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Blog 715

Departamento de matemáticas

#matemáticasSIL

Artículos matemáticos

Curso 2018-2019


Blog 715 https://sites.google.com/a/colegiosil.com/blog715

El “Blog 715” es la nueva incorporación de este curso y se divide en tres partes: 1. Artículos matemáticos 2. Periodismo joven 3. Los alumnos recomiendan… En el primero se pueden encontrar diferentes artículos, redactados por los alumnos, sobre conceptos e ideas matemáticas. En el segundo bloque se pueden descubrir nuestros jóvenes periodistas haciendo el seguimiento de las diferentes actividades que se realizan el el centro. Finalmente podemos encontrar recomendaciones de libros hechas por nuestros jóvenes lectores.

Código QR — Blog 715 — Matemáticas En esta revista pueden encontrar los artículos matemáticos que se han ido publicando en el “Blog 715” 2

El QR de la izquierda lleva directamente a estos artículos en la web.


Índice / Índex Contenido Math Storytelling Day Sucesión de Fibonacci Número Phi Triángulo de Tartaglia El sistema binari Alguns nombres en la formació de l’ésser humà El número Pi Numeración indoarábiga El número 0 El número e Triángulos en P5

Página 4 8 12 18 26 28 30 38 42 46 48

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Math Storytelling Day Un poco de historia En 2009 la Comunidad Natural de Matemáticas, naturalmath, creó el Math Storytelling Day. Es un dia en el cual se explican las matemáticas de una forma diferente, a partir de historias, cuentos, chistes…

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Este día especial fue pensado por Maria Droujkova tras inspirarse después de leer una publicación del blog de Seth Godin titulada "¿Qué debo hacer en tu cumpleaños?" . Seth, en esta publicación, animaba a los lectores a pensar más allá cuando tuvieran que hacer regalos de cumpleaños para los amigos. Droujkova se tomó muy en serio esta idea de Seth y declaró, junto con su hija, el Math Storytelling Day que compartiría con sus amigos y familiares el día de su cumpleaños, el 25 de septiembre.


En qué consiste El Math Storytelling Day es una gran oportunidad para entusiasmar a los niños, y no tan niños, con las matemáticas a través de historias, cuentos, juegos, chistes... Las historias de matemáticas pueden incluir lógica, patrones, rompecabezas y números.

Nuestra experiencia Nosotros, desde cuarto de la ESO, hemos utilizado y aplicado esta idea el pasado 25 de septiembre contando un cuento, basado en la geometría, a los alumnos de P4.

El cuento que fuimos a contarles se titulaba “Un cuadrado que quiso ser círculo”. Es un relato del Dr. Orlando Planchart Márquez, profesor Asociado de Matemáticas en la Universidad Interamericana Recinto de Ponce. Este cuento narra la historia de un cuadrado que estaba triste porque ningún niño jugaba con él y veía que todos preferían jugar con los círculos. 5

A través de este cuento los niños aprenden diferentes figuras geométricas, desde el mismo cuadrado hasta un hexadecágono pasando por el octágono o el trapecio. También aprenden la diferencia entre lados y vértices.


Después del cuento, en grupos, explicamos las diferencias entre un cuadrado y un círculo. Sus características principales, sus movimientos...

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Pero no sólo aprendieron los alumnos de P4, ¡nosotros también aprendimos!. De hecho, aprendimos cómo construir las figuras geométricas, que íbamos a utilizar durante nuestra exposición del cuento, a partir de una regla, un cartabón, una escuadra y un compás. Y lo más importante, aprendimos a adaptar nuestro lenguaje para que los niños más pequeños de la casa nos entendieran y pudiéramos captar su atención durante todo el rato. Hemos disfrutado muchísimo con esta experiencia y esperamos poder repetirla tan pronto como sea posible.

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Sucesión de Fibonacci Leonardo de Pisa Leonardo de Pisa (1170 – 1250), también conocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que se hizo famoso al difundir en Europa el sistema de numeración que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dígito de valor nulo (el cero) que usamos en la actualidad. Leonardo también ideó una sucesión de números que lleva su nombre, la llamada “sucesión de Fibonacci”.

La sucesión Centrémonos ahora en esta simple pero sorprendente sucesión. ¿Pero que es una sucesión? Una sucesión es un conjunto de números que se obtienen a partir de una regla.

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En el caso que nos ocupa, la sucesión de Fibonacci, la regla es la siguiente: “Empezando con dos unos, los siguientes elementos de la lista se obtienen como suma de los dos anteriores”

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …


2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 8=5+3, 13=8+5, 21=13+8, 34=21+13 ... Puede parecer sorprendente, pero esta construcción matemática aparece un montón de veces en la naturaleza.

