Till läsaren
u I de flesta kapitel finns en eller flera aktiviteter med titeln Programmering. Där får du se exempel på hur programmering kan användas som verktyg, bland annat vid problemlösning. Du får också själv prova att programmera med utgångspunkt i färdiga program.
u I slutet av varje kapitel finner du Uppslaget. Där finns uppgifter som ger möjlighet att utveckla olika matematiska förmågor. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering. I Undersök finner du lite mer omfattande och utmanande uppgifter. Där får du träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt. I Rätt eller fel? får du tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.
u I slutet av varje kapitel finns också ett avsnitt om Historia som beskriver matematikens utveckling ur ett idéhistoriskt och kulturellt perspektiv.
u Tankekartan visar hur de olika matematiska begreppen hänger ihop och kan ses som en sammanfattning av kapitlet.
u I Blandade uppgifter finns uppgifter på tre nivåer. Uppgifterna behandlar moment både från det innevarande och de föregående kapitlen. Det ger dig möjlighet att kontinuerligt befästa dina kunskaper.
u Sist i varje kapitel finns ett Kapiteltest. Där har du möjlighet att själv kontrollera dina kunskaper. Testet är uppdelat i två delar, en del som ska lösas utan digitalt verktyg och en del där du får använda ett digitalt verktyg.
Lycka till med dina matematikstudier! Författarna
1 Talteori 6 1.1 Olika talbaser 8 Det binära talsystemet 8 Talsystem med andra talbaser 12 1.2 Delbarhet och kongruensräkning 16 Delbarhet 16 Delbarhetsregler och division med rest 22 Kongruens 27 Beräkningar med kongruenser 32 1.3 Talföljder 35 Talföljder och summor 35 Aritmetiska talföljder och summor 40 Geometriska talföljder och summor 43 Programmering: Erathostenes såll 49 Uppslaget 50 Historia: Mer om kryptering 52 Tankekarta 54 Blandade uppgifter 55 Kapiteltest 58 2 Matematisk bevisföring 60 2.1 Några bevismetoder 62 Direkta bevis 62 Indirekta bevis 68 Motsägelsebevis 70 2.2 Induktionsbevis 73 Principen för matematisk induktion 73 Att visa olikheter och delbarhet med induktion 78 Programmering: Uttömmande bevis 81 Historia: Bevis av berömda problem 82 Uppslaget 84 Tankekarta ................................ 86 Blandade uppgifter 87 Kapiteltest 89
Nya ämnesplanen Innehållet i Matematik Origo 5 är anpassat efter ämnesplanen som trädde i kraft 2021.
Innehåll
90
3.1 Vad är en differentialekvation? 92 Lösningen till en differentialekvation 92 Att lösa differentialekvationer med hjälp av primitiv funktion 97 Riktningsfält och lösningskurvor 100
3.2 Differentialekvationer av första ordningen. 105 Homogena differentialekvationer av första ordningen 105
Inhomogena differentialekvationer av första ordningen 111
Separabla differentialekvationer 116
Tillämpningar av första ordningens differentialekvationer 119
Eulers stegmetod 126
3.2 Differentialekvationer av andra ordningen 131
Den homogena differentialekvationen y''+ ay' + by = 0 131
Den karakteristiska ekvationen har en dubbelrot 135
Den karakteristiska ekvationen har två icke-reella rötter 138
Den inhomogena differentialekvationen y''+ ay' + by = f(x) 140
Tillämpningar av andra ordningens differentialekvationer 144
Differentialekvationer
3
Programmering: Eulers stegmetod 150 Uppslaget 152 Historia: Väder och väderprognoser 154 Tankekarta 155 Blandade uppgifter 156 Kapiteltest 160 4 Mängdlära och kombinatorik 162 4.1 Mängdlära 164 Vad är en mängd? 164 Mängdoperationer 168 Venndiagram 172 4.2 Kombinatorik 177 Multiplikationsprincipen 177 Dirichlets lådprincip 180 Permutationer 183 Kombinationer 186 Kombinatoriska problem 190 Binomialsatsen 195 Programmering: Rätt hatt? 199 Uppslaget 200 Historia: Olika oändligheter 202 Tankekarta 204 Blandade uppgifter 205 Kapiteltest ............................... 212 5 Omfångsrika problem 214 5.1 Problemlösning och redovisning 216 5.2 Redovisningsuppgifter 218 Historia: Matematikens historia 248 Facit 250 Register 290
Förkunskaper
■ Satser från tidigare kurser.
■ Talteori, kongruens och delbarhet.
■ Grundläggande algebraiska räknemetoder, som exempelvis förenkling och faktorisering.
Centralt innehåll
■ Bevismetoder, inklusive motsägelsebevis och induktionsbevis.
■ Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.
2.1 Några bevismetoder
2.2 Induktionsbevis 2 60
Delkapitel
Matematisk bevisföring
Inledande uppgift
De inledande uppgifterna ger eleverna inblick i vad kapitlet kommer att handla om och utmanar deras resonemangs- och problemlösningsförmåga.
