Kiedyalgorytmzawieraiteracyjnekonstrukcjesteruj˛ace,takiejakp˛etle while lub for,jego czasdziałaniamozemywyrazi ´ cjakosum˛eczasówpotrzebnychnakazdewykonanietre ´ sci p˛etli.Wpodrozdziale2.2naprzykładzauwazyli ´ smy, ze i -taiteracjawalgorytmiesortowania przezwstawianiedlanajgorszegoprzypadkuwymagaczasuproporcjonalnegodo i .Dodaj˛ac czasywykonaniakolejnychiteracji,otrzymujemysum˛e(lubszereg) Pn i D2 i .Obliczeniewarto ´ sci tejsumydałooszacowanie ‚.n2 / napesymistycznyczasdziałaniaalgorytmu.Przykładten pokazuje,nailewa ˙ znejestzrozumieniemetodobliczaniaiszacowaniawarto ´ scisum. WdodatkuA.1podamykilkapodstawowychwzorówdotycz˛acychsumowania,awdodatkuA.2przedstawimyu ˙ zytecznetechnikiszacowaniawarto ´ scisum.WzorywdodatkuA.1 zamieszczamybezdowodów,chocia ˙ zdowodyniektórychznichzaprezentujemywdodatkuA.2 jakoilustracj˛ezastosowaniapodanegownimmateriału.Dowodypozostałychwzorówmozna znale´z ´ cwdowolnejksi˛ a ˙ zcezanalizymatematycznej.
A.1Wzoryiwłasno ´ scidotycz˛acesum
Maj˛acdanyci˛agliczb a1 ;a2 ;:::;an ,gdzie n jestnieujemn˛aliczb˛acałkowit˛a,sko ´ nczon˛asum˛e wyrazówtegoci˛agu a1 C a2 C C an mozemyzapisa ´ cjako Pn k D1 ak .Jezeli n D 0,towarto ´ s ´ c sumydefiniujesi˛ejako0.Warto ´ s ´ csumysko ´ nczonejjestzawszedobrzeokre ´ slonainiezalezyod kolejno ´ scidodawaniajejwyrazów(składników).
Maj˛acdanyniesko ´ nczonyci˛agliczb a1 ;a2 ;:::; niesko ´ nczon˛asum˛ewyrazówtegoci˛agu a1 C a2 C mo ˙ zemyzapisa ´ cjako P1 k D1 ak ,cooznaczagranic˛e limn!1 Pn k D1 ak .Je ´ slita granicanieistnieje,toszeregjest rozbie ˙ zny;wprzeciwnymraziejeston zbie ˙ zny.Wyrazyszeregu zbieznegoniezawszemoznadodawa ´ cwdowolnejkolejno ´ sci.Moznajednaktakdodawa ´ cwyrazy szeregubezwzgl˛edniezbie ˙ znego,tzn.takiegoszeregu P1 k D1 ak , ˙ zeszereg P1 k D1 jak j równie ˙ z jestzbie ˙ zny.
Liniowo ´ s ´ c
Dlakazdejliczbyrzeczywistej c ikazdejparysko ´ nczonychci˛agów a1 ;a2 ;:::;an i b1 ;b2 ;:::;bn
k D1 1 k.k C 1/ Je ´ slizapiszemyka ˙ zdywyrazwpostaci 1 k.k C 1/ D 1 k 1 k C 1 ; tootrzymamy n 1 X
Przeindeksowaniesum
Szeregmoznaniekiedyupro ´ sci ´ c,zmieniaj˛acjegoindeksowanie,cz˛estoprzezodwróceniekolejno´ sciskładników.Rozwa ˙ zmyszereg Pn k D0 an k .Poniewa ˙ zskładnikamitejsumys˛ a an ;an 1 ;:::; a0 ,mozemyodwróci ´ ckolejno ´ s ´ csumowania,podstawiaj˛ac j D n k iprzepisuj˛act˛esum˛ejako
n X
k D0 an k D n X j D0 aj : (A.13)
Ogólnie,je ´ sliindekssumowaniawyst˛epujewewn˛atrzsumyzeznakiemminus,wartopomy ´ sle ´ c oprzeindeksowaniu.
Jakoprzykładrozwa ˙ zmysum˛e
n X
k D1 1
n k C 1 :
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Indeks k wyst˛epujezeznakiemminuswwyrazeniu 1=.n k C 1/.Ifaktycznie,mozemyupro ´ sci ´ c t˛esum˛e,wykonuj˛acpodstawienie j D n k C 1,sk˛addostajemy
n X k D1 1 n k C 1 D n X j D1 1 j ; (A.14)
czylizwykłyszeregharmoniczny(A.8).
Iloczyny
Sko ´ nczonyiloczyn a1 a2 an mo ˙ zemyzapisa ´ cwpostaci
n Y k D1 ak :
Jezeli n D 0,towarto ´ s ´ ciloczynudefiniujemyjako1.Je ´ sliwszystkieczynnikis˛adodatnie,to mo ˙ zemyprzekształci ´ cwzórziloczynemnawzórzsum˛a,korzystaj˛aczto ˙ zsamo ´ sci
lg n Y k D1 ak ! D n X k D1 lg ak :
Zadania
A.1-1
Korzystaj˛aczwłasno ´ sciliniowo ´ scisumowania,udowodnij, ˙ ze Pn k D1 O.fk .i// D O .Pn k D1 fk .i//.
A.1-2
Znajd´zprostywzórnawarto ´ s ´ csumy Pn k D1 .2k 1/
A.1-3
Zinterpretujliczb˛edziesi˛etn˛ a 111111111 wkontek ´ sciewzoru(A.6).
A.1-4
Obliczwarto ´ s ´ cszereguniesko ´ nczonego 1 1 2 C 1 4 1 8 C 1 16 .
A.1-5
Niech c 0 b˛edziestał˛a.Pokaz, ze Pn k D1 k c D ‚.nc C1 /
A.1-6
Wyka ˙ z, ˙ ze P1 k D0 k 2 x k D x.1 C x/=.1 x/3 dla jx j <1.
A.1-7
Udowodnij, ze Pn k D1 pk lg k D ‚.n3=2 lg1=2 n/.(Wskazówka: Pokazosobnoasymptotyczne górneidolneoszacowanie).
1074
? A.1-8
Manipuluj˛acwyrazamiszereguharmonicznego,wyka ˙ z, ˙ ze Pn k D1 1=.2k 1/ D ln.pn/ C O.1/
? A.1-9
Wyka ˙ z, ˙ ze P1 k D0 .k 1/=2k D 0.
? A.1-10
Obliczwarto ´ s ´ csumy P1 k D1 .2k C 1/x 2k dla jx j <1.
Podstawow˛ametod˛awyznaczaniawarto ´ scisumjestzastosowanieindukcjimatematycznej. Przykładowowykazemy, zesumaszereguarytmetycznego Pn k D1 k wynosi 1 2 n.n C 1/.Dla
n D 1 mamy n.n C 1/=2 D 1 2=2 D 1,cojestrówne P1 k D1 k .Przyjmujemyzało˙ zenieindukcyjne, ˙ zewzórzachodzidla n,idowodzimy, ˙ zezachodzirównie ˙ zdla n C 1. Mamy
nC1 X
k D1 k D n X k D1 k C .n C 1/
D n.n C 1/ 2 C .n C 1/
D n2 C n C 2n C 2 2
D .n C 1/.n C 2/ 2 :
Nietrzebazawszezgadywa ´ cdokładnejwarto ´ scisumy, zebymócstosowa ´ cindukcj˛ematematyczn˛a.Mo ˙ zemyzniejrównie ˙ zkorzysta ´ c,gdyszacujemyt˛ewarto ´ s ´ czgórylubzdołu.Przykładowowykazemy, zesumaszeregugeometrycznego Pn k D0 3k wynosi O.3n /,adokładniej, ze Pn k D0 3k c3n dlapewnejstałej c .Wprzypadkubrzegowym n D 0 mamy P0 k D0 3k D 1 c 1, oile c 1.Przyzało ˙ zeniu, ˙ zeoszacowaniejestprawdziwedla n,udowodnimy, ˙ zejestono równiezprawdziwedla n C 1.Mamy
´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
nC1 X k D0 3k D n X k D0 3k C 3nC1
c3n C 3nC1 (zzałozeniaindukcyjnego)
D 1 3 C 1 c c3nC1
c3nC1 ;
oile .1=3 C 1=c/ 1 lub,równowa ˙ znie, c 3=2.Zatem Pn k D0 3k D O.3n /,cobyłodo okazania.
Nalezybardzoostroznieuzywa ´ cnotacjiasymptotycznej,kiedydowodzisi˛eprawdziwo ´ sci oszacowa ´ nindukcyjnie.Przyjrzyjmysi˛eprzykładowoniepoprawnemudowodowirówno ´ sci Pn k D1 k D O.n/.Napewno P1 k D1 k D O.1/.Zakładaj˛ac, zetooszacowaniesumyzachodzi dla n,dowodzimyteraz, zezachodzidla n C 1:
nC1 X
k D1 k D n X k D1 k C .n C 1/
D O.n/ C .n C 1/ (H ´ zle!
D O.n C 1/:
Bł˛adwrozumowaniupoleganatym, ˙ ze„stała”ukrytawnotacji O ro ´ snierazemzewzrostem n, wi˛ecwrzeczywisto ´ sciniejeststał˛a.Niepokazali ´ smy, zetasamastałajestdobradla wszystkich n.
Ogólnie,dlaszeregu Pn k D1 ak ,przyjmuj˛ac amax D max fak W 1 k ng,mamy n X k D1 ak namax :
Metodapolegaj˛acanaoszacowaniukazdegowyrazuszereguprzeznajwi˛ekszywyraztego szeregujestsłaba,je ´ slidanyszeregmo ˙ znaoszacowa ´ cprzezszereggeometryczny.Przypu ´ s ´ cmy, zemamydanyszereg Pn k D0 ak ,wktórym ak C1 =ak r dlakazdego k 0,przyczym 0<r<1 jeststał˛a.Poniewaz ak a0 r k ,nasz˛asum˛emoznaoszacowa ´ cprzezzbieznyniesko ´ nczonyszereg geometryczny:
n X
k D0 ak 1 X k D0 a0 r k
D a0 1 X k D0 r k (A.15)
D a0 1 1 r : (A.16)
Mo ˙ zemyskorzysta ´ cztejmetodydooszacowaniasumy P1 k D1 .k=3k /.Abyzacz˛ a ´ csumowanieod k D 0,zapiszmyt˛esum˛ejako P1 k D0 ..k C 1/=3k C1 /.Pierwszywyrazjestrówny 1=3, astosunekdwóchkolejnychwyrazówwynosi
Stosunek .k C 1/-szegoi k -tegowyrazutegoszereguwynosi k=.k C 1/<1,leczszeregtennie jestograniczonymalej˛acymszeregiemgeometrycznym.Wceluograniczeniadanegoszeregu szeregiemgeometrycznymnale ˙ zypokaza ´ c, ˙ zeistnieje r<1,którejest stałe itakie, ˙ zestosunek ka ˙ zdejparykolejnychwyrazówjestniewi˛ekszyod r .Dlaszereguharmonicznegonieistnieje takie r ,poniewazstosunektenstajesi˛edowolniebliski1.
oszacowanieosobnokazdegoztakpowstałychszeregów.Przypu ´ s ´ cmynaprzykład, zepróbujemy znale´z ´ cdolneograniczenieszereguarytmetycznego Pn k D1 k ,októrymwiemyju ˙ z, ˙ zejego górnymograniczeniemjest n2 .Mo ˙ zemyspróbowa ´ cograniczy ´ czdołuka ˙ zdyzwyrazówsumy przezjejnajmniejszywyraz,czyli1.Otrzymamywówczasdolneograniczenierówne n –bardzo odległeodnaszejgórnejgranicy n2 .
Lepszeograniczeniedolneotrzymamy,rozkładaj˛actenszeregnasum˛eszeregów.Dla wygodyprzyjmijmy, ze n jestparzyste.Mamywtedy
n X k D1 k D n=2 X k D1 k C n X k Dn=2C1 k n=2 X k D1 0 C n X k Dn=2C1 .n=2/
D .n=2/2
D .n2 /; cojestasymptotyczniedokładnymograniczeniem,poniewaz Pn k D1 k D O.n2 /.
Sum˛eotrzyman˛aprzyanaliziealgorytmucz˛estomo ˙ zemyrozdzieli ´ c,anast˛epniezaniedba ´ c stał˛aliczb˛ejejwyrazówpocz˛atkowych.T˛emetod˛estosujemy,kiedywszystkiewyrazy ak sumy Pn k D0 ak s˛aniezalezneod n.Dladowolnejstałej k0 >0 mozemywówczasnapisa ´ c n X k D0 ak D k0 1 X k D0 ak C n X k Dk0 ak
D ‚.1/ C n X k Dk0 ak
poniewazpocz˛atkowewyrazysumys˛astałeiichliczbajeststała.Nast˛epniemozemyuzy ´ c innychmetodwceluoszacowaniasumy Pn k Dk0 ak .Tametodamazastosowanietakzedosum niesko ´ nczonych.Chc˛acnaprzykładznale´z ´ casymptotycznegórneograniczeniesumy P1 k D0 k 2 2k , nalezyzauwazy ´ c, zedla k 3 stosunekkolejnychwyrazówtejsumywynosi
.k C 1/2 =2k C1 k 2 =2k D .k C 1/2 2k 2 8 9 :
Sum˛emo ˙ znazatemrozbi ´ cna 1 X
(przeindeksowanie)
2 X k D0 k 2 2k C 9 8 1 X k D0 8 9 k (znierówno ´ sci(A.15))
D .0 C 1=2 C 1/ C 9=8 1 8=9 (zewzoru(A.16))
D O.1/:
Metod˛erozdzielaniasummoznazastosowa ´ cdobadaniaasymptotycznychoszacowa ´ n wprzypadkachduzobardziejskomplikowanychniztenrozwazanypowyzej.Mozliwejestna przykładuzyskanieoszacowania O.lg n/ dlaszereguharmonicznego(A.9):
Hn D n X k D1 1 k :
Pomysłpoleganarozdzieleniuzakresuindeksówod1do n na blg nc C 1 cz˛e ´ sciiograniczeniu sumykazdejcz˛e ´ sciprzez1.Dla i D 0;1;:::; blg nc cz˛e ´ s ´ c i -taskładasi˛ezkolejnychwyrazów,poczynaj˛acod 1=2i ,alebezwyrazu 1=2i C1 .Ostatniacz˛e ´ s ´ cmo ˙ zezawiera ´ cwyrazyspoza oryginalnegoszereguharmonicznego.Zatemmamy
n X k D1 1 k blg nc X i D0 2i 1 X j D0 1 2i C j blg n
blg nc
i D0 1 lg n C 1: (A.17)
Przybli ˙ zaniezapomoc˛acałek
Je ˙ zelisumadajesi˛ewyrazi ´ cwpostaci Pn k Dm f.k/,gdzie f.k/ jestfunkcj˛amonotonicznie rosn˛ac˛a(niemalej˛ac˛a),mozemyoszacowa ´ cj˛azapomoc˛acałek
Z n m 1 f.x/dx n X k Dm f.k/ Z nC1 m f.x/dx: (A.18)
RysunekA.1 Przyblizeniesumy Pn k Dm f.k/ zapomoc˛acałek.Wkazdymprostok˛aciejestzapisanejegopole, apolewszystkichprostok˛atówreprezentujewarto ´ s ´ csumy.Całkatoszaryobszarpodkrzyw˛a.Je ´ sliporównamyze sob˛aobszaryzcz˛e ´ sci(a),otrzymamynierówno ´ s ´ c R n m 1 f.x/dx Pn k Dm f.k/,aprzesuwaj˛acprostok˛atyojeden wprawo,dostaniemyoszacowanie Pn k Dm f.k/ R nC1 m f.x/dx ,cozostałopokazanewcz˛e ´ sci(b)
Wwielurozdziałachtejksi˛ a ˙ zkistykamysi˛ezelementamimatematykidyskretnej.Wtymdodatku dokładniejprzedstawimykonwencjenotacyjne,definicjeipodstawowewłasno ´ scizbiorów,relacji, funkcji,grafówidrzew.Czytelnicydobrzezaznajomieniztymmateriałemmog˛atendodatek tylkoprzejrze ´ c.
B.1Zbiory
Zbiór jestkolekcj˛arozró ˙ znialnychobiektów,zwanych elementami zbioru.Je ˙ zeliobiekt x jest elementemzbioru S ,topiszemy x 2 S (czytaj:„x jestelementemzbioru S ”lubkrócej„x nale ˙ zydo S ”).Je ´ sli x niejestelementem S ,topiszemy x … S .Mo ˙ zemyzdefiniowa ´ czbiór przezwypisaniejegoelementówwnawiasachklamrowych.Mo ˙ zemynaprzykładzapisa ´ czbiór S zawieraj˛acyelementy1,2i3w postaci S D f1;2;3g.Poniewaz2jestelementemzbioru S , a4nie,mo ˙ zemyzapisa ´ c 2 2 S i 4 … S .Elementyzbiorunies˛auporz˛adkowaneizbiórnie mozezawiera ´ cdwóchtakichsamychelementów1 .Zbiory A i B s˛ a równe,czyli A D B ,jezeli zawieraj˛atesameelementy.Naprzykład f1;2;3;1g D f1;2;3g D f3;2;1g
Dlacz˛estospotykanychzbiorówu ˙ zywamyszczególnychoznacze ´ n: ; oznacza zbiórpusty,tzn.zbiórniezawieraj˛acy ˙ zadnegoelementu.
Z oznaczazbiór liczbcałkowitych,tzn.zbiór f:::; 2; 1;0;1;2;:::g.
R oznaczazbiór liczbrzeczywistych
N oznaczazbiór liczbnaturalnych,tzn.zbiór f0;1;2;:::g2 .
Je ´ sliwszystkieelementyzbioru A nale ˙ z˛adozbioru B ,tzn.je ˙ zeli x 2 A implikuje x 2 B ,to piszemy A B imówimy, ze A jest podzbiorem zbioru B .Zbiór A jest podzbioremwła´sciwym
2 Wedługniektórychautorówliczbynaturalnezaczynaj˛asi˛eod1.Jednakobecnieprzyj˛ełosi˛e, ˙ ze0jestrównie ˙ zliczb˛ a naturaln˛a.
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
zbioru B ,cozapisujemy A B ,gdy A B ,ale A ¤ B .(Niektórzyautorzyuzywaj˛asymbolu „ ”dooznaczeniazwykłegozawieraniazamiastzawieraniawła ´ sciwego).Ka ˙ zdyzbiórjestswoim własnympodzbiorem:dlaka ˙ zdego A zachodzi A A.Dlazbiorów A i B zachodzi A D B wtedyitylkowtedy,gdy A B i B A.Relacjabyciapodzbioremjestprzechodnia(patrz str.1088):dladowolnychzbiorów A, B i C :je ˙ zeli A B i B C ,to A C .Zbiórpustyjest podzbioremka ˙ zdegozbioru:dladowolnegozbioru A zachodzi ; A.
Niekiedydefiniujesi˛ezbioryzapomoc˛ainnychzbiorów.Maj˛acdanyzbiór A,mozemy zdefiniowa ´ czbiór B A przezpodaniewłasno ´ sciwyró ˙ zniaj˛acejelementy B z A.Mo ˙ zemyna przykładokre ´ sli ´ czbiórliczbparzystychjako fx W x 2 Z i x=2 jestliczb˛acałkowit˛ ag.Dwukropek wtymzapisieoznacza„takie, ze”.(Niektórzyautorzyzamiastdwukropkauzywaj˛apionowej kreski).
Maj˛acdanezbiory A i B ,mozemydefiniowa ´ cnowezbioryzapomoc˛ a operacjinazbiorach:
Przeci˛eciem (cz˛e ´ sci˛awspóln˛a)zbiorów A i B nazywamyzbiór
RysunekB.1 DiagramVennailustruj˛acypierwszeprawoDeMorgana(B.2).Ka ˙ zdyzezbiorów A, B i C jest reprezentowanyprzezjednokoło
Prawarozdzielno ´ sci:
A \ .B [ C/ D .A \ B/ [ .A \ C/; A [ .B \ C/ D .A [ B/ \ .A [ C/:
Prawapochłaniania:
A \ .A [ B/ D A;
A [ .A \ B/ D A:
PrawaDeMorgana:
A .B \ C/ D .A B/ [ .A C/;
A .B [ C/ D .A B/ \ .A C/:
PierwszezprawDeMorganajestzilustrowanenarys.B.1przyu ˙ zyciu diagramuVenna,gdzie zbiorys˛aprzedstawionewpostaciobszarównapłaszczy´znie. Cz˛estowszystkiezrozwazanychzbioróws˛apodzbioramijakiego ´ swi˛ekszegozbioru U ,zwanego uniwersum.Gdyrozwa ˙ zamynaprzykładró ˙ znezbioryskładaj˛acesi˛ezliczbcałkowitych, wtedyzbiórliczbcałkowitych Z stanowiuniwersum.Maj˛acdaneuniwersum U ,definiujemy dopełnienie zbioru A jako A D U A D fx W x 2 U i x 2 Ag.Dladowolnegozbioru A U zachodz˛anast˛epuj˛aceprawa:
Zbiory A i B s˛ a rozł˛aczne,jezeliniemaj˛awspólnychelementów,tzn.jezeli A \ B D;. Rodzina zbiorów S1 ;S2 ;:::,sko ´ nczonalubniesko ´ nczona,tozbiórzbiorów,któregoelementami s˛azbiory Si .Rodzina S D fSi g niepustychzbiorówtworzy podział zbioru S ,je ˙ zeli
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
zbiorys˛ a paramirozł˛aczne,cooznacza, zeje ´ sli Si ;Sj 2 S i i ¤ j ,to Si \ Sj D;,oraz
ichsum˛ajest S :
S D [ Si 2S Si :
Innymisłowy, S tworzypodział S ,je ˙ zelika ˙ zdyelement S wyst˛epujewdokładniejednym zbiorze Si 2 S .
