Matematika-ucebnica-6.1.-rocnik-ZS

Soňa Čeretková, Ondrej Šedivý, Ivan Teplička

matematika

pre 6. ročník základnej školy a 1. ročník gymnázia s osemročným štúdiom

Slovenské pedagogické nakladateľstvo

Milí šiestaci,

predstavujeme vám prvú časť učebnice, ktorá vás bude sprevádzať na hodinách matematiky počas prvého polroka vášho nového školského roka. Čo vás v matematike čaká? Ako vždy, veľa užitočných vedomostí, ktoré neskôr využijete pri štúdiu ale i v bežnom živote. Pripravili sme pre vás riešené problémy a príklady na oboznámenie sa so základnými poznatkami z daného tematického celku a tiež neriešené úlohy a cvičenia. Úlohy a cvičenia sú určené na samostatnú prácu. Niektoré z nich sú však vhodné na prácu vo dvojiciach alebo v skupinách, kde budete môcť zdieľať svoje názory a postupy riešenia. Môžete si tiež porovnať vypočítané výsledky či narysované obrázky. Pri opakovaní poznatkov o prirodzených číslach sa ponoríte do tajov malej násobilky. Bude to však iné ako doteraz – oboznámite sa so zaujímavými vlastnosťami prirodzených čísel, ktoré sú odvodené z pojmu deliteľnosť. Z nich, napríklad, prvočísla fascinujú matematikov dodnes a za objavenie ďalšieho nového prvočísla je vypísaná vysoká finančná odmena. V kapitole o uhloch sa naučíte uhly správne rysovať, prenášať, sčitovať, odčitovať. Naučíte sa tiež nachádzať zhodné uhly v rôznych zaujímavých geometrických útvaroch. Desatinným číslam a počtovým výkonom s desatinnými číslami venujeme veľa hodín matematiky. Zvládnuť počítanie s desatinnými číslami vám pomôže i kalkulačka. Uvidíte a vyskúšate si, aké užitočné je vedieť desatinné čísla zaokrúhľovať a kde všade sa s desatinnými číslami môžete každý deň stretnúť.

Dúfame, že s učebnicou budete radi pracovať a vyriešenie úlohy či cvičenia vám prinesie radosť z nadobudnutia nových poznatkov z matematiky. Osvojené vedomosti si môžete preveriť vyriešením testov uvedených na konci každej kapitoly. Niektoré úlohy a cvičenia vás vyzvú k podrobnejšiemu skúmaniu či k vytvoreniu vlastných zaujímavých matematických projektov. Veríme, že pri ich riešení sa dozviete vždy niečo nové. Možno aj vy sami vymyslíte pre svojich spolužiakov originálne matematické úlohy.

Želáme vám veľa chuti do práce a samé dobré výsledky pri štúdiu matematiky.

Pri orientácii v učebnici vám budú pomáhať tieto symboly:

– príklad s riešením

Autori

Recenzenti: prof. RNDr. Jozef Doboš, CSc., RNDr. Géza Horváth

Grafický dizajn © SPN – Mladé letá, s. r. o.

– problém s riešením

– zapamätať si

– zhrnutie alebo vysvetlenie

– úloha

– poznámka

Autori © doc. PaedDr. Soňa Čeretková, PhD., prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc., Ivan Teplička

Ilustrovali: akademická maliarka Táňa Žitňanová, obálku navrhol Ing. Zsolt Urbán

Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky odporučilo pod č. 2021/12635:5-A2201 didaktický prostriedok Matematika pre 6. ročník základnej školy a 1. ročník gymnázia s osemročným štúdiom – 1. časť. Odporúčacia doložka nadobúda účinnosť 10. júna 2021 a má platnosť do 31. augusta 2026.

Tretie vydanie, 2023

Všetky práva vyhradené. Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.

Zodpovedná redaktorka RNDr. Judita Hollá Odborná redaktorka RNDr. Jana Belasová Technická redaktorka Ivana Bronišová

Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s. r. o., Sasinkova 5, 811 08 Bratislava

Vytlačili TBB, a. s., Banská Bystrica

ISBN 978-80-10-04299-9

1 Počtové výkony s prirodzenými číslami.

Deliteľnosť

1.1 Prirodzené čísla

ZOPAKUJME SI

Prirodzené čísla sú čísla, ktorými vyjadrujeme počet objektov, napríklad počet žiakov v triede, počet obyvateľov v meste atď.

V desiatkovej číselnej sústave zapisujeme prirodzené čísla pomocou číslic (cifier) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Prirodzené čísla sú napr. 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10, 11, 12, ..., 99, 100, 101, ..., 998, 999, 1 000, 1 001, ..., 9 999, ...

