Matematisk verktøykasse

Inger Christin Borge

Denne læreboken for førsteårsstudier på bachelornivå er en matematisk verktøykasse for videre realfagsstudier, og den bygger på R1- eller S1+S2-matematikk fra videregående skole. I boken settes matematikken du har lært, inn i en større og mer anvendt sammenheng.

Målet er å gi deg en forståelse av hvordan ulike typer problemstillinger kan modelleres, dvs. oversettes til matematikk. Modellene gir opphav til de forskjellige likningene vi tar for oss, og som du lærer å løse.

Ny matematikk som trengs til dette, lærer du underveis.

Boken er delt inn i tre hovedtemaer: lineære likningssystemer, differenslikninger og differensiallikninger.

2. UTGAVE

√–

–

2. UTGAVE

9788215023717.indd 1

Omslag: Cecilie Mohr/ www.cmykdesign.no

ISBN 978-82-15-02371-7

verktøykasse

––

Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo der hun er første­ amanuensis ved Matematisk institutt, førstelektor ved Institutt for lærerutdanning og skoleforskning og fagreferent i matematikk ved Realfagsbiblioteket. Hun er særlig opptatt av å tilrettelegge for en god faglig og pedagogisk overgang fra videregående skole til universitetsstudier.

Matematisk

––

Ved hjelp av motiverende eksempler og oppgaver som ikke krever spesialkunnskap, ønsker vi å få frem hvordan matematiske metoder og anvendelser i blant annet informatikk og biologi går hånd i hånd.

Inger Christin Borge Matematisk verktøykasse

Matematisk kompetanse er svært viktig i dagens samfunn. Spesielt stiller utviklingen av teknologi høye krav til matematiske kunnskaper.

17.07.14 09:52

Matematisk verktøykasse

Inger Christin Borge

Matematisk verktøykasse 2. utgave

UNIVERSITETSFORLAGET

# Universitetsforlaget 2014 1. utgave 2009 2. utgave 2014 ISBN: 978-82-15-02371-7

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av a˚ndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til a˚ndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Henvendelser om denne utgivelsen kan rettes til: Universitetsforlaget AS Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo www.universitetsforlaget.no

Omslag: Cecilie Mohr Sats: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Trykkeri: Merkur Grafisk AS Bokbinderi: Bokbinderiet Johnsen AS Boken er satt med: Times Roman 10,5/14 pt Papir: 90 g Artic Matt

Til mamma, pappa og Richard

Forord Pa˚ skolen er det mange som spør «Hvorfor ma˚ jeg lære dette?», spesielt i matematikktimene. Er du en av dem som stilte dette spørsma˚let? Eller er du en av dem som sa til deg selv at «jeg fa˚r nok bruk for det en dag»? Uansett, vi pa˚sta˚r at grunnen til at du har lært om for eksempel andregradslikninger, parentesregler, funksjoner og derivasjon er for a˚ forsta˚ verden!

Det er nysgjerrighet som har brakt oss dit vi er i dag, og i utviklingen av dagens samfunn har matematikk spilt en hovedrolle.

Faget vil fortsette a˚ ligge til grunn for videre utvikling, og det gjør det spennende og utfordrende. All erfaring tilsier at du vil komme mye lenger i dine videre studier med en solid og trygg matematikkunnskap.

Denne boken er ment a˚ bidra til denne kunnskapen: Med skolematematikken som grunnmur, skal vi for det første sørge for at den er sa˚ stø som mulig, ved a˚ gi deg motivasjon til a˚ fylle igjen eventuelle hull, og for det andre bidra til utbyggingen av ditt eget matematikkhus som du skal fortsette a˚ møblere hele livet.

Matematisk verktøykasse krever ikke full fordypning i matematikk fra viderega˚ende, dvs. 3MX under Reform 94 eller Kunnskapsløftets R2. Men har du denne bakgrunnen, vil du fortsatt finne utfordringer her. Boken bygger pa˚ R1 (2MX) eller S1þS2 (2MZþ3MZ), og er ment a˚ gi deg en matematisk verktøykasse for videre realfagsstudier, og a˚ a˚pne opp for videre bruk av matematikk.

