Área de Matemática e suas Tecnologias REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINOSCALIFRA-ZNMÉDIO 2022
R332 Referencial educativo do ensino médio : área de matemática e suas tecnologias SCALIFRA-ZN / organização Inês Alves Lourenço, Iraní Rupolo – Santa Maria, RS : Universidade Franciscana, UFN, 2022. 36 p. : il. ISBN: 978-65-5852-210-2 1. Educação 2. Ensino médio 3. SCALIFRA-ZN 4. Matemática I. Lourenço, Inês Alves II. Rupolo, IraníCDU 37 Ficha elaborada por Eunice de Olivera, CRB 10-1491
Referencial Educativo do Ensino Médio Área de Matemática e suas Tecnologias SCALIFRA-ZN 2022
Universidade Franciscana EDITORA UFN Salette Mafalda Marchi Coordenação editorial Lucas Rodrigues dos Santos Projeto gráfico e diagramação Lucas Hoeppers de Araújo Ilustração Luana da Rocha Maciel Capa
Universidade Franciscana - UFN Rua dos Andradas, 1614 Centro | Santa Maria – RS CEP 97010-032
COLABORAÇÃOREVISÃOCONSULTORIAORGANIZAÇÃOInêsAlvesLourençoIraníRupoloEDITORIALDouglasDantasDETEXTONilsaTeresinhaReichertBarinEscoladeEnsinoFundamental
São Francisco de Assis Colégio Franciscano Sant'Anna Colégio Franciscano Espírito Santo Colégio Franciscano Santíssima Trindade Colégio Franciscano Nossa Senhora Aparecida Escola Franciscana Imaculada Conceição Escola Franciscana Nossa Senhora de Fátima Colégio Franciscano Nossa Senhora do Carmo
1. Fundamentação Teórica da Área na Formação Geral Básica 2. CompetênciasCompetênciaEspecíficasEspecífica 1 Competência Específica 2 Competência Específica 3 Competência Específica 4 Competência Específica 5 Referências 292510105141635 SUMÁRIO
Com base nessa evidência, a SCALIFRA-ZN compreende a importância de de senvolver o conhecimento matemático na etapa do Ensino Médio, em especial, no que se refere à superação da visão estrita deste saber, pois não basta que se dominem os conceitos e procedimentos previstos. O aprendizado na Área de Conhecimento, como Componente Curricular, compreende dotar o estudante de um conjunto de competências e habilidades para raciocinar, justificar conclusões e expressar ideias de maneira clara, o que se alcança por meio de atividades matemáticas problematizadoras. Estas oferecem ao estudante a chance de compreen der o sentido do aprendizado e, por extensão, a relevância social do conhecimento matemático.Poressavia, reconhecendo a diversidade na maneira de ser e aprender de cada estudante, em sala de aula, espera-se que todos tenham a oportunidade e o direito de aprender Matemática, pois ela permite ao estudante a mobilização de conhecimentos, a fim de identificar modelos no enfrentamento de situações complexas, observações e análises críticas, coleta e organização de dados, iden tificando evidências, levantamento de hipóteses, críticas, conjecturas e decisão sobre sua validade ou não, capacidades essenciais para a vida pessoal e profissional e que devem ser desenvolvidas desde as etapas iniciais da Educação Básica. Assim, a transição do Ensino Fundamental para o Ensino Médio é uma das fases mais importantes para os educandos, visto que é um momento de escolha, onde os estudantes se preparam para a futura profissão, em busca de sua própria iden tidade, autoconhecimento e independência. Dessa forma, pensando em assegurar a aprendizagem e desenvolvimento, é preciso articular os processos de ensino de forma orgânica e sequencial.
A Matemática, como é conhecida hoje, é uma área de conhecimento desen volvida desde a antiguidade e se constitui como uma ciência fundamental para a estruturação do pensamento, para a análise do mundo natural e para a interpre tação da sociedade. Além disso, o desenvolvimento de competências matemáticas é imprescindível para validar hipóteses, argumentar em contextos diversos, posicionar-se criticamente, resolver problemas, tomar decisões pessoais, sociais, cul turais, profissionais, sobretudo, e com particular destaque, para conquistar uma cidadania que permita atitude consciente na sociedade atual.
Teórica da Área na Formação Geral Básica
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 5 1. Fundamentação
Na BNCC de Matemática do Ensino Fundamental, as habilidades estão organizadas segundo Unidades de Conhecimento da própria área (Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e Estatística). Nesses termos, na etapa referente ao Ensino Médio, com os diferentes agrupamentos das unidades temáticas referentes à área de Matemática, propõe-se o aprofundamento dos con ceitos já estabelecidos em etapas anteriores do processo de aprendizagem, visando à construção da integração da Matemática com a realidade. Ademais, se ana lisados do ponto de vista teórico-metodológico, os saberes matemáticos devem assegurar a compreensão dos fenômenos desse conhecimento e também a sua ligação com as relações interculturais.
Na essência da atividade interdisciplinar, coloca-se a importância do trabalho para o desenvolvimento de Competências e Habilidades, como base para uma formação sistêmica, na qual a pessoa é desenvolvida na integralidade do seu ser. O conceito de competência consiste na mobilização de conhecimentos, procedimentos, habilidades e atitudes necessárias à ação e atuação no mundo. Na Área de Matemática e suas Tecnologias, as competências específicas apontam a possibilidade de trabalhar os conteúdos matemáticos integrados às outras áreas do co nhecimento. Dessa forma, busca-se o desenvolvimento de habilidades cognitivas, socioemocionais, atitudinais ou valorativas, com ênfase em situações do cotidiano, como as de investigação e argumentação, visando à resolução de problemas.
A Base Nacional Comum Curricular - BNCC (2018) da Área de Matemática e suas Tecnologias propõe a ampliação e o aprofundamento das aprendizagens es senciais desenvolvidas até o 9º ano do Ensino Fundamental. Para tanto, coloca em jogo, de modo mais inter-relacionado, os conhecimentos já explorados na etapa anterior, de modo a possibilitar que os estudantes construam uma visão mais in tegrada de Matemática, ainda na perspectiva de sua aplicação à realidade. Nesses termos, a articulação do ensino matemático caminha junto à interdisciplinarida de, garantindo, assim, a contextualização e a significância do que é ensinado pelo professor e desenvolvido pelo estudante. Essa lógica é apresentada nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio - PCNEM (BRASIL, 2002) e remete ao critério central da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema a permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento ou, ainda, representar a relevância cultu ral do tema no que diz respeito às suas aplicações, dentro ou fora da Matemática, e à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência (p. 43).
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Para o Pensamento Geométrico, os discentes desenvolvem habilidades para interpretar e representar a localização e o deslocamento de uma figura no plano cartesiano, identificar transformações isométricas e produzir ampliações e redu ções de figuras. Além disso, são solicitados a formular e resolver problemas em contextos diversos, aplicando os conceitos de congruência e semelhança. No que se refere a Grandezas e Medidas, os estudantes ampliam a noção de medida, pelo estudo de diferentes grandezas, e obtêm expressões para o cálculo da medida da área de superfícies planas e da medida do volume de alguns sólidos geométricos.
Em relação aos Números, os estudantes do Ensino Fundamental têm a oportunidade de desenvolver habilidades referentes ao pensamento numérico, ampliando a compreensão a respeito dos diferentes campos e significados das operações. Para isso, propõe-se a resolução de problemas, envolvendo números naturais, inteiros, racionais e reais, em diferentes contextos (do cotidiano, da pró pria Matemática e de outras áreas do conhecimento). Quanto ao Pensamento Algébrico, os estudantes têm a oportunidade de desenvolvê-lo, com base na relação de dependência entre duas grandezas em contextos significativos, e comunicá-lo, utilizando diferentes escritas algébricas, além da resolução de situações-problema por meio de equações e inequações.
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No Ensino Fundamental, desenvolve-se o Pensamento Proporcional que pode ser ampliado, por sua vez, pela exploração de situações que oportunizem a represen tação em um sistema de coordenadas cartesianas, da variação de grandezas, além da análise e caracterização do comportamento dessa variação (diretamente pro porcional, inversamente proporcional ou não proporcional).
No tocante à Probabilidade, os alunos têm a possibilidade, desde os anos iniciais, de construírem o espaço amostral de eventos equiprováveis, utilizando a árvore de possibilidades, o princípio multiplicativo ou simulações, para estimar a probabilidade de sucesso de um dos eventos. Para o desenvolvimento de habilidades relativas à Estatística, os estudantes têm oportunidades não apenas de interpretar estatísticas divulgadas pela mídia, mas também de planejar e executar pesquisa amostral, interpretar as medidas de tendência central, comunicar os resultados obtidos por meio de relatórios, incluindo representações gráficas adequadas.Emcontinuidade a essas aprendizagens, no Ensino Médio, o foco é a constru ção de uma visão integrada da Matemática, aplicada à realidade, conforme ante-
■ Raciocinar: embora as habilidades pressuponham a mobilização do raciocínio, nem todas desenvolvem essa ação de forma sistemática, por meio da qual o estudante investiga, organiza, explica e justifica a resolução de pro blemas.