Du ska kunna
Vi inleder varje kapitel med att formulera lärandemål. Det hjälper eleven att själv ta ansvar för sina studier.
Itidigare kurser har vi visat exempel på matematiska bevis. Då tog vi definitioner, axiom och satser till vår hjälp för att bevisa att ett påstående var sant. Den typen av bevis kallas för direkta bevis. I det här kapitlet kommer vi även att bekanta oss med andra bevismetoder, till exempel indirekta bevis och motsägelsebevis. I ett motsägelsebevis börjar man med att anta att motsatsen till påståendet man vill visa är sant, för att sedan visa att detta antagande leder till ett orimligt resultat. Slutsatsen blir att det motsatta antagandet är felaktigt och att det vi ville bevisa måste gälla. Vi kommer också att introducera induktionsbevis. Det är en bevismetod som bland annat kan användas för att visa att en viss formel gäller för alla positiva heltal.
När du är klar med kapitlet ska du kunna u förklara begreppen axiom, definition, sats och bevis u följa och genomföra direkta bevis, indirekta bevis, motsägelsebevis och induktionsbevis
Förhållanden
Triangeln ABP och rektangeln ABCD har sidan AB gemensam. Punkten P ligger på sidan CD
u Visa att förhållandet mellan rektangelns area och triangelns area är lika, oavsett var på CD man placerar punkten P.
Mönster
I en mängd av tal kan man ibland upptäcka ett mönster. För att vara säker på att mönstret alltid gäller, behöver man genomföra ett matematiskt bevis.
u Välj tre på varandra följande heltal, exempelvis 5, 6 och 7. Multiplicera det största talet med det minsta talet. Beräkna sedan kvadraten av det mellersta talet. Vad får du för resultat?
u Upprepa motsvarande beräkningar för ytterligare några följder av tre på varandra följande heltal. Vilken slutsats kan du dra av dina undersökningar?
u Bevisa att din slutsats alltid gäller för tre på varandra följande heltal.
D C A B P
61
Vi använder grundenheten för massa, 50 g = 0,05 kg
Tillämpningar av andra ordningens differentialekvationer
Inom fysiken är det vanligt att man löser problem med hjälp av differentialekvationer. Ett exempel är den differentialekvation som beskriver en harmonisk svängningsrörelse.
Låt säga att vi har en vikt med massan m, som är upphängd i en fjäder med fjäderkonstanten k, och att vi sätter vikten i svängning. Vi vill kunna beskriva viktens läge och hastighet som funktion av tiden.
Vi börjar med att notera att den resulterande kraften på vikten kommer att vara proportionell mot viktens avvikelse y från jämviktsläget, dvs.
F = −ky
Enligt Newtons andra lag är F = ma. Det ger ma = −ky
Eftersom accelerationen a ges av andraderivatan av y, får vi
Teori och exempel
Begynnelsevillkoret y(0) = −0,05 anges först och därefter anges begynnelsevillkoret y'(0) = 0
my’’ = −ky som kan skrivas y’’ + k m · y = 0
Om vi utgår från att vikten har massan 50 g och fjädern har fjäderkonstanten 2 N/m, får vi
y’’ + 2 0,05 · y = 0 som kan skrivas y’’ + 40y = 0.
Teorigenomgångarna är skrivna för att vara lätta att följa, utan att för den skull väja för det som är svårt. Exemplen är rikligt kommenterade och har utförliga förklaringar. I samband med exemplen finns ibland kortfattade instruktioner till hur man använder ett digitalt verktyg. Vi utgår från GeoGebra.
Den här differentialekvationen har oändligt många lösningar. För att bestämma den lösning som beskriver vår specifika situation måste vi formulera begynnelsevillkor. Om vi sätter i gång pendeln genom att dra ner vikten 5 cm och sedan släppa den, så får vi begynnelsevillkoren
y(0) = −0,05
Vid tiden 0 sekunder befinner sig vikten 0,05 m under jämviktsläget och har då hastigheten 0 m/s y’(0) = 0
Vi har nu ställt upp en homogen andra ordningens differentialekvation med begynnelsevillkor. Vi har tidigare löst sådana differentialekvationer för hand, men här visar vi hur man kan lösa differentialekvationen med ett digitalt verktyg. I CAS fönstret i GeoGebra definierar vi en funktion f(x) med hjälp av beteckningen :=, kommandot LösODE och begynnelsevillkoren angivna i punktform. GeoGebra anger då lösningen och ritar upp lösningskurvan.
3
y m m 0 y(t) Jämviktsläge
DIFFERENTIALEKVATIONER 3.3 DIFFERENTIALEKVATIONER AV ANDRA ORDNINgEN 144
Vi kan nu använda differentialekvationens lösning för att exempelvis bestämma viktens hastighet efter 1,25 sekunder. Det gör vi genom att bestämma f’(1,25).
