objeto de estudio es el aplicativo MBal® (del inglés Material Balance o Balance de Materia), mismo que es parte integral de la suite de simuladores IPM® (del inglés Integrated Production Modelling o Modelamiento Integrado de la Producción) de la empresa Petroleum Experts (Petex). Este producto de software presenta la funcionalidad para simular experimentos de desplazamiento inmiscible de tipo drenaje/imbibición bajo caudal de flujo constante en medios porosos de geometría cartesiana (Figura F-37).
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El experimento seleccionado para esta validación, tanto en el aplicativo de software comercial como en el simulador desarrollado para el presente trabajo, fue el de un proceso de imbibición definido con un caudal de inyección de agua constante igual a 530 (cm3/min) (4,8 bpd) para desplazar el petróleo que saturaba un rectángulo poroso de 442 centímetros de lado (14.5 pies) y 305 centímetros de longitud (10 pies). Las dimensiones seleccionadas para el cuerpo poroso sintético no son arbitrarias pues se aproximan al mínimo volumen de reservorio que el simulador comercial MBal® puede procesar (500 pie3) y que permiten también mantener un equilibrio entre el tiempo de simulación (aproximadamente 45 min) y los valores seleccionados para los incrementales de espacio (Δx) y tiempo (Δt) en la herramienta desarrollada en el presente trabajo. Se busca comparar los resultados provistos por el modelo objeto de estudio (Civan) y el modelo subyacente en la implementación propia de la codificación de un simulador comercial, lo que es resuelto por simplicidad considerando que las funciones dependientes de la saturación de agua se mantienen iguales a las empleadas por Watson en sus experimentos de laboratorio. De igual forma, las propiedades petrofísicas y de fluido de interés son iguales a las reportadas anteriormente en la Tabla 4. Como fue expresado en párrafos precedentes, solo las dimensiones del cuerpo sintético, el caudal de inyección y la duración del experimento son modificados para efectos del presente trabajo.
Esta expresión, por aplicación de las ecuaciones de flujo multifásico mencionadas, es extendida a la forma que se indica:
(E-87)
En forma adicional, este modelo subyacente establece las condiciones y suposiciones siguientes: a) El reservorio es un rectángulo con inyección de fase en una cara y producción en la cara opuesta. b) El caudal de inyección es constante. c) Los fluidos son inmiscibles. d) El desplazamiento es considerado como incompresible por lo cual el total de fluido inyectado será siempre igual al total del fluido producido. e) La distribución de la saturación es uniforme a lo largo del ancho del reservorio. f) Se asume flujo lineal. g) La presión capilar, y los efectos de la misma, son despreciados. Si bien la referencia del aplicativo sugiere que la formulación contempla la posibilidad de la existencia de un ángulo de inclinación para el cuerpo poroso, al tratarse de un sistema unidimensional, este ángulo es nulo en la implementación de la aplicación experimental y se asume flujo horizontal a través del reservorio durante el suceso del experimento de desplazamiento. De esta manera, considerando las suposiciones y los restricciones ya mencionadas, los términos correspondientes a la derivada parcial espacial de la presión capilar y al efecto de segregación gravitacional son cancelados en la formulación de la ecuación (E87) y ésta se reduce a la expresión dada por la ecuación (E-88):
Figura F-37. Interfaz de Usuario para modelo unidimensional
4.3.2. Modelo Matemático del aplicativo comercial MBal® El modelo matemático del simulador MBal® está basado en la teoría de flujo fraccional y las ecuaciones de Buckley-Leverett, por lo que no presupone ninguna teoría de desplazamiento1. Para describir el flujo simultaneo de dos o más fluidos en el medio poroso, como el caso de un sistema bifásico agua-petróleo, el flujo es descrito por la ecuación ampliada de la Ley de Darcy, tal como se presentó en las ecuaciones (E-25), (E-26), (E-30) y (E-32). El flujo fraccional fw se describe por la ecuación (E-86):
(E-86)
Esta expresión reducida de la fórmula de flujo fraccional, establece que el flujo estará únicamente gobernado por las fuerzas viscosas y la interacción de fases en el espacio poroso saturado por cada una de ellas. Esta relación entre la viscosidad y la permeabilidad relativa de una fase, la movilidad de la fase, respecto de la misma relación para otra fase presente en el sistema permite que la ecuación (E-88) también puede ser expresada en base a la relación de movilidad M.
