Special_Printings_20191130_Physics

Φυσική Γˊ Λυκείου Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Γˊ Τόμος Κύματα – Ρευστά

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Φυσική Γˊ Λυκείου Ο.Π. Θετικών σπουδών Τόμος Γˊ Κύματα – Ρευστά

Εκπαιδευτικός Οργανισμός

Φυσική Γˊ Λυκείου Ο.Π. Θετικών σπουδών Τόμος Γˊ: Κύματα – Ρευστά Επιμέλεια ύλης:

Όνομα Επώνυμο

Όνομα Συνεργάτη

Μικρό Μεγάλο

Πρώτο Δεύτερο

Άλλο Όνομα

Όνομα Επώνυμο

Όνομα Συνεργάτη

Μικρό Μεγάλο

Πρώτο Δεύτερο

Άλλο Όνομα Επιμέλεια έκδοσης: Κώστας Παπαλέξης © Εκπαιδευτικός Οργανισμός, Οκτώβριος 2019 Πάροδος Αδριανείου 4-6, 144 52 Μεταμόρφωση Τηλ.: 2102824586. Φαξ: 2102824258 www.specialprintings.com Η κατά οποιονδήποτε τρόπο αντιγραφή, φωτοανατύπωση, ολική ή μερική αναδημοσίευση ή αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση και εν γένει κάθε εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου, επιτρέπεται μόνο με την έγγραφη άδεια του Εκδότη.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κύματα

Θεωρία.................................................................................................................................................................... 7

Ερωτήσεις – Ασκήσεις

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής..................................................................................................... 55

Ασκήσεις κατανόησης. ............................................................................................................................ 89

Ασκήσεις. ......................................................................................................................................................... 133

Προβλήματα. ................................................................................................................................................ 179 Ρευστά σε κίνηση

Θεωρία.............................................................................................................................................................. 217

Ερωτήσεις – Ασκήσεις

Ερωτήσεις κλειστού τύπου.............................................................................................................. 267

Ερωτήσεις ανοιχτού τύπου.............................................................................................................. 283

Ασκήσεις. ......................................................................................................................................................... 307

Προβλήματα. ................................................................................................................................................ 329 Χημική Ισορροπία. .............................................................................................................................................. 332 Σταθερά χημικής ισορροπίας Kc ........................................................................................................... 356

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α. ........................................................................................... 358

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Β............................................................................................. 378

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Γ.............................................................................................. 401

Ερωτήσεις κατανόησης Α.................................................................................................................. 421

Ερωτήσεις κατανόησης Β. ................................................................................................................. 440

Ερωτήσεις κατανόησης Γ................................................................................................................... 465

Ασκήσεις-Προβλήματα Α................................................................................................................... 488

Ασκήσεις-Προβλήματα Β................................................................................................................... 491

Ασκήσεις-Προβλήματα Γ.................................................................................................................... 504 Βιβλιογραφία ......................................................................................................................................................... 546 Σχετικές ατομικές μάζες................................................................................................................................. 548 Βιβλιογραφία. ......................................................................................................................................................... 602

5

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΡΕΥΣΤΑ Στοιχεία Θεωρίας – Ορισμοί – Προεκτάσεις 1. Μηχανικά Κύματα • Κύμα ονομάζεται η διάδοση μιας διαταραχής με σταθερή και πεπερασμένη ταχύτητα, κατά την οποία μεταφέρεται ενέργεια και ορμή, αλλά όχι ύλη.

• Ένα κύμα μπορεί να διαδίδεται σε κάποιο ελαστικό μέσο ή και στο κενό.

• Ελαστικό μέσο θεωρούμε ότι είναι κάποιο ισότροπο υλικό (έχει τις ίδιες φυσικές ιδιότητες προς όλες τις κατευθύνσεις) που αποτελείται από σωματίδια (υλικά σημεία) τα οποία είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους με ελαστικές δυνάμεις. Όταν το ελαστικό μέσο βρίσκεται σε ισορροπία, οι ελαστικές δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σωματίδιό του έχουν συνισταμένη μηδέν. Αν δεν συμβαίνει αυτό, τότε ασκείται συνισταμένη δυνάμεων που τείνει να επαναφέρει το σωματίδιο στη θέση ισορροπίας του. Ταυτόχρονα όμως, τα γειτονικά προς αυτό σωματίδια δέχονται δυνάμεις από αντίδραση και απομακρύνονται με τη σειρά τους από τη θέση ισορροπίας τους. Με το μηχανισμό αυτό, διαδίδεται από το ένα στο άλλο η διαταραχή που προκλήθηκε στο αρχικό σωματίδιο, με ταχύτητα ίδια προς όλες τις διευθύνσεις, αφού το μέσο όπως είπαμε είναι ισότροπο.

• Ως διαταραχή μπορεί να θεωρηθεί η μεταβολή διαφόρων μεγεθών: η απομάκρυνση των υλικών σημείων του ελαστικού μέσου από τη θέση ισορροπίας τους, η μεταβολή της πίεσης ή της πυκνότητας ενός αερίου, η μεταβολή της έντασης του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, κ.ά.

• Ως πηγή ενός κύματος θεωρείται η εξαναγκασμένη ταλάντωση που θα εκτελέσει αρχικά, υπό την επίδραση κάποιας εξωτερικής περιοδικής δύναμης, κάποιο σωματίδιο του ελαστικού μέσου. Η ενέργεια που προσφέρεται συνεχώς στο σωματίδιο αυτό, θα μεταβιβάζεται σταδιακά προς όλα τα σωματίδια του μέσου, προς όλες τις κατευθύνσεις και με ορισμένη ταχύτητα, οπότε και τα υπόλοιπα σωματίδια με τη σειρά τους θα εκτελούν εξαναγκασμένη ταλάντωση γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. Με τον τρόπο αυτό, μεταφέρεται η ενέργεια που παρέχεται στην πηγή χωρίς να συμβαίνει μεταφορά ύλης.

Το μέσο διάδοσης ενός κύματος, εκτός από ομογενές και ισότροπο, θεωρούμε επίσης ότι δεν ταξιδεύει στο χώρο.

7

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Μια άλλη κατηγορία κυματικών φαινομένων είναι η κυματική συμπεριφορά ατομικών και υποατομικών σωματιδίων. Με αυτά όμως ασχολείται η κβαντική φυσική.

Τα εγκάρσια κύματα πολώνονται, τα διαμήκη όχι. Μερικά κύματα δεν είναι ούτε καθαρά εγκάρσια, ούτε καθαρά διαμήκη. Για παράδειγμα στα κύματα της επιφάνειας του νερού, τα σωματίδια κινούνται τόσο πάνω-κάτω όσο και μπροστά-πίσω, διαγράφοντας ελλειπτικές τροχιές καθώς τα κύματα προχωρούν. Στα στερεά, τα διαμήκη κύματα διαδίδονται ταχύτερα από τα εγκάρσια.

8

• Κατηγοριοποίηση κυμάτων: Τα κύματα ανάλογα με διάφορα χαρακτηριστικά και τις ευρύτερες φυσικές ιδιότητές τους ταξινομούνται σε διάφορες κατηγορίες. Ας γνωρίσουμε τις κυριότερες από αυτές.

• Με κριτήριο το μέσο διάδοσής τους, διακρίνονται σε: i. Μηχανικά κύματα, τα οποία διαδίδονται μόνο σε υλικά μέσα. Μεταφέρουν μηχανική ενέργεια (π.χ. σεισμικά κύματα). ii. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα, τα οποία διαδίδονται και στο κενό. Μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρομαγνητικού πεδίου (π.χ. ραδιοκύματα).

• Με κριτήριο τις διαστάσεις του μέσου, διακρίνονται σε: i. Γραμμικά κύματα, τα οποία διαδίδονται προς μία μόνο διεύθυνση (π.χ. κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής). ii. Επιφανειακά κύματα, τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υλικού μέσου (π.χ. στην επιφάνεια ενός υγρού). iii. Χωρικά κύματα, τα οποία διαδίδονται προς όλες τις κατευθύνσεις ενός υλικού μέσου (π.χ. ηχητικά κύματα στον αέρα).

• Με κριτήριο τον τρόπο διάδοσής τους, διακρίνονται σε: i. Εγκάρσια κύματα, στα οποία τα υλικά σημεία του μέσου ταλαντώνονται κάθετα («εγκαρσίως») προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά και στην ελεύθερη επιφάνεια των υγρών (δηλαδή σε υλικά μέσα που παρουσιάζουν ελαστικότητα σχήματος). Η μορφή των εγκάρσιων κυμάτων χαρακτηρίζεται από «όρη» και «κοιλάδες» (ή «κορυφές» και «κοιλίες»). ii. Διαμήκη κύματα, στα οποία τα υλικά σημεία του μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση παράλληλη (κατά μήκος) της διεύθυνσης διάδοσης του κύματος. Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται σε όλα τα υλικά σώματα που παρουσιάζουν ελαστικότητα όγκου (στερεά, υγρά και αέρια). Η μορφή των διαμηκών κυμάτων χαρακτηρίζεται από «πυκνώματα» (όταν τα υλικά σημεία του μέσου είναι κοντά το ένα με το άλλο) και «αραιώματα» (όταν είναι απομακρυσμένα).

• Με κριτήριο τη μετατόπιση φάσης, διακρίνονται σε: i. Τρέχοντα κύματα, στα οποία συμβαίνει μετακίνηση της φάσης του κύματος από σημείο σε σημείο του μέσου, με πεπερασμένη ταχύτητα. ii. Στάσιμα κύματα, στα οποία η φάση του κύματος δεν μετακινείται.

• Αρμονικό (ή ημιτονοειδές) κύμα είναι αυτό που παράγεται από πηγή η οποία εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Όλα τα σωματίδια του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα, εκτελούν επίσης απλή αρμονική ταλάντωση.

• Η ταχύτητα διάδοσης υ ενός αρμονικού κύματος είναι σταθερή. x Περιγράφεται από την απλή σχέση: υ = (1) t με x την απόσταση που διανύει το κύμα κατά μήκος μιας διεύθυνσης, σε χρόνο t . Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται από τις ιδιότητες (την ελαστικότητα και την αδράνεια) του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται και από το αν το κύμα είναι εγκάρσιο ή διάμηκες, ενώ είναι ανεξάρτητη από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. Προσοχή: Δεν πρέπει να συγχέουμε τη σταθερή ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος με τη χρονικά μεταβαλλόμενη ταχύτητα ταλάντωσης (η οποία ονομάζεται και «ωκύτητα») των υλικών σημείων του μέσου στο οποίο το κύμα διαδίδεται.

• Περίοδος T και συχνότητα f ενός αρμονικού κύματος, είναι αντίστοιχα η περίοδος και η συχνότητα της ταλάντωσης των σωματιδίων του ελαστικού μέσου, οι οποίες με τη σειρά τους είναι ίσες με αυτές της Α.Α.Τ. που εκτελεί η πηγή του κύματος. Για την περίοδο ενός αρμονικού κύματος, μπορούμε επίσης να πούμε πως είναι η χρονική διάρκεια στην οποία η κυματική εικόνα επαναλαμβάνεται.

y

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης των σωματιδίων του μέσου, αποτελεί χαρακτηριστικό γνώρισμα της ταλάντωσης της πηγής του κύματος και δεν εξαρτάται από το ελαστικό μέσο.

y t

t+T x

0

x 0

Σχήμα 1: Σε χρόνο μίας περιόδου T , η κυματική εικόνα ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος επαναλαμβάνεται.

Η συχνότητα του κύματος εκφράζει επίσης τον αριθμό των «κορυφών» (αν πρόκειται για εγκάρσιο) ή «πυκνωμάτων» (αν πρόκειται για διαμήκες) που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου, στη μονάδα του χρόνου (παρόμοια βέβαια για «κοιλίες» ή «αραιώματα»).

y λ x 0 λ/2 Σχήμα 2: Δύο διαδοχικά «όρη» στο εγκάρσιο κύμα απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ .

9

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

• Πλάτος A του αρμονικού κύματος είναι το πλάτος ταλάντωσης των υλικών σημείων του μέσου διάδοσης.

• Μήκος κύματος λ ορίζεται η απόσταση που διανύει ένα κύμα σε χρόνο ίσο με την περίοδό του Τ. Δύο διαδοχικά «όρη» (στο εγκάρσιο κύμα) ή δύο διαδοχικά «πυκνώματα» (στο διαμήκες) απέχουν μεταξύ τους απόσταση λ.

• Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής. Με βάση τον ορισμό του μήκους κύματος λ , θέτοντας όπου x = λ και όπου t = T στη σχέΤα εγκάρσια κύματα ση (1) της ταχύτητας διάδοσης του κύματος, παίρνουμε: πολώνονται, τα λ διαμήκη όχι. υ = (2).

T Συνδυάζοντας και τη σχέση μεταξύ συχνότητας και περιόδου 1 T = προκύπτει τελικά: υ = λ ⋅ f (3) f η οποία ονομάζεται «θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής» και ισχύει για οποιοδήποτε αρμονικό (αλλά και γενικότερα περιοδικό) κύμα.

• Κατά τη διάδοση ενός κύματος από ένα μέσο σε άλλο, η συχνότητα f παραμένει σταθερή ενώ η ταχύτητα διάδοσης υ και το μήκος κύματος λ μεταβάλλονται.

• Εξίσωση Αρμονικού Κύματος Στο αρμονικό κύμα όλα τα σημεία του μέσου εκτελούν Α.Α.Τ. ίδιας συχνότητας f και πλάτους A (στη μελέτη του αρμονικού y κύματος θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας κατά A τη διάδοση). Η εξίσωση του αρμονικού κύματος (ή κυματοσυνάρτηση) στην y οποία θα καταλήξουμε σε λίγο, είναι η απαραίτητη εξίσωση που x’ x θα υπολογίζει την απομάκρυνση y ενός σωματιδίου του μέσου 0 x από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο t και M την απόσταση x από την αρχή μέτρησης των αποστάσεων ( x = 0 ). λ Θεωρούμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο διάδοσης (π.χ. μία χορδή) που συμπίπτει με τον άξονα x′Ox , κατά μήκος του Σχήμα 3: Σημείο Μ του ελαστικού οποίου διαδίδεται με ταχύτητα υ ένα αρμονικό κύμα προς τη μέσου που απέχει απόσταση x από θετική φορά του άξονα. Στο σημείο O βρίσκεται η πηγή του την πηγή Ο του κύματος. κύματος, η οποία εκτελεί Α.Α.Τ. συχνότητας f και πλάτους A . Επιλέγουμε σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων ( x = 0 ) τη θέση O της πηγής και σαν αρχή μέτρησης του χρόνου ( t = 0 ) τη στιγμή που η πηγή, κατά την απλή αρμονική ταλάντωσή της, βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της ( y = 0 ) και η ταχύτητα ταλάντωσής της είναι θετική (δηλαδή η αρχική φάση της Α.Α.Τ. της πηγής είναι μηδέν). Η εξίσωση της απομάκρυνσης της πηγής, θα είναι επομένως:  2π  y = Aηµ ( ωt ) ⇒ y = Aηµ  t   T  όπου ω η γωνιακή ταχύτητα και T η περίοδος ταλάντωσης της πηγής O .

10

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

• Η (στιγμιαία) φάση του κύματος έχει διαστάσεις γωνίας και t x είναι η παράσταση: ϕ = 2π  −  . Εξαρτάται τόσο από τη T λ χρονική στιγμή t (αυξάνεται με τον χρόνο), όσο και από την απόσταση x από την πηγή (ελαττώνεται όσο αυξάνεται το x ).

• Η φάση ενός συγκεκριμένου σημείου M του μέσου που απέχει απόσταση x1 από την πηγή, σε συνάρτηση με το χρόνο t , t x  θα έχει τη μορφή: ϕ = 2π  − 1  . T λ  Αφού στην περίπτωση αυτή x1 = σταθ. θα είναι συνάρτηση της μορφής y = αx − β , οπότε η γραφική της παράσταση θα είναι σαν αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα 6. Παρατηρούμε ότι: xT

• Για τις χρονικές στιγμές t < 1 η φάση είναι αρνητική λ ( ϕ < 0 ). Αυτό σημαίνει ότι το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμα στο σημείο M . xT

• Τη χρονική στιγμή t = 1 ισχύει ϕ = 0 που σημαίνει λ ότι αυτή ακριβώς τη χρονική στιγμή το κύμα φτάνει στο σημείο M και εκείνο αρχίζει την ταλάντωσή του.

φ

• Η φάση των διαφόρων σημείων του μέσου σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t1 θα έχει τη μορφή: t x ϕ = 2π  1 −  . Αφού στην περίπτωση αυτή t1 = σταθ. θα εί T λ ναι συνάρτηση της μορφής y = α − βx , οπότε η γραφική της παράσταση θα είναι σαν αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα 7. Παρατηρούμε ότι:

• Η φάση της πηγής ( x = 0 ) είναι μέγιστη και ίση με t ϕ = ϕmax = 2π 1 . Η πηγή έχει τη μεγαλύτερη φάση.

T Για x > 0 , δηλαδή όσο απομακρυνόμαστε από την πηγή, λt η φάση μειώνεται και γίνεται ϕ = 0 στη θέση x = 1 , T που είναι η θέση (το σημείο) όπου έχει φτάσει το κύμα τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή t1 .

• Για όλα τα επόμενα σημεία, η φάση θα είναι αρνητική (αφού το κύμα δεν έχει φτάσει ακόμα σε αυτά).

• Σύμφωνα με τα προηγούμενα, προκύπτει για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή το γενικό συμπέρασμα πως όσο η απόσταση x από την πηγή του κύματος αυξάνεται, η φάση ϕ ελαττώνεται. Συγκρίνοντας λοιπόν τις φάσεις ταλάντωσης δύο διαφορετικών σωματιδίων του μέσου που βρίσκονται στην ίδια ευθεία διάδοσης του κύματος, σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μπορούμε να βρούμε τη φορά κατά την οποία διαδίδεται το κύμα:

t 0 -2π

x1 λ

x1 ∙ T λ x = x1= σταθ.

Σχήμα 6: Η φάση του Μ αυξάνεται γραμμικά με τον χρόνο.

φ t 2π 1 Τ

0

t = t1= σταθ.

λ ∙ t1 λ

x

Σχήμα 7: Η φάση των διαφόρων σημείων μειώνεται γραμμικά όσο αυξάνεται η απόσταση από την πηγή.

11

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

1.

2.

3.

t=0

t=

T 4

t=

T 2

t=

3T 4

Σχήμα 8: Στιγμιότυπα στάσιμων σαν αποτέλεσμα της επαλληλίας δύο κυμάτων, ενός που διαδίδεται προς τα αριστερά και ενός που διαδίδεται προς τα δεξιά. (1) και (2) είναι οι συνιστώσες, (3) η συνισταμένη.

• Κοιλίες, όπως είπαμε, είναι τα σημεία που ταλαντώνονται με το μέγιστο πλάτος. Για αυτά θα ισχύει επομένως A′ = 2A . Από τη σχέση (14), έχουμε:

x x x A′ = 2A ⇒ 2Aσυν2π = 2A ⇒ συν2π = ±1 ⇒ 2π = κπ ⇒ λ λ λ

λ λ x = κ ή x = 2κ ( κ = 0, ± 1, ± 2, ... ).

2 4

Δηλαδή, κοιλίες είναι τα σημεία που απέχουν από το O αποστάσεις που είναι ακέραια πολλαπλάσια του μισού μήκος κύματος (ή άρτια πολλαπλάσια του λ 4 ). Για κ = 0 προκύπτει x = 0 . Επομένως στην παραπάνω μελέτη, η αρχή των αποστάσεων («πηγή») O είναι κοιλία.

• Δεσμοί είναι τα σημεία του στάσιμου που παραμένουν διαρκώς ακίνητα. Για αυτό θα ισχύει A′ = 0 . Από τη σχέση (14), έχουμε:

12

A′ = 0 ⇒ 2Aσυν2π

x = ( 2κ + 1)

x x x π = 0 ⇒ συν2π = 0 ⇒ 2π = ( 2κ + 1) ⇒ λ λ λ 2

λ ( κ = 0, ± 1, ± 2, ... ).

4

• Όπως προκύπτει από τις προηγούμενες συνθήκες των κοιλιών ή των δεσμών, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών ή μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι ίση με λ 2 και ονομάζεται μήκος στάσιμου κύματος. Πράγματι: • Για δύο διαδοχικές κοιλίες:

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

λ κ = 1: x1 =  λ λ 2  ∆x = x 2 − x1 = λ − ⇒ ∆x = .

2 2 κ = 2: x 2 = λ 

• Για δύο διαδοχικούς δεσμούς: λ 4  ∆x = x − x = 3λ − λ ⇒ ∆x = λ .  2 1 3λ  4 4 2 κ = 1: x 2 = 4 

κ = 0:

x1 =

• Ενεργειακή Προσέγγιση Το στάσιμο κύμα καταχρηστικά φέρει τον τίτλο «κύμα» καθότι η ενέργεια δεν μεταβιβάζεται από σημείο σε σημείο του μέσου, αφού εμποδίζεται από τους ακίνητους δεσμούς. Αυτή είναι και μια μεγάλη του διαφορά με τα τρέχοντα κύματα, η οποία με τη σειρά της συνεπάγεται αρκετές άλλες. Η αρχική ενέργεια που μεταφέρεται από τα κύματα που συμβάλλουν, παγιδεύεται ανάμεσα από τους δεσμούς και υπάρχει εκεί σαν ενέργεια απλής αρμονικής ταλάντωσης (κινητικής και δυναμικής) στα άλλα σωματίδια του μέσου που ταλαντώνονται. Η ενέργεια αυτή είναι ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους ταλάντωσης και αφού κάθε σημείο έχει το δικό του διαφορετικό πλάτος, συνεπάγεται πως το καθένα θα έχει και διαφορετική ενέργεια. Μεθοδολογία – Παρατηρήσεις

• Όταν σε άσκηση ή πρόβλημα δίνεται η εξίσωση ενός στάσιμου κύματος, τότε τη φέρνουμε —αν δεν είναι ήδη— στη γενική μορφή της θεωρητικής x t y = 2Aσυν2π ηµ2π και με αντιστοίχιση λ T των όρων εξάγουμε το πλάτος A , την περίοδο T και το μήκος κύματος λ .

• Σε ένα στάσιμο κύμα, τα σημεία του ελαστικού μέσου που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς, έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια φορά κίνησης, διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους και φτάνουν ταυτόχρονα στις θέσεις της μέγιστης απομάκρυνσής τους. Επομένως, τα σημεία αυτά έχουν κάθε στιγμή την ίδια φάση.

13

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

• Υδροστατικό παράδοξο όταν σε δοχείο οποιουδήποτε σχήματος τοποθετηθεί το ίδιο υγρό, η πίεση, επομένως και η δύναμη ανά μονάδα επιφάνειας που ασκείται στον πυθμένα του, εξαρτάται μόνο από το ύψος του υγρού σε αυτό (και όχι από τη συνολική του μάζα).

h

Α

Β

Γ

Δ

Ε

ΡΑ = ΡΒ = ΡΓ = ΡΔ = ΡΕ = Ρατμ + ρgh

• Αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων Σε δοχείο με κατακόρυφους κλάδους οποιουδήποτε σχήματος, η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού που περιέχεται θα βρίσκεται στο ίδιο ύψος, εφόσον το υγρό ηρεμεί. Εάν αυτό δε συνέβαινε, θα υπήρχε διαφορά υδροστατικής πίεσης στα κατακόρυφα σκέλη και το υγρό θα έπρεπε να κινείται.

Η αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων δεν ισχύει όταν η h πίεση στην επιφάνεια όλων των δοχείων δεν είναι η ίδια και στην περίπτωση που το υγρό δεν είναι ομογενές, αλλά αποτελείται από δύο ή περισσότερα υγρά διαφορετικής πυκνότητας, που δεν αναμιγνύονται μεταξύ τους.

14

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Εάν το υγρό βρίσκεται σε δοχείο που φράσσεται με  έμβολο, ασκώντας δύναμη F στο έμβολο, θα ισχύει: Pεµβ = (F + w εµβ ) / A εµβ . Άρα: P = P + P = P + (F + w εµβ ) / A εµβ , οπότε εξ ατµ εµβ ατµ P = P + P + P ⇒ Pολ = Pατµ + Pεµβ + ρυγρ ⋅ g ⋅ h ολ ατµ εµβ υδρ Εάν πάνω από το έμβολο υπάρχει κενός χώρος και δεν του ασκούμε δύναμη, τότε: Pεξ = Pεµβ = w εµβ / A εµβ .

wεµβ

Παρατηρήσεις – Εφαρμογές

1.

2.