Vi ser att 1,25 sekunder efter att vikten släppts har den hastigheten 0,32 m/s. Eftersom hastigheten är positiv är vikten på väg uppåt.
Exempel: Något förenklat kan man likna stötdämparen på en bil vid en vikt som är upphängd i en fjäder. Viktens rörelse motsvarar det som händer med stötdämparen om bilen kör i ett gupp. För att vikten (stötdämparen) inte ska svänga så länge, kopplas vikten ihop med en kolv i en cylinder fylld med olja. Oljan har som funktion att dämpa kolvens och viktens rörelse, dvs. minska viktens fart.
a) Beskriv fjäderkraften som en funktion av viktens avvikelse y från jämviktsläget.
b) Friktionskraften från oljan inne i cylindern dämpar kolvens rörelse och är proportionell mot hastigheten. Beskriv friktionskraften med ett uttryck.
c) Teckna den differentialekvation som beskriver viktens rörelse efter att den rubbats från jämviktsläget och sedan släppts.
Lösning: a) Fjäderkraften är proportionell mot avvikelsen från jämviktsläget. Det innebär att fjäderkraften Ffj kan skrivas Ffj = −ky, där k är fjäderkonstanten och y är avvikelsen från jämviktsläget.
b) Friktionskraften Ffr är proportionell mot kolvens hastighet och kan därför tecknas Ffr = −bv, där b är en positiv proportionalitetskonstant som brukar kallas för dämpning och v är kolvens hastighet.
c) Enligt Newtons andra lag, F = ma, är den resulterande kraften proportionell mot accelerationen. Vi kan ställa upp följande ekvation:
ma = Ffj + Ffr = −ky − bv Ffj = −ky, Ffr = −bv
ma + bv + ky = 0
my’’ + by’ + ky = 0
Eftersom a = y'' och v = y'
3
y 0 Jämviktsläge y(t) = 0 m Oljefylld kolv DIFFERENTIALEKVATIONER 3.3 DIFFERENTIALEKVATIONER AV ANDRA ORDNINgEN 145
Exempel: I en bakterieodling är bakteriernas tillväxthastighet dN dt proportionell mot antalet bakterier i odlingen.
a) Teckna en differentialekvation som beskriver bakteriernas tillväxthastighet. Beteckna antalet bakterier med N och tiden med t.
b) Beskriv med ord vad differentialekvationen betyder i det här sammanhanget, om proportionalitetskonstanten är 0,04.
Lösning: a) Derivatan dN dt beskriver bakteriernas tillväxthastighet. Att tillväxthastigheten är proportionell mot antalet bakterier betyder att den kan skrivas i formen dN dt = kN där k är en konstant.
b) Proportionalitetskonstanten k = 0,04 ger differentialekvationen dN dt = 0,04N. Ekvationen beskriver att bakteriernas tillväxthastighet vid varje tidpunkt är 4 % per tidsenhet av den aktuella bakteriemängden.
Nivå 1
3101 Verifiera att funktionen
a) y = 3x2 − 6x är en lösning till differentialekvationen y’ + y = 3x2 − 6
b) y = e3x + 4 är en lösning till differentialekvationen y’ − 3y = −12
3102 Vilken eller vilka av funktionerna är lösningar till differentialekvationen dy dt − 7y = 0?
A y = 7e−5t
B y = 5e−7t
C y = 5e7t
3103 Vilken eller vilka av differentialekvationerna här nedanför är av
a) första ordningen b) andra ordningen
A y’ = 6y
B y’ = 3x + 1
C y = y’’
D y’’ + y’ = 4x + 1
E 9y − y’ = x2
3104 Undersök om y = 0,25e5x − e3x är en lösning till differentialekvationen y’ − 5y = 2e3x .
3105 Enligt Newtons andra lag gäller att den resulte
rande kraften F på ett föremål är proportionell mot föremålets acceleration a. Föremålets massa m är proportionalitetskonstant.
Enklare ingångar Den nya upplagan innehåller fler enkla inledande uppgifter för att bättre möta elevernas förkunskaper.
a) Teckna Newtons andra lag med hjälp av beteckningarna F, a och m.
b) Skriv Newtons andra lag som en första ordningens differentialekvation genom att utnyttja att accelerationen a är derivatan av hastigheten v med avseende på tiden t
c) Skriv Newtons andra lag som en andra ordningens differentialekvation genom att utnyttja att accelerationen är andraderivatan av läget s med avseende på tiden t
3106 Verifiera att funktionen
a) y = sin 2x + cos 2x är en lösning till differentialekvationen y’’ + 4y = 0
b) y = 3e−2x är en lösning till differentialekvationen y’’ + y’ − 2y = 0
3
DIFFERENTIALEKVATIONER 3.1 VAD äR EN DIFFERENTIALEKVATION? 94
3107 Ge ett exempel på en första ordningens differentialekvation som har lösningen y = 10e−2t .
3108 Visa att funktionen y = Ceax är en lösning till differentialekvationen dy dx ay = 0
oberoende av värdet på konstanterna a och C.