(E-89)
dónde la razón de movilidad M se define como:
1
(E-88)
(E-90)
PETEX. Manual de Referencia Técnica del Aplicativo MBal®. Sección 1D Model : Technical Description.
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023
De lo expuesto, puede inferirse que la formulación de Civan presenta un grado de complejidad mayor al no sólo incluir en su formulación los efectos capilares sino también al considerar tres distintos mecanismos de flujo según el suceso de la ruptura de fase inyectada en la cara de salida del volumen poroso. 4.3.3. Configuración del Simulador La pantalla de ingreso de parámetros al simulador, con los valores que fueron introducidos como base para el cómputo de resultados, se muestra en la figura F-38. Por restricción del software, fue establecida una fecha ficticia para el inicio del experimento de desplazamiento (01-ene-2016) a efecto de que el simulador MBal® pueda reportar sus resultados en una escala de tiempo, que permita luego expresar la duración en minutos. Es importante remarcar que no todos los parámetros que se muestran en la configuración del simulador comercial son empleados en el simulador que implementa la formulación objeto de estudio, esto por cuanto ambas formulaciones, al ser diferentes, requieren de datos de entrada distintos.
Figura F-38. Parámetros de entrada simulador MBAL
Es posible deducir que el aplicativo comercial no solicita el ingreso del tiempo de duración para el experimento de desplazamiento. Esta omisión tiene su fundamento en el hecho que los cómputos realizados por MBal® son realizados hasta un tiempo de simulación igual al día siguiente del suceso de la ruptura, en forma indistinta a la cantidad de días que este suceso requiera (Figura F-18). 4.3.4. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados Se presentan los resultados de la simulación (Figura F-39). El reporte de resultados del aplicativo comercial también despliega los valores de entrada empleados en el cálculo a efecto de evidenciar que se corresponden conlos ingresados por el usuario. Como se aprecian en la gráfica, el suceso de la ruptura de fase toma lugar once (11) días luego del inicio de la inyección a caudal constante, con una magnitud de saturación de agua igual al 11% y tras la inyección de un volumen de agua igual al 62% del volumen poral sintético modelado.
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Figura F-39. Curvas de saturación de agua simulador MBAL® – qi = 530 cm3/min
Tomando el dato del tiempo para la ruptura como referencia, es posible notar que la saturación de agua alcanzada al momento de la conclusión de la simulación del experimento de desplazamiento inmiscible en el software MBal® asciende al 66% tras 12 días de inyección sostenida. Estos parámetros son considerados como base de comparación con los valores que computa el simulador desarrollado en el presente estudio. Luego de haber sido introducidos los valores de reservorio e inyección de fase en la configuración del simulador, luego de su ejecución son obtenidos los valores que se reportan en la figura F-20. A diferencia del MBal®, los resultados se reportan en distancia normalizada ([0,1]), por la generalización hecha en la dimensión espacial de la formulación, y no es considerada la magnitud de fase desplazante inyectada respecto del volumen poroso de la muestra sintética, por simplicidad. A este respecto, es importante mencionar que estas diferencias resultan irrelevantes por cuanto no afectan en absoluto a los valores de la saturación simulada a lo largo de la muestra. Como puede apreciarse por simple inspección en la Figura F-40, la ruptura sucede a los 11,1 días de inyección sostenida y la saturación de agua final en la cara de salida alcanzada tras 12 días desplazamiento es igual al 61%.
La adopción de ambos enfoques permitió que el presente estudio genere soluciones para el periodo de tiempo completo de los experimentos de desplazamiento de fluidos, a diferencia de lo modelado y reportado por otros estudios comparables y presentados durante la validación del modelo. Asimismo, el conjunto de las tres condiciones limite empleadas por Civan para diferenciar los tres distintos regímenes de flujo en la cara de salida fueron halladas precisas en la representación del fenómeno de desplazamiento inmiscible, alcanzando errores relativos inferiores al 5% en los resultados computados por la implementación numérica de la formulación.