Μαθηματικό βοήθημα Όγκος κατακόρυφης ή οριζόντιας κυλινδρικής στήλης: V = A ⋅ h όπου h: ύψος κατακόρυφης στήλης (ή μήκος οριζόντιας στήλης) και V : εμβαδόν διατομής κυκλικής βάσης, με 2 δ A = π⋅ r2 = π⋅   . 2 Απόδειξη της θεμελιώδους εξίσωσης στατικής των υγρών Σε υγρό που βρίσκεται σε ηρεμία μέσα σε ακίνητο κυλινδρικό δοχείο, εξετάζουμε την ισορροπία σε ένα δείγμα του μάζας m , που περιέχεται σε έναν υποθετικό κύλινδρο βάσης A και ύψους h . ΣFy = 0 ⇒ F1 − F2 − w = 0 ⇒ F1 = F2 + w ⇒ P1 ⋅ A = P2 ⋅ A + m ⋅ g ⇒ P1 ⋅ A = P2 ⋅ A + ρ⋅ V ⋅ g ⇒ P1 ⋅ A = P2 ⋅ A + ρ⋅ A ⋅ h ⋅ g ⇒ P1 = P2 + ρ⋅ g ⋅ h Επειδή h = h1 − h2 , αν h2 = 0 η πάνω βάση του δείγματος βρίσκεται στην επιφάνεια του υγρού που επικοινωνεί με την ατμόσφαιρα και θα ισχύει: P1 = Pατµ + ρ⋅ g ⋅ h

Προσοχή: Εάν το δοχείο του υγρού δεν είναι ακίνητο, αλλά κινείται ομαλά μεταβαλλόμενα, τότε ισχύει: ΣFy = m ⋅α . Συγκεκριμένα, εάν το δοχείο κινείται ομαλά επιταχυνόμενα προς τα πάνω και h2 = 0 , τότε για το δείγμα έχουμε: ΣFy = m ⋅α ⇒ F1 − Fατµ − w = m ⋅α ⇒ P1 ⋅ A − Pατµ ⋅ A − m ⋅ g = m ⋅α ⇒

P1 ⋅ A − Pατµ ⋅ A − ρ⋅ A ⋅ h ⋅ g = ρ⋅ A ⋅ h ⋅ A ⇒ P1 = Pατµ + ρ⋅ ( g + α ) ⋅ h .

Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι εάν το δοχείο εκτελεί ελεύθερη πτώση ( α = g ) , τότε: P1 = Pατµ .

r

A

h

h2 h1

F⃗2

A

w⃗

ℎ

F⃗1

3. Σε συνθήκες ισορροπίας ενός ρευστού, η ολική πίεση στα σημεία που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο (βάθος) έχουν πάντα την ίδια τιμή. Επίσης, η ολική πίεση δεν επηρεάζεται από το σχήμα του δοχείου στο οποίο περιέχεται το υγρό.

15

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

4. Γραφική παράσταση ολικής πίεσης – βάθους: Η κλίση της γραφικής παράστασης Pολ = f (h) ισούται με: Pολ − Pατµ εϕϕ = ⇒ εϕϕ = ρυγρ ⋅ g . h

Σε δύο υγρά που δεν αναμειγνύονται μεταξύ τους, επειδή ρ2 > ρ1 , ισχύει: εϕϕ2 > εϕϕ1 ⇒ ϕ2 > ϕ1 .

Ρολ

ℎ

Ρολ ρυγρ gh

φ

Ρατμ 0

ℎ

ℎ

Τα εγκάρσια κύματα πολώνονται, τα διαμήκη όχι.

ρ1 h1

Ρολ Ρ2 Ρ1 Ρατμ

0

16

φ2 φ1 ℎ1

ρ2 g(h2- h1) ρ1 gh1 ℎ2 ℎ

ρ2

h2

5. Τα μανόμετρα είναι όργανα μέτρησης της πίεσης. Στις πρακτικές εφαρμογές, τα μανόμετρα του εμπορίου (π.χ. ανοιχτά μανόμετρα) μετρούν τη διαφορά πίεσης του ρευστού από την ατμόσφαιρα (σχετική πίεση). Στα θεωρητικά θέματα όμως, τα μανόμετρα θα μετρούν την ολική πίεση.

6. Το άθροισμα της ολικής πίεσης και της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου, είναι σταθερό για οποιοδήποτε σημείο του υγρού σε ισορροπία.

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

P1 = Pατµ + ρ⋅ g ⋅ (H − y1 )  ( − ) ⇒ P2 = Pατµ + ρ⋅ g ⋅ (H − y 2 ) 

P1 − P2 = −ρ⋅ g ⋅ y1 + ρ⋅ g ⋅ y 2 ⇒ P1 + ρ⋅ g ⋅ y1 = P2 + ρ⋅ g ⋅ y 2 ⇒

h1

1

h2

2

 dUβ   dUβ  P1 +   = P2 +    dV 1  dV 2

Ισχύει ότι:

y1

y2 Uβ = 0

dUβ dm

= ⋅ g ⋅ y = ρ⋅ g ⋅ y : Βαρυτική ενέργεια ανά μονάδα όγκου. dV dV

7. Οι δυνάμεις που ασκούνται λόγω πίεσης στα πλευρικά τοιχώματα κλειστού δοχείου, έχουν κατεύθυνση πάντα κάθετη στην επιφάνεια και αυξάνονται με το βάθος h .

F1 = P1 ⋅ ∆A = ρ⋅ g ⋅ h1 ⋅ ∆A F2 = P2 ⋅ ∆A = ρ⋅ g ⋅ h2 ⋅ ∆A F3 = P3 ⋅ ∆A = ρ⋅ g ⋅ h3 ⋅ ∆A όπου ∆A : στοιχειώδης επιφάνεια. Άρα: F3 > F2 > F1 . Για το λόγο αυτό, τα φράγματα στις τεχνητές λίμνες, όπως και οι μεγάλες δεξαμενές, κατασκευάζονται σχετικά λεπτά στην κορυφή τους και πολύ φαρδιά στη βάση τους.

ℎ1

ℎ2

F1

ℎ3

F2 F3

F⃗2

2 y⃗ y⃗ 1

3 L

w⃗ F⃗1

L

17

A 2y

H

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Απόδειξη Έστω σώμα που βρίσκεται πλήρως βυθισμένο σε υγρό. Η συνισταμένη των δυνάμεων που δέχεται από το υγρό ισούται με: ΣFx = 0 , ενώ Σ − F⋅1g=⋅ VPβυθ P1υγρ⋅ A ==(P ΣFFyyυγρ = = Fρ2υγρ Α2 ν−.P1 ) ⋅ A 2 ⋅ A=−w υγρ

εκτ

= (Pατµ + ρυγρ ⋅ g ⋅ h2 ) − (Pατµ + ρυγρ ⋅ g ⋅ h1 )  ⋅ A = ρυγρ ⋅ g ⋅ (h2 − h1 ) ⋅ A

F⃗1

h1

= ρυγρ ⋅ g ⋅ H ⋅ A = ρυγρ ⋅ g ⋅ Vβυθ

h2 H

= mυγρεκτ ⋅ g = w υγρεκτ ⇒ Εάν το σώμα ισορροπεί: ΣFy = 0 ⇒ ΣFyυγρ = w σωµ ⇒ Αν = w σωµ . Εάν το σώμα κινείται προς τα πάνω: ΣFy = Αν − w σωµ . Εάν το σώμα κινείται προς τα κάτω: ΣFy = w σωµ − Αν . Φαινόμενο βάρος σώματος: ΣFy = Αν − w σωµ < w σωµ .

F⃗2

Λυμένα παραδείγματα στην ταλάντωση με άνωση 1. Ομογενής κύλινδρος, ύψους H = 25,2 cm και πυκνότητας ρ = 7,2 g cm3 , ισορροπεί με τον άξονά του κατακόρυφο στη διαχωριστική επιφάνεια δύο υγρών με πυκνότητες ρ1 = 13,6 g cm3 και ρ2 = 1 g cm3 , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εκτρέπουμε κατακόρυφα προς τα κάτω τον κύλινδρο από τη θέση ισορροπίας του κατά y και τον αφήνουμε ελεύθερο. Να δείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει Α.Α.Τ. και να υπολογίσετε την περίοδο ταλάντωσης. Δίνεται: g = 10 m/s2 .

ρ2

Λύση

ρ2

Α⃗ν1 Η

Α⃗ν2

y⃗ Α⃗ν2

h1 w⃗σωμ

ρ1

18

Α⃗ν1

ρ1

h1 y⃗

w⃗σωμ

Θ. Ι. Θ. Αποµ. (+)

Στην περίπτωση προωθητικής αντλίας (υδροτουρμπίνας), για τα σημεία εκατέρωθεν αυτής ο νόμος δεν ισχύει, διότι η προώθηση γίνεται μέσω συμπίεσης του ρευστού στην περιοχή άντλησης, οπότε διαφοροποιείται η πυκνότητα του ρευστού πριν και μετά την αντλία. Για σημεία, όμως, που βρίσκονται από την ίδια μεριά της αντλίας ισχύει ο νόμος. Άρα στο διπλανό σχήμα, μπορούμε να εφαρμόσουμε το νόμο για τα σημεία 2 και 3, αλλά όχι για τα σημεία 1 και 2 ή 1 και 3.

β. Να μην υπάρχουν εσωτερικές δυνάμεις τριβής μεταξύ των μορίων του ρευστού ή μεταξύ των μορίων και των τοιχωμάτων του δοχείου, δηλαδή να μην υπάρχουν θερμικές απώλειες μηχανικής ενέργειας.

γ. Η ροή να είναι στρωτή, δηλαδή δεν ισχύει για μεγάλες ταχύτητες στις οποίες η ροή γίνεται τυρβώδης.

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

1

2

Απόδειξη της εξίσωσης Bernoulli

υ⃗2

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η μετατόπιση ορισμένης ποσότητας ρευστού, από το κάτω μέρος του σωλήνα στο πάνω. Επειδή το ρευστό είναι ασυμπίεστο ισχύει: ∆V1 = A1 ⋅ ∆x1 = A2 ⋅ ∆x 2 = ∆V2 υ⃗1

α’ τρόπος: Θ.Μ.Κ.Ε. (1 → 2 ) ⃗ K − K = WΣF ⇒ τελ αρχ K − K = W + W (1) 2 1 F1 ,2 w

y2

Δx1

y1

όπου:

Ww = −∆m ⋅ g ⋅ ( y2 − y1 ) ,

υ⃗2

∆m = ρ⋅ ∆V .

υ⃗1

y2 Δx1

Άρα έχουμε:

1 1 ⋅ρ⋅ ∆V ⋅ υ22 − ⋅ρ⋅ ∆V ⋅ υ12 = (P1 − P2 ) ⋅ ∆V − ρ⋅ ∆V ⋅ g ⋅ ( y 2 − y1 ) ⇒ 2 2 1 1 2 2 ⋅ρ⋅ υ2 − ⋅ρ⋅ υ1 = P1 − P2 − ρ⋅ g ⋅ y 2 + ρ⋅ g ⋅ y1 ⇒ 2 2 1 1 P2 + ⋅ρ⋅ υ22 + ρ⋅ g ⋅ y2 = P1 + ⋅ρ⋅ υ12 + ρ⋅ g ⋅ y1 2 2

F⃗2

Δx2

F⃗1 y1

F⃗2

Δx2

F1

1 K2 = ⋅ ∆m ⋅ υ22 , 2

1 K1 = ⋅ ∆m ⋅ υ12 , 2

W = (P1 − P2 ) ⋅ ∆V , F1 ,2

3

(1) ⇒

19

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

F⃗ T⃗

⃗ Tˊ υ⃗ = σταθ. w⃗

2R

υ=0 υ⃗ max υ=0

F⃗2

Α

Δx2

Δx1 F⃗1

F⃗1

20

F⃗2

Ενεργειακές μεταβολές Στη διπλανή διάταξη, η κάτω πλάκα είναι ακλόνητη, ενώ η πάνω πλάκα μπορεί να κινείται μέσω της δύναμης που ασκεί το βάρος του μικρού σώματος που κρέμεται από το νήμα. Μεταξύ των πλακών τοποθετούμε ένα παχύρευστο υγρό (π.χ. μέλι). Όταν η πάνω πλάκα κινείται μεσταθερή ταχύτητα, τότε το μέτρο της δύναμης της εσωτερικής τριβής Τ είναι ίσο με το μέτρο  του βάρους  w του σώματος (θεωρούμε την τροχαλία αβαρή). Η Τ ασκείται επί της πάνω πλάκας από την ακίνητη κάτω πλάκα, μέσω του ρευστού που παρεμβάλλεται μεταξύ τους.  Λόγω δράσης – αντίδρασης, η πάνω πλάκα ασκεί στην κάτω δύναμη Τ′ αντίθετη της Τ , που τείνει να την κινήσει. Η δύναμη της εσωτερικής τριβής Τ , μέσω του έργου της WΤ = Τ⋅ x , αφαιρεί μηχανική ενέργεια από την πάνω πλάκα και τη μετατρέπει σε θερμική, με αποτέλεσμα να αυξάνεται η θερμοκρασία του ρευστού.  Η δύναμη F , μέσω του έργου της προσφέρει μηχανική ενέργεια στην πάνω πλάκα  και αναπληρώνει τις απώλειες. Η ενέργεια που προσφέρει η δύναμη F προέρχεται από τη μείωση της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας του μικρού σώματος. Συνολικά, η μηχανική ενέργεια της πάνω πλάκας διατηρείται σταθερή. Ροή πραγματικού ρευστού μέσα σε κυλινδρικό σωλήνα Όταν ένα πραγματικό ρευστό ρέει μέσα σε κυλινδρικό σωλήνα, αναπτύσσονται δυνάμεις συνάφειας στα μόρια του ρευστού που έρχονται σε επαφή με τα εσωτερικά τοιχώματα του σωλήνα, με αποτέλεσμα αυτά να παραμένουν ακίνητα. Η ταχύτητα, λοιπόν, του ρευστού κοντά στην εσωτερική επιφάνεια του δοχείου είναι μηδενική. Αν απομακρυνθούμε από τα τοιχώματα του σωλήνα προς το κέντρο της διατομής του, τα μόρια του ρευστού κινούνται με μεγάλες ταχύτητες και τη μέγιστη ταχύτητα την έχουν στο κέντρο της διατομής του σωλήνα, δηλαδή στον άξονα του σωλήνα. Για ένα πραγματικό ρευστό, στη σχέση παροχής η ταχύτητα είναι η μέση ταχύτητα υ . Άρα: Π = A ⋅ υ . Ενεργειακές μετατροπές Έστω πραγματικό ρευστό, το οποίο ρέει σε οριζόντιο σωλήνα σταθερής διατομής Α , με σταθερή μέση ταχύτητα υ . Μια μάζα ∆m του ρευστού, που αντιστοιχεί σε όγκο ∆V , μετακινείται κατά ∆x μέσα στον οριζόντιο σωλήνα.  Η μάζα δέχεται εσωτερική τριβή Τ , της οποίας το έργο κατά απόλυτη τιμή ισούται με: WΤ = Τ⋅ ∆x . Το έργο αυτό μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια στο ρευστό. Ο σωλήνας είναι οριζόντιος και η μέση ταχύτητα του ρευστού είναι σταθερή, επομένως η μηχανική ενέργεια του ρευστού παραμένει σταθερή. Η θερμική ενέργεια αναπληρώνεται από το προσφερόμενο έργο κάποιου  εξωτερικού παράγοντα, που δημιουργεί διαφορά πίεσης. Εάν F1 και F2 είναι οι δυνάμεις που ασκούνται στο τμήμα του ρευστού από το περιβάλλον, τότε η προσφερόμενη ενέργεια ισούται με:

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

WF1 ,2 = WF1 + WF2 = F1 ⋅ ∆x − F2 ⋅ ∆x = P1 ⋅ A ⋅ ∆x − P2 ⋅ A ⋅ ∆x ⇒

WF1 ,2 = (P1 − P2 ) ⋅ A ⋅ ∆x ⇒ WF1 ,2 = (P1 − P2 ) ⋅ ∆V . Όταν το περιβάλλον προσφέρει ενέργεια στο ρευστό, για να αναπληρώσει την ενέργεια που χάνει λόγω εσωτερικής τριβής, το έργο είναι θετικό: WF1 ,2 > 0 ⇒ (P1 − P2 ) ⋅ ∆V > 0 ⇒ P1 − P2 > 0 ⇒ P1 > P2 . Επομένως, κατά μήκος ενός οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής, στον οποίο ρέει πραγματικό ρευστό με σταθερή μέση ταχύτητα, η πίεση πάντα ελαττώνεται. Αυτό έρχεται σε αντίθεση με το ιδανικό ρευστό, όπου η ροή του σε οριζόντιο σωλήνα μπορεί να συνεπάγεται ή μείωση της πίεσης (εάν A ↓ ) ή αύξησή της (εάν A ↑ ) ή και καμία διαφοροποίησή της (εάν A = σταθ. , όπως παραπάνω) (κοίτα σελ. 29).

Ροή ιδανικού ρευστού κατά μήκος οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής

h1

Ροή πραγματικού ρευστού κατά μήκος οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής

h2

A

h1

B

F⃗A

Α

Β

A =σταθ.

h2

A F⃗B

F⃗A

B

T⃗

Α

Β

A =σταθ.

Π = σταθ. ⇒ υ = σταθ. ⇒

Π = σταθ. ⇒ υ = σταθ. ⇒

ΣFx = 0 ⇒ FA = FB ⇒

ΣFx = 0 ⇒ FA = FB + Τ ⇒

PA = PB

P =Pατµ +ρ⋅g ⋅h

⇒

h1 = h2

F⃗B

FA > FB ⇒ PA > PB

P =Pατµ +ρ⋅g ⋅h

⇒

h1 > h2

21

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Β

45. Το βεντουρίμετρο ή σωλήνας Venturi, είναι μια συσκευή με την οποία μπορούμε να μετρήσουμε την ταχύτητα ροής του ρευστού σε σωλήνα. Αν είναι γνωστές οι διατομές A1 , A 2 του σωλήνα και η υψομετρική διαφορά h στη στάθμη των δύο κατακόρυφων ανοιχτών σωλήνων Β και Γ, τότε η ταχύτητα ροής στην περιοχή του σωλήνα που έχει διατομή Á1 είναι: 2 ⋅ g ⋅h

α. υ1 = 2   A

1   −1 A  2

h Γ υ⃗1

1

2

β. υ1 = 2 ⋅ g ⋅ h

υ⃗2 Α2

γ. υ1 =

A1

2 ⋅ g ⋅h 2

 A2    −1  A1 

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας την επιλογή σας.

υ⃗1

Α1

Α2

46. Στον οριζόντιο σωλήνα του σχήματος (βεντουρίμετρο) ρέει ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ , ενώ ο υοειδής σωλήνας περιέχει υδράργυρο πυκνότητας ρ′ , που ηρεμεί. Η σχέση που συνδυάζει το μέτρο της ταχύτητας ροής του αέρα στην περιοχή A1 , υ1 με την υψομετρική διαφορά h του υδραργύρου στις δύο στήλες του υοειδούς σωλήνα είναι: α. υ1 =

h Λ β. υ1 =

Κ ά ρ γ υ ρ ο σ,

( ρ′ − ρ ) ρ

⋅

ρ

΄

Y

δρ

2 ⋅ g ⋅h ρ′ ⋅ ρ   A 2   1  − 1  A2  

γ. υ1 =

2 ⋅ g ⋅h   A 2   1  − 1  A2  

2 ⋅ g ⋅h A  1− 1   A2 

2

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας την επιλογή σας.

22

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

47. Στον οριζόντιο σωλήνα του διπλανού σχήματος (βεντιρούμετρο) ρέει αέρας, ενώ ο υοειδής σωλήνας περιέχει υγρό που ηρεμεί. Αν το εμβαδόν διατομής στην περιοχή Α του οριζόντιου σωλήνα είναι πενταπλάσιο του εμβαδού διατομής στην περιοχή Β , τότε:

Α. H σχέση που συνδυάζει τη διαφορά ύψους ∆h του υγρού στις δύο στήλες του υοειδούς σωλήνα με την ταχύτητα ροής του αέρα στην περιοχή Α είναι: ρ υ2 υ2 α. ∆h = 12 ⋅ υγρ ⋅ 1 γ. ∆h = 12 ⋅ 1 g ραερ g

β. ∆h = 12 ⋅

Α

υ⃗1

Β

υ⃗2

Δh

ραερ υ12

⋅ ρυγρ g

Να θεωρηθεί ότι: ρυγρ  ραερ , οπότε ρυγρ − ραερ ≅ ρυγρ

Β. Αν ο υοειδής σωλήνας ήταν γεμάτος με υγρό και η πίεση στην περιοχή Β μηδενιζόταν, τότε: α. το υγρό θα συνέχιζε να ισορροπεί β. το υγ ρό θα παρασυρόταν από το διερχόμενο αέρα προς τα αριστερά γ. το υγρό θα παρασυρόταν από το διερχόμενο αέρα προς τα δεξιά. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας την επιλογή σας.

48. Ο σωλήνας Pitot είναι μια συσκευή, η οποία χρησιμοποιείται για τη μέτρηση της ταχύτητας ενός ρευστού ή ενός κινούμενου σώματος μέσα στο ρευστό, όπως το αεροπλάνο. Τοποθετείται έτσι ώστε το άνοιγμά του να είναι παράλληλο στο ρεύμα του αέρα. Αποτελείται από δύο ομόκεντρους σωλήνες, οι οποίοι είναι έτσι συνδεδεμένοι, ώστε να δημιουργούν δύο ανεξάρτητους χώρους. Στο σχήμα, φαίνονται τα δύο διαμερίσματα του σωλήνα τα οποία μπορούν να επικοινωνούν έμμεσα μέσω ενός σωλήνα τύπου U, οποίος περιέχει υγρό (συνήθως υδράργυρο) πυκνότητας ρυγρ σε ισορροπία. Μέσω της υψομετρικής διαφοράς που παρουσιάζει το υγρό, μπορούμε να μετρήσουμε τη διαφορά πίεσης μεταξύ των δύο διαμερισμάτων και τελικά την ταχύτητα ροής. Αν η υψομετρική διαφορά που παρουσιάζει ο υδράργυρος είναι 20 cm , τότε το αεροπλάνο είναι:

α. μαχητικό, αφού υ > υΗΧ β. επιβατικό, αφού υ < υΗΧ . Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, αιτιολογώντας την επιλογή σας. Θεωρήστε ότι ο αέρας είναι ακίνητος, ασυμπίεστος και στο ύψος που πετά το αεροπλάνο έχει πυκνότητα ραερ = 0,9 kg m3 . Δίνεται ότι η ταχύτητα του ήχου σε ακίνητο αέρα είναι υΗΧ = 340 m s , g = 10 m s2 , 1360 = 36,9 και ρυγρ = 13600 kg m3 .

Σ2 Σ1

∞

23

ℎ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

αέρασ

αντλία

h

R Α

24

υ⃗0 (+)

11. Ένα διώροφο σπίτι στην εξοχή υδροδοτείται από μια κυλινδρική δεξαμενή νερού που είναι στερεωμένη σε έναν υδατόπυργο. Η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στη δεξαμενή βρίσκεται σε ύψος H = 8 m από το έδαφος, ενώ μια αντλία που βρίσκεται στη βάση του υδατόπυργου αντλεί νερό από γειτονική λίμνη και το μεταφέρει στη δεξαμενή μέσω ενός σωλήνα μεταφοράς σωλήνασ Ι σταθερής διατομής. Από τη βάση της δεξαμενής ξεκινά σωλήνας (Ι), ο οποίος μόλις φτάνει στο σπίτι συνδέεται με το σωλήνα Μ (2) (ΙΙ) του εσωτερικού συστήματος ύδρευσης του σπιτιού. Ο σωλήνας (ΙΙ) έχει διάμετρο σωλήνασ ΙΙ h2 D = 4 cm και μεταφέρει νερό στις δύο βρύΛ (1) K h1 σες του σπιτιού, οι άκρες των οποίων έχουν διάμετρο d = 2 cm . Η έξοδος της βρύσης (1) βρίσκεται στον 1ο όροφο σε ύψος h1 = 3 m από το έδαφος, ενώ η έξοδος της βρύσης (2) βρίσκεται στον 2ο όροφο σε ύψος h2 = 6 m από το έδαφος.

Α. Αρχικά, οι βρύσες είναι κλειστές και η αντλία δε λειτουργεί. Να βρεθεί η πίεση του νερού: Α.1. PK , όπου Κ: σημείο του σωλήνα I όταν είναι

οριζόντιος στο έδαφος. Α.2. PΛ , όπου Λ: σημείο του σωλήνα II ελάχιστα

πριν τη βρύση (1). Α.3. PM , όπου Μ: σημείο του σωλήνα II ελάχιστα

πριν τη βρύση (2).

Β. Κάποια στιγμή, ανοίγουμε τη βρύση (1) και θέτουμε σε λειτουργία την αντλία, ώστε η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού να μένει διαρκώς στο ίδιο ύψος. Να βρεθεί: Β.1. η ταχύτητα εκροής από τη βρύση (1). Β.2. η πίεση στα σημεία Λ, Μ. Β.3. η ισχύς της αντλίας για τη μεταφορά του νερού

από τη λίμνη στη δεξαμενή, θεωρώντας ότι το

νερό φτάνει στο ύψος H με ταχύτητα

υ=2 m s . ω 2 Δίνονται: g = 10 m s , ρ = 103 kg m3 , Pατµ = 105 Pa , π = 3,14 . Θεωρούμε ότι το νερό είναι ιδανικό ρευστό, το εμβαδόν της βάσης της δεξαμενής είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδόν διατομής κάθε βρύσης, η στάθμη της λίμνης είναι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με την αντλία.

