Boletín #39 - Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, departamental Santa Cruz

AÑO 8 No. 39 Marzo de 2019

CONTENIDO 1. Ceremonia de nombramiento de Miembro Honorífico de la ANCB de la Mgs. Lauren Müller de Pacheco 2. Validación numérica del Modelo Civan de Desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en Testigos de Roca 3. Predicción de la Relación CondensadoGas en un Reservorio de Gas Retrógrado Utilizando B-Splines: Un Caso de Estudio 4. 9no. Taller de Proyectos de Investigación ANCB -SC UPSA y 4to.

Taller de Proyectos de Investigación UPSA * Los artículos publicados en el boletín son de entera responsabilidad de los autores y no expresan en ninguna forma la posición de la ANCB-SC sobre el tema.

ACADEMIA NACIONAL DE CIENCIAS DE BOLIVIA DEPARTAMENTAL SANTA CRUZ (ANCB-SC) INFORMACIÓN GENERAL: CONSEJO EDITORIAL: Acad. Francisco García G. Acad. Victor Hugo Limpias O. Acad. Gastón Mejía B. Acad. Marcelo Michel V. Acad. Alcides Parejas M. Acad. Marión K. Schulmeyer D. Acad. Carmen Rosa Serrano N. Acad. Mario Suárez R. Acad. Herland Vaca Diez B. EDICIÓN: Diseño gráfico: Yoshimi Iwanaga Edición Financiada por la Fundación Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra - UPSA DIRECCIÓN ANCB-SC: Fundación Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra - UPSA Av. Paraguá y 4to. Anillo Tel.: +591 (3) 346 4000 int. 285 Fax: +591 (3) 347 5408 gastonmejia@upsa.edu.bo franciscogarcia@cotas.com.bo

Ceremonia de nombramiento de Miembro Honorífico de la ANCB de la Mgs. Lauren Müller de Pacheco Hoy nos reunimos para celebrar un acontecimiento importante entre los miembros de esta gran familia que constituye la comunidad académico-científica cruceña y boliviana; acontecimiento que adquiere una significación particular por constituir un hecho único y primigenio a nivel de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, en cuyo seno se hallan inscritos nombres insignes de la cultura y la ciencia de Bolivia y de la humanidad, el otorgar el reconocimiento singular de Miembro Honorifico de la misma, en este caso, a una educadora digna de todo elogio, por sus logros directos e indirectos a favor de la formación de generaciones de mujeres y hombres en la Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra, que hoy son guías y referentes en Santa Cruz y en Bolivia; a una profesional que recibió numerosos reconocimientos otorgados por instituciones universitarias y profesionales, privadas y públicas de Bolivia y del exterior, por su contribución en el fortalecimiento, la mejora y el logro de llevar la gestión académica de una universidad, la UPSA, a un nivel de excelencia y, también debo mencionarlo, por su permanente apoyo a la comunidad de universidades cruceñas; a una mujer que ha hecho de la enseñanza su norte y su vida, que enaltece con su sencillez y su visión, la función de gestoría de la Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra, como Rectora de la misma, la Mgs. Lauren Müller de Pacheco.

Este resumen de la contribución de una persona, de una reconocida personalidad en el campo de la educación superior, como lo es la dignísima recipiendaria del título de Miembro Honorífico de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, resumen que hilvane con los hilos del orgullo y de la admiración, recordando la forma de ser de esta ilustre dama, que siempre buscó usar estrategias y tácticas para trabajar conjuntamente, estar mejor motivados o generar empatía mutua, mostrando en todo momento y circunstancia su carácter noble y sincero, radiando energía de una persona encantadora y hábil que muestra una integridad marcada y una fuerza de carácter definida a lo que debo sumar una reconocida capacidad de comunicación, virtudes que, parafraseando a George Jordán, cumplen con el concepto de que en la manos de cada individuo está el poder para el bien, esa influencia silenciosa y no consciente

que se radia mostrando lo que somos y no lo que pretendemos ser, condición personal de delicado virtuosismo que emana de la figura académica de la Rectora Müller de Pacheco.

Mas, como científico y como académico, debo referirme, como dice Thomas Kuhn, a un cambio positivo que se produjo hace 8 anos en el proceder académico de esta querida y renombrada Universidad que es la UPSA y en la visión de fortalecimiento de la comunidad científica a nivel Bolivia que se generó al interior de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, a esa ruptura con la forma de pensar, a un abandono de viejos paradigmas, o en mejor romance, a un inicio de cambios de paradigmas, en ambas instituciones, que condujo al establecimiento de un acuerdo entre la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, en ese entonces y hoy, representada por el Ilustre Académico Dr. Gonzalo Taboada López, aquí presente, y la Fundación Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra, representada por la Magnifica Rectora, Mgs. Lauren Müller de Pacheco, autores insignes en los procesos de constituir y apoyar la Departamental Santa Cruz de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia.

En estos ocho años transcurridos, desde julio de 2010, hemos pasado, de ser cuatro Miembros de Número Fundadores de la Departamental de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, a contar hoy con 10 Miembros de Número activos, habiendo transitado y lo seguimos haciendo, con fe, inteligencia y trabajo, el territorio de construcción y fortalecimiento de nuestra Institución, con la mira puesta en esa realidad objetiva de tener a nuestro alrededor a dignísimas y reconocidas personalidades, a científicos de talla, a intelectuales de altísimo valor que habitan esta hermosa tierra que es Santa Cruz y que trabajar en unir esfuerzos, visiones y esperanzas con esta pléyade de científicos e intelectuales, se transformó en nuestro norte, dando origen en consecuencia a la organización del Consejo de Investigaciones Científicas del que hoy son parte más de 60 investigadores de reconocido prestigio, acción enmarcada en principios de contribución al desarrollo humano y del logro del bienestar de la comunidad con honestidad, con imparcialidad, con equidad y con justicia, principios que constituyen TESAPE ARANDU

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el tejido de la digna sociedad Cruceña, de la que hoy formamos parte, tejido hilado a lo largo de su historia y forjado en las raíces de su realidad y de su contribución.

Estos principios que son parte de la condición humana, parte de la conciencia humana, trascienden en el tiempo y el grado en que los miembros de una sociedad los reconocen y viven en armonía con ellos, los llevan a lograr una organización y una estabilidad adecuada que en nuestro caso permitió el rápido desarrollo de la Departamental Santa Cruz de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, la única de su tipo en Bolivia, tanto en su membrecía que hoy nuclea a mas de 70 investigadores e intelectuales, como en su creciente contribución en el campo de difusión de la cultura mencionando el Boletín científico Tesape Arandu que se encuentra en su 39 versión, como uno de los vehículos utilizados para este efecto, así como en su intensa actividad de promoción de la investigación llevada a cabo permanentemente durante estos años. logrando la realización de más de 40 proyectos, y finalmente, en su labor de trabajar juntos, academia y comunidad, en busca de fortalecer esa conciencia de lo valioso de la Cultura y de la Ciencia de los pueblos del Oriente de Bolivia que se muestra en los ocho seminarios organizados sobre las culturas prehispánicas del Oriente Boliviano y de lo importante de su entroncamiento con la visión avanzada y de frontera de la ciencia y la técnica moderna como lo constituyen las Galileadas, los Conversatorios, los Cafés Científicos y los Talleres de Proyectos de Investigación, organizados y realizados por la Departamental de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia, en casi una decena de oportunidades, en cada caso.

Han transcurrido 8 años de actividad, lograda con el apoyo de las autoridades de nuestra casa madre, liderizadas por su Ilustre Presidente Acad. Gonzalo Taboada, y con el respaldo institucional, financiero y administrativo permanente que nos otorga la UPSA, por intermedio del Presidente del Directorio de la Fundación UPSA, Lic. Carlos M. Díaz y de las personalidades

que constituyen el Directorio de la Fundación UPSA, mediante su Rectora quien apoya y contribuye efectivamente al quehacer de la Departamental Santa Cruz, con el apoyo recibido de sus autoridades administrativas a la cabeza de su Gerente General, y de sus ilustres autoridades académicas, a quienes expresamos, en nombre de la Cultura y de la Ciencia, nuestro reconocimiento, empuje institucional que nos llevó y nos lleva a participar en esa búsqueda permanente de la sociedad cruceña por su desarrollo y su bienestar y a trabajar conjuntamente para crear conciencia sobre lo importante que es aportar en forma amplia y decidida a conocer y a difundir, con inteligencia y con trabajo, mediante la investigación, aspectos vitales del quehacer histórico, social, económico y técnico de esta insigne comunidad y a lograr soluciones que requiere la dinámica de creciente progreso de esta tierra noble y generosa que es Santa Cruz.

Citando a ese Maestro de la filosofía que es Aristóteles quien dice que las personas, en este caso, los científicos, somos lo que repetidamente hacemos como científicos, ese accionar permanente que lleva al reconocimiento que nuestro quehacer está constituido de hábitos, en este caso, y así lo entendemos, hábitos en cómo lograr desarrollar esa intersección entre el conocimiento (el preguntar qué hacer), la habilidad (el buscar cómo hacer) y el deseo (lo que nos motiva), en otras palabras, hábitos en el ser y en el hacer, factores que nos definen como científicos, como investigadores, como intelectuales que como objetivo buscan delinear sus funciones y determinar lo efectivo de sus contribuciones avanzando, para ello, en un accionar constituido no solo de escuchar a los colegas y a los miembros de la comunidad en sus planteamientos y en sus necesidades sino de saberlos escuchar y, sobre todo, lo importante, de quererlos escuchar en cuanto a las realidades críticas que enfrentan y en buscar conjuntamente soluciones a las mismas, forma de ser de la que hace gala la Magnifica Rectora de la UPSA y que llevan a que los académicos la recibamos con orgullo como Miembro Honorifico de nuestra comunidad.

Acad. Gastón Mejía Brown Presidente ANCB-SC

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Validación numérica del Modelo Civan de Desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en Testigos de Roca 1. Introducción El modelamiento y formulación del desplazamiento inmiscible en medios porosos, y las condiciones límite que le resultan aplicables, es un tópico de investigación continuo1 2 3. Buckley y Leverett4 5 desarrollaron la Ecuación de Avance Frontal donde el desplazamiento se asumía de tipo pistón al simplificar los efectos de la presión capilar durante el desplazamiento. Welge6 propuso mediante integración una solución analítica a esta ecuación, considerando un medio isotrópico y homogéneo unidimensional para flujo de tipo lineal, radial y esférico. La inclusión de la presión capilar en la formulación resulta en una ecuación diferencial parcial de segundo orden de tipo convección-difusión donde las dependencias entre las variables le confieren un comportamiento no lineal.

Civan7 presentó una formulación para el desplazamiento inmiscible de fluidos dentro de un medio poroso donde la ecuación de continuidad macroscópica es obtenida por promediado del medio poroso y la formulación de flujo fraccional es extendida y generalizada para incluir un medio anisótropico y heterogéneo.

En su forma unidimensional, la formulación asume el flujo horizontal de un fluido incompresible en un volumen poroso cilíndrico finito y limitado. Los procesos de desplazamiento inmiscible contemplan tanto los casos de imbibición y de drenaje donde la fase mojante puede ser agua o petróleo. El fluido desplazante se inyecta en el medio poroso a un caudal constante, manteniendo constante la presión en la cara de salida, en una magnitud predefinida. Se asume que el flujo volumétrico del fluido desplazado y del fluido inyectado se comporta según dictamina la forma extendida para flujo multifásico de la Ley de Darcy8, donde es incluido el concepto de permeabilidad relativa y la presión capilar.

La presión del sistema se aproxima por aplicación de la formulación de Donaldson9 10 que modela la presión en un sistema bifásico, hecho que resulta conveniente pues permite el computo de una de las presiones por aplicación de la definición de presión capilar.

Cuatro condiciones limite son necesarias para caracterizar el comportamiento del fenómeno de desplazamiento inmisicible.

Una condición límite para la cara de entrada por cuanto en este punto del medio poroso solo la fase inyectada se encuentra presente y tres condiciones límite para la cara de salida a fin de considerar las tres etapas del fenómeno: antes de la ruptura, después la ruptura y tras un tiempo infinito luego de la ruptura de la fase desplazante. Es cabalmente esta diferenciación en las condiciones límite en la cara de salida donde la formulación de Civan se distingue del resto, que contemplan una o dos condiciones solamente. El autor plantea la ventaja comparativa en precisión de resultados y la conveniencia de su formulación, afirmación que no se demuestra en su estudio y debe ser validado mediante la implementación del modelo.

1.1. Objeto del Estudio El trabajo propuesto tiene por objetivo la investigación y validación numérica del modelo Civan de desplazamiento

inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en reservorios de petróleo. Un simulador numérico es diseñado con la forma discreta de la formulación de Civan y es implementado en el ordenador para aproximar el comportamiento de los experimentos comúnmente realizados en ambiente de laboratorio para el desplazamiento inmiscible de fluidos en testigos de roca.

1.2. Objetivos Son objetivos de la investigación: a) Caracterizar el modelo Civan de desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en reservorios de petróleo. b) Discretizar el modelo Civan mediante la aplicación del cálculo por diferencias finitas para expresarlo en una formulación que resulte computable por el ordenador. c) Aplicar métodos numéricos iterativos para el tratamiento de la ecuación diferencial parcial no lineal que modela el transporte en el medio poroso, presente en la formulación del modelo. d) Diseñar e implementar un simulador numérico para el cómputo de la forma discreta y linear del modelo. e) Comparar los resultados del simulador con los resultados de estudios de desplazamiento inmiscible de fluidos realizados en ambiente de laboratorio. f) Determinar la precisión del modelo Civan para la generación de las curvas de saturación de fluido y de presión capilar.

1.3. Justificación La validación experimental del modelo de desplazamiento inmiscible de Civan requiere de la realización de una serie de ensayos de laboratorio de desplazamiento bifásico sobre testigos de roca bajo diversas condiciones de inyección de fluido, a efectos de obtener los valores de las curvas de saturación antes, durante y después de la ruptura de la fase desplazante.