3109 Tillväxthastigheten N’(t) hos en bakteriekultur är direkt proportionell mot antalet bakterier N(t), där t är tiden uttryckt i timmar.
a) Ställ upp en differentialekvation som beskriver bakterietillväxten.
b) Beskriv med ord hur differentialekvationen kan tolkas i det här sammanhanget, om proportionalitetskonstanten är 0,03.
c) Visa att N(t) = Aekt är en lösning till differentialekvationen för alla värden på konstanten A och för något värde på konstanten k.
3110 Visa att y = t2 + 1 t är en lösning till differentialekvationen t2y’’ + ty’ − y = 0.
3111 Bestäm a så att y = 7eax blir en lösning till differentialekvationen y’ − ay = 0.
3112 En strålningskälla innehåller m gram radium vid tiden t sekunder. Sönderfallshastigheten är proportionell mot aktuell mängd radium.
a) Ange en differentialekvation som beskriver sönderfallet.
b) Är proportionalitetskonstanten positiv eller negativ?
3113 För ett ämne som sönderfaller radioaktivt kan man ställa upp differentialekvationen dN(t) dt = −λN(t) med lösningen N(t) = Ce λt
Ge en tolkning av vad konstanten C står för i det här sammanhanget om N(t) är antalet radioaktiva kärnor efter t timmar.
3114 Funktionerna y1 = C1e−5t och y2 = C2e−5t är var för sig lösningar till differentialekvationen y’ + 5y = 0. Visa att även summan av funktionerna, y1 + y2, är en lösning till differentialekvationen.
3
95 DIFFERENTIALEKVATIONER 3.1 VAD äR EN DIFFERENTIALEKVATION?
Exempel: Låt A = {3, 4, 5} och AC = {1, 2}
a) Bestäm universalmängden U.
b) Låt B = {4} och bestäm BC .
Lösning: a) A � AC ger universalmängden.
Svar: U = {1, 2, 3, 4, 5}
b) BC är mängden av de element i U som inte finns i B.
Svar: BC = U \ B = {1, 2, 3, 5}
Nivå 1
4121 Låt A = {1, 2, 4, 8} och B = {1, 3, 5, 7}. Bestäm
a) A � B b) A � B c) |B|
d) A \ B e) B \ A f) |A � B|
4122 För mängderna A, B och C gäller att
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 5}
C = {3, 4, 6}
Ange om följande påståenden är sanna eller falska.
a) B � A b) A = B � C
c) B � C = � d) B \ A = C
Uppgifter på tre nivåer Till varje avsnitt finns varierade uppgifter på tre nivåer, både för den elev som behöver enkla ingångar och för den elev som behöver utmaningar.
4123 Låt U = {1, 7, 9, 13, 17, 19, 21, 28} och
AC = {7, 13, 19, 28}. Bestäm mängden A.
4124 Låt U vara mängden av alla husdjur och A
mängden av alla katter. Hur kan man beskriva mängden AC med ord?
4125 Bestäm följande mängdoperationer med hjälp av figuren 8 7
A B 9
1 4 6 5 2 3 C
U
a) AC b) A � B c) A � B
d) A \ B e) B \ A f) C � B
4126 Bestäm |AC| om |U| = 34 och |A| = 12.
4127 Låt universalmängden U = Z.
a) Bestäm AC, om A = {n: n jämnt}.
b) Bestäm B, om BC = N.
c) Bestäm A � B, om A och B beskrivs som ovan.
d) Bestäm A � B, om A och B beskrivs som ovan.
4128 För mängden B gäller att B = A � AC. Bestäm B.
4
MÄNGDLÄRA OCH KOMBINATORIK 4.1 MÄNGDLÄRA 170
Nivå 2
4129 Ge exempel på två mängder A och B, sådana att A � B = A � B.
4130 Vilket eller vilka alternativ medför att
4135 Motivera att operationen snitt är kommutativ, dvs. att A � B = B � A för alla mängder A och B.
4136 Arvid påstår att för alla mängder A, B och C gäller att
Öppna uppgifter
A � X = U, där U är universalmängden och A � U.
A X = AC B X = �
C X = U D X = A � U
4131 Låt A = {1, 2, 4, 8}, B = {1, 3, 5, 7} och
C = {1, 7}. Bestäm
a) (A � B) � C
b) (A � B) � C
c) (A � C) � B
d) (B � C) � A
En färgad ruta signalerar att uppgiften är öppen. Det innebär att den inte har ett givet svar och många gånger kräver en matematisk diskussion.
A � (B � C) = (A � B) � C
Vanna säger att Arvid har fel. Hon påstår i stället att för alla mängder A, B och C gäller att
A � (B � C) = (A � B) � (A � C)
a) Visa med ett motexempel att Arvid har fel.
b) Motivera Vannas påstående genom att rita en figur som beskriver mängderna.
Nivå 3
4132 Som vi nämnde i teoritexten så är vanligtvis
A \ B ≠ B \ A.
a) Visa att påståendet A \ B = B \ A i allmänhet inte är sant genom att ange ett motexempel.
b) Under vilka förutsättningar är trots allt
A \ B = B \ A och vad är differensen då?
