Page 1

DEEL 2

W I S K U N D E & S TAT I S T I E K

WISKUNDE

De herziene serie toegepaste wiskunde

Laplacetransformatie en Rijen en

voor het hoger onderwijs is geschikt

reeksen. Ook dit deel bevat veel

voor alle opleidingen waar wiskundige

voorbeelden, waarmee de student

vaardigheden een belangrijke plaats

de theorie leert toe te passen vanuit

innemen, met name in de sector

beschreven contexten (meestal

Techniek, zowel in het hbo als in de

afkomstig uit de techniek), met veel

technische universiteiten. De nadruk

opgaven en leeropdrachten.

ligt op het trainen van wiskundige

Elk hoofdstuk bevat een aantal

vaardigheden. De student past de

Maple-voorbeelden en vraagstukken,

wiskundige vaardigheden ook toe in

die overigens ook met een ander

praktische situaties.

computeralgebrasysteem te maken

De serie is tot stand gekomen op basis

zijn. De toepassing van Maple is zoveel

van de volgende indeling:

mogelijk geïntegreerd met de theorie en

  Deel Inleiding: behandelt het

de voorbeelden.

basisniveau wiskunde; tevens

De auteurs gaan ervan uit dat de student

geschikt voor het wegwerken van een

voor de onderwerpen in dit boek vaker

wiskundedeficiëntie.

de computer zal gebruiken dan in deel 1

  Deel 1: behandelt (vrijwel) de gehele

van de serie. Er is voldoende aandacht

propedeusewiskunde van het technisch

besteed aan de theoretische concepten,

hbo.

opdat de student de computer (of de

  Deel 2: is vooral bedoeld voor

grafische rekenmachine) niet als black-

het wiskundeonderwijs ná de

box hoeft te gebruiken, maar weet wat

hbo-propedeuse. Bij technische

hij/zij doet.

universiteiten zal deze stof nog wel tot de propedeuse behoren.

Op de website www.thiememeulenhoff. nl/wiskunde zijn de uitwerkingen van de

Dit deel 2 bevat de hoofdstukken

vraagstukken uit de herhalingsopgaven

Vectoren, Complexe getallen, Matrices

te vinden.

en determinanten, Functies van twee

Deel 2 is een onmisbaar hulpmiddel

of meer variabelen, Meervoudige

voor iedere student in de sector

integralen, bol- en cilindercoördinaten,

Techniek, die de technische wiskunde

Differentiaalvergelijkingen, De

wil leren begrijpen en toepassen.

Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs | Deel 2

TO E G E PA S T E W I S K U N D E VO O R H E T H O G E R O N D E R W I J S | D E E L 2

Toegepaste ­Wiskunde

5e druk

VOOR HET HOGER ­ ONDERWIJS

Jan Blankespoor Kees de Joode HOGER ONDERWIJS

9006310856_omslag.indd 1

9 789006 310856

Aad Sluijter

5/04/18 15:15


Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 2

30/03/18 09:48


Toegepaste wiskunde Deel 2

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 1

30/03/18 09:48


Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 2

30/03/18 09:48


Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs Deel 2

drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Vijfde, herziene druk

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 3

30/03/18 09:48


COLOFON

Auteurs drs. J.H. Blankespoor drs. C. de Joode ir. A. Sluijter Opmaak binnenwerk Crius Group Opmaak omslag Crius Group

Over ThiemeMeulenhoff ThiemeMeulenhoff ontwikkelt zich van educatieve uitgeverij tot een learning design company. We brengen content, leerontwerp en technologie samen. Met onze groeiende expertise, ervaring en leeroplossingen zijn we een partner voor scholen bij het vernieuwen en verbeteren van onderwijs. Zo kunnen we samen beter recht doen aan de verschillen tussen lerenden en scholen en ervoor zorgen dat leren steeds persoonlijker, effectiever en efficiënter wordt. Samen leren vernieuwen. www.thiememeulenhoff.nl ISBN 978 90 06 310856 Vijfde druk, eerste oplage 2018 © ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2018 Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16B Auteurswet 1912 j° het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl. 471 en artikel 17 Auteurswet 1912, dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp (www.stichting-pro.nl). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie www.auteursrechtenonderwijs.nl. De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

Deze uitgave is volledig CO2-neutraal geproduceerd. Het voor deze uitgave gebruikte papier is voorzien van het FSC®-keurmerk. Dit betekent dat de bosbouw op een verantwoorde wijze heeft plaatsgevonden.

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 4

30/03/18 09:48


I NHOUD

Inhoud

1

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 5

Voorwoord

11

Vectoren

13

1.1 Inleiding 1.2 Plaatsvectoren 1.2.1 Plaatsvectoren in het platte vlak 1.2.2 Plaatsvectoren in de ruimte n 1.2.3 Plaatsvectoren in ​​ℝ​​  ​​ 1.2.4 Optellen en scalair vermenigvuldigen 1.2.5 Eenheidsvectoren en nulvectoren 1.3 Het inwendig product van twee vectoren 1.3.1 Definitie van het inwendig product 1.3.2 Eigenschappen van het inwendig product 1.3.3 Meetkundige betekenis van het inwendig product 1.3.4 Projectie 1.4 Het uitwendig product van twee vectoren 1.4.1 Definitie van het uitwendig product 1.4.2 Eigenschappen van het uitwendig product 1.4.3 Het berekenen van het uitwendig product 1.4.4 Enkele toepassingen van het uitwendig product 1.5 Vectorrekening met Maple 1.6 Herhalingsopgaven 1.7 Samenvatting van hoofdstuk 1

13 14 14 15 16 17 19 20 20 21 21 23 25 25 26 26 28 34 35 36

30/03/18 09:48


INHOUD

6

2

Complexe getallen 2.1 Inleiding 2.2 De verzameling ​ℂ​ 2.3 Het rekenen met complexe getallen 2.4 Het complexe vlak 2.5 Complexe getallen in goniometrische vorm 2.6 Het rekenen met complexe getallen in de goniometrische vorm 2.7 De formule van Euler 2.8 Het oplossen van vergelijkingen 2 2.8.1 Het oplossen van ​a z​​  ​ + bz + c = 0​ waarbij ​a , b, c ∈ ℝ​ en ​a ≠ 0​ n 2.8.2 Het oplossen van ​z ​​  ​ = c​, waarbij ​n ∈ ℕ​, ​n ≥ 2​ en ​c ∈ ℂ​ 2 2.8.3 Het oplossen van ​a z​​  ​ + bz + c = 0​, waarbij ​a , b, c ∈ ℂ​ en ​a ≠ 0​ 2.9 Wisselsignalen en complexe getallen 2.9.1 Wisselsignalen en complexe wisselsignalen 2.9.2 Het optellen van wisselsignalen 2.9.3 Het differentiëren van wisselsignalen 2.10 Complexe getallen met Maple 2.11 Herhalingsopgaven 2.12 Samenvatting van hoofdstuk 2

3

Matrices en determinanten

39 39 39 41 43 44 49 52 54 54 55 57 59 59 61 61 63 66 67 71

3.1 Matrices 71 3.1.1 Basisbegrippen 71 3.1.2 De som van matrices en scalaire vermenigvuldiging van een matrix 73 3.1.3 Het product van matrices 74 3.1.4 Matrixrekening met Maple 78 3.2 Stelsels lineaire vergelijkingen 83 3.3 Determinanten 93 3.3.1 Determinant van een ​2  × 2−​m atrix 94 3.3.2 Determinant van een ​3  × 3−​m atrix 94 3.3.3 Determinant van een ​n  × n−​m atrix99 3.3.4 Determinanten berekenen met Maple 100 3.4 De inverse matrix 100 3.4.1 Het bepalen van de inverse matrix 101 3.4.2 Orthogonale matrices 104 3.4.3 Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen met behulp van de inverse 104 3.4.4 Berekenen van de inverse matrix met Maple 105 3.5 De regel van Cramer 107 3.6 Lineaire (on)afhankelijkheid, basis en coördinatentransformatie 112 3.6.1 Afhankelijkheid en onafhankelijkheid 112 3.6.2 Basis 113 3.6.3 Coördinatentransformatie 115 3.7 Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonalisering 118 3.7.1 Het berekenen van eigenwaarden en eigenvectoren 118 3.7.2 Diagonalisering van vierkante matrices 122 3.7.3 Eigenwaarden en eigenvectoren met Maple 126 3.8 Herhalingsopgaven 128 3.9 Samenvatting van hoofdstuk 3 130