La adquisición y montaje del equipo de laboratorio necesario para efectuar estas pruebas resulta oneroso, así como su mantenimiento y la capacitación/contratación del personal especializado para su operación. Un enfoque práctico para evitar incurrir en estos costos, y efectuar una validación útil de la formulación propuesta por el modelo, es la implementación del modelo mediante la simulación numérica definida sobre la base de la forma discreta de sus ecuaciones constitutivas y aplicada sobre una representación geométrica finita del objeto de estudio, en este caso, el testigo de roca.

Los simuladores numéricos basados en el computador son ampliamente empleados como medio para el tratamiento e implementación de los rigurosos modelos matemáticos que caracterizan el flujo multifásico por cuanto no se ven afectados por las limitaciones de los métodos de interpretación directa, particularmente susceptibles a error de medición y errores mecánicos. El empleo de métodos numéricos y de la simulación permite la aproximación de las pruebas de laboratorio para una rápida implementación de diversos escenarios, lo cual contribuye a alcanzar un entendimiento mejor del fenómeno físico y TESAPE ARANDU

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provee información que se complementa con los resultados de laboratorio.

1.4. Metodología La investigación se fundamenta en una revisión de los aspectos matemáticos que caracterizan al modelamiento del desplazamiento inmiscible de fluidos en un medio poroso. En esta revisión, el modelo planteado por Civan para el desplazamiento inmiscible de fluidos aplicado a la inyección de agua en reservorios de petróleo es caracterizado, expresado en una sola dimensión y discretizado mediante la aplicación del cálculo por diferencias finitas. La forma discreta de la formulación es expresada en una representación matricial tridiagonal para su cómputo en un ordenador por aplicación del algoritmo de Thomas.

Las interaciones Newton-Raphson11 son consideradas para el tratamiento de los términos no lineales de la ecuación diferencial parcial que modela el transporte en el medio poroso, conservando los criterios de estabilidad y convergencia mediante cómputo del número de Courant-Friedrich-Levy12. El algoritmo resultante, motor de cómputo del simulador numérico, es implementado empleando un lenguaje de programación de nivel alto.

Se provee al simulador con entradas de datos obtenidas de los resultados de estudios de desplazamiento inmiscible de fluidos realizados en ambiente de laboratorio y publicados en la literatura científica especializada. El error relativo en los resultados obtenidos por simulación es calculado y se determina la precisión del modelo Civan para la generación de las curvas de saturación de fluido y de presión capilar; y la validez de las condiciones limite propuestas por el autor para modelar el comportamiento en la cara de salida del medio poroso.

2. Modelos Matemáticos Constitutivos Se presenta la formulación de los modelos matemáticos adoptados para la simulación de las pruebas de laboratorio sobre testigos de roca, asi como sus características importantes.

Asimismo, se describe la técnica de simulación numérica empleada y las ecuaciones utilizadas para la discretizacion del modelo bajo estudio. Finalmente, es presentada la forma discreta del modelo de desplazamiento inmiscible bifásico para los casos contemplados en el presente estudio.

2.1. Forma General del Modelo de Desplazamiento Bifásico Inmiscible de Civan Civan13 presentó una rigurosa formulación matemática para el desplazamiento bifásico de fluidos en un medio poroso, aplicando la formulación a la recuperación secundaria de petróleo por inyección de agua en reservorios petrolíferos. El modelo, dinámico en naturaleza, se enfoca en la determinación del perfil de saturación de agua como una función dependiente del espacio y del tiempo:

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····(E-1)

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La condición limite generalizada para este modelo está dada por la expresión: ····(E-2) Los superíndices (+) y (-) denotan a la cara interna y externa del límite permeable. Para ambas ecuaciones la variable t y el operador de divergencia indican la variabilidad y dependencia del modelo respecto del tiempo y del espacio. Sw denota la saturación de agua en la roca. El cambio en densidad está dado por la expresión:

····(E-3)

El caudal de flujo del agua tiene la expresión:

····(E-4)

donde el termino rw es la tasa másica de agua perdida. El término Fw denota la función de flujo fraccional de agua y está dada por la expresión:

····(E-5)

La formulación provista por las ecuaciones precedentes es aplicable a un amplio rango de escenarios de prueba tanto en laboratorio como en simulación.

2.2. Forma Unidimensional del Modelo de Desplazamiento Bifásico Inmiscible Como se expresó anteriormente, la primera etapa de validación de la formulación se hace con la forma simplificada del modelo donde se tiene únicamente dependencia en el tiempo y en una sola dimensión del espacio. Por ende, el desarrollo de la presente sección asume flujo unidimensional de fluidos incompresibles en un testigo de roca homogéneo e isotrópico, tanto para los casos de desplazamiento por imbibición así como por drenaje. El flujo se inicia por inyección de una fase a un caudal constante a efecto de desplazar la otra fase, saturando el volumen poroso al 100% en forma previa a la inyección de la fase desplazante. La presión se mantiene constante e igual a 1 atmósfera en la cara de salida del testigo de roca. Para poder distinguir entre los casos de imbibición y drenaje y adoptar una convención para la fase que se considera desplazante y la fase que es desplazada, se define que el medio poroso es mojable al agua (hidrófilo).

Como consecuencia de estos supuestos, es posible realizar simplificaciones en el modelo general, llegando a una formulación sencilla de discretizar e implementar en el computador. Habiendo supuesto la homogeneidad e isotropía del medio poroso, la derivada de porosidad dependiente del tiempo de la ecuación (E-1) se cancela y tanto la porosidad como la permeabilidad

absoluta se hacen constantes. De igual manera, el flujo horizontal asumido para la realización de la prueba de desplazamiento hace que el coeficiente de dispersión gravitatoria sea simplificado y eliminado de la formulación.

La derivada parcial del flujo volumétrico dependiente del espacio también resulta cancelada por cuanto la condición de inyección establecida para el fluido desplazante es a caudal constante. Finalmente, la función derivada del flujo fraccional de agua puede ser expresada en términos de la saturación de agua por aplicación de la regla de diferenciación en cadena. El resultado de aplicar estas consideraciones al modelo original lleva a la expresión:

····(E-6)

donde la condición inicial está dada por:

····(E-7)

donde (Sw)* denota el valor de saturación de agua en el testigo de roca en condiciones iniciales. Respecto de las condiciones límite, presentan una forma particular dependiendo del tipo de desplazamiento considerado: imbibición o drenaje.

Para el caso del proceso de drenaje, la condición límite en la cara de entrada del testigo de roca está dada por la ecuación:

····(E-8)

Esta expresión se obtiene por simplificación de la ecuación E-2 en vista de que el único fluido presente en la cara de entra es el petróleo que es inyectado y, como consecuencia de esto, no existe flujo volumétrico alguno de agua y el flujo volumétrico de petróleo se corresponde directamente con el flujo de petróleo que es inyectado.

Para el caso de las condiciones límite en la cara de salida, tres expresiones diferentes son consideradas para modelar mejor tres periodos de tiempo distinguibles durante el suceso del fenómeno de desplazamiento inmiscible: previo a la ruptura, después de la ruptura y a inyección infinita de la fase desplazante. Esta diferenciación en las condiciones limite es conveniente para efectos del presente estudio por cuanto los datos calculados para el periodo de tiempo después de la ruptura pueden ser comparados con los reportados por estudios realizados en condiciones de laboratorio y a nivel experimental.

Nótese también que, hasta el suceso del tiempo de ruptura del petróleo, el flujo de petróleo en la cara de salida es nulo por lo que el volumen de agua producida durante esta etapa es igual al volumen de petróleo que es inyectado en la cara de entrada del testigo de roca. Con esta consideración, es posible reformular la ecuación (E-2):

····(E-9)

Una vez que la ruptura de la fase desplazante (petróleo en este caso) tiene lugar, y hasta el suceso de la inyección infinita, en la cara de salida se observa flujo simultaneo de agua y petróleo. En vista de ello, el balance volumétrico requiere que la suma de los volúmenes de agua y de petróleo que son producidos, debe ser igual al volumen de petróleo que es inyectado. De esta manera, la ecuación (E-2) puede ser formulada como se muestra en la ecuación (E-10), respetando la condición de balance de materia establecida por la ecuación (E-11) complementaria:

····(E-10)

····(E-11)

Llegado el tiempo donde se observa la inyección infinita de la fase desplazante, el flujo de agua medido en la cara de salida es nulo debido a que la fase acuosa ha alcanzado su saturación irreducible y, como consecuencia, el balance volumétrico para ambas fases establece que el volumen de petróleo que es producido y medido en la cara de salida sea igual al volumen del petróleo que es inyectado en la cara de entrada del testigo de roca. Siendo así, la condición límite establecida por la ecuación (E-2) puede ser reformulada para adoptar la expresión:

····(E-12)

Para el caso donde el proceso de desplazamiento inmiscible es una imbibición, se puede conducir una análisis similar sobre la condición límite generalizada, ecuación (E-2), de modo que puedan ser deducidas las condiciones límite tanto para la cara de entrada como para la cara de salida del testigo de roca. El resultado se presenta en las ecuaciones (E-13) a (E-16) donde por simple inspección de los subíndices en las variables de viscosidad, velocidad de flujo y permeabilidad relativa, es posible notar el cambio del petróleo por agua como la fase desplazante. La condición limite en la cara de entrada viene dada por la ecuación (E-13):

····(E-13)

Las condiciones límite en la cara de salida vienen dadas por las ecuaciones (E-14) a (E-16):

····(E-14)

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····(E-15)

····(E-16)

2.3. Análisis de Dependencias Funcionales en el Modelo de Desplazamiento Es importante notar que existe una relación de dependencia implícita presente en la formulación del modelo de Civan respecto de la saturación de agua (Sw), para la mayor parte de las variables que le constituyen. Aunque esta situación conduce a una no linealidad en los términos diferenciales, es conveniente por cuanto la dependencia en una única variable reduce significativamente la complejidad del cómputo, en particular, cuando se realiza por medio de un ordenador. Las variables con dependencia funcional respecto de la saturación de agua se presentan en las ecuaciones (E-17) a (E-20):

····(E-21)

Considerando la relación entre el caudal (q) y el flujo volumétrico (v), es posible reformular la ecuación (E-21) :

····(E-22)

····(E-17)

····(E-18)

La determinación de la derivada de presión de petróleo no es necesaria por cuanto la presión capilar y la presión del agua son usadas para el computo del flujo volumétrico de petróleo.

La diferencia de presión medida a lo largo del testigo de roca durante el suceso del desplazamiento inmiscible es computada por integración directa de la ecuación (E-23):

····(E-19)

····(E-20)

El examen de las dependencias funcionales en este modelo permite inferir que la única existente es respecto de la saturación de agua, siempre bajo condiciones y limitaciones establecidas al inicio del problema.

Cualquier otro término algebraico en la formulación del modelo de desplazamiento inmiscible dado por las ecuaciones (E6) a (E-16) puede ser considerado como constante en vista de las consideraciones hechas para delimitar el problema bajo estudio: el flujo volumétrico de la fase inyectada se mantiene constante durante el suceso del proceso de desplazamiento inmiscible y las viscosidades de ambas fases se mantienen constantes toda vez que el desplazamiento es un proceso isotérmico. De este modo la formulación del modelo resultante se expresa como función dependiente únicamente de la magnitud de la saturación de agua.

El tratamiento de la no linealidad de la ecuación diferencial de transporte del modelo, ecuación (E-6), se presenta en la discusión de la técnica numérica empleada para la formulación discreta del mismo y su resolución (acápite 3.1).

2.4. Modelo de Diferencial de Presión La selección de la formulación para el cómputo del perfil de presión se hace con base en las condiciones de flujo establecidas para el problema. Fueron asumidas condiciones de flujo inestable para el suceso de las pruebas de desplazamiento inmiscible donde el caudal de inyección es constante con una caída de presión a lo largo del testigo de roca y con la presión en la cara de salida fijada en 1 atmósfera, El modelo presentado por Donaldson et 06

al, para la caracterización de la presión en un sistema bifásico, resulta apropiado bajo estas condiciones. Este modelo expresa la derivada de la presión de agua para flujo horizontal, como se muestra:

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····(E-23)

2.5. Modelo de Flujo Volumétrico Multifásico La formulación adoptada para el modelo de flujo volumétrico multifásico viene dada por la forma extendida de la Ley de Darcy.

La expresión formulada originalmente por Darcy14 fue deducida para su aplicación en un medio poroso donde solo una única fase homogénea se encontraba presente. Esta ecuación fue llevada a una forma generalizada para incluir los efectos gravitatorios:

····(E-24)

Para describir el flujo simultaneo de dos o más fluidos en el medio poroso, es necesario extender el concepto de permeabilidad para incluir la noción de permeabilidad efectiva y permeabilidad relativa15 16 17. Para el caso de un sistema bifásico agua-petróleo, y manteniendo las mismas restricciones aplicadas al modelo de desplazamiento inmiscible, el flujo es descrito por las ecuaciones (E-25) y (E-26):

····(E-25)

····(E-26)

Los vectores de flujo vw y vo de las fases inmiscibles fluyendo en el medio poroso son dependientes del diferencial de presión de la fase que movilizan. En un punto del espacio unidimensional, cuando ambas fases entran en contacto, se suscita una diferencia entre ambas presiones de fase, Po y Pw, a nivel de una interface de equilibrio curvada y referida como presión capilar. La ecuación (E-27) denota como esta presión capilar establece la relación entre la presión del petróleo y la presión del agua:

····(E-27)

La presión capilar es comúnmente medida en condiciones de laboratorio mediante experimentos de inyección de mercurio o por centrifugación de muestras. Si esta información está disponible, es posible despejar la presión del petróleo (Po) en la ecuación (E-27) y reemplazarla en la ecuación (E-26) a efectos de obtener una formulación dependiente únicamente en una sola presión de fase, tal como se muestra en la ecuación (E-28):

····(E-28)

Para expresar la relación de dependencia existente entre la presión capilar y la saturación de agua, ecuación (E-28) precedente, la derivada parcial de la presión capilar respecto del espacio se expandió empleando la regla de diferenciación en cadena.