Ejemplos  La distribución de las hojas alrededor del tallo para atrapar el máximo de luz solar posible.

 La reproducción de los conejos.

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 La espiral de la concha del nautilus.

 La disposición de las semillas en numerosas flores y frutos. Por ejemplo, en el girasol, su disposición se ajusta a dos términos de la sucesión de Fibonacci, concretamente poseen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144 respectivamente.

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 El número de espirales que pueden verse en muchas frutas. Por ejemplo, en las piñas, se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión, por lo general 8 y 13 o 5 y 8 dependiendo de la variedad de piña. ¿Se puede considerar casualidad? ¿o es que las matemáticas y la naturaleza están fuertemente relacionadas? ¡Apostamos, claramente, por lo segundo! Esta sucesión también aparece en el arte y en la arquitectura a partir del número áureo (o número Phi). Pero esto ya será motivo de otra publicación. Para acabar, como curiosidad, podemos hacer referencia a la espiral de Fibonacci que se construye a partir de cuadrados cuyos lados son los términos de la sucesión de Fibonacci.

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Número Phi Un poco de historia El número Phi, también llamado número de oro o número áureo, es un número irracional que representamos con la letra griega phi ( Φ en mayúscula, φ en minúscula) en honor a Fidias, el más famoso escultor de la antigua Grecia. Su historia documentada comienza en la Grecia clásica, aunque algunos historiadores matemáticos sugieren que el número áureo se encuentra, como proporción, en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas. 12

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300265 a. C.) en unos de los libros más célebres, comentados y reimpresos de la historia: “Στοιχεῖα” (en castellano, “Elementos de Euclides”). Este libro también es conocido como “Geometría Euclidiana” y se compone de 13 libros.


En la definición 3 del sexto libro dice: “Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.”

Cómo calcular el valor de Phi Busquemos cuál es el valor de Phi a partir de la definición:

Así, el número Phi (o número de oro o número áureo) es:

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Este número Phi aparece muchas veces en nuestra vida cotidiana.


Ejemplos  Tarjeta de crédito, tarjeta de metro, ...

 Cuerpo humano (Leonardo Da Vinci reflejo la proporción áurea del cuerpo humano en el hombre de Vitrubio)

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El número Phi sale en:  La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.  La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.  La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.  La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera, si dividimos todo es Φ.  La relación entre el diámetro de la boca y el de la nariz  Es Φ la relación entre el diámetro externo de los ojos y la línea inter-pupilar  Cuando la tráquea se divide en sus bronquios, si se mide el diámetro de los bronquios por el de la tráquea se obtiene Φ, o el de la aorta con sus dos ramas terminales (ilíacas primitivas).


ïƒ Logos

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ïƒ Arte

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 Naturaleza

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Triángulo de Tartaglia El triángulo de Tartaglia, es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico. Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos.

Un poco de historia

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Este triángulo es también conocido como triángulo de Pascal en honor al filósofo y matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique. Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta.


En China, este triángulo era conocido desde el siglo XI por el matemático chino Jia Xian (1010–1070). En el siglo XIII, Yang Hui (1238–1298) presenta el triángulo aritmético, equivalente al triángulo de Pascal, justo por este motivo en China se llama triángulo de Yang Hui. Antes que Pascal, Petrus Apianus (1495– 1552) publicó el triángulo en el frontispicio de su libro sobre cálculos comerciales Rechnung (1527). Este es el primer registro del triángulo en Europa. En Italia, se le conoce como el triángulo de Tartaglia, en honor al algebrista italiano Niccolò Fontana Tartaglia (1500– 77). También fue estudiado por Michael Stifel (1486 - 1567) y François Viète (1540-1603).

Propiedades del triángulo de Tartaglia En el triángulo de Tartaglia (o Pascal) podemos encontrar diversas propiedades numéricas. Recordemos cuáles son los números del triángulo escritos según las filas antes de hacer un resumen de sus propiedades principales: 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, 1, 5, 10, 10, 5, 1, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 1, 11, 55, 165, 330, 462, 462, 330, 165, 55, 11, 1,...

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 Potencias de 2 La suma de todos los valores de cualquier fila del triángulo, es igual a una potencia de 2. La primera fila se denomina fila cero.

De esta forma se obtienen todas las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

 Potencias de una suma Cada fila del triángulo de Pascal corresponde a los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio.

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Esta propiedad es muy utilizada en matemáticas.


