Katarina Cederqvist
Stefan Larsson
Patrik Gustafsson
Smakprov!
SANOMA UTBILDNING
Postadress: Box 38013, 100 64 Stockholm
Besöksadress: Rosenlundsgatan 54, Stockholm
Hemsida: www.sanomautbildning.se
E-post: info@sanomautbildning.se
Order /Läromedelsinformation
Telefon 08-587 642 10
Redaktion: Helena Fridström och Emelie Reuterswärd
Grafisk form: Typoform/Andreas Lilius
Layout och produktion: Typoform/Sabina Högnäs Illustrationer: Typoform/Jakob Robertsson
Prio matematik 8
ISBN 978-91-523-6660-8
Alla rättigheter förbehållna. Ingen text- och datautvinning är tillåten.
© 2025 Katarina Cederqvist, Patrik Gustafsson, Stefan Larsson och Sanoma Utbildning AB, Stockholm
Andra upplagan
Första tryckningen
Kopieringsförbud!
Detta verk är skyddat av lagen om upphovsrätt. Kopiering utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt Bonus Copyright Access, är förbjuden. Sådant avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnares huvudman eller Bonus Copyright Access. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Tryck: Livonia Print, Lettland 2025
Välkommen till din nya matematikbok!
Vi som har gjort den här boken vill att matematik ska vara mer än att bara räkna. Vår önskan är att matematik ska vara stimulerande med mycket tankearbete, problemlösning och diskussion.
Lycka till på din kunskapsresa!
Författarna
Innehåll år 8
1 Tal
1.1
1.3
3 Geometri
1.4
2 Algebra
Procent och samband 158
Sannolikhet och statistik
Välkommen till din nya matematikbok!
Vi som har gjort den här boken hoppas att du ska få uppleva att matematik kan vara intressant och utmanande.
Så här fungerar
Prio Matematik 8:
Första uppslaget i ett kapitel ger en överblick över innehållet. Där finns också en uppvärmning med frågor för att väcka gamla kunskaper till liv.
Geometri
Uppgifterna Starter och Resonera mera har grön ram. Det betyder att ni ska arbeta med dem gemensamt i klassen.
4.6 Procentenheter
Varje avsnitt börjar med en teoritext. Där förklarar vi de begrepp du ska lära dig i avsnittet.
I Exemplen visar vi de metoder du ska lära dig i avsnittet. Ta gärna hjälp av exemplen när du arbetar med uppgifterna.
Det motsvarar en ökning med 25 %.
Procentenheter Ett annat sätt att beskriva ökningen är att beräkna skillnaden mellan de två talen i procentform. Då blir enheten inte procent utan procentenheter
40 − 32 = 8 procentenheter
procentform anges alltid procentenheter.
Andelen vuxna som använder hjälm har alltså ökat med 8 procentenheter, vilket motsvarar en procentuell ökning med 25 %.
32 40 125 % 100 % 8
Exempel I valet till Europaparlamentet röstade 43 % av alla röstberättigade i Sverige. I valet femton år senare röstade 51 %. Hur stor var ökningen a) procentenheter b) procent
Lösning a) Vi beräknar skillnaden mellan talen procentform. 51 − 43 = 8 procentenheter Svar: Valdeltagandet ökade med 8 procentenheter.
b) Vi beräknar förändringsfaktorn.
Förändringsfaktorn = nya värdet ursprungliga värdet = 51 43 ≈ 1,19
Ökningen är 1,19 – 1 = 0,19 = 19 %. Svar: Valdeltagandet ökade med 19 %.
Starter Mellan två val ökade stödet för ett parti från 5 % till 10 %. Välj ett påstående som är korrekt.
A Partiet ökade med 5 %.
B Partiet ökade med 5 procentenheter.
C Partiet ökade med 100 %. D Partiet ökade med 200 %. Nivå ett
123 Stödet för det lila partiet ökade från 20 % till 30 %. Hur stor var ökningen i a) procentenheter b) procent
124 Vilket ord ska stå i rutan, procent eller procentenheter?
a) Andelen pojkar minskade från 7 % till 5 %. Det är en minskning med 2 ? b) Partiets röster minskade från 6 % till 3 %. Det är en minskning med 50 ? c) Valdeltagandet ökade från 75 % till 80 %. Det är en ökning med 5 ?
125 Andelen socker en yoghurt ökar från 4 % till 5 %. Hur stor är ökningen? Välj två av alternativen i rutan.
20 % 25 % 1 procentenhet 1 %
126 I januari 2012 sänktes restaurangmomsen från 25 % till 12 %. Hur stor var förändringen i a) procentenheter b) procent
127 Beräkna ökningen i procent när något ökar från a) 20 kr till 25 kr b) 20 % till 25 %
128 Hur många procentenheter motsvarar en ökning från a) 20 % till 25 % b) Kan man beräkna hur många procentenheter en ökning från 20 kr till 25 kr motsvarar? Motivera
I varje avsnitt finns det uppgifter på tre olika nivåer. Kom överens med din lärare om vilka uppgifter just du ska jobba med. En bra målsättning är att jobba med mer än en nivå.
I Blandade uppgifter får du stanna upp och lösa uppgifter från de föregående avsnitten. Det ger dig tillfälle att repetera det du har lärt dig och träna på när du ska använda vilken metod.
På uppslaget problem, resonemang och kommunikation möter du uppgifter som särskilt tränar de matematiska förmågorna. Den gröna färgen visar att uppgifterna ska genomföras tillsammans.
I slutet av kapitlet prövar du dina nyvunna kunskaper i ett Kapiteltest . Uppgifterna är på grundläggande nivå.
I repetitionsavsnitten Basläger och Mellanläger får du repetera det du behöver träna mer på. I avsnitten Hög höjd och Topptur får du fördjupa dina kunskaper från kapitlet.
Sist i varje kapitel finns en s ammanfattning .
I slutet av boken finns ledtrådar till vissa uppgifter. Ledtrådarna gör det lättare att komma i gång med uppgiften och kan ge dig tips om du fått fel svar.
Längst bak i boken finns Facit till alla uppgifter. Använd facit och rätta ofta så riskerar du inte att sitta och öva in felaktiga metoder.
Allra sist i boken, på bokpärmens insida, finns ett formelblad där du hittar de viktigaste formlerna.
På bokens flik hittar du det vi kallar för första hjälpen . Det är användbara minnesregler och tips som du kan ha nytta av när du löser uppgifter.
Sannolikhet och statistik
Avsnitt
5.1 Kombinatorik
5.2 Chans och risk
5.3 Sannolikhet utifrån statistik
5.4 Teoretisk sannolikhet
5.5 Sannolikhet i flera steg
5.6 Oberoende och beroende händelser
5.7 Lägesmått
5.8 Spridningsmått
Begrepp
kombinatorik multiplikationsprincipen sannolikhet risk chans relativ frekvens möjliga utfall gynnsamma utfall komplementhändelse utfallsdiagram träddiagram
oberoende och beroende händelser lägesmått medelvärde median typvärde spridningsmått variationsbredd kvartil kvartilavstånd lådagram
Ivår vardag bedömer vi ofta risken eller chansen för att något ska inträffa. Vi uppskattar risken för regn, för att veta om vi behöver ta med oss ett paraply, och vi bedömer chansen att bussen är i tid, för att veta om vi måste springa eller inte.
Sådana bedömningar är också en del av yrkeslivet. Anställda på spelbolag behöver bedöma sannolikheten att hemmalaget vinner helgens fotbollsmatch. Personalen på försäkringsbolag behöver bedöma olycksrisker för att sätta rätt pris på sina försäkringar.