Las ecuaciones (E-25) y (E-28), pueden ser también expresadas en la forma del flujo volumétrico total instantáneo vt. Este flujo se computa por simple adición de los vectores de flujo existentes en un instante t de tiempo:

····(E-29)

Si bien los flujos volumétricos de las ecuaciones (E-25), (E-28) y (E-29) establecen el suceso del desplazamiento de fase, en la práctica y diseño de pruebas de laboratorio, el uso del caudal volumétrico es preferido por cuanto la medición del volumen inyectado y desplazado por unidad de tiempo resulta menos complejo en su implementación. En el estudio que se presenta, fue establecido que un caudal de inyección constante de la fase desplazante es aplicado. La relación entre el caudal y el flujo volumétrico es presentada:

····(E-30)

La información de caudal volumétrico para ambas fases y para los casos de imbibición y drenaje es importante para el análisis cabal del proceso de desplazamiento inmiscible. Por ende, la magnitud del caudal volumétrico acumulado durante este proceso debe ser registrado. Al tratarse de valor cumulativo entre dos instantes de tiempo, la relación entre el flujo volumétrico

y el caudal volumétrico acumulado es dada por la integral que se expresa en la ecuación (E-31), donde el subíndice i denota a ambas fases (agua y petróleo):

····(E-31)

El mismo principio empleado en la deducción de la ecuación (E-29) puede ser aplicado para inferir el caudal volumétrico total (qt) y el caudal volumétrico acumulado total (Qt):

····(E-32)

····(E-33)

2.6. Análisis de Dependencias Funcionales en el Modelo de Flujo Volumétrico A partir de las ecuaciones (E-22) a (E-30) es posible identificar nuevas dependencias funcionales como resultado de las restricciones aplicadas al problema general. El flujo volumétrico de petróleo expresado en la ecuación (E-25) exhibe una dependencia con la saturación de agua, la permeabilidad relativa del petróleo, la presión capilar y la presión del agua.

Por otra parte, el flujo volumétrico del agua de la ecuación (E22) depende únicamente de su presión y de su permeabilidad relativa. Considerando las ecuaciones (E-17) a (E-20), es fácil inferir, por transitividad, que la dependencia de ambos flujos volumétricos existe solo para la saturación de agua y la presión de agua. Así se muestra en las ecuaciones (E-34) y (E-35):

····(E-34)

····(E-35)

Una tercera dependencia de los flujos volumétricos, la dependencia respecto del tiempo, ya ha sido caracterizada y modelada por medio de las ecuaciones (E-6) a (E-16), empleando el modelo de desplazamiento inmiscible de fluidos de Civan.

En lo que respecta a los caudales volumétricos y los caudales volumétricos acumulados, presentados en las ecuaciones (E-30 a E-33), estas expresiones son exclusivamente dependientes del tiempo por cuanto las funciones de velocidad también lo son. Si consideramos que la saturación de agua es también una variable dependiente del tiempo, entonces es posible establecer una dependencia en términos de la saturación del agua y la presión del agua. En este punto, es evidente que el modelo de flujo volumétrico mulitfásico como un todo presenta una dependencia intrínseca con estas dos variables y, por esto, su cálculo está supeditado a la determinación previa de estas dos cantidades. La dependencia con la saturación de agua se resuelve por aplicación y computo del modelo de desplazamiento inmiscible presentado en las ecuaciones (E-6) a (E-16). La dependencia con la presión TESAPE ARANDU

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de agua es resuelta por aplicación del modelo de perfil de presión presentado en las ecuaciones (E-21) a (E-23).

3. Molécula Discreta para Cómputo del Modelo La formulación del modelo de desplazamiento inmiscible bifásico consiste en una ecuación diferencial parcial parabólica de segundo orden, sujeta a cuatro condiciones limite que contienen términos diferenciales de primer orden18. Su tratamiento a nivel computacional requiere que dicha formulación es llevada en su forma discreta a efecto de expresarla en una forma adecuada para su tratamiento numérico y posterior implementación en el ordenador.

El cálculo por diferencias finitas19 es una herramienta conveniente para este propósito, siendo este esquema numérico el seleccionado para el presente estudio. La primera y la segunda derivadas parciales de la dimensión espacial son discretizadas por aplicación de la forma central de diferencia finita, esquema adecuado no solo por exhibir un error aceptable de segundo orden sino porque requiere menor cantidad de términos de la función primitiva para la estimación del diferencial. La forma discreta general de la primera y la segunda derivadas parciales20 se muestra en las ecuaciones (E-36) y (E-37) a seguir:

····(E-36)

···· E-37)

Fue adoptado un enfoque de solución implícito para la implementación de la solución, no solamente por el beneficio que supone su mayor estabilidad y rápida convergencia23, cuando se compara con los enfoques explícitos sino, también, por la naturaleza iterativa del enfoque que permite hacer un tratamiento adecuado de las tolerancias al error. Es necesario remarcar que el enfoque de solución implícito requiere de la selección de incrementos de tiempo discreto (□t) suficientemente pequeños para evitar la propagación de error que supone el empleo de una diferencia finita de primer orden de truncamiento en la forma discreta de la primera derivada parcial respecto del tiempo. Esta derivada es evaluada en tiempo de simulación futuro (t=n+1), por lo que es incógnita hasta el suceso del cómputo de ese tiempo discreto en particular.

En consecuencia, la forma discreta del modelo de desplazamiento inmiscible bifásico adopta la forma de un sistema de ecuaciones algebraicas y es necesario seleccionar un método numérico de resolución para los puntos espaciales de la grilla adoptada para representar la geometría del testigo de roca.

En el estudio que se presenta, el método numérico seleccionado es el propuesto por Thomas por cuanto la forma discreta final del modelo puede ser expresada como una matriz simétrica tridiagonal y la descomposición Cholesky24 en matriz LU que aplica el método de Thomas permite que la solución del sistema de ecuaciones sea eficiente en términos de tiempo y memoria principal. De esta forma, la molécula computacional implícita25 se presenta en la Figura 2.

Figura 2. Molécula Computacional Implícita

La primera derivada respecto del tiempo21 es aproximada por una diferencia finito hacia atrás, en su expresión de primer orden de truncamiento:

····(E-38)

Los subíndices denotan la dimensión espacial y los superíndices denotan la dimensión temporal. Una geometría de grilla centrada en bloque22 fue considerada en virtud al conveniente tratamiento que se hace de las condiciones límite para el flujo volumétrico, medido en las caras de entrada y salida del testigo de roca (Figura 1): Figura 1. Grilla de Simulación centrada en el bloque

08

TESAPE ARANDU

Nota: Δt no necesariamente debe ser igual a Δx.

3.1. Forma Discreta del Modelo de Desplazamiento Inmiscible Para la aplicación de la molécula computacional implícita en la discretización del modelo de desplazamiento bifásico inmiscible, es necesario llevarlo a una expresión reducida que minimice la complejidad del tratamiento algebraico. Para este efecto, las ecuaciones constitutivas del modelo son expandidas y reagrupadas para introducir dos coeficientes que llevan a la ecuación diferencial parcial a su forma parabólica general:

····(E-39)

donde y representan los coeficientes de pseudo advección y pseudo difusión, que se definen como:

····(E-44)

····(E-45)

····(E-46)

····(E-47)

····(E-48)

····(E-40)

····(E-41)

Aplicando las ecuaciones E-36 a E-38 a la ecuación E-39, el sistema de ecuaciones algebraicas por diferencias finitas se expresa:

(E-43) es expresada como se muestra en las ecuaciones (E-44) a (E-48):

····(E-42)

donde N denota el número total de punto discretos en la grilla. La ecuación (E-42) puede ser reformulada para llegar a la expresión:

En esta forma discreta del modelo, la simplificación aplicada estima el termino de segundo orden (Sn+1)2 con el producto Sn Sn+1. El error computacional introducido es reducido mediante iteraciones tipo Newton dentro de cada ciclo de tiempo, donde el error relativo entre el valor de saturación de agua tiempo presente y el valor de saturación tiempo futuro es reducido hasta alcanzar una magnitud inferior al 1%, .

····(E-43)

Cabe notar que, en la ecuación (E-40), D es una función de la saturación de agua por cuanto la ecuación (E-41) presenta el termino diferencial dPc/dSw. En vista de ello, esta derivada puede ser expresada como (∂D/∂Sw)(∂Sw/∂x), por aplicación de la regla en cadena de diferenciación, y permite evidenciar la existencia del término diferencial (∂Sw/∂x)2 que no es lineal y resulta encubierto por la factorización realizada sobre la ecuación (E-6) que origina al coeficiente de pseudo advección , ecuación (E-40).

Los productos ( in+1)(Skn+1) y ( in+1)(Skn+1) generan expresiones no lineales dependientes de la saturación de agua y con evaluación en tiempo futuro t=n+1, aspecto que complica la discretización matemática al producir un sistema de ecuaciones no lineales cuyo tratamiento no podrá ser abordad a través del método de Thomas. Este problema es resuelto redefiniendo el tiempo evaluación de los coeficientes in+1 y in+1 para pasarlos de tiempo futuro a tiempo presente t=n. Al hacer esto, ambos coeficientes son computados con los valores de saturación del n n-ésimo ciclo de simulación, y in, y son tratados como i constantes al momento de calcular el sistema de ecuaciones del n-ésimo subsiguiente ciclo. Bajo esta consideración, la ecuación

····(E-49)

Por cuanto el volumen poroso es dividido en una grilla unidimensional de N nodos (Figura 1), la expresión de la forma discreta general del modelo de desplazamiento inmiscible en la ecuación (E-44) es evaluada tanto para el nodo que representa la cara de entrada (i=1) como para el nodo que representa la cara de salida (i=N), y ajustada a las condiciones límite presentadas en las ecuaciones (E-8) a (E-16). Evaluando la ecuación (E-44) para las caras de entrada y salida se obtiene:

····(E-50a)

····(E-50b)

En ambos casos se hace presente un nodo que queda fuera de la representación geométrica del volumen poroso del testigo de roca: el nodo S0 en la ecuación (E-50a) y el nodo SN+1 en la ecuación (E-50b). Estos nodos corresponden a nodos ficticios presentados en trazo segmentado (Figura 1) y deben ser expresados en función de los nodos reales del modelo. La forma algebraica discreta de estos dos nodos es dependiente de la expresión de las condiciones límite del modelo y, dado que estas varían según el desplazamiento sea drenaje o imbibición, se presenta en el acápite correspondiente a cada caso.

3.1.1. Forma Discreta para el caso de Drenaje Las condiciones límite para la cara de entrada y salida, en el caso de Drenaje, fueron presentan en las ecuaciones (E-8) TESAPE ARANDU

09

a (E-12) y son expresadas en su forma discreta. En el espacio unidimensional discreto, la cara de entrada del volumen poroso se encuentra en la mitad de la distancia que separa el punto centrado en el bloque ficticio S0 y el punto centrado en el bloque ficticio S1 (Figura 1). Esto hace que, en un dominio discreto, la cara de entrada se encuentre en la posición i=1/2. La forma discreta de la ecuación (E-8) en este punto tiene la expresión:

····(E-51a)

se Acomodan términos:

····(E-51b)

si se reemplaza la ecuación (E-51b) en la ecuación (E-50a), se tiene:

····(E-52a)

Tras factorizar términos es posible deducir una expresión que caracterice el estado del sistema para la cara de entrada. Esto se muestra en las ecuaciones (E-52b) a (E-54):

····(E-52b)

····(E-53)

····(E-54)

Para la forma discreta de la cara de salida, el punto en la mitad de la distancia entre el punto centrado del bloque SN y el punto centrado del bloque ficticio SN+1 es lugar que le corresponde dentro del espacio unidimensional. Esto hace que la cara de salida se encuentre en la posición i=N+1/2. En vista de ello, siguiendo similar procedimiento al presentado para la cara de entrada, es posible deducir la forma discreta de las ecuaciones (E-9) a (E-12). Una expresión común puede ser deducida para las tres condiciones limite, puesto que cada formula se diferencia, una de otra, únicamente en los términos de flujo volumétrico presentes según el tiempo considerado. La forma discreta del modelo para la cara de salida del volumen poroso se presenta en las ecuaciones (E-55) a (E-57):

010

····(E-55)

····(E-56)

TESAPE ARANDU

····(E-57)

La ecuación (E-57) contiene los términos de flujo volumétrico por cuanto considera la condición límite expresada en las ecuaciones (E-10) y (E-11). Ambos flujos volumétricos incluyen en su formulación ,los términos de permeabilidad relativa (kri) y derivada de la presión capilar (dPc/dx), ambas funciones dependientes de la saturación de agua (Sw), que es la incógnita a resolver en el modelo. Sin embargo, por cuanto las ecuaciones (E10) y (E-11) son aplicables en tiempo posterior a la ruptura (t>tb), es posible afirmar con certeza que existen valores de saturación de agua disponibles (de tiempo t=n) para el cálculo de ambos flujos (en tiempo t=n+1).

Con estas consideraciones, el modelo de desplazamiento inmiscible para el caso de drenaje presenta la forma discreta dada por la ecuación (E-58) y sujeta a la condición inicial dada por la ecuación (E-59):

····(E-58)

····(E-59)

donde S* representa la saturación de agua inicial presente en el volumen poroso. La función gi(S) claramente representa un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y puede ser expresada en forma matricial:

····(E-60)

Por cuanto la matriz de coeficientes es de tipo triangular simétrico, el sistema es soluble aplicando el método de Thomas.

Finalmente, los coeficientes de pseudo convección y pseudo difusión, dados por las ecuaciones (E-40) y (E-41), son llevados a su forma discreta. En el caso del coeficiente de pseudo advección, ¸ se presenta su forma discreta.