Stoffet i denne boken er valgt ut nettopp med hensyn pa˚ hva som kan passe i «en matematisk verktøykasse for videre realfagsstudier», og mengden stoff er tilpasset et 10 studiepoengs kurs.

Det er løsningsmetoder, studier av løsninger og anvendelser av tre typer likninger som er va˚rt fokus. Boken er sa˚ledes delt i tre deler:

8

&

Forord

Del 1 Lineære likningssystemer, vektorer og matriser. Kapittel 1–4.

Del 2 Differenslikninger. Kapittel 5–9.

Del 3 Differensiallikninger og modellering. Kapittel 10–13.

Det er lagt opp til at delene skal passe naturlig inn mellom «del 0» (skolematematikken) og «del 4» (veien videre). Hver av de tre delene vil bli nærmere presentert underveis.

Ordet modellering vil ga˚ som en rød tra˚d gjennom boken, selv om ˚ modellere et problem temaet først fa˚r sin egen seksjon i siste kapittel. A vil si a˚ lage matematikk av det. Denne tankegangen (tekstoppgavetankegangen) er uhyre nyttig, men ogsa˚ veldig vanskelig. Ha˚pet er at fremstilingen i denne boken skal gi deg utfordringer og hjelp i forhold til dette. Dette er en prosess du vil ma˚tte jobbe videre med i studiene, men med denne boken har du sjansen til a˚ komme et skritt videre i denne prosessen.

Ma˚let er altsa˚ a˚ gi deg en forsta˚else for hvordan ulike typer problemstillinger kan modelleres, og lære deg a˚ finne løsninger pa˚ problemene. Eksempler pa˚ problemstillinger, som ikke krever spesialkunnskap, er hentet fra flere fagfelt, for eksempel biologi og informatikk.

Matematikken du har som bakgrunn fra skolematematikken vil na˚ bakes inn i en større sammenheng. Sørg for a˚ repetere / tette hull sa˚ fort det dukker opp stoff du føler du ikke husker godt nok.

Selve fremstillingen har ett ma˚l for øyet: at du skal bli trygg pa˚ stoffet i boken! Dermed er boken skrevet omstendelig, med mye forklarende tekst og eksempler (og mye bruk av kommentarer i parenteser for a˚ poengtere/pa˚peke). Videre er det lagt inn mange sma˚sjekker merket «(sjekk!)» slik at du ikke skal stole blindt pa˚ det som sta˚r, men faktisk overbevise deg selv. Gjør det! Sjekkene skal ogsa˚ minne deg pa˚ at du ikke kommer langt i byggingen av matematikkhuset ditt uten litt svette (og fortvilelse). Ha alltid blyant og papir tilgjengelig na˚r du leser matematikk!

I tillegg til all sma˚sjekkingen underveis sjekker du din egen forsta˚else og skaffer deg (etter hvert) selvtillit og trygghet ved a˚ løse oppgaver. Du vil finne følgende tester og oppgaver i boken: &

Tre tester, en etter hver av de tre delene.

&

Oppgavesamling bak i boken, inndelt etter kapittel 1–13. Denne oppgavesamlingen inkluderer mange treningsoppgaver av ulik vanskelighetsgrad og noen tidligere eksamensoppgaver. Alle oppgaver her har fasit, og mange av dem har ogsa˚ utfyllende løsningsforslag. Noen av oppgavene er merket «Ekstra vanskelig».

Forord

&

9

Oppgavene er ikke laget (bare) for moro skyld, og et godt ra˚d til deg er a˚ prøve a˚ gjøre alle oppgavene. &

Eksamensoppgavesamling bak i boken, inndelt etter del 1–3.

Disse tidligere eksamensoppgavene er uten fasit.