Liczbaelementówwzbiorze S oznaczanajako jS j jestnazywana moc˛ a (lub rozmiarem) zbioru.Dwazbiorymaj˛at˛esam˛amoc,je ´ sliistniejemi˛edzynimiodwzorowaniewzajemniejednoznaczne.Moczbiorupustegowynosi j;j D 0.Je ´ slimoczbiorujestliczb˛anaturaln˛a,tomówimy, zezbiórjest sko´nczony;wprzeciwnymwypadkujeston niesko´nczony.Zbiórniesko ´ nczony, którymo ˙ znaodwzorowa ´ cwzajemniejednoznaczniewzbiórliczbnaturalnych N ,jest przeliczalny;wprzeciwnymraziezbiórjest nieprzeliczalny.Naprzykład,zbiórliczbcałkowitych Z jest przeliczalny,alezbiórliczbrzeczywistych R jestnieprzeliczalny.
Dladowolnychdwóchsko ´ nczonychzbiorów A i B zachodziwzór
jA [ B j D jAj C jB j jA \ B j ; (B.3) sk˛adwynika, ˙ ze
jA [ B j jAj C jB j
Je ´ sli A i B s˛arozł˛aczne,to jA \ B j D 0,wi˛ec jA [ B j D jAj C jB j.Je ´ sli A B ,to jAj jB j
Sko ´ nczonyzbióro n elementachnazywasi˛eczasami n-zbiorem;1-zbiórjestnazywany singletonem.Podzbiór k -elementowynazywamy k-podzbiorem.
Zbiórwszystkichpodzbiorówzbioru S ,ł˛aczniezezbiorempustymicałymzbiorem S , oznaczasi˛eprzez 2S inazywa zbiorempot˛egowym S .Naprzykład 2fa;b g D f;; fa g ; fb g ; fa;b gg. Zbiórpot˛egowysko ´ nczonegozbioru S mamoc 2jS j (patrzzad.B.1-5).
Czasamizajmujemysi˛epodobnymidozbiorówstrukturami,wktórychelementys˛auporz˛adkowane. Par˛euporz˛adkowan˛ a zło ˙ zon˛azdwóchelementów a i b oznaczasi˛eprzez .a;b/ idefiniujeformalniejakozbiór .a;b/ D fa; fa;b gg.Parauporz˛adkowana .a;b/ nie jestwi˛ec tymsamymcoparauporz˛adkowana .b;a/.
Iloczynkartezja´nski dwóchzbiorów A i B ,oznaczany A B ,jestzbioremwszystkich takichparuporz˛adkowanych, zepierwszyelementparyjestelementemzbioru A,adrugi–elementemzbioru B .Bardziejformalnie,
A B D f.a;b/ W a 2 A i b 2 B g
Naprzykład fa;b g fa;b;c g D f.a;a/;.a;b/;.a;c/;.b;a/;.b;b/;.b;c/g.Je ´ sli A i B s˛azbioramisko ´ nczonymi,tomocichiloczynukartezja ´ nskiegowynosi
jA B j D jAj jB j : (B.4)
Iloczynkartezja ´ nski n zbiorów A1 ;A2 ;:::;An jestzbiorem n-tek
A1 A2 An D f.a1 ;a2 ;:::;an / W ai 2 Ai ;i D 1;2;:::;ng :
Iloczynkartezja ´ nskipojedynczegozbioru A przezsamegosiebie n razyoznaczamyprzez
An D A A A:
Je ´ slizbiór A jestsko ´ nczony,tomoctegoiloczynukartezja ´ nskiegowynosi jAn j D jAjn .Kazd˛ a n-tk˛emo ˙ znarównie ˙ ztraktowa ´ cjakosko ´ nczonyci˛agdługo ´ sci n (patrzstr.1092).
Przedziałytospójnepodzbioryzbioruliczbrzeczywistych.Oznaczamyjezapomoc˛anawiasówokr˛agłychlubkwadratowych.Dladanychliczbrzeczywistych a i b przedział domkni˛ety Œa;b tozbiór fx 2 R W a x b g liczbrzeczywistychle ˙ z˛acychmi˛edzy a i b , wł˛aczniez a i b .(Je ´ sli a>b ,toztejdefinicjiwynika, ze Œa;b D;). Przedziałotwarty .a;b/ D fx 2 R W a<x<b g niezawiera zadnegozko ´ ncowychpunktów.S˛adwa przedziały półotwarte Œa;b/ D fx 2 R W a x<b g i .a;b D fx 2 R W a<x b g,zktórychka ˙ zdynie zawierajednegozpunktówko ´ ncowych.
Moznarówniezzdefiniowa ´ cprzedziałyliczbcałkowitych,zast˛epuj˛acwpowyzszychdefinicjach R przez Z.To,czyprzedziałjestokre ´ slonydlaliczbrzeczywistych,czycałkowitych, nalezyzazwyczajwywnioskowa ´ czkontekstu.
Relacjadwuargumentowa(binarna) R okre ´ slonawdwóchzbiorach A i B jestpodzbiorem iloczynukartezja ´ nskiego A B .Je ˙ zeli .a;b/ 2 R ,toczasamipiszemy: aRb .Kiedymówimy, ˙ ze R jestrelacj˛adwuargumentow˛awzbiorze A,oznaczato, ˙ ze R jestpodzbiorem A A.Na przykładrelacj˛a„mniejszeniz”wzbiorzeliczbnaturalnychjestzbiór f.a;b/ W a;b 2 N i a<b g.
Relacja n-argumentowa(n-arna)wzbiorach A1 ;A2 ;:::;An jestpodzbiorem A1 A2 An
Relacjadwuargumentowa R A A jest zwrotna,je ´ sli aRa
dlakazdego a 2 A.Naprzykład„D”i„ ”s˛arelacjamizwrotnymiwzbiorze N ,podczasgdy „<”niejest.Relacja R jest symetryczna,je ˙ zeli
aRb implikuje bRa
dladowolnych a;b 2 A.Naprzykładrelacja„D”jestsymetrycznaw N ,lecz„<”i„ ”ju ˙ znie s˛a.Relacja R jest przechodnia,jezeli
aRb i bRc implikuje aRc
dladowolnych a;b;c 2 A.Naprzykładrelacje„<”,„ ”i„D”s˛aprzechodnie,alerelacja R D f.a;b/ W a;b 2 N i a D b 1g niejest,poniewazz 3R4 i 4R5 niewynika, ze 3R5. Relacja,którajestzwrotna,symetrycznaiprzechodnia,nazywasi˛e relacj˛arównowa ˙ zno´sci Naprzykład„D”jestrelacj˛arównowa ˙ zno ´ sciwzbiorzeliczbnaturalnych,ale„<”ni˛aniejest. Je ´ sli R jestrelacj˛arównowazno ´ sciwzbiorze A,todladowolnego a 2 A klasaabstrakcji, zwanatakzeklas˛arównowazno ´ sci,elementu a jestzbiorem Œa D fb 2 A W aRb g wszystkich elementówrównowa ˙ znych a .Je ´ slinaprzykładzdefiniujemy R Df.a;b/ W a;b 2 N i a C b jest liczb˛aparzyst˛ ag,to R jestrelacj˛arównowazno ´ sci,poniewaz a C a jestparzyste(zwrotno ´ s ´ c), zparzysto ´ sci a C b wynikaparzysto ´ s ´ c b C a (symetria)orazje ´ sli a C b i b C c s˛aparzyste,to a C c jestparzyste(przechodnio ´ s ´ c).Klas˛aabstrakcjiliczby4jest Œ4 D f0;2;4;6;:::g,aklas˛ a abstrakcji3jest Œ3 D f1;3;5;7;:::g.Otopodstawowetwierdzeniedotycz˛aceklasabstrakcji:
Klasyabstrakcjirelacjirównowa ˙ zno ´ sci R wzbiorze A stanowi˛apodział A,aka ˙ zdypodział A okre ´ slarelacj˛erównowazno ´ sciw A,dlaktórejzbiorypodziałus˛aklasamiabstrakcji.
Dowód Wpierwszejcz˛e ´ scidowodumusimypokaza ´ c, zeklasyabstrakcjirelacji R s˛aniepustymi,paramirozł˛acznymizbiorami,którychsum˛ajest A.Poniewa ˙ z R jestzwrotna, a 2 Œa ,wi˛ec klasyabstrakcjis˛aniepuste;cowi˛ecej,poniewa ˙ zka ˙ zdyelement a 2 A nale ˙ zydoklasyabstrakcji Œa ,sum˛aklasabstrakcjijest A.Pozostajewykaza ´ c, zeklasyabstrakcjis˛aparamirozł˛aczne, tzn.je ´ slidwieklasyabstrakcji Œa i Œb maj˛awspólnyelement c ,tos˛awistocietymsamym zbiorem.Takwi˛ecje ´ sli aRc i bRc ,tozsymetriiwynika, cRb ,anast˛epniezprzechodnio ´ sci wynika aRb .Dladowolnegoelementu x 2 Œa mamy xRa ,awi˛eci xRb ,zczegowynika, ze Œa Œb .Podobnie, Œb Œa ,awi˛ec Œa D Œb . Cododrugiejcz˛e ´ scidowodu,niech A D fAi g b˛edziepodziałem A izdefiniujmy R D f.a;b/ W istnieje i takie, ze a 2 Ai i b 2 Ai g.Pokazemy, ze R jestrelacj˛arównowazno ´ sciw A Zwrotno ´ s ´ czachodzi,poniewa ˙ zztego, ˙ ze a 2 Ai ,wynika aRa .Symetriazachodzi,poniewa ˙ z je ´ sli aRb ,to a i b znajduj˛asi˛ewtymsamymzbiorze Ai ,wi˛ec bRa .Jezeli aRb i bRc , towszystkietrzyelementynalez˛adotegosamegozbioru,wi˛eczachodzi aRc ,sk˛adwynika przechodnio ´ s ´ c.Abyprzekona ´ csi˛e, ˙ zezbiorypodziałus˛aklasamiabstrakcji R ,zauwa ˙ zmy, ˙ ze je ´ sli a 2 Ai ,toztego, ze x 2 Œa ,wynika, ze x 2 Ai ,aztego, ze x 2 Ai ,wynika, ze x 2 Œa .
Relacjadwuargumentowa R wzbiorze A jest antysymetryczna,je ˙ zeli
aRb i bRa implikuje a D b:
Naprzykładrelacja„ ”wzbiorzeliczbnaturalnychjestantysymetryczna,boje ´ sli a b i b a ,to a D b .Relacja,którajestzwrotna,antysymetrycznaiprzechodnia,jestnazywana porz˛adkiemcz˛e´sciowym,azbiór,naktórymjestonazdefiniowana,nazywamy zbioremcz˛e´sciowo uporz˛adkowanym.Naprzykładrelacja„jestpotomkiem”jestrelacj˛aporz˛adkucz˛e ´ sciowego wzbiorzewszystkichludzi(je ´ slitraktujemykazdegojakowłasnegopotomka).
Wcz˛e ´ sciowouporz˛adkowanymzbiorze A mo ˙ zenieby ´ cpojedynczego„najwi˛ekszego” elementu a takiego, ˙ ze bRa dlawszystkich b 2 A.Zamiasttegomo ˙ zeistnie ´ cwieleelementów maksymalnych a ,takich zedla zadnego b ¤ a wzbiorze A niezachodzi aRb .Naprzykład w ´ sródpewnejliczbypudełekró ˙ znychrozmiarówmo ˙ zeby ´ ckilka„najwi˛ekszych”pudełek, którychniedasi˛eumie ´ sci ´ cw ˙ zadnyminnympudełku,aleniema ˙ zadnegopojedynczego „najwi˛ekszego”pudełka,doktóregomoznazmie ´ sci ´ ckazdeinnepudełko3 . Relacja R nazbiorze A jest relacj˛apełn˛ a,je ´ slidlaka ˙ zdychdwóchelementów a;b 2 A mamy aRb lub bRa (mog˛aby ´ cspełnioneobawarunki),tzn.ka ˙ zdedwaelementyzbioru A moznazestawi ´ czesob˛azapomoc˛arelacji R .Porz˛adekcz˛e ´ sciowy,któryjestrelacj˛apełn˛a, nazywamy pełnym lub liniowym.Naprzykładrelacja„ ”jestporz˛adkiemliniowymnazbiorze liczbnaturalnych,alerelacja„jestpotomkiem”niejestporz˛adkiemliniowymnazbiorzewszystkichludzi,poniewazistniej˛aosoby,zktórych zadnaniejestprzodkieminnej.Relacjapełna, którajestprzechodnia,aleniekonieczniezwrotnaiantysymetryczna,jestnazywana pełnym przedporz˛adkiem.
3 ´ Sci ´ slerzeczbior˛ac, ˙ zebyrelacja„mieszczeniasi˛ewewn˛atrz”byłaporz˛adkiemcz˛e ´ sciowym,trzebaprzyj˛ a ´ c, ˙ ze pudełkomie ´ scisi˛ewsamymsobie.
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Zadania
B.2-1
Udowodnij, zerelacjabyciapodzbiorem„ ”okre ´ slonawrodziniewszystkichpodzbiorów Z jestporz˛adkiemcz˛e ´ sciowym,alenieliniowym.
B.2-2
Wyka ˙ z, ˙ zedladowolnejdodatniejliczbycałkowitej n relacja„przystajemodulo n”jestrelacj˛ a równowazno ´ sciwzbiorzeliczbcałkowitych.(Mówimy, ze a b.mod n/,je ´ sliistnieje liczbacałkowita q taka, ze a b D qn).Najakieklasyabstrakcjitarelacjadzielizbiórliczb całkowitych?
Niech S b˛edziezbioremsko ´ nczonym,a R –relacj˛arównowa ˙ zno ´ scina S .Poka ˙ z, ˙ zeje ´ sli dodatkowo R jestantysymetryczna,toklasyabstrakcji S wzgl˛edemrelacji R s˛asingletonami.
B.2-5
ProfesorNarcissustwierdzi, zejezelirelacja R jestsymetrycznaiprzechodnia,tojestrówniez zwrotna.Podajenast˛epuj˛acydowód.Zsymetriiwynika, ˙ zeje ´ sli aRb ,to bRa .Zprzechodnio ´ sci wynikazatem aRa .Czyprofesormaracj˛e?
B.3Funkcje
Dladanychdwóchzbiorów A i B funkcj˛ a f nazywamyrelacj˛edwuargumentow˛aw A B otej własno ´ sci, ˙ zedlaka ˙ zdego a 2 A istniejedokładniejedno b 2 B takie, ˙ ze .a;b/ 2 f .Zbiór A nazywasi˛e dziedzin˛ a funkcji f ,azbiór B – przeciwdziedzin˛ a funkcji f .Czasamizapisujemy f W A ! B ;je ´ sli .a;b/ 2 f ,topiszemy b D f.a/,poniewa ˙ z b jestjednoznacznieokre ´ slone przezwybór a .
Intuicyjnie,funkcja f przyporz˛adkowujekazdemuelementowiz A elementz B . ˙ Zaden zelementówzezbioru A niemo ˙ zemie ´ cprzypisanychdwóchró ˙ znychelementówz B ,ale elementz B mo ˙ zeby ´ cprzypisanydwómró ˙ znymelementomzbioru A.Naprzykładrelacja dwuargumentowa
f D f.a;b/ W a;b 2 N i b D a mod 2g
jestfunkcj˛ a f W N ! f0;1g,poniewazkazdejliczbienaturalnej a jestprzypisanadokładnie jednawarto ´ s ´ c b z f0;1g,taka ˙ ze b D a mod 2.Naprzykład 0 D f.0/, 1 D f.1/, 0 D f.2/ itd. Natomiastrelacjadwuargumentowa
g D f.a;b/ W a;b 2 N i a C b jestparzysteg
niejestfunkcj˛a,poniewa ˙ z .1;3/ i .1;5/ nale ˙ z˛ado g ,wi˛ecje ´ sliwybierzemy a D 1,toniema dokładniejednego b takiego, ze .a;b/ 2 g . Dladanejfunkcji f W A ! B ,je ´ sli b D f.a/,tomówimy, ˙ ze a jest argumentem f , a b jest warto´sci˛ a f w a .Mo ˙ zemyokre ´ sli ´ cfunkcj˛eprzezpodaniejejwarto ´ scidlaka ˙ zdego elementuzjejdziedziny.Naprzykładmozemyzdefiniowa ´ c f.n/ D 2n dla n 2 N ,cooznacza f D f.n;2n/ W n 2 N g.Dwiefunkcje f i g s˛asobie równe,je ´ slimaj˛at˛esam˛adziedzin˛e iprzeciwdziedzin˛eije ´ slidlakazdego a zdziedziny f.a/ D g.a/.
Ci˛agsko´nczony odługo ´ sci n tofunkcja f ,którejdziedzinajestzbiorem f0;1;:::;n 1g Cz˛estookre ´ slamytakici˛agprzezwypisaniejegowarto ´ sciwnawiasachk˛atowych: hf.0/;f.1/; :::;f.n 1/i. Ci˛agniesko´nczony tofunkcja,którejdziedzin˛ajestzbiórliczbnaturalnych N . Naprzykładci˛agFibonacciego,zdefiniowanywzorem(3.22),jestci˛agiemniesko ´ nczonym h0;1;1;2;3;5;8;13;21;:::i.
Kiedydziedzin˛afunkcji f jestiloczynkartezja ´ nski,cz˛estopomijasi˛edodatkowenawiasy otaczaj˛aceargumentfunkcji f .Je ˙ zelinaprzykład f W A1 A2 An ! B ,tonapiszemy b D f.a1 ;a2 ;:::;an / zamiast b D f..a1 ;a2 ;:::;an //.Ka ˙ zde ai nazywamywtedy argumentem funkcji f ,pomimo zetechnicznierzeczbior˛ac(pojedynczy)argument f jest n-tk˛ a .a1 ;a2 ;:::;an /
Je ´ sli f W A ! B jestfunkcj˛ai b D f.a/,tomówimy, ˙ ze b jest obrazem a przyfunkcji f . Obrazzbioru A0 A przy f jestzdefiniowanyjako
f.A0 / D fb 2 B W b D f.a/ dlapewnego a 2 A0 g : Zakres (zbiórwarto ´ sci)funkcji f toobrazjejdziedziny,czyli f.A/.Naprzykładzakresemfunkcji f W N ! N okre ´ slonejjako f.n/ D 2n jest f.N / D fm W m D 2n dlapewnego n 2 N g, inaczejmówi˛ac,zakresemjestzbiórparzystychliczbnaturalnych.
Funkcjajest surjekcj˛ a,je ´ slijejzbiórwarto ´ scijestjejcał˛aprzeciwdziedzin˛a.Naprzykład funkcja f.n/ D bn=2c jestsurjekcj˛az N w N ,poniewa ˙ zka ˙ zdyelementzezbioru N pojawia si˛ejakowarto ´ s ´ c f dlapewnegoargumentu.Natomiastfunkcja f.n/ D 2n niejestsurjekcj˛az N w N ,poniewazdla zadnegoargumentuwarto ´ sci˛ a f niejestjakakolwiekliczbanieparzysta. Funkcja f.n/ D 2n jestjednak ˙ zesurjekcj˛azezbioruliczbnaturalnychwzbiórliczbparzystych.
Surjekcj˛e f W A ! B nazywamyczasamiodwzorowaniemzbioru A na zbiór B .Je ´ slimówimy, zefunkcja f jest„na”,oznaczato, zejestsurjekcj˛a.
Funkcja f W A ! B jest injekcj˛ a,je ´ slidlaró ˙ znychargumentów f przyjmujeró ˙ zne warto ´ sci,tzn.je ´ sli a ¤ a 0 implikuje f.a/ ¤ f.a 0 /.Naprzykładfunkcja f.n/ D 2n jest injekcj˛azezbioru N wzbiór N ,poniewa ˙ zka ˙ zdaliczbaparzysta b jestobrazemprzy f co najwy ˙ zejjednegoelementudziedziny,amianowicie b=2.Funkcja f.n/ Dbn=2c niejest injekcj˛a,poniewazwarto ´ s ´ c1moznauzyska ´ cdladwóchargumentów: f.2/ D 1 i f.3/ D 1. Injekcjajestczasaminazywanafunkcj˛ a ró ˙ znowarto´sciow˛ a (ang. one-to-onefunction).
