s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 2
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 3
Morgan Klang
HÅLLFASTHETSLÄRA
Liber AB
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 4
ISBN 978-91-47-05269-1 © 2009 Morgan Klang och Liber AB Redaktör: Jan-Eric Ohlsson Grafisk form och sättning: Arne Blom och Gudrun Carlsson / LLPS ek.för. Sättning av figurer: Julia Blom / LLPS ek.för. Omslag: Nette Lövgren Omslagsfoto: Glasshouse images/Nordic Photo Första upplagan 1 Repro: Repro 8 AB, Nacka Tryck: Kina 2009
Kopieringsförbud Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal, är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare.
Liber AB, 113 98 Stockholm tel 08-690 92 00 www.liber.se Kundservice tel 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: kundservice.liber@liber.se
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 5
Innehåll FÖRORD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1 HÅLLFASTHETSLÄRA OCH MEKANIK – EN INTRODUKTION . . . . . 13 2 PLANA FACKVERK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 Terminologi för plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Statisk bestämbarhet hos plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Stabilitet hos plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Analysmetoder för plana fackverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Knutpunktsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.2 Cremonas kraftplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.3 Ritters metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.4 Hennebergs metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3 NORMAL- OCH SKJUVSPÄNNINGAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 DEFORMATION, FÖRSKJUTNING OCH TÖJNING . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1 Förskjutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Förlängning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 Linjär töjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.4 Logaritmisk/sann töjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.5 Metoder för töjnings- och spänningsmätning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.5.1 Spänningsoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5.2 Trådtöjningsgivare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 MATERIALPROVNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1 Dragprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1.1 Proportionalitetsgräns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.2 Sträckgräns och resttöjningsgräns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 6
innehåll
5.2 5.3 5.4
5.5 5.6
5.1.3 Brottgräns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.4 Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.5 Upprepade på- och avlastningar, flytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1.6 Instabilitet vid dragprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Tryckprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Krypprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Hårdhetsprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4.1 Brinellprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.4.2 Vickersprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.4.3 Rockwellprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.4.4 Andra hårdhetsprov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Slagseghetsprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Utmattningsprovning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 KONSTITUTIVA SAMBAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.1 Linjärt, elastiskt material, Hookes lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2 Tvärkontraktion, Poissons tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.2.1 Dilatation av ett rätblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.3 Termisk töjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.4 Deformation vid enaxligt spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.5 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7 MATERIALMODELLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.1 Linjärt elastiskt, idealplastiskt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.1.1 Stelt, idealplastiskt material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.2 Linjärt elastiskt, linjärt deformationshårdnande material . . . . . . . . . . . . 103 7.3 Olinjärt deformationshårdnande material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.3.1 Ludwiks modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.3.2 Modell enligt Voce-Palm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.4 Viskoelastiska material, krypning, relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7.4.1 Kelvin-material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.4.2 Maxwell-material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7.5 Volymkonstans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.6 Flytlastförhöjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.7 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8 SUPERPOSITIONSPRINCIPEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 8.1 Krafter med samma angreppspunkt och riktning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.2 Krafter med olika angreppspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.3 Sammanfattning av superpositionsprincipen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 9 SKJUVNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 9.1 Skjuvtöjningar och skjuvvinklar, deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 9.2 Hookes lag för skjuvning, skjuvmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 9.2.1 E-modul och G-modul, oskiljaktiga vapenbröder . . . . . . . . . . . . 126 9.3 Vridning av tunnväggigt, cirkulärcylindriskt rör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.4 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 7
innehåll
10 TORSION AV RAKA AXLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10.1 Torsion av tunnväggigt rör med icke cirkulärt tvärsnitt . . . . . . . . . . . . 135 10.1.1 Elastisk energi p g a skjuvspänningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.1.2 Förvridning av tunnväggigt rör med icke cirkulärt tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 10.2 Torsion av axel med cirkelringformat tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.3 Torsion av massiv, cirkulärcylindrisk axel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.4 Torsion av axlar med icke-cirkulär sektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.4.1 Torsion av axel med elliptisk tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.4.2 Torsion av axel med rektangulärt tvärsnitt . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.4.3 Öppna tvärsnitt sammansatta av långsmala rektanglar . . . . . 