■ Representar: mesmo que todas as áreas tenham competências relaciona das à representação, a Matemática necessita do uso dos registros de repre sentação para a compreensão, validação e comunicação de resultados de um problema, contribuindo para a conquista integral da habilidade.
Para tanto, é necessário dar ênfase a metodologias educacionais como a Resolução de Problemas, a Modelagem Matemática, as Tecnologias Digitais e a Interdis ciplinaridade, assim como os projetos educacionais que se apoiam no programa Etnomatemática. Essas metodologias, quando devidamente aplicadas, facilitam a compreensão de qualquer conhecimento, pois, em cada uma delas, há possibilida de de se desenvolverem planos de aula com objetivos de aprendizagem, centrados no estudante.Ametodologia de resolução de problemas traz a ideia de problema como um ponto de partida para a construção de novos conceitos e conteúdos, incentivando
riormente anunciado. Nesse contexto, quando a realidade é a referência, é preciso levar em conta as vivências cotidianas dos estudantes nesta fase escolar, em diferentes graus, dados por suas condições socioeconômicas, pelos avanços tec nológicos, pelas exigências do mercado de trabalho, pela potencialidade das mídias sociais, entre outros. Diante dessa concepção sobre a aprendizagem, a BNCC descreve que o ensino de Matemática deve proporcionar o desenvolvimento de habilidades relacionadas à compreensão dos conceitos matemáticos, ao desenvol vimento do pensamento matemático, à argumentação e à resolução de problemas em contextos cotidianos e científicos. Nessa direção, a seguir, detalham-se essas habilidades, que são:
■ Comunicar e argumentar: essas competências ganham importância após os estudantes resolverem os problemas matemáticos, para que sejam capazes de justificar suas conclusões não apenas usando símbolos matemáti cos e conectivos lógicos, mas também por meio do uso da linguagem. Essas habilidades são evidenciadas quando os estudantes fazem apresentações orais dos resultados e elaboram relatórios, apresentando justificativas.
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Para além dessas metodologias, entende-se também que, ao trazer para a Ma temática situações contextualizadas, amplia-se a possibilidade de abordagens em diversos temas que estabelecem conexões com as outras áreas do conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos estudantes do Ensino Médio. Dessa forma, ao considerar os estudantes com distintas características, modelos mentais diferentes e a história etnomatemática de cada um, é preciso fomentar a formação por meio de múltiplas estratégias, pois competência e habilidades não são transmitidas e sim desenvolvidas.
Partindo do pressuposto das múltiplas mudanças em relação às tecnologias, o atual modelo de ensino vem ao encontro de uma juventude moderna e extrema mente preparada para o novo. As metodologias de abordagem do ensino de Matemática, de forma ampla, possuem uma diversidade de habilidades pré-existentes nos educandos, associadas à realidade da comunidade escolar na qual estão inseridos. Enfatizando as constantes transformações nos modelos de ensino, vale ressaltar a importância da etnomatemática, visto que, por meio dela, aprimoram-se expecta
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os estudantes a serem construtores do seu próprio conhecimento, e os professores, condutores desse processo (ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G, 2011). Na modelagem, os estudantes são convidados a investigar, por meio da Matemática, eventos com referência à realidade, que podem surgir a partir de situações do dia a dia ou das ciências como a Biologia, a Física, a Química, a Geografia, etc. (BARBOSA, 2003). A Etnomatemática afirma que, antes da teoria, deve-se levar em consideração a experiência que cada estudante possui além da escola, cita-se, em especial, o uso de tecnologias digitais, como ferramentas de apoio ao aprendizado (planilhas eletrônicas, os softwares, as calculadoras, as multimídias sociais) e o uso da pesquisa e aplicação de jogos que permitem o conhecimento matemático conectado aos interesses da atual geração.
Com base nessas considerações, ao intentar que cada qual assuma sua tra jetória com autonomia e seja protagonista de sua história, é preciso viabilizar o enfrentamento de todas as situações, isto é, não basta ter só o conhecimento, é preciso saber interagir com ele de forma responsável e consciente. Trata-se do desejo de desenvolver o humano em sua multiplicidade do ser, considerando, assim, a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensa mento crítico (PPP, 2018-2021, SCALIFRA-ZN, p.37). Dessa forma, com o ensino da Matemática, necessita-se promover habilidades e competências, primando pelo protagonismo estudantil.
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, seja de atividades cotidia nas seja de fatos das Ciências da Natureza e Humanas seja, ainda, de questões econômicas ou tecnológicas, consolidando uma formação científica geral. Com o desenvolvimento dessa ampla competência, pressupõem-se habilida des que favoreçam a interpretação e a compreensão da realidade, utilizando con ceitos de diferentes campos da Matemática para fazer julgamentos bem funda mentados. Essa competência específica contribui não apenas para a formação de cidadãos críticos e reflexivos, mas também para a formação científica geral dos estudantes, uma vez que lhes é proposta a interpretação de situações das Ciências da Natureza ou Humanas.
Os estudantes deverão, por exemplo, analisar criticamente o que é produzido e divulgado nos meios de comunicação (livros, jornais, revistas, internet, televisão, rádio, etc.), muitas vezes de forma imprópria, dada por generalizações equivocadas de resultados de pesquisa, o que pode ocorrer tanto pelo uso inadequado da amostragem quanto pela não divulgação de como os dados foram obtidos.
tivas em relação à educação matemática e se consolida uma referência prática de aproveitamento dos saberes cotidianos, fato ligado diretamente às tecnologias. Segundo D’Ambrósio (1993), quem ensina Matemática nessa concepção res peita o que o estudante já sabe, pois reconhece os saberes historicamente construídos nas culturas, estabelece momentos dialógicos de questionamento crítico e reconhece os conhecimentos prévios de todos os participantes do processo de aprendizagem. No contexto geral das transformações educacionais, todas as fer ramentas de embasamento prático e teórico são primordiais, em especial, a etno matemática, porque, além de promover relações interculturais, a abordagem visa a um processo de ensino-aprendizagem mais criativo e plural.