Dessuten vil du for hvert kapittel finne en oppsummering under overskriften «Na˚ skal du kunne».

2. utgave I 2. utgave er det gjort noen lokale endringer i forhold til 1. utgave: Teksten er bearbeidet, og noe stoff er skrevet om (dette gjelder bl.a. parameterfremstilling og egenvektorer). Matrisespra˚ket er ogsa˚ brukt litt mer aktivt enn i forrige utgave. Det er na˚ inkludert en formelsamling pa˚ innsiden av bokens permer. Boken har fa˚tt ny layout, og de ulike løsningsmetodene i boken er løftet litt mer frem.

Eksemplene blir i større grad «plukket opp», dvs. det minnes om hva de dreide seg om na˚r vi refererer tilbake - i noen tilfeller er det satt inn sidetall ogsa˚. Noen flere figurer, spesielt i kapittel 12 og 13, er inkludert.

Na˚r det gjelder oppgavene, er disse beholdt med minimale forandringer, dvs. samme nummerering som i 1. utgave (kun et par er byttet ut / fjernet uten a˚ pa˚virke nummereringen fra 1. utgave), bortsett fra at A-en foran alle nummerne er fjernet.

Send gjerne trykkfeil og kommentarer til bokens hjemmeside pa˚ www.universitetsforlaget.no.

Tusen takk!

Det er mange som fortjener takk! Før jeg takker, vil jeg gjerne bemerke at ansvaret for eventuelle feil og mangler i boken ligger hos meg, og personene jeg vil takke har (iallfall i mine øyne) bare bidratt til a˚ betrygge leseren, spare hodebry og a˚ gjøre boken bedre.

De tidligere eksamensoppgavene har først og fremst vært gitt ved Matematisk institutt ved Universitetet i Oslo (UiO), mens en del har vært gitt ved Institutt for matematiske fag ved Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet i Trondheim (NTNU) og tidligere Norges tekniske høgskole (NTH). Disse oppgavene er merket henholdsvis «(UiO)» og «(NTNU/NTH)». Jeg benytter herved anledningen til a˚ si tusen takk til begge institutter for tillatelse til a˚ inkludere disse oppgavene.

Boken du na˚ holder i ha˚nden er basert pa˚ en trilogi av kompendier skrevet til begynnerkurset MAT1001 Matematikk 1 ved Matematisk

10

&

Forord

institutt ved UiO, høsten 2008. Til dette arbeidet fikk jeg kontinuerlige innspill og kommentarer, samt stoff, fra Erik Be´dos, Arne B. Sletsjøe og Elisabeth Seland. Tusen, tusen takk for enesta˚ende og motiverende samarbeid.

Videre vil jeg umiddelbart takke Matematisk institutt ved Arne Bang Huseby og Yngvar Reichelt for muligheten til a˚ involvere meg i matematikkundervisningen ved instituttet, noe jeg er utrolig takknemlig for, og Realfagsbiblioteket ved Live Rasmussen for a˚ legge forholdene til rette for dette.

Tusen takk til Dina Haraldsson for hjelp med skriving av tidligere eksamensoppgaver, Kari T. Hylland og Ha˚kon M. Briseid for bidrag til treningsoppgaver, og Tom Lindstrøm for tillatelse til a˚ bruke noen av oppgavene i hans bok Kalkulus [8].

Det er flere som har jobbet gjennom stoffet før det ble til en bok, og som har kommet med verdifulle kommentarer. Tusen takk, alle sammen - spesielt MAT1001-studentene ved UiO høsten 2008.

Jeg vil takke for oppfordringer til a˚ lage bok av kompendiene og for at jeg har fa˚tt muligheten til a˚ utgi denne boken. Veien er dermed kort til a˚ sende en stor takk til Universitetsforlaget og min redaktør Eli Valheim for ra˚d og kommentarer. Ekstra takk til Eli for super mottagelse og støtte – ba˚de med 1. og 2. utgave.