149 10.4.4 Vlasovsk vridning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.5 Öppna och slutna sektioner – en jämförelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.6 Flytlastförhöjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.7 Öppna tunnväggiga tvärsnittsformer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 11 HOOKES GENERALISERADE LAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 12 PLANA TILLSTÅND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12.1 Plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12.2 Plant töjningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.2.1 Ångpanneformlerna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 12.3 Tunnväggigt, sfäriskt tryckkärl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.4 Bestämmelser för specifika produkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.5 Transformationer vid koordinataxelrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.5.1 Spänningstransformation vid plant spänningstillstånd . . . . . 170 12.6 Mohrs spänningscirkel vid plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . 173 12.6.1 Huvud-/principalspänningar vid plant spänningstillstånd . . 175 12.7 Töjningstransformation vid plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . 177 12.7.1 Mohrs töjningscirkel vid plant spänningstillstånd, huvudtöjningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.7.2 Töjningsmätning vid plant spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . 180 12.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 13 NÅGRA STORHETER OCH SAMBAND FÖR PLANA YTOR . . . . . . . . . 186 13.1 Geometricentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 13.2 Statiskt moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 13.3 Yttröghets- och deviationsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 13.4 Parallellförskjutna koordinataxlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 13.5 Roterade koordinataxlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.6 Huvudtröghetsaxlar och huvudtröghetsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 13.7 Polärt yttröghetsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 13.8 Tröghetsradier, tröghetsellips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 13.9 Lösta exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 13.10 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
7
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 8
innehåll
14 SPÄNNINGAR I RAKA BALKAR VID BÖJNING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 14.1 Jämviktsvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 14.2 Teckenkonventioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 14.3 Tvärkraft- och momentdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 14.4 Spänningar vid deformation i böjande momentets plan . . . . . . . . . . . . 215 14.5 Skev böjning, neutralaxel, neutrallager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.5.1 Böjspänningar vid skev böjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 14.6 Skjuvspänningar vid böjning av balk utsatt för tvärkraft . . . . . . . . . . . . 224 14.7 Flytlastförhöjning vid balkböjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 14.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 15 DEFORMATIONER VID BÖJNING AV RAK BALK . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.1 Krökningsradie, krökning och utböjning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 15.2 Elastiska linjens differentialekvation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 15.3 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 15.4 Superposition av elementarfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 15.5 Vinkeländringsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 15.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 16 STABILITET HOS AXIALBELASTADE STRÄVOR, KNÄCKNING ENLIGT EULER OCH TETMAJER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 16.1 Knäckning av fjäderbalanserad stel, rak sträva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 16.1.1 Knäckning av stel, rak sträva balanserad av progressiv fjäder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 16.1.2 Knäckning av stel, rak sträva med initial off-set-vinkel . . . . . 273 16.1.3 Knäckning av stela, raka strävor under andra betingelser . . . 275 16.2 Jämvikt och stabilitet ur potentiella energin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 16.3 Böjning av axiellt tryckta balkar av linjärt elastiskt material . . . . . . . . . 283 16.4 Eulerknäckning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 16.4.1 Reducerad knäcklängd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 16.4.2 Tröghetsradie, knäckspänning och slankhetstal . . . . . . . . . . . 293 16.4.3 Beräkningsgång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 16.4.4 Intermittent tvärförbundna strävor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 16.5 Elementarfall för axiellt belastade, raka balkar. Berryfunktioner . . . . . . 303 16.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 17 FLERAXLIGA SPÄNNINGSTILLSTÅND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.1 Jämvikts- och kompatibilitetsvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 17.2 Harmoniska och biharmoniska funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 17.2.1 Kompatibilitetsvillkor som spänningsrelationer . . . . . . . . . . . 320 17.3 Airys spänningsfunktion vid Cartesiska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . 322 17.4 Saint-Venants princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 17.5 Fleraxliga spänningstillstånd vid cylindriska/polära koordinater . . . . . 326 17.6 Airys spänningsfunktion vid cylindriska/polära koordinater . . . . . . . . 328 17.7 Töjningskomponenter vid cylindriska koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . 330 17.8 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 9
innehåll
18 ROTATIONSSYMMETRISKA KROPPAR MED AXIALSYMMETRISK SPÄNNINGSFÖRDELNING . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 18.1 Tjockväggiga, cirkulärcylindriska rör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 18.1.1 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 18.1.2 Axiella spänningar/töjningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 18.2 Rotationssymmetriska krympförband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 18.3 Rotationssymmetriska skivor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 18.4 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 19 FLYT- OCH BROTTHYPOTESER, EFFEKTIVSPÄNNING, DEVIATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 19.1 En- och tvåaxligt spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 19.2 Trescas flythypotes (skjuvspänningshypotesen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 19.2.1 Specialfallet en skjuvspänning och en normalspänning . . . . . 363 19.3 von Mises flythypotes (deviationsarbetshypotesen) . . . . . . . . . . . . . . . . 363 19.3.1 Specialfallet en skjuvspänning och en normalspänning . . . . . 368 19.4 Treaxligt spänningstillstånd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 19.4.1 Bestämning av huvudspänningar och huvudspänningsriktningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 19.4.2 Flytgränsytor i Haigh-Westwergaards spänningsrymd . . . . . . 