 Números poligonales Estos números fueron descubiertos por los pitagóricos y se pueden encontrar en este triángulo.  Triangulares En la diagonal pintada de color azul, se encuentran los números triangulares.

Gracias a los números triangulares también podemos encontrar los números cuadrados que están un poco “más escondidos”. Para ello, cogemos esta misma diagonal de los números triangulares y hacemos una simple operación: 1, 4(1+3), 9(3+6), 16(6+10), 25(10+15), 36(15+21), 49(21+28), … Como ves cada número cuadrado se obtiene sumando dos números triangulares consecutivos. Tiene su lógica, porque un cuadrado es la suma de dos triángulos.

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 Pentagonales En este caso tienes que coger la diagonal de los números naturales (la segunda) e ir sumando sus elementos de la siguiente manera: 1, 5(2+3), 12(3+4+5), 22(4+5+6+7), 35(5+6+7+8+9) ...  Hexagonales Los número hexagonales se obtienen a partir de los triangulares. Estos serán los que ocupan un lugar impar.

 Sucesión de Fibonacci Esta sucesión la podemos encontrar sumando los elementos de las diagonales marcadas en la siguiente figura.

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 Pares e impares Si pintamos los números pares de un color y los números impares de otro color obtenemos un patrón igual al triángulo de Sierpinski.

 Potencias de 11 Las podemos encontrar toda en el triángulo imaginando cada fila como un único número. A partir de la quinta fila, cuando ya aparecen números de 2 cifras, necesitamos agrupar estos números para obtener la potencia de 11.

 Números primos Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7. 23


 Stick de hockey En los siguientes diagramas hay una relación entre los números azules y el número de color verde. La suma de los números marcados en azul siempre dará el número marcado en verde.

Es decir, si comenzamos en un uno cualquiera y vamos en diagonal, la suma de todos los números recorridos es igual al número que nos encontraremos en la fila siguiente, pero en la diagonal contraria. En la siguiente imagen podemos ver más ejemplos de esta propiedad:

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 Números de Catalan En este triángulo también podemos encontrar la sucesión de los números de Catalan, llamados así por el matemático belga Eugène Catalan. Dicha sucesión de números comienza así: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132… Estos números los podemos encontrar tomando la columna central y restándole a cada elemento el número que aparece a su lado en el triángulo:

Un reto Para finalizar os dejamos un reto: ¿Podéis encontrar el número π y el número e en este triángulo?

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El sistema binari Actualment, la majoria de les persones utilitzem el sistema decimal, que es basa en la combinació de 10 dígits (del 0 al 9) per realitzar operacions matemàtiques. Però hi ha un altre sistema o llenguatge molt utilitzat que és el sistema binari de numeració, que en alguns casos, com per exemple en la informàtica, es pot anomenar Llenguatge Binari, ja que és el llenguatge que utilitzem per comunicar-nos amb l'ordinador. El sistema binari és un sistema de numeració en el qual els números es representen utilitzant Ies xifres 0 i 1, és a dir, només dos dígits (bi = dos). Això a la informàtica i l’electrònica té molta importància, ja que les computadores treballen amb dos nivells. Cada número o dígit en aquest sistema es denomina bit (contracció de binary digit). Per exemple, el número 1001 en binari és un número de quatre bits.

Una mica d’història 26

El sistema binari va ser proposat l'any 1703 pel famós matemàtic Gottfried Leibniz per realitzar càlculs de forma senzilla i eficient. Però no li van fer gaire cas, ja que els nostres avantpassats van seguir empleant el sistema decimal per una raó molt simple: els humans tenim deu dits a les mans i per això ens resulta més fàcil comptar de deu en deu.


Aplicacions Els ordinadors utilitzen el llenguatge binari. A més a més, llenguatges com el Braille o el Morse també són codis binaris.

Conversió Existeix un mètode per convertir un número decimal en binari que és el següent:

Consisteix en anar dividint entre dos i quedar-se el darrer quocient i tots els residus. S’han d’escriure del darrer al primer que s’ha obtingut. Per tant: Decimal 12

Binari 1100

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1110

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1111

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Joves periodistes (3ESOB) Judit Rodríguez Azuar


Alguns nombres en la formació de l’ésser humà El començament de la vida es produeix amb la fecundació, que és la unió d’un òvul i d’un espermatozou, d’aquesta unió en neix el zigot, que conté la mateixa informació genètica que les cèl·lules que formen els nostres cossos ara. Al cap de 24h el zigot ja s’ha duplicat i ara ja té 2 cèl·lules. Tots els éssers humans tenim 46 cromosomes (23 per part de pare i 23 per part de mare). Si estiréssim un cromosoma, les seves molècules d’ADN podrien arribar a mesurar fins a 2 metres. Cada cromosoma té aproximadamente uns 25.000 gens, que contenen tota la informació de l’individu. Durant les primeres dos-tres setmanes, la mesura de l’individu és inferior a 1mm. En néixer ja tenim milers de milions de cèl·lules, cadascuna amb tots els gens. Si les ajuntéssim i els allarguéssim mesurarien cent tretze mil milions de km.

