Matematika-ucebnica-7.1.-rocnik-ZS

Page 1

Soňa Čeretková, Ondrej Šedivý, Ivan Teplička

matematika

pre 7. ročník základnej školy a 2. ročník gymnázia s osemročným štúdiom 1. č as ť

Slovenské pedagogické nakladateľstvo

7

Milí siedmaci,

vitajte po prázdninách opäť v škole. Veríme, že ste si oddýchli a načerpali veľa síl do nového školského roka. Pri mnohých prázdninových aktivitách si určite niektorí z vás uvedomili dôležitosť matematických vedomostí, ktoré ste už v škole získali. Mnohí ste cestovali autom a všímali si dopravné značky, ktoré oznamovali počet kilometrov do cieľového miesta. Možno ste rodičom pomáhali spočítať náklady na pohonné hmoty či celkové náklady na dovolenku. Pri cestovaní vlakom alebo autobusom ste museli prísť v danú hodinu odchodu na stanicu, zakúpiť si cestovný lístok, prípadne zistiť, či je možné využiť nejakú zľavu na cestovnom. Ak ste cestovali lietadlom, vypočítať si časovú rezervu na absolvovanie všetkých potrebných úkonov na letisku pred odletom je tiež dôležitý prvok matematickej gramotnosti cestujúceho. Možno ste si museli meniť na hodinkách či v mobile čas, ak ste prileteli do iného časového pásma. Výsledky každého i rekreačného športu sa vždy vyjadrujú v číslach. Niektorí z vás iste používajú aplikácie v mobilnom telefóne alebo hodinkách na meranie fyzických aktivít a dokážu si porovnať svoje výkony a porozumieť jednoduchým štatistickým výsledkom, ktoré tieto aplikácie poskytujú.

Na hodinách matematiky v siedmom ročníku si prehĺbite svoje vedomosti z matematiky, naučíte sa veľa nových poznatkov. Získate nové zručnosti v riešení úloh a znovu sa presvedčíte, že matematické znalosti sú navzájom prepojené, dopĺňajú sa a rozširujú tak, aby sme svetu okolo seba lepšie rozumeli. Zopakujete si poznatky o prirodzených a desatinných číslach v desiatkovej číselnej sústave či aritmetické operácie. Pohľad na násobenie a delenie prirodzených čísel si rozšírite o významné pojmy zo základov deliteľnosti. Najrozsiahlejšia kapitola v učebnici je kapitola o zlomkoch. Zvládnete všetky predpísané zručnosti počítania so zlomkami a zistíte, ako ich môžete v každodennom živote vhodne využívať. Nové vedomosti z kapitoly o pomere sú tiež priamo prepojené s bežným životom, a to nielen v schopnosti správne čítať turistické mapy. Vypracovaním testov na konci každej kapitoly si overíte nadobudnuté vedomosti. Želáme vám veľa trpezlivosti, vytrvalosti a dobrú náladu pri študovaní matematických problémov a príkladov a najmä úspechy pri samostatnom riešení úloh a cvičení.

Autori

Pri orientácii v učebnici vám budú pomáhať tieto symboly: – príklad s riešením

– problém s riešením

– zapamätať si – zhrnutie alebo vysvetlenie

– úloha

– poznámka

Autori © doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD., prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc., Ivan Teplička

Recenzenti: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc., Ing. Mgr. Martin Hriňák, PaedDr. Monika Bučíková

Ilustrovali: akademická maliarka Táňa Žitňanová, obálku navrhol Ing. Zsolt Urbán

Grafický dizajn © SPN – Mladé letá, s. r. o.

Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky schválilo pod č. 2022/17394:8-A2201 súbor edukačných publikácií Matematika pre 7. ročník základnej školy a 2. ročník gymnázia s osemročným štúdiom – 1. a 2. časť. Doložka nadobúda účinnosť 30. septembra 2022 a má platnosť do 31. augusta 2026.

Tretie vydanie, 2024

Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.

