Curso 45 by Administrador IEM Libertad

EXPERIENCIAS PARA ESTIMULAR EL PROCESO DE ENSEÑANZA - APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA

Curso 45

Autoras Dr. C. Juana V. Albarrán Pedroso ISP “Enrique José Varona”- Ciudad de La Habana Miembro de la Comisión Nacional de Matemática Dr. C. Teresa León Roldán Investigadora del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas (ICCP) Miembro de la Comisión Nacional de Matemática MSc. Lázara Herrera Martínez Investigadora aspirante del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas (ICCP) MSc. Alina Parets Gómez ISP “Enrique José Varona”- Ciudad de La Habana Miembro de la Comisión Nacional de Matemática

Edición: Dr. C. María Julia Moreno Castañeda Corrección: Lic. José Luis Leyva Labrada. Diseño y composición: MSc. Nelson Piñero Alonso

ISBN

978-959-18-0453-2

Sello Editor EDUCACIÓN CUBANA Dirección de Ciencia y Técnica Avenida 3ra # 1408 esquina a 16. Miramar, Playa. Ciudad de La Habana. Cuba. Teléfono: (53-7) 202-2259

ÍNDICE Introducción / 1 Exigencias del desarrollador/ 3

proceso

enseñanza

aprendizaje

La heurística como forma de enseñanza desarrolladora/ 26 Ideas introductorias relacionadas con el empleo de impulsos en la clase de matemática / 30 Trabajo con el cálculo aritmético/ 38 Experiencia de trabajo con la geometría basada en tareas docentes y procedimientos didácticos / 52 Experiencia basada en el enfoque dinámico de tratamiento de la geometría/ 59 Experiencia de trabajo con la numeración basada en docentes y procedimientos didácticos / 92 Bibliografía/ 108

tareas

Introducción Con el triunfo de la Revolución Cubana en 1959 se abrieron los caminos hacia incontables cambios y transformaciones en el orden social. Se aprobaron las primeras leyes y medidas que fueron modificando la estructura política y social en general del país. En la esfera educacional, desde los primeros años, se planteó la necesidad de elevar los servicios educacionales y después de tomadas las medidas para lograr la educación masiva de escolares, jóvenes y trabajadores, el Ministerio de Educación inició un proceso de perfeccionamiento continuo del Sistema Nacional de Educación. El proceso de perfeccionamiento tiene entre sus perspectivas intensificar el trabajo sistemático encaminado a elevar la actividad cognoscitiva intelectual del plano meramente informativo al productivo, desarrollando en los estudiantes el pensamiento dialéctico y creador que les permita afrontar exitosamente, de forma independiente, los variados retos que les plantea la sociedad. En ese sentido, corresponde a la escuela, como institución, introducir modificaciones significativas en lo referente a la preparación para la vida de las nuevas generaciones, las que han de derivarse de los objetivos de la Educación y de los que la sociedad se ha trazado y que han de ser dinámicas como el propio desarrollo social y basadas en el estudio científico de la realidad escolar. Esto significa perfeccionar la labor que se realiza en la escuela y un papel esencial en esta formación le corresponde a la enseñanza primaria, nivel educacional que tiene como fin: Contribuir a la formación integral de la personalidad del escolar, fomentando, desde los primeros grados, la interiorización de conocimientos y orientaciones valorativas que se reflejen gradualmente en sus sentimientos, formas de pensar y comportamiento, acorde con el sistema de valores e ideales de la Revolución Socialista.1 La enseñanza primaria está llamada a desarrollar en los escolares, no solo las habilidades generales de lectura, escritura y cálculo como 1

Pilar Rico Montero: Algunas exigencias para el desarrollo y evaluación del proceso de enseñanza aprendizaje en la escuela primaria. Cartas al maestro. p. 7.

muchos erróneamente sustentan, sino que debe prepararlos para un complejo y prolongado trabajo de estudio, lo que significa que en los grados iniciales los escolares deben alcanzar el desarrollo psíquico general, e indispensable y una buena capacitación para el estudio. Sin este fundamento no es posible asegurar la asimilación normal y eficaz de las bases de la ciencia y la cultura en otros niveles de enseñanza. En los grados de la enseñanza primaria puede surgir y formarse la base del pensamiento teórico abstracto y una serie de otras capacidades que la constituyen lo que puede lograrse con el empleo de determinados métodos y procedimientos, pues si el escolar domina los medios y procedimientos de la actividad, tiene la posibilidad de construir y reconstruir su experiencia individual. Fundamentos teóricos y metodológicos del Modelo de Escuela Primaria para el proceso de enseñanza aprendizaje. El Modelo de Escuela Primaria exige que nuestros escolares se formen y desarrollen al ritmo necesario que les permita interpretar conscientemente, los avances y transformaciones que se van dando por sus implicaciones en el propio desarrollo de la sociedad y del hombre, de modo que puedan adoptar actitudes responsables y sentirse partícipes del desarrollo científico técnico de hoy y del futuro. Ante tales retos, resulta primordial que se analice la manera en que el escolar primario se enfrenta al conocimiento de las ciencias, por ser ellas promotoras de la producción del conocimiento científico. Se hará especial énfasis a la Matemática y al proceso de enseñanza aprendizaje de esta importante asignatura en la escuela primaria.

EXIGENCIAS DEL PROCESO DE ENSEÑANZA - APRENDIZAJE DESARROLLADOR La escuela actual tiene que garantizar una enseñanza y un aprendizaje que tenga en cuenta su efecto en el desarrollo de la personalidad de los escolares, una nueva generación de hombres que contribuyan a la transformación creadora del mundo que necesita la humanidad en el siglo XXI, que sean capaces de crear, reflexionar, transformar, amar y respetar a sus semejantes. En este epígrafe, se pretende un acercamiento a la concepción teórica de partida referida al aprendizaje y asumida en el Modelo de Escuela Primaria Cubana. Como parte de esta concepción se analizan sus rasgos esenciales, sus concreciones en dimensiones e indicadores, de modo que permitan al docente apreciar en esta operacionalización, la congruencia que debe de existir entre los elementos que caracterizan la concepción y su instrumentación en el quehacer pedagógico. En nuestro país se han realizado durante las últimas décadas diversas investigaciones encaminadas a profundizar en el proceso de enseñanza-aprendizaje, para ello se han retomado con fuerza los postulados fundamentales del enfoque histórico-cultural, que unido a nuestras mejores tradiciones educativas y tomando en cuenta las condiciones histórico concretas de nuestra práctica escolar, han permitido el diseño de estrategias, procedimientos, sistemas de indicadores y tareas, los cuales han contribuido a enriquecer para la teoría y la práctica educacional cubana, los núcleos centrales teóricometodológicos de la referida teoría, ofreciendo posibilidades para la instrumentación de estos en la práctica pedagógica por los docentes. Teniendo en cuenta las exigencias que hoy la sociedad le impone a la escuela primaria, el trabajo por perfeccionar la dirección del aprendizaje tiene un gran valor; pues una adecuada formulación de la tarea docente plantea determinadas exigencias al alumno que repercuten tanto en la adquisición del conocimiento como en el desarrollo de sus habilidades intelectuales. Revelar las exigencias del proceso de enseñanza- aprendizaje desarrollador, como concepción que sirve de base y caracteriza al 3

Modelo de Escuela Primaria Cubana requiere como premisa científica y pedagógica básica retomar lo planteado por diversos investigadores del Instituto Central de Ciencias Pedagógicas (ICCP), encabezado por la Dra. Pilar Rico en Rico en los libros: Algunas exigencias para el desarrollo y evaluación del proceso de enseñanza- aprendizaje en la escuela primaria y Exigencias del Modelo de Escuela Primaria para la dirección por el maestro de los procesos de Educación, Enseñanza y Aprendizaje (2004, 2008). De ahí, que a continuación se exponga en síntesis apretada lo allí plantado por estos autores. Un elemento de partida esencial en el análisis lo constituye, la consideración de la enseñanza como guía del desarrollo. Los niveles de desarrollo que alcanza el escolar estarán mediados por la actividad y la comunicación que realiza como parte de su aprendizaje, por lo que se constituyen en los agentes mediadores entre el niño y la experiencia cultural que va a asimilar. El aprendizaje desarrollador potencia en los educandos la apropiación activa y creadora de la cultura. Representa aquella manera de aprender y de implicarse en el propio aprendizaje, que garantiza el tránsito de un control por parte de los docentes, al control del proceso por parte de los educandos y, por ende, conduce al desarrollo de actitudes, motivaciones, así como de las herramientas necesarias para el dominio de aquello que llamamos aprender a aprender, y aprender a crecer de manera permanente. Estas exigencias deben propiciar un aprendizaje desarrollador, que garantice al alumno un mayor éxito y estimule su interés por aprender. Debe entonces generar una alta motivación en él por el estudio individual, lo cual deberá contribuir no solo en el orden cognoscitivo sino también en la formación de cualidades de su personalidad En el Modelo de Escuela Primaria que se instrumenta en todos los centros escolares pertenecientes a éste nivel de enseñanza en el país, se declara como definición de aprendizaje la siguiente: Aprendizaje: Es el proceso de apropiación por el niño de la cultura, bajo condiciones de orientación e interacción social. Hacer suya esa 4

cultura, requiere de un proceso activo, reflexivo, regulado, mediante el cual aprende, de forma gradual, acerca de los objetos, procedimientos, las formas de actuar, las formas de interacción social, de pensar, del contexto histórico social en el que se desarrolla y de cuyo proceso dependerá su propio desarrollo.2 Otra consideración señalada por Rico, P. y Silvestre, M.(2000) al plantear la concepción del proceso de enseñanza-aprendizaje como un sistema integrado, es el papel protagónico del alumno en dicho proceso, en este enfoque se revela como característica determinante la integración entre lo cognitivo y lo afectivo, lo instructivo y lo educativo, como requisitos psicológicos y pedagógicos esenciales. La enseñanza desarrolladora es aquella que centra su atención en la dirección científica de la actividad práctica, cognoscitiva y valorativa de los escolares; que propicia la independencia cognoscitiva y la apropiación del contenido de enseñanza, mediante procesos de socialización y comunicación; que contribuye a la formación de un pensamiento reflexivo y creativo, que permita al estudiante operar con la esencia, establecer los nexos, las relaciones y aplicar el contenido en la práctica social; que conlleva a la valoración personal y social de lo que se estudia, así como al desarrollo de estrategias metacognitivas y que contribuya a la formación de acciones de orientación, planificación, valoración y control, cumpliendo de esta forma funciones instructivas, educativas y desarrolladoras. En consecuencia con lo anterior, el aprendizaje desarrollador es una forma del proceso de apropiación de la experiencia histórico social de la humanidad, expresada en el contenido de enseñanza, que se prepone que el estudiante participe activa, consciente y reflexivamente, con la dirección del maestro o profesor en la apropiación de conocimientos y habilidades para actuar, en interacción y comunicación con los otros, y así favorecer la formación de valores, sentimientos y normas de conducta.

Pilar Rico Montero, Edith Miriam Santos y Martín Viaña, Virginia. Proceso de enseñanza aprendizaje desarrollador en la Escuela Primaria. Teoría y práctica: Ed. Pueblo y Educación. 2004. p. 14. 5

Se asume que un aprendizaje desarrollador es aquel que garantiza en el individuo la apropiación activa y creadora de la cultura, propiciando el desarrollo de su autoperfeccionamiento constante, de su autonomía y autodeterminación, en íntima conexión con los necesarios procesos de socialización, comunicación y responsabilidad social. Si bien resulta necesario conocer dichas definiciones y su comprensión para la instrumentación en el trabajo por los docentes, requiere de un conjunto de precisiones en cuánto a sus rasgos o características, así como aspectos esenciales en cuanto a: ¿qué aprende el alumno?, ¿Qué medir en el aprendizaje?, los cuales consideramos se constituyen en los aspectos fundamentales a tratar, por constituir los elementos orientadores necesarios para su conducción pedagógica, de ahí que a continuación se explicarán con mayor detenimiento. Tomando en cuenta el alcance de lo que debe apropiarse el alumno, señalado con anterioridad, resulta claro considerar que el aprendizaje además de los procesos cognitivos, lleva implícito los aspectos de formación que corresponden al área afectivamotivacional de la personalidad, por lo que juegan en esta concepción un lugar especial los procesos educativos que se dan de forma integrada a los instructivos. Como parte del concepto de partida que se analiza, se destacan otros elementos esenciales que caracterizan el aprendizaje como son: su carácter social, individual, activo, de colaboración, significativo y consciente. En esta dirección, el docente será el encargado de conducir un proceso en el que la actividad y los procesos de interrelación y comunicación social – permitan la apropiación por el alumno de la experiencia histórico social. De lo anterior se deriva que toda actividad de aprendizaje no deberá ser concebida sólo desde posturas individuales, es preciso lograr las formas de trabajo colectivo que permitan el despliegue de acciones conjuntas por los alumnos o entre el maestro y los alumnos de modo que prime el intercambio y la interacción entre todos, si estamos considerando que como parte de estas colaboraciones cada sujeto aporta al otro 6

sus conocimientos, estrategias, afectos, propiciando las bases para el proceso individual de asimilación, para su realización independiente. Desde las edades escolares de la educación primaria, resulta necesario que el alumno gradualmente pueda reconocer lo importante que es el “otro” y poder intercambiar en conjunto, ayudarse, tolerarse, respetar sus puntos de vista, como formas futuras de interacción en las diferentes esferas de la vida. En esta dirección, resulta necesario evitar sentar a los alumnos de manera frontal ya que no se facilita la comunicación cara a cara y lo que se produce es el efecto contrario mirándose las espaldas. Modificar la posición del docente en el proceso de enseñanza aprendizaje y lograr un mayor protagonismo del alumno implica que, si habitualmente ofrece toda la información, se trata de que el alumno busque al menos una parte importante de esta, no como un proceso de redescubrimiento científico, sino como búsqueda reflexiva de la información que no se posee, y que exista una orientación que le permita saber qué necesita, qué le falta. Otro resultado importante de investigación es el relativo a las exigencias psicopedagógicas de un aprendizaje desarrollador, propuestas por las investigaciones del grupo: Técnicas para la Estimulación del Desarrollo Intelectual (TEDI) del ICCP, en las que se precisan aspectos tales como: la organización y dirección del proceso de enseñanza aprendizaje en momentos de Orientación, Ejecución y Control, así como otras exigencias psicopedagógicas donde se destacan aspectos tales como:

Estructurar el proceso a partir del protagonismo del alumno en los distintos momentos de la actividad de aprendizaje, orientado hacia la búsqueda activa del contenido de enseñanza.

Partir del diagnóstico de la preparación y desarrollo del alumno. Atender las diferencias individuales en el tránsito del nivel logrado hacia el que se aspira.

Organización y dirección del proceso de enseñanza aprendizaje, desde posiciones reflexivas del alumno, que estimulen el desarrollo de su pensamiento y su independencia cognoscitiva.

Estimular la formación de conceptos y el desarrollo de los procesos lógicos del pensamiento y el alcance del nivel teórico, en la medida que se produce la apropiación de los procedimientos y se eleva la capacidad de resolver problemas.

Orientar la motivación hacia la actividad de estudio y mantener su constancia. Desarrollar la necesidad de aprender y entrenarse en cómo hacerlo.

Desarrollar formas de actividad y comunicación que permitan favorecer el desarrollo individual, logrando una adecuada interacción de lo individual con lo colectivo en el proceso de aprendizaje.

Vincular el contenido de aprendizaje con la práctica social y estimular la valoración por el alumno en el plano educativo.

Múltiples son las investigaciones en las que se ha demostrado el papel que desempeñan estas formas de trabajo en que se asumen diferentes roles, como elemento mediador en el desarrollo individual del escolar. Estas permiten el conocimiento de diferentes criterios y alternativas para la solución de las tareas, ampliando el marco de referencia, de análisis, la variación y el reajuste de puntos de vista, de procedimientos a aplicar, favoreciendo, entre otras, habilidades importantes en el alumno como: la toma de decisiones argumentadas, el autocontrol, la autovaloración, el autoconocimiento y autocorrección del proceso y resultado, elemento esencial en el desarrollo de la autorreflexión, en la medida en que el alumno acepte o rechace de forma consciente sus logros y dificultades, que sea capaz de reflexionar sobre su propia actividad. Al docente le corresponde igualmente crear espacios y momentos de reflexión, que impliquen al alumno en el análisis de las condiciones de las tareas, de las vías para su solución, de las vías para su control valorativo, generando de esta forma la activación intelectual esencial en el proceso de aprendizaje. Otra consideración esencial de la concepción que se analiza, está asociada a que el alumno adopte una posición activa en el aprendizaje, esto supone insertarse en la elaboración de la información, en su remodelación, aportando sus criterios en el 8

grupo, planteándose interrogantes, diferentes vías de solución, argumentando sus puntos de vista, etc., lo que le conduce a la producción de nuevos conocimientos o a la remodelación de los existentes. Como parte de esta posición activa, otro aspecto importante, lo constituye el que el alumno se involucre en un proceso de control valorativo de sus propias acciones de aprendizaje. Cuando el alumno aprende a realizar el control y la valoración de los ejercicios y problemas que aprende, esto le permite corregir, reajustar, los errores que comete, regular su actividad y se constituye en un elemento que eleva el nivel de conciencia en dicho proceso, elevando la calidad de sus resultados, garantizando un desempeño activo, reflexivo, regulado, en cuanto a sus propias acciones o en cuanto a su comportamiento. Lograr una posición activa requiere que la participación del alumno haya implicado un esfuerzo intelectual que demande orientarse en la tarea, reflexionar, valorar, suponer, llegar a conclusiones, argumentar, utilizar el conocimiento, generando nuevas estrategias, entre otras acciones. El logro de tales propósitos precisa que, tanto al organizar la actividad de aprendizaje, como en las tareas que se le brindan al alumno en dicho proceso, se creen las condiciones que potencien este comportamiento intelectual. De lo anterior se deriva que la actividad de aprendizaje no sólo debe ser concebida desde posturas individuales, sino que además es necesario instrumentar formas de trabajo colectivo que permitan el despliegue de acciones conjuntas por los alumnos o entre el maestro y los alumnos Otro rasgo a destacar en el aprendizaje, es la consideración de un proceso significativo. Cuando el alumno como parte de su aprendizaje, pone en relación los nuevos conocimientos con los que ya posee, esto le permitirá la reestructuración y el surgimiento de un nuevo nivel, para lo cual de especial importancia resulta el significado que tenga para él:

El nuevo conocimiento. Las relaciones que pueda establecer entre los conocimientos que aprende y sus motivaciones, sus vivencias afectivas, las relaciones con la vida, con los diferentes contextos sociales que le rodean. De esta forma, en su dirección pedagógica, el docente deberá realizar en función de las características de cada momento del desarrollo psicológico de los alumnos y del diagnóstico de los conocimientos y desarrollo alcanzados por cada escolar, una comunicación comprendida por los niños a partir de compartir sus significados, sus vivencias y necesidades surgidas de su contexto sociocultural. Los rasgos descritos requieren, por parte del docente una concepción diferente, en cuanto al papel a asumir en la organización y la dirección pedagógica del proceso de enseñanza-aprendizaje. Es necesario lograr acercarse gradualmente a formas de trabajo en las clases en que se muestren procesos de reajuste y remodelación que sustituyan las actividades centradas en el maestro, por actividades en que las formas colectivas y de colaboración que se generen entre los escolares y entre los docentes y los escolares, permitan una contribución mayor al desarrollo de sus potencialidades para evitar posturas pasivas y poco productivas. Se le concede un gran valor a un conjunto de aspectos para el desarrollo de la actividad de aprendizaje de los alumnos como son: el análisis de las condiciones de las tareas, la precisión de objetivos con la orientación de las estrategias para alcanzarlos, el monitoreo del proceso y del resultado y su correspondencia con los objetivos y estrategias utilizadas, etc. y lo que es más importante, que el niño haga suyo, tome conciencia del valor de este procedimiento en el desarrollo de la actividad de aprendizaje cuando soluciona ejercicios, tareas, problemas, etc. La actitud cognoscitiva que se debe crear en los estudiantes y los procedimientos de pensamiento a ella asociados debe ser expresión de una nueva motivación, de una nueva actitud hacia la apropiación de los conocimientos.