374 19.5 Mohrs brottgränshypotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 19.5.1 Approximativa, linjära brottgränskurvor . . . . . . . . . . . . . . . . 379 19.5.2 Brottgränsyta vid linjär, approximativ brottgränskurva . . . . . 380 19.5.3 Effektivspänning vid rätlinjig brottgränskurva . . . . . . . . . . . . 383 19.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 20 SPÄNNINGSKONCENTRATION, KÄLVERKAN, FORMFAKTOR . . . . 391 20.1 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 21 BÖJNING AV PLATTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 21.1 Rektangulära plattor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 21.1.1 Randkrafter och randmoment för rektangulära plattor, ekvivalent (resulterande) tvärkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 21.1.2 Antal randvillkor som kan föreskrivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 21.1.3 Några olika typer av randvillkor för rektangulära plattor . . . . 411 21.1.3.1 Fast inspänd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 21.1.3.2 Fritt upplagd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 21.1.3.3 Helt fri rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 21.2 Lösta exempel för rektangulära plattor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 21.3 Övningsexempel på rektangulära plattor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 21.4 Cirkulära plattor med rotationssymmetrisk last och uppläggning . . . . 425 21.4.1 Några axialsymmetriska randvillkor vid cirkulära plattor . . . 430 21.4.1.1 Fritt upplagd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 21.4.1.2 Fast inspänd rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 21.4.1.3 Helt fri rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 21.4.1.4 Resterande randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
9
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 10
innehåll
21.5 Lösta exempel för cirkulära plattor med rotationssymmetrisk belastning och uppläggning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 21.6 Övningsexempel på cirkulära (hål-)plattor vid rotationssymmetrisk belastning och uppläggning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 22 ENERGIMETODER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 22.1 Maxwell-Bettis sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 22.2 Castiglianos sats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 22.3 Elastisk energi p g a normal- och skjuvspänningar . . . . . . . . . . . . . . . . 448 22.4 Elastisk energi i stänger, axlar och balkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 22.4.1 Elastisk energi vid dragning/tryck av rak stång . . . . . . . . . . . 450 22.4.2 Elastisk energi vid vridning av rät, cirkulärcylindrisk (hål-)axel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 22.4.3 Elastisk energi vid vridning av tunnväggig, sluten profil . . . . 455 22.4.4 Elastisk energi i rak balk p g a böjande moment . . . . . . . . . . 456 22.4.5 Elastisk energi i rak balk p g a tvärkraft vid böjning . . . . . . . . 458 22.5 Lösta exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 22.6 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 23 UTMATTNING (FATIGUE, ERMÜDUNG) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 23.1 Säkerhetsfaktorer vid utmattning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 23.2 Inverkan av egenspänningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 23.3 Korrektionsfaktorer för Goodman-, Haigh- och Wöhlerdiagram . . . . . 482 23.3.1 Teknologiskt volymberoende, λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 23.3.2 Geometriskt storleksberoende, δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 23.3.3 Ytbeskaffenhet, κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 23.3.4 Korrektionsfaktor för ytbeläggning, υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 23.3.5 Korrektionsfaktor för mekanisk ytbehandling, χ . . . . . . . . . . 486 23.3.6 Korrektionsfaktor för termisk ytbehandling, ψ . . . . . . . . . . . 486 23.3.7 Korrektionsfaktor för omgivningsmiljö, μ . . . . . . . . . . . . . . . 487 23.3.8 Modifiering av diagram med hänsyn till total korrektionsfaktor och för spänningsvariation med mittspänning . . . . . . 487 23.4 Anvisningsfaktor och kälkänslighetsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 23.4.1 Löst exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 23.4.2 Alternativ metod för korrigering av diagram med hänsyn till formfaktor och anvisningsfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 23.5 Miner-Palmgrens linjära delskadeteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 23.6 Löst exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 23.7 Utmattning som statistisk företeelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 23.8 Löst exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 23.9 Övningsexempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 REFERENSER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 SAK- OCH PERSONREGISTER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 APPENDIX 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
10
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 11
Förord Svenska läroböcker i hållfasthetslära på akademisk nivå är tämligen sällsynta. Efter professor Folke Odqvists monumentala verk ”Hållfasthetslära” från 1948 och baserad på hans föreläsningar vid KTH under åren 1936 till 1947, kan produktionen av inhemska bokverk inom ämnesområdet räknas på ena handens fingrar. Bland den lite äldre generationens examinerade är professor Jan Hults (CTH), ”Bära, brista”, väl bekant. Medan många av dagens högskolestuderande svettas över professor Tore Dahlbergs (LiTH), ”Teknisk hållfasthetslära”. Däremot finns ett rikhaltigt urval av anglosachsisk kurslitteratur. Många studerande föredrar emellertid litteratur på svenska. Eller som en av mina studenter uttryckte saken: ”Man skall väl inte behöva en engelsk stege för att plocka kunskapens äpple från ett svenskt träd.” Det kan därför knappast ses som en överloppsgärning att ytterligare ett svenskspråkligt alster inom området ser dagens ljus. Målgruppen för boken är studerande vid lärosäten som utfärdar civilingenjörsexamen, högskoleingenjörsexamen eller mastersexamen med inslag av strukturmekaniska kurser. Vägledande vid urvalet av material i boken har varit att så långt möjligt täcka behoven för akademiska grundkurser i hållfasthetslära. Bokens nivå förutsätter förkunskaper i matematik och mekanik som i huvudsak överensstämmer med vad som krävs för ovannämnda examina. Läsarna förutsätts familjära med ordinära och partiella derivator och med Riemannintegraler. För kapitlet om utmattning behövs elementära insikter i statistik. Samma kapitel har begränsats till att behandla problem av deterministisk art. Detta eftersom endast ett fåtal utbildningar inom maskinteknik inkluderar kurser i stokastiska processer. För dynamiska förlopp intar kunskap om mekaniska svängningar en central roll. Flertalet kurser i mekanik har tillräckliga inslag av svängningslära. Därför har detta moment uteslutits helt i denna bok. Likaså har även finita elementmetoder (FEM) uteslutits. Detta område är så
11
