9789127823716

Craig Barton

Daniel Barker är matematik- och fysiklärare på gymnasiet, föreläsare och författare till boken Flipped Classroom. Just nu utvecklar han digitala läromedel på heltid, bland annat NOKflex.

Vad skulle hända med din matematikundervisning om du stämde av den mot modern hjärnforskning? Skulle du, liksom den prisbelönte läraren och tillika författaren till denna bok, få din världsbild uppochnedvänd?

I den här banbrytande boken beskriver Craig Barton hur kognitionsforskningen radikalt fått honom att ompröva sin undervisning och anpassa den efter hur vi faktiskt lär oss och hur vårt minne fungerar.

Metodiskt berättar han vad forskningsrönen säger och vilka omvälvande konsekvenser de fått för hans sätt att undervisa.

I Hjärnan i matematikundervisningen omsätts forskning om psykologi och neurovetenskap i klassrumspraktiken, så att undervisningen kan bedrivas på vetenskaplig grund.

Boken vänder sig till alla blivande och verksamma lärare från förskoleklass till gymnasiet och lärarutbildare, som söker strategier och konkreta exempel för en matematikundervisning i samklang med kognitionsforskningen. ”En enastående och viktig bok.”

Dylan Wiliam

Hjärnan i matematikundervisningen

”Omvälvande! Det går inte att beskriva Craig Bartons bok på något annat sätt. På ett befriande och elegant vis granskar och plockar han isär sin egen undervisning i matematik för att bygga upp den med kognitionsforskningen som klangbotten. Resultatet blir en rik källa till undervisning på vetenskaplig grund som vi matematiklärare kan ösa ur under många år framöver. Det här är helt enkelt en fantastiskt inspirerande bok som jag hoppas att alla lärare får möjlighet att läsa.”

Craig Barton

e till r författar ä m o s , n niens r to Storbritan v Craig Ba a n e r ä , de bok rade denna hylla h respekte c o a ik r s g re gån en föreläsa v mest fram ä r ä n a H lärare. t ö r. matematik nde debat a iv g n o t dcast, som Maths Po och känd n o t r a B dd Mr skare Med sin po skända for ld r ä v t a ju v edier, ter där han in h sociala m c o g g lo b via sin samhet. och lärare, r uppmärk to s tt få n a har h

ISBN 978-91-27-82371-6

9 789127 823716

Barton_Tryckfardigt_27sept_v008.indd 1,3,5

2018-09-28 15:01

INNEHÅLL Förord

8

Introduktion Jag trodde jag visste allt Kris mitt i karriären Dagen då mitt liv förändrades Vem är boken skriven för?

Bokens uppbyggnad Tio saker jag trodde förr Ett varningens ord

13 13 14 15 16 17 18 19

1. Hur elever tänker och lär 1.1 Tänka och lära – en enkel modell 1.2 Experter och nybörjare 1.3 Vad tänker de på?

1.4 Utöka arbetsminnets kapacitet 1.5 Metoder som fungerar på lång sikt 1.6 Matteångest 1.7 Tre saker att komma ihåg

21 21 27 33 37 39 42 47

2. Motivation 2.1 Motivationsmodeller 2.2 Tar elever goda beslut?

2.3 Vardagsmatematik 2.4 Lärarinflytande 2.5 Låt det finnas ett syfte 2.6 Belöningar och bestraffningar 2.7 Varför att kämpa och misslyckas

inte alltid är bra – del 1 2.8 Prestation och motivation 2.9 Tre saker att komma ihåg

48 48 51 54 58 62 65

3. Explicit undervisning 3.1 Vad utmärker riktigt bra undervisning?

3.2 Är vissa elever matematiker av naturen?

3.3 När och varför det inte fungerar

med mindre lärarledd tid

81 82 85

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 4

70 76 80

88

2018-09-26 09:59

3.4 Problemet med guidad upptäckt 3.5 Att undervisa lågpresterande elever 3.6 Berättelser 3.7 Liknelser 3.8 Kognitiv konflikt 3.9 ”Hur” kommer före ”varför” 3.10 Avsluta i en positiv anda 3.11 Tre saker att komma ihåg

98 108 110 113 117 124 132 134

4. Fokus 4.1 Kognitiv belastningsteori och den

kognitiva teorin för multimediainlärning 4.2 När dumma misstag kanske inte är

så dumma 4.3 Modalitetseffekten 4.4 Inlärningsstilar 4.5 Den målfria effekten 4.6 Effekten av delad uppmärksamhet 4.7 Överflödig information 4.8 Den tysta läraren 4.9 Relevant belastning 4.10 Tre saker att komma ihåg

135

5. Att förklara tyst för sig själv 5.1 Egenförklaring – eleverna förklarar

tyst för sig själva 5.2 Hur man får ut så mycket som

möjligt av egenförklaringar 5.3 Tre saker att komma ihåg

165

6. Exempel med lösningar 6.1 Exempel med lösningar 6.2 Exempel – problempar 6.3 Etiketter 6.4 Starkt laddade genomarbetade exempel

med lösningar

173 173 175 185

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 5

135 138 141 144 146 150 154 160 162 164

165 168 172

188

2018-09-26 09:59

6.5 Misstag i exempel med lösningar 6.6 Borttoning 6.7 Den omvända experteffekten 6.8 Tre saker att komma ihåg

191 194 197 200

7. Val av exempel och övningsfrågor 7.1 Exempel kontra definitioner 7.2 Exempel kontra regler 7.3 Gränsfall 7.4 Samma problem på ytan,

men olika problem på djupet 7.5 Dubbeltydiga svar 7.6 Dubbeltydiga frågor 7.7 Överkurs 7.8 Exempel med små variationer och

intelligent praktik 7.9 Tre saker att komma ihåg

201 201 205 211

8. Genomtänkt övning 8.1 Dela upp processen 8.2 Genomtänkt övning – de fem stegen 8.3 Övning kontra slutprestation 8.4 Tre orsaker till varför man alltid

ska ge eleverna svaren 8.5 Tre saker att komma ihåg

237 237 240 246

9. Problemlösning och självständighet 9.1 Vad är ett matematikproblem?

9.2 Varför är vissa elever så dåliga

på problemlösning …

9.3 … och vad kan vi göra åt det?

9.4 Varför det inte alltid är bra att kämpa

och misslyckas – del 2 9.5 Självständiga elever 9.6 Tre saker att komma ihåg

254 254

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 6

215 218 219 221 224 236

249 253

259 272 280 288 290

2018-09-26 09:59

10. Målmedveten övning 10.1 Det som är svårast med undervisning 10.2 Vad är målmedveten övning?

10.3 Tre saker att komma ihåg

291 291 295 305

11. Formativ bedömning och diagnostiska frågor 11. 1 Vad är formativ bedömning

och varför är det så viktigt?

11.2 Klassrumskultur 11.3 Vad är en diagnostisk fråga?

11.4 Vad utmärker en välformulerad fråga?

11.5 Hur man ställer diagnostiska frågor

och hanterar svaren 11.6 När är det lämpligt att ställa en

diagnostisk fråga?

11.7 Sju vanligt förekommande reaktioner

på flervalsfrågor 11.8 Förutse fel och missuppfattningar 11.9 Fördelen med att läraren formulerar frågorna 11.10 Tre saker att komma ihåg

306

12. Långtidsminnet och önskvärda svårigheter 12.1 Så fungerar långtidsminnet 12.2 Problemet med prestation 12.3 Spridningseffekten 12.4 Saxning 12.5 Variationseffekten 12.6 Proveffekten 12.7 Många andra fördelar med prov 12.8 Kravlösa frågesporter 12.9 Förtesteffekten 12.10 Skjuta upp och hålla tillbaka återkoppling 12.11 Tre saker att komma ihåg

356 356 360 363 369 377 380 383 386 398 401 404

Slutsats

405

Tack

407

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 7

306 311 315 321 328 335 341 349 352 355

2018-09-26 09:59

FÖRORD Det är svårt att föreställa sig en matematiklärare i Storbritannien som aldrig har hört talas om Craig Barton. Han står bakom såväl webbsidan Mr Barton Maths som podcasten Mr Barton Maths och han har under många år varit rådgivare åt den brittiska lärartidningen TES. Han är även upphovsman till fenomenet diagnostiska frågor samt ger föredrag över hela världen – hans generösa bidrag till lärarkåren har med andra ord varit enormt. Så det är minst sagt svårt att föreställa sig att läsare av den här boken inte kommer att bli förvånade när Craig Barton utan omsvep erkänner att han under sina mer än tolv år i läraryrket har använt sig av fel undervisningsmetoder.

Jag kom i kontakt med Mr Barton Maths när jag som nyutexaminerad lärare undervisade elever inför GCSE-examen i matematik och samtidigt gick med i välgörenhetsorganisationen Teach First. På Craigs webbsida kunde man hitta välstrukturerat undervisningsmaterial som kom att bli helt ovärderligt för mig.

