715 - Revista matemática del Colegio SIL - Mayo 2018

715 #matemรกticasSIL

Matemรกticas

Curso 2017-2018

Bienvenida

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El proyecto que ha unido todas las clases este curso ha sido “Barcelona”. Pero esto no ha impedido la realización de las otras actividades ya instauradas los últimos años y, además, hemos introducido otras nuevas, tal como se podrá ver en esta revista.

Contenidos El proyecto — BCN

4

Pi-day

28

Día del “Cangur”

38

Concursos

50

Pangea

59

Salidas matemáticas

60

Educación infantil

62

Reconocimientos

66

Periodistas matemáticos

67

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El proyecto — BCN

M4t3 #matemáticasSIL

Cursos 1EP

Las manzanas del “Eixample”

2EP

Ciudad geométrica

3EP

El Skyline de BCN

4EP

La temperatura de BCN

5EP

Diseño de las baldosas

6EP

Estudio del tiempo meteorológico de BCN

1ESO

El mapa matemático de BCN

2ESO

La Cana de BCN Las horas de sol en BCN La población en BCN Los adoquines de BCN

3ESO 4ESO 4

Actividades trabajadas

El papel de BCN en el metro como unidad de medida

Las manzanas del “Eixample”

Alumnos de 1º EP A

Alumnos de 1º EP B

Los alumnos de 1º de Primaria hemos trabajado el proyecto escolar que relaciona las matemáticas con Barcelona estudiando las manzanas del “Eixample”.

5

La ciudad geométrica

Alumnos de 2º EP A

Alumnos de 2º EP B

Los alumnos de 2º de Primaria hemos creado una ciudad geométrica dentro del proyecto escolar que relaciona las matemáticas con la ciudad de Barcelona.

6

El “skyline” de BCN

Alumnos de 3º EP A

Alumnos de 3º EP B

Los alumnos de 3º de Primaria hemos estudiado el “skyline” de Barcelona dentro del proyecto escolar que relaciona las matemáticas con esta ciudad.

7

La temperatura de BCN

Alumnos de 4ยบ EP A

Alumnos de 4ยบ EP B

Los alumnos de 4ยบ de Primaria hemos estudiado la temperatura de Barcelona dentro del proyecto escolar que relaciona las matemรกticas con esta ciudad .

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Diseño de baldosas

Alumnos de 5º EP A

Alumnos de 5º EP B

Los alumnos de 5º de Primaria hemos trabajado el proyecto escolar que relaciona las matemáticas con Barcelona . Hemos salido a la calle a medir los “panots”, las baldosas típicas de las aceras de la ciudad Condal, para poder representarlos posteriormente a escala real en una cartulina blanca.

9

El tiempo en BCN

Alumnos de 6º EP A

Alumnos de 6º EP B

Los alumnos de 6º de Primaria hemos estudiado la climatología de Barcelona dentro del proyecto escolar que relaciona las matemáticas con esta ciudad.

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El mapa matemático de BCN

Alumnos de 1º ESO B

Alumnos de 1º ESO A

Los alumnos de 1º de ESO hemos buscado todos los lugares matemáticos que podemos localizar en Barcelona y los hemos situado en un mapa con fotografías e información relacionada.

Este mapa se puede consultar en la dirección web:

https://goo.gl/NmULZa

Entre los lugares matemáticos encontrados podemos destacar diferentes matemáticos como Pearson o Pitágoras y nombres de calles relacionados con lugares geométricos. También hemos descubierto que en la Zona Franca hay muchas calles que tienen nombre de números, como en Nueva York.

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La cana de BCN

Alumnos de 2º ESO A

Las medidas antiguas Hoy en día disponemos del sistema métrico decimal, casi en toda Europa y gran parte del mundo, pero hace unos años no era así. En Barcelona se aplicó por primera vez el 1871, pero los habitantes seguían utilizando las viejas medidas porque ya estaban acostumbrados y porque les era más fácil. ¿Cómo lo hacían antes de que se instaurara el sistema métrico decimal?

Ahora recopilaremos unas cuantas medidas. Algunas de ellas aún aparecen en nuestro vocabulario. Como que algunas de ellas no tienen el mismo valor en todos los lugares, nos centraremos en el valor que tomaban en BCN y en su nombre original (en catalán).

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Peso

unça (33,33 g), lliura (400 g), quarteró (2,6 kg), rova o arrova (10,4 kg), quintar (41,6 kg), càrrega (120 kg), terça (400 g), lliura carnissera (1,2 kg).

Capacidad

petricó (23,5 cl), porró (94 cl), càntir o cànter (10,27 l), barral (15 l), carga (50 l), bot (60 l), bota (120 l).

Longitud

pam (20 cm), peu (26 cm), pas (80 cm), vara (80 cm), cana (1,56 m).

Superfície

mujada, jornal o vessana (2.182 m2) es lo que un hombre podía labrar en un día, y una boada lo mismo, pero con una pareja de bueyes. También se utilizaba la cana quadrada (2,438 m2), y la quartera (3.868,8398 m2), que equivalía a 4 quartans o 6 picotins. ¿Has oído alguna vez decir en catalán “plou a bots i barrals”? ¿Sabes ahora de dónde viene y que quiere decir?

La cana de BCN Entre todas las medidas antiguas de BCN nos hemos centrado en la cana. La cana se utilizaba antiguamente en España en los territorios de la antigua Corona de Aragón, especialmente en Cataluña, si bien también se usó en el sur de Francia.

La cana equivalía entonces a 1,555 metros en Barcelona, si bien variaba algo en el resto del territorio. Estos 1,555 metros son el equivalente a 8 palmos, 6 pies o dos pasos.

La cana cuadrada era usada como medida de superficie, la cual equivalía en Barcelona a 2,438 m2.

Antes de la implantación del Sistema Internacional de Unidades era la medida fundamental en medidas de longitud y se materializaba en forma de un bastón de madera, una caña o una cinta textil, en la que se marcaban además las divisiones que tenía en media caña, en palmos y en cuartos de palmo.

En la Corona de Aragón, especialmente en Cataluña, se creó un vocabulario relacionado con la cana; así, medir con canas se decía acanar o canar y el que efectuaba estas medidas era llamado acanador o canador.

