2013 1 a

ՀԱՅԱՍՏԱՆԻ ՀԱՆՐԱՊԵՏՈՒԹՅԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԳԻՏՈՒԹՅԱՆ ՆԱԽԱՐԱՐՈՒԹՅՈՒՆ ԳՅՈՒՄՐՈՒ Մ. ՆԱԼԲԱՆԴՅԱՆԻ ԱՆՎԱՆ ՊԵՏԱԿԱՆ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ԻՆՍՏԻՏՈՒՏ

ԳԻՏԱԿԱՆ ՏԵՂԵԿԱԳԻՐ 2 0 1 3,

№

ՊՐԱԿ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ, ԲՆԱԳԻՏԱԿԱՆ, ՏԵԽՆԻԿԱԿԱՆ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ, ՏՆՏԵՍԱԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ ԵՎ ԱՇԽԱՐՀԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ

Գյումրի 2013 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ АРМЕНИИ ГЮМРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. М. НАЛБАНДЯНА MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE REPUBLIC OF ARMENIA GYUMRI STATE PEDAGOGICAL INSTITUTE AFTER M. NALBANDYAN

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ SCIENTIFIC PROCEEDINGS 2013, № 1 Выпуск A МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, ЕСТЕСТВЕННЫЕ, ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ, ЭКОНОМИКА И ГЕОГРАФИЯ

Issue A MATHEMATICS, NATURAL AND ENGINEERING SCIENCES, ECONOMICS AND GEOGRAPHY

Гюмри 2013 2

«Գիտական տեղեկագիր»-ը հիմնադրվել է Գյումրու Մ. Նալբանդյանի անվան պետական մանկավարժական ինստիտուտի գիտական խորհրդի կողմից (10.10.2011) “Ученые записки” основан решением ученого совета гюмрийского государственного педагогического института им. М. Налбандяна (10.10.2011). “Scientific Proceedings” founded by the Academic Council decision of Gyumri State Pedagogical Institute after M. Nalbandyan (10.10.2011). ISSN 1829-3808

Գլխավոր խմբագիր՝ ՀՀ ԳԱԱ թղթակից անդամ, ֆիզմաթ գիտ. դոկտոր, պրոֆեսոր Ս. Հ. Սարգսյան Խմբագրական խորհուրդ՝ Ալեքսանյան Ս.Ս. (կենս. գիտ. դոկ., պրոֆ.),Բաղրամյան Ա. Խ. (երկր. գիտ. դոկ., պրոֆ.), Գրիգորյան Վ. Ֆ. (մանկ. գիտ., դոկ., պրոֆ.), Դրմեյան Հ. Ռ. (տեխ. գիտ. դոկ., պրոֆ.),Մարտիրոսյան Լ.Մ. (աշխ.գիտ. թեկն., դոցենտ),Սարգսյան Ա.Հ. (ֆիզմաթ գիտ. թեկն., պատասխանատու քարտուղար), Սողոյան Ս.Ս. (մանկ. գիտ. դոկ., դոցենտ), Ֆարմանյան Ա.Ժ.(ֆիզմաթ գիտ.թեկն.,դոցենտ, գլխավոր խմբագրի տեղակալ):

Главный редактор: Член-корреспондент НАН РА, доктор физ.-мат. наук, профессор С. О. Саркисян Редакционная коллегия:Алексанян С.С. (доктор биолог. наук, профессор), Баграмян А. Х. (доктор геолого-минералогических наук, профессор), Григорян В.Ф. (доктор педагогических наук, профессор), Дрмеян Г.Р. (доктор технических наук, профессор), Мартиросян Л.М. (кандидат географических наук, доцент), Саркисян А.А. (кандидат физ.-мат. наук, ответственный секретарь), Согоян С.С. (доктор педагогических наук, доцент), Фарманян А. Ж. (кандидат физ.-мат. наук, доцент, зам. главного редактора).

Editor-in-chief Corresponding member of NAS RA, doctor of Phisico-Mathematical Sciences, professor S. H. Sargsyan Editorial Board: Aleksanyan S. S. (doctor of Biological Sciences, professor), Baghramyan A. Kh. (doctor of Geologo-Mineralogical Sciences, professor), Drmeyan H. R. (doctor of Engineering Sciences, professor), Farmanyan A. J. (candidate of Phisico-Mathematical Sciences, docent, associate editor), Grigoryan V. F. (doctor of Pedagogic Sciences, professor), Martirosyan L. M. (candidate of Geographic Sciences, docent), Sargsyan A. H. (candidate of Phisico-Mathematical Sciences, executive secretary), Soghoyan S. S. (doctor of Pedagogic Sciences, docent). Խմբագրության հասցեն՝ 3126, Հայաստանի Հանրապետություն, ք. Գյումրի, Պարույր Սևակ 4

Адрес редакции: 3126, Республика Армения, г. Гюмри, Паруйр Севак 4 Address: 3126, Republic of Armenia, Gyumri, Paruyr Sevak 4 հեռ./тел./tel. 374 312 3-21-99, 374 312 6-94-94

Email: armenuhis@mail.ru, armenuhis@gmail.com

©ԳՊՄԻ, 2013

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ ԿԻՐԱՌԱԿԱՆ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԵՎ ՄԵԽԱՆԻԿԱ

Ս. Հ. Սարգսյան Միկրոպոլյար առաձգական բարակ սալերի մաթեմատիկական մոդելների կառուցման ասիմպտոտիկ մեթոդը………………………………………………7

Ա.Ժ. Ֆարմանյան Միկրոպոլյար օրթոտրոպ առաձգական բարակ թաղանթների դինամիկայի մաթեմատիկական մոդելը………………………………...……………….…..38

Ա. Հ. Սարգսյան Միկրոպոլյար առաձգական բարակ սալերի անկախ պտույտներով դինամիկ մոդելը………………………………………………...…………….…………………51

Շ. Ի. Ալվաջյան Ասիմպտոտիկ մեթոդով միկրոպոլյար առաձգական օրթոտրոպ բարակ ձողերի մաթեմատիկական մոդելի կառուցումը…………………...………………72

Լ. Մ. Մարգարյան Միկրոպոլյար օրթոտրոպ առաձգական բարակ ձողերի դինամիկական կիրառական մոդելի կառուցումն ասիմպտոտիկ մեթոդով……..........................…………88

Ն.Ս. Ասլանյան Միկրոպոլյար իզոտրոպ բարակ սալերի ջերմաառաձգականության հիմնական հավասարումները…………………………………………..…………………...103

ՔԻՄԻԱԿԱՆ ՖԻԶԻԿԱ Ա.Ա. Շահինյան, Լ.Հ. Արսենյան, Ա.Հ. Պողոսյան Լիոտրոպ հեղուկ բյուրեղի հետազոտությունը համակարգչային փորձի օգնությամբ……………………………………...…………...……116

ՏՆՏԵՍԱԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

Վ. Լ. Հարությունյան, Կ. Ս. Սարգսյան Ֆինանսատնտեսական ճգնաժամը և պետության կողմից իրականացվող ֆիսկալ քաղաքականությունը……………………………..………...……126

ԱՇԽԱՐՀԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ

Լ. Մ. Մարտիրոսյան Ձմեռային ռեկրեացիայի զարգացման նպատակով Աշոցքի տարածաշրջանի բնական պայմանների գնահատման սկզբունքները և քարտեզագրման մեթոդները………....…138

ОГЛАВЛЕНИЕ ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

С.О.Саркисян Асимптотический метод построения математических моделей микрополярных упругих тонких пластин…………………………………………………………………...……..7

А. Ж. Фарманян Математическая модель динамики микриполярных ортотропных упругих тонких оболочек……………………………….…………………….……………..….38

А. А. Саркисян Модель динамики микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений……………………………….………51

Ш. И. Алваджян Построение математической модели микрополярных упругих ортотропных тонких балок асимптотическим методом…………………………..…………72

Л. М. Маргарян Построение динамической прикладной модели микриполярных ортотропных упругих тонких балок асимптотическим методом……………………………………...……88

Н.С.Асланян Основные уравнения термоупругости микрополярных изотропных тонких пластин…………………………………………………………………………..……103

ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

A.A.Шагинян, Л.Г.Арсенян, А.Г.Погосян Исследование лиотропного жидкого кристалла при помощи компьютерного эксперимента………………………………………………………………...116

ЭКОНОМИКА

В. Л. Арутюнян, К. С. Саркисян Финансово-экономический кризис и фискальная политика государства..........................126

ГЕОГРАФИЯ

Л. М. Мартиросян Принципы и методы картографирования естественных условий Ашоцкого региона в целях развития зимней рекреации…………………………...………138

CONTENT APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS

S.H.Sargsyan Asymptotic Method of Construction of Mathematical Models of Micropolar Elastic Thin Plates……………………………………………..………….7

A.J. Farmanyan Mathematical Dynamic Model of Micropolar Orthotropic Elastic Thin Shells………………..38

A. H. Sargsyan Dynamic Model of Micropolar Elastic Thin Plates with Independent Fields of Transitions and Rotations…………………………………………...…...51

Sh. I. Alvajyan Mathematical Model of Micropolar Elastic Orthotropic Thin Bars with Asymptotic Method………………………………………………………...……72

L. M. Margaryan Construction of Dynamic Applied Model of Micropolar Orthotropic Elastic Thin Bars with Asymptotic Method………...………………………………………..…..88

N.S.Aslanyan General Equations of Thermo Elasticity of Micropolar Isotropic Elastic Thin Plates………………………………………..…………………………...103

CHEMICAL PHYSICS

A.A.Shahinyan, L. H.Arsenyan, A.H.Poghosyan Investigation of Lyotropic Liquid Crystal Using Computer Experiment….…………………..116

ECONOMY

V. L. Harutyunyan, K. S. Sargsyan The Financial-economic Crisis and the State Fiscal Policy…………………………………….126

GEOGRAPHY

L. M. Martirosyan The Methods of Mapmaking and the Principles of the Assessment of Natural Conditions in the Area-district of Ashotsk for the Aim of the Development of Winter Recreation………………………………………………..138

ԳՅՈՒՄՐՈՒ Մ. ՆԱԼԲԱՆԴՅԱՆԻ ԱՆՎԱՆ ՊԵՏԱԿԱՆ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺԱԿԱՆ ԻՆՍՏԻՏՈՒՏ ГЮМРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. М. НАЛБАНДЯНА GYUMRI STATE PEDAGOGICAL INSTITUTE AFTER M. NALBANDYAN УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ԳԻՏԱԿԱՆ ՏԵՂԵԿԱԳԻՐ SCIENTIFIC PROCEEDI NGS Պրակ Ա Выпуск A Issue A

2013

№1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА УДК 539.3

С.О.Саркисян АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ПЛАСТИН Բանալի բառեր՝ ասիմպտոտիկ մեթոդ, մոդել, կառուցում, միկրոպոլյար, առաձգական, բարակ, սալ, վարկածների մեթոդ, հիմնավորում: Ключевые слова: асимптотический метод, построение, модель, микрополярный, упругий, тонкий, пластинка, обоснование, метод гипотез. Keywords: asymptotic method, construction, model, micropolar, elastic, thin, plate, justification, hypotheses method. В работе на основе применения асимптотического метода для решения сингулярно-возмущенной с малым параметром системы дифференциальных уравнений в частных производных, построены математические модели как для изгибной деформации, так и для обобщенного плоского напряженного состояния микрополярных упругих тонких пластин. Дается математическое обоснование для аналогичных теорий построенных на основе метода гипотез. Введение. Асимптотические методы получают в последнее время все более широкое и разнообразное применение в математической физике. Особенно естественным является использование этого подхода в построении теорий пластин и оболочек, так как последние представляют собой тонкое деформируемое тело и малый параметр (относительная толщина) естественным образом входит в определение самого обьекта исследований. Теория пластин и оболочекэто наука асимптотическая[1-3]. Задача о построении асимптотическим методом математических моделей пластин и оболочек в классической теории упругости поставлена в работах Friedrichs K.O. [4,5], Green A.E. [6] и основательным образом это направление было развито в работах И.И. Воровича[1] и А.Л. Гольденвейзера [2], их учеников и коллег: А. А. Агаловяна [3], Ю.Л. Каплунова, Л.Ю. Коссовича и Е.В. Нольде [7], Н.Н. Рогачевой [8], С.О. Саркисяна [9], Ю.А. Устинова [10] и др. В данной работе развит асимптотический метод решения [11] граничной задачи микрополярной (несимметричной, моментной) теории упругости в тонкой области пластинки, построены асимптотически точные теории (изгиба и обоб-

щенного плоского напряженного состояния) микрополярных упругих тонких пластин и обоснованы соответствующие математические модели микрополярных пластин, построенные в работе [12] на основе метода гипотез. Отметим, что построение математических моделей микрополярных упругих тонких балок, пластин и оболочек методом гипотез осуществлено в работах [12-16]. 1.Постановка задачи. Рассмотрим изотропную пластинку постоянной толщины 2h как трехмерное упругое микрополярное тело. Введем декартову систему координат Ox1x2 x3 , совмещая плоскость Ox1 x2 со срединной плоскостью пластины. Будем исходить из основных уравнений пространственной статической задачи линейной несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [17, 18]: Уравнения равновесия 1i 2i 3i 13 23 33    0,    0, x1 x2 x3 x1 x2 x3 (1.1) 1i 2i 3i 13 23 33 j    1  j3 3 j  0,   12 21  0. x1 x2 x3 x1 x2 x3 Физические соотношения





1 1  ii  v  jj   33  ,  33   33  v  11   22  , E E          ij   ij   ji ,  i 3   i3   3i , 4  4  4  4           ii   jj  33  ,  3i   3i   i 3 , ii    3  2   2    4  4  

 ii 







 33   i3 



(1.2)

     33  11   22  ,  ji  1     ji      ij  ,  2     3  2   4  1     i 3      3i  ,  3i  1     3i      i 3  . 4 4 Геометрические соотношения

V j Vi V j ,  33  3 ,  ij    1 3 , xi x3 xi V V  j j  i 3  3   1  j ,  3i  i   1  j ,  ii  i , xi x3 xi     33  3 ,  ji  i ,  i 3  3 , 3i  i . x3 x j xi x3

 ii 

(1.3)

Здесь  ii , ij , i3 ,  3i , 33 ,  ii ,  ij ,  i 3 ,  3i ,  33 , -компоненты силового и моментного тензоров напряжений; Vi ,V3 -компоненты вектора перемещения, i ,3 -компоненты вектора независимого поворота точек пластинки; E , v ,  

E , 2 1  v 

 ,  ,  ,  -упругие постоянные материала пластинки; здесь и в дальнейшем i  1,2; j  1,2; i  j . На лицевых плоскостях пластинки x3  h считаются заданными силовые и моментные напряжения:

 3i   pi , 



 33   p3 ,  3i  mi ,  33  m3 , 

(1.4)



где pi , p3 , mi ,m3 - компоненты внешних заданных усилий и моментов. Граничные условия на боковой поверхности пластинки  , в зависимости от способа приложения внешней нагрузки или закрепления ее точек, записываются в силовых и моментных напряжениях, перемещениях и поворотах или в смешанном виде. Рассмотрим следующие три основные типы граничных условий трехмерной несимметричной теории упругости: 1) когда заданы силовые и моментные напряжения, 2) когда точки поверхности  закреплены, 3) когда заданы трехмерные смешанные условия (вид которых будет конкретизирован ниже). Отметим, что решение краевой задачи (1.1)-(1.4) складывается из сумммы решений симметричной и обратно симметричной по x3 задач. В симметричной задаче  ii , 33,  ij ,  3 i ,  i 3 ,Vi ,  3 -четные по x3 функции, а  i 3 ,  3i ,  ii ,  33 , ij ,

V 3 ,  i -нечетные; в обратно-симметричной задаче- наоборот. Общие граничные условия (1.4) на лицевых плоскостях пластинки x3  h для указанных обратно-симметричной и симметричной по x 3 задач распадаются на следующие две группы: для обратно-симметричной по x 3 задачи pi  pi p   p3 m  mi m  m3 ,  33   3 , 3i   i , 33  3 2 2 2 2 для симметричной по x 3 задачи

 3i 

(1.5)

pi  pi p   p3 m   mi m   m3 . (1.6) ,  33  3 , 3i  i , 33   3 2 2 2 2 Будем предполагать, что толщина пластинки 2h мала по сравнению с длиной волны деформации a в плане, т. е. 2ha,   h / a 1;  -основной малый геометрический параметр задачи. В основу рассуждений кладем свойство напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкой пластинки, выражаемое структурной формулой

 3i  

НДС полн

 НДС

(1.7) вн  НДС кр . Здесь под НДС полн , НДС вн и НДС кр подразумевается полное, внутрен-

нее (охватывающего пластину в целом) и краевое (локализованное вблизи боковой поверхности пластинки) НДС. При таком подходе на результатах исходного приближения внутренней задачи возможно будет построение общей прикладной двумерной теории микрополярных тонких пластин. При определении внутреннего и краевого НДС в пластинке большую роль играют значения физических констант микрополярного материала пластинки. С этой точки зрения введем следующие безразмерные физические параметры:  а2 а2  а 2 . (1.8) , , ,     2. Построение внутреннего итерационного процесса. В уравнениях (1.1)(1.3) пространственной задачи микрополярной теории упругости перейдем к безразмерной системе координат и безразмерным величинам по формулам: x1 x2 x3 (2.1)  ,  , , a a h

 mn   mn , 

 mn   mn , a

Vi (2.2)  V i , m, n  1,2,3. a Будем использовать также введенные выше безразмерные физические параметры (1.8). В итоге получим сингулярно-возмущенную с малым геометрическим параметром  краевую задачу, решение которой складывается из суммы решений внутренней задачи и погранслойных задач. Решение внутренней задачи представим в виде асимптотического разложения S

Q   q   s Q  s  ,

(2.3)

s 0

где Q -любое из напряжений (силовых или моментных), перемещений и поворотов; q -натуральное число, которое различно для различных величин и которое определяется из условия получения непротиворечивой рекуррентной системы уравнений в асимптотических приближениях. Для безразмерных физических параметров (1.8) примем значения:

 а2 ~ 1, ~ 1,  

а2 ~ 1, 

а2 ~ 1. 

Таким образом в выражениях (2.3) для

(2.4)

q получим:

1) для обратно-симметричной по x 3 задачи (для задачи изгиба):

q  1 для  i3 ,  3i ,  ii , ij ,  33 ,V3 , i , q  0 для  ii ,  ij ,  33 ,  i3 ,  3i ,Vi , 3 . 10

(2.5)

Уравнения в асимптотических приближениях будут выражаться так: Уравнения равновесия s 2    s   11s 2   21  s 2   s 2    s    31  0, 12  22  32  0,       s  s s  s  s  s   13  23  33    s  s     0, 11  21  31   23   32  0,      

(2.6)

s   s   s  12  s     s   0,  22  32   31 13    s  2  13





s  2   23





s   33



 s  2     s  2   0.   12 21

Физико-геометрические соотношения s  u1 1 1 s  s  s  s  s   s  u2  11   22   33 ,   22  11   33 ,  21     21    s 









u 3 s  1   33 s  2    11 s  2    22 s  2  ,  2 1    u 2 s   1   3 s    12s    21 s    12 s    21 s  ,  4 4 s  u 1  1   3 s    21 s    12 s    21 s    12 s  ,  4 4 s  u 3    2s    13s    31 s    14  13s    31s  ,  4





















u 3 s   1  1s    23s    32 s    23 s    32s  ,  4 4 s   u1  1   2 s     31 s    13 s     31 s    13 s  ,  4 4 s  u 2  1   1 s    32 s    23 s    32 s    23 s  ,  4 4













1 s  a 2         s   11 s    22   33 s  ,     3  2 23  2  23  2   s  2  2  a       s    22  11 s    33 s   ,     3  2 23  2  23  2   3 s  a 2        s     33 s   11 s    22  ,    3  2 23  2  23  2   s  2  2 a      s     s    12   21 ,    4 4 

(2.7)

1s  a 2       s      s     21   12  ,    4 4 

3 s  a 2      s      s    13   31 ,    4 4  s  2  3 a      s     s     23   32  ,    4 4   1 s  a 2       s  2      s  2     31  13  ,    4 4   2 s  a 2       s  2      s  2     32   23 .    4 4 

2) для симметричной по x 3 задачи (плоское напряженное состояние):

q  2 для  ii ,  ij ,  i 3 ,  3i , Vi ,  3 , (2.8)

q  1 для  i 3 ,  3i ,  ii ,  ij ,  33 , V3 ,  i , q  0 для  33 . Уравнения в асимптотических приближениях будут выражаться так: Уравнения равновесия s s  s   s   11s   21  12s   22   31  0,   32  0,        s s 2  s 2  s  13s   23  s    33  0, 11   21   31   23 s 2    32s 2   0,      

s  2   12





s  2   22





s    32



(2.9)

s  2     s  2   0 ,   31 13

s  13 s   23   s  s    33   12 s    21  0.    Физико-геометрические соотношения

u1 s   u3s   u1 s   u3 s  

s  1 1 s   s 2  u 2 s   s 2   11s   22  33 ,   22  11 s   33 , 21     21    u  s  1    s    s s   33s2    11 s    22 , 2  3 s    12   21 , 21     4 4    s      s  u3s     s      s   3 s    21   12 ,  2 s    13   31 , 4 4  4 4    s     s  u1s     s 2     s 2   1 s    23   32 ,  2s 2    31   13 , 4 4  4 4















u 2s      s 2      s  2   1s 2    32   23 ,  4 4 1s  a 2          11s    22s    33s  ,     3  2 23  2  23  2    2s  a 2           22s   11s    33 s   ,     3  2 23  2  23  2   s  2 3  a       s  2    33  11s 2  22s 2 ,     3  2 23  2  23  2  

(2.10)

2 s  a 2      s      s   1 s  a 2      s      s    12   21 ,   21  12 ,    4 4   4 4    s  s  2 2 3 a      s      s   3 a      s      s    13   31 ,   23   32 ,     4 4   4 4    s  s  2 2 1 a      s      s   2 a      s      s     31  13 ,   32   23 .     4 4   4 4    3. Основные уравнения изгибной деформации микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. Рассмотрим уравнения (2.6), (2.7) для обратно-симметричной по x 3 задачи. В исходном асимптотическом приближении s  0, будем иметь:

u 30  10   20   0,  0,  0,    0  0  0   31  32 33  0,  0,  0,    0   0   120   23   33  0,   

(3.1) (3.2) (3.3)

0  11  0  0 0  0   21  31   23   32  0,   

(3.4)

0  12  0  0 0  0   22  32   31  13  0,   

u10  1   110    220    330  ,  21   





(3.5)

u 20  1 0  0    22   110    33 ,  21   





u 20     0     0    30    12   21 ,  4 4

(3.6)

u10     0     0   30    21   12 ,  4 4 u30     0     0    20    13   31 ,  4 4

(3.7)

u30     0     0   10    23   32 ,  4 4 u10     0     0    20    31   13 ,  4 4 u 20     0     0   10    32   23 ,  4 4 10  a 2          110    220    330   ,     3  2 23  2  23  2    20  a 2           220   110    330   ,     3  2 23  2  23  2  

(3.8)

(3.9)

30  a 2           330   110    220   ,     3  2 23  2  23  2  

 20  a 2      0     0    12   21 ,    4 4  10  a 2      0     0     21  12 ,    4 4 

(3.10)

30  a 2      0     0    13   31 ,    4 4  0  2 3 a      0     0     23   32 .    4 4 

(3.11)

На основании формул (3.1), (3.2), (3.8), (3.9) получим: 0 u 0   u 3 0 

0  3

 , ,

u1   10   , , 0 0 

0   31   31  , ,

0  0    1 0

0  1  , , 0

0  0    2 0 

u 2   2  , , 0 0 

0   32   32  , ,

0  2  , , 0

3  

 , ,

(3.12) (3.13)