υ⃗

Απ: 18 ⋅ 104 Pa , 15 ⋅ 104 Pa , 12 ⋅ 104 Pa , 10 m s , 146875 Pa , 116875 Pa , 257,48 W

12. Μια τριώροφη κατοικία τροφοδοτείται με νερό από μια δεξαμενή στην επιφάνεια του εδάφους, με τη βοήθεια μιας αντλίας (Μ). Ο κεντρικός σωλήνας τροφοδοσίας έχει ορισμένη διατομή A1 , ενώ με πλήρως ανοικτές τις βρύσες, το νερό εξέρχεται σχηματίζοντας φλέβες με διατομές A = 0,3 cm3 . Η βρύση στο ισόγειο, βρίσκεται στο ίδιο ύψος με την αντλία, ενώ κάθε όροφος έχει ύψος h = 4 m . Η αντλία λειτουργεί αυτόματα, εξασφαλίζοντας στην έξοδό της σταθερή πίεση P0 = 2 ⋅ 105 Pa . Ανοίγουμε ταυτόχρονα και πλήρως τις τρεις βρύσες, οπότε η παροχή της βρύσης του ισογείου είναι 0,45 L s . Θεωρώντας μηδενικό το συντελεστή ιξώδους, ενώ δεν υπάρχουν τριβές του νερού με τα τοιχώματα και τις ροές μόνιμες και στρωτές:

Α. να βρεθούν οι παροχές στους δύο ορόφους.

Β. να βρεθεί ποια είναι η ισχύς της αντλίας.

Γ. Στην πραγματικότητα, η παραπάνω ροή δεν είναι στρωτή αλλά τυρβώδης, αφού το νερό δεν έχει μηδενικό συντελεστή ιξώδους. Έτσι, λειτουργώντας η αντλία με την παραπάνω ισχύ, οι τρεις παροχές είναι Π Α = 0,42 L s , Π Β = 0,3 L s και Π Γ = 0,18 L s . Να βρεθεί η ισχύς που μετατρέπεται σε θερμική, εξαιτίας της εσωτερικής τριβής που εμφανίζεται. Δίνονται: Pατµ = 105 N m2 , ρν = 1000 kg m3 ,

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

2

g = 10 m s ,

Γ

h

Β

h

Α

Μ O

145 ≈ 12

Απ: Π 2 = 0,36 L s , Π 3 = 0,24 L s , 117,8 W , 32,6 W 13. Από το ακροφύσιο Α διαβιβάζεται οριζόντιο ρεύμα αέρα πυκνότητας ρα = 1,25 kg m3 πάνω από το ανοικτό άκρο σωλήνα Σ, του οποίου το άλλο άκρο είναι βυθισμένο εντός υγρού καυσίμου, πυκνότητας ρ κ = 900 kg m3 .

A. Ποια πρέπει να είναι η ταχύτητα του ρεύματος αέρα, ώστε το υγρό να ανυψώνεται εντός του σωλήνα κατά h = 10 cm από την επιφάνεια του υγρού;

Β. Αν το άκρο του σωλήνα βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια του υγρού σε ύψος H = 12 cm , ποια είναι η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας του ρεύματος αέρα, ώστε το υγρό να «ψεκάζεται» παρασυρόμενο από το ρεύμα του αέρα; 2 Δίνεται: g = 10 m s , ο αέρας συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. Απ: 12 10 m s , 24 3 m s

Α ℎ

καύσιμο

25

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

3. Μια ανοιχτή δεξαμενή νερού έχει δύο μικρές τρύπες εμβαδού A Β = 4,6 cm2 και A Γ = 13,4 cm2 αντίστοιχα, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο πλευρικό τοίχωμα σε αποστάσεις hB = 0,67 m και hΓ = 0,23 m αντίστοιχα από τον πυθμένα της δεξαμενής. Αρχικά οι τρύπες είναι κλειστές και το βάθος του νερού στη δεξαμενή είναι H = 1,1 m . Την t = 0 ανοίγουμε ταυτόχρονα τις δύο τρύπες. Να βρεθεί: υ

Α. ο λόγος των αρχικών ταχυτήτων εκροής Β από τις δύο υΓ τρύπες.

Β. το βάθος h του νερού στη δεξαμενή, όταν οι δύο φλέβες συναντούν το οριζόντιο δάπεδο στο ίδιο σημείο.

Γ. η ποσότητα του νερού που θα συγκεντρωθεί σε 2 s σε ένα δοχείο, αν αυτό τοποθετείται στο κοινό σημείο πτώσης των δύο φλεβών.

2 Δίνεται: g = 10 m s 2 , 0,9 m , 3,6 L Απ: 2

Ρατ

A h1

B

Γ

Ρατ

4. Ανοικτή δεξαμενή νερού έχει στον πυθμένα βρύσες πανομοιότυπες, που η κάθε μία έχει εμβαδόν διατομής A = 2 cm2 . Η δεξαμενή τροφοδοτείται από σωλήνα, από τον οποίο τρέχει νερό στην ελεύθερη επιφάνειά της με σταθερή παροχή Π = 0,8 L s .

A. Να υπολογίσετε σε ποιο ύψος η στάθμη του νερού παραμένει σταθερή στη δεξαμενή, όταν έχουμε ανοιχτή τη μία βρύση.

Β. Να βρείτε την κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου του νερού στην έξοδο.

Γ. Αν θέλουμε να ποτίσουμε τον κήπο μας με το παραπάνω σύστημα, πόσες βρύσες μπορούμε να ανοίξουμε ταυτόχρονα, δεδομένου ότι ικανοποιητική παροχή έχουμε όταν η στάθμη στη δεξαμενή δεν πέφτει κάτω υ⃗1 από h2 = 0,2 m .

2 Δίνονται: g = 10 m s , ρν = 103 kg m3 . Θεωρήστε τη ροή στρωτή, το νερό ιδανικό ρευστό και την ταχύτητα με την οποία πέφτει το νερό από το σωλήνα περίπου μηδέν.

Απ: 0,8 m , 8000 J m3 , 2

Ρ⃗

h

26

5. Εντός κλειστού δοχείου μεγάλης διατομής υπάρχει νερό πυκνότητας ρ = 1000 kg m3 μέχρι ύψους h = 5 m . Πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού υπάρχει αέρας με πίεση P = 3 ⋅ 105 N m2 . Στο κάτω άκρο του δοχείου υπάρχει μικρή οπή κατάλληλα διαμορφωμένη ώστε το νερό να εκτοξεύεται κατακόρυφα. Α. Να υπολογιστεί το ύψος της φλέβας του νερού που εκτοξεύεται από τη μικρή οπή. Β. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας της φλέβας στο ισοϋψές σημείο με την επιφάνεια του νερού μέσα στο δοχείο.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Στοιχεία Θεωρίας – Ορισμοί – Προεκτάσεις Α. Οι Κινήσεις των Στερεών Σωμάτων Μέχρι τώρα θεωρούσαμε τα σώματα σαν υλικά σημεία. Υλικό σημείο είναι το σώμα που έχει όλες τις υπόλοιπες ιδιότητες της ύλης εκτός από διαστάσεις. Ένα υλικό σημείο, αφού δεν έχει διαστάσεις, μπορεί να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις. Στερεό σώμα είναι το σώμα που έχει διαστάσεις, καθορισμένο και αμετάβλητο σχήμα και μέγεθος. Ένα στερεό σώμα, εκτός από μεταφορική κίνηση, μπορεί να εκτελεί και περιστροφική κίνηση. Μηχανική στερεό είναι το σώμα που θεωρούμε ότι δεν παραμορφώνεται όταν του ασκούνται δυνάμεις. Στα επόμενα, όπου αναφερόμαστε σε στερεό θα εννοούμε μηχανικό στερεό. Προαπαιτούμενες εισαγωγικές γνώσεις στην κυκλική κίνηση υλικού σημείου.

• Κυκλική κίνηση εκτελεί ένα υλικό σημείο όταν διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας R . Κατά την κίνησή του αυτή, σε χρονικό διάστημα dt 1 θα διαγράφει μήκος τόξου ds το οποίο θα αντιστοιχεί σε επίκεντρη γωνία dθ .

• Η επίκεντρη γωνία θ εκφράζεται σε rad (ακτίνια) και ορίζεται s από τη σχέση: θ = (1) R όπου s το αντίστοιχο σε αυτήν μήκος τόξου και R η ακτίνα του κύκλου. Αν είναι s = R , τότε η θ = 1 rad . Αν είναι s = 2πR (όλο το μήκος του κύκλου), τότε η θ = 2π rad . 

• Γραμμική (ή επιτρόχια) ταχύτητα υ ενός υλικού σημείου που εκτελεί κυκλική κίνηση, ονομάζουμε το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο του μήκους τόξου ds που διαγράφει το υλικό σημείο σε χρόνο dt , προς τον αντίστοιχο χρόνο ds (2). dt : υ = dt Η κατεύθυνση της γραμμικής ταχύτητας είναι εφαπτόμενη της κυκλικής τροχιάς, στο σημείο που κάθε χρονική στιγμή βρίσκεται το κινητό, και έχει τη φορά της κίνησής του. Μονάδα μέτρη-

z

K

ω⃗ R

dθ

A

ds

B

υ⃗

z´ Σχήμα 1: Μεγέθη της κυκλικής

27

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

R α⃗ε

s Σχήμα 16: Το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία. Κάθε στιγμή ισχύει:

m

Το σώμα του διπλανού σχήματος μάζας m , που είναι εξαρτημένο στο ελεύθερο άκρο του νήματος, αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Όταν θα έχει διανύσει κατακόρυφα διάστημα x , κάθε σημείο της περιφέρειας της τροχαλίας θα έχει στραφεί κατά τόξο μήκους s , ίσο με x . Έτσι, κάθε σημείο του νήματος και κάθε σημείο της περιφέρειας της τροχαλίας (αφού πάντοτε δεχόμαστε ότι το νήμα ή το σκοινί δεν ολισθαίνει στην τροχαλία) θα έχουν ταχύτητες ίδιου μέτρου κάθε στιγμή με αυτήν του κέντρου μάζας του σώματος x υcm = ωR . Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του σώματος μεταβάλλεται σε χρόνο dt κατά dυcm , οπότε και το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας κάθε σημείου της περιφέρειας της τροχαλίας

α⃗cm

μεταβάλλεται κατά dυ = dυcm , αλλά και της γωνιακής ταχύτητας κατά dω . Δηλαδή ισχύει:

⃪ T α⃗γ

R α⃗cm

⃪ W

W 1 Σχήμα 17: Ι cm = mR 2 2 . α⃗γ R

⃪ N

⃪ Wx φ

⃪ W

φ

1 Σχήμα 18: Ι cm = mR 2 .

2 28

dυcm dυ dυcm dω = ⇒ = R ⇒ α cm = α γR . dt dt dt dt

Επομένως, κάθε χρονική στιγμή το κέντρο μάζας του σώματος, κάθε σημείο του νήματος και κάθε σημείο της περιφέρειας της τροχαλίας, έχουν επιταχύνσεις ίδιου μέτρου.

⃪ T

R

⃪ ℱ

υcm = υ ⇒ dυcm = dυ ⇒

2. Κύλινδρος που κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο και περιστρέφεται μέσω νήματος τυλιγμένου στην περιφέρειά του («γιο – γιο» σχήμα). Το νήμα θεωρείται συνεχώς κατακόρυφο. Το βάρος διέρχεται από τον άξονα περιστροφής και δεν δημιουργεί ροπή. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του 1 είναι Ι cm = mR2 .

2

Από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής, έχουμε:   Σ F = mα cm ⇒ mg − T = mα cm (1). Από τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, έχουμε:

α⃗cm

1 1    Στ = Ια γ ⇒ TR = mR2 α γ ⇒ T = mRα γ  1 2 2  ⇒ T = mα cm (2).

2 α cm = α γR 

Επιλύουμε το σύστημα των (1) και (2).

3. Κύλιση τροχού (ή κυλίνδρου) σε κεκλιμένο επίπεδο (σχήμα). Η κύλιση γίνεται χωρίς ολίσθηση. Για να μην ολισθαίνει ο τροχός στο (οποιοδήποτε) επίπεδο, θα πρέπει η τριβή F να είναι στατική.

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η μέγιστη τιμή της στατικής τριβής όπως έχουμε αναφέρει και στη θεωρία, είναι Fστ ,max = µsN , όπου µs ο συντελεστής στατικής τριβής. Για να μην έχουμε ολίσθηση επομένως, θα πρέπει οριακά να ισχύει:

Fστ

≤ µ sN .

Η μόνη δύναμη που δημιουργεί ροπή (και επομένως εξασφαλίζει την κύλιση του τροχού) είναι η στατική τριβή. Όλες οι υπόλοιπες διέρχονται από τον άξονα περιστροφής. Από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής, έχουμε:   F = mα cm ⇒ w x − F = mα cm ⇒ mgηµϕ − F = mα cm (1).

Από τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης, έχουμε: 



∑ τ = Ια

γ

⇒FR=

1 1  mR2 α γ ⇒ F = mRα γ  1 2 2  ⇒ F = mα cm (2).

2  α cm = α γR 

α⃗γ

Επιλύουμε το σύστημα των (1) και (2).

4. Νήμα που διέρχεται από τροχαλία με δύο σώματα m1 και m2 δεμένα στα άκρα του (σχήμα). Το νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία. Τα δύο σώματα εκτελούν  μεταφορική κίνηση με την ίδια επιτάχυνση α cm , η τροχαλία πε ριστροφική κίνηση με γωνιακή επιτάχυνση α γ και η τάση του νήματος δεν έχει το ίδιο μέτρο στις δύο πλευρές της τροχαλίας

α⃗cm

ώντας και τη σχέση α cm = α γR . Παρατήρηση: Αν η τροχαλία είναι αβαρής, η ροπή αδράνειάς της Ι ως προς τον άξονα περιστροφής της θα είναι μηδενική.   Τότε, από την (3) θα έχουμε: ∑ τ = Ια γ ⇒ T1R − T2R = 0 ⇒ T1 = T2 άρα η τροχαλία δεν θα στρέφεται.

α⃗cm

⃪ T₂

⃪ T₁

m₂ m₁

⃪ W₂

⃪ W₁

( T1 ≠ T2 ).

Από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για το σώμα m2 , έχου  με: ∑ F = m2 α cm ⇒ T2 − w2 = m1α cm (2). Από τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης για την τροχα  λία, έχουμε: ∑ τ = Ια γ ⇒ T1R − T2R = Ια γ (3). Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1), (2) και (3) χρησιμοποι-

⃪ T₂

⃪ T₁

Από τον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής για το σώμα m1 , έχου  με: ∑ F = m1α cm ⇒ w1 − T1 = m1 α cm (1).

R

Σχήμα 19: Τροχαλία και δύο σώματα. Γ

K ⃪ ℱ

5. Αβαρές σχοινί τυλιγμένο γύρω από τροχό, στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη. Υπολογισμός της επιτάχυνσης του σημείου εφαρμογής της δύναμης.

29

Β

⃪ F

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

K

L⃗

υ⃗

d

φ

r

m

φ

• Το χρονικό διάστημα dt κατά το οποίο διαρκεί ένα φαινόμενο είναι πολύ μικρό ( dt → 0 ), όπως για παράδειγμα στην περίπτωση της κρούσης δύο σωμάτων. dL • Η σχέση ∑ τ = είναι γενικότερη από τη σχέση ∑ τ = Ια γ η dt οποία ισχύει όταν η ροπή αδράνειας είναι σταθερή. Ας δούμε πώς από την πρώτη θα καταλήξουμε στη δεύτερη, θεωρώντας τη ροπή αδράνειας Ι σταθερή:

z´ Σχήμα 25: Υλικό σημείο που κινείται ευθύγραμμα ως προς

Στ =

ωτελ − ωαρχ dL L τελ − L αρχ Ιωτελ − Ιωαρχ dω = = =Ι =Ι ⇒ dt dt dt dt dt

Στ = Ια γ .

• Διατήρηση στροφορμής και διατήρηση μηχανικής ενέργειας Αν σε ένα σύστημα σωμάτων η στροφορμή διατηρείται, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι διατηρείται και η μηχανική ενέργεια του συστήματος. Οι εσωτερικές δυνάμεις και οι ροπές τους μπορεί να έχουν συνισταμένη μηδέν, είναι όμως δυνατό να παράγουν έργο. Για παράδειγμα, μπορεί μεταξύ δύο σωμάτων του συστήματος να αναπτύσσεται τριβή η οποία θα είναι εσωτερική δύναμη. Τότε, ένα μέρος της μηχανικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα που διαφεύγει στο περιβάλλον, οπότε η μηχανική ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι αν οι εσωτερικές δυνάμεις ενός συστήματος είναι συντηρητικές, τότε διατηρείται και η στροφορμή και η μηχανική ενέργεια του συστήματος.

z

z

⃗ L₁

⃗ L₂

ω z´

K ⃗ L₂ ⃗ L₁

φ

K dL⃗

z´ ω

⃗ -L₁

Σχήμα 26: Η διεύθυνση του άξονα μεταβάλλεται.

30

• Η στροφορμή ενός σώματος (ή ενός συστήματος σωμάτων) μεταβάλλεται όταν: • Μεταβάλλεται το μέτρο της.

• Μεταβάλλεται η κατεύθυνσή της, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση που μεταβάλλεται το επίπεδο περιστροφής του σώματος. Παραδείγματα

Ας δούμε στη συνέχεια κάποια παραδείγματα – εφαρμογές.

1. Η διεύθυνση του άξονα περιστροφής μεταβάλλεται (σχήμα). Τότε, μεταβάλλεται και η στροφορμή του σώματος, σύμφωνα      με τη διανυσματική σχέση: dL = L2 − L1 = L2 + ( −L1 ) . Για το παράδειγμα του σχήματός μας, αν το μέτρο των γωνι-

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

ακών ταχυτήτων δεν μεταβάλλεται (άρα δεν μεταβάλλεται και το μέτρο της στροφορμής L1 = L 2 ), η παραπάνω σχέση απεικονίζεται στη διπλανή μέθοδο παραλληλογράμμου (που στην περίπτωσή μας είναι τετράγωνο αφού L1 = L 2 ) και το μέτρο του δια νύσματος dL θα είναι τότε:

ω R

dL = L21 + L22   ⇒ dL = 2L .

L1 = L 2 = L 

 L Η διεύθυνση του dL προκύπτει: εϕϕ = 2 ⇒ εϕϕ = 1 ⇒ ϕ = 45 .

L1 2. Νήμα που διέρχεται από τροχαλία ακτίνας R με σώμα m δεμένο στο άκρο του Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας είναι Ι . Κάποια στιγμή καθώς κατέρχεται το σώμα (υλικό σημείο μάζας m ) έχει ταχύτητα υ , η

Περιστροφική Κίνηση    Στροφορμή L όπου L = Ιω

Μεταφορική Κίνηση    Ορμή p όπου p = mυ

Γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης   dL ∑τ = dt

Γενικότερη διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της μηχανικής  dp ∑F = dt

m υ⃗

τροχαλία στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω και η στρο   φορμή του συστήματος είναι: L = Lτρ + Lm .   Οι στροφορμές Lτρ και Lm έχουν την ίδια κατεύθυνση, οπότε το μέτρο της στροφορμής του συστήματος θα είναι:

⃪ T ⃪ T

L = L τρ + Lm = Ιω + mυR  2  ⇒ L = Ιω + m ( ωR ) R ⇒ L = ( Ι + mR ) ω . υ = υτρ = ωR 

m

• Συσχετισμός μεγεθών περιστροφικής και μεταφορικής κίνησης

⃪ W

Μεθοδικά Λυμένα Παραδείγματα

1. Ο ομογενής δίσκος του σχήματος έχει ακτίνα R = 30 cm και 31

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

͢ υ₁

͢ υ₂

Σχήμα 1: Κεντρική κρούση

͢ υ₁

͢ υ₂

Σχήμα 2: Έκκεντρη κρούση

͢ υ₁

͢ υ₂

Σχήμα 3: Πλάγια κρούση

͢ υ₁ σωμάτιο α

ii. Έκκεντρη (σχήμα 2) όταν οι διευθύνσεις των ταχυτήτων τους πριν την κρούση είναι παράλληλες μεταξύ τους. Τα σώματα μετά την έκκεντρη κρούση κινούνται σε διαφορετικές διευθύνσεις. iii. Πλάγια (σχήμα 3) όταν τα σώματα πριν (και μετά) την κρούση κινούνται σε τυχαίες διευθύνσεις.

• Ανάλογα με την ενεργειακή κατάσταση του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται, η κρούση μπορεί να είναι: i. Ελαστική, όταν η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος πριν την κρούση είναι ίση με τη συνολική κινητική ενέργεια μετά την κρούση: K ολ ( αρχ ) = K ολ ( τελ ) .

Λέμε τότε ότι η συνολική κινητική ενέργεια διατηρείται ή ότι ισχύει η διατήρηση της κινητικής ενέργειας. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχει στη Φυσική Αρχή Διατήρησης της Κινητικής Ενέργειας, αλλά της Μηχανικής Ενέργειας. Η κρούση γενικά είναι φαινόμενο αμελητέας χρονικής διάρκειας οπότε ουσιαστικά τα σώματα κατά τη διάρκεια της κρούσης παραμένουν στις ίδιες θέσεις, με αποτέλεσμα η δυναμική τους ενέργεια (που εξαρτάται από τη θέση ͢ τους στο χώρο) να μην μεταβάλλεται. υ₂́ Αν λοιπόν σε μια κρούση ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας, αυτόματα συνεπάγεται ότι η κινητική ενέργεια διατηρείται σταθερή. πυρήνασ Ζ Λέγοντας επομένως στην ελαστική κρούση ότι ισχύει η Διατήρηση της Κινητικής Ενέργειας, εννοούμε ισοδύναμα ότι ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας. ͢

Στον μακρόκοσμο η ελαστική κρούση αποτελεί υ₁́ ιδανικό, θεωρητικό φαινόμενο (πάντα θα μεταβιβάζονται ποσά ενέργειας από το σύστημα προς το περιβάλλον). Στον μικρόκοσμο όμως, η ελαστική κρούση είναι μια πραγματικότητα όταν σωματίδια συγκρούονται χωρίς να έρθουν σε επαφή.

ii. Ανελαστική (ή μη ελαστική) όταν η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται, αλλά ένα μέρος της αρχικής κινητικής του ενέργειας μετατρέπεται σε θερμότητα (αλλά και ενέργεια παραμόρφωσης) κατά την κρούση. Στην ανελαστική κρούση επομένως ισχύει: Kολ ( αρχ ) > Kολ ( τελ ) .

32

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Αν δεχτούμε ότι οι ενεργειακές απώλειες κατά την ανελαστική κρούση έχουν μόνο τη μορφή θερμότητας Q , η διατήρηση της Μηχανική Ενέργειας διατυπώνεται με τη σχέση: K ολ ( αρχ ) = K ολ ( τελ ) + Q . Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι η πλαστική (ή τελείως ανελαστική) κρούση κατά την οποία τα σώματα μετά την κρούση παραμένουν ενωμένα («κολλάνε») και σχηματίζουν συσσωμάτωμα(οπότε κινούνται πια με κοινή ταχύτητα) του οποίου η μάζα ισούται με το άθροισμα των μαζών που το αποτελούν.

• Το σύστημα των σωμάτων που συγκρούονται, όπως εξηγήσαμε και στην εισαγωγή μας, θεωρείται μονωμένο για την – πολύ μικρή – χρονική διάρκεια της κρούσης. Επομένως, η συνολική (διανυσματικά) ορμή του συστήματος των σωμάτων που συγκρούονται, κατά τη διάρκεια της κρούσης, παραμένει σταθερή. Δηλαδή, σε κάθε είδος κρούσης ισχύει η Αρχή Διατήρησης της  πριν  µετα = pολ . Ορμής (Α.Δ.Ο.): pολ

͢ (+) υ₁ m₂

• Κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών.

Θεωρούμε δύο σφαίρες με μάζες m1 και m2 που κινούνται   πάνω στην ίδια ευθεία, με ταχύτητες υ1 και υ2 ίδιας κατεύ-

θυνσης, όπως στο διπλανό σχήμα. Έστω υ1 > υ2 , οπότε οι δύο σφαίρες θα συγκρουστούν. Η κρούση τους είναι κεντρική και ελαστική και οι ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση   θα είναι αντίστοιχα υ1′ και υ′2 .   Θα υπολογίσουμε στη συνέχεια τις ταχύτητες υ1′ και υ′2 των δύο σφαιρών μετά την κρούση, θεωρώντας τις μάζες τους και τις ταχύτητές τους πριν την κρούση γνωστές. Ισχύει η Αρχή Διατήρησης της Ορμής:  πριν  µετα     pολ = pολ ⇒ p1 + p2 = p1′ + p′2 . Θεωρώντας θετική φορά προς τα δεξιά, η προηγούμενη διανυσματική σχέση γράφεται με μέτρα:

m₁

͢ υ₂

πριν την κρούση

͢ (+) υ₁́ m₂

m₁

͢ υ₂́

μετά την κρούση Σχήμα 4: Κεντρική ελαστική κρούση

′ ′ m1 υ1 + m2 υ2 = m1 υ1 + m1 υ2 (1α) η οποία γράφεται και:

m υ − υ1′ ) = m2 ( υ′2 − υ2 ) (1β).

1 ( 1 H κρούση είναι ελαστική, οπότε η συνολική κινητική ενέργεια των δύο σφαιρών διατηρείται σταθερή: 1 1 1 1 Kλο( αρχ ) = Kολ ( τελ ) ⇒ m1 υ12 + m2 υ22 = m1 υ1′2 + m2 υ′22 ⇒ 2 2 2 2

33

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Σ k φ

Ο

Γ

θ

5. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα Σ1 βρίσκεται πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης ϕ = 30ο και είναι δεμένο στο πάνω άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 100 N m , ο άξονας του οποίου είναι παράλληλος στο κεκλιμένο. Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα, ενώ το σώμα είναι επίσης δεμένο σε μη εκτατό νήμα που διέρχεται από το αυλάκι αβαρούς τροχαλίας. Στο άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο με άλλο σώμα Σ2 ίσης μάζας m με το σώμα Σ1 και το σύστημα ισορροπεί. Τα σώματα Σ1 και Σ2 θεωρούνται υλικά σημεία. Κόβοντας το νήμα, το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Σ A = 0,2 m πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο.

