9789144124971

ATT SKAPA EN

SPRร KRIK MATEMATIK UNDERVISNING

Fรถrfattare Fรถrfattarsson

SANDRA L. ATKINS

Originalets titel: Creating a Language-Rich Math Class.

Strategies and Activities for Building Conceptual Understanding. © 2016 Taylor & Francis. All rights reserved. Authorised translation from the English language edition published by Routledge, a member of the Taylor & Francis Group LLC.

Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen. Kopiering, utöver lärares och studenters begränsade rätt att kopiera för undervisningsändamål enligt Bonus Copyright Access kopieringsavtal, är förbjuden. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller Bonus Copyright Access.

Vid utgivning av detta verk som e-bok, är e-boken kopieringsskyddad.

Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman eller rättsinnehavare.

Studentlitteratur har både digital och traditionell bok­utgivning. Studentlitteraturs trycksaker är miljöanpassade, både när det gäller papper och tryckprocess.

Art.nr 39880 ISBN 978-91-44-12497-1 Upplaga 1:1 © För den svenska utgåvan Studentlitteratur 2019 studentlitteratur.se Studentlitteratur AB, Lund Översättning: Martin Bergqvist Sakgranskning: Cecilia Kilhamn Omslagslayout: Jan Petterson Printed by Interak, Poland 2019

INNEHÅLL

Förord till den svenska utgåvan 9 Inledning 11 Språk? Det är ju matematik! 11 1 Vad tänker de, egentligen? Att ta reda på hur barn förstår begrepp 15 2 Undersöka begreppsligt språk ställt mot symbolisk avkodning 21 3 Förstå räkneoperationernas betydelse 27

Division 28 Multiplikation 32 Subtraktion 39 Addition 43 4 Tips för att skapa en språkrik matematikundervisning 47

Sätt dig ner 48 Är du säker? Hur kom du fram till det svaret? 48 Var inte ett facit 48 Ställ en fråga – hjälp eleverna att tänka annorlunda 49 Enskilt, par, alla – återge vad din klasskamrat sa 50 Låt eleverna, så ofta det är möjligt, använda fyra representationsformer (fysisk, bildlig, verbal, symbolisk) 51 Begreppsligt språk ställt mot symbolisk avkodning 52 Bygga upp och använda språk 52

© S tudentlitteratur

5

Innehåll

5 Välja och använda material på ett medvetet sätt 55

Subitisering 55 Hopparning av tiorutorsbrickor 57 Öka de kognitiva kraven i spelet 59 Kombinationer kring tio 61 Använda material som bygger upp den begreppsliga förståelsen 71 6 Byta ordning då det matematiska språket introduceras 79

Upplev först – benämn sedan 79 7 Ta fram språkrika aktiviteter 89

Kommunikationsaktivitet kring tangram 90 Spela memory 92 8 Skapa precision och flexibilitet i användandet av det matematiska språket 97 9 Skapa meningsfulla textuppgifter – utveckla självständiga problemlösare 103

Se upp för nyckelord 103 Utveckla självständiga problemlösare 104 Grafiskt verktyg för problemlösning i matematik 106 Processen att lösa textuppgifter 107 Slutsats 115 Övningsmaterial 119

6

© S tudentlitteratur

INLEDNING

Språk? Det är ju matematik!

Jag hade några ärenden att göra och tog därför bilen ner på stan. Det var en vacker vårdag, med blå himmel och fågelsång, och många människor var i rörelse. Jag hade bilradion påslagen och nynnade med. På kort tid hade jag klarat av bageriet, kemtvätten och mataffären och tog mig sedan hem igen, längs den väg jag alltid kör. Väl hemma tittade jag på mobilen som jag lämnat på köksbordet. Där fanns ett meddelande från en vän: ”Varför hälsade du inte på mig?” Nu blev jag konfunderad. Jag och vännen hade inte kommit överens om att jag skulle hälsa på henne, faktum var att vi hade setts för bara någon dag sedan. Jag ringde därför upp henne för att fråga vad hon menade. Det visade sig då att hon gått på trottoaren, hälsat glatt på mig och att jag inte hälsat tillbaka. Hon hade alltså inte förväntat sig något besök.