Figura F-40. Curvas de Saturación de Agua – Imbibición (qinj = 530 cm3/min)
Se presenta la comparativa de resultados obtenidos de ambos simuladores y el error relativo calculado. Simulador
tb [día]
Sw (tb) (fr)
tsim [día]
Sw (tsim) (fr)
MBal®
11,0
0,115
12
0,66
Civan
11,1
0,120
12
0,64
εr
4,2%
3,1%
Tabla T-12. Comparación de Resultados con MBAL®
Para la configuración presentada del experimento de desplazamiento inmiscible, el tiempo de ejecución para el simulador desarrollado alcanza 44 minutos. El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio (1 cm) y tiempo (300 s) seleccionados. Ambos parámetros inciden en forma directa en la precisión de los resultados y fue previamente establecido que se favoreció un tiempo de ejecución convenientemente breve para la selección de estos parámetros. 5. CONCLUSIONES La formulación para el desplazamiento inmiscible de fluidos fue resuelta en forma implícita empleando el enfoque propuesto por Civan34 que implementa un conjunto adecuado de condiciones límite para la cara de entrada y salida del testigo de roca. El enfoque de Donaldson35,36 fue empleado para el computo explícito de la presión de agua por integración numérica de la ley de Darcy.
El impacto de la magnitud de los números de Courant y de Difusión en la estabilidad de la solución numérica fue resuelta por análisis e identificación de la dependencia del número de Péclet a nivel de celda respecto del tamaño de celda y la saturación de agua. Tal como fue reportado en forma tabular en la tabla T-2, y al no exceder el tamaño de celda y la saturación de agua estos valores críticos, el simulador implementado produjo soluciones estables para el intervalo Swc < Sw < 1-Sor. Los resultados producidos por el simulador fueron validados comparando con las soluciones provistas tanto por la Ecuación de Avance Frontal, la implementación numérica adoptada por la aplicación de software comercial Petex IPM MBal® y las mediciones de laboratorio reportadas por los estudios de Watson et al, Graue et al y Richmond et at. La solución provista por el enfoque de Civan probó mejor caracterización del fenómeno de desplazamiento inmiscible respecto de la Ecuación de Avance Frontal, lo cual es lógica consecuencia de la limitante que presenta esta ecuación al no considerar los efectos capilares en el cómputo del desplazamiento. Aun así, las soluciones de ambos métodos resultan comparables difiriendo únicamente en la forma de representación del frente de desplazamiento. Respecto de la comparación realizada con los experimentos de laboratorio y datos sintéticos reportados, en todos los casos los resultados computados por el simulador desarrollado en el presente estudio mostraron un ajuste satisfactorio al presentar errores relativos inferiores al 5% para las curvas de saturación de imbibición y drenaje, para los tiempos de suceso de la ruptura, y para las saturaciones de agua observadas tanto a tiempo de la ruptura como al final del experimento de desplazamiento inmiscible. Las gráficas del Número Capilar (Nca) como función del caudal de inyección de la fase desplazante (qinj) permiten concluir que el efecto de las fuerzas capilares en el suceso del flujo se incrementa a medida que este caudal disminuye, de modo que a caudales altos de inyección, las fuerzas capilares son despreciables y la solución provista por el método se aproxima al comportamiento de la Ecuación de Avance Frontal. Por lo anteriormente observado, es posible concluir que la forma unidimensional del modelo no solamente es estable sino también precisa, representando adecuadamente los procesos
