Issuu

Spistre´sci

Przedmowa7

IElementyteoriigrup9

1Przykładygrupipodstawowepoj˛ecia11

2Homomorﬁzmygrup25

3Iloczynyprostegrup.Sko´nczonegrupyabelowe35 4Działaniagrupnazbiorach43

5Zastosowaniadziała´ngrupwteoriigrup61

IIElementyteoriipier´scieni71

6Przykładypier´scieniipodstawowepoj˛ecia73

7Homomorﬁzmyiideałypier´scieni83

8Dziedzinyzjednoznaczno´sci˛arozkładu93

9Pier´scieniewielomianów109

IIIElementyteoriiciał119

Skorowidzpoj˛e´c291

Skorowidzsymboli295

1.Przykładygrupipodstawowepoj˛ecia

Teoriagrupjestjestjednymzgłównychdziałówwspółczesnejalgebry.Jej pocz˛atki,datowanenapierwsz˛apołow˛eXIXwieku,powi˛azanebyłyzpracami młodegomatematykafrancuskiegoE.Galois,którywprowadziłtermingrupy wkontek´sciebada´nnadpermutacjamizbiorówpierwiastkówwielomianów.

Wtymrozdzialeprzedstawiamynaturalneprzykładygrupideﬁniujemy wst˛epnepoj˛ecia.

Grup˛ a nazywamyniepustyzbiór G zdwuargumentowymdziałaniem ◦ : G × G → G,spełniaj˛acymnast˛epuj˛acewarunki:

(a) a ◦ (b ◦ c)=(a ◦ b) ◦ c,dladowolnych a,b,c ∈ G (warunekł˛aczno´sci),

(b) istniejeelement e ∈ G, ˙ ze a ◦ e = e ◦ a = a dladowolnego a ∈ G (istnienie elementuneutralnego),

Złatwo´sci˛amo ˙ znawywnioskowa´c, ˙ zeka ˙ zdagrupamadokładniejeden elementneutralnyoraz, ˙ zeka ˙ zdyelementposiadadokładniejedenelement odwrotny,którynaogółjestoznaczanyprzez a 1 (lub a,gdydladziałania stosujemynotacj˛eaddytywn˛a,tzn. ◦ =+).Warunekł˛aczno´scigwarantuje poprawno´s´cnast˛epuj˛acejnotacjipot˛egowej:

Jezeli G maskończeniewieleelementów,toichliczb˛eoznaczamyprzez |G| inazywamy rz˛edem grupy G.Je ˙ zeli g ∈ G iistniejetakaliczbanaturalna n, ze g n = e,tonajmniejsz˛aliczb˛eotejwłasno´scinazywamy rz˛edem elementu g ioznaczamy o(g ).Oelementachnieposiadaj˛acychrz˛eduskończonegomówimy, zemaj˛arz˛adnieskończony.Jezeliwgrupie G zachodzi warunekprzemienno´sci a ◦ b = b ◦ a dladowolnych a,b ∈ G,to G nazywana jest grup˛aabelow˛ a.

Działaniawskończonejgrupie G mo ˙ znaopisaćzapomoc˛atabelki,której wierszeikolumnys˛aponumerowaneelementamigrupy,za´swpozycji (g,h) wyst˛epujeelement g ◦ h.Je ˙ zeli G = {g1 ,g2 ,...,gn },totabelkadziałania ◦ w G mapostaćTabeli1.1.

Tabela1.1.Tabelkadziałania ◦ wgrupie G

Przykłady

1.Grupyliczbowe. Zbiórliczbcałkowitych Z zdziałaniemdodawaniaielementemneutralnym 0 jestgrup˛aabelow˛a.Podobniezbioryliczbwymiernych Q,liczbrzeczywistych R orazliczbzespolonych C zdziałaniamidodawanialiczbs˛agrupamiabelowymi.Nazywasi˛ejeodpowiednioaddytywnymi grupamiliczbwymiernych,rzeczywistychizespolonych.

Zbiory Q∗ = Q \{0}, R∗ = R \{0} oraz C∗ = C \{0} zdziałaniemmnozeniaielementemneutralnym1s˛agrupamiabelowymi,zwanymigrupami multiplikatywnymiciałliczbwymiernych,rzeczywistychizespolonych,odpowiednio.