Jag hade knappast kunnat föreställa mig att självaste Craig Barton sju år senare skulle komma att intervjua mig om hur jag ser på undervisning.

Men jag har haft tur. Redan under mina första månader i yrket fick jag genom kollegor höra talas om den senaste forskningen inom kognitiv psykologi, vilket ledde till att jag helt förändrade mitt sätt att undervisa. I början av min yrkeskarriär var jag fullständigt besatt av ord som ”inspirera”, ”motivera”, ”engagera”, ”utmana”, ”förstå” och ”självständighet”. Ju mer jag läste om kognitiv forskning, desto mer lärde jag mig om hur vår hjärna fungerar, om hur vi lär och hur jag skulle kunna undervisa på ett sätt som eleverna lättare kan ta till sig. Jag förstod att jag hade varit besatt av ord som ”motivation” och ”inspiration” därför att jag var bra på att sporra mina elever, men jag visste inte hur man undervisade, och jag använde ord som ”utmaning” och ”självständighet” för att dölja mina brister som lärare: eleverna kämpade eftersom jag uppmuntrade dem att ”tänka själva” och för att jag tappert vägrade att ”mata” dem med information.

Sedan hände något positivt. Under jullovet efter min första termin skrev jag en bekännelse och skickade den till familj, vänner, andra lärarkandidater och mina mentorer, runt trettio personer. Den började med orden: ”Allt jag trodde på var fel.” Jag hade sedan turen att kunna ägna de kommande fem åren åt att fundera på hur jag skulle kunna använda mina teorier i praktiken, och efter en trög start för mig och mina elever på cirka fyra månader gick det stadigt bättre.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 8

2018-09-26 09:59

Förord | 9

Men för Craig tog det tolv år innan han klev ut ur garderoben, redo att bekänna sina fel inför tusentals lärarkollegor, och han gjorde det därför att de flesta av oss inte har haft den möjligheten.

För sju år sedan hade nästan ingen inom skolan hört talas om kognitiv psykologi. Nu verkar alla känna till det; men det är lätt att bli fast i sin egen bubbla.

När Craig intervjuade mig var han ofta förvånad över saker jag sa, och han ställde följdfrågor om sådant jag tyckte var självklart. Ibland var det uppenbart att han ville tydliggöra något för lyssnarna, men ibland undrade jag om Craig ställde de där frågorna därför att han själv faktiskt inte kände till de idéer jag nämnde. Jag tänkte att han nog var riktigt skicklig eftersom hans intervjuer mer hade formen av informella samtal.

Jag blev precis lika förvånad som alla andra när jag i den här boken fick läsa att det inte alls handlade om en alldeles speciell intervjuteknik, utan att Craig på något sätt helt hade missat denna begynnande revolution, detta plötsligt enorma intresse för kognitiv forskning. Det var inte förrän han startade sin podcast och intervjuade Dylan Wiliam och Daisy Christodoulou som han började inse vad han hade gått miste om.

Det är värt att nämna att Ray Dalio, en av världens mest framgångsrika miljardärer, brukar säga att smarta människor är de som ställer de mest genomtänkta frågorna utan att inbilla sig att de har alla svar. Jag tror Dalio har rätt, och därför är Craig Barton en av de smartaste människor jag känner. När han fick veta att det fanns forskning som motbevisade de rekommendationer om undervisning han brukade ge kunde han ha gjort som alla andra: han kunde ha vägrat att ta till sig det. I stället satte han igång en intensiv jakt på personer han kunde fråga ut och som kunde hjälpa honom att förändra hans sätt att tänka, och han delade generöst med sig av sina erfarenheter till alla som var villiga att hänga med på tåget.

Få är beredda att ägna sina liv i offentligheten åt ett sätt att resonera för att sedan, efter att ha tagit del av ny forskning, lika offentligt gå ut och tala om att de hela tiden har haft fel. Dessa människor är guld värda. Den här boken är därför en riktig pärla för alla oss som inte har haft turen att ha råkat födas med samma förmåga till självrannsakan.

Jag önskar att jag själv hade skrivit den här boken. Den är delvis en bekännelse och delvis en litteraturöversikt, men boken innehåller även en mängd

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 9

2018-09-26 09:59

10 |

praktiska råd. Den tar upp misstag vi alla har gjort och den visar oss vad vi kan göra för att bli bättre. Det är en ovanlig bok som är lika praktisk som den är teoretisk och som lyckas hålla en ödmjuk ton rakt igenom.

Det var länge sedan jag läste en lika underhållande bok om undervisning och som jag har lärt mig lika mycket av som den här, så spänn fast säkerhetsbältet och ge dig iväg på en helt unik resa.

Kristopher Boulton Tidigare biträdande huvudlärare vid King Solomon Academy Matematikambassadör på Teach First och undervisningsledare på Up Learn

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 10

2018-09-26 09:59

| 11

FÖRKORTNINGAR AQA

AQA är en fristående organisation som utarbetar och rättar cirka hälften av alla GCSE-prov och andra typer av examina i Storbritannien.

GCSE

General Certificate of Secondary Education är en uppsättning examina i en rad skolämnen som elever tar vid ungefär 16 års ålder i bland annat Storbritannien, Nya Zeeland, Australien och andra delar av det brittiska samväldet. Dessa har stor betydelse för deras fortsatta utbildning och nivågruppering inför den utbildningsform (upper-secondary school) som ungefär motsvarar den svenska gymnasieskolan. Eleverna förbereds under två–tre år inför GCSE-examina i de ämnen de väljer att inrikta sig på.

NCTM

National Council of Teachers of Mathematics är världens största organisation som hanterar matematikundervisning. Den grundades år 1920 och är framför allt verk­ sam i USA och Kanada.

TES

Brittisk lärartidning. Se www.tes.com.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 11

2018-09-26 09:59

Till Kate

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 12

2018-09-26 09:59

INTRODUKTION Jag trodde jag visste allt Jag har alltid varit en ganska bra mattelärare.

Det hade kanske varit bättre med en lite mer ödmjuk inledning, men det är viktigt att redogöra för hur den här boken kom till. Så jag hoppas ni har överseende med att jag ägnar kommande stycke åt vad jag har åstadkommit.

I skrivande stund är jag inne på mitt trettonde år som matematiklärare. Jag var en av de yngsta lärarna i avancerad matematik som har utexaminerats i Storbritannien och jag har sedan dess haft ett nära samarbete med lärare och elever i ett dussintal skolor. Under de senaste åtta åren har jag varit rådgivare åt lärartidningen TES med ansvar för att dela med mig av best practice och resurser till världens största nätverk av matematiklärare. Vidare är jag nationell rådgivare åt examinationsorganisationen AQA där jag ger råd om bedömning och undervisningsmaterial till lärare över hela landet och jag har startat två populära webb­ sidor om matematik: mrbartonmaths.com – som har besökts av 20 miljoner lärare, elever och föräldrar över hela världen – och diagnosticquestions.com, världens största samling av diagnostiska flervalsfrågor. Den sistnämnda används av över 80 procent av alla högstadieskolor i Storbritannien samt i över 50 länder. Min undervisning på två olika statliga skolor har fyra år i rad klassats som ”utomordentlig” av den brittiska skolinspektionen, och alla de klasser jag har undervisat i har nått eller överträffat sina höga mål i nationella examina de år jag har undervisat dem. Jag har även skrivit två läroböcker i matematik och har haft äran att hålla seminarier inte bara i Storbritannien, utan över hela världen, bland annat i Bangkok, Nanjing och Kuala Lumpur. Jag har även arbetat med ett landsomfattande projekt för utbildningsministeriet och den brittiska ambassaden i Kambodja och har till och med gått med på att ställa upp på en och annan selfie.

Det här handlar inte om att jag vill skryta, utan om att visa hur långt man kan komma utan att egentligen ha en aning om vad man håller på med.

Om någon hade bett mig skriva en bok om matematikundervisning för två år sedan hade den inte blivit det minsta lik den bok du nu (förhoppningsvis) snart kommer att läsa. Den hade förmodligen haft titeln ”Fantastiska rika uppgifter”, ”Matematiska upptäckter” eller ”Den kompletta guiden till hur man lär ut problemlösning”, och det skulle ha funnits ett foto på mig med ett förnöjt leende på läpparna. Boken skulle ha innehållit de öppna uppgifter och idéer som jag har utvecklat under många år och som jag har använt tillsammans med tusentals

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 13

2018-09-26 09:59

14 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

elever. Den skulle ha varit full av påståenden om hur roliga mina elever tyckte att dessa aktiviteter var, hur mycket de lärde sig, hur bra de har blivit på problemlösning, hur självständiga de har blivit i sina studier och de höga resultat de har uppnått. Jag skulle ha lovsjungit upptäckt, forskning, projekt, gåtor, elevstyrt lärande och hur jag som lärare tar ett steg tillbaka (jag hade troligen nämnt att ”läraren är till för att underlätta lärandet” mer än en gång). Det enda som inte skulle ha funnits med skulle ha varit någon form av forskning som skulle kunna ligga till grund för mina påståenden. Och om någon hade påpekat detta lilla förbiseende hade jag med ett överseende leende förklarat: ”Jag behöver ingen forskning för jag vet hur det går till.”