V desiatkovej číselnej sústave majú prirodzené čísla číslicový zápis a rozvinutý zápis, napr.: 8 365 = 8 . 1 000 + 3 . 100 + 6 .10 + 5 . 1 číslicový zápis rozvinutý zápis

V zápise čísla pomocou číslic je dôležité poradie (pozícia) číslic. Napr. čísla 3 524 a 2 543 sú rôzne, hoci sú zapísané tými istými číslicami. Odlišujú sa miestom (pozíciou) číslic v zápise čísla. Každá číslica v zápise čísla stojí na mieste určitého číselného rádu. miliardy stomilióny desaťmilióny milióny stotisícky desaťtisícky tisícky stovky desiatky jednotky

7825432273

Čítame a píšeme: sedem miliárd osemstodvadsaťpäť miliónov štyristotridsaťdvatisíc dvestosedemdesiattri

ÚLOHA

Prečítajte čísla. Určte počet jednotiek, desiatok, stoviek atď. 2 567 92 748 234 591 12 389 521

ÚLOHA

Zapíšte v číslicovom zápise a správne prečítajte čísla:

a) 5 . 1 000 + 6 . 100 + 2 . 10 + 7 . 1

b) 4 . 100 000 + 7 . 10 000 + 5 . 1 000 + 3 . 100 + 4 . 10 + 5 . 1

c) 3 1 000 000 + 9 100 000 + 7 10 000 + 2 1 000 + 2 10 d) 5 . 10 000 000 + 4 . 1 000 000 + 3 . 1 000 + 5 . 100 + 6 . 1

PRÍKLAD

Nájdite ľubovoľné trojciferné číslo, v ktorom je počet desiatok o 3 väčší ako počet stoviek a počet jednotiek je o 4 menší ako počet desiatok. Potom nájdite všetky také čísla.

RIEŠENIE

Príklad rieši Katka a tvrdí, že hľadané číslo si môžeme znázorniť takto: s d j s je číslica rádu stoviek, môže byť 1, 2, ..., 9 d je číslica rádu desiatok, môže byť 0, 1, 2, ..., 9 j je číslica rádu jednotiek, môže byť 0, 1, 2, ..., 9

Zo zadania vyplýva, že číslica

Potom s = 6 a j = 5.

Hľadané číslo je 695. íslica

Vše ia,

Všetky také čísla sú: rádu desiatok je najväčšia, preto si zvolíme d = 9.

ÚLOHA

ÚLOHA

Koľko divákov bolo na futbalovom zápase, ak ich počet je vyjadrený štvorciferným číslom, v ktorom počet desiatok je rovnaký ako počet stoviek, počet jednotiek je o 4 väčší ako počet desiatok a počet tisícok je o 2 menší ako počet desiatok? Nájdite všetky možnosti.

Súčet všetkých číslic prirodzeného čísla nazývame ciferný súčet. Napríklad číslo 563 má ciferný súčet 14, lebo 5 + 6 + 3 = 14.

Vypočítajte ciferné súčty čísel: a) 7 d) 93 g) 2 385 j) 263 318 b) 0 e) 153 h) 8 276 k) 7 283 552 c) 10 f) 100 i) 92 935 l) 73 592 856

ÚLOHA

a) Napíšte tri trojciferné čísla, ktorých ciferný súčet je 21 a sú menšie ako 500. b) Napíšte tri štvorciferné čísla, ktorých ciferný súčet je 28 a sú väčšie ako 7 000.

c) Napíšte tri päťciferné čísla, ktorých ciferný súčet je 39 a sú menšie ako 50 000.

ÚLOHA

Aký najmenší a aký najväčší ciferný súčet môžu mať: a) dvojciferné čísla, b) štvorciferné čísla, c) šesťciferné čísla?

ÚLOHA

Palindróm je také číslo, ktoré sa číta rovnako zľava aj sprava. Napríklad čísla 2 442, 13 531 sú palindrómy. Napíšte všetky štvorciferné palindrómy, ktorých ciferný súčet je 16.

CVI

1. Zapíšte v číslicovom zápise a správne prečítajte čísla:

a) 7 100 + 3 10 + 2 1

b) 5 . 10 000 + 8 . 1 000 + 2 . 100 + 4 . 10 + 5 . 1 c) 2 . 100 000 + 5 . 10 000 + 9 . 1 000 + 2 . 10 + 7 . 1

d) 8 1 000 000 + 4 100 000 + 7 1 000 + 5 100 + 8 1

3. Niektoré trojciferné čísla majú takú vlastnosť, že prostredná číslica sa rovná súčtu dvoch krajných číslic (napríklad 143, 363). Takéto čísla nazveme zvláštne. Napíšte všetky zvláštne trojciferné čísla obsahujúce iba číslice 1, 2, 3, 4, 5. sdj 695 584 473 362 251 140

2. Napíšte číslo, ktoré má na mieste stotisícok číslicu 6, na mieste tisícok číslicu 3, na mieste desiatok číslicu 8 a na iných miestach číslicu 2.

4. Niektoré trojciferné čísla majú takú vlastnosť, že prostredná číslica sa rovná súčinu dvoch krajných číslic (napríklad 263, 242). Takéto čísla nazveme súčinové. Napíšte všetky súčinové trojciferné čísla obsahujúce iba číslice 1, 2, 3, 4, 5.

5. Na parkovisku sú autá. Ich počet je vyjadrený trojciferným číslom, v ktorom je počet desiatok o 5 väčší ako počet stoviek a počet jednotiek o 3 menší ako počet desiatok. Koľko áut môže byť na parkovisku? Napíšte všetky možnosti.

6. Z číslic 3, 4, 6, 8, 9 vytvorte:

a) najmenšie trojciferné číslo, c) najmenšie štvorciferné číslo, b) najväčšie trojciferné číslo, d) najväčšie štvorciferné číslo. (Číslice sa v číslach neopakujú.)

7. Premiestňovaním kartičiek s číslicami 0, 1, 2, 7 vytvorte: a) všetky párne dvojciferné čísla, b) všetky nepárne dvojciferné čísla.