Esto depende de la capacidad del docente de conformar alternativas metodológicas de aprendizaje que motiven al estudiante, lo que resulta posible con la activación de su aprendizaje, cuya posibilidad la ofrece la problematicidad del contenido de cada área del conocimiento. El contenido de aprendizaje reflejado en los programas de estudio puede elevar su actualización en relación con las ciencias, puede ampliarse o adecuarse, pero si los métodos de enseñanza no propician al máximo la actividad intelectual de los estudiantes para el aprendizaje y por ende su interés por aprender los contenidos por sí solos, no producen resultados cualitativamente superiores. La vinculación del contenido con la realidad de la sociedad constituye un rasgo distintivo de los programas de estudio, que exige la activación del aprendizaje de los estudiantes y a su vez ofrece una respuesta a la necesidad de que los estudiantes aprendan en relación directa con la realidad social, que es dinámica, profunda y cambiante. ¿Cuál es la esencia del cambio en el proceso de enseñanza aprendizaje? Para propiciar este cambio la clase debe transformar la posición pasiva del estudiante que requiere un pobre esfuerzo intelectual por una actitud activa de búsqueda y utilización del conocimiento. En este empeño la posición del maestro es también protagónica, para la dirección del aprendizaje del estudiante, específicamente requiere de su creatividad para concebir y diseñar situaciones de aprendizaje, no sólo para la aplicación del conocimiento, como es costumbre, sino que orienten a descubrirlo, a elaborar el nuevo conocimiento. Esta es la esencia del proceso de enseñanza aprendizaje activo que hay que cambiar desde la clase. Así el estudiante tendrá una participación protagónica que le proporcionará un conocimiento consciente y armado de procedimientos que le permitan (qué y cómo buscarlo), lo cual deviene en métodos de estudio para la independencia cognoscitiva. De particular importancia resulta el medio social y los tipos de interacciones que realiza el sujeto con los otros, lo cual “para 11

Vigotsky se constituye en la ley general de la formación y desarrollo de la psiquis humana de acuerdo con la cual, los procesos internos, individuales, llamados por él intrapsicológicos van siempre precedidos por procesos de acciones externas, sociales denominados interpsicológicos” Rico, P. 2002). En este caso la concepción de sistemas de tareas y los procedimientos metodológicos que las acompañan, se constituyen en mediadores que deben favorecer el desarrollo de las potencialidades de ahí, que para ser consecuentes con la concepción, en las mismas se deberá tener en cuenta: La atención a la diversidad, ofreciendo niveles de ayuda. •

Las exigencias en su estructura deberán potenciar los procesos de reflexión y activación intelectual.

•

Las exigencias deberán potenciar los procesos de regulación, poder enfrentar ejercicios con solución, sin solución, con variadas alternativas de solución, incluso en los que presentan con algunos errores.

Si se trata de un sistema deberá responder a las exigencias del mismo en cuanto a su carácter sistémico, a que sean variadas, diferenciadas, graduadas y suficientes, orientadas a responder a los diferentes niveles de asimilación que puedan estar reflejados en los objetivos que expresa el Modelo. En el desarrollo del nuevo contenido, el maestro deberá propiciar tareas y problemas cuya estructura, disposición y condiciones permitan potenciar al máximo el aprendizaje en los alumnos mediante una actividad de búsqueda, de análisis de contradicciones, de errores, de encontrar alternativas diferentes de solución, o de interpretación del fenómeno u objeto que estudia que le permita al niño llegar a determinadas deducciones y juicios bajo la guía del maestro y no darlos como acabados, concluyentes y anticipados al razonamiento del alumno por parte de éste. "La formación del pensamiento del alumno requiere del empleo y el despliegue de verdaderas situaciones que pongan a funcionar el razonamiento, la elaboración de hipótesis, la búsqueda y experimento mental. Una situación trivial no desarrolla el pensamiento, sino que habitúa al

alumno a los caminos trillados y de bajo esfuerzo intelectual". (Labarrere, A. 1989). Logra construir actividades significativas, sobre la base de los contextos culturales en los que se desarrolla el niño, que permita propiciar un trabajo más certero en el proceso de aprendizaje de acuerdo con la ZDP de los alumnos. Los procesos de orientación: Tener en cuenta las diferencias de edades de acuerdo con los grados y las potencialidades de los alumnos, al considerar cuándo es necesario reforzar una orden, o la repetición de una acción, la realización de demostraciones, las modelaciones en el plano material con apoyo de dibujos, o con niveles de abstracción mediante esquemas o cuadros sinópticos, que permitan al alumno tener claridad en el concepto que se está trabajando, así como en lo que se le orienta mediante órdenes para su ejecución. Es sabido que la orientación cumple la función esencial de lograr la comprensión por el alumno de lo que va a hacer antes de ejecutarlo. Sin embargo, resulta necesario que el maestro tenga en cuenta que lograr la orientación por el escolar no significa que sea algo dado de forma completa por el educador, sin la intervención del alumno, por el contrario, esto supone que el maestro, ante la introducción de un nuevo contenido, o como parte de uno ya trabajado, exija del alumno el análisis de las condiciones de la tarea, de los datos e información que se le ofrece, así como los procedimientos a emplear para su solución. Los vínculos entre los conocimientos que posee el alumno y lo nuevo que va a conocer o que conoce y se le va a mostrar mediante otras representaciones, con lo cual se favorece que el alumno pueda orientarse con mayor facilidad y establecer las relaciones y nexos necesarios. Las inducciones reflexivas que son necesarias que el maestro realice como parte de los niveles de ayuda eficientes para la comprensión por el alumno del contenido objeto de aprendizaje, las que se expresarán como parte de los procedimientos metodológicos que se

escriban para el maestro enfatizando los procesos de orientación y control. La clase actual debe transformar la participación del estudiante en la búsqueda y aplicación del conocimiento desde una posición pasiva hacia una posición activa, una enseñanza que conduzca al desarrollo de potencialidades del estudiante. La clase propicia un aprendizaje desarrollador de potencialidades del estudiante si logra la participación consciente, reflexiva, valorativa para la transformación de su pensamiento (instrucción) y sus sentimientos (educación) en la búsqueda de su identidad individual, local, nacional e internacional. Incuestionable es la importancia de tener en cuenta por el personal docente, la relación ínter materia entre las diferentes disciplinas que conforman el currículo de la educación primaria, entre las que se encuentra la Matemática. La aplicación de estas concepciones en el proceso de enseñanza –aprendizaje de la Matemática tiene sus especificidades dadas las características de los contenidos que se tratan en este nivel de enseñanza. La Matemática escolar y los resultados del rendimiento académico constituyen preocupación de las comunidades científicas que se dedican a la didáctica de esta asignatura, considerada básica por las múltiples potencialidades que tiene para el desarrollo multilateral del educando en todos .los niveles de educación. En la enseñanza de la Matemática, se diferencian tres esferas de objetivos generales para todos los niveles de educación:

Objetivos relacionados con el saber y saber hacer, conocimientos específicos de la asignatura.

con los

Objetivos del desarrollo de habilidades intelectuales generales.

Objetivos relacionados con la Educación de los escolares.

Estos objetivos se relacionan íntimamente y no son en ninguna medida propósitos aislados, el docente debe tenerlos en cuenta en cada actividad de estudio y aprendizaje escolar. De estos objetivos

generales clase.

se derivan

gradualmente los del nivel grado, unidad y

En el nivel primario los objetivos generales formulados a partir del modelo actuante de escuela primaria son: •

Interpretar y ejecutar diferentes órdenes y orientaciones que le permitan la búsqueda de alternativas de solución, la realización independiente y en colectivo de las tareas docentes en que se aprecien avances en cualidades de su pensamiento como la crítica, la reflexión y la flexibilidad, al poder enfrentar además ejercicios con solución, sin solución, con variadas alternativas de solución, con errores, y poder aplicar formas de control valorativo.

•

Interpretar adecuadamente la información cuantitativa que por diferentes vías recibe, así como formular y resolver problemas aritméticos a partir del empleo de diferentes técnicas de solución, sus habilidades de cálculo con números naturales y fraccionarios y cantidades de magnitudes y en la solución de ecuaciones, así como sus conocimientos acerca del tanto por ciento y la proporcionalidad.

•

Identificar, describir, comparar y trazar figuras y cuerpos geométricos que aparecen en objetos concretos y sus representaciones, mediante el conocimiento de sus propiedades esenciales, deducir nuevas propiedades a partir de ellas, argumentar proposiciones y poder establecer relaciones tales como la igualdad geométrica, el paralelismo y la perpendicularidad entre sus elementos a fin de que pueda apropiarse de estrategias de pensamiento lógico.

Para el logro de estos propósitos en la asignatura Matemática el maestro debe organizar un proceso educativo activo y reflexivo, que permita el máximo desarrollo de las potencialidades de todos los niños. En consecuencia con los fundamentos planteados anteriormente y el objetivo de este curso se ofrecen a continuación algunas experiencias pedagógicas resultados de investigaciones.

En la enseñanza de la Matemática se presentan algunos problemas didácticos que debe resolver el docente con sus escolares relacionados con la realización de las situaciones típicas de la enseñanza de esta asignatura tanto en el nivel básico como en el medio , las que se adecuan a cada uno. Estas situaciones son:

La elaboración de conceptos matemáticos y sus definiciones.

La obtención de procedimientos y las sucesiones de indicaciones correspondientes.

La solución de problemas del entorno escolar y como aplicación de conocimientos a otras áreas del saber.

La solución de ejercicios de construcción y de demostración.

La búsqueda de teoremas y sus demostraciones.

Para la solución de estos problemas didácticos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática se diferencian dos tipos de procedimientos algorítmicos y heurísticos, que se combinan en el tratamiento de los contenidos y se corresponden con las exigencias del tratamiento de los contenidos en el nivel de educación de que se trate. El programa director de la asignatura Matemática, que traza lineamientos para su impartición en todos los niveles de enseñanza, plantea la necesidad de buscar de manera heurística soluciones a los problemas y dentro de los objetivos básicos de este programa se plantea que los docentes “conduzcan a sus alumnos a la aplicación consciente de la inducción y la deducción de métodos y medios para el trabajo racional y de recursos heurísticos que inspiran la búsqueda de vías de solución (MINED, Programa Director de Matemática,1999). Es conveniente destacar que la Heurística, como disciplina científica, ha tenido vasto campo de aplicación a la Pedagogía y en particular a la Didáctica de la Matemática, enriquecida con el empleo de sus elementos, sirve de fundamento y base al trabajo de la asignatura tanto en la formación del maestro de nivel medio como en el de primaria. Su cuerpo teórico ha sido recopilado y enriquecido por algunos investigadores que han demostrado que sus principios 16

generales se corresponden con los principios filosóficos de la dialéctica como teoría del desarrollo y los principios didácticos generales (Albarrán, 1997). No obstante lo planteado anteriormente no se ha logrado elevar la eficiencia de la labor docente a los niveles deseados en la impartición de la clase de Matemática. Se trata pues, de que maestros y alumnos piensen dialécticamente en la clase de Matemática, que es pensar que los contenidos están íntimamente relacionados, que es pensar que esas relaciones se dan de forma sistémica, que es buscar esas relaciones y dependencias, que es pensar sin rigidez, que es buscar diferentes vías y evitar el formalismo, que es por tanto encontrar, descubrir, crear. "La enseñanza heurística es la enseñanza consciente y planificada de reglas generales y especiales de la Heurística que incluye la elaboración de principios, reglas, estrategias y programas que facilitan la búsqueda de la vía de solución a problemas o tareas de cualquier tipo imprescindibles para aquellos de los cuales no se conoce o no existe un algoritmo de solución"; según Horst Müller (1987). “La instrucción Heurística (de la Matemática) es la enseñanza consciente y planificada de reglas generales y especiales de la Heurística para la solución de problemas, para lo cual es necesario que cuando se declaren por primera vez las mismas explícitamente, se destaquen de un modo claro y firme, y se recalque su importancia en clases posteriores hasta que los alumnos las aprendan y utilicen independientemente de manera generalizada, por lo que debe ejercitarse su uso en numerosas y variadas tareas” (Ballester, S. et. al.,1992, pp. 225). En Cuba muchos docentes de probada experiencia han utilizado los recursos heurísticos de forma empírica y han transmitido sus experiencias de una a otra generación, pues hasta época reciente la bibliografía relacionada con la misma ha estado dispersa. Se alcanza y puede lograrse mediante la actividad, organizando el contenido de enseñanza bajo determinadas condiciones psicopedagógicas de forma tal que se incluyan estrategias didácticas desarrolladoras como procedimientos generalizadores que permitan 17

a los educandos profundizar en el conocimiento de la tarea propuesta, establecer nexos, relaciones de dependencias y regularidades, así como valorar y reflexionar acerca de los resultados que obtiene. Estas condiciones psicopedagógicas las propicia la instrucción heurística, planificada y de forma explícita que facilite el reciclaje del conocimiento y el paso al nuevo saber” (Albarrán, 1998). En esta dirección se considera la siguiente clasificación del metodólogo alemán Horst Müller (1987) para las formas del trabajo heurístico: Medios auxiliares heurísticos Procedimientos heurísticos Programas heurísticos Se explican a continuación brevemente cada uno de ellos “Los medios heurísticos auxiliares constituyen recursos materializados que contribuyen a precisar los datos y las incógnitas del problema planteado” (Torres, 2000): “Se considera, que en la confección de los medios auxiliares heurísticos, por su naturaleza y esencia, deben participar de manera activa los escolares pues posibilitan el establecimiento de relaciones que son dadas de forma explícita o implícita en la tarea. La característica de heurístico radica en la forma de empleo de este medio por parte del docente y sus alumnos, pues intencionalmente éste debe ser utilizado para la búsqueda del conocimiento por parte del escolar. Los más importantes son las tablas los compendios, las figuras informativas y de análisis entre otros.” (Albarrán 2004)” Procedimientos heurísticos En el material referido anteriormente sobre la Instrucción Heurística de las Matemáticas Escolares, se definen los procedimientos heurísticos como:

“Constituyen recursos mentales de búsqueda que permiten orientarse y obtener la vía de solución durante el proceso de resolución de un problema matemático” (Torres, 2000). Se utilizan en los procesos de búsqueda y solución de tareas. Incluyen la utilización y elaboración de principios, reglas y estrategias heurísticas y contribuyen al adiestramiento del escolar en la solución independiente de las mismas. Se debe destacar que lo más importante no es la clasificación sino que se comprenda su significación en el trabajo con la asignatura y se utilice consciente y racionalmente. Los procedimientos heurísticos constituyen el núcleo central de este trabajo. Para el logro de la instrucción heurística, es esencial su empleo adecuado y el entrenamiento por parte de docentes y alumnos, pues son base y componente del resto de las formas de trabajo antes mencionadas. A continuación se ofrece una clasificación de los procedimientos heurísticos y se caracterizan. Procedimientos Heurísticos. Los procedimientos heurísticos considerados por Müller (1987), comprenden principios, reglas y estrategias y se resumen en la fig. 1 siguiente:

Principios Generales

Reglas Especiales

Generales

Estrategias

Especiales

•

Búsqueda de • relaciones y dependencias.

Medir, Aplicables a Aplicables a • probar y todo tipo de determinad comparar. ejercicios. o tipo de

Trabajo hacia adelante.

•

Analogía.

•

Reducción.

Análisis de casos particulares y límites.

Trabajo hacia atrás.

•

Esquema de Descartes.

•

Método de los lugares geométricos.

•

Movilidad.

•

Variación de condiciones.

•

Inducción incompleta

•

Generalizaci ón

ejercicios.