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de transporte que caracterizan al fenómeno de desplazamiento inmiscible bifásico en un medio poroso, siempre que el caudal de inyección de la fase desplazante se mantenga constante y en magnitudes bajas para observar los efectos de las fuerzas capilares. NOMENCLATURA EMPLEADA Símbolos A : Area, L2 d : Diámetro, L fd : Flujo fraccional de la fase desplazante después de la ruptura, fracción fk : Flujo fraccional de la fase desplazada después de la ruptura, fracción Fw : Función de Movilidad Total, adimensional K : Permeabilidad absoluta, L2 kro : Permeabilidad relativa del petróleo, adimensional krw : Permeabilidad relativa del agua, adimensional L : Longitud, L Pc : Presión Capilar, ML-1 T-2 Pi : Presión de agua en el i-ésimo bloque de simulación, ML-1 T-2 Po : Presión del petróleo, ML-1 T-2 Pw : Presión del agua, ML-1 T-2 q : Caudal de flujo total, L3T-1 Qd : Caudal de flujo acumulado de la fase desplazante después de la ruptura, L3 Qi : Caudal de inyección acumulado, L3 qin : Caudal de inyección, L3 T-1 Qk : Caudal de flujo acumulado de la fase desplazada después de la ruptura, L3 Qo : Caudal de flujo acumulado de petróleo, L3 qo : Caudal de flujo de petróleo, L3 T-1 Qt : Caudal de flujo total acumulado, L3 Qw : Caudal de flujo de agua acumulado, L3 qw : Caudal de flujo de agua, L3 T-1 rw : Caudal másico de agua perdida, MT-1 Sd2 : Saturación del fluido desplazante en la cara de salida, fracción Si : Saturación de agua en el i-ésimo bloque de simulación, fracción So : Saturación de petróleo, fracción Sor : Saturación residual de petróleo, fracción Sw : Saturación de agua, fracción Swi : Saturación de agua irreducible, fracción t : Tiempo, T tb : Tiempo de suceso de ruptura de fase, T v : Flujo volumétrico total, T vin : Flujo de inyección, LT-1 vo : Flujo volumétrico de petróleo, LT-1 Vp : Volumen poroso de la muestra de roca. L3 vw : Flujo volumétrico de agua, LT-1 x : Espacio, L
Símbolos Griegos ΔP : Diferencia de presión, ML-1 T-2 Δt : Incremento discreto de tiempo de simulación, T Δx : Incremento discreto de espacio de simulación, L Δρ : Diferencia de densidad, ML-3 z : Derivada especial de la elevación, L P : Derivada espacial de la presión, ML-1 T-2 ф : Porosidad, fracción μo : Viscosidad del petróleo, ML-1 T-1 μw : Viscosidad del agua, ML-1 T-1 ρo : Densidad del petróleo, ML-3 ρw : Densidad del agua, ML-3 σ : Tensión Interfacial, MT-2 BIBLIOGRAFIA 1. Amyx, J; Bass, D; Whiting, R. “Petroleum Reservoir Engineering – Physical Properties”; pp. 203-209, McGraw-Hill 1960, USA. 2. Craft, B.C.; Hawkins, M.C.; “Applied Petroleum Reservoir Engineering”, pp. 355-367; Prentice-Hall Inc., 1959, USA. 3. Collins, R.E.; “Flow of Fluids through Porous Materials”; pp. 47-48, 59-62, 270 – 275, Penn-Well Publishing Co, 1960, USA. 4. Leverett, M.C; “Capillary Pressure in Porous Solids”; Trans. AIME 142; pp.152-169;1941. 5. Buckley, S.E; Leverett, M. C; “Mechanism of Fluid Displacement in Sands”; Trans. AIME, Vol. 146, pp. 107-116, 1942. cited in Reference [3]. 6. Welge, H.J., “A Simplified Method For Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive,” Trans. AIME, Vol. 195, pp. 91-98, 1952. 7. Civan, F; “Convenient Formulation for Inmiscible Displacement in Porous Media”; SPE 36701; 1996. 8. Darcy, H; “Les fontaines publiques de la ville de Dijon”; Victor Dalmont, 1856. quoted in Reference [3] p.10, Ref. 6. 9. Donaldson, E.C.; Civan, F; Alam, M.W.; “Relative Permeabilities at Simulated Reservoir Conditions”, SPE paper 16970; September 1987; pp. 395-404. 10. Donaldson, E.C.; Civan, F; Alam, M.W.; “Relative Permeabilities at Simulated Reservoir Conditions”, SPE Reservoir Engineering; November 1988; pp. 1323-1327. 11. Pozrikidis, K; “Numerical Computation in Science and Engineering”; Oxford University Press, New York, 1998; pp. 533, 570-573. 12. Thomas, G.W; “Principles of Hydrocarbon Reservoir Simulation”; International Human Resources Development Corporation; Boston US; 1982; Chapters 2, 5; p.11-33, 61-78. 13. Civan, F; “Convenient Formulation for Inmiscible Displacement in Porous Media”; SPE 36701; 1996. 14. Darcy, H; “Les fontaines publiques de la ville de Dijon”; Victor Dalmont, 1856. quoted in Reference [3] p.10, Ref. 6. 15. Amyx, J; Bass, D; Whiting, R. “Petroleum Reservoir Engineering – Physical Properties”; pp. 203-209, McGraw-Hill 1960, USA.