8. Vypočítajte ciferné súčty čísel: a) 9 c) 19 e) 153 g) 2 385 i) 29 100 k) 1 010 101 b) 4 d) 88 f) 789 h) 4 292 j) 536 002 l) 88 263 201

9. Ktorými číslicami môžeme nahradiť písmená X a Y v čísle 5 X7Y tak, aby vzniknuté štvorciferné číslo malo ciferný súčet 19? Nájdite všetky možnosti.

10. Aký najväčší a aký najmenší ciferný súčet môže mať: a) trojciferné číslo, b) päťciferné číslo, c) sedemciferné číslo?

11. Nájdite všetky päťciferné čísla, ktorých ciferný súčet je: a) 2, b) 44. 4 3 8 6 2 0 1 9 7

1. 2 Sčitovanie a odčitovanie prirodzených čísel

ZOPAKUJME SI

Sčitovanie prirodzených čísel

290 + 54 = 344 sčítanec sčítanec súčet Vlastnosti sčitovania prirodzených čísel:

1. Súčet sa nezmení, ak poradie sčítancov zameníme (sčitovanie je komutatívne):

a + b = b + a

2. Súčet sa nezmení, ak sčítance združíme (sčitovanie je asociatívne):

a + (b + c) = (a + b) + c

ÚLOHA

Odčitovanie prirodzených čísel

290 – 54 = 236 menšenec menšiteľ rozdiel Odčitovanie nie je komutatívne: ak zameníme menšenca a menšiteľa, rozdiel sa môže zmeniť.

Vypočítajte spamäti: a) 43 + 35 c) 46 + 12 e) 130 + 350 g) 370 + 160 b) 73 + 16 d) 72 + 21 f) 230 + 160 h) 250 + 320

ÚLOHA

Vypočítajte písomne: a) 25 + 64 c) 622 + 275 e) 1 523 + 356 g) 2 685 + 3 438 b) 57 + 96 d) 839 + 286 f) 2 563 + 1 321 h) 5 829 + 2 398

ÚLOHA

Vypočítajte: a) 32 + 159 + 68 d) 74 + 437 + 26 + 263 b) 56 + 522 + 44 e) 315 + 768 + 285 + 232 c) 51 + 723 + 49 f) 368 + 463 + 232 + 537

ÚLOHA

Vypočítajte spamäti: a) 48 – 32 c) 53 – 37 e) 450 – 210 g) 320 – 150 b) 78 – 32 d) 65 – 36 f) 280 – 160 h) 850 – 380

ÚLOHA

Vypočítajte písomne: a) 67 – 25 c) 622 – 275 e) 1 523 – 356 g) 3 685 – 2 738 b) 97 – 42 d) 839 – 286 f) 2 523 – 1 375 h) 5 827 – 2 392

ÚLOHA

a) Ako sa v príklade 1 742 + 896 zmení výsledok, ak jedného sčítanca zmenšíme o 15?

b) Súčet dvoch čísel je 87. Jedného sčítanca zväčšíme o 22. Vypočítajte nový súčet.

c) Jeden sčítanec je 623. Súčet je o 352 väčší. Určte druhého sčítanca a súčet.

d) Ako sa zmení súčet, ak jedného sčítanca zväčšíme o 27 a druhého zmenšíme o 11?

e) Rozdiel dvoch čísel je 12, menšenec je 27. Aký je menšiteľ?

f) Rozdiel dvoch čísel je 57, menšiteľ je 15. Aký je menšenec?

g) Menšenec je o 628 väčší ako menšiteľ. Aký je rozdiel?

h) Ako sa v príklade 1 742 – 896 zmení rozdiel, ak menšenca zmenšíme o 23?

PROBLÉM 1

Počítajte trojice príkladov: a) 36 + 12 = 48 b)

=

Čo zaujímavé ste si všimli?

Sčitovanie a odčitovanie sú navzájom opačné počtové výkony. Napríklad: ak 36 + 12 = 48, tak 48 – 12 = 36 a tiež 48 – 36 = 12.

ÚLOHA

Ktoré čísla sa skrývajú pod obdĺžnikmi?

a) + 15 = 48 c) 17 + = 42 e) – 21 = 35 b) + 24 = 66 d) 78 – = 25 f) – 24 = 63

PRÍKLAD

Andrej má v zbierke 259 známok, Boris má o 137 známok viac. Koľko známok má Boris? Koľko známok majú spolu?

RIEŠENIE

Príklad rieši Zuzka. Situáciu znázorní takto:

Andrej 259

Odpoveď: Boris má 259 + 137 = 396 známok. Spolu majú 259 + 396 = 655 známok. viac.

Boris 259 137

PRÍKLAD

V ovocnom sade vysadili spolu 852 stromov, boli to jablone a slivky. Jabloní vysadili 378. Koľko vysadili sliviek? y

RIEŠENIE

Príklad rieši Tomáš. Situáciu znázorní takto:

Jabloní 378

Spolu 378 Sliviek 852

Platí: 852 – 378 = 474

Odpoveď: Vysadili 474 sliviek.