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Funkcja f W A ! B jest bijekcj˛ a,je ´ slijestjednocze ´ sniesurjekcj˛aiinjekcj˛a.Naprzykład
funkcja f.n/ D . 1/n dn=2e jestbijekcj˛az N na Z:
0 ! 0; 1 ! 1; 2 ! 1; 3 ! 2; 4 ! 2; : :
Powyzszafunkcjajestinjekcj˛a,poniewaz zadenelementzezbioru Z niejestobrazemwi˛ecej ni ˙ zjednegoelementuzezbioru N ;jestsurjekcj˛a,poniewa ˙ zka ˙ zdyelementzbioru Z pojawia si˛ejakoobrazjakiego ´ selementuzbioru N .Tafunkcjajestzatembijekcj˛a.Bijekcjajestczasem nazywana odpowiednio´sci˛awzajemniejednoznaczn˛ a,poniewazł˛aczyparamielementydziedziny iprzeciwdziedziny.Bijekcjazezbioru A nasiebiejestniekiedynazywana permutacj˛ a. Kiedyfunkcja f jestbijekcj˛a,jej odwrotno´s´c f 1 jestzdefiniowanajako
f 1 .b/ D a wtedyitylkowtedy,gdy f.a/ D b:
Naprzykładodwrotno ´ sci˛afunkcji f.n/ D . 1/n dn=2e jest
f 1 .m/ D ( 2m; je ˙ zeli m 0; 2m 1; je ˙ zeli m<0:
Zadania
B.3-1
Niech A i B b˛ed˛azbioramisko ´ nczonymiiniech f W A ! B b˛edziefunkcj˛a.Wykaz, ze
(a)je ´ sli f jestinjekcj˛a,to jAj jB j;
(b)je ´ sli f jestsurjekcj˛a,to jAj jB j
B.3-2
Czyfunkcja f.x/ D x C 1 jestbijekcj˛a,kiedydziedzin˛aiprzeciwdziedzin˛ajest N ?Czyjest bijekcj˛a,kiedydziedzin˛aiprzeciwdziedzin˛ajest Z?
Wtymdodatkuprzedstawimydwarodzajegrafów:skierowane(zorientowane)inieskierowane (niezorientowane).Pewnedefinicje,zktórymispotykamysi˛ewliteraturzematematycznej, mog˛asi˛eró ˙ zni ´ codpodanychtutaj,leczwwi˛ekszo ´ sciprzypadkówró ˙ znicetes˛aniewielkie. Wpodrozdziale20.1pokazujemy,jakmoznareprezentowa ´ cgrafywpami˛ecikomputera. Grafskierowany (lub digraf )(ang. directedgraph) G jestopisanyjakopara .V;E/,gdzie V jestzbioremsko ´ nczonym,a E jestrelacj˛adwuargumentow˛aw V .Zbiór V jestnazywany zbioremwierzchołków G ,ajegoelementys˛anazywane wierzchołkami.Zbiór E jestnazywany zbioremkraw˛edzi G ,ajegoelementynazywamy kraw˛edziami.NarysunkuB.2(a)jestpokazany grafskierowanyozbiorzewierzchołków f1;2;3;4;5;6g.Wierzchołkis˛aprzedstawionejako kółka,akraw˛edziejakostrzałki.Zauwazmy, zemozliwejestistnienie p˛etli oddanegowierzchołka doniegosamego.
W grafienieskierowanym G D .V;E/ zbiórkraw˛edzi E tozbiór nieuporz˛adkowanych parwierzchołków.Oznaczato, zekraw˛ed´zjestzbiorem fu;v g,gdzie u;v 2 V i u ¤ v .Do oznaczeniakraw˛edzib˛edziemyu ˙ zywa ´ cnotacji .u;v/ zamiastzapisu fu;v g przeznaczonego dlazbiorów;zapisy .u;v/ i .v;u/ oznaczaj˛at˛esam˛akraw˛ed´z.Wgrafienieskierowanymnie mog˛awyst˛epowa ´ cp˛etle,wi˛eckazdakraw˛ed´zzawieradokładniedwaróznewierzchołki.Na rysunkuB.2(b)jestpokazanygrafnieskierowanyozbiorzewierzchołków f1;2;3;4;5;6g. Wieledefinicjidotycz˛acychgrafówskierowanychinieskierowanychjesttakichsamych, chociazniektóreterminymaj˛aniecoinneznaczeniewtychdwóchkontekstach.Je ´ sli .u;v/ jest kraw˛edzi˛agrafuskierowanego G D .V;E/,tomówimy, ˙ zekraw˛ed´z .u;v/ jest wychodz˛aca zwierzchołka u ijest wchodz˛aca dowierzchołka v .Naprzykładkraw˛edziewychodz˛acezwierzchołka2narys.B.2(a)to .2;2/, .2;4/ i .2;5/.Kraw˛edziewchodz˛acedowierzchołka2to .1;2/ i .2;2/.Je ´ sli .u;v/ jestkraw˛edzi˛agrafunieskierowanego G D .V;E/,tomówimy, ˙ ze .u;v/ jest incydentna zwierzchołkami u i v .NarysunkuB.2(b)kraw˛edzieincydentnezwierzchołkiem2 to .1;2/ i .2;5/
RysunekB.2 Grafyskierowaneinieskierowane.(a)Grafskierowany G D .V;E/,gdzie V D f1;2;3;4;5;6g i E Df.1;2/;.2;2/;.2;4/;.2;5/;.4;1/;.4;5/;.5;4/;.6;3/g.Kraw˛ed´z .2;2/ jestp˛etl˛a.(b)Grafnieskierowany G D .V;E/,gdzie V D f1;2;3;4;5;6g i E D f.1;2/;.1;5/;.2;5/;.3;6/g.Wierzchołek 4 jestizolowany.(c)Podgraf grafuzcz˛e ´ sci(a)indukowanyprzezzbiórwierzchołków f1;2;3;6g
´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Je ´ sli .u;v/ jestkraw˛edzi˛agrafu G D .V;E/,tomówimy, zewierzchołek v jest s˛asiedni wzgl˛edemwierzchołka u.Kiedygrafjestnieskierowany,relacjas˛asiedztwajestsymetryczna. Kiedygrafjestskierowany,relacjas˛asiedztwaniemusiby ´ csymetryczna.Je ´ sliwgrafieskierowanym v jestwierzchołkiems˛asiednimwzgl˛edem u,toczasemzapisujemytojako u ! v . NarysunkuB.2(a)i(b)wierzchołek2jests˛asiedniwzgl˛edemwierzchołka1,poniewa ˙ zkraw˛ed´z .1;2/ nale ˙ zydoobugrafów.Wierzchołek1 nie jests˛asiedniwzgl˛edemwierzchołka2na rys.B.2(a),poniewazkraw˛ed´z .2;1/ nienalezydografu. Stopniem wierzchołkawgrafienieskierowanymjestliczbaincydentnychznimkraw˛edzi. Naprzykładwierzchołek2narys.B.2(b)mastopie ´ n2.Wierzchołek,któregostopie ´ nwynosi0, takijakwierzchołek4narys.B2(b),jestnazywany izolowanym.Wgrafieskierowanym stopie´n wyj´sciowy wierzchołkajestliczb˛akraw˛edziwychodz˛acychzniego,a stopie´nwej´sciowy wierzchołkajestliczb˛akraw˛edzidoniegowchodz˛acych. Stopniem wierzchołkawgrafieskierowanym jestliczbab˛ed˛acasum˛ajegostopni:wej ´ sciowegoiwyj ´ sciowego.Wierzchołek2narys.B.2(a) mastopie ´ nwej ´ sciowy2,stopie ´ nwyj ´ sciowy3istopie ´ n5.
´ Scie ˙ zka (droga) długo´sci k zwierzchołka u dowierzchołka u0 wgrafie G D .V;E/ jest ci˛agiemwierzchołków hv0 ;v1 ;v2 ;:::;vk i takich, ˙ ze u D v0 , u0 D vk i .vi 1 ;vi / 2 E dla i D 1;2;:::;k .Długo ´ s ´ c ´ scie ˙ zkijestliczb˛ajejkraw˛edzi,którajesto1mniejszani ˙ z liczbawierzchołkówna ´ sciezce. ´ Sciezka zawiera wierzchołki v0 ;v1 ;:::;vk ikraw˛edzie .v0 ;v1 /;.v1 ;v2 /;:::;.vk 1 ;vk /.(Zawszeistnieje ´ scie ˙ zkaodługo ´ sci0z u do u).Je ´ sliistnieje
´ scie ˙ zka p z u do u0 ,tomówimy, ˙ ze u0 jest osi˛agalny z u po ´ scie ˙ zce p ,cozapisujemy: u p ❀ u0 ´ Scie ˙ zk˛enazywamy prost˛ a4 ,je ´ sliwszystkiejejwierzchołkis˛aró ˙ zne.NarysunkuB.2(a) ´ scie ˙ zka h1;2;5;4i jest ´ sciezk˛aprost˛aodługo ´ sci3. ´ Sciezka h2;5;4;5i niejest ´ sciezk˛aprost˛a. Pod´scie ˙ zka ´ scie ˙ zki p Dhv0 ;v1 ;:::;vk i jestci˛agiemjejkolejnychwierzchołków.Toznaczy, ˙ zedla dowolnych 0 i j k podci˛agwierzchołków hvi ;vi C1 ;:::;vj i jestpod ´ scie ˙ zk˛ a ´ scie ˙ zki p . Wgrafieskierowanym ´ sciezka hv0 ;v1 ;:::;vk i tworzy cykl ,je ´ sli v0 D vk ,a ´ sciezkazawiera conajmniejjedn˛akraw˛ed´z.Cyklnazywamy prostym,je ´ slidodatkowowierzchołki v1 ;v2 ;:::;vk s˛arózne.Cyklskładaj˛acysi˛ez k wierzchołkówma długo´s´c k .P˛etlajestcyklemodługo ´ sci1. Dwie ´ sciezki hv0 ;v1 ;v2 ;:::;vk 1 ;v0 i i hv 0 0 ;v 0 1 ;v 0 2 ;:::;v 0 k 1 ;v 0 0 i tworz˛atensamcykl,je ´ sli istniejeliczbacałkowita j taka, ˙ ze v 0 i D v.i Cj/ mod k dla i D 0;1;:::;k 1.NarysunkuB.2(a) ´ sciezka h1;2;4;1i tworzytensamcyklco ´ sciezki h2;4;1;2i i h4;1;2;4i.Jesttocyklprosty, natomiastcykl h1;2;4;5;4;1i niejestprosty.Cykl h2;2i złozonyzkraw˛edzi .2;2/ jestp˛etl˛a. Grafskierowanyniezawieraj˛acyp˛etlinazywamy prostym.Wgrafienieskierowanym ´ scie ˙ zka hv0 ;v1 ;:::;vk i tworzy cykl ,je ´ sli k>0, v0 D vk iwszystkiekraw˛edziena ´ sciezces˛arózne. Cykljest prosty,je ´ sliwierzchołki v1 ;v2 ;:::;vk s˛aró ˙ zne.Naprzykładnarys.B.2(b) ´ scie ˙ zka h1;2;5;1i tworzycyklprosty.Grafniezawieraj˛acycykliprostychnazywamy acyklicznym. Grafnieskierowanyjest spójny (ang. connected ),je ´ slikazdywierzchołekjestosi˛agalny zewszystkichinnychwierzchołków. Spójneskładowe (ang. connectedcomponents)grafunieskierowanegotoklasyabstrakcjiokre ´ slonejwzbiorzewierzchołkówrelacji„jestosi˛agalnyz”. Grafnarys.B.2(b)matrzyspójneskładowe: f1;2;5g, f3;6g i f4g.Kazdywierzchołekzezbioru
RysunekB.3 (a)Paraizomorficznychgrafów.Wierzchołkigórnegografumoznaodwzorowa ´ cnawierzchołki dolnegografuzapomoc˛afunkcji f.1/ D u;f.2/ D v;f.3/ D w;f.4/ D x;f.5/ D y;f.6/ D ´.(b)Dwa nieizomorficznegrafy:górnygrafmawierzchołekstopnia4,natomiastdolnytakiegoniema
f1;2;5g jestosi˛agalnyzkazdegoinnegowierzchołkawtymzbiorze.Grafnieskierowanyjest spójny,je ´ slimadokładniejedn˛aspójn˛askładow˛a.Kraw˛edziespójnejskładowejtote,które s˛aincydentnetylkozwierzchołkamitejskładowej;inaczejmówi˛ac,kraw˛ed´z .u;v/ nale ˙ zydo spójnejskładowejtylkowtedy,gdyzarówno u,jaki v s˛awierzchołkamitejskładowej. Grafskierowanyjest silniespójny (ang. stronglyconnected ),je ´ slika ˙ zdedwawierzchołki s˛aosi˛agalnejedenzdrugiego. Silniespójneskładowe grafuskierowanegos˛aklasamiabstrakcji relacji„s˛awzajemnieosi˛agalne”wzbiorzewierzchołków.Grafskierowanyjestsilniespójny, je ´ slimatylkojedn˛asilniespójn˛askładow˛a.Grafnarys.B.2(a)matrzysilniespójneskładowe: f1;2;4;5g, f3g i f6g.Wszystkieparywierzchołkówwzbiorze f1;2;4;5g s˛awzajemnieosi˛agalne. Wierzchołki f3;6g nietworz˛asilniespójnejskładowej,poniewazwierzchołek6niejestosi˛agalny zwierzchołka3.
Dwagrafy G D .V;E/ i G 0 D .V 0 ;E 0 / s˛ a izomorficzne,je ´ sliistniejebijekcja f W V ! V 0 taka, ze .u;v/ 2 E wtedyitylkowtedy,gdy .f.u/;f.v// 2 E 0 .Innymisłowy,mozemyprzenumerowa ´ cwierzchołki G tak,abybyływierzchołkami G 0 ,zzachowaniemodpowiadaj˛acychsobie kraw˛edziw G i G 0 .NarysunkuB.3(a)wida ´ cpar˛eizomorficznychgrafów G i G 0 zezbiorami wierzchołków,odpowiednio, V D f1;2;3;4;5;6g i V 0 D fu;v;w;x;y;´g.Odwzorowanie z V w V 0 daneprzez f.1/ D u;f.2/ D v;f.3/ D w;f.4/ D x;f.5/ D y;f.6/ D ´ jest wymagan˛abijekcj˛a.Grafynarys.B.3(b)nies˛aizomorficzne.Mimo zeobydwagrafymaj˛apo5 wierzchołkówipo7kraw˛edzi,tylkogórnygrafmawierzchołekstopnia4.
Mówimy, ˙ zegraf G 0 D .V 0 ;E 0 / jest podgrafem grafu G D .V;E/,je ´ sli V 0 V i E 0 E .
Dladanegozbioru V 0 V podgrafem G indukowanym przez V 0 jestgraf G 0 D .V 0 ;E 0 /,gdzie
Dladanegografunieskierowanego G D .V;E/ wersj˛askierowan˛ a grafu G nazywamygraf skierowany G 0 D .V;E 0 /,wktórym .u;v/ 2 E 0 wtedyitylkowtedy,gdy .u;v/ 2 E .Oznacza to, ˙ zeka ˙ zdakraw˛ed´znieskierowana .u;v/ grafu G zostajewwersjiskierowanejzast˛apiona przezdwiekraw˛edzieskierowane .u;v/ i .v;u/.Dlagrafuskierowanego G D .V;E/ jego wersj˛anieskierowan˛ a nazywamygrafnieskierowany G 0 D .V;E 0 /,wktórym .u;v/ 2 E 0 wtedy itylkowtedy,gdy u ¤ v i E zawieraconajmniejjedn˛azkraw˛edzi .u;v/ lub .v;u/.Oznacza to, zewersjanieskierowanazawierakraw˛edziegrafu G „zusuni˛etymskierowaniem”oraz usuni˛etymip˛etlami.(Poniewa ˙ z .u;v/ i .v;u/ s˛awgrafienieskierowanymt˛asam˛akraw˛edzi˛a, wersjanieskierowanagrafuskierowanegozawieraj˛atylkoraz,nawetje ´ sligrafskierowany zawieraobiekraw˛edzie .u;v/ i .v;u/).Wgrafieskierowanym G D .V;E/ s˛asiadem wierzchołka u jestdowolnywierzchołeks˛asiedniwzgl˛edem u wnieskierowanejwersji G .Toznaczy, ˙ ze v jests˛asiadem u,je ´ sli .u;v/ 2 E lub .v;u/ 2 E .Wgrafienieskierowanymwierzchołki u i v s˛ a s˛asiadami,je ´ slis˛as˛asiednie.
Niektórerodzajegrafówmaj˛anadanespecjalnenazwy. Grafpełny (ang. completegraph) jesttografnieskierowany,wktórymkazdaparawierzchołkówtowierzchołkis˛asiednie. Graf dwudzielny (ang. bipartitegraph)jesttografnieskierowany G D .V;E/,wktórymzbiór V mo ˙ znapodzieli ´ cnadwazbiory V1 i V2 takie, ˙ zeje ´ sli .u;v/ 2 E ,to u 2 V1 i v 2 V2 lub u 2 V2 i v 2 V1 .Oznaczato, zekazdakraw˛ed´zmako ´ ncewdwóchróznychzbiorach V1 i V2 .Acyklicznygrafnieskierowanynazywasi˛e lasem,aspójny,acyklicznygrafnieskierowanynazywasi˛e (wolnym)drzewem (patrzpodrozdz.B.5).Acyklicznygrafskierowany okre ´ slamyczasamiwskróciejako dag –odpierwszychliternazwyangielskiej directedacyclic graph. Istniej˛adwiestrukturypodobnedografów,zktórymimo ˙ zemysi˛eczasemspotka ´ c. Multigraf jestpodobnydografunieskierowanego,leczmozemie ´ czarównowielokrotnekraw˛edzie mi˛edzywierzchołkami(takiejakdwieró ˙ znekraw˛edzie .u;v/ i .u;v/),jakip˛etle. Hipergraf róznisi˛eodgrafunieskierowanegotym, zekazda hiperkraw˛ed´ z,zamiastł˛aczy ´ cdwawierzchołki,ł˛aczypewiendowolnypodzbiórwierzchołków.Wielealgorytmówzaprojektowanychdla zwykłychgrafówskierowanychinieskierowanychmo ˙ znazaadaptowa ´ cdotegotypustruktur grafopodobnych.
´ Sci˛agni˛ecie (ang. contraction)grafunieskierowanego G D .V;E/ wzdłuzkraw˛edzi e D .u;v/ tograf G 0 D .V 0 ;E 0 /,gdzie V 0 D V fu;v g [ fx g,przyczym x jestnowym wierzchołkiem.Zbiórkraw˛edzi E 0 tworzymyz E ,usuwaj˛ackraw˛ed´z .u;v/ orazdlakazdego wierzchołka w s˛asiedniegowzgl˛edem u lub v ,usuwaj˛ackraw˛edzie .u;w/ i .v;w/,oiletylkonale ˙ z˛ado E ,idodaj˛acnow˛akraw˛ed´z .x;w/.Wrezultacie u i v s˛a„ ´ sci˛agni˛ete”wjeden wierzchołek.
Niech G D .V;E/ b˛edziegrafemnieskierowanym.Nast˛epuj˛acestwierdzenias˛arównowa ˙ zne.
(1) G jestdrzewemwolnym.
(2)Kazdedwawierzchołki G s˛apoł˛aczonezesob˛adokładniejedn˛ a ´ sciezk˛aprost˛a.
(3) G jestspójny,leczje ´ sliusuniemyktór˛akolwiekzkraw˛edziz E ,topowstałygrafjest niespójny.
(4) G jestspójnyi jE j D jV j 1.
(5) G jestacyklicznyi jE j D jV j 1.
(6) G jestacykliczny,leczje ´ slidodamydo E jak˛akolwiekkraw˛ed´z,topowstałygrafzawiera cykl.