0 0 

0  33   33  , ,

(3.14)

Далее принимая во внимание результат (3.12)-(3.14), для силовых и моментных напряжений при помщи равенств (3.5)-(3.11), а также, с учетом граничных условий из (1.5) для

 33 и 3i , будем иметь

 0 0   0  0 0        u3     0  0  0   13   13  ,   2   1   2 ,             0 0   0  0 0  0 0        u3     0  0  0   23   23  ,    1    2  1 ,             0 0  0 0   0   0 0  0        u3  10    2    31    2 ,            0 0  0 0   0 0       0  0  0        u 3  2   1    32    1 ,            0   0  0  0  0     13 p 3  p 3   23   33       ,    2     0 0 

0 

1 0 

0 

(3.16)

(3.17)

1 0 

 11    11  , ,  22    22  , , 1 0 

(3.15)

(3.18)

1 0 

0  0   12    12  , ,  21    21  , ,

11

0 0    0 0    2 1   1 0      11  ,     2       ,   a 2      

0   22

0 0    0 0     1 1   2 0      22  ,     2       ,   a 2      

0 

0 0 

0 0     0 0   1  1   2   330    33  ,   2   2  0       ,    a     0 0  0 0    0 0  1   120    12  ,         2        1  , 2    a  

(3.19)

0 0 

(3.20)

0   21

0 0  0 0    1  1 2    21  ,            ,    a 2   

 310 

0 0   0 0   0 0  0 0      m   m1  11 21      23   32    1 ,     2 a  

 320 

0 0   0 0   0 0  0 0      m   m2  12 22      31   13    2 ,     2 a  

0 0 

1 0 

0   13 0     13  , ,  23    23  , ,

где

(3.21)

(3.22)

 10 , 20  и  0  выражаются следующими формуламы: 0 0 

   0 0     0  0  1   2   31   13 , 4 4 0 0     0 0     0  0   20     1   32   23 , 4 4 0 0  0 0   a 2      0 0    0     33   11   22 ,    3  2 23  2  23  2   0 

1 0 

(3.23)

(3.24)

1 0 

а  11 ,  22 ,  12 ,  21 ,  13 ,  23 имеют следующие выражения: 1 0 

 11 1 0 

 22

  10   20    p 3  p3     ,   1   2    10   2   20   p 3  p3      , 1       1   2 2  1 

1 0 

 12  1 0 

 21  1 0 

 13  1 0 

 23

(3.25)

     20  0        10  0           ,         

     10  0        20  0           ,         1 4  0     m1  m1  , a 2        2a

1 4  0     m2  m2   . a 2        2a

(3.26)

(3.27)

Кроме выше приведенных имеют место также следующие равенства: 0 0 

0 0 

p3  p3   13   23   ,   2 0 

0 

0   11   21 0 m   m1    23   32   1 ,   2 a 0 0 

0 0 

0 

(3.28)

0 

0   12   22 0 m   m2    31   13   2 ,   2 a

Асимптотические приближения внутреннего итерационного процесса (2.6), (2.7) с номером s  1 и, вообще, с нечетными индексами, будем принимать нулевыми. Полученные формулы для исходных функций трехмерной задачи, т.е. для перемещений и свободных поворотов ((3.12),(3.13)), силовых и моментных напряжений ((3.14)-(3.22)), показывают явный вид их зависимости от координаты  . В итоге для описания внутреннего НДС остается выяснить роль переменных  и  , задающей положение точки на срединной плоскости пластинки. Поэтому, будем ввести статически эквивалентные силовым и моментным напряжениям усредненные по толщине пластинки характеристики: усилия N i3 , N 3i , моменты М ii , М ij , Lii , Lij , L33 и гипермоменты  i3 , по формулам: h

N i3 

  i 3 dx 3 ,

N 3i 

h h

L ii 

  ii dx 3 , h

L 33 

  3i dx 3 , M ii 

  ii x 3 dx 3 ,

h h

  33 dx 3 , h

L ij 

M ij 

  ij x 3 dx 3 , h

(3.29)

  ij dx 3 ,

 i3 

h

  i3 x 3 dx 3 . h

Задача состоит в получении асимптотических разложений для введенных усредненных величин: усилий, моментов и гипермоментов:

N 3i  N 3(i0 )   2  N 3(i2 )  ..., N i 3  N i(30)   2  N i(32 )  ... M ii  M ii( 0 )   2  M ii( 2)  ..., M ii  M ij( 0 )   2  M ij( 2)  ... Lii  L(ii0 )   2  L(ii2 )  ...,

Lij  L(ij0 )   2  L(ij2 )  ...

L33  L(330 )   2  L(332 )  ...,  i 3  (i03)   2  (i23)  ..., Наша основная цель- на уровне исходного приближения усредненных характеристик построить двумерную модель деформирования микрополярных пластин. Остановимся сначала на вычислении асимптотических приближений для

N3i и L33 . Дело в том, что при вычислении указанных величин по формулам (3.29), для получения исходного приближения, к выражениям (3.14) возможно

(2 )

и, следовательно необходимо, добавить те части от второго приближения  3i ( 2)

или 33 , для которых интегралы по толщине пластинки равны нулю, при этом будем использовать сугубо величины с верхним индексом s=0. Сказанное можно выполнять следующим образом. Рассмотрим нижеприведенные уравнения равновесия приближения s=2 (на основе системы уравнений (2.6)):

из

0  0   110   21  2   120   22  2    31  0,   32  0,       0  130   23  2  0   33   120    21  0,     0  0  0   0  0  0  где  11 , 22 , 12 , 21 , 13 , 23 выражаются формулами (3.18),(3.22).

второго

(3.30) (3.31)

 2

2 

Из уравнений (3.30),(3.31), после интегрирования по , для  31 , 32 , 33 получим

 312 

 322 

 332 

1 0    1 0      11   21    31  ,     , 2        0   0  1  1  0 2   2    12   22    32  ,     , 2        0   0  1  1  0 2   2    13   23  1 0  1 0     32  ,       12   21  .  2        0 2 

(3.32)

(3.33)

Из соотношений (3.32), (3.33) будем выделить определенные части, которые удовлетворяют требованиям: 1

2 

  31 d  0,  32 d  0,  33 d  0. 1

1

(3.34)

1

В итоге получим выражения:

 312 

 322 

1 0    1 0     11   21    ,       1 0    1 0   1  2    12   22       ,    6 2    

1  2    6 2

(3.35)

 332 

1 0   1 0    1  2     13   23  1 0  1 0            12   21  .  2     6    

(3.36)

( 0) 0 Для вычисления исходных приближений для N 3i и L33 (т.е. для N3i и L33

), будем складывать соответствующие выражения для выше указанных напряжений-(3.14),(3.35), (3.36) (имея в виду (2.3), (2.5)), тогда в размерном виде получим: 1 0    0   1 0  0  2    11   21  1  2 1  31    31  ,         ,    6 2       (3.37)  0   0  1  0   1  2  0   22  1  2  1     12  32    32  ,         , 6 2          1 0   0   1 0   2 0  1 0  1 0           1   1 2  13 23 (3.38)     33  а  33  ,          12   21  .    6 2           

 3i и 33 , будем считать выражениями определяющие исходные приближения для усредненных величин N 3i , L33 Окончательные формулы (3.37), (3.38) для ( 0)

(т.е. N3i , L33 ). Теперь, при удовлетворении неоднородных граничных условий (1.5) для

 3i и 33 , будем использовать полные выражения (3.37), (3.38), которые, как ( 0) 0 сказано выше, определяют исходные приближения для N 3i , L33 (т.е. N3i , L33 ).

Для вычисления следующего асимптотического приближения для N 3i , L33 (т.е. ( 2)

(2)

для вычисления величин N3i , L33 ), будем установить выражения для следующего приближения напряжений

 3i и 33 , для которых составим разности (3.32)

и (3.35); (3.33) и (3.36), к которым, будем складывать такие соотношения из s=4, интегралы по толщине которых будут удовлетворять условиям типа (3.34), но на этот раз для приближения s=4. В результате, полученные выражения для следующего приближения функций

 3i , 33 , будут содержать величины

исключительно с верхним индексом s=2. При помощи этих выражений будем удовлетворять граничные условия (1.5) для

 3i и 33 , но на этот раз (и в после-

дующем) однородные (нулевые) граничные условия. Аналогичным образом будем построить последующие приближения для N 3i и L33 .

Таким образом построенный итерационный процесс приводит к последовательности двумерных задач. Главное в этом процессе является тот факт, что в исходном асимптотическом приближении двумерной задачи будут полностью учтены поперечные сдвиговые деформации. Отметим, что представленный подход можно использовать также, когда имеем дело с классической теорий упругости. В результате будем получить итерационный процесс двухмерных задач, с получением в исходном приближении прикладной теории пластин, учитывающей поперечные сдвиговые деформации. Отметим, что специально построенный такой итерационный процесс можем трактовать как проявления исскуствa асимптотики [19], в данном случае позволяющее построить прикладную теорию изгиба тонких пластин (классической или микрополярной), с учетом поперечных сдвиговых деформаций. Теперь остановимся на задаче о полном построении исходного приближения для полученного итерационного процесса. Для силовых напряжений

 3i и моментного напряжения 33 в указан-

ном приближении имеем формулы (3.37), (3.38). Остальные определяющие задачу величины этого приближения, которые выражаются через величины с верхним индексом s=0, также, представим в окончательном размерном виде: 0 0 0 0 1 1 0 1

w   au3 ,, ui  x3i  x1, x2 , i x1, x2    i ,, i   i ,, 1  3  x 3  x1 , x 2 ,   x1 , x 2    0  , h

 ii

1 1 0   x 3   ii , h 1

 ij

0 0 

 i 3    i 3 ,

 i 3  x 3 

1

1 1 0   x 3   ij , h 1

0 0 

ii  a  ii ,

1

0 0 

ij  a  ij ,

1 0 

 i3 ,

 33   330  ,

 3 i  x 3 

1

1 0 

 3i .

На основe формул (3.37), (3.38), удовлетворяя (как сказано выше) неоднородные граничные условия (1.5) для 0  0

0 0 

 31, 32 , 33 , принимая ввиду уравнения (3.28), а

0  0 0  0 

(0 ) 11 ,

(0 ) 22 ,

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0) (0) (0) (0) 12 , 21 , 11 , 22, 33, 12 , 21, 13 , 23 ,

         и также равенства для  13 , 23 , 31 , 32 ,  выражения (3.29) для усредненных характеристик, получим основные уравнения прикладной двумерной теории микрополярных пластин с независимыми полями перемещений и вращений:

Уравнения равновесия N13 N 23    p3  p3 , x1 x2





 M 11 M 21    h p1  p1 , N 31     x  x 2   1





(3.39)

 M12 M 22    h p2  p2 , N 32     x  x 2   1





L11  L21   N 23  N 32   m1  m1 ,  x1 x 2





L12 L 22   N 31  N 13   m 2  m 2 ,  x1 x 2





(3.40)

    23 L33   13   M 12  M 21    h m 3  m 3 . x 2   x1  Соотношения упругости N 13  2 h    13     31 ,





N 23  2 h     23     32 ,

(3.41)

N 31  2 h    31     13 , N 32  2 h    32      23 ,

M 11  M 22

2 Eh3 h2   K  vK   p3  p3 , 11 22 2 3 1  3 1 v





2 Eh3 h2    K  vK   p3  p3 , 22 11 3 1  3 1 v2





(3.42)



2h 3    K12     K 21 , 3 2h 3     K 21     K12 , 3

M 12  M 21

(3.43)

L11  2h  2  11   k 22  k 33 , L22  2 h  2  22   k11  k 33 ,

(3.44)

L33  2 h  2  33   k11  k 22 ,

L12  2h    12     k 21 ,

(3.45)

L21  2h    21     k12 , 13   23

2h 3 4 h2     l13  m1  m1 , 3   3  





2h 3 4 h2      l 23  m2  m2 , 3   3  





(3.46)

Геометрические соотношения

w  2 , x1 w 23   1 , x2 13 

K11 

1 , x1

(3.47)

32   2  1 , K 22 

1 , x1  2  12  , x1

 2 , x2

K12 

 2 , x2   21  1 , x 2

11 

l13 

31   1   2 ,

 22 

 , x1

l23 

 2 , x1

K21 

1  , x2

k33   ,

(3.48) (3.49) (3.50)

 . x2

(3.51)

Следует отметить, что в уравнениях (3.39)-(3.46) для усредненных характеристик N 3i , N i 3 , M ii , M ij , Lii , Lij , L33 ,  ij , которые участвуют с верхним индеексом нуль (с индексом исходного приближения), этот индекс просто пропущен. 4. Основные уравнения обобщенного плоского напряженного состояния микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. Рассмотрим теперь уравнения (2.9), (2.10) для симметричной по x 3 задачи. В исходном асимптотическом приближении s  0 , будем иметь:

u10  u 0  0  0, 2  0, 3  0,   

(4.1)

u10 u20  1 1 0  0  0  0   11  22 ,   22 11 ,  21    21   0  u20     0     0 0    0    0 u1  3  12   21 ,  30   21  12 ,  4 4  4 4 30 a 2     0    0  30 a 2    0    0     31 ,    32 ,    4 13 4   4 23 4   





0   11  0   0   21  31  0,   



0   12  0   0   22  32  0,   

0  0  0   13  23  33    0,    0  0  130   23  33  0     120    21  0,   



(4.2) (4.3) (4.4)

(4.5)

(4.6)

0   31  0, 

0 32  0, 

(4.7)

u 30     110    220  ,  21    u30  0    0   0





(4.8)

u30    0    0  2  13  31 ,  10   23  32 ,  4 4  4 4 10  a 2       0  0    110    22   33  ,    3  2 23  2  23  2  

 20  a 2       0  0     22  110    33  ,    3  2 23  2  23  2    0  0 2 2 2 a    0    0  1 a    0    0   12  21 ,    12 ,     4 4   4 21 4    0  0  2 2 1 a    0    0  2 a    0    0   31  13 ,    23 .     4 4   4 32 4    Формулы (4.1) означают, что 0 0 

0 0 

u 10   u 1  , , u 20   u 2  , , Аналогично из (4.7) получим 0 0 

(4.9)

(4.10)

(4.11) (4.12)

0 0 

 30    3  , .

(4.13)

0 0 

 310    31  , ,  32 0    32  , .

(4.14)

Решая системы уравнений (4.2) и (4.3) будем иметь 0 0    0 0   u u 2   1 2  0   11   11  ,     , 1            0 0 0  0  0 0  2  u2  u1  0   22   22  ,     , 1        0 0 

0 

 12

0   21

(4.15)

  0 0  0 0    0 0  0 0     u2    u1  1   12  ,         3         3  ,               0 0  0 0    0  0  0 0    0 0    u1   u2  1   21  ,         3         3  .             0 0 

0 

(4.16)

0 

Из уравнений (4.4) определим соответственно 13 и  23 :

0 0 

0 

 13   13

0 0 

1 4   3    0 0   ,   2   31 ,   a    

(4.17)

0 0 

1 4   3    0 0    32 .   a 2     После интегрирования по  уравнений равновесия (4.5), (4.6) с учетом

0   23   23  ,  

0 

(4.15)-(4.17), для  31 ,  32 , и 33 получим: 1 0 

1 0 

 310     31 ,

 320     32 ,

1 0 

 33 0     33 ,

(4.18)

где 1 0 

 31

1 0 

 33

0 0   0 0    0 0   0 0  1 0     11   21     12   22  (4.19)     32    , ,                  0   0  0  0     13   23 0 0  0 0   (4.20)      12   21 .         Остальные уравнения (4.8)-(4.12) служат для определения величин:

0  0  0  0  u30  , 10  , 20  , 110  ,  22 , 120  ,  21 ,  130  ,  23 ,  33 .

Введем усредненные усилия и моменты по формулам: h

T11    11 dx 3 ,

T22    22 dx 3 ,

h

S12    12 dx 3 , h

L13   13 dx3 , L23    23 dx3 . h

S 21    21 dx 3 ,

(4.21)

h

(4.22)

h

Принимая во внимание граничные условия (1.6),и, далее, формулы (4.15), (4.16), (4.17), с учетом понятий усредненных усилий и моментов (4.21), (4.22), на уровне исходного асимптотического приближения получим основные уравнения плоского напряженного состояния микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений: Уравнения равновесия T11 S 21    p1  p1 , x1 x2





S 12 T22    p 2  p 2 , x1 x 2





(4.23)

L13 L23   S12  S 21   m3  m3 , x1 x 2





Физические соотношения

Т 11 

2 Eh 11  22 , 1  2

Т 22 

2 Eh 22  11 , 1  2

(4.24)

S12  2 h   12     21 , S 21  2 h   21     12 , 4   4   L13  2h k13  h m1  m1 , L23  2h k23  h m2  m2 ,        









(4.25) (4.26)

Геометрические соотношения

u1 u u , 22  2 , 12  2   3 , x1 x2 x1  3  3 k13  , k 23  . x1 x2

11 

21 

u1  3 , x2

(4.27) (4.28)

5. Построение погранслоя. Обратимся к изучению краевых явлений несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений в тонкой трехмерной области пластинки. Краем пластинки, вблизи которого будем исследовать напряженное состояние пограничного слоя, допустим будет граничная плоскость пластинки x1  0. К уравнениям (1.1)-(1.3) пространственной задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений применим преобразование растяжения масштаба: x1 hx 2 x3 (5.1)  1 ,  1 ,  2 h h a и перейдем к безразмерным величинам по формулам (2.2), (1.8). Решение преобразованной таким образом системы отыщем в виде асимптотического разложения S

R     R  s R s  ,

(5.2)

s 0

где R -любая из величин рассматриваемой задачи. Так как силовые и моментные неоднородные граничные условия (1.4) (либо (1.5), либо (1.6)), заданные на лицевых плоскостях пластинки    1 , были удовлетворены решением внутренней задачи, то решение (5.2) должно удовлетворять следующим однородным граничным условиям:

 3i   33  0,

 3i   33  0 при   1.

(5.3)

После подстановки (5.2) в преобразованную систему уравнений (1.1)-(1.3) с учетом (2.4) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра  в правых и левых частях, начиная с наименьшей, получим непротиворечивую систему рекуррентных уравнений относительно величин R если

S 

S   mn      s mn , V n    1   S Vn S  , s0

s 0

 mn  

 1



S 

 mn ,  n  

s0

(5.4)

 2



S 

 n , m, n  1,2,3.

s 0

Полученную систему уравнений в асимптотических приближениях s можем представить в следующем виде: s - 2   s- 2   31s   13s   23  s   11s   21  s   s-2   s     0, 12  22  32  0,   33  0, 1 1  1 1   1 1 

11s   21s -2  31s   s   s -2  s  s      23   32 s   0, 12  22  32   31 s    13 s   0, 1 1  1 1  13s   23s -2  33s  v s  1 s      12 s    21  0, 1   11 s    22s    33s  , 1 1  1 21   





v2 s 2  1 v  s    22 s    11 s    33 s  , 3  1  33 s    11s    22 s  , 1 21     21   





(5.5)

v 2s      s     s    3s  2    12   21 , 1 4 4 v1s 2      s     s    3s  2    21   12 ,  1 4 4 s      s     s  v 3s     s     s  v1 s  2   31   13 ,   2s 2    2   13   31 ,  4 4 1 4 4

v 3s 2     s     s   1s  2    23   32 ,  1 4 4

v 2s     s     s   1s 2    32   23 ,  4 4 1 s  a 2     s     11    22s    33s  ,  1  3  2  2     2s  2  a 2     1  3  2

3 s  

 s   s  s     22  2    11  33 ,   2  a     s     33  11s    22s  ,   3  2  2    

 2s  a 2  1 





    s     s   1 s 2  a 2     s     s    4 12  4  21 ,     4  21  4 12 ,   1 26

(5.6)

s  a 2     s     s       s     s   1   31  13 ,    , 31   4 13   4 4 4    s  2 2 a     s     s   a     s     s   2  32   23 .     , 23 32     4 4   4 4 

3s  a 2  1  3s  2  1

Забегая вперед отметим, что погранслойная задача отлично от нуля при любом s -четном или нечетном. Важно констатировать, что, при любом s , решение погранслойных уравнений (5.5), (5.6) обладает некоторыми важными свойствами, которые можем получить непосредственно из указанных уравнений, если к ним применим следующие интегральные операторы: 1



 d  d1 ,

1



 d  d1 ,

1



 d  1d1.

1

В итоге будем иметь следующие интегральные соотношения, которые иначе называют условиями затухания решения задачи пограничного слоя. Приведем их для исходного s  0 и первого s 1 асимптотических приближений (которые в далнейшем будем исползовать): в случае задачи изгиба 1

    s 13

 0d  0,

1 1

(5.7) 1

s    11 1  0d 

1 1

4 V3s  1  0d  0,    1



2 s  1  0d  0, 11 1  0d   12    1 1 s 



(5.8)



(5.9)

s 

   12

s  1  0d  0,  0d   11

1 1

s   1 1  0d 

1



(5.10)

1 1

a 2 2  V2 s  1  0d    2    1 1

a 2   13 s  1  0d  0,   4    1 1  1 3 s    2 1 1 s     0  d      0  d   11 s  1  0d , 1 1 2  2       a 1 a 1 1 1

   1 s  1 2 s      0  d     13 1  0d , s  0,1 . 2 1 2   2  a 1 1 1 в случае задачи плоского напряженного состояния

(5.11)

(5.12)

2  V1 s  1  0d 

(5.13)

     s 11

 0d  0,

(5.14)

 0 d  0,

(5.15)

1 1

     s 12

1 1

s   13 1  0 d  1

s   3 1  0d  1

2 V2s   1  0 d   0,  1

(5.16)

a 2    11s  1  0 d    4 1 1

(5.17)

   2 12s  1  0d  0,    1 1

s   V1 1  0d  1

 1 s   13  1  0d  0. 2 1

(5.18)

здесь s  0,1 . Отметим, что равенства (5.7)-(5.13) и (5.14)-(5.18) являются свойствами решения общего погранслоя. Дело в том, что внутренняя задача взаимодействует ни с общим погранслоем, а погранслоем частного вида. Например, на основании равенства (5.8), можем частному погранслою приписывать равенство 1

     s 11

 0 d  0, s  0,1.

(5.19)

1

Это равенство можем использовать при сращивании внутреннего итерационного процесса и погранслоя. В итоге будем получить соответствующее граничное условие для прикладной теории микрополярных пластин. Получим также определенное граничное условие для погранслойной задачи. Получается,что решение такого частного погранслоя автоматически будет удовлетворять условию h

   V  s

 0d  0, s  0,1.

(5.20)

h

В зависимости от вида заданных на x1  0 трехмерных граничных условий, можем на этот раз для другого частного погранслоя приписывать условие (5.20), тогда равенство (5.19) будет вступать как свойство этого погранслойного решения. В дальнейшем будем аналогичным образом поступать при рассмотрении равенств (5.9)-(5.13), (5.16), (5.17), (5.18) (с целью построения соответствующих частных погранслоев). Условия типа (5.19) и (5.20) и аналогичные (о которых выше шла речь), можем обосновать также следующим образом:

если будем потребовать выполнения условий (5.8)-(5.13) либо (5.16)-(5.18) для любого материала удовлетворяющего требованиям (2.4). 6. Сращивание асимптотических разложений внутреннего итерационного процесса и погранслоя. Получение граничных условий для прикладных двумерных теорий (для задачи изгиба и для задачи плоского напряженного состояния). Таким образом построены два типа решений: решение внутренней задачи и решение для погранслойной задачи. Их сумма вн

п.с

(6.1) I  Q R является решением исходной сингулярно-возмущенной краевой задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений вн

в тонкой трехмерной области пластинки. Здесь Q  решение внутренней задачи, п.с

R  сумма решений всех погранслойных задач (при этом будем считать, что если речь идет о погранслое около определенной боковой стороны пластинки, то влияние погранслоя противоположенной стороны необходимо пренебрегать). Отмеп.с

тим, что R в общем случае выражается следующим образом: п.с

п.с

R     s R p     s R a , п.с

(6.2)

п.с

где R p и R a -соответственно плоский и антиплоский погранслои,  и  -интенсивности этих погранслоев, которые подлежат к определению при изучении задачи о сращивании внутреннего итерационного процесса и погранслоя (с целью получения итерационного процесса выполнения граничных условий на поверхности края пластинки). Теперь перейдем к изучению задачи разделения трехмерных граничных условий на боковой поверхности пластинки  , в рамках которого необходимо выяснить вопрос о том, какие граничные условия надо приписывать к внутренним (к прикладной теории) и какие к погранслойным дифференциальным уравнениям. Эту задачу будем рассматривать отдельно для случая изгиба и отдельно для случая плоского напряженного состояния. Для задачи изгиба рассматрим три отдельные случаи граничных условий: а) загруженный край, б) трехмерные граничные условия, которые в прикладной теории называются условиями шарнирного опиирания, в) защемленный край. При загруженном крае (пусть этот край представляет собой плоскость x1  0 ) имеем:

 1k  p k* , 1k  mk*

k  1,2,3.