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 6

30/03/18 09:48


I NHOUD 

7

4

Functies van twee of meer variabelen

135

4.1 Inleiding 135 4.2 Oppervlakken in de ruimte 138 4.2.1 Platte vlakken 138 4.2.2 Tweedegraadsoppervlakken 139 4.2.3 Oppervlakken tekenen met behulp van Maple 143 4.3 Functies van twee of meer variabelen 145 4.4 Partiële afgeleiden van de eerste orde 148 4.5 Meetkundige betekenis van de partiële afgeleiden van een functie van twee variabelen152 4.6 De totale differentiaal 155 4.7 Toepassingen in de foutenleer 158 4.8 De afgeleide van een samengestelde functie, de totale afgeleide 163 4.9 Impliciet differentiëren 165 4.10 Partiële afgeleiden van hogere orde 169 4.11 Extreme waarden van een functie van twee variabelen 172 4.12 De kleinste kwadratenmethode 179 4.13 Herhalingsopgaven 186 4.14 Samenvatting van hoofdstuk 4 187

5

Meervoudige integralen, bol- en cilinder­c oördinaten

191

5.1 Definitie van de herhaalde integraal 5.2 Gebiedsbeschrijvingen 5.2.1 Gebiedsbeschrijving door middel van rechthoekscoördinaten 5.2.2 Gebiedsbeschrijving door middel van poolcoördinaten 5.3 De herhaalde integraal in rechthoekscoördinaten 5.4 De herhaalde integraal in poolcoördinaten 5.5 Toepassingen van herhaalde integralen 5.5.1 Inhoud en oppervlakte 5.5.2 Toepassingen uit de mechanica 5.6 Coördinatenstelsels in de ruimte 5.6.1 Cilindercoördinaten 5.6.2 Bolcoördinaten 5.7 Herhalingsopgaven 5.8 Samenvatting van hoofdstuk 5

191 192 192 197 202 209 212 212 214 220 221 223 226 227

6

Differentiaal­vergelijkingen 6.1 Inleiding 6.2 Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 6.2.1 Inleiding 6.2.2 Meetkundige betekenis van een differentiaalvergelijking 6.2.3 Differentiaalvergelijkingen met te scheiden variabelen 6.2.4 Singuliere oplossingen 6.3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 6.3.1 Inleiding 6.3.2 Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten 6.3.3 Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met constante coëfficiënten

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 7

231 231 235 235 237 240 243 245 245 249 251

30/03/18 09:48


INHOUD 

8

6.4 Praktische toepassingen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde 260 6.4.1 De afkoelingswet van Newton 260 6.4.2 De absorptiewet van Lambert 261 6.4.3 Elektrische RL-netwerken261 6.4.4 Elektrische RC-netwerken264 6.5 Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 268 6.5.1 Inleiding 268 6.5.2 Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 271 6.6 Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten273 6.6.1 Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten 273 6.6.2 Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde met constante coëfficiënten 279 6.7 Praktische toepassingen differentiaalvergelijkingen van de tweede orde 289 6.7.1 Harmonische trillingen 289 6.7.2 Massa-veersystemen 290 6.7.3 Elektrische netwerken 293 6.8 Lineaire differentiaalvergelijkingen van hogere orde met constante coëfficiënten296 6.8.1 Homogene lineaire hogere orde differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten 297 6.8.2 Inhomogene lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten298 6.9 Stelsels differentiaalvergelijkingen en eigenwaarden 299 6.10 Het numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen 303 6.10.1 De methode van Euler 304 6.10.2 De methode van Euler-Heun 307 6.10.3 Numerieke oplossingen van hogere orde differentiaalvergelijkingen 310 6.11 Herhalingsopgaven 311 6.12 Samenvatting van hoofdstuk 6 312

7

De Laplace­t ransformatie 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 8

315

Definitie van de Laplacetransformatie 315 Eigenschappen en standaardgetransformeerden 317 De inverse Laplacetransformatie 322 7.3.1 Definitie en eenvoudige voorbeelden 322 7.3.2 Inverse transformatie van verschoven functies 323 7.3.3 Inverse transformatie via breuksplitsen 326 Differentiatie- en integratiestellingen 330 Oplossen van differentiaalvergelijkingen 334 7.5.1 Oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen 334 7.5.2 Oplossen van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen 336 Bijzondere functies; verschuiven in het tijddomein 338 7.6.1 De functie van Heaviside 339 7.6.2 Verschuiving in het t-domein342 7.6.3 De deltafunctie van Dirac 349 7.6.4 De inverse Laplacegetransformeerde van vormen met e-machten 352 Toepassingen van de Laplacetransformatie in elektrische netwerken 355 7.7.1 Inleiding 355 7.7.2 Eenmazige netwerken 357 7.7.3 Meermazige netwerken 359

30/03/18 09:48


9

7.8 Periodieke functies 7.9 De Laplacetransformatie en Maple 7.10 Herhalingsopgaven 7.11 Samenvatting van hoofdstuk 7

8

Rijen en reeksen 8.1 Inleiding 8.1.1 Getalrijen 8.1.2 Reeksen 8.1.3 Het gebruik van Maple bij reeksen 8.2 Enkele soorten rijen en reeksen 8.2.1 Rekenkundige rijen en reeksen 8.2.2 Meetkundige rijen en reeksen 8.3 Reeksontwikkeling en machtreeksen 8.4 Taylorreeksen 8.4.1 Taylorreeksen in ​x ​ ​=​ ​0​ 8.4.2 Taylorreeksen in een willekeurig punt ​x = a​ 8.4.3 Taylorreeksen met Maple bepalen 8.5 Linearisering 8.6 Toepassingen van Taylorreeksen 8.7 Herhalingsopgaven 8.8 Samenvatting van hoofdstuk 8

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 9

363 367 374 375 379 379 379 381 384 385 385 387 393 394 395 400 402 403 405 407 408

Antwoorden

411

Register

450

30/03/18 09:48


Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 10

30/03/18 09:48


VOORWOORD

Voorwoord

Deel 2 van de serie Toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs is de voortzetting van deel 2 van de serie Toegepaste wiskunde voor het hoger beroepsonderwijs. Dit boek bevat onderwerpen die in de meeste hbo-opleidingen in de sector techniek na de propedeuse behandeld worden, terwijl ze bij de opleidingen aan technische universiteiten meestal nog wel in de propedeuse thuishoren. Ten opzichte van de genoemde vorige (vierde) druk van deel 2 is er een nieuw hoofdstuk over Laplacetransformaties toegevoegd. Verder zijn de hoofdstukken enigszins herschikt in de meest logische volgorde. De hoofdstukken over vectoren, complexe getallen, matrices en determinanten, functies van meer dan één variabele, integratie van functies van twee variabelen, differentiaalvergelijkingen en rijen en reeksen zijn opnieuw herzien en waar nodig bewerkt. Net als deel 1 bevat elk hoofdstuk een aantal voorbeelden en vraagstukken in Maple, maar deze zijn uiteraard ook te maken ook met een ander computeralgebrasysteem. De auteurs zijn van mening dat computeralgebra vrijwel onmisbaar is, maar dat de student zich sowieso eerst de achterliggende wiskundige concepten eigen zal moeten maken. Om dit doel te bereiken is dit boek zo opgebouwd dat eerst de theoretische concepten bestudeerd zullen moeten worden; vooral bij de wat moeilijkere vraagstukken kan vervolgens de computer worden ingezet. Van Maple is in dit boek de zogenaamde classic versie gebruikt. Deze versie kan ook op de jongste versies van Maple (17) gevonden worden door deze via Tools/Options/Display/Input Display: Maple Notation te activeren. Op de website www.thiememeulenhoff.nl/wiskunde is aanvullend studiemateriaal te vinden, onder andere een Maple-cursus. Delft, september 2017 Jan Blankespoor Kees de Joode Aad Sluijter