Dowód (1) ) (2):Poniewazdrzewojestspójne,kazdedwawierzchołki G s˛apoł˛aczone conajmniejjedn˛ a ´ sciezk˛aprost˛a.Niech u i v b˛ed˛awierzchołkamipoł˛aczonymidwiemaróznymi ´ scie ˙ zkamiprostymi p1 i p2 ,jaktowida ´ cnarys.B.5.Niech w b˛edziewierzchołkiem, wktórym ´ sciezkiporazpierwszysi˛erozchodz˛a;tzn. w jestpierwszymwierzchołkiem,przez któryprzechodz˛ a ´ sciezki p1 i p2 iktóregonast˛epnikiemna p1 jest x ,anast˛epnikiemna p2 jest y ,gdzie x ¤ y .Niech ´ b˛edziepierwszymwierzchołkiem,wktórym ´ scie ˙ zkischodz˛ a si˛eponownie;awi˛ec ´ jestpierwszymwierzchołkiempo w na p1 ,któryznajdujesi˛erówniez na p2 .Niech p 0 D w ! x ❀ ´ b˛edziepod ´ scie ˙ zk˛ a p1 ,któraprowadziz w przez x do ´,czyli p1 D u ❀ w p 0 ❀ ´ ❀ v ,iniech p 00 w ! y ❀ ´ b˛edziepod ´ sciezk˛ a p2 ,któraprowadziz w przez y do ´,czyli p2 D u ❀ w p 00 ❀ ´ ❀ v . ´ Sciezki p 0 i p 00 niemaj˛awspólnychwierzchołków pozaswoimiko ´ ncami.Zatem ´ scie ˙ zkaotrzymanaprzezzło ˙ zenie p 0 iodwróconej ´ scie ˙ zki p 00 jestcyklem,coprzeczyacykliczno ´ scidrzewa.Takwi˛ecje ´ sli G jestdrzewem,tomo ˙ zeistnie ´ c najwyzejjedna ´ sciezkaprostami˛edzydwomawierzchołkami. (2) ) (3):Je ´ slika ˙ zdedwawierzchołki G s˛apoł˛aczonejedyn˛ a ´ scie ˙ zk˛aprost˛a,to G jest spójny.Niech .u;v/ b˛edziedowoln˛akraw˛edzi˛az E .Takraw˛ed´zjest ´ scie ˙ zk˛az u do v ,musiwi˛ec
RysunekB.5 JedenzkrokówwdowodzietwierdzeniaB.2:jezeli(1) G jestdrzewemwolnym,to(2)dowolnedwa wierzchołki G s˛azesob˛apoł˛aczonejedyn˛ a ´ sciezk˛aprost˛a.Przypu ´ s ´ cmy(przezzaprzeczenie), zewierzchołki u i v s˛apoł˛aczonedwiemaró ˙ znymi ´ scie ˙ zkamiprostymi p1 i p2 ´ Scie ˙ zkitepierwszyrazrozchodz˛asi˛ewwierzchołku w ipierwszyrazschodz˛asi˛eponowniewwierzchołku ´ ´ Sciezka p 0 złozonarazemzodwrócon˛ a ´ sciezk˛ a p 00 tworzy cykl,coprowadzidosprzeczno ´ sci
by ´ cjedyn˛ a ´ scie ˙ zk˛ał˛acz˛ac˛ a u i v .Je ´ sliusuniemy .u;v/ z G ,przestanieistnie ´ c ´ scie ˙ zkaz u do v , wi˛ecoperacjatarozspójnia G (3) ) (4):Przyjmuj˛ac, ˙ zegraf G jestspójnyiuwzgl˛edniaj˛aczadanieB.4-3,mamy jE j jV j 1.Udowodnimyprzezindukcj˛e, ze jE j jV j 1.Grafspójnyo n D 1 lub n D 2 wierzchołkachma n 1 kraw˛edzi.Przyjmijmy, ze G ma n 3 wierzchołkówiwszystkiegrafy spełniaj˛ace(3)omniejni ˙ z n wierzchołkachspełniaj˛arównie ˙ zzale ˙ zno ´ s ´ c jE j jV j 1.Usuwaj˛ac dowoln˛akraw˛ed´zz G ,rozdzielamygrafna k 2 spójnychskładowych(faktycznie k D 2). Kazdaskładowaspełnia(3),boinaczej G niespełniałby(3).Rozwazmykazd˛aspójn˛askładow˛ a Vi zezbioremkraw˛edzi Vi jakoosobnedrzewowolne.Poniewa ˙ zka ˙ zdaspójnaskładowama mniejniz jV j wierzchołków,zzałozeniaindukcyjnegowynika, ze jEi j jVi j 1.Zatemł˛aczna liczbakraw˛edziwewszystkichskładowychrazemwynosiconajwy ˙ zej jV j k jV j 2.Je ´ sli dodamyusuni˛et˛akraw˛ed´z,tootrzymamy jE j jV j 1. (4) ) (5):Przypu ´ s ´ cmy, ze G jestspójnyi jE j D jV j 1.Musimywykaza ´ c, ze G jest acykliczny.Przypu ´ s ´ cmy, ˙ ze G macyklzawieraj˛acy k wierzchołków v1 ;v2 ;:::;vk ,ibezutraty ogólno ´ scizałó ˙ zmy, ˙ zetencykljestprosty.Niech Gk D .Vk ;Ek / b˛edziepodgrafemgrafu G stanowi˛acymwła ´ snietencykl.Zauwazmy, ze jVk j D jEk j D k .Je ´ sli k< jV j,tomusiistnie ´ c wierzchołek vk C1 2 V Vk ,któryjests˛asiadempewnegowierzchołka vi 2 Vk ,poniewa ˙ z G jestspójny.Zdefiniujmy Gk C1 D .Vk C1 ;Ek C1 / jakopodgraf G z Vk C1 D Vk [ fvk C1 g i Ek C1 D Ek [ f.vi ;vk C1 /g.Zauwazmy, ze jVk C1 j D jEk C1 j D k C 1.Jezeli k C 1< jV j,toid˛acdalej,mo ˙ zemywtensamsposóbzdefiniowa ´ c Gk C2 itd.,a ˙ zotrzymamy Gn D .Vn ;En /,gdzie n D jV j, Vn D V i jEn j D jVn j D jV j.Poniewa ˙ z Gn jestpodgrafem G ,mamy En E ,wi˛ec jE j jV j,cojestsprzecznezzałozeniem jE j D jV j 1.Takwi˛ec G jest acykliczny. (5) ) (6):Przypu ´ s ´ cmy, ze G jestacyklicznyi jE j D jV j 1.Niech k b˛edzieliczb˛ a spójnychskładowych G .Kazdazespójnychskładowychjestzdefinicjidrzewemwolnymiskoro (1)implikuje(5),liczbawszystkichkraw˛edziwewszystkichspójnychskładowych G wynosi jV j k .Takwi˛ecmusiby ´ c k D 1 iwrzeczywisto ´ sci G jestdrzewem.Poniewaz(1)implikuje (2),ka ˙ zdedwawierzchołki G s˛apoł˛aczonejedyn˛ a ´ scie ˙ zk˛aprost˛a.Dodaniedo G jakiejkolwiek kraw˛edzitworzyzatemcykl.
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
(6) ) (1):Załózmy, ze G jestacykliczny,aleje ´ slidodamydo E jak˛akolwiekkraw˛ed´z,to utworzymycykl.Musimywykaza ´ c, ˙ ze G jestspójny.Niech u i v b˛ed˛adowolnymiwierzchołkami G .Je ´ sli u i v nies˛as˛asiadami,toprzezdodaniekraw˛edzi .u;v/ utworzymycykl,którego wszystkiekraw˛edziepoza .u;v/ nalez˛ado G .Istniejezatem ´ sciezkaod u do v ,aponiewaz u i v zostaływybranedowolnie,wi˛ec G jestspójny.
Rozwazmyw˛ezeł x drzewaukorzenionego T okorzeniu r .Kazdyw˛ezeł y na ´ sciezce prostejz r do x nazywamy przodkiem (ang. ancestor )w˛ezła x .Je ´ sli y jestprzodkiem x ,to x jest potomkiem (ang. descendant )w˛ezła y .(Ka ˙ zdyw˛ezełjestjednocze ´ snieswoimprzodkiem ipotomkiem).Jezeli y jestprzodkiem x i x ¤ y ,to y jest wła´sciwymprzodkiem x ,a x jest wła´sciwympotomkiem y Poddrzewo okorzeniu x jestindukowanymprzezzbiórpotomków x drzewem,któregokorzeniemjest x .Naprzykładpoddrzewookorzeniuww˛e´zle8narys.B.6(a) zawieraw˛ezły8,6,5i9.
Je ´ sliostatni˛akraw˛edzi˛adrzewa T na ´ scie ˙ zceprostejodkorzenia r dow˛ezła x jest .y;x/,to y jest ojcem (poprzednikiem) x ,a x jest synem (nast˛epnikiem) y .Korze ´ njestjedynymw˛ezłem drzewa T ,któryniemaojca.Je ´ slidwaw˛ezłymaj˛ategosamegoojca,tonazywamyje bra´cmi.
W˛ezeł,któryniemasynów,jest w˛ezłemzewn˛etrznym lub li´sciem.W˛ezeł,któryniejestli ´ sciem, jest w˛ezłemwewn˛etrznym
Liczbasynóww˛ezła x drzewaukorzenionego T nazywasi˛e stopniem6 x .Długo ´ s ´ c ´ scie ˙ zki prostejodkorzenia r dow˛ezła x nazywasi˛e gł˛eboko´sci˛ a w˛ezła x wdrzewie T .Wszystkie w˛ezłymaj˛acet˛esam˛agł˛eboko ´ s ´ cwyznaczaj˛aodpowiadaj˛acyjej poziom drzewa. Wysoko ´ s ´ c w˛ezławdrzewietoliczbakraw˛edzinanajdłu ˙ zszej ´ scie ˙ zceprostejwdółodtegow˛ezładoli ´ scia; wysoko ´ s ´ cdrzewatowysoko ´ s ´ cjegokorzenia.Wysoko ´ s ´ cdrzewajesttakzerównanajwi˛ekszej gł˛eboko ´ sciw˛ezławdrzewie.
Drzewouporz˛adkowane jestdrzewemukorzenionym,wktórymsynowiekazdegozw˛ezłów s˛auporz˛adkowani.Toznaczy, zeje ´ sliw˛ezełma k synów,s˛atopierwszysyn,drugisyn, ...i k -ty syn.Dwadrzewawidocznenarys.B.6s˛aró ˙ znejakodrzewauporz˛adkowane,lecztakiesame jakodrzewaukorzenione.
B.5.3Drzewabinarneipozycyjne
Drzewabinarnenajłatwiejzdefiniowa ´ crekurencyjnie. Drzewobinarne T jeststruktur˛azdefiniowan˛anasko ´ nczonymzbiorzew˛ezłów,która:
Reprezentacj˛epozycyjn˛a,pozwalaj˛ac˛aodró ˙ zni ´ cdrzewabinarneoduporz˛adkowanych, mo ˙ znarozszerzy ´ cnadrzewamaj˛acewi˛ecejni ˙ z2synówww˛e´zle.W drzewiepozycyjnym synowietegosamegow˛ezłas˛aetykietowaniróznymiliczbamicałkowitymi.Mówimy, ze brakuje i -tegosyna,je ´ sliniemasynaetykietowanegoliczb˛ a i Drzeworz˛edu k (k-arne)jestdrzewem pozycyjnym,wktórym ˙ zadenw˛ezełniemasynówetykietowanychliczbamiwi˛ekszymini ˙ z k . Takwi˛ecdrzewobinarnejestdrzewem k -arnymz k D 2.
Pełnedrzewo k-arne jestdrzewemrz˛edu k ,wktórymwszystkieli ´ sciemaj˛at˛esam˛agł˛eboko ´ s ´ c,awszystkiew˛ezływewn˛etrznemaj˛astopie ´ n k .NarysunkuB.8wida ´ cpełnedrzewobinarne owysoko ´ sci3.Ileli ´ scimapełnedrzeworz˛edu k owysoko ´ sci h?Korze ´ nma k nast˛epników ogł˛eboko ´ sci1,zktórychka ˙ zdyma k nast˛epnikówogł˛eboko ´ sci2itd.Liczbaw˛ezłówogł˛eboko ´ sci d jestrówna k d .Wpełnymdrzewie k -arnymowysoko ´ sci h li ´ scies˛anagł˛eboko ´ sci h,
RysunekB.8 Pełnedrzewobinarneowysoko ´ sci 3 i 8 li ´ sciachoraz 7 w˛ezłachwewn˛etrznych
?
jestwi˛ec k h li ´ sci.St˛adwida ´ c, zewysoko ´ s ´ cdrzewapełnegorz˛edu k o n li ´ sciachwynosi logk n.
Liczbaw˛ezłówwewn˛etrznychdrzewapełnegorz˛edu k owysoko ´ sci h wynosi
(zrównania(A.6)nastr.1072).
Takwi˛ecpełnedrzewobinarneowysoko ´ sci h ma 2h 1 w˛ezłówwewn˛etrznych.
Zadania
B.5-1
Narysujwszystkiedrzewawolnezło ˙ zonez3wierzchołków x , y i ´.Narysujwszystkiedrzewa ukorzenioneow˛ezłach x , y i ´,wktórych x jestkorzeniem.Narysujwszystkiedrzewauporz˛adkowaneow˛ezłach x , y i ´,wktórych x jestkorzeniem.Narysujwszystkiedrzewabinarne ow˛ezłach x , y i ´,wktórych x jestkorzeniem.
B.5-2
Niech G D .V;E/ b˛edzieacyklicznymgrafemskierowanym,którymawierzchołek v0 2 V taki, ˙ zeistniejedokładniejedna ´ scie ˙ zkaz v0 doka ˙ zdegowierzchołka v 2 V .Udowodnij, ˙ ze nieskierowanawersjagrafu G tworzydrzewo.
Udowodnij, zedladowolnegocałkowitego k 1 istniejeregularnedrzewobinarneo k li ´ sciach.
B.5-5
Udowodnijprzezindukcj˛e, ˙ zewysoko ´ s ´ cdrzewabinarnegoo n w˛ezłachwynosiconajmniej blg nc.
B.5-6
Długo´s´c´scie ˙ zkiwewn˛etrznej regularnegodrzewabinarnegojestsum˛a,powszystkichw˛ezłach wewn˛etrznychdrzewa,gł˛eboko ´ scika ˙ zdegow˛ezła.Podobnie, długo´s´c´scie ˙ zkizewn˛etrznej jest sum˛a,powszystkichli ´ sciachdrzewa,gł˛eboko ´ scikazdegoli ´ scia.Rozwazmyregularnedrzewobinarneo n w˛ezłachwewn˛etrznych,długo ´ sci ´ sciezkiwewn˛etrznej i orazdługo ´ sci ´ sciezki zewn˛etrznej e .Udowodnij, ˙ ze e D i C 2n.
Problemy
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
? B.5-7
Niech„waga”li ´ scia x ogł˛eboko ´ sci d drzewabinarnego T b˛edziewyra ˙ zonawzorem w.x/ D 2 d
iniech L b˛edziezbioremli ´ scidrzewa T .Udowodnij, ˙ ze Px 2L w.x/ 1.(Nierówno ´ s ´ ctanazywa si˛e nierówno´sci˛aKrafta).
? B.5-8
Poka ˙ z, ˙ zeje ´ sli L 2,toka ˙ zdedrzewobinarneo L li ´ sciachzawierapoddrzewomaj˛acemi˛edzy L=3 a 2L=3 (wł˛acznie)li ´ sci.
B-1Kolorowaniegrafów
Dlagrafunieskierowanego G D .V;E/ k-kolorowanie G jestfunkcj˛ a c W V ! f1;2;:::;k g tak˛a, ze c.u/ ¤ c.v/ dlakazdejkraw˛edzi .u;v/ 2 E .Innymisłowy,liczby 1;2;:::;k reprezentuj˛ a k kolorów,as˛asiedniewierzchołkimusz˛aby ´ cinnychkolorów.
(a) Pokaz, zeusuwaj˛acjedn˛akraw˛ed´z,mozemypodzieli ´ cwierzchołkidowolnegodrzewabinarnegoo n wierzchołkachnadwazbiory A i B takie, ze jAj 3n=4 i jB j 3n=4
(c) Poka ˙ z, ˙ zeprzezusuni˛ecieconajwy ˙ zej O.lg n/ kraw˛edzimo ˙ zemypodzieli ´ cwierzchołki dowolnegodrzewao n wierzchołkachnadwazbiory A i B takie, ze jAj D bn=2c i jB j D dn=2e.
Uwagidododatku
G.Boolezapocz˛atkowałrozwójlogikisymbolicznejiwprowadziłwielepodstawowychoznacze ´ n dlazbiorówwksi˛ a ˙ zcewydanejw1854r.Współczesnateoriazbiorówzostałastworzonaprzez G.Cantorawlatach1874–1895.Cantorprzedewszystkimskupiłsi˛enazbiorachoniesko ´ nczonej liczno ´ sci.Termin„funkcja”jestzwi˛azanyznazwiskiemG.W.Leibniza,którypierwszyu ˙ zył gowzwi˛azkuzpewnymitypamiwzorówmatematycznych.Jegoograniczonadefinicjabyła uogólnianawielerazy.Pocz˛atkiteoriigrafówsi˛egaj˛a1736r.,kiedytoL.Eulerdowiódł, zenie dasi˛eprzej ´ s ´ c ˙ zadnegozsiedmiumostówKrólewcadokładniejednokrotnieiwróci ´ cdopunktu wyj ´ scia.
Regułasumy mówi, zeliczbamozliwo ´ sci,najakiemozemywybra ´ celementnalez˛acydo jednegozdwóchzbiorówrozł˛acznych,jestrównasumiemocytychzbiorów.Toznaczy, ˙ zeje ´ sli A i B s˛azbioramisko ´ nczonyminiemaj˛acymiwspólnychelementów,to jA [ B j D jAj C jB j, cowynikazrównania(B.3)nastr.1086.Naprzykładje ´ slikazdyznaknatablicyrejestracyjnej
DodatekCZliczanieiprawdopodobie´nstwo samochodujestcyfr˛alubliter˛a,toliczbamozliwo ´ scidlakazdejpozycjijestrówna 26 C 10 D 36, poniewa ˙ zjest 26 mo ˙ zliwo ´ sciwyboruliteryi10mo ˙ zliwo ´ sciwyborucyfry.
Regułailoczynu mówi, ˙ zeliczbamo ˙ zliwo ´ sci,najakiemo ˙ zemywybra ´ cuporz˛adkowan˛ a par˛eelementów,jestrównaliczbiemozliwo ´ sci,najakiemozemywybra ´ cpierwszyelement, pomno ˙ zonejprzezliczb˛emo ˙ zliwo ´ sci,najakiemo ˙ zemywybra ´ cdrugielement.Czylije ´ sli A i B s˛azbioramisko ´ nczonymi,to jA B j D jAj jB j,cojestpoprosturówno ´ sci˛a(B.4)nastr.1086. Naprzykład,je ´ slicukierniaoferuje 28 smakówlodówi4rodzajebakalii,toliczbamozliwych zestawówzło ˙ zonychzjednejgałkilodówijednejporcjibakaliiwynosi 28 4 D 112.
Słowa
Słowo nadzbioremsko ´ nczonym(alfabetem) S jesttoci˛agelementówzbioru S .Naprzykład istnieje8słówbinarnychdługo ´ sci3:
000;001;010;011;100;101;110;111: (Stosujemytutajskrótowyzapis,wktórympomijamynawiasyk˛atowewoznaczeniuci˛agu). Czasamisłowodługo ´ sci k nazywamy k-słowem. Podsłowo s 0 słowa s jesttouporz˛adkowany ci˛agnast˛epuj˛acychposobieelementówsłowa s . k-podsłowo danegosłowajestjegopodsłowem długo ´ sci k .Naprzykład 010 jest3-podsłowemsłowa 01101001 (3-podsłowozaczynaj˛acesi˛ena pozycji4),ale 111 niejestpodsłowemsłowa 01101001. Kazde k -słowonadzbiorem S moznatraktowa ´ cjakoelementiloczynukartezja ´ nskiego S k ; wtakimrazieistnieje jS jk słówdługo ´ sci k .Naprzykładliczbabinarnych k -słówwynosi 2k .Intuicyjnie,abyskonstruowa ´ c k -słowonad n-zbiorem,mamy n sposobównawybraniepierwszego elementu;dlakazdegoztychwyborówmamy n mozliwo ´ scinawybraniedrugiegoelementuitd. k razy.Konstrukcjataprowadzido k -krotnegoiloczynu n n n D nk ,któryjestliczb˛ a k -słów.
Permutacje
Permutacj˛ a zbiorusko ´ nczonego S nazywamyuporz˛adkowanyci˛agwszystkichelementów zbioru S ,przyczymka ˙ zdyelementwyst˛epujedokładnieraz.Je ´ slinaprzykład S D fa;b;c g,to mamy6permutacjizbioru S : abc;acb;bac;bca;cab;cba:
(Tutajrównie ˙ zstosujemyskrótowyzapis,wktórympomijamynawiasyk˛atowewoznaczeniuci˛agu).Liczbapermutacjizbioru n-elementowegowynosi nŠ,poniewazpierwszyelementmozemy wybra ´ cna n sposobów,drugina n 1 sposobów,trzecina n 2 sposobyitd.
Uporz˛adkowanyci˛ag k elementówzbioru S ,wktórym ˙ zadenelementniewyst˛epujewi˛ecej nizjedenraz,nazywamy k-permutacj˛ a zbioru S .(Zatemzwyczajnapermutacjajest n-permutacj˛ a zbioru n-elementowego).Wszystkie2-permutacjezbioru fa;b;c;d g to: ab;ac;ad;ba;bc;bd;ca;cb;cd;da;db;dc:
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Liczba k -permutacjizbioru n-elementowegowynosi
n.n 1/.n 2/ .n k C 1/ D nŠ .n k/Š ; (C.1)
jako zeistnieje n sposobówwyborupierwszegoelementu, n 1 sposobówwyborudrugiego elementuitd.,a ˙ zwybierzemywszystkich k elementów,przyczymostatnib˛edziewybierany spo ´ sród n k C 1 elementów.Wpowy ˙ zszymprzykładziedla n D 4 i k D 2 wzór(C.1)daje wynik 4Š=2Š D 12,cozgadzasi˛ezliczb˛awypisanych2-permutacji.