(6.3)

С учетом (6.1), (2.3), (2.5), (5.4), (6.2) на основании (6.3) получим итерационный процесс выполнения этих граничных условий, если     1 :

вн s 1 пс s   1i   1i  ~pi* s 1 , i  1,2 вн s  пс s   13   13  ~p3*s  , вн  s  пс s  ~ *s  , i  1, 2  1i   1i  m i  s  1   s  вн пс ~ *  s  1 ,  13   13  m 3

p* где ~ pi*0  1 ,



~ pi*s   0, s  1,

* ~ *0  m1 , m ~ * s   0, s  1, m i i 1 a

(6.4) (6.5) (6.6) (6.7)

~ p3*0 

p3* , ~ p3*s   0, s  1, 1  

* ~ *0   m3 , m ~ * s   0, s  1. m 3 3 a

(6.8) (6.9)

При s  0, из (6.5) будем иметь вн  0 

пс 0 

 13   13  ~ p 3*0  .

(6.10) вн 0 

Имея в виду формулы (3.15), которые означают, что  13  не зависит от поперечной координаты  , используя равенство (5.7), из (6.10) для прикладной теории изгиба микрополярных пластин ((3.39)-(3.51)) получим один из граничных условий при x1  0 (в размерном виде): h * 3

N13 

 p dx .

(6.11)

h

Аналогичным образом на основании (3.19), (3.20), как выше говорили, от погранслойного решения (частного погранслоя) потребляя условия (имеем ввиду равенства (5.9), (5.10)): h

0  11 1  0d  0,

 12 1  0d  0,

0

h

(6.12)

для прикладной теории (3.39)-(3.51) получим еще две граничные условия при

x1  0 : h

L11   m1* dx3 , h

L12   m2* dx3 .

(6.13)

h

Чтобы получить граничные условия для M11, M12 , 13 , поступим следующим образом. Рассматривая граничное условие (6.4) при s  1, будем иметь 0 

1 

вн пн  1i   1i  ~ p i*1 ,

(6.14)

i  1,2 .

К рассмотреннему частному виду погранслоя далее приписываем равенство (5.9) при s  1 и, следующее равенство (имеем ввиду равенство (5.9),при s  1 ): 1

    1 12

 0 d   0 ,

(6.15)

1

Тогда, используя формулы (2.3), (2.5), (3.18), для прикладной теории (3.39)-(3.51) получим две граничные условия при x1  0 : h

h * 1

M 11   x3 p dx3 , M 12   x3 p 2* dx3 . h

(6.16)

h

Аналогично, на основе равенств (5.11), к рассмотренному частному погранслою приписывая еще условие 1

    1 13

 0d  0 ,

(6.17)

1

используя выражения и формулы (2.3), (2.5), (3.22), для указанной прикладной теории получим еще одно граничное условие при x1  0 : h

 13 

* 3

 x m dx . 3

(6.18)

h

Таким образом, при x1  0, для прикладной теории изгиба микрополярных пластин (3.39)-(3.51) будем иметь полный набор граничных условий, которые представляются равенствами (6.11), (6.13), (6.16) и (6.18). Для выбранной погранслойной задачи (5.5), (5.6), из (6.4)-(6.7), при s  0 , получим следующие граничные условия (при пс 0 

пс  0 

 11  0,

 12  0,

пс 0 

 13 пс  0 

 11

1 ~ p 3*0    ~ p 3*0  d , 2 1 1

~ *0   1 m ~ *0  d , m 1 1  2

1  0 ):

пс

(6.19)

 13  0, пс  0 

 12

~ *0   1 m ~ *0  d . m 2 2  2

После решения погранслойной граничной задачи (5.5),(5.6), (6.19) (около боковой грани 1  0 ), это будет тот частный погранслой, который взаимодействует с прикладной теорией микрополярных пластин (3.39)-(3.51).Легко получить также и уравнения этого частного погранслоя ((5.5), (5.6)) и соответствующие им граничные условия, при s  1. Имея ввиду (5.19),(6.12),(6.15),(6.17)(как при s  0 , так и при s  1 ), вытекающие при этом из выражений (5.8)-(5.12) равенства автоматически будут удовлетворены решением построенного частного погранслоя.

Рассмотрим, теперь следующий вариант трехмерных граничных условий при x1  0 :

 1i  pi* ,

1k  mk*

V3  0,

В этом случае (и здесь (6.7), а вместо (6.5) получим вн  s 

i  1,2; k  1,2,3.

(6.20)

    1) остаются в силе равенства (6.4), (6.6),

пс  s 

(6.21) V 3  V 3  0. Будем рассматривать новый, отличной от предыдущего, частный погранслой, для которого остаются в силе требования (6.12), (6.15), (6.17), только в этом случае сначала (при s  0 ) будем потребовать условие (5.20) (а равенство (5.19) при s  0 будет следствием). Таким образом остаются в силе двумерные граничные условия (6.13), (6.16), (6.18), а на место граничного условия (6.11) получим (при x1  0 )

w  0.

(6.22) Граничные условия (6.22), (6.13), (6.16), (6.18) для прикладной двумерной теории представляют собой условия шарнирного опирания. Имея граничные условия для прикладной-двумерной теории, из равенств (6.4)-(6.7),при s  0 , можем получить граничные условия построенной частной погранслойной задачи. И, наконец, рассмотрим граничные условия жесткого защемления:

k  1,2,3.

Vk  0, k  0

(6.23)

Для этого случая также     1 . Равенства, представляющие трехмерные условия жесткого защемления, в асимптотических приближениях будут иметь вид: вн  s 1

пс  s 

 V i  0,

вн  s 

i  1,2

(6.24)

пс  s 

V 3  V 3  0, вн  s 

пс  s 

 i   i  0, вн  s 1 

3

(6.25)

i  1, 2 

(6.26)

пс  s 

  3  0.

(6.27) Будем строить соответствующий частный погранслой, для которого потребуем условия (имеем ввиду возможности из равенств (5.11), (5.8), (5.12), (5.13)): 1 пс 0 

   i

1 1 пс 0 

V  3

 0d  0

i  1,2,

(6.28)

 0d  0,

(6.29)

1

а при s  1 , следующие условия 1

31 1  0d  0,   1 1

1  Vi 1  0d  0

i  1,2,

1



(6.30)

в результате, получим набор граничных условий жесткого защемления (при

x1  0 ) для прикладной-двумерной теории изгиба микрополярных пластин:  i  0, w  0, i  0,   0. (6.31) Перейдем теперь к изучению задачи сращивания внутреннего итерационного процесса и погранслоя для обобщенного плоского напряженного состояния. Сначала рассмотрим граничные условия первой граничной задачи (6.3). С учетом (6.1), (2.3), (2.8), (5.4), (6.2), на основании (6.3) получим итерационный процесс выполнения этих граничных условий, если вн  s 

пс  s 

 1i   1i  ~ pi* s  вн  s 1

пс  s 

вн  s 1

пс  s 

    2 :

i  1,2,

(6.32)

 13   13  ~ p3*s 1 ,

(6.33)

~ *s 1  1i   1i  m i вн  s 

i  1,2,

(6.34)

пс  s 

~ *s  .  13   13  m 3

(6.35)

Будем использовать свойства погранслойного решения (5.14)-(5.16)при s  0 . В случае граничных условий (6.32) i  1,2 , применяя равенства (5.14), (5.15), получим следующие две граничные условия для обобщенного плоского напряженного состояния микрополярных пластин (4.23)-(4.28), при x1  0 : h

T11 



p1*dx3 ,

S12 

h

* 2

(6.36)

 p dx . 3

h

Для построенного погранслоя (имея ввиду (5.16)) потребуем еще условие 1

     0 13

 0d  0

(6.37)

1

Тогда решение этого частного погранслоя автоматически будет удовлет1

ворять условию V 20  1  0 d   0.  1

Если в (6.35) от погранслойного решения потребуем условие (6.37), тогда приходим к следующему граничному условию для прикладной теории микрополярных пластин(4.23)-(4.28), при x1  0 : h

L13   m3* dx3 .

(6.38)

h

Таким образом граничные условия (6.36), (6.38) при x1  0, представляют собой весь комплекс граничных условий для обобщенного плоского напряженного состояния микрополярных упругих тонких пластин (4.23)-(4.28). Что касается граничных условий, при 1  0, для построенной погранслойной задачи (5.5), (5.6), то для них из (6.32)-(6.35) будем иметь: пс  0 

 1i

1 *0 ~ pi*0    ~ pi d 2 1

i  1,2,

пс  0 

 13  0,

(6.39)

пс 0 

 1i  0

i  1,2,

0 

пс ~ *0  1 m ~ *0  d .  13  m 3 3  2 1

Если построить решение граничной задачи (5.5),(5.6),(6.39), то это погранслойное решение, при 1  0 , будет автоматически удовлетворять следующему равенству (к которому приходим из (5.16) с учетом (6.37)): 1 пс 0 

V  2

 0d  0.

(6.40)

1

Рассмотрим теперь граничные условия жесткой заделки, при x1  0 (условия (6.23)). В этом случае тоже     2 . В итоге получим нижеприведенные равенства, представляющие итерационный процесс выполнения трехмерных граничных условий (6.23): вн  s 

пс  s 

V i  V i  0, вн  s 1

 V 3  0,

вн  s 1

i вн  s 

(6.41)

пс  s 

(6.42)

пс  s 

  i  0,

(6.43)

пс  s 

(6.44) При этом будем представлять частный погранслой, для которого будем требовать выполнения следующих условий (имеем ввиду равенства (5.16), (5.17)):

 3   3  0.

0 V2 1  0d  0,

    

1

0 3

 0d  0.

(6.45)

1

Применяя равенства (6.45), из равенств (6.41), (6.44) получим все три граничные условия прикладной теории (4.23)-(4.28), при x1  0 :

u1  0,

u2  0,

3  0.

(6.46)

Что касается граничных условий построенной погранслойной задачи, то они будут следовать из (6.41)-(6.44), учитывая при этом условия прикладной теории (6.46). Решение этого погранслоя на этот раз будет удовлетворять условию (6.37), а также, следующему условию вытекающего из равенства (5.17): 1

а 2    0  11 1  0d     2 120  1  0d  0.   4 1    1 7. Сравнение прикладных моделей микрополярных упругих тонких пластин построенных на основе асимптотического метода и метода гипотез. В случае задачи изгиба, сравнив основные уравнения (3.39)-(3.51) и граничные условия ((6.11), (6.13), (6.16), (6.18) (либо (6.13), (6.16), (6.18) и (6.22) либо (6.31)) можем заключить, что если в выражениях моментов (3.42) будем пренебрегать слагаемые

h2  p   p3 (с учетом также нижеприведенного рассуждения), то полу3 1  3





чим модель работы [12], которая построена на основе метода гипотез. Отметим, что такое пренебрежение оправдано (это означает, что в обобщенном законе Гука (1.2) для  ii , силовое напряжение

 33 весьма мало по сравнению с силовым на-

пряжением  ii ). Отметим, также, что как показывают расчеты, таким же образом,

 i 3 , моментное напряжение  3i можно пренебрегать относительно моментного напряжения i3 . В итоге в равенствах (3.46) в обобщенном законе Гука (1.2) для

можно

пренебрегать

соответственно

слагаемые

h2     m1  m1 3  





h2     m2  m2 . 3   Что касается обобщенного плоского напряженного состояния микрополярных пластин, можем утверждать, что обе модели микрополярных пластин (асимптотический и полученное на основе метода гипотез), полностью совпадают друг с другом. Весьма важно констатировать, что полученные асимптотическим методом выражения (3.12), (3.13) для компонентов вектора перемещения– это, по сути дела, кинематические гипотезы Тимошенко в классической теории изгиба пластин [20-22]. Имея это обстоятельство в виду, в работе [12] (и в аналогичном случае при построении моделей микрополярных балок и оболочек [13-16]), во первых, выражения (3.12),(3.13) в целом принята как кинематическая гипотеза при построении модели микрополярных упругих тонких пластин и, во вторых, эта гипотеза названо обобщенной на микрополярный случай гипотезой Тимошенко.





В случае обобщенного плоского напряженного состояния микрополярных пластин, аналогичным образом, полученные асимптотическим методом качественные результаты (4.13), можно положить в основу построения этой модели как кинематические гипотезы. Отметим, что кроме кинематических гипотез, в работе [12], при построении прикладной теории микрополярных пластин, приняты также некоторые другие гипотезы (статические гипотезы), которые тоже соответствуют качественным результатам асимптотического метода.

Ս. Հ.Սարգսյան Միկրոպոլյար առաձգական բարակ սալերի մաթեմատիկական մոդելների կառուցման ասիմպտոտիկ մեթոդը Աշխատանքում փոքր պարամետրով սինգուլյար գրգռված հավասարումների լուծման ասիմպտոտիկ մեթոդի կիրառմամբ կառուցվել են միկրոպոլյար առաձգական բարակ սալերի ինչպես ծռման դեֆորմացիայի, այնպես էլ ընդհանրացված հարթ լարվածային վիճակի մաթեմատիկական մոդելները: Տրվում է մաթեմատիկական հիմնավորում վարկածների մեթոդի հիման վրա կառուցված համապատասխան տեսություններին:

S.H.Sargsyan Asymptotic Method of Construction of Mathematical Models of Micropolar Elastic Thin Plates In the present paper mathematical models of micropolar elastic thin plates are constructed for bending deformation and generalized plane stress state on the basis of the asymptotic method of solution of singularly perturbed with small parameter system of differential equations in partial derivatives. Mathematical justification for analogical theories, constructed on the basis of hypotheses method, is given.

Литература 1. Ворович И. И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Тр. II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. Выпуск 3. М.: Изд-во “Наука”.1966. С. 116-136. 2. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.:Изд-во“Наука”.1976. 510с. 3. Агаловян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек М: Издво “Наука”. 1997. 414 с. 4. Friedrichs K. O. Kirchhoff’s boundary conditions and the edge effect for elastic plates//Proc. Sympos. Appl. Math.New York: Amer. Math. Soc. 1950. 5. Friedrichs K. O. and Dressler R.F. A boundary layer theory for elastic plates // Comm: Pure and Apll. Math. 1961. Vol. 14. N1. P. 1-33. 6. Green A. E. On the linear theory of thin elastic shells // Proc. Roy. Soc. 1962. A-266. N1325. 7. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin wolled elastic bodies.SanDiego: Academic Press. 1998. 225p.

8. Rogacheva N.N. The theory of piezoelectric plates and shells. London: Boca Ration. SRS Press. 1994. 260p. 9. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупругости тонких оболочек. Ереван: Изд-во АН Армении. 1992. 232с. 10. Устинов Ю.А., Шленев М.А. О некоторых направлениях развития асимптотического метода плит и оболочек // Межвузовский сборник «Расчет оболочек и пластин. Ростов-на-Дону. Изд-во Ростовского Инженерно-строительного ин-та. 1978. С. 3-27. 11. Саркисян С.О.Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости.// Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. N. 2. С. 129-147. 12. Саркисян С.О.Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик.// Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т.53. Вып. 2. С. 148-156. 13. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек// Физическая мезомеханика. 2011.Т. 14.N1. С. 55-66. 14. Sargsyan S.H. Effective Manifestations of Characteristics of Strength and Rigidity of Micropolar Elastic Thin Bars// Journal of Materials Science and Engineering. 2012. Vol.2. N1. P.98-108. 15. Саркисян С.О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек// Доклады Академии Наук России. 2011. Tом 436. N2. С.195-198. 16. Sargsyan S.H. Mathematical Models of Micropolar Elastic Thin Shells// Advanced Structured Materials. Shell-like Structures. Non-classical Theories and Applications. Springer.2011.Vol. 15. P.91-100. 17. Пальмов В. А. Основные уравнения теория несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 1117-1120. 18. Новацкий В. Теория упругости. М.: Изд-во “Мир”. 1975. 862с. 19. Бабич В.М., Булдырев В.С. Искусство асимптотики//Вестник Ленинградского. ун-та. 1977. №13.Вып. 3. С.5-12. 20. Пелех Б.Л. Концентрация напряжений около отверстий при изгибе трансверсальных изотропных пластин. Киев: Изд-во “Наукова думка”.1977. 183с. 21. Перцев А.К., Платонов Э. Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). Ленинград: Изд-во “Судостроение”. 1987. 316 с. 22. Григоренко Я.М., Василенко А.Т.Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Изд-во “Наукова думка”. 1981. 544с. Сведения об авторе: Саркисян Самвел Оганесович -Чл-корр. НАН Армении, доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. каф.мат. анализа и дифференциальных уравнений Гюмрийского государственного педагогического института им. М. Налбандяна. E-mail: slusin@yahoo.com Поступило в редакцию 30.05.2012

№1

2013

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 539.3

А. Ж. Фарманян МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ МИКРОПОЛЯРНЫX ОРТОТРОПНЫX УПРУГИX ТОНКИX ОБОЛОЧЕК Բանալի բառեր՝ միկրոպոլյար, առաձգական, օրթոտրոպ, բարակ, թաղանթ, դինամիկա, մաթեմատիկական մոդել: Ключевые слова: микрополярный, упругий, ортотропный, тонкий, оболочка, динамика, математическая модель. Keywords: micropolar, elastic, orthotropic, thin, shell, dynamics, mathematical model. В работе на основе метода гипотез, который имеет асимптотическое обоснование, построена общая математическая модель динамической деформации микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек. Введение. Микрополярная теория упругости в настоящее время трактуется как континуальная модель деформируемого твердого тела с учетом внутренней атомной структуры [1-3].С этой точки зрения особенно актуально построение математических моделей микрополярных упругих тонких балок, пластин и оболочек. Обзоры работ в этом направлены осуществлены в работах [4-6]. В работах С.О.Саркисяна [7-10] построены общие модели статики и динамики микрополярных изотропных упругих тонких балок,пластин и оболочек. В работе [11] построена модель статической деформации микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек. В данной работе развивается подход работ [7-11] и построена модель динамического деформирования микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек. 1.Постановка задачи. Рассмотрим оболочку постоянной толщины 2h как трехмерное упругое ортотропное микрополярное тело. Будем исходить из основных уравнений пространственной динамической задачи линейной микрополярной теории упругости для ортотропного материала с независимыми полями перемещений и вращений [12, 13]. Уравнения движения  H 2  11     1  H  

2 1



 H

H 1 21   2



 H 1 H 2   3

 2V 1 , t 2



H 1  12  H  2

H 1  13   3

 H 2 12    H 1 22    H 1 H 2 32   H 2  21  H 1 H 2  23   1  2  3  1  3

H1  2V  11  H 1 H 2  22 ,  2 t  H 2 13    H 1 23    H 1 H 2 33   H 2 H 1  11  H 1 H 2  22   1  2  3  3  3



 2V3  H1H 2  , t 2  H 2 11    H 1  21    H 1 H 2  31   H 1 12  H 2 H 1 13   1  2  3  2  3

H 2  2  22  H 1 H 2  23   32   H 1 H 2 J 2 1 ,  1 t  H 2 12    H 1  22    H 1 H 2  32   H 2  21  H 1 H 2  23   1  2  3  1  3



(1.1)

H 1  2 2 11  H1 H 2  31   13   H 1 H 2 J ,  2 t 2

 H 2  13    H 1  23    H 1 H 2  33   H 2  H 1  11  H 1  H 2  22   1  2  3  3  3

 H 1 H 2  12   21   H 1 H 2 J

 2 3 . t 2

Физические соотношение упругости [14]

 11  a11 11  a12 22  a13 33 ,

 22  a12 11  a 22 22  a 23 33 ,

 33  a13 11  a 23 22  a 33 33 ,

 23  a 44 23  a 45 32 ,  32  a 45 23  a 55 32 ,  31  a~55 31  a 56 13 ,

 13  a 56 31  a 66 13 ,  12  a 77  12  a 78 21 ,  11  b11  11  b12  22  b13  33 ,

 22  b12  11  b 22  22  b 23  33 ,

 33  b13  11  b 23  22  b33  33 ,

 23  b 44  23  b 45  32 ,

 32  b 45  23  b55  32 , ~  31  b55  31  b56 13 ,

 13  b56  31  b66  13 ,

 11 

(1.2)

 21  a 78 12  a 88 21 ,

 12  b77  12  b78  21 , Геометрические соотношения

 21  b78 12  b88  21 .

1 V1 1  Н1 1 1 V 2 1 Н 2 1  V2  V3 ,  22   V  V , Н 2  2 Н1Н 2 1 1 R2 3 Н 1   1 Н 1 Н 2  2 R1

V 3 ,  3

 33 

1 V3 1  V  1 , H 2  2 R2 2

 23 

 32 

V 2  1 ,  3

13 

1 V3 1  V1  2 , H1 1 R1

12 

1 V2 1 H1 1 V1 1 H 2  V1  3 ,  21   V  3 , H1 1 H1H 2  2 H 2  2 H1H 2 1 2

11 

1 1 1 H1 1     , H1 1 H1H 2  2 2 R1 3

 22 

1 2 1 H 2 1     , H 2  2 H1H 2 1 1 R2 3

 32  12 

 2 ,  3

13 

 31 

V1  2 ,  3

(1.3)

 33 

1 3 1   , H1 1 R1 1

1  2 1 H1   , H 1  1 H 1 H 2   2 1

 21 

 3 ,  3

 31 

 1  3

 23 

1 3 1   , H 2  2 R2 2

1 1 1 H 2   . H 2   2 H 1H 2  1 2

Здесь ˆ , ˆ -тензоры силовых и моментных напряжений; ˆ, ^ -тензоры де-

 

формаций и изгибов-кручений; V ,  -векторы перемещения и свободного поворота точек оболочки; aˆ , bˆ  тензоры упругих постоянных микрополярного орто-

  плотность, J  мера инерции вращения указанного ма-

тропного материала,

териала, H  A  1   3  , H  A  1   3 , H 3  1  коэффициенты Ламе криволи2 2 1 1 R  R  





нейной ортогональной системы координат

1 , 2 , 3 принятой в теории оболо-

чек. Ri  главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочек. К основной системе уравнений (1.1)-(1.3) трехмерной микрополярной теории упругости для ортотропного материала будем присоединить граничные условия. На лицевых поверхностях оболочки α3  h будем считать задаными граничные условия первой граничной задачи микрополярной теории упругости:  31    h   q1 ,  32    h   q 2 ,  33   h   q3 , 3 3 3 (1.4)    31    h   m1 , 32    h   m2 ,  33    h   m3 . 3

На поверхности края оболочки основные типы граничных условий:

 будем рассматривать следующие три

1)Когда заданы силовые и моментные напряжения, 2) когда точки поверхности



закреплены, 3) когда заданы трехмерные смешанные условия типа шарнирного опирания. Кроме граничных условий к системе уравнений (1.1)-(1.3) присоединим также начальные условия, которые необходимо задавать для компонентов векто   V   ров V , ,, . t t Предполагается, что толщина 2h оболочки мала по сравнению с характерными радиусами кривизны Ri  срединной поверхности оболочки. 2.Исходные предположения (гипотезы). Формулируем те предположения (гипотезы), на основе которых будем построить модель микрополярных ортотропных тонких оболочек [7, 8, 11]: I. В качестве исходной примем гипотезу прямой линии, т. е. будем считать, что нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к срединной поверхности до деформации, остается после деформации прямолинейным, но уже не перпендикулярным к деформированной срединной поверхности, а поворачивается на некоторый угол, при этом не изменяя своей длины. Вследствии этого имеем линейный закон изменения перемещений по толщине оболочки:

Vi  ui 1 , 2 , t   3 i 1 , 2 , t ,

V3  w1 , 2 , t ,

i  1,2 .