Zodpovedná redaktorka RNDr. Judita Hollá

Odborná redaktorka RNDr. Jana Belasová

Technická redaktorka Ivana Bronišová

Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, 811 08 Bratislava

Vytlačili TBB, a. s., Banská Bystrica

ISBN 978-80-10-04329-3

Obsah 1 OPAKOVANIE ............................................................................................................................... 4 1.1 Prirodzené čísla a počtové výkony s nimi .............................................................................. 4 1.2 Deliteľnosť, deliteľ, násobok, spoločný deliteľ, spoločný násobok ......................................... 6 1.3 Desatinné čísla a počtové výkony s nimi ............................................................................. 10 1.4 Usporiadanie prirodzených a desatinných čísel. Číselná os ................................................. 13 TEST 1 .......................................................................................................................................... 14 2 ZLOMKY. POČTOVÉ VÝKONY SO ZLOMKAMI. RACIONÁLNE ČÍSLA ........................... 16
Zlomky ................................................................................................................................. 16 2.2 Znázorňovanie zlomkov na číselnej osi ............................................................................... 19 2.3 Rozširovanie a krátenie zlomkov ......................................................................................... 21 2.4 Porovnávanie zlomkov ......................................................................................................... 25 2.5 Sčitovanie zlomkov .............................................................................................................. 28 2.6 Odčitovanie zlomkov ........................................................................................................... 31 2.7 Násobenie zlomkov .............................................................................................................. 34 2.8 Delenie zlomkov .................................................................................................................. 38 2.9 Zložené zlomky .................................................................................................................... 40 2.10 Zmiešané čísla ..................................................................................................................... 42 2.11 Desatinné zlomky a desatinné čísla .................................................................................... 46 2.12 Periodické čísla, racionálne čísla ......................................................................................... 48 2.13 Počtové výkony s racionálnymi číslami .............................................................................. 51 2.14 Kladné a záporné čísla ......................................................................................................... 56 TEST 2 .......................................................................................................................................... 58 3 POMER, PRIAMA A NEPRIAMA ÚMERNOSŤ ....................................................................... 60 3.1 Pomer ................................................................................................................................... 60 3.2 Rozdeľovanie v danom pomere ........................................................................................... 63 3.3 Zmeniť číslo v danom pomere ............................................................................................. 66
Rozširovanie a krátenie pomerov, rovnosť pomerov ........................................................... 68 3.5 Postupný pomer ................................................................................................................... 71 3.6 Mierka mapy, plánu a technického výkresu ......................................................................... 74 3.7 Priama úmernosť .................................................................................................................. 78 3.8 Nepriama úmernosť .............................................................................................................. 82 3.9 Zložená trojčlenka ........... 85 TEST 3 .......................................................................................................................................... 88 VÝSLEDKY ...................................................................................................................................... 90
2.1
3.4

1 Opakovanie

1.1

Prirodzené čísla a počtové výkony s nimi

ZOPAKUJME SI

Prirodzené čísla sú čísla 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Prirodzené čísla v desiatkovej číselnej sústave zapisujeme pomocou číslic (cifier) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. V desiatkovej číselnej sústave majú prirodzené čísla číslicový zápis a rozvinutý zápis, napr.: 8 365 = 8 . 1 000 + 3 . 100 + 6 .10 + 5 . 1

Súčet všetkých číslic prirodzeného čísla nazývame ciferný súčet Napríklad číslo 542 123 má ciferný súčet 5 + 4 + 2 + 1 + 2 + 3 = 17.

ÚLOHA

Prečítajte čísla a určte počet jednotiek, desiatok, stoviek atď. a) 789 b) 59 847 c) 5 324 754 d) 2 560 e) 102 306 f) 12 569 487

ÚLOHA

Zoraďte jednotlivé súčiny v daných súčtoch od najväčšieho po najmenší. Potom číslo zapíšte číslicovým zápisom:

a) 3 · 10 + 6 · 1 000 + 9 · 100 + 5 · 10 000 + 2 · 1 b) 4 · 100 + 7 · 10 + 3 · 1 000 + 2 · 10 000 c) 1 · 10 + 1 · 100 + 5 · 10 000 + 4 · 1 + 7 · 1 000 d) 2 · 1 + 3 · 100 + 4 · 10 + 5 · 1 000 + 6 · 10 000

ÚLOHA

Určte ciferný súčet čísel: a) 235 b) 4 822 c) 11 036 d) 2 569 127

Sčitovanie prirodzených čísel

7 315 + 592 = 7 907 sčítanec sčítanec súčet

Vlastnosti sčitovania prirodzených čísel:

1. Súčet sa nezmení, ak poradie sčítancov zameníme (sčitovanie je komutatívne):

a + b = b + a

2. Súčet sa nezmení, ak sčítance združíme (sčitovanie je asociatívne):

a + (b + c) = (a + b) + c

Odčitovanie prirodzených čísel

7 315 – 592 = 6 723 menšenec menšiteľ rozdiel

Odčitovanie nie je komutatívne, ak zameníme menšenca a menšiteľa, rozdiel

sa môže zmeniť.

ÚLOHA

Vypočítajte písomne:

a) 128 + 55 c) 569 – 324 e) 4 568 – 2 324

b) 36 + 633 + 64 d) 1 653 – 481 f) 13 + 212 + 87 + 288

4

ÚLOHA

Vypočítajte.

a) Súčet dvoch čísel je 524. Jedného sčítanca zväčšíme o 103. Vypočítajte nový súčet.

b) Jeden sčítanec je 576. Súčet je o 852 väčší.

Určte druhého sčítanca a súčet.

c) Ako sa zmení súčet, ak jedného sčítanca zväčšíme o 105 a druhého zmenšíme o 58?

d) Rozdiel dvoch čísel je 102, menšenec je 257.

Aký je menšiteľ?

e) Rozdiel dvoch čísel je 1 000, menšiteľ je 546.

Aký je menšenec?