I forbindelse med 2. utgave vil jeg spesielt takke Torgeir Onstad, Torgunn Karoline Moe og Arne B. Sletsjøe for meget nyttige og verdifulle kommentarer, og Vegard Brekke for en stra˚lende jobb med layout!

Ogsa˚ stor takk til Marte Stapnes ved forlaget for flott innspurt.

Videre sier jeg tusen takk til David Borge, Lise Borge, Richard Borge, Robin Bjørnetun Jacobsen, Liv Sissel Grønmo, Nils Voje Johansen, Eivind Knudsen, Marie Moltubakk, Geir Myklebust, Jorun Nyle´hn og Ingebjørg Smestad for gode ra˚d og motivasjon.

Matematisk verktøykasse er et resultat av diskusjoner om matematikk og undervisning med mange som alle fortjener stor takk. En spesiell takk ga˚r til Snorre H. Christiansen for utrolig inspirerende diskusjoner!

Jeg er meget glad for a˚ utgi 2. utgave av denne boken. Til alle som har lest og brukt boken: Jeg setter stor pris pa˚ og takker for alle tilbakemeldinger!

Boken har jeg tilegnet mamma, pappa og Richard for all deres støtte.

Lykke til med lesingen! Jeg ha˚per dere vil like boken.

Oslo, mai 2014 Inger Christin Borge

Innhold Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Del 1 Kapittel 1

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineære likningssystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Kapittel 2

Matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Kapittel 3

Lineære likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vektorer og n-tupler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Løsningsmengde og parameterfremstilling . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineære likningssystemer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Løsningsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometriske løsninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Et viktig resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Definisjoner og regneoperasjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Regneregler og noen spesielle matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anvendelse: Binære matriser og søkevektorer . . . . . . . . . . . .

Determinanten til en matrise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matriselikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineære likningssystemer og matriser . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1 3.2 3.3

Den utvidede matrisen til et likningssystem . . . . . . . . . . . . . .

Et viktig bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Radoperasjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

15 17 18 19 22 26 28 33 36 37 39 40 45 48 51 53 54 55 56 57 58

12

&

Innhold

3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Kapittel 4

Redusert trappeform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gauss–Jordan-eliminasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Et nyttig resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cramers regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 64 69 72 74

Anvendelser av lineære likningssystemer . . . . . . . . . . . .

75 76 82 93 105

4.1 4.2 4.3 4.4

Populasjonsdynamikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Egenverdier og egenvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hva skjer i det lange løp for lineære sammenhenger? . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

«Har du fått med deg del 1?»-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Del 2

Differenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapittel 5

Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1 5.2 5.3

Kapittel 6

Tallfølger og konvergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Differenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Første ordens lineære differenslikninger . . . . . . . . . . . . . 121 6.1

6.2

6.3

Kapittel 7

107

Homogene likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1 Løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2 Konvergens av løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3 Anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inhomogene likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1 Løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2 Konvergens av løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.3 Anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 123 125 126 130 131 138 140 143

Komplekse tall og trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Motivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Komplekse tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vinkler og radianer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146 146 155 159 162 170

Innhold

&

13

Kapittel 8

Andre ordens lineære differenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1 Homogene likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1.1 Løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1.2 Konvergens av løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1.3 Anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2 Inhomogene likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.1 Løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.2 Konvergens av løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2.3 Anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapittel 9

Trær og nettverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 9.1 9.2 9.3 9.4

«Jo mer man kan, jo bedre» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trær og Fibonacci-følgen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Boolsk algebra og nettverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

171 172 173 182 184 187 188 192 193 198

200 200 205 218

«Har du fått med deg del 2?»-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Del 3

Differensiallikninger og modellering . . .

