Logiske metoder

vinner av

ROGER ANTONSEN LOGISKE METODER

Mange tenker at matematikk er regning, formler, tall og merkelige bok­ staver. Men matematikk er mye mer enn å utføre beregninger, manipulere symboler og sette inn i formler. Matematikk handler om å oppdage mønstre, gjennom­føre resonnementer, finne moteksempler og argumentere logisk.

Mate­matikk er en måte å tenke på, og en aktivitet som er både ekstremt kreativ og utfordrende.

Denne boken er ment som en introduksjon til vitenskapelig, og spesielt mate­ matisk, tankegang for dem som begynner på et universitets­- eller høyskole­ studium. Formålet med boken er å legge et solid grunnlag for et realfaglig studium, og å introdusere og forklare de viktigste og mest essensielle begrep­ene innenfor matematikk og realfag. Gjennom 25 korte kapitler vil du lære det mest grunnleggende innenfor mengdelære, logikk, bevismetoder, kombinatorikk, grafteori og mye annet.

Logiske metoder passer spesielt godt til dem som ikke har ­studert før, slik at overgangen til et universitets- og høyskolestudium blir ­lettere. Boken har også overføringsverdi til andre studier enn ­realfag og er en nyttig og fasci­ nerende inngang til vitenskapelig og logisk tankegang.

Roger Antonsen mottok Universitetsforlagets lærebokpris i 2013 for denne boken.

Boken har en egen nettside med nyttige tillggesressurser for ­studenter og forelesere under www.nettressurser.no.

ISBN-978-82-15-02274-1

omslagsfoto: marie b. låte design: marit heggenhougen | cmykdesign.no

Roger Antonsen er førstelektor ved Institutt for informatikk ved Universitetet i Oslo. Han forsker på logiske kalkyler, jobber aktivt med formidling og er en høyt skattet foreleser.

Universitetsforlagets lærebokpris

Roger Antonsen

LOGISKE METODER Kunsten å tenke abstrakt og matematisk

LOGISKE METODER

LOGISKE METODER Kunsten 책 tenke abstrakt og matematisk

Roger Antonsen

Universitetsforlaget

© Universitetsforlaget 2014

ISBN 978-82-15-02274-1

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med rettighetshaverne er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel.

Boken er utgitt med støtte fra Kunnskapsdepartementet ved Lærebokutvalget for høyere utdanning.

Henvendelser om denne utgivelsen kan rettes til: Universitetsforlaget AS Postboks 508 Sentrum 0105 Oslo www.universitetsforlaget.no

Omslag: Marit Heggenhougen, CMYKDESIGN Sats: Roger Antonsen Trykk og innbinding: 07 Media AS – 07.no Boken er satt med: 10pt TEX Gyre Pagella Papir: 100g Arctic Matt 1,0

Innhold Forord

0

Kunsten å tenke abstrakt og matematisk

ix 1

Abstraksjon 1 Resonnering om sannhet 2 Antakelser 2 Språk 3 Definisjoner 3 Bevis 4 Problemløsning og Pólyas heuristikker 4

1

Grunnleggende mengdelære

7

Første steg 7 Hva er en mengde? 7 Konstruksjon av mengder 9 Operasjoner på mengder 11 Visualisering av mengder 12 Sammenlikninger av mengder 14 Tupler og produkter 15 Multimengder 16 Oppgaver 17

2

Utsagnslogikk

19

Hva er det som følger fra hva? 19 Hva er et utsagn? 19 Atomære og sammensatte utsagn 20 Atomære og sammensatte formler 21 Nødvendige og tilstrekkelige betingelser 24 Parenteser, presedensregler og praktiske forkortelser 25 Oppgaver 27

3

Semantikk for utsagnslogikk

29

Tolkning av formler 29 Valuasjoner og sannhetsverditabeller 31 Egenskaper ved implikasjon 32 Logisk ekvivalens 33 Et studium i hva som er ekvivalent 36 Oppgaver 37

4

Utsagnslogiske begreper

41

Gyldige argumenter 43 Oppfyllbarhet og falsifiserbarhet 44 Tautologi/gyldighet og motsigelse/kontradiksjon 45 Symboler for sannhetsverdiene 46 Sammenhenger mellom begreper 47 Uavhengighet av formler 47 Avgjøre om en formel er gyldig eller oppfyllbar 48 Oppgaver 49

5

Bevis, formodninger og moteksempler

51

Bevis 51 Formodninger 52 Tenke ut fra antakelser 53 Direkte bevis 54 Eksistensbevis 55 Bevis ved tilfeller 55 Bevis for universelle påstander 56 Moteksempler 57 Kontrapositive bevis 57 Motsigelsesbevis 58 Konstruktive versus ikke-konstruktive bevis 59 Bevis for at noe ikke er sant 59 Oppgaver 61

6

Relasjoner

65

Abstraksjon over relasjoner 65 Noen spesielle relasjoner 66 Universet av relasjoner 67 Refleksivitet, symmetri og transitivitet 68 Anti-symmetri og irrefleksivitet 70 Ordninger, partielle og totale 72 Eksempler 74 Oppgaver 75

7

Funksjoner

77

Hva er en funksjon? 77 Injektive, surjektive og bijektive funksjoner 79 Funksjoner med flere argumenter 82 Universet av funksjoner 83 Sammensetning av funksjoner 83 Operasjoner 84 Funksjoner som objekter 85 Partielle funksjoner 86 Oppgaver 87

vi

8

Innhold

Litt mer mengdelære

89

Mengdelære 89 Mengdekomplementet og den universelle mengden 89 Regne med Venn-diagrammer 91 Venn-diagrammer for flere mengder 91 Potensmengder 92 Uendelighet 93 Kardinalitet 93 Tellbarhet 94 Overtellbarhet 95 Oppgaver 97