Medidas relacionadas:  El diestro, o cana de diestro, equivale a 12 palmos de diestro, es decir, 2,82 metros.  La cana de rey era, en Tarragona, una medida agraria que era el equivalente a 6,084 centiáreas.

¿Dónde podemos encontrarla hoy?

En una esquina de la capilla de Santa Llúcia (Carrer de Santa Llúcia / Carrer del Bisbe) se encuentra un resalte alargado, de sección semicircular, la cana.

La presencia de esta unidad de medida grabada en la piedra parece responder a la costumbre que tenía el antiguo Consell de Cent de la ciudad de exponer, en lugar público y en material imperecedero, los patrones de medidas para que éstas pudieran ser consultadas por compradores y vendedores, tratando así de reducir las constantes disputas que se producían en las compra-ventas. Para prevenir los abusos en el uso de los pesos y medidas, la administración municipal creó la figura del mostassaf, documentado ya en 1339 y hasta 1715, el cual ejercía control administrativo en los mercados.

En la fachada, justo a la izquierda de la cana, puede leerse la inscripción: "a dues canas lo pou”, la cual hace referencia a un pozo que se encontraba cerca pero no era visible.

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Las horas de sol en BCN

Alumnos de 2º ESO B Datos obtenidos en: http://sunrisesunset.info/salida-puesta-sol En esta página web hemos obtenido la hora de salida y puesta del sol en Barcelona. Con estos datos y utilizando el SpreadSheet de Google Drive, es decir, la hoja de cálculo que nos ofrece Google Suite For Education, hemos estudiado las horas solares de todos los días del año 2018.

Horas de sol totales: Mínimo: 9h 14min

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Máximo: 15h 14 min

Promedio: 12h 15min

Como en clase se han trabajado los polinomios, se puede añadir una línea de tendencia de diferentes grados.

El polinomio de grado cero lo llamamos función constante

El polinomio de grado uno lo llamamos función lineal

El polinomio de grado dos lo llamamos función cuadrática o parábola

Cada vez que aumentamos el orden del polinomio, la curva de regresión se va aproximando mejor a los valores reales.

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La población en BCN

Alumnos de 3º ESO A Este año los alumnos de 3º ESO A hemos aprendido estadística de una manera práctica, estudiando la población de Barcelona del 2016. ¿Por qué la del 2016?

Pues porqué empezamos el estudio el octubre pasado y aún no estaban publicados los datos del 2017 ¿De dónde hemos sacado los datos?

Los datos de la población de Barcelona los hemos sacado de la web de datos abiertos que ofrece el ayuntamiento de Barcelona. http://opendata-ajuntament.barcelona.cat/ ¿Qué son los datos abiertos?

El concepto datos abiertos (open data, en inglés) es una filosofía y práctica que persigue que determinados tipos de datos estén disponibles de forma libre para todo el mundo, sin restricciones de derechos de autor, de patentes o de otros mecanismos de control. Tiene una ética similar a otros movimientos y comunidades abiertos, como el software libre, el código abierto (open source, en inglés) y el acceso libre (open access, en inglés). ¿Qué programa hemos utilizado?

Para estudiar los datos hemos utilizado el SpreadSheet de Google Drive, es decir, la hoja de cálculo que nos ofrece Google Suite For Education.

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¿Quieren saber más?

En este espacio de la revista 715 presentamos los resultados obtenidos, si quieren ver todo el tratamiento de datos que hemos hecho tienen que acceder al anexo especial de esta revista que trata sobre la población de Barcelona. Allí los datos están estudiados según los distritos y según los barrios. También se puede apreciar en qué situaciones tenemos datos homogéneos.

Gráfica por edades el 2016 Baby Boom de los años 70 Efectos de la guerra civil y de la posguerra

Estudiando la población de Barcelona hemos podido detectar el “baby boom” de los años 70 (los que en el gráfico tienen entre 35 y 45 años) y los efectos de la guerra civil española y de la postguerra (los que en el gráfico tienen alrededor de los 75 años)

Estudio de la evolución de la población en BCN Para estudiar la evolución de la población en BCN nos hemos centrado en el periodo de años que va desde el 2010 al 2016.

Hemos estudiado la población total y la población por franjas de edad. Referente a esto último, nos dividimos por grupos para estudiar la población en franjas de 10 años.

Del estudio nos ha interesado mucho saber si la distribución de la población es o no homogénea.

Lo hemos mirado tanto por el global como por franjad de edades. Pero también lo hemos mirado tanto por distrito como por barrios.

La homogeneidad nos la da el coeficiente de variación, entendemos que por debajo del 25% los datos serán homogéneos.

< 25% ?

A continuación mostraremos los gráficos obtenidos y los principales parámetros estadísticos estudiados.

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Media 1.611.891 Desviación Estándar 7119,12 Coeficiente de variación 0,44%

Media 136.602 Desviación Estándar 1000,38 Coeficiente de variación 0,73%

Media 126.727 Desviación Estándar 1850,38 Coeficiente de variación 18

1,46%

Media 191.770 Desviación Estándar 12284,09 Coeficiente de variación 6,41%

Media 277.514 Desviación Estándar 10513,85 Coeficiente de variación 3,79%

Media 242.790 Desviación Estándar 4377,25 Coeficiente de variación 1,80%

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Media 204.381 Desviación Estándar 5910,16 Coeficiente de variación 2,89%

Media 176.284 Desviación Estándar 1420,41 Coeficiente de variación 0,81%

Media 138.677 Desviación Estándar 2906,64 Coeficiente de variación 20

2,10%

Media 97.290 Desviación Estándar 2983,44 Coeficiente de variación 3,07%

Media 19.855 Desviación Estándar 2487,96 Coeficiente de variación 12,53% Si miramos estos datos de población de los últimos años podemos ver que la evolución, tanto global como por franjas de edad, es homogénea.

Pero no podemos decir lo mismo si hacemos un estudio por distritos o por barrios. Para tener más información, les emplazamos a que miren el Anexo sobre población de la revista 715.

+ información en 21

Los adoquines de BCN

Alumnos de 2º ESO B

Alumnos de 3º ESO B

Queremos cubrir el suelo del aula con el adoquín más típico de Barcelona, llamado “Flor de Barcelona”, creado por el arquitecto Josep Puig i Cadafalch en 1916.