(2.1)

Будем считать также, что свободные повороты по толщине оболочки изменяются также линейным законом следующего характера:

i  i 1 , 2 , t , 3  3 1 , 2 , t   31 , 2 , t  . (2.2) Здесь ui , w  перемещения, i ,3 -свободные повороты точек срединной поверхности оболочки;  i -полные углы поворота первоначально нормального элемента, а  -представляет собой интенсивность поворота точек трехмерной оболочки вокруг нормали к срединной поверхности;

 33 в обобщенном законе Гука (1.2) для деформаций  ii можно пренебрегать относительно силовых напряжений  11,  22 ; таким же образом, в формулах для изгибов-крученной  i 3 , моментное напряжение  3i можно пренебрегать относительно моментного напряжения i3; II. Силовое напряжение

III. Относительно единицы можно пренебрегать величины вида

3 ; Ri

IV. При определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, сначала для силовых напряжений

 33 примем 41

 3i и моментного напряжения

 3i  

 1 ,  2 , t ,

 33   33  1 ,  2 , t  .

(2.3)

После определения указанных величин, окончательные выражения для функций

 3i и  33 определим как сумму значения (2.3) и результата интегри-

рования соответствующего уравнения равновесия из (1.1). Для последного потребовав условие, что усреденная по толщине оболочки величина была равна нулю. Отметим, что принятая гипотеза для перемещений (2.1), это по сути дела известная кинематическая гипотеза Тимошенко в классической уточненной теории упругих оболочек [15-17]. С этой точки зрения гипотеза (2.1), (2.2) в целом, как в работах [7-11], назовем обобщенной кинематической гипотезой Тимошеенко в микрополярной теории оболочек. 3. Определение компонентов тензоров деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений. В соответствии с принятым законом распределения перемещений (2.1) и свободных поворотов (2.2), подставляя их в геометрические формулы (1.3) и сохраняя в выражениях только линейные члены по α3 , находим

 ii  ii 1,2,t 3Kii 1,2 ,t,  33  0,  ij  ij 1,2 ,t 3Kij 1,2,t, i3  i31,2 ,t, 3i  3i 1,2 ,t,  ii  kii 1 ,  2 , t , 33  k33 1 ,  2 , t ,  ij  kij 1 ,  2 , t ,  3i  0,

 i3  ki3 1 ,  2 , t    3l13 1 ,  2 , t ,

(3.1) (3.2)

где ii 

 Ai 1 u i 1 w  uj  , Ai   i Ai A j   j Ri  Ai 1  i 1   j, Ai   i Ai A j   j

K ii 

ij 

1 u j 1  Ai 1  j 1  Ai i  u i   1  3 , K ij    i   1i  , (3.4) Ai   i Ai A j   j Ai   i Ai A j   j j

i 3   i   1  j , k ii 

 Ai  1  i 1  j  3, Ai   i Ai A j   j Ri

k 33   , li3

3i   i   1i  j ,

k ij 

1   , Ai  i

1  j 1 Ai  i , Ai  i Ai A j  j 1 w u i i   , Ai  i Ri

ki3 

1  3 1  i , Ai  i Ri

(3.5)

i, j  1,2; i  j.

Здесь Γii ,Γij -компоненты тангенциальной деформации, характеризующие деформацию срединной поверхности; величины K ii , K ij ,kii ,kij -характеризуют

изгибную деформацию и скручивание срединной поверхности; Γi 3 ,Γ3i -поперечные сдвиги; ki3 ,k3i -изменение кривизны и кручений в нормальных к срединной поверхности плоскостях; l i 3 -гиперкривизна-или гиперкручение. На основе обобщенного закона Гука (1.2) (имея ввиду также статические гипотезы II), IV)), для силовых и моментных напряжений получим: 0

 ii   ii  1 ,  2 , t    3  ii  1 ,  2 , t  ,  33   33  1 ,  2 , t    3  33  1 ,  2 , t  , 0

 ij   ij  1 ,  2 , t    3  ij  1 ,  2 , t  ,  i3   i 3  1 ,  2 , t  ,

(3.6)

0 1 1 h2  2  3i   3i 1 ,  2 , t    3  3i 1 ,  2 , t    32   3i 1 ,  2 , t  , 2 3  0

 ii   ii  1 ,  2 , t  , 0 1 1 h2  2  33   33  1 ,  2 , t    3  33  1 ,  2 , t    32    33 1 ,  2 , t , 2 3 

 ij   ij  1 ,  2 , t  ,  3i   3i  1 ,  2 , t    3  3i  1 ,  2 , t  , 0

 i 3   i 3  1 ,  2 , t    3  i 3  1 ,  2 , t  , где 0

 11  1

 11  0

 22  1

 22  0

 12  1

 12  0





 21 

а 22 а12 11  22 , 2 2 а11а 22  а12 а11 а 22  а12

а 22 2 а11а 22  а12

а11 2 а11а 22  а12 а11 2 а11а 22  а12 а88 2 а77 а88  а 78 a88 2 a 77 a88  a78

а 77 а 77 а 88 

2 а 78

а77 2 а77 а88  а78

К 11  22  К 22  12  К12   21 

К 21 

а12 2 а11а 22  а12 а12 2 а11а 22  а12 а12 2 а11а 22  а12 а 78 2 а 77 а88  а78 а 78 2 а77 а88  а 78

а 78 2 а 77 а 88  а 78

а78 2 а 77 а88  а78

К 22 , 11 , К 11 , 21 , К 21 , 12 ,

К 12 , 43

(3.7)

0 а~55 а56  13  ~ 13  ~ 31 , 2 2 а55 а 66  а56 а551а 66  а 56 0 а 66 а56  31  31  13 , 2 2 ~ ~ а66 а55  а 56 а 66 а55  а56 0 а55 а 45  23  23  32 , 2 2 а 44 а 55  а 45 а 44 а55  а 45 0 а 45 а 44  32  32  23 , 2 2 а 44 а55  а 45 а 44 а55  а 45

 0   0   A     A1  21  11  2 1 1  1     1 A1 0  1 0   31    12 13 A1 A2 1 A1 A2  2 A1 A2  2 R1

 2U 1 1 A2 0  22   , A1 A2  1 t 2 1 1      A   A    11  21  2 1 2 1 1      1 A1 1   31   12 A1 A2  1 A1 A2  2 A1 A2  2 



 2 1 A2 1  22   2 1 , A1 A2  1 t

 32 

 0   0  0  A2  12   A1  22  1  1  1 A2 0  23       21   A1 A2 1 A1 A2  2 A1 A2 1 R2

 2U 2 1 A1 0  11   , A1 A2  2 t 2

 32

1    1   A2  12   A1  22  1   1    1 A2 1   21 A1 A2 1 A1 A2  2 A1 A2  1

 2 2 1 A1 1   11   , A1 A2  2 t 2  0   0   A   13    A  23    2 1 1  2 1  1    1 0  1 0    w  q3  q3 ,  33    11 22 A1 A2 1 A1 A2 2 R1 R2 2h t 2 0

 33 

q 3  q 3 , 2

 3i 

m i  m i , 2

(3.8)

b22 b33  b23 b32 b b  b12 b33 b b  b13 b22 k11  13 32 k 22  12 23 k 33 ,    b b  b 21 b32 b b  b13 b31 b b  b 23 b11  23 31 k11  11 33 k 22  13 21 k 33 ,    b b  b31 b 22 b b  b11 b32 b b  b12 b 21  21 32 k11  12 31 k 22  11 22 k 33 ,   

 11  0

 22 0

 33

i i i b11 b12 b13 i i i   b12 b22 b23 , i i i b13 b23 b33 0

 12 

b88

b78

k 21 , 2 2 b77 b88  b78 b77 b88  b78 0 b77 b78  21  k 21  k12 , 2 b77b88  b78 b77b88  b782 0

 13  1

 31

1 k 13 , b 66

k12 

 13 

1 l13 , b66

 23 

1 k 23 , b44

 23 

1 l 23 , b 44

0    0  0   A2  11    A1  21  1 1 1 A1 0  13 1 A2 0         12    22  A1 A2  1 A1 A2  2 A1 A2  2 R1 A1 A2  1

0  2 1 m1  m1 0     23   32   J  , t 2 2h  

 32

0     A2  12  1   1  A1 A2  1 A1 A2

0  2 2 m 2  m 2  (3.9)   13   J  , t 2 2h  0 0       A2  13    A1  23  2 1 1      1 0  1 0   0  0   J   3 ,  12 21   11 22 A1 A2  1 A1 A2  2 R1 R2 t 2  

 0    1

 33 2

 33

 0  0   A1  22     1 A2 0   23  1 A1 0  21 11  2 A1 A2  1 R2 A1 A2  2

1 1       A2  13    A1  23  1 1       1  1   12 A1 A2  1 A1 A2  2 

 2   J 2 . t 

4. Основная система уравнений, граничные и начальные условия прикладной теории динамики микрополярных упругих ортотропных тонких оболочек. С целью приведения трехмерной задачи микрополярной теории упругости к двумерной, что уже выполнено для перемещений, деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, в теории микрополярных упругих оболочек вместо компонент тензоров силовых и моментных напряжений вводим

статически эквивалентные им интегральные характеристики-усилия Tii , Sij , Ni3, N3i , моменты M ii , H ij , Lii , Lij , Li 3 , L33 и гипермоменты  i 3 , которые с учетом предположения III) выражаются следующим образом [7,8]: h

  ii d 3 , S ij 

  ij d 3 ,

h h

h

Tii 

  3 ij d 3 ,

Lii 

Li 3 

h

  3i d 3 ,

  ii d 3 , Lij 

  ij d 3 ,

h

h h

  33 d 3 ,

N 3i 

h

h h

L33 

  i 3 d 3 , h

  3 ii d 3 , H ij 

M ii 

N i3 

(4.1)

h

  i 3 d 3 ,

 i3 

h

  3  i 3 d 3 . h

Основная система уравнений динамики микрополярных упругих ортотропных тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет выражатся так: Уравнения движения 1 T11 1 A2  T11  T22   1 S 21  1 A1 S 21  S12   N13  A1 1 A1 A2  1 A2  2 A1 A2  2 R1





  q1  q1  2h

 2 u1 t 2

1 T22 1 A1  T22  T11   1 S12  1 A2 S12  S 21   N 23  A2  2 A1 A2  2 A1 1 A1 A2 1 R2





q 2

 q2

 2h

 2u 2 t 2

1 M11 1 A2  M11  M 22   1 H 21  1 A1 H 21  H12   N31  A1 1 A1 A2 1 A2  2 A1 A2  2



2 h 3  2 1  , 3 t 2 1 A1  M 22  M11   1 H12  1 A2 H12  H 21   N32  A1 A2  2 A1 1 A1 A2 1



  h q1  q1 

1 M 22 A2  2

2 h 3  2 2  , 3 t 2 1    A2 N 13    A1 N 23   T11 T 22 2w        q  q  2 h  , 3 3   A1 A 2    1   2  R1 R2 t 2





  h q 2  q 2 





1 L11 1 A2  L11  L22   1 L21  1 A1 L21  L12   L13  A1 1 A1 A2 1 A2  2 A1 A2  2 R1

 N 23  N 32   



m1

 m1

 2hJ

 2 1

, t 2 1 L22 1 A1 1 A2 L22  L11   1 L1246 L12  L21   L23    A2  2 A1 A2  2 A2 1 A1 A2 1 R2

(4.2)





  N 31  N 13    m 2  m 2  2 hJ

 2 2 , t 2

23 1  A2 L13 1  A1L23  L11 L22       S12  S21   m3  m3  2hJ 2 , A1 A2 1 A1 A2 2 R1 R2 t





1  A213  1  A123  2 3 2     H12  H21   L33  h m3  m3  h J 2 . A1 A2 1 A1 A2 2 3 t





Физические соотношения упругости

T11  C1111  C1222 , T22  C2222  C1211, S12  C88 12  C 78 21 , ~ S 21  C 77 21  C 78 12 , N13  C5513  C56 31 , N 31  C 66 31  C 56 13 , (4.3) N 23  C55 23  C 45 32 , N 32  C 44 32  C 4523 , M 11  D11K11  D12 K 22 , M 22  D22 K 22  D12 K11, H 12  D88 K12  D78 K 21 , H 21  D77 K 21  D78 K 12 , L11  d11k11  d12 k 22  d13k 33 , L22  d 22 k 22  d12 k11  d 23k 33 , L33  d 33k 33  d13k11  d 23k 22 , L12  d 88 k12  d 78 k 21 , L21  d 77 k 21  d 78 k12 , (4.4) L13  d 66 k13 , L23  d 44 k 23 , 13  66 l13 ,  23  44l 23 . Геометрические соотношения (т.е. соотношения (2.6), (2.7))

11 

1 u1 1 A1 w  u2  , A1  A1 A2  2 R1

22 

1 u 2 1 A2 w  u1  , A1  2 A1 A2 1 R2

1  1 1 A1 1  2 1 A2   2, K 22    1, A1 1 A1 A2  2 A2  2 A1 A2 1 1 u 2 1 A1 1 u1 1 A2 12   u1   3 , 21   u2  3 , A1  1 A1 A2  2 A2  2 A1 A2 1 1  2 1 A1 1  1 1 A2 K12    1  , K 21    2  , A1 1 A1 A2  2 A1  2 A1 A2 1 K11 

23  2  1 , 2   k11 

1 w u 2  , A2  2 R2

1  

13  1  2 , 31  1  2 ,

1 w u1  , A1 1 R1

 1  1 1 A1  2  3 , A1   1 A1 A2  2 R1

k33  , k12  k13 

32   2  1 ,

(4.5)

k 22 

 1  2 1 A2  1  3 , A2  2 A1 A2 1 R2

1 1 1 A2 1  2 1 A1  2 ,  1 , k 21  A2  2 A1 A2 1 A1  1 A1 A2  2

1  3 1 1 3  2 1  1   , k 23   , l13  , l 23  . A1 1 R1 A2  2 R 2 A1  1 A2  2

Здесь

(4.6)

C11  2h

a 22

, C12  2h

a12

, C 22  2 h

a11

, 2 a11a 22  a11a 22  a12 a88 a 78 a77 C88  2h , C78  2h , C 77  2h , 2 2 2 a 77 a88  a 78 a 77 a88  a78 a77 a88  a78 a55 a66 a56 C55  2h , C66  2h , C56  2h , 2 2 2 a 44 a55  a 45 a55a66  a56 a~55 a66  a56 a~55 ~ a45 a 44 C  2 h , C 45  2h , C  2 h , 55 44 2 2 2 a~55 a66  a56 a 44 a55  a 45 a 44 a 55  a 45 2 a12

a12 a11 2 2 D12   h 3 , D22  h 3 , 2 2 3 a11a 22  a12 3 a11a22  a12 a78 2 3 a 88 a77 2 , D77  2 h 3  h3 , D78   h , 2 2 2 3 a77 a88  a 78 3 3 a77 a88  a78 a 77 a 88  a 78

D11  D88

2 a11a 22  a12

a 22 2 3 h , 2 3 a11a22  a12

2 b22b33  b23 b b b b b b b b d11  2h , d 12  2h 13 23 12 33 , d13  2h 12 23 13 22 ,    2 b11b33  b13 b b b b b b  b23b11 , d 22  2h 23 31 21 33 , d 23  2h 13 12 , d 33  2h   

d 88  2h

d 66  2h

b88 2 b77 b88  b78

1 , b66

d 78  2h

d 44  2h

1 , b44

b78 2 b77 b88  b78

 66 

d 77  2h

2 3 1 h , 3 b66

b77 2 b77 b88  b78

 44 

2 3 1 h . 3 b44

К основным уравнениям (4.2)-(4.6) микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек присоединим соответствующие граничные условия (при 1  const ) [7,8]: * * * T11  T11 или u1  u1*, S12  S12 или u2  u2*, N13  N13 или w  w*, * * * * M11  M11 или K11  K11 , H12  H12 или K12  K12 , * * L11  L*11 или 11  11 , L12  L*12 или 12  12 ,

(4.7)

* * L13  L*13 или 13  13 , 13  *13 или l13  l13 .

Начальные условия (при t  0 ) необходимо задавать для u 1 ,

u1 u , u2 , 2 , t t

ψ ψ  Ω1 Ω Ω w ι ,ψ 1 , 1 ,ψ 2 , 2 ,Ω1 ,Ω 2 , 2 ,Ω 3 , 3 ,ι, . t t t t t t t Уравнения (4.2)-(4.6), граничные условия (4.7) и отмеченные начальные условия составляют общую математическую модель динамического деформироw,

вания микрополярных ортотропных упругих тонких оболочек с независимым полями перемещений и вращений. На основе этой построенной общей теории в дальнейшем будут рассмотрены конкретные задачи о свободных и вынужденных колебаниях микрополярных ортотропных цилиндрических оболочек, оболочек вращения и пологих оболочек.

Ա.Ժ.Ֆարմանյան Միկրոպոլյար օրթոտրոպ առաձգական բարակ թաղանթների դինամիկայի մաթեմատիկական մոդելը Աշխատանքում վարկածների մեթոդի օգնությամբ, որն ունի ասիմպտոտիկ հիմնավորում, կառուցված է միկրոպոլյար օրթոտրոպ առաձգական բարակ թաղանթի դինամիկական դեֆորմացիայի ընդհանուր մաթեմատիկական մոդելը:

A.J. Farmanyan Mathematical Model of Dynamic Micropolar Orthotropic Elastic Thin Shells In the present paper on the basis of asymptotically confirmed hypotheses method general mathematical model of dynamic deformation of micropolar orthotropic elastic thin shells is constructed.

Литература 1. Физическая мезомеханика и компьюторное конструирование материалов// Отв. ред. В. Е. Панин. Новосибирск: Наука. 1995. Т.1. 298с. Т. 2. 320 с. 2. Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Получение макроскопических соотношений упругости сложных кристаллических решеток при учете моментных взаимодействий на микроуровне//Прикладная математика и механика.2007. Т. 71. Вып. 4. С. 595-615. 3. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во МГУ. 1999. 328с. 4. Саркисян С.О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочек// Известия НАН Армении. Механика. 2005.Т.58.N2. С.84-95. 5. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V. A. 2009. “On generalized Cosserat-tape theories of plates and shells: a short review and bibliography”. // Arch. Mech (Special Issue) DOI 10. 1007/s 00419-009-0365-3. Springer-Verlag. 6. Altenbach H., Eremeyev V.A. On the linear theory of micropolar plates//Z. Anqew. Math. Mech. (ZAMM). 2009. Vol. 89. № 4. P.242-256. 7. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек//Физическая Мезомеханика. 2011. Том 14. № 1. С. 55-66. 8. Саркисян С.О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек// Доклады Академии Наук России. 2011.Том 436. N2. С.195-198.

9. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик// Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т.53. Вып. 2. С. 148-156. 10. Sargsyan S.H. Effective Manifestations of Characteristics of Strength and Rigidity of Micropolar Elastic Thin Bars// Journal of Materials Science and Engineering. 2012. Vol.2. N1. P.98-108. 11. Саркисян С.О., Фарманян А.Ж. Математическая модель микрополярных анизотропных (ортотропных) упругих тонких оболочек//Вестник Перьмского Национальноисследовательского Политехнического университета. Механика. 2011. N3. С. 128-145. 12. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 862с. 13. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 401-408. 14. Iesen D. Torsion of Anisotropic Micropolar Elastic Cylinders//ZAMM. 1974. Vol. 54. № 12. P. 773-779. 15. Перцев А.К., Платонов Э. Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). Ленинград: “Судостроение”. 1987. 316 с. 16. Пелех, Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Изд.-во “Наукова думка”. 1973. 248с. 17. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Теория оболочек переменной жесткости. Киев: Наукова думка. 1981. 544с. Сведения об авторе: Фарманян Анаит Жораевна - Кандидат физ.-мат. наук, доцент, проректор по науки и внешних связей Гюмрийского государственного педагогического института им. М. Налбандяна. E-mail: afarmanyan@yahoo.com Поступило в редакцию 25.05.2012

2013

№1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 539.3

А. А. Саркисян МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ПЛАСТИН С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОЛЯМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ВРАЩЕНИЙ Բանալի բառեր՝ միկրոպոլյար, առաձգական, սալ, ծռում, դինամիկա, մոդել, ալիքներ, բնութագրիչ հավասարում: Ключевые слова: микрополярный, упругий, пластинка, изгиб, динамика, модель, волны, характеристическое уравнение. Keywords: micropolar, elastic, plate, bending, dynamics, model, waves, characteristic equation. В работе построена модель динамического изгиба изотропных микрополярноупругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. В точной постановке трехмерной задачи для слоя микрополярной теории упругости со свободным вращением и на основе построенной двумерной прикладной модели микрополярной пластинки изучена задача о распространении волны. В случае длинных волн показано совпадение характеристических уравнений распространения волны по указанным обеим моделям. Введение. Микрополярная теория упругости является одной из основных феноменологических моделей сред с внутренней структурой. Эффекты микрополярности материала особенно существенны в тонких телах (балки, пластинки, оболочки). Современные достижения в области теории микрополярных тонких балок, пластин и оболочек освещены в работах [1,2]. В работах [3-5] развит метод гипотез построения моделей микрополярно– упругих тонких балок, пластин и оболочек, который опирается на асимптотическом анализе изучения свойств решений плоских и пространственных граничных задач микрополярной теории упругости в тонких областях. В указанных моделях микрополярно–упругих тонких балок, пластин и оболочек полностью учитываются поперечно сдвиговые и родственные им деформации. В данной работе развивается метод гипотез [3-5], на основе которого построена модель динамического изгиба микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. Далее, изучается задача о рас-

пространении плоской волны (в точной постановке) в микрополярно - упругом слое. В длинноволновом приближении показывается совпадение характеристического уравнения распространения волны с аналогичным уравнением, полученном на основании построенной прикладной модели микрополярной пластинки. 1. Постановка задачи. Рассмотрим изотропную пластинку постоянной толщины 2h как трехмерное упругое микрополярное тело. Отнесем пластинку к

n с коэффициентами Ламе H1, H 2 (которые зависят только от i , i  1,2 ) и H3  1. Примем, что срединная плоскость пластинки совпадает с координатной плоскостью 1 2 . Будем исхоортогональной криволинейной системе координат

дить из основных уравнений пространственной динамической задачи линейной микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [6-9]: Уравнения движения H j 1   ii 1 1   ji 1 H i  ( ii   jj )   ( ji   ij )  H i  i H i H j  i H j  j H i H j  j (1.1) 

  3i  2V i    3 t 2

 33  2V3 1  13 1 H 2 1  23 1 H1   13    23   2 H 1 1 H1 H 2 1 H 2  2 H 1H 2  2  3 t  1 ii 1 H j 1  ji 1 Hi  (ii   jj )   ( ji  ij )  3i  Hi i Hi H j i H j  j Hi H j  j 3 2  (1) j ( j3  3 j )  J 2 i t  1 13 1 H 2 1  23 1 H1  13    23  33  H1 1 H1 H 2 1 H 2  2 H1 H 2  2  3