9

Tillukninger og induktivt definerte mengder

99

Definere mengder steg for steg 99 Tillukninger av mengder 99 Tillukninger av binære relasjoner 100 Induktivt definerte mengder 101 Tallmengder 102 Utsagnslogiske formler 103 Lister og binære trær 103 Programmeringsspråk 105 Alfabeter, tegn, strenger og formelle språk 105 Bitstrenger 107 To interessante konstruksjoner 108 Oppgaver 109

10

Rekursive funksjoner

111

Et kraftig verktøy 111 De triangulære tallene 111 Induksjon og rekursjon 112 Form, innhold og plassholdere 112 Bytte likt med likt 113 Rekursive funksjoner 113 Tallmengder 113 Bitstrenger 115 Utsagnslogiske formler 116 Lister 117 Binære trær 118 Formelle språk 119 Rekursjon og programmering 120 Oppgaver 121

11

Matematisk induksjon

123

Et matematisk eksperiment 123 Matematisk induksjon 123 Tilbake til eksperimentet 125 Et geometrisk bevis for den samme påstanden 126 Hva er det egentlig som foregår i et induksjonsbevis? 126 Trominoer 127 Egenskaper ved rekursive funksjoner 128 Hanois tårn 130 Mer summering av tall 132 Begrunnelser og sterk induksjon 134 Oppgaver 135

12

Strukturell induksjon

137

Strukturell induksjon 137 Strukturell induksjon på bitstrenger 138 Strukturell induksjon på utsagnslogiske formler 139 Strukturell induksjon på lister 141 Strukturell induksjon på binære trær 143 Oppgaver 145

13

Førsteordens språk

149

Språk med større uttrykkskraft 149 Førsteordens språk og signaturer 150 Førsteordens termer 152 Prefiks-, infiks- og postfiksnotasjon 152 Førsteordens formler 153 Presedensregler 156 Oppgaver 157

14

Representasjon av kvantifiserte utsagn

159

Representasjon av predikater 159 Syntaktiske egenskaper knyttet til frie variabler 160 Kunsten å uttrykke seg med et førsteordens språk 161 Valg av førsteordens språk 162 Mønstre som går igjen i representasjoner 163 Repetisjon av førsteordens språk 163 Uttrykkskraft og kompleksitet 164 Oppgaver 165

15

Tolkning i modeller

167

Semantikk for førsteordens logikk 167 Definisjon av modeller 168 Tolkning av termer 169 Tolkning av atomære formler 170 Substitusjoner 171 Tolkning av sammensatte formler 172 Oppfyllbarhet og gyldighet av førsteordens formler 173 Førsteordens språk og likhet 175 Litt repetisjon 176 Oppgaver 177

16

Resonnering om modeller

179

Logisk ekvivalens og logisk konsekvens 179 Samspillet mellom kvantorer og konnektiver 180 Førsteordens logikk og modellering 182 Teorier og aksiomatiseringer 186 Noen tekniske spesialtilfeller 186 Preneks normalform og flere ekvivalenser 187 Avsluttende kommentarer 188 Oppgaver 189

Innhold

17

Abstraksjon med ekvivalenser og partisjoner

191

Abstrahere med ekvivalensrelasjoner 191 Ekvivalensklasser 192 Partisjoner Sammenhengen mellom ekvivalensklasser og partisjoner 197 Oppgaver 200

18

Kombinatorikk

195

203

Kunsten å telle 203 Inklusjon-og-eksklusjonsprinsippet 203 Multiplikasjonsprinsippet 204 Permutasjoner 207 Ordnet utvalg 209 Kombinasjoner 210 Gjentakelser og overtelling 211 Oppgaver 213

19

Litt mer kombinatorikk

215

Pólyas eksempel og Pascals trekant 215 Binomialkoeffisienter 217 Systematisering av opptellingsproblemer 218 Oppgaver 221

20

Litt abstrakt algebra

223

Abstrakt algebra 223 Inverse relasjoner og funksjoner 223 Noen egenskaper ved operasjoner 224 Noen elementer med spesielle egenskaper 226 Grupper 227 Oppgaver 229

21

Grafteori

231

Grafer er overalt 231 Hva er en graf? 231 Grafer som representasjoner 232 Definisjoner og begreper om grafer 233 Egenskaper ved grafer 235 To grafteoretiske resultater 236 Isomorfier 238 Oppgaver 241

22

Vandringer i grafer

243

Königsbergs broer 243 Stier og kretser 244 Eulerveier og Eulerkretser 246 Hamiltonstier og Hamiltonsykler 249 Avsluttende kommentarer 250 Oppgaver 251

23

Formelle språk og grammatikker

253

Formell språkteori 253 Operasjoner på språk 253 Regulære språk 255 Regulære uttrykk 256 Tolkning av regulære uttrykk 256 Deterministiske tilstandsmaskiner 258 Tilstandsmaskiner og regulære språk 259 Ikke-deterministiske tilstandsmaskiner 259 Formelle grammatikker 260 Oppgaver 263

24

Naturlig deduksjon

265

Logiske kalkyler: fra semantikk til syntaks 265 Slutningsreglene i naturlig deduksjon 265 Lukking av antakelser 267 Utledninger og bevis 268 Negasjon og RAA 270 Reglene for disjunksjon 271 Sunnhet, kompletthet og konsistens 272 Oppgaver 275

Veien videre

277

Klassikerne 277 Introduksjonsbøker til matematisk tenkning 278 Introduksjonsbøker til logikk 278 Introduksjonsbøker til diskret matematikk 279 Populærvitenskap, rekreasjonell matematikk og andre bøker 279

Stikkord

281

Symboler

288

vii

Forord Velkommen. Velkommen til logiske metoder. Denne boken er skrevet for deg som liker å tenke på og forstå ting. Den er ment som en introduksjon til vitenskapelig og matematisk tankegang, og den vil passe bra for deg som har begynt på, eller vurderer å ta, et universitets- eller høyskolestudium. Boken forutsetter svært lite bakgrunnskunnskap, og så lenge du er i stand til å lese og er interessert og villig til å lære, burde det gå greit å lære seg alt som står i denne boken. Mer spesifikt, trenger du ingen trening i matematikk fra skolen.