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2. COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS Competência Específica 1
egráficosdeinterpretaçãoFunções:• algébricasexpressõesde velocicomograndezas,deVariação• crescidetaxasconcentração,dade, populadedecrescimentooumento etc.econômicos,índicesções, infográficos),(egráficosEstatística:• deecentraltendênciademedidas dispersão
egráficosdeinterpretaçãoFunções:• algébricasexpressõesde medida:deunidadeseSistemas• deunidadesdeconversãoeleitura diversasgrandezas velocicomograndezas,deVariação• crescidetaxasconcentração,dade, populadedecrescimentooumento etc.econômicos,índicesções, infográficos),(egráficosEstatística:• deecentraltendênciademedidas dispersão gráfiAnalisar(EM13MAT102) amostragemdemétodosecos estatísticas,pesquisasde direlatóriosemapresentadas meiosdiferentesporvulgados identificando,comunicação,de inadequacaso,oforquando ainduzirpossamqueções comointerpretação,deerros apronãoamostraseescalas priadas. contadafundamentalprincípiooCompreender gem. princíenvolvendosituações-problema,Resolver contagem.dafundamentalpio compreendereestatísticasvariáveisReconhecer frequência.dedistribuiçãoa cáloenvolvendosituações-problema,Resolver evento.umdeocorrênciadechancesdasculo cálcuenvolvendosituações-problema,Resolver composto.jurodelos
E
PROBABILIDADEESTATÍSTICA
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 11 sejacontextos,diversosemsituaçõesinterpretarparamatemáticosprocedimentoseconceitosestratégias,Utilizar1:Competência tecnológicas,oueconômicasquestõesdeainda,seja,HumanaseNaturezadaCiênciasdasfatosdesejacotidianasatividadesde geral.científicaformaçãoumaconsolidando UNIDADEAPRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICA
representaçãofinanceira:Matemática• tempodofunçãoemjurosdosgráfica retadaequaçãoAnalítica:Geometria• pontosdoispordefinida índices,decálculoPorcentagens:• coeficientes.etaxas
Interpretar(EM13MAT101) sociaiseconômicas,situações queNaturezadaCiênciasdase duasdevariaçãoaenvolvem dosanálisepelagrandezas, represenfunçõesdasgráficos variaçãodetaxasdasetadas tecnolodeapoiosemoucom- digitais.gias funemgrandezaumadevariaçãoaDescrever outra.dação variaçãoarepresentamquegráficosInterpretar grandezas.duasentre entrevariaçãoamostrandográficosConstruir grandezas.duas quegráficosempresentesvaloresComparar grandezas.duasentrevariaçãoamostram umdeanálisedapartiraconclusõesElaborar duasentrevariaçãoarepresentaquegráfico grandezas. compostos,jurosdegráficosConstruir exponencial.funçãoàassociando-os variaçãoumadeformaçãodeleiaEncontrar analítica.geometriadameioporafimoulinear eretadainclinaçãodecoeficienteoEncontrar taxas.eíndicesaosrelacionar
(EM13MAT103) comeInterpretar empregoopreender deunidadesde diferentesdemedida inclusivegrandezas, unidanovasde deascomodes, dearmazenamento distândeedados astronômicascias microscópicas,e avançosaosligadas amplatecnológicos, nadivulgadasmente sociedade. retângulo.triângulonométricasrelaçõesasCompreender ladosdosmedidasdeterminarparamétricasrelaçõesasUtilizar retângulo.triânguloumde pararetângulotriângulonotrigonométricasrazõesasUtilizar suasdedeterminaçãonaladoseângulosentrerelaçõesobter medidas. métrirelaçõesdasmeioporsituações-problemaCompreender retângulo.triângulonocas figuras.decongruênciaesemelhançadeconceitooCompreender oaplicareCompreender TalesdeTeorema situadesoluçãona ções-problema. capacidade.evolumedeconceitososCompreender prismas.decapacidadeevolumeCalcular evolumedecálculoenvolvendosituações-problemaResolver prismas.decapacidade cartesiano.planonoparábolaseretasRepresentar projetiva.geometriadebásicosconceitosCompreender quaistriângulosenvolvamque-problemasituaçõesResolver quer. dadosdeorganizaçãoepesquisaEstatística:• etaxasíndices,decálculoPorcentagens:• coeficientes medidasgráficos,deinterpretaçãoEstatística:• dispersãodemedidasecentraltendênciade compostoesimplesjurodeTaxas• atualizaçãodeFator• angucoeficienteoelinearfunçãodaGráfico• funçãodavariaçãodetaxaàrelacionadolar, angularcoeficienteoeafimfunçãodaGráfico• davariaçãodetaxaàrelacionadoslinear,e função exponencialfunçãodaGráfico• logarítmicafunçãodaGráfico• (EM13MAT104) etaxasInterpretar naturezadeíndices socioeconômica, deíndicecomotais desenvolvimento detaxashumano, ouentreinflação, osinvestigandotros, cálculodeprocessos números.desses determinadoumdecálculoaoassociadasvariáveisasIdentificar coeficiente.outaxaíndice, comnaoutracommantémvariávelumaquerelaçãoaExplicar- índice.umdeposição relativos.coeficientesetaxasíndices,diferentesComparar emcoeficientesetaxasíndices,envolvendoconclusõesElaborar contexto.determinadoum linear,formadeocorrerpodemvariaçõesasqueCompreender logarítmica.ouexponencial representarparaadequadagráficarepresentaçãoaEscolher índices.esses analisandoinflação,detaxaaenvolvendoconclusõesElaborar brasileira.básicacestadaprodutosdospreçosos desendeíndicedocálculoaoassociadasvariáveisasIdentificar (IDH).humanovolvimento umasendocomograndezasduasentrerazãoumaRelacionar índice.outaxa índicesvazão,fluxo,densidade,média,velocidadeaRelacionar bacdecolôniaumadepopulaçãodacrescimentodemográficos, taxas.eíndicescomoutrasentreradioativodecaimentotérias,
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 12 UNIDADE
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICA
PROBABILIDADEEESTATÍSTICA
algébricaegráficarepresentaçãoFunções:• principaisMedidas:deInternacionalSistema• conversõeseunidades decimal,(basecontagemdesistemasdeBases• etc.)sexagesimal,basebinária,base dearmazenamentodeunidadesPrincipais• (informáticanadados mekilobyte,byte,bit,gigabytegabyte, dadosdetransferênciaeetc.) ( GbpsKbps,Mbps, etc.), eplanasfigurascomproblemasdeResolução• usodonecessitainterpretaçãocujaespaciais medidasdeunidadesdeconversãodaou eretângulotriângulonométricasRelações• aplicaçõessuas aplicaçõessuasesenosdosLei• aplicaçõessuaseCossenosdosLei•
PROBABILIDADEEESTATÍSTICA
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICA
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 13 UNIDADE
Transformações:dasGeometria• translação(reflexão,isometrias (ampliahomotetiaserotação)e- redução)eção fractaisdosgeometriadeNoções• erotaçãoreflexão,Simetria,• trigonomécírculonotranslação trico quadranteprimeiroaoRedução• translaçãoereflexãoSimetria,• dascoeficientesosvariarao expoquadráticas,afins,funções logarítmicas.enenciais simétricosPontos• vetoresdetranslaçãoeRotação• eelipseparábola,naSimetria•
hipérbole pontos,entrerelativaPosição• espaçonoplanoseretas dosgeométricaRepresentação• complexosnúmeros noçõesUtilizar(EM13MAT105) isométricastransformaçãode rotaçãoreflexão,(translação, transformaecomposições)e analisarparahomotéticasções humanas,produçõesdiferentes obrascivis,construçõescomo outras.entrearte,de retântriângulonométricasrelaçõesasCompreender gulo. medidasdeterminarparamétricasrelaçõesasUtilizar retângulo.triânguloumdeladosdos retriângulonotrigonométricasrazõesasUtilizar- naladoseângulosentrerelaçõesobterparatângulo medidas.suasdedeterminação serpodemquesituações-problemaCompreender triângulonométricasrelaçõesdasmeioporatacadas retângulo. congruênciaesemelhançadeconceitooCompreender figuras.de oaplicareCompreender TalesdeTeorema soluçãona situações-problema.de cartesiano.planonoparábolaseretasRepresentar projegeometriadebásicosconceitosCompreender tiva. aplicartesiano,planonosimetriaaCompreender relaçõesnaseplanageometriananoçãoessacando circunferência.namétricas funçãodagráficodoparáboladenoçãoaDiferenciar econstruçãodefinição,acompreendendoquadrática, parábola.umadecaracterísticas taxas,decálculoPorcentagem:• coeficienteseíndices condiesimplesProbabilidade•- cional mutuamensucessivos,Eventos• mutuamentenãoeexclusivoste exclusivos estatístidistribuiçãoEstatística:• medienormaldistribuiçãoca,- (mediana,posiçãodedas quartis, decis e percentis )
Identificar(EM13MAT106) nascotidianavidadasituações fazernecessáriosejaquais contaemlevando-seescolhas, (usarprobabilísticosriscosos contramétodoaqueleoueste trataumporoptarceptivo, detrimentoemmédicomento etc.).outro,de contagem.dafundamentalprincípiooCompreender princípiooenvolvendosituações-problema,Resolver contagem.dafundamental acompreendereestatísticasvariáveisReconhecer frequência.dedistribuição cálculooenvolvendosituações-problema,Resolver evento.umdeocorrênciadechancesdas decálculosenvolvendosituações-problema,Resolver composto.juro
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Competência Específica 2 Articular conhecimentos matemáticos ao propor e/ou participar de ações para investigação de desafios do mundo contemporâneo e para tomada de decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas de urgência social, como situações de saúde, sustentabilidade, implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, recorrendo a conceitos, procedimentos e linguagens pró prias da Matemática. Esta competência amplia a anterior por exigir dos estudantes decisão conjunta para investigar questões de impactos sociais e, assim, participar de iniciativas e/ou de ações que visem a solucionar esses problemas. As habilidades indicadas para o desenvolvimento dessa competência colocam em jogo conhecimentos e ferramentas matemáticas necessárias para desenvolver um projeto cuja finali dade é responder a questões relativas aos diferentes territórios geográficos e/ou sociais e fundamentar conclusões sobre elas. Nesses termos, por meio da concep ção e do desenvolvimento de projetos, é necessário que os estudantes aprendam e investiguem novos conceitos e procedimentos matemáticos para a sua conclusão. A realização de projetos potencializa atividades de investigação não apenas para aplicar conhecimentos matemáticos, mas também para responder a questões de urgência social. Em síntese, a competência deve favorecer a interação dos alunos com seus pa res, de forma cooperativa, para aprender e ensinar Matemática. Ela deve também fornecer condições para o planejamento e execução de pesquisas, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de projetos, com base em princípios solidários, éticos e sustentáveis, valorizando, sem quaisquer preconceitos, a diver sidade de opinião de grupos e de indivíduos.