 23  ( 12   21 )  J t 2

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Физико-геометрические соотношения

 ii 

1 Vi 1 H i 1  V j  [ ii  v ( jj   33 )] H i  i H i H j  j Е

V3 1  [ 33  v(11   22 )] 3 Е 1 V j 1 H i      ij   Vi  (1) j 3   ij   ji H i  i H i H j  j 4 4

 33 

(1.5) (1.6) (1.7)

1 V3      (1) j  j   i3   3i H i  i 4 4 V      3i  i  (1) j  j   3i   i3  3 4 4

 i3 

 ii 

(1.8) (1.9)

 1  i 1 H i      j   ii  (  jj   33 )  H i  i H i H j  j  (3  2 )  2(    ) 

 3      ( 11   22 )  33   3  (3  2 )  2(    )  1  j 1 H i      ij   i  ij   ji H i  i H i H j  j 4 4       1 3      i3   i 3  3i , 3i  i  3i  i 3 H i  i 4 4  3 4 4

 33 

(1.10)

(1.11) (1.12) (1.13)

Для граничных условий на лицевых плоскостях пластинки примем граничные условия первой граничной задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений

3n  pn , 3n  mn при 3  h , n  1,2,3

(1.14)

Граничные условия на боковой поверхности пластинки Σ  Σ1  Σ2 , в зависимости от способа приложения внешней нагрузки или закрепления, запишутся либо в напряжениях (силовых и моментных), либо в перемещениях и поворотах, либо в смешанном виде:

σ mnnm  pn, μmnnm  mn* на 1, Vn  Vn , ωn  n на Σ2 , m , n  1, 2,3

(1.15)

* *   где pn , mn  компоненты заданных внешних усилий и моментов на Σ1 ; Vn , n 

заданные компоненты векторов перемещений и независимого поворота на Σ2 . При помощи начальных условий, при t  0 , задаются значения компонентов векторов перемещения, независимого поворота, линейной и вращательной скоростей точек тела:

n

t 0 t 0

 f n (1 ,  2 , 3 ),   n (1 , 2 ,  3 ),

Vn t n t

t 0

 Fn (1 , 2 , 3 ) (1.16)

t 0

  n (1 ,  2 , 3 ), n  1,2,3

Решение начально-краевой задачи (1.1)-(1.16) складывается из суммы решений симметричной и обратно-симметричной по

3 задач (это утверждение

можем доказать таким же подходом, как аналогичное утверждение было доказано в классической теории упругости). В симметричной задаче (плоское напря-

женное состояние пластинки)  ii , ij , 33, i 3 , 3i ,Vi ,3  четные по

3 функции,

а  i 3 ,  3i , ii , ij , 33 , V3 , i  нечетные, в обратно-симметричной задаче (изгиб пластинки) -наоборот (здесь и в дальнейшем, индексы i, j принимают значения 1,2, причем i  j ). В дальнейшем будем рассматривать задачу изгиба полярной пластинки. Отметим, что для задачи изгиба пластинки, граничные условия (1.15) (при

3  h ) примут вид: pi  pi ~ p   p3  pi ,  33   3  ~ p3 2 2   m  mi ~ ,   m3  m3  m ~  3i   i  m i 33 3 2 2

 3i 

(1.17)

2. Модели микрполярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. Будем предполагать, что толщина пластинки 2h мала по сравнению с размером a пластинки в плане, т. е. 2h  a . Ниже будем развивать подход [3-5] для построения динамической модели микрополярных упругих тонких пластин со свободным вращением на основе метода гипотез. Качественные результаты исходного приближения асимптотического метода интегрирования начально-краевой задачи (1.1)-(1.16) [10,11] позволяют, в основе построения двумерной динамической модели микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений формулировать следующие достаточно общие предположения (гипотезы): 1. нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к срединной плоскости пластинки, остается после деформации прямолинейным, но уже не перпендикулярным к деформированной срединной плоскости, свободно вращается на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины. При этом тангенциальные компоненты вектора свободного вращения постоянные функции по толщине пластинки, а нормальная компонента –линейная функция. Вследствие этого примем следующий линейный закон изменения перемещений и свободных вращений:

Vi  3i (1,2, t ), V3  w(1,2 , t ), i  i (1,2 , t ), 3  3 (1, 2 , t )

(2.1)

где  i -полные углы поворота; i -некоторые свободные повороты первоначально нормального элемента вокруг осей плоскости пластинки в направлении

 i ; w -перемещение точек срединной

3 ;  -интенсивность свободного поворота

3 вдоль оси 3 ;

2. в физических соотношениях (1.5),(1.6) силовое напряжение пренебрегать относительно силовых напряжений

 33 можем

ii ;

3. при определении деформаций, изгиба -кручений, силовых и моментных напряжений, для силовых напряжений

 3i и моментного напряжения 33

сначала примем 0

 3i   3i (1 ,  2 , t ), 33   33 (1 ,  2 , t )

(2.2)

 3i и 33 окончательно определим, как сумму значений (2.2) и результатов интегрирования по 3 соотПосле определения указанных величин, значения

ветствующих уравнений движения (1.1),(1.4), требуя условия, чтобы усредненные по толщине пластинки их величины были равны нулю. В соответствии с принятой кинематической гипотезой (2.1) приступим к вычислению деформаций и изгиба-кручений. Рассматривая формулы (1.8),(1.9) для деформаций

 i3 ,  3i (необходимо

рассматривать геометрические уравнения), с учетом (2.1) получим:

 i3  i3 (1, 2 , t ) ,  3i  3i (1, 2 , t )

(2.3)

где

3i   i  (1) j  j , i 3 

1 w  (1) j  j Ai  i

(2.4)

Из уравнений (1.5) (рассматривая геометрические уравнения), учтя формулы (2.1), для деформаций

 ii получим:

 ii  3 Kii (1, 2 , t )

(2.5)

где

Kii 

1  i 1 Ai  j Ai  i Ai Aj  j

(2.6)

Если рассмотрим те же формулы (1.5) (но теперь в виде законов упругости), примем в виду формулы (2.5) и используем гипотезу 2), для силовых напряжений

ii получим следующие формулы:

E (2.7) ( K ii  vK jj ) 1 v2 При помощи уравнения (1.6) и на основе формул (2.1) деформация  33 (рассматривая геометрическое уравнение) получается нулевым:  33  0 (2.8)

 ii  3ˆ ii (1, 2 , t ) , ˆ ii ( 1 ,  2 , t ) 

При помощи уравнений (1.7) для деформаций  ij (рассматривая геометрические уравнения), на основе формул (2.1), будем иметь:

 ij   3 K ij (1 ,  2 , t )

(2.9)

где

Kij 

1  j 1 Ai   i  (1) j Ai i Ai A j  j

(2.10)

Из тех же уравнений (1.7) (рассматривая физические соотношения), если учтем формулы (2.9), для силовых напряжений  ij получим:

 ij   3ˆij (1 ,  2 , t ) , ˆ ij (1 , 2 , t )  (   )K ij  (   ) K ji

(2.11)

Из уравнений (1.8), (1.9) (рассматривая физические уравнения), с учетом предположения 3), для силовых напряжений

 i 3 и  3i0 будем иметь:

 i3  (   )i3  (   )3i ,  30i  (   )3i  (   )i3

(2.12)

Если рассмотрим уравнение движения (1.2), с учетом предположения 2) и формул (2.12), для силового напряжения

 33 получим:

 1 13 1 A2 1  23 1 A1 2w  33  3  13   23   2  A2 2 A1A2 2 t   A1 1 A1A2 1

(2.13)

Рассмотрим геометрические уравнения из (1.10). Принимая во внимание соответствующие кинематические формулы из (2.1), для

ii  ii (1 ,  2 , t ) 

ii получим:

1 i 1 Ai  j Ai i Ai Aj  j

(2.14)

Теперь рассмотрим те же уравнения (1.10), только сейчас рассмотрим соответствующие физические соотношения. Учтя предположение 3) относительно моментного напряжения

33 , для моментных напряжений ii будем иметь:

4 (    ) 2   0 (2.15)  ii   jj   33   2   2   2 Далее, примем во внимание геометрические соотношения из уравнений (1.12), с учетом формул (2.1), для изгибов-кручений ij получим:

 ii 

ij   ij (1, 2 , t ) 

1  j 1 Ai  i Ai i Ai A j  j

(2.16)

Из тех же уравнений (1.12), рассматривая физические соотношения, для моментных напряжений ij будем иметь:

 ij  (   ) ij  (   ) ji

(2.17)

Рассматривая геометрическое уравнение из (1.11) для

33 , с учетом

соотношений (2.1) получим:

33   (1,  2 , t )

(2.18)

Рассматривая физическое уравнение из (1.11), с учетом соотношений (2.15) получим: 0 33  (   2 )   (11   22 )

(2.19)

Принимая в виду геометрические уравнения из (1.13) для

 3i и  i 3 , с

учетом соотношений (2.1), будем иметь:

3i  0 ,  i3  3li3 (1 , 2 , t ) , li 3 

1  Ai  i

(2.20)

Кроме того, из тех же уравнений (1.13), если взять физические уравнения и учесть соотношения (2.20), а также соответствующие формулы величин моментных напряжений

3i , для

i 3 получим следующие формулы:

~   4   m i i 3   3  li 3         h  

(2.21)

Рассмотрим уравнения движения (1.3). С учетом предположения 3) и формулы (2.21), для моментных напряжений

3i будем иметь линейное

распределение по толщине пластинки:

 1  ii 1 A j  3i   3   (  ii   jj )   Ai  i Ai A j  i 1  ji 1 Ai  2 i    (  ji   ij )  (  1) j ( j 3   3 j )  J  A j  j Ai A j  j t 2 

(2.22)

Теперь, когда все величины определены, перейдем к выполнению второй части предположения 3). Приступим к полному определению силовых касательных напряжений

 3i и моментного нормального напряжения 33 .

Для этого рассмотрим уравнения движения (1.1). После интегрирования по

3 , получим 32  1 ˆ ii 1 A2   (ˆ ii  ˆ jj )  2  A1 1 A1 A2 1  2 i  1 ˆ ji 1 A1   (ˆ ji  ˆij )   2 A2  2 A1 A2  2 t 

 3i (1,  2 , 3 , t )  ˆ 3i (1 , 2 , t) 

(2.23)

По предположению 3), будем требовать от величин (2.23) выполнения условий h

  3i (1, 2 , 3 , t )d 3  0

(2.24)

h

Удовлетворяя условия (2.24), в итоге определим величины ˆ 3i (1 ,  2 , t ) . Определяя таким образом ˆ 3i (1 ,  2 , t ) и подставляя их в (2.23), получим значения для

 3i (1,2 ,3 , t ) .

Теперь по предположению 3), окончательно для



 3i будем иметь:



3i (1,2,3,t)  30i (1,2,t)  h2 6 32 2   1 ˆ ˆ ji (2.25) 1 A1 2i  ii  1 A2 (ˆ ˆ )  1 ˆ ˆ   (    )   ii jj ji ij 2  A1 1 A1A2 1 A2 2 A1A2 2 t   Формулы (2.25) дают распределение силовых напряжений  3i по толщине пластинки (квадратичный закон). Рассмотрим уравнение движения (1.4). После интегрирования по

3 ,

получим

 32  1 ˆ13 1 A2  ˆ13   2  A1 1 A1 A2 1 1 ˆ 23 1 A1  2    ˆ 23  (ˆ 12  ˆ 21 )  J 2  A2  2 A1 A2  2 t 

 (1 ,  2 ,  3 , t )  ˆ 33 (1 ,  2 , t )   33

(2.26)

По предположению 3), потребуем от величин (2.26) выполнения условия h

 33 (1, 2 , 3 , t )d 3  0

(2.27)

h

Удовлетворяя условие (2.27), в итоге определим величину ˆ 33 (1,  2 , t ) ,

 (1,  2 , 3 , t ) . подставим ее в (2.26), получим значение для 33 Теперь по предположению 3), окончательным образом, для значения 33 будем иметь:

 h 2  2  1 ˆ13 1 A2 33 (1 , 2 , 3 , t )  330 (1 , 2 , t )    3   ˆ13  6 2 A   A A   1 1 1 2 1   1 ˆ 23 1 A1  2    ˆ 23  (ˆ12  ˆ 21 )  J 2  A2  2 A1 A2  2 t 

(2.28)

Формулы (2.28) дают распределение моментного напряжения 33 по толщине пластинки (квадратичный закон). Принимая в виду соответствующие граничные условия (1.14), при помощи формул (2.13) и (2.22) для нормального силового напряжения ных напряжений

3i будем иметь: 58

 33 и момент-

 1 13 1 A2 1  23 1 A1 2 w    33  3  13    23   2   3 ~p3 A2 2 A1A2 2 t  h  A1 1 A1 A2 1  1 ii 1 A j 3i   3   (ii   jj )   Ai  i Ai Aj  i 

(2.29)

 2i   3 ~ 1  ji 1 Ai  (  ji   ij )  (1) j ( j 3   3 j )  J mi  A j  j Ai A j  j t 2  h

С целью приведения трехмерной задачи (1.1)-(1.13) к двумерной, вместо компонент тензоров силового и моментного напряжений, перейдем к статически эквивалентным интегральным по толщине пластинки характеристикам: h

Tii    ii d3 , Sij    ij d 3 , N i 3    i 3d 3 (i  3) , М ii   ii3d3 h

h h

h

h h

M ij    ij 3 d 3 , Lmn    mn d 3 , (m, n  1,2,3) ,  i 3   i 3 d 3 (i  3) h

h

Итак, основная система уравнений модели динамического изгиба микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться следующим образом: Уравнения движения

1  ( A2 N13 ) ( A1 N 23 )  2w ~   2  h  2 p3   A1 A2  1  2  t 2  1 M ii  1 Aj 1 M ji 1 Ai N3i    (M ii  M jj )   (M ji  M ij )    A   Ai Aj  i Aj  j Ai Aj  j i  i  3 2 2h   i   2h~ pi 3 t 2 1 Lii 1 A j 1 L ji 1 Ai  ( Lii  L jj )   ( L ji  Lij )  Ai  i Ai A j  i A j  j Ai A j  j 2

 i ~  2m i 2 t  1  ( A2 13 ) ( A1 23 )   2 Jh3  2 ~ L33     2hm    (M12  M 21 )  3 2  2  3 t  A1 A2  1   () j ( N j 3  N 3 j )  2 Jh

Физические соотношения

Ni3  2h[(   )i3  (   )3i ], N3i  2h[(   )3i  (   )i3 ] 59

(2.30)

M ii 

2Eh3 2h3 ( K  vK ), M  [(   ) Kij  (   ) K ji ] ii jj ij 3 3(1  v 2 )

(2.31)

 4 (   )  2  Lii  2h ii   jj   L33, Lij  2h[(   )ij  (   ) ji ]   2    2    2    3 ~ 2h  4    mi  i 3  li 3   , L33  2h[(   2 )   (11   22 )] 3      h  Геометрические соотношения

Kii 

1  i 1 Ai 1  j 1 Ai   j , Kij    i  (1) j  Ai i Ai Aj  j Ai i Ai A j  j

1 w  (1) j  j Ai  i 1 i 1 Ai 1  j 1 Ai 1   ii    j ,  ij   i , li3  Ai i Ai Aj  j Ai  i Ai Aj  j Ai  i 3i   i  (1) j  j , i 3 

(2.32)

К системе уравнений (2.30)-(2.32) микрополярных упругих тонких пластин присоединим “смягченные” граничные условия на граничном контуре срединной плоскости пластинки (например, при



1  const ):

* * * * * M11  M11 или K11  K11 , M12  M12 или K12  K12 , N13  N13 или w  w* * * * * * L11  L*11 или 11  11 , L12  L12 или 12  12 , 13  13 или l13  l13

(2.33)

К системе основных уравнений микрополярных пластин со свободным вращением (2.30)-(2.32) и граничным условиям (2.33) присоединим также

w  i  i  , i , , i , , . t t t t Система уравнений (2.30)-(2.32), граничные условия (2.33) и указанные начальные условия представляют собой математическую модель микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений, при которой полностью учитывались поперечные сдвиговые и родственные им деформации. Это система 12-ого порядка с 6-ю граничными условиями на каждом краю срединной плоскости пластинки. Она содержит 35 уравнений относительно 35 неизвестных функций: Ni3 , N3i , Mii , Mij , Lii , Lij , i3 , L33, i 3 , 3i , Kii , Kij , соответствующие начальные условия для w,

ii ,ij , li3, i , w, i , .Можно констатировать, что построенная модель микрополярных упругих пластин имеет математическое (асимптотическое) обоснование. Отметим, что при   0 , из системы (2.30)-(2.32), граничных условий (2.33) и из указанных начальных условий отделяется система уравнений, граничные и начальные условия классической теории упругих пластин типа Тимошенко

[12,13] (с некоторым несущественным отличием, обусловленной статической гипотезой 3)). Основные уравнения микрополярных пластин со свободным вращением в декартовых координатах ( A1  A2  1) относительно w , i , i и  выражаются так:

    2 1   2  p  2w ~   2     2  3 (    ) 2 w  (    ) 1   x 2  x 2  t h  x1  x1 w Eh 2   2 1  2 2  (    ) 1  (    )  2  2   v   x1 3(1  v 2 )  x12 x1 x 2  h2   2 1  2 2   h 2  2 1 ~   (   )  2  p1 (    )  3  x 22 x1 x 2 x 2  3 t 2 w Eh 2   2 2  2 1  (    ) 2  (    )  21   v   x 2 3(1  v 2 )  x22 x1 x2    2 2  2 1   h 2  2 2 ~ (    )  (    )  2   p2   x12 x1 x 2 x1  3 t 2   w   2  2  22 (  2 ) 2 1  (   ) 2 1  (     )  2  2  21   x1 x2 x1 x2  x2  2 ~  m    J 21  1 x1 h t 

h2 3

(   )

(2.34)

 w   2 2  2 2  2 1  (   2  )  (      )  2   1  22   2 2 x1 x2 x1 x2  x1  2 ~  2 m  2  J  x2 t 2 h

    h2 4 2  Jh2 2 ~ h2    (  2 )   1  2      2  2  1  2    m3 2 3  x1 x2  x1 x2  3     3 t 2 2  2 -двумерный оператор Лапласа  2  2  2 . x1 x2 Если в уравнениях (2.30)-(2.32) пренебрегать моменты M ii , M ij и гипер 2 i  2 моменты i 3 , а также ими обусловленные инерционные члены и , то t 2 t 2 в результате получим упрощенную модель микрополярных пластин [10,11,14]. Основная система уравнений упрощенной динамической модели изгибной деформации микрополярных упругих тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений выражается следующим образом:

Уравнения движения

1 N13 1 A2 1 N 23 1 A1 2w  N13   N 23  2 h 2  2 ~ p3 A1 1 A1 A2 1 A2  2 A1 A2  2 t 1 Lii 1 A j 1 L ji 1 Ai  ( Lii  L jj )   ( L ji  Lij )  Ai  i Ai A j  i A j  j Ai A j  j  ( 1) j ( N j 3

(2.35)

 2i ~  N 3 j )  2 Jh  2m i t 2

Физические соотношения 4   N i 3  2h i 3  N 3i , N3i  2h~ pi , Lij  2h[(γ  ε) ij  (γ  ε ) ji ]    

(2.36)

 4 (   )  2  ~ Lii  2h  ii   jj   L33 , L33  2hm 3   2    2    2 Геометрические соотношения

i 3 

1 w  (1) j  j , Ai  i

 ii 

1 i 1 Ai 1  j 1 Ai   j , ij   i Ai i Ai A j  j Ai i Ai Aj  j

(2.37)

К системе уравнений (2.35)-(2.37) микрополярных упругих тонких пластин присоединим “смягченные” граничные условия на граничном контуре 

1  const ): * или 11  11 ,

срединной плоскости пластинки (например, при * N13  N13

или w  w* ,

L11  L*11

* L12  L*12 или 12  12

(2.38)

w  i , i , . t t В декартовых координатах ( A1  A2  1) основные уравнения микрополярных пластин со свободным вращением относительно перемещения w и поворотов i примут вид: Начальные условия необходимо задать для w,

 2    2      ~ p3     2 w  1  2   4 t  x2 x1 4 h  4 w  4 (    )  2 2 4  2    (    )   J  1     x2    2 x12 x22    t 2  ~  2   2 2 m     1 h    2  x1x2 62

(2.39)

4  w  2    2 1        x1    2  x1x2 ~  4 (    )  2 m 2 4 2  2   (    )   J    2 2 2  2 x1    t  h    2 x2 

3. Задача о распространении волн в бесконечном слое по микрополярной теории упругости со свободным вращением. Рассмотрим упругий слой толщиной 2h ( S{x1, x2 , x3} :    x1, x2  , x3  h) с ограничивающими плоскостями x3  h , свободными от силовых и моментных напряжений. Рассмотрим пространственную задачу трехмерной несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (1.1)-(1.13), когда имеем декартовые координаты ( H1  H2  H3  1). К этим уравнениям следует присоединить граничные условия на плоскостях x3  h

 3n  0, 3n  0 , n  1, 2,3

(3.1)

Основные уравнения микрополярной теории упругости (1.1)-(1.13) можем легко



привести к следующей системе относительно вектора перемещения V и вектора  независимого поворота  :

   L1V  (     ) graddivV  2 rot  0    L2  (      ) graddiv  2 rotV  0

(3.2)

где

L1  (    ) 2   2 

2 x12



2 x22



2

t

t 2

, L2  (   ) 2  4  J 2

2

(3.3)

x32

Далее, из уравнений (3.2) можем получить (в компонентном виде):

 0 xn  L2 ( L1L2  4 22 )n  (     )( L1L2  4 22 ) 0 xn

( L1L2  4 2 2 )Vn  ( L2 (     )  4 2 )

(3.4) (3.5)

где

    divV ,   div

(3.6)

Зададим перемещения и повороты следующим образом [6]:

V1 

 3 2  1 3  2 1   , V2    , V3    x1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 x1 x2 63

(3.7)

O o3 o2 O o1 o3 O o2 o1   , 2    , 3    (3.8) x1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 x1 x2   где  и O -скаляры, а векторы  (1 ,2 ,3 ) , о(о1, о2 , о3 ) удовлетворяют урав-

1 

нениям:

  div  0 , divo  0

(3.9) тогда система уравнений (3.4),(3.5) динамической теории трехмерной задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений можем привести к более удобному виду (для дальнейшего построения точного решения поставленной задачи):    2 1 2  1  2  1 2     2 2   0 ,   2  2 2   2  v02  2 2    02 2 n  0 c1 t  c2 t  c4 t     2 2 2    2 2 1   1   1     v1  2 2 O  0 ,   2  2 2   2  v02  2 2   02 2 on  0 (3.10)       c2 t  c4 t  c3 t     где

  2     2   , c2  , c3  , c4    J J 4 4 2 v0  , v1  , 0      2 (    )(   ) c1 

(3.11)

К уравнениям (3.10) следует присоединить граничные условия (3.1). Решение системы уравнений (3.10) будем искать в виде гармонических волн [6]

   * ( x 3 ) e i (  x1  x 2  pt ) ,

 n   n* ( x 3 ) e i (  x1  x 2  pt )

O  O * ( x 3 ) e i (  x1  x 2  pt ) ,

o n  o n* ( x 3 ) e i (  x1  x 2  pt )

(3.12)

где  , -волновые числа в направлениях x1,x2 , p -частота колебаний. Подставляя (3.12) в (3.10) приходим к решению отдельных обыкновенных дифференциальных

уравнений

относительно

функций

* ( x3 ),n* ( x3 ),

O* ( x3 ), on* ( x3 ) : d 2*  k 2*  0, dx32

d 2O*  K 2O*  0 dx32

(3.13)

d 4 n*  p 2 p 2  d 2 n* 2 2 2 2  2 (    )  v       0 0  dx34  c 22 c42  dx32   p2 p2  p2  p 2   ( 2   2 ) 2  ( 2   2 ) v02   02  2  2   2  v02  2 n*  0 c2 c4  c2  c4   