Det är knepigt med språk. Tänk på dubbeltydiga ord som fara, bara, snara och vara. Eller ta ett ord som tomten, som beroende på var accenten placeras antingen syftar på en tomt, eller på en tomte. Jag skulle kunna fortsätta, men poängen framgår nog. Matematiska ord är också knepiga. Beroende på kontext kan ett enskilt ord ha flera olika betydelser. Engelskans second kan beteckna en tidsenhet men också en position i en ordningsföljd. En del ord har vardagliga betydelser och vi ger dem matematiskt specifika betydelser. ”Likhet” är bara ett exempel.

I vardagen använder vi sådant som är likt något annat till utseendet, men som inte nödvändigtvis är identiskt. Inom matematiken betecknar det uttryck som kan se väldigt olika ut men som har exakt samma matematiska egenskaper. Sedan finns det matematiskt specifika ord som minus eller subtraktion och ord som beskriver de material vi använder oss av. Puh! Det tråkiga är att många människor inte betraktar matematiken som full av språk. Men det är den. Det går inte att prata om matematik utan att använda ord. Textuppgifter kräver att man har möjlighet att

© S tudentlitteratur

11

Inledning

ta till sig och förstå språk, i synnerhet det språk som används inom matematiska sammanhang. Kontexten gör att vi förstår språkliga dubbeltydigheter. Att lägga fram hållbara argument och ta ställning till andras resonemang är utmanande utan språk. Framför allt ger språket oss fönster genom vilka vi kan blicka in i de förståelser barn har av matematiska nyckelbegrepp.

Det är spännande med språkrika lektioner. Elever uttrycker sina tankar, försvarar sina uppfattningar och diskuterar matematiska frågor.

Barn som har svårt att memorera fakta och procedurer hittar ett sätt att få grepp om matematiken. De kan koppla samman matematiska symboler med sådant de kan röra vid, sådant de kan rita, och med språk.

Att lära sig matematik handlar då inte längre om att memorera utan om att ägna sig åt aktiviteter som är minnesvärda.

Vad gör vi som lärare? Vi tar reda på vad våra elever tänker genom att utforma uppgifterna på ett medvetet sätt, använda ett begreppsligt språk och uppmuntra eleverna att prata med varandra. Vad är det viktigaste vi måste göra om vi vill skapa ett språkrikt matematikklassrum? Att lära oss vara tysta och lyssna. För vem är det som egentligen behöver öva sig på att prata?

Men jag vill utfärda en varning. Det går inte alltid smidigt. Jag hade blivit tillfrågad om att hålla en lektion i en förstaklass1 och bestämde mig för att prata om bråk. Jag ville få barnen att förstå att om jag delar en helhet i två delar måste de vara lika stora för att få kallas halvor. Vi satt i en ring på golvet. Jag hade målat en stor cirkel på ett stort pappersark.

Jag hade delat upp den i två bitar, men bitarna var inte lika stora. Varje del märktes ”½”.

1 2 1 2

Jag placerade bilden mitt i ringen och frågade barnen vad de tänkte.

Ingen sa någonting. Jag frågade: ”Vad skulle ni säga om det här var en tårta, och jag skar den på det här sättet?” Tystnad. Jag tog fram en sax 1 Författaren utgår i boken från nordamerikanska förhållanden, där man börjar första klass det år då man fyller sex. Ö.a.

12

© S tudentlitteratur

Inledning

och klippte ”tårtan” i två delar. Jag gav den stora biten till en elev och den lilla biten till en annan. Jag frågade igen: ”Vad skulle ni säga om det här var en tårta eller en paj?” Inte ett ord. Jag tog tillbaka bitarna och klippte dem i ojämna bitar. Jag delade ut bitarna och ställde frågan igen.

De satt bara tysta och väntade tålmodigt.

Det var meningen att detta skulle vara en språkrik lektion, vilket ju är fokuset i denna bok. Men de sa ingenting. Där satt andra lärare och tittade på och jag kom ingenvart. Ni förstår säkert hur jag kände mig. Men jag fortsatte. Jag tog tillbaka bitarna och klippte ”tårtan” ett antal gånger i mindre bitar och gav bitarna till de barn som ännu inte fått några. Varje gång frågade jag dem vad de tänkte. Samma reaktion.