Α. Να βρεθεί αν το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί ή h συσπειρωθεί καθώς και η μάζα m των σωμάτων Σ1 και Σ2. Δ

Β. Μετά το κόψιμο του νήματος το σώμα Σ2 πέφτει από ύψος h = 5 m και συγκρούεται με ακίνητη ομογενή ράβδο μάζας M = 4 kg και μήκους L = 6 m που το κάτω άκρο της Γ ακουμπά στο έδαφος και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το Ο με ( ΟΓ ) = 2 ( Ο∆ ) . Η ράβδος σχηματίζει με το οριζόντιο έδαφος γωνία θ = 60ο , η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική και γίνεται στο πάνω άκρο Δ της ράβδου. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος στη ράβδο είναι Ι = ML2 3 και το σώμα Σ2 ελάχιστα πριν την κρούση έχει στροφορμή ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου που δίνεται από τη σχέση m2 υ2d2 , όπου d2 είναι η απόσταση του φορέα της υ2 από τον άξονα περιστροφής της ράβδου. Να βρεθούν:

α. η κοινή γωνιακή ταχύτητα με την οποία θα περιστραφεί το σύστημα ράβδος – σώμα Σ2 αμέσως μετά την πλαστική τους κρούση,

β. η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την πλαστική κρούση,

γ. ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος αμέσως μετά την κρούση,

δ. το είδος της περιστροφικής κίνησης που θα εκτελέσει το σύστημα μετά την πλαστική κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m s2 , ηµ30ο = 1 2 , ηµ60ο = 3 2 και συν60ο = 1 2 . Απ. m1 = m2 = 2 kg , 5 6 rad s , 275 3 J , 0

34

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

6. Ο υοειδής σωλήνας σταθερής διατομής A = 10 cm2 του σχήματος περιέχει νερό συνολικού όγκου V = 800 mL . Στο αριστερό σκέλος η επιφάνεια του νερού είναι σε επαφή με σώμα Σ το οποίο κλείνει υδατοστεγώς το σωλήνα. Το σώμα Σ έχει μάζα m = 0,5 kg και συνδέεται με ιδανικό κατακόρυφο ελατήριο το οποίο κρέμεται από σταθερό σημείο. Το ελατήριο στη θέση αυτή είναι επιμηκυμένο κατά ∆L = 5 cm , από το φυσικό μήκος, ενώ η ελεύθερη επιφάνεια του νερού στο δεξί άκρο του σωλήνα είναι h = 10 cm υψηλότερα από τη διαχωριστική επιφάνεια νερού – στρώματος.

Α. Να βρεθούν:

α. η δύναμη που ασκείται στο σώμα Σ από το νερό,

β. η σταθερά k του ιδανικού ελατηρίου.

Β. Αφαιρούμε απότομα τη διάταξη σώμα – ελατήριο τη χρονική στιγμή t = 0 .

α. Να αποδειχθεί ότι η ποσότητα του νερού στο σωλήνα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρεθεί η περίοδός του.

β. Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου που αποκτά το νερό και η χρονική στιγμή που συμβαίνει αυτό για πρώτη φορά. Δίνεται η ατμοσφαιρική πίεση Pατµ = 105 N m2 , η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m s2 και η πυκνότητα του νερού ρν = 1000 kg m3 . Απ. 101 N , 1020 N m , 0,4 π s , 31,25 J m3 , 0,1π s

7. Η δεξαμενή του σχήματος είναι ανοικτή, έχει μεγάλη επιφάνεια βάσης και περιέχει νερό. Σε βάθος h = 0,45 m από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού υπάρχει οπή διατομής A = 10 cm2 με στρόφιγγα. Η έξοδος της οπής κατευθύνεται κάθετα στα σκαφίδια ενός υδροστροβίλου και το νερό μετά την πρόσπτωσή του σε αυτά παραμένει μέσα στην κοιλότητά τους. Ο υδροστρόβιλος αποτελείται από δύο ομοαξονικούς δίσκους ακτίνων R και 2R και ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα. Τα σκαφίδια βρίσκονται στον εξωτερικό δίσκο και ο εσωτερικός έχει ένα αυλάκι από το οποίο διέρχεται μη ελαστικό και αβαρές σχοινί που τα άκρα του καταλήγουν στα σώματα Σ1 και Σ2 μαζών m1 = 0,5 kg και m2 = 2 kg αντίστοιχα. Η μάζα του υδροστροβίλου είναι M = 1 kg και βρίσκεται συγκεντρωμένη στον εσωτερικό δίσκο. Κρατάμε τον υδροστρόβιλο ακίνητο σε θέση που τα σώματα Σ1, Σ2 να βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Α. Τη χρονική στιγμή t = 0 ανοίγουμε τη στρόφιγγα και ταυτόχρονα ελευθερώνουμε το στρόβιλο. Παρατηρούμε ότι αυτός στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίδιας κατεύθυνσης με αυτήν των δεικτών του ρολογιού. Να βρεθούν:

Pατμ k h

Σ

νερό

patm h

2R R

Σ

35

Σ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

129. Ένας ομογενής κύλινδρος μάζας M και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα περιστροφής που διέρχεται από τα κέντρα των βάσεών του υπολογίζεται από τον τύπο Ι = MR2 2 . Μια χρονική στιγμή t1 η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίν δρου είναι υcm και την ίδια στιγμή η γωνιακή του ταχύτητα εί ναι ω . Τη χρονική στιγμή t1 η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου υπολογίζεται από τον τύπο:

R (2)

͢ ω R

(1)

1 2 α. K = Mυcm 2 1 2 β. K = Ιυcm 2

1 2 γ. K = MR ω 2 3 2 δ. K = Mυcm 4

130. Μία ομογενής σφαίρα κυλά κατερχόμενη χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο.

α. Η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας είναι σταθερή.

β. Η κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι σταθερή.

γ. Δεν υπάρχει τριβή πάνω στη σφαίρα.

δ. Η στροφορμή της σφαίρας παραμένει σταθερή.

131. Ένας δίσκος και ένας δακτύλιος με ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα που κυλούν σε οριζόντιο επίπεδο έχουν ίδια γωνιακή ταχύτητα. Γνωρίζουμε επίσης ότι η ροπή αδράνειας του δακτυλίου είναι διπλάσια της ροπής αδράνειας του δίσκου. Αν ο δακτύλιος έχει στροφική κινητική ενέργεια 10 J , τότε η στροφική κινητική ενέργεια του δίσκου είναι:

α. 5 J γ. 10 J

β. 20 J δ. 40 J 132. Ένα αυτοκίνητο αυξάνει την ταχύτητά του από υ σε 2υ . Η κινητική του ενέργεια λόγω περιστροφής των τροχών του:

α. διπλασιάζεται γ. υποδιπλασιάζεται

β. τετραπλασιάζεται δ. υποτετραπλασιάζεται.

133. Μία ομογενής σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντια επιφάνεια. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξο2 να που περνά από το κέντρο της είναι Ι = mR2 . Αν Kµεταϕ και 5 Kστροϕ οι κινητικές ενέργειες της σφαίρας λόγω μεταφορικής και λόγω στροφικής κίνησης αντίστοιχα, ισχύει:

36

α.

β.

Kµεταϕ Kστροϕ Kµεταϕ Kστροϕ

= 1

γ.

1 = 2

δ.

Kµεταϕ Kστροϕ Kµεταϕ Kστροϕ

=

2

5

=

5 2

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

134. Μια ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της υπο2 λογίζεται από τη σχέση Ι cm = mR2 , η ταχύτητα του κέντρου μά5  ζας της είναι σταθερή και ίση με υcm και η γωνιακή της ταχύτη τα ω . Η κινητική ενέργεια της σφαίρας υπολογίζεται από τον τύπο:

2 2 α. K = mυcm 5 5 2 β. K = mυcm 2

7 mυ2cm 10 1 2 2 δ. K = mR ω 5

γ. K =

135. Μια λεπτή ράβδος μήκους l και μάζας m περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σε αυτή. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της υπολογίζεται από τον τύπο Ι = ml2 12 . Αν η γραμμική ταχύτητα των άκρων της ράβδου έχει μέτρο ίσο  με υ και η γωνιακή της ταχύτητα ω , τότε η κινητική ενέργεια της ράβδου είναι ίση με: 1 2 1 mυ2

γ. α. mυ 2 12 1 2 1 2 2

β. mυ δ. ml ω 6 6 136. Άνθρωπος είναι όρθιος πάνω σε περιστρεφόμενο τραπέζι με χέρια τεντωμένα σε έκταση, οπότε έχει κινητική ενέργεια K1 . Στη συνέχεια ο άνθρωπος φέρνει τα χέρια του στο στήθος, οπότε η ροπή αδράνειάς του ελαττώνεται στο 1 3 της αρχικής. Η κινητική ενέργεια του ανθρώπου γίνεται:

α. K2 = K1 β. K2 = 2K1

γ. K2 = 9K1 δ. K2 = 3K1

137. Πάνω σε οριζόντιο κυκλικό τραπέζι, το οποίο στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του, βρίσκεται χορεύτρια με τεντωμένα τα χέρια της. Αν η χορεύτρια συμπτύξει τα χέρια της, ποιο από τα παρακάτω μεγέθη παραμένει σταθερό;

α. Η στροφορμή του συστήματος.

β. Η ροπή αδράνειας του συστήματος.

γ. Η γωνιακή ταχύτητας περιστροφής.

δ. Η κινητική ενέργεια.

37

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Σ2

83. Στο διπλανό σχήμα η τροχαλία του Σχήματος Ι και η διπλή τροχαλία του Σχήματος ΙΙ μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Τα σώματα Σ1 , Σ2 έχουν μάζες m1 = 2m , m2 = m , ενώ τα νήματα είναι αβαρή. Στη διπλή τροχαλία είναι R2 = 3R1 και τα νήματα δεν ολισθαίνουν πάνω στις τροχαλίες. Αρχικά κρατάμε τις τροχαλίες ακίνητες και τη χρονική στιγμή t0 = 0 τις αφήνουμε ελεύθερες, οπότε: α. η τροχαλία του σχήματος (Ι) και η διπλή τροχαλία του σχήματος (ΙΙ) θα περιστραφούν αριστερόστροφα. β. η τροχαλία του σχήματος (Ι) και η διπλή τροχαλία του σχήματος (ΙΙ) θα περιστραφούν δεξιόστροφα. γ. η τροχαλία του σχήματος (Ι) θα περιστραφεί αριστερόστροφα, ενώ η διπλή τροχαλία του σχήματος (ΙΙ) θα περιστραφεί δεξιόστροφα. δ. η τροχαλία του σχήματος (Ι) θα περιστραφεί αριστερόστροφα, ενώ η διπλή τροχαλία του σχήματος (ΙΙ) δεν θα περιστραφεί.

Σ2

Στο σύστημα της διπλής τροχαλίας οι δύο ομογενείς δίσκοι από τους οποίους αποτελείται είναι κολλημένοι μεταξύ τους, ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

R

Σ1 Σχήμα Ι

R₂

R₁

Σ1

Σχήμα ΙΙ 84. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια διπλή τροχαλία, η οποία αποτελείται από δύο λεπτούς και ομογενείς δίσκους κολλημένους μεταξύ τους ώστε να περιστρέφονται ως ένα σώμα γύρω από άξονα που διέρχεται από το κοινό τους κέντρο και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Ο μεγάλος δίσκος έχει ακτίνα R1 και ο μικρός ακτίνα R2 , με R1 = 2R2 . Στην περιφέρεια κάθε δίσκου είναι τυλιγμένο ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα και στο ελεύθερο άκρο κάθε νήματος είναι δεμένα τα σώματα των μαζών m1 , m2 m 2 με λόγο μαζών 1 = . Αρχικά το σύστημα διατηρείται ακίνητο m2 3 και τα νήματα σε καμιά περίπτωση δεν μπορούν να ολισθήσουν στην περιφέρεια κάθε δίσκου. Αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί, τότε η τροχαλία: α. θα περιστραφεί σύμφωνα με τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. β. θα περιστραφεί αντίθετα από τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. γ. δεν θα περιστραφεί.

R₁ R₂ Κ

m2

m1

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

85. Τα σώματα Σ1 , Σ2 του διπλανού σχήματος έχουν μάζες m1 , m2 αντίστοιχα. Η τροχαλία έχει μάζα M = 6m2 , ακτίνα R και πε38

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

ριστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέτρου α γ . Το νήμα είναι αβαρές και μη εκτατό και για τα μέτρα των τάσεων των νημάτων που δέχονται τα σώματα Σ1 , Σ2 ισχύει T1 = 2T2 . Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας που περιστρέφεται χωρίς τριβές ως προς τον άξονα περιστροφής της που είναι κάθετος στο επί1 πεδό της και διέρχεται από το κέντρο της, είναι Ι cm = MR2 .

2 Για τις μάζες m1 , m2 ισχύει:

R K

α. m1 = 2m2 γ. m1 = 4m2 β. m1 = 3m2 δ. m1 = 6m2 . Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

86. Ο δίσκος του διπλανού σχήματος έχει μάζα M , ακτίνας R και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο τραχύ δάπεδο, καθώς το αβαρές και μη εκτατό νήμα που είναι τυλιγμένο στο μικρό αυλάκι του δίσκου ξετυλίγεται παραμένοντας κατακόρυφο και χωρίς να γλιστρά σε αυτό. Το ελεύθερο άκροτου νήματος δέχεται συνεχώς κατακόρυφη σταθερή δύναμη F που έχει μέτρο ίσο με το μισό του βάρους του δίσκου. Αν η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του υπολογίζεται από τη σχέ1 ση Ι = MR2 , τότε το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο 2 δίσκος από το δάπεδο είναι ίσο με: Mg α. Mg γ. .

6 Mg β.

3

Σ₂

Σ₁

⃪ F

R

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

39

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Α

d₁ d ⃪ υ m Γ

143. Η ομογενής λεπτή ράβδος ΑΓ μάζας M και μήκους d του ακόλουθου σχήματος ηρεμεί αρχικά σε κατακόρυφη θέση. Η ράβδος μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της A και είναι κάθετος σε αυτήν. Βλήμα αμελητέων διαστάσεων μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ και σφηνώνεται στο σημείο Λ της ράβδου, το οποίο απέχει από το άκρο της A απόσταση d1 . Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα πε1 ριστροφής της υπολογίζεται από τον τύπο: Ι = Md2 .

3

A. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος ράβδος – βλήμα αμέσως μετά την κρούση είναι: mυd1 3mυd1 γ. ω = α. ω = .

2 2 Md1 + 3md Md2 + 3md12 β. ω =

mυd1 Md2 + 3md12

Β. Η απόσταση d1 προκειμένου η ορμή του συστήματος ράβδος – βλήμα να παραμένει σταθερή στη διάρκεια της κρούσης είναι: d 2d α. d1 = γ. d1 = .

3 3 d β. d1 = 2 Nα επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις και να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.

z

144. Ο άντρας του διπλανού σχήματος βρίσκεται πάνω σε ακίνητο δίσκο – πλατφόρμα, ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα y′y . Ο άντρα, που είναι ακίνητος σε σχέση με τον δίσκο, κρατά έναν τροχό ποδηλάτου, ο οποίος περιστρέφεται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού, με τον άξονά του z′z παράλληλο στον άξονα y′y . Κάποια στιγμή ο άντρας στρέφει τον τροχό περιστρέφοντας τον άξονά του κατά γωνία 180 , χωρίς να αλλάξει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τροχού. Μετά την περιστροφή του άξονα του τροχού το σύστημα δίσκος – άνθρωπος – τροχός: α. δεν περιστρέφεται. β. περιστρέφεται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού. γ. περιστρέφεται αντίθετα από τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού.

y

z´

y´

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

40

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

186. Μία ομογενής σφαίρα ακτίνας R διαθέτει μια πολύ λεπτή εγκοπή που σχηματίζει ένα λεπτό κύλινδρο ακτίνας r στον οποίο είναι τυλιγμένο λεπτό νήμα. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας είναι Ι = 0,4MR2 . Τραβάμε το νήμα οριζόντια ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναμη F και η σφαίρα κυλάει χωρίς ολίσθηση σε ιδανικά λείο οριζόντιο δάπεδο. Επομένως:

Α. μεταξύ των ακτίνων R και r ισχύει η σχέση: γ. r = 0,5R α. r = 0,2R δ. r = 0,6R β. r = 0,4R Β. τη στιγμή που η σφαίρα έχει αποκτήσει ταχύτητα υ , η κινητική της ενέργεια αυξάνεται με ρυθμό: γ. 1,2Fυ α. 0,6Fυ β. Fυ δ. 1,4Fυ .

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση για κάθε περίπτωση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

R

r

187. Ομογενής δίσκος με ροπή αδράνειας Ι = 0,1 kg ⋅ m2 μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Η στροφορμή του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται από τη γραφική παράσταση του σχήματος.

α. Η συνολική ροπή που δέχεται ο δίσκος τη χρονική στιγμή t = 3 s είναι Στ = 5 N ⋅ m .

β. Το έργο της συνολικής ροπής μέχρι τη χρονική στιγμή t = 4 s είναι W = 6000 J .

γ. Τη χρονική στιγμή t = 3 s η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου μηδενίζεται.

Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.

188. Ομογενής οριζόντιος δίσκος που αρχικά είναι ακίνητος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Η συνολική ροπή που δέχεται ο δίσκος μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τη γωνία που διαγράφει μία ακτίνα του δίσκου, όπως φαίνεται στη γραφική παράσταση του σχήματος.

α. Όταν ο δίσκος έχει διαγράψει γωνία θ = 40 rad , η κινητική του ενέργεια θα είναι K = 160 J .

β. Όταν ο δίσκος έχει διαγράψει γωνία θ = 50 rad , η

L(kg∙m²/s)

40 20 0

2

4

t(s)

ω R1 m1

41

R2 m2

ω

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου μάζας m και ακτίνας R ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας του υπολογίζεται από τον τύπο: 1 Ι cm = mR2 .

2 Απ. 0,9 kg ⋅ m2 s , 1,8 kg ⋅ m2 s .

137. Ο λεπτός τροχός του σχήματος έχει μάζα m = 2 kg , ακτίνα R = 0,5 m και στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 100 rad s γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο του. Αν ο άξονα περιστροφής στραφεί χωρίς να αλλάξει η γωνιακή ταχύτητα του τροχού, να βρείτε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του τροχού για γωνία στροφής του άξονα:

αρχική θέση

90ᴼ

α. ϕ = 90 ,

β. ϕ = 60 .

Απ. 50 2 kg ⋅ m2 s , 50 kg ⋅ m2 s .

138. Οριζόντιος ομογενής δίσκος περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και εκτελεί 30 περιστροφές το λεπτό. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι Ι = 0,16 kg ⋅ m2 . Στρίβουμε τον άξονα περιστροφής του δίσκου ώστε να γίνει οριζόντιος, χωρίς να μεταβληθεί η συχνότητα περιστροφής του δίσκου. Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του δίσκου κατά τον άξονα περιστροφής του. Απ. 0,16π 2 kg ⋅ m2 s .

τελική θέση

Κ

Σ₁

R

→ υ₁ Σ₂

42

139. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια τροχαλία μάζας M = 2 kg και ακτίνας R = 0,5 m , η οποία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Τα σώματα Σ1 και Σ2 , που έχουν μάζες m1 = 1 kg και m2 = 0,5 kg αντίστοιχα, είναι δεμένα με αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο διέρχεται από το αυλάκι της τροχαλίας. Κάποια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί, οπότε η τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς το νήμα να γλιστρά στο αυλάκι της. Να υπολογίσετε το μέτρο:

α. του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχαλία – νήμα – σώματα κατά τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας,

144. Ένας άνθρωπος στέκεται πάνω σε κυκλική οριζόντια εξέδρα που περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της καθώς και από το κέντρο μάζας του ανθρώπου. Ο άνθρωπος έχει τα χέρια του τεντωμένα και κρατά σε κάθε χέρι το ένα βαράκι μάζας m = 2 kg . Το κάθε βαράκι απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση r1 = 80 cm . Το σύστημα άνθρωπος – βαράκια – εξέδρα έχει ως προς τον άξονα περιστροφής του ροπή αδράνει-

ας Ι1 = 10 kg ⋅ m2 και περιστρέφεται με συχνότητα 2 f1 = Hz . Κάποια στιγμή ο άνθρωπος συμπτύσσει π τα χέρια του οπότε η ροπή αδράνειας του συστήματος μεταβάλλεται κατά 20% . Α. Να υπολογίσετε:  α. το μέτρο της αρχικής στροφορμής L1 του συστήματος,  β. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω2 του συστήματος μετά τη σύμπτυξη των χεριών του ανθρώπου. Β. Αν η ροπή αδράνειας της εξέδρας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι ίση με Ι εξ = 4 kg ⋅ m2 να υπολογίσετε τη μεταβολή της στροφορμής του συστήματος ανθρώπου - βαράκια μετά τη σύμπτυξη των χεριών του.

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

r₁

r₁

→ ω₁

Απ. 40 kg ⋅ m2 s , 5 rad s , −4 kg ⋅ m2 s .

145. Μια αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται, με τα χέρια της σε έκταση, γύρω από τον εαυτό της με συχνότητα f1 = 3 Hz . Στη συνέχεια φέρνει τα χέρια της σε κατακόρυφη θέση.

α. Να βρείτε την αρχική και την τελική στροφορμή της αθλήτριας.

β. Ποια είναι η συχνότητα περιστροφής της όταν τα χέρια της βρίσκονται σε κατακόρυφη θέση; Δίνονται οι ροπές αδράνειας της αθλήτριας ως προς τον άξονα περιστροφής της: Ι = 0,8 kg ⋅ m2 και Ι τελ = 0,6 kg ⋅ m2 . αρχ Απ. 4,8π kg ⋅ m2 s , 4 Hz .

43

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

185. Ο τροχός του σχήματος ακτίνας R = 0,1 m , μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Γύρω από τον τροχό είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m = 2 kg . Αφήνουμε το σώμα ελεύθερο και όταν αυτό κατέβει κατά h = 1 m ο τροχός αποκτά συχνότητα περιστροφής f = 10 π Hz . Να βρεθούν:

α. η ταχύτητα του σώματος όταν αυτό έχει κατέβει κατά h ,

β. η ροπή αδράνεια του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m s2 .

Ο

h

Απ. 2 m s , 0,08 kg ⋅ m2 186. Ο συμπαγής κύλινδρος του σχήματος μάζας M = 10 kg και ακτίνας R = 10 cm , μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα συμμετρίας του. Αβαρές σκοινί είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυλίνδρου και στο ελεύθερο άκρο του είναι δεμένο σώμα μάζας m = 1 kg . Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο. Να βρεθούν:

α. η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου,

β. η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου τη στιγμή t = 30 s ,

γ. η κινητική ενέργεια του συστήματος τη στιγμή t = 30 s . Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι = MR2 2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m s2 .

Ο

Απ. 50 3 rad s2 , 500 rad s , 75 ⋅ 102 J

h

O

R

60˚

A

→ F

187. Ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας M = 5 kg και ακτίνας R = 0,2 m , είναι αρχικά ακίνητος και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Από τη χρονική στιγμή t = 0 και μετά  ασκείται σε σημείο Α της περιφέρειας του δίσκου δύναμη F σταθερού μέτρου 2 N , ο φορέας της οποίας σχηματίζει σταθερή γωνία 60o με την εφαπτομένη στο σημείο Α, όπως φαίνεται στο σχήμα (κάτοψη). Να υπολογιστεί: 

α. το έργο της δύναμης F από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή t1 που ο δίσκος συμπληρώνει N = 4 π περιστροφές, 

β. η μέση ισχύς της δύναμης F στη χρονική διάρκεια 0 → t1 . Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς δίσκου μάζας M και ακτίνας R ως προς άξονα κάθετο στο δίσκο και διερχόμενο από το κέντρο του Ι cm = MR2 2 . Απ. 1,6 J , 0,4 2 W

44

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

10. Δίσκος ακτίνας R = 0,2 m κυλίεται σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς να ολισθαίνει με την γωνιακή του ταχύτητα να μεταβάλλεω(rad/s) ται σε σχέση με τον χρόνο σύμφωνα με το διπλανό διάγραμμα.

10 Αν ο δίσκος την χρονική στιγμή t = 0 ήταν ακίνητος, να υπολογιστούν: α. η ταχύτητα του κέντρου μάζας την χρονική στιγμή 5 s , 5 β. οι επιταχύνσεις του κέντρου μάζας τις χρονικές στιγμές t1 = 4,5 s και t2 = 8 s , γ. η γωνία στροφής του δίσκου μέχρι την χρονική στιγμή t=6 s. δ. Να γίνει το διάγραμμα της γωνίας στροφής του δίσκου σε σχέση με τον χρόνο από t = 0 μέχρι t = 9 s .

0

4 5

9 t(s)

Απ. 2 m s , 1 m s2 , −0,25 m s2 , 36,25 rad .