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16. Craft, B.C.; Hawkins, M.C.; “Applied Petroleum Reservoir Engineering”, pp. 355-367; Prentice-Hall Inc., 1959, USA. 17. Collins, R.E.; “Flow of Fluids through Porous Materials”; pp. 47-48, 59-62, 270 – 275, Penn-Well Publishing Co, 1960, USA. 18. Hornbeck, R; “Numerical methods”; pp. 21-22, 269-282; Prentice Hall, New Jersey, USA, 1975. 19. Hornbeck, R; “Numerical methods”; pp. 21-22, 269-282; Prentice Hall, New Jersey, USA, 1975. 20. Hornbeck, R; “Numerical methods”; pp. 21-22, 269-282; Prentice Hall, New Jersey, USA, 1975. 21. Hornbeck, R; “Numerical methods”; pp. 21-22, 269-282; Prentice Hall, New Jersey, USA, 1975. 22. Thomas, G.W; “Principles of Hydrocarbon Reservoir Simulation”; International Human Resources Development Corporation; Boston US; 1982; Chapters 2, 5; p.11-33, 61-78. 23. Hornbeck, R; “Numerical methods”; pp. 21-22, 269-282; Prentice Hall, New Jersey, USA, 1975. 24. Hornbeck, R; “Numerical methods”; pp. 21-22, 269-282; Prentice Hall, New Jersey, USA, 1975. 25. Thomas, G.W; “Principles of Hydrocarbon Reservoir Simulation”; International Human Resources Development Corporation; Boston US; 1982; Chapters 2, 5; p.11-33, 61-78. 26. Pozrikidis, K; “Numerical Computation in Science and Engineering”; Oxford University Press, New York, 1998; pp. 533, 570-573.
29. Pozrikidis, K; “Numerical Computation in Science and Engineering”; Oxford University Press, New York, 1998; pp. 533, 570-573. 30. Pozrikidis, K; “Numerical Computation in Science and Engineering”; Oxford University Press, New York, 1998; pp. 533, 570-573. 31. A. T. Watson; J.E. Nordtvedt; A. Sylte; Kulkarni, RN; “TwoPhase Flow in Porous Media: Property Identification and Model Validation”, AIChEJ; Vol. 44, No. 11; p.2337, Nov. 1998. 32. Graue, A; Bogno, T; “Impacts of Capillary Pressure Imbibition Curves on the Simulation of Waterfloods in High Capillary Moderately-Wet Chalk”; Proceedings 6th Nordic Symposium on Petrophysics, pp. 1-12; Norway; 2001. 33. Richmond, P.C; Watson T, “Estimation of Multiphase Flow Functions from Displacement Experiments”, SPERE; February, pp. 121-127; 1990. 34. Civan, F; “Convenient Formulation for Inmiscible Displacement in Porous Media”; SPE 36701; 1996. 35. Donaldson, E.C.; Civan, F; Alam, M.W.; “Relative Permeabilities at Simulated Reservoir Conditions”, SPE paper 16970; September 1987; pp. 395-404. 36. Donaldson, E.C.; Civan, F; Alam, M.W.; “Relative Permeabilities at Simulated Reservoir Conditions”, SPE Reservoir Engineering; November 1988; pp. 1323-1327.
27. Pozrikidis, K; “Numerical Computation in Science and Engineering”; Oxford University Press, New York, 1998; pp. 533, 570-573. 28. Pozrikidis, K; “Numerical Computation in Science and Engineering”; Oxford University Press, New York, 1998; pp. 533, 570-573.
Acad. Ricardo Marcelo Michel Villazón Pablo Ortiz Mendoza Investigación realizado en el marco del Programa de Investigaciones UPSA - ANCB-SC.