Artig tystnad. Slutligen hade alla varsin bit ”tårta”. Några hade stora fina bitar och andra väldigt små bitar. Jag ställde frågan en sista gång.

Till sist räckte den första lilla flicka som fått den stora ”halvan” upp handen. Jag kände mig hoppfull. Jag ställde frågan igen. Hon såg på mig och sa: ”Fröken säger att det är bättre att ha någonting än ingenting alls och att man ska vara glad om man i alla fall har någonting.”

Jag vände mig om och såg på deras fröken och de andra lärarna och de brast ut i skratt. Inte konstigt att jag inte lyckades få barnen att diskutera rättvisan i hur stora bitarna var. Fröken hade lyckats väl med att få barnen att sluta kivas när de inte fick exakt lika mycket som kompisen. De var artiga mot sin gästlärare. Det påverkade verkligen det jag hade tänkt mig skulle bli en språkrik diskussion.

I den här boken kommer vi att granska olika tekniker som kan användas för att uppnå en begreppslig förståelse och skapa en språkrik matematikundervisning. Som vi kommer att upptäcka tar det tid att utveckla ett matematiskt språk. Det krävs att man sitter ner, är tyst, nyfiken och lyssnar på vad barnet har att säga. Bli inte förvånad om annat som du har lärt ut sipprar in i dina matematiksamtal ... ”glad om man i alla fall har någonting”. Kom igen! En av lärarna försökte sig på en liknande lektion med sin egen klass. Efter att hon klippt i tårtan en gång frågade hon en elev vilken bit hon ville ha. Eleven valde den mindre biten och sa att hon försökte minska på fettet. De hade just jobbat med näringslära.

När du provar de aktiviteter som beskrivs i denna bok, och som syftar till att skapa en språkrik matematikundervisning, bör du komma ihåg att ge barnen många möjligheter att testa det matematiska språket.

Låt dem dela med sig av sina tankar och tillåt dem att göra misstag. Om vi lyssnar noga på det de säger, i stället för efter det vi hoppas att få höra, kommer vi att lära oss saker om deras matematiska förståelse. Ibland © S tudentlitteratur

13

Inledning

ler vi kanske till och med. Vi ler för att de beskriver sina tankar på ett så avancerat sätt. Vi ler åt den kreativitet de uppvisar när de ska lösa uppgifter, och åt hur de får oss att tänka efter. Vi kanske till och med ler åt deras förvirring när de stöter på språkliga dubbeltydigheter, eller skrattar högt när de kastar sig in i en språkrik matematikdiskussion. För det är ju bättre att ha någonting än att inte ha någonting alls.

I en del av kapitlen hittas rubrikerna Prova detta och Reflektera.

Jag hoppas att du kommer att ta dig an dessa. Jag hoppas också att du inte ger dig ut på denna resa ensam. Prata med dina kollegor om vad du tänker, ta upp dina frågor, funderingar och insikter. Jag hoppas att du når fram till slutsatsen att en språkrik undervisning är ett kraftfullt verktyg för oss alla.

Reflektera

Vilka tankar väckte denna inledning kring dina elevers svårigheter med språket, och i synnerhet det matematiska språket?

14

© S tudentlitteratur

KAPITEL 1

Vad tänker de, egentligen? Att ta reda på hur barn förstår begrepp

För många år sedan pratade jag med några förskolebarn om tid. Jag frågade Jonathan vilka tidsord han kände till. Han svarade då seconds, vilket ju på engelska är pluralformen för ”sekund” men även kan syfta på ordningstalet eller positionen 2, samt att få en andra omgång mat. Jag frågade vad han menade med seconds och han höll då upp två fingrar. Jag trodde att han tänkte på seconds som två saker eller kanske en position i en ordningsföljd. Lyckligtvis var jag tyst och han sa: ”Först får man en portion, och sen får man en till.” Detta förskolebarn visste alltså att seconds var ett tidsord, men han tolkade det som något som gällde måltider. Spännande!

Vi är medvetna om att elever har svårigheter med olika begrepp. Vi lägger ibland sådan vikt vid att de ska använda begrepp på ”rätt” sätt att vi missar chansen att lära oss mer om vad de verkligen tänker. Vi försöker lösa uppgiften innan vi vet vad uppgiften går ut på. Vår lösning är ofta att hitta en definition och utifrån denna ge ytterligare exempel.