s001 012 HFL 00 09 02 10 12.24 Sida 12
förord
omfattande att det förtjänar en separat bok. Som N. S. Ottosen och Hans Peterssons: ”Introduction to the finite element method”. Eller “fem i praktiken” av Staffan Sunnersjö. Den ringa teoribildning i brottmekanik som kan rymmas i en grundkurs i hållfasthetslära, har visat sig otillräcklig för dimensionering av i praktiken förekommande strukturer. Och även här finns separat litteratur att hämta. Som ”Brottmekanik” av professor Janne Carlsson, KTH. Av denna anledning saknas inslag om brottmekanik. Inom hållfasthetsläran har man ovärderlig nytta av olika diagram och tabeller. För att hålla nere bokens omfång, har sådant material inkluderats mer för att visa vilka typer av uppgifter som finns tillgängliga och hur dessa används. Därför behövs något separat verk med formler, tabeller och diagram. Förslag till några lämpliga sådana lämnas i referenslistan i bokens slut. Formlerna blir med nödvändighet många och ibland även långa. Därför behövs någon form av prioritering mellan dem. De formler som används flitigast vid praktiskt beräkningsarbete har markerats genom att formelns nummer, t ex (18:23), skrivits med fetstil. Formler, vars nummer är skrivna med normal stil, t ex (18:19), är antingen delresultat i härledningar, eller har bedömts som mindre ofta använda slutresultat. Begrepp som antas nya för läsaren, har kursiverats i den löpande texten. Ibland enbart första gången de uppträder, ibland flera gånger. Ord som kursiverats, återfinns i sakregistret. Men för att underlätta sökning finns i sakregistret även andra sökord. När så bedömts befogat, har typexempel med tillhörande lösningar införlivats i texten. Flertalet kapitel avslutas också med ett antal övningsexempel med svar. Ett innerligt tack till min lagvigda livskamrat, som under hela författartiden visat en beundransvärd tålmodighet och förståelse. Och som vid försök att dryfta familjeangelägenheter mestadels mötts av obegripliga muttranden, förströdda ”hmm” och stundtals svavelosande eder över trilskande datorer, programvara, modem och skrivare. Tack också till vår son, civilingenjör Thomas Klang, som vid åtskilliga tillfällen framgångsrikt konsulterats angående vägar ut ur datorrelaterade svårigheter. Liksom till fil lic Lars Yström. Utan hans vägvisning i programvarans labyrinter hade författandet blivit än mer mödosamt. Karlskoga i november, 2008
12
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 13
1 Hållfasthetslära och mekanik – en introduktion Enkelt kan hållfasthetslära sägas vara läran om strukturers bärande förmåga och hur de deformeras under inverkan av yttre kraftsystem. Bärförmågan kvantifierar hur stor belastning en given struktur tål, utan att brott uppträder eller utan att oönskat stora deformationer uppkommer. I nästan alla konstruktioner eftersträvas att strukturen återtar sin ursprungliga form och storlek, om belastningen avlägsnas. I sådana fall måste belastningen väljas lägre än vad som skulle bli fallet, om belastningen tillåts anstränga materialet nästan till brott. Men det finns ytterligare anledningar till att en struktur havererar eller upphör att ge avsedd funktion. Instabilitet kan inträffa, deformationen kan vid statisk belastning långsamt öka med tiden. Vid med tiden varierande belastning sker så småningom brott vid betydligt lägre lastnivå än vad som skulle vara fallet, om istället en konstant, statisk belastning motsvarande belastningens toppvärde fått verka. Inom mekanikens statikavsnitt studeras jämvikten för kroppar som antas stela. Stela kroppar uppvisar ingen förändring av storlek eller form. De deformeras inte, när de utsätts för belastningar. Inom dynamiken förekommer förflyttningar av kroppar genom rotation och/eller translation. Men kropparna som helhet antas fortfarande stela. Den enda formförändring som förekommer i mekanik, är den förlängning eller kompression som finns i diskreta fjädrar. Dessa anses vanligen endimensionella och linjärt elastiska. Om formförändringen är en translation, sker denna i fjäderns axiella riktning och längdändringen är proportionell mot den på fjädern verkande axialkraften. Denna kan endera vara en dragkraft eller en tryckkraft. Den förra ger en förlängning av fjädern, den senare en förkortning. Om formförändringen innebär en vinkeländring, blir denna proportionell mot det på fjädern verkande kraftparet.
13
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 14
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
Inom mekaniken ägnas de krafter och moment som uppkommer inuti en kropp eller inuti samverkande kroppar föga intresse. På frågan hur stora krafter eller moment som verkar i en bestämd punkt eller på ett litet volymelement i en kropp lämnar mekaniken inget svar. Och skälet härtill är enkelt. För att besvara en sådan fråga behövs inte bara kännedom om kroppens geometri och verkande yttre laster. Det krävs även vetskap om den form- och volymförändring kroppen uppvisar vid belastning. Krafterna på varje volymelement beror med andra ord på hur elementet ifråga deformeras. Om exempelvis motriktade kraftpar verkar i respektive ände av en rak bräda som figur 1.1 visar, kommer brädans övre skikt att komprimeras medan dess undre skikt förlängs. Volymelement i brädans övre delar kommer därmed att utsättas för tryckkrafter. Volymelement i brädans undre delar utsätts däremot för dragning.
Figur 1.1 Böjning av bräda. Till vänster obelastad, till höger belastad med kraftpar.
Den största dragkraften respektive tryckkraften uppstår i volymelement belägna i det understa respektive översta skiktet av brädan. Och någonstans däremellan kan förväntas finnas volymelement, som inte utsätts för vare sig drag- eller tryckkrafter. Hållfasthetslära innebär att mer sofistikerade modeller används för en strukturs beteende än de som kommer till användning i klassisk mekanik. Man kan därför betrakta hållfasthetslära som en utvidgning av mekaniken, där inte bara kraftspelet mellan yttre belastningar analyseras, utan även de krafter som uppträder inuti en kropp fastställs. Kroppen behandlas inte längre som stel, utan som deformerbar. Material idealiseras i många fall till strukturlös materia, ett s k kontinuum. Detta trots att fast materia uppbyggs av regelbundet ordnade atomer, vilka i sin tur bildar diskreta kristaller. Idealiseringen medför att materians egenskaper kan beskrivas med kontinuerliga matematiska funktioner i rummet och tiden. Denna inriktning eller delmängd av hållfasthetsläran kallas kontiniumsmekanik. Hållfasthetsläran har alltså sin bas i mekaniken. För att bli en framgångsrik hållfasthetsanalytiker krävs därför god kännedom om och förståelse för mekanik. Men hållfasthetsläran handlar inte enbart om att bestämma kraftspelet inuti en kropp. Ibland måste hållfasthetslära tillgripas även för att bestämma yttre krafter. För ett tredimensionellt system förfogar vi enligt från statiken kända samband över sex ekvationer för t ex bestämning av de s k stödreaktionerna vid jämvikt. Tre ekvationer för kraftjämvikt, vanligtvis i mot varandra vinkelräta riktningar och tre ekvationer för momentjämvikt. Ur dessa sex ekvationer kan alltså sex obekanta storheter beräknas.
