Polígonos e Ângulos
Geometria
IDENTIFICANDO
Tema: Polígonos e Ângulos.
Nível Canguru: Cadet (C).
Ano escolar: 9o ano do EF.
Eixo Canguru: Geometria.
Tempo total: 2 aulas.
Nível C – Cadet
Objetivo: Calcular a soma das medidas dos ângulos internos de polígonos quaisquer.
Habilidades:
Esta aula permeia as seguintes habilidades da Base Nacional Comum Curricular:
(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180 ° .
(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.
Materiais e recursos:
• Professor: giz/canetão colorido, lousa e/ou um projetor (opcional).
• Aluno: caderno, lápis grafite, lápis de cor, tesoura, folhas A4 e retalhos de cartolinas coloridas.
Organização da turma: em duplas, em trios e no coletivo.
Materiais de apoio:
• Acervo do Concurso Canguru
• Revistas Canguru
AQUECENDO
Professor(a), você pode iniciar a aula conversando com a sua turma sobre os polígonos, questionando os alunos:
• O que vocês entendem por polígono?
• Toda figura geométrica é um polígono?
• Polígonos podem ter lados arredondados?
A intenção com estas perguntas é chegar às ideias da seguinte definição:
“Polígonos são figuras fechadas, formadas por segmentos de reta consecutivos e não colineares, que não se cruzam, apenas se tocam em seus nos vértices.”
Então, siga questionando:
• Como chamamos os pontos onde os lados dos polígonos se encontram?
Para que eles lembrem dos nomes dados aos polígonos, você pode seguir com as perguntas, sondando o que eles sabem sobre o assunto:
• Se um polígono tem quatro lados, como o chamamos?
• E cinco lados?
• E três?
• Como são chamados os polígonos cujos lados e ângulos são congruentes (têm a mesma medida)?
Utilize a tabela a seguir para que eles percebam que quadriláteros, pentágonos, triângulos são polígonos: Lados
4 lados quadrilátero
5 lados pentágono
6 lados hexágono
7 lados heptágono
8 lados octágono
9 lados eneágono
10 lados decágono
É importante que você encoraje todos a participar e reconheça cada contribuição. Para isso, você pode fazer novas perguntas, complementar as falas dos estudantes, elogiar o trabalho, o esforço e a persistência deles.
Se possível, você pode levar uma bola para a aula.
Mostre a imagem ou a bola para os alunos e questione:
• Quais polígonos são utilizados para compor a bola?
• São polígonos regulares? Por quê?
• E quanto aos ângulos, o que podemos afirmar?
Expectativa:
É esperado que os alunos observem que a bola é uma composição de pentágonos e hexágonos regulares, pentágonos em preto e hexágonos em branco, onde cada pentágono é cercado por 5 hexágonos. Os lados dessas figuras são todos congruentes, entretanto, os ângulos internos do hexágono regular são diferentes dos do pentágono regular.
DESENVOLVENDO
Para introduzir o assunto Soma dos ângulos internos, peça que os alunos cortem ao meio uma folha A4 em branco. Na metade, peça para eles desenharem um triângulo qualquer, e destacarem os ângulos internos desse triângulo usando canetinhas coloridas, cada ângulo de uma cor. Como no exemplo:
A seguir, peça que façam um ponto no centro do triângulo e que liguem esse ponto ao ponto médio de cada lado do triângulo, conforme a imagem abaixo:
Peça que eles recortem o triângulo, e em seguida, os segmentos que fizeram por último. Como na imagem abaixo:
Então, peça que façam uma reta em outra folha e, conectem os vértices dos ângulos de modo que as arestas se toquem, como indicado na imagem:
Como todos fizeram triângulos diferentes, espera-se que percebam que todos conseguiram fazer a colagem com os ângulos apenas de um lado da reta, ou seja, com 180 ° no total. Então, explique porque sempre funciona. Segue a demonstração:
• Considere um triângulo com vértices P1, P2, P3 , como o da imagem acima.
• Considere os três ângulos do triângulo centrados nesses vértices (representados pelas cores azul, vermelha e verde).
• Trace uma reta que passe por um desses vértices (P1, P2 ou P3) e seja paralela ao lado do triângulo oposto a esse vértice. Por exemplo, uma reta que passa pelo vértice P2 e é oposta ao lado com os vértices P1 e P3 do triângulo.
• Neste caso, considere os pares de ângulos alternos internos do triângulo centrados nos vértices P1 e P3 (em azul e vermelho).
• Lembre-se de que ângulos alternos internos possuem a mesma medida.
• Veja que os três ângulos formam um ângulo raso, ou seja, a medida é igual a 180°
• Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°
VISUALIZANDO
• Para começar, sugerimos a questão trabalhada do Concurso Canguru de Matemática Brasil, nível C, edição de 2018.
Valéria traçou uma linha em zigue-zague no interior de um retângulo, criando ângulos de 10 °, 14°, θ, 33° e 26°, conforme mostrado na figura a seguir. Qual é o valor de θ?
Peça aos alunos que leiam a questão com atenção e que observem a figura. Em seguida questione:
• O que se pode afirmar sobre os ângulos internos do retângulo?