Kombinacje
k-kombinacj˛ a zbioru n-elementowego S nazywamypoprostu k -elementowypodzbiórzbioru S . Istniejesze ´ s ´ c2-kombinacjizbioru4-elementowego fa;b;c;d g: ab;ac;ad;bc;bd;cd:
(U ˙ zywamytutajskrótu,pomijaj˛acnawiasyklamrowewoznaczeniuka ˙ zdegopodzbioru).Mo ˙ zemy skonstruowa ´ c k -kombinacj˛ezbioru n-elementowego,wybieraj˛ac k róznychelementówztego zbioru.Kolejno ´ s ´ c,wjakiejwybieramyteelementy,niemaznaczenia. Liczb˛e k -kombinacjizbioru n-elementowegomoznawyrazi ´ cprzezliczb˛e k -permutacji tegozbioru.Dlakazdej k -kombinacjiistniejedokładnie kŠ permutacjijejelementów,przyczym ka ˙ zdaznichjestinn˛ a k -permutacj˛azbioru n-elementowego.St˛adliczba k -kombinacjizbioru n-elementowegojestrównaliczbie k -permutacjipodzielonejprzez kŠ;wmy ´ slrówno ´ sci(C.1) liczbatawynosi
nŠ
kŠ.n k/Š
(C.2)
Dla k D 0 zewzorutegowynika, ˙ zemo ˙ zliwo ´ sciwyboru0elementówzezbioru n-elementowego jest1(nie0),bo 0Š D 1.
Współczynnikidwumianowe
Zapisu n k (czytaj„n nad k ”)u ˙ zywamydooznaczanialiczby k -kombinacjizbioru n-elementowego.Zrówno ´ sci(C.2)mamy
n k ! D nŠ kŠ.n k/Š :
Wzórtenjestsymetrycznyzewzgl˛eduna k i n k :
n k ! D n n k !:
(C.3)
DodatekCZliczanieiprawdopodobie´nstwo
Liczbytes˛atakzenazywane współczynnikamidwumianowymi zpowoduichwyst˛epowania w twierdzeniuodwumianie:
.x C y/n D n X k D0 n k !x k y n k ;
gdzie n 2 N oraz x;y 2 R.Praw˛astron˛ewzoru(C.4)nazywamy rozwini˛eciemdwumianu stanowi˛acegolew˛astron˛e.Przypadekszczególnyrozwini˛eciadwumianuwyst˛epuje,gdy x D y D 1:
2n D n X k D0 n k !
Wzórtenodpowiadazliczaniu 2n binarnych n-słówzewzgl˛edunaliczb˛ezawartychwnich jedynek:jest n k binarnych n-słówzawieraj˛acychdokładnie k jedynek,jako zeistnieje n k sposobówwybrania k spo ´ sród n pozycji,naktórychmoznaumie ´ sci ´ cjedynki.
Dlawszystkich 0 k n mo ˙ zemyprzezindukcj˛e(patrzzad.C.1-12)udowodni ´ cograniczenie
n k ! nn k k .n k/n k ; (C.7)
(C.4)
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
gdziedlawygodyprzyjmujemy, ze 00 D 1.Dla k D n,gdzie 0 1,ograniczenieto mo ˙ zemyzapisa ´ cjako
n n! nn . n/ n ..1 /n/.1 /n
gdzie
2nH. / ;
H. / D lg .1 / lg.1 / (C.8) jest (binarn˛a)funkcj˛aentropii igdzie,dlawygody,przyjmujemy, ze 0 lg 0 D 0,czyli ze H.0/ D H.1/ D 0
Zadania
C.1-1
Ile k -podsłówzawiera n-słowo?(Przyjmijidentyczne k -podsłowazaczynaj˛acesi˛enaró ˙ znych pozycjachzarózne).Ileł˛aczniepodsłówzawiera n-słowo?
C.1-2
Funkcjalogiczna o n wej ´ sciachi m wyj ´ sciachtofunkcjazezbioru f PRAWDA ; FAŁSZ gn wzbiór f PRAWDA ; FAŁSZ gm .Ilejestfunkcjilogicznycho n wej ´ sciachi1wyj ´ sciu?Ilejestfunkcji logicznycho n wej ´ sciachi m wyj ´ sciach?
C.1-3
Nailesposobówmo ˙ znaposadzi ´ c n osóbprzyokr˛agłymstole?Uznajemydwaustawieniaza takiesame,je ´ slijednopowstajezdrugiegoprzezobrótwokółstołu.
Udowodnijto ˙ zsamo ´ s ´ c n k ! D n k n 1 k 1! (C.9)
dla 0<k n 1110
C.1-6
Udowodnijto ˙ zsamo ´ s ´ c
n k ! D n n k n 1 k !
dla 0 k<n.
C.1-7
Abywybra ´ c k przedmiotówz n,mo ˙ znajedenznichwyró ˙ zni ´ cisprawdzi ´ c,czytenwyró ˙ zniony przedmiotzostałwybrany.Uzyjtejwskazówkidoudowodnienia, ze
n k ! D n 1 k ! C n 1 k 1!:
C.1-8
Korzystaj˛aczwynikuzadaniaC.1-7,utwórztabel˛ewspółczynnikówdwumianowych n k dla n D 0;1;:::;6 i 0 k n z 0 0 nagórze, 1 0 i 1 1 wnast˛epnymwierszu,dalej 2 0 , 2 1 i 2 2 , itd.Tabelatakanosinazw˛e trójk˛ataPascala.
C.1-9
Udowodnij, ˙ ze
n X i D1 i D n C 1 2 !
C.1-10
Pokaz, zedladowolnychliczbcałkowitych n 0 i 0 k n maksymalnawarto ´ s ´ c n k jest osi˛aganadla k D bn=2c lub k D dn=2e.
? C.1-11
Uzasadnij, zedladowolnychliczbcałkowitych n 0, j 0, k 0,takich ze j C k n, zachodzi n j C k ! n j ! n j k !: (C.10)
Podajzarównodowódalgebraiczny,jakiargumentacj˛eopart˛anametodziewybierania j C k przedmiotówspo ´ sród n.Podajprzykład,wktórymniezachodzirówno ´ s ´ c.
? C.1-12
Udowodnijnierówno ´ s ´ c(C.7)przezindukcj˛ewzgl˛edemwszystkichcałkowitych k ,takich ˙ ze 0 k n=2,anast˛epnieu ˙ zyjrówno ´ sci(C.3),abyrozszerzy ´ cj˛anawszystkiecałkowite k ,takie ze 0 k n.
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
? C.1-13
U ˙ zyjwzoruStirlinga,abyudowodni ´ c, ˙ ze
2n n ! D 22n p n .1 C O.1=n//: (C.11)
? C.1-14
Ró ˙ zniczkuj˛acfunkcj˛eentropii H. /,poka ˙ z, ˙ zeosi˛agaonamaksimumdla D 1=2.Ilewynosi H.1=2/?
? C.1-15
Wykaz, zedladowolnegocałkowitego n 0 zachodzitozsamo ´ s ´ c n X k D0 n k !k D n2n 1 : (C.12)
? C.1-16
Nierówno ´ s ´ c(C.5)stanowidolneoszacowaniewarto ´ sciwspółczynnikadwumianowego n k .Dla małych k zachodzisilniejszeoszacowanie.Poka ˙ z, ˙ ze n k ! nk 4kŠ ; (C.13)
Prawdopodobie ´ nstwodefiniujemywodniesieniudo przestrzenizdarze´n S ,b˛ed˛acejzbiorem, któregoelementynazywamy zdarzeniamielementarnymi.Ka ˙ zdezdarzenieelementarnemo ˙ zna traktowa ´ cjakomo ˙ zliwywynikeksperymentu.Weksperymenciepolegaj˛acymnarzuciedwiema rozróznialnymimonetaminaprzestrze ´ nzdarze ´ nmozemypatrze ´ cjakonazłozon˛azezbioru wszystkichmo ˙ zliwych2-słównadzbiorem f O ; R g:
S D f OO ; OR ; RO ; RR g
DodatekCZliczanieiprawdopodobie´nstwo
Zdarzenie jestpodzbiorem1 przestrzenizdarze ´ n S .Naprzykładprzyrzuciedwiemamonetamizdarzeniepolegaj˛acenauzyskaniujednegoorłaijednejreszkito f OR ; RO g.Zdarzenie S jest nazywane zdarzeniempewnym,azdarzenie ; jestnazywane zdarzeniemniemo ˙ zliwym.Mówimy, zedwazdarzenia A i B s˛ a wzajemniesi˛ewykluczaj˛ace(rozł˛aczne),je ´ sli A \ B D;.Czasami zdarzenieelementarne s 2 S traktujemyjakozdarzenie fs g.Zdefinicjiwszystkiezdarzenia elementarnewzajemniesi˛ewykluczaj˛a.
Aksjomatyteoriiprawdopodobie ´ nstwa
Rozkładprawdopodobie´nstwa Pr fg naprzestrzenizdarze ´ n S jesttoprzyporz˛adkowaniezdarzeniomz S liczbrzeczywistychtak, ˙ zespełniones˛anast˛epuj˛ace aksjomatyprawdopodobie´nstwa:
1.Pr fAg 0 dlaka ˙ zdegozdarzenia A
2.Pr fS g D 1.
3.Pr fA [ B g D Pr fAg C Pr fB g dlaka ˙ zdychdwóchwzajemniewykluczaj˛acychsi˛ezdarze ´ n A i B .Ogólniej,dlakazdego(sko ´ nczonegolubprzeliczalnego)ci˛aguparamiwykluczaj˛acychsi˛ezdarze ´ n A1 ;A2 ;:::
Ztychaksjomatówipodstawteoriizbiorów(patrzdodatekB.1)wynikanatychmiastkilka wniosków.Prawdopodobie ´ nstwozdarzenianiemozliwego ; wynosi Pr f;g D 0.Je ´ sli A B ,to Pr fAg Pr fB g.Stosuj˛aczapis A dooznaczeniazdarzenia S A (dopełnienia zdarzenia A), mamyPr ˚A D 1 Pr fAg.Dladowolnychdwóchzdarze ´ n A i B zachodzi
Pr fA [ B g D Pr fAg C Pr fB g Pr fA \ B g (C.14)
Pr fAg C Pr fB g: (C.15)
Przypu ´ s ´ cmy, ˙ zewnaszymprzykładziezrzucaniemmonetamika ˙ zdezczterechzdarze ´ n elementarnychmaprawdopodobie ´ nstwo 1=4.Wówczasprawdopodobie ´ nstwootrzymaniaco
Pr f OO ; OR ; RO g D Pr f OO g C Pr f OR g C Pr f RO g
D 3=4:
Alternatywnie,skoroprawdopodobie ´ nstwootrzymaniamniejni ˙ zjednegoorławynosi Pr f RR g D 1=4,toprawdopodobie ´ nstwootrzymaniaconajmniejjednegoorławynosi 1 1=4 D 3=4.
Dyskretnerozkładyprawdopodobie ´ nstwa
Rozkładprawdopodobie ´ nstwajest dyskretny,je ´ slijestzdefiniowanynadsko ´ nczon˛alubprzeliczaln˛aprzestrzeni˛azdarze ´ n.Niech S b˛edzietak˛aprzestrzeni˛azdarze ´ n.Wówczasdlaka ˙ zdego zdarzenia A zachodzi
Pr fAg D X s 2A Pr fs g; jako zezdarzeniaelementarne,awszczególno ´ scitew A,wzajemniesi˛ewykluczaj˛a.Je ´ sli przestrze ´ n S jestsko ´ nczonaiprawdopodobie ´ nstwoka ˙ zdegozdarzeniaelementarnego s 2 S wynosi
Pr fs g D 1= jS j ; towtedymamy jednostajnyrozkładprawdopodobie´nstwa na S .Wtakichwypadkacheksperymentjestcz˛estoopisywanyjako„losowywybórelementuz S ”. Jakoprzykładrozwa ˙ zmyrzut monet˛asymetryczn˛ a,wktórymprawdopodobie ´ nstwouzyskaniaorłajesttakiesamojakprawdopodobie ´ nstwouzyskaniareszki,czyli 1=2.Je ´ slirzucimy monet˛ a n razy,tootrzymamyjednostajnyrozkładprawdopodobie ´ nstwaokre ´ slonynaprzestrzeni zdarze ´ n S D f O ; R gn –zbiorzemocy 2n .Ka ˙ zdezdarzenieelementarnew S mo ˙ znareprezentowa ´ c jakosłowodługo ´ sci n nadzbiorem f O ; R g ikazdewyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem 1=2n . Zdarzenie
A D fwypadłodokładnie k orłówidokładnie n k reszekg jestpodzbiorem S rozmiaru jAj D n k ,jako zeistnieje n k słówdługo ´ sci n nad f O ; R g,wktórych O wyst˛epujedokładnie k razy.Prawdopodobie ´ nstwozdarzenia A wynosiwi˛ec Pr fAg D n k =2n .
Dladowolnegoprzedziałudomkni˛etego Œc;d ,gdzie a c d b , ci˛agłyrozkład jednostajnyprawdopodobie´nstwa definiujeprawdopodobie ´ nstwozdarzenia Œc;d wzorem
Pr fŒc;d g D d c b a :
Przyjmuj˛ac c D d widzimy, ˙ zeprawdopodobie ´ nstwodlapojedynczegopunktuwynosi0.Je ´ sli usuniemyko ´ ncowepunktyprzedziału Œc;d ,tootrzymamyprzedziałotwarty .c;d/.Poniewaz Œc;d D Œc;c [ .c;d/ [ Œd;d ,napodstawieaksjomatu3dostajemy Pr fŒc;d g D Pr f.c;d/g. Ogólnie,zdarzeniemdlaci˛agłegorozkładujednostajnegojestdowolnypodzbiórprzestrzenizdarze ´ n Œa;b ,którymoznaotrzyma ´ cjakosko ´ nczon˛alubprzeliczaln˛asum˛eprzedziałówotwartych idomkni˛etych,jakrównie ˙ zpewnebardziejskomplikowanezbiory.
Prawdopodobie ´ nstwowarunkoweiniezale ˙ zno ´ s ´ c
kiedy Pr fB g ¤ 0.(Zapis„Pr fA j B g”czytamyjako„prawdopodobie ´ nstwo A podwarunkiem B ”).Intuicyjnie,poniewa ˙ zwiemy, ˙ ze B zachodzi,wi˛eczdarzenie, ˙ ze A równie ˙ zzachodzi,to A \ B .Oznaczato, ze A \ B jestzbioremtakichwyników, zezachodzizarówno A,jaki B . Skorowynikjestjednymzezdarze ´ nelementarnychw B ,normalizujemyprawdopodobie ´ nstwa wszystkichzdarze ´ nelementarnychw B ,dziel˛acjeprzez Pr fB g, zebyichsumawynosiła1. Prawdopodobie ´ nstwowarunkowezdarzenia A podwarunkiem B jestzatemstosunkiemprawdopodobie ´ nstwazdarzenia A \ B doprawdopodobie ´ nstwazdarzenia B .Wpowy ˙ zszymprzykładzie A jestzdarzeniem,wktórymnaobumonetachwypadłorzeł,a B jestzdarzeniem,wktórymco najmniejnajednejmoneciewypadłorzeł.ZatemPr fA j B g D .1=4/=.3=4/ D 1=3
Dwazdarzenias˛ a niezale ˙ zne,je ´ sli
Pr fA \ B g D Pr fAg Pr fB g; (C.17) cojestrównowa ˙ zne,oilePr fB g ¤ 0,warunkowi
Zdarzenianalez˛acedorodzinyzdarze ´ n A1 ;A2 ;:::;An s˛ a paraminiezale ˙ zne,je ´ sli
Pr fAi \ Aj g D Pr fAi g Pr fAj g dlawszystkich 1 i<j n.Mówimy, zezdarzeniates˛ a (wzajemnie)niezale ˙ zne,je ´ slikazdy k -podzbiór Ai1 ;Ai2 ;:::;Aik tejrodziny,gdzie 2 k n i 1 i1 <i2 < <ik n,spełnia zale ˙ zno ´ s ´ c
Pr fAi1 \ Ai2 \ \ Aik g D Pr fAi1 g Pr fAi2 g Pr fAik g
Przypu ´ s ´ cmynaprzykład, ˙ zerzucamydwiemamonetami.Niech A1 b˛edziezdarzeniempolegaj˛acymnatym, ˙ zenapierwszejmoneciewypadłorzeł,niech A2 b˛edziezdarzeniempolegaj˛acymna tym, zenadrugiejmoneciewypadłorzeł,iniech A3 b˛edziezdarzeniempolegaj˛acymnatym, ze naka ˙ zdejzmonetwypadłocoinnego.Mamy
Pr fA1 g D 1=2;
Pr fA2 g D 1=2;
Pr fA3 g D 1=2;
Pr fA1 \ A2 g D 1=4;
Pr fA1 \ A3 g D 1=4;
Pr fA2 \ A3 g D 1=4;
Pr fA1 \ A2 \ A3 g D 0: Poniewa ˙ zdla 1 i<j 3 mamy Pr fAi \ Aj g D Pr fAi g Pr fAj g D 1=4,zdarzenia
A1 , A2 i A3 s˛aparaminiezalezne.Zdarzeniatenies˛ajednakwzajemnieniezalezne,gdyz
Pr fA1 \ A2 \ A3 g D 0 iPr fA1 g Pr fA2 g Pr fA3 g D 1=8 ¤ 0
WzórBayesa
Zdefinicjiprawdopodobie ´ nstwawarunkowego(C.16)izprawaprzemienno ´ sci A \ B D B \ A wynika,izdladwóchzdarze ´ n A i B ,kazdeoniezerowymprawdopodobie ´ nstwie,zachodzi
Pr fA \ B g D Pr fB g Pr fA j B g (C.18) D Pr fAg Pr fB j Ag:
DodatekCZliczanieiprawdopodobie´nstwo
Rozwi˛azuj˛actorównaniezewzgl˛edunaPr fA j B g,otrzymujemytozsamo ´ s ´ c
Pr fA j B g D
Pr fAg Pr fB j Ag Pr fB g (C.19)
znan˛ajako wzórBayesa.Mianownik Pr fB g jeststał˛anormalizuj˛ac˛a,któr˛ainaczejmo ˙ znazapisa ´ c wnast˛epuj˛acysposób.Poniewa ˙ z B D .B \ A/ [ .B \ A/,a B \ A i B \ A s˛azdarzeniami wzajemniesi˛ewykluczaj˛acymi,wi˛ec
Rozwi˛azemytenproblem,posługuj˛acsi˛ewzoremBayesa.Niech A b˛edziezdarzeniem polegaj˛acymnatym, ˙ zezostaławybranamonetafałszywa,iniech B b˛edziezdarzeniempolegaj˛acymnatym, zemonetaupadniedwukrotnieorłemdogóry.Chcemyznale´z ´ c Pr fA j B g.Mamy Pr fAg D 1=2,Pr fB j Ag D 1,Pr ˚A D 1=2 iPr ˚B j A D 1=4;takwi˛ec
Pr fA j B g D .1=2/ 1 .1=2/ 1 C .1=2/ .1=4/ D 4=5:
Zadania
C.2-1
ProfesorRosencrantzrzucamonet˛a(symetryczn˛a)dwarazy.ProfesorGuildensternrzucamonet˛ a (symetryczn˛a)jedenraz.Jakiejestprawdopodobie ´ nstwo, ˙ zeprofesorRosencrantzwyrzuciwi˛ecej orłównizprofesorGuildenstern?
(Dyskretna)zmiennalosowa X jestfunkcj˛azesko ´ nczonejlubprzeliczalnejprzestrzenizdarze ´ n S wzbiórliczbrzeczywistych.Przyporz˛adkowujeonaliczb˛erzeczywist˛akazdemumozliwemuwynikowido ´ swiadczenia,copozwalanamoperowa ´ cindukowanymrozkłademprawdopodobie ´ nstwa
DodatekCZliczanieiprawdopodobie´nstwo
nazbiorzeliczb.Zmiennelosowemoznarówniezokre ´ sla ´ cnanieprzeliczalnychprzestrzeniach zdarze ´ n,alewi˛ a ˙ zesi˛etozkwestiamitechnicznymi,którychniechcemytutajporusza ´ c.B˛edziemy zatemzakłada ´ c, ˙ zezmiennelosowes˛adyskretne. Dlazmiennejlosowej X iliczbyrzeczywistej x definiujemyzdarzenie X D x jako fs 2 S W X.s/ D x g;zatem
Pr fX D x g D X
s 2S W X.s/Dx Pr fs g:
Funkcja
f.x/ D Pr fX D x g
jest funkcj˛ag˛esto´sciprawdopodobie´nstwa zmiennejlosowej X .Zaksjomatówprawdopodobie ´ nstwamamyPr fX D x g 0 i Px Pr fX D x g D 1.