4133 Låt A = {a: 4 | a} och B = {b: 6 | b}. Beskriv följande mängder med ord.
a) A � B
b) (A � B)C
4134 Ange två oändliga mängder A och B som uppfyller villkoret A � B = �.
4137 Visa att operationerna union och snitt är associativa, dvs. att (A � B) � C = A � (B � C) respektive att (A � B) � C = A � (B � C) för alla mängder A, B och C. Att operationerna är associativa innebär att man kan utelämna parenteserna och bara skriva A � B � C respektive A � B � C.
4138 I den här uppgiften ska du bevisa två regler som kallas för De Morgans lagar.
a) Visa att (A � B)C = AC � BC
b) Visa att (A � B)C = AC � BC
4139 Visa att A � B om och endast om A \ B = �. Det betyder att du ska visa två saker:
a) Om A � B så är A \ B = �.
b) Om A \ B = � så är A � B
4
171 MÄNGDLÄRA OCH KOMBINATORIK 4.1 MÄNGDLÄRA
1344 Bestäm de heltal n för vilka
m = 1
n ( 3 2 ) m < 2100
1345 Den geometriska summan här nedanför har oändligt många termer.
1 4 + 1 16 + 1 64 + …
a) Visa med hjälp av formeln för geometrisk summa att summan går mot 1 3 när antalet termer går mot oändligheten.
b) Förklara hur man kan motivera att 1 4 + 1 16 + 1 64 + … = 1 3 med hjälp av figuren här nedanför.
1346 I en geometrisk talföljd med oändligt antal element gäller under vissa omständigheter att elementen an = a1kn − 1 närmar sig ett visst värde. Man säger att elementen går mot ett gränsvärde. Det innebär att lim n → ∞ a1kn − 1 = A, där A är gränsvärdet.
a) Vilket villkor måste gälla för att gränsvärdet A ska existera, dvs. att lim n → ∞ a1kn − 1 = A?
b) Det finns bara två värden som A kan anta om gränsvärdet lim n → ∞ a1kn − 1 = A existerar. Vilka är dessa två värden?
1347 För en viss geometrisk summa med oändligt antal termer gäller att |k| < 1, där k är kvoten mellan två på varandra följande element i motsvarande talföljd.
a) Visa att summan kan beräknas med formeln s = a1 1 − k .
b) Varför måste villkoret |k| < 1 vara uppfyllt?
1348 Lös ekvationen 5 + 5x + 5x2 + 5x3 + 5x4 + … = 20.
Resonemang och begrepp
u Nämn två skillnader mellan rekursiva och slutna formler för talföljder.
Resonemang och begrepp Varje delkapitel avslutas med Resonemang och begrepp. Det är uppgifter som prövar elevernas begreppsförståelse och inbjuder dem att samtala om matematik.
u Vad behöver man känna till för att kunna beräkna summan av en aritmetisk talföljd?
u Vad betyder begreppet rekursion?
u På vilket sätt kan man visa att en sluten formel beskriver samma talföljd som en rekursiv formel?
u Hur kommer det sig att en summa med ett oändligt antal termer kan ha ett ändligt gränsvärde?
u Kan en och samma geometriska talföljd innehålla både negativa och positiva element? Motivera ditt svar.
1 Nivå 3
∑
1 1 4 1 16 1 64 1 256
48 TALTEORI u 1.3 TALföLjdER
print
skriver ut text eller värden på variabler for
upprepar en bit kod ett angivet antal gånger
N = []
skapar en tom lista
N.append(i)
Lägger till elementet i i listan N
N[0]
Eratosthenes såll
För mer än 2 000 år sedan uppfann den grekiske matematikern Eratosthenes en metod för att hitta primtal genom att systematiskt ta bort alla multipler av primtal. På så vis kommer alla sammansatta tal förr eller senare sållas bort. Metoden kallas därför Eratosthenes såll.
I denna aktivitet är målet att skapa ett program som sållar fram alla primtal från och med 2 till och med ett tal n. Programmet här nedanför är skrivet i Python och kan fungera som kod att utgå ifrån.
N = [] for i in range(2, 201): N.append(i)
for j in N: if j > 2 and j%2 == 0: N.remove(j)
print(N)
Programmeringsaktiviteter
1 Skriv in koden och kör programmet. Beskriv vad det gör.
returnerar det första elementet i listan N
Till nästan varje kapitel i Matematik Origo 5 finns en eller flera programmeringsaktiviteter. Där får eleverna se exempel på hur programmering kan användas som verktyg vid till exempel problemlösning.
2 Justera koden, genom att lägga till ytterligare en for-sats, så att programmet även tar bort tal som är större än 3 och delbara med 3 ur listan. Om du vill kan du utnyttja att talen 2 och 3 finns i listan. Du kommer åt dem via kommandot N[0] respektive N[1].
