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Matemática I. Lourenço, Inês Alves II. Rupolo, Iraní
1. Fundamentação Teórica da Área na Formação Geral Básica
A Matemática, como é conhecida hoje, é uma área de conhecimento desenvolvida desde a antiguidade e se constitui como uma ciência fundamental para a estruturação do pensamento, para a análise do mundo natural e para a interpretação da sociedade. Além disso, o desenvolvimento de competências matemáticas é imprescindível para validar hipóteses, argumentar em contextos diversos, posicionar-se criticamente, resolver problemas, tomar decisões pessoais, sociais, culturais, profissionais, sobretudo, e com particular destaque, para conquistar uma cidadania que permita atitude consciente na sociedade atual.
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Com base nessa evidência, a SCALIFRA-ZN compreende a importância de desenvolver o conhecimento matemático na etapa do Ensino Médio, em especial, no que se refere à superação da visão estrita deste saber, pois não basta que se dominem os conceitos e procedimentos previstos. O aprendizado na Área de Conhecimento, como Componente Curricular, compreende dotar o estudante de um conjunto de competências e habilidades para raciocinar, justificar conclusões e expressar ideias de maneira clara, o que se alcança por meio de atividades matemáticas problematizadoras. Estas oferecem ao estudante a chance de compreender o sentido do aprendizado e, por extensão, a relevância social do conhecimento matemático.
Por essa via, reconhecendo a diversidade na maneira de ser e aprender de cada estudante, em sala de aula, espera-se que todos tenham a oportunidade e o direito de aprender Matemática, pois ela permite ao estudante a mobilização de conhecimentos, a fim de identificar modelos no enfrentamento de situações complexas, observações e análises críticas, coleta e organização de dados, identificando evidências, levantamento de hipóteses, críticas, conjecturas e decisão sobre sua validade ou não, capacidades essenciais para a vida pessoal e profissional e que devem ser desenvolvidas desde as etapas iniciais da Educação Básica. Assim, a transição do Ensino Fundamental para o Ensino Médio é uma das fases mais importantes para os educandos, visto que é um momento de escolha, onde os estudantes se preparam para a futura profissão, em busca de sua própria identidade, autoconhecimento e independência. Dessa forma, pensando em assegurar a aprendizagem e desenvolvimento, é preciso articular os processos de ensino de forma orgânica e sequencial.
A Base Nacional Comum Curricular - BNCC (2018) da Área de Matemática e suas Tecnologias propõe a ampliação e o aprofundamento das aprendizagens essenciais desenvolvidas até o 9º ano do Ensino Fundamental. Para tanto, coloca em jogo, de modo mais inter-relacionado, os conhecimentos já explorados na etapa anterior, de modo a possibilitar que os estudantes construam uma visão mais integrada de Matemática, ainda na perspectiva de sua aplicação à realidade. Nesses termos, a articulação do ensino matemático caminha junto à interdisciplinaridade, garantindo, assim, a contextualização e a significância do que é ensinado pelo professor e desenvolvido pelo estudante. Essa lógica é apresentada nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio - PCNEM (BRASIL, 2002) e remete ao critério central da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema a permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento ou, ainda, representar a relevância cultural do tema no que diz respeito às suas aplicações, dentro ou fora da Matemática, e à sua importância histórica no desenvolvimento da própria ciência (p. 43).
Na essência da atividade interdisciplinar, coloca-se a importância do trabalho para o desenvolvimento de Competências e Habilidades, como base para uma formação sistêmica, na qual a pessoa é desenvolvida na integralidade do seu ser. O conceito de competência consiste na mobilização de conhecimentos, procedimentos, habilidades e atitudes necessárias à ação e atuação no mundo. Na Área de Matemática e suas Tecnologias, as competências específicas apontam a possibilidade de trabalhar os conteúdos matemáticos integrados às outras áreas do conhecimento. Dessa forma, busca-se o desenvolvimento de habilidades cognitivas, socioemocionais, atitudinais ou valorativas, com ênfase em situações do cotidiano, como as de investigação e argumentação, visando à resolução de problemas.
Na BNCC de Matemática do Ensino Fundamental, as habilidades estão organizadas segundo Unidades de Conhecimento da própria área (Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e Estatística). Nesses termos, na etapa referente ao Ensino Médio, com os diferentes agrupamentos das unidades temáticas referentes à área de Matemática, propõe-se o aprofundamento dos conceitos já estabelecidos em etapas anteriores do processo de aprendizagem, visando à construção da integração da Matemática com a realidade. Ademais, se analisados do ponto de vista teórico-metodológico, os saberes matemáticos devem assegurar a compreensão dos fenômenos desse conhecimento e também a sua ligação com as relações interculturais.
Em relação aos Números, os estudantes do Ensino Fundamental têm a oportunidade de desenvolver habilidades referentes ao pensamento numérico, ampliando a compreensão a respeito dos diferentes campos e significados das operações. Para isso, propõe-se a resolução de problemas, envolvendo números naturais, inteiros, racionais e reais, em diferentes contextos (do cotidiano, da própria Matemática e de outras áreas do conhecimento). Quanto ao Pensamento Algébrico, os estudantes têm a oportunidade de desenvolvê-lo, com base na relação de dependência entre duas grandezas em contextos significativos, e comunicá-lo, utilizando diferentes escritas algébricas, além da resolução de situações-problema por meio de equações e inequações.
Para o Pensamento Geométrico, os discentes desenvolvem habilidades para interpretar e representar a localização e o deslocamento de uma figura no plano cartesiano, identificar transformações isométricas e produzir ampliações e reduções de figuras. Além disso, são solicitados a formular e resolver problemas em contextos diversos, aplicando os conceitos de congruência e semelhança. No que se refere a Grandezas e Medidas, os estudantes ampliam a noção de medida, pelo estudo de diferentes grandezas, e obtêm expressões para o cálculo da medida da área de superfícies planas e da medida do volume de alguns sólidos geométricos. No Ensino Fundamental, desenvolve-se o Pensamento Proporcional que pode ser ampliado, por sua vez, pela exploração de situações que oportunizem a representação em um sistema de coordenadas cartesianas, da variação de grandezas, além da análise e caracterização do comportamento dessa variação (diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional).
No tocante à Probabilidade, os alunos têm a possibilidade, desde os anos iniciais, de construírem o espaço amostral de eventos equiprováveis, utilizando a árvore de possibilidades, o princípio multiplicativo ou simulações, para estimar a probabilidade de sucesso de um dos eventos. Para o desenvolvimento de habilidades relativas à Estatística, os estudantes têm oportunidades não apenas de interpretar estatísticas divulgadas pela mídia, mas também de planejar e executar pesquisa amostral, interpretar as medidas de tendência central, comunicar os resultados obtidos por meio de relatórios, incluindo representações gráficas adequadas.
Em continuidade a essas aprendizagens, no Ensino Médio, o foco é a construção de uma visão integrada da Matemática, aplicada à realidade, conforme ante-
riormente anunciado. Nesse contexto, quando a realidade é a referência, é preciso levar em conta as vivências cotidianas dos estudantes nesta fase escolar, em diferentes graus, dados por suas condições socioeconômicas, pelos avanços tecnológicos, pelas exigências do mercado de trabalho, pela potencialidade das mídias sociais, entre outros. Diante dessa concepção sobre a aprendizagem, a BNCC descreve que o ensino de Matemática deve proporcionar o desenvolvimento de habilidades relacionadas à compreensão dos conceitos matemáticos, ao desenvolvimento do pensamento matemático, à argumentação e à resolução de problemas em contextos cotidianos e científicos. Nessa direção, a seguir, detalham-se essas habilidades, que são: ■ Raciocinar: embora as habilidades pressuponham a mobilização do raciocínio, nem todas desenvolvem essa ação de forma sistemática, por meio da qual o estudante investiga, organiza, explica e justifica a resolução de problemas. ■ Representar: mesmo que todas as áreas tenham competências relacionadas à representação, a Matemática necessita do uso dos registros de representação para a compreensão, validação e comunicação de resultados de um problema, contribuindo para a conquista integral da habilidade. ■ Comunicar e argumentar: essas competências ganham importância após os estudantes resolverem os problemas matemáticos, para que sejam capazes de justificar suas conclusões não apenas usando símbolos matemáticos e conectivos lógicos, mas também por meio do uso da linguagem. Essas habilidades são evidenciadas quando os estudantes fazem apresentações orais dos resultados e elaboram relatórios, apresentando justificativas.