Om jag verkligen blev tvingad till att ge någon form av förklaring till varför jag arbetade som jag gjorde, kunde jag alltid hänvisa till Ofsted (the Office for Standards in Education, Childrens Services and Skills, det brittiska skolverket).

När vår skola var föremål för en inspektion den sista veckan i december 2015 (God jul!), steg inspektören in i mitt klassrum där en grupp nior stod framme vid den interaktiva whiteboarden och förklarade i detalj hur man stuvar om algebraiska ekvationer inför de övriga 25 eleverna. Själv satt jag längst bak och pillade med min telefon. Min undervisning fick betyget ”utomordentlig”.

Lärarledda lektioner var trista, oinspirerande och man lärde sig ingenting. Det visste väl alla – förutom de lärare som vägrade att använda den interaktiva whiteboarden, planera ordentligt för elever med kinestetiska inlärningsstilar eller låta eleverna lära tillsammans. Men de var ett utdöende släkte. Jag har alltid tyckt att det var konstigt att de lärarna alltid verkade lyckas med att uppnå så goda resultat och att eleverna verkligen såg ut att gilla deras lektioner, fast det måste väl ändå ha varit trots deras uråldriga, ineffektiva undervisningsmetoder. Det kunde väl aldrig ha med dem själva att göra? Sådana lärarledda lektioner var i bästa fall ”tillfredsställande”, för att använda Ofsteds tidigare vokabulär. Mina lektioner var bättre än så – det vill säga jag var bättre än så – och jag tyckte jag hade ansvar för att se till att jag hjälpte andra lärare att utvecklas i samma riktning.

Kris mitt i karriären Jag kom igång med Mr Barton Maths Podcast i slutet av 2015 och har därigenom haft nöjet att intervjua Dylan Wiliam, Robert och Elizabeth Bjork, Daisy Christodoulou, Doug Lemov och andra intressanta och inspirerande personer.

När mina gäster är yrkesverksamma lärare ber jag dem att beskriva en lektion de nyligen hade lett. Jag ville veta varenda detalj, allt ifrån hur de bestämde sig för vad de skulle ta med, hur deras planering såg ut, vilka material de använde,

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 14

2018-09-26 09:59

Introduktion | 15

vad som hände när eleverna kom in i klassrummet, hur de gjorde sina bedömningar och hur de modellerade och differentierade till hur mycket som var självständigt arbete, hur mycket som var grupparbete och så vidare ända fram tills lektionen var slut. Jag ville framför allt veta varför de gjorde de val de gjorde.

Lektionerna de beskrev var väldigt olika. Andrew Blair beskrev 2017 en lektion som var uppbyggd kring en undersökning där eleverna hela tiden fick bestämma hur de skulle gå vidare med lektionen. Samma år gick Dani Quinn i detalj in på hur en starkt lärarledd lektion med drillövningar och andra hårt uppstyrda övningar gick till. Det tankearbete mina gäster lägger ner på planering och utförande är helt makalöst. När jag bad Kris Boulton att beskriva hur han planerar en lektion tog det honom två timmar att svara. Även om det finns en del väsentliga skillnader mellan lektionerna i sig, så har de alla något gemensamt – mina gäster står för vartenda beslut de tar. De här intervjuerna fick mig att inse att det var något jag själv inte kunde göra. Mitt enda försvar för att jag gjorde som jag gjorde var att det helt enkelt var självklart. För det var ju självklart att lärare skulle prata mindre och lägga ansvaret för lärandet på eleverna. Det var självklart att vi skulle lära eleverna problemlösning och låta dem upptäcka saker på egen hand. Det var självklart att vi skulle låta eleverna kämpa. Det var självklart eftersom jag alltid hade gjort på det sättet. Om jag hade gästat min egen podcast skulle det snart inte finnas mycket kvar av mig.

Jag insåg att jag var tvungen att göra något.

Mina gäster nämnde ofta böcker och forskning de hade läst, som de använde i sin planering och som de baserade sina metoder på. Jag hade faktiskt aldrig läst något om didaktikforskning, men jag noterade varje referens och lovade mig själv att jag en dag skulle ta mig tid till att läsa – till exempel någon gång efter det att jag hade planerat ännu en fenomenal lektion om problemlösning.

Dagen då mitt liv förändrades Det jag nu tänker berätta låter kanske lite löjligt, men jag lovar att det inte är någon överdrift: Mitt liv förändrades den dag jag började ta del av den forskning som har gjorts om undervisning.

Jag började med Daniel Willinghams Why Don’t Students Like School?, vilket ledde mig till den fantastiska artikelserien Ask the Cognitive Scientist (American Federation of Teachers) och de forskningsrapporter de citerar. Jag slukade dem alla med vidöppna ögon och hakan i golvet.

Efter det kom jag via Greg Ashmans blogg samt mina intervjuer med honom för min podcast fram till kognitiv belastningsteori. Jag kände redan till Dylan Wiliam från min webbsida Diagnostic Questions, men nu läste jag allt jag kunde

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 15

2018-09-26 09:59

16 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

lägga vantarna på av det han skrivit. Jag trodde inte livet kunde bli bättre förrän jag upptäckte Robert och Elizabeth Bjork och deras forskning. Oj oj oj!

Det ena ledde till det andra, och innan jag visste ordet av så hade jag läst över 200 böcker och forskningsrapporter. Jag kunde vakna mitt i natten med huvudet fullt av idéer. Min fru är normalt väldigt förstående, men till slut vägrade till och med hon att lyssna till mina entusiastiska utläggningar om förtesteffekten vid fyratiden på morgonen. Jag samlade ihop allt jag hade läst samt min webbsida med praktiska erfarenheter och började nämna det jag hade lärt mig under mina föredrag.

Sedan började jag testa de nya idéerna på mina lektioner, och resultaten lät inte vänta på sig. Efter att jag hade läst om effekten av överflödig information (avsnitt 4.7) och ansträngde mig att prata mindre under lektionen undrade en orolig elev om jag inte mådde riktigt bra. Förändringen märktes några veckor senare. Vi fick mer gjort på lektionerna, mina elever verkade mer säkra på de begrepp vi gick igenom och det kändes som om jag faktiskt undervisade.

Men ju mer jag läste och experimenterade, desto fler frågor uppstod. Så jag läste mer, pratade med fler människor, testade fler idéer med mina elever och kollegor och jag skrev ner allt jag lärde mig. Till slut var jag uppe i 100 timmar intervjuer, 1 000 powerpointbilder och över 100 000 ord anteckningar.

Den här boken är resultatet.

Vem är boken skriven för?

Jag ska vara ärlig, den här boken är skriven för matematiklärare.

Jag vet inte om matematiklärare är speciella på något sätt (jag är övertygad om att vi är det) men varje gång jag sitter med på en fortbildningsdag tillsammans med olika ämneslärare börjar jag tänka: ”Okej, visst, men hur skulle det funka för matte?” Jag vet att det ser illa ut, men jag slutar lyssna så fort en kollega som undervisar i geografi talar sig varm för en problemlösningsstrategi jag nog skulle kunna använda för att lära ut andragradsekvationer, eller när en idrottslärare kommer med goda råd för hur man kan arbeta i grupp som jag skulle kunna använda för att undersöka de mer intrikata detaljerna inom betingad sannolikhet.

Det vore otroligt beskäftigt av mig att påstå att den här boken skulle vara till någon som helst nytta utanför matematikundervisningen. Engelsklärare kanske kan hitta en och annan strategi de kan använda när de undervisar om Shakespeare, och det kan finnas små godbitar historielärare kan använda när de ska utreda orsakerna till första världskriget, men jag vet faktiskt inte om det

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 16

2018-09-26 09:59

Introduktion | 17

verkligen är så, och jag tänker inte heller påstå det. Jag tror att matematik är annorlunda (man skulle kunna säga att det är speciellt), och den här boken har skrivits av en matematiklärare för matematiklärare.

Medan jag ändå håller på att förlora mina läsare kan jag passa på att erkänna att jag under större delen av mina närmare tretton år som lärare har undervisat elever mellan elva och arton års ålder. Jag har visserligen tillbringat en hel del tid i lågstadieklasser där jag har arbetat med både elever och lärare, men jag är inte på något sätt någon expert på den åldersgruppen. Jag hoppas att de strategier jag nämner ska kunna användas även i lägre årskurser – lärare som har provat dem säger att de fungerar – men jag vill vara tydlig med att de har utarbetats med tanke på 11–18-åringar.