14
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 15
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion F
x
P 45˚
y H L1
A
L2
V
L
Figur 1.2 Stång belastad med yttre krafter; statiskt bestämbara stödreaktioner.
För ett tvådimensionellt fall reduceras antalet ekvationer och därmed antalet obekanta som kan bestämmas till tre stycken, två ekvationer för kraftjämvikt och en ekvation för momentjämvikt. Så går det t ex att med statikens hjälp bestämma reaktionskrafterna, även kallade stödkrafterna, för en rak stång upplagd på två stöd, det ena fixt, det andra rörligt i stångens längdriktning som figur 1.2 visar. Stången antas vara masslös men belastad med två yttre krafter, F och P. Det rörliga stödet till höger (rullagrat stöd ) kan enbart uppta krafter (A) vinkelrätt mot stångens längdriktning medan stödet till vänster (fixt stöd ) kan uppta krafter både vinkelrätt mot (V) och längs med (H) stången. I det mot figurplanet vinkelräta planet antas inga krafter verka. Därmed föreligger ett tvådimensionellt problem. I figur 1.2 är både fysiska stöd och stödreaktioner/stödkrafter utsatta. Ett ritsätt som ibland används i boken och enbart med syfte att reducera figurantalet. Som nybörjare gör man klokt i att rita två separata figurer. Den ena med stöd men utan stödreaktioner. Den andra utan stöd men med stödens verkan ersatt med stödreaktioner. Friläggning innebär ju just att eliminera kontakten med omgivningen (d v s avlägsna stöden) och istället införa de krafter och kraftpar som stöden utövar på den struktur som skall analyseras. Jämvikten för stången i x-riktningen kräver: F 2
+H=0
(1:1)
och i y-riktningen: F
−
2
+P− V − A =0
(1:2)
medan momentjämvikt med avseende på den vänstra stödpunkten ger F 2
L1 − PL 2 + AL = 0
(1:3)
15
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 16
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
Med de yttre lasterna F och P kända föreligger tre obekanta, reaktionskrafterna A, V och H. Men eftersom tre ekvationer kan formuleras, räcker dessa exakt för att efter lösning med t ex Gauss-eliminering ge resultaten: H=–
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
F
2 L2 L A= P− 1 F L 2L L − L2 L − L1 V= P− F L 2L
(1:4)
Men om rullstödet byts ut mot ett fixt stöd enligt figur 1.3, blir förhållandet plötsligt annorlunda. Istället för tre obekanta finns nu fyra, A, B, V och H. Men fortfarande kan endast tre ekvationer uppställas, vilket inte räcker för att lösa problemet. Problemet är inte längre statiskt bestämt – isostatiskt, utan statiskt obestämt – hyperstatiskt. Därmed räcker mekaniken inte längre till ens för att bestämma stödkrafternas storlek. Än mindre kan man med mekanikens hjälp bestämma inre krafter i någon punkt eller något volymelement i stången. Varför räcker då inte jämviktsvillkoren för fallet i figur 1.3? När stången skall monteras till stöden genom svetsning eller fastskruvning kan den vara något för lång för att passa. Den måste då tryckas samman för att kunna monteras, varvid en tryckkraft byggs in i stången redan vid monteringen. Om stången istället är för kort för att räcka mellan stöden, måste den förlängas en smula vid monteringen, varvid en dragkraft byggs in i stången. I bådadera fallen finns alltså en inre axiell kraft i stången redan innan lasterna F och P appliceras. Hur stor denna initialkraft är, beror naturligtvis på hur stort monteringsfelet är, d v s på hur mycket längre eller kortare än stödavståndet stången är. Och på hur styv stången är, d v s på stångens fjäderkonstant. Men hur förhåller det sig, om stånglängden precis råkar överensstämma med stödavståndet? Bör man inte då med symmetrins hjälp kunna förutspå att stödreaktionerna H och B blir lika stora och därmed vardera utgör H=B=−
F
?
2 2 F
x
P 45˚
y Figur 1.3 Stång belastad med yttre krafter; statiskt obestämbara stödreaktioner.