3 Notera att även nästa tal i listan (N[2]) nu bör vara ett primtal. Förklara varför.
4 Modifiera programmet så att det tar bort alla multiplar av primtalet i uppgift 3.
5 Modifiera programmet så att det upprepar föregående steg tills listan endast består av primtal. Hur många upprepningar behöver det göras som minst? Motivera ditt svar.
6 Modifiera programmet för att hitta alla primtal mellan 2 och 500.
7 Modifiera programmet för att hitta alla primtal mellan 200 och 1 000.
> 1
Programmering TALTEORI PROGRAMMERING 49
Uppslaget
Rätt eller fel?
A ⇒ B är logiskt ekvivalent med ¬A ⇒ ¬B
Matematisk induktion är en metod för att bevisa att ett visst påstående gäller för alla tal större än eller lika med ett visst startvärde.
Rätt eller fel?
I ett motsägelsebevis börjar man med att anta att det man vill bevisa är falskt.
Det kan räcka med att kontrollera ett ändligt antal exempel för att bevisa ett matematiskt påstående.
Om man i ett bevis vill använda en annan sats så måste man först bevisa också den satsen.
I Rätt eller fel? får eleverna tillfälle att resonera om kapitlets viktiga begrepp.
Ett axiom kan inte bevisas.
Påståendet n2 + 25 ≥ 10n för alla n kan bevisas med hjälp av induktion.
Undersök
Aritmetikens fundamentalsats
Aritmetikens fundamentalsats säger bland annat att primtalsfaktoriseringen av ett sammansatt tal är unik, bortsett från ordningen mellan faktorerna. Faktoriseringen innehåller alltså alltid samma primtalsfaktorer. Vi ska se på ett bevis för den delen av satsen.
Anta att det finns två olika primtalsfaktoriseringar av ett tal a, så att a = p1p2 … pm = q1q2 … qn, för något värde på m och n, där alla pi och q j är primtal som inte nödvändigtvis är olika.
Nu gäller förstås att pi | a för alla i = 1, 2, …, m och q j | a för alla j = 1, 2, …, n.
Vi dividerar båda faktoriseringarna med pm, vilket ger p1p2 pm 1 = q1q2 … qn pm
Det räcker med ett motexempel för att visa att ett matematiskt påstående är falskt.
Ett induktionsbevis är detsamma som ett indirekt bevis.
Man kan bevisa en definition.
Undersök
u Eftersom VL är ett heltal, så måste även HL vara ett heltal. Alltså gäller pm | q1q2 qn Varför kan man dra den slutsatsen?
u Men nu måste gälla att pm = q j för något j = 1, 2, …, n. Varför gäller det?
Under rubriken Undersök finns undersökande och utmanande uppgifter. Här får eleverna träna på problemlösning och ett undersökande arbetssätt.
u Vi kan anta att pm = qn (eventuellt efter att ha omnumrerat faktorerna i HL). Alltså gäller p1p2 pm 1 = q1q2 qn 1. Vi kan nu fortsätta samma resonemang stegvis fram tills antingen VL = 1 eller HL = 1. Hur för man det resonemanget?
u Säg att resonemanget leder fram till att VL = 1. Då gäller alltså 1 = q1q2 qn m. Vad måste nu gälla för HL?
u Vad kan vi dra för slutsats?
2
MATEMATISK BEVISFÖRING UPPSLAGET 84
Problemlösning och modellering
Mönster med tärningar
På en vanlig sexsidig tärning finns ettan alltid mitt emot sexan, tvåan mitt emot femman och trean mitt emot fyran.
sexa fyra femma
Olav kastar en grön och en röd tärning. Resultatet blir en grön fyra och en röd femma. Han multiplicerar antalet prickar som den gröna tärningen visar med antalet prickar som den röda tärningen visar. Därefter vänder han en tärning i taget så att den motsatta sidan kommer uppåt och gör beräkningar enligt tabellen här nedanför.
u Välj själv vad tärningarna visar från början och följ samma steg som i tabellen. Vilken summa får du? Upprepa undersökningen med andra startvärden. Vilken slutsats drar du?
u Visa att din slutsats alltid gäller för två sexsidiga tärningar oavsett vad tärningarna visar från början.
2 Den gröna tärningen har vänts och visar motstående sida
3 Den röda tärningen har vänts och visar motstående sida
4 Den gröna tärningen har vänts och visar den ursprungliga sidan.
Problemlösning och modellering
På en åttasidig tärning finns ettan alltid mitt emot åttan, tvåan mitt emot sjuan, trean mitt emot sexan och fyran mitt emot femman.
På Uppslaget finns uppgifter som särskilt tränar de matematiska
u Gör motsvarande undersökning med två åttasidiga tärningar. Vilken slutsats drar du?
förmågorna. Bland annat finns en större uppgift av tematisk karaktär, som vi har valt att kalla Problemlösning och modellering
u Visa att din slutsats alltid gäller för två åttasidiga tärningar oavsett vad tärningarna visar från början.
u Visa att summan av produkterna är (n + 1)2 om du utför motsvarande försök och beräkningar för två nsidiga tärningar, där n är ett jämnt tal. Du kan anta att mönstret med sidornas placering fortsätter, dvs. för exempelvis en tiosidig tärning så ligger 1 mitt emot 10, 2 mitt emot 9, osv.