Kapittel 10

Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9

Kapittel 11

Definisjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Om anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rasjonale funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eksponential- og logaritmefunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammensatte funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

219

222 225 226 228 230 233 234 244 245

Derivasjon og antiderivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.1 11.2 11.3 11.4

Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Differensiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Antiderivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

248 256 258 270

14

&

Innhold

Kapittel 12

Kapittel 13

Differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.1 Første ordens lineære difflikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.1.1 Løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.2 Separable difflikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.2.1 Løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3 Andre ordens lineære homogene difflikninger med konstante koeffisienter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3.1 Løsningsmetode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.4 Initialbetingelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.5 Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

271 272 272 281 282 288 288 296 303

Modellering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 13.1 Matematiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 13.2 Eksempler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 13.3 Na˚ skal du kunne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

«Har du fått med deg del 3?»-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Tillegg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327

Tillegg A

Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

Tillegg B

Tidligere eksamensoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Tillegg C

Fasit og løsningsforslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Tillegg D

Notasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Tillegg E

Det greske alfabetet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Tillegg F

Bibliografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Tillegg G

Norsk-engelsk ordliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

Tillegg H

Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Del 1

Lineære likningssystemer, vektorer og matriser Kapittel Kapittel Kapittel Kapittel

1 2 3 4

Lineære likningssystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineære likningssystemer og matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anvendelser av lineære likningssystemer . . . . . . . . . . . . . .

17 39 55 75

I første del av denne boken vil du lære å løse lineære likningssystemer, dvs. vi skal se på systemer med flere likninger i flere variabler/ukjente.

Vi skal nå bygge videre på likningsløsingen fra videregående skole, der du har møtt tilfellet med to (lineære) likninger i to variabler/ukjente.

Løsningene til et lineært likningssystem er såkalte tupler, som vi også vil tenke på som vektorer, og ofte er løsningsmengden uendelig mange slike tupler. For å presentere alle disse skal vi bruke begrepet parameter.

Alt dette ser vi på i kapittel 1.

Deretter innfører vi matriser i kapittel 2. Av konkrete anvendelser av dette stoffet skal vi blant annet se, i kapittel 2, hvordan matriser kan brukes til å holde styr på, og søke i, store datamengder, som er spesielt nyttig i informatikk. I kapittel 3 skal vi se hvordan matriser kan brukes til å løse lineære likningssystemer.

I kapittel 4 tar vi for oss problemer av typen som faller inn under såkalt populasjonsdynamikk. Slike problemer dukker spesielt opp i biologi og studier av utviklingen av ulike populasjoner. Her er det mange morsomme problemer!

Problemer som gir opphav til lineære likningssystemer fins det generelt mange av. Dessuten, når vi løser ulike typer likninger vil lineære likningssystemer ofte dukke opp i utregninger underveis. Slike systemer anvendes derfor innenfor de fleste fagfelt. Du vil møte lineære likningssystemer senere i boken også.

Kapittel 1

Lineære likningssystemer «Jeg tenker på et tall slik at ganger tallet er 12.»

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Lineære likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vektorer og n-tupler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Løsningsmengde og parameterfremstilling. . . . . . . . . . . . .

Lineære likningssystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Løsningsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Geometriske løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Et viktig resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nå skal du kunne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 19 22 26 28 33 36 37

18

1.1

&

Kapittel 1 Lineære likningssystemer

Lineære likninger Matematikk dreier seg om a˚ løse problemer. Problemene gjøres ofte om til likninger som sa˚ ma˚ løses. Vi skal na˚ studere systemer av lineære likninger og deres løsninger.

For eksempel kan problemet med a˚ finne et tall slik at ganger tallet er 12, gjøres om til en likning ved a˚ kalle tallet vi vil finne for x.

Problemet er na˚ a˚ finne x der x oppfyller likningen x ¼ 12. I likningsspra˚ket kalles x en variabel (den ukjente størrelsen i problemet vi vil løse).