11. Στο σχήμα φαίνεται ένα καρούλι στο οποίο ο εξωτερικός κύλινδρος έχει ακτίνα R = 10 cm και ο εσωτερικός ακτίνα r = 6 cm . Στον εσωτερικό κύλινδρο είναι τυλιγμένο ένα μη εκτατό νήμα και το όλο σύστημα ηρεμεί. Τραβάμε το νήμα οριζόντια με σταθερή επιτάχυνση και ο κύλινδρος αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Η γωνιακή ταχύτητα του καρουλιού αυξάνεται με σταθερό ρυθdω 2 μό = 20 rad s . Να βρείτε: dt

α. την επιτάχυνση του νήματος.

β. την επιτάχυνση του άξονα περιστροφής του καρουλιού.

γ. όταν η μετατόπιση ενός σημείου του νήματος είναι ∆ = 1,6 m :

i. πόσο έχει μετατοπισθεί ο άξονα περιστροφής,

ii. τις ταχύτητες των ανώτερων σημείων του εσωτερικού και του εξωτερικού κυλίνδρου.

A

R

Απ. 3,2 m s2 , 2 m s2 , 1 m , 3,2 m s , 4 m s .

12. Στο αυλάκι του ακίνητου δίσκου ακτίνας R = 0,2 m του διπλανού σχήματος έχουμε τυλίξει αβαρές και μη εκτατό νήμα και τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζουμε να τραβάμε οριζόντια το σχοινί, με αποτέλεσμα ο δίσκος ν’ αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολι-

t1

A R

σθαίνει με σταθερή επιτάχυνση. Τη χρονική στιγμή t1 = 5 s το άκρο Α του σχοινιού έχει αποκτήσει ταχύτητα μέτρου

υΑ = 20 m s . Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του δίσκου τη

χρονική στιγμή t1 , β. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου, 45

uΑ Ο

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

8. Το ποδήλατο του διπλανού σχήματος έχει ρόδες με διαφορετικές ακτίνες R1 = 0,5 m και R2 = 0,2 m . Αρχικά το ποδήλατο είναι ακίνητο. Ο ποδηλάτης ξεκινά να «χτυπά πετάλι» τη χρονική στιγμή t = 0 , προσδίδοντας στο ποδήλατο σταθερή επιτάχυνση, και οι ρόδες του ποδηλάτου κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.

R1

Τη χρονική στιγμή t1 = 5 s το ποδήλατο έχει διανύσει διάστημα s = 25 m από τη στιγμή που ξεκίνησε να κινείται. Α. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνση κάθε ρόδας, β. το πηλίκο των μέτρων των γωνιακών ταχυτήτων ω  των δύο τροχών  1  τη χρονική στιγμή t1 ,  ω2  γ. τον αριθμό των περιστροφών κάθε ρόδας από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή t1 .

R2

Β. Τη χρονική στιγμή t1 ο ποδηλάτης πατά το φρένο, με αποτέλεσμα το ποδήλατο να αποκτήσει σταθερή επιβράδυνση χωρίς να ολισθαίνουν οι ρόδες του στο δρόμο. Το ποδήλατο σταματά τη στιγμή που η ρόδα με τη μεγαλύτερη ακτίνα έχει εκτελέσει 12,5 π περιστροφές από τη στιγμή που ξεκίνησε να επιβραδύνεται. Να υπολογίσετε το μέτρο της επιβράδυνσης του ποδηλάτου.

2

2

Απ. α γων1 = 4 rad s , α γων2 = 10 rad s , 0,4 , N1 = 25 π περιστροφές, N2 = 62,5 π περιστροφές, 4 m s2 .

9. Ένας λεπτός δακτύλιος ακτίνας R = 0,5 m κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, σε κεκλιμένο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t = 0 , ο δακτύλιος βρίσκεται στη βάση το κεκλιμέ-

υcm

νου επιπέδου, έχει ταχύτητα υcm0 = 20 m s και ανέρχεται κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου με σταθερή γωνιακή 2

επιβράδυνση μέτρου α γων = 5 rad s . α. Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές στις οποίες το μέτρο της ταχύτητας του δακτυλίου είναι

46

υcm = 10 m s . β. Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή ο δακτύλιος σταματά στιγμιαία. γ. Να γίνει η γραφικής παράσταση της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση με τον χρόνο μέχρι τη χρονική στιγμή t = 12 s . δ. Να υπολογίσετε το μήκος που διένυσε ο δακτύλιος μέχρι να σταματήσει στιγμιαία και ο αριθμός των περιστροφών που διέγραψε στον ίδιο χρόνο.

26. Η ισοπαχής και ομογενής ράβδος του διπλανού σχήματος, η οποία έχει μήκος L = 5 m και βάρος w = 80 N , μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρίς τριβές, με τη βοήθεια άρθρωσης που είναι προσαρμοσμένη στο άκρο της Α . Το άλλο άκρο Γ της ράβδου είναι προσδεA δεμένο σε κατακόρυφο, αβαρές και μη εκτατό νήμα, με συνέπεια η ράβδος να ισορροπεί ακίνητη σε οριζόντια θέση. Σε απόσταση x = 2 m από το άκρο Γ της ράβδου είναι τοποθετημένο μικρό σώμα L/2 Σ . Η δύναμη που ασκεί το νήμα στη ράβδο έχει μέτρο T = 100 N .

α. Να υπολογίσετε τη μάζα του σώματος Σ .

β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στο άκρο Α της ράβδου.

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

x

Σ

M

Γ W₁

W

L/2

γ. Εάν το όριο θραύσης του νήματος είναι Tθρ = 130 N , ποια είναι η ελάχιστη απόσταση από το άκρο Γ που μπορεί να τοποθετηθεί το σώμα Σ , ώστε το νήμα να μη σπάσει;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m s2 . Απ. 10 kg , 80 N , 0,5 m .

27. Στο διπλανό σχήμα απεικονίζεται μια ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ , μήκους L = 3 m και βάρους W = 40 N , η οποία μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από το άκρο της Α . Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται μέσω άρθρωσης με κατακόρυφο τοίχωμα. Η ράβδος ισορροπεί ακίνητη σε οριζόντια θέση με τη βοήA θεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος (Ι), του οποίου το ένα άκρο είναι προσδεδεμένο στο σημείο ∆ της ράβδου και το άλλο σε σώμα Σ μάζας m = 1 kg . Το σώμα Σ , με τη σειρά του, είναι προσδεδεμένο στο ένα L/2 άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος (ΙΙ), του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς

Δl ΙΙ M

Σ

Ι

L1 Δ

W

k = 100 N m . Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο της οροφής. Το σημείο πρόσδεσης ∆ του νήματος (Ι) στη ράβδο απέχει από το άκρο Γ της ράβδου απόστα-

Θ.Φ.Μ.

ση L1 = L 3 . Να υπολογίσετε: α. Το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα (Ι) στη ράβδο. β. Τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

47

L/2

Γ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

158. Το καρούλι του διπλανού σχήματος αποτελείται από έναν ομογενή κύλινδρο μάζας Mκ = 2 kg και ακτίνας R1 = 0,1 m και από δύο ίδιους ομογενείς δίσκους μάζας m = 0,5 kg και ακτίνας

→ F

R₁ R₂

R2 = 0,2 m ο καθένας, τα κέντρα μάζας των οποίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία που ταυτίζεται με τον άξονα του κυλίνδρου. Στον κύλινδρο έχουμε τυλίξει αβαρές, μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου ασκούμε από τη χρονική στιγμή t = 0 και μετά ορι ζόντια σταθερή δύναμη F . Το καρούλι, που είναι αρχικά ακίνητο, ξεκινά αμέσως να κυλίεται

χωρίς να ολισθαίνει και τη χρονική στιγμή t1 = 2 s έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1 = 40 rad s , ενώ ο άξονάς του μετακινείται παράλληλα στο εαυτό του, χωρίς το νήμα που ξετυλίγεται να γλιστρά στην επιφάνεια του κυλίνδρου. Να υπολογίσετε:

α. τη ροπή αδράνειας του καρουλιού ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων,

β. το μέτρο της συνισταμένης ροπής που δέχεται το καρούλι ως προς τον άξονα του δίσκου,

γ. το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται σε κάθε δίσκο,  καθώς και το μέτρο της δύναμης F . Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του 1 υπολογίζεται από τη σχέση Ι δ = mR22 και ότι η ροπή αδράνειας 2 του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των 1 βάσεών του υπολογίζεται από τη σχέση Ι κ = MκR12 .

2 Aπ. 0,03 kg ⋅ m2 , 0,6 N ⋅ m , 1 N , 10 N .

R

r

F

159. Το καρούλι του διπλανού σχήματος αποτελείται από δύο ομογενείς πανομοιότυπους συγκολλημένους δίσκους ακτίνας R = 0,2 m και μάζας M = 5 kg ο καθένας και από έναν ομογενή συμπαγή κύλινδρο μάζας m = 10 kg και ακτίνας r = 0,1 m . Στην περιφέρεια του κυλίνδρου έχουμε τυλίξει σε πολλές στροφές αβαρές, μη εκτατό νήμα. Το καρούλι ηρεμεί επάνω σε οριζόντιο επίπεδο με τα κέντρα των δίσκων να βρίσκονται στο ίδιο ύψος από το επίπεδο. Η ευθεία που συνδέει τα κέντρα των δύο δίσκων ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου.

48

α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του καρουλιού ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δίσκων.

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Τη χρονική στιγμή t0 = 0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του  νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη F , οπότε το καρούλι αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει επάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του άξονα του καρουλιού

αυξάνεται με ρυθμό 2 m s ανά δευτερόλεπτο. Να υπολογίσετε το μέτρο:  β. Της δύναμης F . γ. Της κεντρομόλου επιτάχυνσης ενός σημείου της

περιφέρειας του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή t1 = 0,5 s . δ. Της μεταβολής της ταχύτητας του ανώτερου σημείου κάθε δίσκου από τη χρονική στιγμή t1 έως τη χρονική

στιγμή t2 = 3 s . Η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου του καρουλιού ως προς τον άξο1 να περιστροφής του υπολογίζεται από τη σχέση Ι = MR2 . Η 2 ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής 1 του υπολογίζεται από τη σχέση Ι = MR2 . Η ροπή αδράνειας 2 του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του δίνεται από 1 τον τύπο Ι = mr2 .

2 Απ. 0,25 kg ⋅ m2 , 105 N , 2,5 m s2 , 10 m s .

160. Συμπαγής ομογενής κύλινδρος μάζας m = 4 kg και ακτίνας R ηρεμεί επάνω σε οριζόντια επι-

R

φάνεια. Ελατήριο σταθεράς k = 150 N m έχει το ένα άκρο του ακλόνητα συνδεδεμένο σε κατακόρυφο τοίχωμα, ενώ το άλλο του άκρο, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα, συνδέεται κατάλληλα με τον άξονα του κυλίνδρου γύρω από τον οποίο ο κύλινδρος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές. Μετατοπίζουμε προς τα δεξιά τον κύλινδρο κατά d = 20 cm επιμηκύνοντας το ελατήριο και αφήνουμε το σύστημα ελατήριο – κύλινδρος ελεύθερο να κινηθεί από την ηρεμία. Ο κύλινδρος αρχίζει αμέσως να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει επάνω στην οριζόντια επιφάνεια. α. Να δείξετε ότι το κέντρο μάζας του κυλίνδρου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσής του. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης του κυλίνδρου. γ. Να υπολογίσετε τον ελάχιστο συντελεστή στατικής 49

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

203. Το γιο – γιο του σχήματος αποτελείται από κύλινδρο μάζας m = 0,3 kg και ακτίνας R = 0,1 m , γύρω από τον οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα. Κρατάμε ακίνητο το ελεύθερο άκρο Α του νήματος και αφήνουμε τον κύλινδρο ελεύθερο. Να βρείτε:

α. τη γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου,

β. τον ρυθμό αύξησης της στροφορμής του κυλίνδρου,

γ. την ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους  = 30 m .

1 Δίνεται για τον κύλινδρο Ι cm = mR2 και η επιτάχυνση της βαρύ2 τητας g = 10 m s2 .

Α

R

Απ.

→ ω → αγων

200 2 rad s , 0,1 N ⋅ m , 20 m s .

3

204. Το γιο – γιο του επόμενου σχήματος αποτελείται από ομογενή συμπαγή κύλινδρο που έχει μάζα m = 0,12 kg και ακτίνα R = 1,5 ⋅ 10 −2 m . Γύρω από τον κύλινδρο έχει τυλιχτεί νήμα. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε τον κύλινδρο να πέσει. Το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα x′x , ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα συμμετρίας του. Το νήμα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου παραμένει κατακόρυφο και τεντωμένο και δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου. Τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους  = 20R , η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου έχει

x´

x

μέτρο υcm = 2 m s . α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του. (Ο τύπος που μας δίνει τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του δεν θεωρείται γνωστός). β. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου, καθώς αυτός κατέρχεται. γ. Τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου έχει μέτρο υcm = 2 m s , το νήμα κόβεται. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του μετά την πάροδο χρόνου 0,8 s από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. δ. Να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της στροφορμής του κυλίνδρου σε συνάρτηση με τον χρόνο από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί σε χρόνο 0,8 s από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα.

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m s2 .

50

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

205. Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα M = 4 kg , ακτίνας R = 0,5 m και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Στην τροχαλία έχουμε τυλίξει αβαρές, μη εκτατό νήμα, στο ένα άκρο του οποίου έχουμε δέσει μικρό σώμα Σ μάζας m = 0,5 kg . Τη χρονική στιγμή t = 0 ασκού με στο άλλο άκρο Κ του νήματος κατακόρυφη δύναμη F , οπότε η τροχαλία αρχίζει να στρέφεται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού, χωρίς το νήμα να γλιστρά στο αυλάκι της, και η στροφορμή της κατά τον άξονα περιστρο-

φής της μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό μέτρου 10 kg ⋅ m2 s . Να υπολογιστεί το μέτρο: α. της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας,

β. της στροφορμής της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t1 = 2 s ,  γ. της δύναμης F , δ. του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχαλία – νήμα – σώμα κατά τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της υπολογίζεται από τον τύπο

Ο

R

K

Σ

→ F m

1 Ι = MR2 . Η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με 2 g = 10 m s2 .

2 Απ. 20 rad s , 20 kg ⋅ m2 s , 30 N , 12,5 N ⋅ m .

206. Κατακόρυφη ομογενής τροχαλία μάζας M = 2 kg και ακτίνας R = 0,5 m μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Στο αυλάκι της τροχαλίας έχουμε τυλίξει πολ-

R Ο

λές φορές αβαρές, με εκτατό νήμα και τη χρονική στιγμή t0 = 0 , όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα, ασκούμε στην άκρη  του νήματος κατακόρυφη δύναμη F της οποίας το μέτρο μεταβάλλεται σε συνάρτηση με τον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση F = 4 + 2t (S.I.). Η τροχαλία αρχίζει να στρέφεται γύρω από τον άξονά της χωρίς το νήμα να ολισθαίνει στο αυλάκι της. α. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της

F

τροχαλίας τη χρονική στιγμή t1 = 1,5 s . γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της από τη 51

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα 1 yy′ υπολογίζεται από τον τύπο Ι δ = MR2 .

2 2

Απ. 2 N , 16 rad s , 0,2 kg ⋅ m2 s , 2 kg ⋅ m2 s , 640 m s2 .

211. Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα M = 8 kg , ακτίνα R = 0,6 m και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Στην περιφέρεια της τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα, στου οποίου το ελεύθερο

Γ Ο

d

Σ

l Δ

άκρο έχουμε δέσει σώμα Σ μάζας m = 1 kg .

A. Αρχικά το σύστημα τροχαλία – σώμα διατηρείται ακίνητο με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος Γ∆ μήκους  = 18 m , όπως στο σχήμα. Να υπολογίσετε την οριζόντια απόσταση d μεταξύ των σημείων Ο και Γ αν γνωρίζετε ότι η τροχαλία δέχεται από τον ακλόνητο άξονα της δύναμης μέτρου 120 N .

Β. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 κόβουμε το νήμα ΟΓ και η τροχαλία και το σώμα Σ αρχίζει να κατέρχεται περιστρέφοντας την τροχαλία, μέσω του τεντωμένου νήματος, που δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της. Να υπολογίσετε το μέτρο:

α. του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας, 

β. της δύναμης Fαξ που δέχεται η τροχαλία από τον άξονά της καθώς περιστρέφεται,

γ. της στροφορμής της τροχαλίας τη χρονική στιγμή

t1 στην οποία το σώμα Σ έχει μετατοπιστεί  κατακόρυφα h = , 2 δ. της στροφορμής του συστήματος τροχαλίας –

σώμα τη χρονική στιγμή t1 . Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m s2 . Δίνεται επίσης ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονά της 1 υπολογίζεται από τον τύπο Ι = MR2 .

2 Απ. 0,2 m , 4,8 N ⋅ m , 88 N , 14,4 kg ⋅ m2 s , 18 kg ⋅ m2 s .

52

212. Ο λεπτός δίσκος του διπλανού σχήματος στρέφεται με γω νιακή ταχύτητα ω1 μέτρου 50 rad s γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα πε-

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

→₁ ω

ριστροφής του είναι Ι = 0,6 kg ⋅ m2 . Εάν με κατάλληλο μηχανισμό περιστρέψουμε σε κατακόρυφο επίπεδο τον άξονα περιστροφής του δίσκου, χωρίς να μεταβληθεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του τελευταίου, να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του δίσκου για γωνίες στροφής του άξονα:

α. ϕ = 60 ,

β. ϕ = 90 ,

γ. ϕ = 180 .

φ O

→ ω₀ Απ. 30 kg ⋅ m2 s , 30 2 kg ⋅ m2 s , 60 kg ⋅ m2 s .

213. Ο ομογενής δίσκος μάζας M = 4 kg και ακτίνας R = 0,5 m του σχήματος περιστρέφεται αρχικά γύρω από κατακόρυφο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό

Α

του, με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω1 = 10 rad s (σχ. 1). Μετακινούμε τον δίσκο ασκώντας με το χέρι μας δύναμη στον άξονα περιστροφής του, έτσι ώστε το επίπεδό του να στραφεί

διαδοχικά κατά ϕ1 = 60 (σχ. 2), ϕ2 = 90 (σχ. 3) και ϕ3 = 120 (σχ. 4). Κατά τη διάρκεια της μετακίνησης του δίσκου το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας διατηρείται σταθερό. Να υπολογίσετε: Α. Το μέτρο της στροφορμής του τροχού. Β. Τις μεταβολές της στροφορμής:    α. ∆ L1 = L1 − L0 ,    β. ∆ L2 = L2 − L0 ,    γ. ∆ L3 = L3 − L0 . Γ. Το μέτρο της μέσης Α συνισταμένης ροπής που ασκήθηκε στον δίσκο, κατά τη μετακίνησή του από την αρχική θέση του φ₃ σχ. 1 στη θέση του σχ. 2, αν η χρονική → ω₃ της διάρκεια είναι

∆t1 = 0,5 s . Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας

σχήμα (1)

φ₁ → ω₁

Α σχήμα (2)

φ₂ → ω₂

Α

σχήμα (3)

σχήμα (4) 53

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

m1

z K

231. Το οριζόντιο κυκλικό τραπέζι του σχήματος, μάζας M = 80 kg και ακτίνας R = 1 m , μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο του Κ και αρχικά είναι ακίνητο. Άνθρωπος μάζας m = 60 kg βρίσκεται στην περιφέρεια του τραπεζιού και κρατά στο χέρι του σώμα μάζας m1 = 4 kg . Κάποια στιγμή ο άνθρωπος ρίχνει το σώμα οριζόντια κατά την εφαπτομενική διεύθυνση με αρχική ταχύτη-

R

τα μέτρου υ0 = 20 m s . α. Να βρείτε με ποια γωνιακή ταχύτητα θα κινείται το τραπέζι.

β. Αν στη συνέχεια ο άνθρωπος περπατά στη διεύθυνση μιας ακτίνας του τραπεζιού και φτάνει στο κέντρο του Κ , να βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα του τραπεζιού. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του τραπεζιού ως προς τον άξονα 1 περιστροφής του Ι Κ = MR2 .

2 Απ. 0,8 rad s , 2 rad s .

z´

ω1 K

M m

R

Z 232. Μια οριζόντια κυκλική εξέδρα μάζας M = 200 kg και ακτίνας R = 6 m περιστρέφεται χωρίς τριβές με γωνιακή ταχύτητα μέ-

u

τρου ω1 = 3,5 rad s γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ .

Σχήμα 1

ω2 K

m

Α. Ένας άνθρωπος μάζας m = 100 kg που θεωρείται υλικό σημείο τρέχει κυκλικά πολύ κοντά στην περιφέρεια

M

R

Z

Σχήμα 2

Β.

ω3 m Z

r Λ

Ν K

M

Σχήμα 3

54

Γ.

της εξέδρας (σχ. 1), με ταχύτητα μέτρου υ = 3 m s και ξαφνικά ανεβαίνει και στέκεται στην εξέδρα σε ένα σημείο Ζ πολύ κοντά στην περιφέρειά της (σχ. 2). Να υπολογίσετε το μέτρο της νέας γωνιακής ταχύτητας  ω2 της εξέδρας. Ο άνθρωπος στη συνέχεια πλησιάζει προς το κέντρο της εξέδρας κινούμενος κατά μήκος της ακτίνας ΖΚ και R στέκεται σε σημείο Λ που βρίσκεται σε απόσταση r = 2 από το κέντρο της Κ (σχ. 3).  Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω3 που αποκτά το σύστημα σ’ αυτή τη θέση. Ο άνθρωπος μετακινείται και στέκεται τελικά σε τέτοια θέση, ώστε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος να γίνει μέγιστο. Να προσδιορίσετε την

τελική θέση του ανθρώπου καθώς και το μέτρο ωmax της μέγιστης γωνιακής ταχύτητας του συστήματος. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της εξέδρας ως προς τον άξονα

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

1 περιστροφής της υπολογίζεται από τον τύπο Ι ε = MR2 .

2 Απ. 2 rad s , 3,2 rad s , 4 rad s .

233. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται μια κυκλική μάζας M = 400 kg και ακτίνας R = 10 m η οποία περιστρέφεται χωρίς τριβές με γωνι-

Δ

ακή ταχύτητα μέτρου ω1 = 8,8 rad s γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθε-

d

R

Ζ

τος στο επίπεδό της. Ένας άνθρωπος μάζας m = 100 kg , που θεωρείται υλικό σημείο, βρίσκεται ακίνητος, σε σχέση με την εξέδρα, σε σημείο Ζ της περιφέρειάς της. Κάποια στιγμή ο άνθρωπος αρχίζει να μετακινείται, σε σχέση με την εξέδρα, πάνω σε ευθεία που διέρχεται από τον άξονα περιστροφής, και φτάνει σε σημείο ∆ το οποίο απέχει απόσταση d = 8 m από τον άξονα περιστροφής. Να υπολογίσετε:

α. τη νέα γωνιακή ταχύτητα της εξέδρας,

β. τη μεταβολή της στροφορμής του ανθρώπου κατά τον άξονα περιστροφής της εξέδρας,

γ. κατά πόσο πρέπει να μετακινηθεί ο άνθρωπος από την αρχική του θέση Ζ πάνω σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από τον άξονα της εξέδρας, ώστε η τελική στροφορμή του ανθρώπου κατά τον άξονα περιστροφής της εξέδρας να είναι ίση με την αρχική κατά τον ίδιο άξονα. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της εξέδρας ως προς τον άξονα περιστροφής της υπολογίζεται από τον τύπο 1 Ι = MR2 .

2

m₁ A

R

O

Απ. 10 rad s , −24000 kg ⋅ m2 s , 20 m .

234. Οριζόντια κυκλική εξέδρα ακτίνας R = 6 m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο , ως προς τον οποίο έχει ροπή αδρά-

m₂

νειας Ι εξ = 3600 kg ⋅ m2 . Πάνω στην εξέδρα και σε σημείο Α κοντά στην περιφέρειά της στέκεται άνθρωπος μάζας

h

m1 = 60 kg που θεωρείται σημειακή μάζα. Στην περιφέρεια της εξέδρας έχουμε τυλίξει πολ55

Σ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

δ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του υλικού σημείου K που φαίνεται στο στιγμιότυπο από τη χρονική στιγμή t = 0 και μετά. Απ. t1 = 0,15 s , λ = 0,4 m , 7 , U = 32 ⋅ 10 −4 ηµ2 (10πt − 8π ) .

α(m/s ) 2

xΔ = +0,3m

+200

0,15

0

7. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα x′Ox . Το υλικό σημείο που βρίσκεται στην αρχή O ( x = 0 ) του άξονα ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0 έχοντας μέγιστη θετική ταχύτητα. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης της ταλάντωσης του υλικού σημείου

t(s) 0,35

-200

∆ ( x ∆ = +0,3 m ) του ελαστικού μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο. α. Να διερευνήσετε αν το κύμα διαδίδεται προς τη θετική ή προς την αρνητική φορά του άξονα. β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του υλικού σημείου ∆ καθώς και την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλάδων του εγκάρσιου κύματος. γ. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t1 = 0,35 s .

δ. Να βρείτε πόσες φορές στη χρονική διάρκεια 0 → t1 η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου ∆ έγινε ίση με την κινητική του ενέργεια.

Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10 .

y(m) +0,1

t

K

Απ. θετική, υ =

Λ x

0 -0,1 y(m) +A

Xk

0,85 0

t(s)

0,25

-A

10 m s , λ = 0,2 m , 8 φορές. π

8. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο το οποίο ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Ox διαδίδεται αρμονικό κύμα που δημιουργείται από πηγή η οποία εξαναγκάζει το υλικό σημείο O ( x = 0 ) να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση της μορφής y = Aηµωt . Στο διπλανό σχήμα παριστάνεται το στιγμιότυπο του κύματος μια χρονική στιγμή t1 καθώς και η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο για το υλικό σημείο K που φαίνεται στο στιγμιότυπο. α. Να υπολογίσετε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου K . β. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1 . γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος, αν δίνεται ότι η τετμημένη του σημείου Λ που φαίνεται στο στιγμιότυπο είναι η x Λ = +2 m . Απ. υ = π m s , t1 = 0,5 s , y = 0,1ηµ2π ( 5t − 1,25x ) .

56

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

9. Μια πηγή αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στην αρχή O του θετικού ημιάξονα Ox και τη χρονική στιγμή t = 0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 0,04ηµ4 πt (S.I.). Το αρμονικό κύμα που δημιουργείται διαδίδεται σε ελαστικό μέσο, το οποίο ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Ox . Δύο υλικά ση-

μεία K ( xK = +1,2 m ) και Λ ( x Λ = +2 m ) του ελαστικού μέσου φτάνουν το καθένα για πρώτη φορά σε θέση μέγιστης δυναμικής ενέργειας με χρονική διαφορά ∆t = 2 s . α. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. β. Να βρείτε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες τα σημεία K και Λ φτάνουν σε θέση μέγιστης απομάκρυνσης για πρώτη φορά. γ. Να βρείτε πόσα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου έχουν μέγιστη κινητική ενέργεια τη χρονική στιγμή t1 = 3 s . δ. Να υπολογίσετε πόσα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου 1 έχουν δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ίση με το της 4 μέγιστης τιμής της τη χρονική στιγμή που το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 1 m από το σημείο O . Απ. y = 0,04ηµ2π ( 2t − 5x ) , t = 3,125 s , t = 5,125 s , 13 σημεία, 20 σημεία.

10. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t1 = 0,4 s ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Η διεύθυνση διάδοσης του κύματος ταυτίζεται με τη διεύθυνση του άξονα x′Ox και η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή O αυτού. Τη χρονική στιγμή t = 0 η πηγή του κύματος ξεκινά να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα. α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β. Να διερευνήσετε προς τα πού κινείται το υλικό

y(m) +0,4

0

t1=0,4s

K

-0,4

σημείο K ( xK = +0,75 m ) τη χρονική στιγμή t1 . γ. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης μεταξύ του σημείου K και του πιο μακρινού σημείου Z (από την πηγή O ) του ελαστικού μέσου που έχει τεθεί σε ταλάντωση τη χρονική στιγμή t2 = 0,6 s . Απ. y = 0,4ηµ2π (10t − 2x ) , K ↓ , ∆ϕ = 9π rad .

57

+2 x(m)

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

y(m)

t = 0,05 s

24. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής μεγάλου μήκους που ταυτίζεται με τον ημιάξονα Ox . Η πηγή του κύματος εξαναγκάζει το αριστερό άκρο O της χορδής να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y 0 = Aηµωt . Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγ-

+0,05

μή t1 = 0,05 s .

α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. x(m) β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της +0,9 ταχύτητας ταλάντωσης του υλικού σημείου

0

M ( xM = +0,5 m ) της χορδής σε συνάρτηση με το χρόνο σε σύστημα βαθμολογημένων αξόνων.

-0,05

Απ. y = 0,05ηµ2π ( 45t − 2,5x ) .

+0,2

y(m) Z t

M

25. Αρμονικό κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x′Ox . Στο διπλανό σχήμα φαίνεται τμήμα του στιγμιότυπου του κύματος μια χρονική στιγμή t1 .

-0,3

x(m)

0

Το υλικό σημείο που βρίσκεται στην αρχή Ο ( x = 0 ) του άξονα

K -0,2

y(m)

xM = + 2m

διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κάθε 0,1 s . α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Να βρείτε τη φορά κίνησης των υλικών σημείων O , K , M και Z αμέσως μετά τη χρονική στιγμή t1 . γ. Να υπολογίσετε την απόσταση του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές στιγμές που η ταχύτητα ταλάντωσής του έχει μέτρο π 3 m s .

+0,5

Απ. υδ = 2 m s , O ↓, Z ↓, K ↑, M ↓ , yM = 0,1 m .

26. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο μεγάλου μήκους που ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Ox διαδίδεται αρμονικό κύμα, η πηγή t(s) του οποίου βρίσκεται στο άκρο O του μέσου και ταλαντώ

0

1

2

νεται με εξίσωση y = Aηµωt . Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του υλικού σημείου

-0,5

M ( xM = + 2 m ) του μέσου από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. α. Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης του υλικού σημείου M αν η μάζα του ισούται με 2 g . β. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.

Δίνεται για τις πράξεις: π2 = 10 . Απ. E = 4 ⋅ 10 −2 J , y = 0,5ηµ2π ( 2t − x ) .

58

27. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε γραμμι-

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

70. Στην επιφάνεια ενός υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονες πηγές εγκάρσιων αρμονικών κυμάτων A και B . Η εξίσωση της ταλάντωσης των δύο πηγών είναι y = 0,02ηµ4 πt (S.I.). Ένα σημείο Φ της επιφάνειας του υγρού απέχει εξ’ ίσου από τις δύο πηγές. Το σημείο Φ εκτελεί ταλάντωση με φάση η οποία διαφέρει από τη φάση των πηγών κατά 2π rad . Η ταχύτητα διάδοσης των

κυμάτων είναι υ = 0,8 m s . Ζητούνται: α. να υπολογίσετε το μήκος κύματος των αρμονικών κυμάτων, β. να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Φ, γ. να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Φ από τη θέση ισορροπίας, δ. σε πόσο χρόνο φτάνουν τα κύματα, από τις δύο πηγές, στο σημείο Φ ; Απ. λ = 0,4 m , A′ = 0,04 m , y Φ = 0,04ηµ2π ( 2t − 1) , t = 0,5 s .

71. Στο σχήμα φαίνεται ένας ηχητικός σωλήνας Quincke, που το ένα σκέλος του έχει ένα τμήμα μεταβλητό. Στο ανοιr₂ χτό άκρο Π δημιουργείται από διαπασών ήχος συχνότητας f . Στο άλλο άκρο Σ φτάνουν ταυτόχρονα δύο ηχητικά κύματα μέσα από τα δύο σκέλη του σωλήνα. α. Όταν τα δύο σκέλη του σωλήνα είναι ίσα, τότε στο σημείο Σ παρατηρούμε ενίσχυση του ήχου. Γιατί; β. Αν μετακινήσουμε το κινητό μέρος δεξιά κατά d = 0,5 m η ένταση του ήχου είναι ελάχιστη, ενώ έχουμε ακούσει κατά τη διάρκεια της μετακίνησης αυτής άλλα 2 ελάχιστα. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος του ήχου που παράγει το διαπασών. γ. Ποια η συχνότητα του ηχητικού κύματος; δ. Κατά πόσο θα μετακινηθεί δεξιά το μεταβλητό σκέλος από την αρχική θέση, ώστε στο σημείο Σ να έχουμε την πρώτη ενίσχυση του ήχου.

Π r₁ Σ

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ = 340 m s . Απ. N = 0 , r1 = r2 , λ = 0,4 m , f = 850 Hz , 0,1 m .

59

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

y

t = t

Δ

41. Το παρακάτω σχήμα παριστάνει στιγμιότυπο εγκάρσιου αρμονικού κύματος. Το σημείο του ελαστικού μέσου που κινείται με μέγιστη ταχύτητα και φορά προς τα πάνω είναι το: α. Α γ. Γ β. Β δ. ∆ .

x 0

Α

Γ B

y

t = 2Τ

0

Α

→ υ

42. Το διπλανό σχήμα παριστάνει το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος, το οποίο διαδίδεται προς τα δεξιά. Προς ποια κατεύθυνση κινούνται τα σημεία Α και Β του ελαστικού μέσου; α. και τα δύο σημεία κινούνται προς τα πάνω. β. και τα δύο σημεία κινούνται προς τα κάτω. γ. το σημείο Α κινείται προς τα πάνω και το σημείο Β Β x προς τα κάτω. δ. το σημείο Α κινείται προς τα κάτω και το σημείο Β προς τα πάνω.

y

→

υ

t=Τ

43. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει το στιγμιότυπο ενός αρμονικού κύματος κατά τη χρονική στιγμή t = T , όπου t = T , όπου T η περίοδος του κύματος. Η μορφή του στιγμιότυπου κατά τη χρονική στιγμή y

0

t′ = t + T 2 δίνεται από το διάγραμμα: y

x x

x

(α)

(β)

y

y

x

(γ)

60

x

(δ)

44. Το διάγραμμα του σχήματος δείχνει το στιγμιότυπο ενός αρμονικού κύματος, το οποίο παράγεται από την πηγή Ο και διαδίδεται προς τα δεξιά, κατά τη χρονική στιγμή t . Αν η εξίσωση της απομάκρυνσης της πηγής Ο είναι y = Aηµπt (το t σε s ), τότε 2,5 s μετά τη χρονική στιγμή t η πηγή Ο: α. θα έχει απομάκρυνση μηδέν και θα κινείται κατά τη θετική φορά. β. θα έχει απομάκρυνση μηδέν και θα κινείται κατά την αρνητική φορά. γ. θα έχει απομάκρυνση μέγιστη θετική. δ. θα έχει απομάκρυνση μέγιστη αρνητική.

45. Στο διάγραμμα του σχήματος δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης ϕ σε συνάρτηση με την απόσταση x κατά τη χρονική στιγμή t , για ένα τρέχον αρμονικό κύμα που αρχίζει να παράγεται στη θέση x = 0 κατά την χρονική στιγμή t = 0 . Το μήκος κύματος του κύματος είναι: α. 1 m γ. 4 m β. 2 m δ. 10 m .

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

y

→

υ

Α

t

0

x

-Α

φ(rad) 10π

t

5π x(m) 0

2

4

6

46. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Τα εγκάρσια μηχανικά κύματα: α. διαδίδονται σε όλα τα ελαστικά μέσα, στερεά, υγρά ή αέρια. β. είναι τα μόνα κύματα που μεταφέρουν ύλη. γ. αναγκάζουν τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου να ταλαντωθούν κάθετα στη διεύθυνση ταλάντωσης του κύματος. δ. αναγκάζουν τα υλικά σημεία του ελαστικού μέσου να ταλαντωθούν παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.

47. Ποιες από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Τα διαμήκη κύματα: α. διαδίδονται μόνο στα στερεά σώματα. β. σχηματίζουν πυκνώματα και αραιώματα στο μέσο που διαδίδονται. γ. διαδίδονται παράλληλα στη διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων του μέσου. δ. δεν υπακούουν στη θεμελιώδη εξίσωση της 61

8

10

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

͢ υ1 m m ͢ υ0

26. Πλάγιο επίπεδο μάζας M ισορροπεί ακίνητο επάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Σφαίρα μάζας m κινείται οριΒ  ζόντια με ταχύτητα υ0 , μέτρου 10 m s , και προσκρούει ελαστικά στην έδρα AB του πλάγιου επιπέδου, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Αμέσως μετά την κρούση η σφαίρα ͢ αναπηδά στην έδρα AB του πλάγιου επιπέδου υ2  Μ με ταχύτητα υ1 κατακόρυφης διεύθυνσης και  το πλάγιο επίπεδο αποκτά ταχύτητα υ2 , μέ-

Γ

Α

τρου 2 m s . Να υπολογίσετε:

m .

M  . Το μέτρο της ταχύτητας υ1 . β

γ. Το μέγιστο ύψος από το σημείο της κρούσης στο οποίο θα ανέλθει η σφαίρα μετά τη σύγκρουσή της με το πλάγιο επίπεδο. α. Τον λόγο των μαζών

2

Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι: g = 10 m s . Απ.

m 1 = , υ1 = 4 5 m s , hmax = 4 m .

M 5

27. Μια μικρή σφαίρα μάζας m = 2 kg προσκρούει πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ0 = 120 m s . Για τη γωνία πρόσπτωσης ϕ και τη γωνία ανάκλασης θ ισχύει ότι

ηµϕ = συνθ = 0,6 και συνϕ = ηµθ = 0,8 . Α. Να υπολογίσετε:  α. την ταχύτητα υ με την οποία ανακλάται η σφαίρα,

y

m +

͢ υ0

φ

x’

͢ υ θ

62

σφαίρα από το επίπεδο είναι F = 3020 N , ποιο είναι το χρονικό διάστημα της επαφής;

x y’

β. το ποσοστό ( % ) απώλειας της κινητικής ενέργειας της σφαίρας κατά την κρούση με το οριζόντιο επίπεδο, γ. τη μεταβολή της ορμής της σφαίρας κατά την κρούση.

Β. Αν η μέση δύναμη που δέχτηκε η

2

Δίνεται: g = 10 m s .

Απ. υ = 90 m s , Π% = 43,75% , ∆p = −300 kg ⋅ m s , ∆t = 0,1 s .

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

28. Μια σφαίρα μάζας m = 2 kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 = 40 m s σε διεύθυνση που σχηματίζει με την κατακόρυφο

͢ υ΄1

μετά

πριν

m ͢ υ1

π γωνία ϕ = rad . Η σφαί6 ρα συγκρούεται με σώμα

θ

φ ͢ υ2

M

m ͢ υ΄2

M

μάζας M = 10 kg , το οποίο κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υ2 = 2 m s . Μετά την κρούση η σφαίρα κινείται με

ταχύτητα μέτρου υ1′ = 10 3 m s σε διεύθυνση που σχηματίζει π με την κατακόρυφο γωνία θ = rad .

3  Α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ′2 του σώματος μάζας M μετά την κρούση. Β. Αν ο χρόνος επαφής μεταξύ σφαίρας και σώματος είναι

∆t = 10 −1 s , να υπολογίσετε: α. τη μέση οριζόντια δύναμη που δέχεται το σώμα, β. τη μέση κατακόρυφη δύναμη που δέχεται η σφαίρα, γ. τη μέση δύναμη που δέχεται η σφαίρα.

2

Δίνεται: g = 10 m s .

(

)

Απ. υ2′ = 3 m s , Fx = −100 N , Fy = 500 3+20 N , F = Fx2 + Fy2 , εϕω =

25 3 + 1 5

29. Σφαίρα μικρών διαστάσεων μάζας m = 0,4 kg  κινείται με ταχύτητα υ1 , μέτρου 10 3 m s , σε κατακόρυφο επίπεδο και προσκρούει σε λεία οριζόντια επιφάνεια υπό γωνία πρόσπτωσης

m

͢ υ1

͢ υ2 π

α

π = 30 . Η σφαίρα ανακλάται με γωνία α = 60 , όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε:

α. Το μέτρο της ταχύτητας με την οποία αναπηδά η σφαίρα στην επιφάνεια. β. Τη μέση τιμή του μέτρου της δύναμης που ασκεί η Ι = MR2 2

63

m

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

͢ υ1

A

40. Περιπολικό κινείται με σταθερή ταχύτητα υ1 = 10 m s και πλησιάζει κάθετα προς έναν κατακόρυφο τοίχο. Ποδηλάτης κινείται ανάμεσα στο περιπολικό και

Γ

͢ υ2

τον τοίχο με σταθερή ταχύτητα υ2 = 10 m s πλησιάζοντας και αυτός προς τον τοίχο. Ένας παρατηρητής Γ κάθεται στον τοίχο.

Το περιπολικό εκπέμπει ήχο συχνότητας

fs = 660 Hz για χρονικό διάστημα ∆ts = 6,8 s . Αν η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον ακίνητο

αέρα έχει μέτρο υ = 340 m s , να υπολογίσετε:

α. τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Γ , . τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο ποδηλάτης απευθείας β από το περιπολικό και τη συχνότητα του ανακλώμενου ήχου από τον τοίχο,

γ. για πόσο χρονικό διάστημα ο παρατηρητής Γ αντιλαμβάνεται τον ήχο του περιπολικού,

δ. για πόσο χρονικό διάστημα ο ποδηλάτης αντιλαμβάνεται τον ήχο του περιπολικού απευθείας και για πόσο χρονικό διάστημα τον ανακλώμενο ήχο από τον τοίχο. Απ. fΓ = 680 Hz , fΑ = fs = 660 Hz , fΑ′ = 680 Hz , ∆tΓ = 6,6 s ,

∆t Α = 6,8 s , ∆t′Α = 6,4 s .

fs

0

͢ υ0

A

41.

Μια ηχητική πηγή S είναι ακί-

νητη στη θέση x 0 = 0 και εκπέμπει ηχητικά κύματα συχνότητας fs = 680 Hz . Ένας ανιχνευτής ήχου A απομακρύνεται από την πηγή επιταχυνόμενος με σταθερή επιτάχυν2 ση α = 2 m s και τη χρονική στιγμή t0 = 0 διέρχεται από τη θέση x = d = 40 m κινούμενος

d

με ταχύτητα μέτρου υ0 = 20 m s .

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που καταγράφει ο ανιχνευτής τη χρονική στιγμή t1 = 5 s . β. Να βρείτε τη θέση από την οποία διέρχεται ο ανιχνευτής τη χρονική

64

στιγμή που καταγράφει συχνότητα f2 = 600 Hz . γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συχνότητας

fΑ που καταγράφει ο ανιχνευτής σε συνάρτηση με τον χρόνο. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μείωσης της συχνότητας του ήχου που έχουμε στον ανιχνευτή. δ. Να υπολογίσετε τον αριθμό των ηχητικών κυμάτων

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

που φτάνουν στον ανιχνευτή στη διάρκεια του 6ου δευτερολέπτου της κίνησής του. Δίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον ακίνητο αέρα έχει μέτρο υ = 340 m s .

dfΑ = −4 Hz s , 618 ηχητικά κύματα. dt  42. Τρένο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υs και κατευθύνεται προς ένα τούνελ, το οποίο βρίσκεται σε κατακόρυφο Απ. fΑ = 620 Hz , x = 140 m ,

A

͢ υS

βράχο. Τη χρονική στιγμή t0 = 0 η σειρήνα του τρένου εκπέμπει αρμονικό ήχο fs = 640 Hz για χρονικό διάστημα ∆t . Ο ήχος της σειρήνας του τρένου ανακλάται στον βράχο και γίνεται αντιληπτός από τον οδηγό του τρένου τη χρονική στιγμή t = 2 s με συχνότητα f ′ = 720 Hz . Ένας ακίνητος παρατηρητής A βρίσκεται δίπλα στις γραμμές του τρένου και πίσω από αυτό. Να υπολογίσετε: 

α. την ταχύτητα υs του τρένου,

β. τη συχνότητα του ανακλώμενου ήχου στα κατακόρυφα τοιχώματα του τούνελ που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής A ,

γ. την απόσταση d του τρένου από το τούνελ τη χρονική στιγμή t = 2 s που ο οδηγός αρχίζει να αντιλαμβάνεται τον ανακλώμενο ήχο,

δ. το χρονικό διάστημα που ο παρατηρητής A ακούει τον ανακλώμενο ήχο από τον βράχο, k, ℓ0 αν ο οδηγός ακούει τον ίδιο ήχο

A.Θ.T.

για χρονικό διάστημα ∆t′ = 6,8 s . Απ. υs = 20 m s , fΑ = 680 Hz , d = 320 m ,

∆t Α = 7,2 s .

m1 + m2 x1 Θ.I. m2

43. Στην οροφή ερευνητικού εργαστηρίου είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k = 60 N m , στο άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σώμα Σ1 μά-

Γ

m1

Γ

m2 h

u2

m2

u0

V x2

m1 + m2

Θ.I.

A -A A.Θ.T.

m1 + m2 Vmat

m1 + m2

ζας m1 = 17 kg . Το σύστημα ισορροπεί. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στον κατακόρυφο άξονα y′y που ορίζει ο άξονας του ελατηρίου. Ο παρατηρητής εκτοξεύει κατακόρυφα προς τα πάνω σώμα Σ2 μάζας m2 = 3 kg με ταχύτητα μέτρου 65

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

͢ (u = 0) ͢ υ

25. Μικρό, ξύλινο συμπαγές κιβώτιο μάζας M = 3 kg αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί από τη θέση A λείου πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης ϕ = 30 . Το κιβώτιο ολισθαίνει κατά μήκος του πλάγιου επιπέδου και όταν φθάσει στη θέση B , σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του

M (A)

͢ υ0

M m

φ

(B)

h

βλήμα μάζας m = 0,5 kg , το οποίο κινείται παράλληλα με το πλάγιο επίπεδο με φορά προς τα επάνω, όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Μετά. την κρούση το συσσωμάτωμα που προκύπτει φθάνει στη θέση A με μηδενική ταχύτητα. Εάν η κατακόρυφη απόσταση των θέσεων A και B είναι h = 1,25 m ,

να υπολογίσετε:

α. Το μέτρο της ταχύτητας του ξύλινου κιβωτίου ακριβώς πριν σφηνωθεί σε αυτό το βλήμα.

β. Το μέτρο της ταχύτητας του βλήματος ακριβώς πριν από την κρούση.

γ. Τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος 0,4 s μετά την κρούση.

2

Το μέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας είναι: g = 10 m s . Απ. υ = 5 m s , υ0 = 65 m s ,

dK = −52,5 J s . dt

26. Λεία σφαίρα Σ1 μάζας m = 4 kg κινείται επάνω σε λεία ορι ζόντια επιφάνεια με ταχύτητα υ1 , μέτρου υ1 = 10 m s , και συγκρούεται έκκεντρα και ελαστικά με ακίνητη λεία σφαίρα Σ2 .  Μετά την κρούση η σφαίρα Σ1 κινείται με ταχύτητα υ1′ , μέτρου  8 m s , ενώ η σφαίρα Σ2 κινείται με ταχύτητα υ′2 , της οποίας η διεύθυνση σχηματίζει γωνία 90 με τη διεύθυνση της ταχύτη τας υ1′ , όπως απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε: α. Τη μάζα m2 της σφαίρας Σ2 .

Σ1 Σ1

Ακριβώσ πριν από την κρούση

66

͢ υ1 Ακριβώσ μετά την κρούση

͢ υ1 Σ2

Σ2

͢ υ2

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

 β. Το μέτρο της ταχύτητας υ′2 της σφαίρας Σ2 .

γ. Το επί τοις εκατό ( % ) ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας

y m2

της σφαίρας Σ1 που μεταβιβάζεται στη σφαίρα

Σ2 εξαιτίας της κρούσης.  Απ. m2 = 4 kg , υ2 = 6 m s , Π = 36% .

͢ υ2 x

͢ υ1 m1

27. Δύο σφαίρες με ίσες μάζες m1 = m2 = 1 kg κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητες μέτρου υ1 = 1 m s και

υ2 = 3 m s αντίστοιχα σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους και συγκρούονται πλαστικά. Να υπολογίσετε: α. την ορμή του συστήματος πριν και μετά την κρούση, β. την ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση, γ. το ποσοστό ( % ) απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση.

͢ υ

Απ. p = 2 kg ⋅ m s , υ = 1 m s , Π% = 50% .

a

28. Μικρή λεία σφαίρα μάζας m = 0,1 kg κινείται επάνω σε λείο  οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα υ0 , μέτρου 10 m s , και συγκρούεται ελαστικά με κατακόρυφο τοίχωμα, όπως δείχνει το διπλανό σχήμα. Η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας στο κατακό-

͢ υ0

ρυφο τοίχωμα είναι π = 30 . Να υπολογίσετε:  α. Το μέτρο της ταχύτητας υ με την οποία αναπηδά η σφαίρα στο κατακόρυφο τοίχωμα. β. Τη γωνία α με την οποία η σφαίρα ανακλάται στο κατακόρυφο τοίχωμα. γ. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής της σφαίρας εξαιτίας της κρούσης. δ. Τη χρονική διάρκεια της κρούσης, εάν γνωρίζετε ότι το μέτρο της μέσης δύναμης που δέχεται η σφαίρα από το  τοίχωμα στη διάρκεια της κρούσης είναι F = 1000 3 N .  Απ. υ = 10 m s , α = 30 , ∆p = 3 kg ⋅ m s , ∆t = 0,001 s .

29. Δύο μικρά σώματα που κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο σε διευθύνσεις οι οποίες είναι κάθετες μεταξύ τους έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και ίσες κατά μέτρο ορμές. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά και το συσσωμάτωμα που δημιουργεί67

π

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

͢ υ1

34. Ένας ακίνητος παρατηρητής ακουμπά σε κατακόρυφο μεγάλο τοίχο και βρίσκεται στην ίδια ευθεία με δύο

͢ υ2

(1)

αυτοκίνητα (1 ) και ( 2 ) τα οποία κινούνται (2)

με σταθερές ταχύτητες μέτρου υ1 = 20 m s και υ2 = 5 m s αντίστοιχα και αντίθετης φοράς, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το αυτοκίνητο (1 ) εκπέμπει με την κόρνα του ηχητικά κύματα συχνότητας 320 Hz .

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα και το μήκος κύματος του ήχου της κόρνας που αντιλαμβάνεται ο ακίνητος παρατηρητής. β. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου της κόρνας που αντιλαμβάνονται οι επιβάτες του αυτοκινήτου ( 2 ) πριν συμβεί ανάκλαση του ήχου στον κατακόρυφο τοίχο.