I det här kapitlet får du lära dig om hur man kan använda sannolikhet för att matematiskt bedöma risker och chanser. Du får också lära dig mer om hur man kan beskriva statistik med hjälp av lägesmått och spridningsmått.
Uppvärmning
Uppvärmningens frågor kan användas för att aktualisera och utvärdera elevernas förkunskaper.
Uppvärmning
1
En händelse som man inte vill ska inträffa kallas för en
A chans
B möjlighet
C risk
2 Ungefär hur stor är sannolikheten att ett nyfött barn är en flicka?
A 0,5 % B 50 % C 50
3 Chansen att få en femma vid kast med en sexsidig tärning är
4 Vera har två par byxor och tre tröjor. På hur många olika sätt kan hon välja ut en tröja och ett par byxor?
A 2 B 5 C 6
5 Medianen av talen 9, 5, 4, 9 och 3 är
A 4 B 5 C 6
6 Hur många procent svarade enligt diagrammet Ja i undersökningen?
A 4 %
B 25 %
C 90 % Vet ej Ja Nej
Teori
5.1 Kombinatorik
Stina och Natalie ska äta middag på en restaurang. Det finns fyra huvudrätter och tre efterrätter att välja bland. På hur många olika sätt kan de välja en huvudrätt och en efterrätt?
Huvudrätt
Risotto
Teoritexten förklarar matematiken på ett elevnära sätt.
Träddiagram
Lax
Oxfilé
Lasagne
Efterrätt
Kladdkaka
Äppelkaka
Glass
Kladdkaka
Äppelkaka
Glass
Kladdkaka
Äppelkaka
Glass
Kladdkaka
Äppelkaka
Glass
12 kombinationer
Stina och Natalie kan välja en huvudrätt på fyra olika sätt. Var och en av dessa 4 huvudrätter kan sedan kombineras med 3 olika efterrätter. Det totala antalet möjliga sätt att välja en huvudrätt och efterrätt är därför
Antalet huvudrätter
4 ∙ 3 = 12
Antalet efterrätter
Det totala antalet möjligheter
Multiplikationsprincipen Här ovanför fick vi antalet möjliga kombinationer av huvudrätt och efterrätt genom att multiplicera antalet alternativ i det första valet med antalet alternativ i det andra valet. Metoden kallas för multiplikationsprincipen.
Multiplikationsprincipen
Om man kan göra ett val på a olika sätt, och ett annat val på b olika sätt, så kan man göra det kombinerade valet på a ∙ b olika sätt.
Multiplikationsprincipen gäller även vid tre eller fler val.
Kombinatorik Läran om att räkna på hur många sätt något kan ordnas eller väljas kallas för kombinatorik
Exempel
Exemplen stöttar eleverna i arbetet med uppgifterna.
Exempel 1 Ett företag tillverkar träningströjor. Tröjorna tillverkas i 5 färger, 3 storlekar och med 2 olika tryck. Hur många olika tröjor tillverkar de?
Lösning Tröjan tillverkas i 5 olika färger.
Varje färg finns i 3 olika storlekar.
Var och en av dessa tröjor kan sedan få 2 olika tryck.
Det totala antalet olika tröjor är därför
5 ∙ 3 ∙ 2 = 30 Enligt multiplikationsprincipen.
Svar: De tillverkar totalt 30 olika tröjor.
Exempel 2
Lösning
Sandra, Vera och Freja ska gå på bio. En får sitta till vänster, en i mitten och en längst till höger. På hur många olika sätt kan de sätta sig?
Metod 1
Vi skriver ner alla möjliga placeringar.
SVF SFV VSF VFS FSV FVS S = Sandra V = Vera F = Freja
De kan sitta på sex olika sätt.
Metod 2
Vi kan välja vem som ska sitta till vänster på tre olika sätt: Sandra, Vera eller Freja. När vi har valt den personen, kan vi välja vem som ska sitta i mitten på två olika sätt. Därefter återstår bara en person, som får den sista platsen. Det totala antalet möjligheter är därför
3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 Enligt multiplikationsprincipen
Svar: Tjejerna kan placera sig på sex olika sätt.
Starter
Exempel 3 Daniel ska köpa glass. Han kan välja mellan följande smaker:
Jordgubb Vanilj Päron Banan
På hur många olika sätt kan han välja två olika smaker om ordningen inte spelar någon roll?
Lösning Den första smaken kan väljas på 4 sätt och den andra smaken på 3 sätt. Om vi tar hänsyn till smakernas ordning, kan Daniel alltså välja två olika smaker på
J = Jordgubb
V = Vanilj
P = Päron
b = banan
4 ∙ 3 = 12 sätt Enligt multiplikationprincipen.
Gör vi en lista med de 12 smakkombinationerna, ser vi att varje smakkombination förekommer två gånger.
JV, JP, JB, VP, VB, VJ, PB, PJ, PV, BJ, BV och BP Ordningen på smakerna spelar ingen roll. VJ är samma glass som JV.
Därför dividerar vi antalet smakkombinationer med två:
12 2 = 6
Stryker vi de smakkombinationer som förekommer två gånger, blir det sex kvar: JV, JP, JB, VP, VB, VJ, PB, PJ, PV, BJ, BV och BP
Svar: Daniel kan välja två olika smaker på 6 olika sätt.
Starter
i varje avsnitt finns en Starter. En nyhet är att det är en flervalsuppgift som
● genomförs gemensamt i klassen
● hjälper dig att få syn på elevernas kunskaper
Nivå ett
● stöttar dig att fatta beslut om nästa steg i undervisningen.
Olivia har 3 par byxor och 4 tröjor. På hur många olika sätt kan hon välja ut ett par byxor och en tröja?
A 3 + 4 = 7
B 3 ∙ 4 = 12
C 3 ∙ 4 2 = 6
D Jag vet inte.
Eleverna svarar enkelt med baksidan av boken.
1 Sandra har 3 hattar och 2 par glasögon. På hur många olika sätt kan hon välja en hatt och ett par glasögon?
2 Träddiagrammet visar olika valmöjligheter vid köp av hamburgare.
Dressing
Storlek
a) Hur många val måste kunden göra?
b) Hur många alternativ har kunden vid varje val?
c) Hur många olika varianter av hamburgare kan kunden välja bland?
3 Stina har 5 halsband och 2 armband. På hur många olika sätt kan hon välja ett halsband och ett armband?
4 Adam vill köpa en mjuklass med strössel. På hur många olika sätt kan han välja en glass med strössel?
5 En meny består av 5 förrätter, 4 huvudrätter och 3 efterrätter. På hur många olika sätt kan man välja en trerättersmeny?
6 Jenny ska ta på sig linne, shorts och sandaler. Hon kan klä sig på 24 olika sätt. Ge ett förslag på hur många sandaler, shorts och linnen hon kan ha.
7 Peter, Tom, Anna och Matteo ställer sig i matsalskön efter varandra.
a) Gör en lista på alla olika sätt som de kan ställa sig på.
b) På hur många olika sätt kan de ställa sig i kö?
Nivå två
8 Till sin kebab kan Frans välja mellan ris, pommes frites, bröd eller couscous. Det finns dessutom 3 såser och 3 olika läsk att välja mellan. På hur många olika sätt kan han välja sin måltid?
9 Theodor har 120 låtar på sin spellista. Alice har 85 låtar på sin spellista. Ett program slumpar först fram en låt från Theodors lista och sedan en låt från Alices lista. På hur många olika sätt kan programmet göra det?
10 Nossebroskolans elevråd har 6 medlemmar. De ska välja ordförande och sekreterare. På hur många olika sätt kan en ordförande och en sekreterare väljas?