(3.14)

d 4on* dx34

 p 2 p 2  d 2o*  2( 2  2 )  v02 02  2  2  2n  c2 c4  dx3 

(3.15)

 2 2 2 p 2 p 2  p 2  2 p 2  * 2 2  2 2   (  )  (  ) v0 0  2  2   2  v0  2 on  0 c2 c4  c2  c4    где k   2   2 

p2 , c12

K   2   2  v12 

p2 c32

(3.16)

Общие решения отдельных дифференциальных уравнений (3.13)-(3.15) (для обратно-симметричной относительно координаты x3 задачи, т. е. для задачи динамического изгиба слоя) можем представить в следующем виде:

* ( x3 )  A1sh(kx3 ), O* ( x3 )  B1ch(Kx3 ) * 1

(3.17)

* 1

 ( x3 )  A2 ch(k1 x3 )  B2 ch(k2 x3 ), o ( x3 )  A5 sh(k1 x3 )  B5 sh(k 2 x3 ) * 2

(3.18)

* 2

 ( x3 )  A3ch(k1 x3 )  B3ch(k2 x3 ), o ( x3 )  A6 sh(k1 x3 )  B6 sh(k2 x3 )

(3.19)

3* ( x3 )  A4 sh(k1 x3 )  B4 sh(k2 x3 ), o3* ( x3 )  A7 ch(k1 x3 )  B7 ch(k2 x3 )

(3.20)

где

k12, 2  ( 2   2 )  2    2 1 2 p2 p2 p2 p2  p 2  2 p2   2 2  v0  0  2  2   v0  0  2  2   4 2  v0  2  2 c2 c4 c2 c4  c2  c4      As , Bs (s  1,2,3,4,5,6,7) -произвольные постоянные. Удовлетворяя условия (3.9), получим:

(3.21)

A2 A3 B B3 A A6 B B6 , B4  i 2 , A7  i 5 , B7  i 5 (3.22) k1 k2 k1 k2 Далее, полученные решения для функций ,n , O, on подставим в

A4  i

(3.7),(3.8), а затем удовлетворим уравнениям (3.2). В результате будем иметь

T1 (A2  ( 2  k12 ) A3 ), k1 T1 A6  ((k12   2 ) A2  A3 ), k1 K A2  1 (A5  ( 2  k12 ) A6 ), k1 K1 A3  ((k12   2 ) A5  A6 ), k1 A5 

T2 (B2  ( 2  k 22 ) B3 ) k2 T2 B6  ((k 22   2 ) B2  B3 ) k2 K B2  2 (B5  ( 2  k 22 ) B6 ) k2 K2 B3  ((k 22   2 ) B5  B6 ) k2 B5 

где

(3.23)

(3.24)

T1 

  2

  K1  2

k12   2   2  k12 k12

   2

  

p2 c22

 v02

k12   2 2

p2  2 c4

T2 

  2

p2 c22

k22   2  2 

  K2  2

(3.25)

k22   2  2 k22

  

 v02

k22   2 2

p2  2 c4

(3.26)

Можем убедиться, что соотношения (3.23) и (3.24) равносильны, поскольку

k1,k2 имеют вид (3.21). В результате остаются шесть произвольных постоянных. Отметим, что из полученных соотношений получаются следующие зависимости, которые используются в дальнейшем:

T1K1 (k12  ξ 2  η 2 )  1,

T2 K 2 (k 22  ξ 2  η 2 )  1

(3.27)

В качестве произвольных постоянных выберем An , Bn (n  1,2,3) . Имея ввиду соотношения (3.22)-(3.27), можем представить функции ,n , O, on через выбранные произвольные постоянные. Теперь из (3.7),(3.8) легко получим выражения для перемещений и поворотов: 2 2  А    k1 B V1  iA1sh( kx3 )    2 sh ( k1x3 )  2 sh( k 2 x3 )   A3 sh ( k1x3 )   k1 k2 k1    (3.28)   2  k 22 i (  x   x  pt ) 2  B3 sh( k 2 x3 )  e 1  k2   k2   2 k2  2 V2  iA1sh(kx3 )  1 A2 sh(k1x3 )  2 B2 sh(k2 x3 )  k1 k2   А  B    3 sh(k1x3 )  3 sh(k2 x3 )  ei (x1 x2  pt ) k2  k1 

V3  [ A1kch ( kx 3 )  i ( A2 ch ( k1 x3 )  B2 ch ( k 2 x3 ))   i ( A3ch ( k1 x3 )  B3ch ( k 2 x3 ))] e i ( x1  x 2  pt )   A B 1  iB1ch ( Kx 3 )  2 ch ( k1 x3 )  2 ch ( k 2 x3 ) e i(x1 x 2  pt ) K K 1 2     A B  2  iB1ch ( Kx 3 )  3 ch (k1 x3 )  3 ch ( k 2 x3 ) e i(x1 x 2  pt ) K K 1 2  

 1 3   B1Ksh ( Kx3 )  i (A2  A3 ) sh( k1 x3 )  K 1k1   1 i (B2  B3 ) sh( k 2 x3 )  ei (x1 x2  pt ) K 2 k2 

(3.29)

(3.30) (3.31) (3.32)

(3.33)

Далее, используя соответствующие формулы, получим выражения для величин силовых и моментных напряжений

 31,  32,  33, 31, 32, 33 , а из гранич-

ных условий (3.1), в результате некоторых преобразований, получим алгебраическую однородную линейную систему относительно постоянных An, Bn : (i 2  kch ( kh )) A1  ( 2  ch ( k1h )) A2   ( 2  ch ( k 2 h )) B 2  (  2  2  (    ) p 2 c 22 ) ch ( k1h ) A3   (  2  2  (    ) p 2 c 22 ) ch ( k 2 h ) B3  (  i 2 ch ( Kh )) B1  0 (i 2  kch ( kh )) A1  ( 2  2  (    ) p 2 c 22 ) ch ( k1h ) A2   ( 2  2  (    ) p 2 c 22 ) ch ( k 2 h ) B 2   (  2  ch ( k1h )) A3  (  2  ch ( k 2 h )) B3  (i 2 ch ( Kh )) B1  0 [(   2  ) k 2   ( 2   2 )] sh ( kh ) A1  (  i 2  k1sh ( k1h )) A2   (  i 2  k 2 sh ( k 2 h )) B2  ( i 2  k1sh ( k1h )) A3  (i 2  k 2 sh ( k 2 h )) B3  0 1 1 [(    ) 2  (   ) k12 ] sh ( k1h ) A2  [(    ) 2  (   ) k 22 ] sh ( k 2 h ) B 2  K 1k1 K 2k2 

1 1  (   ) sh ( k1h ) A3   (   ) sh ( k 2 h ) B 3  ( i 2  Ksh ( Kh )) B1  0 K 1k1 K 2k2

1 1  (   ) sh(k1h) A2   (   ) sh(k 2 h) B2  K1k1 K 2k 2  

1 [(   ) 2  (   ) k12 ]sh (k1h) A3  K1k1

(3.34)

1 [(   ) 2  (   )k 22 ]sh(k 2 h) B3  (i 2Ksh( Kh)) B1  0 K 2k2  i 2 

1 1 1 ch ( k1 h ) A2  i 2  ch ( k 2 h ) B 2  i 2 ch ( k1h ) A3  K1 K2 K1

 i 2 

1 ch ( k 2 h ) B3  [(   2 ) K 2   ( 2   2 )] ch ( Kh ) B1  0 K2

Система этих уравнений будет иметь ненулевое решение, если ее определитель равна нулю. В итоге, после довольно громоздких преобразований, приходим к следующему трансцендентному уравнению: F1th(kh)(th(k2h))2  F2th(kh)th(k1h)th(k2h)  F3th(k1h)(th(k2h))2   F4th(kh)(th(k1h))2  F5 (th(k1h))2 th(k2h)  F6th(kh)th(k2h)th( Kh)   F7th(kh)th(k1h)th( Kh)  F8th(k1h)th(k2h)th(Kh)  0

где 1 2 (   2  k 12  p 2 c 22 ) 2 ((    ) p 2 c 22  2  ( 2   2 ))  4  ((   2  ) k 2   ( 2   2 ))((    ) k 22  (   )( 2   2 ))  F1 

 [  2c 22 ( 2   2 )( 2   2  k 12 )  p 2 (   2 )( 2   2  K 2 )]

(3.35)

1 ( 2   2  k12  p 2 c 22 ) 2 ( 2   2  k 22  p 2 c22 ) 2 8k1 k 2

F2 

 ((   2 ) k 2   ( 2   2 ))((    ) p 2 c 22  2 ( 2   2 ))   4 k12 c 22 ( 2   2 )((   ) k 22  (   )( 2   2 ))    2   2  k 22  p 2 c22   1   2  4k 22 c22 ( 2   2 )((   )k12  (   )( 2   2 ))  2 2 2 2      k1  p c2  



2p 2 ((   )( 2   2 )(k12  k 22 )  2(   )k12 k 22 )((  2 )K 2   ( 2   2 ))    2   2  k 22  p 2 c22  F3   2 kk1 ( k12  k 22 )( 2   2 )( 2   2  k 22  p 2 c 22 )   ((   ) k 22  (   )( 2   2 ))  2 2

2 1

(3.36)

 [ 2c (   )(    k )  p (   2 )(    K )] 1 ((    ) p 2 c 22  2  ( 2   2 ))(  2   2  k12  p 2 c 22 ) 2  4 ((   2  ) k 2   ( 2   2 ))((    ) k12  (   )(  2   2 ))  F4 

 [  2 c 22 ( 2   2 )( 2   2  k 12 )  p 2 (   2 )(  2   2  K 2 )]

F5    2 kk 2 ( k12  k 22 )( 2   2 )( 2   2  k12  p 2 c 22 )   ((   ) k12  (   )( 2   2 ))   [  2c 22 ( 2   2 )( 2   2  k 22 )  p 2 (   2 )( 2   2  K 2 )]

F6  p 2  2 k 2 K ( k12  k 22 )( 2   2 )((   2  ) k 2   ( 2   2 ))   ( 2   2  k 22  p 2 c 22 )((    ) p 2 c 22  2  ( 2   2 )) F7   p 2 2 k1 K (k12  k 22 )( 2   2 )((  2  )k 2   ( 2   2 ))   ( 2   2  k12  p 2 c 22 )((    ) p 2 c 22  2  ( 2   2 ))

F8  4 p 2  2 2 kk 1k 2 K ( k12  k 22 ) 2 ( 2   2 ) 2 Если длина волны по сравнению с толщиной слоя велика (т.е. если рассмотрим низкочастотные длинноволновые колебания), то значения kh, k1h, k2h, Kh можно отнести к весьма малым и в уравнении (3.35), можем заменить гиперболические тангенсы их аргументами [15]. Таким образом, проведя некоторые выкладки для задачи изгиба слоя по трехмерной несимметричной теории упругости, из (3.35) получим следующее характеристическое уравнение

 4 (    ) 2  4    (   2 )  Jp 2   (   )( 2   2 ) 2    2    



(3.37)

    2   4   J  (   )  (   2 ) p 2  p 2  J p 0 4   4  

Теперь рассмотрим определяющие уравнения упрощенной двумерной модели микрополярных пластин со свободным вращением, которые имеют вид

~ ~ ~ (2.39) (в которых примем p3  m1  m2  0 ). Для изучения процесса расспрост-

ранения волн изгиба вдоль срединной плоскости пластинки по прикладной модели (2.39), представим решение указанной задачи в виде

~ w  Aei(x1 x2  pt) ,

~ 1  Bei(x1 x2  pt) ,

~ 2  Cei(x1 x2  pt)

(3.38) Подставляя (3.38) в (2.39) и требуя ненулевое решение, в результате приходим к тому же характеристическому уравнению (3.37). Далее, в характеристическом уравнении (3.35), используя разложение гиперболического тангенса в степенной ряд [15], оставим в этом разложении первые две члены. Проведя довольно громоздкие выкладки, получим достаточно сложное по виду и объемное по содержанию уравнение, которое можем написать в следующем эквивалентном компактном виде:

Det a sl  0 , s , l  1, 2 ,3, 4 ,5, 6

(3.39)

где

a11  p 2  (    )( 2   2 ), a12  i(    ) , a13  i(    ) , a14  i2 Eh2 h2 h 2 2 2 2   (   )  p  (   ) a15  i 2 , a16  0, a22  3 3 3(1  v 2 )  Eh 2  h2 h2  a 23   v  (    )  , a  0 , a   2  , a   i 2   24 25 26 2  3 3  3(1  v ) 

a33 

Eh2 3(1  v 2 )

2 

a 35  0, a 36  i 2

h2  h2 2 (    ) 2  p  (    ), a34  2 3 3

(3.40)

2 2 2 h2  , a44  Jp  (   2 )  (   )  4 3

a 45  (      ) , a 46  i , a55   Jp  (   2 )  (   )  4 , a56  i

Jh 2 2 h 2 4 h2 , asl  als , s, l  1,2,3,4,5,6 p  (   2 )  ( 2   2 )  4 3 3   3 Теперь рассмотрим определяющие уравнения двумерной модели микрополярных пластин со свободным вращением (2.34) (в которых примем ~ ~  0, k  1,2,3 ), при которой полностью учитываются поперечные сдвиpk  m k a66 

говые и родственные им деформации, а также, учитываются влияния усредненных моментов от силовых напряжений M ii и M ij .Для изучения процесса распространения волн изгиба вдоль срединной плоскости пластинки по этой модели, представим ее решение в виде

~ w  Aei(x1 x2  pt ) , ~  1  Dei (x1 x2  pt) ,

~ 1  Bei(x1 x2  pt ) , ~  2  Eei (x1 x2  pt) ,

~ 2  Cei(x1 x2  pt ) ~   Fei(x1 x2  pt)

(3.41)

Подставляя (3.41) в (2.34) и требуя ненулевые решения, в результате получим характеристическое уравнение (3.39). Таким образом, как при точном решении динамической задачи о расспространении плоской волны в тонком микрополярном бесконечном слое (в случае длинных волн), так и при решении той же задачи на основе соответствующих прикладных-двумерных моделей микрополярных пластин, приходим к одинаковым характеристическим уравнениям. На основе полученного результата можем заключить, что прикладные модели, построенные применением асимптотического подхода и основанное на этом подходе метода гипотез, в сущности, адекватным образом заменяют трехмерную проблему.

Ա.Հ. Սարգսյան Միկրոպոլյար առաձգական բարակ սալերի անկախ պտույտներով դինամիկ մոդելը Աշխատանքում կառուցված է իզոտրոպ միկրոպոլյար առաձգական բարակ սալերի դինամիկ ծռման անկախ պտույտներով մոդելը: Ուսումնասիրված է միկրոպոլյար առաձգական եռաչափ շերտում ալիքների տարածման խնդիրը ինչպես խնդրի ճշգրիտ դրվածքով, այնպես էլ կառուցված կիրառական մոդելի հիման վրա: Ցույց է տրված, որ երկար ալիքների դեպքում ստացված բնութագրիչ հավասարումները համընկնում են: A.H.Sargsyan Dynamic Model of Micropolar Elastic Thin Plates with Independent Fields of Transitions and Rotations In this paper the model of dynamic bending of isotropic micropolar elastic thin plates with independent fields of transitions and rotations are constructed. In exact statement of three-dimensional micropolar elasticity problem for a layer of the micropolar theory of elasticity with free rotation and on the basis of the constructed two-dimensional applied model of a micropolar plates the problem about wave distribution is studied. In case of long waves is shown coincidence of the characteristic equations of the wave distribution on the basis of both specified models.

Литература 1. Саркисян С. О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочек.//Известия НАН Армении. Механика. 2005. Т. 58. № 2. С. 84-95. 2. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V. A. 2009. “On generalized Cosserat-tape theories of plates and shells: a short review and bibliography”. // Arch. Mech (Special Issue) DOI 10. 1007/s 00419-0090365-3. Springer-Verlag. 3. Саркисян С. О. Прикладные теории микрополярных упругих тонких балок.// Доклады НАН РА. 2011. Т. 111. № 2. 4. Саркисян С. О. Общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин.// Известия НАН Армении. Механика. 2011. Т. 64. № 1. 5. Саркисян С. О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек.// Доклады АН России. 2011. Т. 436. № 2. С. 195-198. 6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир. 1975. 862с. 7. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости// Прикладная математика и механика. 1964. Т. 28. Вып. 6. С. 1117-1120. 8. Кулеш М. А., Матвеенко В. П., Шардаков И.Н. О распространении упругих поверхностных волн в среде Коссера// Акустический журнал. 2006. Т.52. № 2. С. 227-235. 9. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во МГУ. 1999. 328с. 10. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик// Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т.53. Вып. 2. С. 148-156. 11. Саркисян А. А. Асимптотический анализ начально-граничной динамической задачи несимметричной теории упругости со свободным вращением в тонкой области оболочки// Известия НАН Армении. Механика. 2011. Т. 64. № 2. С. 39-50. 12. Перцев А. К., Платонов Э. Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). Ленинград: “Судостроение”. 1987. 316 с. 13. Пелех, Б.Л. 1973. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Изд.-во “Наукова думка”. 1973. 248с. 14. Саркисян С.О., Саркисян А.А. Свободные колебания микрополярных пластин// Труды VII Всероссийской научной конференции “Нелинейные колебания механических систем”. Нижний Новгород: Изд. Дом “Диалог Культур”. 2008. С. 415-423. 15. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука. 1984. 228 с.

Сведения об авторе: Саркисян Арменуи Акоповна - кандидат физ.- мат. наук, асистент каф. мат. анализа и дифференциальных уравнений Гюмрийского государственного педагогического института им. М. Налбандяна. E-mail: armenuhis@mail.ru, armenuhis@gmail.com Поступило в редакцию 17.05.2012

2013

№1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА УДК 539.3

Ш. И. Алваджян ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ОРТОТРОПНЫХ ТОНКИХ БАЛОК АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Բանալի բառեր՝ միկրոպոլյարություն, օրթոտրոպություն, առաձգականություն, բարակ ձող, կիրառական մոդել: Ключевые слова: микрополярность, ортотропия, упругость, тонкая балка, прикладная модель. Keywords: micropolar, orthotropy, elasticity, thin bars, applied model. В данной работе развит асимптотический метод интегрирования микрополярной теории упругости для ортотропного материала в случае плоского напряженного состояния в области тонкого прямоугольника, построена прикладная - одномерная теория микрополярных ортотропных упругих тонких балок и, по существу, обосновывается модель микрополярных ортотропных балок, построенная на основе метода гипотез. Введение.Асимптотический метод построения математических моделей балок, пластин и оболочек на основе классической теории упругости развит в работах И.И.Воровича [1] и А.Л.Гольденвейзера [2], их учеников и коллег: Л.А.Агаловяна [3], Ю.Л.Каплунова, Л.Ю.Коссовича и Е.В.Нольде [4], Н.Н.Рогачевой [5], С.О.Саркисяна [6], Ю.А.Устинова, М. А. Шленева [7] и др. Асимптотический метод в теории микрополярных упругих балок, пластин и оболочек развит в работах С.О. Саркисяна [8-10]. В работах [11-13] С.О. Саркисяном принят такой подход: используя качественные результаты асимптотического метода, были формулированы гипотезы, на основе которых построены прикладные теории микрополярных упругих изотропных тонких балок, пластин и оболочек. В работе [14] развивается асимптотический поход и дается обоснование математической модели микрополярных упругих изотропных балок построенной на основе метода гипотез в работе [11].

В данной работе используя асимптотический метод [14,15] построена асимптотическая модель микрополярных упругих ортотропных балок и дано обоснование аналогичной модели построенной в работе [16] методом гипотез. 1. Постановка задачи. Рассмотрим ортотропный прямоугольник постоянной толщины 2h 0  x1  a,  h  x2  h . Будем исходить из основных уравнений плоской задачи микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [8,17]: уравнения равновесия   12   22    11   21   0,  x  x  0,  x1 x2  1 2     13    23      0 12 21   x1 x2

(1.1)

физические соотношения

 11  A1111  A12 22 ,  22  A1211  A22 22 ,   A   A  ,  12 77 12 78 21   21  A7812  A88 21, 13  B66  13 ,  23  B44   23

(1.2)

либо в обратной форме

 A22 A12  11   22 , 11  2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12   A12 A11  11   22 ,  22   2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12   A88 A78  12   21 , 12  2 2 A77 A88  A78 A77 A88  A78   A78 A77  21    12   21 , 2 2 A77 A88  A78 A77 A88  A78    13  1  13 ,  23  1   23  B66 B44

(1.3)

геометрические соотношения

 u 1 u ,  22  2 ,  11  x1 x 2   u 2 u -  3 ,  21  1   3 ,  12  x1 x 2    3  3 ,  23  .   13   x1 x 2

(1.4)

Здесь,  11 ,  22 ,  12 ,  21 - силовые напряжения;  13 ,  23 - моментные напряжения; u1 , u 2 - линейные перемещения;  3 - независимый поворот точек прямоугольника вокруг оси x 3 , Aij i, j  1;2; i, j  7;8, B66 , B44 -упругие константы материала тела. Ниже будем изучать антисимметричную по координате x 2 задачу, т.е. задачу изгиба. На лицевых сторонах прямоугольника x 2   h будем считать заданными силовые и моментные напряжения:  21 

1 X 2





X



,

 22  

1  Y Y , 2





 23  

1 M 2





M



.

(1.5)

На боковых кромках прямоугольника ( x1  0 и x1  a ) примем следующие варианты граничных условий: a)  11  1 x 2 ,  12   2 x 2 ,  13   3 x 2  . (задача 1) (1.6) b)  11   1 x 2 , u 2  0, (задача 2) (1.7) 13   3  x 2  . c) u1  0, u 2  0,  3  0 . (задача 3) (1.8) Отметим, что при A77  A88  A78 и B66  B44  0 из граничной задачи (1.1)(1.8) получится уравнения и граничные условия плоской задачи классической теории упругости. Будем считать, что рассмотренная область прямоугольника тонкая, т.е. h    1 ;   основной геометрический малый параметр задачи. a Придерживаясь основополагающего принципа асимптотического метода интегрирования сингулярно – вырождающихся систем дифференциальных уравнений в тонкой области, в основу рассуждений будем полагать свойство напряженно-деформируемого состояния (НДС),испытывающего статическое воздействие, выражаемое структурной формулой: (НДС)полн=(НДС)вн+(НДС)кр. (1.9) В этом равенстве краевое НДС прямоугольника возникает вблизи боковых граней прямоугольника ( x1  0, x1  a ) и быстро (экспоненциально) затухает при удалении от них вглубь двумерной области прямоугольника. Что касается внутреннего НДС, то оно в каждом асимптотическом приближении будет опиисываться дифференциальными уравнениями меньшей размерности (в данном случае – обыкновенными дифференциальными уравнениями). При определении внутреннего и краевого НДС в прямоугольнике большую роль играют значения физических констант микрополярного материала прямоугольника. С этой точки зрения введем следующие безразмерные физиические параметры:

A11 A22 , A11 A22  A122

A11 A12 , A11 A22  A122

A11 A78 A11 A77 , , 2 A77 A88  A78 A77 A88  A782

A112 , A11 A22  A122 A11a 2 , B66

A11a 2 . B44

A11 A88 , A77 A88  A782

(1.10)

здесь заметим, что в последних двух формулах входит также масштабный фактор. 2. Построение внутреннего итерационного процесса. Модель микрополярной упругой тонкой балки. В уравнениях (1.1)-(1.4) плоской задачи несимметричной теории упругости перейдем к безразмерной системе координат и к безразмерным величинам по формулам: x x (2.1)   1,   2, a h

ui 

 ij  ui ,  ij  ,  i3  i3 . a aA11 A11

(2.2)

В итоге получим сингулярно-возмущенной с малым параметром  краевую задачу, решение которой складывается из суммы решений внутренней задачи (прикладной - одномерной теории) и погранслойных задач (около боковых граней прямоугольника x1  0, x1  a ). Решение внутренней задачи представим в виде асимптотического разложения S

Q    q   s Q s  ,

(2.3)

s 0

где Q -любое из напряжений (силовых и моментных), перемещений и поворота; q -натуральное число, которое различно для различных величин и которое определяется из условия получения непротиворечивой рекуррентной системы уравнений в асимптотических приближениях. Для безразмерных физических параметров (1.10) примем значения [15]: A11 A88 A11 A22 A11 A12 A112 ~ 1 , ~ 1 , ~ 1, ~ 1, 2 2 2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12 A11 A22  A12 A77 A88  A78 (2.4) A11 A78 A11 A77 A11 a 2 A11 a 2 ~ 1, ~ 1, ~ 1, ~ 1. 2 2 B66 B44 A77 A88  A78 A77 A88  A78 В случае (2.4), при изучении задачи изгиба, в выражениях (2.3) будем иметь [14]: q0

для  11 ,  22 , u1 ,  23 ;

q 1

для  21 ,  12 , u 2 ,  13 ,  3 .

