21. гâíîì³ðíèé ðóõ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ïî êîëó

4. Ïîð³âíÿéòå ÷àñ ðóõó êóëüêè íà ïåðø³é òà äðóã³é ÷àñòèíàõ øëÿõó ïî æîëîáó. 5. Çðîá³òü ïîçíà÷êè íà ãîðèçîíòàëüí³é ä³ëÿíö³ øëÿõó êóëüêè íà â³äñòàíÿõ, ùî äîð³âíþþòü â³äñòàíÿì, â³äì³÷åíèì íà æîëîá³. Çàíåñ³òü çíà÷åííÿ öèõ â³äñòàíåé äî òàáëèö³, ÿê øëÿõè, ùî ïðîõîäèòü êóëüêà ïî ãîðèçîíòàëüí³é ä³ëÿíö³ (ñòîëà). 6. ³äïóñêàþ÷è êóëüêó ç â³äì³÷åíèõ íà æîëîá³ ì³ñöü, âèì³ðÿéòå: 1) ÷àñ ðóõó êóëüêè ïî ãîðèçîíòàëüí³é ä³ëÿíö³ øëÿõó äî ïåðøî¿ òà äðóãî¿ ïîçíà÷îê; 2) ñåðåäí³ øâèäêîñò³ ¿¿ ðóõó íà öèõ ä³ëÿíêàõ.

Ðåçóëüòàòè âèì³ðþâàíü çàïèø³òü ó òàáëèöþ. 7.Ïîð³âíÿéòå ñåðåäí³ øâèäêîñò³ ðóõó êóëüêè ïî æîëîáó ç â³äïîâ³äíèìè øâèäêîñòÿìè ðóõó ïî ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³. 8. Çðîá³òü âèñíîâêè ùîäî îñîáëèâîñòåé ðóõó êóëüêè ïî æîëîáó òà ãîðèçîíòàëüí³é ïîâåðõí³ ñòîëà.

§21. вÂÍÎ̲ÐÍÈÉ ÐÓÕ ÌÀÒÅвÀËÜÍί ÒÎ×ÊÈ ÏÎ ÊÎËÓ

Ðóõ ò³ëà ïî êîëó. Ó ïðèðîä³ òà òåõí³ö³ ìè ÷àñòî çóñòð³÷àºìîñÿ ç êðèâîë³í³éíèìè ðóõàìè. Îäíèì ç âèïàäê³â òàêîãî ðóõó º ðóõ ò³ëà ïî êîëó. Ïðèâ’ÿæåìî äî öóïêî¿ íèòêè ÿêèéñü íåâåëèêèé òÿãàðåöü, íàïðèêëàä ãàéêó, ³ ïî÷íåìî ¿¿ ðîçêðó÷óâàòè, òðèìàþ÷è çà â³ëüíèé ê³íåöü. Òðàºêòîð³ÿìè ðóõó óñ³õ òî÷îê òÿãàðöÿ áóäóòü êîëà. Òàêèé ðóõ ò³ëà íàçèâàþòü ðóõîì ïî êîëó. ßêùî íèòêà äîñèòü äîâãà, òî ðàä³óñè ê³ë, ÿê³ îïèñóþòü ð³çí³ òî÷êè òÿãàðöÿ, ìàëî ðîçð³çíÿòèìóòüñÿ, à ¿õ öåíòðè ïðàêòè÷íî çá³ãàòèìóòüñÿ. Çà òàêèõ óìîâ ðîçì³ðàìè ò³ëà ìîæíà çíåõòóâàòè ³ ââàæàòè éîãî ìàòåð³àëüíîþ òî÷êîþ.

Ïðèêëàäàìè ðóõó ò³ë ïî êîëó º ðóõ êàá³íîê êîëåñà îãëÿäó (ìàë.2.49), ðóõ àâòîìîá³ëÿ ïî äóç³ êîëà ïðè ïîâîðîò³ (ìàë. 2.50), ðóõ Çåìë³ òà ³íøèõ ïëàíåò íàâêîëî Ñîíöÿ, ðóõ øòó÷íèõ ñóïóòíèê³â Çåìë³ ïî êîëîâèì îðá³òàì. ßê ðóõ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ïî êîëó ìîæíà ðîçãëÿäàòè ðóõ êëàïàíà (“çîëîòíèêà”)

Ðóõ ò³ëà, ðîçì³ðàìè ÿêîãî ó ïîð³âíÿíí³ ç ðàä³óñîì êîëà, ïî ÿêîìó âîíî ðóõàºòüñÿ, ìîæíà çíåõòóâàòè, íàçèâàþòü ðóõîì ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ïî êîëó.