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 11

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1 

12

Vectoren

Bij hoofdstuk 1 Dit hoofdstuk gaat over vectoren. Een vector is een wiskundige grootheid, met een of meer kentallen (ook wel componenten genoemd), meestal reële getallen. Een vector kan in een plat vlak (de tweedimensionale ruimte) of de ruimte (ook wel: driedimensionale ruimte) worden voorgesteld als een lijnstuk met een richting. De lengte van het lijnstuk stelt de grootte van de vector voor. De richting kan worden uitgedrukt in de hoek(en) die de vector met de coördinaatassen maakt. Met een aantal speciaal gedefinieerde regels kan met vectoren worden gerekend. Deze regels vormen met elkaar een aantal gereedschappen dat in veel toepassingen van nut kan zijn. In de twee- of driedimensionale ruimte kunnen deze regels ook meetkundig worden geïllustreerd. Vectoren zijn in de mechanica onmisbaar voor het analyseren van constructies en bewegingen. In de elektrotechniek kunnen netwerken met behulp van vectorrekening worden doorgerekend. Bovendien vormen vectoren een belangrijke opstap naar de matrixrekening, zie hiervoor hoofdstuk 3 van dit boek. Ook in hoofdstuk 2 (Complexe getallen) zien we overeenkomsten met de vectorrekening. Hoofdstuk 1 bevat de volgende onderwerpen. • plaatsvectoren in platte vlak en ruimte • plaatsvectoren in de n-dimensionale ruimte • optellen en aftrekken van vectoren • scalairen en vectoren • eenheidsvectoren en nulvectoren • inwendig product van twee vectoren • toepassingen van het inwendig product • projecties • uitwendig product • toepassingen van het uitwendig product

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 12

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

1

Vectoren

1.1 Inleiding Veel natuurkundige grootheden zijn al volledig bepaald als de grootte ervan met de eenheid gegeven is. Dergelijke grootheden worden scalaire grootheden of kortweg scalairen genoemd. Voorbeelden van zulke grootheden zijn lengte, oppervlakte, temperatuur, tijd en druk. Andere grootheden, zoals kracht, snelheid, impuls, moment van een kracht en magnetische fluxdichtheid hebben zowel een grootte als een richting. Deze grootheden kunnen worden voorgesteld door vectoren. Onder een vector wordt verstaan een gericht lijnstuk met een bepaalde lengte, getekend als een pijl. Een vector wordt bepaald door het beginpunt en het eindpunt van het gerichte lijnstuk. In figuur 1.1 is P het beginpunt en Q het eindpunt van de vector. ⟶ Deze vector wordt aangegeven met PQ ​​ ​​  .  Figuur 1.1

Q

P

Vectoren kunnen worden onderscheiden in drie categorieën: 1 Vectoren met een vast beginpunt; dit zijn de plaatsvectoren. 2 Vectoren die verplaatst mogen worden langs de lijn waarop de vector ligt (deze lijn heet de drager van de vector). 3 Vectoren zonder een vast beginpunt en een vaste drager; dit zijn de vrije vectoren. Voorbeelden van vectoren die langs de drager verplaatst mogen worden, zijn de krachten die op een voorwerp werken, zoals in staticaberekeningen. Zo maakt het voor het → externe effect van de kracht op het voorwerp in figuur 1.2 niet uit of de kracht F  ​​  ​​  in punt B of in punt A aangrijpt. Voor de interne effecten van de kracht op het voorwerp,

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 13

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

14

Vectoren

zoals de door de kracht veroorzaakte spanningen in het materiaal, maakt het echter wel uit waar de kracht aangrijpt. We zullen in dit hoofdstuk ook nog voorbeelden geven van vrije vectoren. De vectortheorie wordt in dit hoofdstuk behandeld voor plaatsvectoren. Deze theorie geldt echter ook voor vectoren in de andere twee categorieën. Figuur 1.2

A

B F

F

1.2 Plaatsvectoren 1.2.1 Plaatsvectoren in het platte vlak In het platte vlak gaan we uit van het bekende xy-assenstelsel. In figuur 1.3 wordt ⟶ ​ = (​ ​a1​  ​​  , ​a2​  ​​)​​. In het vervolg de vector OA  ​​  ​​ bepaald door beginpunt O en zijn eindpunt A ⟶ → wordt OA  ​​  ​​  aangeduid met ​​ a  ​​(dezelfde letter als het eindpunt A). De lijn door O en A heet de drager van → ​​ a . ​​ De vector kan op twee manieren worden genoteerd:

(​a2​  ) ​​

a​ ​  ​​ → ​​ a  ​= ​ ​ 1​  ​​: → ​​ a  ​​ als kolomvector → ​​ a  ​= (​ ​a1​  ​​  , ​a2​  ​​)​​: → ​​ a  ​​ als rijvector Figuur 1.3

y-as

A(a1, a2)

a2 a

 O

a1

x-as

De getallen ​​a​ 1​​​ en ​​a2​  ​​​ heten de coördinaten, componenten of kentallen van de vector. In dit boek wordt de voorkeur gegeven aan de notatie van vectoren als kolomvectoren; de berekeningen nemen dan wel meer ruimte in beslag maar zijn overzichtelijker. ​a​  ​​ De verzameling van alle vectoren ​​ ​ 1​  ​​, met ​​a1​  ​​  , ​a2​  ​​ ∈ ℝ​noemen we de tweedimensi(​a2​  ) ​​ onale vectorruimte ​​ℝ​​  2​​. Er geldt dus: ​a​  ​​ ​​ℝ​​  2​= ​ ​ ​ 1​  ​,  met  ​a1​  ​​  , ​a2​  ​​ ∈ ℝ ​​ ​​ {(​a2​  ) } De lengte van → ​​ a  ​​, notatie ​​  | ​ → a ​  | ​​, is de lengte van het lijnstuk OA.

(1.1)

Deze lengte is als volgt te berekenen (met de stelling van Pythagoras): _____

​​  | ​ → a ​  | ​= ​√ ​a1​  2​  ​ + ​a2​  2​  ​ ​​ 

(1.2)

De hoek ​φ​die de vector maakt met de positieve x-as geeft de richting van de vector ​a​  ​​ aan. Er geldt t​an φ = __ ​ ​a2​   ​​​​ . Voor een vector in het eerste en vierde kwadrant geldt dan 1 ​a​  ​​ ​φ = arctan​(__ ​ ​a2​   ​ ​​)​​. Voor een vector in het tweede of derde kwadrant kunnen we de hoek 1

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 14

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

Vectoren

15

niet direct via de ‘arctan’ berekenen, omdat de arctangens altijd een hoek tussen ​−  ​ __21 ​  π​ en ​​ __12 ​  π​ radialen levert. Opdracht Bereken de lengte van de vector → ​​ a  ​= ( ​ −  ​ 3 ​ ) ​ ​​en de hoek die → ​​ a  ​​maakt met de 4 positieve x-as.

1.2.2 Plaatsvectoren in de ruimte Een vector in de ruimte kan worden vastgelegd met behulp van drie onderling loodrechte assen. Dit zijn de x-as, de y-as en de z-as, die elkaar in de oorsprong O snijden (zie figuur 1.4a). Dit is een voorbeeld van een rechtsdraaiend assenstelsel. Dit houdt in dat als we de vingers van de rechterhand draaien van de positieve x-as naar de positieve y-as, de duim in de richting van de positieve z-as wijst. We hebben nu, zie figuur 1.4b: ⎛​a1​  ⎞​​ → ​​ a  ​ = ​ ​a2​  ​ ​​ ​​,  waarbij ​​a1​  ​​​, ​​a2​  ​​​ en ​​a3​  ​​​de kentallen zijn van de vector → ​​ a  ​​ . ⎝​a3​  ⎠​​

⎜⎟

Figuur 1.4a

z-as

O

y-as

x-as

Figuur 1.4b

z-as

a3 A(a1, a2, a3)

z O a1

a

y

a2

x

y-as

B

x-as

De drie-dimensionale vectorruimte ​​ℝ​​  3​​wordt gedefinieerd door ⎧⎛​a1​  ⎞​​

⎜⎟

​​ℝ​​  ​= ⎨ ​ ​  ​a  2​  ​​​  ​,   met  ​a1​  ​​  , ​a2​  ​​  , ​a3​  ​​  ∈ ℝ⎬​​  ⎪ ⎪ ⎩⎝​a3​  ⎠​​ ⎭ 3

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 15

(1.3)

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

16

Vectoren

De lengte van → ​​ a  ​​wordt berekend door_____ tweemaal de stelling van Pythagoras toe te passen.

