Spis treści
Jak tajne liczby pierwsze chronią nasze tajemnice
Euklides pokazuje Alicji, jak znaleźć jej liczbę odszyfrowującą
Rozdział 5. Liczby, które liczą
Liczby trójkątne, ciągi arytmetyczne i geometryczne
Silnie, permutacje i współczynniki dwumianu
Liczby Catalana
Liczby Fibonacciego
Liczby Stirlinga i Bella
Liczby podziału
Liczby hailstone
Rozdział 6. Poniżej linii wody góry lodowej
Ułamki i liczby wymierne
niewymierne
Oś liczbowa pod mikroskopem
Ostatni fragment liczbowej łamigłówki –jednostka urojona
Dalsze konsekwencje.
Liczby zespolone i macierze.
Liczby poza płaszczyzną zespoloną
Dalsze lektury
Indeks
dostosowując swoje stanowisko do największej liczby pierwszej w polu widzenia. Może się nawet wycofać, przyznając, że nie zna wartości największej liczby pierwszej, ale podtrzymując twierdzenie, że taka liczba istnieje.
Najlepszym sposobem odpowiedzi na rozważane pytanie będzie pokazanie, że mając dowolny wyobrażalny zbiór liczb pierwszych, możemy utworzyć nową liczbę pierwszą spoza tej listy. Jeśli na przykład ktoś będzie twierdził, że istniej gdzieś największa liczba nieparzysta, możemy mu zaprzeczyć, mówiąc, że jeśli n jest nieparzyste, to n + 2 jest większą liczbą nieparzystą, nie może więc istnieć największa liczba nieparzysta. To podejście nie sprawdza się tak łatwo w przypadku liczb pierwszych – mając skończoną listę liczb pierwszych, nie mamy sposobu na wykorzystanie tego zbioru do wytworzenia liczby pierwszej, która jest widocznie większa od wszystkich pozostałych. Może więc jednak istnieje największa liczba pierwsza? Skąd mamy wiedzieć, że nasz uparty rozmówca nie ma racji?
A jednak Euklides z Aleksandrii (ok. 300 roku p.n.e.), grecki matematyk i ojciec wszystkich pojęć euklidesowych, to wiedział. Mając listę p1, p2, …, pk, gdzie każde pi oznacza inną liczbę pierwszą, przyjął argumentację, która jest nieco bardziej subtelna. Pokazał, że musi istnieć jedna nowa liczba pierwsza (lub więcej) w określonym zakresie liczb (ale jego argumentacja nie pozwala nam zlokalizować, gdzie dokładnie w tym zakresie znajdują się te liczby).
Oto, jak to działa. Niech p1, p2, …, pk będą listą k początkowych liczb pierwszych. Rozważmy liczbę n, która jest o jeden większa niż iloczyn wszystkich tych liczb, czyli n = p1p2…pk + 1. Liczba n jest liczbą pierwszą lub podzielną przez liczbę pierwszą mniejszą od siebie, którą nie może być żadna z liczb p1, p2, …, pk, gdyż jeśli p jest jedną z tych liczb, to podzielenie n przez p pozostawi resztę 1. Wynika stąd, że każdy pierwszy dzielnik n jest nową liczbą pierwszą, która jest większa od wszystkich liczb pierwszych p1, p2, …, pk i nie większa niż samo n . W szczególności wynika stąd, że nie może być skończonej listy liczb pierwszych zawierającej wszystkie
Euklidesowa nieskończoność liczb pierwszych
liczby pierwsze, a więc ich ci ąg można kontynuować w nieskończoność, nigdy go nie wyczerpując. Odwieczny dowód Euklidesa nieskończoności liczb pierwszych jest jednym z najbardziej podziwianych w całej matematyce.