11 Jerker ska köpa en smörgås. Han behöver
välja bröd, pålägg och grönsak. Hur många olika bröd, pålägg och grönsaker kan det finnas att välja på, om det går att göra
a) 36 olika smörgåsar
b) 70 olika smörgåsar
12 Erik har råkat låsa in lappen med koden till postboxen, i sin postbox.
16 Två elever fick frågan: Hur många femsiffriga tal utan siffran 5 finns det? Här nedanför ser du deras beräkningar.
Hugo: 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 59 049
Pontus: 8 · 9 · 9 · 9 · 9 = 52 488
a) Vilken lösning är rätt?
b) Hur kan Hugo och Pontus ha tänkt?
17 På en middagsbjudning hälsar alla gästerna på varandra genom att ta i hand. Hur många handskakningar blir det totalt om det kommer
a) 6 personer
b) 7 personer
a) Hur många möjliga koder med fyra siffror finns det?
b) Hur lång tid kommer det att ta för Erik att pröva alla möjliga koder om varje försök tar en sekund? Svara i minuter.
13 Elna köper två kakor.
På hur många olika sätt kan hon välja kakorna om de
a) måste vara av olika sort
Resonera mera
b) får vara av samma sort
Den nya uppgiften Resonera mera
14 I en pingisturnering finns fem deltagare. Alla ska spela en match mot varandra. Hur många matcher blir det totalt?
● tränar elevernas resonemangsförmåga
● avslöjar vanliga missuppfattningar
Nivå tre
● stöttar dig att variera undervisningen.
15 Ett lösenord består av fyra bokstäver.
Bokstäverna kan väljas bland a–z (26 olika bokstäver). Du vet att ingen bokstav förekommer mer än en gång. Hur många möjliga lösenord finns det?
c) 8 personer
d) n personer
18 I fotbollsallsvenskan finns 16 lag. Alla lag ska möta varandra två gånger under en säsong. Hur många matcher spelas totalt?
19 I en klass ska två elever väljas för att representera klassen vid en frågetävling. Det kan göras på 378 olika sätt. Hur många elever finns det i klassen?
Resonera mera
Den gröna färgen signalerar att uppgiften är tänkt att genomföras gemensamt.
Hur lång tid skulle du behöva för att knäcka den här fyrsiffriga koden? Motivera ditt svar.
5.2 Chans och risk
Slumpmässiga händelser
Sannolikhet, ett tal mellan 0 och 1
Kommer det att regna i morgon? Är lotten jag köpt en vinstlott? Svaren på de frågorna kan vi inte veta i förväg. De är därför exempel på slumpmässiga händelser
Med hjälp av sannolikhet kan vi ange hur stor chans eller risk det är att en slumpmässig händelse inträffar.
Chanser är händelser som vi vill ska inträffa. Risker är händelser som vi inte vill ska inträffa.
För att ange sannolikheten för en händelse använder vi tal mellan 0 och 1. När det är helt säkert att en händelse kommer att inträffa är sannolikheten 1, alltså 100 %. När det är helt omöjligt att en händelse kommer att inträffa är sannolikheten 0. Varje sannolikhet kan skrivas i bråk-, decimal eller i procentform.
Omöjligt Osäkert Femti–Femti Ganska säkert Helt säkert
Beteckningen P Det är ungefär lika sannolikt att föda en flicka som en pojke. Sannolikheten för att föda en flicka är därför ca 50 %. Inom matematiken uttrycker man sannolikheten med hjälp av bokstaven P:
Förkortningen P kommer från latinets probabilitas. Jämför med engelskans probability
P(flicka) = 50 % Vi kan också säga att sannolikheten är 1 2 eller 0,5.
Exempel Uppskatta sannolikheten för att
a) det kommer att regna någon gång under detta år
b) månen krockar med jorden i morgon
c) en slumpvist vald person är vänsterhänt
Lösning a) Det är helt säkert att det kommer att regna under året.
Svar: P(regn) = 100 % Man kan också säga att sannolikheten är 1.
b) Det är helt omöjligt att månen skulle krocka med jorden i morgon.
Svar: P(månkrock) = 0. Man kan också säga att sannolikheten är 0 %.
c) Vi uppskattar att sannolikheten är mindre än 25 % men större än 1 %.
Svar: P(vänsterhänt) är mellan 1 % och 25 %. Man kan också säga att sannolikheten ligger mellan 1 100 och 1 4
Starter
Om du kastar en flaska, som har lite vatten i botten, så kan den landa stående eller liggande.
Ungefär hur stor tror du att sannolikheten är att den landar stående på första försöket?
A Mindre än 0,5
B 50 %
C Större än 1 2
D 1
Nivå ett
20 Para ihop orden med rätt sannolikhet.
1 Omöjligt A 89 %
2 Troligt B 0 %
3 Säkert C 6 %
4 Osannolikt D 100 %
21 Ange en händelse som ungefär har sannolikheten
a) 50 %
b) 0
c) 1
22 Ordna sannolikheterna i storleksordning. Börja med den minsta. 3 4 80 % 0,72 5 12 70 %
23 Sannolikheten för fem händelser är markerade på en sannolikhetslinje. Para ihop beskrivningarna av händelserna 1−5 med rätt sannolikhet A–E.
0 1 A B C D E
1 Solen slocknar inom en minut.
2 Ett nyfött barn är en pojke.
3 Få en nitlott vid köp av en trisslott.
4 En slumpvis vald elev i högstadiet läser franska.
Nivå tre
29 Ange en händelse som ungefär har sannolikheten A, B respektive C.
0 1 A B C
30 En tidning presenterar prognosen för morgondagens väder i en tabell.
Väder Risk i procent
Regn 40 %
Mulet 70 %
5 Det finns syre i luften även i morgon.
Smidigare övergångar
smidigare övergångar mellan nivåerna lyfter eleverna till nästa nivå.
24 Milos säger att det med 200 % säkerhet kommer att regna på kvällen. Kan man säga så? Motivera ditt svar.
Nivå två
25 Vilket eller vilka av följande tal kan inte beskriva en sannolikhet?
26 Uppskatta sannolikheten för varje händelse. Svara i decimalform.
a) Du äter kvällsmat före klockan åtta i kväll.
b) Din matematiklärare kommer i tid till nästa matematiklektion.
c) Det regnar i morgon.
d) Sverige vinner nästa fotbolls-VM för damer.
27 Peter har två bröder och ska få ett tredje syskon. Hur stor är sannolikheten att han får en bror till? Motivera ditt svar.
28 Ange en händelse som ungefär har sannolikheten
a) 75 % b) 1 4
Hagel 10 %
Storm 5 %
Kraftig vind 40 %
Linn, Maria och Victoria diskuterar prognosen:
Maria säger att risken för att det stormar och haglar samtidigt är 15 %.
Linn säger att chansen att det inte regnar är 60 %.
Victoria säger att väderprognosen är felaktig eftersom summan av alla risker blir mer än 100 %.
a) Vem eller vilka har tänkt rätt? Motivera ditt svar.
b) Hur kan den eller de som har tänkt fel ha resonerat?
Resonera mera
Uppskatta sannolikheten för varje händelse.
A Du flyttar hemifrån innan du fyller 20 år.
B Du får godkänt på matematikprovet.
C Det är minst tre frånvarande i klassen i morgon.
D Du kommer äta tacos nästa fredag.
E Du kan stå på ett ben och blunda i över 20 sekunder utan att sätta ned den andra foten.