Fig. 1 Principios, reglas y estrategias

Los principios heurísticos constituyen sugerencias para encontrar (directamente) la idea de solución principal de resolución, posibilita determinar por tanto a la vez los medios y la vía de solución (Torres, 2000). Se reconoce en este recurso heurístico, un carácter de procedimiento general, por su propio significado, es decir, si se analiza el concepto de principio (del latín principium), se plantea entre otras acepciones: Principio: Base, origen, razón fundamental sobre la cual se procede, discurriendo en cualquier materia. Otra acepción: Principio: Norma o idea fundamental, que rige el pensamiento o la conducta. (Acepciones tomadas del diccionario Encarta) En la clasificación anteriormente referida, los principios se consideran procedimientos heurísticos, deben utilizarse con ese carácter. Los principios heurísticos deben normar la conducta de 20

maestros y alumnos al constituir, lineamientos para el trabajo de planificación y dirección de la clase de Matemática con enfoque heurístico ya deben regir el pensamiento y la actuación de los mismos. Entre los principios heurísticos se encuentran los de analogía, y reducción. Se asume como principio general en esta investigación el de búsqueda de relaciones y dependencias que constituye una forma de pensamiento de la ciencia Matemática y al que le conferimos el carácter de rector para la escuela primaria, pues el escolar debe buscar incesantemente relaciones entre lo dado y lo dado, lo dado y lo buscado y lo buscado y lo buscado. El principio de búsqueda de relaciones y dependencias consiste en considerar como norma el proceso de establecer nexos entre los contenidos matemáticos, se pretende buscar relaciones generales de colateralidad o subordinación en la clase de Matemática, para la escuela primaria, estas relaciones pueden ser de igualdad o desigualdad, en forma explícita de mayor o menor, de parte y todo, de inclusión o no, de pertenencia, de divisibilidad, paralelismo, perpendicularidad, de correspondencia, entre otras. Se deriva, como el resto de los principios heurísticos del principio básico de la Dialéctica, el principio de concatenación universal De manera especial se incluyen las relaciones por analogía y reducción que pueden establecerse en el sistema de conocimientos y habilidades que forman parte de las creencias del educando. Emplear este principio significa contribuir a los procesos autorreguladores y motivacionales de la personalidad del escolar ya que este debe, antes de iniciar la ejecución de un ejercicio de cualquier tipo dedicarse a este proceso de búsqueda que forma parte del proceso de análisis-síntesis que debe ser realizado, de ahí su carácter rector, en este nivel de enseñanza. Analogía: consiste en el proceso de buscar elementos semejantes o parecidos en la solución de la tarea, posibilitando la transferencia del saber adquirido a un nuevo contexto así como la búsqueda de los medios matemáticos que deben ser utilizados en su solución.

Los elementos análogos lo pueden ser tanto en la forma como en el contenido del asunto que se trate. Se establecen analogías en el tratamiento de cualquiera de las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática, así entre conceptos, procedimientos algorítmicos, teoremas, construcciones y las diferentes formas de la fijación. El proceso de sistematización en una de sus expresiones se basa en el establecimiento de las mismas. Reducción: aunque tiene diferentes formas vamos a explicarla en la más usada en la escuela primaria que es la reducción a un problema conocido porque las otras se utilizan menos en este nivel de enseñanza. Consiste en tratar de aprovechar los conocimientos y habilidades adquiridos para la solución de una nueva tarea, lo que implica un proceso de retroalimentación de los contenidos anteriores pues los nuevos se llevan a lo conocido. En su aplicación ha de tenerse en cuenta la siguiente interrogante: ¿Cómo puedo reducir la tarea planteada a la que ya conozco? La búsqueda y solución de determinadas tareas en el campo de la asignatura, consiste en una cadena de reducciones continuas a lo conocido. Los procesos reductivos son de gran importancia para la racionalización interna del trabajo mental y práctico y para la transferencia a otros contenidos. (Ver un ejemplo de esta afirmación en anexos). El enfoque de trabajo con los principios generales heurísticos es, a criterio de la autora, de gran importancia para el desarrollo de los procesos cognoscitivos en general y del pensamiento en particular del educando en cualquier tarea y en cualquier nivel de enseñanza. Entre los principios heurísticos especiales se diferencian: Movilidad: Se utiliza en la enseñanza de la Geometría, y consiste en dejar fijos algunos elementos y móviles otros, en el proceso de búsqueda de relaciones. Medir, probar, comparar: Este proceder inductivo se emplea en la búsqueda de suposiciones, asociado a otros principios. Análisis de casos particulares y límites: Consiste en la realización de la separación de las características de determinados individuos de un 22

mismo tipo (pueden ser conceptos, procedimientos, teoremas, construcciones y formas de la fijación). De mucha importancia su uso desde los primeros grados pues posibilita la racionalización de trabajo mental y práctico. Inducción incompleta: Principio que consiste en extraer regularidades, a partir del análisis de casos particulares, que habría que demostrar. Generalización: Consiste en llegar a inferencias, regularidades, conclusiones a partir de la inducción incompleta y ligado también a otros principios. Variación de condiciones: Es homólogo al de movilidad en la Geometría. Consiste en mantener fijo algún o algunos elementos y variar otros para obtener regularidades y generalizaciones. Reglas heurísticas Son impulsos de carácter generalizador que se ofrecen por parte del profesor a sus alumnos en la solución de una tarea o en el proceso de búsqueda de relaciones y dependencias. No ofrecen la vía de solución, pero sí ayudan en el proceso analítico para encontrar los medios y la vía de solución. Hay reglas generales que se emplean en cualquier tipo de tarea. Entre las reglas generales se destacan:

Separa los datos de las incógnitas y lo conocido de lo no conocido.

Haz una figura, de análisis o representación gráfica.

Sustituye el nombre o los términos del concepto por sus definiciones, explicaciones o características.

Recuerda ejercicios parecidos ya resueltos o problemas similares.

Relaciona los datos entre sí y ellos con los que hay que buscar.

Relaciona los elementos conocidos con los no conocidos.

También existen reglas heurísticas especiales que se emplean para determinados tipos de ejercicios. En el Capítulo siguiente se abordan cuestiones más detalladas de las reglas heurísticas especiales. 23

Es importante destacar que las reglas heurísticas pueden darse en forma interrogativa, pero todas las preguntas no constituyen reglas heurísticas. Las estrategias heurísticas “Son recursos organizativos del proceso de resolución, que contribuyen especialmente a determinar la vía de solución del problema abordado” (Torres, 2000). También se llaman métodos de solución de tareas. Se emplean en el proceso de búsqueda de la idea de solución y ayudan a encontrar los medios matemáticos que deben utilizarse en la misma o sea los teoremas, definiciones, propiedades, etc. que se deben aplicar y por tanto la vía de solución. Las más aplicables en el nivel primario son las estrategias universales de "trabajo hacia adelante y trabajo hacia atrás". El trabajo hacia adelante: Consiste en trabajar a partir de los elementos dados en la tarea, de las premisas en el caso de teoremas para realizar inferencias que acerquen a lo que hay que encontrar, demostrar, etc. El trabajo hacia atrás: se utiliza cuando se realizan inferencias a partir de la pregunta del problema, de la tesis, de lo que hay que buscar que permiten acercarse a lo dado, a las premisas. Esta última estrategia es poco utilizada en este nivel, sin embargo su dominio es muy útil y en ocasiones efectiva, por lo que hay que profundizar en su empleo. Programas heurísticos. Son sistemas de procedimientos heurísticos ordenados, parcialmente ordenados o no ordenados. Son sucesiones de indicaciones para la utilización de principios reglas y estrategias heurísticas que sirvan de base de orientación para la realización de las acciones del escolar en correspondencia con las del profesor. A continuación se hace referencia al programa heurístico general según Horst Müller (1987). "El programa heurístico general, abarca el proceso total de realización de ejercicios". Este programa constituye para el profesor 24

el instrumento universal de dirección, y para el alumno, por supuesto en forma más sencilla o abreviada, el fundamento completo de orientación en el trabajo con ejercicios, sobre todo con el que tiene carácter de problema. El programa en esta forma generalizada, constituye el esqueleto teórico para el trabajo concreto con ejercicios de los diferentes tipos (Müller, 1987). El aspecto esencial metodológico al trabajar utilizando el programa heurístico general u otro subprograma de él es la fase parcial de "búsqueda de la idea de la solución", la que no siempre es tratada adecuadamente por parte de los docentes al utilizar métodos reproductivos o en el mejor de los casos llevar el pensamiento de los escolares según la vía analizada o encontrada por él. Es decir se impide la flexibilidad del pensamiento y generalmente se conduce a seguir el hilo conductor de lo que sucede en sus mentes. El programa heurístico general para la solución de ejercicios según Müller, se resume a continuación en la fig. 2 siguiente:

Fases fundamentales Fase de orientación

Fases parciales Búsqueda del problema Planteamiento del ejercicio

reproducción

Comprensión del ejercicio. Análisis y precisión. Fase de elaboración o de trabajo con el ejercicio

Búsqueda de la idea de la solución. Reflexión sobre los métodos. Elaboración de un plan de solución.

Fase de realización

Representación del plan de Representación de la solución.

solución.

Comprobación de la solución. Fase de evaluación

Determinación del número de las soluciones. Subordinación de la solución en el sistema existente. Memorización de la ganancia de información metodológica Consideraciones perspectivas

Fig. 2 Programa heurístico general

Estas etapas se corresponden con las de la realización de cualquier actividad, o sea, las fases de elaboración y realización del ejercicio forman parte de la etapa de ejecución de la actividad y la fase de evaluación con la de control. LA HEURÍSTICA COMO FORMA DE ENSEÑANZA DESARROLLADORA En el análisis de la bibliografía mas actualizada relacionada con el proceso docente educativo se realizan consideraciones relacionadas con las categorías de enseñanza y aprendizaje desarrollador. A partir de definiciones de diferentes autores se fundamenta la necesidad del empleo de recursos heurísticos en el proceso de enseñanza- aprendizaje de la Matemática: Se fundamenta en la ciencia Heurística que tiene un cuerpo teórico basado en principios, reglas y estrategias científicamente probados.

•

Por su propia esencia propicia el análisis reflexivo, independencia cognoscitiva y valorativa del escolar.

•

Facilita, si es utilizada de forma adecuada, que se socialice el conocimiento y la comunicación entre los escolares mediante el empleo de los impulsos, por parte del docente y la aplicación racional de los principios generales y especiales, las estrategias heurísticas y el programa heurístico general.

•

Al considerar como principio rector el de búsqueda de relaciones matemáticas se garantiza que el alumno opere con la esencia, establezca nexos y relaciones y aplique el contenido a la práctica social.

•

Propicia el desarrollo de estrategias metacognitivas y contribuye a la formación de acciones de orientación, planificación, valoración y control mediante la aplicación inteligente del programa heurístico general que se propone para la escuela primaria.

Se asume que el empleo de forma planificada, consciente y racional de los recursos heurísticos en el proceso de enseñanza aprendizaje favorece la enseñanza y el aprendizaje desarrollador. Algunos fundamentos relacionados con ofrecer al escolar

la ayuda

que se puede

En otro orden se hará referencia a cómo favorecer la ayuda al escolar en la clase de Matemática. Uno de los principales retos para el docente en la implementación de la ZDP es precisamente lograr establecer a partir de las tareas planteadas niveles de dificultad que sean asequibles de acuerdo a las posibilidades de los alumnos, aunque por encima de sus capacidades alcanzadas. “En este sentido la comprensión del significado de la ZDP en la práctica pedagógica del maestro está muy relacionada con el aseguramiento oportuno de la ayuda requerida en cualquiera de los tres componentes de la acción: orientación, ejecución, control y corrección y la consideración de la consideración que en esta ayuda,

puedan tener factores como el: momento de su aseguramiento, su intensidad, su duración y sus resultados” (Bell Rodríguez, 2001). Se plantean algunas consideraciones acerca de aspectos a tener en cuenta para el suministro de la ayuda. Lo tipos de ayuda efectivos que puede brindar el maestro al dirigir el aprendizaje de los alumnos deben contemplar determinados requisitos en cuanto a aspectos como: •

Saber qué ayuda dar a cada alumno y en qué momento, permitiendo el avance de cada alumno de acuerdo con sus particularidades individuales.

•

El alumno debe percibir que cuando se aprende es posible cometer errores y que lo productivo es conocer cómo se eliminan no buscando la solución correcta en otro compañero sino en un proceso mediante el cual , el maestro guíe , mediante preguntas y reflexiones, la búsqueda del ajuste a partir de la comprensión de un razonamiento anterior no correcto, lo que demuestra la función constructiva del error

•

El docente debe generar situaciones de interrelación entre los diferentes escolares a fin de producir una dinámica reflexiva en la que los diferentes alumnos puedan ofrecer sus puntos de vista. (Rico ,2003)

En relación con los tipos de ayuda que se pueden ofrecer al alumno, en esta investigación se asume la siguiente clasificación: Tipos de niveles de ayuda. (Bell, 2000)

Comprobación del mantenimiento de indispensables para el desarrollo de la ZDP.

La formulación de preguntas orientadas o de interrogantes dirigidas a conocer el grado de seguridad del alumno en la respuesta elaborada.

La elaboración de señalamientos y alertas.

El suministro de datos complementarios, de apoyo.

Las explicaciones adicionales de orientación.

las

condiciones

Las demostraciones de cómo hacer.

Se recomienda que el suministro de la ayuda debe hacerse en un tránsito escalonado que se tenga en cuenta partir de niveles mínimos, hasta alcanzar según lo requieran el alumno y el tipo de tareas a resolver el máximo de ayuda posible para luego comenzar a retirarla, hasta prescindir de ella. Estas consideraciones son poco logradas en el salón de clases, a juicio de la autora y en la constatación realizada a cientos de clases observadas. En general el maestro lo realiza, explica toda la tarea y solo deja al escolar lo algorítmico en la clase de Matemática. La ayuda debe ser oportuna y priorizarse el componente de orientación pues si éste se realiza de forma adecuada, la ayuda debe disminuir. Estas consideraciones están muy relacionadas con la aplicación de la instrucción heurística de la Matemática de forma explícita, pero no es posible aplicarla sin que el docente domine acciones y operaciones relacionadas con: Formulación de impulsos. Dirección del proceso de búsqueda de relaciones matemáticas. Organización de la estructura didáctica de la clase de Matemática. Se expresa esta idea de forma gráfica en la fig. 3:

Elaborar impulsos

Dirigir el proceso de establecer

Organizar la estructura didáctica

Fig. 3 Habilidades pedagógicas profesionales para la instrucción heurística de la matemática

IDEAS INTRODUCTORIAS RELACIONADAS CON EL EMPLEO DE IMPULSOS EN LA CLASE DE MATEMÁTICA Durante el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática en el nivel primario se ha constatado que el maestro utiliza frecuentemente la conversación de clase como procedimiento, pero no siempre logra propiciar la reflexión por parte de los escolares. En la conversación de clase se utilizan preguntas que por sus características pueden o no propiciar este propósito. En relación con la elaboración de preguntas hay muchos trabajos como los planteados por Aguayo, (1924) Klingberg (1978), y recientemente el colectivo de PRYCREA (Pensamiento reflexivo y creativo) (1995) ha elaborado criterios acerca de la buena indagación. En el texto de Metodología de la enseñanza de la Matemática del colectivo de autores cubanos, se hacen referencias explicitas como las siguientes: Para la conducción de la conversación de clases y para su preparación se sitúan grandes exigencias al profesor: Dominio del contenido. Conocer y tener presente el objetivo a lograr. Disponer de una buena técnica para preguntar. Poder proporcionar impulsos para activar el pensamiento de los alumnos. Se ofrecen además indicaciones sobre la técnica de preguntar. Existen además de las preguntas otras formas de conducir la conversación de clases mediante impulsos. En relación con este concepto se realizó un análisis en la bibliografía especializada, en los textos y materiales consultados, se infiere que se emplean para estimular la participación del alumno. (Ballester, 1992), (Jungk, 1987), (Zillmer, 1981), Geissler, 1984). (Muller, 1990), (Almeida ,1995). Este concepto no se define. Se da por conocida su interpretación.

Una breve caracterización del concepto, se ofrece en el texto Conferencias de Metodología de la Enseñanza de la Matemática de W. Jungk II primera parte. Se plantea: “Para los alumnos un impulso caracteriza de forma más cercana el asunto a analizar, pero no le indica en forma directa el próximo paso”. Esta autora considera que esta definición, no expresa con claridad, que es un impulso, sino su función y que además no es suficientemente clara. Se plantea además en el referido texto: Se podrán diferenciar las siguientes formas de impulsos: Impulsos para la exploración de la situación. Impulsos de análisis. Impulsos de analogía. Impulsos que dirigen el desarrollo del trabajo. Los impulsos se relacionan estrechamente con la técnica del profesor para plantear preguntas y la calidad de una clase esta determinada esencialmente por la forma que el profesor trabaja con preguntas e impulsos. Al trabajar con impulsos debe prestarse atención al principio de las exigencias decrecientes. Los impulsos deben estimular a los alumnos”. Otra caracterización de los impulsos que llama didácticos la ofrece la Dra. Delfina García Pers en el texto de Didáctica del idioma Español al plantear: Insinuaciones o mandatos breves , que puede ir intercalando en el curso de la conversación: cuenta …, resume…, continúa.., repite…, explica…, razona…,juzga…, o elementos de enlace con los que puede ayudar al alumno a continuar el hilo del discurso, tales como: luego…, esto es…,pero…, sin embargo…, por lo tanto, y otros. (García ,1976). Esta autora plantea además que suelen ser de un valor didáctico más demostrable, que la forma interrogativa directa acostumbrada en las clases.

Por considerar de mucha importancia el conocimiento que para los docentes tiene este concepto de impulso didáctico, así como del proceso de formulación de impulsos, para propiciar la instrucción heurística de la Matemática en el nivel primario, la autora de esta investigación realiza la caracterización, de impulso didáctico por ser parte del lenguaje de los especialistas que se dedican a la Didáctica de la Matemática. También se profundiza en aspectos relacionados con este concepto y sobre todo en la técnica para la formulación La formulación de impulsos en la clase de Matemática Desde el punto de vista del significado del término entre otras acepciones pueden considerarse: “empuje”, “propulsión”, “presión”, “movimiento” y “arrastramiento”, y para los especialistas en didáctica, este término se puede emplear como “ayuda al escolar”, pero; ¿Cómo caracterizar esa ayuda? Impulso didáctico: Es un nivel de ayuda que de acuerdo al diagnóstico del desarrollo real de cada escolar, debe ser la que realmente él necesite, en el transcurso de la realización de una tarea con carácter de problema, con el propósito de mover su pensamiento hacia los contenidos que ya posee y que pueden ser útiles para vencer el obstáculo en el aprendizaje y activar su participación de manera independiente. Esta ayuda se traduce en indicaciones, exhortaciones, sugerencias que ofrece el maestro (u otro) y que como norma no debe estar dirigida a la vía de solución de la tarea dada sino a los recursos que el alumno necesita para encontrar dicha vía (o comprobarla), por ello cuando se da no debe contener el próximo paso a seguir para solucionar la tarea dada. Es un “decir”, sin “decir”, lo que se puede plantear para expresar la idea que debe tenerse de este nivel de ayuda que a juicio de la autora, opera en la zona de desarrollo potencial de los alumnos, por lo que constituye una vía para ampliar su zona de desarrollo real. Los impulsos pueden ofrecerse como órdenes o también en forma interrogativa aunque es necesario aclarar que no todas las preguntas tienen carácter de impulso en el sentido que estos se han caracterizado. 32

Son ejemplos de impulsos:

Busquen relaciones entre los datos.