Ìàë.2.49 Ìàë.2.50

Ìàë.2.51 Ìàë.2.52

âåëîñèïåäíî¿ êàìåðè â³äíîñíî ñàìîãî âåëîñèïåäà é îêðåìèõ ÷àñòèí éîãî êîëåñà. ßêùî ï³ä ÷àñ ðóõó ïî êîëó çà áóäü-ÿê³ îäíàêîâ³ ïðîì³æêè ÷àñó ìàòåð³àëüíà òî÷êà îïèñóº äóãè îäíàêîâî¿ äîâæèíè, òî òàêèé ðóõ íàçèâàþòü ð³âíîì³ðíèì ðóõîì ïî êîëó. ϳä ÷àñ ð³âíîì³ðíîãî ðóõó ïî êîëó ìîäóëü øâèäêîñò³ ðóõó ò³ëà (ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè) íå çì³íþºòüñÿ, à ¿¿ íàïðÿìîê çì³íþºòüñÿ.

Ïåðåêîíàòèñÿ â öüîìó ìîæíà, ñïîñòåð³ãàþ÷è ïðîöåñ çàòî÷óâàííÿ ³íñòðóìåíòà íà åëåêòðè÷íîìó òî÷èë³ ÷è ³íøîìó ïîä³áíîìó ïðèëàä³. ²ñêðè— ÷àñòèíêè ðîçïå÷åíîãî ìåòàëó ³ ñàìîãî êàìåíÿ, ùî â³äðèâàþòüñÿ â ð³çíèõ éîãî òî÷êàõ, ðóõàþòüñÿ ïî äîòè÷íèõ äî êîëà (ìàë.2.51).

Òàê ñàìî ïî äîòè÷í³é äî êîëà áóäå ðóõàòèñÿ òÿãàðåöü, ÿêùî íèòêà, íà ÿê³é éîãî ðîçêðó÷óþòü, ðàïòîì îá³ðâåòüñÿ (ìàë.2.52).

Ìàë.2.53 Ìàë.2.54

ßê ïðàâèëî, áóäü-ÿêèé êðèâîë³í³éíèé ðóõ ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ìîæíà ïîäàòè ÿê ðóõ ïî äóãàõ ê³ë ð³çíîãî ðàä³óñà (ìàë.2.53, 2.54).

Ïåð³îä ³ ÷àñòîòà îáåðòàííÿ. Îñîáëèâ³ñòþ ðóõó ïî êîëó º òå, ùî ò³ëî (ìàòåð³àëüíà òî÷êà) ÷åðåç äåÿêèé ïðîì³æîê ÷àñó, îïèñàâøè ïîâíå êîëî, ïîâåðòàºòüñÿ â ïî÷àòêîâå ïîëîæåííÿ. Ó òàêîìó ðàç³ ãîâîðÿòü:“Ò³ëî çðîáèëî îäèí ïîâíèé îáåðò”. ʳëüê³ñòü îáåðò³â, ÿê³ ðîáèòü ò³ëî çà òîé ÷è ³íøèé ÷àñ,— îäíà ç õàðàêòåðèñòèê ðóõó ò³ëà ïî êîëó. Çàçâè÷àé ê³ëüê³ñòü îáåðò³â ïîçíà÷àþòü âåëèêîþ ëàòèíñüêîþ ë³òåðîþ N. ßêùî êîæåí îáåðò ò³ëà â³äáóâàºòüñÿ ïðîòÿãîì îäíîãî é òîãî ñàìîãî ïðîì³æêó ÷àñó, îáåðòàííÿ íàçèâàþòü ïåð³îäè÷íèì.

Ïåð³îä îáåðòàííÿ ïîçíà÷àþòü ë³òåðîþ Ò ³ âèì³ðþþòü ó ñåêóíäàõ. Íàïðèêëàä, ÿêùî Ò= 1 ñ, öå îçíà÷àº, ùî ò³ëî çä³éñíþº îäèí ïîâíèé îáåðò çà îäíóñåêóíäó. ßêùî, êàòàþ÷èñü íà âåëîñèïåä³, çà ÷àñ t= 10c âè çðîáèëè N= 20 ïîâíèõ îáåðò³â ïåäàT ëåé, òî ïåð³îä îáåðòàííÿ ïåäàëåé ñòàíîâèòèìå .