Nivå 1
70 I en skål ligger tre gula och sju blåa kulor. Du drar en kula ur skålen utan att titta. Hur stor är sannolikheten att kulan är
a) gul b) blå
71 Beskriv med ord vad det innebär att sannolikheten för en händelse är
a) 1 b) 0,5 c) 0
72 Anne ska göra en smörgås. Det finns fyra olika pålägg och tre olika sorters bröd. På hur många olika sätt kan hon göra en smörgås?
73 Simon ska välja en skjorta och ett par shorts ur sin garderob. Han kan kombinera en skjorta och ett par shorts på 18 olika sätt. Hur många skjortor respektive shorts kan Simon ha? Ge ett förslag.
74 Miriam kastar en sexsidig tärning. Bestäm
a) P(udda)
b) P(1 eller 2)
c) P(mindre än 5)
75 Beräkna sannolikheten för att hjulet stannar på
a) blå
b) inte blå
76 Edvin och Samina spelar schack mot varandra. Edvin har 24 vinster och Samina har 43 vinster. Ungefär hur stor är sannolikheten att
a) Samina vinner nästa parti
b) Edvin vinner nästa parti
77 Ilse är innebandymålvakt. På träning har hon räddat 135 av 250 straffar.
Blandade uppgifter
a) Beräkna sannolikheten att hon räddar en straff.
b) Ungefär hur många straffar kan hon räkna med att rädda på 50 försök?
Nivå två
Två gånger per kapitel får eleverna stanna upp och lösa blandade uppgifter från de föregående avsnitten i kapitlet. På så sätt lyfter vi det inflätade lärandet.
78 Under en idrottsdag kan eleverna välja mellan pingis, padel, tennis och badminton på förmiddagen. På eftermiddagen kan de välja mellan fotboll, innebandy och basket.
På hur många olika sätt kan en elev välja aktiviteter till idrottsdagen?
79 Ett lotteri har 12 000 lotter. Av dessa är 620 vinstlotter.
a) Ungefär hur många vinster borde man få om man köper 18 lotter?
b) Hur många lotter måste man köpa för att vara säker på att vinna?
80 Tabellen visar lystiden för LED-lampor i en lampundersökning.
Lystid (h) Antal lampor
0 – 9 999 12
10 000 – 19 999 37
20 000 – 29 999 192
30 000 – 39 999 812
Ungefär hur stor är sannolikheten att du köper en lampa som lyser i
a) 0–9 999 timmar
b) mindre än 30 000 timmar
81 Pia drar tre kort ur en kortlek.
Hur stor är sannolikheten att nästa kort hon drar är
a) en 9:a
b) en hjärter
c) en dam eller en kung
En vanlig kortlek består av 52 kort. Korten är uppdelade i 13 kort i fyra olika färger: hjärter, spader, ruter och klöver. Varje färg består av 13 olika valörer.
82 Alma kastar en vanlig tärning. Vilken är komplementhändelsen till att
a) få en etta
b) få ett tal större än 3
83 När man kastar två tärningar finns det 36 möjliga utfall.
a) Förklara detta med hjälp av multiplikationsprincipen.
b) Hur många möjliga utfall finns det när man kastar tre tärningar?
c) Hur stor är sannolikheten att få tre ettor när man kastar tre tärningar?
84 I en låda finns 2 000 godisklubbor i tre olika smaker: hallon, blåbär och lakrits. För att ta reda på hur många klubbor det finns av varje sort tar Anja upp hundra klubbor utan att titta. Hon får 40 blåbär, 15 lakrits och resten hallon. Ungefär hur många klubbor i lådan har smaken blåbär?
85 På ett möte sitter åtta personer. På hur många olika sätt kan de välja
a) en ordförande och en sekreterare
b) två representanter som ska leda en arbetsgrupp
86 Peter kommer till en träning med fyra andra personer. Alla deltagare gör high-five med varandra. Hur många high-five blir det totalt?
Nivå tre
87 När du kastar ett mynt kan du få antingen klave eller krona. Tänk dig att du kastar ett mynt tre gånger.
a) Vilka är de åtta möjliga utfallen?
Hur stor sannolikheten att du får
b) krona alla tre gånger
c) krona exakt en gång
88 Alfabetet består av 29 bokstäver. Ett lösenord består av fyra bokstäver. Hur många lösenord kan man skapa om man får använda
a) samma bokstav flera gånger
b) varje bokstav en gång
89 Ruben kastar ett mynt fyra gånger. Vilken är komplementhändelsen till att få
a) minst en krona b) högst tre krona
90 En kod till ett bankkort består av fyra siffror 0–9. Hur stor är sannolikheten att man gissar rätt kod på första försöket om man vet att
a) den första siffran är en 5:a
b) alla siffror är olika
91 I en handbollsturnering spelas det ett gruppspel där alla lag möter alla. Totalt spelas det 28 matcher. Hur många lag var det i gruppen?
5.6 Oberoende och beroende händelser
Oberoende händelser När du kastar ett mynt kommer resultatet i det första kastet inte att påverka resultatet i det andra. Sannolikheten att få krona i det andra kastet är alltså lika med 1 2 , oavsett om du fick krona i det första kastet eller inte. Händelser som inte påverkar varandra kallas oberoende händelser.
Utan återläggning Tänk dig nu att du drar två godisar ur påsen här nedanför utan att lägga tillbaka den första. Man säger att du gör dragningen utan återläggning.
Beroende händelser När du drar den första godisen är sannolikheten 2 5
3 5 att du får en vit.
2 5 Vit 3 5
När du drar den andra godisen finns det bara fyra godisar kvar. Sannolikheten att du får en vit godis i det andra dragningen är antingen 2 4 eller 3 4 , beroende på vilken färg den första godisen hade.
Svart 2 5
Svart 1 4 Svart 2 4 Vit 3 5 Vit 3 4 Vit 2 4
Sannolikheten att dra en vit godis i den andra dragningen beror alltså på vilken färg den första godisen hade. Man säger att de två dragningarna är beroende händelser.
Om vi vill beräkna sannolikheten att du får exempelvis två vita godisar, multiplicerar vi sannolikheterna längs den grenen i diagrammet.
P(vit, vit) = 3 5 · 2 4 = 3 · 2 5 · 4 = 6 20 = 3 10
Med återläggning Om du i stället tar en godis, tittar på den och stoppar tillbaka den inför varje ny dragning, säger man att du drar godisarna med återläggning. Då är dragningarna oberoende händelser. Sannolikheten att dra exempelvis en vit godis är då densamma i varje dragning.
(vit, vit) =
Exempel 1 Du drar två kort ur en kortlek utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att
a) det första kortet är en ruter
b) det andra kortet är en ruter om det första var en ruter
c) du drar två ruter efter varandra
Lösning
a) I en kortlek finns det totalt 52 kort varav 13 är ruter
P(första kortet är ruter) = antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall
Svar: Sannolikheten att det första kortet är en ruter är 1 4 .
b) Tar man bort ett kort ur leken, så återstår 51 kort. Om kortet man tog var en ruter, så finns 12 ruter kvar. Då är
P(andra kortet är ruter) = antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall =
Svar: Sannolikheten att det andra kortet är ruter är 4 17 .
c) P(ruter, ruter) = P(första kortet är ruter) · P(andra kortet är ruter) =
1 17 .
I en kortlek finns det totalt 52 kort. Dessa är uppdelade i fyra olika färger; hjärter, ruter, klöver och spader. Det är 13 olika kort i varje färg.
120 En spellista består av 18 hiphoplåtar och 12 poplåtar. Ordningen på låtarna slumpas fram. Jeanette och Selma ska beräkna sannolikheten att det spelas två poplåtar i rad.