Matematikken i skolen og matematisk tenkning. Matematikken som læres bort i skolen er svært instrumentell og regelbasert. I denne boken er fokuset på matematisk tenkning, forståelse og det å selv bevise påstander. Dette er ikke det samme som å utføre beregninger, manipulere symboler eller sette inn i formler. Det handler mer om å oppdage mønstre, gjennomføre resonnementer, finne moteksempler og argumentere logisk. Det er å selv finne ut av hva som er sant og deretter argumentere for og bevise velformulerte påstander. Dette er en måte å tenke på og en aktivitet som både er ekstremt kreativ, utfordrende og avhengighetsdannende. Det å tenke logisk og systematisk er også nyttig ellers i livet, og målet med denne boken er å gjøre deg flinkere til det. Det du lærer her vil være et teoretisk fundament som du kan bygge videre på, og du kommer garantert til å møte mange av begrepene igjen senere.

Et logisk byggverk. Denne boken er et slags logisk byggverk; vi skal bygge opp det meste helt fra bunnen av, uten så mange antakelser, og forsøke å tenke over alt på en grundig og nøyaktig måte. Hvis du møter et ord eller begrep som du ikke forstår, er min intensjon at det enten skal være definert eller forklart tidligere i teksten eller være noe fra språket vårt som er såpass vanlig og velkjent at det ikke krever en definisjon. Det er derfor viktig at du stiller deg selv spørsmål underveis: Hvorfor er det slik? Hva betyr dette? Hva er dette en egenskap ved? Men dette betyr også at du må lese teksten nøye, fordi mye bygger på hverandre. Når noe først er nevnt, kan det være mye som bygger på det senere i teksten.

Forståelse. Målet med denne boken er at du skal oppnå større forståelse, men hva betyr det egentlig å forstå noe? Den ungarsk-amerikanske matematikeren John von Neumann (1903–1957) er blant annet kjent for å ha sagt: «I matematikk forstår du ikke ting. Du blir bare vant til dem.»

x

Forord

Her følger noen perspektiver på forståelse som kan være nyttige for deg når du leser videre i boken, samt forhåpentligvis i videre studier.

Forståelse via repetisjon og god tid. Forståelse og innsikt kommer i rykk og napp, og det tar tid å abstrahere og generalisere. Noe som ved første øyekast kan virke kaotisk og forvirrende, kan etter en stund vise seg å være fullt av mønstre, struktur og sammenhenger. For å oppnå forståelse og innsikt er du nødt til å lese definisjonene og eksemplene nøye, løse mange oppgaver, helt på egen hånd, og gi stoffet god tid.

Forståelse via detaljer eller via overblikk. Et interessant spørsmål er hvorvidt det er best å lære seg noe – og få forståelse for noe – «nedenfra» eller «ovenfra». Med nedenfra mener jeg at alt defineres via de minste bestanddelene, fra grunnleggende ord, symboler og begreper og så, via definisjoner, sammensetninger og strukturer, oppover. Med ovenfra mener jeg via intuisjon, bilder og eksempler, hvor detaljene fylles inn etter hvert; dette er som regel mye mindre formelt og litt mer som å se verden i et fugleperspektiv. Noen foretrekker å bygge opp alt nedenfra, og andre foretrekker det motsatte. Jeg har forsøkt å finne en mellomting i denne boken.

Forståelse via eksperimentering. Du er herved oppfordret til å tvile på og spørre om absolutt alt. Jeg vil at denne boken skal være en slags sandkasse hvor det er mulig å utforske abstrakte begreper og resonnementer uten at så mye står på spill. Det er mulig å oppnå mye forståelse og innsikt ved å eksperimentere, utforske og leke seg med faget på denne måten, og det man lærer seg slik, er overførbart til andre situasjoner hvor presis resonnering og vitenskapelig tankegang er viktig. Du kan anta hva som helst, men du må ta konsekvensene av det.

Det interessante er hva som følger fra det du antar. Hvis du gjerne vil anta at uendelige mengder ikke finnes, eller at en bestemt påstand er sann, er det helt ok. Men du må være oppmerksom på at du også må akseptere konsekvensene av antakelsene, det som følger fra antakelsene.

Forståelse via motsetninger. Vi kan nærme oss et nytt fenomen positivt, ved å se på egenskaper som gjelder for fenomenet, men vi kan også nærme oss det negativt, ved å se på egenskapene som ikke gjelder for det. Det å tenke vekk noe – tenke på motsetningen – kan gi opphav til en bedre forståelse. Forsøk derfor i praksis å se på et fenomen både positivt og negativt: For å forstå hva X er, tenk på hva det motsatte av X er. Hvis du ikke kjenner ytterpunktene eller grensene til et fenomen, kjenner du da egentlig fenomenet?

Logikk. I tillegg til å være en innføring i matematisk og vitenskapelig tankegang, er dette en lærebok i logikk. Det er mange grunner til at det er både givende og nyttig å lære seg logikk. Her er noen av dem.

xi

Logikk, syntaks og semantikk. Logikk gir oss en øvelse i å skille syntaks og semantikk fra hverandre. Syntaks betyr her tegn, symboler, strenger og formelle språk – det som representerer noe, mens semantikk betyr tolkning, mening, modeller og betydning – det som representeres. Vi skiller skarpt mellom syntaks og semantikk. Noe av essensen i matematikk er å representere noe med symboler.