2.Grupypermutacji. Niech X b˛edziedowolnymniepustymzbiorem.Przypomnijmy, ˙ zebijekcj˛azbioru X nazywamydowoln˛afunkcj˛e f : X → X ,która jestró ˙ znowarto´sciowaiodwzorowuje X na X ,toznaczyobraz Im(f )= {f (x) | x ∈ X } pokrywasi˛ezezbiorem X .Ka ˙ zdabijekcjaposiadafunkcj˛e odwrotn˛ a f 1 : X → X tak˛a, ˙ ze f ◦ f 1 = f 1 ◦ f =idX , gdzie ◦ oznaczaskładaniefunkcji,za´s idX jestfunkcj˛aidentyczno´sciow˛a(tzn. idX (x)= x dladowolnego x ∈ X ).Poniewa ˙ zskładaniefunkcjijestoperacj˛ a ł˛aczn˛azbiór SX wszystkichbijekcjizbioru X ,zdziałaniemskładaniafunkcji jestgrup˛a.Nazywamyj˛ a grup˛apermutacji zbioru X .Wprzypadkugdy X ma n 2 elementówmoznajegoelementynazwa´ckolejnymiliczbami naturalnymi,tzn. X = {1, 2,...,n}.Grup˛e SX oznaczamywówczasprzez Sn inazywamy grup˛asymetryczn˛astopnia n.Elementygrupysymetrycznej zapisujemywpostacidwuwierszowejtablicy:

f = 12 ...n

f (1) f (2) ...f (n)

Złatwo´sci˛astwierdzamy, ˙ ze |Sn | = n! idla n 3 grupy Sn s˛anieabelowe.

Wostatnimprzypadku,gdyobieliczby n i k s˛anieparzysteosiesymetriiprzechodz˛aprzezdokładniejedenwierzchołek n-k˛ata.Jedenczarnypaciorekmusi by´cumieszczonywtymwierzchołku,za´spozostałesymetryczniewzgl˛edem osicomo ˙ znauczyni´cna (n 1)/2 (k 1)/2 sposobów.Takwi˛ec

k + n (n 1)/2 (k 1)/2 2n

Przyjmuj˛ac, ze [x] oznaczacz˛e´s´ccałkowit˛aliczby x,wszystkieprzypadki mo ˙ znazawrze´cwjednymwzorze

Przykład4.2. Nailesposobówmo ˙ znapokolorowa´cwierzchołkisze´scianu n kolorami?

Rozwi˛azanie. Ponumerujmywierzchołkisze´scianu(jaknaRysunku4.5).Niech X oznaczazbiórwszystkichkolorowańwierzchołków n-kolorami.Oczywi´scie |X | = n8 .Dwakolorowaniauznajemyzaidentyczne,gdyjednootrzymuje si˛ezdrugiegoprzezpewienobrótsze´scianu.Zatempowinni´smyrozwa ˙ zyć działaniena X grupyobrotówwła´sciwychsze´scianu;napodstawieTwierdzenia4.4izomorficznejz S4 .Liczbaorbittegodziałaniajestposzukiwan˛ a liczb˛akolorowańwierzchołków.Rysunek4.5pokazujeczterymo ˙ zliwetypy

14.Konstrukcjegeometryczne

Wramachteoriiciał,wXIXwiekuwypracowanezostałymetodypozwalaj˛acenarozstrzygni˛ecieproblemówrozwazanychprzezstarozytnychGreków izwi˛azanychzwykonalno´sci˛apewnychkonstrukcjigeometrycznychzapomoc˛adwóchprzyrz˛adów:cyrklailinijki.Przypomnijmytrzysłynneproblemy staro ˙ zytnychGreków:

• podwojeniesze´scianu,czylikonstrukcjabokusze´scianuoobj˛eto´scidwukrotniewi˛ekszejodobj˛eto´scidanegosze´scianu;

• trysekcjak˛ata,czylipodziałdanegok˛atanatrzyrównek˛aty;

• kwadraturakoła,czylikonstrukcjakwadratu,któregopolejestrówne poludanegokoła.