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A les 8 setmanes, la mida de l’embrió s’ha multiplicat per 20, ara fa 2 cm de longitud i ja pesa 1 gram. Al cap de dos mesos, aquestes cèl·lules s’han anat duplicant progressivament i ara s’han especialitzat, per això comencem a veure l’embrió amb forma humana. A les quatre setmanes el cor ja està format, encara que no de forma definitiva, i a les vuit setmanes batega a 160 batecs/minut. Que és el doble de velocitat del que bateguen els nostres cors normalment, a uns 70-80 batecs/minut. I en aquests moments l’embrió ja fa els primers moviments involuntaris (reflexos) de les extremitats. A partir dels tres mesos parlem de fetus, que ha multiplicat per 3 la seva mida, ara ja fa 6 cm de longitud, i per 10 el seu pes,


pesa 10 grams. Fins ara, l’embrió ha crescut a un ritme com si nosaltres cresquéssim 7 cm en una setmana i ja té tots els òrgans formats, però no de manera definitiva, també té pell, ungles i pèls transparents. A les 18 setmanes, el fetus és pràcticament un petit nadó té la forma i la proporció que tindrà el seu cos i els seus òrgans en néixer, perquè en un mes i mig ha multiplicat per 3 la seva talla i el seu pes 25, per tant ja mesura 18 cm i pesa 250 g. El cervell és l’excepció, ja que continua creixent i formant-se després del naixement. També en aquest moment, ja s’han definit les nostres empremtes digitals. A les 24 setmanes, el fetus ja mesura 25 cm de longitud (un pam d’un adult) i 700 grams de pes. Ja és com un nen prematur i, si nasqués, podria sobreviure, veure, sentir, olorar i tastar. Encara que és perillós, perquè només el 20% dels que nasquessin tindrien una vida sana i normal, a més, es poden morir per problemes respiratoris. Als set mesos i mig (32 setmanes), el fetus mesura uns 40 cm de llarg i 1.900 grams de pes. Les probabilitats de sobreviure són molt més elevades: gairebé el 90% dels que neixin no tindran cap problema. L’aspecte és molt similar a la d’un nadó i la majoria ja té cabell i ungles llargues i fa moviments amb força. Finalment, cap a les 40 setmanes, naixem de mig metro i uns 3 kg i mig. Si cresquéssim al mateix ritme que durant els primers 3 mesos que un embrió, amb 1 any de vida mesuraríem 150 cm i pesaríem 75 kg.

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Joves periodistes (3ESOB) Lucia Martínez Canto


El número Pi

La definición 30

π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una de las constantes matemáticas más importantes y se emplea también frecuentemente en física e ingeniería.


El símbolo La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφέρεια 'periferia' y περίμετρον 'perímetro' de un círculo, notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés William Jones (1675-1749); aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Jones plantea el nombre y símbolo del número Pi en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736.

Número irracional En matemáticas, un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción m/n, donde m y n sean enteros y n sea diferente de cero. Es decir, un número irracional es un número decimal ilimitado no periódico. Aristóteles fue el primero en conjeturar que el número Pi es irracional. Su afirmación fue: "el diametro de una circunferencia y su radio no son conmesurables"

Para probar este hecho fue necesario que pasaran alrededor de 2000 años, cuando Johann Heinrich Lambert dio la primer prueba en 1766. Hay varias demostraciones sobre la irracionalidad de Pi, entre ellas también que destacar la de Ivan Nieven, hecha en 1947. Es bastante elegante debido a que es elemental y la técnica que se utiliza es fácilmente generalizable para probar la irracionalidad de otros números.

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A la búsqueda de decimales Al ser un número irracional, la búsqueda de la mayor cantidad de decimales ha sido el objetivo de todas las épocas de nuestra historia. Esta búsqueda ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de los años. Algunas aproximaciones históricas de Pi son las siguientes: Error

Matemático o documento

Cultura

~1900 a. C.

Papiro de Ahmes

Egipcia

28/34 ~ 3.1605

6016 ppm

~1600 a. C.

Tablilla de Susa

Babilónica

25/8 = 3.125

5282 ppm

~600 a. C.