····(E-61b)

3.1.2. Forma Discreta para el caso de Imbibición Las condiciones límite para el caso imbibición fueron presentadas en las ecuaciones (E-13) a (E-26) y es deducida en su forma discreta. De igual forma que en el caso de drenaje, la ecuación de la cara de entrada es evaluada en el punto de inicio (i=1/2):

····(E-62a)

····(E-62b)

Reemplazando la ecuación (E-62b) en la ecuación (E-50a) se tiene:

····(E-67)

····(E-68)

····(E-61a)

Para el caso del coeficiente de pseudo difusión, , siendo que las funciones dependientes de saturación expresadas en las ecuaciones (E-17) a (E-20) están disponibles en forma tabular y son conocidas, el cómputo es directo:

····(E-63a)

Tras factorizar términos, es posible deducir una expresión que caracterice el estado del sistema para la cara de entrada. :

Con estas modificaciones, el modelo puede ser expresado en forma general por la ecuación (E-58) y sujeto a la condición inicial establecida por la ecuación (E-59). En consecuencia, su forma matricial es presentada en la ecuación (E-60).

3.2. Forma Discreta del Modelo de Diferencial de Presión La formulación del modelo está basa en el cómputo de la derivada de la presión de agua, dada por la ecuación (E-22). La presión en la cara de salida está preestablecida y asumida igual a 1 atmósfera para ambas fases. La forma discreta general de la ecuación (E-22), para el punto discreto i, tiene la expresión:

····(E-69)

Los valores para la derivada de la presión capilar en los distintos puntos de la grilla unidimensional, que representa al volumen poroso, son calculados numéricamente empleando los valores de presión capilar tabulados a varias magnitudes de saturación de agua y que se asumen conocidos. Bajo esta consideración, el diferencial de presión respecto del espacio puede ser resuelto por integración a lo largo del testigo de roca.

Al tratarse de un modelo discreto, esta integral es estimada numéricamente empleando la Regla de Simpson,:

····(E-70)

····(E-63b)

····(E-64)

En las dos ecuaciones precedentes se requiere el conocimiento del valor de la saturación de agua tanto en la cara de entrada (i=1/2) como en la cara de salida (i=N+1/2). A este efecto, y considerando la geometría mostrada en la Figura F-1, los valores de saturación son estimados por media aritmética:

····(E-65)

····(E-71)

Para la forma discreta de la cara de salida, es posible deducir las expresiones dadas por las ecuaciones (E-66) a (E-68):

····(E-72)

····(E-66)

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011

Se tiene que tanto S0 como SN+1 presentan diferentes expresiones algebraicas de acuerdo al tipo de desplazamiento inmiscible que es simulado (imbibición o drenaje).

3.3. Forma Discreta del Modelo de Flujo Volumétrico Multifásico La formulación base para el modelo de flujo volumétrico multifásico fue presentada en las ecuaciones (E-25), (E-28) y (E30). Por conveniencia, se emplean caudales en vez de flujos para la discretización de este modelo. Aplicando la ecuación (E-30) a la ecuación (E-25) se obtiene una expresión para la tasa de flujo volumétrico del agua. Por cuanto la medición de este valor se hace en la cara de salida, la derivada de presión de agua es evaluada únicamente en el último nodo de la grilla (x=L):

····(E-73)

De manera similar, el valor de la tasa de flujo volumétrico del petróleo en el nodo de salida es obtenida mediante la ecuación (E-28):

····(E-74)

Los valores de diferencial de presión a lo largo del volumen poroso son obtenidos del modelo dado por la ecuación (E-70) y presentados en la sección precedente.

Para el caso del caudal de flujo volumétrico acumulado es necesario aplicar un método numérico diferente para estimar el valor de la integral en la ecuación (E-31), se considera que, en tiempo de simulación t, un valor es computado para el flujo volumétrico en la cara de salida una vez que tanto el diferencial de presión como el de saturación de agua a lo largo del volumen poroso son determinados. Siendo así, un valor para una función de flujo volumétrico respecto del tiempo es generada después de cada t-ésimo ciclo de simulación, proveyendo un conjunto de datos tabulares. Por lo tanto, es posible aplicar la Regla de Simpson para calcular numéricamente la integral. Esto se muestra en las ecuaciones (E-75) y (E-76), según se disponga de un número impar o par de valores de caudal calculados:

····(E-75)

····(E-76)

3.4. Tratamiento de la Interpolación En el presente estudio, las funciones dependientes de la saturación de agua expresadas en las ecuaciones (E-17) a (E20) fueron obtenidas de mediciones experimentales reportadas en forma tabular. En este sentido, por cuanto el modelo de desplazamiento inmiscible no siempre produce valores que 012

TESAPE ARANDU

coincidan con las entradas de tablas discretas, fue adoptado el método de interpolación de Lagrange para la estimación de los valores no tabulados. La fórmula de interpolación se muestra en la ecuación (E-77):

····(E-77)

3.5. Criterios de Estabilidad La formulación que gobierna el fenómeno de desplazamiento inmiscible, ecuación (E-23), es una expresión diferencial parcial con efecto de convección-difusión. El análisis de estabilidad Von Neumann para este tipo de ecuaciones en su forma lineal se enfoca en los términos algebraicos contenidos en los coeficientes de pseudo advección y pseudo difusión26 definidos en las ecuaciones (E-24) y (E-25). Estas cantidades son empleadas para el cómputo de Número de Courant (C) y el Número de Difusión (α) de cada celda27:

····(E-78)

····(E-79)

La importancia de estos dos valores de estabilidad radica en su empleo para el cálculo del Factor de Amplificación (G) y el Número de Péclet28 de cada celda (Pec), los cuales tienen la expresión que se muestra en las ecuaciones (E-80) y (E-81):

····(E-80)

····(E-81)

donde i es el número imaginario y θ es el ángulo de fase para la estabilidad que se computa en función del incremento espacial Δx.

Por cuanto fue aplicado un enfoque de solución implícito en la forma de una molécula discreta central en el espacio y regresiva en el tiempo, las magnitudes del factor de amplificación y del número de Péclet de celda deben observar las restricciones que se indican en las ecuaciones (E-82) y (E-83) para que la solución no solo sea estable sino que, además, exhiba un significado físico interpretable29:

···· (E-82)

····(E-83)

Pozrikidis30 demostró para ecuaciones lineales que si el valor absoluto de G es menor a la unidad para cualquier valor posible de α y C, el método es incondicionalmente estable. Aun así, la condición indicada por la ecuación (E-83) debe ser observada al momento de elegir la magnitud del incremento espacial Δx.

Figura 4. Variación del Número de Difusión en el rango de Saturación de Agua

Por cuanto la ecuación (E-23) es de naturaleza no lineal, aunque haya sido empleada una técnica numérica para salvar la dependencia funcional con la saturación de agua existente entre los coeficientes y , las ecuaciones de estabilidad no tienen solución única para el modelo de desplazamiento inmiscible y y cambien en tiempo de cómputo. varían en la medida que Es necesario determinar el rango de variabilidad que exhiban tanto el coeficiente de pseudo convección como el coeficiente de pseudo difusión y que incide en el comportamiento del Número de Courant, el Número de Difusión, el Número de Péclet y el Factor de Amplificación.

A este efecto, y considerando que por definición la saturación de agua solo puede variar en el intervalo dado por Swc ≤ Sw ≤ 1-Sor, las ecuaciones (E-24), (E-25), (E-78), (E-79) y (E-81) fueron calculadas empleando los datos de laboratorio (Tabla 1), para varios valores de Δx y Δt. El valor máximo posible de Δx que honra la ecuación (E-81) fue así encontrado.

Figura 5. Variación del Número de Courant en el rango de Saturación de Agua

Tabla 1. Datos de Experimentos empleados para Análisis de Variabilidad

Propiedad

Valor

Propiedad

L [cm]

10,0

µw [cP]

Φ (fracción)

0,30

Valor 1,0

µo [cP]

1,5

k [mD]

50

Swc (fracción)

0,10

d [cm]

3,5

Sor (fracción)

0,00

µw [cP]

1,0

σor [mN/m]

30,00

Figura 3. Variación del Número de Péclet en el rango de Saturación de Agua

Figura 6. Comportamiento del coeficiente de Pseudo Advección

TESAPE ARANDU

013

Figura 7. Comportamiento del coeficiente de Pseudo Difusión

En el presente estudio se hace uso del concepto de Número Capilar para lograr un nivel de generalidad tal que permita la comparativa de resultados en forma indistinta a la magnitud de la geometría de la muestra de roca. El Número Capilar se define como la relación existente a nivel de poro entre las fuerzas viscosas y las fuerzas capilares:

····(E-84)

donde v es el flujo de la fase mojante, µ es la viscosidad de la fase mojante, y σ es la tensión interfacial existente entre la fase mojante y la fase no mojante. El flujo volumétrico v de la fase mojante es calculado expresando la ecuación (E-30) en función del caudal de inyección empleado y el área seccional de la muestra de roca.

Debido a que la ecuación (E-81) depende únicamente de Δx, el valor de Δt no tiene impacto alguno en la magnitud del Número de Péclet. Se muestra el valor del incremento espacial empleado en las Figuras 3 a 7 y el valor máximo del Número de Péclet observado en la Figura 3: Tabla 2. Incremento Espacial (Δx) Crítico

Δx

0,065

Pec

1,996

Para el caso del Factor de Amplificación, el cambio de la magnitud de la saturación del agua de bloque en bloque de la grilla de simulación impacta en los valores de Número de Courant y del Número de Difusión y esta variabilidad se transfiere al Factor de Amplificación. A nivel de cada bloque, los valores de C y α sean constantes de modo que la condición impuesta por la ecuación (E-82) es cumplida y se asume que la solución es estable para los casos considerados.

3.6. Criterio de Generalidad El modelo de desplazamiento inmiscible bifásico presenta en su formulación el parámetro de caudal de flujo de inyección (qi) como elemento motriz del fenómeno de transporte que se sucede en el medio poroso. Esta caudal de flujo es dependiente, por la definición vista en la ecuación (E-30), de la velocidad de flujo y del área seccional donde el flujo incide.

Para una misma velocidad de flujo, el caudal puede tener magnitudes infinitas en función del área sobre la cual el vector de velocidad actúa. El área es dependiente, a su vez, de la geometría de la cara de entrada de la muestra de roca sobre la cual se conduce el desplazamiento inmiscible. Resulta impráctico comparar dos resultados calculados por este modelo a mismo caudal de inyección y para dos cuerpos porosos diferentes, si estos cuerpos porosos cilíndricos tuviesen diferente radio.

014

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4. Validación del Modelo Ha sido establecida la mejora que supone la formulación matemática propuesta por Civan para el modelamiento del desplazamiento inmiscible en un medio poroso. Esta aseveración debe ser acompañada por una apropiada validación por comparación de los valores de saturación de fase calculados por aplicación del modelo respecto de los obtenidos por medición experimental en laboratorio, por métodos similares codificados en software comercial y por la Ecuación de Avance Frontal Buckley-Leverett.

De obtenerse valores comparables a los medidos en laboratorio, y a los empleados en software comercial, se tiene la certeza de que el método modela adecuadamente el suceso de flujo inmiscible dentro de la roca muestra y, por ende, produce valores con precisión y confianza suficientes.

4.1. Comparación con el Modelo de Desplazamiento Inmiscible de Buckley-Leverett La comparación entre la solución que se investiga y el modelo de Desplazamiento Inmiscible de Buckley-Leverett4 5 se muestra en la Figura 8. La solución analítica es obtenida empleando la Ecuación de Avance Frontal2 cuya expresión algebraica tiene la forma:

····(E-85)

Una curva de presión capilar despreciable fue empleada para generar una solución comparable a la carencia de este dato en el método de Buckley-Leverett. La Figura 8 muestra el resultado calculado por el Método de Buckley-Leverett, con corrección Welge, y la comparativa entre métodos. La solución del modelo Civan se muestra en línea sólida sin viñeta. La Figura 9 exhibe la aplicación del Método Tangencial de Welge2 6 para la corrección del Método Buckley-Leverett.

Figura 8. Comparación con la solución Buckley-Leverett

Figura 10. Curvas de Permeabilidad Relativa – Watson et al.

Figura 9. Aplicación del Método Tangencial de Welge2 6

Figura 11. Curva de Presión Capilar – Watson et al.

4.2. Validación del Modelo con Resultados de Laboratorio El modelo de desplazamiento inmiscible es validado por comparación del perfil de saturación de agua calculado en tiempo de simulación respecto de valores medidos en condiciones de laboratorio.

Figura 12. Curva de Flujo Fraccional – Watson et al.

4.2.1. Experimento de Watson et al.

Watson31 et al. realizaron una serie de experimentos de desplazamiento inmiscible de tipo drenaje bajo caudal de flujo constante en testigos de roca mojables al agua. Fueron realizados tanto experimentos con caudal de flujo único como a caudal de flujo múltiple, por los objetivos establecidos en dicho estudio. Para la validación del simulador, y por las condiciones a las que se encuentra sujeto el modelo bajo estudio, son empleados únicamente los resultados reportados por Watson para los experimentos con caudal de flujo único constante.

Las curvas de permeabilidad relativa, presión capilar y flujo fraccional empleadas por Watson et al. se muestran en las Figuras 10, 11 y 12.

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015

El experimento de Watson fue realizado con un caudal de inyección de petróleo de 0,1 cm3/min para desplazar el agua que saturaba una muestra de roca cilíndrica de 3,5 cm de diámetro y 10 cm de longitud. Se presentan las propiedades petrofísicas y de fluido de interés.

Tabla 3. Propiedades Petrofísicas y de Fluido. Experimento de Watson

Propiedad

Valor

L [cm]

10,0

Φ (fracción)

0,30

Propiedad µw [cP]

Valor

A fin de que los resultados sean comparables con los que pudiesen ser obtenidos para otras muestras de roca con geometría diferente, los resultados son reportados en función del Número Capilar. Para las dimensiones y caudales seleccionados en la configuración del simulador, la Figura 14 muestra que las magnitudes de Número Capilar correspondientes se encuentran en el intervalo 10-9 ≤ Nca ≤ 10-6.