Vi ma˚ ogsa˚ kunne behandle likninger med flere variabler, eller problemer med flere ukjente om man vil: For eksempel kan vi tenke pa˚ fire tall slik at summen av dem er 12. Hvis vi kaller de ukjente tallene for x1 , x2 , x3 og x4 , blir problemet va˚rt gjort om til likningen x1 þ x2 þ x3 þ x4 ¼ 12. Begge likningene vi har sett til na˚, er eksempler pa˚ lineære likninger.

Bemerkning 1.1

Definisjon 1.2

Na˚r vi kun bruker ordet tall, skal vi mene et reelt tall, dvs. et tall pa˚ tallinjen. Mengden av de reelle tallene betegnes med ° .

Husk at mengden f1, 2, 3, . . .g er mengden av de naturlige tallene. &&

Lineær likning, koeffisient

La n være et naturlig tall. En (reell) lineær likning i n variabler/ ukjente x1 , x2 , . . . , xn er en likning pa˚ formen a1 x1 þ a2 x2 þ þ an xn ¼ b der a1 , a2 , . . . , an og b er (reelle) konstanter. Tallene a1 , a2 , . . . , an , kalles koeffisientene til likningen.

Matematikk er den mest eksakte vitenskapen vi har. Og uten definisjonene klarer vi oss ikke lenge. De sier nemlig nøyaktig hva vi mener med de ulike begrepene vi jobber med.

For at vi skal kalle en likning lineær, kan vi altsa˚ kun ha ledd som er konstante eller ledd der vi ganger variablene med konstanter.

I tillegg kan vi summere slike ledd. Lineære likninger inneholder dermed ikke produkter eller røtter av variablene, og variablene er heller ikke variabler i for eksempel trigonometriske, logaritmiske eller eksponentiale funksjoner.

Seksjon 1.2 Vektorer og n-tupler

&

19

Dette vil videre si at for eksempel et problem slik som «Finn to tall slik at produktet er 5» ikke vil gi opphav til en lineær likning, siden dette problemet vil involvere et produkt av variablene.

Eksempel 1.3

Likningen pffiffiffi 5x1 þ x2 3x3 ¼ 0 er en lineær likning i variablene x1 , x2 og x3 fordi den er pa˚ formen a1 x1 þ a2 x2 þ a3 x3 ¼ b der a1, a2 , a3 og b er reelle konstanter pffiffiffi (a1 ¼ 5, a2 ¼ 1, a3 ¼ 3 og b ¼ 0). Likningen 4x1 x2 þ 4x3 þ x34 ¼ x1 er ikke lineær, siden vi har leddet x34 som ikke er pa˚ formen a4 x4 for en reell konstant a4 . &&

1.2

Vektorer og n-tupler Før vi ga˚r løs pa˚ løsninger og anvendelser av lineære likninger, skal vi definere noen begreper.

Definisjon 1.4

n-tuppel, komponent

La n være et naturlig tall. Et tuppel av lengde n, eller et n-tuppel, skrevet x ¼ ðx1 , . . . , xn Þ, er n tall ordnet i en bestemt rekkefølge.

Tallene xi som forekommer i tuppelet, kalles komponentene til tuppelet.

To n-tupler x ¼ ðx1 , . . . , xn Þ og y ¼ ðy1 , . . . , yn Þ er like hvis de er komponentvis like, som vil si at alle komponentene som sta˚r pa˚ samme plass ma˚ være like. Matematisk skriver vi: xi ¼ yi for alle i ¼ 1, . . . , n.

Vi kan ikke sammenligne et m-tuppel og et n-tuppel hvis m 6¼ n.

Eksempel 1.5

Tallene 1, 2, 3 og 4 kan danne flere 4-tupler. Na˚r vi skriver 4-tuppelet ð1, 3, 2, 4Þ har vi bestemt at 1 er det første tallet, 3 er det andre, 2 det tredje og 4 det fjerde tallet.