= 524

Násobenie prirodzených čísel 12 · 8 = 96 činiteľ činiteľ súčin

Vlastnosti násobenia prirodzených čísel:

1. Súčin sa nezmení, ak poradie činiteľov zameníme (násobenie je komutatívne): a · b = b · a

2. Súčin sa nezmení, ak činitele združíme (násobenie je asociatívne): a · (b · c) = (a · b) · c

3. Ak násobíme súčet dvoch čísel tretím číslom, platí: a · (b + c) = a · b + a · c

Delenie prirodzených čísel bez zvyšku 518 : 14 = 37 delenec deliteľ podiel so zvyškom 1 668 : 23 = 72 12 delenec deliteľ neúplný zvyšok podiel

ÚLOHA

Vynásobte spamäti: a) 8 · 4 c) 7 · 8 e) 5 · 9 g) 7 · 8 b) 6 · 9 d)

ÚLOHA

ÚLOHA

Vydeľte spamäti:

ÚLOHA

Vydeľte písomne:

ÚLOHA

:

:

Vydeľte písomne a určte neúplný podiel a zvyšok: a) 841 : 4 c) 1 586 : 3

b) 527 : 7 d) 7 321 : 8

5
6 · 7 f) 10 · 5 h) 9 · 7
e) 58
47
45 f) 350
18 h)
Vynásobte písomne: a) 128 · 2 c) 20 · 15
·
g) 256 · 25 b) 521 · 7 d) 32 ·
·
294 · 99
72
8 h)
7
a) 24
3 c) 40 : 4 e) 56 : 8 g) 48 : 6 b) 27 : 9 d) 30 : 5 f)
:
49 :
a) 345
5 c) 1 085 : 7 e) 2 400 : 25 g) 5 313 : 69 b) 522 : 6 d) 3 321 : 9 f) 8 586 : 54 h) 12 306 : 14
260
25 g) 5 338
63
f) 9 586
58 h) 10 306
75
e) 4
:
:
:
:

CVI Č ENIA

a) 2 · 10 + 7 · 1 000 + 8 · 100 + 3 · 10 000 + 2 · 1

b) 5 · 100 + 4 · 10 + 3 · 1 000 + 1 · 10 000

c) 2 · 10 + 6 · 100 + 8 · 10 000 + 3 · 1 + 9 · 1 000

d) 2 · 1 + 5 · 100 + 2 · 10 + 7 · 1 000 + 3 · 10 000

1. Zoraďte jednotlivé súčiny v daných súčtoch od najväčšieho po najmenší. Potom číslo zapíšte číslicovým zápisom:

2. Napíšte číslo, ktoré má: a) 7 tisícok, 9 stoviek, 2 desiatky a 6 jednotiek, b) 15 tisícok, 7 stoviek, 6 desiatok a 12 jednotiek. c) 15 tisícok, 8 stoviek, 12 desiatok a 13 jednotiek.

3. Vypočítajte: a) Súčet dvoch čísel je 743. Jedného sčítanca zväčšíme o 111. Vypočítajte nový súčet. b) Jeden sčítanec je 359. Súčet je o 205 väčší. Určte druhého sčítanca a súčet. c) Ako sa zmení súčet, ak jedného sčítanca zväčšíme o 99 a druhého zmenšíme o 55? d) Rozdiel dvoch čísel je 123, menšenec je 321. Aký je menšiteľ? e) Rozdiel dvoch čísel je 1 010, menšiteľ je 505. Aký je menšenec?

4. Presvedčte sa, že platí:

a) 8 · (10 + 15) = 8 · 10 + 8 · 15 c) (11 + 55) · 22 = 11 · 22 + 55 · 22 b) 10 · 5 + 10 · 30 = 10 · (5 + 30) d) 9 · (105 – 43) = 9 · 105 – 9 · 43 (Výraz v zátvorke má vždy prednosť. Násobenie má prednosť pred sčítaním a odčítaním, ak je zápis výpočtu bez zátvorky.)

5. Vypočítajte číslo: a) 25-krát väčšie ako číslo 63, b) ktoré keď zväčšíme 8-krát, dostaneme taký istý výsledok, ako keď číslo 512 zväčšíme 6-krát, c) štyrikrát menšie ako číslo 504, d) ktorého 15-násobok je číslo 270, e) ktoré keď zmenšíme 7-krát, dostaneme taký istý výsledok, ako keď číslo 2 814 zmenšíme 6-krát.

6. Ktoré prirodzené čísla väčšie ako 40 a menšie ako 80 dávajú pri delení deviatimi zvyšok 5 a zároveň pri delení štyrmi zvyšok 1?

7. Vypočítajte 1 476 : 4. Ktorým číslom treba nahradiť číslo 1 476, aby výsledok bol: a) o 8 väčší, b) o 10 menší?

1.2 Deliteľnosť, deliteľ, násobok, spoločný deliteľ, spoločný násobok

ledok bol:

Deliteľ, násobok Ak sa prirodzené číslo n dá napísať ako súčin dvoch prirodzených čísel, teda n = a b, tak každé z čísel a, b je deliteľom čísla n Číslo n je násobkom každého z čísel a, b Napríklad pre číslo 24 platí: 24 = 3 . 8. To znamená, že čísla 3 a 8 sú delitele čísla 24, číslo 24 je násobkom každého z čísel 3 a 8.