16
B
H L1 V
A
L2 L
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 17
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
Nej, så blir inte fallet. Stångdelen mellan x = 0 och x = L1 blir utsatt för en dragkraft och förlängs medan stångdelen mellan x = L1 och x = L blir utsatt för en tryckkraft och förkortas. Men eftersom stödavståndet är fixt måste vänstra stångdelens förlängning exakt överensstämma med den högra stångdelens förkortning. Om så inte vore fallet, skulle antingen den vänstra stångdelen tränga in i den högra eller ett glapp uppstå mellan delarna. Men överensstämmelse mellan delarnas deformation föreligger bara under vissa betingelser, t ex om L1 råkar överensstämma med halva stånglängden och om dessutom stångens tvärsnittsarea är densamma i alla tvärsnitt. Detta enkla exempel visar att även för att bestämma yttre krafter, t ex stödreaktioner, är kunskap om hållfasthet väsentlig. Den första kända analysen av balkböjning och som kan betraktas som hållfasthetslärans födelse, genomfördes av Galileo Galilei (1564 –1642). Hans analys utmynnade i en brottlast som var tre gånger så stor som den rätta. Ytterligare ett hundratal år skulle passera, innan utböjningen av balkar studerades, ett problem som tilldrog sig stort intresse bland dåtidens framstående matematiker. Trots att Galileis teori gav en felaktig storlek på brottlasten, drog han flera korrekta slutsatser om balkars bärförmåga genom jämförelser. Bl a visade han att brottlasten för en balk med rektangulärt tvärsnitt på högkant blir lika många gånger högre än för samma balk på lågkant som sidoförhållandet anger. Ett resultat som står sig än idag och är välkänt för såväl amatör- som yrkessnickare. Men innan Galilei ens sett dagens ljus, uppfördes mäktiga byggnadsverk av vilka många än idag vittnar om föredömlig ingenjörskonst. Den av Buonarroti Michelangelo (1475 –1564) ritade kupolen till Peterskyrkan i Rom med en diameter på 40 m och en vikt av cirka 10 000 ton är en imponerande skapelse. Kupolen är ett i toppen och vid basen förenat rotationssymmetriskt dubbelskal med cirka 1,5 m tjocklek på det inre skalet och 1,0 m tjocklek på det yttre. Gissningsvis har Michelangelo gjort något slags beräkningar, men några sådana har inte påträffats. Däremot finns skisser bevarade, som antyder att han dels var förtrogen med statikens lagar, dels förstod kraftspelet i en valvbåge. År 1740 uppstod sprickor i kupolen. Den dåvarande påven, Benedictus XIV tillkallade den tidens mest framstående vetenskapsmän i syfte att inventera möjliga reparationsåtgärder. Lösningen blev ett järnband runt kupolens bas. Och som alla som varit i Rom kan konstatera, står kupolen kvar än idag, 500 år efter sitt uppförande. Som ett belägg för utvecklingen av dimensioneringsmetoderna och materialtekniken kan en jämförelse med en kupol med samma spännvidd som Peterskyrkans göras. Kupolen uppfördes i Jena 1925, men kupolhöjden är bara en fjärdedel av Peterskyrkans och därmed hållfasthetsmässigt ogynnsammare. Trots detta är taktjockleken på Jenakupolen bara 6 cm mot Peterskyrkans 2,5 m.
17
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 18
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
I takt med krav på konstruktioner att förena hög styrka och styvhet med låg vikt, har hållfasthetsläran utvecklats till en avancerad vetenskap för dimensionering av strukturer och strukturdelar. Och inte bara för statiska laster och med hänsyn till brott eller kvarstående deformationer utan även för kontroll av stabilitet, inverkan av periodiska, transienta eller slumpmässigt varierande belastningar. I många fall måste hänsyn tas till temperaturvariationer. Sådana orsakar dimensionsförändringar av strukturen, vilket kan medföra inre krafter i denna utöver vad de yttre lasterna förorsakar. Om som exempel stången i figur 1.3 värms upp, kommer den att försöka förlängas. Men förlängning omöjliggörs av de fixa stöden, varför en tryckkraft istället uppstår i stången. Om tryckkraften blir tillräckligt stor, kommer stången att böjas ut. Ett fenomen som kallas knäckning. Järnvägsräls på träslipers lades förr med några millimeters mellanrum mellan rälsändarna för att undvika knäckning vid höga sommartemperaturer, s k solkurvor. Modern räls förankras i betongslipers, vilka förmår fixera rälsen vid uppvärmning trots att rälsändarna svetsas samman. Svetsad räls medför dels bättre åkkomfort i form av lägre ljudnivå, dels mindre påfrestning på hjul och hjulringar. Materialegenskaper kan vara beroende av den omgivande miljön. Så innebär ofta en hög relativ fuktighet korrosionsproblem i metalliska material, medan neutronstrålning som förkommer i kärnkraftverkens trycktankar, orsakar en degenerering av materialet. Material som under lång tid utsätts för belastning kommer att undergå en långsam dimensionsförändring, s k krypning. Detta är speciellt uttalat för polymerer redan vid rumstemperatur och för metalliska material vid höga temperaturer. Vid dimensionering av brännkammare, överhettartuber och turbinskovlar, blir krypningen ofta dimensionerande. Ett område, där det fortfarande finns betydande luckor i vetandet är utmattning, d v s brott p g a tidsmässiga variationer av laststorleken. I detta sammanhang har en senkommen gren av hållfasthetsläran, brottmekanik, blivit till ovärderlig hjälp i samband med förståelsen för sprickinitering och sprickfortplantning. För att analysera strukturer ur hållfasthetssynpunkt fordras uppenbarligen fler relationer än de som jämviktsvillkoren genererar. De ytterligare relationer som krävs brukar benämnas kompatibilitetsvillkor respektive konstitutiva villkor. Kompatibilitetsvillkoren är geometriska samband mellan deformationer i strukturens delar. De beskriver villkoren för att angränsande materialpartier varken tränger in i varandra eller skiljs åt, så att hålrum (kaviteter) uppstår. Kompatibilitetsvillkoren och jämviktsvillkoren formuleras helt oberoende av varandra. Sambandet mellan inre strukturkrafter (egentligen spänningar vilka beskrivs längre fram i boken) och uppkommande deformationer (egentligen töjningar vilka också beskrivs längre fram i boken), ges av de konstitutiva villkoren. En enklare term för konstitutiva samband är närmast materialsamband. Sambanden för jämvikt och kompatibilitet ger tillsammans med de konstitutiva sambanden ett tillräckligt antal ekvationer för att bestämma förhållandena (kraf-