Jakoprzykładrozwa ˙ zmyrzutdwiemasze ´ sciennymikostkamidogry.Wprzestrzenizdarze ´ n jest36mozliwychzdarze ´ nelementarnych.Przyjmujemy, zerozkładprawdopodobie ´ nstwajest jednostajny,wi˛ecka ˙ zdezdarzenieelementarne s 2 S jestjednakowoprawdopodobne: Pr fs g D 1=36.Zdefiniujmyzmienn˛alosow˛ a X jako wi˛eksz˛ a zdwóchwarto ´ sciwidocznychnakostkach. Mamy Pr fX D 3g D 5=36,bo X przypisujewarto ´ s ´ c3pi˛eciuztrzydziestusze ´ sciumozliwych zdarze ´ nelementarnych,amianowicie .1;3/, .2;3/, .3;3/, .3;2/ i .3;1/. Cz˛estonatejsamejprzestrzenizdarze ´ ndefiniujesi˛ewielezmiennychlosowych.Je ´ sli X i Y s˛azmiennymilosowymi,tofunkcja
f.x;y/ D Pr fX D x i Y D y g
jest funkcj˛ag˛esto´scił˛acznegoprawdopodobie´nstwa zmiennych X i Y .Dlaustalonejwarto ´ sci y
Definiujemydwiezmiennelosowe X i Y jako niezale ˙ zne,je ´ slidlawszystkich x i y zdarzenia X D x i Y D y s˛aniezaleznelub,równowaznie,je ´ slidlawszystkich x i y mamy
Pr fX D x i Y D y g D Pr fX D x g Pr fY D y g.
Maj˛acdanyzbiórzmiennychlosowychzdefiniowanychnadt˛asam˛aprzestrzeni˛azdarze ´ n, mozemydefiniowa ´ cnowezmiennelosowejakosumy,iloczynylubinnefunkcjezmiennych pocz˛atkowych.
warto ´ s ´ coczekiwan˛ a X zapisujesi˛ejako X lub–kiedyzmiennalosowa,októr˛achodzi,wynika zkontekstu–poprostujako . Wyobra´zmysobiegr˛e,wktórejrzucamydwiemamonetami.Zarabiamy3złzaka ˙ zdego orła,aletracimy2złzakazd˛areszk˛e.Warto ´ s ´ coczekiwanazmiennejlosowej X reprezentuj˛acej naszzarobekwynosi
E ŒX D 6 Pr f2 O g C 1 Pr f1 O ,1
D 6.1=4/ C 1.1=2/ 4.1=4/
D 1:
Warto ´ s ´ coczekiwanasumydwóchzmiennychlosowychjestrównasumieichwarto ´ sci oczekiwanych,czyli
E ŒX C Y D E ŒX C E ŒY ; (C.24) kiedytylkos˛aokre ´ sloneE ŒX iE ŒY .Własno ´ s ´ ct˛enazywamy liniowo´sci˛awarto´scioczekiwanej izachodzionanawetwtedy,kiedy X i Y nies˛aniezalezne.Rozszerzasi˛eonarówniezna sko ´ nczoneizbie ˙ znebezwzgl˛edniesumywarto ´ scioczekiwanych.Liniowo ´ s ´ cwarto ´ scioczekiwanejjestkluczow˛awłasno ´ sci˛aumo ˙ zliwiaj˛ac˛anamprzeprowadzanieanalizprobabilistycznych zzastosowaniemwska´znikowychzmiennychlosowych(patrzpodrozdz.5.2).
Je ´ sli X jestdowoln˛azmienn˛alosow˛a,todowolnafunkcja g.x/ definiujenow˛azmienn˛ a losow˛ a g.X/.Je ´ sliwarto ´ s ´ coczekiwana g.X/ jestokre ´ slona,to
E Œg.X/ D X x g.x/ Pr fX D x g:
Przyjmuj˛ac g.x/ D ax ,dladowolnejstałej a mamy
E ŒaX D a E ŒX (C.25)
Operacjabraniawarto ´ scioczekiwanejjestzatemliniowa:dladowolnychdwóchzmiennych losowych X i Y orazdowolnejstałej a zachodzi
E ŒaX C Y D a E ŒX C E ŒY : (C.26)
Je ´ slidwiezmiennelosowe X i Y s˛aniezalezneikazdaznichmaokre ´ slon˛awarto ´ s ´ c oczekiwan˛a,to
E ŒXY D X x X y xy Pr fX D x i Y D y g
D X x X y xy Pr fX D x g Pr fY D y g (zniezale ˙ zno ´ sci X i Y )
D X x x Pr fX D x g! X y y Pr fY D y g!
D E ŒX E ŒY (zewzoru(C.23)).
Ogólnie,je ´ sli n zmiennychlosowych X1 ;X2 ;:::;Xn jestwzajemnieniezaleznych,to
E ŒX1 X2 Xn D E ŒX1 E ŒX2 E ŒXn (C.27)
Kiedyzmiennalosowa X przyjmujewarto ´ scizezbioruliczbnaturalnych N D f0;1;2;:::g, istniejezgrabnywzórnajejwarto ´ s ´ coczekiwan˛a:
E ŒX D 1 X i D0 i Pr fX D i g
D 1 X i D0 i.Pr fX i g Pr fX i C 1g/
D 1 X i D1 Pr fX i g; (C.28) poniewa ˙ zka ˙ zdyskładnik Pr fX i g jestdodany i razyiodj˛ety i 1 razy(opróczskładnika Pr fX 0g,któryjestdodany0razyinieodj˛etywogóle).
Funkcja f.x/ jest wypukła,je ´ slidlaka ˙ zdych x i y orazdlawszystkich 0 1 zachodzi f. x C .1 /y/ f.x/ C .1 /f.y/: (C.29)
Stosuj˛acfunkcj˛ewypukł˛ a f.x/ dozmiennejlosowej X ,z nierówno´sciJensena otrzymujemy
Warto ´ s ´ coczekiwanazmiennejlosowejniemówinamnico„rozrzucie”warto ´ sciprzyjmowanych przezt˛ezmienn˛a.Je ´ slinaprzykładmamyzmiennelosowe X i Y ,dlaktórych Pr fX D 1=4g D
Pr fX D 3=4g D 1=2 oraz Pr fY D 0g D Pr fY D 1g D 1=2,tozarównoE ŒX ,jakiE ŒY jest
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
równe 1=2,alefaktycznewarto ´ sciprzyjmowaneprzez Y s˛adalejodwarto ´ scioczekiwanejniz
warto ´ sciprzyjmowaneprzez X Poj˛eciewariancjiwyra ˙ zamatematycznieto,jakdalekood ´ sredniejmog˛aby ´ cwarto ´ sci przyjmowaneprzezzmienn˛alosow˛a. Wariancja zmiennejlosowej X owarto ´ scioczekiwanej
E ŒX jestrówna
Var ŒX D E .X E ŒX /2
D E X 2 2X E ŒX C E2 ŒX
D E X 2 2E ŒX E ŒX C E2 ŒX
D E X 2 2E2 ŒX C E2 ŒX
D E X 2 E2 ŒX : (C.31)
Uzasadnieniemrówno ´ sciE ŒE2 ŒX D E2 ŒX jestto, ˙ zeE ŒX niejestzmienn˛alosow˛a,apo prostuliczb˛arzeczywist˛a,zatemE2 ŒX jesttakzeliczb˛arzeczywist˛a.Równo ´ s ´ cE ŒX E ŒX D E2 ŒX wynikazzale ˙ zno ´ sci(C.25)z a D E ŒX .Równo ´ s ´ c(C.31)mo ˙ znaprzekształci ´ c,aby uzyska ´ cwyrazenieokre ´ slaj˛acewarto ´ s ´ coczekiwan˛akwadratuzmiennejlosowej:
E X 2 D Var ŒX C E2 ŒX : (C.32)
Wariancjazmiennejlosowej X iwariancja aX s˛azwi˛azanenast˛epuj˛ac˛azalezno ´ sci˛a(patrz zad.C.3-10):
Var ŒaX D a 2 Var ŒX
Je ´ sli X i Y s˛aniezaleznymizmiennymilosowymi,to
Odchyleniestandardowe zmiennejlosowej X jesttonieujemnypierwiastekkwadratowy zwariancji X .Odchyleniestandardowezmiennejlosowej X czasamizapisujesi˛ejako X lubpo prostu ,je ´ slizmienna X wynikazkontekstu.U ˙ zywaj˛actejnotacji,wariancj˛e X mo ˙ znazapisa ´ c jako 2 .
Zadania
C.3-1
Rzucamydwiemasze ´ sciennymikostkamidogry.Jakajestwarto ´ s ´ coczekiwanasumyliczb oczekwidocznychnadwóchkostkach?Jakajestwarto ´ s ´ coczekiwanawi˛ekszejzliczboczek widocznychnatychkostkach?
C.3-2
Tablica AŒ1 W n zawiera n ró ˙ znychliczbuporz˛adkowanychlosowo,tzn.ka ˙ zdapermutacjatych n liczbjestjednakowoprawdopodobna.Jakajestwarto ´ s ´ coczekiwanaindeksunajwi˛ekszego zelementówtablicy?Jakajestwarto ´ s ´ coczekiwanaindeksunajmniejszegozelementówtablicy?
C.3-3
Grapoleganarzucaniutrzemakostkami.Graczmo ˙ zepostawi ´ c1złnajedn˛azliczbod1do6. Zasadywypłacaniawygranychpowykonaniurzutus˛anast˛epuj˛ace:je ´ sliliczbaobstawionaprzez graczaniepojawiłasi˛ena zadnejzkostek,totracionswoj˛azłotówk˛e;je ´ sliliczbatapojawiłasi˛e dokładniena k kostkach,dla k D 1;2;3,tozachowujeonswoj˛azłotówk˛eidostajedodatkowo k złotówek.Jakijestoczekiwanyzyskwjednejgrze?
C.3-4
Uzasadnij, zeje ´ sli X i Y s˛anieujemnymizmiennymilosowymi,to E ŒmaxfX;Y g E ŒX C E ŒY :
? C.3-5
Niech X i Y b˛ed˛aniezaleznymizmiennymilosowymi.Udowodnij, ze f.X/ i g.Y/ s˛aniezalezne dladowolnegowyborufunkcji f i g
Niech S b˛edzieprzestrzeni˛azdarze ´ niniech X i X 0 b˛ed˛azmiennymilosowymitakimi, ze X.s/ X 0 .s/ dlakazdego s 2 S .Udowodnij, zedladowolnejstałejrzeczywistej t zachodzi nierówno ´ s ´ c
Pr fX t g Pr fX 0 t g:
C.3-8
Cojestwi˛eksze:warto ´ s ´ coczekiwanakwadratuzmiennejlosowejczytezkwadratjejwarto ´ sci oczekiwanej?
C.3-9
Pokaz, zedladowolnejzmiennejlosowej X ,któraprzyjmujewył˛aczniewarto ´ sci0i1, mamy
Var ŒX D E ŒX E Œ1 X
C.3-10
Udowodnij, ˙ zeVar ŒaX D a 2 Var Œx zdefinicjiwariancji(C.31).
C.4Rozkłady:geometrycznyidwumianowy
Rzutmonet˛ajestprzykładem próbyBernoulliego,którajestzdefiniowanajakodo ´ swiadczenie mog˛acezako ´ nczy ´ csi˛ejednymzdwóchmozliwychwyników: sukcesem,którywyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p ,lub pora ˙ zk˛ a,którawyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem q D 1 p .Kiedy mówimyowielu próbachBernoulliego,mamynamy ´ sli, zes˛aonewzajemnieniezalezne,ije ´ sli niepowiemywyra´znie, zejestinaczej,towkazdejznichjesttakiesamoprawdopodobie ´ nstwo sukcesu p .ZpróbamiBernoulliegos˛azwi˛azanedwawa ˙ znerozkłady:rozkładgeometryczny idwumianowy.
Rozkładgeometryczny
Przypu ´ s ´ cmy, zemamyci˛agpróbBernoulliego,kazdazprawdopodobie ´ nstwemsukcesu p iprawdopodobie ´ nstwempora ˙ zki q D 1 p .Ilenast˛apiprób,zanimodniesiemysukces?Niechzmienna losowa X b˛edzieliczb˛apróbpotrzebnychdoosi˛agni˛eciasukcesu.Wówczas X przyjmujewarto´ scizzakresu f1;2;:::g idla k 1 zachodzirówno ´ s ´ c
Pr fX D k g D q k 1 p; (C.35) poniewa ˙ zmamy k 1 pora ˙ zek,zanimodniesiemysukces.Rozkładprawdopodobie ´ nstwaopisany równaniem(C.35)jestnazywany rozkłademgeometrycznym.RysunekC.1ilustrujetakirozkład. Przyzało ˙ zeniu, ˙ ze q<1,warto ´ s ´ coczekiwan˛arozkładugeometrycznegomo ˙ znaobliczy ´ c nast˛epuj˛aco:
E ŒX D 1 X k D1 kq k 1 p
D p q 1 X k D0 kq k
D p q q .1 q/2 (zewzoru(A.11)nastr.1072)
D p q q p 2
D 1=p: (C.36)
Potrzebawi˛ec ´ srednio 1=p prób,abyodnie ´ s ´ csukces,cojestzgodnezintuicj˛a.Wariancja,któr˛ a moznaobliczy ´ cwpodobnysposób,korzystaj˛aczwynikuzadaniaC.4-4,wynosi
Var ŒX D q=p 2 (C.37)
Przypu ´ s ´ cmynaprzykład, ˙ zepowtarzamyrzutydwiemakostkamia ˙ zdootrzymanialiczby oczeksiedemlubjedena ´ scie.Na36mozliwychwyników6dajenamsiódemk˛ei2– jedenastk˛e. St˛adprawdopodobie ´ nstwosukcesuwynosi p D 8=36 D 2=9 imusimy ´ sredniorzuci ´ c 1=p D 9=2 D 4;5 razy,abyotrzyma ´ cwwynikusiedemlubjedena ´ scie. 1124
RysunekC.1 Rozkładgeometrycznyzprawdopodobie ´ nstwemsukcesu p D 1=3 iprawdopodobie ´ nstwemporazki q D 1 p .Warto ´ s ´ coczekiwanarozkładuwynosi 1=p D 3
Rozkładdwumianowy
Ilesukcesównast˛apipodczas n próbBernoulliego,je ˙ zelisukcesnast˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p ,apora ˙ zkazprawdopodobie ´ nstwem q D 1 p ?Zdefiniujmyzmienn˛alosow˛ a X jakoliczb˛esukcesów,którewyst˛apiływ n próbach.Wówczas X przyjmujewarto ´ scizezbioru f0;1;:::;ng idla k D 0;:::;n zachodzirówno ´ s ´ c
Pr fX D k g D n k !p k q n k ; (C.38)
poniewa ˙ zistnieje n k sposobównawybraniespo ´ sród n próbtych k ,któreko ´ ncz˛asi˛esukcesem, aprawdopodobie ´ nstwootrzymaniawła ´ snietakiegoukładu k sukcesówwynosi p k q n k .Rozkład prawdopodobie ´ nstwaokre ´ slonyrównaniem(C.38)jestnazywany rozkłademdwumianowym. Dlawygodyzdefiniujemyrodzin˛erozkładówdwumianowych,uzywaj˛aczapisu
b.k I n;p/ D n k !p k .1 p/n k : (C.39)
RysunekC.2ilustrujerozkładdwumianowy.Nazwa„dwumianowy”wynikaztego, ze wzór(C.38)jest k -tymskładnikiemrozwini˛ecia .p C q/n .Zatemskoro p C q D 1,toze wzoru(C.4)nastr.1109dostajemy
RysunekC.2 Rozkładdwumianowy b.k I 15;1=3/ odpowiadaj˛acy n D 15 próbomBernoulliego,kazdazprawdopodobie ´ nstwemsukcesu p D 1=3.Warto ´ s ´ coczekiwanarozkładuwynosi np D 5
n X k D0 b.k I n;p/ D 1
zgodniezwymogiemaksjomatu2prawdopodobie ´ nstwa.
Warto ´ s ´ coczekiwan˛azmiennejlosowejorozkładziedwumianowymmo ˙ zemyobliczy ´ c, korzystaj˛aczewzorów(C.9)i(C.40).Niech X b˛edziezmienn˛alosow˛aorozkładzie b.k I n;p/ iniech q D 1 p .Zdefinicjiwarto ´ scioczekiwanejmamy
E ŒX D n X k D0 k Pr fX D k g
D n X k D0 kb.k I n;p/
D n X k D1 k n k !p k q n k
D np n X k D1 n 1 k 1!p k 1 q n k (zrównania(C.9)nastr.1110)
D np n 1 X k D0 n 1 k !p k q .n 1/ k
D np n 1 X k D0 b.k I n 1;p/
D np: (zrównania(C.40)).(C.41)
(C.40)
DodatekCZliczanieiprawdopodobie´nstwo
Korzystaj˛aczliniowo ´ sciwarto ´ scioczekiwanej,mozemyotrzyma ´ ctensamrezultat,wykonuj˛acznaczniemniejskomplikowanychoblicze ´ n.Niech Xi b˛edziezmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ a liczb˛esukcesóww i -tejpróbie.WówczasE ŒXi D p 1 C q 0 D p ,aoczekiwanaliczba sukcesówdla n próbwynosi
E ŒX D E " n X i D1 Xi #
D n X i D1 E ŒXi (zrównania(C.24)nastr.1120)
D n X i D1 p
D np: (C.42)
Tosamopodej ´ sciemoznazastosowa ´ cdoobliczeniawariancjinaszegorozkładu.Korzystaj˛ac zrównania(C.31),otrzymujemy Var ŒXi D E ŒX 2 i E2 ŒXi .Poniewa ˙ z Xi przyjmujewył˛acznie warto ´ sci0i1, mamyE ŒX 2 i D E ŒXi D p ;zatem
Var ŒXi D p p 2 D p.1 p/ D pq: (C.43)
Abyobliczy ´ cwariancj˛ezmiennejlosowej X ,skorzystamyzniezale ˙ zno ´ sci n prób;st˛ad posługuj˛acsi˛erównaniem(C.33),mamy
b.k I n;p/ b.k 1I n;p/ D n k p k q n k n k 1 p k 1 q n k C1
D nŠ.k 1/Š.n k C 1/Šp kŠ.n k/ŠnŠq
D .n k C 1/p kq (C.45)
´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
D 1 C .n k C 1/p kq kq :
D 1 C .n k C 1/p k.1 p/ kq :
D 1 C .n C 1/p k kq :
Stosunektenjestwi˛ekszyni ˙ z1,gdy .n C 1/p k jestdodatnie.Zatem b.k I n;p/>b.k 1I n;p/ dla k<.n C 1/p (rozkładro ´ snie)i b.k I n;p/<b.k 1I n;p/ dla k>.n C 1/p (rozkład maleje).Jezeli .n C 1/p jestcałkowite,todla k D .n C 1/p stosunek b.k I n;p/=b.k 1I n;p/ wynosi1,czyli b.k I n;p/ D b.k 1I n;p/.Rozkładmawtedydwamaksima:dla k D .n C 1/p i k 1 D .n C 1/p 1 D np q .Wprzeciwnymwypadkuosi˛agaonmaksimumdladokładnie jednegocałkowitego k ,którelezywprzedziale np q<k<.n C 1/p
Poka ˙ z, ˙ zewarto ´ s ´ cmaksymalnarozkładudwumianowego b.k I n;p/ wynosiwprzybli ˙ zeniu 1=p2 npq ,gdzie q D 1 p .
C.4-6
Pokaz, zeprawdopodobie ´ nstwonieuzyskania zadnegosukcesuw n próbachBernoulliego,kazda zprawdopodobie ´ nstwem p D 1=n,wynosiwprzybli ˙ zeniu 1=e .Poka ˙ z, ˙ zeprawdopodobie ´ nstwo uzyskaniadokładniejednegosukcesujesttak ˙ zewprzybli ˙ zeniurówne 1=e .
? C.4-7
ProfesorRosencrantzrzucamonet˛ a n razyitosamorobiprofesorGuildenstern.Pokaz, zeprawdopodobie ´ nstwo,i ˙ zwyrzuc˛atak˛asam˛aliczb˛eorłów,wynosi 2n n =4n .(Wskazówka: Przyjmij, zedlaprofesoraRosencrantzasukcesemjestwyrzucenieorła,adlaprofesoraGuildensterna–wyrzuceniereszki).Opieraj˛acsi˛enaswoimdowodzie,wykaz, ze n X k D0 n k !2 D 2n n !:
? C.4-8
Poka ˙ z, ˙ zedla 0 k n zachodzinierówno ´ s ´ c
b.k I n;1=2/ 2nH.k=n/ n ;
gdzie H.x/ jestfunkcj˛aentropiizdefiniowan˛arównaniem(C.8)nastr.1110.