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO MEDIDAS
UNIDADE
GRANDEZASE
mundododesafiosdeinvestigaçãoparaaçõesdeparticipare/ouproporaomatemáticosconhecimentosArticular2:Competência comosocial,urgênciadeproblemasdeanálisenabasecomresponsáveis,socialmenteeéticasdecisõesdetomadaparaecontemporâneo eprocedimentosconceitos,arecorrendooutros,entretrabalho,domundonotecnologiadaimplicaçõessustentabilidade,saúde,desituações Matemática.daprópriaslinguagens TEMÁTICA
medieGrandezas• comprimento,das: capavolume,área,- massaecidade medidasdeCálculo• deDecomposição• eplanasfiguras espaciais açõesPropor(EM13MAT201) voltaascomocomunitárias, dosmoradiadelocaisaosdas outras,dentreestudantes, dascálculosenvolvendo volume,deárea,demedidas massa,deoucapacidadede dademandasàsadequados região. determinadaumarepresentamquegeométricasfigurasdetiposIdentificar geométrica.composição circulares.setorese/oupolígonosemfiguraumaDecompor decomposiçãosuadapartirageométricafiguraumadetotaláreaaCalcular elementares.geométricasfigurasem respecsuascalculardefimalocalumdedimensõesdasmediçõesRealizar áreas.tivas superfícieumadedecomposiçãoautilizandosituações-problema,Resolver empolígonosdeáreasrepresentamquealgébricasexpressõesalgumase contextos.determinados simplesConceitos• DesEstatísticade critiva tendêndeMedidas• (média,centralcia mediana)emoda disdeMedidas•- (amplitude,persão edesvio-padrão varidecoeficiente ância) ePlanejar(EM13MAT202) amostral,pesquisaexecutar oucoletadosdadosusar sobrefontesdiferentesde atuais,relevantesquestões recurdeapoionãoouincluir comunicaretecnológicossos demeioporresultadosos gráficoscontendorelatório, medidasdasinterpretaçãoe dasecentraltendênciade dispersões. estatística.pesquisaumadeetapasasDescrever não).ou(censitáriaestatísticapesquisaRealizar mediemediana)emoda(média,centraltendênciademedidasDeterminar devariação)decoeficienteoudesvio-padrão(amplitude,dispersãodedas dados.desérieuma coeficienteoudesvio-padrão(amplitude,dispersãodemedidasInterpretar contexto.determinadoumemvariação)de gráficooutilizandoestatística,pesquisaumaderesultadososComunicar frequênciade(histogramasituaçãoaquelaparaadequadomaisestatístico etc.).simples/acumulada,frequênciadepolígonoabsoluta/acumulada, estatísticosGráficos• políe(histogramas- frequência)degonos normalDistribuição• ePlanejar(EM13MAT203) envolvendoaçõesexecutar deutilizaçãoaecriaçãoa ou(digitaisjogosaplicativos, conoparaplanilhasnão), familiar,orçamentodetrole decálculosdesimuladores dentrecompostos,juros conceitosaplicarparaoutros, matemáticos. estatística.pesquisaumadeetapasasDescrever não).ou(censitáriaestatísticapesquisaRealizar mediemediana)emoda(média,centraltendênciademedidasDeterminar devariação)decoeficienteoudesvio-padrão(amplitude,dispersãodedas dados.desérieuma coeficienteoudesvio-padrão(amplitude,dispersãodemedidasInterpretar contexto.determinadoumemvariação)de gráficooutilizandoestatística,pesquisaumaderesultadososComunicar frequênciade(histogramasituaçãoaquelaparaadequadomaisestatístico etc.).simples/acumulada,frequênciadepolígonoabsoluta/acumulada,
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DEOBJETO
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Asconsistente.habilidades
referem, necessariamente,
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos em Arit mética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística, para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação
indicadas para o desenvolvimento da competência estão re lacionadas à interpretação, construção de modelos, resolução e formulação de problemas matemáticos, envolvendo noções, conceitos e procedimentos quanti tativos, espaciais, estatísticos e probabilísticos, entre outros. Esses problemas se aos contextos relativos às áreas das Ciências da Natureza e Humanas e da própria Matemática, incluindo os oriundos do avanço tec nológico. No Ensino Médio, os estudantes devem desenvolver e mobilizar habilidades para a vida, por isso as situações propostas devem ter significado real para eles. Nesse sentido, os problemas cotidianos têm papel fundamental na escola para o aprendizado e a aplicação de conceitos matemáticos, considerando que, no cotidiano, não contam apenas as atividades do dia a dia dos estudantes, mas também as questões da comunidade e do mundo do trabalho. Deve-se, ainda, ressaltar que os estudantes também precisam construir sig nificados para os problemas próprios da Matemática. Para isso, devem, logo no início, identificar os conceitos e procedimentos matemáticos necessários ou os que possam ser utilizados na chamada formulação matemática do problema.
Competência Específica 3
Depois disso, devem aplicar esses conceitos, executar procedimentos e, ao final, compatibilizar os resultados com o problema original, comunicando a solução aos colegas por meio de argumentação consistente. No entanto, essa tarefa pode exigir processos cognitivos diferentes, dependendo da natureza da questão. Há problemas nos quais os estudantes deverão aplicar, de imediato, um conceito ou um procedimento, tendo em vista que a tarefa solicitada está explícita. Há outras situações nas quais, embora essa tarefa esteja contida no enunciado, os estudan tes deverão fazer algumas adaptações antes de aplicar o conceito que foi explici tado, exigindo, portanto, maior grau de interpretação.
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 17
Devem-se considerar também os problemas cujas tarefas não estão explícitas e para as quais os estudantes deverão mobilizar seus conhecimentos e habi lidades, a fim de identificar conceitos e conceber um processo de resolução. Em alguns desses problemas, os estudantes precisam identificar ou construir um modelo para que possam gerar respostas adequadas. Esse processo envolve a capaci dade de analisar os fundamentos e propriedades de modelos existentes, avaliando seu alcance e validade para o problema em foco. Essa competência específica considera esses diferentes tipos de problemas, incluindo a construção e o reco nhecimento de modelos que podem ser aplicados. Cabe ainda destacar que o uso de tecnologias possibilita aos estudantes aprofundar sua participação ativa nesse processo de resolução de questões. São alternativas de experiências variadas e facilitadoras de aprendizagem que reforçam a capacidade de raciocinar logica mente, formular e testar conjecturas, avaliar a validade de raciocínio e construir argumentações.
Matemáticadadiano doáreasoutrasdee queconhecimento, equaçõesenvolvem simultâneas,lineares técnicasdeusoocom gráficas,ealgébricas tecnãoouincluindo digitais.nologias inepropriedadesasenuméricosconjuntosdiferentesosIdentificar deles.umcadaarentes fechados)e(abertosnuméricosintervalosrepresentareInterpretar matemática.linguagemdemeiopor decapazsendooperações,suasematrizesinterpretareConceituar matricial.linguagememdadostranscreverereconhecer identidade,nulas,comomatrizes,interpretareassociarReconhecer, erelevânciadesituações-problemaeminversa,eopostatransposta, cotidiana.aplicabilidade ordens.diferentesdematrizesdedeterminanteoCalcular métododomeioporlinearessistemasresolvereclassificarDiscutir, deregraadição,damétodosubstituição,de cramer escalonamendoe to. polinoFunção• grau1ºdemial polinoFunção•- grau2ºdemial (EM13MAT302) elaborareResolver mocujosproblemas- funçõesassãodelos 2ºe1ºdepolinomiais contextosemgraus, incluindodiversos, tecnologiasnãoou digitais. contextosemdiretaproporcionalidadeenvolvemquesituaçõesListar conhecimento.doáreasoutrasemematemáticos departiragrau2ºdee1ºdepolinomiaisfunçõesdegráficosConstruir a.x=f(x)[elementaresfunçõesemaplicadasreflexões,etranslações deusoosemoucomx2],=f(x)e softwares. polinomiaisfunçõespordiversoscontextosemsituaçõesModelar ealgébricalinguagemaparaverballinguagemdagrau,2ºdee1ºde vice-versa.egeométrica e1ºdepolinomiaisfunçõesenvolvendosituações-problema,Resolver grau.2ºde
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 18 eGrandezasÁlgebra,Aritmética,emmatemáticosprocedimentoseconceitosestratégias,Utilizar3:Competência diversosemproblemasresolveremodelosconstruirinterpretar,paraEstatística,eProbabilidadeGeometria,Medidas, construiramododepropostas,soluçõesdasadequaçãoaeresultadosdosplausibilidadeaanalisandocontextos, consistente.argumentação
NÚMEROSEÁLGEBRA deSistemas• lineequações ares Gráficos• funçõesde comlineares duasouuma variáveis (EM13MAT301) elaborareResolver cotidoproblemas
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
exponenFunções• ciais exponencialVariação• grandezasentre MatemádeNoções• Financeiratica eResolver(EM13MAT304) funcomproblemaselaborar quaisnosexponenciaisções compreendernecessárioé dasvariaçãoainterpretare conemenvolvidas,grandezas- Matemáticadaocomotextos crescimentodooeFinanceira microscópicos,vivosseresde outros.entre duasdevariaçãoagráficooutabelatexto,umdemeioporDescrever, exponencial.mododerelacionamsequegrandezas exacom(PG)numéricasequênciaumadetermososCorrelacionar exponencial.funçãoumadepressão expressãoàcompostosjurosafinanciamentodesituaçõesRelacionar exponencial.funçãoumade financeira.educaçãosobreproblemasResolver
NÚMEROSEÁLGEBRA
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 19 UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
MatedeConceitos• Financeiramática jurosesimplesJuros• compostos degráficoseFunções• egrau1ºdefunções exponencial elaeResolver(EM13MAT303) porcencomproblemasborar contextosdiversosemtagens compostos,jurossobree crescimentoodestacando exponencial. aosrelacionadassituaçõesemjurosdetaxadaincidênciaaDescrever capitalizadesistemanotambémesimplescapitalizaçãodesistemas composto.ção em(comoutilizadossãosimplesjurososqueemsituaçõesDiferenciar juros morade compostos.sãojurososqueemsituaçõesoutrasde) financiaempréstimos,envolvamquecotidianassituaçõesInterpretar decisão.detomadaeavaliaçãoparaprogressivas,multasementos capitalumdecrescimentoomostrandográficoseplanilhasElaborar- (linesimplescapitalizaçãodesistemanotantofixataxasobinvestido (exponencial).compostocapitalizaçãodesistemanoquantoar)
Logaritmo•
epotenciaçãoentreRelação• logaritmo eResolver(EM13MAT305) comproblemaselaborar quaisnoslogarítmicasfunções compreendernecessárioseja dasvariaçãoainterpretare emenvolvidas,grandezas abalosdeoscomocontextos radioatividade,pH,sísmicos, entreFinanceira,Matemática outros. matemáticaoperaçãocomologaritmoDefinir apotenciaçãoumadeexpoenteodeterminaque obtida.potênciadaebasedapartir logaritepotenciaçãoentrerelaçãoaExpressar- base.mesmadereaisnúmerosdemo necessáéqueemsituações-problemaResolver logaritmo.umdecálculoorio desquefunçõesemlogaritmooInterpretar conhecidoáreasoutrasdefenômenoscrevam mento.