18
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 19
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
ter, spänningar, deformationer, töjningar, förskjutningar) i varje punkt i en struktur. Däremot är det naturligtvis inte ovanligt att lösningen av ekvationerna vållar problem. Detta gäller speciellt om strukturens geometri avviker från enkla former, eller om de konstitutiva sambanden är komplexa. Endast för enkla geometrier och linjära konstitutiva samband är det i allmänhet möjligt att finna analytiska lösningar. För andra geometrier får approximativa, numeriska lösningsmetoder tillgripas. Bland dessa intar FEM (Finite Element Method) en tätplats. Men även andra metoder såsom BEM (Boundary Element Method) kommer till användning. Utvecklingen av programvara för strukturanalys har resulterat i en flora av kommersiella beräkningsprogram. Detta innebär inte att beräkningsingenjörers insikter om grundläggande hållfasthet eller strukturanalys kan tonas ned. För att framgångsrikt kunna bedöma och värdera resultaten från en datorberäkning liksom för att kunna utföra förenklade överslagsberäkningar, är goda kunskaper om de teorier och samband på vilka datorberäkningarna baseras nödvändiga. Likaså är kännedom om de olika haveriorsaker (brott, kvarvarande deformation, korrosionsutmattning, termisk utmattning, ytutmattning, instabilitet, resonans, krypning, vågutbredning) som kan uppträda i strukturer ovärderliga. Hängbron över Tacomasundet i Washington togs i bruk 1940 och dimensionerades för en vindstyrka av 54 m/s. Mindre än ett halvår efter invigningen blåste under flera timmar en nästan konstant vind av 19 m/s, varvid brospannet råkade i svängning med alltmer ökande amplitud. Efter några timmars blåst brast hängkablarna mellan bärlinorna och brobanan och av den senare föll 330 m ned i vattnet. Haveriet föreföll till en början oförklarligt, eftersom bron konstruerats enligt gällande normer och något materialfel inte kunde påvisas. Efter en omfattande haveriundersökning med bl a modellförsök i vindtunnel konstaterades att haveriet orsakats av ett förbisett fenomen – självinducerande svängningar. Dessa svängningar exciteras och tilltar under inverkan av en konstant last. Den betydande ungerskfödde aerodynamikern Theodor von Kármán (1881– 1963) fann så småningom att nedströms ett föremål i en konstant verkande luftström bildas virvlar, vilka pulserar med en bestämd frekvens. En påtagbar illustration till detta är, att en vimpel fladdrar i blåsten även vid konstant vindhastighet och vindriktning. När virvlarna förflyttas utmed vimpeln alstras tryckvariationer utmed vimpeln. Samma fenomen är orsaken till, att det från luftburna telefonledningar ibland kan höras ett karakteristiskt ljud, ”trådarna sjunger”. I likhet med fiolsträngar försätts de i svängning – inte av en stråke utan av en konstant verkande vind. På läsidan av Tacoma Bridge genererade den vid tillfället rådande vindhastigheten en virvelfrekvens, som överensstämde med brons egenfrekvens. Brobanan råkade därmed i resonans med alltmer ökande svängningsamplitud. Förloppet kan jämföras med en vanlig gunga. Genom att stöta till gungbrädet i rätt ögonblick, d v s i ena vändläget, kan man få gungan att svänga allt kraftigare för att så småningom eventuellt beskriva en komplett cirkelbana. Gungan ”slår runt”.
19
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 20
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
Det paradoxala i sammanhanget är, att om vindhastigheten hade ökat, skulle virvelfrekvensen ej längre ha överensstämt med brons egenfrekvens, och haveriet skulle ha undvikits. Väl känt och dokumenterat är även haverierna av de s k ”Liberty-fartygen”. Cirka 3 000 sådana fartyg byggdes i USA i snabb takt under andra världskriget, dels för torrlast, dels som tankfartyg. Så stora fartyg hade tidigare haft nitade skrov som nu istället svetsades ihop. Det första haveriet inträffade i Portlands hamn vid lugnt väder utan sjögång, varvid skrovet sprack helt av mellan förskepp och akterskepp. Sedan kom haverierna i tät följd. Några år efter krigsslutet hade 233 fartyg totalhavererat och ett tusental hade allvarliga sprickor i bordläggningen. Förklaringen var det som kallas sprödbrott. Ett stål som vid normal temperatur är segt, d v s kan deformeras avsevärt innan brott, kan vid lägre temperaturer bli sprött, innebärande att även en obetydlig deformation leder till brott. Haverierna av dessa fartyg blev startsignal till en omfattande forskning inom den gren av hållfasthetsområdet som kallas brottmekanik. Sprödbrott var i och för sig känt sedan tidigare. I ”Journal of the British Iron and Steel Institute” från 1879 återfinns en artikel om brott i det cirka 20 år tidigare introducerade Bessemerblåsta stålet. 1919 rämnade en sirapstank med 30 m diameter i Boston. Sirapen dränkte 12 personer och skadade 40. Uppgifterna varierar dock mellan olika källor. En annan källa uppger 21 dödade och 150 skadade. Ett stort antal hästar drunknade, byggnader demolerades och delar av Bostons högbana för pendeltåg förstördes. Vid den efterföljande utredningen konstaterades att materialansträngningen (spänningen) visserligen varit hög intill vissa nithål men inte hög nog att förorsaka brott. Däremot föreföll stålet vara sprödare än normalt. Vid jämförelse med tidigare kända haverier fann man en gemensam nämnare – de hade inträffat vintertid vid kall väderlek eller efter omslag från låg till avsevärt högre temperatur. 