Para tanto, é necessário dar ênfase a metodologias educacionais como a Resolução de Problemas, a Modelagem Matemática, as Tecnologias Digitais e a Interdisciplinaridade, assim como os projetos educacionais que se apoiam no programa Etnomatemática. Essas metodologias, quando devidamente aplicadas, facilitam a compreensão de qualquer conhecimento, pois, em cada uma delas, há possibilidade de se desenvolverem planos de aula com objetivos de aprendizagem, centrados no estudante.
A metodologia de resolução de problemas traz a ideia de problema como um ponto de partida para a construção de novos conceitos e conteúdos, incentivando
os estudantes a serem construtores do seu próprio conhecimento, e os professores, condutores desse processo (ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G, 2011). Na modelagem, os estudantes são convidados a investigar, por meio da Matemática, eventos com referência à realidade, que podem surgir a partir de situações do dia a dia ou das ciências como a Biologia, a Física, a Química, a Geografia, etc. (BARBOSA, 2003). A Etnomatemática afirma que, antes da teoria, deve-se levar em consideração a experiência que cada estudante possui além da escola, cita-se, em especial, o uso de tecnologias digitais, como ferramentas de apoio ao aprendizado (planilhas eletrônicas, os softwares, as calculadoras, as multimídias sociais) e o uso da pesquisa e aplicação de jogos que permitem o conhecimento matemático conectado aos interesses da atual geração.
Para além dessas metodologias, entende-se também que, ao trazer para a Matemática situações contextualizadas, amplia-se a possibilidade de abordagens em diversos temas que estabelecem conexões com as outras áreas do conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos estudantes do Ensino Médio. Dessa forma, ao considerar os estudantes com distintas características, modelos mentais diferentes e a história etnomatemática de cada um, é preciso fomentar a formação por meio de múltiplas estratégias, pois competência e habilidades não são transmitidas e sim desenvolvidas.
Com base nessas considerações, ao intentar que cada qual assuma sua trajetória com autonomia e seja protagonista de sua história, é preciso viabilizar o enfrentamento de todas as situações, isto é, não basta ter só o conhecimento, é preciso saber interagir com ele de forma responsável e consciente. Trata-se do desejo de desenvolver o humano em sua multiplicidade do ser, considerando, assim, a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico (PPP, 2018-2021, SCALIFRA-ZN, p.37). Dessa forma, com o ensino da Matemática, necessita-se promover habilidades e competências, primando pelo protagonismo estudantil.
Partindo do pressuposto das múltiplas mudanças em relação às tecnologias, o atual modelo de ensino vem ao encontro de uma juventude moderna e extremamente preparada para o novo. As metodologias de abordagem do ensino de Matemática, de forma ampla, possuem uma diversidade de habilidades pré-existentes nos educandos, associadas à realidade da comunidade escolar na qual estão inseridos. Enfatizando as constantes transformações nos modelos de ensino, vale ressaltar a importância da etnomatemática, visto que, por meio dela, aprimoram-se expecta-
tivas em relação à educação matemática e se consolida uma referência prática de aproveitamento dos saberes cotidianos, fato ligado diretamente às tecnologias.
Segundo D’Ambrósio (1993), quem ensina Matemática nessa concepção respeita o que o estudante já sabe, pois reconhece os saberes historicamente construídos nas culturas, estabelece momentos dialógicos de questionamento crítico e reconhece os conhecimentos prévios de todos os participantes do processo de aprendizagem. No contexto geral das transformações educacionais, todas as ferramentas de embasamento prático e teórico são primordiais, em especial, a etnomatemática, porque, além de promover relações interculturais, a abordagem visa a um processo de ensino-aprendizagem mais criativo e plural.
2. COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS
Competência Específica 1
Com o desenvolvimento dessa ampla competência, pressupõem-se habilidades que favoreçam a interpretação e a compreensão da realidade, utilizando conceitos de diferentes campos da Matemática para fazer julgamentos bem fundamentados. Essa competência específica contribui não apenas para a formação de cidadãos críticos e reflexivos, mas também para a formação científica geral dos estudantes, uma vez que lhes é proposta a interpretação de situações das Ciências da Natureza ou Humanas.
Os estudantes deverão, por exemplo, analisar criticamente o que é produzido e divulgado nos meios de comunicação (livros, jornais, revistas, internet, televisão, rádio, etc.), muitas vezes de forma imprópria, dada por generalizações equivocadas de resultados de pesquisa, o que pode ocorrer tanto pelo uso inadequado da amostragem quanto pela não divulgação de como os dados foram obtidos.
Competência 1: Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, seja de atividades cotidianas seja de fatos das Ciências da Natureza e Humanas seja, ainda, de questões econômicas ou tecnológicas, consolidando uma formação científica geral. EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA
Descrever a variação de uma grandeza em fun ção da outra. Interpretar gráficos que representam a variação entre duas grandezas. Construir gráficos mostrando a variação entre duas grandezas. Comparar valores presentes em gráficos que mostram a variação entre duas grandezas. Elaborar conclusões a partir da análise de um gráfico que representa a variação entre duas grandezas. Construir gráficos de juros compostos, associando-os à função exponencial. Encontrar a lei de formação de uma variação linear ou afim por meio da geometria analítica. Encontrar o coeficiente de inclinação da reta e relacionar aos índices e taxas.
(EM13MAT101) Interpretar situações econômicas, sociais e das Ciências da Natureza que envolvem a variação de duas grandezas, pela análise dos gráficos das funções represen tadas e das taxas de variação com ou sem apoio de tecnolo gias digitais.
Funções: interpretação de gráficos e • de expressões algébricas Variação de grandezas, como veloci • dade, concentração, taxas de cresci mento ou decrescimento de popula ções, índices econômicos, etc.Estatística: gráficos (e infográficos), • medidas de tendência central e de dispersão Matemática financeira: representação • gráfica dos juros em função do tempo Geometria Analítica: equação da reta • definida por dois pontos Porcentagens: cálculo de índices, • taxas e coeficientes. Compreender o princípio fundamental da conta gem. Resolver situações-problema, envolvendo princí pio fundamental da contagem. Reconhecer variáveis estatísticas e compreender a distribuição de frequência. Resolver situações-problema, envolvendo o cál culo das chances de ocorrência de um evento. Resolver situações-problema, envolvendo cálcu los de juro composto.
(EM13MAT102) Analisar gráfi - cos e métodos de amostragem de pesquisas estatísticas, apresentadas em relatórios di - vulgados por diferentes meios de comunicação, identificando, quando for o caso, inadequa ções que possam induzir a erros de interpretação, como escalas e amostras não apro priadas.