Jag hoppas att du ändå, oavsett ålder, erfarenhet, matematisk bakgrund, typ av skola du undervisar på, roll, ansvarsområde eller din favoritsiffra ska kunna hitta mycket nyttigt i den här boken.

Bokens uppbyggnad Jag har försökt att göra den här boken så lätt att använda som möjligt för upptagna lärare med fem minuter över en tisdagskväll, eller de sällsynta tillfällen då vi kanske har lite ledig tid över en söndagsmorgon eller under semestern.

Boken är uppdelad i tolv teman. Vart och ett handlar om en specifik idé och består av följande fyra avsnitt:

SÅ TÄNKTE JAG FÖRR Här berättar jag om hur jag tänkte förr, varför jag gjorde det och hur det påverkade mitt arbete i klassrummet. Det kan vara plågsam läsning, och jag kan försäkra dig om att det var precis lika plågsamt att skriva om det. Tyck nu inte alltför illa om mig!

INSPIRATIONSKÄLLOR Under den här rubriken finns en lista på alla mina inspirationskällor i form av forskningsrapporter, böcker, bloggar och intervjuer. Nästan all den forskning jag citerar går att hitta på min webbsida mrbartonmaths.com/teachers/research.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 17

2018-09-26 09:59

18 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

VAD JAG HAR LÄRT MIG Under den här rubriken summerar jag de viktigaste kunskaperna jag har hämtat ur inspirationskällorna när det gäller det aktuella temat. Du kanske inte håller med om min tolkning, eller så kanske du vill studera ämnet mer i detalj. I så fall tycker jag att du ska läsa källtexten och bilda dig en egen uppfattning.

SÅ ARBETAR JAG NU Här förklarar jag hur jag har förändrat mitt arbetssätt med ledning av vad jag har lärt mig. Jag förklarar hur jag önskar att jag hade undervisat i matematik under alla dessa år och hur jag planerar att undervisa i framtiden. Jag vill att det ska finnas massor av praktiska tips som du kan använda direkt – det är här du hittar dem.

Det är möjligt att ströläsa boken och hoppa till de avsnitt du är mest intresserad av. Men, jag måste höja ett varningens finger för jag har noga tänkt igenom i vilken ordning jag ska presentera dessa idéer, så avsnitt längre fram i boken refererar ofta till sådant jag har presenterat och utvecklat i tidigare kapitel.

Tio saker jag trodde förr För att du ska få en försmak av vad som komma skall, så följer här tio saker jag trodde på under mina första tio år som lärare och som jag nu har övergett. Alla tas upp i boken.

1. Under en riktigt bra lektion pratar läraren lite och eleverna mycket.

2. Eleverna ska så ofta som möjligt ”upptäcka” saker på egen hand.

3. Problemlösning går att lära ut.

4. Bra differentiering betyder att man ger eleverna olika saker att göra.

5. Den matematik vi lär ut ska vara relevant för elevernas vardag.

6. Eleverna bör alltid veta varför de ska göra något innan de lär sig hur de ska göra.

7. Ju mer återkoppling vi ger eleverna, desto bättre.

8. Prov är först av allt ett bedömningsverktyg.

9. Det bästa sättet att öva inför ett prov är att jobba med så många gamla prov som möjligt.

10. Eleverna lär sig genom att kämpa och tycka att saker är svåra.

Jag är förhoppningsvis inte ensam om att ha antagit allt det här.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 18

2018-09-26 09:59

Introduktion | 19

Ett varningens ord Oavsett vad många av mina elever kanske påstår så är jag bara människa, och därför är jag behäftad med en viss kognitiv partiskhet som har att göra med det du snart kommer att läsa. Jag har gjort mitt bästa för att undvika det, men de källor jag har valt och min tolkning av dem har med största säkerhet påverkats av följande:

BEKRÄFTELSEEFFEKTEN En tendens att söka efter, tolka, föredra och hämta information på ett sätt som bekräftar ens förhärskande uppfattningar eller hypoteser.

Det visar sig att inte alla är överens om vad som är det bästa sättet att undervisa för att lärande ska ske. Det är ganska irriterande när man försöker skriva en bok med ett entydigt budskap. När jag stötte på en bok eller avhandling som visade verkligt intressanta rön ville jag genast leta reda på en annan källa som hade kommit fram till en liknande slutsats. Och när jag kom i kontakt med något som ifrågasatte det resultatet letade jag instinktivt efter fel och brister i källans metod (för litet urval, ingen kontrollgrupp, skriven av en engelsklärare etc.). Jag har gjort vad jag kan för att råda bot på det här genom att se objektivt på varje artikel och i vissa fall rådgöra med andra. Jag har därför tvingats att helt skriva om eller till och med slänga avsnitt eftersom resultaten var så motsägelsefulla.

GLORIAEFFEKTEN När en observatörs övergripande intryck av en person, ett företag, ett varumärke eller en produkt helt och hållet påverkar observatörens känslor och tankar om personens eller företeelsens karaktär eller egenskaper.

Jag fullkomligt älskar allt som Daniel Willingham, John Sweller, Dylan Wiliam och paret Bjork har skrivit. De är genier. De är mina hjältar. Jag insuper vartenda ord. Jag är som en förälder som inte vill veta att mitt älskade barn har gjort något fel i skolan. Min första reaktion när någon kritiserar deras arbete är att förneka det, för hur skulle sådana goda människor någonsin kunna säga fel? I ett försök att övervinna min passionerade inställning har jag gjort mitt yttersta för att läsa och förstå de som kritiserar deras forskning; när jag tycker att de har en poäng så tar jag upp det här.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 19

2018-09-26 09:59

20 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

DUNNING-KRUGER-EFFEKTEN När mindre kompetenta personer anser sig överlägsna och felaktigt tror att de kan mer än de faktiskt gör.

I tio års tid undervisade jag gladeligen i total avsaknad av kunskap. Jag var övertygad om att jag var en Utomordentligt Bra Lärare. Jag visste vad som var bäst för mina elever och jag var inte särskilt intresserad om någon försökte påstå något annat. Ju mer jag har läst, ju fler människor jag har pratat med och ju mer jag har provat på, desto mer inser jag hur fullständigt bakom flötet jag var.

Framför allt, för att citera Paul Weller, ju mer jag vet, desto mindre förstår jag (jag hoppas att jag nu är en changingman). Jag är övertygad om att man bara kan förändra sitt beteende genom att ta tag i sina svagheter, ta dem för vad de är och försöka bli bättre på det man gör. Den här boken är ett försök till det.

Nu är det dags att sätta igång. Jag hoppas verkligen att du kommer att gilla den här boken. Det kommer kanske att kännas obekvämt ibland, inte bara för att jag uttrycker mig illa, utan för att det kan hända att du måste omvärdera tekniker du har använt och idéer du har haft i åratal. Du kommer säkerligen inte att hålla med om allt – för sjutton, jag är inte ens säker på om jag själv håller med om allt – men jag hoppas ändå att den här boken ska komma att få dig att tänka till.

Så här önskar jag att jag hade undervisat i matematik.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 20

2018-09-26 09:59

1. HUR ELEVER TÄNKER OCH LÄR Vår gemensamma resa inleds med en titt in i våra elevers hjärnor för att ta reda på hur de tänker och hur de lär. Vi ska även titta närmare på hur detta påverkar vår planering och lektionsinnehållet samt det sätt på vilket vi introducerar matematiska begrepp.

1.1 Tänka och lära – en enkel modell SÅ TÄNKTE JAG FÖRR Följande mening är inte så lite oroväckande: Jag har egentligen inte en enda gång under de tolv år jag har undervisat funderat över hur mina elever tänker och lär. En lärare som inte tar hänsyn till hur eleverna tänker och lär är som en läkare som inte är särskilt intresserad av hur kroppen fungerar eller en bagare som inte är överdrivet intresserad av hur hans bröd jäser. Om vi inte förstår hur våra elever tänker och lär, hur ska vi då kunna veta hur vi ska undervisa dem på bästa sätt?

Jag hade en vag uppfattning om vad arbetsminne och schema var för något, med betoningen på vag. Så jag körde bara på, lyckligt omedveten om min egen okunskap och med bara min egen intuition till hjälp.

INSPIRATIONSKÄLLOR Anderson, J.R. (1996). ”ACT: A simple theory of complex cognition”, American Psychologist, 51(4), s. 355.

Anderson, R.C. (1977). ”The notion of schemata and the educational enterprise: General discussion of conference”. I Anderson, R.C., Spiro, R.J. & Montague, W.E. (red.) Schooling and the acquisition of knowledge. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, s. 415–431.

Bartlett, F.C. (1932). Remembering: a study in experimental and social psychology. Cambridge: Cambridge University Press.