Vypočítajte: a) 395 + 628 c) 657 + 312 e) 1 327 + 537 g) 2 568 + 3 827 b) 286 + 595 d) 852 + 268 f) 2 582 + 3 759 h) 5 893 + 2 331

2. Vypočítajte: a) 628 – 395 c) 657 – 312 e) 1 327 – 537 g) 3 827 – 2 568 b) 595 – 286 d) 852 – 268 f) 3 759 – 2 582 h) 5 827 – 2 331

3. Vypočítajte: a) 54 + 137 + 46 d) 54 + 228 + 46 + 372 b) 134 + 315 + 166 e) 225 + 368 + 132 + 175 c) 72 + 569 + 28 f) 355 + 436 + 264 + 245

4. a) Súčet dvoch čísel je 92, jeden sčítanec je 38. Aký je druhý sčítanec?

b) Súčet dvoch čísel je 327. Jedného sčítanca zväčšíme o 27. Vypočítajte nový súčet.

c) Jeden sčítanec je 539. Súčet je o 237 väčší. Určte druhého sčítanca a súčet.

d) Ako sa zmení súčet, ak jedného sčítanca zväčšíme o 36 a druhého sčítanca zmenšíme o 15?

e) Rozdiel dvoch čísel je 21. Menšenec je 37. Aký je menšiteľ?

f) Rozdiel dvoch čísel je 75, menšiteľ je 51. Aký je menšenec?

g) Ako sa v príklade 84 – 35 zmení rozdiel, ak menšenca zväčšíme o 19?

h) Ako sa v príklade 84 – 35 zmení rozdiel, ak menšiteľa zväčšíme o 19?

5. Napíšte do okienok číslice tak, aby príklady boli správne vypočítané:

3 3

6. Ktoré čísla sa skrývajú pod obdĺžnikmi?

a) + 23 = 75 c) 23 + = 42 e) – 32 = 53 g) 35 + = 78

7. V škole je 283 chlapcov, dievčat je o 138 viac. Koľko žiakov má škola?

b) + 14 = 52 d) 66 – = 25 f) – 35 = 63 h) – 19 = 79

8. Adam a Boris majú spolu 352 kartičiek hokejistov. Boris má o 64 kartičiek viac ako Adam. Koľko kartičiek má každý z nich?

9. Ondrej nasporil 138 eur, jeho sestra Vierka nasporila o 53 eur menej. Koľko nasporili spolu?

10. Danka a Janka zbierajú pohľadnice. Janka má 48 pohľadníc, Danka 84 pohľadníc. Koľko pohľadníc musí dať Danka Janke, aby obidve mali rovnaký počet pohľadníc?

11. Dominik dal Božene 37 známok, takže teraz majú obaja po 52 známok. Koľko známok mal každý na začiatku?

12. Vanda a Evka zbierajú mince. Vanda mala 100 mincí. Vanda vymenila svojich 24 mincí za Evkiných 46 mincí. Koľko mincí má po výmene Vanda?

CVI Č ENIA

1.3 Násobenie a delenie prirodzených čísel

ZOPAKUJME SI

Násobenie prirodzených čísel

6 · 7 = 42

činiteľ činiteľ súčin

Vlastnosti násobenia prirodzených čísel

1. Súčin sa nezmení, ak poradie činiteľov zameníme (násobenie je komutatívne):

a · b = b · a

2. Súčin sa nezmení, ak činitele združíme (násobenie je asociatívne):

a · (b · c) = (a · b) · c

3. Ak násobíme súčet dvoch čísel tretím číslom, platí: a · (b + c) = a · b + a · c

ÚLOHA

ÚLOHA

Delenie prirodzených čísel bez zvyšku 435 : 3 = 145 delenec deliteľ podiel so zvyškom 1 575 : 28 = 56 7 7 28 delenec deliteľ neúplný zvyšok zvyšok  deliteľ podiel

spamäti: a)

ÚLOHA Vydeľte spamäti: a) 36 : 4 c) 18 : 3 e) 56 : 7 g) 48 : 8 b) 63 : 7 d) 32 : 8 f) 54 : 6 h) 42 : 6

ÚLOHA Vydeľte písomne: a) 276 : 3 c) 1 302 : 7 e) 851 : 37 g) 3 952 : 52 b) 725 : 5 d) 2 376 : 8 f) 2 226 : 42 h) 6 708 : 78

ÚLOHA Vydeľte písomne: a) 279 : 5 c) 1 363 : 4 e) 832 : 21 g) 3 283 : 47 b) 652 : 7 d) 2 726 : 3 f) 2 663 : 34 h) 6 753 : 56

PROBLÉM 2 Počítajte trojice príkladov: a) 9 · 4 = 36 b) 6 · 8 = 48 c) 9 · 7 =

: 9 = 4

Čo zaujímavé ste si všimli?

: 7 = 9

Násobenie a delenie sú navzájom opačné počtové výkony. Napríklad, ak 9 · 4 = 36, tak 36 : 9 = 4 a tiež 36 : 4 = 9.

ÚLOHA

Ktoré čísla sa skrývajú pod obdĺžnikmi?

a) · 6 = 48

b) · 14 = 42

ÚLOHA

c) 12 · = 84

d) 48 : = 12

e) : 7 = 42

f) : 17 = 19

Ak číslo 185 delíte číslom 5, dostanete podiel 37 a zvyšok 0. Aké zvyšky dostanete, ak číslom 5 budete deliť čísla 186, 187, 188, 189, 190 a 191?

ÚLOHA

Peter a Tomáš zbierajú modely áut. Peter má 35 modelov, Tomáš má štyrikrát viac modelov. Koľko modelov majú chlapci spolu?

PRÍKLAD

Lucia a Petra zbierajú servítky. Spolu ich majú 332.

Petra má trikrát viac servítok ako Lucia.

Koľko servítok má Lucia a koľko Petra?