Wprawdzie argumentacja Euklidesa nie mówi nam dokładnie, gdzie znaleźć następną liczbę pierwszą, ogólna częstość liczb pierwszych jest obecnie dobrze zrozumiała. Jeśli weźmiemy dwie dowolne liczby, powiedzmy a oraz b, bez żadnego wspólnego dzielnika, i rozważymy ciąg a, a + b, a + 2b, a + 3b, …, to okaże się, jak to pokazał niemiecki matematyk Johann Dirichlet (1805–1859), że nieskończenie wiele elementów takiego ciągu to liczby pierwsze. (Oczywiście nie ma nadziei, jeśli a i b mają wspólny dzielnik, powiedzmy d, gdyż wtedy każdy element na liście będzie także wielokrotnością d i nie będzie liczbą pierwszą). Gdy a = 1, natomiast b = 2, otrzymamy znany nam ciąg liczb nieparzystych, który zgodnie z dowodem Euklidesa zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych. W istocie na dość prostej adaptacji argumentacji Euklidesa można pokazać, że inne szczególne przypadki, takie jak ciąg liczb w postaci 3 + 4n, 5 + 6n i 5 + 8n (gdy n przebiega przez kolejne wartości 1, 2, 3, …), mają nieskończenie wiele liczb pierwszych. Ogólny wynik Dirichleta jest jednak trudny do udowodnienia.
Inne proste stwierdzenie mówi, że zawsze istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza większa niż dana liczba n, ale mniejsza niż 2n (dla n ≥ 2). (Jako przypomnienie powiedzmy, że operatory nierówności, jak ten, który oznacza większe lub równe, zawsze są skierowane w stronę mniejszej wielkości). Ten fakt, znany historycznie jako postulat Bertranda, można udowodnić, wykorzystując dość podstawową matematykę, choć sam dowód jest dość sprytny. Możemy zweryfikować postulat dla n do 4000, wykorzystując poniższą listę liczb pierwszych. Najpierw zobaczmy, że każda liczba na liście następująca po 2 jest mniejsza od dwukrotności swojej poprzedniczki:
2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001. ROZDZIAŁ 2. Niekończący się ciąg liczb pierwszych
co jest tym samym wynikiem, który otrzymaliśmy bezpośrednio z definicji. Stosując tę metodę, można samodzielnie sprawdzić, że ϕ(100) = 40, a więc wynika stąd na przykład, że 740 to 1 modulo 100. Jednak, jak już widzieliśmy, najmniejszą potęgą 7, która daje resztę 1, nie jest 40, a jej dzielnik 4.
Wszystko to służy wskazaniu, że liczba wysłana przez Boba do Alicji, me modulo n, może być obliczona bez zbytniego wysiłku na komputerze Boba. Jednocześnie liczby, z którymi mamy do czynienia w praktyce, są bardzo wielkie, więc wyjaśnienie służy pokazaniu, że da się je obsługiwać. Z wielkimi potęgami, z którymi mamy do czynienia, obliczając me, można sobie poradzić etapami w procesie znanym jako szybkie potęgowanie. Bez wchodzenia w szczegóły: metoda ta obejmuje kolejne podnoszenie do kwadratu i mnożenie potęg, aby otrzymać me modulo n przy binarnej postaci e kierującej algorytmem, aby szybko, w kilku krokach, znaleźć potrzebną resztę.
Euklides pokazuje Alicji, jak znaleźć jej liczbę
odszyfrowującą
Odszyfrowywanie liczby to magiczna różdżka odbiorcy, która pozwala na odzyskanie komunikatu. Ta liczba d zostaje wybrana tak, aby iloczyn de zostawiał resztę 1 przy podzieleniu go przez ϕ(n). Ponieważ n = pq jest iloczynem dwóch różnych liczb pierwszych, wartość ϕ(n) = 1 q pq (1 1 p 1 )( −=)( p −1)(q −1). Okazuje się, że istnieje zawsze tylko jedna liczba d w zakresie do ϕ(n) mająca wymaganą cechę.
Komputer Alicji może znaleźć d, wykorzystując algebraiczne narzędzie mające ponad 2300 lat, algorytm Euklidesa, który zaraz przeanalizujemy. Komputer Ewy mógłby oczywiście zrobić to samo, gdyby wiedział, jakie równanie ma rozwiązać. Jednak ponieważ p i q są tajemnicą Alicji, podobnie ma się rzecz z (p – 1)(q – 1) i Ewa nie wie, od czego zacząć.