Det förvånade mig att han valde seconds. Han kan ha hört en vuxen säga ”en sekund bara”, eller ”vänta en sekund”. Men utifrån vad vi vet kan vi använda ett mer målinriktat sätt för att förfina eller öka Jonathans förståelse. Vad skulle du ha gjort?

Under samma vecka talade jag med två förstaklassare, Elise och Celia. Jag ställde samma tre frågor till båda flickorna: • Hur länge har ni gymnastik?

• Hur länge är du i skolan?

• Hur länge sover du på natten?

Först intervjuade jag Elise.

S: Hur länge har ni gymnastik?

E: Sex minuter.

S: Hur länge är du i skolan?

© S tudentlitteratur

15

1 Vad tänker de, egentligen? Att ta reda på hur barn förstår begrepp

E: Ungefär tio minuter.

S: Hur länge sover du på natten?

E: Ungefär en timme.

Jag ska nämna att denna intervju ägde rum i maj. Jag tänkte att det fanns lite att arbeta på hos Elise. Sedan intervjuade jag Celia.

S: C: S: C:

Hur länge har ni gymnastik?

Jag skulle säga tjugo eller trettio minuter.

Hur länge är du i skolan?

Sex eller sju timmar.

Dessa förståelseskillnader hos förstaklassare är inte förvånande. Celia kom nära i båda fallen. Jag tänkte: ”För att gå i första klass har Celia en ganska bra uppfattning om hur lång tid saker tar.” Sedan ställde jag nästa fråga.

S: Hur länge sover du på natten?

C: Jag har tänkt på det. Jag vet att varje dygn har tjugofyra timmar, men jag vet inte hur lång natten är.

Fundera en stund. Vet alla dina elever att de tjugofyra timmarna omfattar både natt och dag? Jag samlade mig och fortsatte.

S: Om du tänker på en dag, vad tänker du på då?

C: Tja, du vet. När det är ljust ute. Jag tror att natten är lite kortare.

Jag tror att den är runt tjugoen timmar.

Spännande, som sagt.

Som vi såg hos Jonathan och nu hos Celia griper vårt vardagsspråk ibland in i begreppens matematiska betydelser. Engelskans seconds kan alltså betyda en andra omgång mat, medan second är dels en position, dels ett tidsmått. Dag är det när det är ljust ute, dagtid och dagsljus, men det är också en tidsenhet. Hur kan vi hjälpa eleverna att bena upp detta?

Det är inte så enkelt, eller hur?

Efter intervjun pratade jag med Celias lärare Ron. Jag berättade att Celia inte förstod att de tjugofyra timmarna per dygn omfattar både dag- och nattetid. Ron använde ofta dockor och litteratur under sina mattelektioner. En hel vecka höll han lektioner kring tid. Han läste böcker om tid. Hans dockor talade om tid. Han visade en cirkel, där den ena halvan var gul och den andra midnattsblå. Han ville visa att de

16

© S tudentlitteratur

1 Vad tänker de, egentligen? Att ta reda på hur barn förstår begrepp

tjugofyra timmarna omfattade både natt och dag. Han frågade till och med Celia om hon förstod detta. Hon sa: ”Ja, ja.”

I slutet av veckan pratade jag med Celia igen.

S: C: S: C:

Vad har du lärt dig om tid?

Jag har lärt mig att varje dygn är tjugofyra timmar.

Räknas natten med då?

Nä. Jag har inte listat ut det där än.

Rons lektioner var riktigt bra och gjorde att eleverna fick en känsla för tiden. Men när veckan närmade sig sitt slut sa Celia alltså ändå: ”Jag har inte listat ut det där än.” Det tar tid att förstå matematik, att kommunicera på ett matematiskt vis och att lära sig det matematiska språket. Vi behöver också ta oss tid att förstå hur elever definierar olika begrepp. Vi kan behöva utmana deras tänkande genom att lägga fram motexempel eller berätta om sådant som kan öka och komplettera deras förståelse.

Många gånger under mitt yrkesliv har jag slagits med häpnad. Det har varit som att få en smäll i huvudet, gjort att jag skärpt min uppmärksamhet och fått mig att tänka på hur jag betraktat elevernas förståelse.