Funções: interpretação de gráficos e • de expressões algébricas Sistemas e unidades de medida: • leitura e conversão de unidades de grandezas diversas Variação de grandezas, como veloci • dade, concentração, taxas de cresci mento ou decrescimento de popula ções, índices econômicos, etc. Estatística: gráficos (e infográficos), • medidas de tendência central e de dispersão
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA
Compreender as relações métricas no triângulo retângulo. Utilizar as relações métricas para determinar medidas dos lados de um triângulo retângulo. Utilizar as razões trigonométricas no triângulo retângulo para obter relações entre ângulos e lados na determinação de suas medidas. Compreender situações-problema por meio das relações métri cas no triângulo retângulo. Compreender o conceito de semelhança e congruência de figuras. na solução de situa Compreender e aplicar o Teorema de Tales ções-problema. Compreender os conceitos de volume e capacidade. Calcular volume e capacidade de prismas. Resolver situações-problema envolvendo cálculo de volume e capacidade de prismas. Representar retas e parábolas no plano cartesiano. Compreender conceitos básicos de geometria projetiva. Resolver situações -problema que envolvam triângulos quais quer.
(EM13MAT103) Interpretar e com - preender o emprego de unidades de medida de diferentes grandezas, inclusive de novas unida - des, como as de armazenamento de dados e de distân - cias astronômicas e microscópicas, ligadas aos avanços tecnológicos, ampla - mente divulgadas na sociedade.
Funções: representação gráfica e algébrica • Sistema Internacional de Medidas: principais • unidades e conversões Bases de sistemas de contagem (base decimal, • base binária, base sexagesimal, etc.) Principais unidades de armazenamento de • dados na informática ( bit, byte, kilobyte, me - etc.) e transferência de dados gabyte, gigabyte , etc.) ( Mbps, Kbps, Gbps Resolução de problemas com figuras planas e • espaciais cuja interpretação necessita do uso ou da conversão de unidades de medidas Relações métricas no triângulo retângulo e • suas aplicações Lei dos senos e suas aplicações • Lei dos Cossenos e suas aplicações •
Identificar as variáveis associadas ao cálculo de um determinado índice, taxa ou coeficiente. Explicar a relação que uma variável mantém com outra na com posição de um índice. Comparar diferentes índices, taxas e coeficientes relativos. Elaborar conclusões envolvendo índices, taxas e coeficientes em um determinado contexto. Compreender que as variações podem ocorrer de forma linear, exponencial ou logarítmica. Escolher a representação gráfica adequada para representar esses índices. Elaborar conclusões envolvendo a taxa de inflação, analisando os preços dos produtos da cesta básica brasileira.Identificar as variáveis associadas ao cálculo do índice de desen volvimento humano (IDH). Relacionar uma razão entre duas grandezas como sendo uma taxa ou índice. Relacionar a velocidade média, densidade, fluxo, vazão, índices demográficos, crescimento da população de uma colônia de bac térias, decaimento radioativo entre outras com índices e taxas.
(EM13MAT104) Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica, tais como índice de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre ou - tros, investigando os processos de cálculo desses números.
Estatística: pesquisa e organização de dados • Porcentagens: cálculo de índices, taxas e • coeficientes Estatística: interpretação de gráficos, medidas • de tendência central e medidas de dispersão Taxas de juro simples e composto • Fator de atualização • Gráfico da função linear e o coeficiente angu • lar, relacionado à taxa de variação da função Gráfico da função afim e o coeficiente angular • e linear, relacionados à taxa de variação da função Gráfico da função exponencial • Gráfico da função logarítmica •
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA
Compreender as relações métricas no triângulo retân gulo. Utilizar as relações métricas para determinar medidas dos lados de um triângulo retângulo. Utilizar as razões trigonométricas no triângulo re tângulo para obter relações entre ângulos e lados na determinação de suas medidas.Compreender situações-problema que podem ser atacadas por meio das relações métricas no triângulo retângulo. Compreender o conceito de semelhança e congruência de figuras. Teorema de Tales na solução Compreender e aplicar o de situações-problema. Representar retas e parábolas no plano cartesiano. Compreender conceitos básicos de geometria proje tiva. Compreender a simetria no plano cartesiano, apli cando essa noção na geometria plana e nas relações métricas na circunferência. Diferenciar a noção de parábola do gráfico da função quadrática, compreendendo a definição, construção e características de uma parábola.
(EM13MAT105) Utilizar noções de transformação isométricas (translação, reflexão, rotação e composições) e transformações homotéticas para analisar diferentes produções humanas, como construções civis, obras de arte, entre outras.
Geometria das Transformações: • isometrias (reflexão, translação e rotação) e homotetias (ampliação e redução) Noções de geometria dos fractais • Simetria, reflexão, rotação e • translação no círculo trigonomé trico Redução ao primeiro quadrante • Simetria, reflexão e translação • ao variar os coeficientes das funções afins, quadráticas, expo nenciais e logarítmicas. Pontos simétricos • Rotação e translação de vetores • Simetria na parábola, elipse e • hipérbole Posição relativa entre pontos, • retas e planos no espaço Representação geométrica dos • números complexos Compreender o princípio fundamental da contagem. Resolver situações-problema, envolvendo o princípio fundamental da contagem. Reconhecer variáveis estatísticas e compreender a distribuição de frequência. Resolver situações-problema, envolvendo o cálculo das chances de ocorrência de um evento. Resolver situações-problema, envolvendo cálculos de juro composto.
(EM13MAT106) Identificar situações da vida cotidiana nas quais seja necessário fazer escolhas, levando-se em conta os riscos probabilísticos (usar este ou aquele método contra ceptivo, optar por um trata - mento médico em detrimento de outro, etc.).
Porcentagem: cálculo de taxas, • índices e coeficientes Probabilidade simples e condi • cional Eventos sucessivos, mutuamen • te exclusivos e não mutuamente exclusivos Estatística: distribuição estatísti • ca, distribuição normal e medi das de posição (mediana, quartis, ) decis e percentis
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Competência Específica 2
Articular conhecimentos matemáticos ao propor e/ou participar de ações para investigação de desafios do mundo contemporâneo e para tomada de decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas de urgência social, como situações de saúde, sustentabilidade, implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, recorrendo a conceitos, procedimentos e linguagens próprias da Matemática.
Esta competência amplia a anterior por exigir dos estudantes decisão conjunta para investigar questões de impactos sociais e, assim, participar de iniciativas e/ou de ações que visem a solucionar esses problemas. As habilidades indicadas para o desenvolvimento dessa competência colocam em jogo conhecimentos e ferramentas matemáticas necessárias para desenvolver um projeto cuja finalidade é responder a questões relativas aos diferentes territórios geográficos e/ou sociais e fundamentar conclusões sobre elas. Nesses termos, por meio da concepção e do desenvolvimento de projetos, é necessário que os estudantes aprendam e investiguem novos conceitos e procedimentos matemáticos para a sua conclusão. A realização de projetos potencializa atividades de investigação não apenas para aplicar conhecimentos matemáticos, mas também para responder a questões de urgência social. Em síntese, a competência deve favorecer a interação dos alunos com seus pares, de forma cooperativa, para aprender e ensinar Matemática. Ela deve também fornecer condições para o planejamento e execução de pesquisas, identificando aspectos consensuais ou não na discussão de projetos, com base em princípios solidários, éticos e sustentáveis, valorizando, sem quaisquer preconceitos, a diversidade de opinião de grupos e de indivíduos.
Competência 2: Articular conhecimentos matemáticos ao propor e/ou participar de ações para investigação de desafios do mundo contemporâneo e para tomada de decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas de urgência social, como situações de saúde, sustentabilidade, implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, recorrendo a conceitos, procedimentos e linguagens próprias da Matemática. EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA
Identificar tipos de figuras geométricas que representam uma determinada composição geométrica. Decompor uma figura em polígonos e/ou setores circulares. Calcular a área total de uma figura geométrica a partir da sua decomposição em figuras geométricas elementares. Realizar medições das dimensões de um local a fim de calcular suas respec tivas áreas. Resolver situações-problema, utilizando a decomposição de uma superfície e algumas expressões algébricas que representam áreas de polígonos em determinados contextos.