Jediným deliteľom čísla 1 je číslo 1. Každé prirodzené číslo a  1 má aspoň dvoch deliteľov: číslo 1 a číslo a. Tieto delitele sa nazývajú samozrejmé delitele

ÚLOHA

a) Nájdite päť deliteľov čísla 60.

b) Nájdite štyri delitele čísla 60, ktoré sú väčšie ako 10.

6

ÚLOHA

Nájdite všetky delitele čísel: a) 15 b) 17 c) 36 d) 48

Kritériá deliteľnosti

1. Prirodzené číslo je deliteľné dvomi práve vtedy, keď má na mieste jednotiek niektorú z číslic 0, 2, 4, 6, 8.

2. Prirodzené číslo je deliteľné tromi práve vtedy, keď jeho ciferný súčet je deliteľný tromi.

3. Prirodzené číslo je deliteľné štyrmi práve vtedy, keď jeho posledné dvojčíslie je deliteľné štyrmi.

4. Prirodzené číslo je deliteľné piatimi práve vtedy, keď má na mieste jednotiek niektorú z číslic 0, 5.

5. Prirodzené číslo je deliteľné šiestimi práve vtedy, keď je deliteľné dvomi aj tromi.

6. Prirodzené číslo je deliteľné ôsmimi práve vtedy, keď jeho posledné trojčíslie je deliteľné ôsmimi.

7. Prirodzené číslo je deliteľné deviatimi práve vtedy, keď jeho ciferný súčet je deliteľný deviatimi.

8. Prirodzené číslo je deliteľné desiatimi práve vtedy, keď má na mieste jednotiek číslicu 0.

ÚLOHA

Napíšte všetky čísla deliteľné dvomi, ktoré sú väčšie ako 32 a menšie ako 41.

ÚLOHA

Ktoré z čísel 115, 132, 230, 736 sú deliteľné štyrmi?

ÚLOHA

Ktorou číslicou môžeme v nasledujúcich číslach nahradiť písmeno X, aby vzniknuté trojciferné číslo bolo deliteľné štyrmi?

Nájdite všetky možnosti. a) 35X b) 24X c) 5X4 d) 5X2

ÚLOHA

Ktoré z čísel 27, 76, 153, 237, 831, 1 124 sú deliteľné tromi?

ÚLOHA

Prirodzené čísla väčšie ako 1, ktoré majú práve dva rôzne delitele, číslo 1 a samo seba, sa nazývajú prvočísla Prvočísla sú napríklad 2, 3, 5, 7, 11 atď.

Prirodzené čísla väčšie ako 1, ktoré majú viac ako dva rôzne delitele, sa nazývajú zložené čísla

Zložené čísla sú napríklad 4, 6, 8, 9, 10, 12 atď.

Čísla 0 a 1 nie sú ani prvočísla, ani zložené čísla.

3 2 0 1 4 6 5 7 8 9

Napíšte všetky štvorciferné čísla, ktoré vzniknú zámenou poradia číslic v čísle 6 102 a sú deliteľné tromi aj štyrmi.

Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 sa dá jediným spôsobom, až na poradie činiteľov, vyjadriť ako súčin prvočísel Prvočísla v takomto zápise sa nazývajú prvočinitele

7

PRÍKLAD

Rozložte na súčin prvočísel čísla 12, 24, 30.

RIEŠENIE

Anka aj Boris postupovali takto:

Anka Boris

ÚLOHA

Aj keď Anka a Boris postupovali pri riešení rôzne, vždy dostali rovnaký výsledok. Anka po chvíli premýšľania navrhla takýto spôsob zápisu rozkladu na súčin prvočiniteľov:

Rozložte na súčin prvočísel čísla: a) 48 b) 84 c) 140 d) 252 e) 300 f) 450

Najväčší spoločný deliteľ Ak dve prirodzené čísla majú toho istého deliteľa, je to ich spoločný deliteľ. Každé dve prirodzené čísla majú aspoň jedného spoločného deliteľa, je to číslo 1. Čísla 8 a 9 majú jediného spoločného deliteľa číslo 1. Prirodzené čísla, ktoré nemajú okrem čísla 1 žiadneho ďalšieho spoločného deliteľa, sa nazývajú nesúdeliteľné. Čísla 18 a 24 majú spoločných deliteľov 1, 2, 3, 6. Prirodzené čísla, ktoré majú okrem čísla 1 aspoň jedného ďalšieho spoločného deliteľa, sa nazývajú súdeliteľné Zo všetkých spoločných deliteľov dvoch prirodzených čísel a, b je vždy jeden najväčší, nazýva sa najväčší spoločný deliteľ a označuje sa D(a, b), napríklad D(18, 24) = 6.

PRÍKLAD

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 36 a 48.

RIEŠENIE

Jakub rieši tak, že nájde všetky delitele čísel 36 a 48, potom zo spoločných deliteľov vyberie najväčšieho.

Delitele čísla 36 sú: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9, 12 , 18, 36.