(2.5)

Уравнения (1.1)-(1.4) (в координатах (2.1) и по безразмерным величинам (2.2)) в асимптотических приближениях будут выражаться так:

s  2 

 11 

s 



 21 

s 

 0,

s 

 12  22   0,  

s

A11 A22 A11 A12 u 1 s s    11   22 2 2  A11 A22  A12 A11 A22  A12 s  2 u 2 A11 s  2 s  2 A11A12 



2 A11A22  A12

 11



2 A11A22  A12

 22

s 

A11 A88 A11 A78 u 2 s  s   3 s    12   21 , 2 2  A77 A88  A78 A77 A88  A78

(2.6)

s

A11 A78 A11 A77 u 1 s  s    3 s     12   21 , 2 2  A77 A88  A78 A77 A88  A78 s  s s  3s  a 2 A11 s   3 a 2 A11  s  2    13   23 s s  13 ,   23 ,    12   21  0 .  B66    B44 При s  0, используя также граничные условия на лицевых линиях   1 прямоугольника для  22 из (1.5), из (2.6) получим 0 0  0 0  0  0  0 u 2  u 2  , u 1   10   ,  3   3  , (2.7) 0 0 

 10     3    0

0 

0 0 A11 A78 A11 A77  12     21   2 2 A77 A88  A78 A77 A88  A78

0 0 

 21   21  ,

(2.8)

 0 0  0   0  2 A77 A88  A78  d u 2   0  A78 0           3 21  ,  d  A A88 A11 88      0    0 2 1 1 0  A A  A d 10    A Y  Y   12 ,  11    11   , где  11    11 22 12 A11 A22 d A11 A22 2 0 0   12   12

0 

(2.9)

0 0 

0 

 22

0 

d  12   Y Y    , d 2 A11 0 0 

 13   13   

B66 2

a A11

0 0  d 3

d

  , 

0  23

0 0    0  0 0    d  13    0      12     21  .   d     

(2.10)

Асимптотические приближения внутреннего итерационного процесса с номером s  1 и, вообще, с нечетными индексами, будем принимать нулевыми. Для полного определения выражения для σ 21 (для которого пока имеем формулу (2.8)),будем рассматривать первое уравнение из системы (2.6) при s  2 , будем иметь

0

2 

 11  21   0.  

(2.11)  2

Из уравнения (2.11)  21 определим таким образом, чтобы он выражался при помощи величин исключительно исходного асимптотического приближения, т.е. s  0 . Это делается следующим образом.  0

Подставляя из (2.10) выражение для  11 интегрирования по  получим 0 2 

2 

 21   21

в уравнение (2.11), после

1 0 

   1  2

d  11   . d

(2.12)  2

Интеграл по толщине прямоугольника для выражения  21 будем прирав0 2 

нивать к нулю, тогда для  21   будем иметь: 0 2 

 21

1 ( 0)

   1 d  11   . 6 d

(2.13)  2

Это выражение, подставляя в формулу (2.12), для  21 получим следующее выражение: 2

 21

1  2    6 2

1 0

 d  11    . d  

(2.14)

Складывая (2.8) и (2.14) в смысле (2.3) для  21 , будем окончательно иметь (в размерном виде)

 21

 0 0  1  2   A11  21     2   6 2   1

1 0    d  11     .  d  

(2.15)

Остальные определяющие задачу величины, которые выражаются через величины исходного приближения, представим в окончательном размерном виде: 0 0 

w  a 1 u 2  , u1  x2 1  x1 ,  1  x1    1 10   ,  3   130  , 0 0 

0 

 12  A11 1  12 ,  22  A11 22 ,  11  A11 11 , 0 

0 

(2.16)

13  A11a 1  13 ,  23  A11a  23 . С целью приведения двумерной задачи микрополярной теории упругости к одномерной, что уже выполнено для перемещений, свободного поворота, деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, в модели микрополярных ортотропных упругих балок вместо компонент тензоров сило-

вых и моментных напряжений введем статически эквивалентные им интегральные характеристики: усилия N 12 , N 21 и моменты M 11 , L13 , по формулам: h

  12 dx 2 ,

N 12 

N 21 

h

  21 dx 2 ,

M 11 

h

  11 x 2 dx 2 , L13 

h



13 dx 2 .

h

Здесь важно отметить, что усредненное усилие N 21 от силового напряжения  21 одинаково как на уровне (2.8), так и на уровне (2.15). Имея эти результаты, на основе формул (2.10), (2.15), (2.16), удовлетворяя граничные условия (1.5) на лицевых линиях прямоугольника x 2   h , получим основные уравнения (одномерные) изгиба микрополярной ортотропной балки с независимыми полями перемещений и вращений: Уравнения равновесия dN 12 dM 11 dL   Y   Y  , N 21   h X   X  , 13  N 12  N 21   M   M  . (2.17) dx 1 dx1 dx1 Соотношения упругости

N12  2hA7712  A7821 , M11 

N 21  2hA8821  A7812 ,

2h3 A11 A22  A122 h 2 A12  K11  Y Y  , 3 A22 3 A22





L13  2B66hk13 .

(2.18)

Геометрические соотношения 12 

dw   3 , 21   1   3 , dx1

K 11 

d 3 d 1 , k13  . dx1 dx1

(2.19)

3.Построение погранслоя. Обратимся к изучению краевых упругих явлений несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений в тонком прямоугольнике. Краем прямоугольника, вблизи которого будем исследовать напряженное состояние пограничного слоя, пусть будет сторона прямоугольника x1  0 . Введем в уравнения плоской задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений (1.1)-(1.4) преобразования растяжения x x t 1,   2 (3.1) h h и перейдем к безразмерным величинам по формулам (2.2). Решение преобразованной таким образом системы отыщем в виде асимптотического разложения: S

R  

R s

 R s  ,

(3.2)

s0

где R - любая из величин рассматриваемой задачи. Так как силовые и моментные неоднородные граничные условия (1.5), заданные на лицевых сторонах

прямоугольника   1 , были удовлетворены решением внутренней задачи, то решение (3.2) должно удовлетворять однородным граничным условиям:

 21   22  0 ,  23  0 при   1.

(3.3)

После подстановки (3.2) в преобразованную систему уравнений (1.1)-(1.4) с учетом (2.4) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях малого параметра  в правых и левых частях, начиная с наименьшей, получим непротиворечивую систему рекуррентных уравнений относительно величин R s  , если[15] S S  s  s    s  ij , ij : 11, 22, 12, 21, u i    1  s u i i  1, 2 ,  ij    s 0 s 0  S S s     s  i3 i  1, 2  , 3    1  s 3 s  ,   i3   s0 s0 



(3.4)



где целое число  - характеризует интенсивность пограничного слоя. Полученную систему уравнений в асимптотических приближениях s можно представить в следующем виде:  s  s  s  s   12  22   11  21   0,  t    0, t    s  (s) (s) A11 A22 A11 A12   u1  11  22 ,  t  2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12   s  (s ) (s ) A11 A78 A11 A77   u1   12   21  3s 1,  2 2 (3.5) A77 A88  A78 A77 A88  A78    2   u s  A11 ( s) (s ) A11 A12  2   11   22 , 2 2   A11 A22  A12 A11 A22  A12   s  (s ) ( s) A11 A88 A11 A78  u2   12   21  3s 1;  t 2 2 A77 A88  A78 A77 A88  A78 

s   s    13    23   s 1   s 1, 21 12   t   3s  a 2 A 3s  a 2 A11 s  11  s ,    23 .   t B66 13  B44

(3.6)

Забегая вперед отметим, что погранслойная задача отлично от нуля при любом s -четном или несчетном. Важно констатировать, что при любом s решение погранслойных уравнений (3.5), (3.6) обладают некоторыми важными свойс-

твами, которые можно получить непосредственно из указанных уравнений, если к ним применить следующие интегральные операторы: 1



 d  dt, d  dt,  d  tdt. 1

1

В итоге будем иметь следующие интегральные соотношения, которые иначе называют условиями затухания решения задачи пограничного слоя (ниже приводятся условия затухания в случае задачи изгиба): 1

s 

  12 t  0d  0, 1 1





s  s 1 s 1 13 t  0d  d  12   21 dt,  

 

1 1

1



2 s  t  0d  а A11 tdt  s1   s1 d .  12   3    21  B 66 1 0 1 1



s 

  11 t  0d 

2 A77 A88  A78

A78 A11

1



s 

u 2 t  0 d  

1

2 A77 A88  A78

A78 A11

(3.7) 1



d 3s 1dt ,

  1

при s  0 из (3.7) имеем 1



0 

 12 t  0 d  0,

0 

 13 t  0d  0,

1

(3.8)

1

    t  0 d 0

(3.9)

 0,

1



0 

  11 t  0 d 

1

2 A77 A88  A78 A78 A11

0 

u2

t  0 d

 0.

(3.10)

1

0  Легко убедиться, что самоуравновешенный характер 3 имеет не только при t  0 , но и при любом t . Действительно, если принять в виду при s  0 , предпоследнее уравнение из системы (3.6), то можем написать: 1



  d

1



30

A a2 dt  11 t B66

1

0

  13 ddt t 1

откуда будем иметь: 1 A11 a 2 0     3  , t d  B66 1

 1



0  13

d dt .

(3.11)

t 1

Далее на основе первого уравнения системы (3.6), при s  0 , получим



 d  t

1

0



0 

 13   23 dt  dt d  0. t 

  t

1

Так как  23  0 ((3.3)), как при   1, так и при   1, отсюда приходим к следующему равенству: 1

0 

 13  , t d  0 . 1

Следовательно, будет иметь место следующее равенство: 1

0 

  13  , t ddt  0 .

(3.12)

t 1

Тогда на основании равенств (3.11) и (3.12) будем иметь требуемое равенство: 1

0   , t d  0 .

(3.13)

 3 1

Из равенства (3.13), как следствие, получим также следующее равенство: 1

0  , t ddt  0.

  3

(3.14)

0 1

Имея ввиду (3.14), из последнего равенства (3.7), при s  1 , приходим к следующему важному равенству: 1

A77 A88  A782    11 t  0d  A78 A11 1 1

  u t  0 d 1 2

0.

(3.15)

1

Это означает, что равенство (3.10) имеет место как при s  0 , так и при s  1 ((3.15)). При s  0 , из четвертого и шестого уравнений системы (3.5) будем иметь также следующее свойство погранслойного решения: 1



0

u1

t  0d  A77  A78

1

0

u 2



t  0d

t

1

(3.16)

 0.

Так как равенства (3.10), (3.15), (3.16) должны иметь место для любого материала (удовлетворяющего условиям (2.4)), следовательно, из этих равенств будут следовать следующие отдельные равенства: 1

i 

   11 t  0d  0,  u 2 t  0d , 1



i  0,1;

(3.17)

1

0

u1

1



t  0d

 0,



0

u 2

1

t

t  0d  0.

(3.18)

Интегральные соотношения (3.8)-(3.10), (3.17), (3.18) ниже будут играть важную роль при сращивании асимптотических разложений внутреннего итерационного процесса и погранслоя, когда необходимо разделить общие граничные условия (1.6)-(1.8) плоской задачи, между указанными итерационными процесссами. В результате этого будем иметь граничные условия прикладной – одномерной теории микрополярных ортотропных упругих тонких балок (2.17)-(2.19) (конечно, отдельно получим также граничные условия погранслойной задачи (3.5), (3.6), при s  0 , s  1 и т.д.). Выше было описано явление пограничного слоя вблизи торца прямоугольника x1  0 .Пограничный слой вблизи противоположного торца x1  а строится аналогичным образом. Если отчет вести от торца x1  0 , данные для пограничного слоя около торца x1  а можем получить из изложенного выше формальной

a  x1 . h Таким образом, построены два типа решений: решение внутренней задачи и решение для пограничной задачи. Их сумма заменой

на t1 

I  Q  Rp1  Rp2

(3.19)

является решением исходной сингулярно - возмущенной краевой задачи несимметричной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений в тонкой прямоугольной области. Здесь Q - решение внутренней задачи, R p1 , R p2  - решения задач пограничных слоев, построенные соответственно

вблизи торцов х1  0 и х1  a . 4. Сращивание асимптотических разложений внутреннего итерационного процесса и погранслоя. Получение граничных условий для прикладной – одномерной модели. Перейдем к изучению проблемы разделения двумерных граничных условий (1.6)-(1.8) несимметричной теории упругости на граничных кромках прямоугольника x1  0 и x1  a , в рамках которого необходимо выяснить вопрос о том, какие граничные условия надо приписывать к внутренним (к прикладной теории) и какие к погранслойным дифференциальным уравнениям. Приступим к удовлетворению граничных условий (1.6)-(1.8) на кромке x1  0 прямоугольника. Сначала рассмотрим первую краевую задачу (1.6). Подставляя (3.19) в (1.6) и учитывая (2.3) и (3.2), а также, что при x1  0 проявляет себя только погранслой R p1 , т.е. продольный размер а прямоуголь 2

ника настолько велик, что влиянием погранслоя R p (около торца x1  a ) можно пренебречь, когда изучаем погранслой у торца x1  0 , выберем   1 , которое обеспечивает непротиворечивого итерационного процесса удовлетворения гра-

ничных условий. Таким образом, граничные условия (1.6) в асимптотических приближениях примут вид: вн  s 1 

nc  s 

 s 1

 11   11   1 вн  s 

nc  s 

s 

 12   12   2 , вн  s 

nc  s 

s 

 13   13   3 ,

1 , 1s   0, A11 2 0  2  ,  2s   0, 1 A11 3 0  3  , 3s   0, 1 A11 a 0 

1 

s 1, s 1,

(4.1)

s 1.

При s  0 из (4.1) получим: вн 0 

nc 0 

вн 0 

0 

nc 0 

0 

 11  0,  12   12   2 ,  13   13   3 .

(4.2)

Ко второму из (4.2) равенству применяя один из свойств (первое равенство из вн 0 

(3.8)) погранслойного решения, для величин  12 внутренней задачи, при x1  0 t  0 , будем иметь следующее граничное условие: 0 0  2  12 t 

0 

 2



 d 

1

t0

или в размерном виде h

N 12

x1  0



  2 x 2 dx 2 .

(4.3)

h

Точно также, на основе третьего равенства из (4.2), с учетом второго из (3.8) равенство (свойство погранслойного решения), приходим к следующему вн 0 

граничному условия для  13 при t  0 : 0 0 

2  13 t 

0 

   3  d  1

t 0

или в размерном виде h

L13 x  0  1

 3 x2 dx 2 .

(4.4)

h

Для погранслойной задачи (3.5), (3.6), при s  0 , получим следующие граничные условия при t  0 (отметим, что система (3.5) при s  0 отделяться от системы (3.6)):

nc 0  11

nc 0   12

 0, t 0

0 1

 2 

t 0

nc 0

0 1

 13

 3 

t 0

0

3

0 

2

 d ,

1

(4.5)

 d .

1

Здесь первые две граничные условия (т.е. (4.5)) относиться к системе уравнений (3.5), при s  0 , а последнее граничное условие из (4.5)- к системе уравнений (3.6), при s  0 . Чтобы получить недостающее граничное условие для системы уравнений прикладной - одномерной теории микрополярных ортотропных балок (система уравнений (2.17)-(2.19)), в первом граничном условии из (4.1), подставим s  1 , тогда приходим к следующему равенству при t  0 : вн 0 

nc 1

0

 11   11   1 или в виде nc 1 

вн 0 

0 

 11   1   11 .

(4.6)

Теперь примем во внимание первое равенство из (3.17) при s  1 (свойства погранслойного решения), на основе последнего равенства приходим к 1 0 

следующему граничному условию для  11 t  , при t  0 :

2 1 0   11 t   3 t0

 

0  1

d

1

или в размерном виде: h

M 11

x1 0

  x 21  x 2 dx2 .

(4.7)

h

Если подставить (4.7) в (4.6), то для погранслойной задачи получим одно из граничных условий для следующего приближения s  1 , при t  0 : nc 1

0 

1 0 

  1    11 t  0 ,

 11 t 0

Объединяя равенства (4.3), (4.5), (4.7) h

N 12

x1  0



  2 x 2 dx 2 , h

L13

x1  0



  3  x 2 dx 2 , h

M 11

x1  0



 x 2 1 x 2 dx 3

(4.8)

h

получим граничные условия прикладной - одномерной теории микрополярных ортотропных упругих тонких балок: (2.17)-(2.19).

Таким образом, построена модель прикладной - одномерной теории изгиба микрополярных ортотропных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений. Эта модель представляет собой систему основных уравнений (2.17)-(2.19) и граничные условия (4.8) (в случае граничных условий (1.6)). Модель погранслойной задачи, при s  0 , тоже построена, эта система основных уравнений (3.5), (3.6), при s  0 , и граничные условия (4.5). Понятно, что построение моделей, как внутренней задачи, так и погранслоя в последующих приближениях будут иметь итерационный характер. Аналогичным образом можем изучать задачу сращивания внутреннего и погранслойного итерационного процесса также при граничных условиях (1.7) либо (1.8). В случае шарнирного опирания края прямоугольника (граничные условия (1.7)), граничные условия при x1  0 для основной системы уравнений прикладной теории микрополярных ортотропных балок будут выражаться так (отметим, что в этом случае значение   1 ): h

 x 21 x2 dx 2 ,

M 11 

w  0,

  3 x 2 dx 2

L13 

h

(4.9)

h

а для защемленного края (граничные условия (1.8)) так (и в этом случае   1 ):

 1  0,

w  0,

 3  0.

(4.10)

5. Сравнение моделей прикладной-одномерной теории изгиба микрополярных ортотропных упругих тонких балок построенной на основе метода гипотез и на основе асимптотического метода. Отметим, что в работе [10] прикладная - одномерная теория балок построена на основе метода гипотез. Принятые гипотезы имеют следующие содержания: а) нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к оси x1 , остается после деформации прямолинейным, но уже не перпендикулярным к деформированной оси, свободно вращается на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины. Вследствие этого имеем линейный закон изменения перемещений V1 ,V2 и свободного поворота  3 по толщине прямоугольника:

V2  w x1 , V1  x2  x1 , 3  3  x1  , где

w  прогиб балки, 3  угол свободного поворота,   полный угол

поворота нормального элемента. б) при определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и момент0

 21 сначала примем  21   21  x1  . После определения указанных величин, значение  21 окончательно опре-

ных напряжений для силового напряжения

делим как сумму значения (2.3) и результата интегрирования первого уравнения

равновесия из (1.1), для которого потребуем, чтобы усредненная по толщине прямоугольника ее величина была равна нулю. Как убедимся, эти гипотезы соответствуют свойствам асимптотического решения (внутреннего итерационного процесса) краевой задачи плоской микрополярной теории упругости в тонкой прямоугольной области ((1.1)-(1.8)). Теперь будем сравнивать основные уравнения и граничные условия прикладной-одномерной теории микрополярных ортотропных упругих тонких балок ((2.17)-(2.19), (4.8)-(4.10)) с основными уравнениями и граничными условиями той же теории построенной на основе метода гипотез [16]. Как убедимся, разни-

h 2 А12  ца лишь в выражении момента M 11 . Речь идет о величине Y  Y  , ко3 А22





торая присутствует в формуле (2.18) и которая отсутствует в аналогичной формуле работы [16]. Это результат того, что в формуле обобщенного законы Гука для величин 11 (первое из (1.3) формул), по асимптотическому методу силовое напряжение  22 не пренебрегается относительно силового напряжения  11 , но по методу гипотез, как в классической теории такое пренебрегание оправдано, что и сделано в работе [16]. Отметим, что численные результаты тоже подтверждают это пренебрегание. Таким образом, можем констатировать, что построенная прикладная –одномерная модель микрополярных ортотропных упругих тонких балок построенной в работе [16] представляет собой асимптотически точную модель.

Շ. Ի. Ալվաջյան Ասիմպտոտիկ մեթոդով միկրոպոլյար առաձգական օրթոտրոպ բարակ ձողերի մաթեմատիկական մոդելի կառուցումը Տվյալ աշխատանքում բարակ ուղղանկյուն տիրույթում հարթ լարվածային վիճակի դեպքում օրթոտրոպ նյութի համար զարգացվել է միկրոպոլյար առաձգական տեսության ինտեգրման ասիմպտոտիկ մեթոդը, կառուցվել է միկրոպոլյար օրթոտրոպ առաձգական բարակ ձողերի միաչափ կիրառական տեսությունը: Հիմնավորվել է հիպոթեզաների մեթոդի հիման վրա կառուցված միկրոպոլյար օրթոտրոպ ձողերի մոդելը: Sh. I. Alvajyan Mathematical Model of Micropolar Elastic Orthotropic Thin Bars with Asymptotic Method In this paper we develop an asymptotic method of integration micropolar theory of elasticity for orthotropic material in the case of plane stress in a thin rectangle, built an application a one-dimensional theory of orthotropic micropolar elastic thin bars and justified by a model of micropolar orthotropic bars, built on the basis of hypotheses.

Литература 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15.

16.

17.

Ворович И. И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек // В сб.: Материалы I Всесоюзн. школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: Изд-во Тбилисск. ун-та, 1975. С. 51-149. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука. 1976. 510с. Агаловян Л. А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. М: Наука. 1997. 414с. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of Thin Wolled Elastic Bodies. Academic Press. 1998. 225p. Rogacheva N.N. The Theory of Piezoelectric Plates and Shells.-Boca Ration: SRS Press. 1994. 260p. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупругости тонких оболочек. Ереван: Изд-во АН Армении. 1992. 232с. Устинов Ю.А., Шленев М. А. О некоторых направлениях развития асимптотического метода плит и оболочек // Межвузовский сборник “Расчет оболочек и пластин”. Ростов-на–Дону. Изд.-во Ростовского Инженерно-строительного ин.-та. 1978.С. 3-27. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости // Физическая мезомеханика. 2008. Т. 11. №5. С. 41-54. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. Вып. 1. С. 129-147. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонкиг оболочек на основе несимметричной теории упругости // Доклады НАН Армениии. 2008. Т.108. №4. С. 309-319. Sargsyan S.H . Effective Manifestations of Characteristics of Strength and Rigidity of Micropolar Elastic Thin Bars // Journal of Materials Science and Engineering. 2012. Vol.2. №1. P.98-108. Саркисян С.О. Общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин // Известия НАН Армении. Механика. 2011 T.64. №1. С. 58-67. Саркисян С.О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек // Доклады академии наук России. 2011. Т. 436. №2. С.195-198. Саркисян С.О. Построение математической модели микрополярных упругих тонких болок асимптотическим методом// Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2012. N5. С. 31-37. Алваджян Ш. И. Построение уравнений и граничных условий статической задачи изгиба микрополярных упругих ортотропных балок асимптотическим методом// Сборник научных трудов международной конференции ''Актуальные проблемы механики сплошной среды''.Ереван-2010. С. 71-75. Алваджян Ш.И., Саркисян С.О. Прикладные модели статической деформации анизотропных микрополярных упругих тонких балок// Известия НАН Армении. Механика. 2011. Т. 64.N 4.С. 39-62. Iesan D. The plane micropolar strain of orthotropic elastic solids // Archives of Mechanics.1973. Vol.5. № 3. P.547-561.