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 20 UNIDADE
trigonométricas:Funções• cossenofunçãoseno,função tangentefunçãoe elaeResolver(EM13MAT306) contextosemproblemasborar perifenômenosenvolvamque sonoondascomoreais,ódicos movimenstruais,ciclosras,- eoutros,entrecíclicos,mentos representaçõessuascomparar cosseesenofunçõesascom comcartesiano,planonono, deaplicativosdeapoiosemou geometria.eálgebra (período,elementosprincipaisosReconhecer dapartiraonda)decomprimentoamplitude, periódicos.fenômenosdegráficodoanálise fenômenosrepresentandográficoumConstruir periódicos. raasutilizandosituações-problema,Resolver contextosemtrigonométricasfunçõesasezões diversos.
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICAHABILIDADES
NÚMEROSEÁLGEBRA
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 21 UNIDADE
redondos poliedrosMétrica:Geometria• deVolumeredondos.corpose corposepirâmidesprismas, redondos elaeResolver(EM13MAT309) envolvemqueproblemasborar deetotaisáreasdecálculoo pirâmidesprismas,devolumes e(cilindroredondoscorpose comoreais,situaçõesemcone) materialdegastodocálculoo depinturasouforraçõespara sejamformatoscujosobjetos estusólidosdoscomposições- dados. poliedosfundamentaispropriedadesascomOperar dros. cordosfundamentaispropriedadesascomOperar decapacidadeevolumeárea,Calcularredondos.pos geométricos.sólidos cálculooenvolvendosituações-problema,Resolver sólidecapacidadeevolumesuperfícies,deáreasde geométricos.dos capacidade.evolumedeconceitososCompreender relacionáeprismasdecapacidadeevolumeCalcular- situações-problema.a-los
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICAHABILIDADES
GEOMETRIAEMEDIDAS
conesemelhançadeConceito• figurasdegruência Teorema• Talesde desoluçãona situações-problema capacievolumedeConceitos• dade prisdecapacidadeeVolume• mas cálculoSituações-problema,• decapacidadeevolumede prismas difeEmpregar(EM13MAT307) obtenaparamétodosrentes umadeáreadamedidadação (reconfigurações,superfície eetc.)cortes,poraproximação cálculodeexpressõesdeduzir situaçõesemaplicá-laspara remanejamentoocomoreais, plantações,dedistribuiçãoae tecnolodeapoiosemoucom- digitais.gias geométricasfigurasdeáreasassociareIdentificar aproxioucomposiçãodecomposição,por(cálculo mação). cossedosleiesenosdosLei• nos triângulosdeCongruência• triângulosentreSemelhança• elaeResolver(EM13MAT308) variadosemproblemasborar triânenvolvendocontextos, asaplicamsequaisnosgulos noçõesasoumétricasrelações semelhança.econgruênciade cosseesenodevaloresseusaânguloumRelacionar retângulos.triângulosemno osaplicarparanecessáriascondiçõesasIdentificar relaçõesassemelhança,congruência,deconceitos triângulos.emtrigonométricasasemétricas inacesdistânciasdecálculodeproblemasResolver- cadaparaadequadoconceitopelodecidindosíveis, medição. conceitosdosusocomdistânciasdemediçõesPropor trigonometria.daesemelhançacongruência,de poliedrosMétrica:Geometria• totalÁrearedondos.corpose corposepirâmidesprismas,de
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 22 UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
PROBABILIDADEEESTATÍSTICA
eResolver(EM13MAT310) contadeproblemaselaborar detiposdiferentescomgem elementos,deagrupamento multiprincípiosdosmeiopor- recorrendoaditivo,eplicativo ocomodiversas,estratégiasa árvore.dadiagrama umdeelementosdosordemaqueemsituaçõesDiferenciar nasoutrasde(arranjo)contextoseuinfluenciaagrupamento (combinação).ocorrenãoissoquais paraaditivoprincípiooe/oumultiplicativoprincípiooUsar éelementosdosordemaqueemsituaçõesemcontagem (combicondiçãoessasemoutraseme(arranjos)relevante nações). deagrupamentosenvolvendosituações-problema,Criar ainfluenciaelementosseusdeordemaquaisnasobjetos ocorre.nãoissoquaisnasoutrasecontagem, contagem.envolvendosituaçõesResolver contagem.deinvestigaçãodesituaçõesElaborar básica:Probabilidade• eventoamostral,espaço (equiprovável)aleatório possibilideContagem• dades probabilidadesdeCálculo• simples eResolver(EM13MAT311) enqueproblemaselaborar probabidacálculoovolvem aleatórios,eventosdelidade odescrevereidentificar realizandoamostral,espaço possibilidades.dascontagem experidiferentesemenvolvidoamostralespaçooExplicar aleatórios.mentos simuleventosdoisdeocorrênciadepossibilidadesasListar independenteseventosenvolvendoconsecutivos,outâneos eventos).decondicionalouintersecção(união, aaplicadassituaçõesemprevisõesfazereQuantificar quecotidianavidadaeconhecimentodoáreasdiferentes probabilidades.decálculooenvolva edependentesEventos• independentes probabilidadedeCálculo• arelativoseventosde aleatóriosexperimentos sucessivos eResolver(EM13MAT312) envolqueproblemaselaborar probabilidadedecálculoovam experimentosemeventosde sucessivos.aleatórios probabilidades,daslinguagemaeteoriaaCompreender espaçoaleatórios,experimentosefenômenosidentificando evento.eamostral inclusievento,umdeocorrênciadeprobabilidadeaCalcular eventos.deinterseçãoeuniãoacomve prodecálculooenvolvendosituações-problema,Resolver babilidades. emexpressasestatísticasinformaçõesedadosInterpretar gráficos.e/outabelas emestatísticasinformaçõesedadostranscrevereOrganizar gráfica.e/outabularlinguagem
combinatória:deNoções• ordeagrupamentos nãoe(arranjos)náveis (combinações)ordenáveis emultiplicativoPrincípio• aditivoprincípio
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICAHABILIDADES
razãopeladeterminadasGrandezas• (velocidade,outrasdeprodutoou densidadecorpo,umdedensidade elétrica,potênciademográfica, by tes conversãoeetc.)segundo,por compostasunidadesentre eResolver(EM13MAT314) queproblemaselaborar comgrandezasenvolvam- peladeterminadaspostas, deprodutopeloourazão velocicomooutras,duas demográdensidadedade, etc.elétrica,energiafica, grandeentreproporçãoerazãodeconceitososCompreender zas. proporcionais.inversamenteediretagrandezasReconhecer ediretagrandezasenvolvendosituações-problema,Resolver proporcionais.inversamente simples.trêsderegraaaplicareCompreender simtrêsderegraenvolvendosituações-problema,Resolver ples.