RIEŠENIE

Príklad rieši Boris. Situáciu znázorní takto:

Lucia

Petra

spolu 332 servítok

Boris vysvetľuje, že štyri zelené obdĺžniky predstavujú 332 servítok, preto jeden obdĺžnik predstavuje 332 : 4 = 83 servítok. Tri obdĺžníky predstavujú 83 3 = 249 servítok.

Odpoveď: Lucia má 83 servítok a Petra má 249 servítok.

PRÍKLAD

Jakub, Lukáš a Samo sú bratia. Spolu majú 37 rokov. Lukáš je o tri roky starší ako Jakub a Samo je o štyri roky starší ako Lukáš. Koľko rokov má každý z nich?

RIEŠENIE

Príklad rieši Barbora. Situáciu znázorní takto:

Jakub

Lukáš 3 roky

spolu 37 rokov

Samo 3 roky 4 roky

Barbora uvažuje, že ak od čísla 37 odčíta 3 + 3 + 4 = 10, dostane počet rokov, ktorý predstavujú tri zelené obdĺžniky, teda 37 – 10 = 27. Ak tri zelené obdĺžniky predstavujú 27 rokov, potom jeden zelený obdĺžnik predstavuje 27 : 3 = 9 rokov.

Odpoveď: Jakub má 9 rokov, Lukáš má 12 rokov a Samo má 16 rokov.

CVI Č ENIA

1. Vynásobte písomne: a) 352 · 3 c) 147 · 6 e) 42 · 52 g) 534 · 35 b) 627 · 4 d) 54 · 39 f) 83 · 65 h) 574 · 42

2. Vydeľte písomne: a) 378 : 3 c) 1 323 : 7 e) 918 : 27 g) 3 268 : 43 b) 695 : 5 d) 2 568 : 8 f) 2 555 : 35 h) 4 636 : 61

3. Vydeľte písomne: a) 257 : 3 c) 1 273 : 7 e) 1 856 : 34 g) 3 836 : 53 b) 567 : 5 d) 2 639 : 9 f) 2 374 : 47 h) 4 527 : 72

4. Ktoré čísla sa skrývajú pod obdĺžnikmi?

a) · 7 = 63

c) : 9 = 56 e) 12 · = 192

5. a) Súčin dvoch čísel je 798, jeden činiteľ je 38. Aký je druhý činiteľ?

b) · 14 = 378 d) : 13 = 16 f) 192 : = 12

b) Ako sa zmení súčin, ak jedného činiteľa dvakrát zväčšíme?

c) Podiel dvoch čísel je 35, deliteľ je 17. Aký je delenec?

6. Vypočítajte 1 434 : 3. Ktorým číslom treba nahradiť číslo 1 434, aby výsledok bol o 5 menší?

7. Vypočítajte 9 657 : 9. Ktorým číslom treba nahradiť číslo 9 657, aby výsledok bol o 7 väčší?

8. Vypočítajte 1 148 : 7. Ktorým číslom treba nahradiť číslo 1 148, aby výsledok bol o 6 väčší?

9. Ktorou číslicou môžeme nahradiť písmeno X v čísle 21 48X, aby delenie číslom 23 vyšlo bez zvyšku?

10. Ktorou číslicou môžeme nahradiť písmeno X v trojcifernom čísle 79X, aby po delení číslom 8 bol zvyšok 5? Napíšte všetky možnosti.

11. Ktorou číslicou môžeme nahradiť písmeno X v trojcifernom čísle 83X, aby po delení číslom 4 bol zvyšok 1? Napíšte všetky možnosti.

12. Ak číslo 352 vydelíte číslom 4, dostanete podiel 88 a zvyšok 0. Aké zvyšky dostanete, ak číslom 4 budete deliť čísla 353, 355 a 350?

13. Ak číslo 873 vydelíte číslom 9, dostanete podiel 97 a zvyšok 0. Aké zvyšky dostanete, ak číslom 9 budete deliť čísla 878 a 895?

14. Šiesti priatelia išli na výlet. Za lístky na vlak platili 100-eurovou bankovkou, vrátili im 4 eurá.

Koľko stál lístok na vlak?

15. Danko má 127 kartičiek hokejistov, Jakub má 7-krát viac.

Koľko kartičiek má Jakub?

O koľko kartičiek viac má Jakub ako Danko?

16. Patrik má 356 známok, Michal ich má 6-krát viac. Koľko známok má Michal?

O koľko známok menej má Patrik ako Michal?

17. Traja chlapci majú 60 guľôčok. Peter má o 5 viac ako Janko. Janko má o 8 viac ako Miloš.

Koľko guľôčok má každý z chlapcov?

18. Milan má štyrikrát viac známok ako Anka. Anka má dvakrát menej známok ako Juro.

Spolu majú 91 známok. Koľko známok má každý?

19. V kvetinárstve mali 427 ruží, z ktorých viazali veľké a malé kytice.

Do veľkej kytice dávali po 17 ruží, do malej po 5 ruží.

Veľkých kytíc urobili 21.

Koľko bolo malých kytíc?

20. V cukrárni balili z cukríkov veľké a malé balíčky.

Do veľkých balíčkov dávali po 18 cukríkov, do malých po 12 cukríkov. Veľkých balíčkov zabalili 45.

Koľko bolo malých balíčkov, ak všetkých cukríkov bolo 1 260?

Koľko cukríkov zvýšilo?