Hvis x ¼ ð1, 3, 2, 4Þ og y ¼ ð1, 2, 3, 4Þ, er x 6¼ y, siden x2 ¼ 3 og y2 ¼ 2, sa˚ x2 6¼ y2 (videre er ogsa˚ x3 6¼ y3 ). &&

20

&

Kapittel 1 Lineære likningssystemer

Et 1-tuppel ðx1 Þ inneholder samme informasjon som tallet x1 , sa˚ vi bestemmer oss for ikke a˚ skille mellom disse, og skriver x1 ¼ ðx1 Þ.

Geometrisk gir et 1-tuppel oss dermed et punkt pa˚ tallinjen ° .

Et 2-tuppel ðx1 , x2 Þ gir oss et punkt i planet, som skrives °2 , og som er 2-dimensjonalt.

Matematikere er ikke redde for a˚ generalisere, og snakker gjerne om det n-dimensjonale rommet °n . Det er mengden av alle n-tupler, som skrives

°n ¼ fðx1 , . . . , xn Þ : xi 2 °g og leses «° i n-te er lik mengden av n-tupler x1 opp til xn der xi -ene er elementer i °».

Vi ma˚ kunne regne med n-tupler, og addisjon av n-tupler og multiplikasjon av n-tupler med konstanter (de lineære regneoperasjonene) skal gi oss nye n-tupler. Det bringer oss til følgende definisjon: Definisjon 1.6

Addisjon av tupler og multiplikasjon av et tuppel med en konstant

La x ¼ ðx1 , . . . , xn Þ og y ¼ ðy1 , . . . , yn Þ være to n-tupler og la a være en konstant i ° . Vi definerer: x þ y ¼ ðx1 þ y1 , . . . , xn þ yn Þ ax ¼ ðax1 , . . . , axn Þ Vi kan ikke addere et m-tuppel og et n-tuppel hvis m 6¼ n.

Eksempel 1.7

La x ¼ ð5, 3, 8, 2Þ og y ¼ ð7, 6, 1, 0Þ. Da er 1 1 x y ¼ ð5, 3, 8, 2Þ ð7, 6, 1, 0Þ 2 2

7 1 ¼ ð5, 3, 8, 2Þ þ , 3, , 0 2 2

3 15 ¼ , 0, , 2 , 2 2 som er et nytt 4-tuppel.

&&

Inger Christin Borge

Denne læreboken for førsteårsstudier på bachelornivå er en matematisk verktøykasse for videre realfagsstudier, og den bygger på R1- eller S1+S2-matematikk fra videregående skole. I boken settes matematikken du har lært, inn i en større og mer anvendt sammenheng.

Målet er å gi deg en forståelse av hvordan ulike typer problemstillinger kan modelleres, dvs. oversettes til matematikk. Modellene gir opphav til de forskjellige likningene vi tar for oss, og som du lærer å løse.

Ny matematikk som trengs til dette, lærer du underveis.

Boken er delt inn i tre hovedtemaer: lineære likningssystemer, differenslikninger og differensiallikninger.

2. UTGAVE

√–

–

2. UTGAVE

9788215023717.indd 1

Omslag: Cecilie Mohr/ www.cmykdesign.no

ISBN 978-82-15-02371-7

verktøykasse

––

Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo der hun er første­ amanuensis ved Matematisk institutt, førstelektor ved Institutt for lærerutdanning og skoleforskning og fagreferent i matematikk ved Realfagsbiblioteket. Hun er særlig opptatt av å tilrettelegge for en god faglig og pedagogisk overgang fra videregående skole til universitetsstudier.

Matematisk

––

Ved hjelp av motiverende eksempler og oppgaver som ikke krever spesialkunnskap, ønsker vi å få frem hvordan matematiske metoder og anvendelser i blant annet informatikk og biologi går hånd i hånd.

Inger Christin Borge Matematisk verktøykasse

Matematisk kompetanse er svært viktig i dagens samfunn. Spesielt stiller utviklingen av teknologi høye krav til matematiske kunnskaper.

17.07.14 09:52