Bjork, R.A. (1975). ”Retrieval as a memory modifier”. I Solso, R.L. (red.) Information processing and cognition: the Loyola symposium. Mahwah, NJ: L. Erlbaum Associates, s. 123–144.

Coe, R. (2013). Improving education: a triumph of hope over experience, föredrag, CEM. Se: http:// www.cem.org/attachments/publications/ImprovingEducation2013.pdf Cowan, N. (2010). ”The magical mystery four: how is working memory capacity limited, and why?”, Current Directions in Psychological Science, 19(1), s. 51–57.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 21

2018-09-26 09:59

22 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN Kirschner, P.A., Sweller, J. & Clark, R.E. (2006). ”Why minimal guidance during instruction does not work: an analysis of the failure of constructivist, discovery, problem-based, experiential, and inquiry-based teaching”, Educational Psychologist, 41(2), s. 75–86.

Mayer, R.E. (2008). ”Applying the science of learning: evidence-based principles for designing multimedia instruction”, American Psychologist, 63(8), s. 760–769.

Mccrea, P. (2017). Memorable Teaching: Leveraging Memory to Build Deep and Durable Learning in the Classroom. CreateSpace Independent Publishing Platform.

Piaget, J. (1928). Judgement and reasoning in the child. Harcourt, NY. Sweller, J., Van Merriënboer, J.J. G. & Paas, F.G.W.C. (1998). ”Cognitive architecture and instructional design”, Educational Psychology Review, 10(3), s. 251–296.

Wiliam, D. (2017). ”Memories are made of this”, TES Magazine.

Willingham, D.T. (2009). Why Don’t Students Like School?: A Cognitive Scientist Answers Questions about How the Mind Works and What It Means for the Classroom. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.

Willingham, D.T. (2017). ”On the Definition of Learning …”, Science and Education, Blog.

Se: http://www.danielwillingham.com/daniel-willingham-science-and-education-blog/ on-the-definition-of-learning

VAD JAG HAR LÄRT MIG Eftersom tänkande och lärande är sådana grundläggande aspekter av undervisningen är det också vad den här boken handlar om. Det är därför viktigt att redan nu försöka formulera en modell för hur elever gör när de tänker och lär.

Det är förstås problematiskt att försöka reducera något så komplext som det mänskliga medvetandet till en modell som går att redovisa på bara några sidor.

Men, som Dylan Wiliam förklarade i en artikel i den brittiska lärartidningen TES 2017: ”Poängen med en modell är inte hur noggrant utformad den är – vilken modell som helst kan bli mer precis om den görs mer komplex – utan snarare balansen mellan enkelhet och effektivitet. Det är särskilt viktigt när vi pratar om den mänskliga hjärnan, kanske den mest komplexa organismen i hela universum.”

Ledande forskare är som tur är tillräckligt överens om vad som händer i hjärnan då vi lär oss något för att vi ska kunna formulera en enkel modell för hur tänkande och lärande uppstår. Det är en modell vi kommer att ha nytta av i fortsättningen.

SÅ TÄNKER ELEVER Willingham (2009) menar att tankar uppkommer när man kombinerar information på nya sätt, och att tänkande som leder fram till ett resultat baseras på fyra grundläggande faktorer: information från omgivningen, fakta i långtidsminnet,

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 22

2018-09-26 09:59

1. Hur elever tänker och lär | 23

procedurer i långtidsminnet och arbetsminnets kapacitet. Om någon av dessa faktorer inte fungerar tillfredsställande är det troligt att tänkandet inte heller fungerar som det ska.

Låt oss titta närmare på två minneskomponenter.

Långtidsminnet

För Mccrea (2017) är långtidsminnet vår inre modell av omvärlden, en karta vi själva skapar där fakta, procedurer, föreställningar, mindset och läggning finns inritade. Långtidsminnet representerar det vi vet och vår personlighet, det styr vårt beteende och det har inga kända begränsningar. Den information som lagras i långtidsminnet befinner sig utanför medvetandet där den tålmodigt väntar tills den behövs. Den flyttas då över till arbetsminnet och blir därmed tillgänglig för medvetandet.

I den här boken sammanfattas de fakta som finns lagrade i långtidsminnet i begreppet kunskap. När jag säger att jag vill att mina elever ska ha goda kunskaper om bråk så menar jag att jag vill att de ska kunna relevanta fakta, till exempel vad en täljare är, att tre fjärdedelar är mer än en fjärdedel samt att de ska kunna utföra procedurer som addition eller hur man förenklar och utför division med bråk. För att de inte ska behöva belasta sina arbetsminnen vill jag att så mycket som möjligt av den här kunskapen ska vara automatiserad, det vill säga att eleverna genast ska veta att hälften av 24 är 12 och att man för att kunna addera bråk behöver ha en gemensam nämnare.

Längre fram i boken kommer det att finnas behov av en mer detaljerad beskrivning av hur den här kunskapen är beskaffad, framför allt när vi kommer till förmågan att ledigt utföra procedurer och begreppsförståelse i avsnitt 3.9. Vi kommer även att titta närmare på den eviga frågan om ifall man ska lära ut ”hur” innan man lär ut ”varför”. Men för tillfället behöver ni bara tänka er kunskap i form av de sammanlänkade fakta och procedurer som lagras och ordnas i långtidsminnet och som får oss människor att fungera.

Den här kunskapen lagras och ordnas i långtidsminnet i form av scheman (se Piaget, 1928; Bartlett, 1932; Anderson, 1977). Scheman samlar eller sammanför flera olika element bestående av besläktad information till ett unikt element med en specifik funktion. Man kan till exempel ha scheman för att addera bråk.

De innehåller då all den kunskap om just addition av bråk som man har skaffat sig under många års tid. Det finns inga begränsningar för hur komplexa dessa scheman kan bli eller hur många scheman som får plats i långtidsminnet. Faktum är att enligt förespråkarna för kognitiv belastningsteori (se t.ex. Sweller m.fl., 1998) krävs det att vi skaffar oss tillgång till tiotusentals scheman för att kunna lösa problem som efter lång tids övning automatiserar viktig kunskap.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 23

2018-09-26 09:59

24 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

Långtidsminnet är därmed inte bara en gigantisk databas fylld med kunskap, det är nödvändigt för all kognitiv aktivitet.

Enligt Andersons (2012) teori ACT-R (Adaptive Character of Thought – Rational), uppstår komplex kognition ur samspelet mellan deklarativ kunskap och procedurkunskap. Deklarativ kunskap består av fakta man kan återge eller beskriva, och dess minsta enhet är en chunk. Procedurkunskap är dynamisk och uppbyggd av regler som styr hur tänkande uppstår. Deklarativ kunskap kan snabbt införskaffas genom direktkodning av omgivningen, medan procedurkunskap tar längre tid och måste sammanställas utifrån deklarativ kunskap och genom övning. Övning bidrar till att produktionsvägen stabiliseras och procedurkunskap uppstår.

Det kan vara bra att känna till att psykologer och matematiklärare troligen tolkar ordet procedur på olika sätt. För psykologer handlar det främst om procedurer som har uppkommit ur implicita minnen, till exempel hur man knyter sina skosnören eller kör bil – eller när experter obehindrat kan addera bråk eller ordna om ekvationer. Men för matematiklärare finns det även procedurer som litar till mer explicita minnen, till exempel sådana som talar om hur man långsamt och metodiskt löser en trigonometriuppgift i flera steg. Själva kärnan är dock densamma: redan inhämtad kunskap styr hur vi lär oss använda procedurer.

Andersons teori leder fram till två viktiga resultat, och vi kommer att möta dem många gånger i den här boken: 1. Befintlig kunskap förenklar tänkande och lärande.

2. Så snart man har lärt sig något – oavsett om det är korrekt eller inte – så är det svårt att förpassa det ur minnet. Det betyder att övning inte alltid ger färdighet – övning leder däremot till livslång kunskap.

Arbetsminnet

Arbetsminnet kan bäst beskrivas som den plats där tänkande sker. Det handlar uteslutande om här och nu. Till skillnad från långtidsminnet är arbetsminnets kapacitet begränsad. Cowan (2010) har uppskattat antalet objekt man kan hålla i minnet och plocka fram vid ett och samma tillfälle till fyra. Inom den kognitiva belastningsteorin (t.ex. Sweller m.fl., 1998, samt kapitel 4 i den här boken) intresserar man sig mest för arbetsminnets begränsningar och hur elevers kognitiva resurser inriktas på uppgiften och tas i bruk i samband med problemlösning, vilket antyder att det är viktigt att inte överbelasta arbetsminnet. Om arbetsminnet utsätts för en kognitiv överbelastning sker ingen inlärning. Som lärare kan man kringgå arbetsminnets begränsningar genom att sammanföra besläktad information, noggrant lägga upp undervisningen och automatisera viktiga kunskaper.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 24

2018-09-26 09:59

1. Hur elever tänker och lär | 25

Om vi för samman dessa områden kan vi formulera en mycket enkel modell för hur elever tänker. Vi kommer att återvända till den och bygga vidare på den flera gånger i den här boken, men grundförutsättningarna är hela tiden desamma. Så här ser den ut: Långtidsminne

Arbetsminne

Figur 1.1.