1.4 Poradie poč

ZOPAKUJME SI

Poradie počtových výkonov

1. Výpočty v zátvorkách majú prednosť pred násobením a delením.

2. Násobenie a delenie má prednosť pred sčítaním a odčítaním.

3. Ak je v príklade niekoľko sčítaní a odčítaní za sebou (bez zátvoriek), tak počítame zľava doprava.

4. Ak je v príklade iba niekoľko sčítaní za sebou (bez zátvoriek), môžeme využiť komutatívnosť.

5. Ak je v príklade niekoľko násobení a delení za sebou (bez zátvoriek), tak počítame zľava doprava.

6. Ak je v príklade iba niekoľko násobení za sebou (bez zátvoriek), môžeme využiť komutatívnosť.

PRÍKLAD

Vypočítajte: a) (3 + 6) . 4 + (17 – 2) : 5 d) 58 + 59 + 60 + 61 + 62

b) 7 . 5 + 36 : 4 – 16 e) 9 . 5 : 3 . 4 : 10 c) 27 + 12 – 19 + 7 – 17 f) 2 4 5 3

RIEŠENIE

Príklad rieši Jakub, ktorý si uvedomil, že v príklade je a) sčitovanie, odčitovanie, násobenie, delenie aj zátvorky. Preto najprv vypočíta výrazy v zátvorkách, potom násobí a delí a nakoniec sčíta medzivýsledky: (3 + 6) 4 + (17 – 2) : 5 = 9 4 + 15 : 5 = 36 + 3 = 39.

b) sčitovanie, odčitovanie, násobenie a delenie. Preto najprv vykoná násobenie a delenie a nakoniec bude sčitovať a odčitovať:

7 5 + 36 : 4 – 16 = 35 + 9 – 16 = 44 – 16 = 28.

c) niekoľko sčítaní a odčítaní za sebou (bez zátvoriek), preto začne počítať zľava doprava:

27 + 12 – 19 + 7 – 17 = 39 – 19 + 7 – 17 = 20 + 7 – 17 = 27 – 17 = 10.

d) niekoľko sčítaní za sebou, využije komutatívnosť, teda výhodne zmení poradie sčítancov:

58 + 59 + 60 + 61 + 62 = 58 + 62 + 59 + 61 + 60 = 120 + 120 + 60 = 300.

e) niekoľko násobení a delení za sebou (bez zátvoriek), preto bude počítať zľava doprava:

9 5 : 3 4 : 10 = 45 : 3 4 : 10 = 15 4 : 10 = 60 : 10 = 6.

f) niekoľko násobení za sebou, preto využije komutatívnosť, teda výhodne zmení poradie činiteľov:

2 4 5 3 = 2 5 4 3 = 10 12 = 120.

ÚLOHA

Vypočítajte: a) 63 : 7 – 3 + 4 6 – 8 d) (9 – 5) (3 + 4) – (6 + 4 3) : 2 – 6 b) 17 – 27 : (6 + 3) + (12 – 7) 3 e) (2 + 4) 6 + 48 : (12 – 4) c) (28 – 5 . 4) . 5 + 36 : 4 f) (156 – 72) . 2 + 72 : (7 – 3)

CVI Č ENIA

1. Vypočítajte: a) 36 + 43 + 50 + 57 + 64 c) 5 + (18 – 5 . 3) + 12 b) 82 – 14 . 5 + 28 d) (36 – 6 . 4) . 3 – 27 : (5 + 4)

2. Vypočítajte: a) 5 . (53 – 33) – (63 + 9) : 8

b) 8 . 7 – (35 – 13) + 44 : (6 + 5)

3. Vypočítajte: a) (25 + 11) : 9 + 8 . (2 + 5)

b) 63 : (15 – 8) + (9 + 7 – 6 + 2) : 6

4. Vypočítajte: a) 5 + 4 . 6 – 3 . 8

b) (5 + 4) . 6 – 3 . 8

5. Doplňte zátvorky tak, aby platila rovnosť:

a) 4 . 5 + 10 : 2 + 3 = 28

c) 41 + (18 + 9) : 3 – 2 . 8 – 14

d) (47 – 23) . 5 – (25 + 11) : 9

c) 252 : 6 – 60 : 5 + 646 : 17

d) 736 : 8 + 39 : 13 – (72 – 12) : 4

c) 5 + 4 . (6 – 3) . 8

d) (5 + 4) . (6 – 3) . 8

c) 4 . 5 + 10 : 2 + 3 = 22

b) 4 5 + 10 : 2 + 3 = 33 d) 4 5 + 10 : 2 + 3 = 43

6. Doplňte zátvorky tak, aby platila rovnosť:

a) 25 + 5 – 3 : 9 = 3

c) 60 : 3 + 2 : 3 = 4

b) 35 : 9 – 2 – 9 : 3 = 2 d) 3 4 + 16 : 4 + 2 = 17

7. Doplňte znamienka operácií +, – , . , : a zátvorky tak, aby platila rovnosť:

a) 2 2 2 2 = 12

b) 3 3 3 3 = 54

1.5 Zaokrúhľovanie prirodzených čísel

ZOPAKUJME SI

c) 4 4 4 4 = 5

d) 5 5 5 5 = 45

V každodennom živote nepotrebujeme vedieť, že v roku 2019 sa na Slovensku vyrobilo 1 093 215 automobilov, stačí vedieť, že v roku 2019 sa na Slovensku vyrobilo asi 1 000 000 automobilov. Taký postup, keď presné čísla nahradíme číslami, ktoré sú menej presné, ale lepšie sa zapamätajú, sa nazýva zaokrúhľovanie. Pri zaokrúhľovaní nahradíme zaokrúhľované číslo jemu blízkym číslom. Zaokrúhľujeme najčastejšie na určitý číselný rád. Pri zaokrúhľovaní sa riadime číslicou nižšieho rádu, ktorá sa nazýva rozhodujúca číslica:

Zaokrúhľujeme na Rozhodujúca číslica je rádu desiatky jednotiek stovky desiatok tisícky stoviek desaťtisícky tisícok stotisícky desaťtisícok atď.