Ïîçíà÷èâøè ÷àñ ë³òåðîþ t, ìîæíà çàïèñàòè ôîðìóëó äëÿ çíàõîäæåííÿ ïåð³îäó îáåðòàííÿ ò³ëà:

×àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî ò³ëî ðîáèòü îäèí ïîâíèé îáåðò, íàçèâàþòü ïåð³îäîì îáåðòàííÿ.

ï = =

10c 0,5c

20

T = t N

Ïåð³îä îáåðòàííÿ — âàæëèâà õàðàêòåðèñòèêà ðóõó ïëàíåò. Íàïðèêëàä, Çåìëÿ ðîáèòü ïîâíèé îáåðò íàâêîëî Ñîíöÿ çà 1 ð³ê (365 ä³á). Ïåð³îä îáåðòàííÿ Çåìë³ íàâêîëî Ñîíöÿ ñòàíîâèòü 365 ä³á. ×àñòîòà îáåðòàííÿ. Øâèäê³ñòü, ç ÿêîþ ¿äå âàø âåëîñèïåä, çàëåæèòü â³ä ê³ëüêîñò³ îáåðò³â ïåäàëåé, ÿê³ âè ðîáèòå çà îäíó õâèëèíó ÷è îäíó ñåêóíäó (çà îäèíèöþ ÷àñó). À ÿê çíàéòè, ñê³ëüêè îáåðò³â çðîáëåíî ïåäàëÿìè çà 1ñ? Äëÿ öüîãî ïîòð³áíî çàãàëüíó ê³ëüê³ñòü çðîáëåíèõ îáåðò³â ïîä³ëèòè íà ÷àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî âè êðóòèëè ïåäàë³. ßêùî 20 îáåðò³â ïåäàëåé âè çðîáèëè çà 10 ñ, = òî çà îäíó ñåêóíäó âè âñòèãëè çðîáèòè . 20îá îá 2 10c ñ ×àñòîòó îáåðòàííÿ ïîçíà÷àþòü ìàëåíüêîþ ëàòèíñüêîþ ë³òåðîþ n ³ âèì³ðþþòü ó îáåðòàõ çà ñåêóíäó . ßêùî ò³ëî ðîáèòü îäèí îáåðò çà îäíó ñåêóíäó, òî ÷àñòîòà éîãî îáåðòàííÿ

Ùîá âèçíà÷èòè ÷àñòîòó îáåðòàííÿ, ïîòð³áíî ê³ëüê³ñòü îáåðò³â, çðîáëåíèõ ò³ëîì, ïîä³ëèòè íà ÷àñ, ïðîòÿãîì ÿêîãî âîíè áóëè çä³éñíåí³:

Ó òåõí³ö³ âèêîðèñòîâóþòü é ³íøó îäèíèöþ— îáåðò çà õâèëèíó . Çðîçóì³ëî, ùî çà 1 õâ ò³ëî, ùî îáåðòàºòüñÿ, çðî= áèòü ó 60 ðàç³â á³ëüøå îáåðò³â, í³æ çà 1ñ: .

Îñê³ëüêè ïåð³îä— öå ÷àñ, çà ÿêèé â³äáóâàºòüñÿ îäèí ïîâíèé îáåðò, à ÷àñòîòà— ê³ëüê³ñòü îáåðò³â çà îäèíèöþ ÷àñó, òî = ì³æíèìè ³ñíóº ïðîñòå ñï³ââ³äíîøåííÿ: (ïîð³âíÿéòå ôîðìóëè äëÿ âèçíà÷åííÿ ïåð³îäó ³ ÷àñòîòè).

ʳëüê³ñòü îáåðò³â, ÿê³ ò³ëî ðîáèòü çà îäèíèöþ ÷àñó, íàçèâàþòü ÷àñòîòîþ îáåðòàííÿ.