1944 exploderade en behållare för flytande gas i Cleveland. 128 personer omkom. För att undersöka materialegenskaperna i behållarens inre skal, företogs s k slagprov, vilka ger ett mått på materialets brottseghet. Proven företogs vid den normala drifttemperaturen för plåten, –180°C, varvid man fann att brottsegheten var otillräcklig. Något som i sin tur var en konsekvens av att plåtmaterialet ej som föreskrivits hade normaliserats efter valsningen. Runt 80 procent av alla maskinhaverier anses ha sitt ursprung i utmattning, d v s brott orsakat av varierande laster. Ett exempel är haverierna av den första typen av jetplan för reguljär trafik, Cometplanen, som sattes i trafik 1952. Redan 1954 skedde två störtningar, en utanför Elba och en utanför Neapel. Samtliga Cometplan togs ur drift, och haverierna initierade den sannolikt största haveriutredningen i flygets historia. Som ett led i denna byggdes bl a en gigantisk vattentank, där lufttrycksvariationerna mot flygkroppen kunde simuleras. Vingarna belastades med krafter svarande mot start, flygning och landning. Efter ett lastprogram som
20
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 21
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
motsvarade 9 000 flygtimmar slets en plåtpanel bort från kroppen, sedan en spricka initierats vid var sitt fönsterhörn och därpå fortplantats mellan fönstren. Resultatet var en lysande bekräftelse av de hypoteser som uppställts och som resulterat i en ganska entydig bild av haveriförloppet. Ett gammalt, om än spektakulärt utmattningsfenomen omnämns redan i Bibeln (Josua, kap 6, verserna 3 – 20). Att Jerikos murar föll sedan Josuas sju präster under sju dagar blåst i jubelbasunerna, kan tillskrivas en naturvetenskaplig förklaring. Fenomenet kan ha orsakats av lågcykelutmattning p g a pulserande luftstötvågor. Trots framstegen inom hållfasthetslärans domäner inträffar fortfarande dramatiska haverier som orsakas av ofullkomlig dimensionering eller av belastningar, som överskrider de nivåer som använts vid dimensioneringen eller ej ens förutsetts vid denna. Såsom undergången av färjorna Jan Hevelius 1993 och Estonia 1994 och oljeplattformen Alexander Kielland 1980. Haverier som dessa är självfallet katastrofala. Förutom tragiken bakom omkomna och skadade människor innebär de ekonomiska konsekvenser i form av kapitalförstöring och driftavbrott. Den enda positiva faktorn med sådana händelser är, att efterföljande haveriutredningar tillfört mycket ny och värdefull kunskap inom hållfasthetsområdet. Kunskap som i många fall inte skulle ha varit tillgänglig, om haverierna aldrig inträffat. På moderna industriskorstenar av plåt kan t ex erfarenheter från Tacomahaveriet beskådas. Höga, slanka skorstenar förses med en påsvetsad plåtspiral med stor stigning just för att vid blåst förhindra uppkomsten av pulserade virvlar på läsidan. Kraftledningar i luft förses ofta med passiva svängningsdämpare i form av till ledningarna vid strategiska punkter fastklammade stumpar av stålwire med vikter i vardera änden enligt figur 1.4. Stålwiren fungerar som fjäder och vikternas storlek avvägs så, att dämparens egenfrekvens överensstämmer med ledningens förväntade svängningsfrekvens. Om ledningen och därmed stålwiren kommer i svängning, kommer energi att överföras från ledningen till wiren, som råkar i böjsvängning. Härvid glider wiretrådarna mot varandra och en stor del av den påtvingade energin förbrukas istället för att öka svängningsamplituden hos ledningen. I amerikansk litteratur går denna dämpartyp under namnet ”Stockbridge damper”. Självinducerade svängningar kan uppkomma i många andra konstruktioner. Så måste t ex insprutningsventiler till dieselmotorer ges en viss dämpning av plungen,
Figur 1.4 Stockbridge-dämpare för kraftledningskabel.
21
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 22
1. hållfasthetslära och mekanik – en introduktion
för att bli stabil. I axiella ångturbiner kon rotorn börja oscillera i axiell riktning, om inga speciella konstruktiva åtgärder görs för att hindra detta. Under ogynnsamma omständigheter kan rörledningar liksom flygplansvingar råka i häftiga svängningar vid till synes statiska driftförhållanden. Ett fenomen som är väl känt av hydrauliker och aerodynamiker och som går under namnet ”fladder”.
22
s013 204 HFL 01 13.qxd 09 02 10 14.50 Sida 23
2 Plana fackverk Fackverk utgör en typ av strukturer, som ligger i gränslandet mellan mekanik och hållfasthetslära. Med fackverk avses en struktur bestående av tre eller fler raka stänger. Stängerna är förenade med varandra i sina ändpunkter med friktionsfria leder. Istället för ändpunkter används begreppet knutpunkter. Fackverk belastas med krafter i en eller flera av knutpunkterna. Eftersom dessa är ledade, kan stängerna bara överföra krafter i respektive stångs längdriktning, d v s axiella krafter. Fackverket benämns plant, om alla ingående stänger och knutpunkter kan anses ligga i ett och samma plan och om angripande yttre krafter likaså verkar i detta plan.
2.1 Terminologi för plana fackverk
Med en stång avses en rak, stavformig kropp vars utsträckning i det mot längdriktningen vinkelräta planet är liten. Med fält avses ett plant område i form av en månghörning, som innesluts av sinsemellan förenade stänger. Med ett enkelt fackverk avses något förenklat uttryckt ett fackverk uppbyggt av triangulära fält. Enligt en mer strikt definition kallas fackverket enkelt, om det stegvis kan monteras på sådant sätt, att vid varje steg byggs strukturen upp av två stänger som är inbördes förenade i en knutpunkt. Varje tillkommande stångpar förbinds med redan skapade knutpunkter. Förfarandet fortgår tills en enda stång
23