Jeanette: 12 30 ∙ 11 29
Selma: ( 12 30 ) 2
Studera uträkningarna och försök förklara hur de båda tänkt. Har någon tänkt rätt?
121 I en påse finns 12 röda, 8 gula och 5 gröna kulor. Meja drar kulor utan titta. Hur stor är sannolikheten att hon får två röda kulor
a) om hon lägger tillbaka den första
b) om hon inte lägger tillbaka den första
Nivå tre
122 Träddiagrammet visar de möjliga utfallen när en basketspelare kastar två straffkast.
Träff
Bestäm sannolikheten att spelaren sätter
a) två straffkast i rad
b) ett av straffkasten
c) Är de två kasten oberoende händelser? Motivera ditt svar.
123 Kort dras slumpmässigt från en vanlig kortlek. Hur stor är sannolikheten att man får
a) tre ess i rad om korten dras utan återläggning
b) tre ess i rad om korten dras med återläggning
c) Förklara varför resultaten blir olika i uppgift a) och b).
124 I en fruktskål finns 5 äpplen, 4 päron och 3 apelsiner. Anna äter upp en apelsin och ett äpple. Därefter tar hon slumpmässigt två frukter till. Hur stor är sannolikheten att hon även denna gång får en apelsin och ett äpple?
125 Maja drar fyra kort slumpmässigt från en vanlig kortlek utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att hon
a) inte får någon kung
b) får minst en kung
Resonera mera
Avgör om händelserna är oberoende eller beroende när du
A slår en tärning flera gånger
B spelar på ett lyckohjul två gånger i rad
C testar olika nycklar till ett hänglås
D kastar flera straffkast i basket
E tar två lotter i ett lotteri
Simulera tärningskast
Tindra beräknar sannolikhet att få en trea vid kast med en sexsidig tärning.
P(trea) = 1 6 ≈ 0,167 = 16,7 %
Nu vill hon pröva om den teoretiska sannolikheten stämmer med den experimentella. Hon skriver därför ett program som kan simulera n stycken tärningskast.
import random
#Hämta modulen random för att slumpa fram tal. antal_treor = 0
#Innan programmet körs finns det 0 treor. n = int(input("Ange antalet kast:")) for i in range (n): #Upprepa ett kommando n antal gånger. tärning = random.randint(1,6) #Slumpa fram ett heltal från 1 till 6. if tärning == 3:
antal_treor = antal_treor + 1 print("Den experimentella sannolikheten för att slå en trea blev", antal_treor/n * 100, "%. ")
När Tindra kör programmet kan det se ut så här:
Ange antalet kast: 100
Den experimentella sannolikheten för att slå en trea blev 15 %.
1 Testa Tindras program genom att simulera
a) 100 tärningskast
b) 1 000 tärningskast
c) 10 000 tärningskast
d) 100 000 tärningskast
e) 1 000 000 tärningskast
2 Utifrån dina svar i uppgift 1, ungefär hur många kast måste man simulera för att få en experimentell sannolikhet som är ungefär densamma som den teoretiska sannolikheten för att slå en trea?
3 Tänk dig att du slår en tiosidig tärning.
a) Hur stor är den teoretiska sannolikheten att slå en trea?
b) Ändra i Tindras program så att du kan simulera kast med en tiosidig tärning.
c) Använd programmet och undersök hur många kast som krävs för att den experimentella sannolikheten ska närma sig den teoretiska.
problem, resonemang och kommunikation
Värdera lösningar
Studera lösningarna och avgör om de är korrekta och väl utförda.
1 På ett tivoli kan man spela på ett lyckohjul. Hur stor är chansen att vinna om du spelar på gult?
Elsa: P(gult) = 1 4
Simon: P(gult) = 1 8
Olof: P(gult) = 12,5%
a) Vem eller vilka har gjort rätt? Motivera ditt svar.
b) Vilket misstag har den eller de andra gjort?
2 Ibrahim, Sanna och Kristina spelar ett spel. I spelet slår man två fyrsidiga tärningar. Sidorna på tärningarna är markerade med 1, 2, 3 och 4. I den sista omgången kan Sanna vinna om hon får summan 5. Hur stor chans har Sanna att vinna?
Ibrahim: Man kan få summorna 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Det är 7 möjliga utfall och ett är gynnsamt.
P(vinst) = 1 7
Sanna: Antal möjliga utfall: 4 + 4 = 8. Det finns två gynnsamma utfall: 1 och 4 eller 2 och 3.
P(vinst) = 2 8 = 1 4
Kristina: Antal möjliga utfall: 4 ∙ 4 = 16
Antal gynnsamma utfall = 4
P(vinst) = 4 16 = 1 4
a) Vem har löst uppgiften korrekt? Motivera ditt svar.
b) Vilka misstag har de andra gjort?
NOG
Uppslaget
Avgör om du har fått tillräcklig information för att kunna lösa uppgiften.
Uppslaget tränar särskilt de matematiska förmågorna. Den gröna färgen signalerar att uppgifterna är tänkta att genomföras tillsammans.
1 Karl ska packa sin resväska inför en fem dagars semester. Han lägger i 8 byxor och 10 skjortor. Hur många gånger per dag kan han byta kläder utan att någon gång bära samma kombination?
a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?
b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?
c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.
2 Harry spelar innebandy i ett lag med totalt 16 spelare. Tillsammans gjorde de 142 mål under en säsong. Alla utespelare gjorde mål. Den som gjorde flest mål var Hannes med 32 mål. Medianen var 5 mål. Hur stor är variationsbredden av antalet gjorda mål?
a) Finns det tillräcklig information för att du ska kunna lösa uppgiften?
b) Om det inte finns tillräcklig information, vilken information saknar du?
c) Lös uppgiften om det finns tillräckligt med information.
problem, resonemang och kommunikation
Lös problemen
Matematisk problemlösning där du själv väljer metod.
1 En sexsidig tärning kastas två gånger. Hur stor är sannolikheten att det andra kastets resultat är lägre än det första?
2 Viggo har matteprov. I en uppgift ska han storleksordna fyra bråktal. Han chansar och placerar de fyra talen i en slumpmässig ordning. Hur stor är chansen att han placerade talen i storleksordning?
3 Ett kompisgäng med fem tjejer ska se på film tillsammans. Alla föreslår varsin film.
a) På hur många olika sätt kan de välja ut två filmer?
Nyhet!
Modellering
Här får du själv bestämma lämpliga och realistiska värden för att kunna lösa uppgiften.
1 Registreringsnumren på svenska bilar bestod före år 2019 av tre bokstäver och tre siffror. På grund av att antalet registreringsnummer höll på att ta slut bestämde man att registreringsnumren till nya bilar ska bestå av tre bokstäver, två siffror och sist en bokstav. Bokstäverna I, Q, V, Å, Ä och Ö får inte förekomma.
Hur länge kommer dessa registreringsnummer att räcka?
i Fake News får eleverna använda matematik för att kritiskt granska påståenden.
Tjejerna skriver ned filmernas titlar på fem lappar. De viker ihop lapparna, lägger dem i en skål och blandar. När de ska se en film drar de en lapp och ser den filmen. Lappen läggs inte tillbaka.
b) Hur stor är risken att Bianca inte får se sin favoritfilm om de hinner se tre filmer?
4 Ett antal mynt kastas. Hur stor är sannolikheten att alla mynt hamnar med samma sida uppåt om du kastar
a) 2 mynt
b) 3 mynt
c) 4 mynt
d) 5 mynt
e) Studera resultatet i uppgift a)–d). Beskriv hur sannolikheten för att alla mynt ska landa med samma sida uppåt förändras med antalet mynt.
f) Hur stor är sannolikheten att alla mynt hamnar med samma sida uppåt om du kastar n mynt?