(EM13MAT201) Propor ações comunitárias, como as volta - das aos locais de moradia dos estudantes, dentre outras, envolvendo cálculos das medidas de área, de volume, de capacidade ou de massa, adequados às demandas da região.
Grandezas e medi • das: comprimento, área, volume, capa cidade e massa Cálculo de medidas • Decomposição de • figuras planas e espaciais Descrever as etapas de uma pesquisa estatística. Realizar pesquisa estatística (censitária ou não). Determinar medidas de tendência central (média, moda e mediana) e medi das de dispersão (amplitude, desvio-padrão ou coeficiente de variação) de uma série de dados. Interpretar medidas de dispersão (amplitude, desvio-padrão ou coeficiente de variação) em um determinado contexto. Comunicar os resultados de uma pesquisa estatística, utilizando o gráfico estatístico mais adequado para aquela situação (histograma de frequência absoluta/acumulada, polígono de frequência simples/acumulada, etc.).
(EM13MAT202) Planejar e executar pesquisa amostral, usar dados coletados ou de diferentes fontes sobre questões relevantes atuais, incluir ou não apoio de recur - sos tecnológicos e comunicar os resultados por meio de relatório, contendo gráficos e interpretação das medidas de tendência central e das dispersões.
Conceitos simples • de Estatística Des critiva Medidas de tendên • cia central (média, moda e mediana) Medidas de dis • persão (amplitude, desvio-padrão e coeficiente de vari ância) Descrever as etapas de uma pesquisa estatística. Realizar pesquisa estatística (censitária ou não). Determinar medidas de tendência central (média, moda e mediana) e medi das de dispersão (amplitude, desvio-padrão ou coeficiente de variação) de uma série de dados. Interpretar medidas de dispersão (amplitude, desvio-padrão ou coeficiente de variação) em um determinado contexto. Comunicar os resultados de uma pesquisa estatística, utilizando o gráfico estatístico mais adequado para aquela situação (histograma de frequência absoluta/acumulada, polígono de frequência simples/acumulada, etc.).
(EM13MAT203) Planejar e executar ações envolvendo a criação e a utilização de aplicativos, jogos (digitais ou não), planilhas para o con trole de orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros compostos, dentre outros, para aplicar conceitos matemáticos.
Gráficos estatísticos • (histogramas e polí gonos de frequência) Distribuição normal •
GRANDEZAS E MEDIDAS
Competência Específica 3
Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos em Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística, para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente.
As habilidades indicadas para o desenvolvimento da competência estão relacionadas à interpretação, construção de modelos, resolução e formulação de problemas matemáticos, envolvendo noções, conceitos e procedimentos quantitativos, espaciais, estatísticos e probabilísticos, entre outros. Esses problemas se referem, necessariamente, aos contextos relativos às áreas das Ciências da Natureza e Humanas e da própria Matemática, incluindo os oriundos do avanço tecnológico. No Ensino Médio, os estudantes devem desenvolver e mobilizar habilidades para a vida, por isso as situações propostas devem ter significado real para eles. Nesse sentido, os problemas cotidianos têm papel fundamental na escola para o aprendizado e a aplicação de conceitos matemáticos, considerando que, no cotidiano, não contam apenas as atividades do dia a dia dos estudantes, mas também as questões da comunidade e do mundo do trabalho.
Deve-se, ainda, ressaltar que os estudantes também precisam construir significados para os problemas próprios da Matemática. Para isso, devem, logo no início, identificar os conceitos e procedimentos matemáticos necessários ou os que possam ser utilizados na chamada formulação matemática do problema. Depois disso, devem aplicar esses conceitos, executar procedimentos e, ao final, compatibilizar os resultados com o problema original, comunicando a solução aos colegas por meio de argumentação consistente. No entanto, essa tarefa pode exigir processos cognitivos diferentes, dependendo da natureza da questão. Há problemas nos quais os estudantes deverão aplicar, de imediato, um conceito ou um procedimento, tendo em vista que a tarefa solicitada está explícita. Há outras situações nas quais, embora essa tarefa esteja contida no enunciado, os estudantes deverão fazer algumas adaptações antes de aplicar o conceito que foi explicitado, exigindo, portanto, maior grau de interpretação.
Devem-se considerar também os problemas cujas tarefas não estão explícitas e para as quais os estudantes deverão mobilizar seus conhecimentos e habilidades, a fim de identificar conceitos e conceber um processo de resolução. Em alguns desses problemas, os estudantes precisam identificar ou construir um modelo para que possam gerar respostas adequadas. Esse processo envolve a capacidade de analisar os fundamentos e propriedades de modelos existentes, avaliando seu alcance e validade para o problema em foco. Essa competência específica considera esses diferentes tipos de problemas, incluindo a construção e o reconhecimento de modelos que podem ser aplicados. Cabe ainda destacar que o uso de tecnologias possibilita aos estudantes aprofundar sua participação ativa nesse processo de resolução de questões. São alternativas de experiências variadas e facilitadoras de aprendizagem que reforçam a capacidade de raciocinar logicamente, formular e testar conjecturas, avaliar a validade de raciocínio e construir argumentações.
Competência 3: Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos em Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística, para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA
Identificar os diferentes conjuntos numéricos e as propriedades ine rentes a cada um deles. Interpretar e representar intervalos numéricos (abertos e fechados) por meio de linguagem matemática. Conceituar e interpretar matrizes e suas operações, sendo capaz de reconhecer e transcrever dados em linguagem matricial. Reconhecer, associar e interpretar matrizes, como nulas, identidade, transposta, oposta e inversa, em situações-problema de relevância e aplicabilidade cotidiana. Calcular o determinante de matrizes de diferentes ordens. Discutir, classificar e resolver sistemas lineares por meio do método e do escalonamen de substituição, método da adição, regra de cramer to.
(EM13MAT301) Resolver e elaborar problemas do coti - diano da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, com o uso de técnicas algébricas e gráficas, incluindo ou não tec nologias digitais.
Sistemas de • equações line ares Gráficos • de funções lineares com uma ou duas variáveis Listar situações que envolvem proporcionalidade direta em contextos matemáticos e em outras áreas do conhecimento. Construir gráficos de funções polinomiais de 1º e de 2º grau a partir de translações e reflexões, aplicadas em funções elementares [ f(x) = a.x softwares. e f(x) = x2], com ou sem o uso de Modelar situações em contextos diversos por funções polinomiais de 1º e de 2º grau, da linguagem verbal para a linguagem algébrica e geométrica e vice-versa. Resolver situações-problema, envolvendo funções polinomiais de 1º e de 2º grau.
(EM13MAT302) Resolver e elaborar problemas cujos mo - delos são as funções polinomiais de 1º e 2º graus, em contextos diversos, incluindo ou não tecnologias digitais.
Função polino • mial de 1º grau Função polino • mial de 2º grau
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Descrever a incidência da taxa de juros em situações relacionadas aos sistemas de capitalização simples e também no sistema de capitaliza ção composto.Diferenciar situações em que os juros simples são utilizados (como em ) de outras situações em que os juros são compostos. de mora juros Interpretar situações cotidianas que envolvam empréstimos, financia mentos e multas progressivas, para avaliação e tomada de decisão. - Elaborar planilhas e gráficos mostrando o crescimento de um capital investido sob taxa fixa tanto no sistema de capitalização simples (linear) quanto no sistema de capitalização composto (exponencial).
(EM13MAT303) Resolver e ela borar problemas com porcen - tagens em diversos contextos e sobre juros compostos, destacando o crescimento exponencial.
Conceitos de Mate • mática Financeira Juros simples e juros • compostos Funções e gráficos de • funções de 1º grau e exponencial Descrever, por meio de um texto, tabela ou gráfico a variação de duas grandezas que se relacionam de modo exponencial. Correlacionar os termos de uma sequência numérica (PG) com a ex pressão de uma função exponencial. Relacionar situações de financiamento a juros compostos à expressão de uma função exponencial. Resolver problemas sobre educação financeira.