Zaokrúhľovanie nadol

Pri zaokrúhľovaní nadol je výsledkom najbližšie prirodzené číslo, ktoré je menšie alebo sa rovná zaokrúhľovanému číslu, pričom rozhodujúca číslica a všetky číslice nižších rádov sa nahradia nulami.

Zaokrúhľovanie nahor

Pri zaokrúhľovaní nahor je výsledkom najbližšie prirodzené číslo, ktoré je väčšie alebo sa rovná zaokrúhľovanému číslu, pričom rozhodujúca číslica a všetky číslice nižších rádov sa nahradia nulami.

Aritmetické zaokrúhľovanie

Ak rozhodujúca číslica je 0, 1, 2, 3, 4, zaokrúhľujeme nadol, ak rozhodujúca číslica je 5, 6, 7, 8, 9, zaokrúhľujeme nahor.

(Prívlastok aritmetické sa zvykne vynechávať, teda ak je v úlohe uvedené „zaokrúhlite“, ide o aritmetické zaokrúhľovanie.)

PRÍKLAD

a) Zaokrúhlite na desiatky nadol čísla 754, 3 436, 28 473.

b) Zaokrúhlite na stovky nadol čísla 754, 3 436, 28 473.

c) Zaokrúhlite na desiatky nahor: 754, 3 436, 28 473.

d) Zaokrúhlite na stovky nahor: 754, 3 436, 28 473.

e) Zaokrúhlite (aritmeticky) na desiatky: 754, 3 436, 28 473.

f) Zaokrúhlite (aritmeticky) na stovky: 754, 3 436, 28 473.

RIEŠENIE

a) Pri zaokrúhľovaní na desiatky nadol je rozhodujúca číslica rádu jednotiek, preto zaokrúhlené číslo získame tak, že číslicu na mieste jednotiek nahradíme nulou.

Zapíšeme: 754  750, 3 436  3 430, 28 473  28 470.

b) Pri zaokrúhľovaní na stovky nadol je rozhodujúca číslica rádu desiatok, preto zaokrúhlené číslo získame tak, že číslice na mieste desiatok a jednotiek nahradíme nulou.

Zapíšeme: 754  700, 3 436  3 400, 28 473  28 400.

c) Pri zaokrúhľovaní na desiatky nahor je rozhodujúca číslica rádu jednotiek, preto zaokrúhlené číslo získame tak, že nájdeme najbližšie prirodzené číslo, ktoré je väčšie alebo sa rovná zaokrúhľovanému číslu a končí nulou.

Zapíšeme: 754  760, 3 436  3 440, 28 473  28 480.

d) Pri zaokrúhľovaní na stovky nahor je rozhodujúca číslica rádu desiatok, preto zaokrúhlené číslo získame tak, že nájdeme najbližšie prirodzené číslo, ktoré je väčšie alebo sa rovná zaokrúhľovanému číslu a končí dvoma nulami.

Zapíšeme: 754  800, 3 436  3 500, 28 473  28 500.

e) Pri zaokrúhľovaní (aritmetickom) na desiatky je rozhodujúca číslica rádu jednotiek, preto pri zaokrúhľovaní sa riadime číslicou rádu jednotiek, teda: 754  750, 3 436  3 440, 28 473  28 470.

f) Pri zaokrúhľovaní (aritmetickom) na stovky je rozhodujúca číslica rádu desiatok, preto pri zaokrúhľovaní sa riadime číslicou rádu desiatok, teda: 754  800, 3 436  3 400, 28 473  28 500.

ÚLOHA

a) Zaokrúhlite na stovky nadol, nahor aj aritmeticky čísla: 2 573, 54 325, 372 856.

b) Zaokrúhlite na tisícky nadol, nahor aj aritmeticky čísla: 2 573, 54 325, 372 856.

c) Zaokrúhlite na desaťtisícky nadol, nahor aj aritmeticky čísla: 54 325, 372 856.

CVI Č ENIA

1. Zaokrúhlite na desiatky nadol: 25, 37, 44, 55, 70, 87, 130, 462, 758, 1 325, 2 892.

2. Zaokrúhlite na stovky nahor: 139, 250, 315, 499, 1 220, 2 528, 3 500, 4 999, 5 120.

3. Zaokrúhlite na tisícky (aritmeticky): 1 599, 2 499, 5 501, 28 410, 39 500, 52 231.

4. Nájdite najmenšie a najväčšie číslo, ktoré sa po zaokrúhlení na stovky nadol rovnajú číslu 3 600.

5. Nájdite najmenšie a najväčšie číslo, ktoré sa po zaokrúhlení na stovky nahor rovnajú číslu 2 800.

6. Nájdite najmenšie a najväčšie číslo, ktoré sa po zaokrúhlení na stovky (aritmeticky) rovnajú číslu 5 700.

7. V meste žije približne 26 000 obyvateľov (zaokrúhlené na tisícky). Najmenej koľko a najviac koľko obyvateľov môže žiť v tomto meste?