Recuerda las características de la figura dada.

Cuenta los ceros que siguen a la unidad.

Piensa en la operación que debes realizar.

¿Es condición necesaria y suficiente?

Recuerda ejercicios parecidos.

Reduce la tarea a lo que ya conoces.

¿Puedes comprobar la respuesta?

Como puede apreciarse en ningún caso se dice la solución del problema de fondo lo que hay que hacer, se exhorta a la realización de determinadas acciones para encontrar la vía de solución de una tarea con carácter de problema. Se ejemplifica en una tarea de carácter geométrico (Rizo et. al., 1990). m paralela n, a y b secantes. Calcula los valores de x, y y z a partir de los ángulos denotados: (Ver fig. 4)

n y 31

112

z b

Fig. 4 Tarea de carácter geométrico

Un impulso pudiera ser: “Fija un ángulo y trata de relacionarlo con los demás”. Obsérvese que no se da ninguna idea de las posibles vías a utilizar para solucionar el ejercicio. Algunos requisitos para la elaboración de impulsos La utilización de este estilo de trabajo requiere tener en cuenta por parte del docente determinados requisitos antes de decidirse si es necesario a ofrecer un sistema de impulsos en la realización de una tarea, lo que depende de: •

Grado de complejidad que tiene la misma desde el punto de vista de la asimilación de los conocimientos por parte de los escolares, o sea si es de carácter reproductivo, productivo o creador.

•

Necesidades propias de cada uno de los escolares, lo que se relaciona con el diagnóstico del desarrollo real alcanzado por los mismos y por el grupo.

•

Características del grupo desde los puntos de vista del rendimiento académico y el ritmo de aprendizaje

•

Relaciones interpersonales existentes entre el profesor y sus alumnos y entre estos últimos.

Estos aspectos ponen de manifiesto que debe tenerse en cuenta la diversidad que se puede presentar en la clase. Es necesario que el docente tenga en cuenta las posibilidades que tiene la realización del trabajo cooperativo en grupos. para lo cual puede variar las formas de organización de la clase, propiciando el trabajo por parejas, en equipos y no sólo frontal como tradicionalmente se hace. Generalmente, en el proceso de formulación de los impulsos, el maestro se debe orientar por el principio de “las exigencias decrecientes”, lo que significa primero, mantenerse callado y si es necesario, ofreciendo la ayuda mínima, que realmente necesita el escolar, es decir comenzar “por encima”, pensando en que el éste tiene las potencialidades para trabajar de manera independiente. De esta manera el docente tendrá en cuenta las diferencias individuales para si es necesario, ofrecer más ayuda la que puede ser suministrada por él u otros escolares. En el ejemplo en cuestión, quizás ese impulso no fuese suficiente para algunos escolares, pudiera así procederse a disminuir el nivel de la exigencia. Relaciona el ángulo de amplitud x con el ángulo de 31 grados. Este estilo de trabajo requiere del docente: Tener conocimientos profundos sobre el contenido de enseñanza. Buena comunicación con sus escolares. Dominar de la caracterización de sus alumnos en lo relativo a la asignatura. Preparación para la elaboración de los impulsos y preguntas.

Las "ayudas” del docente deben ser lo suficientemente exigentes como para hacer tomar conciencia a los alumnos de que a pesar de los avances, el problema (asociado a la construcción de los nuevos conocimientos) no ha sido definitivamente resuelto, pero tampoco tan exigentes que se alejen considerablemente de nivel de desarrollo real de los alumnos (es decir que no vayan dirigidas hacia la zona del desarrollo próximo al decir de Vigotsky), (Bell, 2001). Tipología de los impulsos Existen diferentes tipos de impulsos, según la intención didáctica que persiguen y por supuesto del contenido de la tarea a resolver. Para esta clasificación, se tiene en cuenta las etapas de realización de cualquier actividad. Así pueden clasificarse en: Impulsos de orientación: Se utilizan para evitar la tendencia ejecutora en la realización del ejercicio. Esta tendencia, se encuentra bastante generalizada, pues el escolar se anticipa a realizar los ejercicios y tareas si no esta debidamente orientado Este tipo de impulso facilita la familiarización y la orientación hacia los objetivos de la misma. Ejemplos:

Lee detenidamente el problema.

Observa y analiza la figura que te dan.

Separa los datos de los elementos que quieres hallar.

Impulsos para la ejecución: Se utilizan durante el proceso de comprensión o búsqueda de la vía de solución de la tarea propuesta. Ejemplos: Relaciona el ángulo dado con cada uno de los otros. Recuerda las propiedades de los ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Recuerda las propiedades de los ángulos alternos correspondientes y conjugados. Si hay más de una secante considera cada una por separado. 36

Impulsos para el control: Estos se emplean para verificar que las acciones realizadas por el escolar son las adecuadas o correctas para la solución de la tarea, lo que les permite autoevaluarse. Se pueden utilizar para el control parcial o final de la tarea. Ejemplos: Comprueba si los resultados se corresponden con lo que te piden en el ejercicio. Analiza si es lógica la respuesta obtenida. Compara los resultados con el estimado que realizaste. Revisa que los cálculos realizados no tengan errores. También los generalidad:

impulsos

pueden

clasificar

por

grado

Los impulsos que tienen carácter generalizador reciben el nombre de reglas heurísticas. Estas reglas heurísticas pueden estar relacionadas con la aplicación de algún principio heurístico y con el empleo de las estrategias heurísticas. Las reglas heurísticas pueden ser generales y especiales. Las reglas heurísticas generales son válidas para todo tipo de ejercicio o tarea que debe resolver el escolar. Ejemplos: •

Sustituye el nombre del concepto, o el término, por la definición, la explicación, las propiedades equivalentes o las características. Esta regla es importante, pues posibilita que el escolar reflexione acerca de los conceptos que aparecen en el problema.

•

Establece relaciones entre los datos y lo que quieres hallar. Esta regla conduce a la aplicación de un principio heurístico, puede ser ampliada empleándose los elementos conocidos y no conocidos. También se pide establecer relaciones entre los datos y entre las incógnitas.

•

Realiza una figura de análisis o representación grafica. Debe tratar de aplicarse siempre que sea posible, es una expresión del

principio de modelación y debe lograrse que en esa figura o representación se tengan en cuenta las relaciones establecidas. •

Separa los datos de las incógnitas o elementos que hay que hallar. También de lo conocido y lo no conocido.

Se puede apreciar que estas reglas están expresadas de tal manera que las ofrece el maestro a sus alumnos, pero la idea esencial es que estos puedan interiorizarlas y expresarlas en términos del sujeto que aprende, es decir auto-impulsarse. Las reglas heurísticas especiales se emplean para un universo más limitado de ejercicios. A continuación se ejemplifican algunas elaboradas o compiladas por la autora para determinados complejos de materia. Es necesario destacar como ya se planteó en otro epígrafe, que hay maestros que de manera empírica utilizan y elaboran algunas reglas, pero en la bibliografía especializada, aunque se hace referencia a ellas se ejemplifican poco. Debe cuidarse de no convertir la aplicación de la Instrucción Heurística en una compilación de reglas, para memorizar TRABAJO CON EL CÁLCULO ARITMÉTICO Procedimientos de cálculo de números naturales, de expresiones decimales y fracciones.

¡Antes de operar, ten en cuenta el orden que se realizan las operaciones y la colocación adecuada de los términos!

Antes de calcular, compara los términos que aparecen y ten en cuenta la posibilidad de realizar las operaciones dadas.

Para sustraer expresiones decimales, compara previamente la cantidad de lugares decimales, y si es diferente, trata de igualar dicha cantidad. (Válido también para la adición de expresiones decimales).

Para sumar y restar fracciones, compara los denominadores y redúcelos a uno común si no son iguales.

Estimación de las cifras del cociente en el procedimiento para dividir de números naturales. Número de un lugar.

Para dividir por un número de un lugar, estima primero las cifras del cociente. Ten en cuenta las relaciones que hay entre el número de cifras del dividendo y las del cociente, según sea la relación entre la primera cifra del dividendo y el divisor.

Ten en cuenta que el número de cifras del cociente es igual a las del dividendo, si la primera cifra del dividendo es mayor que la del divisor, o menor en uno que las de éste si es menor.

Otras reglas especiales:

Para dividir por números naturales de dos o más lugares procede de manera análoga.

Para dividir por números naturales de dos o más lugares procede de manera análoga a la división por números de un lugar.

Para estimar, ten en cuenta que hay tantas cifras en el cociente como dividendos parciales haya.

Compara cada resto parcial con el divisor para analizar la posibilidad de seguir dividiendo o poner cero en el cociente.

Para comprobar, utiliza las relaciones entre los términos de la división. Recuerda que: el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

Trabajo con Magnitudes Para realizar ejercicios de conversión, estimación y medición:

Al convertir, piensa si vas a pasar de una unidad mayor a una menor o viceversa, y de qué tipo de magnitud se trata ( de longitud, masa o capacidad; de superficie; o de volumen) . Ten en cuenta, según el caso, qué unidad de medida debes utilizar.

Para seleccionar el numero de conversión, cuenta los lugares que hay entre la unidad dada y la que se busca, y los ceros que correspondan, según el tipo de magnitud de que se trate. (Válida para las unidades del Sistema Métrico Decimal).

Trabajo con la Geometría Cálculo de amplitudes

Si hay rectas que se cortan, fija un ángulo y trata de relacionarlo con cada uno de los otros.

Si hay rectas paralelas y más de una secante, trabaja con cada una por separado.

Recuerda las condiciones para que existan ángulos opuestos por el vértice y adyacentes, sus características y las relaciones entre esos tipos de ángulos.

Recuerda las condiciones para que existan ángulos correspondientes, alternos y conjugados, las características y las relaciones entre esos tipos de ángulos.

Si hay rectas que se cortan busca parejas de ángulos adyacentes y opuestos por el vértice y si hay rectas paralelas cortadas por una secante, busca parejas de ángulos alternos, conjugados y correspondientes.

Si no puedes relacionar ángulos directamente busca un tercero que relacione con los que se desea calcular.

Ejercicios de demostración

•

Si aparecen triángulos, recuerda las relaciones que existen entre sus lados y sus ángulos, según el tipo de triángulo que sea.

•

Para determinar el tipo de triángulo, compara las amplitudes de sus ángulos o las longitudes de sus lados y recuerda las relaciones existentes entre lados y ángulos opuestos a ellos y viceversa.

•

Si aparecen rectas cortadas por una secante, recuerda las características de los ángulos que se forman y las propiedades que éstos deben tener para que sean paralelas.

•

Transforma la tesis (lo que hay que demostrar) si es necesario, sustituyendo algunas expresiones por otras que se puedan deducir de éstas.

•

Para clasificar triángulos compara las amplitudes de sus ángulos o las longitudes de sus lados. Observa las amplitudes de los ángulos opuestos a los lados.

Es necesario aclarar que estas reglas no se dan como si fueran sucesiones de indicaciones con carácter algorítmico, se ofrecen al escolar en el contexto de realización de una determinada tarea y teniendo en cuente el carácter de impulso que se ha asumido en esta tesis. Técnica para la formulación de impulsos La necesidad de ofrecer a los docentes una base orientadora para la formulación de impulsos didácticos al ofrecer una tarea al escolar, condujo al análisis de las operaciones que debe realizar el maestro para formar la acción, la que debe devenir en habilidad pedagógicoprofesional en la medida que el docente la sistematice:

Resolver la tarea por diferentes vías hasta encontrar la más lógica y racional.

Valorar los aspectos esenciales del contenido que debe ser analizado por los escolares en el proceso de solución.

Elaborar los impulsos que va a ofrecer de tal manera que estos no revelen el paso siguiente, ni la vía de solución pensada de forma explícita.

Controlar que los impulsos elaborados sean aplicables a las diferentes vías por las que puede resolverse el ejercicio, lo que permitirá retroceder en el análisis.

Analizar si los escolares a quienes están dirigidos los impulsos están en condiciones de realizar las operaciones que este indica.

Controlar que cada impulso elaborado conduzca a la respuesta deseada.

Aplicar el principio de las exigencias decrecientes o sea disminuir el nivel de la exigencia, si es necesario.

Controlar que los impulsos elaborados sirvan de base de orientaciones al escolar.

Para la elaboración de los impulsos el maestro debe tener presente las características individuales y la del grupo y atender al principio de “Las exigencias decrecientes”, para aprovechar el máximo desarrollo de las potencialidades del escolar, es decir: No ofrecer impulsos. Ofrecer impulsos de ayuda mínima. Decrecimiento del nivel de exigencia del impulso que consiste en reformularlo dando más elementos sin que pierda su carácter. Ejemplos de aplicación de la técnica para formular impulsos. Ejemplo 1. La obtención de los productos del 6 en 2do grado. Condiciones previas: •

Descomposición de un número como suma.

•

Ejercicios básicos de adición sustracción y los productos del 6 conocidos.

•

Ejercicios no básicos de adición de números de dos lugares a números de un lugar.

•

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

El maestro analiza las posibles vías entre las que se encuentran conteo de 6 en 6, expresar el producto como suma de sumandos iguales y la que se orienta en el Libro de Texto que es la descomposición de uno de los factores como suma que es la más compleja, no obstante se analiza a continuación, en este caso, cómo puede reflexionar el maestro en la preparación de los impulsos. 6.6 = (5+1).6 =30+6 =36 Valorar que es importante que el escolar comprenda la necesidad de descomponer un factor, pero es inmotivado pedirle que descompongan un factor, es forzado y no conduce a reflexiones sobre el contenido. 42

Además la descomposición se realiza de manera conveniente en el primer caso en sumandos de la forma a+1, pero también es forzado exigirle al escolar que esta sea la descomposición pues el 6 puede descomponerse en dos sumandos cualesquiera. El docente debe analizar que hay dos cuestiones esenciales, hay que descomponer y los sumandos no pueden ser cualesquiera, deben conducir a productos conocidos; es decir debe reducirse a casos conocidos para que la adición sea también conocida. Los impulsos pudieran ser:

Recuerda los productos del 6 estudiados ó ¿Cuáles son los productos del 6 que conoces?

Observa el producto planteado.

Indica de otra manera el producto planteado o de qué otra forma pudiera escribirlo.

Escríbelo utilizando productos que ya sabes (Reducción a lo conocido).

Controla que puedas calcular los productos intermedios porque los conoces.

Analiza si es lógico el resultado.

Ejemplo 2. Ejercicios donde intervienen figuras geométricas incluidas en otras. Determina cuántos segmentos hay denotados en la recta r si A, B, C y D son puntos pertenecientes a ella:

A B

Los impulsos pudieran ser:

Fija un punto (el que esta denotado como primero o último) y combínalo con cada uno de los otros para formar segmentos.

Con el punto siguiente (antes o después del anterior) repite el paso anterior.

Ordena los segmentos denotados de tal manera que cada punto que se fija sea un extremo.

Controla que no hayan segmentos repetidos ni falte ninguno.

Repite el procedimiento con más puntos en la recta.

Trata de encontrar la relación entre el número de puntos y el número de segmentos.

De esta manera se deben obtener: AB

AD Hay cuatro puntos denotados y se obtienen 6 segmentos. Si además se le exige al alumno que generalice, deben llegar a obtener después de hechos muchos ejemplos que el número de combinaciones es n(n-1)/2 a) Determina cuantos rectángulos y cuadrados hay en la figura ABCD (Rizo et. al.; LT 3er Grado, p. 163 LT inciso a). F A

I G

Los impulsos pudieran ser:

Recuerda las características de las figuras pedidas (rectángulo y cuadrado).

Fija un segmento y combínalo con otros tres para formar rectángulos.

Comienza de afuera hacia adentro (puntos exteriores a los interiores).

Denota los rectángulos.

Ordena los resultados de manera que los rectángulos tengan el lado fijado

Recuerda que relación hay entre el rectángulo y el cuadrado.

Controla.

Ejemplo 3. Ejercicio de numeración. Escribe el menor y el mayor número natural para los cuales se cumple: 182999< x <185000 Los impulsos pudieran ser:

Analiza el ejercicio.

Observa los signos de las relaciones.

Analiza las características de los números que debes hallar, ¿cómo son con respecto a los dados?

Determina el primer número, que cumple las condiciones del ejercicio.

Comprueba que cumple con las condiciones.

Determina los números que le siguen.

Vuelve a controlar.

Una aplicación del principio de las exigencias decrecientes después de dar un tiempo a los escolares, seria elaborar un impulso intermedio para determinar el primer número, pidiendo a los 45

escolares que recuerden el concepto de sucesor de un número natural y el procedimiento para determinarlo, de la misma forma para controlar el resultado del último número que debe obtenerse, con el concepto de antecesor y como determinarlo. Deben obtenerse: 183000 y 184999 La dirección del proceso de búsqueda de relaciones matemáticas. Una habilidad general es la de “establecer relaciones que se corresponden con una de las formas de trabajo y pensamiento de la ciencia Matemática” (Ballester et. al, 1995). De importancia para el trabajo en la asignatura es el desarrollo de esta habilidad, para la comprensión y búsqueda de la vía de solución de tareas con carácter de problema. Para la formación y desarrollo de esta habilidad es necesario considerar en su estructuración las acciones y operaciones que han de ser realizadas por el escolar y en consecuencia las que debe orientar el maestro o profesor, pero: ¿Cómo se estructura la habilidad para establecer relaciones en la clase de Matemática? ¿Qué acciones debe realizar el maestro en el proceso de dirección del desarrollo de la habilidad de establecer relaciones por los escolares? La realización de la indagación en la bibliografía de corte psicopedagógico acerca de la estructura de la habilidad para establecer relaciones permitió a la autora constatar que en la bibliografía consultada no se encontraban estructuradas las acciones y operaciones que debe realizar el escolar para la formación y desarrollo de la misma, por lo que se propuso en este trabajo realizar las siguientes actividades: •

Constatar el desarrollo de la habilidad en escolares de 6º grado de una escuela primaria del municipio C. Habana.