  îá     ñ

=−1

1 1 1c ñ (CI).

n = N t

  îá     1 õâ

îá îá60 1 õâ ñ

1 T

n

Ìàë.2.55

Ìàë.2.56 Ìàë.2.57

³ä ïåð³îäó îáåðòàííÿ êîë³ñ àâòîìîá³ë³â, ìîòîöèêë³â, âåëîñèïåä³â çàëåæèòü øâèäê³ñòü ¿õ ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ³ ïðîéäåíèé íèìè øëÿõ. Øëÿõ, ÿêèé ïðîõîäèòü êîëåñî çà îäèí îáåðò, äîð³âíþº äîâæèí³ éîãî êîëà. Äîâæèíà ïðîòåêòîðà øèíè êîëåñà, ùî êîòèòüñÿ ïî äîðîç³, çàëåæèòü â³ä éîãî ðàä³óñà ³ âèçíà÷àºòüñÿ çà â³äîìîþ ôîðìóëîþ: l= 2r = d (ìàë.2.55). Âåëîñèïåä, àâòîìîá³ëü ïðî¿äóòü òèì äîâøó â³äñòàíü, ÷èì á³ëüøå îáåðò³â çðîáëÿòü ¿õ êîëåñà. Çà ðàä³óñîì r àáî ä³àìåòðîì d êîëåñà òà ê³ëüê³ñòþ îáåðò³â N, ÿêå âîíî çðîáèëî çà ïåâíèé ÷àñ, ìîæíà âèçíà÷èòè ïðîéäåíèé êîëåñîì øëÿõ: s = lN = 2rN = dN.

×èì äàë³ çíàõîäèòüñÿ òî÷êà â³ä îñ³ îáåðòàííÿ, òèì á³ëüøèé ðàä³óñ ³ á³ëüøà äîâæèíà êîëà, ÿêå âîíà îïèñóº. Ïðîòå ÷àñ, çà ÿêèé â³äáóâàºòüñÿ îäèí ïîâíèé îáåðò, º îäíàêîâèì äëÿ óñ³õ òî÷îê ò³ëà.

Íà ïðèíöèï³ ï³äðàõóíêó ÷èñëà îáåðò³â êîë³ñ â³äîìîãî ðàä³óñà (ä³àìåòðà) ïðàöþþòü ïîêàæ÷èêè øëÿõó (îäîìåòðè), âìîíòîâàí³ ó ñï³äîìåòðè àâòîìîá³ë³â (ìàë. 2.56), âåëîñèïåä³â (ìàë.2.57), ìîòîöèêë³â. Òàêîæ íà öüîìó ïðèíöèï³ ´ðóíòóºòüñÿ ä³ÿ êóðâ³ìåòð³â, ÿê³ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ âèçíà÷åííÿ â³äñòà-

Ìàë.2.58 Ìàë.2.59

íåé íà ì³ñöåâîñò³ (ìàë.2.58) òà íà ìàïàõ (ìàë.2.59). Ðàä³óñ ¿õ êîë³ùàò äîáèðàþòü òàê, ùîá äîâæèíà ¿õ îáîäà ñòàíîâèëà 1ì àáî 1ñì.

Ïåð³îä ³ ÷àñòîòà îáåðòàííÿ — âàæëèâ³ õàðàêòåðèñòèêè áàãàòüîõ ìàøèí ³ ìåõàí³çì³â, äå âèêîðèñòîâóºòüñÿ îáåðòàëüíèé ðóõ: äâèãóí³â àâòîìîá³ë³â ³ ë³òàê³â, åëåêòðîäâèãóí³â, ùî ïðèâîäÿòü ó ðóõ ñòàíêè, êóõîíí³ ìàøèíè, âåíòèëÿòîðè, åëåêòðîïîòÿãè. Òîìó ÷àñòîòà îáåðò³â çàâæäè âêàçóºòüñÿ íà ñïåö³àëüíèõ òàáëè÷êàõ íà äâèãóíàõ, à òàêîæ ó òåõí³÷íèõ ïàñïîðòàõ äî íèõ (ìàë.2.60).

Ðóõ ïî êîëó ìîæå áóòè ð³âíîì³ðíèì ³ íåð³âíîì³ðíèì. ßêùî äîâæèíè äóã ê³ë, ÿê³ îïèñóº òî÷êà ò³ëà, ùî îáåðòàºòüñÿ, çà

Ìàë.2.60

áóäü-ÿê³ ïðîì³æêè ÷àñó îäíàêîâ³, òàêå îáåðòàííÿ íàçèâàþòü ð³âíîì³ðíèì.