γ. Αν το αυτοκίνητο (1 ) ακινητοποιηθεί σε μια θέση K μπροστά από το αυτοκίνητο ( 2 ) , συνεχίζοντας να εκπέμπει με την κόρνα του ηχητικά κύματα, να υπολογίσετε με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται το

αυτοκίνητο ( 2 ) , πλησιάζοντας το αυτοκίνητο (1 ) , ώστε ο οδηγός του να ακούει διακροτήματα συχνότητας

fδ = 8 Hz . Δίνεται ότι το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του ήχου στον ακίνητο αέρα ισούται με υηχ = 340 m s . Απ. fA = 340 Hz , λ A = 1 m , fA(2) = 345 Hz , υ2 = 4,25 m s .

ηχητική πηγή

k

Θ.Ι.

Σ

-A

+A

68

35. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα σώμα Σ μάζας m = 1 kg που είναι δεμένο σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A = 0,4 m σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στο σώμα Σ έχει προσαρμοστεί ευαίσθητος ανιχνευτής ηχητικών κυμάτων, αμελητέας μάζας, ενώ στην ευθεία κίνησης του σώματος Σ υπάρχει ηχητική πηγή, η οποία εκπέμπει ηχητικά κύματα συχνότητας 680 Hz . Ο ανιχνευτής μετρά συχνότητα ίση με αυτή που εκπέμπει η ηχητική πηγή κάθε 0,1π s . Να υπολογίσετε: α. τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος Σ, β. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συχνότητας των ηχητικών κυμάτων που μετρά ο ανιχνευτής, γ. τη συχνότητα των ηχητικών κυμάτων που μετρά

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

ο ανιχνευτής όταν διέρχεται από τη θέση

͢ υ1

απομάκρυνσης x1 = −0,2 3 m επιβραδυνόμενος. Δίνεται ότι ο ήχος διαδίδεται στον ακίνητο αέρα με ταχύτητα μέτρου

(Β)

͢ (u = 0) (Α)

υηχ = 340 m s . Απ. D = k = 100 N m , fmax = 688 Hz ,

fmin = 672 Hz , fA = 684 Hz .

36. Δύο οχήματα B και Γ κινούνται αντίθετα κορνάροντας επάνω στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο με σταθερές ταχύτητες

υ1 = 10 m s και υ2 = 20 m s αντίστοιχα. Η κόρνα του οχήματος B παράγει ήχο συχνότητας fΒ = 1056 Hz ενώ η κόρνα του οχήματος Γ παράγει ήχο συχνότητας fΓ = 736 Hz . Παρατηρητής στέκεται ακίνητος ανάμεσα στα δύο οχήματα, όπως απεικονίζεται στο παραπάνω σχήμα.

Να υπολογίσετε:

α. Τις συχνότητες των ήχων που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής από τις κόρνες των δύο οχημάτων.

β. Τη συχνότητα με την οποία αντιλαμβάνεται ο οδηγός του οχήματος Γ τον ήχο που εκπέμπει η κόρνα του οχήματος B.

γ. Τον λόγο του αριθμού των μεγίστων κύματος που φθάνουν στον παρατηρητή από την κόρνα του οχήματος B προς τον αριθμό των μεγίστων κύματος που φθάνουν στον παρατηρητή από την κόρνα του οχήματος Γ στον ίδιο χρόνο ∆t . Το μέτρο της ταχύτητας διάδοσης του ήχου ως προς τον ακίνητο αέρα είναι: υ = 340 m s . Απ. fA1 = 1088 Hz , fA2 = 782 Hz , f = 1152 Hz ,

NA1 544 . = NA2 391

37. Περιπολικό κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή. Η σειρήνα του περιπολικού εκπέμπει ήχο συχνότητας fs = 900 Hz για χρονικό διάστημα

∆ts = 2 s . Ο παρατηρητής ακούει τον ήχο της σειρήνας για χρο

νικό διάστημα ∆t A = 1,8 s . α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα με την οποία ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο της σειρήνας του περιπολικού.

69

͢ υ2 (Γ)

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

30. Στο σχήμα φαίνεται ένα κατακόρυφο ροόμετρο Venturi, στο

οποίο είναι προσαρμοσμένο μανόμετρο υδραργύρου, πυκνότητας ρHg = 13600 kg m3 , σχήματος U, τα άκρα του οποίου απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφη απόσταση h = 1 m . Στην κυλινδρική περιοχή του σημείου (1) το εμβαδόν διατομής του σωλήνα είναι A1 = 10 cm2 , ενώ στην κυλινδρική περιοχή του σημείου (2) το εμβαδόν είναι A2 = 4 cm2 και η παροχή του σωλήνα είναι 0,002 m3 s . Από το ροόμετρο διέρχεται ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ = 1200 kg m3 , με αποτέλεσμα η στάθμη του υδραργύh ρου στο σωλήνα U να εμφανίζει υψομετρική διαφορά h1 . Να βρεθεί: h Α. η ταχύτητα του ρευστού στα σημεία (1) και (2) 1

Β. η διαφορά πίεσης P1 − P2 .

Γ. η υψομετρική διαφορά h1 .

2 Δίνεται: g = 10 m s Απ: 2 m s , 5 m s , 24600 Pa , 0,1 m

2 1

31. Ένας σωλήνας που μεταφέρει νερό, το οποίο ακολουθεί μόνιμη και στρωτή ροή, έχει ακτίνα r = 2 π cm και διακλαδίζεται σε δύο μικρότερους σωλήνες ακτίνας r1 = r2 = π cm . Η παροχή στον κεντρικό σωλήνα είναι Π = 1 m3 min . Ένας από τους δύο μικρότερους σωλήνες καταλήγει σε μια μικρή δεξαμενή που χωράει 100 kg νερό. Να υπολογίσετε:

Α. την ταχύτητα ροής στον κεντρικό σωλήνα.

Β. την παροχή νερού σε έναν από τους δύο μικρότερους σωλήνες.

Γ. την ταχύτητα ροής στους δύο μικρότερους σωλήνες.

Δ. το χρόνο που χρειάζεται για να γεμίσει η μικρή δεξαμενή. Δίνεται: ρνερ = 1 g cm3 , π2 = 10 Απ:

100 1 100 m s, m3 s , m s , 12 s 24 120 12

32. Μέσα σε κεντρικό σωλήνα (1), με επιφάνεια κάθετης διατομής 10 cm2 , ρέει νερό έχοντας ταχύτητα ροής 8 m s . Ο σωλήνας διακλαδίζεται σε ένα οριζόντιο σωλήνα τύπου Τ, όπου ο αγωγός (2) έχει εμβαδόν κάθετης διατομής 6 cm2 και ο αγωγός (3) έχει εμβαδόν κάθετης διατομής 4 cm2 . Το νερό ακολουθεί μό2 νιμη ροή σε όλο το μήκος των σωληνώσεων. Αν η πίεση του νερού στην έξοδο του αγωγού (3) είναι 105 N m2 και η ταχύτητα εκροής εκεί, έχει μέτρο 9 m s , να βρείτε: 3 Α. την ταχύτητα εκροής του νερού στην έξοδο του αγωγού (2).

Β. την πίεση του νερού στον κεντρικό σωλήνα (1).

Γ. την πίεση του νερού στην έξοδο του αγωγού (2). Δίνεται: ρνερ = 103 kg m3

1

Απ: 7,33 m s , 1,085 ⋅ 105 Pa , 1,137 ⋅ 105 Pa

70

ΧΗΜΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ Αμφίδρομη αντίδραση: υ1  → . Χημική αντίδραση η οποία πραγματοποιείται και προς τις δυο κατευθύνσεις ←  υ2

(

)

Καταλήγει σε κατάσταση χημικής ισορροπίας (ΧΙ), κατά την οποία κανένα από τα σώματα που συμμετέχουν δεν καταναλώνεται πλήρως. Η ΧΙ είναι μια δυναμική και όχι στατική κατάσταση, δηλαδή μεταβάλλεται μόνο αν μεταβληθεί κάποιος από τους παράγοντες που την επηρεάζουν. Στην ΧΙ οι ταχύτητες των δύο αντίθετων κατευθύνσεων της αντίδρασης υ1, υ2 εξισώνονται: υ1 = υ2. Στην ΧΙ όλα τα σώματα συνυπάρχουν. Χημικές Αντιδράσεις

Ομογενείς Όλα τα σώματα βρίσκονται στην ίδια φάση.

Ετερογενείς Συμμετέχουν σώματα που βρίσκονται σε διαφορετικές φάσεις.

Απόδοση Αντίδρασης (α) Ονομάζεται ο λόγος της ποσότητας της ουσίας που παράγεται πρακτικά προς την ποσότητα της ουσίας που παραγόταν θεωρητικά αν η αντίδραση ήταν ποσοτική (μονόδρομη), δηλαδή: α=

  που σχηµατιζεται  ποσοτητα ουσιας πρακτικα   που θα σχηµατιζοταν  ποσοτητα ουσιας θεωρητικα

Παίρνει τιμές: 0 < α < 1 ή 0% < α < 100% . Αν α = 100% η αντίδραση είναι μονόδρομη.

71

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

2. Συγκέντρωση (μέσω προσθήκης ή αφαίρεσης mol) • Εάν προσθέσουμε mol μιας ουσίας που μετέχει στην αντίδραση, τότε το σύστημα μετατοπίζεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από αυτή που βρίσκεται το σώμα αυτό, δηλαδή προς την κατεύθυνση που αυτό καταναλώνεται.

• Εάν αφαιρέσουμε mol μιας ουσίας που μετέχει στην αντίδραση, τότε το σύστημα μετατοπίζεται προς την ίδια πλευρά που βρίσκεται το σώμα αυτά, δηλαδή προς την κατεύθυνση που αυτό παράγεται. Παράδειγμα

(mol)

A

ΧΙ (1)

3

+



2

προσθέτω αντιδρούν

2Β

5

+2 x

2x

παράγονται

2Γ

2x

XI (2)

3–x

(mol)

A

ΧΙ (1)

3

αφαιρώ

-1

4 – 2x

5 + 2x

Παράδειγμα +

2Β 2

αντιδρούν παράγονται XI (2)



2Γ 5 2x

x

2x

2+x

2 + 2x

5 – 2x

3. Πίεση (μέσω μεταβλητού όγκου) Απαραίτητες προϋποθέσεις ώστε να βρίσκει εφαρμογή η μεταβολή του όγκου είναι:

α. Να μετέχουν αέρια σώματα στην αντίδραση.

β. Να συμβαίνει μεταβολή του αριθμού των mol στα αέρια σώματα μεταξύ των δύο μελών.

• Η αύξηση του όγκου του δοχείου οδηγεί σε μείωση της πίεσης (για σταθερή θερμοκρασία), οπότε η ΧΙ μετατοπίζεται προς την κατεύθυνση με τα περισσότερα moles αερίων σωμάτων.

• Η μείωση του όγκου του δοχείου οδηγεί σε αύξηση της πίεσης (για σταθερή θερμοκρασία), οπότε η ΧΙ μετατοπίζεται προς την κατεύθυνση με τα λιγότερα moles αερίων σωμάτων. Παράδειγμα H2 (g) + I2 (g)  2HI(g)

= 0 ) , οπότε αλλαγή του Ο αριθμός mol των αερίων είναι ίδιος για τα δύο μέλη ( ∆nαεριων  όγκου δεν επηρεάζει τη ΧΙ. Παράδειγμα 2Α(g) + B(g)  Γ(g) 72

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Αύξηση του όγκου μετατοπίζει τη ΧΙ προς την κατεύθυνση με τα περισσότερα moles αερίων σώματα, δηλαδή προς τα αριστερά. ↑ V ⇒↓ P: ←

Παράδειγμα

2Α(g) + B(s)  Γ(g)

Μείωση του όγκου μετατοπίζει τη ΧΙ προς την κατεύθυνση με τα λιγότερα moles αερίων σωμάτων, δηλαδή προς τα δεξιά. ↓ V ⇒↑ P: →

Μεταβολή της πίεσης προκαλείται επίσης με εισαγωγή ευγενούς αερίου στο μείγμα ισορροπίας, υπό σταθερό όγκο και θερμοκρασία. Στην περίπτωση αυτή, η χημική ισορροπία δεν επηρεάζεται.

Διαγράμματα συγκέντρωσης - χρόνου για ουσίες που μετέχουν σε μια χημική ισσοροπία

C

C X.I.1

C

X.I.2

2x X.I.1

X.I.2

x X.I.1

0

t1

t2

t

0

X.I.2

t1

t2

t

0

t1

t2

Παράδειγμα 1o Σε δοχείο σταθερού όγκου και σε σταθερή θερμοκρασία βρίσκονται σε κατάσταση χημικής ισορροπίας ποσότητες Ν2, Η2 και NH3 με συγκεντρώσεις c, 4c και 2c αντίστοιχα.

N2 (g) + 3H2 (g)  2NH3 (g)

Τη χρονική στιγμή t1 προσθέτουμε στο δοχείο ποσότητα H2 η οποία έχει συγκέντρωση c. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα των συγκεντρώσεων των ουσιών σε συνάρτηση με τον χρόνο από την αρχική θέση ισορροπίας μέχρι την τελική θέση ισορροπίας. Λύση Με την προσθήκη Η2 αυξάνεται η συγκέντρωσή του, οπότε, σύμφωνα με την αρχή Le Chatelier, η χημική ισορροπία μετατοπίζεται προς τα δεξιά και αποκαθίσταται νέα θέση ισορροπίας. Οι συγκεντρώσεις των ουσιών που μετέχουν στην αντίδραση φαίνονται στον 73

t

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Β. Μετατόπιση τησ Θέσης ΧΗΜΙΚΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ - Αρχή Le Chatelier

16.

Σε δοχείο σταθερού όγκου βρίσκονται σε ισορροπία: Α(g) + 2Β(g) ⇆ 2Γ(g), ΔΗ = 100 kJ Χ.Ι. 2mol/L 1mol/L 3mol/L οπότε η ολική πίεση είναι 10 atm. Αν αυξήσουµε τη θερµοκρασία, τότε όταν αποκατασταθεί νέα ισορροπία: Η συγκέντρωση του Α µπορεί να είναι: i. 2 Μ iii. 1,8 Μ ii. 2,2 Μ 17.

Σε δοχείο όγκου 40 L βρίσκονται σε ισορροπία Α(g) + 2Β(g) ⇆ 2Γ(g) Χ.Ι. 1 mol 4 mol 5 mol σε ορισµένη θερµοκρασία θ, ασκώντας πίεση P0 = 20 atm. Μειώνουµε τον όγκο του δοχείου σε V1 = 20 L, ενώ διατηρούµε σταθερή τη θερµοκρασία. α. Αµέσως µετά η ολική πίεση που ασκεί το αέριο µείγμα είναι: i. 20 atm iii. 50 atm ii.

40 atm

iv. 15 atm β. Όταν αποκατασταθεί ξανά ισορροπία, η πίεση του µείγματος µπορεί να είναι: i. 40 atm iii. 20 atm ii.

35 atm

iv. 15 atm

18. Σ’ ένα δοχείο σταθερού όγκου εισάγεται ορισμένη ποσότητα N2O4 ⇆ 2NO2, ΔΗ > Ο. Για να αυξηθεί η απόδοση της αντίδρασης πρέπει: α. να προστεθεί ποσότητα N2O4 β. να αυξηθεί η θερμοκρασία γ. να ελαττωθεί ο όγκος του δοχείου δ. να προστεθεί καταλύτης 19. Δίνεται η αντίδραση 3Fe(s) + 4H2O(g) ⇆ FeO4(s) + 4H2(g), ΔΗ < Ο. Ποια από τις παρακάτω μεταβολές δεν επηρεάζει την απόδοση της αντίδρασης; α. αύξηση του όγκου του δοχείου β. ελάττωση της θερμοκρασίας γ. προσθήκη ποσότητας Η2 δ. προσθήκη αφυδατικού μέσου 20. Δίνεται η αντίδραση Α(s) + B(g) ⇆ Γ(g) + Δ(g), ΔΗ > 0. Το σύστημα βρίσκεται σε ισορροπία. Ποιος από τους ακόλουθους παράγοντες θα οδηγήσει στην αύξηση της απόδοσης παραγωγής του σώματος Γ; α. μείωση της θερμοκρασίας β. αύξηση του όγκου του δοχείου γ. προσθήκη κατάλληλου καταλύτη δ. προσθήκη σώματος Α

74

21. Η αμμωνία παρασκευάζεται σύμφωνα με την αντίδραση: Ν2(g) + 3H2(g) ⇆ 2NH3(g), ΔΗ = -22 kcal

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Για να αυξήσουμε την ποσότητα της παραγόμενης αμμωνίας πρέπει:

α. να αυξήσουμε τη θερμοκρασία

β. να προσθέσουμε καταλύτη

γ. να αυξήσουμε την πίεση

δ. να ελαττώσουμε την πίεση 22. Σε κλειστό δοχείο βρίσκονται σε κατάσταση χημικής ισορροπίας 2 mol A, 2 mol Β και 2 mol Γ: 2A(g) ⇆ B(g) + Γ(g), ΔΗ > 0. Εισάγεται στο δοχείο ορισμένη ποσότητα από το Α. Όταν αποκατασταθεί και πάλι χημική ισορροπία, για τους αριθμούς mol των Α, Β και Γ θα ισχύει:

α. nΑ > 2, nΒ < 2, nΓ < 2

β. nΑ < 2, nΒ > 2, nΓ > 2

γ. nΑ > 2, nΒ > 2, nΓ > 2

δ. nΑ < 2, nΒ < 2, nΓ < 2

23. Εντός κλειστού δοχείου σταθερού όγκου υπάρχουν σε ισορροπία αέρια Η2, Ι2 και ΗΙ στους 227⁰C, τα οποία ασκούν ολική πίεση 4 atm. Η ισορροπία περιγράφεται από την αντίδραση Η2(g) + I2(g) ⇆ 2HI(g). Αν διπλασιάσουμε τον όγκο του δοχείου και αυξήσουμε τη θερμοκρασία στους 727⁰C, τότε η ολική πίεση που θα ασκούν τα αέρια θα γίνει: α. 8 atm γ. 2 atm β. 16 atm δ. 4 atm 24. Η απόδοση της αντίδρασης που περιγράφεται από τη χημική εξίσωση CaCO3(s) ⇆ CaO(s) + CO2(g), ΔΗ > 0 αυξάνεται όταν: α. μειώσουμε τη θερμοκρασία β. αυξάνεται η ποσότητα του ανθρακικού ασβεστίου γ. χρησιμοποιείται καταλύτης δ. αυξάνεται ο όγκος του δοχείου στο οποίο πραγματοποιείται η αντίδραση

25. Η απόδοση της αντίδρασης που περιγράφεται από τη χημική εξίσωση RCOOH(aq) + ROH(aq) ⇆ RCOOR(aq) + H2O(l), ΔΗ = 0 μπορεί να αυξηθεί:

α. με αύξηση της θερμοκρασίας

β. με ελάττωση του όγκου του δοχείου

γ. με προσθήκη καταλύτη

δ. με χρήση αφυδατικού 26 . Σε τέσσερα κλειστά δοχεία με δυνατότητα μεταβολής του όγκου έχουν αποκατασταθεί αντίστοιχα οι παρακάτω χημικές ισορροπίες. Ποια από αυτές δεν επηρεάζεται από την μεταβολή του όγκου του δοχείου, σε σταθερή θερμοκρασία.

α. Η2(g) + I2(g)⇆ 2HI(g)

β. CaCO3(s) ⇆ CaO(s) + CO2(g)

γ. C(s) + H2O(g) ⇆ CO(g) + H2(g)

δ. 3Η2(g) + N2(g) ⇆ 2NH3(g)

75

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Ιοντισμός – Οξέων Βάσεων Κατάταξη διαλυμάτων Α. Ιοντικά διαλύματα Ονομάζονται τα διαλύματα στα οποία η διαλυμένη ουσία είναι μια ιοντική (ετεροπολική) ένωση. Όταν η ουσία αυτή διαλύεται στο νερό, πραγματοποιείται μια χημική αντίδραση που καλείται διάσταση. Παραδείγματα ιοντικών ενώσεων

• Άλατα

o Ανόργανα NaCl, NaBr, CaCO3, K+MnO4-, NH4Cl, CaBr2

o Οργανικά (RCOO)xM CH3COONa (CH3COO)2Ca HCOOK RNH3X (X: Αλογόνο, π.χ. CH3NH3+Cl-, CH3NH3Br-)

• Βάσεις NaOH, KOH, Ba(OH)2

Περιγραφή αντίδρασης διάστασης Οι ιοντικές ενώσεις σχηματίζουν κρυσταλλικά πλέγματα, στα οποία τα ιόντα της ένωσης σχηματίζουν τους δομικούς τους λίθους.

1+

1-

1-

1+

1+ 1-

1+

11+

11+ 1-

1-

π.χ. Na+Cl-

1+ 11+

Το νερό, λόγω της δομής του, αποτελεί έναν πολικό διαλύτη. Όταν μια ιοντική ένωση εισέλθει στο νερό, τα πολικά μόρια του νερού σχηματίζουν ασθενείς δεσμούς με τα ιόντα του κρυσταλλικού πλέγματος, με την αντίστοιχη διεργασία να ονομάζεται εφυδάτωση (ή ενυδάτωση).

-2 + Η

0 105o

+ Η

π.χ. Νa+Cl- + (x+y)H2O → Na+(H2O)x + Cl-(H2O)y Η διεργασία αυτή οδηγεί τελικά σε πλήρη διαχωρισμό (απομάκρυνση) των ιόντων της ένωσης, που ονομάζεται διάσταση και δίνεται από αντίστοιχες αντιδράσεις.

76

π.χ.

Η2SO4 + H2O → HSO4- + H3O+ ΗSO4- + H2O  SO42- + H3O+ Η2S + H2O  HS- + H3O+ ΗS- + H2O  S2- + H3O+ Η3PO4 + H2O  Η2PO4- + H3O+ Η2PO4- + H2O  HPO42- + H3O+ ΗPO42- + H2O  PO43- + H3O+

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

(1ος ιοντισμός – πλήρης) (2ος ιοντισμός – ασθενής) (1ος ιοντισμός – ισχυρότερος) (2ος ιοντισμός – ασθενέστερος) (1ος ιοντισμός – ισχυρότερος) (2ος ιοντισμός – πιο ασθενής) (3ος ιοντισμός – ακόμα πιο ασθενής)

Αμφολύτες Αμφολύτες (ή αμφιπρωτικές ουσίες) ονομάζονται οι ουσίες οι οποίες μπορούν να δράσουν και ως οξέα και ως βάσεις. Κατά Brönsted – Lowry αυτό σημαίνει πως μπορούν να συμπεριφερθούν και ως δότες (οξέα) και ως δέκτες (βάσεις) πρωτονίων. Τέτοιες ουσίες είναι τα ανιόντα που περιέχουν Η και τα αμινοξέα.

π.χ. Η2Ο + ΗCl → H3O+ + Cl- (το Η2Ο δρα ως βάση) H2O + NH3 → NH4+ + OH- (το Η2Ο δρα ως οξύ) ΗS- + H2O  H2S + H3O+ (το ΗS- δρα ως βάση) ΗS- + H2O  S2- + H3O+ (το ΗS- δρα ως οξύ)

Δ. Ηλεκτρολύτες Συνοψίζοντας, τα υδατικά διαλύματα που προκύπτουν από τη διάλυση μιας ιοντικής ή ομοιοπολικής ουσίας, δηλαδή από διάσταση ή ιοντισμό, και περιέχουν τα αντίστοιχα ιόντα ονομάζονται ηλεκτρολύτες. Ως προς την ισχύ τους οι ηλεκτρολύτες μπορούν να είναι: Ταξινόμηση ηλεκτρολυτών

Α. Κατά είδος ένωσης

Ηλεκτρολύτες

Οξέα Ανόργανα: ΗxA Καρβοξυλικά: RCOOH

Βάσεις Yδροξείδια μετάλλων: Μ(ΟΗ)ψ Αμμωνία: ΝΗ3 Αμίνες: RNH2, RNHR΄ | R’’

Άλατα Ανόργανα: MxAψ Οργανικά: π.χ. RCOOΝα

RNH3Cl

77

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

B. Κατά είδος δεσμών

Ηλεκτρολύτες

Ιοντικές Ενώσεις

Ομοιοπολικές Ενώσεις Οξέα Αμμωνία Αμίνες

• Παθαίνουν ιοντισμό

• Το H2O αναγράφεται στη χημική εξίσωση

Υδροξείδια μετάλλων Άλατα

• Παθαίνουν διάσταση

• Το H2O δεν αναγράφεται στη χημική εξίσωση

Γ. Κατά ισχύ α. Ισχυροί, δηλαδή ουσίες που διίστανται ή ιοντίζονται πλήρως και οι αντίστοιχες αντιδράσεις γράφονται μονόδρομες. β. Ασθενείς, δηλαδή ουσίες που ιοντίζονται μερικώς και οι αντίστοιχες αντιδράσεις γράφονται αμφίδρομες.