Dimensiones: 20 cm x 20 cm (4 cm de grosor) Fabricado con cemento Portland, con una densidad de 2.200 kg/m 3

(1) ¿Cuántos adoquines necesitaremos?

Hemos medido el aula sin la necesidad de usar una cinta métrica. Para ello hemos visto que las baldosas que hay son cuadradas de 30 cm de lado (un DINA4 mide 29,7 x 21 cm y lo hemos usado como referencia). En total, el aula tiene 18 x 24 baldosas de 30 x 30 cm, lo cual equivale a 5,4 x 7,2 = 38,88 m2.

Considerando que siempre se puede romper algún adoquín y que no siempre se pueden aprovechar totalmente, consideraremos que el aula necesita 40 m2 de adoquines.

El área que cubre un adoquín cuadrado de 20 cm x 20 cm sería de 0,2 · 0,2 = 0,04 m2 Si dividimos el área del aula entre el área de cada adoquín, obtendremos los adoquines necesarios: Necesitaríamos 40 m2 / 0,04 m2 = 1.000 adoquines También puede calcularse a partir del número de adoquines que necesitamos en la base y la altura.

(2) ¿Cuál es la masa de un adoquín?

Para el cálculo de la masa de un adoquín necesitaremos saber su volumen.

Calculamos el volumen de un adoquín: V = ancho · largo · alto = 0,20 · 0,20 · 0,04 = 0,0016 m3 Masa de un adoquín es el Volumen por la densidad:

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Los adoquines no son un prisma cuadrangular perfecto debido al dibujo (que son secciones de toroides) para no resbalar, sobre todo los días de lluvia. Por tanto, tendrán un poco menos de masa, pero para asegurarnos de no exceder de la masa máxima permitida, no restaremos nada.

(3) ¿Cuál es la masa de todos los adoquines que necesitamos? ¿Cuánto volumen ocupan?

Si un adoquín son 3,52 kg, los 1.000 adoquines serán 3.520 kg.

Si el volumen de un adoquín es de 0.0016 m 3, el de los 1.000 será 1,6 m3. Como la furgoneta cabe hasta 14 m3, no hay problema de volumen.

(4) ¿Qué empresa de alquiler elegimos?

Dos empresas ofrecen diferentes tarifas para una misma furgoneta con carga útil máxima de 1.850 kg, incluyendo ocupantes, y un volumen de carga de 14 m3.

Tarifa Empresa A: 70 euros/día, sin límite de kilometraje.

Tarifa Empresa B: 50 € más 0,25 €/km.

8 km

Empresa alquiler furgoneta

Almacén adoquines

12 km

10 km

Colegio SIL

Total de kilómetros con la furgoneta de los dos viajes: Serán necesarios dos viajes, 1.760 kg de adoquines en cada uno más una persona de conductora (75 kg), para no sobrepasar la carga máxima de la furgoneta (1.835 kg en total y permite 1.850).

TRAYECTO: de la empresa de alquiler al almacén a recoger el primer cargamento (8 km), del almacén al colegio para dejarlo (10 km), volver al almacén a recoger el segundo cargamento (10 km), volver al colegio a dejarlo (10 km) y devolver la furgoneta la a la empresa (12 km).

Trayecto total: 50 km.

El coste con la empresa A será: 70 euros El coste con la empresa B será: (Ahorramos 7,50 €) Profundicemos:

Resolviendo el sistema, encontramos que x= 80 km. Punto en el que ambas costarán igual.

Conclusión: la empresa B es más económica si hacemos hasta 80 km. Para más de 80, la empresa A es más económica. Esto se visualiza intuitivamente a partir de la representación gráfica, hecha con Geogebra. El eje de abscisas (OX) representa la variable independiente, la que nosotros controlamos y el eje de ordenadas (OY) representa la variable dependiente (del kilometraje), el coste en euros.

La gráfica de la empresa A una constante, mientras que la de la empresa B es una recta con pendiente 0,25 y ordenada en el origen 50.

El punto de corte entre las dos gráficas representa el kilometraje en el que ambas empresas tendrían el mismo coste, 70 euros y se corresponde con 80 km.

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El papel de BCN en el metro como unidad de medida

Alumnos de 4º ESO A

Alumnos de 4º ESO B

El origen del metro Actualmente para medir longitudes se utiliza el metro y sus divisores. Sin embargo, hace tan sólo 200 años, la palabra metro no tenía ningún significado.

La forma de definir y medir una longitud ha cambiado a través de la historia: las primeras referencias utilizadas fueron partes del cuerpo humano; posteriormente, para medir se utilizaban otras unidades como la vara, que tenían longitudes diferentes según el lugar geográfico. Debido a esta falta de uniformidad, gobiernos y monarquías de diferentes países efectuaron varios intentos de unificación.

El 19 de marzo de 1791, la Academia de Ciencias de París propuso la adopción de un patrón procedente de la naturaleza: el metro. Si se aceptaba la propuesta, el metro sería la diezmillonésima parte del cuadrante de un meridiano terrestre. Ante la imposibilidad de medir todo un cuarto de meridiano desde el polo Norte al Ecuador, la solución era medir un trozo y calcular matemáticamente el valor del total. El arco de meridiano escogido en la propuesta de la academia fue el comprendido entre Dunkerque y Barcelona.

Luis XVI encargó a los topógrafos Pierre François André Méchain y Jean Baptiste Joseph Delambre llevar a cabo la medición del meridiano.

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Pierre François André Méchain

Jean Baptiste Joseph Delambre

Discurso del 12 de junio de 1790 El 12 de junio de 1790, en la Asamblea Nacional francesa, Condorcet pronunció un discurso en nombre de la Academia de las ciencias en favor del Sistema Métrico Internacional («Discours à l'Assemblée nationale, au nom de l'Académie des Sciences (12 juin 1790)».

Un discurso que nos hace conscientes de la gran importancia de la Academia en la época en el que se ve la intervención de la Academia en la vida política y cómo intenta resolver los problemas que se plantean en la sociedad, y su puesta en práctica.

La Academia de Ciencias de Francia (Académie des sciences) es la institución francesa que: Nicolas de Condorcet

«Anima y protege el espíritu de la investigación, y contribuye al progreso de las ciencias y de sus aplicaciones» Fue creada en 1666, durante el reinado de Luis XIV bajo el patrocinio de su primer ministro Jean-Baptiste Colbert.