La Biblia (Reyes I, 7:23)

Judía

3

45 070 ppm

~500 a. C.

Bandhayana

India

3.09

16 422 ppm

entre 3 10/71 y 3 1/7

<402 ppm

Año

~250 a. C. Arquímedes de Siracusa

Aproximación

(en partes por millón)

Griega

empleó 211875/67441 ~ 3.14163 Greco-egipcia 377/120 = 3.141666...

13.45 ppm 23.56 ppm

~150

Claudio Ptolomeo

263

Liu Hui

China

314159

0.84 ppm

263

Wang Fan

China

157/50 = 3.14

507 ppm

~300

Chang Hong

China

~500

Zu Chongzhi

China

10

1/2

~ 3.1623

6584 ppm

entre 3.1415926 y 3.1415929

<0.078 ppm 0.085 ppm 2.34 ppm

~500

Aryabhata

India

empleó 355/113 ~ 3.1415929 31416

~600

Brahmagupta

India

101/2 ~ 3.1623

6584 ppm

~800

Al-Juarismi

Persa

31416

2.34 ppm

1220

Fibonacci

Italiana

3141818

72.73 ppm

1400

Madhava

India

3,14159E+11

0.085 ppm

1424

Al-Kashi

Persa

2π = 6.2831853071795865

0.1 ppm

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Arquímedes

Claudio Ptolomeo

Fibonacci


Algunas aproximaciones de la época moderna precomputacional son las siguientes: Año

Descubridor

Número de cifras decimales

1610 1699 1720 1789 1841 1873

Ludolph Van Ceulen Abraham Shrap Thomas de Lagny Jurij Vega William Rutherford William Shanks

35 71 127 (112 correctas) 140 (126 correctas) 208 (152 correctas) 707 (527 correctas)

Algunas aproximaciones de la época moderna computacional son las siguientes: Año

Descubridor

Ordenador utilizado

Número de cifras decimales

1949

G.W. Reitwiesner y otros

ENIAC

2037

NORAC

3092

IBM 704

16 167

CDC 6600

500 000

1954 1959

Guilloud

1967 1973

Guillord y Bouyer

CDC 7600

1 001 250

1981

Miyoshi y Kanada

FACOM M-200

2 000 036

1982

Guilloud

1986

Bailey

CRAY-2

29 360 111

1986

Kanada y Tamura

HITAC S-810/20

67 108 839

NEC SX-2

134 217 700

1987 Kanada, Tamura, Kobo y otros

2 000 050

1988

Kanada y Tamura

Hitachi S-820

201 326 000

1989

Hermanos Chudnovsky

CRAY-2 y IBM-3090/VF

480 000 000

1989

Hermanos Chudnovsky

IBM 3090

1 011 196 691

1991

Hermanos Chudnovsky

2 260 000 000

1994

Hermanos Chudnovsky

4 044 000 000

1995

Kanada y Takahashi

HITAC S-3800/480

6 442 450 000

1997

Kanada y Takahashi

Hitachi SR2201

51 539 600 000

1999

Kanada y Takahashi

Hitachi SR8000

68 719 470 000

1999

Kanada y Takahashi

Hitachi SR8000

206 158 430 000

2002

Kanada y otros

Hitachi SR8000/MP

1 241 100 000 000

Hitachi

1 351 100 000 000

2004 2009

Daisuke Takahashi

T2K Tsukuba System

2 576 980 370 000

2009

Fabrice Bellard

Core i7 CPU, 2.93 GHz; RAM: 6GiB

2 699 999 990 000

2010

Shigeru Kondo

2 x Intel Xeon X5680, 3.33 GHz

5 000 000 000 000

2011

Shigeru Kondo

10 000 000 000 000

Vale la pena destacar que en 1948 Feguson calculó 808 cifras decimales con una calculadora electrónica

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Aproximaciones Otra obsesión histórica ha sido encontrar expresiones que aproximen al número Pi. Algunos ejemplos de aproximaciones de Pi a partir de expresiones racionales son:

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Algunos ejemplos de aproximaciones de Pi a partir de expresiones irracionales son:

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Algunos ejemplos de aproximaciones de Pi a partir de expresiones algebraicas son:

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Fracción continua En matemáticas, una fracción continua, nombrada también fracción continuada, es una expresión de la forma:

donde a0 es un entero y todos los demás números ai son enteros positivos, para i= 0, 1, 2,...n,.... Ejemplos de fracciones continuas para π:

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Jóvenes periodistas (3ESO) Toda la clase


Numeración indoarábiga Los números indoarábigos, también llamados números arábigos, son los símbolos más utilizados actualmente para representar números.