Delitele čísla 48 sú: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8, 12 , 16, 24, 48.

Spoločné delitele sú 1, 2, 3, 4, 6, 12, najväčší z nich je 12, je to ich najväčší spoločný deliteľ, zapíšeme: D(36, 48) = 12.

Ema rieši iným spôsobom. Rozloží čísla 36 a 48 na prvočinitele. Najväčší spoločný deliteľ bude súčinom prvočiniteľov, ktoré sa nachádzajú v rozkladoch obidvoch čísel:

36 = 2 2 3 3

48 = 2 2 2 2 3

D(36, 48) = 2 2 3 = 12

ÚLOHA

Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel: a) 6, 10 c) 15, 18 e) 12, 13 g) 8, 28 b) 8, 12 d) 21, 35 f) 7, 8 h) 22, 33

8
12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3 12 = 3 · 4 = 3 · 2 · 2 = 2 · 2 · 3 24 = 2 · 12 = 2 · 2 · 6 = 2 · 2 · 2 · 3 24 = 3 · 8 = 3 · 2 · 4 = 3 · 2 · 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 3 30
·
2 · 3 · 5 30 = 5 · 6 = 5 · 2 · 3 = 2 · 3 · 5
= 2
15 =
301551 235 30
= 2 · 3 · 5
A sl n

ÚLOHA

Rozložte na súčin prvočísel a nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel: a) 16, 106 c) 27, 84 e) 800, 280 g) 148, 494 b) 32, 52 d) 56, 217 f) 705, 906 h) 305, 725

PRÍKLAD

Samo pomáha starej mame ukladať fotografie do albumu. Zistil, že ak na každú stranu albumu uloží šesť fotografií, žiadna fotografia nezvýši. Ak na každú stranu uloží osem fotografií, tiež žiadna fotografia nezvýši. Najmenej koľko fotografií ukladajú Samo so starou mamou do albumu?

RIEŠENIE

Samo uvažuje:

Ak na každú stranu uložíme 6 fotografií, počet všetkých musí byť násobok čísla 6.

Ak na každú stranu uložíme 8 fotografií, počet všetkých musí byť násobok čísla 8.

Teda počet fotografií bude spoločným násobkom čísel 6 a 8.

Napíšeme násobky čísla 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, ...

Napíšeme násobky čísla 8: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, ...

Spoločné násobky čísel 6 a 8, ktoré sú rôzne od nuly, sú čísla: 24, 48, 72, ...

Stará mama môže mať 24, 48, 72, 96, 120, ... fotografií.

Odpoveď: Najmenší počet fotografií je 24. Je to najmenší spoločný násobok čísel 6 a 8.

Najmenší spoločný násobok

Ak dve prirodzené čísla majú ten istý násobok, je to ich spoločný násobok.

Napríklad čísla 12 a 18 majú spoločné násobky 36, 72, 108, 144 atď.

Každé dve prirodzené čísla majú nekonečne veľa spoločných násobkov.

Najmenší z nich, rôzny od nuly, sa nazýva najmenší spoločný násobok daných čísel.

PRÍKLAD

Nájdite najmenší spoločný násobok čísel 72 a 108.

RIEŠENIE

Ema a Jakub riešia príklad každý iným spôsobom.

Jakub píše násobky čísel 72 a 108: 72 144 216 288 360 432 504

Spoločné násobky sú: 216, 432, 648, 864, 1 080, ...

Najmenší z nich je 216, je to ich najmenší spoločný násobok.

Zapíšeme: n(72, 108) = 216.

Ema použije rozklad čísla na súčin prvočiniteľov. 72 = 2 ·

Najmenší spoločný násobok čísel 72 a 108 je násobok každého z daných čísel, preto musí byť súčinom všetkých prvočiniteľov, ktoré sa nachádzajú aspoň v jednom z daných čísel.

Najmenší spoločný násobok čísel 72 a 108 obsahuje prvočísla 2 a 3. Prvočíslo 2 bude obsahovať trikrát, pretože sa trikrát nachádza v rozklade čísla 72 a prvočíslo 3 tiež trikrát, pretože sa trikrát nachádza v rozklade čísla 108. Teda n (72, 108) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 216.

ÚLOHA

Vypíšte niekoľko násobkov daných čísel a určte ich najmenší spoločný násobok: a) 8, 12 c) 6, 15 e) 12, 16 g) 14, 21 b) 6, 9 d) 4, 9 f) 15, 18 h) 12, 18

9
576 648 720 792 864 108 216 324 432 540 648 756 864 972 1 080 1 188 1 296 ...
· 2 · 3 ·
· 3 ·
·
2
3 108 = 2 · 2
3
3

ÚLOHA

CVI Č ENIA

Rozložte na súčin prvočiniteľov a nájdite najmenší spoločný násobok čísel: a) 28, 42 b) 26, 39 c) 42, 49 d) 25, 60 e) 18, 126