Øâèäê³ñòü ìàòåð³àëüíî¿ òî÷êè ï³ä ÷àñ ðóõó ïî êîëó. Ñïîñòåð³ãàþ÷è çà îáåðòàííÿì êîëåñà âåëîñèïåäà, âè ïîì³÷àëè, ùî éîãî ñïèö³ ìîæíà ðîçãëåä³òè á³ëÿ îñåé, íàâ³òü ÿêùî âîíî ðóõàºòüñÿ äîñèòü øâèäêî, à á³ëÿ îáîä³â ¿õ ðîçãëåä³òè íåìîæëèâî. ×îìó òàê? Ïîÿñíèòè öå ìîæíà òèì, ùî çà îäíàêîâèé ÷àñ, íàïðèêëàä çà ïåð³îä îáåðòàííÿ, ð³çí³ òî÷êè íà ñïèö³ êîëåñà îïèñóþòü ð³çí³ òðàºêòî𳿠³ ïðîõîäÿòü ð³çíèé øëÿõ. ×èì äàë³ â³ä îñ³ îáåðòàííÿ ðîçòàøîâàíà òî÷êà, òèì á³ëüøèé ðàä³óñ ³ á³ëüøà äîâæèíà êîëà, ÿêå âîíà îïèñóº. Íåõàé êîëåñî ðîáèòü îäèí îáåðò çà 1 ñ. Òîä³ òî÷êà íà éîãî ñïèö³, ðîçòàøîâàíà íà â³äñòàí³ r = 5ñì â³ä îñ³ îáåðòàííÿ, çà öåé ÷àñ ïðîõîäèòü øëÿõ, ùî äîð³âíþº äîâæèí³ êîëà: s = 2r = 2 @ 3,14 @ 5ñì ≈ 31ñì ≈ 0,3ì. ¯¿ ì øâèäê³ñòü ïî êîëó ñòàíîâèòèìå ïðèáëèçíî . Òî÷êà êîëåñà íà â³äñòàí³ R= 30ñì îïèñóº êîëî, äîâæèíà ÿêîãî ó ø³ñòü ðàç³â á³ëüøà— ïðèáëèçíî 1,9 ì. Ó ñò³ëüêè æ ðàç³â á³ëüøîþ º ì øâèäê³ñòü ç ÿêîþ âîíà ðóõàºòüñÿ,— .

Ñàìå ë³í³éíà øâèäê³ñòü ïðîòåêòîðà øèíè âèçíà÷ຠøâèäê³ñòü àâòîìîá³ëÿ, âåëîñèïåäà, ìîòîöèêëà.

0,3

ñ

1,9

ñ

Øâèäê³ñòü, ç ÿêîþ ðóõàºòüñÿ òî÷êà ïî êîëó, íàçèâàºòüñÿ ë³í³éíîþ øâèäê³ñòþ ðóõó ïî êîëó.

Ùîá çíàéòè ë³í³éíó øâèäê³ñòü òî÷êè, íåîáõ³äíî äîâæèíó êîëà, ÿêå âîíà îïèñóº, ïîä³ëèòè íà ïåð³îä îáåðòàííÿ, àáî ïîìíîæèòè íà ÷àñòîòó îáåðòàííÿ:

v 2π = = πν 2 r r .

T

̳ñÿöü— ïðèðîäíèé ñóïóòíèê Çåìë³. Íàéáëèæ÷å äî Çåìë³ ïðèðîäíå êîñì³÷íå ò³ëî — öå ̳ñÿöü. Óïðîäîâæ ì³ëüéîí³â ðîê³â â³í íåâ³äñòóïíî ñóïðîâîäæóº Çåìëþ ó êîñì³÷íîìó ïðîñòîð³, îáåðòàþ÷èñü íàâêîëî íå¿.

̳ñÿöü ðîáèòü îäèí îáåðò íàâêîëî Çåìë³ ïðèáëèçíî çà 29,5 çåìíèõ ä³á. Ïåð³îä éîãî îáåðòàííÿ íàâêîëî Çåìë³ òàêèé, ÿê ³ ïåð³îä îáåðòàííÿ íàâêîëî âëàñíî¿ îñ³. Òîìó ̳ñÿöü çàâæäè îáåð-