? C.4-9
Rozwazmy n próbBernoulliego,gdziedla i D 1;2;:::;n prawdopodobie ´ nstwosukcesuw i -tej próbiewynosi pi ,iniech X b˛edziezmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesów.Niech p pi dlaka ˙ zdego i D 1;2;:::;n.Udowodnij, ˙ zedla 1 k n zachodzinierówno ´ s ´ c
Pr fX<k g k 1 X i D0 b.i I n;p/:
? C.4-10
Niech X b˛edziezmienn˛alosow˛aokre ´ slaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesówwci˛agu An próbBernoulliego,gdzieprawdopodobie ´ nstwosukcesuw i -tejpróbiewynosi pi ,iniech X 0 b˛edziezmienn˛ a losow˛aokre ´ slaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesówwci˛agu A0 n próbBernoulliego,gdzieprawdopodobie ´ nstwosukcesuw i -tejpróbiewynosi p 0 i pi .Udowodnij, ˙ zedla 0 k n zachodzi nierówno ´ s ´ c
Prawdopodobie ´ nstwoosi˛agni˛eciaconajmniejlubconajwyzej k sukcesóww n próbachBernoulliego,ka ˙ zdazprawdopodobie ´ nstwemsukcesu p ,jestcz˛estobardziejinteresuj˛aceni ˙ zprawdopodobie ´ nstwoosi˛agni˛eciadokładnie k sukcesów.Wtympodrozdzialebadamy kra´nce rozkładu dwumianowego:dwaobszaryrozkładu b.k I n;p/,któres˛adalekieod ´ sredniej np .Udowodnimy kilkawa ˙ znychoszacowa ´ nnasumyskładnikówzobukra ´ nców. Napocz˛atkuwyprowadzimyograniczeniedotycz˛aceprawegokra ´ ncarozkładu b.k I n;p/. Ograniczenianalewymkra ´ ncumoznaustali ´ cprzezzamian˛erólsukcesuiporazki.
TwierdzenieC.2 Rozwa ˙ zmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziesukceswyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p .Niech X b˛edziezmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesów.Wówczasdla 0 k n prawdopodobie ´ nstwouzyskaniaconajmniej k sukcesówwynosi
Pr fX k g D n X i Dk b.i I n;p/ n k !p k :
Dowód Dla S f1;2;:::;ng niech AS oznaczazdarzenie, ˙ ze i -tapróbajestsukcesemdla ka ˙ zdego i 2 S .Poniewa ˙ zPr fAS g D p k ,gdzie jS j D k ,wi˛ecmamy
Pr fX k g D Pr fistnieje S f1;2;:::;ng W jS j D k i AS g
Rozwazmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziesukceswyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p .Je ´ sli X jestzmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesów,todla 0 k n prawdopodobie ´ nstwo uzyskaniaconajwy ˙ zej k sukcesówwynosi
Rozwazmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziesukceswyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p , apora ˙ zkazprawdopodobie ´ nstwem q D 1 p .Niech X b˛edziezmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ a ł˛aczn˛aliczb˛esukcesów.Wówczasdla 0<k<np prawdopodobie ´ nstwouzyskaniamniejniz k sukcesówwynosi
Pr fX<k g D k 1 X i D0 b.i I n;p/ < kq np k b.k I n;p/:
Dowód Szacujemyszereg Pk 1 i D0 b.i I n;p/ przezszereggeometrycznymetod˛azdodatkuA.2, str.1078.Dla i D 1;2;:::;k zewzoru(C.45)mamy
b.i 1I n;p/ b.i I n;p/ D iq .n i C 1/p < iq .n i/p kq .n k/p :
Je ´ sliprzyjmiemy
x D kq .n k/p < kq .n np/p
D kq nqp
D k np
<1;
´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
tost˛adwynika, ze
b.i 1I n;p/<xb.i I n;p/
dla 0<i k .Powtarzaj˛actorozumowanie k i razy,otrzymujemy
b.i I n;p/<x k i b.k I n;p/
dla 0 i<k ,ast˛ad
k 1 X
i D0
b.i I n;p/< k 1 X
i D0 x k i b.k I n;p/
<b.k I n;p/ 1 X
i D1 x i
D x 1 x b.k I n;p/
D kq=..n k/p/ ..n k/p kq/=..n k/p/ b.k I n;p/
D kq np kp kq b.k I n;p/
D kq np k b.k I n;p/:
WniosekC.5
Rozwa ˙ zmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziesukceswyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p , aporazkazprawdopodobie ´ nstwem q D 1 p .Dla 0<k<np=2 prawdopodobie ´ nstwo uzyskaniamniejniz k sukcesówjestmniejszenizpołowaprawdopodobie ´ nstwauzyskaniamniej ni ˙ z k C 1 sukcesów.
Dowód Poniewa ˙ z k np=2,mamy
kq np k .np=2/q np .np=2/
D .np=2/q
np=2
1; (C.46)
bo q 1.Je ´ sli X jestzmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛aliczb˛esukcesów,toztwierdzeniaC.4 inierówno ´ sci(C.46)wynika, zeprawdopodobie ´ nstwouzyskaniamniejniz k sukcesówwynosi
Pr fX<k g D k 1 X
i D0 b.i I n;p/<b.k I n;p/:
Mamyzatem
Pr fX<k g
Pr fX<k C 1g D Pk 1 i D0 b.i I n;p/ Pk i D0 b.i I n;p/ D Pk 1 i D0 b.i I n;p/ Pk 1 i D0 b.i I n;p/ C b.k I n;p/ <1=2;
Rozwazmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziesukceswyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p .Niech X b˛edziezmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesów.Wówczasdla np<k<n prawdopodobie ´ nstwouzyskaniawi˛ecejni ˙ z k sukcesówwynosi
Pr fX>k g D n X i Dk C1 b.i I n;p/ < .n k/p k np b.k I n;p/:
WniosekC.7
Rozwazmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziesukceswyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p , aporazkazprawdopodobie ´ nstwem q D 1 p .Dla .np C n/=2<k<n prawdopodobie ´ nstwo uzyskaniawi˛ecejni ˙ z k sukcesówjestmniejszeni ˙ zpołowaprawdopodobie ´ nstwauzyskania wi˛ecejniz k 1 sukcesów.
Wnast˛epnymtwierdzeniurozwa ˙ zanychjest n próbBernoulliego,ka ˙ zdazprawdopodobie ´ nstwem pi uzyskaniasukcesu,dla i D 1;2;:::;n.Jakwynikazzamieszczonegodalej wniosku,mozemyuzy ´ ctegotwierdzeniadowyznaczeniaoszacowaniaprawegokra ´ ncarozkładu dwumianowego,przyjmuj˛ac pi D p dlawszystkichprób.
TwierdzenieC.8
Rozwazmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziew i -tejpróbie,dla i D 1;2;:::;n,sukceswyst˛epuje zprawdopodobie ´ nstwem pi ,apora ˙ zkazprawdopodobie ´ nstwem qi D 1 pi .Niech X b˛edzie zmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesówiniech D E ŒX .Wówczasdla r> zachodzizalezno ´ s ´ c
Pr fX r g e r r :
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Dowód Poniewazdladowolnego ˛>0 funkcja e ˛x jest ´ sci ´ slerosn˛acawzgl˛edem x ,mamy
Pr fX r g D Pr ˚e ˛.X / e ˛r ; (C.47)
gdzie ˛ b˛edzieustalonepó´zniej.Korzystaj˛acznierówno ´ sciMarkowa(C.34),otrzymujemy
Pr ˚e ˛.X / e ˛r E e ˛.X / e ˛r : (C.48)
Głównyci˛ezardowodupoleganaoszacowaniuE e ˛.X / ipodstawieniuodpowiedniej warto ´ sci ˛ wnierówno ´ sci(C.48).NajpierwwyznaczymyE e ˛.X / .Stosuj˛acmetod˛ewska´znikowychzmiennychlosowychzpodrozdz.5.2,przyjmijmy Xi D I fi -ta próbaBernoulliego ko ´ nczysi˛esukcesemg dla i D 1;2;:::;n,tzn. ˙ ze Xi jestzmienn˛alosow˛a,któraprzyjmuje warto ´ s ´ c1,je ´ sliwynikiem i -tejpróbyBernoulliegojestsukces,a0–je ´ sliporazka.Wtedy
X D n X i D1 Xi ; azliniowo ´ sciwarto ´ scioczekiwanejmamy
D E ŒX D E "
sk˛adwynika, ze
X D n X i D1 .Xi pi /:
Podstawiaj˛acpraw˛astron˛etejrówno ´ sciza X ,otrzymujemy
E e ˛.X / D E e ˛ Pn i D1 .Xi pi / D E " n Y i D1 e ˛.Xi pi / # D n Y i D1 E e ˛.Xi pi / ; cowynikaz(C.27),poniewa ˙ zzwzajemnejniezale ˙ zno ´ scizmiennychlosowych Xi wynika wzajemnaniezalezno ´ s ´ czmiennychlosowych e ˛.Xi pi / (patrzzad.C.3-5).Zdefinicjiwarto ´ sci oczekiwanejmamy
E e ˛.Xi pi / D e ˛.1 pi / pi C e ˛.0 pi / qi
D pi e ˛qi C qi e ˛pi pi e ˛ C 1 (C.49) exp.pi e ˛ /;
DodatekCZliczanieiprawdopodobie´nstwo
gdzie exp.x/ oznaczafunkcj˛ewykładnicz˛a: exp.x/ D e x .(Nierówno ´ s ´ c(C.49)wynikaznierówno ´ sci ˛>0, qi 1, e ˛qi e ˛ i e ˛pi 1,aostatniwierszwynikaznierówno ´ sci(3.12)).St˛ad otrzymujemy
E e ˛.X / D n Y i D1 E e ˛.Xi pi / n Y i D1 exp.pi e ˛ /
D exp n X i D1 pi e ˛ !
D exp. e ˛ /; (C.50)
bo D Pn i D1 pi .Zrównania(C.47)oraznierówno ´ sci(C.48)i(C.50)wynikazatem, ze
Pr fX r g exp. e ˛ ˛r/: (C.51)
Przyjmuj˛ac ˛ D ln.r= / (patrzzad.C.5-7),dostajemy
Rozwazmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziewkazdejpróbiesukceswyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem p ,apora ˙ zkawyst˛epujezprawdopodobie ´ nstwem q D 1 p .Niech X b˛edziezmienn˛ a losow˛aoznaczaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesów.Wtedydla r>np zachodzizale ˙ zno ´ s ´ c
Pr fX np r g D n X k Ddnp Cr e b.k I n;p/ npe r r
Dowód Zewzoru(C.41)mamy D E ŒX D np
´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Zadania
? C.5-1
Cojestbardziejprawdopodobne:uzyskaniedokładnie n orłóww 2n rzutachmonet˛asymetryczn˛a, czyuzyskanie n orłóww n rzutachmonet˛asymetryczn˛a?
? C.5-2
UdowodnijwnioskiC.6iC.7.
? C.5-3
Pokaz, ze
k 1 X
i D0 n i !a i <.a C 1/n k na k.a C 1/ b.k I n;a=.a C 1//
dlaka ˙ zdego a>0 ika ˙ zdego k takiego, ˙ ze 0<k<na=.a C 1/.
? C.5-4
Udowodnij, ˙ zeje ´ sli 0<k<np ,gdzie 0<p<1 i q D 1 p ,to
k 1 X
i D0 p i q n i < kq np k np k k nq n k n k
? C.5-5
Pokaz,korzystaj˛acztwierdzeniaC.8, zedla r>n zachodzinierówno ´ s ´ c
Pr f X r g .n /e r r :
Podobnie,pokaz,korzystaj˛aczwnioskuC.9, zedla r>n np zachodzinierówno ´ s ´ c
Pr fnp X r g nqe r r :
? C.5-6
Rozwazmyci˛ag n próbBernoulliego,gdziew i -tejpróbie,dla i D 1;2;:::;n,sukceswyst˛epuje zprawdopodobie ´ nstwem pi ,apora ˙ zkazprawdopodobie ´ nstwem qi D 1 pi .Niech X b˛edzie zmienn˛alosow˛aoznaczaj˛ac˛ał˛aczn˛aliczb˛esukcesówiniech D E ŒX .Pokaz, zedla r 0
Pr fX r g e r 2 =2n :
(Wskazówka: Udowodnij, ze pi e ˛qi C qi e ˛pi e ˛ 2 =2 .Nast˛epniepoprowad´zdowódjak dowódtwierdzeniaC.8,uzywaj˛actejnierówno ´ sciwmiejscenierówno ´ sci(C.49)).
(g) Wprzypadku,kiedynieznaszwarto ´ sci pright i pwrong ,jakiwybór pswitch maksymalizuje najmniejszeprawdopodobie ´ nstwowygranejdlawszystkichmo ˙ zliwychkonfiguracji pright i pwrong ?
Wró ´ cmydopierwotnegosformułowaniaproblemu,wktórymMontydałcimozliwo ´ s ´ c zmianydecyzji,alenieznaszjegozamiarówanistrategii.
(h) Uzasadnij, ˙ zeproawdopodobie ´ nstwowarunkowewygraniasamochodu,je ´ sliwiadomo, ˙ ze Montydajecimozliwo ´ s ´ czmianydecyzji,wynosi
pright pright pswitch C 2pwrong pswitch pright C 2pwrong : (C.52)
Wyja ´ snij,dlaczego pright C 2pwrong ¤ 0
(i) Jakajestwarto ´ s ´ cwyrazenia(C.52)dla pswitch D 1=2?Pokaz, zewybór pswitch <1=2 lub pswitch >1=2 pozwalaMonty’emudobra ´ cwarto ´ sci pright i pwrong ,któredaj˛amniejsz˛awarto ´ s ´ c wyrazenia(C.52)nizprzywyborze pswitch D 1=2.
Wtymproblemieprze ´ sledzimyefektró ˙ znychzało ˙ ze ´ nnaliczb˛esposobówumieszczenia n kul w b ró ˙ znychurnach.
(a) Przypu ´ s ´ cmy, ˙ zejest n ró ˙ znychkuli ˙ zeichkolejno ´ s ´ cwurnieniemaznaczenia.Poka ˙ z, ˙ ze liczbasposobówumieszczeniakulwurnachwynosi b n .
(b) Przypu ´ s ´ cmy, zekules˛aróznei zekulewkazdejzurns˛auporz˛adkowane.Udowodnij, ze liczbasposobówumieszczeniakulwurnachwynosi .b C n 1/Š=.b 1/Š.(Wskazówka: Rozwa ˙ zliczb˛emo ˙ zliwo ´ sciustawienia n ró ˙ znychkuli b 1 nierozró ˙ znialnychpatyków wjednymrz˛edzie).
(c) Przypu ´ s ´ cmy, zekules˛aidentyczne,awi˛ecichkolejno ´ s ´ cwurnieniemaznaczenia.Pokaz, ˙ zeliczbasposobówumieszczeniakulwurnachwynosi b Cn 1 n .(Wskazówka: Ileustawie ´ n zpunktu(b)powtarzasi˛e,je ´ sliprzyjmiemy, zekules˛aidentyczne?).
(d) Przypu ´ s ´ cmy, zekules˛aidentycznei ze zadnazurnniemozezawiera ´ cwi˛ecejnizjedn˛akul˛e, czyli n b .Pokaz, zeliczbasposobówumieszczeniakulwynosi b n
(e) Przypu ´ s ´ cmy, zekules˛aidentycznei ze zadnazurnniemozepozosta ´ cpusta.Przyzałozeniu n b poka ˙ z, ˙ zeliczbasposobówumieszczeniakulwynosi n 1 b 1 .
jestmacierz˛ a A D .aij / wymiaru 2 3,gdziedla i D 1;2 i j D 1;2;3 elementemmacierzy wwierszu i ikolumnie j jest aij .Uzywamywielkichliterdooznaczeniamacierzyiodpowiadaj˛acychimmałychliterzindeksamidooznaczaniaichelementów.Zbiórwszystkichmacierzy wymiaru m n zawieraj˛acychliczbyrzeczywisteoznaczamy Rm n .Wogólnymprzypadkuzbiór macierzy m n oelementachzezbioru S zapisujemyjako S m n
Macierz transponowan˛ a macierzy A oznaczamy AT iotrzymujemyj˛a,zamieniaj˛acwierszezkolumnamiwmacierzy A.Naprzykładdlamacierzy A jakwrównaniu(D.1)macierz transponowana AT wygl˛adatak:
AT D 14 25 36 !
Wektor jestjednowymiarow˛atablic˛aliczb.Naprzykład x D 2 3 5
jestwektoremwymiaru3.Wektorwymiaru n nazywamyczasem n-wektorem.Dooznaczenia wektorówuzywamymałychliter, i -tyelementwektorawymiaru n oznaczamyprzez xi dla i D 1;2;:::;n.Ustalamyte ˙ zstandardow˛aposta ´ cwektorajako wektorkolumnowy równowa ˙ znymacierzy n 1;odpowiadaj˛acymu wektorwierszowy otrzymujemy,wykonuj˛acoperacj˛e transpozycji:
x T D . 235 /:
Wektorjednostkowy ei totakiwektor,którego i -tyelementjestrówny1,awszystkiepozostałe0. Zazwyczajwymiarwektorajednostkowegojednoznaczniewynikazkontekstu.
Szczególniecz˛estorozwa ˙ zasi˛e macierzekwadratowe n n.Naspecjaln˛auwag˛ezasługuj˛ a nast˛epuj˛aceichrodzaje:
1. Macierzdiagonalna spełniawarunek: aij D 0,je ´ slitylko i ¤ j .Poniewazwszystkie elementyle ˙ z˛acepozaprzek˛atn˛as˛arównezeru,macierztegotypujestjednoznacznie wyznaczonaprzezelementyle ˙ z˛acenaprzek˛atnej: diag.a11 ;a22 ;:::;ann / D
a11 0:::0 0a22 :::0 : : : : : : : : 00:::ann :
2. Macierzjednostkowa (identyczno ´ sciowa) n n oznaczanaprzez In jestmacierz˛adiagonaln˛ a zjedynkaminaprzek˛atnej: In D diag.1;1;:::;1/ D ˙ 10:::0 01:::0 : : : : : : : : 00:::1 :
Kiedy I pojawiasi˛ebezindeksu,wymiarmacierzywynikazkontekstu; i -takolumna macierzyjednostkowejjestwektoremjednostkowym ei .
32 t33 t34 :::000
3. Macierztrójdiagonalna T totaka,dlaktórej tij D 0,je ´ slitylko ji j j >1.Niezerowe elementywyst˛epuj˛atylkonagłównejprzek˛atnej,bezpo ´ srednionadni˛a(ti;i C1 dla i D 1;2;:::;n 1)lubbezpo ´ sredniopodni˛a(ti C1;i dla i D 1;2;:::;n 1): T D t11 t12 00:::000 t21 t22 t23 0:::000
:
4. Macierztrójk˛atnagórna U totaka,dlaktórej uij D 0,je ´ sli i>j .Wszystkieelementy ponizejprzek˛atnejs˛awi˛ecrówne0: U D ˙ u11 u12 :::u1n 0u22 :::u2n : : : : : : : : 00:::unn :
6. Macierzpermutacyjna P madokładniejedn˛ajedynk˛ewkazdymwierszuiwkazdej kolumnieorazsamezeranawszystkichpozostałychpozycjach.Przykłademmacierzy permutacyjnejjest P D
1142
Nazwabierzesi˛est˛ad, zepomnozeniewektora x przeztak˛amacierzdajewwynikupermutacj˛e(przestawienie)elementów x .WzadaniuD.1-4zbadamydodatkowewłasno ´ sci macierzypermutacyjnych.