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 23 UNIDADE
MatemáticadebásicasNoções•
GEOMETRIAEMEDIDAS
eResolver(EM13MAT313) queproblemaselaborar queemmediçõesenvolvam deempregoodiscutase significativosalgarismos duvidosos,algarismose necesquandoutilizando, científica.notaçãoasário, eficientemaneiraumaécientíficanotaçãoaqueReconhecer empequenosmuitoougrandesmuitonúmerosexpressarde contextos.diversos autilizandocontextos,diferentesemnúmerosRepresentar científica.notação detécnicasusandointeiras,nãoquantidadesRepresentar arredondamento. deinstrumentosdiferentesporobtidosvaloresComparar indicadoprecisãodegrauoverificardeintuitoocommedição ambos.em
porrepresentaçãosuaeAlgoritmos• fluxogramas desenvolvimentoeAprendizagem• prodeterminadoparasoluçãode umadeadaptaçãoentão,ou,blema napré-existente,solução web, por livresbibliotecasdemeio linguaumadeUtilização• fácildeprogramaçãodegem estudante,oparareconhecimento ocomo blockly, enou,Google,da otão, portug ol
técnicasesignificativosAlgarismos• arredondamentode mediçõesemerrodeNoção•
Reconhecer(EM13MAT315) algorítmico,problemaum umaprocurarenunciá-lo, porexpressá-laesolução comalgoritmo,umdemeio fluxograma.respectivoo conceitos.eprincípiososgeneralizareaplicarCompreender, emexpressasestatísticasinformaçõesedadosInterpretar gráficos.e/outabelas demeioporproblemaumderesoluçãodapassososRotular fluxograma.um programação.delinguagemumaemfluxogramaoReproduzir fases:suasdemeioporprogramaçãodelógicaaDesenvolver dehabilidadeacomobemSaída,eProcessamentoEntrada, umdedesenvolvimentoocomproblemassolucionar software tal.paraespecífico problemascomputacional,formadesimular,aAprender espacial,eplanageometriaexemplo,porcomo,matemáticos, sistemas.edeterminantesmatrizes,trigonometria,
científicaNotação•
Computacional
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 24
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
GEOMETRIAEMEDIDAS
Resolver(EM13MAT316) problemas,elaborare contextos,diferentesem ecálculoenvolvamque medidasdasinterpretação centraltendênciade mediana)moda,(média, dispersãodedase evariância(amplitude, desvio-padrão).
estatísticadeNoções• descritiva tendênciadeMedidas• emodamédia,central: mediana dispersão:deMedidas• evariânciaamplitude, desvio-padrão
(mécentraltendênciademedidasasentreIdentificar, comacordodeadequadamaisamediana),emodadia, odividirdados,os(normalizardesejadacaracterísticaa verifietamanhomesmodepartesemdadosdeconjunto frequente).maisvalorocar distintosdadosdeconjuntosdedesvio-padrãooCalcular contextosemeletrônica,planilhaumadeauxílioocom diversos. departiraabsolutafrequênciadepolígonoumConstruir deterumaenvolvendofrequências,dedistribuiçãouma situação.minada (mediana,separatrizesInterpretar decisquartis, e/ou percentis repreestatística,distribuiçãodegráficosem) população.umadeamostraumasentando (média,centraltendênciademedidasasCorrelacionar (amplitude,dispersãodemedidasàsmediana)emoda sérieumaemvariação)decoeficienteoudesvio-padrão dados.de
UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
As habilidades vinculadas a essa competência tratam da utilização das diferentes representações de um mesmo objeto matemático, tendo em vista que elas têm um papel decisivo na aprendizagem dos estudantes. Ao conseguirem utilizar as representações matemáticas, compreender as ideias que elas expressam e, quando possível, fazer a conversão entre elas, os estudantes passam a dominar um conjunto de ferramentas que potencializa, de forma significativa, a capacidade de resolver problemas, comunicar e argumentar; enfim, ampliar a capacidade de pensar matematicamente. Além disso, a análise das representações utilizadas pelos estudantes para resolver um problema permite compreender os modos como o interpretaram e como raciocinaram para resolvê-lo. Para tanto, assume-se que, para as aprendizagens dos conceitos e procedimentos matemáticos, deve-se incluir, quando possível, pelo menos dois registros de representação. Assim, os estudantes precisam estar preparados para escolher as representações mais convenientes a cada situação, para mobilizar, de modo simul tâneo, ao menos dois registros e para, a todo momento, trocar de representação. No entanto, cabe observar que a conversão de um registro para outro nem sempre é simples, apesar de, muitas vezes, ser necessária a uma adequada compreensão do objeto matemático em questão, pois uma representação pode facilitar a compreensão de um aspecto que outra não favorece. Portanto, percebe-se que, do ponto de vista cognitivo, as aprendizagens fundamentais, relativas ao raciocínio, requerem a diversificação dos registros.
Competência Específica 4 e utilizar, com flexibilidade e fluidez, diferentes regis tros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional, etc.), na busca de solução e de comunicação de resul tados de problemas, de modo a favorecer a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático.
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 25
Compreender
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 26 representaçãoderegistrosdiferentesfluidez,eflexibilidadecomutilizar,eCompreender4:Competência decomunicaçãodeesoluçãodebuscanaetc.),computacional,estatístico,geométrico,(algébrico,matemáticos matemático.raciocíniododesenvolvimentooeconstruçãoafavoreceramododeproblemas,deresultados UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETOAPRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
Converter(EM13MAT402) algébricasrepresentações depolinomiaisfunçõesde representaçõesparagrau2º carteplanonogeométricas casososdistinguindosiano, forvariávelumaquaisnos aoproporcionaldiretamente recoroutra,daquadrado- anãoourendo softwares eálgebradeaplicativosou dinâmica.geometria
Afim.
lineares,afins,Funções• constantes afunçõesdeGráficos• transformadepartir planonoções Proporcionalidade• crescimentodoestudo funçõesdevariaçãoe devariaçãodaEstudo• depolinomiaisfunções crescimento,grau:1º detaxadecrescimento, funçãodavariação
NÚMEROSEÁLGEBRA
aQuadráticaFunçãoumadeformaçãodeleiaIdentificar gráfica.e/oualgébricarepresentaçãosuadepartir Quadrática,FunçãoumadevérticeoeraízesasCalcular mínimo.deemáximopontoseuidentificarcomobem QuadráFunçãoumaderaízesdenúmerooDeterminar gráficarepresentaçãosuadeanálisedameioportica parábola).da(concavidade dessituaçõesemQuadráticaFunçãoumaIdentificar e/oualgébricarepresentando-atexto,umemcritas graficamente. Funçãoaenvolvamquesituações-problemaResolver Quadrática.
polinomiaisFunções• grau2ºde afunçõesdeGráficos• transformadepartir planonoções compordoEstudo• funçãodatamento (intervaquadrática crescimento/delos pontodecrescimento, emáximo/mínimode função)davariação
Converter(EM13MAT401) algébricasrepresentações depolinomiaisfunçõesde representaçõesparagrau1º carteplanonogeométricas casososdistinguindosiano, comportamentooquaisnos ourecorrendoproporcional,é anão softwares aplicatiou geometriaeálgebradevos dinâmica. represuademeioporfunçõesdiferentesReconhecer gráfica.e/oualgébricasentação diferendeimagemcontradomínio,domínio,oIdentificar funções.tes diferentesdegráficosconstruireinterpretarAnalisar, funções. partiraAfimFunçãoumadeformaçãodeleiaIdentificar gráfica.e/oualgébricarepresentaçãosuade umadedecrescimentoooucrescimentooReconhecer representaçãoe/ousinalseudemeioporAfimFunção gráfica.