(EM13MAT304) Resolver e elaborar problemas com fun - ções exponenciais nos quais é necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em con textos como o da Matemática Financeira e o do crescimento de seres vivos microscópicos, entre outros.
Funções exponen • ciais Variação exponencial • entre grandezas Noções de Matemá • tica Financeira
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Definir logaritmo como operação matemática que determina o expoente de uma potenciação a partir da base e da potência obtida. Expressar a relação entre potenciação e logarit mo de números reais de mesma base. Resolver situações-problema em que é necessá rio o cálculo de um logaritmo. Interpretar o logaritmo em funções que des crevam fenômenos de outras áreas do conheci mento.
(EM13MAT305) Resolver e elaborar problemas com funções logarítmicas nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como os de abalos sísmicos, pH, radioatividade, Matemática Financeira, entre outros.
Logaritmo • Relação entre potenciação e • logaritmo Reconhecer os principais elementos (período, amplitude, comprimento de onda) a partir da análise do gráfico de fenômenos periódicos. Construir um gráfico representando fenômenos periódicos. Resolver situações-problema, utilizando as ra zões e as funções trigonométricas em contextos diversos.
(EM13MAT306) Resolver e ela borar problemas em contextos que envolvam fenômenos peri ódicos reais, como ondas sono ras, ciclos menstruais, movi mentos cíclicos, entre outros, e comparar suas representações com as funções seno e cosse no, no plano cartesiano, com ou sem apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
Funções trigonométricas: • função seno, função cosseno e função tangente
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Identificar e associar áreas de figuras geométricas (cálculo por decomposição, composição ou aproximação).
(EM13MAT307) Empregar dife rentes métodos para a obten - ção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes, etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais, como o remanejamento e a distribuição de plantações, com ou sem apoio de tecnolo gias digitais.
Conceito de semelhança e con • gruência de figuras na solução de Teorema de Tales • situações-problema Conceitos de volume e capaci • dade Volume e capacidade de pris • mas Situações-problema, cálculo • de volume e capacidade de prismas Relacionar um ângulo a seus valores de seno e cosse no em triângulos retângulos. Identificar as condições necessárias para aplicar os conceitos de congruência, semelhança, as relações métricas e as trigonométricas em triângulos. Resolver problemas de cálculo de distâncias inaces síveis, decidindo pelo conceito adequado para cada medição. Propor medições de distâncias com uso dos conceitos de congruência, semelhança e da trigonometria.
(EM13MAT308) Resolver e ela borar problemas em variados contextos, envolvendo triân - gulos nos quais se aplicam as relações métricas ou as noções de congruência e semelhança.
Lei dos senos e lei dos cosse • nos Congruência de triângulos • Semelhança entre triângulos • Operar com as propriedades fundamentais dos polie dros. Operar com as propriedades fundamentais dos cor - pos redondos. Calcular área, volume e capacidade de sólidos geométricos. Resolver situações-problema, envolvendo o cálculo de áreas de superfícies, volume e capacidade de sóli dos geométricos. Compreender os conceitos de volume e capacidade. Calcular volume e capacidade de prismas e relacioná -los a situações-problema.
(EM13MAT309) Resolver e ela - borar problemas que envolvem o cálculo de áreas totais e de volumes de prismas, pirâmides e corpos redondos (cilindro e cone) em situações reais, como o cálculo do gasto de material para forrações ou pinturas de objetos cujos formatos sejam composições dos sólidos estu dados.
Geometria Métrica: poliedros e corpos redondos. Área total de prismas, pirâmides e corpos redondos Geometria Métrica: poliedros • e corpos redondos. Volume de prismas, pirâmides e corpos redondos
GEOMETRIA E MEDIDAS
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO Diferenciar situações em que a ordem dos elementos de um agrupamento influencia seu contexto (arranjo) de outras nas quais isso não ocorre (combinação). Usar o princípio multiplicativo e/ou o princípio aditivo para contagem em situações em que a ordem dos elementos é relevante (arranjos) e em outras sem essa condição (combi nações). Criar situações-problema, envolvendo agrupamentos de objetos nas quais a ordem de seus elementos influencia a contagem, e outras nas quais isso não ocorre. Resolver situações envolvendo contagem. Elaborar situações de investigação de contagem.
(EM13MAT310) Resolver e elaborar problemas de conta gem com diferentes tipos de agrupamento de elementos, por meio dos princípios multi - plicativo e aditivo, recorrendo a estratégias diversas, como o diagrama da árvore.
Noções de combinatória: • agrupamentos orde náveis (arranjos) e não ordenáveis (combinações) Princípio multiplicativo e • princípio aditivo Explicar o espaço amostral envolvido em diferentes experi mentos aleatórios. Listar as possibilidades de ocorrência de dois eventos simul - tâneos ou consecutivos, envolvendo eventos independentes (união, intersecção ou condicional de eventos). Quantificar e fazer previsões em situações aplicadas a diferentes áreas do conhecimento e da vida cotidiana que envolva o cálculo de probabilidades.
(EM13MAT311) Resolver e elaborar problemas que en volvem o cálculo da probabi lidade de eventos aleatórios, identificar e descrever o espaço amostral, realizando contagem das possibilidades.
Probabilidade básica: • espaço amostral, evento aleatório (equiprovável) Contagem de possibili • dades Cálculo de probabilidades • simples Compreender a teoria e a linguagem das probabilidades, identificando fenômenos e experimentos aleatórios, espaço amostral e evento. Calcular a probabilidade de ocorrência de um evento, inclusi ve com a união e interseção de eventos. Resolver situações-problema, envolvendo o cálculo de pro babilidades.
(EM13MAT312) Resolver e elaborar problemas que envol - vam o cálculo de probabilidade de eventos em experimentos aleatórios sucessivos. Interpretar dados e informações estatísticas expressas em tabelas e/ou gráficos. Organizar e transcrever dados e informações estatísticas em linguagem tabular e/ou gráfica.
Eventos dependentes e • independentes Cálculo de probabilidade • de eventos relativos a experimentos aleatórios sucessivos
UNIDADE TEMÁTICA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO Reconhecer que a notação científica é uma maneira eficiente de expressar números muito grandes ou muito pequenos em diversos contextos. Representar números em diferentes contextos, utilizando a notação científica. Representar quantidades não inteiras, usando técnicas de arredondamento. Comparar valores obtidos por diferentes instrumentos de medição com o intuito de verificar o grau de precisão indicado em ambos.
(EM13MAT313) Resolver e elaborar problemas que envolvam medições em que se discuta o emprego de algarismos significativos e algarismos duvidosos, utilizando, quando neces - sário, a notação científica.
Notação científica • Algarismos significativos e técnicas • de arredondamento Noção de erro em medições • Compreender os conceitos de razão e proporção entre grande zas. Reconhecer grandezas direta e inversamente proporcionais. Resolver situações-problema, envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais. Compreender e aplicar a regra de três simples. Resolver situações-problema, envolvendo regra de três sim ples.
(EM13MAT314) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas com - postas, determinadas pela razão ou pelo produto de duas outras, como veloci dade, densidade demográ fica, energia elétrica, etc.
Grandezas determinadas pela razão • ou produto de outras (velocidade, densidade de um corpo, densidade by demográfica, potência elétrica, por segundo, etc.) e conversão tes entre unidades compostas Compreender, aplicar e generalizar os princípios e conceitos. Interpretar dados e informações estatísticas expressas em tabelas e/ou gráficos. Rotular os passos da resolução de um problema por meio de um fluxograma. Reproduzir o fluxograma em uma linguagem de programação. Desenvolver a lógica de programação por meio de suas fases: Entrada, Processamento e Saída, bem como a habilidade de solucionar problemas com o desenvolvimento de um software específico para tal. Aprender a simular, de forma computacional, problemas matemáticos, como, por exemplo, geometria plana e espacial, trigonometria, matrizes, determinantes e sistemas.
