Teoría probabilidades de las
TEOR ´ IADELASPROBABILIDADES
TEOR ´ IADELAS PROBABILIDADES
Reservadostodoslosderechos
© PontificiaUniversidadJaveriana
© FernandoJos´eMiguelRodr´ıguezPrieto
Primeraedici´on:Bogot´a,D.C.,abrilde2025
isbn: (impreso)978-958-781-985-4
isbn: (digital)978-958-781-986-1
doi: https://doi.org/10.11144/Javeriana.9789587819861
Numerodeejemplares:300 ImpresoyhechoenColombia PrintedandmadeinColombia
EditorialPontificiaUniversidadJaveriana Carrera7.a n.o37-25,oficina1301 EdificioLutaima
Tel´efono:(601)3208320ext.4752 www.javeriana.edu.co/editorial editorialpuj@javeriana.edu.co Bogota, d.c.
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Impresi´on: editorialnomoss.a.
Pontificia UniversidadJaveriana—VigiladaMineducaci´on. ReconocimientocomoUniversidad:Decreto1297del30demayode1964. Reconocimientodepersonerıajurıdica:Resolucion73del12dediciembre de1933delMinisteriodeGobierno
PontificiaUniversidadJaveriana.BibliotecaAlfonsoBorreroCabal,S.J. Catalogaci´onenlapublicaci´on
Rodr´ıguezPrieto,FernandoJos´eMiguel,autor Teor´ıadelasprobabilidades/FernandoJos´eMiguelRodr´ıguezPrieto.–Primeraedici´on.–Bogot´a:Editorial PontificiaUniversidadJaveriana,Bogot´a,2025.
219p´aginas;ilustraciones;21.5x28cm isbn:978-958-781-985-4(impreso) isbn:978-958-781-986-1(electr´onico)
1.Probabilidades2.Estad´ıstica3.Teor´ıadeconjuntos4.Variablesaleatorias5.FuncionesI.PontificiaUniversidad Javeriana.Bogot´a.
cdd 519.1edici´on16
CO-BoPUJ 12/02/2025
Prohibidalareproducci´ontotaloparcialdeestematerial,sinautorizaci´onporescritodelaPontificiaUniversidadJaveriana.
Agradecimientos
Amiviejo,porquelaspalabrassequedancortasparaexpresarlafaltaque mehaces.¡Siempretellevoenmialmayenmicoraz´on!
Amimadre,porsuamorincondicionalpormiviejo,pormishermanosy porm´ı.Ereselejemplovivodeunaesposaleal,comprometidahastaelfinal yunamadre ´ıntegra.
Amishermanos,Sergio,porsiempreestardispuestoaescucharmeconla mejordisposici´on,enespecialenlosmomentosquem´astehenecesitado,ya Manuel,portuapoyoincondicional.Ereslapersonam´asnoblequeconozco.
Amihijo,elregalom´aspreciadoquelavidamedio.Vinisteaense˜narme c ´ omosedebevivirrealmente.
Amisamigos,esosquehanestadosiempre,inclusoenlosmomentosm´as oscuros.Ustedessabenmuybienqui´enesson.
AlaPontificiaUniversidadJaveriana,pordarmelaoportunidadybrindarmeelapoyonecesarioparalaedici´ondeestelibro.
GraciasaDios,porelmilagrodelavida.Sin ´ el,nadadeestoser´ıaposible.
1 Teor´ıadeconjuntos
1.1 Introducci´on
Antesdeempezarformalmenteuncursodeprobabilidades,esnecesariohacer unbreverepasodeteor´ıadeconjuntos.¿Porqu´e?Lateor´ıadeconjuntosnos permitedescribiryanalizarlosresultadosdelosexperimentos.Ennuestro diariovivir,todoslosd´ıasnosvemosinvolucradosenexperimentosencuyos resultadosest´ainvolucradouncomponentealeatorio.Ydeall´ılaimportancia delateor´ıadeconjuntosenteor´ıadeprobabilidades.