Ηλεκτρολύτες

Ισχυροί (α=1) Υδροξείδια μετάλλων Άλατα Οξέα: ΗCl, HBr, HI, HNO3, HClO4, H2SO4 (1ος ιονισμός)

• Μονόδρομη αντίδραση →

78

Ασθενείς (α<1) Αμμωνία Αμίνες Υπόλοιπα οξέα

• Παθαίνουν ιοντισμό

• Αμφίδρομη αντίδραση 

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Συνήθως τα ανιόντα που περιέχουν υδρογόνο (π.χ. HS-, HCO3-, H2PO4-, HPO42-), καθώς και τα μόρια των αμινοξέων (π.χ. ΝΗ2CH2COOH), είναι αμφολύτες:

HS − + H2O  H3O+ + S2− οξύ1 βάση2 οξύ2 βάση1

HS − + H2O  H2 S + OH− βάση1 οξύ2 οξύ1 βάση2

• Ένα οξύ κατά Arrhenius συμπεριφέρεται και ως οξύ κατά Brönsted – Lowry, κατά τη διάλυσή του στο νερό. Μια ομοιοπολική βάση κατά Arrhrenius συμπεριφέρεται και ως βάση κατά Brönsted – Lowry, κατά τη διάλυσή της στο νερό.

• Το H3O+ είναι ισχυρό οξύ και το ΟΗ- ισχυρή βάση, σύμφωνα με τη θεωρία των Brönsted – Lowry.

• Τα ιόντα NH2-, O2-, RO-, RC=C- και R- είναι ισχυρές βάσεις, σύμφωνα με τη θεωρία των Brönsted – Lowry.

Διαφορές θεωρίας Arrhenius και θεωρίας Brönsted – Lowry Θεωρία Arrhenius 1 2 3

4

5

Ο όξινος και ο βασικός χαρακτήρας των Ο όξινος και ο βασικός χαρακτήρας ουσιών εμφανίζεται μόνο σε υδατικά των ουσιών εμφανίζεται σε όλα τα διαλύματα. διαλύματα (υδατικά και μη). Τα οξέα και οι βάσεις είναι ουδέτερα Τα οξέα και οι βάσεις είναι μόρια ή μόρια. ιόντα. Για να εμφανιστεί ο όξινος (ή Για να εμφανιστεί ο όξινος (ή βασικός) βασικός) χαρακτήρας δεν απαιτείται η χαρακτήρας απαιτείται η παρουσία παρουσία βάσης (ή οξέος). βάσης (ή οξέος). Μια ουσία μπορεί να εμφανίζει άλλοτε Μια ουσία εμφανίζει μόνο όξινο ή όξινο και άλλοτε βασικό χαρακτήρα μόνο βασικό χαρακτήρα. (αμφιπρωτική ουσία). Η αντίδραση εξουδετέρωσης έχει τη μορφή: H+ + OH− → H2O

Θεωρία Brönsted – Lowry

Η αντίδραση εξουδετέρωσης (πρωτολυτική αντίδραση) έχει τη μορφή: οξύ1 + βάση2  οξύ2 + βάση1

• Εκτός της θεωρίας των Arrhenius και Brönsted – Lowry υπάρχει και η θεωρία Lewis, σύμφωνα με την οποία οξύ είναι ο δέκτης ζεύγους ηλεκτρονίων και βάση ο δότης ζεύγους ηλεκτρονίων.

79

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

Α. Αλκαλιμετρία Το πρότυπο διάλυμα περιέχει ισχυρή βάση. Το άγνωστο διάλυμα περιέχει ισχυρό οξύ ή ασθενές οξύ. π.χ. πρότυπο Ισχυρή βάση π.χ. NaOH Cb=γνωστό

NaOH + HCl→NaCl + H2O CbVb(i) CoVo

άγνωστο οξύ π.χ. HCl Co=?

Vo=γνωστό

πλήρησ εξουδετέρωση

Ι.Σ.

CbVb

(mol) ΝαOH + HCl → NαCl + H2O Co·Vo

Cβ·Vβ

Κατά την πλήρη εξουδετέρωση στο Ι.Σ.

Cβ ⋅ Vβ

Ι. Σ.

= Cο ⋅ Vο ⇒ C ο = Cβ ⋅

Vβ Ι .Σ .

Vο

= CoVo

Ι.Σ.

Cο =

CbVb Vo

.

Το pH στο ισοδύναμο σημείο καθορίζεται από τη συγκέντρωση του άλατος που έχει παραχθεί κατά την εξουδετέρωση, σε τελικό όγκο Vo + Vβ. Καμπύλη ογκομέτρησης

pH Ι.Σ.

VΙ.Σ.

VΒΑΣΗΣ

Περιπτώσεις αλκαλιμετρίας

Α1. Ισχυρό οξύ + Ισχυρή βάση π.χ. ΝαOH + HCl → NαCl + H2O

pH 7

pHισχ. οξύ 80

pHισχ. βάση

pHπερίσσεια ισχ. βάσησ pHάλατοσ

pHπερίσσεια ισχ. οξέοσ Vπροτυπ.

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

Α2. Ισχυρή βάση + Ασθενές οξύ π.χ. NαOH + HF → NαF + H2O, (pH > 7)

pHισχ. βάση

pH

pHάλατοσ > 7

7

pHπερίσσεια ΗF+NaF E.K.I. ή και (Ρ.Δ.)

pHασθ. οξέοσ VΙ.Σ. VΙ.Σ.

2

Vπροτυπ.

VΙΣ προκύπτει ρυθμιστικό διάλυμα με Cο = Cβ .

2 0 Cβ ⇒ ph = pK a .

Tότε: pH = pKa + log Cο

Για Vπρ. =

B. Οξυμετρία Το πρότυπο διάλυμα περιέχει ισχυρό οξύ. Το άγνωστο διάλυμα περιέχει ισχυρή βάση ή ασθενή βάση. Καμπύλη ογκομέτρησης

pH

Vοξέοσ

Περιπτώσεις οξυμετρίας

Β1. Ισχυρή βάση + Ισχυρό οξύ π.χ. HCl + KOH → KCl + H2O

Μερικά κύματα δεν είναι ούτε καθαρά εγκάρσια, ούτε καθαρά διαμήκη. Για παράδειγμα στα κύματα της επιφάνειας του νερού, τα σωματίδια κινούνται τόσο πάνω-κάτω όσο και μπροστά-πίσω, διαγράφοντας ελλειπτικές τροχιές καθώς τα κύματα προχωρούν.

pH 7

pHάλατοσ

Vπροτ.

81

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

iii. Στο ισοδύναμο σημείο πραγματοποιείται πλήρης εξουδετέρωση του CH3COOH από το ΚΟΗ που προστέθηκε. Το διάλυμα που προκύπτει περιέχει μόνο το άλας CH3COOK που παράχθηκε. Το διάλυμα που προκύπτει περιέχει μόνο το άλας CH3COOK που παράχθηκε, οπότε το pH του διαλύματος είναι μεγαλύτερο του 7, αφού από τα ιόντα του άλατος μόνο το CH3COO- αντιδρά με το H2O. CH3COOK → CH3COO- + K+ CH3COO- + H2O  CH3COOH + OH Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.

iv. Το σημείο Α βρίσκεται πριν το ισοδύναμο σημείο. Στο σημείο αυτό, η προσθήκη του διαλύματος ΚΟΗ έχει προκαλέσει μερική εξουδετέρωση του CH3COOH. To διάλυμα που προκύπτει περιέχει την περίσσεια του CH3COOH και το άλας CH3COOK που έχει παραχθεί. Το διάλυμα αυτό είναι ρυθμιστικό, αφού περιέχει το ασθενές οξύ CH3COOH και τη συζυγή του βάση CH3COO- που προέρχεται από τη διάσταση του άλατος CH3COOK, οπότε το pH του μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση Henderson – Hαsselbαlch (θεωρώντας ότι ισχύουν οι προσεγγίσεις): pH = pKa + log

Cβ Cο

⇒ pH = pKa(CH3COOH) + log

Άρα η πρόταση είναι σωστή.

CCH COO− 3

CCH3COOH

.

v. Το σημείο Γ βρίσκεται μετά το ισοδύναμο σημείο. Στο σημείο αυτό, το διάλυμα περιέχει την περίσσεια της ισχυρής βάση ΚΟΗ και το άλας CH3COOK που έχει παραχθεί. Το διάλυμα αυτό δεν είναι ρυθμιστικό. Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.

vi. Το pH του διαλύματος στο ισοδύναμο σημείο είναι μεγαλύτερο του 7, άρα δεν περιέχεται στην περιοχή pH αλλαγής χρώματος του δείκτη (3 – 4,5). Άρα η πρόταση είναι λανθασμένη.

Συνοπτική Μεθοδολογία

• Πρωτολυτικός δείκτης: το ασθενές μονοπρωτικό οξύ ΗΔ ΗΔ + Η2Ο  Η3Ο+ + Δ Ως δείκτης λειτουργεί το σύστημα ΗΔ/Δ-.

o Το χρώμα της όξινης μορφής (ΗΔ) του δείκτη επικρατεί όταν: [ΗΔ] > 10[Δ-] δηλαδή σε διάλυμα με pH < pKα(ΗΔ) – 1.

o Το χρώμα της βασικής μορφής (Δ-) του δείκτη επικρατεί όταν: [Δ-] > 10[ΗΔ] δηλαδή σε διάλυμα με pH > pKα(ΗΔ) + 1.

o Περιοχή pH αλλαγής χρώματος του δείκτη: pKa(H∆ ) − 1 ≤ pH ≤ pKa(H∆ ) + 1 . χρώμα όξινησ μορφήσ (ΗΔ)

χρώμα βασικήσ μορφήσ (Δ)

ενδιάμεσο χρώμα

pKo(ΗΔ)-1 pKo(ΗΔ) pKo(ΗΔ)+1

82

(pH)

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

• Πρωτολυτικός δείκτης: η ασθενής μονοπρωτική βάση Β Β + Η2Ο  ΒΗ+ + ΟΗ Ως δείκτης λειτουργεί το σύστημα ΒΗ+/Β.

o Το χρώμα της όξινης μορφής (ΒΗ+) του δείκτη επικρατεί όταν: [ΒΗ+] > 10[Β] δηλαδή σε διάλυμα με pOH > pKb(B) + 1, δηλαδή σε διάλυμα με pH < pKα(BH⁺) – 1.

o Το χρώμα της βασικής μορφής (B) του δείκτη επικρατεί όταν: [B] > 10[BH+] δηλαδή σε διάλυμα με pΟH < pKb(B) – 1, δηλαδή σε διάλυμα με pH > pKα(BH⁺) + 1

o Περιοχή pH αλλαγής χρώματος του δείκτη: pKa(BH+ ) – 1 ≤ pH ≤ pKa(BH+ ) + 1 . χρώμα όξινησ μορφήσ (ΒΗ)

χρώμα βασικήσ μορφήσ (Β)

ενδιάμεσο χρώμα

pKo(ΒΗ)-1 pKo(ΒΗ) pKo(ΒΗ)+1

(pH)

• Στις υπολογιστικές ασκήσεις κατά τις οποίες φέρουμε σε επαφή διαφορετικούς ηλεκτρολύτες, πρέπει να ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Ανάμειξη ηλεκτρολιτών ελέγχουμε αν εργαζόμαστε με συγκεντρώσεις (Μ) ελέγχουμε αν

δεν αντιδρούν

δεν αλλάζουν οι συγκεντρώσεις

αλλάζουν οι συγκεντρώσεις

(όταν (όταν προσθέτουμε καθαρή ουσία, αναμιγνύονται υδατικά διαλύματα, οπότε ο όγκος οπότε ο όγκος παραμένει μεταβάλλεται) σταθερός)

αντιδρούν ελέγχουμε αν

αν γνωρίζουμε τις ποσότητες τους

αν δεν γνωρίζουμε τις ποσότητες τους

Συμπληρώνουμε πίνακα με mol και υπολογίζουμε τον αριθμό mol των ουσιών που περιέχονται στο τελικό διάλυμα

Υπολογίζουμε τις τελικές συγκεντρώσεις στον τελικό όγκο του διαλύματος Γράφουμε τις αντιδράσεις διάστασης - ιοντισμού Ελέγχουμε αν έχουμε Ε.Κ.Ι. Συμπληρώνουμε πίνακα με Molarity Εκφράζουμε τις σταθερές Κα ή Κβ Κάνουμε τις απαραίτητες προσεγγίσεις.

εργαζόμαστε με mol γράφοντας τη χημική εξίσωση της αντίδρασης μεταξύ των ηλεκτρολυτών

ελέγχουμε αν

στην εκφώνηση της άσκησης αναφέρεται ότι το τελικό διάλυμα είναι ρυθμιστικό

στην εκφώνηση της άσκησης δεν αναφέρεται ότι το τελικό διάλυμα είναι ρυθμιστικό

Συμπληρώνουμε πίνακα με mol έτσι ώστε να προκύπτει ρυθμιστικό διάλυμα (δεν χρειάζεται διερεύνηση)

κάνουμε διερεύνηση με τρεις περιπτώσεις

83

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

pH 14 Καμπύλη 1

4 2,5

0

20

40

V(mL) NaOH

40

V(mL) NaOH

pH 14 Καμπύλη 2

5

0

20

α. Να υπολογίσετε τις συγκεντρώσεις των διαλυμάτων Δ1 και Δ2 και το pH του διαλύματος Δ2, πριν από την προσθήκη του πρότυπου διαλύματος.

β. Να υπολογίσετε με ποια αναλογία πρέπει να αναμείξουμε δύο από τα παραπάνω τρία διαλύματα, ώστε να παρασκευάσουμε το ρυθμιστικό διάλυμα.

γ. Να συγκρίνετε τις τιμές pH των διαλυμάτων ΝΗ4Α συγκένρτωσης 0,1 Μ pH (διάλυμα Δ4) και ΝΗ4Γ, συγκέντρωσης 0,1 Μ (διάλυμα Δ5). Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

A Δίνονται: για την ΝΗ3 Κb = 10-5, για το νερό -14 ο Kw = 10 (25 C) και ότι τα δεδομένα του 7 προβλήματος επιτρέπουν τις γνωστές προσεγγίσεις.

31. Υδατικό διάλυμα Δ1 περιέχει το ασθενές μονοπρωτικό οξύ ΗΑ. 20 mL του διαλύματος Δ1 ογκομετρούνται με πρότυπο διάλυμα NaOH 0,2 M. Μετά την προσθήκη 10 mL πρότυπου 84

3

0

50

VNaOH (mL)

ΦΥΣΙΚΗ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

διαλύματος NaOH το διάλυμα Δ2 που προκύπτει έχει pH = 5. Για το ισοδύναμο σημείο της ογκομέτρησης απαιτούνται συνολικά 20 mL πρότυπου διαλύματος NaOH. Να υπολογίσετε:

α. Τη συγκέντρωση του οξέος ΗΑ στο διάλυμα Δ1.

β. Τη σταθερά ιοντισμού Κa του οξέος ΗΑ.

γ. Τη [Η3Ο+] στο διάλυμα Δ1.

δ. Το pH του ογκομετρούμενου διαλύματος στο ισοδύναμο σημείο. Δίνονται: όλα τα διαλύματα έχουν θερμοκρασία 25 οC, για το νερό Kw = 10-14.

32. Υδατικό διάλυμα Δ1 περιέχει το μονοπρωτικό οξύ ΗΑ. 50 mL του διαλύματος Δ1 ογκομετρούνται με πρότυπο διάλυμα NaOH συγκέντρωσης 0,1 Μ. Στο επόμενο σχήμα φαίνεται η καμπύλη ογκομέτρησης. Το σημείο Α της καμπύλης αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σημείο της ογκομέτρησης.

α. Να εξηγήσετε αν το οξύ ΗΑ είναι ισχυρό ή ασθενές.

β. Ποια είναι η συγκέντρωση του οξέος ΗΑ στο διάλυμα Δ1;

γ. Ποιον από τους παρακάτω δείκτες, για τους οποίους δίνονται οι περιοχές pH αλλαγής χρώματος, θα επιλέξετε για να προσδιορίσετε το ισοδύναμο σημείο της ογκομέτρησης;

i. Ερυθρό του μεθυλίου (4,2 – 6,3).

ii. Φαινολοφθαλεΐνη (8,2 – 10,0).

iii. Βρωμοκρεζόλη (3,8 – 5,5).

δ. Να υπολογίσετε τη σταθερά ιοντισμού Ka του οξέος ΗΑ.

ε. Να υπολογίσετε το pH του διαλύματος Δ2 που προκύπτει όταν έχουν προστεθεί 25 mL από το πρότυπο διάλυμα NaOH. Δίνονται: όλα τα διαλύματα έχουν θερμοκρασία 25 οC, για το νερό Kw = 10-14.

33. 0,31 g αμίνης RNH2 διαλύονται στο νερό, οπότε προκύπτει διάλυμα Δ1 όγκου 50 mL pH το οποίο έχει pH = 12. Το διάλυμα Δ1 ογκομετρείται με πρότυπο διάλυμα HCl συA γκέντρωσης 0,2 Μ παρουσία του δείκτη ΗΔ.

9 Για το ισοδύναμο σημείο της ογκομέτρησης 7 απαιτούνται 50 mL πρότυπου διαλύματος.

α. Να υπολογίσετε τη συγκέντρωση C του διαλύματος Δ1 σε RNH2 και να προσδιορίσετε τον συντακτικό τύπο της αμίνης.

β. Να υπολογίσετε τη σταθερά ιοντισμού Kb της αμίνης.

0

γ. Μετά την προσθήκη 25 mL από το 50 VNaOH (mL) πρότυπο διάλυμα HCl προκύπτει διάλυμα Δ2. Να υπολογίσετε τη [ΟΗ-] στο διάλυμα Δ2 και τον λόγο των συγκεντρώσεων των δύο συζυγών μορφών του δείκτη ΗΔ στο διάλυμα Δ2.

δ. Το διάλυμα που προκύπτει στο ισοδύναμο σημείο αραιώνεται με νερό σε τελικό όγκο 200 mL, οπότε προκύπτει διάλυμα Δ3. Να υπολογίσετε το pH του διαλύματος Δ3. Δίνονται: όλα τα διαλύματα έχουν θερμοκρασία 25 οC, για το νερό Kw = 10-14.

34. 50 mL υδατικού διαλύματος Δ1 μονοπρωτικού οξέος ΗΑ ογκομετρούνται με πρότυπο διάλυμα NaOH συγκέντρωσης 0,2 Μ παρουσία του δείκτη ΗΔ. Στο επόμενο σχήμα δίνεται η κα85

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΑΞΙΑ»

Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο στη θέση Β είναι εννιά φορές μεγαλύτερη από όσο στη θέση Α. Το ηλεκτρόνιο κινούμενο με μεγάλη ταχύτητα γύρω από τον πυρήνα, αλλάζει διαρκώς θέσεις. Αν οι θέσεις αυτές αποτυπωθούν με στίγματα, τότε προκύπτει το σχήμα:

Το παραπάνω σχήμα απεικονίζει το σύνολο των πιθανών θέσεων του ηλεκτρονίου και ονομάζεται ηλεκτρονιακό νέφος. Μεγάλη πυκνότητα του ηλεκτρονιακού νέφους σε μια περιοχή (και επομένως μεγάλος αριθμός στιγμάτων ανά μονάδα όγκου) σημαίνει μεγάλη πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου στην περιοχή αυτή.

Συνοψίζοντας μπορούμε να πούμε ότι το ψ2 (ή ακριβέστερα το -eψ2 όπου e το φορτίο του ηλεκτρονίου) εκφράζει την πυκνότητα του ηλεκτρονιακού νέφους στον χώρο γύρω από τον πυρήνα.

Η πιο συνηθισμένη παράσταση που χρησιμοποιούμε για την απεικόνιση του ηλεκτρονιακού νέφους (ψ2) είναι αυτή του παρακάτω σχήματος (β). Χαράσσουμε μια οριακή καμπύλη (στον τρισδιάστατο χώρο του ατόμου πρόκειται για επιφανειακή καμπύλη), το περίγραμμα την οποίας περικλείει τη μέγιστη πυκνότητα του ηλεκτρονιακού νέφους.

Με άλλα λόγια, η καμπύλη περικλείει έναν χώρο μέσα στον οποίο κατανέμεται, με διαφορετική πυκνότητα (πιθανότητα) από σημείο σε σημείο, το ηλεκτρονιακό νέφος. Η συνολική πιθανότητα να βρίσκεται το ηλεκτρόνιο στον χώρο αυτό είναι 90 – 99%.

86

ΧΗΜΕΙΑ Γˊ ΛΥΚΕΙΟΥ

• Κατά τη μετάβαση του ηλεκτρονίου από τη στιβάδα Μ στη στιβάδα Κ η συνολική ενέργεια που εκπέμπεται είναι ίδια είτε η αποδιέγερση γίνεται σε ένα είτε σε περισσότερα στάδια και ισούται με την ενέργεια που απορροφήθηκε κατά τη διέγερση.

• Αν σε ένα δοχείο περιέχονται περισσότερα του ενός άτομα υδρογόνου όπου τα ηλεκτρόνιά τους μεταβαίνουν από τη στιβάδα Μ στη στιβάδα Κ, θα πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα και τα δύο είδη μεταβάσεων που αναφέραμε προηγουμένως (χωρίς να γνωρίζουμε σε τι ποσοστό θα πραγματοποιηθεί η καθεμία). Δηλαδή, σε κάποια άτομα υδρογόνου το ηλεκτρόνιο θα μεταβεί απευθείας από τη στιβάδα Μ στη στιβάδα Κ και στα υπόλοιπα άτομα υδρογόνου, το ηλεκτρόνιο θα μεταβεί σε δύο στάδια. Τελικά, θα γίνει εκπομπή φωτονίων τριών διαφορετικών συχνοτήτων, ν3→1, ν3→2 και ν2→1.

• Γενικότερα πρέπει να τονιστεί ότι η διέγερση γίνεται με ένα άλμα, ενώ η αποδιέγερση μπορεί να γίνει με ένα ή περισσότερα άλματα (με όλους τους δυνατούς τρόπους).

Μειονεκτήματα του ατομικού πρότυπου του Bohr Παρά την επιτυχημένη πρόβλεψη και ερμηνεία των ατομικών φασμάτων εκπομπής του ατόμου του υδρογόνου και των υδρογονοειδών ιόντων, η θεωρία του Bohr έπρεπε να εγκαταλειφθεί για τους εξής λόγους:

1. Δεν μπορεί να εξηγήσει με επιτυχία τις ιδιότητες των ατόμων που περιέχουν περισσότερα από ένα ηλεκτρόνια και δεν μπορεί να ερμηνεύσει τον χημικό δεσμό.

2. Εισάγει αυθαίρετα την κβάντωση της ενέργειας και την έννοια της μη συνεχούς ακτινοβολίας των ατόμων.

3. Παραδέχεται ότι το ηλεκτρόνιο είναι σωματίδιο με καθορισμένη θέση και ταχύτητα. Φάσματα Φάσμα ονομάζεται η κατανομή των ενεργειών μιας ακτινοβολίας συναρτήσει του μήκους κύματος ή της συχνότητας. Συνεχές ονομάζεται το φάσμα που περιέχει μη διακριτό (μη μετρήσιμο) αριθμό συχνοτήτων. Όταν μια δέσμη λευκού φωτός περάσει μέσα από ένα πρίσμα, τότε μετά την έξοδο του φωτός από το πρίσμα, παίρνουμε πάνω σε μια φωτογραφική πλάκα μια συνεχή έγχρωμη ταινία που ονομάζεται φάσμα του λευκού φωτός.

δέσμη λευκού φωτόσ

ερυθρό πορτοκαλί κίτρινο πράσινο κυανό ιώδεσ

Το φάσμα που περιέχει όλες τις συχνότητες (χρώματα) του λευκού φωτός (που είναι άπειρες), ονομάζεται συνεχές.

87

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ

μπύλη ογκομέτρησης. Για το ισοδύναμο σηpH μείο της ογκομέτρησης (σημείο Α) απαιτούνται 50 mL πρότυπου διαλύματος, ενώ το διάλυμα Δ2 που προκύπτει έχει pH = 9. Να 7 υπολογίσετε:

α. Τη συγκέντρωση του ΗΑ στο διάλυμα Δ1.

β. Τη σταθερά ιοντισμού Κa του οξέος ΗΑ.

γ. Τη [Η3Ο+] στο αρχικό διάλυμα Δ1.

δ. Τον λόγο των συγκεντρώσεων των δύο συζυγών μορφών του δείκτη ΗΔ στο ισοδύναμο σημείο.

0 10 30 VNaOH (mL)

ε. Το ποσοστό της αρχικής ποσότητας του ΗΑ που έχει εξουδετερωθεί όταν το ογκομετρούμενο διάλυμα έχει αποκτήσει [Η3Ο+] = 2,5·10-6 Μ. Δίνονται: όλα τα διαλύματα έχουν θερμοκρασία 25 οC, για το νερό Kw = 10-14, για τον δείκτη ΗΔ Ka = 10-8.

35. Υδατικό διάλυμα Δ1 περιέχει CH3COOH και HCl. 30 mL του διαλύματος Δ1 ογκομετρούνται με πρότυπο διάλυμα NaOH 0,3 Μ. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η καμπύλη ογκομέτρησης. Για την πλήρη εξουδετέρωση του διαλύματος Δ1 απαιτούνται 30 mL πρότυπου διαλύματος.

α. Να εξηγήσετε γιατί η καμπύλη ογκομέτρησης έχει δύο σχεδόν κατακόρυφα τμήματα.

β. Να υπολογίσετε:

i. Τις συγκεντρώσεις του CH3COOH και του HCl στο διάλυμα Δ1.

ii. Το pH του διαλύματος Δ1.

iii. Το pH του διαλύματος Δ2 που προκύπτει μετά την πλήρη εξουδετέρωση του διαλύματος Δ1. Δίνονται: για το CH3COOH Ka = 10-5, για το H2O Kw = 10-14.

88