•

Caracterizar cómo debía producirse este proceso.

•

Estructurar la habilidad.

•

Elaborar instrumentos para el control y evaluación del proceso de formación y desarrollo de la misma.

•

Estructurar las acciones que debe realizar el profesor en la dirección del proceso.

Teniendo en cuenta las definiciones de habilidad intelectual y de habilidad pedagógico – profesional asumida en el capítulo 1 de esta tesis y en correspondencia con los objetivos de este trabajo caractericemos brevemente el proceso de formación y desarrollo de la habilidad para establecer relaciones en una tarea de la clase de Matemática. El proceso de establecer relaciones se inserta en la frontera entre las etapas de comprensión de la tarea dada y la búsqueda de la vía de solución de la misma y contribuye si se dirige de forma efectiva a encontrar esta última. Esta ubicación nos da la medida de no darse de forma aislada sino en el contexto de la tarea. Debe caracterizarse por ser un proceso muy activo, el escolar tiene que ocupar un papel protagónico en la búsqueda de las relaciones entre las condiciones dadas en la tarea y las exigencias planteadas, para lo cual debe transitar del análisis a la síntesis lo que le obliga a organizar y planificar mentalmente los pasos a seguir. La realización de este proceso permite eliminar la tendencia ejecutora ante la presentación de la tarea, lo que le confiere el carácter de regulador de la actuación del educando. El escolar se puede apoyar en la realización de combinaciones que hará de forma intuitiva y que usualmente realiza por ensayo y error, si no está adecuadamente orientado. Se debe convertir en un procedimiento intelectual y una estrategia del pensar en la solución de la misma y contribuye al desarrollo de la meta cognición. En este nivel de enseñanza y en correspondencia con la esfera de objetivos del desarrollo intelectual se han de desarrollar habilidades generales y específicas de la asignatura.

Se considera por los especialistas que la realización de los procesos de “búsqueda de relaciones y dependencias”, “las consideraciones de analogía” y la “variación de condiciones”, que son formas de pensamiento de la Matemática, son elementos esenciales del éxito por parte de los escolares en la solución independiente de tareas del contexto de la asignatura. En este trabajo se hace referencia al proceso de búsqueda de relaciones matemáticas. Estructura de la habilidad (acciones del escolar).

Lee y observa el enunciado de la tarea o problema.

Sustituye el o los términos que aparecen por las definiciones o explicaciones.

Separa los datos de las incógnitas.

Analiza el tipo de relaciones que pueden establecerse.

Busca relaciones entre:

•

Los datos.

•

Los elementos dados y buscados.

•

Las incógnitas.

Utiliza alguna regla heurística especial: •

Relaciona cada elemento con los demás ó

•

Fija un elemento y relaciónalo con los demás

•

Si no hay relaciones entre dos elementos busca un tercero

•

Busca relaciones indirectas entre los elementos

Controla.

En correspondencia con la estructura considerada para esta habilidad, el proceso de dirección de las operaciones del maestro se instrumentará según las siguientes indicaciones: •

Resuelve el problema por diferentes vías

•

Indica de forma general buscar relaciones expresadas en el texto

•

Orienta la búsqueda de relaciones hacia:

a) Los datos. b) Los datos y las incógnitas o elementos que se quieren hallar. c) Los elementos conocidos y los que no se conocen. d) Los elementos que no se conocen y los que hay que hallar.

Indica el tipo de relaciones que pueden establecerse: •

De igualdad o desigualdad explícita.

•

De parte – todo.

•

De inclusión o pertenencia.

•

De paralelismo o perpendicularidad.

•

De divisibilidad.

•

Otras.

Controla que las indicaciones ofrecidas sirvan de base de orientaciones al escolar.

El desarrollo de esta habilidad sólo se logra si se tiene en cuenta, como se plantea en párrafos anteriores, la aplicación de los pasos a seguir ante tareas en las que se varíen los contenidos y es parte del proceso de comprensión del ejercicio en el que pueden darse otros impulsos, según se trate. Ejercicio de cálculo geométrico (Rizo et al., libro de texto de sexto grado). m paralela a n, a y b secantes. Calcula los valores de x, y y z a partir de los ángulos denotados. Argumenta tu respuesta.

n y 31

112

z b

Algunos impulsos del maestro:

Analicen la figura. Busquen relaciones entre los datos.

Busca ángulos alternos correspondientes o conjugados.

Sustituye los conceptos por las características.

Recuerda los teoremas o propiedades de los ángulos alternos, correspondientes o conjugados.

Considera sólo una secante y las paralelas.

Relaciona lo dado y lo buscado.

Fija un ángulo y relaciónalo con los demás.

Relaciona los elementos buscados.

Si no hay relaciones entre dos elementos busca un tercero.

Debe obtenerse por parte del escolar: El ángulo de 31°, es correspondiente con el ángulo x (m II n y a secante). 50

El ángulo de 112°, es correspondiente con el ángulo de amplitud y (m II n y b secante). Ángulo x es adyacente con el z. Establecidas previamente estas relaciones puede seguir en la solución de la tarea. Por supuesto, las acciones planteadas se dan en el contexto de una tarea, no se dan de forma aislada, pues forman parte de un proceso que para su análisis se separan, la idea es que no quede a la espontaneidad y no se escapen relaciones que pueden ser encontradas y aplicadas por el escolar. La utilización de recursos heurísticos es considerada por muchos especialistas como estrategias para pensar y crear entendiéndose así al conjunto de actividades que se realizan con el objetivo de que el escolar busque, cree y participe de manera activa en la obtención de sus conocimientos, habilidades y hábitos La aplicación de la instrucción heurística de forma explícita, puede ser una opción metodológica para el logro de estos fines, pero para ello, es necesario dominar la técnica para formular impulsos didácticos en la clase, teniendo en cuenta la caracterización de este concepto y la tipología ofrecida de manera que estos se empleen de manera racional y en correspondencia con las exigencias de la tarea y con el diagnóstico de cada escolar y del grupo La búsqueda de relaciones y dependencias entre los elementos dados y buscados en una tarea con carácter de problemas, debe orientarse didácticamente y convertirse en procedimiento intelectual que posibilite el desarrollo de la meta cognición y la realización de tareas con carácter independiente por parte del escolar primario. Tanto la formulación de impulsos didácticos como la dirección del proceso de búsqueda de relaciones matemáticas son habilidades pedagógico-profesionales imprescindibles para la impartición de la clase de Matemática con enfoque heurístico, y además necesarias para la aplicación consecuente del programa heurístico general, lo cual deviene en habilidad pedagógico profesional con la integración de éstas. 51

Se exponen a continuación algunas experiencias relacionadas con el empleo de estas formas de trabajo en la asignatura Geometría. EXPERIENCIA DE TRABAJO CON LA GEOMETRÍA BASADA EN TAREAS DOCENTES Y PROCEDIMIENTOS DIDÁCTICOS La Geometría en el primer ciclo de la enseñanza primaria está orientada hacía una estructura axiomático deductiva Los alumnos se familiarizan con los conceptos básicos y las relaciones que se establecen entre ellos. Estos no se caracterizan aun con axiomas, pero sobre una base intuitiva, los alumnos adquieren los conocimientos que tienen como base los axiomas de incidencia, de orden. En el primer ciclo se realiza una selección de conceptos y no se aspira lograr una total completitud de los mismos ya que ellos no se elaboran de una sola vez, sino de forma mediata y paulatina. Esto es posible porque en los grados inferiores los conceptos se adquieren, fundamentalmente, sobre una base intuitiva y no con la ayuda de definiciones de otros conceptos Desde el primer grado de la escuela primaria se inicia su estudio propedéutico, los escolares trabajan de forma intuitiva con las figuras planas y los cuerpos geométricos más elementales. En este ciclo sobre la base de un tratamiento intuitivo operativo, los alumnos reconocen en situaciones variadas los conceptos geométricos que estudian y llegan a conocer las propiedades fundamentales de las figuras y cuerpos elementales. En el quinto grado se repasan aquellos contenidos geométricos que son importantes para el grado, se profundizan en otros y se introducen nuevos El sexto grado se caracteriza por ser el enlace entre la Geometría intuitiva iniciada en primer grado y el de la Geometría deductiva que se trabaja en séptimo grado. Está concebida de modo que el alumno active los conocimientos mínimos imprescindibles para poder iniciar el estudio deductivo de la Geometría y desarrolle las

habilidades necesarias que son condiciones previas para estudios superiores. Orientaciones y procedimientos para las tareas de Geometría Para la puesta en práctica de las tareas docentes, el maestro debe tener en cuenta el diagnóstico de su escolar ya que en dependencia del conocimiento que se tenga del estado actual de cada uno, se seleccionarán las preguntas del que se deban realizar así como los niveles de ayuda que necesiten Las tareas elaboradas tienen como objetivo identificar figuras planas y cuerpos geométricos a partir de sus conceptos o propiedades. Es condición previa para el trabajo que los maestros dominen como fundamentos esenciales los contenidos referidos al tratamiento de los conceptos y sus definiciones y que aparecen esbozados en el epígrafe anterior. Para la resolución de cada tarea docente se sugieren algunas indicaciones referidas a los niveles de ayuda que el escolar pudiera necesitar y están sujetas a las características del ejercicio. Los niveles de ayuda para ejercicios de identificación de figuras y cuerpos pudieran estar encaminados a: Recordar las figuras (cuerpos) estudiados Pensar en las características de cada una de ellas cuerpo)

(o de ese

Relacionar esas características con el nombre de la figura ( o del cuerpo) Analizar si la figura dada además, cumple otras características Comprobar la selección Regla Heurística para la identificación de figuras: Sustituye la figura por las explicaciones de ella. Los niveles de ayuda para ejercicios de realización de figuras y cuerpos pudieran estar encaminados a: Recordar las figuras

estudiadas 53

Pensar en las características que determinan esa figura (o ese cuerpo) Relacionar esas características cuerpo)

con el nombre de la figura ( del

Trazar o completar la figura ( o el cuerpo) Los niveles de ayuda para ejercicios de aplicación de figuras y cuerpos pudieran estar encaminados a: •

Seleccionar lo dado.

•

Seleccionar lo buscado.

•

Establecer relaciones entre ellos.

•

Recordar ejercicios parecidos.

•

Analizar lo qué tienen en común.

•

Analizar lo qué diferente.

•

Analizar lo qué necesitan hacer ahora.

A continuación, seleccionaremos a modo de ejemplo como utilizar diferentes niveles de ayuda para uno de los conceptos geométricos en este caso Triángulo. Queremos destacar que los niveles de ayuda que se proponen son análogos para el resto de las figuras o cuerpos. Se quiere aclarar que generalmente los ejercicios para identificar una figura se corresponden con los niveles de familiarización y con el nivel reproductivo. Los de realización del concepto con los del nivel de aplicación, también se proponen actividades de creación como la 9 y la 10. Ejemplo de tareas docentes. Sobre los Triángulos.

1. Identifique de las siguientes triángulo:

figuras cuál representa un

Este es un ejercicio formal para la identificación del concepto de triángulo, se sugiere utilizar los siguientes niveles de ayuda: •

Recuerda a qué llamamos triángulo.

•

Piensa en sus características

•

Relaciona esas características una de las figuras dadas

•

Comprueba tu selección

Si es necesario se recomienda utilizar medios de enseñanza como varillas, palillos y realizar esta figura de forma manual, de diferentes tamaños, posición, color. 2. Traza con tu plantilla un triángulo, denótalo y diga cuáles son sus lados y sus ángulos. La intensión es realizar el concepto de triángulo para ello sugerimos tener en cuenta los niveles de ayuda siguientes: •

Recuerda a qué llamamos triángulo

•

Piensa en sus características

•

Selecciona de tu plantilla la figura adecuada

•

Traza el triángulo

•

Comprueba tu selección.

3. Dibuja un triángulo ABC de manera que el segmento AB sea uno de los lados.

El objetivo es completar la figura dada para formar un triángulo y para ello sugerimos tener en cuenta los niveles de ayuda siguientes: •

¿Qué es lo dado?

•

¿Qué debes dibujar?

•

Recuerda a qué llamamos triángulo

•

Piensa en sus características

•

¿Qué falta para obtener el triángulo?

•

Trázalos

•

Comprueba

4. Escribe una X en la proposición falsa: 1) ____ 2) ___

Un triángulo tiene cuatro ángulos Todo triángulo tiene líneas curvas.

3) ____ Un triángulo es un polígono de tres lados 4) ___

Los triángulos tienen dos lados iguales

El objetivo de éste es la identificación del concepto análisis de cada una de las proposiciones.

a partir del

Niveles de ayuda que se proponen:

•

Lee detenidamente cada proposición

•

Haz una figura de análisis si lo consideras necesario

•

Piensa en la cantidad de lados que tiene un triángulo

•

Piensa en la cantidad de ángulos

•

¿Cuántos vértices tiene?

•

¿Qué es lo común para todos los triángulos?

•

¿Qué es lo diferente?

•

Controla la selección

5. ¿Cuántos triángulos se pueden identificar en el siguiente gráfico?

¿Cuántos triángulos no rayados, hay en la figura?

En estos ejercicios vamos a continuar identificando el concepto triángulo pero con un nivel de exigencia mayor. En ambos casos solo aparecen triángulos, solo debemos determinar la cantidad, para ello sugerimos los siguientes niveles de ayuda en su tratamiento: • Fija un punto (puede ser un lado o un ángulo) y se cuenta en un mismo sentido hacia la derecha o izquierda) cuántos triángulos hay. • Fija el punto que aparece a continuación (o el lado o el ángulo) y manteniendo ese mismo sentido se cuenta cuántos triángulos hay. • Continúa hasta recorrerlo todos. • Controla realizándolo nuevamente pero en sentido contrario.

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

Se mantiene la misma intensión, solo que el nivel de dificultad aumenta ya que a pesar de que solo se va a identificar el mismo concepto triángulo aunque además aparecen rectángulos. Se mantienen las mismas exigencias en cuanto al dominio de la parte conceptual y los mismos niveles de ayuda que mencionamos con anterioridad. 8. Seleccione la proposición correcta En la figura hay: 1) ___2 triángulos y 1 segmento 2) ___3 triángulos

y 5 segmentos

3) ___3 triángulos

y 4 segmentos

4) ___2 triángulos

5 segmentos

En esta ocasión se están fijando dos conceptos que ya son conocidos por los escolares, triángulo y segmento. Aumenta la complejidad del ejercicio, este es aplicable cuando ya los alumnos puedan realizar los anteriores sin dificultad.

Niveles de ayuda • Selecciona una figura y analiza cuántas hay (se deben aplicar los niveles de ayuda conocidos) • Selecciona la otra figura y analiza cuántas hay (se deben aplicar los niveles de ayuda conocidos) •

Compara ambos resultados

•

Busca la proposición conveniente EXPERIENCIA BASADA EN EL ENFOQUE DINÁMICO DE TRATAMIENTO DE LA GEOMETRÍA

En las últimas décadas las ideas relacionadas con el empleo de las TICS han tomado fuerza a partir del desarrollo tecnológico al servicio de la educación, sobre todo por el impacto que ha tenido el surgimiento de programas, procesadores o asistentes que permiten el aprendizaje de la geometría desde una perspectiva activa y desarrolladora, basada en la búsqueda y la experimentación, y la exploración. No se trata de pensar que esto sea la panacea y por ende la solución a los problemas del aprendizaje de esta área del saber sino de tenerlo en cuenta para la determinación de alternativas adecuadas de su empleo con el fin de potenciar la calidad del proceso de enseñanza aprendizaje de este contenido en la escuela. En Cuba los primeros trabajos relacionados con la introducción de las nuevas tecnologías al proceso de enseñanza- aprendizaje de la matemática, en particular de la geometría fueron realizados por los doctores Celia Rizo Cabrera y Luis Campistrous, los cuales han aportado una concepción didáctica general para su empleo en la Educación Básica. En esta dirección se enmarca este resultado como una concreción de la Concepción general al trabajo con la Geometría en el primer ciclo de la Educación Primaria en el que se presenta una propuesta de enfoque metodológico que concibe el empleo de métodos productivos sustentados en los procedimientos heurísticos y el uso

de medios, en los que se incluyen los recursos tecnológicos como favorecedores de la conducción de dichos procedimientos. Se exponen los elementos considerados esenciales en la propuesta y las experiencias de su aplicación en un grupo de tercer grado de la Educación Primaria. Se entiende por enfoque dinámico de tratamiento de la geometría a la postura o manera de concebir la enseñanza de este contenido desde el supuesto de que las figuras pueden adquirir la cualidad del dinamismo a partir del movimiento de sus puntos o lados manteniendo alguno de ellos fijos, lo cual origina transformaciones en las mismas. Un cambio de visión del tratamiento de la geometría de una forma estática, como tradicionalmente se ha venido haciendo, a una en la que las figuras adquieran dinamismo y no sólo puedan moverse en el plano o unas sobre otras, sino que se trasformen ellas mismas a partir del movimiento de sus puntos o lados, implica un cambio en el trabajo de los maestros y los alumnos. Este trabajo, orientado fundamentalmente a lograr una mayor activación en el aprendizaje a través de los recursos tecnológicos actuales o de medios que simulen las acciones que pueden realizarse con ellos en función de estos fines, debe propiciar una participación más activa y productiva en los procesos de búsqueda, en la solución de problemas, el planteo de conjeturas y la comprobación experimental, todo lo cual tiene una gran incidencia en el desarrollo de un pensamiento reflexivo, crítico, valorativo y con mayores posibilidades del trabajo con conceptos, relaciones y procedimientos propios de esta área de la matemática que tiene una estructura lógica muy fuerte. Este enfoque de tratamiento de la geometría permite a los alumnos explorar relaciones geométricas de manera dinámica propiciando ver cambios en las figuras geométricas a medida que las van manipulando, además les permite cometer ciertos errores, los cuáles en alguna medida contribuyen a la toma de conciencia de la forma en que se razona para lograr alcanzar una meta, en este caso la comprensión de los conceptos geométricos y de las propiedades de las figuras

Así por ejemplo, desde primer grado los alumnos podrán formar diferentes figuras geométricas y reconocerlas en el medio aún cuando no sea éste un conocimiento formalizado a partir de la definición de sus conceptos. De la misma manera, podrán “descubrir” algunas propiedades, y lo que resulta más interesante, algunos se acercarán a generalizaciones sobre las características de las figuras y algunas propiedades de las mismas. Como se observa, en esta concepción de trabajo es importante considerar el rasgo dinámico no sólo como la posibilidad de cambio o transformación de la figura en el sentido físico sino también la posibilidad del “cambio de condiciones” que se genera al realizar los movimientos en las mismas y que favorece en buena medida el proceso de elaboración de los conceptos geométricos. En síntesis, esta forma de trabajo ofrece algunas ventajas para tratamiento de la geometría todas las cuales favorecen el desarrollo del pensamiento. Entre ellas:

Permite a los alumnos formarse conceptos mucho más generales acerca de las figuras geométricas y comprender de una forma más completa sus propiedades a partir del trabajo con varios ejemplos.