Figura 14. Número Capilar como función del Caudal de Flujo de Inyección

1,0

µo [cP]

1,5

k [mD]

50

Swc (fracción)

0,10

d [cm]

3,5

Sor (fracción)

0,00

µw [cP]

1,0

σor [mN/m]

30,00

Los experimentos de drenaje fueron conducidos por un total de 250 minutos, con la particularidad de que la muestra de roca se encontraba saturada al 100% con fase acuosa en forma previa al experimento. Para lograr esta condición, la roca fue desecada totalmente y luego embebida en la fase mojante. El perfil de saturación resultante, para el experimento con un caudal de inyección de petróleo igual a 0,1 cm3/min, se muestra en la Figuras 13: Figura 13. Perfil de Saturación de Agua para experimento de Drenaje

Se desea calcular resultados para luego compararlos con los producidos y reportados en el trabajo experimental de Watson, las propiedades petrofísicas y del fluido empleadas en la configuración del simulador son las presentadas en la Tabla 3 de la sección precedente.

4.2.1.2. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados La figura 13 muestra que las curvas de saturación de agua simuladas con el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan corresponden con los valores experimentales reportados por Watson (Figura 15), para el caso del experimento de drenaje con caudal de inyección de petróleo igual a 0,1 cm3/min. A este caudal de inyección, y dada la geometría de la muestra, le corresponde una magnitud de número capilar (Nca) igual a 5,77x10-8.

Figura 15. Curvas de Saturación de Agua (Nca=5.77x10-8) - Drenaje

4.2.1.1. Configuración del Simulador Los experimentos de desplazamiento inmiscible reportados por Watson fueron conducidos con caudales de flujo de inyección (qi) en el intervalo 1,0 ≤ qi ≤ 5,0 [cm3/min]. Debido a que los efectos de capilaridad son mejor observados con bajos caudales de inyección, para la configuración de este parámetro en el simulador fue seleccionado el subintervalo 0,01 ≤ qi ≤ 1,0 [cm3/ min].

Los experimentos fueron simulados en secuencia iniciando con qi igual a 0,01 cm3/min de incrementando con Δq = 0,01 cm3/min hasta alcanzar el valor de qi=0,1 cm3/min, donde el incremento para caudales mayores fue establecido en Δq = 0,1 cm3/min.

016

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Se presenta la comparativa de los resultados obtenidos de ambos simuladores y el error relativo calculado.

Figura 17. Curvas de Saturación de Agua – q=0,1 cm3/min (Nca=5,77x10-8)

Tabla 4. Comparación de Resultados con datos de Watson et al

Simulador

tb [min]

Sw (tb) (fr)

tsim [min]

Sw (tsim) (fr)

Watson

210

0,98

250

0,86

Civan

210

0,96

250

0,85

εr

2,1%

1,1%

El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio (0,05 cm) y tiempo (0,08 s) seleccionados.

4.2.1.3. Simulación de un Experimento de Imbibición Validado el modelo de desplazamiento inmiscible para el caso de drenaje, se presentan resultados estimados para el caso de imbibición sobre la misma muestra de roca y condiciones experimentales.

Figura 18. Curvas de Saturación de Agua – q=1,0 cm3/min (Nca=5,77x10-7)

La simulación es conducida para varios caudales de inyección del intervalo 0,01 ≤ qin ≤ 1,0 [cm3/min] (5,77x10-9 ≤ Nca ≤ 5,77x107 ). Los resultados representativos se muestran en las Figuras 16 a 18. La configuración del simulador empleada para cada caso se presenta en la Tabla 5: Tabla 5. Parámetros de Simulación

q [cm3/min]

Nca

Δx

Δt [s]

Bloques

Tiempo simulado [hr]

0,01

5,77x10-9

0,06

0,10

168

54

0,1

5,77x10

-8

0,05

0,08

201

18

1,0

5,77x10-7

0,04

0,06

251

9

Figura 16. Curvas de Saturación de Agua – q=0,01 cm3/min (Nca=5,77x10-9)

Por observación de las curvas de saturación reportadas en las Figuras 16 a 18, es posible establecer el efecto que produce el caudal de inyección en el comportamiento del frente de desplazamiento. El perfil más abrupto del frente en la figura 18, comparada con las Figuras 16 y 17 y en tiempos de inyección menores, se debe a que, a menores magnitudes de caudal de inyección, la presión capilar en el medio poroso ejerce mayor resistencia al flujo de la fase desplazante, creando un frente de desplazamiento suavizado y extenso. Solo a un caudal de inyección de magnitud alta para la geometría del medio poroso se observa un mecanismo de frente de desplazamiento abrupto (tipo pistón) similar al del mecanismo Buckley-Leverett.

4.2.2. Experimento de Graue et al.

Graue et al.32 condujeron experimentos de desplazamiento en rocas de mojabilidad al agua intermedia y moderada para estudiar el efecto de esta propiedad petrofísica en el mecanismo de flujo. Las curvas de permeabilidad relativa, presión capilar y flujo fraccional empleadas por Graue et al. se presentan en las Figuras 19, 20 y 21, y fueron obtenidas en ambiente de laboratorio TESAPE ARANDU

017

mediante el método de Medición Directa de la Saturación (DMS por sus siglas en inglés).

Figura 19. Curvas de Permeabilidad Relativa – Graue et al.

El experimento de desplazamiento fue realizado con un caudal de inyección de agua constante igual a 1,0 cm3/min para desplazar el agua que saturaba una muestra de roca cilíndrica de 3,7 cm de diámetro y 5,2 cm de longitud. Las propiedades petrofísicas y de fluido de interés son reportadas en la Tabla 6.

Tabla 6. Propiedades Petrofísicas y de Fluido. Experimento de Graue

Propiedad

Figura 20. Curva de Presión Capilar – Graue et al.

Valor

Propiedad µw [cP]

Valor

L [cm]

5,2

Φ (fracción)

0,48

µo [cP]

2.7

k [mD]

2,0

Swc (fracción)

0.16

d [cm]

3,7

Sor (fracción)

0.24

µw [cP]

1,05

σor [mN/m]

30.00

1.05

Los experimentos de imbibición fueron conducidos por un total de 6.300 minutos (100 horas), alcanzando la saturación residual de petróleo a los 1.080 minutos (18 horas) de inyección continua. La muestra de roca fue previamente saturada por completo (100%) con fase acuosa salina, conteniendo 5 wt% NaCl y 3,8 wt% CaCl2, y luego fue saturada con petróleo hasta alcanzar la saturación irreducible de agua (16%), todo esto en forma previa al experimento. El perfil de saturación para el experimento con un caudal de inyección de petróleo igual a 1,0 cm3/min, se muestra en la Figura 22: Figura 22. Perfil de Saturación de Agua para experimento de Imbibición

Figura 21. Curva de Flujo Fraccional – Graue et al.

4.2.2.1. Configuración del Simulador Los experimentos de desplazamiento inmiscible reportados por Graue fueron conducidos con caudales de flujo de inyección (qi) en el intervalo 1,0 ≤ qi ≤ 5,0 [cm3/min]. Debido a que los efectos de capilaridad son mejor observados con bajos caudales de inyección, para la configuración de este parámetro en el simulador fue seleccionado el subintervalo 0,01 ≤ qi ≤ 1,0 [cm3/ min].

Los experimentos fueron simulados en secuencia iniciando con qi igual a 0,01 cm3/min e incrementando con Δq = 0,01 cm3/min 018

TESAPE ARANDU

hasta alcanzar el valor de qi=0,1 cm3/min, donde el incremento para caudales mayores fue establecido en Δq = 0,1 cm3/min.

Figura 24. Curvas de Saturación de Agua (Nca=5,77x10-8) - Imbibición

A fin de que los resultados sean comparables con los que pudiesen ser obtenidos para otras muestras de roca con geometría diferente, los resultados son reportados en función del Número Capilar. Para las dimensiones y caudales seleccionados en la configuración del simulador, se muestra que las magnitudes de Número Capilar correspondientes se encuentran en el intervalo 10-9 ≤ Nca ≤ 10-6.

Figura 23. Número Capilar como función del Caudal de Flujo de Inyección

Se presenta la comparativa de los resultados obtenidos y el error relativo calculado, para el caso con caudal de inyección igual a q=1,0 cm3/min (Nca=5,17x10-7).

Tabla 7. Comparación de Resultados con Graue et al

Se desea es calcular resultados para luego compararlos con los producidos y reportados en el trabajo experimental de Graue. Las propiedades petrofísicas y del fluido empleadas en la configuración del simulador son las presentadas en la Tabla 5 de la sección precedente.

4.2.2.2. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados Se muestra que las curvas de saturación de agua simuladas con el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan se corresponden con los valores experimentales reportados por Graue (Figura 22), para el caso del experimento de imbibición con caudal de inyección de agua igual a 1,0 cm3/min. A este caudal de inyección, y dada la geometría de la muestra, le corresponde una magnitud de número capilar (Nca) igual a 5,17x10-8.

Simulador

tb [min]

Sw (tb) (fr)

tsim [min]

Sw (tsim) (fr)

Graue

12

0,171

120

0,755

Civan

12

0,165

120

0,760

εr

3,5%

0,7%

Para la configuración presentada del experimento de desplazamiento inmiscible, el tiempo de ejecución para el simulador desarrollado alcanza los 18 minutos. El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio (0,03 cm) y tiempo (0,05 s) seleccionados.

Adicionalmente, y tal como se hizo en el caso anterior, fue estudiado el efecto de la magnitud del caudal de inyección sobre las curvas de saturación de agua. Tres resultados se observan en las Figuras 25 a 27, donde uno de ellos es el mismo caso base el cual es reportado con mayor detalle. La configuración empleada para cada caso reportado se presenta en la Tabla 8.

TESAPE ARANDU

019

Tabla 8. Parámetros de Simulación

Figura 27. Curvas de Saturación de Agua – q=0.01 cm3/min (Nca=5,17x10-9)

q [cm3/min]

Nca

Δx

Δt [s]

Bloques

Tiempo Simulado [hr]

0,01

5,17x10-9

0,04

0,02

135

36

0,1

5,17x10-8

0,04

0,02

135

18

1,0

5,17x10

0,03

0,05

175

2

-7

Figura 25. Curvas de Saturación de Agua – q=1.0 cm3/min (Nca=5,17x10-7)

Figura 26. Curvas de Saturación de Agua – q=0.1 cm3/min (Nca=5,17x10-8)

Aunque el experimento realizado paras curvas de saturación reportadas en las Figuras 16 a 18 corresponde al caso de Imbibición, opuesto al de Drenaje estudiado en el caso anterior, el efecto que produce el caudal de inyección en el comportamiento del frente de desplazamiento es el mismo: a menores magnitudes de este caudal, la presión capilar en el medio poroso ejerce mayor resistencia al flujo de la fase desplazante, creando un frente de desplazamiento suavizado y extenso. Para un caudal de inyección de magnitud alta se observa un mecanismo de frente de desplazamiento tipo pistón similar al del mecanismo BuckleyLeverett.

4.2.3. Experimento de Richmond et al.

Richmond et al.33 analizaron experimentos de desplazamiento de fluidos en rocas fuertemente mojables al agua para el desarrollo de un método para análisis de curvas de permeabilidad relativa. Las curvas de permeabilidad relativa, presión capilar y flujo fraccional empleadas por Richmond et al. se muestran en las Figuras 28, 29 y 30, y fueron obtenidas por su representación en base a splines Beta (B-spline) sobre datos de saturación de agua calculados por simulación numérica aplicando la formulación de presión implícita y saturación explicita (IMPES por sus siglas en inglés).

020

TESAPE ARANDU

Figura 28. Curvas de Permeabilidad Relativa – Richmond et al.

El experimento de desplazamiento fue realizado con un caudal de inyección de petróleo constante igual a 2,0 cm3/min (Nca = 2,26x10-6) y 0,01 cm3/min (Nca = 1,13x10-8) para desplazar el agua que saturaba una muestra de roca cilíndrica de 2,5 cm de diámetro y 7,6 cm de longitud. Las propiedades petrofísicas y de fluido de interés son reportadas en la Tabla 9.

Tabla 9. Propiedades Petrofísicas y de Fluido. Experimento de Richmond.

Propiedad L [cm]

Figura 29. Curva de Presión Capilar – Richmond et al.

Valor 7,6

Propiedad µw [cP]

Valor 1,0

Φ (fracción)

0,25

µo [cP]

10,0

k [mD]

1270

Swc (fracción)

0,30

d [cm]

2,5

Sor (fracción)

0,24

µw [cP]

1,0

σor [mN/m]

30,00

Los experimentos de drenaje fueron conducidos por un total de 540 minutos (9 horas), alcanzando la saturación irreducible de agua a los 300 minutos (5 horas) de inyección continua. Se presenta el perfil de saturación, para el experimento con un caudal de inyección de petróleo igual a 0,1 cm3/min, : Figura 31. Perfil de Saturación de Agua para experimento de Drenaje

Figura 30. Curva de Flujo Fraccional – Richmond et al.

4.2.3.1. Configuración del Simulador Los experimentos de desplazamiento inmiscible reportados por Richmond fueron conducidos con caudales de flujo de inyección (qi) en el intervalo 0,01 ≤ qi ≤ 2,0 [cm3/min]. Para la configuración de este parámetro en el simulador fue seleccionado el subintervalo 0,01 ≤ qi ≤ 1,0 [cm3/min] por cuanto los efectos de capilaridad son mejor observados con bajos caudales de inyección, observando similar secuencia de incrementos de caudal que en los casos precedentes.

A fin de que los resultados sean comparables con los que pudiesen ser obtenidos para otras muestras de roca con geometría diferente, los resultados son reportados en función del Número Capilar. Para las dimensiones y los caudales seleccionados en la TESAPE ARANDU

021

configuración del simulador. Se muestra que las magnitudes de Número Capilar correspondientes se encuentran en el intervalo 10-9 ≤ Nca ≤ 10-6 (Figura 32).

Se presenta la comparativa de los resultados obtenidos de ambos simuladores y el error relativo calculado.