12

1. Vyberte z čísel 12, 17, 21, 26, 28, 30, 50, 63, 231, 240, 364 tie, ktoré sú deliteľné číslom: a) 2 c) 5 e) 5 aj 6 g) 7 aj 11 b) 3 d) 9 f) 3 aj 8 h) 4 aj 13

2. Ktorými jednocifernými prirodzenými číslami môžeme deliť čísla: a) 4 050, b) 5 040, c) 2 880, d) 5 292, e) 6 561?

3. Nájdite všetky delitele čísel: a) 102 b) 105 c) 168 d) 180 e) 210 f) 315

4. Rozložte na súčin prvočiniteľov a nájdite najväčšieho spoločného deliteľa a najmenší spoločný násobok čísel: a) 16 a 20 b) 12 a 15 c) 135 a 315 d) 105 a 441

5. Nájdite najmenší spoločný násobok čísel 6, 8 a 10.

6. Nájdite najmenšie a najväčšie trojciferné číslo, ktoré je spoločným násobkom čísel 2 a 3.

7. Napíšte všetky štvorciferné čísla, ktoré sa skladajú iba z číslic 2 a 3 a sú deliteľné šiestimi, pričom každá z číslic 2 a 3 sa v čísle nachádza aspoň raz.

1.3 Desatinné čísla a počtové výkony s nimi

Desatinné čísla

Čísla, ktoré obsahujú desatinnú čiarku a za desatinnou čiarkou majú konečný počet číslic, sa nazývajú desatinné čísla

Číslice pred desatinnou čiarkou tvoria celú časť desatinného čísla, číslice za desatinnou čiarkou tvoria desatinnú časť desatinného čísla.

52 , 372

celá desatinná desatinná časť čiarka časť

Sčitovanie desatinných čísel

2,3 + 45,02 = 47,32 sčítanec sčítanec súčet

1. Sčítance zapíšeme pod seba tak, aby boli pod sebou číslice rovnakých rádov. Desatinné čiarky sú vždy pod sebou.

2. Sčítame ich ako prirodzené čísla.

3. V súčte napíšeme desatinnú čiarku pod desatinné čiarky sčítancov.

10

ÚLOHA

Sčítajte písomne: a) 5,2 + 1,12 c) 9,147 + 0,105 e) 145,231 + 12,8 b) 20,5 + 11,34 d) 4,03 + 0,268 f) 2,5 + 2,6 + 2,7

Odčitovanie desatinných čísel

42,8 – 20,5 = 22,3 menšenec menšiteľ rozdiel

1. Menšiteľa zapíšeme pod menšenca tak, aby boli číslice rovnakých rádov pod sebou. Desatinné čiarky sú vždy pod sebou.

2. Menšenca aj menšiteľa upravíme na rovnaký počet desatinných miest dopísaním núl.

3. Desatinné čísla odčítame ako prirodzené čísla.

4. V rozdiele napíšeme desatinnú čiarku pod desatinné čiarky menšenca a menšiteľa.

ÚLOHA

Odčítajte písomne: a) 1,5 – 0,8 c) 12,07 – 10,22 e) 5,635 – 0,002 b) 14,79 – 3,15 d) 10 – 6,5 f) 14,05 – 0,004

Násobenie desatinných čísel

Desatinné čísla násobíme rovnako ako prirodzené čísla, ale v súčine oddelíme sprava toľko desatinných miest, koľko ich majú obidva činitele spolu. Ak je to potrebné, dopíšeme do súčinu nuly.

4 · 3 = 12

4 · 0,3 = 1,2 0,4 · 0,3 = 0,12 0,04 · 0,3 = 0,012

0,04 · 0,03 = 0,001 2

ÚLOHA

Vypočítajte spamäti:

·

ÚLOHA

Vynásobte písomne: a) 15 · 0,4 c) 8,6 · 0,8 e) 0,16 · 0,3 b) 2,7 · 9 d) 3,5 · 0,6 f) 0,58 · 0,07

ÚLOHA

Menšie prirodzené číslo delíme väčším

Za delenca dopíšeme desatinnú čiarku a za ňu potrebný počet núl. Podiel je desatinné číslo tvaru 0, ..., napríklad: 3 : 5 = 0,6 7 : 8 = 0,875

Vydeľte písomne: a) 3 : 8

3 : 4

5 : 8

4 : 5 b) 3 : 6

Delenie desatinného čísla prirodzeným číslom

4 : 8

Po vydelení celej časti desatinného čísla napíšeme do podielu desatinnú čiarku a desatinnú časť delíme ďalej ako prirodzené číslo. Napríklad: 2,8 : 4 = 0,7 5,25 : 5 = 1,05

11
5
0,3 2,3 · 100 6 · 0,3 2 · 0,8 3,5 · 10 20 · 0,1 8 · 0,1 0,1 · 100 10 · 0,6 6 · 0,5 0,3 · 40 4 · 2,5
c)
e)
d)
f)