Fake News?
Välj de här numren i Eurojackpot!
I spelet Eurojackpot ska man välja fem nummer mellan 1 och 50, och två stjärnnummer mellan 1 och 12. För att vinna storvinsten ska man vara ensam om att ha rätt på alla sju nummer. Enligt forskaren David Stewart ska man då undvika numren 7, 11, 13, och 17 och i stället satsa på nummer som 39, 38, 45 och 41.
Kan det stämma? Vad tror du?
1 På en restaurang kan man välja på tre förrätter och ett antal huvudrätter. Hur många olika huvudrätter finns det, om man kan kombinera en tvårättersmeny på 18 olika sätt?
Kapiteltest
A 6 B 12 C 15
2 Vilket av talen kan beskriva en sannolikhet?
A 1 5
B 1,5
3 Ett resebolag frågade 1 000 resenärer: Kan du tänka dig att åka med oss igen? Diagrammet visar resultatet av undersökningen. Hur stor är sannolikheten att en resenär inte vill åka med resebolaget igen?
Kapiteltestet är på E-nivå och kan användas som ett diagnostiskt verktyg.
Det guidar eleverna till rätt nivå i den avslutande repetitionen Basläger-Topptur.
−0,3
Kanske Nej Ja
A 35 % B 59 % C 6 %
4 Ett företag studerar hur ofta lampan är släckt efter ett besök på deras toaletter. De gör 500 kontroller och finner att lampan är släckt i 320 fall. Sannolikheten för släckt lampa kan beräknas
A 500 320
B 320 500
C 180 500
5 Sannolikheten att dra en kung om man blundar och drar ett kort ur en kortlek är
A 1 52 B 1 13 C 1 4
6 Antalet möjliga utfall vid kast med två tärningar är
A 6
B 12
C 36
7 Vilken situation här nedanför är ett exempel på beroende händelser?
A Dra två kulor ur en påse med återläggning.
B Att ta en godisbit ur en godispåse och sedan ta en till utan att lägga tillbaka den första.
C Kasta en tärning två gånger.
8 Medelvärdet av talen 2, 2, 4, 5 och 12 är
A 2
B 4
9 Variationsbredd är ett exempel på ett
A lägesmått
C 5
B medelvärde C spridningsmått
10
2
Rosie ska gå på fest. Hon väljer kläder bland 4 kjolar, 5 blusar och 3 par skor. På hur många olika sätt kan hon klä sig?
11 Tabellen visar antalet anmälda våldsbrott per 100 000 invånare i några svenska städer.
Kommun Antal/100 000 inv.
Malmö 1 804
Stockholm 2 064
Västerås 1 251
Hur stor är risken att drabbas av ett våldsbrott i Stockholm?
12 Bestäm sannolikheten för att hjulet stannar på
a) blå b) orange
13 I ett lotteri med 200 lotter är vinstchansen 1 4
a) Hur stor är risken att få en nitlott?
b) Hur många vinstlotter finns det?
c) Hur många vinstlotter kan du förvänta dig om du köper 16 lotter?
14 Hur stor är risken att få regn två dagar i rad om sannolikheten för regn bedöms vara 50 % varje dag?
15 I en vas finns 5 röda och 3 gula rosor. Elliott tar två rosor ur vasen utan att titta. Den första rosen är röd. Hur stor är sannolikheten att den andra rosen är röd?
16 Ett gym registrerar antalet besök som medlemmarna gör under en månad. Lådagrammet visar resultatet.
a) Hur stor är variationsbredden?
b) Ungefär hur stor andel tränar minst 29 gånger per månad?
17 Skurus handbollsdamer har i de sista sex matcherna gjort 18, 23, 21, 34, 32 och 22 mål.
a) Beräkna medelvärdet.
b) Bestäm medianen.
c) Hur stor är variationsbredden?
5.1
1 En restaurang erbjuder kunderna att välja en trerättersmeny utifrån 3 förrätter, 2 varmrätter och 4 desserter. Hur många olika trerättersmenyer finns det?
2 Mahsa kan kombinera ett bröd och ett pålägg på 15 olika sätt. Ge ett förslag på hur många olika bröd och pålägg Mahsa har.
5.2
3 Rita av sannolikhetslinjen och placera ut händelserna A–D på linjen.
0 1
A Du får äta godis på nästa matematiklektion.
B Det snöar i morgon.
C Du ser en gul bil på väg hem från skolan.
D Ett nyfött barn blir en pojke.
5.3
4 Bertils solrosfrön har 65 % chans att gro. Han planterar 60 frön. Ungefär hur många solrosor kan han räkna med kommer att gro?
5 Ett företag undersöker livslängden hos 500 batterier.
Batteritid Antal 0−9 timmar 120 10–19 timmar 340 20–29 timmar 40
Hur stor är sannolikheten att ett slumpmässigt valt batteri håller i minst 20 timmar?
5.4
6 Hur stor är chansen att vinna om man spelar
på nummer sex?
7 Kasper kastar en tiosidig tärning med sidorna 1–10. Hur stor är sannolikheten att han får
a) 9
b) 3 eller 4
Basläger–Topptur
Med repetition och fördjupning på olika nivåer lyfter vi eleverna till nya höjder.
c) ett udda nummer
8 I en fruktskål ligger 3 gröna och 5 röda äpplen. Erwin tar ett äpple utan att titta. Hur stor är sannolikheten att han
a) får ett grönt äpple
b) inte får ett grönt äpple
5.5
9 Två mynt kastas. Träddiagrammet visar de möjliga utfallen.
Krona 0,5 Klave 0,5
Krona 0,5 Klave 0,5
Krona 0,5
Klave 0,5
a) Vilka är de fyra möjliga utfallen?
b) Bestäm sannolikheten för två klave.
10 Tre elever ska lösa följande uppgift.
Eliza åker med ett pendeltåg som kommer fram i tid i 90 % av turerna. Hur stor är sannolikheten att Eliza kommer fram i tid två gånger i rad?
Vilken eller vilka eleverna har löst uppgiften rätt?
Mika: 90 % + 90 % = 180 %
Jennar: 0,9 + 0,9 = 1,8
Melvin: 0,9 ∙ 0,9 = 0,81
11
Sannolikheten för regn bedöms vara 60 % de två kommande dagarna.
Regn 0,6
Regn 0,6
Uppehåll 0,4
Uppehåll 0,4
Regn 0,6
Uppehåll 0,4
Använd träddiagrammet och beräkna sannolikheten att
a) det regnar två dagar i rad
b) det är uppehåll första dagen och regnar den andra
5.6
12 I en kulpåse finns 2 blå och 3 röda kulor.
Blå 2 5
Blå 1 4 Blå 2 4 Röd 3 5 Röd 3 4 Röd 2 4
Paul drar två kulor utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att
a) den första kulan är blå
b) den andra kulan är blå om den första kulan var blå
c) Paul får två blåa kulor
13 I en godispåse ligger 10 röda och 10 gula godisbitar. Erika tar en godis och sedan en godis till utan återläggning. Hur stor är sannolikheten att
a) den första godisen är gul
b) den andra är gul om den första var gul
c) Erika får två gula godisar
5.7
14 Under några dagar skriver Ellen ner sin totala skärmtid: 4, 3, 5, 1, 6 och 5 timmar
a) Hur lång skärmtid har Ellen i genomsnitt per dag?
b) Bestäm typvärdet för Elins skärmtid.
c) Vilken är medianen?