Tabla 10. Comparación de Resultados con Richmond et al

Figura 32. Número Capilar como función del Caudal de Flujo de Inyección

Lo que se desea es calcular resultados para luego compararlos con los producidos y reportados en el trabajo de Richmond, las propiedades petrofísicas y del fluido empleadas en la configuración del simulador son presentadas en la Tabla 9 de la sección precedente.

4.2.3.2. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados Se muestra que las curvas de saturación de agua simuladas con el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan se corresponden con los valores sintéticos reportados por Richmond (Figura 31), para el caso del experimento de drenaje con caudal de inyección de agua igual a 0,1 cm3/min (Figura 33). A este caudal de inyección, y dada la geometría de la muestra, le corresponde una magnitud de número capilar (Nca) igual a 1,13x10-8.

Figura 33. Curvas de Saturación de Agua (Nca=1,13x10-8) - Drenaje

022

TESAPE ARANDU

Simulador

tb [min]

Sw (tb) (fr)

tsim [min]

Sw (tsim) (fr)

Richmond

140

0,751

540

0,3

Civan

140

0,718

540

0,3

εr

4,4%

0,0%

Para la configuración del experimento de desplazamiento inmiscible, el tiempo de ejecución alcanza 21 minutos. El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio (0,04 cm) y tiempo (0,02 s) seleccionados. Adicionalmente, y tal como se hizo en los casos anteriores, se estudió el efecto de la magnitud del caudal de inyección sobre las curvas de saturación de agua. Los resultados se observan en las Figuras 34 a 36, donde el segundo es el mismo caso base el cual es reportado con mayor detalle. Se presenta la mayor configuración empleada para cada caso reportado se muestra en la Tabla 11.

Tabla 11. Parámetros de Simulación

q [cm3/min]

Nca

Δx

Δt [s]

Bloques

Tiempo Simulado [hr]

0,01

1,13x10-8

0,05

0,06

154

18

0,1

1,13x10

-7

0,04

0,02

192

9

1,0

1,13x10-6

0,03

0,01

192

4

Figura 34. Curvas de Saturación de Agua – q=0,01 cm3/min (Nca=1,13x10-8)

Figura 35. Curvas de Saturación de Agua – q=0,1 cm3/min (Nca=1,13x10-7)

En la presente sección, el modelo de desplazamiento inmiscible de Civan es validado por comparación del perfil de saturación de agua calculado en tiempo de simulación, con los valores computados por un simulador comercial (con Petex IPM MBal®), para un conjunto de datos sintético.

4.3.1. Simulador Petex IPM MBal® El simulador comercial seleccionado para la comparación con la formulación objeto de estudio es el aplicativo MBal® (del inglés Material Balance o Balance de Materia), mismo que es parte integral de la suite de simuladores IPM® (del inglés Integrated Production Modelling o Modelamiento Integrado de la Producción) de la empresa Petroleum Experts (Petex). Este producto de software presenta la funcionalidad para simular experimentos de desplazamiento inmiscible de tipo drenaje/ imbibición bajo caudal de flujo constante en medios porosos de geometría cartesiana (Figura 37).

Figura 36. Curvas de Saturación de Agua – q=1,0 cm3/min (Nca=1,13x10-6)

El comportamiento observado en las curvas de saturación (Figuras 34 a 36), en casos de drenaje, es consistente con lo inferido respecto al efecto del caudal de inyección en los dos casos anteriores y corrobora el análisis realizado.

4.3. Validación del Modelo con Software Comercial La validación de la formulación objeto de estudio del presente trabajo, y de la precisión del simulador desarrollado, debe hacerse también respecto de los resultados producidos por la implementación numérica de otro modelo matemático que no presente las limitaciones de la Ecuación de Avance Frontal y ofrezca similares ventajas a la formulación propuesta por Civan.

El experimento seleccionado para esta validación, tanto en el aplicativo de software comercial como en el simulador desarrollado para el presente trabajo, fue el de un proceso de imbibición definido con un caudal de inyección de agua constante igual a 530 cm3/min (4,8 bpd) para desplazar el petróleo que saturaba un rectángulo poroso de 442 centímetros de lado (14,5 pies) y 305 centímetros de longitud (10 pies). Las dimensiones seleccionadas para el cuerpo poroso sintético no son arbitrarias pues se aproximan al mínimo volumen de reservorio que el simulador comercial MBal® puede procesar (500 pie3) y que permiten también mantener un equilibrio entre el tiempo de simulación (aproximadamente 45 min) y los valores seleccionados para los incrementales de espacio (Δx) y tiempo (Δt) en la herramienta desarrollada en el presente trabajo.

Lo que se desea es comparar los resultados provistos por el modelo objeto de estudio (Civan) y el modelo subyacente en la implementación propia de la codificación de un simulador comercial, que fue resuelto por simplicidad, determinando que las funciones dependientes de la saturación de agua se mantengan iguales a las empleadas por Watson en sus experimentos de laboratorio. De igual forma, las propiedades petrofísicas y de fluido de interés son iguales a las reportadas anteriormente (Tabla 4). Solo las dimensiones del cuerpo sintético, el caudal de inyección y la duración del experimento son alteradas para efectos del presente trabajo.

Los aplicativos de software comercial especializado en la simulación de flujo en reservorios de hidrocarburos, presentan motores de cálculo dados por la forma numérica de modelos matemáticos tradicionales y, en algunos casos, desarrollados específicamente para la casa de software propietaria del simulador.

TESAPE ARANDU

023

Figura 37. Interfaz de Usuario para modelo unidimensional

Considerando las suposiciones y restricciones ya mencionadas, los términos correspondientes a la derivada parcial espacial de la presión capilar y al efecto de segregación gravitacional son cancelados de la formulación de la ecuación (E-87) y ésta se reduce a la expresión dada por la ecuación (E-88):

4.3.2. Modelo Matemático del aplicativo comercial MBal® El modelo matemático del simulador MBal® se basa en la teoría de flujo fraccional y las ecuaciones de Buckley-Leverett, por lo que no presupone teoría de desplazamiento34. Para describir el flujo simultaneo de dos o más fluidos en el medio poroso, caso de un sistema bifásico agua-petróleo, el flujo es descrito por la ecuación ampliada de la Ley de Darcy, ecuaciones (E-25), (E-26), (E-30) y (E-32). El flujo fraccional fw se describe por la ecuación (E-86):

····(E-86)

Esta expresión menor de la fórmula de flujo fraccional, establece que el flujo está únicamente gobernado por las fuerzas viscosas y la interacción de fases en el espacio poroso saturado por cada una de ellas. Esta relación entre la viscosidad y la permeabilidad relativa de una fase, la movilidad de la fase, respecto de la misma relación para otra fase presente en el sistema, permite que la ecuación (E-88) también pueda ser expresada en base a la relación de movilidad M:

····(E-89)

donde la razón de movilidad M se define según la ecuación (E-90)

····(E-90)

Esta expresión, por aplicación de las ecuaciones de flujo multifásico mencionadas, es extendida a la forma que indica la ecuación (E-87):

De lo expuesto, se infiere que la formulación de Civan presenta un grado de complejidad mayor al no sólo incluir en su formulación los efectos capilares sino también al considerar tres distintos mecanismos de flujo según el suceso de la ruptura de fase inyectada en la cara de salida del volumen poroso.

4.3.3. Configuración del Simulador Se presenta la pantalla de ingreso de parámetros al simulador, con los valores que fueron introducidos como base para el cómputo de resultados (Figura 38). Por restricción del software, fue establecida una fecha ficticia para el inicio del experimento de desplazamiento (01-ene-2016) a efecto de que el simulador MBal® pueda reportar sus resultados en una escala de tiempo, que permita luego expresar la duración en minutos. Es importante remarcar que no todos los parámetros que se muestran en la configuración del simulador comercial serán empleados más adelante en el simulador que implementa la formulación objeto de estudio, por cuanto ambas formulaciones, al ser diferentes, requieren de datos de entrada distintos.

····(E-87)

Este modelo subyacente establece las condiciones y suposiciones siguientes: a) El reservorio es un rectángulo con inyección de fase en una cara y producción en la cara opuesta. b) El caudal de inyección es constante. c) Los fluidos son inmiscibles. d) El desplazamiento es considerado como incompresible por lo cual el total de fluido inyectado es siempre igual al total del fluido producido. e) La distribución de la saturación es uniforme a lo largo del ancho del reservorio. f) Es asumido flujo lineal. g) La presión capilar, y los efectos de la misma, son despreciados.

Si bien la referencia del aplicativo sugiere que la formulación contempla la posibilidad de la existencia de un ángulo de inclinación para el cuerpo poroso, al tratarse de un sistema unidimensional, este ángulo es nulo en la implementación de la aplicación experimental y se asume flujo horizontal a través del reservorio durante el suceso del experimento de desplazamiento.

024

····(E-88)

TESAPE ARANDU

Figura 38. Parámetros de entrada simulador MBAL

base de comparación con los valores que computa el simulador desarrollado en el presente estudio. Luego de haber sido introducidos los valores de reservorio e inyección de fase en la configuración del simulador, luego de su ejecución, son obtenidos los valores que se reportan en la Figura 40.

A diferencia del MBal®, los resultados se reportan en distancia normalizada ([0,1]), por la generalización hecha en la dimensión espacial de la formulación, y no es considerada la magnitud de fase desplazante inyectada respecto del volumen poroso de la muestra sintética, por simplicidad. A este respecto, es importante mencionar que estas diferencias resultan irrelevantes por cuanto no afectan en absoluto a los valores de la saturación simulada a lo largo de la muestra. La ruptura sucede a los 11,1 días de inyección sostenida y la saturación de agua final en la cara de salida alcanzada tras 12 días desplazamiento es igual al 61% (Figura 40).

Figura 40. Curvas de Saturación de Agua – Imbibición (qinj= 530 cm3/min)

Se deduce que el aplicativo comercial no solicita el ingreso del tiempo de duración para el experimento de desplazamiento.

Esta omisión tiene su fundamento en el hecho que los cómputos realizados por MBal® son realizados hasta un tiempo de simulación igual al día siguiente del suceso de la ruptura, en forma indistinta a la cantidad de días que este suceso requiera.

4.3.4. Ejecución del Simulador y Comparación de Resultados Se presenta los resultados de la simulación (Figura 39). El reporte de resultados del aplicativo comercial también despliega los valores de entrada empleados en el cálculo a efecto de evidenciar que corresponden con los ingresados por el usuario. El suceso de la ruptura de fase toma lugar once (11) días luego del inicio de la inyección a caudal constante, con una magnitud de saturación de agua igual al 11% y tras la inyección de un volumen de agua igual al 62% del volumen poral sintético modelado.

Figura 39. Curvas de saturación de agua simulador MBAL® – qi=530 cm3/min

Se presenta la comparativa de los resultados obtenidos de ambos simuladores y el error relativo calculado.

Tabla 12. Comparación de Resultados con MBAL®

Tomando el dato del tiempo para la ruptura como referencia, se nota que la saturación de agua alcanzada al momento de la conclusión de la simulación del experimento de desplazamiento inmiscible en el software MBal® asciende al 66% tras 12 días de inyección sostenida. Estos parámetros son considerados como

Simulador

tb [día]

Sw (tb) (fr)

tsim [día]

Sw (tsim) (fr)

MBal®

11,0

0,115

12

0,66

Civan

11,1

0,120

12

0,64

εr

4,2%

3,1%

Para la configuración del experimento de desplazamiento inmiscible, el tiempo de ejecución para el simulador desarrollado alcanza a 44 minutos. El error relativo calculado, respecto de los parámetros seleccionados como base de comparación, no supera el 5% y resulta aceptable, tomando en cuenta los incrementos discretos de espacio (1 cm) y tiempo (300 s) seleccionados: ambos parámetros inciden en forma directa en la precisión de TESAPE ARANDU

025

los resultados y fue previamente establecido que se favoreció un tiempo de ejecución convenientemente breve para la selección de estos parámetros.

5. Conclusiones La formulación para el desplazamiento inmiscible de fluidos fue resuelta en forma implícita empleando el enfoque propuesto por Civan35 que implementa un conjunto adecuado de condiciones límite para la cara de entrada y salida del testigo de roca. El enfoque de Donaldson36 37 fue empleado para el computo explícito de la presión de agua por integración numérica de la ley de Darcy.

La adopción de ambos enfoques permitió que el presente estudio genere soluciones para el periodo de tiempo completo de los experimentos de desplazamiento de fluidos, a diferencia de lo modelado y reportado por otros estudios comparables y presentados durante la validación del modelo. Asimismo, el conjunto de las tres condiciones límite empleadas por Civan para diferenciar los tres distintos regímenes de flujo en la cara de salida fueron halladas precisas en la representación del fenómeno de desplazamiento inmiscible, alcanzando errores relativos inferiores al 5% en los resultados computados por la implementación numérica de la formulación.

El impacto de la magnitud de los números de Courant y de Difusión en la estabilidad de la solución numérica fue resuelta por análisis e identificación de la dependencia del número de Péclet a nivel de celda respecto del tamaño de celda y la saturación de agua. Tal como fue reportado en forma tabular en la Tabla 2, y al no exceder el tamaño de celda y la saturación de agua estos valores críticos, el simulador implementado produjo soluciones estables para el intervalo Swc < Sw < 1-Sor. Los resultados producidos por el simulador fueron validados comparando con las soluciones provistas tanto por la Ecuación de Avance Frontal, la implementación numérica adoptada por el aplicativo de software comercial Petex IPM MBal® y las mediciones de laboratorio reportadas por los estudios de Watson et al, Graue et al y Richmond et at. La solución provista por el enfoque de Civan probó mejor caracterización del fenómeno de desplazamiento inmiscible respecto de la Ecuación de Avance Frontal, lo cual es lógica consecuencia de la limitante que presenta esta ecuación al no considerar los efectos capilares en el cómputo del desplazamiento. Aun así, las soluciones de ambos métodos resultan comparables difiriendo únicamente en la forma de representación del frente de desplazamiento.