ÚLOHA

Vydeľte písomne:

a) 4,9 : 7 c) 28,8 : 2 e) 1,3 : 4 g) 10,25 : 25

b) 5,4 : 6 d) 40,5 : 6 f) 2,5 : 8 h) 291,89 : 17

Delenie prirodzeného alebo desatinného čísla desatinným číslom

Delenie upravíme tak, aby deliteľ bol prirodzené číslo: delenca aj deliteľa vynásobíme niektorým z čísel 10, 100, 1 000 atď. Tak odstránime z deliteľa desatinnú čiarku. Napríklad: 6 : 0,5 ... delenca aj deliteľa násobíme číslom 10 ... 60 : 5 = 12, teda aj 6 : 0,5 = 12 3 : 0,15 delenca aj deliteľa násobíme číslom 100 300 : 15 = 20, teda aj 3 : 0,15 = 20

ÚLOHA

Vydeľte na dve desatinné miesta: a) 3 : 0,7 c) 41 : 0,6 e) 85 : 3,7 g) 174 : 2,8 b) 32 : 0,9 d) 85 : 2,5 f) 72 : 1,2 h) 168 : 1,8

ÚLOHA

CVI Č ENIA

2. Vypočítajte:

Vydeľte na tri desatinné miesta: a) 1,4 : 0,3 c) 5,133 : 0,32 e) 6,85 : 57,1 g) 9,596 : 1,91 b) 0,29 : 0,6 d) 2,041 : 0,79 f) 0,861 : 0,23 h) 13,077 : 10,97

,077 : 10,97

1. Vypočítajte: a) 28,35 + 0,006 c) 0,213 + 68,25 e) 6,18 – 0,13 g) 18,05 – 1,805 b) 85,1 + 1,365 d) 1,111 + 111,1 f) 64,2 – 58,3 h) 222,2 – 22,22

a) 0,07 · 10 c) 21,7 · 0,7 e) 5,28 · 0,1 g) 78,05 · 1,25 b) 85,12 · 20 d) 11,1 · 2,5 f) 3,33 · 4,4 h) 222,2 · 3,33

3. Vydeľte písomne: a) 0,5 : 10 c) 9,1 : 7 e) 5,28 : 0,1 g) 7,75 : 1,25 b) 85,12 : 2 d) 18,4 : 8 f) 86,8 : 1,4 h) 76,23 : 0,99

4. Vydeľte na dve desatinné miesta:

a) 6,15 : 1,3 c) 5,16 : 7,2 e) 6,83 : 0,13 g) 0,75 : 0,092

b) 5,22 : 2,4 d) 8,44 : 8,22 f) 25,09 : 3,6 h) 26,033 : 3,919

5. Vypočítajte v centimetroch obvod obdĺžnika, ktorého strany majú dĺžky: a) a = 3,2 cm; b = 5,6 cm

b) a = 0,23 dm; b = 1,02 dm

6. Vypočítajte v centimetroch dĺžku strany štvorca, ktorého obvod je:

a) o = 74 cm

b) o = 25,2 dm

c) o = 123,4 m

7. Vypočítajte súčet troch čísel: prvé číslo je 0,25; druhé je o 10,15 od neho väčšie a tretie je 0,3-krát väčšie ako druhé.

8. Dvanásť rovnakých kníh pre najlepších žiakov stálo spolu 124,20 € Koľko stála jedna kniha? 26,033 : 3,919 :

12

1.4 Usporiadanie prirodzených a desatinných čísel. Číselná os

Číselná os je priamka, na ktorej zobrazujeme čísla. Obrazmi čísel sú body ležiace na číslenej osi. Začiatok číselnej osi je číslo 0. Bod, ktorý je obrazom menšieho čísla, leží bližšie k začiatku ako bod, ktorý patrí väčšiemu číslu.

počítame od nuly po jednotkách

počítame od nuly po desiatkach

počítame od nuly po stovkách

počítame od nuly, pripočítavame číslo 0,5

počítame od nuly, pripočítavame číslo 0,2

ÚLOHA

Prekreslite si číselnú os do zošita a dopíšte chýbajúce čísla. a)

b)

c)

d)

CVI Č ENIA

1. Nakreslite si číselnú os a vyznačte prvých desať čísel, ak: a) počítame od nuly, pripočítavame číslo 5; b) počítame od nuly, pripočítavame číslo 0,4.

2. Ktoré čísla predstavujú písmenká na číselnej osi?

3. Vyznačte na číselnej osi prirodzené čísla, ktoré sú: a) väčšie ako 231 a menšie ako 245, b) menšie ako 501 a väčšie ako 497.