Eerst wordt OB berekend: ​OB = √ ​  ​a1​  2​  ​ + ​a2​  2​  ​ ​​, vervolgens OA volgens ​O ​A​​  2​ = O ​B​​  2​ + ​a3​  2​  ​​, zodat voor de lengte van → ​​ a  ​​ geldt: _

​​  | ​ → a ​  | ​= ​√ ​a1​  2​  ​ + ​a2​  2​  ​ + ​a3​  2​  ​ ​​ 

(1.4)

De richting van de vector in figuur 1.4b wordt bepaald door de hoeken φ​  ​​ x​​​, ​​φy​  ​​​ en ​​φz​  ​​​, die de vector maakt met respectievelijk de positieve x-as, de positieve y-as en de positieve z-as. Er geldt: ​a​  ​​ ​a​  ​​ ​a​  ​​ ​cos ​φx​  ​​ = ___ ​  →1  ​​,  ​cos ​φy​  ​​ = ___ ​  →2  ​​ en ​cos ​φz​  ​​ = ___ ​  →3  ​​   ​  | ​ a ​  | ​ ​  | ​ a ​  | ​ ​  | ​ a ​  | ​ Hieruit zijn de hoeken ​​φ​ x​​​, ​​φy​  ​​​ en ​​φz​  ​​​ te berekenen. Opdracht

4 → → → ​  1 ​  ​ ​​. Bereken de lengte van b ​​ ​​   en de hoeken die ​​ b ​​   Gegeven de vector ​​ b  ​= ​ −  (− 3) maakt met de positieve x-as, de positieve y-as en de positieve z-as.

1.2.3 Plaatsvectoren in ​​ℝ​​  n​​ De n-dimensionale vectorruimte ​​ℝ​​  n​​wordt als volgt gedefinieerd: ⎧⎛​a1​  ​​⎞ ⎫ ⎪ ​a​  ​​ ⎪ ​​ℝ​​  n​= ⎨ ​ ​  ​  2​   ​​ ​  ​,   met  ​ai​  ​​ ∈ ℝ, voor i = 1,2,…, n⎬​​  ⎪ ⋮ ⎪ ⎩⎝​an​  ​​⎠ ⎭

⎜⎟

(1.5)

Deze ​​ℝ​​  n​​kunnen we voor ​n ≥ 4​niet meer meetkundig voorstellen. Een vector in ​​ℝ​​  n​​ kan worden gebruikt om een aantal variabelen tegelijk aan te duiden. Zo wordt met de vector ⎛ ​x1​  ​​ ⎞ ​x​  ​​ → ​​  x  ​= ​ ​   2​ ​  ​ ​​  ⋮ ​  ⎠​​ ⎝​x10

⎜⎟

de verzameling variabelen ​​x​ 1​​  , ​x2​  ​​  ,  …, ​x10 ​  ​​​aangegeven. Hier komen we uitgebreid op terug bij het oplossen van stelsels vergelijkingen (paragraaf 3.2). Voor de lengte van de n-dimensionale vector → ​​ a  ​​ geldt ___________

​​  | ​ → a ​  | ​= √ ​     ​a1​  2​  ​ + ​a2​  2​  ​ + … +​an​  2​  ​ ​​

(1.6)

→ Twee vectoren zijn gelijk, notatie → ​​ a  ​ = ​ b , ​​ als ze hetzelfde aantal kentallen hebben en alle overeenkomstige kentallen gelijk zijn.

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 16

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

Vectoren

17

1.2.4 Optellen en scalair vermenigvuldigen De optelling van twee vectoren in ​​ℝ​​  2​​wordt gedefinieerd door

(​a2​  ) (​b2​  ) ​​ ​​

(​a2​  ​​  + ​b​ 2) ​​

a​ ​  ​​ b​ ​  ​​ ​a​  ​​  + ​b​  ​​ → → ​​ a  ​  + ​ b  ​= ​ ​ 1​  ​ + ​ ​ 1​  ​= ​ ​ 1 1​ ​​

(1.7)

De optelling wordt dus coördinaatsgewijs uitgevoerd. In ​​ℝ​​  3​​wordt de optelling op overeenkomstige wijze gedefinieerd door ⎛​a1​  ⎞​​

⎛​b1​  ⎞​​

⎛​a1​  ​​  + ​b​ 1⎞​​

⎜⎟ ⎜⎟ ⎜

→ → ​​ a  ​  + ​ b  ​= ​ ​a  2​  ​​​  ​ + ​ ​b  2​  ​​​  ​ = ​ ​a  2​  ​​  + ​b​ 2​​​ ​​ 

⎝​a3​  ⎠​​

⎝​b3​  ⎠​​

(1.8)

⎝​a3​  ​​  + ​b​ 3⎠​​

De optelling kan grafisch in het platte vlak en in de ruimte worden bepaald met behulp van de zogenoemde parallellogramconstructie. In figuur 1.5a is dit uitgevoerd in het platte vlak. De optelling kan ook bepaald worden met de ‘kop-aan-staart-methode’ (figuur→1.5b). Hierbij wordt het beginpunt (de staart) van de evenwijdig verschoven vector ​​ b  ​​verbonden met het eindpunt (de kop) van → ​​ a . ​​ Het resultaat is in beide gevallen dezelfde somvector. Figuur 1.5a

y-as

a+b

Parallellogram­ constructie b a

x-as

O

Figuur 1.5b

y-as

a+b

Kop-aan-staart-­ methode b a O

x-as

In ​​ℝ​​  2​​ wordt scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd door ​a​  ​​ λ ​a​  ​​ λ​ → ​ a ​ = λ​ ​ 1​  ​= ​ ​ 1​  ​​, met ​λ ∈ ℝ​ (​a2​  ) (λ ​a2​  ) ​​ ​​

(1.9)

Het getal ​λ​heet een scalar of scalair. Voor ​λ ≠ 0​hebben de vectoren → ​​ a  ​​ en ​λ→ ​ a  ​​ dezelfde drager. 3 In ​​ℝ​​  ​​is de scalaire vermenigvuldiging op dezelfde manier gedefinieerd als in ​​ℝ​​  2​​: ⎛​a1​  ⎞​​

⎛λ ​a1​  ⎞​​

⎜⎟ ⎜ ⎟

​λ→ ​ a ​ = λ​ ​a  2​  ​​​  ​ = ​ λ ​ ​  a2​  ​​​ ​​,  met ​λ ∈ ℝ​ ⎝​a3​  ⎠​​

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 17

⎝λ ​a3​  ⎠​​

(1.10)

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

18

Vectoren

In ​​ℝ​​  n​​is de optelling van twee vectoren op overeenkomstige wijze gedefinieerd als in​​ ℝ​​  2​​ en ​​ℝ​​  3​​.

⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟

⎛​a1​  ​​⎞ ⎛​b1​  ​​⎞ ⎛​a1​  ​​  + ​b​ 1⎞​​ ​a​  ​​ → ​b​  ​​ ​a​  ​​  + ​b​ 2​​ → ​  ​​  ​​ a  ​  + ​ b  ​= ​ ​  2​   ​​ ​  ​ + ​    ​ 2​   ​​ ​  ​ = ​ ​  2     ​​ ⋮ ⋮ ⋮ ⎝​an​  ​​⎠ ⎝​bn​  ​​⎠ ⎝​an​  ​​  + ​b​ n​​⎠

(1.11)

De scalaire vermenigvuldiging in ℝ​​  ​​ n​​is ook op overeenkomstige wijze gedefinieerd 2 3 als in ​​ℝ​​  ​​ en ​​ℝ​​  ​​.

⎜⎟ ⎜ ⎟

⎛λ ​a1​  ​​⎞ ⎛​a1​  ​​⎞ ​a​  ​​ λ ​a2​  ​​ ​λ→ ​ a ​ = λ​ ​  2​   ​​ ​  ​ = ​   ​   ​  ​​  ​​,  met ​λ ∈ ℝ​ ⋮ ⋮ ⎝​an​  ​​⎠ ⎝λ ​an​  ​​⎠

Voorbeeld 1

(1.12)

​a​  ​​ 2 ​a​  ​​ − ​a​  ​​ Als → ​​ a  ​= ​ ​ 1​  ​​, dan is ​2→ ​ a  ​= ​ ​ 1​  ​​ en ​−→  ​ a  ​= ​ ​ 1​  ​​, zie figuur 1.6. (​a2​  ) (− ​a2​  ) (2 ​a2​  ) ​​ ​​ ​​ Deze drie vectoren liggen op dezelfde drager.