Uten en god forståelse av hva som er syntaks og hva som er semantikk, blir det svært vanskelig å resonnere om dette på en god og korrekt måte. Når noe først er representert i et logisk språk, åpner det seg mange muligheter og anvendelsesområder.

Logikk, anvendelser og algoritmer. Kunnskapsrepresentasjon og resonnering om kunnskap blir bare viktigere og viktigere, særlig på grunn av utviklingen av semantiske teknologier. Selv om logikkfaget er svært gammelt, er det kanskje først nå, med fremveksten av kraftige datamaskiner, at vi ser potensialet i logikk som et fag. Logiske metoder brukes i dag både i den teoretiske analysen av algoritmer, databaser og programmeringsspråk, og til å lage praktiske metoder og verktøy med stor nytteverdi.

Motivasjon. Du kommer sannsynligvis til å spørre deg selv: Hva kan dette brukes til? og Hvorfor skal jeg lære dette? Ett svar er at dette er en fleksibel verktøykasse med metoder som kan anvendes til mye. Men nettopp fordi det er så abstrakt, kan det være vanskelig å umiddelbart oppdage anvendelsene. Det er litt som med et batteri eller en lyspære; anvendelsesområdene er mangfoldige og forskjellige, og de avhenger av konteksten. Et annet svar er at du lærer deg matematisk tankegang. Den britisk-amerikanske matematikeren Keith Devlin (1947–) bruker en bil som metafor for å forklare dette: Skolematematikk er som å lære å kjøre bil, mens universitetsmatematikk er som å lære om hvordan biler fungerer, hvordan de kan repareres, og hvordan man kan designe og bygge sine egne biler. Et tredje svar er at dette er god trening, som både skjerper tankene og gjør oss i stand til å resonnere bedre. Ved å studere temaene i denne boken, løse oppgavene og finne ut av ting selv, øver du deg på noe du kommer til å gjøre resten av livet: lære og forstå.

Kontekst og avgrensning. Boken er basert på forelesningsnotatene til kurset INF1080, Logiske metoder for informatikk, som jeg holder ved Institutt for informatikk ved Universitetet i Oslo. I løpet av et kurs på ett semester, tilsvarende ti studiepoeng og som varer i omtrent tolv uker, dekker jeg mesteparten av innholdet i boken. Det er omtrent to kapitler per uke.

Det er mye som ikke får plass i en bok som dette, og det er mange av kapitlene som bare utgjør smakebiter på hele fagområder med sine egne kulturer, sjargonger og introduksjonsbøker. Målet mitt er ikke å komme til bunns i hvert kapittel, men at du skal få innblikk i en fascinerede, interessant og vakker matematisk verden, og at du skal få et solid fundament for å lese videre på egen hånd.

xii

Forord

Bokens struktur. Boken er delt inn i mange små kapitler, med oppgaver på slutten av hvert kapittel, og intensjonen er at hvert kapittel utgjør en passe stor mengde med nytt stoff, enten til én forelesning eller én arbeidsøkt. Rekkefølgen og formatet for et nytt tema er omtrent alltid: motivasjon, definisjon, eksempler og diskusjon. Det viktigste her er definisjonene. Det er totalt 137 av dem, og de utgjør essensen av teksten; sørg for at du forstår alle definisjonene! Boken er med vilje fri for teoremer, lemmaer, korollarer og heftig nummerering, og grunnen er helt enkelt at det ikke trengs. Bakerst i boken finner du et stikkordregister og en liste over symboler som forekommer i boken.

Vanlige ord og typografiske konvensjoner. Jeg har forsøkt å bruke vanlige ord der hvor det lar seg gjøre og holde bruken av tekniske ord til et minimum.

Unntakene er de ordene som er mye brukt i litteraturen, og som det er greit å kjenne til, eller som det er sannsynlig at du kommer til å møte i senere studier.

Eksempel

Jeg har forsøkt å gi eksempler, både positive og negative, på alle ord, begreper og objekter som introduseres. Det er totalt 204 eksempler, og formålet med dem er å øke forståelsen og oppklare eventuelle misforståelser. De er markert med ordet Eksempel i margen.

Oppgave

Boken er full av oppgaver som du kan og bør løse selv. Totalt 64 oppgaver er plassert rundt omkring i teksten, og de er markert med ordet Oppgave i margen. I slutten av hvert kapittel er det også oppgaver, som oftest i stigende vanskelighetsgrad. Det er totalt 354 slike oppgaver, og de er laget for at du skal kunne øve deg.

Løsning

Noen av oppgavene i teksten har løsningsforslag, markert med ordet Løsning i margen. Men forsøk alltid å løse en oppgave selv, helt på egenhånd, uten å lese løsningsforslaget. Hvis du ikke forsøker, hvordan kan du vite om du ville ha klart å løse den? Hvis et løsningsforslag ikke er oppgitt, er det meningen at du skal forsøke selv, og at oppgaven ikke er altfor vanskelig.

Symbolene , og markerer slutten på henholdsvis eksempler, oppgaver og løsningsforslag.

Digresjon Boken inneholder 38 bokser med digresjoner som dette. Dette er anekdoter, historier og fakta som er mer eller mindre relevante. De fleste utdyper temaet som diskuteres i kapitlet, mens andre bare er kuriositeter. Noen er enkle å forstå, mens andre er ganske krevende. Felles for dem er at ingenting i teksten avhenger av dem, og det er derfor trygt – og kanskje lurt, hvis du leser teksten for første gang – å hoppe over dem. Hovedsaklig er de er ment som krydder, inspirasjon og rekreasjon!

xiii

Løsningsforslag. Er det ikke noe løsningsforslag til oppgavene i slutten av kapitlene?