Discurso del 19 de marzo de 1791 El 19 de marzo de 1791, en la Academia de Ciencias de París, se propuso la adopción de un patrón procedente de la naturaleza: el metro. Si se aceptaba la propuesta, el metro sería la diezmillonésima parte del cuadrante de un meridiano terrestre. El arco de meridiano escogido en la propuesta de la academia fue el comprendido entre Dunkerque y Barcelona.

Ley del 10 de diciembre de 1799 Esta ley de la República Francesa del 10 de diciembre de 1799 (19 frimaire an VIII) fue firmada por el primer cónsul, Napoleón Bonaparte, y en ella se establecía el metro como:

Le mètre est égal à 3 pieds et 11,296 lignes de la toise de Paris.

También se establece el siguiente lema para el metro:

Pour tous les temps, pour tous les peuples, pour tous les pays

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Referencias geodésicas en Barcelona

A la derecha podemos ver el plano de las triangulaciones entre Dunkerque y Barcelona.

En la imagen superior podemos ver el plano de Barcelona del 1806 en donde ser representan los vértices geodésicos que utilizaron Méchain y su equipo para medir el Meridiano por las cercanías de Barcelona entre 1792 y 1793.

La torre del homenaje del castillo de Montjuïc, extremo sur del arco de medida.

La torre del reloj del puerto de Barcelona, antiguo faro del puerto.

El campanario norte de la Catedral de Barcelona (el más cercano a la plaza de Sant Iu).

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Torre de Sant Joan (Ciutadella de Barcelona)

Monumentos en BCN y en París

Barcelona: Paseo central de la avenida Meridiana, entre las calles de la Independencia y la Coruña.

París: 36 Rue de Vaugirard Para saber más sobre esta unidad de medida y su relación con Barcelona les emplazamos a que miren el Anexo sobre el metro de la revista 715.

+ información en

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π-Day Se conoce como Día de Pi al 14 de marzo por la forma en que se escribe, en el formato usado en los Estados Unidos, el 14 de marzo (3/14). Esta fecha nos recuerda la aproximación de tres dígitos de pi: 3,14.

Esta celebración fue una ocurrencia del físico Larry Shaw, en San Francisco, y ha ido ganando en popularidad, hasta el punto de contar en 2009 con una resolución favorable de la Cámara de Representantes de los Estados Unidos, en la que se declaraba oficialmente el 14 de marzo como Día Nacional de Pi. Matemáticos y profesores de varias escuelas del mundo organizan fiestas y reuniones en esta fecha. El día se celebra de maneras muy diversas: algunos grupos se reúnen para discutir y comentar sobre la importancia de pi en sus vidas, intercambiar anécdotas o teorizar sobre cómo sería el mundo sin el conocimiento de pi. Otros grupos se reúnen para ver la película de culto, Pi, fe en el caos/Pi, el orden del caos, de Darren Aronofsky, que habla acerca de este número y también del número phi. Asimismo es frecuente comer tartas con motivos sobre π; otro juego de palabras, pues en lengua inglesa, tanto pi como pie (tarta) tienen idéntica pronunciación.

π-ntamos Unas semanas antes del π-day, diferentes alumnos de primaria e infantil pintaron 90 números.

Estos números se utilizaron para representar, por el exterior del pabellón, los primeros 90 dígitos del número π.

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π-foto Durante el π-day diferentes alumnos de primaria formaron un circulo y la letra π en el centro de uno de los patios.

Aquí podéis ver el magnífico resultado:

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Cálculo aproximado del número Pi Víctor Hermes Torres Tomara 2º ESO B Definición: El número Pi usa la letra griega π, inicial de la palabra peripheria (perímetro) y se define como:

Idea de partida: Aumentando el número de lados de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio R, el perímetro de ese polígono se acercará al perímetro o longitud de la circunferencia:

Procedimiento: Usando el Teorema de Pitágoras repetidas veces, podemos encontrar el número Pi de forma aproximada de manera rápida para polígonos con un número de lados que sea potencia de dos (2n, mínima n=2): 4, 8, 16, 32…

Aproximación:

Triángulo Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular la longitud del lado del triangulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio R. Lado polígono regular de 4 lados:

y por tanto, el perímetro del polígono regular de 3 lados es:

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Cuadrado Aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular la longitud del lado del cuadrado ya que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos dos catetos miden el radio R de la circunferencia.

Lado polígono regular de 4 lados:

y por tanto, el perímetro del polígono regular de 4 lados es:

Pentágono

Hexágono

Heptágono

π ≈ 2,93892626146...

π ≈ 3,00000000000...

π ≈ 3,03718617382...

Octógono

π ≈ 3,06146745892...

Otros Con un polígono inscrito de 9 lados → π Con un polígono inscrito de 10 lados → π Con un polígono inscrito de 11 lados → π Con un polígono inscrito de 12 lados → π Con un polígono inscrito de 13 lados → π Con un polígono inscrito de 14 lados → π Con un polígono inscrito de 15 lados → π Con un polígono inscrito de 16 lados → π Con un polígono inscrito de 17 lados → π Con un polígono inscrito de 18 lados → π Con un polígono inscrito de 19 lados → π Con un polígono inscrito de 20 lados → π

≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈ ≈

3,078181289931 3,090169943749 3,099058125256 3,105828541230 3,111103635738 3,115293075388 3,118675362266 3,121445152258 3,123741802882 3,125667198005 3,127297215334 3,128689300805

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Explicación del octógono

A partir del caso del cuadrado, volvemos a aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud del lado del octógono inscrito en la circunferencia de radio R.