Figuur 1.6

y-as

2a a x-as

O –a

→ → → → ​​ a  ​  − ​ b ​​,  geldt → ​​ a  ​  − ​ b ​  = → ​ a  ​ + ​(− ​ b ​)  ​​. Ook Voor het verschil van twee vectoren → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​,  notatie → het verschil kan in het platte vlak en in de ruimte grafisch bepaald worden met behulp van de parallellogramconstructie. In figuur 1.7a is deze constructie uitgevoerd in het platte vlak. Figuur 1.7a

y-as

Parallellogramconstructie van het verschil

a b a–b O

x-as

–b

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 18

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

Vectoren

19

In figuur 1.7b is de verschilvector met de ‘kop-aan-staart-methode’ bepaald. Figuur 1.7b

y-as

Kop-aan-staartmethode van het verschil

a b

–b a–b x-as

O

Opdracht → → → → − 1​ ​​ en b ​ = ​ Bereken en construeer → ​​ a  ​  + ​ b ​​,  → ​​ a  ​  − ​ b ​​  en ​​ b ​   − ​ → a  ​​ als → ​​ a  ​ = ​ ​​    (​  2 ​ ) ​ ​​. (​ 3 ​ ) − 4

1.2.5 Eenheidsvectoren en nulvectoren Onder een eenheidsvector verstaan we een vector met lengte 1. In ​​ℝ​​  2​​ zijn → ​​​  e  ​​ 1​​ = ( ​ 1​ ​​ )​​ en → ​​​  e  ​​ 2​​ = ( ​ 0​ ​​ )​​de eenheidsvectoren, die respectievelijk langs de x-as 0 1 __ ​  3 ​  en y-as liggen. Dit zijn niet de enige eenheidsvectoren in ℝ​​  ​​ 2​​. Ook bijvoorbeeld ​​ ​5 ​​  ​​ (​ __45 ​ ) heeft lengte 1. ​a​  ​​ We kunnen elke vector → ​​ a  ​= ​ ​ 1​  ​​uitdrukken in één eenheidsvector. Deze eenheidsvec(​a2​  ) ​​ _____ ​​ ​  | ​ → a ​  | ​= ​√ ​a1​  2​  ​ + ​a2​  2​  ​ ​)  ​​ en ­vervolgens tor berekenen we door de lengte van → ​​ a  ​​ te berekenen ( 1   ​​ ervoor te zetten. We noemen dit proces normeren. De genormeerde de factor ​​ ___ ​  | ​ → a ​  | ​ ​a​  ​​ → 1  → ​​​ a  ​​ e​​​van → ​​ a  ​= ​ ​ 1​  ​​ is dus → ​​​ a  ​​ e​​ = ​ ___  ​​  a . ​​ Dit is een eenheidsvector, want de lengte is 1. We → (​a2​  ) ​​ ​  | ​ a ​  | ​ a ​  | ​  ⋅ ​​ → a  ​​ e​​​. Hiermee is → ​​ a  ​​uitgedrukt in de eenheidsvector die kunnen ook schrijven: → ​​ a  ​ = ​  | ​ → → dezelfde richting heeft als ​​ a  ​​. ​a​  ​​ Iedere vector → ​​ a  ​= ​ ​ 1​  ​​is ook te schrijven als een zogeheten lineaire combinatie van (​a2​  ) ​​ → de eenheidsvectoren ​​​  e  ​​ 1​​ = ( ​ 1​ ​​ )​​ en → ​​​  e  ​​ 2​​ = ​(0​ ​​ )​​: 0 1 ​a1​  ​​ ​a1​  ​​ 0 1 → e  ​​ 1​​  + ​a​ 2​​ ​​ → e  ​​ 2​​​ ​​ a  ​= ​ ​ ​  ​= ​ ​  ​​  ​ + ​ ​ ​a​  ​  ​​​ ​= ​a1​  ​​​(​ ​​ )​ + ​a2​  ​​​(0​ ​​ )​= ​a1​  ​​ ​​ → ( 0 ) ( 2) (​a2​  ) ​​ 0 1 ​ 5​ ​​ )​​ ook schrijven: Zo kunnen we bijvoorbeeld voor → ​​ a  ​= ( 2 5 0 1 0 5 → ​ ​ ​​ )​= ( ​ ​ ​​ )​ + ​(​ ​​ )​= 5​(​ ​​ )​ + 2​(​ ​​ )​ = 5 ​​ → e  ​​ 1​​  +  2 ​​ → e  ​​ 2​​​ ​​ a  ​= ( 0 0 2 1 2 1 0 0 Analoog zijn in ℝ​​  ​​ 3​​ de vectoren → ​​​  e  ​​ 1​​ = ​ 0​ ​​  ​​, → ​​​  e  ​​ 2​​ = ​ 1​ ​​  ​​en → ​​​  e  ​​ 3​​ = ​ 0​ ​​  ​​ de eenheidsvecto(0) (0) (1) ren, die respectievelijk langs de x-as, de y-as en de z-as liggen. ⎛​a1​  ⎞​​ → ​​ a  ​= ​a1​  ​​ ​​ → e  ​​ 1​​  + ​a​ 2​​ ​​ → e  ​​ 2​​  + ​a​ 3​​ ​​ → e  ​​ 3​​​. Iedere vector ​​ a  ​= ​ ​a  2​  ​​​  ​​ kan geschreven worden als → ⎛​a1​  ⎞​​ ⎝​a3​  ⎠​​ 1  → Ook hier geldt: de genormeerde → ​​​ a  ​​ e​​​ van →  ​​  a  ​​ en ​​ a  ​= ​ ​ a2​  ​ ​​ ​​  is de eenheidsvector → ​​​ a  ​​ e​​ = ___ ​  → ​   ​  a  ​     ​ | | ⎝​a3​  ⎠​​ a ​  | ​  ⋅ ​​ → a  ​​ e​​​. geldt → ​​ a  ​ = ​  | ​ →

⎜⎟

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 19

⎜⎟

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

20

Vectoren

⎜⋮⎟

⎛1 ⎞

⎜⋮⎟

⎛0 ⎞

⎛0⎞

⎜0⎟

0 0 In ​​ℝ​​  ​​ zijn de vectoren → ​​​  e  ​​ 1​​ = ​ ​   ​  ​ ​​,  → ​​​  e  ​​ 2​​ = ​ 1​  ​ ​ ​,   …,​​​​ → e  ​​ n​​ = ​ ​   ​  ​ ​​ eenheidsvectoren. n

⎜⎟

⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎛​a1​  ​​⎞ ​a​  ​​ Als → ​​ a  ​= ​ ​  2​   ​​ ​  ​​,  dan is → ​​ a  ​​ te schrijven als → ​​ a  ​= ​a1​  ​​ ​​ → e  ​​ 1​​  + ​a​ 2​​ ​​ → e  ​​ 2​​  +  …  +​an​  ​​ ​​ → e  ​​ n​​​ ⋮ ⎝​an​  ​​⎠

(1.13)

⎜⎟

⎛0⎞ → → 0 De vector 0​ ​​   = ​(0​ ​​ )​​ heet de nulvector in ​​ℝ​​  2​​. In ​​ℝ​​  n​​ is de nulvector 0​ ​​   = ​  ​  ​  ​ ​​.  ⋮ 0 ⎝0⎠

Opgaven bij 1.2 1

1 0 1 → Gegeven de vectoren → ​​ a  ​= ​ ​  2 ​​  ​ ​​, b ​ ​​   = ​ ​1​​  ​​ en → ​​ c  ​= ​ ​ − 5 ​  ​  ​ ​​. (− 1) (4) (0) Bereken: → → → → → → → → → ​  + ​ b ​​ a ​​ a   en b ​  ​​   + ​ a  ​​ d ​​(→ ​ a  ​  + ​ b ​)  ​  + ​ c   ​​ en ​​ a  ​ + ​(b ​  ​   + ​ c  ​)​​ → → → → → → → → b ​​   ​ a  ​  + ​ b ​    ​​ en ​​  | ​ a ​  | ​  + ​   ​ b ​    ​​ e ​​   ​ a  ​  − ​ b ​    ​​ en ​​  | ​ a ​  | ​  − ​   ​ b ​    ​​ → → → → → → ​  +  2​ b ​  c ​3​ a  ​  − ​ b ​   +  2​ c  ​​ f ​​ a   −  4​ c ​​ 

|

2

|

| |

|

|

| |

→ Gegeven de vectoren a  ​​ →​ = ​(2​ ​​ )​​, b ​ ​​   = ​(​  1 ​ ) ​ ​​ en → ​​ c  ​= ( ​ ​  0 ​ ) ​ ​​. 1 − 2 − 1 → → → a Construeer (grafisch) de vectoren → ​​ a  ​  + ​ b ​   −  2​ c  ​​  en ​−→  ​ a  ​  − ​ b ​   +  2​ → c  ​​. b Controleer via berekeningen het resultaat van vraag 2a.