Nei. Tenk på oppgavene som trening. Det å lese et løsningsforslag uten å forsøke å løse en oppgave selv, er som om noen skulle ha tatt treningsøkten for deg. Du blir ikke sterkere av det. Hvis du ikke får til en oppgave, ikke gi opp. Forsøk igjen. Og igjen. Og en gang til.

Nettressurser. Denne boken har en egen nettside med ressurser som du kan finne på nettressurser.no/logiskemetoder. Hvis du har kommentarer eller tilbakemeldinger til boken, send en e-post til logiskemetoder@universitetsforlaget.no.

Avhengigheter mellom kapitlene. Følgende er en grov oversikt over hvordan kapitlene avhenger av hverandre; for eksempel kan du godt lese kapittel 6 uten å lese kapitlene 2–5 først. Kapitlene 0, 1 og 6–12 utgjør et matematisk fundament med de mest grunnleggende begrepene og definisjonene du trenger for å gjøre matematikk på egenhånd, og du kan se på dette som et minikurs i matematiske metoder. Kapitlene 2–5, 13–16 og 24 handler om logikk og tar for seg grunnleggende logiske begreper og metoder. Kapitlene 17–23 tar for seg forskjellige matematiske temaer, som kombinatorikk, grafteori, algebra og språkteori. Kapitlene 2–5 handler om utsagnslogikk og bevismetoder, og utgjør et fundament for resten av boken. Min anbefaling er å lese kapitlene i rekkefølge til du kommer til kapittel 7. Derfra er det mye mer fritt.

¬P

⇔

v |=

anta

2

3

4

5

F

∀x

alle

M

13

14

15

16

logiske metoder fundamentale begreper

0

1

6

7

8

9

10

11

12

aba

diverse temaer

17

18

19

20 x−1

21

22

23 1|0

24 F

→i

En stor takk. Jeg vil gjerne rette en stor takk til alle som har kommet med konstruktive innspill, kommentarer, oppgaver, løsningsforslag, og ikke minst masse inspirasjon underveis. Denne boken hadde ikke blitt til uten dere. Jeg vil også takke Universitetsforlaget for lærebokprisen og mange konstruktive og nyttige tilbakemeldinger. Mye av innholdet i denne boken har blitt til i dialog med kreative studenter, skarpe gruppelærere og dyktige medforelesere i løpet

xiv

Forord

av de siste årene: Takk til dere alle; det er privilegium å jobbe med dere. Jeg vil også takke kollegaer, venner, familie og alle som har tatt seg tid til improviserte dialoger om rar og annerledes matematikk. Dere er en herlig blanding av familie, studenter, gruppelærere, kollegaer logikere og venner. En spesiell takk til: Karin og Ingvald Antonsen, Julia Batkiewicz, Peter Brottveit Bock, Pia Maria Falkman, Jens Erik Fenstad, Jon Henrik Forssell, Martin Giese, Håkon Robbestad Gylterud, Christian Mahesh Hansen, Sigmund Hansen, Knut Hegna, Herman Ruge Jervell, Einar Broch Johnsen, Erlend Krog, Espen Hallenstvedt Lian, Marie Lilleborge, Håkon Salomonsen Møller, Andreas Nakkerud, Dag Normann, Olaf Owe, Julius Pedersen, Luna Wei Shen, Martin Georg Skjæveland, Inge Sandstad Skrondal, Martin Steffen, Martin Stensgård, Lars Kristian Maron Telle, Trond Thorbjørnsen, Evgenij Thorstensen, Eli Valheim, Arild Waaler og Stål Aanderaa, og i tillegg Andreas Reppesgård Askeland, Mathias Barra, Jørgen Bjørndal, Vilde Bøe, Torgeir Børresen, Kirsti Dalseth, Magnús Dæhlen, Magnus Røed Hestvik, Leif Harald Karlsen, Johan Wilhelm Klüwer, Lars Kristiansen, Aksel Ladegård Wester, Dag Langmyhr, Nouraddin Mostafapoor, Stener Nerland, Ragnhild Kobro Runde, Arne Skjærholt, Marte Stapnes, Øyvind Tangen og James David Trotter, som alle på sin måte har bidratt til boken du nå har foran deg.

Lykke til. Jeg håper du vil lære masse matematikk, logikk og abstrakt tenkning ved å lese denne boken. Tenk at det er litt som klatring; du blir ikke god uten å gjøre det, og det er like givende for deg uansett på hvilket nivå du er. Lek med faget og vær nysgjerrig; anta noe og se hvor det bringer deg. Kanskje oppdager du noe som ingen annen før deg har oppdaget. God lesning/tenkning!

Blindern, juli 2014 Roger Antonsen

Kapittel 0

Kunsten å tenke abstrakt og matematisk

I dette kapitlet ser vi på noen grunnleggende begreper som vi møter igjen og igjen: sannhet, definisjoner, antakelser, bevis, språk, aksiomer og teoremer. Vi legger også noen rammer og begrepsavklaringer for veien videre.

Abstraksjon Hva betyr det å tenke abstrakt? Det å tenke abstrakt, systematisk og matematisk er noe vi alle gjør hver dag. Du hadde for eksempel ikke kunnet lese eller regne om du ikke hadde evnen til å abstrahere. Du kjenner igjen sammensetninger av ord og tall fordi du har abstrahert over hvordan de brukes. På den annen side er abstraksjon noe det er mulig å øve seg opp til og resonnere om. Målet med denne boken er at du skal bli enda flinkere til det, samt lære å tenke på en mer systematisk, matematisk og vitenskapelig måte. Ser du hva det neste tallet er?

1

3

4

7

11

18

29

?