A intenção com essa pergunta é que eles percebam os ângulos internos de 90° no retângulo.
• Qual o ângulo formado por duas semirretas com mesma direção?
Desenhe na lousa duas semirretas opostas e mostre o ângulo de 180 ° .
Continue observando a figura e pergunte:
• Com essas informações, conseguimos descobrir as medidas dos ângulos internos do primeiro triângulo de cima para baixo?
• Quais são as medidas desses ângulos internos?
• Qual a soma das medidas desses ângulos internos?
Espera-se que os alunos percebam que o primeiro triângulo de cima para baixo é retângulo, logo tem um ângulo de 90 ° e um de 10 °, para fechar 180 °, então o terceiro ângulo precisa ser 80 ° .
Siga fazendo questionamentos para que eles concluam as respostas:
• Na figura, há mais triângulos retângulos? Como você sabe disso?
• Podemos concluir que o triângulo mais abaixo na figura também é retângulo?
• O que mais podemos concluir com essa informação?
Finalmente, apresente as alternativas e peça que assinalem a que indica o valor de θ.
Possibilidade de resolução:
Os triângulos ABR e DCS, são retângulos, logo ARB mede 90 ° - 10 ° = 80 ° e DSC mede 90 ° - 26° = 64°. Portanto, TRS mede 180 ° - 14° - 80 ° = 86° e TSR mede 180 ° - 33° - 64° = 83° .
Logo, no triângulo TRS, temos θ = 180 ° - 86° - 83° = 11°. A alternativa A é a correta.
INVESTIGANDO
• Para que os alunos sejam desafiados a explorar mais, sugerimos a questão trabalhada do Concurso Canguru de Matemática Brasil, nível C, edição de 2021.
A estrela a seguir é formada por 5 triângulos retângulos congruentes posicionados de forma que seus maiores ângulos agudos se tocam. Podemos formar uma estrela diferente, usando uma quantidade maior desses mesmos triângulos, de modo que seus menores ângulos agudos se toquem. Quantos triângulos seriam necessários para formar essa nova estrela?
Observe que a estrela é formada por 5 triângulos retângulos congruentes posicionados de forma que o centro da estrela é um vértice comum a esses 5 triângulos.
• Podemos formar uma estrela diferente usando uma quantidade maior de triângulos retângulos, de modo que o centro da estrela seja um vértice comum a todos eles?
• Quantos triângulos seriam necessários para formar essa nova estrela?
Podemos formar estrelas diferentes utilizando diferentes triângulos retângulos. Para isso é preciso que os ângulos com vértice no centro da estrela sejam agudos, congruentes e que a soma de suas medidas seja 360 ° .
Após leitura atenta, pergunte aos alunos:
• Que tipos de ângulos formam os triângulos da estrela?
Lembre os alunos que a leitura cuidadosa do problema é muito importante para desenvolver uma estratégia de resolução e assim chegar à solução.
A intenção com essas perguntas é que eles percebam os ângulos de 90 ° .
• Na estrela, quantos ângulos têm vértices no seu centro?
• Qual a soma das medidas dos ângulos que têm vértices no centro da estrela?
• Se os ângulos que têm vértice no centro da estrela são congruentes, que estratégia podemos usar para descobrir a medida desses ângulos?
A ideia é que os alunos percebam que a soma dos 5 ângulos com vértice no centro da estrela é 360 °, logo para saber o valor de cada, é preciso dividir 360 por 5. Esse ângulo mede 72 °
• Com essa nova informação, conseguimos descobrir as medidas de outros ângulos nos triângulos?
Espera-se que os alunos percebam que já sabem as medidas de dois ângulos de cada triângulo, logo, o terceiro é o que falta para completar 180 °. Assim, 180 ° - 90 ° - 72 ° = 18 ° .
Siga fazendo questionamentos para que eles tirem suas conclusões, por exemplo:
• O que queremos mesmo descobrir?
• Precisamos de quantos ângulos de 18° para completar 360° em torno do centro da estrela?
Assinale a alternativa que indica quantos triângulos são necessários para formar essa nova estrela.
(A) 10 (B) 12 (C) 18 (D) 20 (E) 24
Possibilidade de resolução:
Na estrela dada, os 5 ângulos agudos totalizam 360 °. Portanto, a medida de cada ângulo é 360 °
5 . O outro ângulo agudo de cada triângulo retângulo mede 90 ° - 72 ° = 18 ° .
Na nova estrela, para que a soma dos ângulos com vértice no centro da estrela seja 360 ° , serão necessários 360 ° 18 ° = 20 triângulos, que corresponde à alternativa D.
RETOMANDO
Para finalizar a aula destaque como os conceitos de polígonos e soma dos ângulos internos são fundamentais para a resolução de problemas do dia a dia, pois estão presentes em diferentes situações e funções, como na mecânica e na marcenaria. Peça que olhem em volta e percebam os triângulos existentes na sala de aula. Assim, podemos verificar o que apreenderam da aula e as conexões que fizeram com o ambiente no qual estão inseridos.