Przedstawimywspółczesnepodej´sciedotychproblemów.Poka ˙ zemy, ˙ zeka ˙ zdy znichmanegatywnerozwi˛azanie.Wtymceluustalimynajpierwwła´sciwy gruntdlarozwazanychzagadnień.Interesowaćnasb˛ed˛adługo´sciodcinków napłaszczy´znie,któremo ˙ znaotrzymaćkonstrukcyjniezodcinkówodanych długo´sciach.Rysunki14.1i14.2przedstawiaj˛apodziałdanegoodcinkanadowoln˛ailo´sćjednakowychcz˛e´sci.Mo ˙ zemywi˛ecotrzymaćdowoln˛awymiern˛ a wielokrotno´sćdanejdługo´sci.

Napocz˛atekustalmy,cob˛edziemyrozumieliprzezkonstrukcj˛egeometryczn˛a. Załózmy, zemamydanyodcineknapłaszczy´znie.Wprowad´zmyukładwspółrz˛ednychtak, zeko´ncetegoodcinkas˛awpunktach O =(0, 0) i A =(1, 0).

Rysunek14.1.(a)Konstrukcjaprostejprostopadłejdoprostej iprzechodz˛acej przezpunkt X ,(b)Konstrukcjaprostejrównoległejdoprostej iprzechodz˛acej przezpunkt X

Rysunek14.2.(a)Podziałodcinka OA na n =5 równychcz˛e´sci,(b)Konstrukcja odcinkaodługo´sci a√2

Punktypłaszczyzny,któremo ˙ znaskonstruowa´czapomoc˛acyrklailinijki zpunktów O i A nazwiemy konstruowalnymi.Natomiastwspółrz˛edne punktówkonstruowanychnazwiemy liczbamikonstruowalnymi.Zwró´cmy uwag˛enato, ˙ zedowyznaczaniapunktówkonstruowalnychdopuszczamy nast˛epuj˛aceczynno´sci:

•narysowanieprostejprzezdwapunktywcze´sniejskonstruowane;

• narysowanieokr˛eguo´srodkuwpunkciewcze´sniejskonstruowanym ipromieniurównymodległo´scimi˛edzydwomapunktamijuzskonstruowanymi;

•zaznaczeniepunktówprzeci˛ecianarysowanychprostychlubokr˛egów.

Zauwa ˙ zmy, ˙ ze

Twierdzenie14.1. Zbiór K wszystkichliczbkonstruowalnychjestpodciałemciała liczbrzeczywistych R.Wszczególno´sci, K jestrozszerzeniemciałaliczbwymiernych Q.

Dowód. Nale ˙ zywykazać, ˙ zeje ˙ zeli a,b ∈ K ,to a ± b ∈ K , a ∈ K oraz a b ∈ K , oile b =0.Abyotrzymaćto, ˙ ze a ± b ∈ K ,wystarczyodło ˙ zyćodpowiednio naprostejodcinkiodługo´sciach a i b (jedenzadrugimlubkrótszywewn˛atrz dłuzszego).Niechteraz a,b,c ∈ K izałózmy, zes˛atoliczbydodatnie.

Załó ˙ zmy, ˙ ze |OA| = a, |OB | = b, |OC | = c i |OX | = x (por.Rysunek14.3).

Zpodobie´nstwatrójk˛atów OAC i OBX wynika, ˙ ze a b = c x czyli x = bc a .

Rysunek14.3.Konstrukcjaliczby bc a

Wynikast˛ad, zejezeli b,c ∈ K ,tokład˛ac a =1,otrzymujemy bc ∈ K .Zkolei je ˙ zeli a,b ∈ K ,tokład˛ac c =1,otrzymujemy b a ∈ K

Wniosek14.1. Je ˙ zeli a> 0 i a ∈ K ,to √a ∈ K .

Dowód. Narysujmyokr˛ago´srednicy AB długo´sci 1+ a (Rysunek14.4).Niech H oznaczaspodekwysoko´scitrójk˛ata ABC opuszczonejnaprzeciwprostok˛atn˛ a AB ,takiego ˙ ze

Rysunek14.4.Konstrukcjaliczby √a |AH | =1 oraz |HB | = a.Zpodobie´nstwatrójk˛atów AHC i BHC wynika, ˙ ze |CH | |AH | = |BH | |CH | .