Tall er riktignok bare én type matematisk objekt; vi har også mengder, formler, termer, uttrykk, relasjoner, funksjoner, strenger, grafer, trær, kalkyler og mange andre. Og vi kan arbeide med og resonnere om disse matematiske objektene på samme måte som vi gjør med tall; vi kan definere dem og studere hvordan de kombineres, sammenliknes og kategoriseres. Dette er en del av matematikkens abstrakte natur; vi gjør noe som er mye mer generelt enn bare for tall. Ser du for eksempel hva den neste figuren er?

?

Abstraksjon er også å tenke vekk det som ikke er essensielt, som ikke er relevant eller interessant i en gitt kontekst; det er å fokusere på ett aspekt ved noe, og se bort fra de andre detaljene.

2

Kapittel 0. Kunsten å tenke abstrakt og matematisk

Resonnering om sannhet Hvorfor er det slik at 2+3 = 3+2? Eksisterer uendelige mengder? Hvordan vet vi at noe er sant? Hva betyr det at noe er sant? Er det sant til enhver tid og på ethvert sted? Hvordan kan vi bevise at noe er sant?

Disse spørsmålene er grunnleggende i vitenskap og matematikk. Vi skal her lære å resonnere logisk og matematisk; vi skal ikke bare lese om hva som er sant, men vi skal øve på å oppdage og resonnere om det, samt selv bevise at noe er sant. Det er den samme forskjellen som mellom å være tilskuer og deltaker.

Det å selv bevise noe gir ofte en følelse av at noe «klikker» og «faller på plass», og det kan være både berikende og avhengighetsdannende.

Et bevis gjør oss helt sikre på at noe er sant, og det gjør oss i stand til å formidle våre oppdagelser og innsikter til andre. Når vi har et bevis, vet vi at det er sant, ikke bare her og nå, men til evig tid og hvor som helst i hele universet. Men hva som er sant avhenger av hva vi antar.

Antakelser I matematisk resonnering tenker vi ut fra antakelser. Vi er interessert i hva som følger, hva som er sant og hva som kan bevises, når en mengde antakelser er gitt.

Logiske argumenter brukes for å trekke slutninger – gjerne kalt teoremer (eng: theorems) – fra en rekke grunneleggende antakelser (eng: assumptions) – gjerne kalt aksiomer (eng: axioms). Hva vi antar, er derfor svært viktig. Hvis vi er helt sikre på våre antakelser, ønsker vi også å være sikre på det vi kommer frem til. Det er derfor studiet av hva som følger logisk fra en mengde antakelser, er så viktig.

Hvis vi antar noe som er sant, ønsker vi en garanti for at alt som følger også er sant. I denne boken skal vi øve mye på å tenke ut fra antakelser. Det er mange eksempler i historien på teorier hvor man har vært helt sikre på alle antakelsene, men hvor man i ettertid har funnet ut at antakelsene kunne endres slik at man fikk andre teorier. Parallellaksiomet i Euklids geometri er et slikt eksempel.

Digresjon Euklid var en gresk matematiker som levde for ca. 2300 år siden. Han er kjent for det vi kaller Euklids elementer, en samling på 13 bøker om matematikk og geometri. Dette er verdenshistoriens første eksempel på bruk av aksiomatisk metode. I den første av disse bøkene legges det frem 10 aksiomer, og det femte av disse er parallellaksiomet, også kalt parallellpostulatet. Dette sier essensielt at hvis en rett linje og et punkt i planet er gitt, eksisterer det nøyaktig én rett linje som går gjennom dette punktet og som ikke skjærer den gitte linjen. Det å endre på dette aksiomet slik at det sier noe annet enn «nøyaktig én rett linje», ga opphav til såkalte ikke-Euklidske geometrier. Ved å si «ingen rette linjer», fikk man én type geometri, såkalt projektiv geometri; ved å si «uendelig mange rette linjer», fikk man en annen, såkalt hyperbolsk geometri.

Språk

3

Språk All matematisk resonnering gjøres i et matematisk språk. Graden av hvor formelt og symbolsk dette språket er, varierer, fra muntlig og skriftlig norsk til maskinlesbar kildekode. Vi kan bruke hele dette spekteret når vi formidler våre resonnementer. Det å ha et felles språk, og en felles forståelse for hva ord og begreper betyr, gjør at vi kan kommunisere effektivt med hverandre. Vi ønsker å kunne formidle tanker, resonnementer, innsikter og bevis uten rom for feiltolkninger. For å kunne gjøre det er det helt nødvendig med et klart og presist språk uten tvetydigheter. Gode definisjoner er noe som gir oss det.

Definisjoner En definisjon (eng: definition) forteller hvordan et ord, symbol eller begrep skal forstås og brukes. Mange tenker kanskje at definisjoner er noe vi bare slår opp i et leksikon, men i mange teoretiske fag, som matematikk og informatikk, spiller definisjoner en spesiell og viktig rolle.

En definisjon bestemmer og setter rammer for det den definerer. Hvis ikke et ord eller begrep er definert, kan vi egentlig ikke bruke det meningsfylt. Når et ord er definert, har vi et utgangspunkt for en felles forståelse. Vi kommer til å skrive definisjoner på følgende måte:

Definisjon 0.1 Googol En googol er tallet 10100 , et ettall med hundre nuller bak. En googolplex er tallet 10googol , et ettall med googol nuller bak.

Både antakelser og definisjoner har en viss vilkårlighet over seg i den forstand at de kunne ha vært annerledes. Det er viktig å være klar over denne vilkårligheten.

Men når antakelsene og definisjonene først er gitt, er det de som bestemmer.

Når et ord er definert, kan vi ikke lenger diskutere hva ordet betyr – det forteller definisjonen – men vi kan alltids diskutere om definisjonen er god eller ikke.