2
Steg Produkt
4 · 5
20
1 Tärningarna från början
=
3
5
·
= 15
3
2
6
·
=
4 · 2
8
produkterna 20
15
6
8
49
=
5 Summan av
+
+
+
=
MATEMATISK BEVISFÖRING u UPPSLAGET 85
Väderstation
Blandade uppgifter
Nivå 1
1 Visa att y = 2e−2x är en lösning till differentialekvationen y’ + 2y = 0.
2 Ange de positiva delarna till talen.
a) 15 b) 20
c) 49 d) 64
3 Tillväxthastigheten hos en bakteriekultur är proportionell mot aktuell bakteriemängd. Beskriv bakterietillväxten med en differentialekvation. Låt bakteriemängden vara N efter tiden t timmar.
4 Vinkeln BAD är 120°. Visa att ΔACD är rätvinklig.
9 Bestäm den allmänna lösningen till
a) y’ + 2y = 4
b) y’ + 5y = x
c) y’ − 3y = 2x + 1
d) y’ − 2y = 4x2
10 Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. Motivera dina svar.
a) Om två tal ger samma rest vid division med 9, så är de kongruenta modulo 9.
b) Tal som är kongruenta med 1 modulo 5 är delbara med 5.
Blandade uppgifter
5 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationerna.
a) y’ = cos 2x + x
b) y’’ = 4x3 − 1
c) y’ = 2 x
d) y’ = 3 sin 4x
6 Bestäm den saknade siffran k.
a) 100000två k0åtta = 1tio
b) C0sexton k00åtta = 11två
c) 12ksexton 110två = 49tio
7 Tolka med ord betydelsen av differentialekvationen
N’(t) = −0,01N(t)
där N är antalet celler vid tiden t år.
8 Bevisa att det finns högst en trubbig vinkel i en triangel.
c) Tal som är kongruenta med 0 modulo n är delbara med n.
11 Lös differentialekvationerna
a) y’ − 5y = 0 då y(0) = 2
b) y’ + 4y = 0 då y(0) = 1
I Blandade uppgifter finns extra övningsuppgifter till kapitlet. Här får eleverna öva på samtliga begrepp och metoder, utan någon inbördes ordning. En nyhet i den här upplagan är att uppgifterna är hämtade både från det aktuella kapitlet, och från de föregående kapitlen i boken.
c) y’ + 3y = 0 då y(1) = e−3
12 Ge en rekursiv beskrivning av den aritmetiska
talföljden 2, 20, 38, 56, … . Lös uppgiften utan digitalt hjälpmedel. (Provbanksprov Ma5 vt 2014)
13 Vilken lutning har en lösningskurva till y’ = x + y i punkten
a) (0, 2)
b) (−3, −5)
c) (2, −4)
14 Bestäm den lösning till y’ − 2y = 2x som uppfyller att y(0) = 1.
15 Visa att 4 + 8 + 12 + … + 4n = 2n(n + 1) för alla n ≥ 1 med
a) ett induktionsbevis
b) formeln för aritmetisk summa
16 Bestäm den allmänna lösningen till
a) y’’ + y’ − 6y = 0
b) y’’ − 2y’ = 0
c) y’’ + 4y’ − 5y = 0
« 3
30° A D B C
DIFFERENTIALEKVATIONER BLANDADE UPPGIFTER 156
17 Rita ett koordinatsystem. Utgå sedan från punkten (0, 0) på en lösningskurva till y’ = 3y − x.
a) Använd Eulers stegmetod och rita ett steg med h = 1. Var hamnar du då?
b) Ta ett steg till med steglängden h = 1. I vilken punkt hamnar du då?
c) Förklara vad du har räknat ut.
18 Visa att om a är ett jämnt tal och b är ett udda tal, så är deras produkt ett jämnt tal.
19 Lös differentialekvationen
a) y’’ − 2y’ − 3y = 0 då y(0) = 3 och y’(0) = 1
b) y’’ − y’ − 12y = 0 då y(0) = −3 och y’(0) = 5
20 Agneta har förverkligat sin dröm och köpt en motorcykel. På hösten, när säsongen är slut, upptäcker hon att ett av däcken inte håller luften riktigt. Hon ställer in motorcykeln i ett garage för vinterförvaring och mäter lufttrycket till 2,9 bar. Fyra veckor senare har lufttrycket sjunkit till 2,7 bar.
a) Antag att trycket i ett däck minskar med en hastighet som är proportionell mot trycket. Ställ upp en differentialekvation som beskriver detta.
b) Vilket tryck kommer det att vara i däcket efter totalt 24 veckor i garaget enligt denna matematiska modell?