(EM13MAT315) Reconhecer um problema algorítmico, enunciá-lo, procurar uma solução e expressá-la por meio de um algoritmo, com o respectivo fluxograma.
Noções básicas de Matemática • Computacional Algoritmos e sua representação por • fluxogramas Aprendizagem e desenvolvimento • de solução para determinado pro - blema ou, então, adaptação de uma solução pré-existente, na web, por meio de bibliotecas livres Utilização de uma lingua • gem de programação de fácil reconhecimento para o estudante, da Google, ou, en como o blockly, ol tão, o portug
UNIDADE TEMÁTICA GEOMETRIA E MEDIDAS
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO Identificar, entre as medidas de tendência central (mé - dia, moda e mediana), a mais adequada de acordo com a característica desejada (normalizar os dados, dividir o conjunto de dados em partes de mesmo tamanho e verifi car o valor mais frequente). Calcular o desvio-padrão de conjuntos de dados distintos com o auxílio de uma planilha eletrônica, em contextos diversos. Construir um polígono de frequência absoluta a partir de uma distribuição de frequências, envolvendo uma deter minada situação. e/ou Interpretar separatrizes (mediana, quartis, decis ) em gráficos de distribuição estatística, repre percentis sentando uma amostra de uma população.Correlacionar as medidas de tendência central (média, moda e mediana) às medidas de dispersão (amplitude, desvio-padrão ou coeficiente de variação) em uma série de dados.
(EM13MAT316) Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvam cálculo e interpretação das medidas de tendência central (média, moda, mediana) e das de dispersão (amplitude, variância e desvio-padrão).
Noções de estatística • descritiva Medidas de tendência • central: média, moda e mediana Medidas de dispersão: • amplitude, variância e desvio-padrão
UNIDADE TEMÁTICA GEOMETRIA E MEDIDAS
Competência Específica 4
Compreender e utilizar, com flexibilidade e fluidez, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional, etc.), na busca de solução e de comunicação de resultados de problemas, de modo a favorecer a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático.
As habilidades vinculadas a essa competência tratam da utilização das diferentes representações de um mesmo objeto matemático, tendo em vista que elas têm um papel decisivo na aprendizagem dos estudantes. Ao conseguirem utilizar as representações matemáticas, compreender as ideias que elas expressam e, quando possível, fazer a conversão entre elas, os estudantes passam a dominar um conjunto de ferramentas que potencializa, de forma significativa, a capacidade de resolver problemas, comunicar e argumentar; enfim, ampliar a capacidade de pensar matematicamente. Além disso, a análise das representações utilizadas pelos estudantes para resolver um problema permite compreender os modos como o interpretaram e como raciocinaram para resolvê-lo.
Para tanto, assume-se que, para as aprendizagens dos conceitos e procedimentos matemáticos, deve-se incluir, quando possível, pelo menos dois registros de representação. Assim, os estudantes precisam estar preparados para escolher as representações mais convenientes a cada situação, para mobilizar, de modo simultâneo, ao menos dois registros e para, a todo momento, trocar de representação. No entanto, cabe observar que a conversão de um registro para outro nem sempre é simples, apesar de, muitas vezes, ser necessária a uma adequada compreensão do objeto matemático em questão, pois uma representação pode facilitar a compreensão de um aspecto que outra não favorece. Portanto, percebe-se que, do ponto de vista cognitivo, as aprendizagens fundamentais, relativas ao raciocínio, requerem a diversificação dos registros.
Competência 4: Compreender e utilizar, com flexibilidade e fluidez, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional, etc.), na busca de solução e de comunicação de resultados de problemas, de modo a favorecer a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Reconhecer diferentes funções por meio de sua repre sentação algébrica e/ou gráfica. Identificar o domínio, contradomínio, imagem de diferen tes funções. Analisar, interpretar e construir gráficos de diferentes funções. Identificar a lei de formação de uma Função Afim a partir de sua representação algébrica e/ou gráfica. Reconhecer o crescimento ou o decrescimento de uma Função Afim por meio de seu sinal e/ou representação gráfica. Calcular a raiz de uma Função Afim. Identificar uma Função Afim em situações descritas em um texto, representando-a algébrica e/ou graficamente. Resolver situações-problema que envolvam a Função Afim.
(EM13MAT401) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau para representações geométricas no plano carte siano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou ou aplicati não a softwares vos de álgebra e geometria dinâmica.
Funções afins, lineares, • constantes Gráficos de funções a • partir de transforma ções no plano Proporcionalidade • estudo do crescimento e variação de funções Estudo da variação de • funções polinomiais de 1º grau: crescimento, decrescimento, taxa de variação da função Identificar a lei de formação de uma Função Quadrática a partir de sua representação algébrica e/ou gráfica. Calcular as raízes e o vértice de uma Função Quadrática, bem como identificar seu ponto máximo e de mínimo. Determinar o número de raízes de uma Função Quadrá tica por meio da análise de sua representação gráfica (concavidade da parábola). Identificar uma Função Quadrática em situações des - critas em um texto, representando-a algébrica e/ou graficamente. Resolver situações-problema que envolvam a Função Quadrática.
(EM13MAT402) Converter representações algébricas de funções polinomiais de 2º grau para representações geométricas no plano carte - siano, distinguindo os casos nos quais uma variável for diretamente proporcional ao quadrado da outra, recor rendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Funções polinomiais • de 2º grau Gráficos de funções a • partir de transforma ções no plano Estudo do compor • tamento da função quadrática (interva los de crescimento/ decrescimento, ponto de máximo/mínimo e variação da função)
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA
Identificar a lei de formação de uma Função Exponencial a partir de sua representação algébrica e/ou gráfica. Identificar uma Função Exponencial em situações descritas em um texto, representando-a algébrica e/ou graficamente. Calcular a raiz de uma Função Exponencial. Reconhecer o crescimento ou o decrescimento de uma Função Exponencial por meio de seu sinal e/ou representação gráfica. Resolver situações-problema que envolvam a Função Expo nencial. Compreender a definição da Função Logarítmica e reconhecer seu campo de existência. Calcular a raiz de uma Função Logarítmica. Reconhecer o crescimento ou decrescimento de uma Função Logarítmica por meio da análise gráfica. Resolver situações-problema que envolvam a Função Logarít mica.
(EM13MAT403) Comparar e analisar as representações, em plano cartesiano, das funções exponencial e logarítmica para identificar as características fun damentais (domínio, imagem, cresci - mento) de cada uma, com ou sem apoio de tecnologias digitais, estabelecendo relações entre elas.
Funções: exponencial e • logarítmica Gráfico de funções a partir • de transformações no plano Estudo do crescimento e • análise do comportamento das funções exponencial e logarítmica em intervalos numéricos Gráfico de funções a partir • de transformações no plano Estudo do crescimento e análise do comportamento das funções exponencial e logarítmica em intervalos numéricos Descrever como ocorre a variação entre duas grandezas em um determinado intervalo numérico. Identificar, entre as funções afins, quadrática, exponencial e logarítmica, a mais adequada para representar a variação entre duas grandezas em um determinado intervalo numérico. Escrever as sentenças algébricas que representam trechos do gráfico de uma função e que apresenta diferentes tipos de variação entre suas grandezas. Compor, usando diferentes expressões algébricas, uma única lei de formação, para representar uma função que apresenta diferentes tipos de variação entre suas grandezas.