Euklides pokazuje Alicji, jak znaleźć jej liczbę odszyfrowującą
Istnienie d jest pewne tylko wtedy, gdy nadamy pewne łagodne ograniczenie na (znaną publicznie) szyfrująca liczbę e. Alicja musi sprawić, aby e nie miało wspólnego dzielnika pierwszego z ϕ(n). Dość łatwo spełnić ten warunek, gdyż Alicja może przetestować ϕ(n) pod kątem podzielności przez określone liczby pierwsze i sprawić, że e spełnia te wymagania, bez ujawniania wielkości p i q. W istocie wartością e często używaną w praktyce jest czwarta tak zwana liczba pierwsza Fermata, e = 65537 = 216 + 1. Ta wartość, 2 2 4 + 1, ma szczególnie rzadką cechę: można zbudować regularny wielokąt o bokach e za pomocą linijki i cyrkla. Jej wykorzystanie w kryptografii wynika jednak z tego, że jest dość dużą liczbą pierwszą, która przekracza potęgę 2 dokładnie o 1, co prowadzi do wspomnianego wcześniej procesu szybkiego potęgowania.
Wróćmy do algorytmu Euklidesa. Rozpoczyna się on od obserwacji, że można znaleźć największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb a > b przez kolejne odejmowania. Odnotujmy, że r = a – b ma tę cechę, iż każdy wspólny dzielnik każdej z dwóch z trzech liczb a, b i r będzie także dzielnikiem trzeciej. Jeśli na przykład c jest wspólnym dzielnikiem a i b, czyli a = ca1 oraz b = cb1, wtedy r = a – b = = ca1 – cb1 = c(a1 – b1), co daje rozkład na czynniki r obejmujący dzielnik c. W szczególności NWD a i b jest taki sam jak b i r. Ponieważ obie te liczby są mniejsze od a, mamy teraz taki sam problem, ale w zastosowaniu do mniejszej pary liczb. Powtarzanie tego postępowania doprowadzi do pary, w której NWD jest oczywisty. (Istotnie dwie rozpatrywane liczby będą takie same, gdyż inaczej moglibyśmy wykonać jeszcze jeden krok. Ich wspólna wartość to liczba, której szukamy). Na przykład aby znaleźć NWD a = 558 i b = 396, pierwsze odejmowanie da nam r = 558 – 396 = 162, więc nasza nowa para to 396 i 162. Ponieważ 396 – 162 = 234, naszą trzecią parą staje się 234 i 162, a kontynuując, otrzymujemy pełną listę liczb w postaci:
(558, 396) → (396, 162) → (234, 162) → (162, 72) → (90, 72) → → (72, 18) → (54, 18) → (36, 18) → (18, 18), a więc NWD 558 i 396 to 18.
ROZDZIAŁ 4. Kryptografia: tajemne życie liczb pierwszych
Można zapisać NWD pary liczb na podstawie rozkładu na czynniki pierwsze analizowanej liczby. W tym przykładzie 558 = 2 × 32 × 31, natomiast 396 = 22 × 32 × 11. Przyjmując wspólną potęgę każdej liczby pierwszej biorącej udział w rozkładzie na czynniki, otrzymujemy więc NWD w postaci 2 × 3 2 = 18. Niemniej dla większych liczb znaczniej mniej czasu zajmuje zastosowanie algorytmu Euklidesa, gdyż prościej jest wykonywać odejmowania, niż znajdować rozkład na czynniki pierwsze.
Inna korzyścią ze stosowania algorytmu Euklidesa jest fakt, że można zawsze działać wstecz i w ten sposób wyrazić NWD w postaci dwóch oryginalnych liczb. Aby zobaczyć, jak to działa w poprzednim przykładzie, najlepiej skompresować obliczenia, gdy ta sama liczba pojawia się kilka razy w wyniku kolejnych odejmowań, reprezentując to jako jedno równanie o postaci:
558 = 396 + 162
396 = 2 × 162 + 72
162 = 2 × 72 + 18
72 = 4 × 18.
Zaczynając od przedostatniego wiersza, używamy każdego z małych równań do eliminacji po jednej z pośrednich reszt. W tym przykładzie, wykorzystując najpierw przedostatnie równanie, a potem równanie wyżej, otrzymujemy:
18 = 162 − 2 × 72 = 162 − 2 × (396 − 2 × 162) = = 5 × 162 − 2 × 396
i wreszcie, dochodząc do pierwszego równania, możemy wyeliminować pierwszą pośrednią resztę 162:
= 5 × (558 − 396) − 2 × 396 = 5 × 558 − 7 × 396 = 18.