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CONVERSATORIO “Disponibilidad del recurso agua en Santa Cruz de la Sierra” El conversatorio tuvo lugar el jueves 8 de diciembre de 2016 en Salón Auditorio de la Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra - UPSA. Fué inaugurado por el Presidente del Comité pro Santa Cruz, Ing. Roger Montenegro y por el Presidente de la ANCB-SC, Acad. Gastón Mejía. Participaron institucionalmente: Dr. Sergio Salazar Menacho, Director del Servicio Departamental de Gestión de Recursos Hídricos; Dra. Michele Lawrence Vargas,Secretaria Municipal de Medio Ambiente del Gobierno Autónomo Municipal de Santa Cruz de la Sierra; y como panelistas: Dra. Cinthia Asín Sánchez, Secretaria Departamental de Desarrollo Sostenible y Medio Ambiente del Gobierno Autónomo Departamental de Santa Cruz; MSc. Huáscar Bustillos Cayoja, Especialista en Ecología y Biología; Ing. Carlos Góngora Valdivia, Asesor de Recursos Hídricos GIZPERIAGUA; Ing. Victor Hugo Ortuño Barba, Presidente del Directorio de la Administración de la Federación Departamental de Cooperativas de Agua Potable y Alcantarillado de Santa Cruz. RESULTADOS (Preparado por el Comité pro Santa Cruz): De los aportes de los expositores y el público en general se puede resaltar lo siguiente: 1. CONCIENCIACIÓN SOBRE EL USO DEL AGUA. El agua es fuente de vida, derecho humano fundamentalísimo, recurso no renovable que corre el riesgo de agotarse con el transcurrir del tiempo si no se utiliza de forma sostenible con acciones y compromisos de todos. Constante crecimiento poblacional en el municipio de Santa Cruz de la Sierra, que genera la necesidad de impulsar con mayor ímpetu la concienciación ciudadana desde temprana edad hacia el cuidado y conservación de éste elemento vital, promoviendo la ejecución de programas de protección del ciclo del agua y educación ciudadana sobre la conservación de los recursos naturales; para ello, se deberá contar con la participación activa de los ciudadanos, sectores académicos, sector privado, debiendo involucrar de igual manera a los distintos niveles de gobierno: municipal, departamental y nacional, realizando acciones y/o tomando medidas inmediatas para prevenir o evitar de manera oportuna la degradación y el agotamiento de nuestras fuentes de agua, siendo prioritario para este fin el desarrollo de una serie de acciones locales mediante proyectos de investigación, diagnóstico, monitoreo de la calidad hídrica, fiscalización y control del agua, contribuyendo a la disponibilidad de este recurso en cantidad y calidad suficiente en beneficio de las presentes y futuras generaciones. Una excelente acción para ejecutar programas de educación ambiental efectivos en todos los niveles, es el de incluir en la curricula escolar una materia “Educación Ambiental”. Además la aplicación de programas o campañas del uso del recurso en cada una de las actividades diarias. 2. PROTECCION APREMIANTE DE LAS ZONAS DE RECARGA. Nos sumamos a la necesidad de exigir formalmente a las Autoridades Competentes, crear, administrar y proteger las 028
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áreas donde se encuentren zonas de recarga hídrica y fuentes de agua que abastecen los acuíferos de los que se provee nuestro municipio, de forma independiente a la jurisdicción donde estas se encuentren, debiendo definir políticas claras de diseño y urbanismo que permitan logar una gestión eficaz, eficiente, racional y sostenible del agua, a fin de garantizar la conservación del agua como derecho fundamentalísimo para la vida y por ende la continuidad de los servicios a largo plazo para satisfacer las necesidades de agua para consumo humano, los procesos productivos, la seguridad alimentaria y los sistemas de vida de la madre tierra. 3. NECESIDAD DE TRABAJAR EN TODOS LOS NIVELES DE GOBIERNO CON LA PARTICIPACION DE LA SOCIEDAD CIVIL. Es imperante la necesidad de que todos los niveles de gobierno, trabajen y ahonden esfuerzos para conservar y precautelar de forma sostenible el recurso agua, e incluyan la participación de la sociedad civil quien debe también participar de forma activa. Se critican las acciones de implementación y elaboración de leyes por parte de los niveles de los Gobiernos Nacional, Departamental o Municipal por no incluir a los actores principales en mesas de trabajo para análisis y propuestas. Por lo tanto, se exige que se incluya a los actores principales y especialistas que puedan representar a instituciones universitarias y civiles al momento de revisar el Reglamento sobre la protección del recurso agua y la creación del observatorio de agua. 4. OBSERVACIONES DEL SECTOR COOPERATIVO. No se entiende cómo siendo el agua un recurso fundamental (según la constitución), sea castigado el sector (según Ing. Victor Hugo Ortuño), indicando algunos aspectos: a. Son catalogados como industria, lo que afecta de manera directa en la “tasa de aseo urbano”, con cobros excesivos de “recojo de basura”, sin producirla. b. Para que funcione la Autoridad de Fiscalización y Control Social del Agua Potable y Saneamiento Básico (AAPS) pagamos 1,5% y además para la autoridad de Cooperativas 0,5 centavos de Bolivianos cada socio. c. No existe inversión pública sobre el Agua y Alcantarillado por parte del Estado, queriendo de todas las formas posibles exigir a las cooperativas realizar inversiones