15 Medellönen i ett företag med sex anställda är 38 900 kr. Hur stor är deras sammanlagda lön?
16 Tabellen visar dagtemperaturen i °C under en vecka i maj.
Mån Tis Ons Tor Fre Lör Sön 7 3 5 5 5 6 11
a) Beräkna medeltemperaturen.
b) Bestäm mediantemperaturen.
5.8
17 De anställda på ett äldreboende är 64, 21, 17, 20, 38, 42, 55 år gamla. Bestäm variationsbredden.
18 Ett antal familjer tillfrågades hur mycket pengar de lägger på mat varje vecka. Resultatet visas i ett lådagram.
Kostnad
a) Vilket är det största värdet?
b) Vilket är det minsta värdet?
c) Hur stor är variationsbredden?
d) Bestäm medianen.
19 Klass 8B och 8D skriver samma prov. Resultatet visar att klasserna har samma medelvärde på provet, men 8B har större variationsbredd. Vad säger det om klassernas resultat?
5.1–5.4
20 Eva har 5 toppar, 4 byxor och 2 par skor.
a) På hur många olika sätt kan hon kombinera dessa plagg?
b) Om Eva väljer att ta på sig kjol i stället för byxor, så kan hon kombinera skor, kjol och topp på 120 olika sätt. Hur många kjolar har Eva?
21 Kalle kastar en tärning många gånger. Han sammanställer resultaten i en tabell.
Resultat Frekvens
1 7
2 9
3 8 4 7 5 7 6 12
Beräkna den relativa frekvensen för
a) en 1:a
b) en 6:a
22 Francis har en låda med 28 gula, 32 blåa och 20 röda blyertspennor. Han tar en penna från lådan utan att titta.
a) Beräkna P(gul).
b) Beräkna P(gul eller blå).
c) Vilken är komplementhändelsen till att få en gul penna?
23 Läraren Sofia har en låda med sammanlagt 140 gula och blåa pennor. Chansen att ta en gul penna utan att titta är 45 %. Hur många blåa pennor finns det i lådan?
24 Tabellen visar antalet fabrikationsfel under ett år hos en biltillverkare. Under året tillverkades 68 515 bilar.
Typ av fel Antal
El-fel 236
Drift-fel 121
Mjukvarufel 512
Beräkna sannolikheten att en slumpvist vald bil
a) har ett elfel
b) har någon typ av fel
25 Du får välja bland bokstäverna a, b, c, d och e.
Hur många lösenord med två bokstäver kan du skapa om
a) varje bokstav får användas flera gånger
b) varje bokstav endast får användas en gång
Din kompis försöker klura ut vilken kombination du har valt.
c) Hur stor är sannolikheten att din kompis hittar kombinationen på första försöket om den uppfyller villkoret i uppgift b)?
26 I lotteriet Drömlotten kostar en lott 20 kr. Totalt säljer man 2 miljoner lotter varav 40 000 är vinstlotter.
Hur många vinster kan man förvänta sig om man köper 100 lotter?
27 Sex personer ska gå på bio. De sitter bredvid varandra på en rad. På hur många olika sätt kan de placera sig på stolarna?
5.5–5.8
28 Sannolikheten att det regnar bedöms vara 70 % varje dag under en vecka i oktober.
Beräkna sannolikheten att det
a) regnar två dagar i rad
b) regnar en dag och är uppehåll en dag
29 Vilken eller vilka situationer beskriver oberoende händelser?
A Spela två gånger på ett lyckohjul.
B Dra två kulor utan återläggning.
C Dra två kulor med återläggning.
D Kasta en tärning två gånger.
30 I en klass får de 24 eleverna i genomsnitt 240 kr i månadspeng. När Matilda börjar i klassen höjs medelvärdet till 250 kr. Hur mycket får Matilda i månadspeng?
Nyhet!
Mellanläger – en brygga mellan Basläger och Hög höjd.
34 I ett spel gissar man vilken häst som ska vinna i fem olika lopp. I varje lopp är det tolv hästar. Vilket alternativ visar sannolikheten att gissa rätt i samtliga fem lopp. Motivera ditt val.
31 I en klass med 10 tjejer och 14 killar ska man lotta fram två elevrådsrepresentanter.
Rita ett träddiagram och beräkna sannolikheten att det blir två tjejer.
32 Lådagrammet visar hur många böcker eleverna i en klass läste under ett år. Antal böcker
a) Bestäm medianen.
b) Hur stor är variationsbredden?
c) Hur stor andel av barnen läste minst fem böcker?
d) Klass 8B har mindre variationsbredd men större kvartilavstånd. Medianen är densamma. Rita hur lådagrammet för 8B skulle kunna se ut.
33 Kort dras slumpmässigt från en vanlig kortlek. Hur stor är sannolikheten att man drar två tior i rad om dragningen sker
a) utan återläggning
b) med återläggning
35 Skriv en serie på nio tal som har
● medelvärdet 8
● medianen 7
● typvärdet 10
● variationsbredden 18
36 För att få klättringslicens behöver man göra ett teoretiskt prov och ett praktiskt prov.
Diagrammet visar sannolikheten att klara respektive test.
Teoretiskt prov
Praktiskt prov
a) Beräkna sannolikheten att få klättringslicensen.
b) Hur stor andel klarar minst ett av proven?
5.1–5.4
37 I en 100-bitars chokladkartong finns endast tre mörka chokladbitar kvar. Om man tar en chokladbit utan att titta, så är sannolikheten att få en mörk choklad 0,12. Hur många chokladbitar finns det kvar i kartongen?
38 Rullarna på låset kan ställas på 1, 2 eller 3. Hur stor är sannolikheten att du lyckas låsa upp låset på första försöket?
5.5–5.8
41 I en klass går lika många flickor som pojkar. Lådagrammen visar hur lång tid eleverna i klassen behöver för att ta sig upp för en klättervägg.
Flickor 4 3 2 1 0
Pojkar minuter
5
a) Hur många procent större är variationsbredden bland pojkarna jämfört med bland flickorna?
b) Hur många procentenheter fler av flickorna jämfört med pojkarna klarar av klätterväggen på kortare tid än 3,5 minuter?
c) Har pojkarna eller flickorna bäst resultat? Motivera ditt svar.
42 I ett företag får samtliga anställda en löneförhöjning med 4 %. Hur påverkar löneförhöjningen
a) medellönen
39 Pella hade skrivit ett fyrsiffrigt tal på en lapp. Hon rev sönder den i tre bitar som på bilden. Hur stor är sannolikheten att det var talet 9 222 som stod på Pellas lapp?
22 9 2
40 En vanlig flagga består av tre vågräta fält där fälten intill varandra inte får vara av samma färg. På hur många olika sätt kan du måla en flagga om du kan välja bland
a) 5 färger
b) 10 färger
c) n färger
b) medianlönen
c) variationsbredden
43 I tre påsar ligger kulor av olika färg. Först väljer Miloz en påse utan att titta. Därefter plockar han en kula ur den påsen utan att titta. Hur stor är sannolikheten att kulan är blå?
44 Fransmannen de Méré (1607−1684) var en mycket spelintresserad man som gillade att slå vad om pengar. De Méré slog vad om att han på fyra kast med en sexsidig tärning skulle få minst en sexa. Var detta ett bra vad för de Méré?
45 Ett företag anordnar ett lotteri med 80 lotter. Vinstchansen är 0,05. Bella köper två lotter. Hur stor är sannolikheten att hon vinner på
a) precis en av lotterna
b) minst en av lotterna
topptur
47 En undersökning visade att 12 % av dem som kommer i kontakt med ett visst virus blir smittade. En familj med två vuxna och tre barn blir utsatta för viruset. Hur stor är sannolikheten att minst en familjemedlem blir smittad?