(EM13MAT404) Identificar as carac - terísticas fundamentais das funções seno e cosseno (periodicidade, domínio, imagem), por meio da comparação das representações em ciclos trigonomé - tricos e em planos cartesianos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Funções definidas por • partes Gráficos de funções expres • sas por diversas sentenças Análise do comportamento • de funções em intervalos numéricos Compreender, aplicar e generalizar os princípios e conceitos. Interpretar dados e informações estatísticas expressas em tabelas e/ou gráficos.
(EM13MAT405) Reconhecer funções definidas por uma ou mais sentenças (como a tabela do Imposto de Renda, contas de luz, água, gás, etc.), em suas representações algébrica e gráfica, converter essas representações de uma para outra, identificando domínios de validade, imagem, crescimento e decres cimento.
Noções elementares de • matemática computacional: sequências, laços de repeti - ção, variável e condicionais Algoritmos: modelagem de • problemas e de soluções Linguagem da programação: • fluxogramas
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Localizar informações em textos na forma de tabelas ou gráficos estatísticos. Identificar as variáveis relacionadas ao cálculo de um determinado índice, taxa ou coeficiente. Comparar diferentes índices, taxa e coeficientes relativos a um determinado contexto. Elaborar conclusão, baseada em índices, taxas e coeficientes em determinado contexto. Converter uma tabela em um gráfico estatístico.
(EM13MAT406) Construir e interpretar tabelas e gráficos de frequências, com base em dados obtidos em pesquisas por amostras estatísticas, incluindo ou não o uso softwares que inter de -relacionem estatística, geometria e álgebra.
Amostragem Gráficos e diagramas estatís ticos: histogramas, polígonos de frequências Medidas de tendência central e medidas de dispersão Interpretar dados e informações estatísticas expressas em tabe las e/ou gráficos. Organizar e transcrever dados e informações estatísticas em lin guagem tabular e/ou gráfica. Interpretar a representação gráfica de uma distribuição de fre quência em classes. Conceituar, interpretar e calcular medidas de tendência central (moda, média e mediana) e de dispersão (variân cia e desvio-padrão). Resolver situações-problema, envolvendo dados e informações estatísticas. Utilizar exemplos do cotidiano para melhor visualizar a possiblida - de de uso de medidas estatísticas e o que estas representam, onde e como podem ser aplicadas. Usar softwares estatísticos livres, bem como planilhas eletrôni cas, onde o aluno deve “desenvolver a sua solução”.
(EM13MAT407) Interpre - tar e comparar conjuntos de dados estatísticos por meio de diferentes diagramas e gráficos (histograma, de caixa, como box-plot , de ramos e folhas, entre outros), reconhecendo os mais efi cientes para sua análise.
Gráficos e diagramas estatís ticos: histogramas, polígonos de frequência, diagrama de caixa, ramos e folhas, etc. Medidas de tendência central e medidas de dispersão
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregar recursos e estratégias, como observação de padrões, experimentações e tecnologias digitais, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração, cada vez mais formal, na validação das referidas hipóteses.
O desenvolvimento dessa competência específica pressupõe um conjunto de habilidades voltadas às capacidades de investigação e de formulação de explicações e argumentos que podem emergir de experiências empíricas. Os estudantes deverão ser capazes de fazer induções por meio de investigações e experimentações com materiais concretos, apoios visuais e a utilização de tecnologias digitais. Assim, ao formular conjecturas, mediante suas investigações, eles deverão buscar contraexemplos para refutá-las e, quando necessário, procurar argumentos para validá-las. Essa validação não precisa ser feita apenas com argumentos empíricos, mas deve incluir também argumentos mais “formais”, sem a necessidade da demonstração de diferentes proposições.
As habilidades vinculadas a essa competência assumem um importante papel na formação matemática dos estudantes que, mediante investigações, devem formular hipóteses, refutá-las ou validá-las e comunicar, com precisão, suas conclusões. Essa importância também decorre do fato de que é necessário que os estudantes adquiram uma compreensão viva do que é a Matemática, incluindo a sua relevância. Para tanto, é indispensável que os estudantes experimentem e interiorizem o caráter distintivo da Matemática, como ciência, ou seja, a natureza do raciocínio hipotético-dedutivo, em contraposição ao raciocínio hipotético-indutivo, característica preponderante de outras ciências. Assim, a construção de uma argumentação, incluindo o desenvolvimento de algumas demonstrações matemáticas, proposta por esta Base, é uma importante contribuição para a representatividade da Matemática, como área do conhecimento. Além disso, a competência é fundamental também para o desenvolvimento dos processos de cognição e de práticas argumentativas nos ambientes informatizados.
Deve-se observar, ainda, que essa competência específica caracteriza a atividade matemática como atividade humana, sujeita a acertos e erros, como um processo de busca, questionamentos, conjecturas, contraexemplos, refutações, aplicações e de comunicação.
Competência 5: Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregar recursos e estratégias, como observação de padrões, experimentações e tecnologias digitais, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração, cada vez mais formal, na validação das referidas hipóteses.
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Identificar regularidades em relações de varia ção constante entre duas grandezas. Construir gráficos de funções polinomiais de 1º grau a partir de translações e reflexões, aplica das à função elementar [ f(x) = a.x ]. Associar os termos de uma progressão aritmé - tica aos valores de uma função afim de mesmo domínio que a progressão. Concluir que a taxa de crescimento de uma fun ção afim é constante.
(EM13MAT501) Investigar rela ções entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identifi - car padrões e criar conjecturas para generalizar e expressar algebricamente essa genera lização, reconhecendo quando essa representação é de função polinomial de 1º grau.
Funções polinomiais • de 1º grau: diferentes representações Gráficos de funções • polinomiais de 1º grau Taxa de variação de • funções polinomiais de 1º grau Corresponder duas grandezas que variam uma em relação ao quadrado da outra por meio de um relato oral, texto, tabela, esquema ou gráfico. Listar, com base em uma tabela, a relação entre duas grandezas por meio de uma função polino mial de 2º grau em determinados contextos. Construir gráficos de funções polinomiais de 2º grau a partir de translações e reflexões aplicadas à função elementar [ f(x) = xˆ2 ] com software. ou sem uso de Produzir uma expressão algébrica polinomial de 2º grau que se relacione com a variação de duas grandezas, sendo que a primeira varia de acordo com o quadrado da segunda.
(EM13MAT502) Investigar rela - ções entre números expressos em tabelas para representá-los no plano cartesiano, identificar padrões e criar conjecturas para generalizar e expressar alge - bricamente essa generalização, reconhecendo quando essa representação é de função poli - nomial de 2º grau do tipo y = ax2.
Funções polinomiais • de 2º grau (função quadrática): gráfico, raízes, pontos de máximo/mínimo, crescimento/decres - cimento, concavidade Gráficos de funções • polinomiais de 2º grau
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Formular hipóteses sobre a variação de uma função quadrática e o tipo de ponto crítico que ela apresenta. Descrever a concavidade do gráfico de uma função quadrática pelo seu gráfico e pelo sinal do coeficiente do termo quadrático da expressão algébrica da função. Explicar a variação (crescimento/decrescimento) de fenôme nos que são descritos por funções quadráticas. Relacionar a mudança de comportamento (crescimento/decrescimento ou decrescimento/crescimento) de uma função quadrática com o seu ponto crítico (ponto de máximo ou ponto de mínimo).
(EM13MAT503) Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráti - cas em contextos da Matemática Financei ra ou da Cinemática, entre outros.
Funções polinomiais • de 2º grau: pontos críticos, concavidade, crescimento e decrescimento Mostrar que as seções paralelas à base de um prisma são congruentes entre si. Comparar os volumes de modelos de prismas (retos) e de pirâ mides (retas) de mesma altura e mesma área da base. Comparar o volume interno de modelos de cones com o de cilindros de mesma base e mesma altura. Elaborar expressões algébricas que indiquem o volume de al - guns sólidos geométricos (prismas, pirâmides, cilindros, cones) a partir da fórmula do volume de um paralelepípedo. Calcular o volume de poliedros e corpos redondos em situa ções concretas.