En qué consiste 1. Se utilizan 10 símbolos diferentes, llamados cifras o dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 2. Cada diez unidades simples, forman lo que consideramos una decena. Diez unidades, forman la centena y así sucesivamente. 3. El número de unidades no puede ascender de 9, ya que si no sería una unidad superior. 4. Una unidad escrita a la izquierda de otra representa una unidad superior.

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Historia La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que tuvo su origen en la India (los árabes se refieren a este sistema de numeración como “Números Indios”), se expandió por el mundo islámico y de ahí, vía al-Ándalus, al resto de Europa. Se cree que el sistema posicional de base 10 utilizado en la India tuvo sus orígenes en la China. El sistema numérico Chino Hua Ma es también posicional y de base 10 y pudo haber servido de inspiración para el sistema que surgió en la India. Esta hipótesis se cree que es la más realista por el hecho de que entre los siglos V y VIII (periodo durante el cual se desarrolló el sistema numérico indio) coincidió con una gran afluencia de peregrinos budistas entre China y la India. Este sistema de numeración llegó a Oriente Medio hacia el año 670. Después pasó a Europa y las primeras menciones de estos numerales en la literatura occidental se encuentran en el Codex hola Vigilanus del año 976 . A partir de 980 Gerberto de Aurillac (más tarde papa con el nombre de Silvestre II), hizo uso de su oficio papal para difundir el conocimiento del sistema en Europa. Fibonacci, un matemático italiano que había estudiado en Bugía (en la actual Argelia), contribuyó a la difusión por Europa del sistema arábigo con su libro Liber Abaci, publicado en 1202.

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Evolución gráfica

Imposición El sistema indo-arábigo se ha impuesto progresivamente en todas las culturas del mundo, hasta el punto de que en la actualidad constituye un lenguaje escrito universal comprendido por todos los seres humanos. Las principales claves para esta imposición han sido: 

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Se crea a partir de una notación sencilla, basada en el uso de diez guarismos, entre los que se incluye el cero, y conceptualmente rica, por la idea del valor posicional de los numerales. Permite simplificar de forma muy notable las operaciones aritméticas de multiplicación y división, sin complicar las de suma y resta. Resulta adecuado para los desarrollos de la matemática moderna.


Curiosidades 

En el mundo musulmán solamente los matemáticos utilizaban el sistema de numeración arábigo hasta tiempos relativamente recientes. Los científicos usaban el sistema babilónico y los comerciantes los sistemas griego y hebreo. La llegada de la imprenta en el siglo XV le dio un impulso al nuevo sistema de numeración "arábigo", pero la numeración romana se siguió usando al en paralelo hasta el siglo XVII. Este sistema tardó más de medio milenio en establecerse, de hecho en el siglo XI todavía había al menos tres tipos distintos de aritmética en el mundo árabe. A pesar de la evidencia, persisten algunas explicaciones folclóricas del origen de los numerales arábigos modernos. Uno de estos mitos populares propone que las formas originales de los símbolos indicaban su valor a través de la cantidad de ángulos que contenían,6como se puede ver en la imagen el cero no tiene ángulos, cada uno de los símbolos restantes tienen el número de ángulos correspondientes al número representado.

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Jóvenes periodistas (1ESOB) María Blanch Jorba María Cortés Hernán


El número 0 El cero (0) es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra significativa. Si está situado a la derecha de un número entero se multiplica por 10 su valor;1 colocado a la izquierda, no lo modifica.

Historia Antiguas y grandes civilizaciones —como las del Antiguo Egipto, Babilonia, la Antigua Grecia y la civilización Maya— poseen documentos de carácter matemático o astronómico mostrando símbolos indicativos del valor cero; pero por diversas peculiaridades de sus sistemas numéricos, no supieron obtener el verdadero beneficio de este capital descubrimiento. En el Antiguo Egipto se utilizó el signo (Papiro Boulaq 18, hacia el 1700 a. C.).

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para indicar el cero

El cero apareció por primera vez en Babilonia en el siglo III a.C., aunque su escritura en tablillas de arcilla se remonta al 2000 a.C. Los babilonios escribían en arcilla sin cocer, sobre superficies planas o tablillas. Su notación era cuneiforme. En tablillas datadas en el año 1700 a. C. se ven anotaciones numéricas en su particular forma. Los babilonios utilizaban un sistema de base 60. Con su sistema de notación no era posible distinguir el número 23 del 203 o el 2003, aunque esta ambigüedad no pareció preocuparles.