1.2 Principalesdefiniciones
Sibiendelosexperimentosquerealizamosnoconocemosconcertezael resultadodelexperimento,entodoslosexperimentosqueserealizar´anen estecurso,elconjuntodeposiblesresultadossiempreser´aconocido,yesto esloqueseconocecomo espaciomuestral
Definici´onn ´ umero1. Espaciomuestral:Conjuntode todos losposiblesresultadosdeunexperimento.Sedenotaconlaletra S
ejemplos:
1.Experimento:Observarellanzamientodeundado.
S Df1I 2I 3I 4I 5I 6g
2. Experimento:Contarcu´antasvecesalasemana(5d´ıas)llegauna personatardealtrabajo.
S Df1I 2I 3I 4I 5g
3. Experimento:Observarelresultadofinaldelanotadefinitivaquese cargaalsistemadeprobabilidad.
S Df0;0I 0;1I 0;2I ::: I 4;8I 4;9I 5;0g
4. Experimento:Contarcu´antasvecessedebelanzarunamonedahasta obtenercara.
S Df1I 2I 3I ::: I1g
N´oteseque,enlos4ejemplosanteriores,elconjuntodeposiblesresultados sepuede listar.Estosespaciosmuestralesseconocencomo espaciosmuestrales discretos.
5. Experimento:Observarcu´antotiempoald´ıaestudiaunapersona probabilidad(enhoras).
S Dfx W x 2 .0I 24/g
6. Experimento:Observarelvolumendellenadodeunabotelladeagua decapacidadde1000ml.
S Dfx W x 2 .0I 1000/g
7. Experimento:Observarcu´antotiempo(exacto)pasadesdelafecha hastaqueocurralaTerceraGuerraMundial.
S Dfx W x 2 .0I1/g
LaTerceraGuerraMundialpodr´ıaempezarenestemismoinstante,o podr´ıanuncaocurrir.
nota: Enelexperimento7,siseestuvieracontandoencuantosanos(valor entero)sepresentalaTerceraGuerraMundial,ser´ıaunespaciomuestral discretocon S Df0I 1I 2I ::: I1g
Losejemplos5,6y7sonespaciosmuestrales continuos.Suconjuntode resultadosnosepuedelistar.
nota: Elhechodequeunespaciomuestraltengainfinitosresultadosno quieredecirqueseacontinuo. Ejemplo: experimentoN.º 4.
Elhechodequelosposiblesresultadosdeunexperimentotengandecimalesnoquieredecirqueseacontinuo. Ejemplo: experimentoN.º 3. Unespaciomuestralcontinuosiempreesunintervalodelarectareal.
Definici´onn ´ umero2.Evento:Subconjuntodelespaciomuestral.
Parafacilidaddelaexplicaci´onutilizaremoselejemplodellanzamiento deldado,porlosencilloquees.
Si S Df1I 2I 3I 4I 5I 6g,uneventopodr´ıaserqueelresultadofuerapar.Los eventossenotanconletrasmay´usculas.
Ejemplo: E:Eventoenelqueelresultadodelanzarundadoseapar.
E Df2I 4I 6g
As´ı,podemosdefinirotroseventos,cualquiersubconjuntode S
F Df1I 3I 5g! Losimpares
G Df3I 6g! M´ultiplosde3
H Df4g! ElN.º 4
I Dfg! ¡Inclusoelconjuntovac´ıoesun evento!
1.3 Relacionesentreeventos
Lasdosrelacionesm´asimportantesquesepresentanentreeventossonla uni´onylaintersecci´on.
uni ´ on([): E [ F selee“E uni´on F ”,yeselconjuntoderesultadosque est´anen E o F
Ejemplos:
E [ F Df1I 2I 3I 4I 5I 6g
E [ G Df1I 2I 3I 4I 6g
G [ H Df3I 4I 6g
H [ I Df4g
F [ G [ H Df1I 3I 4I 5I 6g
nota: Sepuedeobservarqueparaqueunresultadoest´eenlauni´onbasta conqueest´een almenosunodeloseventos queseest´anuniendo.
