Por. Segundo Silva Maguiña
Progresiones Geométricas
Por: Segundo Silva Maguiña Caminante camino se hace al andar, al sortear dificultades y despeñaderos, se te hace mas fuerte y sostenible en el tiempo con la luz del conocimiento.
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Progresiones Geométricas
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1. Concepto.
Progresiones Geométrica
Geométricos: 1, 3, 9, 27, 81 Razón Geométrica: 3
Una progresión geométrica (o sucesión geométrica) es una sucesión en la que cada término an se obtiene multiplicando al término anterior an 1 por un número r llamado razón. La razón de una sucesión geométrica se denota por r y debe ser constante en toda la sucesión.
1. Razón de una progresión Geométrica:
TérminosEjemplo:
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La razón de una progresión geométrica se calcula dividiendo términos consecutivos:
Ejemplo:
2. Término general:
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El término general de una sucesión geométrica se calcula a partir del primer término a1 y de la razón r.
El término general permite calcular cualquier término de la sucesión sin necesidad de calcular los anteriores.
a) Si el primer término de la sucesión es positivo, entonces.
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3. Monotonía de una progresión: La monotonía de una sucesión geométrica depende del signo del primer término y del valor de la razón:
b) Si el primer término de la sucesión es negativo, entonces
Nota: la segunda fórmula se ha calculado utilizando la fórmula del término general en la primera fórmula de la suma. Nosotros utilizaremos la primera en los problemas.
En cualquier caso, si r = 1, la sucesión es constante; y si r < 0, es alternada. Las progresiones alternadas son aquellas en las que cada término tiene el signo contrario al del término que le precede.
4. Suma de n Términos: Para sumar los primeros n términos de una progresión geométrica disponemos de varias fórmulas:
• 1, 2, 1 ,2, 1
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Dividimos el segundo término entre el primero:
No es una progresión geométrica porque no obtenemos la misma razón si dividimos distintos términos. Por ejemplo,
• 1, 1, 1, 1
Dividimos el tercero entre el segundo para comprobar que la razón no cambia:
• 1, 3, 9, 27, 81
Por tanto, la razón de la Progresión Geométrica, es: r = 3.
Situación 1:
Trabajo
¿Son geométricas las siguientes progresiones? En caso afirmativo, ¿cuáles son sus razones?
Solución
• 1, 2, 3, 4, 5
Cuando la razón de la progresión es | r | < 1 se pueden sumar todos los términos mediante la fórmula:
Calculamos la razón dividiendo términos consecutivos:
5. Suma de todos los términos:
• 1, 2, 3, 4, 5, …
Situación 2:
Determinar la razón de la siguiente progresión geométrica: 4, 12, 36, 108, …
• 1, -1, 1, -1, 1
Solución
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Cada término se obtiene sumando, 1 al término anterior, así que se trata de una progresión aritmética con diferencia d = 1
• 1, 3, 9, 27, 81, Es una progresión geométrica con razón, r = 3.
Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas:
Solución
• 1, 1, 1, 1, 1, … Es una progresión constante (razón r = 1)
La fórmula del término general es: Necesitamos calcular la razón de cada progresión.
• 1, 5, 25, 125, … La razón es: r = 5
• 1, 2, 1, 2, 1, … No es una progresión geométrica:
• 1, − 1, 1, − 1, 1, … Es una progresión geométrica con razón, r = - 1
Situación 3:
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• 2, − 4, 8, − 16, … La razón es r = 2:
El término general es:
El término general es:
Si aplicamos las propiedades de las potencias:
• 4, 2, 1, 0.5, … La razón es: r = ½
Situación 4:
Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión geométrica con razón r = 0.5 y cuyo primer término es a1 = 16 Solución Usamos la fórmula para sumar los primeros términos:
El término general es:
Situación 5:
5. Calcular la razón de las siguientes progresiones decrecientes: a) 64, 32, 16, 8, … b) 2, 1, 0.5, 0.25, … c) 10, 5, 2.5, …
6. Calcular la razón de la siguiente progresión alternada: • 1, 5, 25, 125, …
Trabajo para Casa
8. Calcular los tres siguientes términos de las sucesiones a partir de los datos dados: a1 = 3 y r = 2
El tercer término de una progresión geométrica es a3 = 25 y la razón es r = 5. ¿Cuál es el primer término? Solución
7. Calcular la razón de las siguientes progresiones alternadas: a) 9, -9, 9, -9, … b) 243, 81, 27, 9, … c) 3, 12, 48, 192, …
Progresiones
3. ¿Cuál de las siguientes sucesiones no es geométrica? a) 5, 10, 20, 40, … b) 1, 1, 1, 1, … c) 2, 0, 2, 0, 2, …
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9. Calcular los tres siguientes términos de las sucesiones a partir de los datos dados: a) a1 = 3, r = -2 b) a1 = -3, r = 2
El primer término es a1 = 1
4. Calcular la razón de la siguiente progresión decreciente: • 1, 2, 4, 8, …
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1. Determinar la razón de la siguiente Progresión geométrica: a) 4, 20, 100, 500, … b) 5, 10, 20, 40, … c) 2, 10, 50, 250, …
2. ¿La siguiente sucesión es geométrica o no es geométrica? 1, 3, 9, 27, …
El término general es: Sustituyendo n = 3,
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11. Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas: a) 5, 30, 180, … b) a1 = 2; r = 6 c) a1 = 3; a2 = 6
Los ejercicios de situaciones serán desarrollados en sus folderes como los trabajos para casa.
c) a1 = -3, r = -2
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10. Calcular el término general de las siguientes progresiones geométricas: • 2, 8, 32, 128, …