8. Na hokejovom zápase bolo približne 2 300 divákov (zaokrúhlené na stovky). Najmenej koľko a najviac koľko mohlo byť na zápase divákov?

9. V zoologickej záhrade chovajú asi 3 600 zvierat (zaokrúhlené na stovky). Najmenej koľko a najviac koľko zvierat môžu chovať v zoologickej záhrade?

1.6

Deliteľ a násobok

PRÍKLAD

Preskúmajte, aké zvyšky dostanete, keď číslo 30 vydelíte číslami 2, 3, 4, 5, 7, 8. y,,,,,

RIEŠENIE

Príklad rieši Ema.

30 : 2 = 15, zv. 0 30 : 3 = 10, zv. 0 30 : 4 = 7, zv. 2

30 : 5 = 6, zv. 0 30 : 7 = 4, zv. 2 30 : 8 = 3, zv. 6 v. 2 v. 6

Ema zistila, že ak vydelí číslo 30 číslami 2, 3 a 5, dostane zvyšok 0. Ak vydelí číslo 30 číslami 4, 7 a 8, dostane zvyšky rôzne od 0.

Pri delení čísla 30 číslom 2 sme dostali zvyšok 0. To znamená že 30 = 2 15.

Hovoríme, že číslo 30 je deliteľné číslom 2 alebo číslo 2 je deliteľom čísla 30.

Pri delení čísla 30 číslom 3 sme dostali zvyšok 0. To znamená že 30 = 3 . 10.

Hovoríme, že číslo 30 je deliteľné číslom 3 alebo číslo 3 je deliteľom čísla 30.

Pri delení čísla 30 číslom 5 sme dostali zvyšok 0. To znamená že 30 = 5 6.

Hovoríme, že číslo 30 je deliteľné číslom 5 alebo číslo 5 je deliteľom čísla 30.

Pri delení čísla 30 číslami 4, 7 a 8 sme dostali zvyšok rôzny od nuly, teda čísla 4, 7 a 8 nie sú delitele čísla 30.

ÚLOHA

Zistite, v ktorej dvojici čísel je jedno číslo deliteľom druhého: a) 3; 35 b) 42; 7 c) 4; 70 d) 182; 13 e) 19; 247 f) 333; 37

ÚLOHA

a) Nájdite tri delitele čísla 48.

b) Nájdite štyri delitele čísla 48, ktoré sú väčšie ako 10.

c) Nájdite päť deliteľov čísla 48, ktoré sú menšie ako 7.

PRÍKLAD

Nájdite všetky delitele čísla 48.

RIEŠENIE

Andrea vie, že ak číslo 48 napíše ako súčin dvoch čísel, napr. 48 = 3 . 16, tak obidve čísla sú delitele čísla 48. Preto pri hľadaní všetkých deliteľov čísla 48 napíše číslo 48 všetkými spôsobmi ako súčin dvoch čísel. Všetky delitele čísla 48 sú: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. 48 148 224 316 412 68

Deliteľ

ÚLOHA

Nájdite všetky delitele čísel: a) 36 c) 285 e) 426 b) 78 d) 321 f) 555

PROBLÉM 3

Koľko deliteľov majú prirodzené čísla?

RIEŠENIE

1. Pre číslo nula platí 0 = 0 a , kde a je ľubovoľné prirodzené číslo.

Teda deliteľom nuly je každé prirodzené číslo

2. Pre číslo 1 platí 1 = 1 1 a pre žiadne iné prirodzené číslo a  1 neplatí 1 = 1 a .

Teda jediným deliteľom čísla 1 je číslo 1 .

3. Každé prirodzené číslo a  1 sa dá vyjadriť v tvare a = 1 a .

Teda každé prirodzené číslo a  1 má určite aspoň dva delitele (1 a seba samo). Tieto delitele sa nazývajú samozrejmé delitele . Okrem samozrejmých deliteľov môže mať prirodzené číslo a  1 aj ďalšie delitele.

ÚLOHA

Násobok

Majme napríklad číslo 7. Čísla, ktoré dostaneme tak, že číslo 7 vynásobíme ľubovoľným prirodzeným číslom, sa nazývajú násobky čísla 7.

Teda čísla

0 = 7 0, 7 = 7 1, 14 = 7 2, 21 = 7 3, 28 = 7 4, 35 = 7 5, ... sú násobky čísla 7.

Zistite, v ktorej dvojici čísel je jedno číslo násobkom druhého: a) 3, 35 c) 4, 70 e) 19, 24 b) 42, 7 d) 182, 13 f) 333, 37

PRÍKLAD

Nájdite všetky násobky čísla 8, ktoré sú menšie ako 50.

RIEŠENIE

Lukáš vie, že násobky čísla 8 dostane tak, že číslo 8 násobí prirodzenými číslami: 8 . 0 = 0, 8 . 1 = 8, 8 . 2 = 16, 8 . 3 = 24, 8 . 4 = 32, 8 . 5 = 40, 8 . 6 = 48, 8 . 7 = 56.

Číslo 56 je väčšie ako 50, preto všetky násobky čísla 8 menšie ako 50 sú: 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48.

ÚLOHA

Nájdite všetky násobky čísla 9, ktoré sú väčšie ako 50 a menšie ako 100.

PROBLÉM 4

Koľko násobkov majú prirodzené čísla?