Cirklarna representerar kunskapsenheter, ovalerna är scheman och strecken visar kopplingar. Tänkande äger rum i arbetsminnet och fokuserar på samspelet mellan omgivningen och det vi hämtar fram ur långtidsminnet. Ju mer kunskap vi har samlat och ordnat i långtidsminnet, och ju mer av kunskapen som är automatiserad desto lättare är det att tänka och desto mer kan vi tänka på. Kunskap hjälper eleverna att ta till sig mer information, tänka på ny information och komma ihåg ny information.

Den här enkla modellen har en enorm betydelse för undervisning och lärande, vilket vi kommer att prata mer om i det här och kommande kapitel.

Hur elever lär – en förändring i långtidsminnet

Det finns många olika definitioner av vad lärande är. Den definition jag har valt för den här boken har utarbetats av Kirschner, Sweller och Clark (1998).

De definierar lärande som ”en förändring i långtidsminnet” – om ingenting har förändrats i långtidsminnet så har heller ingen inlärning skett. Arbetsminnet är det verktyg som sätter igång den processen.

Observera att inte alla håller med om den här definitionen. Daniel T. Willing­ ham noterade 2017 i sin blogg att den här definitionen inte säger något om att förändringen i lång­tids­minnet måste vara varaktig (Betyder det att en förändring

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 25

2018-09-26 09:59

26 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

som varar i några timmar räknas?). Definitionen säger heller ingenting om att förändringen måste leda till positiva konsekvenser (Är en förändring i långtidsminnet som beror på Alzheimers ett exempel på lärande?). I kapitel 12 kommer vi att diskutera den förstnämnda frågan: Hur länge behåller vi kunskap och hur kan vi göra vår tillgång till den mer varaktig? Den andra frågan ligger utanför ämnet för den här boken, men i avsnitt 3.8 tar vi upp problemen med att hantera inhämtad felaktig kunskap.

Vår definition av lärande innebär att kunskapen i långtidsminnet inte är statisk. Vi tillgodogör oss helt ny kunskap, vi anpassar oss, vi förändrar eller anpassar kunskap vi redan har i samband med att vi skaffar oss nya erfarenheter och tillgodogör oss ny information; kunskapen kan dessutom bli mer eller mindre tillgänglig för oss. Allt detta har elegant sammanfattats av Mccrea (2017). Han säger att kunskap ”hela tiden uppstår och avtar när vi tänker och agerar gent­ emot omvärlden. Vårt långtidsminne liknar mer en skog än ett bibliotek.”

Coe (2013) anser att lärande sker när människor måste tänka intensivt, och det är förmodligen förenat med viss ansträngning att göra förändringar i långtidsminnet. Förändring kan ske enligt två olika spår som på sätt och vis leder i motsatt riktning: FRÅN ARBETSMINNE TILL LÅNGTIDSMINNE

Elever lär sig nya idéer genom att referera till idéer de redan har. Den som lär sig något lagrar information i arbetsminnet och gör sedan kopplingar mellan den informationen och den kunskap som eventuellt redan finns i långtidsminnet. För Willingham (2009) är ”förståelse förklädd hågkomst”. Den gör att man plockar fram korrekta idéer ur långtidsminnet, placerar dem i arbetsminnet och ordnar dem på sätt som leder till nya kopplingar. Så när elever möter algebraiska bråk för första gången så kommer de (förhoppningsvis) att göra kopplingar mellan den organiserade kunskap de redan har om icke-algebraiska bråk, algebrans regler, faktorer och så vidare. Om de inte kan göra det – på grund av kognitiv överbelastning eller för att kunskapen inte finns i deras långtidsminnen – är det inte troligt att något lärande kommer att äga rum. Men om nya idéer, ny information, nya fakta och procedurer framgångsrikt behandlas i arbetsminnet kan de införlivas i befintliga scheman, skapa helt nya kopplade scheman och därmed leda till förändringar i långtidsminnet.

FRÅN LÅNGTIDSMINNE TILL ARBETSMINNE

När information framgångsrikt hämtas från långtidsminnet till arbetsminnet förändras dess representation i långtidsminnet och den blir lättare tillgänglig i framtiden. Vår minneskapacitet förändras av det vi minns – eller som Bjork

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 26

2018-09-26 09:59

1. Hur elever tänker och lär | 27

(1975) uttrycker det: ”Att hämta informationen har en stark påverkan på minnet.” Därmed kan själva hämtandet av information ur minnet leda till lärande.

Den här ganska förvånande vägen till lärande kommer att diskuteras i kapitel 12.

Jag lovar att det kommer att bli intressant.

SÅ ARBETAR JAG NU Jag tänker mycket på … tänkande. Framför allt på hur jag kan lägga upp min undervisning för att se till att 1. mina elever tänker på rätt saker 2. vad de tänker på läggs till i långtidsminnet 3. de har tillgång till den kunskap de har placerat i långtidsminnet 4. den kan användas framgångsrikt i olika situationer.

Jag återkommer till dessa fyra punkter i kommande kapitel.

1.2 Experter och nybörjare SÅ TÄNKTE JAG FÖRR Jag trodde att jag skulle kunna hjälpa nybörjare att bli experter bara genom att behandla dem som experter. Jag modellerade hur experter tänker; jag gav dem samma typ av uppgifter som experter arbetar med och jag uppmuntrade dem att kämpa. Det var helt i linje med det jag alltid brukade säga till mina nya avgångs­ elever i början av varje hösttermin: ”Jag kommer att behandla er som vuxna, så det är bäst att ni beter er som vuxna.”

Märkligt nog så betedde sig varken mina sistaårselever eller de nybörjare jag undervisade som jag hade hoppats.

INSPIRATIONSKÄLLOR Barton, C. (2017). ”Andrew Blair”, Mr Barton Maths Podcast.

Didau, D. (2017). ”A Novice Expert Model of Learning”, The Learning Spy Blog.

Hill, N.M. & Schneider, W. (2006). ”Brain changes in the development of expertise: neuroanatomical and neurophysiological evidence about skill-based adaptations”. I Ericsson, K.A., Charness, N., Feltovich, P.J. & Hoffman, R.R. (red.) The Cambridge Handbook of Expertise and Expert Performance. Cambridge: Cambridge University Press, s. 653–682.

National Research Council (2000). How People Learn: Brain, Mind, Experience, and School: utökad upplaga. Washington, DC: National Academies Press.

Wiemann, C. (2007). ”The ’curse of knowledge’, or why intuition about teaching often fails”, APS News, 16(10), s. 9.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 27

2018-09-26 09:59

28 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

VAD JAG HAR LÄRT MIG Om jag någonsin skaffar mig en tatuering som har något med utbildning att göra (det kommer att hända) ska det stå: ”Experter och nybörjare tänker olika.”

Skillnaden mellan experter och nybörjare, och hur det påverkar undervisningen, är centralt för den här boken. Det är kanske till och med det viktigaste jag har lärt mig av allt det jag har läst och av alla dem som har gästat min podcast. Det är inte bara så att experter kan mer än nybörjare – de tänker helt annorlunda.

Vad är en expert?

Innan vi går vidare måste vi definiera vad vi menar med expert respektive nybörjare. Det här är vanligt förekommande termer i litteraturen, men som Andrew Blair poängterade i min podcast: Hur kan man veta om någon besitter den kunskap som krävs för att man ska kunna kalla personen en expert?

Så här definierar Oxforddictionaries.com en expert: ”En person som är mycket kunnig eller skicklig inom ett visst område.” Man kan med rätta hävda att elever aldrig kommer att nå dit inom matematikämnet under sin skoltid; de kanske inte blir experter förrän de har doktorerat. Men jag tror att vi kan definiera expertkunskap enligt en smalare definition inom grundskolematematiken. Elever kan bli experter inom vissa områden som multiplikationstabellen, addera bråk eller lösa ekvationer. Men det här väcker naturligtvis den berättigade frågan om vilka multiplikationstabeller och vilken typ av bråk det handlar om och hur komplexa ekvationerna är. Så man kan säga att ju snävare området är, med desto större säkerhet kan vi avgöra om någon är expert.