3

4

Gegeven zijn de vectoren vectoren dezelfde drager?

​​ a​ ​​ )​​ en ( ​​ 2​ ​​ )​​. Voor welke waarde(n) van a hebben deze ( a 6

2 1 → Gegeven de vectoren → ​​ a  ​= ​ −  ​  3 ​  ​  ​ ​​ en b ​ ​​   = ​ −  ​  2 ​  ​ ​​. (4) (− 5) → a Bereken de hoeken die ​​ a  ​​maakt met de positieve x-, y- en z-as.

→ b Bereken de hoeken die b ​​ ​​   maakt met de positieve x-, y- en z-as. → c Bepaal de genormeerde van → ​​ a  ​​ en van ​​ b ​​. 

1.3 Het inwendig product van twee vectoren 1.3.1 Definitie van het inwendig product → → Het inwendig product van de vectoren → ​​ a  ​​ en b ​​ ​​   in ​​ℝ​​  n​​, notatie → ​​ a ​ · ​ b  ​​(een dikke punt, niet te verwarren met het vermenigvuldigingsteken voor reële getallen, de gewone punt), wordt als volgt gedefinieerd: n → → ​​ a ​  · ​ b  ​= ​a1​  ​​ ​b1​  ​​  + ​a​ 2​​ ​b2​  ​​  +  …  + ​an​  ​​ ​bn​  ​​ = ​∑ ​​  ​a  i​  ​​ ​bi​  ​​​​ i=1

(1.14)

Het inwendig product van twee vectoren is dus een getal (scalar)! Het inwendig product wordt daarom ook wel scalair product genoemd. n → Kiezen we b ​ ​​   = → ​ a , ​​ dan gaat formule (1.14) over in → ​​ a  ​  · ​ → a  ​= a​ 1​  ​​ ​a1​  ​​  + ​a​ 2​​ ​a2​  ​​  +  …  + ​an​  ​​ ​an​  ​​ = ​∑ ​​  ​a  i​  2​  ​​​ , i=1 zodat de lengte van → ​​ a  ​​ook met behulp van een inwendig product kan worden bepaald: _____

​​  | ​ → a ​  | ​= ​√→  ​ a ​  · ​ → a  ​ ​​ 

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 20

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

Voorbeeld 2

Vectoren

21

1 2 → Bepaal het inwendig product van → ​​ a  ​= ​ ​  5 ​​  ​ ​​ en b ​ ​​   = ​ ​  0 ​​  ​ ​​. (− 1) (− 6) Oplossing → → ​​ a ​ · ​ b ​  =  2  ⋅ 1 + 5 ⋅ 0 + ( − 1)  ⋅ ( − 6) = 8​

Opdracht − 1 2 Bepaal het inwendig product van → ​​ p  ​= ​ ​  1 ​​  ​ ​​ en → ​​ q  ​= ​ ​ 3​   ​ ​​. (− 4) (− 5)

1.3.2 Eigenschappen van het inwendig product Het inwendig product bezit een aantal eigenschappen dat overeenkomt met de eigenschappen van het product van getallen. → Voor de vectoren → ​​ a , ​​ ​​ b ​​  en → ​​ c  ​​ in ​​ℝ​​  n​​en scalar ​k ∈ ℝ​ geldt → → → ​​ a ​    ​ b  ​ = ​ b ​     ​ → a  ​​

(commutatieve eigenschap)

(1.15)

→ → ​​(→ ​ a  ​  + ​ b ​)  ​  · ​ → c  ​ = → ​ a ​  · ​ → c  ​  + ​ b ​   · ​ → c  ​​

(distributieve eigenschap)

(1.16)

·

·

→ → → ​​(k​ → a ​ )​  · ​ b  ​ = → ​ a ​  · ​(k​ b ​)  ​ = k​(→ ​ a ​  · ​ b ​)  ​​

(1.17)

→ → ​​ a ​    ​ → a  ​ ≥ 0​ en → ​​ a ​    ​ → a  ​= 0 ⇔ → ​ a  ​ = ​ 0​​  

(1.18)

·

·

Opdracht Toon formule (1.16) en formule (1.17) aan voor vectoren in ​​ℝ​​  2​​. Voorbeeld 3

→ ​ 1​ ​​ )​​, b ​ ​​   = ​(2​ ​​ )​​ en → ​​ c  ​= ​(3​ ​​ )​​. Gegeven zijn de vectoren → ​​ a  ​= ( 3 2 4 → → → Bereken ​​(​ a  ​  + ​ b ​)  ​  · ​ c  ​​. Oplossing We kunnen deze berekening op twee manieren uitvoeren: → → 1 Eerst → ​​ a  ​  + ​ b ​ = ​(3​ ​​ )​​ en vervolgens (​​ → ​ a  ​  + ​ b ​)  ​  · ​ → c  ​= 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 = 29​. 5 → → 2 ​​(→ ​ a  ​  + ​ b ​)  ​  · ​ → c  ​ = → ​ a ​  · ​ → c  ​  + ​ b ​   · ​ → c  ​= (1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 )  + (2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 ) = 29​.

1.3.3 Meetkundige betekenis van het inwendig product → In figuur 1.8 is φ ​ ​, waarbij φ ​ ∈ [​ 0,π]​​, de hoek tussen → ​​ a  ​​ en b ​​ ​​   in ​​ℝ​​  2​​. We zullen zien dat we met behulp van een inwendig product de hoek ​φ​kunnen bepalen. Figuur 1.8

y-as

b

b2

a2 O

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 21



a

2 1 b1

a1

x-as

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

22

Vectoren

Er geldt: ​cos  φ = cos​(​φ2​  ​​  − ​φ​ 1​​)​

= cos ​φ1​  ​​  cos ​φ2​  ​​  +  sin ​φ1​  ​​  sin ​φ2​  ​​

​a1​  ​​ ___ ​b​  ​​ ​b​  ​​ ​a2​  ​​ ___ = ​ ___   ​  ⋅ ​  →1  ​  + ​ ___   ​  ⋅ ​  →2  ​  → → ​  | ​ a ​  | ​ ​   ​ b ​    ​ ​  | ​ a ​  | ​ ​   ​ b ​    ​

| |

| |

​a1​  ​​ ​b1​  ​​  + ​a​ 2​​ ​b2​  ​​   = ​ ________ →  ​​  ​  | ​ → a ​  | ​​   ​ b ​    ​

||

Hieruit volgt: → →  ​cos  φ = _____ ​  ​ a ​  · ​ b ​ →  ​​  ​  | ​ → a ​  | ​​   ​ b ​    ​ zodat we voor de hoek ​φ​ vinden: → →  ​φ = arccos​ _____ ​  ​ a ​  ·​  b ​   ​ ​​ (​  | ​ →a ​  | ​​   ​ b ​ →  ​) → →  Uit ​cos  φ = _____ ​  ​ a ​  · ​ b ​ volgt ook →  ​​  ​  | ​ → a ​  | ​​   ​ b ​    ​ → → → a ​  | ​​   ​ b ​    ​cos  φ​ ​​ a ​  ·​  b ​  = ​  | ​ →

| |

(1.19)

| |

| |

| |

(1.20)

Dit is een tweede manier om een inwendig product te berekenen. De ingesloten hoek → tussen de vectoren → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​ moet dan wel bekend zijn. In ​​ℝ​​  n​​, waarbij ​n ≥ 4​, is de hoek tussen twee vectoren niet meer voor te stellen. We kunnen het begrip hoek wel uitbreiden voor ​​ℝ​​  n​​, waarbij ​n ≥ 4​, door formule (1.19) als definitie te nemen. We gaan hier niet verder op in. Voorbeeld 4

1 3 → Bepaal de hoek tussen → ​​ a  ​= ​ 2​ ​​  ​​ en b ​ ​​   = ​ −  ​  2 ​  ​  ​ ​​. (0) (1) Oplossing