Hur ofta har jag vilseletts av mina egna bedömningar? Om jag frågat Celia hur många timmar det var på ett dygn skulle hon självsäkert ha svarat ”tjugofyra”. Jag skulle då ha bockat av det som avklarat, utan att inse att Celia inte visste att natten ingick i de tjugofyra timmarna. Då skulle jag ha missat en ganska stor lucka.

För flera år sedan hade Art Linkletter ett underhållningsprogram på tv som hette ”Ungar säger de tokigaste saker” (”Kids Say the Darndest Things”; du kan hitta klipp på YouTube). På ett mästerligt vis roade programledaren tittarna genom att intervjua barn. Barnen drog alltid ned stora skratt, för de ”var ju så gulliga”. Föräldrarna blev ofta generade över vad barnen sa. Men det visade också vad barnen faktiskt tänkte. Till föräldrarnas förskräckelse hörde publiken ofta de betydelser barnen gav ord och fraser som var obekanta för dem, eller som kanske var bekanta men som de missuppfattade. Programledaren rättade inte barnen. Han ställde fler frågor, för att se om han kunde få veta mer. Som matematiklärare försöker vi förvisso inte underhålla någon publik, men vill ändå nå fram till vad barnen tänker.

Att intervjua barn är ett bra sätt att ta reda på vilken begreppslig förståelse de har (Huinker, 1993). Det gör att vi kan ta reda på vad eleverna egentligen tänker, så att vi kan introducera nya begrepp eller förmedla särskilda iakttagelser som utmanar och breddar deras tänkande. Det vi

© S tudentlitteratur

17

1 Vad tänker de, egentligen? Att ta reda på hur barn förstår begrepp

lär oss hjälper oss att fatta medvetna och genomtänkta beslut. Vi måste dock minnas att intervjuerna inte går ut på att vi ska undervisa barnen, utan på att vi själva ska lära oss saker. Om du stöter på en missuppfattning bör du inte omedelbart rätta till den, utan gå vidare med den. Ställ fler frågor. Försök avgöra om det finns andra, besläktade missuppfattningar. För anteckningar.

Riktlinjer vid intervjuer

1 Fokusera på ditt eget lärande. Du försöker förstå hur eleverna tolkar olika begrepp.

2 Var nyfiken.

3 Var tyst. Det är okej om de inte svarar omedelbart. Ge dem tid att tänka.

4 Lägg an ett nyfiket och intresserat uttryck. Låt dem tänka att det här är ett tillfälle för dem att lära dig ett och annat.

5 När du stöter på en missuppfattning – ställ följdfrågor och lär dig mer om vad eleverna tänker och varför de tänker på det sättet.

6 Rätta till missuppfattningar senare. Intervjun ska hjälpa dig att förstå vad dina elever tänker.

Om du får uppfattningen att det här bara gäller för små barn hoppas jag att du tänker om. En kollega visade en av sina fjärdeklassares inlämningsuppgifter. Det var ett ordkunskapsprov. Eleverna hade fått flera olika matematikord upplästa för sig. De skulle definiera begreppen genom att använda sig av ord eller bilder. Denna elev hade genomgående ritat bilder som svar. För ”medel” ritade han en flaska diskmedel, för ”element” ritade han ett värmeelement, för ”bas” ritade han en elbas, för ”bråk” ritade han ett slagsmål mellan två personer. I likhet med Celia och Jonathan hade han vardagliga definitioner av begreppen men inte matematiska. Även om vi, i takt med elevernas utveckling, hoppas att det inte råder någon förvirring kring matematiska begrepp, så är det fallet. När jag intervjuade två mellanstadieflickor om förhållanden och proportioner frågade jag dem vad likformighet innebär. De tog fram två böcker och menade att de båda var likformiga eftersom de hade samma form, trots att den ena var kort och bred och den andra lång och smal, båda var ju rektangelformade. Det var fint att se. Men inom matematiken är likformighet något mycket mer exakt och betecknar former som har exakt samma proportioner och har att göra med proportionalitet, till exempel 18

© S tudentlitteratur

1 Vad tänker de, egentligen? Att ta reda på hur barn förstår begrepp

genom att man förminskar eller förstorar en form. Dessa elever har som sagt vardagliga definitioner av olika begrepp men inte matematiska.