Alrededor del 400 a. C., los babilonios comenzaron a colocar el signo de «dos cuñas» en los lugares donde en nuestro sistema escribiríamos un cero, que se leía «varios». Las dos cuñas no fueron la única forma de mostrar las posiciones del cero; en una tablilla datada en el 700 a. C. encontrada en Kish, antigua ciudad de Mesopotamia al este de Babilonia, utilizaron un signo de «tres ganchos». En otras tablillas usaron un solo «gancho» y, en algunos casos, la deformación de este se asemeja a la forma del cero. El cero también surgió en Mesoamérica e ideado por las civilizaciones mesoamericanas antes de la era cristiana, por la Cultura Maya. Posiblemente fue utilizado antes por la cultura Olmeca. El primer uso documentado mostrando el número cero corresponde al año 36 a. C., haciendo uso de la numeración Maya. A causa de la anomalía introducida en el tercer lugar de su notación posicional, les privó de posibilidades operativas.

Glifo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero utilizando notación posicional.

Los romanos no utilizaron el cero. Sus números eran letras de su alfabeto; para representar cifras usaban: I, V, X, L, C, D, M, agrupándolas. Para números con valores iguales o superiores a 4000, dibujaban una línea horizontal sobre el «número», para indicar que el valor se multiplicaba por 1000.

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Cero posicional La civilización india es la cuna de la notación posicional, de uso casi universal en el siglo XXI. La palabra «cero» proviene de la traducción de su nombre en sánscrito shunya (vacío) al árabe sifr )‫(صفر‬, a través del italiano. La voz española «cifra» también tiene su origen en sifr. Es posible que el matemático indio Brahmagupta (siglo VI) fuera el primero en teorizar sobre el concepto de "cero" no sólo como definición de una cantidad nula, sino como posible sumando para números negativos y positivos. El primer testimonio del uso del «cero indio» está datado en el año 683: una inscripción camboyana de Angkor Wat, tallada en piedra, que incluye el número "605". Otras pruebas de uso se datan hacia el año 810. Las inscripciones de Gwalior están datados en 875-876. Abu Ja'far Mujammad ibn Musa (Al-Juarismi), en su obra titulada «Tratado de la adición y la sustracción mediante el cálculo de los indios» explica el principio de numeración posicional decimal, señalando el origen indio de las cifras. La décima figura, que tiene forma redondeada, es el «cero».

La llegada a Europa

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Los árabes lo transmitieron por el Magreb y Al-Ándalus, pasando posteriormente al resto de Europa. Los primeros manuscritos que muestran las cifras indias (llamadas entonces «árabes») provienen del norte de España y son del siglo X: el Codex Vigilanus y el Codex Aemilianensis. El cero no figura en los textos, pues los cálculos se realizaban con ábaco, y su uso aparentemente no era necesario.


Aunque se atribuyen los primeros usos del cero en Francia, o al controvertido papa Silvestre II, alrededor del año 1000, la mayor parte de las referencias indican que el cero (llamado zefhirum) fue introducido en Europa por el matemático italiano Fibonacci en el siglo XII, mostrando el álgebra árabe en su Liber abaci (El libro del ábaco), aunque por la facilidad del nuevo sistema, las autoridades eclesiásticas lo tildaron de mágico o demoniaco. La iglesia y la casta de los calculadores profesionales — clérigos en su mayoría, que utilizaban el ábaco— se opusieron frontalmente, vetando la nueva álgebra, en algunos lugares hasta el siglo XV.

La importancia del cero ¡Ya no podemos prescindir del cero! El progreso de la ciencia ha dependido de este número. Veamos unos cuantos ejemplos de su uso:  Cero grados en la escala de temperatura  Gravedad cero  Energía cero  Cero grados de longitud  Sistema binario (informática) Incluso aparece en el lenguaje no científico: tolerancia cero, la hora cero.

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Jóvenes periodistas (1ESOB) Jordina Barba Rocasalbas Daniela Cabeza Solernou


El número e Ja n’hi ha prou que el número pi rebi tota la glòria, mentre altres amb la mateixa importància passin desapercebuts, Per aquest motiu tractarem del número e que també és molt important.

Començarem comparant pi i e:  

el número pi té infinits decimals, e també els infinits decimals de pi no segueixen cap patró, els d’e tampoc pi és irracional, ja que no es pot escriure en forma de fracció com l’arrel de 2, e també pi és transcendent, ja que no és la solució de cap equació, e també pi s’escriu amb una lletra i e també, és clar.