Siquisi´eramosunir n eventos,laformacompactadenotaci´onser´ıa Sn i D1 Ei
intersecci ´ on(\): E \ F selee“E intersecci´on F ”yeselconjuntode resultadosqueest´anen E y F .Tambi´enpuedeescribirse E \ F D EF
Ejemplo:
E \ G Df3g
E \ H Df4g
E \ F Df;g
E \ G \ H Df;g
N´otesequeparaqueunresultadoseencuentreenlaintersecci´ondevarios eventosdebeestaren todos loseventosqueseest´anintersectando.
Siquisi´eramosintersectar n eventos,laformacompactadenotaci´onser´ıa
Tn i D1 Ei
1.4 Otrasdefinicionesimportantes
Definici´onn ´ umero3.Eventosmutuamenteexcluyentes(m.e.): E;F sonmutuamenteexcluyentessi E \ F Dføg.Enotraspalabras, E y F son m.e. si laocurrenciadeunevento impide laocurrenciadelotro.Estoseventos no pueden ocurriraltiempo.Ej.: E y F delejemploson m.e.
Esteconceptoes muyimportante enprobabilidad.
Definici´onn ´ umero4.Complemento(E c ): Elcomplementodeuneventoesel conjuntoderesultadosquelehacenfaltaaesteeventoparaserelespacio muestral.
Ejemplo:
◌ E c Df1I 3I 5g! esclaro,comoEsonlospares, E c sonlosimpares.
◌ Gc Df1I 2I 4I 5g
Porladefinici´on,esclaroque E y F c son mutuamenteexcluyentes,yque E [ E c D S .
Elconceptode complemento estalvezunodelosm´asimportantes.
1.5 DiagramasdeVenn
Todaslasrelacionesentreeventossepuedenexpresarutilizandodiagramas deVenn.Elespaciomuestralserepresentaconunrect´anguloyloseventos conc´ırculos.Larelaci´ondeseadasesombrea.
Ejemplo:
Esta ´ ultimarelaci´onnosehab´ıadefinidoanteriormente.Significaque todosloselementosde E est´ancontenidosen F ,yselee“E contenido F ”.
1.6 Leyesderelacionesentreeventos
Similaresal ´ algebra,lasrelacionesentreeventossatisfacenlaleyasociativa, conmutativaydistributiva.Apesardeparecermuysencillos,sondegran utilidadenprobabilidad.
Leyconmutativa: A [ B D B [ A // A \ B D B \ A
Leyasociativa: .A [ B/ [ C D A [ .B [ C/ // .A \ B/ \ C D A \ .B \ C/
Leydistributiva: A \ .B [ C/ D .A \ B/ [ .A \ C/
La mayoría de los textos en el campo de la probabilidad son muy académicos, al incluir demostraciones matemáticas que generalmente no son tan útiles. Este libro tiene la ventaja de enfocarse en la explicación de conceptos a través de ejemplos sencillos, que posteriormente llevan a la aplicación y resolución de ejemplos más complejos, y de omitir la mayoría de las demostraciones, que solo se encuentran en algunasexcepciones.Deestemodo,estelibroseráde gran utilidad para cualquier persona que quiera entender los conceptos básicos de la probabilidad, no solo para ingenieros y científicos de datos. Por su parte, la inteligencia artificial ha avanzado a pasos agigantados durante la última década. Si bien la probabilidad no es su único fundamento, este texto presenta de forma sencilla y clara conceptos de esta rama de la matemática, con el propósito de que puedan llegar a ser aplicados en inteligencia artificial y en toma de decisiones. ¡Bienvenidos a ello!