Respecto de la comparación realizada con los experimentos de laboratorio y datos sintéticos reportados para todos los casos, los resultados computados por el simulador desarrollado en el presente estudio mostraron un ajuste satisfactorio al presentar errores relativos inferiores al 5% para las curvas de saturación de imbibición y drenaje, para los tiempos de suceso de la ruptura, y para las saturaciones de agua observadas tanto a tiempo de la ruptura como al final del experimento de desplazamiento inmiscible.

026

TESAPE ARANDU

Las gráficas del Número Capilar (Nca) como función del caudal de inyección de la fase desplazante (qinj) permiten concluir que el efecto de las fuerzas capilares en el suceso del flujo se incrementa a medida que este caudal disminuye, de modo que a altos caudales de inyección las fuerzas capilares son despreciables y la solución provista por el método se aproxima al comportamiento de la Ecuación de Avance Frontal.

Por lo anteriormente observado, es posible concluir que la forma unidimensional del modelo no solamente es estable sino también precisa, representando adecuadamente los procesos de transporte que caracterizan al fenómeno de desplazamiento inmiscible bifásico en un medio poroso y siempre que el caudal de inyección de la fase desplazante se mantenga constante y en magnitudes bajas para observar los efectos de las fuerzas capilares.

Nomenclatura empleada Símbolos A : Area, L2. d : Diámetro, L. fd : Flujo fraccional de la fase desplazante después de la ruptura, fracción. fk : Fl ujo fraccional de la fase desplazada después de la ruptura, fracción.

Fw : Función de Movilidad Total, adimensional.

K : Permeabilidad absoluta, L2. kro : Permeabilidad relativa del petróleo, adimensional. krw : Permeabilidad relativa del agua, adimensional.

L : Longitud, L. Pc : Presión Capilar, ML-1T-2.

Pi : Presión de agua en el i-ésimo bloque de simulación, ML-1T-2.

Po : Presión del petróleo, ML-1T-2.

Pw : Presión del agua, ML-1T-2. q : Caudal de flujo total, L3T-1.

Qd : Caudal de flujo acumulado de la fase desplazante después de la ruptura, L3.

Qi : Caudal de inyección acumulado, L3. qin : Caudal de inyección, L3T-1.

Qk : Caudal de flujo acumulado de la fase desplazada después de la ruptura, L3.

Qo : Caudal de flujo acumulado de petróleo, L3. qo : Caudal de flujo de petróleo, L3T-1.

Qt : Caudal de flujo total acumulado, L3.

Qw : Caudal de flujo de agua acumulado, L3. qw : Caudal de flujo de agua, L3T-1. rw : Caudal másico de agua perdida, MT-1.

Sd2 : Saturación del fluido desplazante en la cara de salida, fracción.

Si : Saturación de agua en el i-ésimo bloque de simulación, fracción.

So : Saturación de petróleo, fracción.

Sor : Saturación residual de petróleo, fracción.

Sw : Saturación de agua, fracción.

Swi : Saturación de agua irreducible, fracción. t : Tiempo, T. tb : Tiempo de suceso de ruptura de fase, T.

v : vin : vo : Vp : vw : x :

Flujo volumétrico total, T. Flujo de inyección, LT-1.

Flujo volumétrico de petróleo, LT-1.

Volumen poroso de la muestra de roca. L3.

Flujo volumétrico de agua, LT-1.

Espacio, L.

Símbolos Griegos ΔP : Diferencia de presión, ML-1T-2. Δt : Incremento discreto de tiempo de simulación, T. Δx : Incremento discreto de espacio de simulación, L. Δρ : Diferencia de densidad, ML-3. z : Derivada especial de la elevación, L. P : Derivada espacial de la presión, ML-1T-2. Φ: Porosidad, fracción. µo : Viscosidad del petróleo, ML-1T-1. µw : Viscosidad del agua, ML-1T-1. ρo: Densidad del petróleo, ML-3. ρw: Densidad del agua, ML-3. σ: Tensión Interfacial, MT-2.

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533, 570-573.

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533, 570-573.

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533, 570-573.

[30] Pozrikidis, K; “Numerical Computation in Science and Engineering”; Oxford University Press, New York, 1998; pp.

533, 570-573.

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[34] PETEX. Manual de Referencia Técnica del Aplicativo MBal®.

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[35] Civan, F; “Convenient Formulation for Inmiscible Displacement in Porous Media”; SPE 36701; 1996.

TESAPE ARANDU

027

[36] Donaldson, E.C.; Civan, F; Alam, M.W.; “Relative Permeabilities at Simulated Reservoir Conditions”, SPE paper 16970; September 1987; pp. 395-404.

[37] Donaldson, E.C.; Civan, F; Alam, M.W.; “Relative Permeabilities at Simulated Reservoir Conditions”, SPE Reservoir Engineering; November 1988; pp. 1323-1327.

Ricardo Marcelo Michel Villazón Académico de Número ANCB, Docente UPSA Pablo Ortiz Mendoza Proyecto de Grado UPSA

Predicción de la Relación Condensado-Gas en un Reservorio de Gas Retrógrado Utilizando B-Splines: Un Caso de Estudio Resumen La predicción precisa de la variación en la magnitud de la relación condensado a gas (CGR) es un tema de importancia para el manejo de yacimientos de gas retrógrado ya que la condensación retrógrada plantea un problema que, en última instancia, conduce a pérdidas económicas para la empresa operadora. Las pruebas de laboratorio se realizan para caracterizar el cambio dependiente de la presión del CGR a lo largo del tiempo de producción. Sin embargo, no es inusual que tales mediciones no se puedan obtener debido a razones que van, desde el deterioro de la muestra hasta las limitaciones económicas. Por lo tanto, la disponibilidad de una correlación es importante para aproximar el comportamiento del CGR a lo largo del tiempo en función de los datos de producción registrados.

Se presenta una aproximación numérica para la predicción de la relación de condensado a gas. El reservorio de Guanacos, un reservorio de gas retrógrado de edad Devónica dentro de la formación Iquiri ubicada en el pie de monte del Sub-Andino central de Bolivia, fue seleccionado como caso de estudio. Esta región resulta de interés debido a su potencial gasífero. Varios campos de gas fueron descubiertos dentro de un área conocida como “Complejo Gasífero Percheles”. Aún hay numerosos prospectos de exploración en esta zona, por lo que es deseable tener un medio para estimar la relación inicial de condensado a gas y su cambio a lo largo del tiempo con el fin de preparar pronósticos de producción para la evaluación de estos prospectos.

Primero se realizó una correlación por medio de un análisis estadístico sobre el historial de producción de los pozos existentes y las mediciones de PVT. Se determinó la relación de condensado a gas y se comparó con la presión del yacimiento, la tasa de producción mensual de gas promedio, la producción mensual de gas acumulada, el tiempo y la profundidad de referencia. En cada caso, se ajustó una función a los datos aplicando la regresión de mínimos cuadrados para caracterizar una expresión matemática que determine la correlación existente entre estas variables. Se aplicó una función B-spline con el fin de interpolar y ajustar una curva que represente los datos de la relación condensado-gas 028

TESAPE ARANDU

obtenidos a partir de las pruebas de producción y permitir la aproximación de sus derivadas de mayor orden. Finalmente, se estimó una pronóstico de producción de condensado mediante la extrapolación de la función B-spline aplicando series de Taylor de tercer orden.

El pronóstico dio como resultado una estimación aceptable debido a que la correlación propuesta muestra exitosamente el comportamiento del CGR para los pozos productores del complejo gasífero dentro del caso de estudio. A la vez, se muestran magnitudes insignificantes de error relativo e inclusión adecuada del cambio de tendencia de la relación condensado-gas debido a la producción por debajo de la presión del punto rocío. Los pronósticos de producción de condensado calculados mediante la extrapolación de la función B-spline muestran resultados similares a los obtenidos mediante la aplicación de curvas de declinación convencionales. La metodología propuesta demostró ser útil para preparar pronósticos anuales y para proporcionar un modelo simple de rendimiento de los yacimientos de condensado.

Palabras Clave: Predicción de la relación de condensado-gas, Comportamiento de CGR, Predicción usando Splines 1. Introducción La estimación del futuro comportamiento de la relación condensado-gas (CGR) es un tema de importancia para el manejo de reservorios, especialmente, en reservorios de gas retrógrado.

La condensación retrógrada es un problema por: altera la composición del gas producido en superficie, reduce el contenido de condensado que se recupera de la corriente de gas debido a que la condensación ocurre a nivel del reservorio, se produce la formación de un banco de condensado que puede causar una disminución significativa en la producción de gas, o incluso, el cese completo de flujo (“el pozo se ahoga”). Todo esto causaría pérdidas económicas para la compañía operadora.

Olaberinjio et al señalaron la creciente importancia de los reservorios de gas condensado como un campo de investigación en dos áreas comunes de interés específico: la caracterización

de fluidos y las influencias de condensación retrógrada sobre las propiedades del gas. Indican que los problemas de flujo bifásico no fueron tomados en cuenta en el pasado pero, ahora, con los precios actuales del petróleo se exige la máxima recuperación de hidrocarburos, es cada vez de mayor interés entender los efectos de la condensación retrógrada en los reservorios de gascondensado y la liberación de gas en reservorios de petróleo volátil.

Li Fan et al también advierten sobre los problemas que ocurren por la generación de bancos de condensado (condensate banking) al afirmar que no es raro que un reservorio de gas retrogrado se ahogue (pierda flujo parcial o total) con sus componentes más valiosos como resultado de un aumento repentino en la saturación de líquido condensado alrededor del pozo. Este aumento en la saturación se debe a que los caudales de producción disminuyen la presión hasta que esta cae por debajo de la presión del punto de rocío y se crea un banco de condensado el cual finalmente genera la restricción parcial o total del flujo de gas.

Al ser la variación de la relación condensado a gas a lo largo del tiempo de producción una variable dependiente de la presión, se realizan pruebas de laboratorio para determinar esta dependencia y proporcionar un medio que caracterice la caída del contenido de condensado en la corriente de gas y producir pronósticos de producción precisos. Sin embargo, no siempre es posible obtener dichos datos de laboratorio debido a razones que van desde el deterioro de la muestra hasta el presupuesto de la empresa. Por lo tanto, el desarrollo de una correlación es de ayuda para aproximar el comportamiento de la relación de condensado a gas a lo largo del tiempo en función de los datos de producción registrados.

2. Alcance de la Investigación El área geográfica de investigación es el pie de monte del sub-andino central de Bolivia. El Complejo de Gas Percheles está ubicado en esta área y está compuesto por seis campos de gas: Percheles, El Dorado, El Dorado Sur, El Dorado Oeste, Colorado y Colorado Sur. Estos campos de gas provienen del reservorio de gas retrógrado de Guanacos, que se encuentra dentro de la formación Iquiri.

Esta investigación se centra en la predicción de la relación de condensado a gas del reservorio de Guanacos, a lo largo del Complejo Gasífero Percheles. Se requirió la aplicación del método de ajuste de curva de mínimos cuadrados y el método de interpolación de splines, entre otros, por lo que fue posible caracterizar el comportamiento histórico de la relación de condensado a gas y pronosticar su tendencia futura. La solución propuesta demostró ser confiable y directa, requiriendo una cantidad mínima de datos experimentales.

2.1. Características del Reservorio El reservorio de Guanacos, de edad Devónica, se encuentra en el pie de monte del sub-andino central de Bolivia. Siendo parte de la formación productora de gas de Iquiri, el reservorio de Guanacos se caracteriza por ser un yacimiento con un ambiente deposiciónál de tipo transicional, marino poco profundo o playa

costera. Se observa claramente en la respuesta de los registros que el yacimiento está compuesto por tres arenas formadas por eventos de transgresión y regresión sucesivos, que generan capas de arcilla de espesor variable que se produce entre cada una de las arenas del yacimiento.

2.2. Estructura del Reservorio El reservorio Guanacos es una anticlinal que sufrió grandes fallas y donde se observan tres fallas principales. Esto dio como resultado la formación de cuatro compartimentos distintivos, denominados, “Oeste”, “Central”, “Axial” y “Este”. El compartimento “Oeste” es donde se encuentran los campos Colorado (COL) y El Dorado Oeste (DRO). El compartimento “Axial” es donde se encuentran los campos El Dorado (DRD), El Dorado Sur (DRS) y Colorado Sur (COS) y, finalmente, los compartimentos “Central” y “Este” son áreas sin perforar donde se cree que existen potenciales recursos hidrocarburíferos y que actualmente están programados para la perforación exploratoria en 2017 (Figura 1).

Figura 1. Esquema del Complejo Gasífero de Percheles

3. Metodología El historial de producción de cada uno de los cinco campos se utilizó para calcular la relación mensual de condensado-gas (CGR). Luego, estos datos de CGR se graficaron en un plano cartesiano frente a la producción mensual de gas (Gp) (Figura A 2.1), en una gráfica frente a la Producción de Gas Acumulado (Gp C.) (Figura A 2.2) y frente al Tiempo “t” (Figura A 2.3). El análisis del comportamiento del CGR en los tres campos llevó a determinar que los datos de producción acumulada de gas eran adecuados para representar el cambio en la magnitud del CGR en el tiempo porque esta representación permitía la comparación directa entre los cinco campos, aunque comenzaron a producir en fechas diferentes. Además, dado que la producción acumulada de gas es una variable dependiente del tiempo, el gráfico Cartesiano CGR vs Producción de Gas Acumulada proporcionó no solo un medio para normalizar y comparar los datos de producción sino que, también, fue la forma de mantener la variable de tiempo implícitamente presente. Como resultado, una vez que se TESAPE ARANDU

029

trazaron los datos, se observó que existía una correlación notoria en el comportamiento de CGR de algunos campos en el Complejo de Gas Percheles (Figura 2).