Permite aprovechar plenamente una de las estrategias heurísticas en la solución de problemas que resulta muy difícil de desarrollar con los medios convencionales: la de “mover la figura” (mover en ella misma).

Se propicia igualmente el empleo de las estrategias heurísticas de “considerar casos particulares”, “considerar casos límite”, “medir y comparar”, así como la “búsqueda de relaciones y dependencias” en las cuales al darle movilidad a las figuras se hacen visibles de una manera muy natural, lo cual contribuye al análisis de lo que ocurre al hacer variaciones, determinar qué varía y que se mantiene y qué dependencia hay entre los elementos analizados formándose una idea de cual puede ser la solución del problema.

Permite fijar las propiedades básicas esenciales de las figuras porque para moverla y garantizar que siga siendo lo que es, 61

dígase por ejemplo un cuadrado, un rombo, un trapecio, un polígono en general, hay que saber qué se puede mover y cómo se puede mover.

Potencia el desarrollo de la vista geométrica no solo en lo referido a la percepción de la figura y sus propiedades sino a la percepción de su invariancia al moverlas.

La visualización se manifiesta más como proceso a partir de poder dar movilidad a las figuras. Este proceso propicia a partir de la manipulación, la observación y el análisis llegar a conclusiones, poder hacer conjeturas sobre lo que se observa, analizar qué pasa si se cambian las condiciones y sentir la necesidad de probar los resultados así obtenidos. Esto da un cambio en el aprendizaje de la geometría en la que los alumnos puedan de alguna manera sentir que “descubren” las propiedades, sus relaciones y encuentran vías para solucionar problemas.

Es importante también cuánto ganan los alumnos al poder visualizar el comportamiento de las propiedades de las figuras en un mismo espacio de tiempo para la comprensión de cómo se cumplen las relaciones para cualquier tipo de figuras, aunque nunca ve todas, y no solo para las que él ha podido representar en una situación dada.

Permite no solo considerar los resultados en el aprendizaje sino en los procesos involucrados como la observación, la reflexión, corrección y prueba.

Posibilita, en poco tiempo, trabajar con una multiplicidad de casos que sería imposible presentar con la forma clásica de trabajo de la geometría en la escuela y que el da mayor nivel de generalidad al pensamiento de los escolares. Esta posibilidad de presentar varios casos y llegar a generalizaciones empleando menos tiempo y esfuerzos permite a los alumnos resolver tareas y problemas interesantes en los cuales se pongan en juego los conocimientos adquiridos estableciendo las relaciones entre ellos.

Propicia la incorporación de la tecnología al proceso de enseñanza- aprendizaje a través de software diseñados para aprender geometría, ya sean programas o aplicaciones y de

medios que simulan tanto las acciones que puedan realizarse con ellos como todas las que posibiliten dotar de dinamismo a las figuras.

Contribuye de manera importante al desarrollo de la imaginación espacial. Las transformaciones en las figuras pueden ser vistas en su configuración. Se puede apreciar en ese movimiento cómo unas figuras pueden dar origen a otras y determinar qué es lo esencial o distintivo en cada una, qué conservan para seguir siendo lo que son y en que varía para convertirse en otras. (Ver fig.5)

Presentación del contenido como situaciones de

Predominio de métodos y procedimientos que promueven la búsqueda, exploración y experimentació n

Movilidad y variación en las figuras

Objetivos dirigidos a: Realizar figuras a partir de movimientos que producen transformaciones en una figura dada o realizada y reconocer y distinguir las propiedades de las nuevas figuras que se obtienen por el movimiento. Inicio de la conjeturación

Sistema de medios que propician la movilidad en las figuras

Formas de evaluación que potencien los procesos de análisis y ó Formas de organización de colaboración, intercambio y la i li ió

Fig. 5 Concepción didáctica de la Geometría basada en el enfoque dinámico

Es necesario considerar en cada etapa o momento del desarrollo de los alumnos cuál será la exigencia al empleo de los procedimientos, del sistema de medios y de las tareas en función de los contenidos se tratan. En su dimensión cognitiva los objetivos deben orientar hacia el papel de la movilidad y la visualización como elementos esenciales del contenido para el aprendizaje de la geometría con un enfoque dinámico así como el alcance de los niveles de generalización en la obtención de los conceptos geométricos en cada etapa o momento del desarrollo. En este caso se asume la Movilidad como un principio heurístico especial (Müller, s/f) que permite variar las condiciones en el ejercicio propiciando el trabajo con una multiplicidad de ejemplos con lo que se facilitan y enriquecen los procesos de elaboración de conceptos y el trabajo con los procedimientos. De igual modo se entenderá la visualización como un proceso en el que se integran aquellos mediante los cuales se obtienen conclusiones, a partir de la representación de los objetos y de las relaciones o transformaciones observadas en construcciones y manipulaciones (Clemenst y Battista, 1992) Hay que considerar los conocimientos precedentes que sobre las figuras, sus propiedades y relaciones poseen los escolares, así como el desarrollo de habilidades alcanzadas, para poder determinar las exigencias del tratamiento del contenido geométrico en cada grado y las posibilidades reales y potenciales que los alumnos tienen de poder obtener el conocimiento a partir del establecimiento de relaciones entre las propiedades como resultado del movimiento en las figuras y el cambio de condiciones en éstas haciendo uso de los medios previstos. En la precisión de los objetivos es esencial según esta concepción atender al principio de proyección futura (G. Labarrere) al considerar en el trabajo con el sistema de medios de enseñanza lo que éstos aportan en cada etapa al aprendizaje de la geometría, así como la contribución que hacen a la preparación de los alumnos para el empleo de software específicos para el aprendizaje de este contenido. 64

Las dimensiones reflexivo reguladoras y afectivo motivacional de los objetivos deben estar dirigidas a que los alumnos sientan placer por el aprendizaje de la geometría a través de las actividades que desarrollarán con los medios y con las tareas. Lo anterior debe posibilitar que pierdan el temor que en ocasiones genera el aprendizaje de estos contenidos por su carácter abstracto a partir de que se promueva la actividad práctica e intelectual y el paso de un aprendizaje intuitivo a un aprendizaje formal de la geometría, así como de comprender la utilidad que tiene lo que aprenden para la comprensión y solución de problemas relativos a su entorno, en correspondencia con el momento del desarrollo. Deben estar dirigidas, además, a la consideración del trabajo individual y colectivo tanto con los medios como con las tareas y al empleo de procedimientos de búsqueda activa del conocimiento donde esté presente la orientación, la ejecución y el control y una estructuración correcta de las funciones didácticas. Para concluir, los objetivos deben precisar claramente la necesidad de que los alumnos desarrollen la flexibilidad y la movilidad del pensamiento como capacidades esenciales en el aprendizaje de la geometría. En esta concepción se entiende por contenido geométrico conocimientos sobre las figuras y los cuerpos geométricos y relaciones que se pueden establecer entre ellos, así como procedimientos, hábitos y habilidades que permiten operar con conocimiento.

los las los ese

Una idea esencial en el trabajo con el contenido es que las transformaciones que se deriven del movimiento en las figuras propicien siempre la obtención de un conocimiento geométrico y con ello su sistematización. En particular se deben consideran los conocimientos sobre: Características de las figuras geométricas Propiedades de las figuras geométricas Relaciones entre las propiedades de las figuras

Ideas sobre algunos teoremas y sobre las vías para sus demostraciones Algunas construcciones geométricas Ideas intuitivas sobre algunos movimientos del plano Dentro de los hábitos y habilidades se deben considerar trazar, medir, superponer, comparar, probar, realizar construcciones y cálculos geométricos. y otras de mayor peso intelectual como definir, argumentar, conjeturar, demostrar. Es necesario considerar también en esta concepción la inclusión de otras habilidades que son necesarias como condiciones previas para el empleo del sistema de medios y métodos propuestos los cuales propician el aprendizaje de la geometría con un enfoque dinámico. Entre las que se encuentran:

Construir figuras (rectas, rectas paralelas perpendiculares, segmentos, ángulos, polígonos, circunferencias) a partir de puntos.

Determinar puntos libres y variar las figuras a partir de ellos (habilidad rectora).

Trazar puntos y figuras simétricas.

Inscribir figuras en otras figuras dadas.

Estas habilidades deben formar parte del contenido del aprendizaje de la geometría desde las primeras edades en la Educación Primaria utilizando los medios adecuados para su correcto desarrollo. Con esta concepción de trabajo se debe promover un aprendizaje desarrollador de la geometría desde un enfoque dinámico, se ha de poner a los alumnos en situación activa de aprendizaje donde se enfrenten continuamente a procesos de búsqueda, comprobación experimental y planteo de conjeturas, que posibiliten sus procesos de generalización de conceptos y de solución de problemas geométricos. Una vía adecuada para trabajar en la escuela con este enfoque dinámico es la presentación del contenido mediante situaciones de

aprendizaje, a través de las cuales se pueden realizar transformaciones en las figuras que facilitan identificar los diferentes casos que se pueden presentar ante una misma orden, formular hipótesis sobre el comportamiento de los elementos nuevos que pueden aparecer, en los casos que se están presentando, así como la presencia de nuevas relaciones entre dichos elementos. Dichas situaciones favorecen en los alumnos las actividades de exploración y búsqueda de nuevas propiedades de las figuras dadas, convirtiéndose su proceso de aprendizaje en una actividad rica en experiencias personales, que deben ser socializadas en el grupo. Estas situaciones de aprendizaje deben adaptarse a las características de los alumnos y al tratamiento del contenido de la enseñanza en cada etapa del desarrollo. Una idea esencial en el trabajo con el contenido es determinar qué saben los alumnos como condiciones previas para desarrollar actividades de este tipo, qué deben aprender según el currículo y que es posible que aprendan a través del proceso de búsqueda y exploración. En esta concepción se debe dar relevancia a la movilidad de las figuras, considerando todas las posibilidades de movimiento en la propia figura especialmente a partir de sus puntos, como el procedimiento que permitirá y guiará el análisis de las características esenciales o invariantes durante el proceso de elaboración de los conceptos geométricos y que tendrá su sostén en el empleo del sistema de medios. Bajo esta concepción se deben presentar las figuras en dinamismo, es decir, en movimiento y utilizar las potencialidades de cada medio del sistema para el logro de los fines propuestos, en este caso dirigidos a la obtención y análisis de las propiedades de las figuras y las relaciones entre ellas, así como al desarrollo de hábitos y habilidades generales y específicos del tratamiento de este contenido. Estos procedimientos de trabajo deben devenir también en esta concepción contenido de aprendizaje de manera que puedan ser transferidos a la obtención de conceptos y la solución de problemas. (Ver fig. 6)

PROCEDIMIENTO Mover las figuras por sus puntos libres Transformaciones en las figuras

Análisis de las propiedades Observación y comparación

Determinación de las propiedades esenciales que se conservan (Necesarias y suficientes) Diversos representantes para un mismo contenido

Determinación de nuevas propiedades Nuevos representantes para un nuevo contenido

Síntesis, abstracción y generalización

Fig. 6 Procedimientos esenciales de trabajo y habilidades que se desarrollan

Desde el punto de vista geométrico esta concepción considera dos procedimientos de trabajo esenciales:

El trazado de figuras a partir de puntos.

El procedimiento para trazar figuras a partir de puntos resulta esencial en esta concepción. Es a través del movimiento de los puntos de las figuras que pueden ser transformadas éstas para la 68

búsqueda y el análisis de sus propiedades esenciales, invariantes y de aquellas que varían al realizar el movimiento de los mismos. La obtención de figuras se puede realizar a partir de los puntos que la determinan (los vértices) o cualquier otro punto que esté situado en los lados.

El trabajo con los puntos libres.

Se consideran puntos libres aquellos puntos mediante los cuales se puede realizar un movimiento en la figura provocando una transformación de la misma. Generalmente se toman como puntos libres aquellos que determinan las figuras es decir sus vértices. Si en la situación planteada lo que se pretende es encontrar otras figuras a partir de una dada, entonces se liberan puntos que están entre los vértices, es decir en los lados y estos una vez son los que determinan la nueva figura y se convierten por tanto en sus puntos libres. De esta precisión se deriva la idea de que los puntos libres que se determinen al realizar los movimientos, tienen cierta dependencia del objetivo del análisis de la transformación en la figura. ¿Cómo determinarlos y trabajar con ellos? El trabajo con los puntos libres forma parte importante del trabajo para el desarrollo de la habilidad de “mover en la figura”. Este debe propiciar que los alumnos realicen en las figuras transformaciones que conduzcan al análisis y sobre todo a la exploración de las propiedades y de las relaciones que se establecen entre ellas dando paso al planteamiento de ideas y de conjeturas. Este enfoque de trabajo asegura ir fijando constantemente las características esenciales de las figuras geométricas a través de actividades en las que los alumnos determinen qué puntos habría que mover y cómo moverlos para mantener determinadas propiedades en las figuras y sobre todo que en cada etapa puedan argumentar por qué, en relación con los conocimientos geométricos que poseen.

Ejemplo: 1. Traza un triángulo a partir de este segmento. Observa qué sucede si mueves uno de sus vértices y los otros se mantienen fijos. ¿A qué conclusión puedes llegar? ¿Cuántos puntos se pueden mover para que la figura siga siendo un triángulo? En una actividad como esta los alumnos reconocen que al mover los puntos se mantiene la característica esencial del triángulo, tener tres vértices que determinan sus tres lados. Poder determinar cuántos puntos mover y cómo para mantener la propiedad exige un mayor nivel de generalización y conocimiento de las propiedades Con estas actividades se dirige la atención a fijar qué es lo esencial para que sea esa figura y no otra. Mediante este trabajo a través del movimiento de los puntos y de la observación de los diferentes casos y de las nuevas condiciones que se originan los alumnos no sólo fijan la propiedad esencial sino que obtienen otras figuras que les resultarán interesantes, lo que se conoce como casos particulares en el tratamiento de los conceptos, así como los casos límites y extremos. Las habilidades fundamentales que se desarrollan están relacionadas con: El contenido geométrico El trabajo con el sistema de medios Las habilidades relacionadas con el contenido geométrico que se trabajan para su desarrollo en esta etapa son fundamentalmente: 70

De determinación de las características de las figuras.

De búsqueda y exploración de las propiedades de las figuras geométricas

De establecimiento de relaciones entre las propiedades.

De establecimiento de proposiciones y búsqueda de las ideas para probar su veracidad.

De determinación de las propiedades de los movimientos.

De de búsqueda de los procedimientos para la construcción de imágenes.

Las habilidades asociadas específicamente al trabajo con el sistema de medios son: • Representación o construcción características del medio.

las

figuras

según

las

• Mover en una figura a partir de la determinación de los puntos libres. Tipo de actividades. Estas actividades constituyen una concreción de la instrumentación de la teoría que sustenta la propuesta y, aunque pueden servir de guía para la instrumentación en la práctica de esta propuesta, son factibles de ajuste y enriquecimiento por parte de los docentes y especialistas que laboran en este nivel de enseñanza.

I. Tareas

para propiedades.

II. Tareas para

representar la

las

verificación

figuras de

reconocer

conservación

sus las

propiedades.

III. Tareas para el establecimiento de las relaciones entre las figuras y sus

propiedades.