(Provbanksprov MaE vt 2002)
21 Om det är oktober månad för tillfället, vilken månad är det om 7100 månader? Lös uppgiften utan digitalt hjälpmedel.
22 I en elektrisk krets är en spole och en kondensator kopplade i serie. Om resistansen kan anses försumbar får man sambandet
d2i dt2 + 1 LC i = 0
Bestäm strömmen i A som funktion av tiden t s
då L = 4 3 H och C = 100 nF.
Nivå 2
23 Skriv följande tal i det oktala talsystemet. Lös uppgiften utan digitalt hjälpmedel.
a) 1001001två
b) 1001tio
c) 1001sexton
d) FEDsexton
24 Bestäm konstanten k så att y = e kx2 blir en lösning till y’’ + 2kxy’ + y = 0.
25 Visa att summan av kvadraterna av två på varandra följande heltal är ett udda tal.
« 3
DIFFERENTIALEKVATIONER BLANDADE UPPGIFTER 157
Del 1 Utan digitalt hjälpmedel
1 Skriv talen i det decimala talsystemet.
a) 1000två b) 101åtta
2 Bestäm x i respektive talbas.
a) 101två + 110två = xtvå
b) 51sexton – Bsexton = xsexton
3 Ange alla delare till talet
a) 18 b) 41
c) 621 = 33 · 23
Kapiteltest
4 Vilken är kvoten respektive (principala) resten när man utför divisionerna
a) 83 10 b) 48 7
Sist i varje kapitel ligger ett test, som knyter an till lärandemålen i kapitlets inledning. Det ger eleverna möjlighet att själva kontrollera sina kunskaper. Testet är indelat i två delar: en del med och en del utan digitalt hjälpmedel.
5 Ange tre olika tal x, y och z som uppfyller villkoret x � y � z (mod 14).
6 Här nedanför ser du de fem första elementen i en aritmetisk talföljd.
47, 42, 37, 32, 27, …
a) Förklara hur man kan se att talföljden är aritmetisk.
b) Ange en rekursiv formel för det n:te talet i talföljden.
c) Ange en sluten formel för det n:te talet i talföljden.
d) Summan av de n första termerna i talföljden betecknas sn. För vilket eller vilka värden på n gäller att sn < 0?
7 Teckna med hjälp av summatecknet ∑ de summor som, med hjälp av formlerna för aritmetisk respektive geometrisk summa, kan beräknas med följande uttryck. Observera att du inte behöver beräkna summorna.
a) 9(10 + 82) 2
b) 2(1,0446 − 1) 1,04 − 1
8 Ersätt x med minsta möjliga naturliga tal.
a) 47 ∙ 33 � x (mod 9)
b) 3101 � x (mod 7)
1
TALTEORI KAPITELTEST 58
Kapiteltest
9 För en rekursiv talföljd gäller att
{ a1 = 10 an + 1
= an 2 − 50, för n ≥ 1
Bestäm a4
10 Vilka olika värden på n gör att 17 � 11 (mod n)?
11 Skriv talet 38Dsexton i ett talsystem
a) med basen 3
b) med basen 7
12 Yannis sätter in 7 000 kr på ett sparkonto i början av varje år under 12 år. Sparräntan är 2,75 % under hela perioden. Hur mycket pengar finns på kontot direkt efter den 12:e insättningen?
13 Visa att 82n − 1 är delbart med 3 för alla heltal n > 0.
14 Asma ska måla en vägg på 10 dagar. Hon tänker dela upp arbetet så att hon varje dag målar en dubbelt så stor yta som dagen innan. Under vilken dag har hon i så fall målat 1/3 av väggen?
15 Josef påstår att om heltalen a, b och c uppfyller villkoret att 10a + b − 2c � 0 (mod 7), så är 100a + 10b + c � 0 (mod 7).
u Visa att Josefs påstående stämmer för a = 2, b = 3 och c = 1.
u Visa att Josefs påstående stämmer för godtyckliga heltal a, b och c.
u Visa att om heltalen a, b och c uppfyller villkoret att
100a + 10b + c − 2d � 0 (mod 7), så är 1 000a + 100b + 10c + d � 0 (mod 7).
1 Del 2 Med digitalt hjälpmedel
TALTEORI KAPITELTEST 59
5
Matematik Origo är moderna läroböcker skrivna för den reviderade ämnesplanen 2021
Utförliga förklaringar, lösta exempel och varierade övningsuppgifter
Matematisk modellering, kommunikationsuppgifter och problemlösning för alla
Målbeskrivningar, sammanfattning och test till varje kapitel
Serien består av
Matematik Origo 1a och 2a för yrkesprogrammen
Matematik Origo 1b, 2b och 3b för
Samhällsvetenskapsprogrammet, Ekonomiprogrammet, Humanistiska programmet och Estetiska programmet
Matematik Origo 1c, 2c, 3c, 4 och 5 för
Naturvetenskapsprogrammet och Teknikprogrammet
ISBN 978-91-523-6500-7