Jag måste erkänna att jag gillar att stöta på den här typen av missuppfattningar. Om samtliga missuppfattningar eleverna bär på framkommer under en lektion kan man betrakta lektionen som lyckad. Men för en del lärare förhåller det sig inte riktigt så. De blir chockade över att elever inte förstått allt vad lärarna trodde att de hade förstått, när de nu arbetat så intensivt med att lära ut innehållet. Själv menar jag att vi fått reda på vad vi ska ägna oss åt härnäst.

För att vi ska kunna hjälpa eleverna att bygga upp en begreppslig förståelse och skapa en språkrik matematikundervisning måste vi först ta reda på hur de definierar termer och begrepp. Dit hör att vi lyssnar på och förstår vad de säger, snarare än att vi lyssnar och försöker förmå dem att säga det vi hoppas få höra (Corwin, 1996; Paley, 1996). Ibland krävs det att vi tar bakvägen, till exempel genom att ställa frågor om natten i stället för dagen för att få reda på hur de definierar ett dygn. Innan vi har ringat in själva problemet har vi små möjligheter att lösa det.

Prova detta och reflektera

1 Vilka erfarenheter skulle hjälpa Jonathan att öka sin förståelse för dubbeltydiga ord?

2 Vilka erfarenheter skulle hjälpa Celia att förstå att dygnets tjugofyra timmar omfattar både ”dagen” och ”natten”?

3 Vilka andra matematiska begrepp har även vardagliga betydelser?

4 Vilka frågor kan ställas till eleverna som skulle kunna visa vilken förståelse de har för olika nyckelbegrepp? Kom ihåg att lyssna på vad de säger, snarare än att försöka få dem att säga det du hoppas få höra.

5 Skriv ner anekdoter som belyser elevernas förståelse.

Referenser Corwin, R.B. (1996). Talking Mathematics. Portsmouth, NH: Heinemann.

Huinker, D. (1993). Interviews. A Window to Students’ Conceptual Knowledge of the Operations. I: N.L. Webb & A.F. Coxford (red.), Assessment in Mathematics Classrooms. Reston, VA: The National Council of Teachers of Mathematics, Inc., s. 80–86.

Paley, V.G. (1996). On Listening to What the Children Say. I: R.B. Corwin, J. Storeygard & S.L. Price (red.), Talking Mathematics. Portsmouth, NH: Heinemann, s. 113–127.

© S tudentlitteratur

19

Sandra L. Atkins, fil. dr, arbetar nära lärare i hela USA för att hjälpa dem att hitta luckor i elevernas matematiska förståelse. Hon är också författaren till Creating Fraction och Decimal AHAs, en resurs som ger ett systematiskt tillvägagångssätt för att hjälpa studenter att förstå och till och med njuta av att lära sig bråk och decimaler.

ATT SKAPA EN SPRÅKRIK MATEMATIKUNDERVISNING S T R AT E G I E R O C H A K T I V I T E T E R S O M B Y G G E R U P P B E G R E P P S L I G F Ö R S TÅ E L S E Hur definierar eleverna viktiga matematiska begrepp? Och hur skulle du vilja definiera dem? Att skapa en språkrik matematikundervisning berät­ tar om praktiska metoder för att utveckla den begreppsliga förståelsen, genom att man använder sig av fysiska, bildliga, verbala och symboli­ ska representationsformer. Matematiken ska vara minnesvärd snarare än något man ska memorera.

Här får du lära dig hur man introducerar det matematiska språket för eleverna, på ett sätt som ger mening åt de termer och symboler de använder varje dag. Metoderna gör elevernas användning av det matematiska språket mer flexibelt och precist, och gör aktiviteterna mer språkrika.

Boken innehåller: • Detaljerade instruktioner för spel och aktiviteter i klassrummet • Under punkterna ”Prova detta” och ”Reflektera” finns information som hjälper dig att tillämpa dessa tankar i din yrkesvardag • Ett verktyg för grafisk organisering som hjälper eleverna att förstå, lösa och argumentera för sina lösningar på textuppgifter • Övningsmaterial med spelkort och matematikuppgifter

Art.nr 39880

studentlitteratur.se