Det er også viktig å være oppmerksom på at en definisjon alltid gjelder i en bestemt kontekst; to vitenskapelige artikler kan for eksempel definere ett og samme ord helt forskjellig. Det er allikevel mange ord, symboler og begreper som er definert helt likt, og det er nyttig å bli kjent med mange av disse.

En definisjon er noe som skiller og setter en grense mellom hva som faller inn under et begrep, og hva som ikke gjør det. Det er derfor det som oftest er lærerikt å stille spørsmålet om hva som ikke faller inn under en definisjon. Når vi leser en definisjon av en egenskap, lønner det seg å finne mange eksempler på slikt som har egenskapen og mange eksempler på slikt som ikke har egenskapen.

Da nærmer vi oss fenomenet fra begge sider, både positivt og negativt.

4

Kapittel 0. Kunsten å tenke abstrakt og matematisk

Bevis Når vi har vårt språk, våre definisjoner og våre antakelser på plass, kan vi finne bevis. Et bevis (eng: proof ) for en påstand er et resonnement som gjør at vi blir overbevist om at denne påstanden er sann under visse antakelser. Dette består vanligvis av en rekke logiske slutninger som viser hvordan vi kommer fra antakelsene til påstanden.

For hvert steg i resonnementet må konklusjonen være en logisk konsekvens av antakelsene. At noe er en logisk konsekvens, betyr at det følger med logisk nødvendighet fra det vi antar. Når vi har et bevis for en påstand, vet vi at påstanden er minst like sann som antakelsene. Dette er riktignok betinget av at alle leddene i beviset er korrekte. Et bevis inneholder ofte en lang rekke av slutninger, og det er nok at ett ledd er feil for at hele beviset blir feil. Vi må derfor være nøyaktige og hele tiden sjekke at hver nye konklusjon er en logisk konsekvens av det foregående. Her skal vi lære å føre korrekte bevis og å forstå hva som kan gjøre et resonnement feil, og hvorfor det i så fall er feil. Dette er også begynnelsen på et studium som er både matematisk og filosofisk i sin natur. Et stort og vanskelig spørsmål, som foreløpig er uløst, er spørsmålet om når to bevis for den samme påstanden kan sies å være like. Hvordan kan bevis identifiseres?

Problemløsning og Pólyas heuristikker I matematikk og informatikk løser vi problemer hele tiden, alt fra enkle regnestykker til komplekse og sammensatte oppgaver. Det er derfor lurt å reflektere litt over denne prosessen. Hva gjør vi når vi står fast og ikke klarer å løse et problem?

Dette er det nyttig å tenke over i de fleste fag, og i livet forøvrig, og forhåpentligvis kan følgende heuristikker, eller tommelfingerregler, være nyttige for deg.

De er hentet fra en klassisk bok fra 1945, som heter How to solve it?, skrevet av den ungarske matematikeren Georg Pólya (1887–1985). Han deler prosessen opp i fire faser (selv om disse ofte går over i hverandre): (1) (2) (3) (4)

Først er du nødt til å forstå problemet.

Forsøk å bruke tidligere erfaring fra liknende problemer til å lage en plan.

Gjennomfør planen.

Se over og sjekk om du faktisk tror på svaret du har fått.

Pólyas heuristikker er ikke ment å være en oppskrift du kan følge til punkt og prikke, og som alltid gir deg et svar, eller noe som nødvendigvis vil gjøre deg til en mester i problemløsning, men de er praktiske tips kan være til stor hjelp hvis du står fast ved et problem som du ikke klarer å løse. Heuristikkene er formulert som en rekke spørsmål som vi kan stille oss selv eller andre, og hvert spørsmål er laget for å bidra litt til at man nærmer seg en løsning.

Problemløsning og Pólyas heuristikker

5

(1) Forstå problemet Først er du nødt til å forstå problemet. Forstår du alle ordene i formuleringen av problemet? Kanskje må du sjekke definisjonene av ordene som brukes. Hva er den ukjente? Hva er gitt? Hva er antakelsene? Er det mulig å oppfylle antakelsene?

Er antakelsene tilstrekkelige for å finne den ukjente? Eller utilstrekkelige? Eller overflødige? Tegn en figur eller illustrasjon, og finn passende notasjon. Del opp antakelsene i mindre biter. Kan du uttrykke problemet med dine egne ord?

Denne fasen er kanskje den viktigste, for når du virkelig forstår hva som er problemet, er du litt nærmere en løsning allerede.

(2) Lag en plan Her gjelder det å finne koblingen mellom antakelsene og den ukjente, og du bør komme frem til en plan for å finne en løsning på problemet. Har du sett problemet før? Eller har du sett det samme problemet bare på en annen form?

Har du sett et liknende problem? Kjenner du til et resultat som kan være nyttig?

Se på den ukjente! Forsøk å komme på et problem som har den samme ukjente.

Hva er koblingen mellom antakelsene og den ukjente?

Dette bør lede til en plan for å finne en løsning. Noen strategier for å lage en plan kan være følgende: Tegn en figur. Eliminer muligheter. Se på spesialtilfeller.

Se etter et mønster. Tenk baklengs: hva trengs for å komme til den ukjente? Vær kreativ og tenk annerledes.

Hvis du ikke klarer å løse problemet: Kan du løse et enklere problem? Kan du endre på antakelsene slik at du klarer å løse det? Klarer du løse et mer generelt problem? Eller et mer spesifikt problem? Eller klarer du å løse en del av problemet? Hvis du dropper noen av antakelsene, hvor nærme klarer du allikevel å komme den ukjente? Hva skjer hvis du endrer på antakelsene eller på den ukjente? Kan du utlede noe nyttig fra antakelsene? Kan du komme på andre antakelser som ville ha hjulpet? Brukte du alle antakelsene?