Euklides pokazuje Alicji, jak znaleźć jej liczbę odszyfrowującą
jednostkę i samą linijkę (bez podziałki) oraz cyrkiel. Okazuje się, że choć obliczenie pierwiastków kwadratowych wprowadza liczby niewymierne, cały zbiór nie wykracza daleko poza liczby wymierne. Zbiór liczb euklidesowych, jak je nazywamy, to te cztery działania arytmetyczne i wyciąganie pierwiastków dowolną liczbę razy.
Na przykład liczba 7− √ 4/3 jest liczbą tego rodzaju. Nawet pierwiastki trzeciego stopnia są poza zakresem narzędzi euklidesowych. Stało się to podstawą prawdopodobnie pierwszego z trzech wielkich nierozwiązanych problemów matematyki. Chodzi o tak zwany problem delijski: zbudowanie pierwiastka trzeciego stopnia z 2, wykorzystując tylko linijkę i cyrkiel. Legenda mówi, że zadanie zostało zesłane przez boga, gdy obywatele Delos zapytali wyrocznię delficką, co powinni zrobić, aby odsunąć zarazę od Aten – problem został przedstawiony w postaci dokładnego podwojenia objętości ołtarza, który był idealnym sześcianem.
Problem pozostał nierozwiązany w czasach klasycznych. To, że pierwiastek trzeciego stopnia z 2 leży poza zakresem narzędzi euklidesowych, zostało ustalone w 1837 roku przez Pierre’a Wantzela (1814–1848). Wymagało to precyzyjnego algebraicznego opisu, co jest możliwe za pomocą klasycznych narzędzi, aby zobaczyć, że pierwiastek trzeciego stopnia z 2 jest liczbą całkowicie innego rodzaju. Sprowadza się to do pokazania, że nigdy nie możemy stworzyć sześcianu z pierwiastków kwadratowych i liczb wymiernych. Jeśli to sformułujemy w ten sposób, niemożność ta brzmi przyjemniej. Jednak nie jest to w żadnym stopniu dowód.
Transcendentalne
W klasie liczb niewymiernych istnieje tajemnicza rodzina liczb transcendentalnych. Liczby te nie powstają w wyniku zwykłych obliczeń arytmetycznych ani wyciągania pierwiastków. Definiując to dokładnie, wprowadzamy najpierw współczesną kolekcję liczb
algebraicznych, które są rozwiązaniami równania wielomianowego o współczynnikach całkowitych, na przykład takim równaniem jest x5 – 3x + 1 = 0. Liczby transcendentalne są zdefiniowane jako klasa liczb niealgebraicznych.
Nie ma jasnego dowodu, czy takie liczby istnieją. Jednak naprawdę istnieją i tworzą bardzo tajemniczą społeczność, a te, które się tam znajdują, niechętnie przyznają się do członkostwa w tym klubie. Na przykład liczba π jest transcendentalna, ale nie jest to do razu widoczne. Jest to wyjaśnione w kolejnym rozdziale, gdy badamy naturę zbiorów nieskończonych, dlaczego „większość” liczb jest transcendentalnych w precyzyjnym sensie.
Na razie pozostanę przy wprowadzeniu najsłynniejszej z liczb transcendentalnych, liczby e = 2,71828… Liczba ta pojawia się w matematyce wyższej i algebrze: stanowi podstawę tak zwanego logarytmu naturalnego, funkcji, która mówi nam, jaka jest powierzchnia pod wykresem funkcji odwrotnej. Liczba ta jest także granicą szeregu liczb, które otrzymujemy przy podniesieniu ilorazu dwóch kolejnych liczb całkowitych n n +1 (= 1 + 1 ) n do potęgi n. (Sprawdźcie na kalkulatorze, jaki jest wynik (129/128)128 – możecie wykonać „szybkie potęgowanie”, obliczając 129/128, a potem podnosząc do kwadratu 7 razy, gdyż 27 = 128).