7. Macierzsymetryczna A spełniawarunek A D AT .Naprzykład 123 264 345 jestmacierz˛asymetryczn˛a.
Dodawaniemacierzy definiujemynast˛epuj˛aco.Je ´ sli A D .aij / i B D .bij / s˛amacierzami m n,toichsuma C D .cij / D A C B jestmacierz˛ a m n zdefiniowan˛awtakiotosposób:
cij D aij C bij
dla i D 1;2;:::;m i j D 1;2;:::;n.Dodawaniemacierzyjestwi˛eczdefiniowanepowspółrz˛ednych.Macierzzerowajestelementemneutralnymoperacjidodawaniamacierzy:
A C 0 D A D 0 C A:
Je ´ sli jestwielko ´ sciaskalarn˛a,a A D .aij / –macierz˛a,to A D . aij / jest skalarn˛ a wielokrotno´sci˛ a macierzy A uzyskan˛aprzezpomnozeniekazdegojejelementuprzez .Jako szczególnyprzypadekdefiniujemy macierzprzeciwn˛ a domacierzy A D .aij / jako 1 A D A; zatemelementmacierzy A owspółrz˛ednych .i;j/ jestrówny aij .Zachodziwi˛ec
A C . A/ D 0 D . A/ C A:
Powprowadzeniutejdefinicjimo ˙ zemyzdefiniowa ´ c odejmowaniemacierzy jakododaniemacierzyprzeciwnej: A B D A C . B/. Mno ˙ zeniemacierzy definiujemywnast˛epuj˛acysposób.Bierzemydwiemacierze A i B pasuj˛acedosiebie wtymsensie, zeliczbakolumnmacierzy A jestrównaliczbiewierszy macierzy B .(Wogólno ´ sci,je ´ sliwwyrazeniuwyst˛epujeiloczynmacierzy AB ,tozawsze domy ´ slniezakładamy, ˙ zemacierze A i B pasuj˛adosiebie).Je ´ sli A D .aik / jestmacierz˛ a p q , a B D .bkj / jestmacierz˛ a q r ,toichiloczyn C D AB jestmacierz˛ a C D .cij / wymiaru p r ,gdzie
cij D q X k D1 aik bkj (D.2)
dla i D 1;2;:::;p i j D 1;2;:::;r .ProceduraR ECTANGULAR -M ATRIX -M ULTIPLY na str.354mnozymacierzewsposóbbezpo ´ sredniowynikaj˛acyzewzoru(D.2),przyzałozeniu, ˙ zemacierz C jestzainicjowanajako 0,wykonuj˛ac pqr mno ˙ ze ´ noraz p.q 1/r dodawa ´ n
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
wielko ´ sciskalarnychidziałaj˛acwczasie ‚.pqr/.Je ´ slimacierzes˛akwadratowe n n,czyli n D p D q D r ,topseudokodupraszczasi˛edoproceduryM ATRIX -M ULTIPLY zestr.76,której czasdziałaniato ‚.n3 /.(Wpodrozdziale4.4jestopisanyasymptotycznieszybszyalgorytmV. Strassenadziałaj˛acywczasie ‚.nlg 7 /).
dladowolnejmacierzy A wymiaru m n.Pomno ˙ zenieprzezmacierzzerow˛adajemacierz zerow˛a:
A0 D 0:
Mnozeniemacierzyjestł˛aczne:
A.BC/ D .AB/C
dlapasuj˛acychdosiebiemacierzy A, B i C .Jesttezrozdzielnewzgl˛edemdodawania:
A.B C C/ D AB C AC; .B C C/D D BD C CD:
Dla n>1 mnozeniemacierzy n n niejestjednakprzemienne.Naprzykład,je ´ sli A D 01 00
i B D 00 10 ,to
AB D 10 00 ; za ´ s
BA D 00 01
Iloczynymacierzyprzezwektoriwektoraprzezwektors˛azdefiniowaneprzezutozsamienie wektorazmacierz˛ a n 1 (lubmacierz˛ a 1 n wprzypadkuwektorawierszowego).Je ´ sliwi˛ec A jestmacierz˛ a m n,a x jestwektoremwymiaru n,to Ax jestwektoremwymiaru m.Je ´ sli x i y s˛awektoramiwymiaru n,to
x T y D n X i D1 xi yi
jestliczb˛a(formalnie:macierz˛ a 1 1)nazywan˛ a iloczynemskalarnym x i y .Dooznaczenia x T y stosujemyrównieznotacj˛e hx;y i.Iloczynskalarnyjestprzemienny: hx;y iDhy;x i.
Macierz xy T jestmacierz˛ a Z wymiaru n n (nazywan˛ a iloczynemzewn˛etrznym x i y )tak˛a, ze ´ij D xi yj Norma(euklidesowa) kx k wektora x wymiaru n jestzdefiniowananast˛epuj˛aco:
kx k D .x 2 1 C x 2 2 C C x 2 n /1=2
D .x T x/1=2 :
Jesttowi˛ecdługo ´ s ´ cwektora x w n-wymiarowejprzestrzenieuklidesowej.Uzytecznymfaktem wynikaj˛acymzrówno ´ sci
jestto, ˙ zedladowolnejliczbyrzeczywistej a orazwektora x wymiaru n
kax k D ja jkx k : (D.3)
Zadania
D.1-1
Wykaz, zeje ´ sli A i B s˛asymetrycznymimacierzami n n,to A C B i A B tezs˛atakimi macierzami.
D.1-2
Udowodnij, ze .AB/T D B T AT oraz ze AT A jestzawszemacierz˛asymetryczn˛a.
Udowodnij, ˙ zeje ´ sli P jestmacierz˛apermutacyjn˛ a n n,za ´ s A jestdowoln˛amacierz˛ a n n,to PA moznaotrzyma ´ czmacierzy A przezpermutacj˛ejejwierszy,a AP przezpermutacj˛ekolumn. Udowodnij, ˙ zeiloczyndwóchmacierzypermutacyjnychjestmacierz˛apermutacyjn˛a.
D.2Podstawowewłasno ´ scimacierzy
Wtymdodatkuzdefiniujemypodstawowewłasno ´ sciodnosz˛acesi˛edomacierzy:odwrotno ´ s ´ c, liniow˛azalezno ´ s ´ ciliniow˛aniezalezno ´ s ´ c,rz˛adiwyznacznik.Zdefiniujemytakzeklas˛emacierzy dodatniookre ´ slonych.
Macierzeodwrotne,rz˛edyiwyznaczniki
Macierzodwrotn˛ a domacierzy A wymiaru n n oznaczamyprzez A 1 (je ´ sliistnieje)idefiniujemyjakomacierz n n tak˛a, ze AA 1 D In D A 1 A.Naprzykład
11 10 1 D 01 1 1 :
´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
Wieleniezerowychmacierzykwadratowychniemamacierzyodwrotnych.Macierz,doktórej nieistniejemacierzodwrotna,nazywamymacierz˛ a nieodwracaln˛ a lub osobliw˛ a.Przykładem niezerowejmacierzyosobliwejjest
Je ´ slidladanejmacierzyistniejemacierzodwrotna,tomacierzt˛enazywamy odwracaln˛ a lub nieosobliw˛ a.Macierzeodwrotne,je ´ sliistniej˛a,s˛awyznaczonejednoznacznie(patrzzad.D.2-1).
Je ´ sli A i B s˛anieosobliwymimacierzami n n,to
.BA/ 1 D A 1 B 1 :
Operacjaodwracaniamacierzyjestprzemiennazoperacj˛atransponowania: .A 1 /T D .AT / 1 :
Wektory x1 ;x2 ;:::;xn s˛ a liniowozale ˙ zne,je ´ sliistniej˛awspółczynniki c1 ;c2 ;:::;cn ,nie wszystkierównezeru,takie ˙ ze c1 x1 C c2 x2 C C cn xn D 0.Naprzykładwektorywierszowe x1 D .123/, x2 D .264/ oraz x3 D .4119/ s˛aliniowozalezne,poniewaz 2x1 C 3x2 2x3 D 0.Je ´ sliwektorynies˛aliniowozale ˙ zne,tomówimy, ˙ zes˛ a liniowoniezale ˙ zne.Naprzykład kolumnymacierzyjednostkowejs˛aliniowoniezale ˙ zne. Rz˛adkolumnowy niezerowejmacierzy A wymiaru m n definiujemyjakomocnajwi˛ekszegozbioruliniowoniezale ˙ znychkolumnmacierzy A.Podobnie, rz˛adwierszowy macierzy A okre ´ slamyjakomocnajwi˛ekszegozbioruliniowoniezale ˙ znychwierszymacierzy A.Podstawow˛awłasno ´ sci˛akazdejmacierzy A jestfakt, zerz˛adwierszowyjestzawszerównyrz˛edowi kolumnowemu,takwi˛ecmo ˙ zemypoprostumówi ´ co rz˛edzie macierzy A;oznaczamygoprzez rank.A/.Rz˛admacierzy m n jestliczb˛acałkowit˛azprzedziałuod0do minfm;ng wł˛acznie. (Rz˛admacierzyzerowejwynosi0,arz˛admacierzyjednostkowej n n jestrówny n).Według innej,równowa ˙ znej,acz˛estobardzieju ˙ zytecznejdefinicjirz˛admacierzy A wymiaru m n jest najmniejsz˛aliczb˛ a r otejwłasno ´ sci, ˙ zeistniej˛amacierze B i C wymiaru,odpowiednio, m r i r n,takie ze A D BC .Macierzkwadratowa n n ma pełnyrz˛ad ,je ´ slijejrz˛adjestrówny n Macierz m n ma pełnyrz˛adkolumnowy,je ´ slijejrz˛adjestrówny n.Podstawow˛awłasno ´ s ´ c rz˛edówmacierzycharakteryzujeponizszetwierdzenie.
Wektorzeruj˛acy macierzy A totakiwektorniezerowy x , ze Ax D 0.Ponizszetwierdzenie, któregodowódpozostawiamyjakozadanieD.2-7,orazwynikaj˛acyzniegowniosekodnosz˛ a poj˛eciarz˛edukolumnowegoorazodwracalno ´ scidowektorówzeruj˛acych.
TwierdzenieD.2
Macierz A mapełnyrz˛adkolumnowywtedyitylkowtedy,gdyniemawektorówzeruj˛acych.
WniosekD.3
Macierzkwadratowa A jestosobliwawtedyitylkowtedy,gdymawektorzeruj˛acy.
Minorem ij macierzy A wymiaru n n,dla n>1,nazywamymacierz AŒij wymiaru .n 1/ .n 1/ otrzyman˛aprzezusuni˛ecie i -tegowierszai j -tejkolumnyzmacierzy A Wyznacznik macierzy A wymiaru n n definujemyrekurencyjniezapomoc˛aminorów
det.A/ D ( a11 ; je ˙ zeli n D 1; Pn j D1 . 1/j C1 a1j det.AŒ1j /; je ˙ zeli n>1:
Wyrazenie . 1/i Cj det.AŒij / jestnazywane dopełnieniemalgebraicznym (ang. cofactor)elementu aij
Wyznacznikmacierzykwadratowej A manast˛epuj˛acewłasno ´ sci:
Je ´ sliktórykolwiekwierszlubktórakolwiekkolumnamacierzy A jestzerowa,to det.A/ D 0.
Wyznacznikmacierzy A mnozysi˛eprzez ,je ´ sliwszystkieelementyjednegowiersza(lub jednejkolumny)macierzy A zostałypomno ˙ zoneprzez
Wyznacznikmacierzy A pozostajeniezmieniony,gdyelementywjednymwierszu(kolumnie)zostaj˛adodanedoinnegowiersza(kolumny).
Wyznacznikmacierzy A jestrównywyznacznikowimacierzy AT
Wyznacznikmacierzy A zmieniawarto ´ s ´ cnaprzeciwn˛a,je ˙ zeliktórekolwiekdwawiersze (kolumny)zostałyzamienionemiejscami.
Ponadtodladowolnychmacierzykwadratowych A i B zachodzidet.AB/ D det.A/ det.B/.
TwierdzenieD.5
Macierz A wymiaru n n jestosobliwawtedyitylkowtedy,gdydet.A/ D 0.
Macierzedodatniookre ´ slone
Macierzedodatniookre ´ sloneodgrywaj˛aistotn˛arol˛ewwieluzastosowaniach.Macierz A wymiaru n n nazywamy dodatniookre´slon˛ a,je ´ sli x T Ax>0 dlakazdegowektora x wymiaru n,takiego ˙ ze x ¤ 0.Naprzykładmacierzjednostkowajestdodatniookre ´ slona,poniewa ˙ zdladowolnego niezerowegowektora x D .x1 x2 xn /T zachodzi
Dladowolnejmacierzy A opełnymrz˛edziekolumnowymmacierz AT A jestdodatniookre ´ slona.
Dowód Musimypokaza ´ c, ˙ ze x T .AT A/x>0 dlaka ˙ zdegoniezerowegowektora x .We´zmywi˛ec dowolnywektor x :
x T .AT A/x D .Ax/T .Ax/ (patrzzad.D.1-2)
D kAx k2 :
Zauwa ˙ zmyteraz, ˙ ze kAx k2 topoprostusumakwadratówelementówwektora Ax .Zatem kAx k 0.Pokazemyprzezsprowadzeniedosprzeczno ´ sci, ze kAx k >0.Przypu ´ s ´ cmy, ze kAx k2 D 0.Wtedyka ˙ zdyelement Ax jestrówny0,tj. Ax D 0.Poniewa ˙ z A mapełny rz˛adkolumnowy, Ax D 0 implikuje x D 0,zgodnieztwierdzeniemD.2,cojestsprzeczne zzałozeniem, ze x byłniezerowy.Takwi˛ecmacierz AT A jestdodatniookre ´ slona.
Innewłasno ´ scimacierzydodatniookre ´ slonychs˛aopisanewpodrozdz.28.3.Wpodrozdziale33.3korzystamyzpodobnegopoj˛ecia,znanegojakododatniapółokre ´ slono ´ s ´ c.Macierz A owymiarze n n jest dodatniopółokre´slona je ´ sli x T Ax 0 dlaka ˙ zdegowektoraniezerowego x wymiaru n.
Zadania
D.2-1
Udowodnij, zemacierzodwrotnajestwyznaczonajednoznacznie,czyli zeje ´ sli B i C s˛amacierzamiodwrotnymido A,to B D C
Udowodnij, ˙ zeje ´ sli P jestmacierz˛apermutacyjn˛a,tojestonaodwracalna,macierz˛aodwrotn˛ado niejjest P T ,któratakzejestmacierz˛apermutacyjn˛a.
D.2-4
Niech A i B b˛ed˛amacierzamikwadratowymitakimi, ˙ ze AB D I .Udowodnij, ˙ zeje ´ slimacierz A0 powstałaz A przezdodaniewiersza j dowiersza i ,tomacierz B 0 odwrotn˛ado A0 mo ˙ zna otrzyma ´ cprzezodj˛eciekolumny i odkolumny j wmacierzy B .
D.2-5
Niech A b˛edzienieosobliw˛amacierz˛ a n n,którejelementynale ˙ z˛adociałaliczbzespolonych. Poka ˙ z, ˙ zeka ˙ zdyelementmacierzy A 1 jestrzeczywistywtedyitylkowtedy,gdyka ˙ zdyelement macierzy A jestrzeczywisty.
Problemy
D.2-6
Poka ˙ z, ˙ zeje ´ sli A jestnieosobliw˛amacierz˛asymetryczn˛ a n n,tomacierz A 1 jestsymetryczna. Poka ˙ z, ˙ zeje ´ sli B jestdowoln˛amacierz˛ a m n,to BAB T jestmacierz˛asymetryczn˛a.
D.2-7
UdowodnijtwierdzenieD.2,tzn.pokaz, zemacierz A mapełnyrz˛adkolumnowywtedyitylko wtedy,gdyrówno ´ s ´ c Ax D 0 implikuje x D 0.(Wskazówka: Wyra´zliniow˛azale ˙ zno ´ s ´ cjednej kolumnyodinnychjakorównaniemacierzowo-wektorowe).
D.2-8
Udowodnij, zedladowolnychdwóchpasuj˛acychdosiebiemacierzy A i B zachodzi rank.AB/ minfrank.A/; rank.B/g; przyczymrówno ´ s ´ czachodziwtedy,gdyprzynajmniejjednazmacierzy A lub B jestnieosobliw˛ a macierz˛akwadratow˛a.(Wskazówka: U ˙ zyjalternatywnejdefinicjirz˛edumacierzy).
(Wskazówka: Pomnó ˙ zkolumn˛e i przez x0 ,poczymwynikdodajdokolumny i C 1 dla i D n 1;n 2;:::;1,anast˛epnieuzyjindukcji).
D-2Permutacjedefiniowanejakomno ˙ zeniemacierzyprzezwektornadciałemGF(2) Jedn˛azklaspermutacjiliczbcałkowitychzezbioru Sn Df0;1;2;:::;2n 1g definiujesi˛eprzez mnozeniemacierzynad GF.2/.Nabinarn˛areprezentacj˛ekazdejliczby x z Sn mozemypatrze ´ c jakna n-bitowywektor
x0 x1 x2
: : xn 1 ;
Cz˛e ´ s´cVIIIDodatek:Podstawymatematyczne
gdzie x D Pn 1 i D0 xi 2i .Je ´ sli A jestmacierz˛ a n n,którejka ˙ zdyelementjestrównyalbo0,albo1, tomozemyzdefiniowa ´ cpermutacj˛eodwzorowuj˛ac˛akazd˛awarto ´ s ´ c x z Sn naliczb˛e,której reprezentacjabinarnarównasi˛eiloczynowi Ax .Tutajoperacjearytmetycznes˛awykonywanenad GF.2/:ka ˙ zdazwarto ´ scijestalbo0,albo1izjednymwyj˛atkiemwszystkiezasadydodawania imnozeniamaj˛azastosowanie.Wyj˛atekpoleganatym, ze 1 C 1 D 0.Oarytmetycenad GF.2/ mo ˙ zemymy ´ sle ´ cjakozwykłejarytmetycedlaliczbcałkowitych,ztymwyj˛atkiem ˙ zeu ˙ zywamy tylkonajmniejznacz˛acychbitów.
Naprzykładdla S2 Df0;1;2;3g macierz
A D 10 11 definiujenast˛epuj˛ac˛apermutacj˛e A : A .0/ D 0, A .1/ D 3, A .2/ D 2, A .3/ D 1. Zeby zrozumie ´ c,dlaczego A .3/ D 1,zauwazmy, zepracuj˛acnad GF.2/, A .3/ D 10 11 1 1
1 0 ; cojestbinarn˛areprezentacj˛a1.
Wdalszejcz˛e ´ sciopisutegoproblemuprzyjmujemy, zepracujemynad GF.2/ i zeelementamiwszystkichwektorówimacierzys˛a0i1. Rz˛ad macierzyzero-jedynkowej(macierzy zelementamiowarto ´ sciach0lub1)nad GF.2/ definiujesi˛etaksamojakdlazwykłychmacierzy, aleprzyzałozeniu, zeoperacjearytmetycznewykonywanedlaokre ´ slenialiniowejniezalezno ´ sci s˛awykonywanenad GF.2/.Zdefiniujmy zakres macierzyzero-jedynkowej A wymiaru n n, jako
R.A/ Dfy W y D Ax dlapewnego x 2 Sn g
Zatem R.A/ jestzbioremliczbz Sn ,któremoznaotrzyma ´ c,mnoz˛acelementy x z Sn przez A.
(a) Udowodnij, ˙ zeje ´ sli r jestrz˛edemmacierzy A,to jR.A/jD 2r .Wywnioskujztego, ˙ ze A definiujepermutacj˛enad Sn tylkowtedy,gdy A mapełnyrz˛ad.
Dladanychmacierzy A wymiaru n n ielementu y 2 R.A/ definiujemy przeciwobraz y jako
P.A;y/ Dfx W Ax D y g:
Takwi˛ec P.A;y/ jestzbioremtychwarto ´ sciz Sn ,którepomno ˙ zoneprzez A daj˛ a y .
(b) Udowodnij, zeje ´ sli r jestrz˛edemmacierzy A wymiaru n n i y 2 R.A/,to jP.A;y/jD 2n r .
1150
UwagidododatkuD
Niech 0 m n izałózmy, zedzielimyzbiór Sn nablokikolejnychliczbwtakispo ´ sob, ze i -tyblokskładasi˛ez 2m liczb i2m ;i2m C 1;i2m C 2;:::;.i C 1/2m 1.Dlaka ˙ zdegopodzbioru S Sn definiujemy B.S;m/ jakozbiórwszystkichblokówz Sn owymiarach 2m zawieraj˛acych conajmniejjedenelementz S .Naprzykładdla n D 3, m D 1 oraz S Df1;4;5g zbiór B.S;m/ składasi˛ezbloków0(poniewa ˙ z1jestwbloku0)i2(poniewa ˙ z4i5s˛awbloku2).
(c) Niech r b˛edzierz˛edemdolnej-lewej .n m/ m podmacierzymacierzy A,czylimacierzy zbudowanejwwynikuprzeci˛eciadolnych n m wierszyi m skrajnielewychkolumnmacierzy A.Niech S b˛edziedowolnymblokiemw Sn owymiarze 2m ,a S 0 Dfy W y D Ax dlapewnego x 2 S g.Udowodnij, ˙ ze jB.S 0 ;m/jD 2r oraz ˙ zedlaka ˙ zdegobloku w B.S 0 ;m/ dokładnie 2m r liczbz S jestodwzorowywanychnatenblok.
Poniewazwwynikupomnozeniawektorazerowegoprzezjak˛akolwiekmacierzdostajemy wektorzerowy,zbiórpermutacji Sn zdefiniowanychprzezmnozenienad GF.2/ zero-jedynkowej macierzy n n opełnymrz˛edzieniemo ˙ zezawiera ´ cwszystkichpermutacji Sn .Rozszerzmy klas˛epermutacjidefiniowanychprzezmnozeniemacierzyprzezwektoroskładnikaddytywny wtakisposób, ˙ ze x 2 Sn jestodwzorowywanena Ax C c ,gdzie c jest n-bitowymwektorem idodawaniejestwykonywanenad GF.2/.Naprzykład,gdy
dostajemynast˛epuj˛ac˛apermutacj˛e A;c : A;c .0/ D 2, A;c .1/ D 1, A;c .2/ D 0, A;c .3/ D 3 Permutacj˛e,któraodwzorowuje x 2 Sn na Ax C c ,dlapewnejzero-jedynkowejmacierzy A wymiaru n n opełnymrz˛edzieipewnego n-bitowegowektora c ,nazywamy permutacj˛ a liniow˛ a
(d) Przelicz, ˙ zeliczbaliniowychpermutacjizbioru Sn jestdu ˙ zomniejszani ˙ zliczbawszystkich permutacji Sn .
(e) Podajprzykładliczby n ipermutacjizbioru Sn ,któraniemo ˙ zeby ´ cwyra ˙ zonazapomoc˛ a ˙ zadnejliniowejpermutacji.(Wskazówka: Dlazadanejpermutacjipomy ´ sl,wjakisposób mnozeniemacierzyprzezwektorjednostkowywi˛azezesob˛akolumnytejmacierzy).