Afim.FunçãoumaderaizaCalcular emdescritassituaçõesemAfimFunçãoumaIdentificar graficamente.e/oualgébricarepresentando-atexto,um Funçãoaenvolvamquesituações-problemaResolver
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICAHABILIDADES
NÚMEROSEÁLGEBRA
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 27 UNIDADE
eexponencialFunções:• logarítmica partirafunçõesdeGráfico• planonotransformaçõesde ecrescimentodoEstudo• comportamentodoanálise eexponencialfunçõesdas intervalosemlogarítmica numéricos partirafunçõesdeGráfico• planonotransformaçõesde ecrescimentodoEstudo comportamentodoanálise eexponencialfunçõesdas intervalosemlogarítmica numéricos asanalisareComparar(EM13MAT403) cartesiano,planoemrepresentações, logarítmicaeexponencialfunçõesdas funcaracterísticasasidentificarpara cresciimagem,(domínio,damentais apoiosemoucomuma,cadademento) estabelecendodigitais,tecnologiasde elas.entrerelações aExponencialFunçãoumadeformaçãodeleiaIdentificar gráfica.e/oualgébricarepresentaçãosuadepartir emdescritassituaçõesemExponencialFunçãoumaIdentificar graficamente.e/oualgébricarepresentando-atexto,um Exponencial.FunçãoumaderaizaCalcular FunçãoumadedecrescimentoooucrescimentooReconhecer gráfica.representaçãoe/ousinalseudemeioporExponencial ExpoFunçãoaenvolvamquesituações-problemaResolver nencial. reconhecereLogarítmicaFunçãodadefiniçãoaCompreender existência.decamposeu Logarítmica.FunçãoumaderaizaCalcular FunçãoumadedecrescimentooucrescimentooReconhecer gráfica.análisedameioporLogarítmica LogarítFunçãoaenvolvamquesituações-problemaResolver mica. pordefinidasFunções• partes expresfunçõesdeGráficos• sentençasdiversasporsas comportamentodoAnálise• intervalosemfunçõesde numéricos caracasIdentificar(EM13MAT404) funçõesdasfundamentaisterísticas domínio,(periodicidade,cossenoeseno dascomparaçãodameioporimagem), trigonoméciclosemrepresentações oucomcartesianos,planosemetricos digitais.tecnologiasdeapoiosem emgrandezasduasentrevariaçãoaocorrecomoDescrever numérico.intervalodeterminadoum exponencialquadrática,afins,funçõesasentreIdentificar, variaçãoarepresentarparaadequadamaisalogarítmica,e numérico.intervalodeterminadoumemgrandezasduasentre trechosrepresentamquealgébricassentençasasEscrever detiposdiferentesapresentaqueefunçãoumadegráficodo grandezas.suasentrevariação únicaumaalgébricas,expressõesdiferentesusandoCompor, apresentaquefunçãoumarepresentarparaformação,delei grandezas.suasentrevariaçãodetiposdiferentes deelementaresNoções• computacional:matemática repetidelaçossequências, condicionaisevariávelção, demodelagemAlgoritmos:• soluçõesdeeproblemas programação:daLinguagem• fluxogramas funçõesReconhecer(EM13MAT405) sentençasmaisouumapordefinidas Renda,deImpostodotabelaa(como suasemetc.),gás,água,luz,decontas gráfica,ealgébricarepresentações umaderepresentaçõesessasconverter dedomíniosidentificandooutra,para decresecrescimentoimagem,validade, cimento. conceitos.eprincípiososgeneralizareaplicarCompreender, emexpressasestatísticasinformaçõesedadosInterpretar gráficos.e/outabelas
estatísdiagramaseGráficos polígonoshistogramas,ticos: frequênciasde centraltendênciadeMedidas dispersãodemedidase
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 28 UNIDADE
EESTATÍSTICA
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICAHABILIDADES
Amostragem
Construir(EM13MAT406) etabelasinterpretare frequências,degráficos dadosembasecom porpesquisasemobtidos estatísticas,amostras usoonãoouincluindo de softwares interque estatística,-relacionem álgebra.egeometria gráficosoutabelasdeformanatextoseminformaçõesLocalizar estatísticos. determinadoumdecálculoaorelacionadasvariáveisasIdentificar coeficiente.outaxaíndice, umarelativoscoeficientesetaxaíndices,diferentesComparar contexto.determinado emcoeficientesetaxasíndices,embaseadaconclusão,Elaborar contexto.determinado estatístico.gráficoumemtabelaumaConverter
PROBABILIDADE
estatísdiagramaseGráficos- polígonoshistogramas,ticos: dediagramafrequência,de etc.folhas,eramoscaixa, centraltendênciadeMedidas dispersãodemedidase
Interpre(EM13MAT407)- conjuntoscompararetar estatísticosdadosde diferentesdemeiopor gráficosediagramas caixa,de(histograma, como box-plot ramosde, outros),entrefolhas,e efimaisosreconhecendo análise.suaparacientes tabeemexpressasestatísticasinformaçõesedadosInterpretar- gráficos.e/oulas linemestatísticasinformaçõesedadostranscrevereOrganizar gráfica.e/outabularguagem frededistribuiçãoumadegráficarepresentaçãoaInterpretar demedidascalculareinterpretarConceituar,classes.emquência (variândispersãodeemediana)emédia(moda,centraltendência- desvio-padrão).ecia informaçõesedadosenvolvendosituações-problema,Resolver estatísticas. possiblidaavisualizarmelhorparacotidianodoexemplosUtilizar onderepresentam,estasqueoeestatísticasmedidasdeusodede aplicadas.serpodemcomoe Usar softwares eletrôniplanilhascomobemlivres,estatísticos solução”.suaa“desenvolverdevealunooondecas,
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 29
Competência 5 Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregar recursos e estratégias, como observação de padrões, experimentações e tecnologias digitais, iden tificando a necessidade, ou não, de uma demonstração, cada vez mais formal, na validação das referidas hipóteses.
As habilidades vinculadas a essa competência assumem um importante pa pel na formação matemática dos estudantes que, mediante investigações, devem formular hipóteses, refutá-las ou validá-las e comunicar, com precisão, suas con clusões. Essa importância também decorre do fato de que é necessário que os estudantes adquiram uma compreensão viva do que é a Matemática, incluindo a sua relevância. Para tanto, é indispensável que os estudantes experimentem e interiorizem o caráter distintivo da Matemática, como ciência, ou seja, a nature za do raciocínio hipotético-dedutivo, em contraposição ao raciocínio hipotético -indutivo, característica preponderante de outras ciências. Assim, a construção de uma argumentação, incluindo o desenvolvimento de algumas demonstrações matemáticas, proposta por esta Base, é uma importante contribuição para a re presentatividade da Matemática, como área do conhecimento. Além disso, a com petência é fundamental também para o desenvolvimento dos processos de cogni ção e de práticas argumentativas nos ambientes informatizados. Deve-se observar, ainda, que essa competência específica caracteriza a ati vidade matemática como atividade humana, sujeita a acertos e erros, como um processo de busca, questionamentos, conjecturas, contraexemplos, refutações, aplicações e de comunicação.
Específica
O desenvolvimento dessa competência específica pressupõe um conjunto de habilidades voltadas às capacidades de investigação e de formulação de explica ções e argumentos que podem emergir de experiências empíricas. Os estudantes deverão ser capazes de fazer induções por meio de investigações e experimentações com materiais concretos, apoios visuais e a utilização de tecnologias digitais. Assim, ao formular conjecturas, mediante suas investigações, eles deverão buscar contraexemplos para refutá-las e, quando necessário, procurar argumentos para validá-las. Essa validação não precisa ser feita apenas com argumentos empíri cos, mas deve incluir também argumentos mais “formais”, sem a necessidade da demonstração de diferentes proposições.