Lado polígono regular de 8 lados: y por tanto, el perímetro polígono regular de 8 lados es:

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Caso de 16 lados Longitud del lado

Perímetro del polígono regular

Caso de 32 lados Longitud del lado

Perímetro del polígono regular

Caso de N lados, siendo N potencia de 2 Longitud del lado

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Estudio de la evolución de la aproximación de π Lados del Aproximación de Pi polígono (truncado a 11 cifras Error absoluto Error relativo regular decimales) 3 2,59807621135 0,54351644224 17,300666% 4 2,82842712474 0,31316552885 9,968368% 5 2,93892626146 0,20266639213 6,451072% 6 3,00000000000 0,14159265359 4,507034% 7 3,03718617382 0,10440647977 3,323361% 8 3,06146745892 0,08012519467 2,550464% 9 3,07818128993 0,06341136366 2,018446% 10 3,09016994374 0,05142270985 1,636836% 11 3,09905812525 0,04253452834 1,353916% 12 3,10582854123 0,03576411236 1,138407% 13 3,11110363573 0,03048901786 0,970496% 14 3,11529307538 0,02629957821 0,837142% 15 3,11867536226 0,02291729133 0,729480% 16 3,12144515225 0,02014750134 0,641315% 17 3,12374180288 0,01785085071 0,568210% 18 3,12566719800 0,01592545559 0,506923% 19 3,12729721533 0,01429543826 0,455038% 20 3,12868930080 0,01290335279 0,410726% 21 3,12988758970 0,01170506389 0,372584% 22 3,13092644201 0,01066621158 0,339516% 23 3,13183292921 0,00975972438 0,310662% 24 3,13262861328 0,00896404031 0,285334% 25 3,13333083910 0,00826181449 0,262982% 26 3,13395368663 0,00763896696 0,243156% 27 3,13450868138 0,00708397221 0,225490% 28 3,13500533089 0,00658732270 0,209681% 29 3,13545153429 0,00614111930 0,195478% 30 3,13585389803 0,00573875556 0,182670% 31 3,13623798161 0,00535467198 0,170445% 32 3,13654849054 0,00504416305 0,160561%

¿Cómo sabemos la precisión de la aproximación del número pi?

Equivocarnos en 1 centímetro al medir una mesa de 100 cm no es lo mismo que equivocarnos en 1 cm al medir la distancia Tierra-Sol (unos 149,6 millones de km). El error absoluto (medida tomada menos la medida real y dejándolo en positivo) es 1 centímetro en ambos casos, pero en relación al valor real, es mucho más grave en un caso. Por eso calculamos el error relativo en tanto por ciento: error absoluto partiOtras aproximaciones do la medida real. En el primer caso Lados del Aproximación de Pi es de un 1% y en el otro polígono (truncado a 11 cifras Error absoluto Error relativo regular decimales) 0,0000000000068%.

34

El valor real de π truncado a 11 cifras decimales es: 3,14159265358

64 128 256 512 1000

3,14033115695 3,14127725093 3,14151380114 3,14157294037 3,14158748588

0,00126149664 0,00031540266 0,00007885245 0,00001971322 0,00000516771

0,040155% 0,010040% 0,002510% 0,000627% 0,000164%

Gráficos Evolución de la aproximación de π Valor de π

3,1 2,9 2,7 2,5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Número de lados del polígono regular utilizado

Evolución del error absoluto Error absoluto

0,6

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Número de lados del polígono regular utilizado

Evolución del error relativo Error relativo

20,0%

15,0% 10,0% 5,0% 0,0% 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829303132 Número de lados del polígono regular utilizado

Comentario sobre los gráficos: Al empezar la aproximación de pi comparando el perímetro de un triángulo con el de la circunferencia, a simple vista se ve mucha diferencia, pero conforme aumentamos el número de lados, vemos que se va acercando muy rápidamente al valor real (el hexágono ya es una aproximación de 3) y poco después ya casi no cambia. Cuando se llega a un valor concreto, se dice que converge, aunque los decimales de pi no acaban nunca.

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π-relatos / π-relats

π

Lengua Matemáticas

Un π-relato es un microcuento donde se esconde el número π.

Cada palabra, ordenadamente, tiene que tener la cantidad de letras de los dígitos de π.

3,1415926535897932384626433832795...

Primaria En primaria hemos hecho los π-relatos en castellano:

36

Bachillerato En bachillerato hemos hecho los π-relatos en catalán con un mínimo de 20 palabras y un máximo de 32: ■ Albert Pérez Gallardo: 3

Com 1i 4quan 1s'5havia 9acostumat 2al 6fracàs, 5sense 3fer 5algun 8moviment 9valorable?

7

Recordà 9certament 3tot 2el 3pes 8acabaria 4sent 6crític 2al 6darrer 4tram.

■ Àngel Vila Dàvila: 3 7 4

Pol 1i 4Àlex 1i 5Àngel 9”camarades 2de 6futbol” 5armen 3amb 5força, 8voluntat, 9habilitat , brutals 9moviments 3amb 2el 3joc 8defensiu.

Ells 6ajuden 2al 6porter 4sent 3els 3que 8intenten 3que 2el 7jugador 9rematador 5falli.

■ Anna Solé Papell: 3 7 9

Ets 1a 4prop 1i' 5penso 9atemorida 2en 6aquell 5anhel 3que 5tants 8estúpids 9problemes portava.

Humiliada, 3tot 2el 3que 8semblava 4amor 6encara 2em 6seguia 4fent 3mal.

■ Cristina Teuler Molero: 3

Tot 1i 4anar 1a 5buscar 9feliçment 2el 6preuat 5premi 3que 5havia 8merescut 9certament, 7 germans 9afirmaren 3que 2no 3pas 8mereixia 4avui.

■ Laia Roqueta Fernández: 3” 1 7

Dos 1i 4tres”.

L'5Arnau 9racionava 2el 6menjar 5entre 3uns 5grups 8altament 9marginals.

Començà 9lentament 3amb 2el 3cor 8esclatat. 4Eren 6miques 2de 6valors.

■ Marc Larrosa Durà: 3

Per 1a 4ella 1l'5atzar, 9equivocat, 2va 6portar 5dolor. 3Ell 5volia 8romandre 9enamorats, 7 feliços, 9enfollits 3tot 2el 3que 8restaren 4vius.

■ Yinlena Xu: 3

Per 1a 4ella 1l'5últim 9sentiment 2on 6podria 5posar 3les dres, 9inefables 3era 2on 3ell 8trobaria 4amor.

5

seves 8paraules 9delicades, 7ten-

■ Jaume Cubells Sagués: 3

Era 1a 4casa. 1L'5últim 9projectil 2va 6passar 5ràpid 3per 5sobre.

8

Horrible! 9Finalment 7esclatà 9espantant-3nos.

2

Se 3què 8succeirà! 4Serà 6millor 2no 6pensar.

4

Vull 3pau 3per 8enxampar 3ara 2la 7sincera 9autèntica 5treva.