_____

_____ __ → ___ → → → → ​​ a ​  · ​ b ​  = −  1​, ​​  | ​ → a ​  | ​= √ ​→  ​ a ​  · ​ → a  ​ ​ = ​√ 5 ​​,  ​​   ​ b ​    ​= √ ​  b  ​ ​  ·  ​ b ​ ​  = ​√ 14 ​​ 

| |

Er volgt voor de hoek ​φ​: → →  ​φ = arccos​ _____ ​  ​ a ​  · ​ b ​   ​ ​= arccos ( − 0, 11952 )  = 1, 691 rad ≈ 96, 86°​. (​  | ​ →a ​  | ​​   ​ b ​ →  ​)

| |

Opdracht 2 1 Bepaal de hoek tussen de vectoren → ​​u  ​= ​ ​  1 ​​  ​ ​​ en → ​​  v  ​= ​ ​ − 2 ​  ​  ​ ​​. (1) (− 3) → In het platte vlak en in de ruimte staan twee vectoren → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​,  beide niet de nulvector, → → ​​ a ​​ en ​​ b ​​  geldt dat φ ​= ​ __12 ​  π​ loodrecht op elkaar, notatie → ​​ a  ​  ⊥ ​ b ​​,  als voor de hoek φ tussen → → → a ​  | ​​   ​ b ​    ​cos  φ = 0​. ofwel φ ​= 90°​. Dan is ​cos φ = 0​, zodat → ​​ a  ​  · ​ b ​  = ​  | ​ → → → → → → → ​​ a  ​ ≠ 0​​​    en b ​ ​​    ≠ 0​​​  ,  dan volgt uit a ​ ​​ →  · ​ b ​   = ​  | ​ → a ​  | ​​   ​ b ​    ​cos  φ​ dat​ Is omgekeerd → ​​ a ​  · ​ b ​   = 0​, terwijl → → ​​ a  ​ ⊥ ​ b ​​.  cos φ = 0​, dus φ ​= __ ​  12 ​  π​ ofwel φ ​= 90°​; dit betekent dat →

| |

| |

→ → → → In ​​ℝ​​  2​​ en ​​ℝ​​  3​​ geldt dus voor a  ​​ →​​  en b ​​ ​​  ,  waarbij → ​​ a  ​ ≠ ​ 0​​   en b ​ ​​   ≠ 0​​​  :  → → → ​​ a ​ ⊥ b ​ ​   ⇔ → ​ a ​    ​ b ​  = 0​ ·

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 22

(1.21)

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

Vectoren

23

→ → Als twee vectoren → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​ loodrecht op elkaar staan, dan heten → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​  orthogonaal. Opdracht − 1 2 → Onderzoek of de vectoren → ​​ a  ​= ​ ​ 2 ​ ​​   = ​ −  ​  4 ​  ​  ​ ​​loodrecht op elkaar ​   ​ ​​ en b ​ (3) (5) staan. Toepassingen van het inwendig product vinden we vooral in de natuurkunde. Zo is in → figuur 1.9 de arbeid W, die een constante kracht F  ​​  ​​ verricht op een deeltje, waarvan de verplaatsing gegeven wordt door de vector s  ​​ →​​  gelijk aan: → → ​W = ​ F ​   · ​ s  ​​   Figuur 1.9

F

s

1.3.4 Projectie → Onder de projectie van b ​​ ​​   op → ​​ a , ​​ beide niet de nulvector, verstaan we de vector die ont→ ​​ a  ​​te projecteren. De projectie is alleen staat door het eindpunt van b ​​ ​​   op de drager van → in het platte vlak en in de ruimte voor te stellen, zodat we dit niet definiëren voor vectoren in ​​ℝ​​  n​​, waarbij ​n ≥ 4​. We leiden de formule voor de projectie af voor twee vectoren in het platte vlak. Het verkregen resultaat geldt ook voor twee vectoren in de ruimte. Voor ​φ​, een scherpe hoek tussen twee vectoren in het platte vlak, zoals in figuur 1.10, → → is ​​   ​ b ​    ​cos  φ​de lengte van de projectie van b ​​ ​​   op → ​​ a  ​​. Is ​φ​een stompe hoek tussen twee

| |

vectoren in het platte vlak, zoals in figuur 1.11, dan is de lengte van de projectie gelijk → → aan ​​   ​ b ​    ​cos​(π − φ)​ = − ​   ​ b ​    ​cos​(φ)​​.

| |

| |

Figuur 1.10

b

 a |b | cos 

Figuur 1.11

b

 a – |b | cos 

→ Voor het bepalen van de projectie → ​​ p  ​​ van b ​​ ​​   op → ​​ a , ​​ hebben we de eenheidsvector in de richting van → ​​ a  ​​ nodig.

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 23

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

24

Vectoren

1  →  ​​  a  ​​ Zoals aangetoond in paragraaf 1.2 is deze eenheidsvector de vector → ​​​ a  ​​ e​​ = ___ ​  → → ​   ​  a ​  | ​ | (de genormeerde van de vector ​​ a  ​​). Als de hoek ​φ​ tussen beide vectoren scherp is, dan vinden we voor de projectie → ​​ p  ​​ → van b ​​ ​​   op → ​​ a  ​​(zie figuur 1.10): → → → → → → → → →    ​ ​​    → ​ a ​  · ​ b ​  ​ a ​  · ​ b ​ ​ ​​   1  → _____ ​​  p ​ = ​(​   ​ b ​    ​cos  φ)​ ​​ → a  ​​ e​​ = ​ ___  ​​  a ​  · ​ b ​  ​ ​​ → a  ​​ e​​ = ​   ​ b ​    ​ ​ _____  ​​  ​​ = ​  ​  → a  ​​  ​​ a   e → → (​  | ​ a ​  | ​ ) e ​  | ​ a ​  | ​ ​  | ​ → a ​  | ​​   ​ b ​    ​ → → = ​(→ ​​ a  ​​ e​​  · ​ b ​)   ​ ​​ a  ​​ e​​​ Als de hoek ​φ​stomp is, dan vinden we (zie figuur 1.11): → → → ​​ →​ = ​(​   ​ b ​    ​cos  (π  −  φ ))​​ − ​​ → p  a  ​​  ​​ ​ = − ​   ​ b ​    ​cos  (φ )​ − ​​ → a  ​​  ​​ ​= ​(​   ​ b ​    ​cos  (φ ))​ ​​ → a  ​​  ​​​.

| |

| |

| |

(

| |

| |

)

e

(

)

e

| |

e

Er volgt, zie hiervoor bij de afleiding als de hoek φ ​ ​scherp is: → → → → ​​  p ​ = ​(​   ​ b ​    ​cos  φ)​ ​​ → a  ​​ e​​ = ( ​ → ​​ a  ​​ e​​  · ​ b ​)   ​ ​​ a  ​​ e​​​.

| |

→ We concluderen dat voor de projectie → ​​ p  ​​ van b ​​ ​​    op → ​​ a  ​​zowel voor scherpe als stompe hoek ​φ​ geldt:

→ → ​​  p ​ = ​(→ ​ a ​    ​ b ​)  ​ ​​ → a  ​​  ​​​ ·

(1.22)

e

→ Op overeenkomstige wijze kan worden afgeleid dat voor de projectie → ​​ p  ​​ van → ​​ a  ​​ op b  ​​  ​​   geldt: → → → → → ​​  p ​ = ​(→ ​ a ​  · ​​ b  ​​ e​​)​ ​​ b  ​​ e​​​, waarbij ​​​ b  ​​ e​​ = ___ ​  1→   ​​ b ​​   

| |

(1.23)

​   ​ b ​    ​

Opmerking → → Uit → ​​ a ​  · ​ b ​  = ​  | ​ → a ​  | ​​   ​ b ​    ​cos  φ​(formule (1.20)) volgt dat voor een scherpe hoek → ​​ a  ​​vermenigvuldigd met de lengte van de ​φ​, → ​​ a ​  · ​ b ​​ gelijk is aan de lengte van → → → projectie van b ​​ ​​   op ​​ a . ​​ Eveneens geldt natuurlijk dat, voor een scherpe hoek​ → → → φ​, ​​ a ​  · ​ b ​​ gelijk is aan de lengte van ​​ b ​​ vermenigvuldigd met de lengte van de → projectie van → ​​ a  ​​ op ​​ b ​​. 