Ten ciąg pojawia się, gdy rozpatrujemy problem ograniczania wartości procentów złożonych przy ciągłym zmniejszaniu odcinka wypłaty z rocznego na miesięczny, dzienny i tak dalej. Aby pokazać tę kwestię, rozpatrzmy przypadek wypłaty odsetek z rocznym oprocentowaniem 100%, składając n rat rocznie, co oznacza, że nasze początkowe odsetki są mnożone przez czynnik n (1 + 1 ) n razy w ciągu roku. Podstawa będzie wtedy mnożona przez czynnik n (1 + 1 ) n . Im częściej otrzymujecie wypłatę odsetek, tym więcej będziecie zarabiać, gdyż n staje się coraz większe. Jednak w miarę wzrostu n efektywne oprocentowanie (APR – Annual Percentage Rate, roczna stopa oprocentowania) nie zwiększy się poza wszelkie granice, a będzie się zbliżać do górnego ograniczenia, zgodnie z matematycznymi
Rysunek 15. Mnożenie przez i obraca liczbę zespoloną o kąt prosty
Rodzaje działań, które wykorzystują te dwie cechy, są znane jako liniowe i mają ogromne znaczenie w całej matematyce. Warto tu tylko zwrócić uwagę na fakt, że efekt takiego działania L jest określony przez jego działanie na dwóch punktach (1, 0) oraz (0, 1). Przypuśćmy więc, że L(1, 0) = (a, b) oraz L(0, 1) = (c, d). Wtedy dla każdego punktu (x, y) mamy (x, y) = x (1, 0) + y (0, 1). Wykorzystując cechy operacji liniowych, otrzymujemy:
L ( x , y )= L ( x (1,0)+ y (0,1))= xL (1,0)+ yL (0,1)= = x (a , b )+ y ( c , d )=( ax , bx )+( cy , dy )=( ax + cy , bx + dy ).
Te informacje można podsumować za pomocą czegoś, co jest znane jako równanie macierzowe: ab cd ( x , y ) =(ax + cy , bx + dy ).
ROZDZIAŁ 8. Jak nie myśleć o liczbach
Nakreśliliśmy tu przykład mnożenia macierzy, który pokazuje ogólny sposób jego przeprowadzenia. Macierz to prostokątna tablica wierszy i kolumn złożonych z liczb. Jednak macierze reprezentują inny rodzaj obiektu dwuwymiarowego, a co więcej, przenikają niemal całą wyższą matematykę, w postaci czystej i stosowanej. Reprezentują cały korpus algebry, a duża część współczesnej matematyki dąży do przedstawienia się przez macierze, które okazały się tak przydatne. Dwie macierze o tej samej liczbie wierszy i kolumn są dodawane pozycja po pozycji. Aby na przykład znaleźć wpis w drugim wierszu i trzeciej kolumnie sumy dwóch macierzy, po prostu dodajemy elementy umieszczone w odpowiednim miejscu w obu dodawanych macierzach. Jednak to mnożenie macierzy nadaje tej tematyce nowy i ważny charakter, a sposób jego przeprowadzenia wypłynął samoistnie w poprzednim przykładzie – każdy element w iloczynie macierzy jest tworzony przez wykorzystanie iloczynu skalarnego wiersza pierwszej macierzy z kolumną drugiej, co oznacza, że element jest sumą odpowiednich iloczynów, gdy wiersz pierwszej macierzy jest umieszczany na kolumnie drugiej.
Macierze spełniają wszystkie prawa algebry poza przemiennością mnożenia, co oznacza, że dla dwóch macierzy A i B nie jest ogólnie prawdą AB = BA. Jednak mnożenie macierzy jest łączne, co oznacza, że iloczyny dowolnej długości można zapisać w sposób jednoznaczny bez potrzeby stosowania żadnych nawiasów.
Przekształceniami liniowymi na płaszczyźnie są zwykle obroty wokół środka układu, odbicia względem linii przechodzących przez środek, powiększenia i zmniejszenia względem środka układu oraz tak zwane ścinanie, które przesuwa punkty równolegle względem ustalonej osi o wielkość proporcjonalną do ich odległości od osi w sposób podobny do tego, w jaki strony książki przesuwają się jedna po drugiej. Na każdy ciąg takich przekształceń można wpłynąć przez pomnożenie przez siebie wszystkich odpowiednich macierzy, aby uzyskać jedną macierz, która ma taki sam efekt netto jak wszystkie przekształcenia wykonane po kolei. Wiersze wynikowej macierzy są
Liczby zespolone i macierze