37

Día del “Cangur” El jueves 15 de marzo celebramos el día del “Cangur” en el colegio aprovechando que fuemos sede de las pruebas “Cangur”.

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

S

E

U

/

S

E

D

E

Aprovechando la celebración del día del “Cangur”, el 15 de marzo hicimos diferentes actividades:

38



Fotografías jugando con la proporcionalidad y la distancia



“Escape Room” matemático



Magia en educación infantil



Exposiciones sobre propiedades matemáticas relacionadas con la forma de un canguro

Las pruebas “Cangur” Desde el año 1996, se realizan en Cataluña las pruebas Cangur (también llamadas International Mathematical Kangaroo o Kangourou sans frontières). Estas pruebas son una actividad-concurso impulsadas por la asociación internacional Le Kangourou sans Frontières y se organizan en más de 70 países de todo el mundo. Aquí están organizadas por la Societat Catalana de Matemàtiques (SCM) con la voluntad de estimular y motivar a una amplia mayoría del alumnado. Este año se celebrarán el día 15 de marzo (siempre cae el tercer jueves de marzo) y nuestro centro será sede; por tanto, recibiremos alumnos de otras escuelas para realizar dicha actividad.

La primera edición en Cataluña se llevó a cabo en 1996 con 1.000 alumnos y 100 escuelas. Este año hay más de 100.000 alumnos catalanes inscritos.

Estas pruebas tienen un formato de concurso individual y sus preguntas se basan más en el razonamiento y el ingenio que en unos conocimientos matemáticos específicos. Participan alumnos desde 5º de primaria hasta 2º de bachillerato. Los alumnos deben contestar entre 20 y 30 preguntas (dependiendo del curso) de respuesta cerrada y con tres niveles diferentes de dificultad.

Resultados: Este año, 26 de nuestros alumnos se han situado en el 10% mejor de Cataluña.

Entre ellos destaca Núria Pérez Pujadas (alumna de 2ESOA) que se ha situado en el mejor 0,7%.

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Triangulación

¿En qué consiste?

En geometría, la triangulación de un polígono o área poligonal es una partición de esta área en un conjunto de triángulos de manera que:   

La unión de todos los triángulos es igual al polígono original.

Los vértices de los triángulos son vértices del polígono original.

Cualquier pareja de triángulos es disjunta o comparte únicamente un vértice o un lado.

Triangulaciones especiales 1. La triangulación de Delaunay que, entre otras propiedades, maximiza el ángulo mínimo de los triángulos (evitando que aparezcan ángulos demasiado agudos).

2. La triangulación voraz, que trata de emparejar los vértices más cercanos entre sí.

3. La triangulación de peso mínimo (Minimum-weight Triangulation), que minimiza la suma total de longitudes de las aristas de los triángulos.

4. La triangulación en abanico de un polígono convexo, eligiendo un vértice y trazando las diagonales a los vértices no vecinos. Esta triangulación puede ser rápidamente calculada en tiempo lineal.

Aplicaciones 1. Desde la antigüedad se ha utilizado para calcular el área de parcelas de terreno de forma irregular. El método más habitual es dividir la parcela en triángulos, cuyo cálculo de área es trivial conociendo la longitud de los lados, y sumar las áreas de los mismos. Posteriormente se desarrolló la llamada fórmula del agrimensor, para calcular áreas de terrenos y polígonos en general.

2. El problema de la galería de arte, donde se resuelve el problema de visibilidad desde el mínimo número de puntos posible.

40

3. La deformación de superficies (especialmente tejidos) mediante el método de elementos finitos.

Nuestra aplicación Los alumnos del taller de arte del mediodía, han practicado la triangulación con nuestro canguro especial. Han recortado triángulos de un DinA4, como el de la imagen de la izquierda, y han obtenido el canguro de la derecha. ¡Están hechos unos artistas!

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Proporcionalidad

Alumnos de 3º ESO B Los alumnos de 3ESOB hemos trabajado las proporcionalidades de áreas, perímetros y ángulos utilizando el cartel de este año de las pruebas “Cangur”.

¿Qué proporción siguen?

Cartel “Cangur 2018”

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Proporcionalidad del rectángulo azul Notamos la altura con la letra Notamos la base con la letra Por lo tanto, - El área del rectángulo será: - El perímetro del rectángulo será: Escala 1:1

En esta escala: Notemos la altura como Notemos la base como Entonces, Escala 1:2

- El área del rectángulo será: - El perímetro del rectángulo será:

En esta escala: Notemos la altura como Notemos la base como Escala 1:3

Entonces, - El área del rectángulo será - El perímetro del rectángulo será

Conclusiones: Si reducimos a la mitad los lados del rectángulo azul entonces:  El área se divide entre 4  El perímetro se divide entre 2 Si reducimos a un tercio los lados del rectángulo azul entonces:  El área se divide entre 9  El perímetro se divide entre 3

El área se divide entre el cuadrado de la razón de los lados.

El perímetro se divide entre la razón de los lados.

43

Proporcionalidad del círculo

Notamos el radio con la letra Por lo tanto, - El área del círculo será:

Escala 1:1

- El perímetro del círculo será:

En esta escala: Notemos el radio como Entonces, Escala 1:2

- El área del círculo será: - El perímetro del círculo será:

En esta escala: Notemos el radio como Entonces, Escala 1:1

- El área del círculo será: - El perímetro del círculo será:

Conclusiones: Si reducimos a la mitad el radio del círculo entonces:  El área se divide entre 4  El perímetro se divide entre 2 Si reducimos a un tercio el radio del círculo entonces:  El área se divide entre 9  El perímetro se divide entre 3 44

El área se divide entre el cuadrado de la razón del radio.

El perímetro se divide entre la razón del radio.

Proporcionalidad del ángulo

Escala 1:1

Escala 1:2

Escala 1:3

El ángulo no varia aunque cambiemos la escala

El teorema de los cuatro colores

Alumnos de 2º ESO B

El teorema

El teorema de los cuatro colores consiste básicamente en que cualquier mapa puede ser coloreado solamente con cuatro colores distintos, de tal manera que dos regiones adyacentes (es decir, que tienen una frontera en común y no sólo un punto) no tengan el mismo color.