48 Malte, Tova och Wilhelm dricker vatten. De ställer sina glas på bänken och går därifrån. Efter en stund vill de dricka mer vatten, men de vet inte vilket glas de har druckit ur. Hur stor är sannolikheten att alla tar rätt glas?
49 Yatzy är ett klassiskt tärningsspel där fem sexsidiga tärningar kastas. För att få Yatzy måste alla fem tärningar visa samma resultat. Visa att sannolikheten för Yatzy (femtal) är 0,0008 vid ett kast med fem tärningar.
50 Ett lotteri innehåller 1 000 lotter numrerade från 1 till 1 000. Du köper en lott.
Lotter med minst en 1:a 50 kr
Lotter med minst två 2:or 500 kr
Lotter med tre 3:or 5 000 kr VINSTER
Hur stor är sannolikheten att du vinner
a) 5 000 kr b) 500 kr c) 50 kr d) Ge förslag på vad lotterna i lotteriet bör kosta. Motivera ditt svar.
46 Två tal av talen 3, 5, 8, 11 och 12 slumpas fram med återläggning. Hur stor är sannolikheten att summan av talen är jämn?
Nyhet!
Extra utmanande uppgifter.
51 I ett stort påskägg finns 600 runda godisar i fem olika färger.
● De gröna godisarna är dubbelt så många som de svarta.
● De röda godisarna är fem gånger så många som de svarta.
● De gula godisarna är dubbelt så många som de röda.
● De blå godisarna är tre gånger så många som antalet gröna.
Freddie drar slumpmässigt
två godisar ur ägget. Hur stor är sannolikheten att båda är gula? Svara i bråkform och förenkla så långt som möjligt.
52 Du kastar tre sexsidiga tärningar. Hur stor är sannolikheten att summan av tärningarna är större än 6? Svara i bråkform och förkorta så långt som möjligt.
53 Sannolikheten att Emma, Leon och Molly ska komma för sent till en lektion är 0,12, 0,35 respektive 0,02. Bestäm sannolikheten att
a) minst en kommer för sent
b) precis en av dem kommer för sent
sammanfattning
Kombinatorik
Inom kombinatoriken räknar man på hur många sätt något kan ordnas eller väljas.
Exempel
Om man har två förrätter, tre huvudrätter och två efterrätter att välja på, kan man kombinera en trerättersmeny på
2 ∙ 3 ∙ 2 = 12 olika sätt Enligt multiplikationsprincipen
Sannolikhet och statistik
Ibland går det inte att beräkna sannolikheten för en händelse teoretiskt. Då kan man använda sig av statistik eller genomföra experiment för att beräkna sannolikheten.
Exempel
Förrätt Efterrätt
Råbiff Toast
Skagen
Huvudrätt
Ankbröst Äppelkaka Kladdkaka
Lax Äppelkaka Kladdkaka
Risotto Äppelkaka Kladdkaka
Ankbröst Äppelkaka Kladdkaka
Lax Äppelkaka Kladdkaka
Risotto Äppelkaka Kladdkaka
Sannolikhet
12 kombinationer
Sannolikheten för en händelse beskriver hur troligt det är att händelsen inträffar. En sannolikhet är alltid ett tal mellan 0 och 1.
Omöjligt Osäkert Femti–Femti Ganska säkert Helt säkert
Om alla utfall är lika sannolika, så kan sannolikheten för en händelse beräknas med formeln:
P(händelse) = antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall
Exempel
Sannolikheten att få en 5:a eller 6:a vid kast med en tärning är
P(5:a eller 6:a) = antalet gynnsamma utfall antalet möjliga utfall = 2 6 = 1 3 ≈
≈ 0,33 = 33 % En sannolikhet kan anges i bråkform, decimalform eller procentform.
En tillverkare av mobilladdare upptäcker vid en kvalitetskontroll att 168 laddare av 4 200 är trasiga. Hur stor är då sannolikheten att köpa en trasig laddare?
Relativ frekvens = antalet trasiga laddare totala antalet laddare = 168 4 200 ≈
≈ 0,04 = 4 %
P(trasig laddare) = 4 %
Komplementhändelse
En händelse och dess komplementhändelse är motsatta händelser – antingen händer den ena eller så händer den andra.
P(händelse) + P(komplementhändelse) = 1
Exempel
P(vinst) + P(inte vinst) = 1
Sannolikhet i flera steg
Med hjälp av ett träddiagram kan man beskriva sannolikheten för flera händelser i följd.
Exempel
Krona 1 2
Krona 1 2
Klave 1 2
Krona 1 2
1 2 Klave 1 2
Beroende och oberoende händelser
När du drar två kort ur en kortlek med återläggning är dragningarna oberoende händelser
P(kung, kung) = 4 52 ∙ 4 52 = 4 ∙ 4 52 ∙ 52 = 16 2 704 ≈ 0,006
Sannolikheten att få kung i den andra dragningen beror inte på vad det första kortet visade.
När du drar två kort ur en kortlek utan återläggning är dragningarna beroende händelser:
P(kung, kung) = 4 52 ∙ 3 51 = 4 ∙ 3 52 ∙ 51 = 12 2 652 ≈ 0,004
Sannolikheten att få kung i den andra dragningen beror på vad det första kortet visade.
Lägesmått
Lägesmått sammanfattar värdena i en undersökning med ett enda tal.
Exempel
Märta tävlar i skidåkning. Hennes placeringar under säsongen är 13, 4, 13, 2, 7, 3, 14 och 5.
Medelvärde: Medelvärdet är summan av alla värden dividerat med antalet värden.
13 + 4 + 13 + 2 + 7 + 3 + 14 + 5 8 = 61 8 ≈ 8
Medelvärdet är 8:e plats.
Median: Medianen är värdet i mitten när man ordnat värdena i storleksordning. 2, 3, 4, 5, 7, 13, 13, 14
När det finns två värden i mitten är medianen medelvärdet av de två talen.
Medianen är 5 + 7 2 = 6:e plats.
Typvärde: Typvärdet är det vanligaste värdet. I detta fall är typvärdet 13:e plats.
Spridningsmått
Spridningsmått anger hur spridda värdena är i ett statistiskt material.
Exempel
Fanny tävlar i terränglöpning. Under året har hon fått följande placeringar
6, 13, 13, 22, 26, 30, 44, 54
Variationsbredd
Variationsbredden är differensen mellan det största och det minsta värdet.
Variationsbredd: 54 – 6 = 48 placeringar
Kvartilavstånd
Differensen mellan övre och nedre kvartilen kallas för kvartilavstånd.
Nedre kvartil 13 + 13 2 = 13 6, 13, 13, 22, 26, 30, 44, 54
Minsta värde Övre kvartil 30 + 44 2 = 37
Median 22 + 26 2 = 24
Kvartilavstånd: 37 – 13 = 24 placeringar
Lådagram
Största värde
Med hjälp av ett lådagram kan man beskriva hur värdena i ett statistiskt material är fördelade.
Exempel
värde Median Övre kvartil
0 60 50 40 30 20 10
25 % av värdena ligger mellan 6 och 13.
25 % av värdena ligger mellan 13 och 24.
25 % av värdena ligger mellan 24 och 37.
25 % av värdena ligger mellan 37 och 54.
Använd baksidan för att svara på bokens flervalsuppgifter. Visa upp ditt svar för läraren genom att vrida boken så att din valda bokstav hamnar högst upp.
ISBN 978-91-523-6660-8