Ara bé, pi té una definició fàcil, en canvi e no tant…

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Imaginem que tenim un banc que cada any ens dóna un 100% d’interès. Però podem escollir que el banc ens doni 50% a mitjans d’any i al final de l’any un altre 50%, però ara dels diners que teníem més la suma anterior, és a dir en lloc d’emportar-te el doble de diners t’emportes 2,25 vegades el que tenies. Imaginem que els del banc no s’adonen i comencem a obtenir cada vegada més interessos, però més petits cada vegada, per a un interès d’un terç 3 vegades el guany total seria 2,37 vegades més


que l’original; si augmentem això fins infinites vegades arribarem a tenir diners infinits? Males notícies, la quantitat de vegades que es multiplicarien els teus diners seria exactament per e, és a dir 2,71828… és a dir e és (1+1/n)n quan n va a l’infinit. Però e no és només això, e és el resultat de sumar 1 + 1/1 + 1/(1*2) + 1/(1*2*3) + 1/(1*2*3*4) + ... A més, si grafiquem ex, és a dir, fem dues línies perpendiculars on la vertical és ex y la horitzontal és x fent que per a cant punt de x hi hagi un respectiu punt a ex la superfície d’aquesta gràfica és exactament igual a l’altura que té. No només això, e apareix a la desintegració dels àtoms de carbó 14, que entre moltes coses serveix per saber quant fa que un cos ha mort. Així doncs, la pròxima vegada que veieu una sèrie de CSI i el protagonista pregunti “Hora de la mort?” Sapigueu que el número e és allà. I per cert, aquest número e és la fórmula més bella del món, però això ja és tema per a un altre article. La identidad de Euler

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Joves periodistes (3ESOB) Víctor Hermés Torres Tomara


Triángulos en P5 El pasado día 19 de marzo, en vísperas del #DiaDelCangurSIL, unos alumnos de cuarto de la ESO fuimos a P5 para realizar una actividad basada en triángulos. Nada más llegar nos dividimos en dos grupos para hacer la actividad a la misma vez con los dos grupos de P5. Unos nos pusimos en el hall del primer piso con el grupo B, y los otros, nos situamos en el espacio que está situado entre la planta baja y el primer piso.

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Lo primero que hicimos fue sentar a los alumnos en semicírculo, presentar diferentes figuras y explicar las diferencias entre ellas. Pudimos apreciar que los alumnos de P5 sabían perfectamente los nombres de todas ellas (triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio, hexágono y círculo) y entre todos recordamos y explicamos sus propiedades.

Las siguientes fases de la actividad que hicimos ya fueron exclusivamente sobre triángulos. La primera consistió en colocar varios triángulos de diferentes tipos en el suelo y después mostramos uno. Diferentes alumnos tenían entonces que intentar encontrar uno igual al que nosotros enseñamos. Con esto pretendíamos que descubrieran los diferentes tipos de triángulo según su tamaño, la longitud de sus lados, o sus ángulos. Esta actividad resultó bastante sencilla y útil para clasificar los diferentes tipos de triángulos.

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La siguiente actividad que realizamos fue la creación de figuras a partir de triángulos, lo que llamamos triangulación. Repartimos unas imágenes a los niños y ellos tenían que buscar los triángulos para construir los dibujos. Esta actividad no fue muy sencilla pero sí que fué muy divertida y entretenida.

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Finalmente, la última actividad que hicimos fue trazar una línea en el suelo y a partir de los triángulos taparla. Los alumnos descubrieron que dependiendo de la orientación del triángulo que se ponía en el suelo se necesitaban más o menos. Cuanto más grandes eran los triángulos, menos se necesitaban. Y cuanto más pequeños fueran más se necesitaban. Pero no sólo aprendieron y disfrutaron los alumnos de P5, ¡nosotros también lo hicimos!. De hecho, es una actividad que a nosotros nos hizo recordar diferentes conceptos y propiedades pero que también nos ha aportado cosas nuevas como adaptar nuestro lenguaje para que los niños nos entiendan y redescubrir la ilusión por los pequeños descubrimientos de cada día. ¡Esperamos repetir la experiencia pronto!

Visualiza esta publicación en nuestro blog Jóvenes periodistas (4ESO) Pau Adán Lecina Mireia Aranda Mañà Lucas Barahona Sayós Marc Bestué Calatayud Paula Domínguez Soriano Juan Ignacio Magan Busco Nil Alexsei Nolla Torres Inés Obiol Palaudarias Franz Dylan Sabo

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Departamento de matemรกticas

Curso 2018-2019

Maquetaciรณn: JCS

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Revista matemática del Colegio SIL Artículos matemáticos del Blog715 Mayo 2019

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