St˛ad |CH |2 =1 · a,czyli |CH | = √a.

Twierdzenie14.2. Liczba a jestkonstruowalnawtedyitylkowtedy,gdyistnieje takici˛agpodciałciała R Q = K0 ⊂ K1 ⊂ ... ⊂ Kn 1 ⊂ Kn , ze a ∈ Kn oraz [Ki : Ki 1 ]=2 dla i =1, 2,...,n.

1.Przykładygrupipodstawowepoj˛ecia

1.1. Zauwa ˙ zmy, ˙ ze Ta,b ◦ Tc,d (x)= Ta,b (cx + d)= acx + ad + b = Tac,ad+b (x).St˛ad otrzymujemy Ta,b ◦ Tc,d = Tac,ad+b .Ponadto T1,0 jestfunkcj˛aidentyczno´sciow˛ a oraz T 1 a,b = Ta 1 , a 1 b . G jestzatemgrup˛a(nieabelow˛a).Pozostałepunkty wynikaj˛abezpo´sredniozpowy ˙ zszychzale ˙ zno´sci.

1.2. Mamynast˛epuj˛acezale ˙ zno´sci: f 2 (x,y )= f ( x,y )=(x,y ),awi˛ec f 2 =id. Ponadto g 2 (x,y )= g ( y,x)=( x, y ), g 3 (x,y )= g (g 2 (x,y ))= g ( x, y )= (y, x) oraz g 4 (x,y )= g (g 3 (x,y ))= g (y, x)=(x,y ).St˛ad g 4 =id oraz g 1 = g 3 .

Takwi˛ec f ◦ g 1 (x,y )= f ◦ g 3 (x,y )= f (y, x)=( y, x).Zdrugiejstrony g ◦ f (x,y )= g ( x,y )=( y, x),czyli f ◦ g 1 = g ◦ f .Wynikast˛ad, zekazdy elementgrupygenerowanejprzezprzekształcenia f i g mo ˙ znaprzedstawić wpostaci f i ◦ g j ,gdzie i =0, 1 oraz j =0, 1, 2, 3.Jawnewzorydlao´smiu mo ˙ zliwychprzekształceńpokazuj˛a, ˙ zes˛aoneró ˙ zne,awi˛ec G jestgrup˛arz˛edu 8.Beztrudumo ˙ zemyzauwa ˙ zyć, ˙ ze G jestizomorficznazgrup˛adiedraln˛ a D4 –grup˛aizometriiwłasnychkwadratu.

1.3. Sugerujemyprzeprowadzeniedowoduindukcyjnego.Zprzemienno´sci ił˛aczno´scidziałania ∗ wynikakrokindukcyjny: (a ∗ b)n+1 =(a ∗ b) ∗ (a ∗ b)n =(a ∗ b) ∗ (an ∗ bn )=(a

1.4. Niech a,b ∈ G.Zzało ˙ zeniawynika, ˙ ze (ba)2 = a2 = b2 = e,awi˛ec korzystaj˛aczł˛aczno´sci,otrzymujemy

ab = ab(ba)2 = ab2 aba = aeaba = a 2 ba = eba = ba.

1.5. Rozwa ˙ zmyrodzin˛ewszystkichpodzbiorówpostaci {g,g 1 },gdzie g ∈ G. Poniewa ˙ z e = e 1 ,wrodzinietejistniej˛azbioryjednoelementowe.Liczba takichpodzbiorówjestparzysta,wi˛ecistniejetakielement x = e, ˙ ze x = x 1 . Wówczas x2 = e.

1.6. Nieidentyczno´scioweelementyw S4 s˛aalbocyklamidługo´sci2,3lub4, alboiloczynamidwóchrozł˛acznychcyklidługo´sci2(transpozycji).Cykle długo´sci3maj˛arz˛ad3,apozostałepermutacjemaj˛arz˛ad2lub4.Takwi˛ec równo´s´c x4 = e spełniaj˛apermutacje:

e, (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2).