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 30 matemáticas,propriedadeseconceitosdiferentesderespeitoaconjecturasestabelecereInvestigar5:Competência aidentificandodigitais,tecnologiaseexperimentaçõespadrões,deobservaçãocomoestratégias,erecursosempregar hipóteses.referidasdasvalidaçãonaformal,maisvezcadademonstração,umadenão,ounecessidade, UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
NÚMEROSEÁLGEBRA
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
segunda.daquadradoocomacordo
grandezas.duasentreconstanteção 1ºdepolinomiaisfunçõesdegráficosConstruir aplicareflexões,etranslaçõesdepartiragrau ].a.x=f(x)[elementarfunçãoàdas aritméprogressãoumadetermososAssociar mesmodeafimfunçãoumadevaloresaostica progressão.aquedomínio funumadecrescimentodetaxaaqueConcluir constante.éafimção polinomiaisFunções• (funçãograu2ºde gráfico,quadrática): depontosraízes, máximo/mínimo, crescimento/decres concavidadecimento, funçõesdeGráficos• 2ºdepolinomiais grau relaInvestigar(EM13MAT502) expressosnúmerosentreções representá-losparatabelasem identificarcartesiano,planono paraconjecturascriarepadrões algeexpressaregeneralizar generalização,essabricamente essaquandoreconhecendo polifunçãodeérepresentação ax2.=ytipodograu2ºdenomial umavariamquegrandezasduasCorresponder meioporoutradaquadradoaorelaçãoem ouesquematabela,texto,oral,relatoumde gráfico. entrerelaçãoatabela,umaembasecomListar, polinofunçãoumademeioporgrandezasduas contextos.determinadosemgrau2ºdemial depolinomiaisfunçõesdegráficosConstruir reflexõesetranslaçõesdepartiragrau2º com]xˆ2=f(x)[elementarfunçãoàaplicadas deusosemou software. polinomialalgébricaexpressãoumaProduzir devariaçãoacomrelacionesequegrau2ºde devariaprimeiraaquesendograndezas,duas
polinomiaisFunções• diferentesgrau:1ºde representações funçõesdeGráficos• 1ºdepolinomiais grau devariaçãodeTaxa• polinomiaisfunções grau1ºde relaInvestigar(EM13MAT501) expressosnúmerosentreções representá-losparatabelasem identificartesiano,planono conjecturascriarepadrõescar expressaregeneralizarpara generaessaalgebricamente quandoreconhecendolização, funçãodeérepresentaçãoessa grau.1ºdepolinomial variaderelaçõesemregularidadesIdentificar
polinomiaisFunções• pontosgrau:2ºde concavidade,críticos, ecrescimento decrescimento (EM13MAT503) depontosInvestigar mínimodeoumáximo quadrátifunçõesde dacontextosemcas FinanceiMatemática Cinemática,daoura outros.entre quadráticafunçãoumadevariaçãoasobrehipótesesFormular apresenta.elaquecríticopontodetipooe quadráticafunçãoumadegráficodoconcavidadeaDescrever quadráticotermodocoeficientedosinalpeloegráficoseupelo função.daalgébricaexpressãoda fenômede(crescimento/decrescimento)variaçãoaExplicar quadráticas.funçõespordescritossãoquenos (crescimento/decomportamentodemudançaaRelacionar funçãoumadedecrescimento/crescimento)oucrescimento pontooumáximode(pontocríticopontoseuocomquadrática mínimo).de geométricos:Sólidos• pirâmides,prismas, conesecilindros devolumedeCálculo• geométricossólidos In(EM13MAT504)- deprocessosvestigar medidadaobtenção prismas,devolumedo cilindrospirâmides, oincluindocones,e Cavalieri,deprincípio dasobtençãoapara cálculodefórmulas volumedomedidada figuras.dessas sãoprismaumdebaseàparalelasseçõesasqueMostrar si.entrecongruentes pirâdee(retos)prismasdemodelosdevolumesosComparar base.daáreamesmaealturamesmade(retas)mides deocomconesdemodelosdeinternovolumeoComparar altura.mesmaebasemesmadecilindros aldevolumeoindiquemquealgébricasexpressõesElaborar- cones)cilindros,pirâmides,(prismas,geométricossólidosguns paralelepípedo.umdevolumedofórmuladapartira situaemredondoscorposepoliedrosdevolumeoCalcular concretas.ções
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
NÚMEROSEÁLGEBRA
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 31 UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 32 UNIDADE
NÚMEROS
Resol(EM13MAT505) sobreproblemasver plano,doladrilhamentos deapoiosemoucom geometriadeaplicativos conjectuparadinâmica, tiposdosrespeitoarar decomposiçãodaou generalizandopolígonos, observados.padrões deperímetrodevariaçãodeconceitosAplicar instrumentosferramentas,deusoocomárea aplicativos.e associaestáfunçãodetipoqueConjecturar umdeáreadaeperímetrodovariaçãoàdo demedidaamodificaraoregularpolígono lados.seus conjecparageometriadeconceitosAplicar- polígonos.decomposiçõesetiposturar
EÁLGEBRA
casuaseregularesPolígonos internos,ângulosracterísticas: etc.externos,ângulos o(complanonoPavimentações não)oupolígonodetipomesmo efórmulasalgébrica:Linguagem generalizaçãodehabilidade
Repre(EM13MAT506) agraficamentesentar pedoeáreadavariação polígonoumderímetro comosquandoregular, ladosseusdeprimentos asclassificandovariam, envolvidas.funções ocomográficos,deauxíliocomMostrar, varegularpolígonoumdeáreaaeperímetro- proporcionalmente,modifica,sequandoriam, lados.seusdemedidaa deáreadaeperímetrodovariaçãoaVerificar medidaamodificarseaoregularpolígonoum lado.seude variaçãoaexpressemquegráficosConstruir regupolígonoumdeáreadaeperímetrodo lados.seusdemedidaamodificarseaolar
perímetroregulares:Polígonos áreae áreaeperímetroentreRelações ladosseusepolígonosde
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASCONHECIMENTODEOBJETOTEMÁTICAHABILIDADES
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS 33 UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
geométriTransformações homoe(isometriascas tetias) geoméfigurasdePosição secante,(tangente,tricas externa) circunscriçãoeInscrição geométricossólidosde cartodebásicasNoções cilíndrica(projeçãografia cônica)e
Inves(EM13MAT509) deformaçãoatigar áreas,eângulosde pelasprovocada projeçõesdiferentes cartograemusadas ecilíndricaacomofia, cônica.a trigonométrico.círculodoelementososIdentificar radiaegrausemânguloumdemedidaaTransformar nos. cosseesenotangente,entrerelaçõesasReconhecer no. prismas.decapacidadeevolumeCalcular decálculoenvolvendosituações-problema,Resolver prismas.decapacidadeevolume cartesiano.planonoparábolaseretasRepresentar projetiva.geometriadebásicosconceitosCompreender
afinsFunções numéricas:Sequências aritméticasprogressões (P.A.) (EM13MAT507) sequênAssociar (PA)numéricascias deafinsfunçõesa discretosdomínios prodeanálisepara- incluindopriedades, algumasdededução resoluçãoefórmulas problemas.de Aritméticas.ProgressõesdeFormaçãodeLeiaIdentificar ProgressãoumadegeraltermodofórmulaaCompreender Aritmética. ProgresumadetermosdossomadafórmulaaCompreender Aritmética.são descritassituaçõesemAritméticaProgressãoumaIdentificar algébrica.linguagememrepresentando-atexto,umem exponencialFunção numéricas:Sequências geométricasprogressões (P.G.) (EM13MAT508) sequênciasAssociar a(PG)numéricas exponenciaisfunções discretosdomíniosde prodeanálisepara incluindopriedades, algumasdededução resoluçãoefórmulas problemas.de Geométricas.ProgressõesdeFormaçãodeLeiaIdentificar verificareGeométricaProgressãoumaderazãoaIdentificar constante.oudecrescentecrescente,sequênciaumaése ProgresumadetermosdossomadafórmulaaCompreender Geométrica.são descrisituaçõesemGeométricaProgressãoumaIdentificar algébrica.linguagememrepresentando-atexto,umemtas AritProgressõesenvolvendosituações-problema,Resolver Geométricas.e/ouméticas
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
PROBABILIDADEEESTATÍSTICA
REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 34 UNIDADE TEMÁTICA DEOBJETO
depolinomiaisFunções• afim,(funçãograu1º constante)elinear funçõesdeGráficos• umadevariaçãodeTaxa• (crescimento/função decrescimento) trigonométricas:Razões• ânguloumdetangente coefireta:daEquação• angularciente Investigar(EM13MAT510) relativosdadosdeconjuntos duasdecomportamentoao usandonuméricas,variáveis e,informaçãodatecnologias contaemlevarapropriado,se umautilizandovariação,a relaçãoadescreverparareta observada.
EspaçosProbabilidade,• oudiscretosamostrais contínuos equiprováveisEventos• equiprováveisnãoou Investigar(EM13MAT512) figurasdepropriedades questionandogeométricas, demeioporconjecturassuas refuparacontraexemplos, areconhecerparaoutá-las demonssuadenecessidade- comovalidação,paratração aosrelativosteoremasos triângulos.equadriláteros estatísticasinformaçõesedadosInterpretar gráficos.e/outabelasemexpressas informaedadostranscrevereOrganizar e/outabularlinguagememestatísticasções gráfica. umadegráficarepresentaçãoaInterpretar classes.emfrequênciadedistribuição
planonoparábolaseretasRepresentar cartesiano. senotangente,entrerelaçõesasReconhecer cosseno.e decrescimenooucrescimentooReconhecer sinalseudemeioporAfimFunçãoumadeto gráfica.representaçãoe/ou Afim.FunçãoumaderaizaCalcular reta.dageralequaçãoaReconhecer envolvendosituações-problema,Resolver retas.deequações pontosentrerelativasposiçõesIdentificar ecircunferênciaseretascircunferências,e circunferências.duasentre disamostraisEspaços•- contínuosoucretos equiprováveisEventos• equiprováveisnãoou Reconhecer(EM13MAT511) diferentesdeexistênciaa amostrais,espaçosdetipos eventosdenão,oudiscretos invesnão,ouequiprováveis noimplicaçõesastigando probabilidades.decálculo umdeocorrênciadeprobabilidadeaCalcular deinterseçãoeuniãoacominclusiveevento, eventos. oenvolvendosituações-problema,Resolver probabilidades.decálculo
APRENDIZAGEMDEEXPECTATIVASHABILIDADESCONHECIMENTO
PROBABILIDADEEESTATÍSTICA
PRO-POSIÇÕES. Campinas, v. 4, n. 1, p. 10, 1993. MALHEIROS, A. P. Modelagem matemática, interdisciplinaridade e tecnologias informáticas em sala de aula. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: SBEM, 2003.
35
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ONUCHIC, Lourdes De La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em Resolução de Problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema-Mathematics Education Bulletin, p. 73-98, 2011.
RICARDO, Elio Carlos; ZYLBERSZTAJN, Arden. Os Parâmetros Curriculares Nacionais na formação inicial dos professores das Ciências da Natureza e Matemática do ensino médio. Investigações em Ensino de Ciências, v. 12, n. 3, p. 339-355, 2016.
ÁREA DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
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REFERENCIAL EDUCATIVO ENSINO MÉDIO 36