IV. Tareas para la aplicación de los conceptos y sus relaciones. El trabajo con los medios

Papel cuadriculado

Geoplano con ligas

Movimiento en la figura (Transformaciones)

Geoplano electrónico

Teniendo en cuenta la estrecha vinculación que tienen los medios con los restantes del sistema, en esta concepción se conciben como un sistema dentro del sistema de medios como componentes del proceso de enseñanza- aprendizaje. Los medios esenciales que se consideran, para complementar los que se utilizan clásicamente para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría en el primer ciclo son: • El papel cuadriculado: permite una correcta orientación en el plano al realizar los movimientos de los puntos de las figuras, básicamente por el conteo de los cuadraditos unidad. Permite además el empleo de procedimientos como medir y superponer para comparar y con ello comprobar y argumentar las propiedades de las figuras y las relaciones entre ellas. • El geoplano con ligas: facilita los procedimientos de variación de condiciones en las figuras a través de la manipulación. Propicia la obtención de representantes de figuras geométricas en un sentido más intuitivo, acudiendo a las características propias del medio sin que intervengan otros instrumentos de trazado. Y facilita el trabajo en equipos, para la búsqueda de soluciones a las situaciones planteadas en las tareas. • El geoplano electrónico: logra una mejor visualización de los representantes de las figuras geométricas y de las variaciones que estas sufren como resultado del movimiento de sus puntos. De esta forma se puede trabajar con la superficie poligonal, e incluso, se fija

y destaca la diferencia entre los conceptos: polígono y superficie poligonal. En esta propuesta todos los medios se consideran necesarios y adquieren entre sí un carácter sistémico y complementario. Este carácter está dado porque cada uno cumple una función específica de acuerdo a sus potencialidades y a su vez todos cumplen la misma función. Propiciar la visualización y el análisis de la conservación o no de las propiedades de las figuras, a partir de las transformaciones que se producen en las mismas, como resultado del movimiento en ellas por sus puntos, es la función común. En el segundo ciclo de la escuela primaria este sistema de medios puede ser complementado con otros recursos tecnológicos como los applets en particular, que son determinados recursos que tienen los software de geometría dinámica que permiten construir “a conveniencia” actividades que sirven de base a las situaciones de aprendizaje, y que pueden ser transportadas fácilmente en cualquier soporte magnético (disquete, memorias flash, discos compactos, entre otros) y ser utilizados por los docentes y los alumnos en las clases 3. En el trabajo con el sistema de medios que se propone también es necesario considerar su relación sistémica a partir de la introducción gradual de cada uno. Esto significa que en el primer grado se introduce el papel cuadriculado, incluso manteniendo las actividades previstas en la concepción vigente, y una vez que los alumnos hayan desarrollado ciertas habilidades se comienza el trabajo con el geoplano con ligas. A partir de entonces, estos se utilizan indistintamente y en el orden que se requiera según el objetivo de la actividad y el contenido que se trate. De igual manera se procede con la introducción del geoplano electrónico, teniendo en cuenta los medios anteriormente introducidos. Garantizar en esta concepción el empleo de los medios propuestos para el aprendizaje de la geometría con un carácter de sistema 3

En esta propuesta general, en su concepción específica el uso de los medios, se limitará al primer ciclo de la escuela primaria.

potencia el carácter desarrollador del proceso. El carácter de sistema está dado por la posibilidad que tienen de complementarse entre sí cuando algunos no pueden cumplir completamente las funciones para lo que están destinados por sus características estructurales y por la información de que son portadores. En esta concepción, se asume un enfoque integral del proceso de enseñanza aprendizaje sin dejar de considerar el carácter rector de los objetivos, aunque cobran significación los medios a partir del presupuesto de que éstos ofrecen nuevas posibilidades para la enseñanza y el aprendizaje del contenido geométrico. Se concibe entonces el empleo de un sistema de medios integrado por los juegos de Tangram, Juegos de figuras para actividades de composición y descomposición, el papel cuadriculado, el Geoplano en sus variantes de clavijero con ligas y en su versión electrónica así como los applets y/o software de geometría dinámica. El geoplano, antes referido, es un recurso usado para la enseñanza de los conceptos básicos de geometría, de fácil acceso, ya que puede ser construido por los alumnos usando materiales y herramientas comunes (un trozo de madera, clavos y martillo). Con el mismo, se pueden plantear en clase situaciones problemáticas auténticas, de contexto geométrico y espacial, que permitan al estudiante focalizar entornos de aprendizaje que los habitúen a experimentar y probar a partir de sus propias acciones, tanto experimentales como mentales, compartiendo su práctica y mentalización con sus propios compañeros y el docente. Los medios propuestos fundamentalmente para:

reforzar

concepción conceptos

emplearán

relaciones

Explorar, desarrollar geométricas.

La búsqueda de relaciones y planteo de conjeturas, dando paso a otras formas de pensamiento más flexibles.

Objetivar las vías de argumentación y/o demostración de propiedades de las figuras geométricas o la búsqueda de éstas según el momento del desarrollo de los alumnos.

esta

Trabajar más en el proceso de solución de problemas geométricos, buscando vías y procedimientos a partir de las relaciones que en cálculo clásico formal de perímetros, áreas y volúmenes.

Los medios de enseñanza y de aprendizaje en esta concepción didáctica deben revelar constantemente el aspecto interno del método, destacar su función heurística y desarrolladora en la obtención del conocimiento, en este caso en la búsqueda de las características invariantes a través del “movimiento en la figura”, el trabajo con una multiplicidad de casos para la generalización de sus características, el trabajo con casos límites y extremos en la elaboración de conceptos, aspecto que en la concepción actual se dificulta por limitaciones que poseen los medios que comúnmente se emplean y que se propicia en gran medida con los medios propuestos por la flexibilidad y plasticidad de la cual son portadores. Estas características del sistema de medios no sólo posibilitan el movimiento físico de las representaciones de las figuras sino que propician, a través de un proceso organizado y debidamente estructurado que esas acciones se conviertan en acciones internas, intelectuales y devengan procedimientos de trabajo para la solución de problemas y lo más importante para el desarrollo de un pensamiento flexible y creador, como expresión de un aprendizaje desarrollador. Ejemplo de actividades I. Tareas para representar las figuras y reconocer sus propiedades. Para la realización de todas estas tareas en el geoplano los alumnos deben auxiliarse del trabajo en el papel cuadriculado. 1. En un geoplano de 3 x 3: a) Representa segmentos que sólo toquen dos clavos. b) Representa segmentos que toquen tres clavos. c) Encuentra todos los segmentos posibles.

1. Representa en un geoplano de 4 x 4 todos los segmentos posibles a partir de un punto dejándolo fijo. ¿Cuántos se obtienen? (Puedes utilizar varias ligas)

2. En el geoplano la distancia de un clavo a otro es de una unidad. En un geoplano de 5 x 5. Representa:

a) Segmentos de longitud 2 unidades. ¿Todos son iguales? Determina de los que representaste cuáles resultan iguales. b) Segmentos de longitud 3 unidades. Determina de los que representaste cuáles son iguales. c) De longitud mayor que 3 unidades. ¿Puede representarse segmentos de longitud 5 unidades? d) Con dos ligas dos segmentos que en total toquen 9 clavos. e) Con dos ligas dos segmentos paralelos que en total toquen 9 (8, 10) clavos. f) Con dos ligas dos segmentos perpendiculares que toquen 8, 9 clavos. g) Dos segmentos que se intercepten pero perpendiculares y que toquen 8, 9 clavos en total.

que

h) Dos segmentos congruentes que en total toquen 9 clavos.

sean

4. Representa en el geoplano: • Cuadrados cuyos lados toquen cuatro clavos (y sólo cuatro clavos) ¿Cuál es la longitud de los lados en cada caso? • Triángulos que clavos, etc.

toquen sólo tres clavijas, que toquen cinco

• Rectángulos en los que el lado que representa el largo toque un clavo más que el que representa al ancho. ¿Cuál es la longitud de los lados en cada caso? La ilustración representa cómo pueden trazarse algunas de las figuras en el papel cuadriculado, antes y/o después del trabajo en el geoplano. La actividad en el geoplano debe propiciar que los alumnos representen las figuras en diversas posiciones, que se discuta si se conservan o no sus propiedades y se muestren todos los casos así obtenidos. 5. Representa en el geoplano figuras geométricas que conozcas. Nómbralas. a) Mueve uno o más de los puntos que la determinan. Muestra que figuras haz obtenido. Nómbrala si la conoces, si no di como la obtuviste y cuáles características observas. Compruébalas. 6. Representa un cuadrado en el geoplano (si esta actividad se propone en primer grado los alumnos pueden representarlo por percepción y si es en los grados sucesivos a partir de las propiedades que se van incorporando):

Esta actividad puede realizarse utilizando una o varias ligas

Si los alumnos representan el cuadrado como se ilustra en la figura se puede proponer: a) Dejando fijo el lado de arriba o de abajo del cuadrado original, forma un rectángulo (no cuadrado). b) Dejando fijo el lado izquierdo o derecho del cuadrado original formen un rectángulo diferente al anterior. c) Conviertan el cuadrado original en un triángulo, dejando fijos el lado izquierdo y el lado de abajo. d) A partir del cuadrado original formen diferentes figuras. Nómbrala si las conoces. Si no sabes nombrarla di como la obtuviste y cuáles características tiene. Si el cuadrado se representa en otra posición, por ejemplo tomando como unidades de longitud de los lados a las diagonales de los cuadrados unidad, la actividad se puede ajustar refiriéndose sin especificar el lado que debe quedar fijo. 7. En un geoplano de 3 x 3, representa todos los triángulos posibles dejando cada vez un lado fijo. ¿Cuántos triángulos se pueden obtener cada vez? ¿Y en total?

La figura muestra como pudiera procederse en esta actividad, utilizando una sola liga o varias. Es recomendable que en cada caso los alumnos muestren como procedieron para la solución del ejercicio. También se puede representar la solución en el papel cuadriculado y reconocer además otros triángulos que quedan representados. Esta actividad realizada en el segundo ciclo permite a los alumnos encontrar una regularidad y una estrategia de solución. En este caso basta con multiplicar la cantidad de segmentos determinados cada dos puntos por los triángulos que se determinan a partir de ellos. 8. Señala cuales de las siguientes figuras trazadas en el geoplano son triángulos. a) Representa en tu geoplano las que no lo son. b) Prueba a obtener de ellas figuras que sean triángulos. ¿Cuál es la característica esencial para que estas figuras sean triángulos?

Una actividad como esta debe propiciar que los alumnos reconozcan como triángulos figuras que habitualmente no son representadas como tal por ser casos extremos y representar a partir de aquí una variedad de las mismas a partir del reconocimiento de sus características esenciales. Permite también distinguir algunas que por su forma pudieran confundirse lo que se resuelve recurriendo al reconocimiento de las propiedades esenciales y su conservación.

11. Representa en el geoplano una figura cualquiera de cuatro lados. a) Denomínala si la conoces. Expresa sus propiedades y verifícalas usando el papel cuadriculado. b) Mueve alguno (o algunos) de sus puntos. ¿Se obtienen nuevas figuras? ¿Qué figura reconoces ahora? ¿Puedes nombrarla o enunciar sus propiedades? Si no sabes su nombre expresa cómo la obtuviste. II. Tareas para la verificación de la conservación de las propiedades. 1. Representa un triángulo. Con ligas diferentes representa otros triángulos, dejando un lado fijo. Después dejando un punto fijo. ¿Cuántos triángulos has podido representar? ¿Qué propiedades del triángulo se mantienen? ¿Cambian los triángulos que se obtienen? ¿En qué se diferencian?

2. Observa la siguiente figura representada en papel cuadriculado.

a. Represéntala en tu papel cuadriculado manteniendo la posición, forma y el tamaño.

geoplano

b. Represéntala en tu papel cuadriculado manteniendo la forma y variando su tamaño.

geoplano

c. ¿Qué más se puede variar de esta figura manteniendo su forma y tamaño? Prueba a hacerlo. 3. Representa un rectángulo (triángulo o cuadrado) en el geoplano. Para que siga siendo un rectángulo (triángulo o cuadrado) ¿Cuántos puntos se pueden mover? De qué forma. Realiza las transformaciones y comenta lo que observas. 4. Representa en un geoplano de 7 x 7 un rectángulo, sin tocar los puntos del borde. Dejando sólo un punto fijo y a partir de él representa utilizando otras ligas otros rectángulos. a) Completa la siguiente tabla con los datos de los rectángulos obtenidos. ¿Qué observas? ¿Qué se pudiera concluir acerca de la longitud de sus lados?

Rectángulos

Longitud de los lados 1

5. Representa en un geoplano como el del ejercicio anterior un rectángulo cuyos lados sean de dimensiones 5u y 3u. Transforma ese rectángulo de manera que obtengas cuadrados. ¿Cómo habría que mover los puntos para obtener los cuadrados? ¿Cuáles son las dimensiones de los cuadrados obtenidos? 6. Representa en el geoplano un triángulo rectángulo. a) Mueve los puntos que representan los vértices del triángulo de manera que siga siendo un triángulo rectángulo. b) Representa en el papel cuadriculado cómo procediste y los triángulos que obtienes. ¿Son rectángulos? ¿Por qué? c) ¿Cuántos puntos se pueden mover para que el triángulo siga siendo rectángulo? ¿Cómo habría que moverlos?

7. Observa las siguientes figuras: a) Determina las que son paralelogramos. ¿Cuáles son sus características? Represéntalos en el geoplano con ligas o en el electrónico. ¿Cómo puedes mover sus puntos para que sigan siendo paralelogramos? Di en cada caso cuántos puntos tuviste que mover y en qué forma procediste.

b) Representa en el geoplano las figuras que no son paralelogramos. ¿Se podrán transformar en paralelogramos? Si es posible muestra cómo puedes mover algunos de sus puntos para que eso suceda. 8. Observa la siguiente figura:

a) Reprodúcela en tu papel cuadriculado. Clasifica la figura y comprueba sus propiedades. b) Represéntala en el geoplano conservando su forma y posición. Considera a D como punto libre y muévelo sobre el lado AD una unidad cada vez ¿Qué figuras nuevas vas obteniendo? ¿Qué propiedades se conservan de la figura original? ¿cuáles se pierden? 9.

Observa la siguiente figura.

a) Reprodúcela en tu papel cuadriculado. Clasifícala y comprueba sus propiedades. b) ¿Cuántos puntos deben considerarse libres para transformar la figura en un cuadrado? ¿Cómo habría que moverlos? Al mover los puntos, ¿se conservan o se pierden propiedades de la figura original? ¿Se obtienen nuevas propiedades? ¿Cuáles? 10.Termina de trazar con las ligas en el geoplano las figuras siguientes haciendo que lo dibujado en un lado concuerde con el otro lado. (Puede estimularse a los alumnos a utilizar las mismas o varias ligas)

11.Representa en el geoplano en el lado contrario al de las figuras dadas otra figura igual a la que se presenta y en la misma posición. Utiliza otras ligas.

III. Tareas para el establecimiento de las relaciones entre las figuras y sus propiedades. 1. Representa un triángulo en el geoplano. Dibújalo en el papel cuadriculado conservando su forma y tamaño. a) Mueve uno de sus puntos (vértices) de modo que con el lado que se queda fijo puedas formar otros muchos triángulos. Reproduce los trazos en el papel cuadriculado. b) Compara los lados de los triángulos obtenidos en cada caso (Puedes hacerlo midiendo sus longitudes o por superposición). ¿Todos los triángulos que obtienes tienen las mismas características atendiendo a la longitud de los lados? ¿En qué se diferencian? Prueba a agruparlos atendiendo a la cantidad de lados iguales o diferentes que tengan. Si es necesario denomínalos.

Esta actividad se puede realizar desde el primer ciclo aún cuando el objetivo no sea clasificar los triángulos según la longitud de sus lados. Los alumnos reconocen que aunque se mantiene como característica esencial que estas figuras están formadas por tres lados, también se diferencian por la relación que existe entre sus longitudes. Tareas como esta permiten ir obteniendo casos especiales de triángulos como: rectángulos, isósceles, equiláteros; así como establecer algunas relaciones como que un triángulo rectángulo a lo sumo puede ser isósceles, y hasta anticipar un procedimiento de construcción de triángulos isósceles y equiláteros a partir de la construcción de la mediatriz del lado que se considere base. Nótese como se han ilustrado dos posibles posiciones de los triángulos. Aunque por lo general los niños de los primeros grados tienden a representarlos partiendo de un lado en posición horizontal es necesario estimular las diversas posibilidades de representación. Preferentemente debe realizarse con varias ligas para visualizar el procedimiento y el rastro que dejan las transformaciones que va sufriendo la figura. También esta actividad permite obtener casos límite de triángulos cuando “parece que se pierde”. 86

2. Observa las figuras representadas en el papel cuadriculado. Si consideramos como unidad de medida la longitud del lado de cada cuadradito, la suma de las longitudes de los lados de cada figura es 10 unidades.

a) Representa otras figuras diferentes en el geoplano y en el papel cuadriculado en las que la suma de las longitudes de todos sus lados también sea 10 unidades. Cuando los alumnos dominan el concepto perímetro las actividades pueden ser como la siguiente: 3. Usando varias ligas representa en el geoplano rectángulos distintos cuyo perímetro sea 14 unidades. ¿Puedes obtener otras figuras con el mismo perímetro y que no sean rectángulos? Prueba. 4. Representa en el geoplano y en el papel cuadriculado figuras cuyo perímetro sea 13 unidades. Siguiendo el mismo procedimiento ¿puedes obtener rectángulos con este valor de perímetro? (En tercer y cuarto grado puede hacerse esta misma actividad sin utilizar el término “perímetro” y referirse a la suma de la longitud de los lados o al total de la distancia que se obtiene al recorrer el contorno de la figura) 5. Observa que las figuras que aparecen representadas en el papel cuadriculado están formadas por la misma cantidad de cuadraditos unidad.

a) Prueba a obtener en tu geoplano otras figuras con las mismas características. b) Di a tu maestro y a tus otros compañeritos cómo las obtuviste. ¿Moviste algunos puntos? ¿Cuáles? ¿Cómo? 6. Traza tres figuras diferentes que tengan como perímetro 16 unidades. Determina el área de cada una de las figuras representadas. ¿Observas alguna relación entre el perímetro y el área de estas figuras? 7. Usando varias ligas construye en el geoplano rectángulos distintos cuyo perímetro sea 16 unidades. a) Determina de ellos el que tenga la mayor área posible. ¿Qué característica tiene el rectángulo obtenido? b) Representa ahora en tu geoplano rectángulos distintos cuyos perímetros sean 10, 6, 4 unidades. En todos los casos determina para los que tienen igual perímetro el que resultó de mayor área. ¿Qué característica tiene? ¿Qué relación se pudiera establecer entre el perímetro de un rectángulo y las características del de mayor área?

Esta actividad debe estar precedida del trabajo en el papel cuadriculado como se ilustra en la figura de la izquierda, de manera que los alumnos puedan probar a representar diferentes casos que cumplan las condiciones dadas tomando unidades enteras. La actividad debe propiciar que cada alumno represente las figuras y establezcan las relaciones, de manera que puedan expresar los resultados obtenidos. El ejercicio se puede realizar tambiĂŠn con varias ligas trazando cada nueva figura sobre la anterior dejando un lado fijo. Utilizar varias ligas ofrece la ventaja de visualizar el â&#x20AC;&#x153;rastroâ&#x20AC;? que va dejando cada trazo, lo cual contribuye a establecer mejor las relaciones entre las figuras obtenidas.

V. Tareas para la aplicación de los conceptos y sus relaciones. El cuadrado gris representa una unidad cuadrada. 1. Representa un rectángulo cuyos lados midan 7 y 4 unidades respectivamente. 2. Representa un triángulo que tenga como vértices dos de los del rectángulo y otro en uno de los lados (ejemplo como en la figura) 3. Determina el área de cada figura. 4. Mueve el vértice superior del triángulo a lo largo del borde superior del rectángulo y determina el área de cada triángulo en cada paso. 5. ¿Qué relación existe entre el área del rectángulo y el área del triángulo?

6. Arrastra una liga nueva hasta el vértice superior del triángulo. Coloca el otro extremo de la liga a la base del triángulo formando una línea vertical. ¿Cómo se puede mostrar con la línea vertical trazada que el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo?

EXPERIENCIAS DE TRABAJO CON LA NUMERACIÓN BASADA EN TAREAS DOCENTES Y PROCEDIMIENTOS DIDÁCTICOS En la escuela primaria la numeración constituye un contenido de gran importancia, dentro de los objetivos generales del nivel que se señalan en el fin de la escuela primaria está:

Aplicar la estructura del sistema de numeración decimal y sus propiedades fundamentales en la solución de ejercicios.