Expertkunskapen relaterar till ett visst kunskapsområde; det har inget med personlighet att göra. Jag är expert på cirkelsatser (faktum är att jag inte kan få nog av dem), men jag är helt värdelös på att laga mat, fixa saker och en hel massa annat som förmodligen skulle vara mer användbart än min förmåga att hitta en elegant användning för alternativa cirkelsegment. Detsamma gäller för elever i vårt ämne. Det är alltför lätt att påstå att alla högpresterande elever är experter och att alla lågpresterande elever är nybörjare när det handlar om matematik. Jag har undervisat många elever som högpresterar i algebra men har stora svårigheter med att till exempel identifiera tvådimensionella rätvinkliga trianglar inom 3D-trigonometrin. Till och med inom ett relativt smalt område som matematik är vi alla nybörjare på något, särskilt första gången vi ställs inför ett begrepp.

Vi kommer längre fram att se vilka allvarliga konsekvenser det kan få om man behandlar elever som experter utan att de är det.

Det stämmer inte heller att folk antingen är experter eller nybörjare inom något specifikt område. Resan från nybörjare till expert är kontinuerlig och svårdefinierbar, utan tydliga signaler för när man har nått fram till sin destination.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 28

2018-09-26 09:59

1. Hur elever tänker och lär | 29

Det stämmer definitivt inte att en elev mitt under en lektion eller mitt i en tanke­ gång får en snilleblixt och plötsligt blir expert utan att passera gå. Människor befinner sig på olika stadier av sin resa vid olika tidpunkter; brist på övning, undermålig undervisning och missuppfattningar – allt detta kommer jag att ta upp senare i boken – kan betyda att elever inte alltid färdas i rätt riktning.

Det kan därför kännas lockande att konstatera att termerna expert och nybörjare inte är något annat än meningslösa etiketter, och att man därför kan sluta använda dem. Men jag tror att det vore olyckligt. Skillnaden mellan hur personer med mycket goda kunskaper inom ett visst område tänker och lär jämfört med dem som inte besitter dessa kunskaper är betydande, och det har en enormt stor inverkan på hur vi bedriver undervisning. Jag kommer att återkomma till det flera gånger. Även om ingen av oss är varken rena experter eller nybörjare, så bör vi lärare göra vårt bästa för att försöka avgöra vilken grad av expertkunskap våra elever besitter inom specifika områden. Det är inte lätt, men olika typer av formativ bedömning (kapitel 11) och lågprestigeprov eller ”low-stakes-tests” (kapitel 12) kan ge värdefull information som hjälp för att göra sådana bedömningar.

Skillnaden mellan hur experter och nybörjare tänker

Hill och Schneider (2006) har visat att experter som lär sig nya saker skiljer sig från nybörjare i fråga om kunskaper, ansträngning, igenkänning, analys, strategi, minneskapacitet och hur väl de hänger med. Det beror på hur deras långtidsminnen är organiserade. När vi lär oss saker förändras vår hjärna och våra tankar tar andra banor. Hjärnan bildar nya kopplingar i långtidsminnet när vi går vidare från att behärska en viss grundläggande färdighet eller ett begrepp; det är till och med möjligt att observera helt nya aktiveringsmönster i samband med problemlösning. Författarnas slutsats är att ”förutom att de bearbetar mer effektivt, har rikare representationer och större kapacitet, så kan experter vara flexibla i sina strategier genom att ta hjälp av närliggande delar av hjärnan när de löser olika typer av problem medan nybörjare inte har den möjligheten.”

Didau (2017) anser att det finns två utmärkande tecken för expertkunskap, och att dessa har direkt att göra med matematik: 1. AUTOMATISERINGAR AV BASKUNSKAPER

Ta en titt på följande problem: Vad är 25 % av 300 kronor?

Hur gick det? Hur lång tid tog det för dig att räkna ut att svaret är 75 kronor?

Jag antar att du kunde svara ganska snabbt på frågan utan att anstränga dig alltför mycket. Du kom troligen fram till svaret nästan genast utan att egentligen

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 29

2018-09-26 09:59

30 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

tänka på hur du gjorde. Du kände omedelbart och instinktivt igen procenttecknet och vad det betyder, och du vet att 25 procent är detsamma som en fjärdedel. Det är en kunskap du har automatiserat, därför tar den inte upp någon plats i ditt arbetsminne. Du har även automatiserat den procedur som går ut på att hitta en fjärdedel av något, så du kan snabbt räkna ut en fjärdedel av 300 genom att halvera först en gång och sedan en gång till utan att du behöver belasta ditt arbetsminne nämnvärt.

Allt det här kan du göra eftersom du är en expert. Du skulle troligen även kunna utföra beräkningen om du hade musik i bakgrunden, din partner undrar varför du fortfarande inte har diskat samtidigt som du försöker jonglera. Det faktum att du har automatiserat mycket av den kunskap som krävs för att besvara matematikuppgiften frigör utrymme i ditt arbetsminne så att du kan ägna dig åt andra saker.

En nybörjare kommer troligen också att kunna räkna ut 25 procent av 300, fast det är en större kognitiv ansträngning. Man kan antagligen inte direkt avgöra vad som efterfrågas, man kanske inte vet att 25 procent är detsamma som en fjärdedel, så man kanske börjar fundera över hur man ska räkna ut hur mycket 10 procent är=och 5 procent, och sedan måste man lägga ihop alla talen.

1 π efter Volymen av en kon r2 h därdet r är radien och h är höjden.

3 2 nybörjaren kommer att komma fram till rätt svar, men det är 1 Både experten och Volymen av en kon = π r h där r är radien och h är höjden.

3 En kon har: mindre kognitivt ansträngande för experten.

En kon• har: en horisontell bas med radien 5 cm, Men15den stora skillnaden en expert och en nybörjare när det gäller • en• horisontell bas med radien 5 cm, Volymenmellan höjden cm. av en kon = 1 π r2 h där r är radien och h är höjden.

3 automatisera kunskap blir mer uppenbar när man ställs inför ett svårare pro• att höjden 15 cm.

En kon har: 1 Konen innehåller en 9 cm djup vattenmängd. blem. Titta på det här exemplet.

Uppgiften ingår i GCSE-examen : • en horisontell bas med radien 5 cm, Konen innehåller en 9 cm djup vattenmängd.

• höjden 15 cm.

Konen innehåller en 9 cm djup vattenmängd.

Volymen av en kon = 1 π r2 h där r är radien och h är höjden.

3 En kon har: 9 cm • en horisontell bas med radien 5 cm, 9 cm • höjden 15 cm.

Konen innehåller en 9 cm djup vattenmängd.

15 cm 15 cm 15 cm 9 cm

5 cm 5 cm Beräkna hur stor volymen är på vattenmängden i kubikcentimeter.

5 cm Beräkna volymen [4 poäng] Svarethur fårstor innehålla π. är på vattenmängden i kubikcentimeter.

[4 poäng] Svaret får innehålla π.

15 cmi kubikcentimeter.

Beräkna hur stor volymen är på vattenmängden Figur 1.2. – Källa: AQA 2017 GCSE Maths Higher Paper 1.

Svaret får innehålla π.

[4 poäng]

9 cm 1 General Certificate of Secondary Education. En uppsättning examina i en rad skolämnen som elever tar vid ungefär 16 års ålder i bland annat Storbritannien, Nya Zeeland, Australien och andra delar av det brittiska samväldet. Dessa har stor betydelse för deras fortsatta utbildning och 5 cm nivågruppering och motsvaras närmast av ett slags ”studentexamen” inför motsvarande gymnasieskolan (upper-secondary education). Eleverna förbereds under två–tre år inför GCSE-examina i Beräkna hur stor volymen är på vattenmängden i kubikcentimeter. de ämnen de väljer att inrikta sig på. (Översättarens anmärkning.)

Svaret får innehålla π.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 30

[4 poäng]

2018-09-26 09:59

oäng]

1. Hur elever tänker och lär | 31

Kommer du på svaret lika snabbt den här gången?

Det här problemet är troligen lika kognitivt ansträngande för dig som det är för nybörjaren. Skillnaden är att du har automatiserat grunderna. Du behöver inte lägga tid på att fundera över vad de olika termerna i formeln betyder, hur du ska räkna ut kvadraten av 5, hur du ska komma fram till en tredjedel eller vad du ska göra med pi-tecknet. Det frigör kognitiv kapacitet du kan använda till att ägna dig åt problemets mer övergripande aspekter, som att korrekt uppfatta frågan och utarbeta en strategi. Du kommer troligen inte bara att kunna lösa uppgiften, det är även mer sannolikt att du kommer att lära dig något. Nybörjare som inte har automatiserat relevanta kunskaper kommer troligen att överväldigas av detaljerna. De kommer även att uppleva kognitiv överbelastning och därmed förmodligen inte lära sig något som går att använda i liknande situationer.

Jag kommer att prata mer om det här och om vilka konsekvenser det har för oss lärare i kapitel 9, som handlar om problemlösning.