Figure 3. Relación Condensado-Gas sobre Presión vs Producción Acumulada de Gas (Ecuación Normalizada con Presión)

Figura 2. Relación Condensado Gas vs Producción Acumulada de Gas

Fue notoria, una tendencia en el comportamiento del CGR en los campos El Dorado (DRD) y El Dorado Sur (DRS), así como se identificó una tendencia en el comportamiento del CGR de El Dorado Oeste (DRO) y Colorado (COL). A pesar de esto, las magnitudes totales de CGR no se ajustaron a una línea recta única cuando se graficaron conjuntamente. Se distinguió que la dependencia de la presión de la CGR es un factor que gobierna el cambio de magnitud que tiene a lo largo del tiempo ya que la presión de saturación determina la magnitud de la presión umbral para que se forme condensado en el reservorio. Teniendo en cuenta la relación entre la CGR y su presión de yacimiento correspondiente, en una producción de gas acumulada, se conduciría a una mejor representación de la evolución de los valores de CGR en el tiempo.

Para realizar dicha representación, los valores de presión del yacimiento medidos se emparejaron con sus valores correspondientes de CGR. Sin embargo, como estos valores de presión correspondían a diferentes yacimientos, fue necesario definir una profundidad de referencia, profundidad al datum, y recalcular los datos de medición de presión a dicho datum para considerarlo como una variable de normalización. Se utilizada para hacerlo:

····(1)

Una vez recalculadas las presiones (P) y calculada la relación CGR / P, se construyó la Tabla 1.1. y los resultados se graficaron en un plano cartesiano de CGR / P frente a Producción Acumulada de Gas (Gp C.) (Figura 3).

030

TESAPE ARANDU

Es posible identificar una tendencia lineal en los datos normalizados. Por lo tanto, se aplicó la regresión lineal por medio de la aproximación de Mínimos Cuadrados para ajustar una línea recta a ambas tendencias observadas y luego se estimó su pendiente y los valores de intersección. Como resultado, fue posible concluir que ambas líneas no solo siguieron la misma tendencia sino que también tenían una pendiente idéntica (Figura 4).

Figure 4. Aplicación de Mínimos Cuadrados (Regresión Lineal)

Debido a que la variación de la composición del gas en los compartimentos dentro del reservorio de Guanacos afectó las tendencias observadas, se aplicó una segunda normalización para incluir el factor de pseudocompresibilidad del gas (z). Como se puede apreciar (Figura 5) la tendencia en las curvas es ahora ligeramente diferente.

Figure 5. Relación Condensado-Gas sobre Presión y Z vs Producción Acumulada de Gas (Ecuación Normalizada con Presión y Z)

Para derivar una expresión general que representa ambas curvas, era necesario generalizar este tercer término en una expresión matemática. Considerando que la intersección entre la curva y el eje de ordenadas se da cuando la producción de gas acumulada es igual a cero, entonces es posible generalizar:

····(4)

Sustituyendo la ecuación 4 en las ecuaciones 2 y 3, se encuentra una expresión general:

El cambio en la tendencia general hizo que la regresión lineal ya no fuera aplicable para representar ambas curvas.

Fue necesaria una expresión polinómica de orden superior para ajustar los datos normalizados y presentar un mejor ajuste de coeficientes (R2). Después de la aplicación sucesiva de varias funciones polinómicas se encontró que el mejor ajuste se daba con una función cuadrática (Figura 6).

Figure 6. Aplicación de Mínimos Cuadrados (Regresión Cuadrática)

····(5)

Como se puede ver en la Tabla A 1.1, la aplicación de la correlación dada por la ecuación 5 exhibió un error relativo promedio de 5%. Debido a que también se deseaba pronosticar el comportamiento de la CGR, se aplicaron métodos numéricos y funciones estadísticas más complejas mediante un software matemático académico (MatLab). Como primer paso, todos los datos obtenidos se introdujeron y trazaron para poder compararlos más tarde uno con el otro (Figura 3 vs. Figura 7).

Como era de esperar, hubo un comportamiento similar en ambos programas (MatLab vs Excel).

Figure 7. Relación Condensado-Gas vs Producción Acumulada de Gas (MatLab)

Una vez que se encontraron las nuevas expresiones matemáticas para las curvas, y que tenían una magnitud aceptable para el coeficiente de ajuste, se hizo evidente que los primeros dos coeficientes de las ecuaciones cuadráticas eran los mismos en ambas expresiones. Por lo tanto, la única diferencia fue el tercer coeficiente que representa la intersección entre la curva y el eje “y” (eje de las ordenadas).

DRD-DRS

Se aplicó una función de interpolación spline y se ajustó al conjunto de datos original (Figura 8), como medio para completar los datos faltantes entre los puntos de datos consecutivos.

····(2)

DRO-COL

····(3) TESAPE ARANDU

031

Figure 8. Aplicación de Splines entre los Datos

Los nuevos puntos se extrapolaron usando la Ecuación 5 y un ΔGP de 5 Bcf para garantizar que todos los puntos nuevos seguirían la tendencia observada (Figura A 2.4). Una vez que se establecieron los nuevos puntos de datos, estos se usaron como referencia para una nueva interpolación de splines para todo el conjunto.

Figure 9. Aplicación de las Funciones Spline Completas

Figure 10. Comportamiento de la CGR en el Complejo Gasífero de Percheles

4. Pronóstico Se realiza el pronóstico del comportamiento de la CGR para cada campo de gas. Debido a que la variable independiente en la expresión matemática de la correlación base es la producción acumulada de gas, las ecuaciones de curva de declinación de Arp se aplicaron a la producción histórica de gas para realizar un pronóstico anual de producción de gas para el período 2018-2030.

Las tasas anuales resultantes se acumularon luego y se obtuvo un pronóstico acumulativo de gas anual. A partir de este pronóstico, el valor anual del término CGR / PZ en la correlación se obtuvo directamente. Los valores de presión y “Z” fueron pronosticados para esos años usando los datos PVT disponibles para encontrar la CGR (Tabla 1).

Table 1. Pronóstico Fiekl

DRD

Year

2019

2020

2022

2023

2024

2025

2026

2027

2028

2029

GP (Bcf)

26,965

28,964

31,404

33,595

35,562

38,912

x

x

x

x

x

x

P (Psi)

2576,74

2294,85

1926,3

1572,75

1237,05

625,32

x

x

x

x

x

x

x

0,908

0,908

0,91

0,918

0,929

0,961

x

x

x

x

x

x

x

0,00771

0,00793

0,00811

0,00828

0,00843

0,00853

x

x

x

x

x

x

x x

Z CGR/PZ CGR (BBL/MMscf)

DRS

032

TESAPE ARANDU

x

18,05

16,52

14,22

11,95

9,69

5,12

x

x

x

x

x

x

57,433

60,506

63,119

65,342

66,3

x

x

x

x

x

x

x

1441,88

1099,7

799,87

538,51

424

x

x

x

x

x

x

x

x

Z

0,922

0,935

0,95

0,966

0,974

x

x

x

x

x

x

x

x

CGR/PZ

0,0104

0,0111

0,0114

0,0115

0,0116

x

x

x

x

x

x

x

x

5,98

4,79

x

x

x

x

x

x

x

x

P (Psi) Z CGR/PZ

13,82

11,41

8,66

x

6,66

7,827

8,895

9,1

x

x

x

x

x

x

x

x

2988,23

2182,56

1372,93

1209,98

x

x

x

x

x

x

x

x

x

0,896

0,89

0,91

0,917

x

x

x

x

x

x

x

x

x

0,00962

0,00976

0,00986

0,00988

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

CGR (BBL/MMscf)

25,76

1894

12,31

10,97

x

x

x

x

x

x

x

x

x

GP (Bcf)

5,012

6,799

8,585

10,369

12,151

13,933

15,712

17,491

19,268

21,043

22,817

24,590

26,361

5552,66

5466,22

5376,06

5282,20

5184,64

5083,39

4978,46

4869,86

4757,60

4641,68

4522,12

4398,93

4272,11

P (Psi) COL

2030

P (Psi)

GP (Bcf)

Se hizo evidente que una curva sin un límite no tenía sentido desde un punto de vista físico y no matemático porque la producción acumulada de gas está limitada por la magnitud del gas original en sitio y el factor de recuperación asociado (Tabla A 1.1). Se aplicó ambas restricciones para definir los límites de la producción que tiene cada campo (Tabla A 1.2) a la figura antes mencionada (Figura 9) como resultado se tenen curvas que se presentan en la Figura 10. La tendencia histórica y futura que la CGR tendrá a lo largo del tiempo de vida de cada uno de los campos comprendidos en el Complejo Gasífero Percheles.

2021

GP (Bcf)

CGR (BBL/MMscf)

DRO

2018

Z CGR/PZ CGR (BBL/MMscf)

1,045

1,038

1,031

1,023

1,015

1,007

0,999

0,991

0,983

0,975

0,967

0,959

0,951

0,00943

0,00956

0,00979

0,01000

0,01030

0,01050

0,01070

0,01090

0,01110

0,01130

0,01160

0,01180

0,012

54,74

54,25

54,25

54,05

54,22

53,78

53,24

52,63

51,93

51,15

50,73

49,78

49,17

Pronosticado el comportamientofuturo de la CGR en cada campo de gas, el cálculo de las tasas estimadas de producción de condensado es sencillo.

5. Conclusiones Teniendo en cuenta el comportamiento observado de la relación de condensado a gas (CGR) en el Complejo Gasífero Percheles, se determinó una correlación para caracterizar su cambio en el tiempo de producción histórica. Luego se ajustó una función de spline para estimar el comportamiento de la CGR en el tiempo de vida restante del yacimiento. La correlación propuesta resultó ser un medio aceptable para estimar y predecir el comportamiento de la CGR para los pozos que producen desde el reservorio de gas retrógrado Guanacos en el Complejo Gasífero

Percheles, con un 5% de error relativo. También fue posible pronosticar el comportamiento de la CGR utilizando la función spline ajustada entre los datos históricos, ya que posteriormente se pudo extrapolar, mediante la serie Taylor, para tener en cuenta su tendencia futura y calcular las previsiones de producción confiables. La Metodología propuesta demostró ser útil para preparar pronósticos anuales para pozos futuros y proporcionar un modelo simple para representar el comportamiento de los yacimientos de gas-condensado.

6. Referencias Olaberinjio, Oyewola, Adeyanju, Alli, Obiyemi, Ajala. KPIM of Gas/Condensate Productivity:Prediction of Condensate / Gas Ratio (CGR) Using Reservoir Volumetric Balance, SPE 104307, 2006, págs. 1-3 Li Fan, Billy W. Harris, A. Jamaliddin, Jaram Kamath, Robert Mott, Gary A. Pope, Alexander Shandrygin, Cutis Hays Whitson.

Understanding Gas-Condensate Reservoirs.

Publication: Oilfield Review,Volume: 17,Issue: 4, Publication Date:12/01/2005, págs. 14-27

7.2. Figuras Figura A 2.1. Relación Condensado-Gas vs Gas Producido

Figura A 2.2. Relación Condensado-Gas vs Producción de Gas Acumulada

B.C. Craft & M.Hawkins. Applied petroleum Reservoir Engineering. New Jersey, EEUU : Prentice Hall PTR, 1991, págs. 107-145 William D. MacCain, Jr. The Properties of PETROLEUM FLUIDS, Second Edition. Tusla, Oklahoma, EEUU PennWell Publishing Company, 1933, págs. 154-156 Tarek Ahmed. Reservoir Engineering Handbook, Fourth Edition, ElSevier Inc. 2010 Figura A 2.3. Relación Condensado-Gas vs Tiempo

7. Anexos 7.1. Mesas Tabla A 1.1. Error Promedio de la Ecuación 5

Field

% Error

DRD

7%

DRS

10%

DRO

2%

COL

1%

Average Error

5%

Tabla A 1.2. Gas Original In Situ

Field

OGIP

Recovery Factor 65% of RSV

DRD

59

38,35

DRS

102

66,30

COL

123

79,95

DRO

14

9,10

TESAPE ARANDU

033

Figura A 2.4. Gráfico de la ecuación 5. con diferentes puntos de inicio

Figura A 2.7. Pronóstico para DRO

Figura A 2.5. Relación Condensado-Gas vs Presión

Figura A 2.8. Pronóstico para DRD

Figura A 2.9. Pronóstico para COL Figura A 2.6. Pronóstico para DRS

David Andrés Bellot Schulczewski SPE-UPSA

034

TESAPE ARANDU

9no. Taller de Proyectos de Investigación y 4to. Taller de Proyectos de Investigación Tuvo lugar en la Aula Magna de la Universidad Privada de Santa Cruz de la Sierra - UPSA, el 17 de octubre de 2018, los talleres de presentación de 16 proyectos de investigación desarrollados en la gestión 2017-2018, en el marco de los programas UPSA - ANCB-SC (9na. versión) y programas UPSA (4ta. versión).

Programa UPSA - PAE [2017-2018] Análisis y Evaluación de la implementación del modelo económico plural y el objetivo de vivir bien en Bolivia Ana Marietta Colanzi Forfori Aplicabilidad en Bolivia del asfalto modificado químicamente con ácido poli fosfórico Ronald Mauricio Bascopé Laboratorio para el monitoreo de la energía fotovoltaica Javier Alanoca Gutiérrez

Programa UPSA - ANCB-SC [2018] Programa de intervención y desarrollo académico Marion K. Schulmeyer Dávalos Distribución y estructura poblacional del pino de monte (Podocarpus parlatorei Pilg) Marisol Toledo Historia natural del murciélago cara de perro del matogrosso (Neoplatymops mattogrossensis Vieira, 1942) de la reserva del patrimonio natural San Sebastián Luis Hernán Acosta Salvatierra Curvas tipo Agarwal-Gardner para reservorios naturalmente fracturados Pedro Marcelo Adrián Yerbas

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Ingreso de Miembro Honorifico de la ANCB Mgs. Lauren Müller de Pacheco La Academia Nacionalde Ciencias de Bolivia otorgó a la Lic. Lauren Muller de Pacheo, la distincion de Miembro Honorifico en merito a su importante y valiosa contribucion a la consolidacion de la Academia Nacional de Ciencias de Bolivia-Departamental Santa Cruz.

Directorio Consejo de Investigaciones ANCB-SC Gestión 2018-2019 Tubo lugar el dia 17 de octubre, la posesión del nuevo directorio de Consejo de Investigaciones de la ANCB-SC.

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