(EM13MAT504) In - vestigar processos de obtenção da medida do volume de prismas, pirâmides, cilindros e cones, incluindo o princípio de Cavalieri, para a obtenção das fórmulas de cálculo da medida do volume dessas figuras.
Sólidos geométricos: • prismas, pirâmides, cilindros e cones Cálculo de volume de • sólidos geométricos
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Aplicar conceitos de variação de perímetro de área com o uso de ferramentas, instrumentos e aplicativos. Conjecturar que tipo de função está associa do à variação do perímetro e da área de um polígono regular ao modificar a medida de seus lados. Aplicar conceitos de geometria para conjec turar tipos e composições de polígonos.
(EM13MAT505) Resol - ver problemas sobre ladrilhamentos do plano, com ou sem apoio de aplicativos de geometria dinâmica, para conjectu rar a respeito dos tipos ou da composição de polígonos, generalizando padrões observados.
Polígonos regulares e suas ca - racterísticas: ângulos internos, ângulos externos, etc. Pavimentações no plano (com o mesmo tipo de polígono ou não) Linguagem algébrica: fórmulas e habilidade de generalização Mostrar, com auxílio de gráficos, como o perímetro e a área de um polígono regular va - riam, quando se modifica, proporcionalmente, a medida de seus lados. Verificar a variação do perímetro e da área de um polígono regular ao se modificar a medida de seu lado. Construir gráficos que expressem a variação do perímetro e da área de um polígono regu lar ao se modificar a medida de seus lados.
(EM13MAT506) Repre - sentar graficamente a variação da área e do pe rímetro de um polígono regular, quando os com - primentos de seus lados variam, classificando as funções envolvidas.
Polígonos regulares: perímetro e área Relações entre perímetro e área de polígonos e seus lados
NÚMEROS E ÁLGEBRA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Identificar a Lei de Formação de Progressões Aritméticas. Compreender a fórmula do termo geral de uma Progressão Aritmética. Compreender a fórmula da soma dos termos de uma Progres são Aritmética. Identificar uma Progressão Aritmética em situações descritas em um texto, representando-a em linguagem algébrica.
(EM13MAT507) Associar sequên - cias numéricas (PA) a funções afins de domínios discretos para análise de pro - priedades, incluindo dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas. Identificar a Lei de Formação de Progressões Geométricas. Identificar a razão de uma Progressão Geométrica e verificar se é uma sequência crescente, decrescente ou constante. Compreender a fórmula da soma dos termos de uma Progres são Geométrica. Identificar uma Progressão Geométrica em situações descri - tas em um texto, representando-a em linguagem algébrica. Resolver situações-problema, envolvendo Progressões Arit méticas e/ou Geométricas.
(EM13MAT508) Associar sequências numéricas (PG) a funções exponenciais de domínios discretos para análise de pro - priedades, incluindo dedução de algumas fórmulas e resolução de problemas.
Funções afins Sequências numéricas: progressões aritméticas (P.A.) Função exponencial Sequências numéricas: progressões geométricas (P.G.) Identificar os elementos do círculo trigonométrico. Transformar a medida de um ângulo em graus e radia nos. Reconhecer as relações entre tangente, seno e cosse no. Calcular volume e capacidade de prismas. Resolver situações-problema, envolvendo cálculo de volume e capacidade de prismas. Representar retas e parábolas no plano cartesiano. Compreender conceitos básicos de geometria projetiva.
(EM13MAT509) Inves tigar a deformação de ângulos e áreas, provocada pelas diferentes projeções usadas em cartogra fia, como a cilíndrica e a cônica.
Transformações geométri cas (isometrias e homo tetias) Posição de figuras geométricas (tangente, secante, externa) Inscrição e circunscrição de sólidos geométricos Noções básicas de cartografia (projeção cilíndrica e cônica)
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM
HABILIDADES
OBJETO DE CONHECIMENTO
UNIDADE TEMÁTICA Representar retas e parábolas no plano cartesiano. Reconhecer as relações entre tangente, seno e cosseno. Reconhecer o crescimento ou o decrescimen to de uma Função Afim por meio de seu sinal e/ou representação gráfica. Calcular a raiz de uma Função Afim. Reconhecer a equação geral da reta. Resolver situações-problema, envolvendo equações de retas. Identificar posições relativas entre pontos e circunferências, retas e circunferências e entre duas circunferências.
(EM13MAT510) Investigar conjuntos de dados relativos ao comportamento de duas variáveis numéricas, usando tecnologias da informação e, se apropriado, levar em conta a variação, utilizando uma reta para descrever a relação observada.
Funções polinomiais de • 1º grau (função afim, linear e constante) Gráficos de funções • Taxa de variação de uma • função (crescimento/decrescimento) Razões trigonométricas: • tangente de um ângulo Equação da reta: coefi • ciente angular Calcular a probabilidade de ocorrência de um evento, inclusive com a união e interseção de eventos. Resolver situações-problema, envolvendo o cálculo de probabilidades.
(EM13MAT511) Reconhecer a existência de diferentes tipos de espaços amostrais, discretos ou não, de eventos equiprováveis ou não, inves tigando as implicações no cálculo de probabilidades. Interpretar dados e informações estatísticas expressas em tabelas e/ou gráficos. Organizar e transcrever dados e informa ções estatísticas em linguagem tabular e/ou gráfica. Interpretar a representação gráfica de uma distribuição de frequência em classes.
(EM13MAT512) Investigar propriedades de figuras geométricas, questionando suas conjecturas por meio de contraexemplos, para refu tá-las ou para reconhecer a necessidade de sua demons - tração para validação, como os teoremas relativos aos quadriláteros e triângulos.
Espaços amostrais dis • cretos ou contínuos Eventos equiprováveis • ou não equiprováveis Probabilidade, Espaços • amostrais discretos ou contínuos Eventos equiprováveis • ou não equiprováveis
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
BARBOSA, Jonei Cerqueira. Modelagem matemática e a perspectiva sociocrítica. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática, 2003. São Paulo: SBEM, 2003. 1 CD-ROM. BORBA, M. C.; MENEGHETTI, R. C. G.; HERMINI, H. A. Modelagem, calculadora gráfica e interdisciplinaridade na sala de aula de um curso de ciências biológicas. Revista de Educação Matemática, SBEM-SP, [São José do Rio Preto], n. 3, p. 63-70, 1997. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. PCN+: ensino médio. Orientações educacionais complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino médio. Brasília: Ministério da Educação. 2002. _____. Base Nacional Comum Curricular. Ensino Médio. Brasília: MEC. Versão entregue ao CNE em 03 de abril de 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec. gov.br/wp-content/uploads/2018/04/BNCC_ EnsinoMedio_embaixa_site.pdf. Acesso em: 04 abri 2018. D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: arte ou técnica de explicar e conhecer. São Paulo: Ática, Série Fundamentos, v. 2. D’AMBROSIO, Beatriz S. Formação de professores de matemática para o século XXI: o grande desafio. PRO-POSIÇÕES. Campinas, v. 4, n. 1, p. 10, 1993. MALHEIROS, A. P. Modelagem matemática, interdisciplinaridade e tecnologias informáticas em sala de aula. In: Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática. São Paulo: SBEM, 2003. ONUCHIC, Lourdes De La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em Resolução de Problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Bolema-Mathematics Education Bulletin, p. 73-98, 2011. RICARDO, Elio Carlos; ZYLBERSZTAJN, Arden. Os Parâmetros Curriculares Nacionais na formação inicial dos professores das Ciências da Natureza e Matemática do ensino médio. Investigações em Ensino de Ciências, v. 12, n. 3, p. 339-355, 2016.