Se ha puesto de manifiesto que cuando comienzan los alumnos en 4to grado no han sido lo suficientemente entrenados en la aplicación de la estructura y propiedades del sistema de numeración por lo que al llegar a 6to g se manifiestan estas deficiencias y se plantea que una de las causas pudiera estar dada por la falta de sistematización en el tratamiento de este contenido después de haber terminado el primer ciclo. La estructuración de este complejo de materia se realiza por ampliación de los intervalos numéricos siguientes:

El tratamiento de los números hasta 10

El tratamiento de los números del 11 al 20

El tratamiento de los números hasta 100

El tratamiento de los números hasta 10 000

El tratamiento de los números mayores que 10 000

En primer grado la enseñanza de la Matemática se inicia desde la Etapa de Aprestamiento, cuyo objetivo fundamental es ejercitar a los alumnos en el trabajo con conjuntos, como base para la elaboración de los números naturales. El trabajo metodológico que se realiza en este grado, en relación con el tratamiento de los números naturales, tiene que dirigirse a lograr que los alumnos conozcan los números naturales hasta 100 y su orden. Un aspecto esencial es que el conocimiento de los números naturales hasta 100 requiere un amplio y variado trabajo práctico

con conjuntos que facilite la formación del concepto de número y las relaciones entre los números. Para la elaboración de estos números se sugieren las siguientes vías: Vía del Cardinal, se utiliza en la elaboración de los números del 1 al 10, se trabajan como clases de equivalencias de conjuntos finitos equipotentes Vía del sucesor, se utiliza en la elaboración de los números del 6 al 10, aunque aquí también es válido aplicar la vía anterior, se elaboran los números formando el sucesor del número ya elaborado, mediante la unión de un conjunto unitario con un conjunto que represente el último número estudiado Esto responde a requerimientos metodológicos pues es difícil para los escolares de este grado percibir de manera simultánea conjuntos iguales de más de 5 elementos. Para la elaboración del número cero, se puede introducir como clases de diferencias o como el cardinal de un conjunto vacío ( en este momento se introduce como clases de diferencia de números iguales) Sistema de posición decimal; se utiliza para elaborar todos los números naturales mayores que 10, se utilizan las características del sistema, empieza a trabajarse para que se descubra el papel esencial que juega el número 10 y sus potencias en el sistema de numeración que se trabaja en la escuela así como las propiedades del mismo En cada una de las vías utilizadas subyace la cardinalidad pues para trabajar los números deben utilizarse los conjuntos y establecer la relación entre conjuntos finitos equipolentes. Para la fijación se recomiendan los siguientes tipos de ejercicios:

Comprensión: se hace corresponder conjuntos a números dados. Mencionar los numerales correspondientes y las cifras

Representación: a numerales o a corresponder los conjuntos de objetos

Conteo

cifras

dadas

hace

Lectura y Escritura: A numerales (cifras) dados se hacen corresponder sus símbolos (numerales).

Comparación de conjuntos y de números: Se comparan conjuntos de objetos según su potencia y se comparan números naturales utilizando signos de relación.

Determinación del antecesor y el sucesor de un número

Unión y descomposición de conjuntos. Se unen dos conjuntos disjuntos y se descomponen conjuntos de dos subconjuntos disjuntos propios.

Determinación de los números que se encuentren entre dos números dados. En los primeros momentos puede utilizarse el rayo numérico para su comprensión

Descomposición y formación de números

Ordenamiento de números: Los alumnos comparan mentalmente los números dados para después ordenarlos

Representación en la tabla de posición decimal

Determinar los múltiplos que se encuentran entre 10, 100, 1000,..entre los que se encuentran números dados

Redondeo

Para determinar la cantidad de centenas, decenas y unidades que hay en un número dado

Para determinar la cifra que ocupa el lugar de las centenas, decenas, unidades

Escritura de números a partir de la cantidad de centenas, decenas, unidades

Las actividades para determinar múltiplos y para redondear se trabajan cuando se fijan los números hasta 10 000.

Las valoraciones realizadas a partir de la consulta de diversos documentos y libros como "Para ti maestro", "Cartas al maestro": "Cómo trabajar la numeración", entre otros señalan los errores que con mayor frecuencia cometen los escolares. 94

Principales errores y posibles causas:

La lectura fundamentalmente de los números del 11 al 15 cuando se encuentran en el proceso de conteo hasta el 100.

La lectura de un número a partir de su descomposición canónica.

La escritura de los dígitos confunden la forma de representación (hacia la derecha, izquierda).

La escritura de numerales o en su identificación.

La escritura de números de manera arbitraria sin tener en cuenta las condiciones que se establece para él en el ejercicio.

La formación de un número natural de dos cifras solamente ubican las cantidades correspondientes al mayor orden (decenas).

La formación de números teniendo en cuenta el lugar que ocupan las cifras básicas en el Sistema de Posición Decimal (SPD).

En posición que le dan a las cifras a partir de la lectura del mismo y viceversa.

En el reconocimiento de la cantidad de unidades, decenas, centenas, que hay en un número.

En el reconocimiento del valor de cada cifra según su posición.

Determinación de múltiplos de potencias más próximas a un número dado. Comprensión de un número como suma de múltiplos de potencias de 10

Determinación de los elementos de una sucesión conocida la ley de formación y viceversa.Las causas que originan los errores pudieran estar dadas por:

La comprensión de los enunciados. Es importante la claridad con que se formulen los enunciados y trabajar en la comprensión de los mismos, además, ser cuidadosos en la selección de las actividades.

Determinados modelos de enseñanza que traen consigo: Analizar ciertos criterios que traen los escolares como resultado de un modelo de enseñanza y trabajar sobre él (por ejemplo: todos los ejercicios tienen una solución única, la solución está dada siempre por un número sencillo)

Las operaciones intelectuales implicadas: Es necesario verificar estos errores haciendo intencionalmente preguntas donde se manifieste el mismo objetivo, pero que requieran de un nivel de dificultad diferente en cuanto a las operaciones intelectuales implicadas.

La complejidad propia del contenido: Es ocasiones la propia complejidad del contenido genera errores

Una regla falsa o mal aplicada: En la comparación de números plantear que 0,75 > 0,8 porque los números de más lugares mayores que los de menos.

decimales son

Alguna disfunción mental: falta de concentración o de capacidad de asociación (por ejemplo, producto de una sobrecarga cognitiva del alumno).

Falta de conocimiento previo o de un conocimiento negativo. Por ejemplo si el alumno no conoce las características de nuestro sistema de posición decimal pensará entonces que en el número 202, el dígito 2 tiene siempre el mismo valor posicional. Esta situación justifica la necesidad de fortalecer la preparación de los educadores primarios de manera que contribuya su trabajo a la elevación de la calidad de la educación y en consecuencia que se logren los niveles esperados.

El trabajo que se presenta a continuación ofrece una sugerencia de procedimientos didácticos y tareas docentes de Numeración que pueden ser utilizadas en las clases de Matemática las cuales permitirán a los docentes trabajar con sus alumnos de manera que contribuyan a erradicar las dificultades que se presentan.

Para la puesta en práctica, el maestro debe tener en cuenta el diagnóstico de su escolar ya que en dependencia del conocimiento que se tenga del estado actual, deberá seleccionar las actividades que se deban realizar así como los niveles de ayuda que necesite. En un primer momento, en el nivel de familiarización, donde los alumnos deben reconocer el concepto, en una etapa materializada el maestro puede proponer: Tareas docentes. 1. Representa con fichas de 100, 10 y 1 los siguientes números: a) 20 b) 300 c) 840 d) 503 2. Representa con fichas de 100, 10 y 1 el número 648. ¿Cuántas centenas, decenas y unidades lo forman? La intensión de estos ejercicios es en primer lugar que los alumnos perciban visualmente 10 elementos y posteriormente utilicen los medios de ilustración como tiras de 10 cuadrados, cuadrados sueltos, haces de varillas, varillas sueltas y fichas de 10 y de a 1, se ilustre el carácter decimal del sistema de numeración y si se ordena el medio de forma adecuada, puede reafirmarse el carácter posicional del mismo. Para la solución de estos ejercicios se considera condición previa que el alumno sea capaz de representar con medios de enseñanza una decena, dos decenas, etc., hasta 100. En el caso de que existan dificultades se sugieren los siguientes niveles de ayuda; Forma grupos de a 10 con objetos del medio. Usa sellos o tiras de 10 cuadrados. Represéntelos con fichas de 10. Observa que en cada caso obtuviste una decena. Representa dos decenas. 97

Es importante que el maestro reconozca que se está transitando en cada nivel de ayuda por diferentes niveles de abstracción De manera análoga se formarán centenas y para ello también se utilizarán niveles de ayuda análogos, después que se comprenda el concepto de centena se pasará a representarlos con un cuadrado de 100 cuadraditos, con fichas de 100, etc. Mediante un proceso de abstracción los alumnos deberán ser capaces de trabajar con los números ya que no necesitarán los medios. En dependencia de las habilidades que se demuestren solo si se considera necesario el docente puede sugerir el siguiente ejercicio Escribe los números que se forman con las fichas en cada una de las situaciones siguientes: 10

A B C

1 10

100

10 10 100

1 0

1 10

Para la revisión del ejercicio, el maestro puede apoyarse en los niveles de ayuda siguientes: Cuenta la cantidad de fichas de a 10 ¿Cuántas decenas hay? Cuenta la cantidad de fichas de a uno ¿Cuántas unidades hay? ¿Cuál es el número que se forma? En un segundo momento pasando por el nivel reproductivo, donde el alumno ha de comprender los rasgos del concepto, lo debe 98

identificar y fijar sus características y relaciones esenciales se proponen las siguientes: 3. Escribe los números a) Veintisiete b) Treinta y ocho c) Ciento veintinueve d) Cuatrocientos ochenta y dos e) Tres mil cincuenta 4. El número 3300 se lee. a) __ trescientos. c) ___ tres mil trescientos.

b) __ treinta y tres. d) ___ tres mil tres.

5. Escribe y lee los números formados por a) 6 decenas b) 92 unidades 6. Escribe el número que se forma y posición

represéntalo en la tabla de

a) 4000 + 200 + 50 + 7

c) 7. 1000 + 8.100 + 5.10 + 4.1

b) 5. 100 + 8, 10 + 8.1

d) 900 + 40 + 5

Representa como suma de múltiplos y en una tabla de posiciones a) 468

c) 609

b) 9 872

d) 8 045

Escribe en la tabla de posiciones los números formados por: a) Dos centenas b) Cuatro centenas, cinco decenas y tres unidades

c) Nueve unidades de millar, seis centenas, dos decenas y cuatro unidades d) Veinticinco decenas 9.

Escribe en la tabla de posiciones los números formados por: a) 2 centenas, 6 decenas y 9 unidades b) 9 centenas y 4 decenas c) 8 centenas y 90 unidades ¿Tiene el dígito 9 el mismo valor en cada número? ¿Por qué?

10. Escribe en la tabla de posiciones 4 425 y responde: a)

¿Cuál es el mayor orden que lo forma?

¿Qué valor tiene el dígito 4 en este número?

¿Cuántas decenas tiene?

¿Cuántas centenas tiene

¿Cuántas unidades de millar?

11. . Observa los siguientes números 1

587, 5 187, 7 851, 8 715

a) Escríbelos en la tabla de posición decimal. b) ¿En qué orden comienzan? c) ¿Cuántas cifras básicas tienen estos números? d) ¿Están formados por las mismas cifras básicas? e) ¿Qué valor tienen las cifras básicas en cada uno de ellos? ¿Por qué?

100

12. Escribe como suma de múltiplos los números que aparecen representados en la tabla de posición.

Millones 108

107

Miles 106

13.

105

104

Unidades Simples 103

Completa la siguiente tabla: a+1

436

8 888

a a-1 14.

100

8 200 301

Escribe los números que están entre: a) 398 y 405 b) 5 640 y 5 646 c) 4 799 y 4 803

15.

Halla los valores de m: a) 398 < m < 405 b) 5 002 < m < 5 013

101

16.

Compara: a) 566 ____ 5 48 b) 789_____ 786 c) 3 578 ______ 287

17.

Ordena a) 72, 46, 87, 55 b) 6 326, 965, 8 540, 8 566, 765

18. En 6 072 unidades hay: a) 72 decenas

c) 607 centenas

b) 607 decenas

d) 60 decenas

19. . Cuántas decenas hay en: a) 927 b) 7 325 c) 4 007 20. Cuántas centenas hay en: a) 724 b)

6 321

6 034

d) 5 unidades de millar y 2 centenas Se sugiere que el maestro trabaje con la siguiente sucesión de indicaciones para los ejercicios en los que se pide escribir números en la tabla de posición decimal:

Identifica la cantidad de lugares que tiene el número dado.

Determina en qué orden comienza el número dado.

Identifica la cifra que está en ese orden.

Escríbelo en la tabla según el orden que corresponda.

102

Escribe hacía la derecha los restantes dígitos (si es para colocar en la tabla de posición).

Escribe hacía la derecha los restantes dígitos teniendo en cuenta que si falta alguno se escribe cero (si el objetivo es formar el número).

El maestro puede realizar otras actividades de apoyo utilizando las siguientes sugerencias: Ejercicios de escritura de números en la tabla de posiciones de manera que:

Lo dado sean las cifras del número Ejemplo: Escribe en la tabla de posiciones 215.

Dado el numeral, Ejemplo Escribe en la tabla de posiciones Doscientos quince.

En los casos anteriores, pero donde se utilicen ceros, con ceros intermedios.

Dado el valor de la cifra en dependencia de su posición en el sistema de numeración decimal Ejemplo: Escribe en la tabla de posiciones 23 decenas.

Donde aparezcan cifras repetidas de manera que se destaque en el propio ejercicio el valor posicional de la cifra. Ejemplo: Escribe en la tabla de posiciones el número: 222

Es importante que en la medida que se introduzcan las decenas, centenas, décimas, centésimas utilice la tabla de posición y se propongan ejercicios como los anteriores hasta lograr una adecuada comprensión. Los ejercicios de descomposición de números son muy importantes para ayudar a comprender las características de nuestro sistema de numeración.

103

Para realizar los ejercicios de formación de números dados como suma de múltiplos de 10, se sugieren los siguientes niveles de ayuda: •

Representa con medios.

•

Cuenta la cantidad de fichas de cada tipo.

•

Cuántas unidades hay.

Otros niveles de ayuda que también pudieran utilizarse son: • Busca el mayor múltiplo de 10. • Adiciónale el múltiplo que está antes que el mayor. •

Continúa adicionando hasta llegar al menor de los múltiplos.

• Controla descomponiendo la suma obtenida. Este proceder es análogo si los números están descompuestos como suma de productos o cómo potencias de 10. Los ejercicios de descomposición de números son también muy importantes para contribuir a comprender las características del sistema de numeración solo que después que el alumno descomponga el número, el maestro debe indicarle que nuevamente lo forme, donde se propicien los procesos de análisis y síntesis. Para realizar los ejercicios de descomposición de números dados como suma de múltiplos de 10, se sugieren los siguientes niveles de ayuda: • Escríbelo en la Tabla de Posición Decimal (TPD) • Ten en cuenta el orden donde está cada número. • ¿Cómo escribir la cantidad de centenas indicadas? • ¿Cómo escribir la cantidad de decenas indicadas? • ¿Cómo escribir la cantidad de unidades indicadas? • Escribe los sumandos. •

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Controla realizando la suma.

Otros niveles de ayuda que también pudieran utilizarse son: • Busca la primera cifra de la izquierda. • Multiplícala por la potencia de 10 correspondiente. • Busca la segunda cifra o el lugar inmediato inferior. • Multiplícala por la potencia de 10 correspondiente. • Continúa hasta llegar a las unidades. • Controla sumando los productos obtenidos. 21. Completa el cuadro. Cifra de las Número

centenas

Cantidad de centenas

Cifras de las decenas

Cantidad de decenas

3 659 8 576 49 237 93 053

22.

Escribe un número de cuatro lugares que tenga un ocho en el lugar que ocupan las centenas.

23.

Escribe un número de cuatro lugares que tenga un cero en el lugar que ocupan las decenas.

24.

Escribe un número de cuatro lugares que tenga un tres en el lugar que ocupan las centenas y un nueve en el que ocupan las unidades.

25. Escribe en la tabla de posiciones. • El menor número de cuatro cifras diferentes

105

• El mayor número de cuatro cifras. ¿Qué número resulta si añadimos una unidad al mayor número formados? Por último se abordará el nivel de creatividad, donde el alumno es capaz de elaborar sus propias estrategias de aprendizaje y aplicarlas en la solución de las tareas como las siguientes: 26.¿Cuántos números de cuatro lugares hay que tengan un cinco en el lugar que ocupan las centenas? Es de gran utilidad utilizar recursos que permitan llegar con éxito a la solución de estas tareas como por ejemplo: se pueden utilizar rayitas que representen cada cifra del número, si este es de cuatro cifras se escribirán cuatro rayitas como se muestra a continuación. Ejemplo: Para escribir un número de 4 cifras, escribimos: _ _ _ _ Para este tipo de ejercicio se recomienda el siguiente procedimiento: 1) Lea la orden detenidamente 2) Escribe tanta rayitas como cifras tenga el número 3) Si hay algún número que tenga una posición fija, escríbelo en su lugar 4) Escribe debajo de cada rayita la cantidad de cifras diferentes que puede n ocupar ese lugar 5) Multiplica los números que están debajo de cada rayita 6) El producto obtenido es la respuesta 27. Alejandro piensa un número de cuatro dígitos diferentes que cumple las condiciones siguientes: • Cada uno de sus dígitos es un número par • Es el menor número que se puede formar con esos dígitos ¿En qué número pensó Alejandro?

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____2 064

_____2 460

c)_____ 2 046 d)_____2 640

28. En un establecimiento los precios de los productos se muestran en la siguiente tabla: Televisor…………………$5 750 Colchón…………..……..$ 2900 Zapatos de hombre……. $480 Zapatos de mujer………$384 ¿Cuál es el producto más barato? ¿Cuál es el más caro? ¿Por qué? ¿Con cuántos billetes de $100 puedes pagar el colchón? ¿Necesitas otros? ¿Cuáles?

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