| |

Voorbeeld 5

2 1 → → Gegeven → ​​ a  ​= ​ 2​ ​​  ​​ en b ​ ​​   = ​ −  ​  6 ​  ​  ​ ​​. Bepaal de projectie van b ​​ ​​   op → ​​ a  ​​. (0) (2) Oplossing 1 1  → 1__  ​​  ​ ​​  ​​ Er geldt: → ​​​ a  ​​ e​​ = ___ ​  →  ​​  a  ​ = ​ __ 2 ​√   5 ​ (0) ​  | ​ a ​  | ​ → 1 → 10 __  ​  (2 − 12 + 0 )  = − ​ ___ __  ​​. Voor de projectie → zodat → ​​​ a  ​​ e​​  · ​ b ​  = ​ __ ​​ a  ​​ op ​​ b ​​  geldt nu ​​  p ​​ van → √ √ ​    5 ​ ​    5 ​ 1 − 2 → → → 10 1__  ​​  ​ ​​  ​= ​ ​  ​  ​ ​​. __  ​  ⋅ ​ __ ​​  p ​ = ​(→ ​​ a  ​​ e​​  · ​ b ​)   ​ ​​ a  ​​ e​​ = − ​ ___ 2 − 4 √ ​    5 ​ √ ​    5 ​ (0) ( 0 ) Een tekening van de situatie is te zien in figuur 1.12. We zien dat moet gelden ​​ → → b ​  ​   − ​ p   ​ ​ ⊥ → ​ a . ​​ Dit is inderdaad het geval:

(

)

4

1

( 2 ) (0)

→ ​ ​  → ​   − ​ p  ​  2 ​  ​  ​ ​  · ​ 2​ ​​  ​= 4 − 4 + 0 = 0​. (​​ b ​  ) · ​ a  ​ = ​ − 

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 24

30/03/18 09:48


HOOFDSTUK 1

Vectoren

25

Figuur 1.12 b

b–p

p

a

Opgaven bij 1.3 1

2 3 4 5

6

− 1 1 1 → → → Bereken (​​ → ​ a ​  · ​ b ​)  → ​​ c  ​​ en → ​​ a ​​ (b ​  ​   · ​ → c ​ )​​met → ​​ a  ​= ​ ​  2 ​​  ​ ​​, b ​ ​​   = ​ ​ 3 ​ ​​ c  ​= ​ ​  1 ​​  ​ ​​. ​   ​ ​​ en → (− 1) (− 3) (0) 3 2 → → Gegeven de vectoren → ​​ a  ​= ​ ​ − 4 ​  ​  ​ ​​ en b ​ ​​   = ​ ​5​​  ​​. Bepaal de hoek tussen → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​.  (1) (1) → Geef twee vectoren in ​​ℝ​​  4​​, waarvan geen enkel kental nul is en waarvoor geldt a  ​​ →​   · ​ b ​  = 0​. t 4 → Voor welke waarde(n) van t staan de vectoren a  ​​ →​  = ​ 2​  ​  ​​  ​​ en b ​ ​​    = ​ ​t​  ​​  ​​ loodrecht op (1) (4) elkaar? 4 −  1 → Gegeven de vectoren → ​​ a  ​= ​ 2​ ​​  ​​ en b ​ ​​   = ​ ​ 1​   ​ ​​. (2) (− 1) → a Bepaal de hoek tussen → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​.  → → b Bepaal de projectie van → ​​ a  ​​ op ​​ b ​​  en van b ​​ ​​   op → ​​ a  ​​. Een constante kracht van 10 N maakt een hoek van __ ​​ 1  ​ π​rad met de positieve x-as. 6 Onder invloed van deze kracht beweegt een voorwerp in een rechte lijn van het punt​ (1, − 2)​naar het punt ​(4,7)​in het xy-vlak. De eenheid van lengte is meter. Bereken de door de kracht verrichte arbeid.

1.4 Het uitwendig product van twee vectoren 1.4.1 Definitie van het uitwendig product Uitsluitend in ​​ℝ​​  3​​is naast het inwendig product nog een ander product van twee vec→ toren → ​​ a  ​​ en b ​​ ​​   gedefinieerd: het uitwendig product, ook wel uitproduct of vectorproduct → genoemd. Het uitwendig product wordt genoteerd als → ​​ a  ​  × ​ b ​​.  In tegenstelling tot het → inwendig product is het uitwendig product een vector. Het uitwendig product → ​​ a  ​  × ​ b ​​  is als volgt gedefinieerd: → 1 De lengte van → ​​ a  ​  × ​ b ​​ is gelijk aan → → ​​   ​ → a  ​  × ​ b ​    ​ = ​  | ​ → a ​  | ​​   ​ b ​    ​sin  φ​ (1.24)

|

|

| |

→ waarbij ​φ​de hoek is tussen → ​​ a  ​​ en ​​ b ​​.  → → → ​​ a  ​​ en b ​​ ​​  .  De richting van → ​​ a  ​  × ​ b ​​ is volgens de rech2 De vector → ​​ a  ​  × ​ b ​​  staat loodrecht op → terhandregel: wanneer de vingers van de rechterhand over de kleinste hoek draaien → → van → ​​ a  ​​ naar ​​ b ​​,  dan geeft de duim de richting aan van → ​​ a  ​  × ​ b ​​,  zie figuur 1.13.

Toegepaste wiskunde deel 2_5e druk.indb 25

30/03/18 09:48


DEEL 2

W I S K U N D E & S TAT I S T I E K

WISKUNDE

De herziene serie toegepaste wiskunde

Laplacetransformatie en Rijen en

voor het hoger onderwijs is geschikt

reeksen. Ook dit deel bevat veel

voor alle opleidingen waar wiskundige

voorbeelden, waarmee de student

vaardigheden een belangrijke plaats

de theorie leert toe te passen vanuit

innemen, met name in de sector

beschreven contexten (meestal

Techniek, zowel in het hbo als in de

afkomstig uit de techniek), met veel

technische universiteiten. De nadruk

opgaven en leeropdrachten.

ligt op het trainen van wiskundige

Elk hoofdstuk bevat een aantal

vaardigheden. De student past de

Maple-voorbeelden en vraagstukken,

wiskundige vaardigheden ook toe in

die overigens ook met een ander

praktische situaties.

computeralgebrasysteem te maken

De serie is tot stand gekomen op basis

zijn. De toepassing van Maple is zoveel

van de volgende indeling:

mogelijk geïntegreerd met de theorie en

  Deel Inleiding: behandelt het

de voorbeelden.

basisniveau wiskunde; tevens

De auteurs gaan ervan uit dat de student

geschikt voor het wegwerken van een

voor de onderwerpen in dit boek vaker

wiskundedeficiëntie.

de computer zal gebruiken dan in deel 1

  Deel 1: behandelt (vrijwel) de gehele

van de serie. Er is voldoende aandacht

propedeusewiskunde van het technisch

besteed aan de theoretische concepten,

hbo.

opdat de student de computer (of de

  Deel 2: is vooral bedoeld voor

grafische rekenmachine) niet als black-

het wiskundeonderwijs ná de

box hoeft te gebruiken, maar weet wat

hbo-propedeuse. Bij technische

hij/zij doet.

universiteiten zal deze stof nog wel tot de propedeuse behoren.

Op de website www.thiememeulenhoff. nl/wiskunde zijn de uitwerkingen van de

Dit deel 2 bevat de hoofdstukken

vraagstukken uit de herhalingsopgaven

Vectoren, Complexe getallen, Matrices

te vinden.

en determinanten, Functies van twee

Deel 2 is een onmisbaar hulpmiddel

of meer variabelen, Meervoudige

voor iedere student in de sector

integralen, bol- en cilindercoördinaten,

Techniek, die de technische wiskunde

Differentiaalvergelijkingen, De

wil leren begrijpen en toepassen.

Toegepaste Wiskunde voor het hoger onderwijs | Deel 2

TO E G E PA S T E W I S K U N D E VO O R H E T H O G E R O N D E R W I J S | D E E L 2

Toegepaste ­Wiskunde

5e druk

VOOR HET HOGER ­ ONDERWIJS

Jan Blankespoor Kees de Joode HOGER ONDERWIJS

9006310856_omslag.indd 1

9 789006 310856

Aad Sluijter

5/04/18 15:15

Toegepaste wiskunde deel 2 5e druk  

De herziene serie toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs is geschikt voor alle opleidingen waar wiskundige vaardigheden een belangrijk...

Toegepaste wiskunde deel 2 5e druk  

De herziene serie toegepaste wiskunde voor het hoger onderwijs is geschikt voor alle opleidingen waar wiskundige vaardigheden een belangrijk...