2. FÖRMÅGAN ATT UPPFATTA DJUPSTRUKTURER INOM EXPERTOMRÅDET

Bland det svåraste som finns för eleverna är att förstå vad ett problem egentligen handlar om. Men det är faktiskt inte någon färdighet, i alla fall inte i bemärkelsen ”addera två bråk”, det tillhör expertrollen. Läs följande uppgift och fundera på vad den handlar om: Medelåldern för lärarna på skolan är 36 år.

Magister Smiths ålder är 11 av medelvärdet.

9 Hur gammal är magister Smith?

[2 poäng]

Svar:

år.

Figur 1.3. – Källa: AQA 2017 GCSE Maths Foundation Paper 2.

Hur lång tid tog det för dig att komma på att du ska ta reda på vad 11/9 av 36 är? Hur lyckades du bortse från oviktiga, kanske distraherande strukturer som ”ålder”, ”skola” och, kanske svårast av allt, ”medelvärdet”?

Du räknade förmodligen ut det här ganska snabbt, och det gjorde du för att du är en expert. Din vana vid att svara på många sammanlänkade frågor som

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 31

2018-09-26 09:59

32 | HJÄRNAN I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

finns lagrade i ditt långtidsminne och – minst lika viktigt – det sätt på vilket kunskapen är organiserad gör att du kan undvika ytliga strukturer och identifiera problemets kärna.

Skulle alla dina elever klara av att komma fram till problemets kärna? Jag vet att många av mina elever inte skulle det. Förmågan att identifiera djupstrukturen i ett problem och samtidigt bortse från ovidkommande information är en viktig del av att vara expert, och det har enorma konsekvenser för problemlösning. Det kommer jag att prata mer om i kapitel 9.

Kunskapens förbannelse

Dessa båda viktiga skillnader mellan nybörjare och experter kan vara svåra för oss lärare att urskilja eftersom vi själva är experter. Vi lider av kunskapens förbannelse (t.ex. Wieman, 2007) som gör att det är svårt för oss att uppfatta våra egna kunskaper på samma sätt som någon som inte har dem.

Många av våra matematiska kunskaper är automatiserade, så vi utför grundläggande processer utan att belasta våra arbetsminnen nämnvärt. Vi känner även igen djupstrukturer i problem utan att vi egentligen vet varför. Det kan göra det svårt – åtminstone för mig – att se saker och ting ur elevens synvinkel, förstå vilka svårigheter de har att kämpa mot och hjälpa dem att övervinna dem. Jag kan helt enkelt inte komma ihåg hur det kändes att inte kunna besvara frågorna i det här avsnittet, vilket är problematiskt.

Kunskapens förbannelse handlar om att det inte räcker med kunskaper i ett ämne för att man ska vara en bra lärare, och därför fungerar det inte alltid att be en elev som har förstått ett begrepp att hjälpa en klasskamrat som fortfarande kämpar. Nybörjare kan inte tänka som experter och experter kan inte tänka som nybörjare. Det kan vara frustrerande för båda parter. Man lär sig med tiden att förstå hur elever tänker och brottas med svåra problem, men det är absolut nödvändigt att förstå vilka missuppfattningar de kan bära på. Vi kommer till det i kapitel 11.

När jag tidigare ville hjälpa mina elever att tänka som experter fokuserade jag helt och hållet på att vara en god förebild. Genom att visa dem hur jag närmar mig och löser problem så trodde jag att jag kunde hjälpa dem att också bli experter. Det är inte ett helt meningslöst förfarande, men man glömmer något väldigt viktigt: den enda anledningen till att jag kan tänka som en expert är att jag har enorma kunskaper om mitt ämne. Det är skälet till att jag kan automatisera och känna igen djupa strukturer. Man kan inte begära att eleverna ska kunna tänka som experter förrän dessa kunskaper har lärts ut, övats, bedömts och hämtats fram ur långtidsminnet.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 32

2018-09-26 09:59

1. Hur elever tänker och lär | 33

SÅ ARBETAR JAG NU Jag har tidigare förutsatt att elever är experter innan de faktiskt är det, eller så har jag försökt att snabba på deras utveckling genom att vara en god förebild och visa hur experter tänker. Jag är nu smärtsamt medveten om hur absolut nödvändigt det är med ämnesspecifika kunskaper. De skiljer en expert från en nybörjare. Sådana kunskaper hjälper våra elever att tänka bättre, skaffa sig nya kunskaper, hitta förklaringar på egen hand, lösa problem och bli de självständiga elever vi vill att de ska vara. Det blir då också lättare att avgöra vilka arbetsmetoder vi ska använda för att lärandet ska bli så effektivt som möjligt. Utan sådana kunskaper dömer vi våra elever till att aldrig lämna nybörjarstadiet, och hur mycket vi än försöker visa dem hur de ska förändra sitt sätt att tänka kommer det aldrig att hjälpa.

Den här boken handlar först och främst om hur vi på bästa sätt ska kunna hjälpa våra elever att skaffa sig och behålla dessa ämnesspecifika kunskaper.

1.3 Vad tänker de på?

SÅ TÄNKTE JAG FÖRR Jag trodde att lektioner måste vara minnesvärda för att göra dem … tja, minnesvärda. Det resulterade i Den stora rulltårtekatastrofen i Bolton, Lancashire, 2014.

Det året undervisade jag i en underbar sjua, och vi hade just avslutat avsnittet om bråk. Vi hade gått igenom grunderna, och nu var det dags för dem att börja använda sina nya kunskaper i nya kontexter. Så jag gav dem följande problem att lösa tills dagen därpå: Tänk dig att du har 7 bitar rulltårta och att du kan stapla dem ovanpå varandra.

Vilket är det lägsta antalet snitt du behöver göra för att 12 personer ska få exakt lika stora bitar utan att det blir något över?

Samma kväll, medan mina elever grunnade på detta smarriga problem, åkte jag till snabbköpet och införskaffade den dyraste rulltårtan jag kunde hitta. Nu hade jag allt jag behövde för vad jag föreställde mig skulle bli en helt fantastisk lektion.

Och så blev det.

Utrustad med en plastkniv och en rulle hushållspapper satte jag igång med att presentera en verklighetsanknuten, praktisk lösning på ”rulltårteproblemet”.

Det flög grädde och sylt överallt och en alldeles särskilt smaskig fjärdedel försvann någonstans i dammet på golvet. Men vi fixade det till slut. Det var matematik i praktiken, och ungarna älskade det.

978-91-27-82371-6_Hjärnan i matematikundervisningen inlaga.indd 33

2018-09-26 09:59

Craig Barton

Daniel Barker är matematik- och fysiklärare på gymnasiet, föreläsare och författare till boken Flipped Classroom. Just nu utvecklar han digitala läromedel på heltid, bland annat NOKflex.

Vad skulle hända med din matematikundervisning om du stämde av den mot modern hjärnforskning? Skulle du, liksom den prisbelönte läraren och tillika författaren till denna bok, få din världsbild uppochnedvänd?

I den här banbrytande boken beskriver Craig Barton hur kognitionsforskningen radikalt fått honom att ompröva sin undervisning och anpassa den efter hur vi faktiskt lär oss och hur vårt minne fungerar.

Metodiskt berättar han vad forskningsrönen säger och vilka omvälvande konsekvenser de fått för hans sätt att undervisa.

I Hjärnan i matematikundervisningen omsätts forskning om psykologi och neurovetenskap i klassrumspraktiken, så att undervisningen kan bedrivas på vetenskaplig grund.

Boken vänder sig till alla blivande och verksamma lärare från förskoleklass till gymnasiet och lärarutbildare, som söker strategier och konkreta exempel för en matematikundervisning i samklang med kognitionsforskningen. ”En enastående och viktig bok.”

Dylan Wiliam

Hjärnan i matematikundervisningen

”Omvälvande! Det går inte att beskriva Craig Bartons bok på något annat sätt. På ett befriande och elegant vis granskar och plockar han isär sin egen undervisning i matematik för att bygga upp den med kognitionsforskningen som klangbotten. Resultatet blir en rik källa till undervisning på vetenskaplig grund som vi matematiklärare kan ösa ur under många år framöver. Det här är helt enkelt en fantastiskt inspirerande bok som jag hoppas att alla lärare får möjlighet att läsa.”

Craig Barton

e till r författar ä m o s , n niens r to Storbritan v Craig Ba a n e r ä , de bok rade denna hylla h respekte c o a ik r s g re gån en föreläsa v mest fram ä r ä n a H lärare. t ö r. matematik nde debat a iv g n o t dcast, som Maths Po och känd n o t r a B dd Mr skare Med sin po skända for ld r ä v t a ju v edier, ter där han in h sociala m c o g g lo b via sin samhet. och lärare, r uppmärk to s tt få n a har h

ISBN 978-91-27-82371-6

9 789127 823716

Barton_Tryckfardigt_27sept_v008.indd 1,3,5

2018-09-28 15:01