Aplicación

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Escape Room

Alumnos de 5º EP A

Alumnos de 5º EP B Los alunmnos de 3º ESOA prepararon un ”Escape Room” matemático para el alumnado de 5º EP. ¡Todos se lo pasaron muy bien!

Alumnos de 3º ESO A

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Magia en educación infantil La tarde del 15 de marzo los magos llegaron al colegio para compartir su trucos con los niños y niñas de educación infantil.

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Fotografías de proporcionalidad Un año más, los alumnos de 2º ESO han practicado la proporcionalidad y las distancias a partir de la fotografía. ¡Es una buena manera de aprender practicando!

Algunas de las fotos

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49

Concursos Desde el departamento de matemáticas se organizan diferentes concursos: ■ Xifres i lletres (Cífras y letras): Este concurso une el catalán, el castellano, el inglés y las matemáticas. La parte lingüística del concurso consiste en encontrar una palabra a partir de ocho o nueve letras y la parte matemática consiste a encontrar un número haciendo cálculos a partir de tres números de un dígito y de dos números de dos dígitos.

La fase previa del concurso se realiza en las clases de octubre a febrero y la fase final se realizó el 15 de marzo.

Los participantes son los alumnos de 6º EP y de 1º ESO. ■ Fotografía matemática: Este concurso es el más antiguo de los que realizamos, consiste en fotografiar las matemáticas que hay a nuestro alrededor, en el día a día.

Una de les características más destacables de la fotografía matemática es la sencillez de su ejecución que permite que cualquiera pueda sentirse cómodo trabajando las matemáticas y permite acceder a los conceptos matemáticos de una forma asequible y cercana. ¡Es una buena herramienta!

Aquí participan los alumnos desde 4º EP hasta 2º Bach.

■ Dibujo matemático: Es un concurso similar al de fotografía matemática que también tiene como objetivo fomentar la creatividad matemática y el gusto por ella, así como potenciar el desarrollo de las competencias matemáticas.

En este concurso participan los alumnos desde P3 hasta 6º EP ■ Concurso matemático vía Twitter: Este concurso es la evolución de otro de los concursos matemáticos históricos del colegio, el concurso de razonamiento matemático. Este año ha sido la primera edición en este nuevo formato. Consiste en resolver problemas matemáticos desde octubre hasta febero que se publican en Twitter cada quince días.

En él participan los alumnos desde 5º EP hasta 2º Bach.

■ Concurso de razonamiento familiar: Como cada año se plantea un problema matemático en marzo para que pueda ser resuelto a nivel familiar por todas las familias del colegio. No solo se valora que el resultado del problema sea correcto sino que también se tiene muy en cuenta el razonamiento empleado para llegar a él.

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En este concurso pueden participar todas las familias del colegio.

Xifres i lletres / Cifras y letras La final de este año se realizó el 15 de marzo como guinda a toda la fase previa en la que todo el alumnado de 6º EP y de 1º ESO concursaron para llegar hasta la final.

Los grupos de la final estaban formados por un alumno de cada una de las clases participantes (6EPA, 6EPB, 1ESOA y 1ESOB) y cada uno de los miembros del grupo eran los ganadores de las fases previas de cada una de las asignaturas participantes.

Grupo ganador 6º EP A →

María Cortés Hernán

1º ESO A →

Judith Navarro Cañado

6º EP B →

Guillermo Martínez Pardo

1º ESO B →

Lucia Obiol Palaudarias

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Fotografía matemática (Premiados) Primer premio Nivel 5EP

Laia Martos Sánchez 5 EP A

“Espejo egipcio”

Primer premio Nivel 6EP “Sigue el camino del dos” Primer premio Nivel 1-2 ESO Lucía Martínez Canto 2 ESO B

Esteban Rodríguez Sieiro 6 EP B

52

“Con el diámetro corto, con el radio como y con el sector… me limpio”

Primer premio Nivel 3-4 ESO

Elena Varas Sánchez 3 ESO A

“Convergencia simulada”

Primer premio Nivel Bachillerato

“Hexágono de arena”

Alba Ornaque Lázaro 4 EP B

Primer premio Nivel 4EP

Laura García Ruíz 4 EP B

Yinlena Xu 2 Bachillerato

“Simetría axial”

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Dibujo matemático (Muestra)

“La carrera infinita de Moebius” — Adrián Navío Corbinos — P4 A

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“El pueblo de los amigos del 10” — Saül Palacios — P5 B

Primer premio en el concurso de dibujo matemático que organiza ABEAM

“Recta numérica y patas” — Axel Meza Saldarriaga — 1 EP B

“Las formas” — Martina Tettamanzi — 2 EP A

55

Concurso matemático vía Twitter Aquí se pueden ver los enunciados de las diferentes actividades:

■ Actividad 1: ¿Cuánto suman las caras de los dados que no vemos?

■ Actividad 2: Estás construyendo un cubo de 6 x 6 x 6 con piezas de 1 x 1 x 2.

Ya tienes hecho lo que muestra la figura. ¿Cuántas piezas más necesitarás para completar el cubo?

■ Actividad 3:  Cada figura de la imagen dada reemplaza un dígito.  Diferentes figuras reemplazan diferentes dígitos.  Figuras iguales reemplazan el mismo dígito. ¿Cuánto suman el cuadrado y el círculo?

■ Actividad 4: ¿Cuántos números positivos de tres cifras cumplen que el producto de sus cifras es 24?

■ Actividad 5: Si un turista va de la ciudad A a la B, al llegar a B tiene que retrasar el reloj 2 horas.

Si otro turista va de la ciudad B a la ciudad C, al llegar a C tiene que adelantar el reloj 3 horas.

Si un tercer turista sale de la ciudad C a las 15h y va a la ciudad A, sabiendo que el viaje dura 4h, ¿qué hora será en la ciudad A cuando llegue?

■ Actividad 6: ¿Qué letras van en los cuadrados con los números 1 , 2 y 3?

Cada color debe contener las letras de la frase “FELIZ AÑO”.  Cada línea (azul, roja y verde) también debe contener las letras de la frase “FELIZ AÑO”. 

■ Actividad 7: En una bolsa tenemos 70 caramelos de los cuales 20 son de fresa, 20 de menta, 20 de limón y de los restantes, algunos son de naranja y otros de cereza. ¿Cuántos caramelos, como mínimo, tengo que sacar de la bolsa (sin mirar) para tener la seguridad que entre ellos habrá 10 del mismo sabor?