(3) Gjennomfør planen Utfør planen, og sjekk hvert steg! Er hvert steg korrekt? Kan du bevise at hvert steg er korrekt? Hvis det ikke funker, lag en annen plan.

(4) Se over og sjekk Sjekk at resultatet stemmer. Sjekk at resonnementene holder. Tror du på det selv? Er det forståelig? Kan du komme frem til svaret på en annen måte? Er løsningen intuitivt riktig? Ser du løsningen «på avstand»? Stemmer løsningen med antakelsene? Kan du bruke resultatet, eller metoden du brukte, på et annet problem?

6

Kapittel 0. Kunsten å tenke abstrakt og matematisk

Digresjon Her er noen nøtter du kan bryne deg på.

(1) Du har fått to lunter. Hver lunte brenner opp på nøyaktig ett minutt, men de brenner ujevnt og ulikt. Kan du ved hjelp av disse to luntene måle et tidsintervall på nøyaktig 45 sekunder? Kan du måle 10 sekunder?

(2) Du får en sekk med røde og grønne kuler. Etter å ha trukket fire kuler helt tilfeldig, og alle ble grønne, får du vite at sannsynligheten for at dette skjedde var nøyaktig 50%. Hvor mange røde og grønne kuler er igjen i sekken?

(3) Langs en stor, sirkulær bilbane er det plassert et vilkårlig antall bensinstasjoner med vilkårlige mellomrom. Den mengden bensin som trengs for å kjøre nøyaktig én runde rundt banen er fordelt på bensinstasjonene. Vis at det er et startsted som lar deg kjøre rundt hele banen, gitt at du starter med tom tank og at tanken kan romme all bensinen som er fordelt rundt banen.

(4) Du har to tidsur, ett som kan måle tre minutter og ett som kan måle fem minutter. Hvordan kan du bruke disse to tidsurene til å koke et egg i fire minutter?

(5) Anta at vi har laget en 3×3×3-kube av 27 småkuber og at en maur sitter på utsiden av kuben. Mauren spiser seg først inn i én av de 26 småkubene på utsiden og spiser seg deretter gjennom småkubene uten å besøke den samme mer enn én gang. Er det mulig for mauren å spise seg gjennom alle de ytterste småkubene og til slutt spise den innerste? Mauren har kun lov til å gå én kube av gangen; den kan ikke gå på skrå og ikke gå på overflaten av kuben.

(6) Du er plassert i en 50m×50m×50m-boks som står på fire 100 meter høye søyler.

I taket inne i boksen henger det to tau som begge er nøyaktig 50 meter lange, og de er murt fast i taket med nøyaktig én meters mellomrom. Boksen har kun én åpning, et lite vindu helt nederst på den ene veggen, hvor det også er montert en liten krok. Du har kniv tilgjengelig, men ingen klær eller andre hjelpemidler.

Det lengste fallet du er i stand til å overleve er på 10 meter. Hvordan kan du klare å komme deg helskinnet ned på bakken?

(7) Det sitter hundre fanger i en buss som skal ta dem til fengselet der de skal tilbringe resten av sine dager i isolat, uten anledning til å prate med noen andre enn fangevokterene. I fengselet er det et rom med to brytere, og fangene vil bli sendt inn i dette rommet i vilkårlig rekkefølge, én etter én. Alle fangene vil før eller siden bli sendt inn i rommet, også selv om de har vært inne mange ganger.

Når fangene er i rommet må de vende på nøyaktig én av bryterene, og hver bryter har nøyaktig to tilstander, av eller på. Fangene slippes fri dersom én av dem med sikkerhet kan si at alle har vært i bryterrommet, men de vil alle bli henrettet hvis noen påstår dette og det er feil. Hvilken strategi skal fangene bruke for å sikre sin frihet?

(8) Hva er det neste tallet?

100

121

144

202

244

400

?

vinner av

ROGER ANTONSEN LOGISKE METODER

Mange tenker at matematikk er regning, formler, tall og merkelige bok­ staver. Men matematikk er mye mer enn å utføre beregninger, manipulere symboler og sette inn i formler. Matematikk handler om å oppdage mønstre, gjennom­føre resonnementer, finne moteksempler og argumentere logisk.

Mate­matikk er en måte å tenke på, og en aktivitet som er både ekstremt kreativ og utfordrende.

Denne boken er ment som en introduksjon til vitenskapelig, og spesielt mate­ matisk, tankegang for dem som begynner på et universitets­- eller høyskole­ studium. Formålet med boken er å legge et solid grunnlag for et realfaglig studium, og å introdusere og forklare de viktigste og mest essensielle begrep­ene innenfor matematikk og realfag. Gjennom 25 korte kapitler vil du lære det mest grunnleggende innenfor mengdelære, logikk, bevismetoder, kombinatorikk, grafteori og mye annet.

Logiske metoder passer spesielt godt til dem som ikke har ­studert før, slik at overgangen til et universitets- og høyskolestudium blir ­lettere. Boken har også overføringsverdi til andre studier enn ­realfag og er en nyttig og fasci­ nerende inngang til vitenskapelig og logisk tankegang.

Roger Antonsen mottok Universitetsforlagets lærebokpris i 2013 for denne boken.

Boken har en egen nettside med nyttige tillggesressurser for ­studenter og forelesere under www.nettressurser.no.

ISBN-978-82-15-02274-1

omslagsfoto: marie b. låte design: marit heggenhougen | cmykdesign.no

Roger Antonsen er førstelektor ved Institutt for informatikk ved Universitetet i Oslo. Han forsker på logiske kalkyler, jobber aktivt med formidling og er en høyt skattet foreleser.

Universitetsforlagets lærebokpris

Roger Antonsen

LOGISKE METODER Kunsten å tenke abstrakt og matematisk