4. Porovnajte dvojice čísel pomocou číselnej osi:

13
a) 4,251 a 4,521 c) 10,185 a 10,811 b) 0,385 a 0,835 d) 19,149 a 18,991
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,7 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11 11,5 12
0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5 5,2 5,4 5,6 5,8 6
0 5 11 0 50 125 0 0,1 0,7 1,2 1,7 0 0,25 1 3 5 5 6 7 8 A B C D E
0 1 2 3
0

1. Napíšte v číslicovom zápise číslo:

6 · 100 000 + 3 · 1 000 + 5 · 100 + 6 · 10 + 1

2. Napíšte číslo 151 ako súčet dvoch za sebou idúcich prirodzených čísel.

Číslicový zápis je:

Súčet je:

3. Napíšte najmenšie trojciferné číslo, ktoré má tri rôzne číslice a ich súčet je 18.

Hľadané číslo je:

4. Rozdiel dvoch čísel je 1 874, menšenec je 2 135. Aký je menšiteľ?

Menšiteľ je:

5. K číslu 5 687 pripočítajte trojnásobok čísla 924.

Výsledok je:

6. Od čísla 30,56 odčítajte 6-násobok čísla 2,7.

Výsledok je:

7. Skontrolujte výpočty a opravte prípadné chyby. Do tabuľky napíšte správne výsledky.

8. Napíšte všetky delitele čísla 100.

Všetky delitele čísla 100 sú:

9. Napíšte najväčšie dvojciferné číslo, ktoré po delení číslom 11 dá zvyšok 10.

Hľadané číslo je:

10. Rozložte na súčin prvočiniteľov číslo 462.

462 =

14
217,103 + 248,959 = 466,092450,045 – 27,72 = 422,73 55,78 · 2,7 = 156,066 13,6 : 0,8 = 1,7
TEST 1

11. Koľkými spôsobmi môžeme v čísle 4 X5Y nahradiť písmená X a Y číslicami tak, aby sa ciferný súčet vzniknutého čísla rovnal 12?

Vyberte správnu odpoveď: A 3 B 4 C 5 D 6

12. 12 tisícok 6 stoviek 15 desiatok a 11 jednotiek má číslo:

Vyberte správnu odpoveď: A 12 611 B 12 715 C 12 616 D 12 761

13. Ak k číslu 252 252 pripočítame číslo 58 858, súčet bude:

Vyberte správnu odpoveď: A 301 010 B 310 110 C 311 110 D 301 100

14 Číslo 1 593 je deliteľné tromi, lebo:

Vyberte správnu odpoveď: A na mieste jednotiek je číslica 3, B v čísle sú všetky číslice nepárne, C ciferný súčet je deliteľný tromi, D posledné dvojčíslie je deliteľné tromi.

15. Koľko prirodzených čísel menších ako 50 je deliteľných dvomi a zároveň tromi?

Vyberte správnu odpoveď: A 6

16. Koľko je dvojciferných čísel, ktoré po delení deviatimi dajú zvyšok 8?

Vyberte správnu odpoveď: A

17. Dvanásťnásobok čísla 57,87 je číslo:

48

Vyberte správnu odpoveď: A 496,44 B 649,44 C 694,44 D 964,44

18. Ak od súčinu čísel 3,7 a 15,4 odčítame podiel čísel 57,9 a 5, dostaneme číslo:

Vyberte správnu odpoveď: A 45,4 B 45,04 C 46,24 D 47,32

19. Najväčší spoločný deliteľ čísel 198 a 252 je číslo:

Vyberte správnu odpoveď: A 6 B 9 C 18 D 36

20. Najmenší spoločný násobok čísel 14 a 18 je číslo:

Vyberte správnu odpoveď: A 2 B 36 C 126 D 252

15
B
C
D
8
18
B 10 C 11 D 12
9

2 Zlomky. Počtové výkony so zlomkami.

Racionálne čísla

2.1 Zlomky

PRÍKLAD

Na návštevu k Ivane prišlo päť spolužiačok.

Ako si šesť dievčat (spolu s Ivanou) rozdelí pizzu, ak vieme, že každá dostala rovnako veľkú časť?

Akú časť pizze zjedli Ivanine spolužiačky?

RIEŠENIE

Pizza predstavuje celok.

Ak ju rozdelíme na šesť rovnakých častí, jedna časť predstavuje jednu šestinu celku, čo zapíšeme takto:

Odpoveď: Ivanine spolužiačky zjedli päť častí, teda päť šestín celku, čo zapíšeme takto:

PRÍKLAD

Torta je rozdelená na štyri rovnako veľké časti.

RIEŠENIE

Torta predstavuje celok.

Ak ju rozdelíme na štyri rovnaké časti, jedna časť predstavuje jednu štvrtinu celku, čo zapíšeme takto: .

Tri z nich deti zjedli. Akú časť torty zjedli deti? u, čo takto o

Potom tri časti predstavujú tri štvrtiny celku, čo zapíšeme takto: .

Odpoveď: Deti zjedli torty.

Zápisy tvaru , , , atď. nazývame zlomky.

čitateľ Zlomok zlomková čiara menovateľ

ÚLOHA

Zapíšte zlomkom:

a) Janko zjedol tri diely čokolády, ktorá je rozdelená na sedem rovnakých častí. Aká časť čokolády ostala?

Menovateľ určuje, na koľko rovnakých častí je celok rozdelený, čitateľ určuje, koľko z týchto častí zlomok predstavuje.

b) Peter vyfarbil sedem štvorčekov v obdĺžniku, ktorý je rozdelený na 12 rovnakých štvorčekov. Aká časť obdĺžnika ostala nevyfarbená?

ÚLOHA

Prečítajte zlomky: , , , .

16

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.