■ Actividad 8: Tenemos 12 bolas, de las cuales 4 están enumeradas con el número 6, 4 con el número 5 y 4 con el número 1. Se distribuyen las 12 bolas en tres cajas, A, B y C con igual número de bolas en cada una.

Si la suma de los números de las bolas de la caja A es igual a 19 y la suma de los números de las bolas de la caja B es igual a 17, ¿cuántas bolas con el número 6 hay en la caja C?

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■ Actividad 9: ¿Cuál es el mayor número natural que no tiene dos cifras iguales y que el producto de sus cifras es 112?

Las soluciones #concursoMatemáticoSIL #matemáticasSIL

@c

ole

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Actividad

Solución

1

27

2

11

3

6

4

21

5

18h

6

OLA

7

38

8

0

9

8721

Enunciado vía twitter Respuesta vía formulario

silb

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El top 10 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Sara Domínguez Soriano Claudia Domínguez Soriano Sergio Sangil de Gregorio Ariadna Jové Arto Elena Vergé Gras Eduardo Núñez Hofstetter Stanislau Didkovskyy Marc Larrosa Durà Alba Chaves Losada Elena Varas Sánchez 261 participantes

Ganadores por nivel

Claudia Domínguez Soriano

Sara Domínguez Soriano

Sergio Sangil de Gregorio

Eduardo Núñez Hofstetter

Nivel: 5-6 EP

Nivel: 1-2 ESO

Nivel: 3-4 ESO

Nivel: Bachillerato

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Concurso de razonamiento familiar Como el curso pasado, el mes de marzo pasado, realizamos el concurso de razonamiento familiar de nuestro colegio. Este concurso da entrada al concurso matemático a todas las familias del Colegio. Se trató de resolver, participando toda la familia, el siguiente problema:

Homer Simpson tiene que bajar barriga, el doctor le ha recomendado andar mucho, hacer ejercicio físico y comer de forma responsable. Él se propone hacer sólo lo primero, andar. Un vecino le ha dicho que haga el Camino de Santiago. El vecino hizo el año pasado un tramo de 972 km (de Alfarràs a Santiago) andando 12 horas diarias durante 36 días.

Homer no quiere ni andar tantos kilómetros ni andar tantas horas cada día. Se propone hacer un tramo de 450 km, desde Hontanas (Burgos) hasta Santiago, andando 8 horas cada día.

¿Cuántos días tardará en completar el tramo? #ConcursoRazonamientoFamiliarSIL

#Ma temáticasSIL

Familia ganadora

58

2 EP A

2 EP B

Carla Sánchez Menés

Àlex Sánchez Menés

Solución

25 días

Pangea Un año más los alumnos, desde 4º de educación primaria hasta 2º de bachillerato, hemos participado en el concurso matemático Pangea.

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Salidas matemáticas Visita al MMACA

Alumnos de 5º EP B

Alumnos de 5º EP A

El Museo Los alumnos de 5º de Primaria el 14 de febrero visitamos el museo de las matemáticas de Cataluña (MMACA). Este museo está situado en el parque de Can Mercader de Cornellà.

Su principal objetivo es popularizar las matemáticas a través de la emoción y hacerlas más aplicables al desarrollo social, económico y personal.

La asociación MMACA (Museu de Matemàtiques de Catalunya) está formada, principalmente, por profesores de matemáticas de toda Cataluña.

¿Dónde está?

Palau Mercader, Parc de Can Mercader Ctra. de l'Hospitalet, s/n, 08940 Cornellà de Llobregat, Barcelona Telèfono 665 233 448 Web http://www.mmaca.cat/

60

¿Qué hicimos?

Hicimos dos actividades:  En un espacio del museo, nos divertimos haciendo matemáticas con las manos. Y aunque no lo parezca , se puede jugar con ellas.  La otra actividad que hicimos fue la construcción de una cúpula de Leonardo. Parece extraño que con unos palos de madera dentados se pueda hacer. ¡Parecía magia! ¡Cuando la montamos incluso pudimos entrar dentro! ¡Disfrutamos mucho jugando con las matemáticas !

61

Educación infantil Los talleres “DiverMates” Los “talleres DiverMates” de Infantil nos permiten trabajar diversas actividades de numeración, razonamiento lógico, percepción espacial y geometría de una forma activa y manipulativa.

Los niños y niñas aprenden jugando y experimentando con sus compañeros. Las actividades fomentan el trabajo entre iguales y de esta forma se inician en el trabajo cooperativo.

El hecho de cambiar de actividades a lo largo de todo el taller permite trabajar diferentes conceptos en una sesión.

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Los materiales El material que utilizamos en estos talleres se ha ido creando partiendo de las necesidades de los niĂąos y niĂąas y estĂĄ adaptado a los diferentes ritmos de aprendizaje.

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Seriaciones (P3)

En P3 hemos trabajado el razonamiento lógico realizando series de 2 y 3 elementos durante la semana de las matemáticas del SIL.

Construcción de formas geométricas (P4)

En P4 hemos aprendido las figuras geométricas representándolas en el gimnasio con nuestros propios cuerpos.

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¡Ha sido muy divertido!

Tablas de doble entrada (P5)

En P5 hemos realizado tablas de doble entrada para aprender a clasificar las diferentes figuras geométricas.

Estadística en el patio (P5)

Para visualizar la estadística, durante la semana de las matemáticas, hemos bajado al patio para representar gráficos estadísticos.

En la imagen superior podemos ver el gráfico que hicimos para saber en qué mes han nacido más niños y niñas de P5.

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Reconocimientos

66

Periodistas

Alumnos de 4º ESO A

Alumnos de 4º ESO B

Los alumnos de 4º ESO han hecho de periodistas matemáticos para plasmar, en un anexo a esta revista, todas las actividades sobre matemáticas que se han realizado este curso.

Han indagado, han hecho entrevistas, ...

Para ver todo el trabajo de estos jóvenes reporteros matemáticos les emplazamos a que miren el Anexo sobre periodismo matemático de la revista 715.

+ información en

67

am

Giro de 180ยบ

Tun e

SIL

715

os

Tuneamos

#matemรกticasSIL

#matemรกticasSIL

SIL