Сведения об авторе: Алваджян Шушаник Искандаровна – кандидат физ.-мат наук, асистент каф. мат. анализа и дифференциальных уравнений Гюмрийского государственного педагогического института им. М. Налбандяна. E-mail: alvajyanshushan@mail.ru Поступило в редакцию 07.05.2012

2013

№1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 539.3

Л. М. Маргарян ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПРИКЛАДНОЙ МОДЕЛИ МИКРОПОЛЯРНЫХ ОРТОТРОПНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ БАЛОК АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Բանալի բառեր՝ դինամիկա, ասիմպտոտիկ մեթոդ, միկրոպոլյար, օրթոտրոպ, առաձգական, բարակ, ձող, մոդել: Ключевые слова: динамика, асимптотический метод, микрополярный, ортотропный, упругий, тонкий, балка, модель. Keywords: dynamics, asymptotic method, micropolar, orthotropic, elastic, thin, bar, model. В данной работе на основе сингулярно-возмущенного асимптотического метода построена прикладная динамическая модель микрополярных ортотропных упругих тонких балок. На основе этой модели математически обосновывается соответствующая модель, построенная на основе метода гипотез. 1. Введение. Асимптотический метод в классической теории тонких оболочек, пластин и балок развит в работах И.И. Воровича [1], А.Л. Гольденвейзера [2], А.А. Агаловяна [3], Ю.Д. Каплунова, Л.Ю. Коссовича и Е.В. Нольде [4], Н.Н. Рогачевой [5], С.О. Саркисяна [6], Ю.А. Устинова [7] и других. Асимптотический метод в теории микрополярных балок, пластин и оболочек развит в работах С.О.Саркисяна [8-10]. В работах [11-13], на основе качественных результатов асимптотического метода интегрирования граничных задач трехмерной (двумерной) микрополярной теории упругости в тонких областях, формулированы адекватные гипотезы и построены математические модели микрополярных изотропных оболочек, пластин и балок. В работе [14] развит асимптотический метод [8] изучения граничных задач плоской микрополярной теории упругости в тонкой прямоугольной области, построена асимптотически точная модель микрополярных изотропных упругих тонких балок и обоснована соответствующая математическая модель, построенная на основе метода гипотез [11].

В данной работе в тонкой прямоугольной области рассматривается начально-граничная задача плоской линейной микрополярной теории упругости для ортотропной балки. Развивается асимптотический подход работы [14]. Считается, что общее напряженно-деформированное состояние (НДС) можно разделить на внутреннюю задачу и погранслоя (по координатам и по времени). Асимптотическим методом построена внутренняя одномерная задача и погранслои по координатам и по времени. На основе сращивания внутренней задачи и указанных погранслоев определены соответствующие граничные и начальные условия. В итоге построена математическая модель микрополярных оpтотропных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений и обосновывается соответствующая модель микрополярных балок, построенная на основе метода гипотез [15, 16]. 2. Постановка задачи. Будем рассматривать прямоугольник как плоское упругое тело. Уравнения динамической 0  x 1  a ,  h  x 2  h  задачи плоской несимметричной теории упругости для ортотропного прямоугольника имеют следующий вид [17]: Уравнения движения:

 11  21  2 u1   , x1 x 2 t 2

 12  22  2u2   , x1 x 2 t 2

 13  23  23    12   21  I . x1 x 2 t 2

(2.1)

Соотношения упругости:

11  A1111  A12 22 ,  22  A1211  A22 22 , 12  A7712  A78 21,  21  A7812  A88 21, 13  B6613, 23  B4423,

(2.2)

или

 11   22   12   21 

A22 A11 A22  A12

 11 

 22 

A11 A11 A22  A12 A88 A77 A88  A78

 12 

 21 

A77

A12 A11 A22  A12

 22 ,

A12 A11 A22  A12

(2.3)

A78 A77 A88  A78

 21 ,

 12 ,

A78

A77 A88  A78 A77 A88  A78 1 1  13  13 ,  23   23 . B66 B 44

 11 ,

Геометрические соотношения:

 11   13

u1 u u u ,  22  2 ,  12  2   3 ,  21  1   3 , x1 x 2 x1 x 2

(2.4)

 3  3  ,  23  . x1 x 2

Здесь  11 ,  12 ,  21 ,  22 -силовые, 13 , перемещения,

23 -моментные напряжения; u1 ,u 2 -

3 - независимый поворот точек прямоугольника вокруг оси x 3 ;

A11 , A12 , A22 , A77 , A78 , A88 , B66 , B44 - упругие константы данного ортотропного тела;  -плотность, I -мера инерции этого материала при вращении. К определяющим уравнениям (2.1)-(2.4) плоской динамической задачи микрополярной теории упругости присоединим соотвеетствующие граничные и начальные условия. На сторонах x 2  h прямоугольника считаются заданными силовые и моментные граничные условия (будем изучать задачу изгиба):

1  1 1 (2.5) X  X  ,  22   Y   Y  ,  23   M   M  . 2 2 2 На грани x1  0 прямоугольника (аналогично на x1  a ) примем следующие варианты граничных условий несимметричной теории упругости: 1-ая граничная задача (загруженный край): 11  1 x2t , 12  2  x2t , 13  3 x2t  . (2.6) 2-ая граничная задача (защемленный край): u1  0, u2  0, 3  0 . (2.7) 3-ая граничная задача (шарнирное опирание): 11  1x2t , u2  0, 13  3  x2t  . (2.8)

 21 













Начальные условия при t  0 имеют следующий вид:

u1 t  0  f1  x1 , x2 ,

u2 t  0  f 2  x1, x2 ,

u1 u2  F1  x1, x2 , t t  0 t

 F2  x1 , x2 , t 0

3 t  0  3 x1 , x2 , 3  3  x1 , x2 . t t  0

(2.9)

3. Построение внутреннего итерационного процесса. Основные уравнения прикладной модели динамического изгиба микрополярной ортотропной упругой тонкой балки с независимыми полями перемещений и вращений. Будем предполагать, что ширина прямоугольника мала по сравнению с его длиной, т.е. 2h  a ,

 

h  1 - основной малый геометрический параметр задачи. При ввеa

дении надлежащих масштабов для координат и времени уравнения несимметричной теории упругости (2.1)-(2.4) принимают форму, в которых малый параметр будет стоять перед некоторыми производными, т.е. получим сингулярно-

возмущенную с малым параметром начально-краевую задачу. Рассмотрим задачу сведения двумерной плоской динамической задачи несимметричной теории упругости для ортотропного тела к прикладной одномерной на основе асимптотического метода с пограничным слоем, включая вопрос об удовлетворении граничных и начальных условий. Для этой цели в двумерных динамических уравнениях (2.1)-(2.4) перейдем к безразмерным величинам и выполним замену независимых переменных - координат x1, x2 и времени t :



x1 , a

  ij  ij , A11

 h  t0    c0  u ui  i , a

x2 t ,   h t0

 

  i3  i3 , aA11

 , 

(3.1)

I I k 2.  h

Здесь величина  характеризует изменяемость напряженно-деформированного состояния во времени. В итоге получим безразмерные уравнения, в которых присутствуют следующие безразмерные физические параметры: 2

A11 A22 A11 A11 A12 , , , 2 2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12 A11 A22  A12

(3.2)

A11 A88 A11 A78 A11 A77 a 2 A11 a 2 A11 , , , , . 2 2 2 B66 B44 A77 A88  A78 A77 A88  A78 A77 A88  A78

Решение преобразованной таким образом системы отыщем в виде асимптотического разложения (внутреннее асимптотическое разложение)

Q   q   sQ ( s) ,

(3.3)

где Q - напряжения (силовые и моментные), перемещения и поворот; q натуральное число, которое для различных величин разное и определяется из условия получения непротиворечивой рекуррентной системы уравнений в асимптотических приближениях; s –номер асимптотического приближения. Рассмотрим случай, когда физические безразмерные параметры (3.2) имеют следующие значения:

A11A22 A11 A22  A12

A11A88

~ 1,

A112 A11 A22  A12

~ 1,

A11 A78

A77 A88  A782

0    1, k   2 , q   1

~ 1,

A11A12 A11A22  A122

~ 1,

A11 A77

a 2 A11 ~ 1, B66

a 2 A11 ~ 1. B44

(3.4)

~ 1, A77 A88  A782 В этом случае для величин  , k , q получим следующие значения:

A77 A88  A782

~ 1,

 11 ,  22 , u1 ,  23  21 ,  12 , u 2 ,  13 , 3 91

(3.5)

Имея в виду (3.5), получим основные уравнения микрополярной двумерной задачи в асимптотических приближениях: ( s  2)

 11    13 

( s)

 21  

  23  

( s)

( s) (s ) c0 2  2 u 1 ( s 2 )  c0 2  2 u 2 ( s )  12  22  ,   , A11   A11  2  2

( s)

  12

(s )

  21

( s)

I c0  2 3  . A11  2

(3.6)

(s)

u1 A11 A22 A11 A12   11( s )   22 ( s ) , 2 2  A11 A22  A12 A11 A22  A12 (s)

u 2 



A11 A11 A12  22 ( s 2 )   11( s 2 ) , 2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12

(s)

u 2 A11 A88 A11 A78 (s)  3   12 ( s )   21( s ) , 2 2  A77 A88  A78 A77 A88  A78

(3.7)

(s)

u1 A11 A77 A11 A78 (s) ( s) ( s)  3   21   12 , 2 2  A77 A88  A78 A77 A88  A78 (s)

3 

a 2 A11 (s)   13 , B66

( s)

3 



a 2 A11 ( s 2 )  23 . B44

Рассмотрим исходное приближение s  0 для внутреннего итерационного процесса. Из (3.6), (3.7) получим следующие формулы: 0

u 2 0   u 2 0   , ,

3 0    3 0   , ,

(3.8) 0 0  0 0   A11 A77 A11 A78  0  0  0  0 u1     3   21   12     1  , . A77 A88  A78 2 A77 A88  A78 2   0

 21

0 

  21

 , .

(3.9)

0 B66   3 0  0 0   0  13  2   13  ,   , a A11 

 0  A77 A88  A78 2   u 2 0  0 0   A78 0 0  0 0   0  12      3   A  21   12  ,   , A11 A88   88   0 0  0  c0 2  2 u 2 0    0     12  22    ,   A11  2   

(3.10)

0 0  2 2  0  0  ( 0) 2 0 A A  A   A  c    u 12 2 0    11 22 12 1 12 0   11        11  , 2    A11 A22  A22   A11      0 0  0  2 0   2  0     13  0 0  0 0   I c 0   3   23     12   21   .   A11  2     

 0

Формулы (3.8) характеризуют кинематику деформации по внутреннему итерационному процессу. Они говорят о том, что в процессе деформации нормальный к средней линии тонкого прямоугольника элемент остается прямым, но не перпендикулярным к деформированной средней линии. В работах [11,15,16] это положение принято как кинематическая гипотеза для построения прикладной одномерной модели микрополярных изотропных и ортотропных упругих тонких балок. В указанных работах эта гипотеза названа обобщенной на микрополярный случай кинематической гипотезой Тимошенко. Для полного определения выражения для

 21 , для которого пока имеем

формулу (3.9), рассмотрим первое уравнение из (3.6) для s  2 . (Отметим, что асимптотические приближения внутреннего итерационного процесса как с номером s  1 и, вообще, с нечетными индексами, принимаются нулевыми.) Будем иметь:

 11 

(0)

( 2)



 21 



c0 2  2 u1( 0 ) . A11  2

(3.11)

Наша цель состоит в следующем: выразить силовое напряжение

 21 через

величины исключительно исходного асимптотического приближения s  0 . Это можно сделать следующим образом [14]: подставляя из (3.8) и (3.10) выражения 0 

0 

для  11 и u1 в уравнение (3.11), после интегрирования по  получим: 2 

 21

0 0       11 c0 2  2 10    2 0 2       21  .   A11  2  2   

(3.12)  2

Потребуем, чтобы интеграл по ширине прямоугольника для выражения  21 0  2

был равен нулю. Тогда для  21 будем иметь: 0 2 

 21

 0 0  2 0   1    11 c0  2 1     . 6   A11  2   

(3.13)  2

Подставляя это выражение в формулу (3.12), для  21 получим следующее выражение:

2 

 21

 0 0    1  2     11  c 0 2  2 1  0         . 2    A11   2  6  

Окончательно для

(3.14)

 21 в размерном виде будем иметь:

 0 0  2 0       11 c 0  2 1   (3.15)   21   . A11  2         Остальные определяющие задачу величины, которые выражаются через величины исходного приближения, тоже представим в окончательном размерном виде: 0 0  0 0  w  a 1 u 2  ,  , u1  x2 1 10   x2 1  x1 , t ,  3   1  3  ,  ,  (0) 0 1  2 1   A11  21   2    2 6 

0 0 

0 

12  A11 1  12  , ,  22  A11 22 , 11  A11 11 , 0

0 

(3.16)

0 

 13  A11 a 1  13  , ,

 23  A11 a  23 .

С целью приведения двумерной задачи (2.1)-(2.9) к прикладной одномерной, что уже выполнено для силовых и моментных напряжений, деформаций, изгибов-кручений, перемещений, поворота, в теории микрополярных балок, вместо компонент тензоров силовых и моментных напряжений, вводим эквивалентные им интегральные по ширине прямоугольника характеристики- усилия и моменты: h

N12   12 dx2 , N 21    21dx2 , h

L13 

h

 13dx2 , M11   11x2 dx2 . h

(3.17)

h

Удовлетворяя граничным условиям (2.5) с помощью формул (3.15), (3.16), в итоге приходим к одномерным динамическим уравнениям модели микрополярных ортотропных балок с независимыми полями перемещений и вращений: Уравнения движения: N 21 

M11 2h3  2 1  h( X   X  )   , x1 3 t 2

N12 2w  (Y   Y  )  2 h , x1 t 2

L13  2 3  N12  N 21  ( M   M  )  2 Ih . x1 t 2

N12  c 77 12  c78 21 , L13  d 66 k13 ,

(3.18)

Соотношения упругости: N 21  c78 12  c88 21 ,

M 11  D11 K11 

A12 h 2  Y Y . A22 3





(3.19)

Геометрические соотношения:

12 

w 3   3 , 21   1  3 , k13  , K11  1 . x1 x1 x1

(3.20)

В соотношениях упругости (3.19) величины c77 , c88 , c78 , d 66 , D11, - жесткостные характеристики балки:

c77  2hA77 , c88  2hA88 , c78  2hA78 , d 66  2hB66 , D11 

2h3 A11 A22  A12 2 . (3.21) 3 A22

4. Построение погранслоев по координатам и времени. Сращивание асимптотических разложений. Граничные и начальные условия прикладной модели микрополярных балок. Для получения граничных условий для одномерных уравнений (3.18)-(3.21) модели микрополярных балок обратимся к изучению краевых упругих явлений. Для этого введем в уравнения (2.1)-(2.4) следующие преобразования координат x1, x2 , времени

и перейдем к безразмерным

величинам по следующим формулам (для бокового края x1  0 ):

1 

x1 , h

  ij  ij , A11

x2 t  h ,    t0    , h t0  c0   u I  i3  i3 , u i  i , I  k 2. aA11 a  h

 

(4.1)

Решение преобразованной таким образом системы отыщем в виде асимптотического разложения

R   R   s R (s ) ,

(4.2)

где R любая из величин рассматриваемой задачи;  целое число, которое характеризует интенсивность пограничного слоя; изменяемость  напряженнодеформированного состояния во времени должна соответствовать значению для

R , , k будем иметь:    1,   1, k  2.

внутренней задачи. Имея в виду (3.4), для величин

 ij   ,   i 3   ,  u i    1,  3

(4.3)

После подстановки (4.3) в преобразованную систему безразмерных уравнений приходим к следующей системе уравнений погранслоя в асимптотических приближениях:  11s   21s  c0 2  2 u1s  2    , 1  A11  2

 12s   22s  c0 2  2 u 2 s  2    , 1  A11  2

 13s    23s  c 2  2  3s  2     12s 1   21s 1  I 0 . 1  A11  2 (s)

 u1 A11 A22 A11 A12   11( s )   22 ( s ) , 2 2 1 A11 A22  A12 A11 A22  A12 95

(4.4)

(s)

u 2 



A11

A11 A22  A12

 22 ( s ) 

A11 A12 A11 A22  A12

 11 ( s ) ,

(s)

A11 A88 A11 A78 u 2 ( s 1)  3   12 ( s )   21 ( s ) , 2 2 1 A77 A88  A78 A77 A88  A78 (s)

u 1 

 3

( s 1)



A11 A77 A77 A88  A78

(s)

 3 a 2 A11   13 ( s ) ,  1 B66

(s)

 3 

 21

(s)



A11 A78

(4.5)

(s)

A77 A88  A78

 12 ,

a 2 A11   23 ( s ) . B44

Как видно из (4.4), (4.5) для динамической задачи полученные уравнения представляют собой квазистатическую задачу. Это означает, что инерционные члены не входят в уравнения ряда первых приближений и задача совпадает с погранслойной задачей статики [14]. Там в свою очередь доказываются некоторые свойства решения погранслойной задачи, которые используются при сращивании асимптотических разложений внутреннего итерационного процесса и погранслоя. В результате сращивания указанных разложений получаются граничные условия для одномерных уравнений микрополярных балок [14]: Загруженный край: h

M 11 x 0   x21dx2 , N12 x 0   2 dx2 , L13 x 0   3dx2 . 1

h

1

x1  0

0, w

h

x1  0

( 4.6)

h

Защемленный край:  0 ,  3 x 0  0.

(4.7)

Шарниро-опертый край: h

M11 x 0   x21dx2 , w x1 0  0 , L13 x 0   3dx2 . 1

h

(4.8)

h

Для получения начальных условий для системы одномерных уравнений (3.18)-(3.21) построим погранслой по времени t , считая t  0 своего рода границей, и вводим погранслойное явление около этой границы [18,19]. На основании такого подхода будем ввести в рассмотрение дополнительное НДС, имеющее по времени большую изменяемость и ту же изменяемость по координатам, которая имеет внутренняя задача. Такое НДС вызывает высокочастотные колебания по толщине балки, наиболее отчетливо проявляющееся в переходный момент времени до установившихся динамических явлений, определяемым по теории внутренней задачи. Введем в уравнения (2.1)-(2.4) преобразования координат и времени и перейдем к безразмерным величинам по формулам (3.1). Решение преобразованной таким образом системы отыщем в виде (3.3), где для величин  , k , q получим:

0   0, k  2, q   1

u1 , u 2 , 3 , 13

(4.9)

 11 ,  22 ,  21 ,  12 ,  23

После подстановки (3.3) (с учетом (3.4), (4.9)) в преобразованную систему безразмерных уравнений получим:  s 1

 21  

 s 2 

  23  

 11 

  13 

( s 1)

 u1 



( s)

u 2 

s

s 

 s 1

c  2 u 1  0 , A11  2

s 

  12

 s 1

  21

 12 

 s 1

 22  

s 

c  2 u 2  0 , A11  2

c  23 I 0 . A11  2

(4.10)

A11 A22 A11 A12 (s) (s)  11   22 , 2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12 2

A11 A11 A12 (s) (s)   22   11 , 2 2 A11 A22  A12 A11 A22  A12

( s 1)

u 2 

( s 1)

 3



A11 A88 A11 A78  12( s)   21( s ) , 2 2 A77 A88  A78 A77 A88  A78

(4.11)

A11 A77 A11 A78 u1( s )  3 ( s 1)   21( s )   12 ( s ) , 2 2  A77 A88  A78 A77 A88  A78  3( s ) a 2 A11   13( s ) ,  B66

3 ( s ) a 2 A11   23( s ) .  B44

0  0  0  Для s  0 все величины определяющие задачу выражаются через u1 , u 2 , 3

:  0  0 A A u1 A A u 2  120  78  210 ,  210  88 ,  110  12  220 ,  220  22 , A88 A11  A22 A11  (4.12) 0 0 B     B 3 3 130  2 66 ,  230  2 44 .     a A11 a A11 0  0  0  А для определения u1 , u 2 , 3 из (4.10), (4.11) будем иметь следующие

дифференциальные уравнения: 0 

0 

 2 ui 1 2ui  2 2  2 ai 

 0,

0 

 2 3 1  2 3  2 2  2 a3 

 0, i  1, 2

(4.13)

где

1 c0 2 1 c0 2 1 c 2a 2  ,  ,  I 0 . a1 A88 a2 A22 a3 B44 97

(4.14)

Важно отметить, что граничные условия (2.5) для временного погранслоя будут однородными (т.к. граничные условия (2.5) выполнены решением внутренней задачи), а начальные условия пока ставим произвольными i  1,2 : 0 

0 

u i 

3 

 0,   1

в . п.  0 

 0  f i

*( 0 )

 0. в .п .

 30   0 3*( 0)  ,

 ,

в . п.  0 

в . п.

 ui 

 Fi

*( 0 )

(4.15)

  1

3 

 ,

(4.16)

0 

 3

*( 0 )

 ,

 0

где *(s)

fi*  a s f i

*(s )

*(s)

, 3*   s  3 , Fi*   1c0 s F i

, *3 

c0 s *( s)  3 . h

(4.17)

Решив начально-граничную задачу (4.13)- (4.17), получим: u i0  d1i  d2i 





 2k  1   2k  1   2k  1  ai   d2k i sin ai  sin    2   2   2 

 d1k i cos

k 1 

 d 3 k i cos k  a i   d 4 k i sin k  a i cos k  ,



(4.18)

k 1    2k  1   2k  1   2k  1  30  c13  c23   c1k 3 cos a3   c2k 3 sin a3  sin    2 2 2         k 1





 c 3 k 3 cos k  a 3   c 4 k 3 sin k  a 3 cos k 

,

(4.19)

d 3k i   cosk  f i *  d ,

(4.20)

k 1

где 1

d1i

1   f i *  d , 2 1

1   F i *  d , 2 1

 2k  1  * d1k i   sin    f i  d , 2   1

1 1

d 2k i 

2  2k  1  * sin    F i  d ,  2k  1a 1  2  1

1 *    3  d , 2 1

1 *    3  d , 2 1

d 4k i 

1 cosk F i *  d . ka 1

c1k

 2k  1  *   sin    3  d ,  2  1

1 3

c3 k 

*  cosk 3  d ,

c2 k

(4.21)

1 1

2  2k  1  *  sin     3  d ,  2k  1a 1  2 

c4 k

1  cosk  3*  d .  ka 1

Как видно из общих решений (4.18),(4.19), чтобы эти решения были чисто осциллирующими, необходимо требовать: i

d1  0 , d 2  0 , c1  0 , c2  0 .

(4.22) Условия (4.22) назовем условиями осцилляции. Учитывая соответствующие формулы из (4.20), (4.21) условия осцилляции (4.22) будут выражаться так: 1



f i *  d  0,

1

* *  Fi  d  0,   3  d  0,

*   3  d

1

 0.

(4.23)

Сращивая внутреннюю задачу и погранслой по времени с учетом (4.23), приходим к начальным условиям для одномерных уравнений (3.18)-(3.21):

 f 1  f ,  1 t 0   1  1 2  x2 x h x2 x  h  2 2   h 1 w t 0  f 2 ( x1 , x2 )dx2 , 2h h h

1 3 t 0  3 ( x1, x2 )dx2 , 2h h

 1 t

t 0

1  F   1 2  x2 

 x2  h

F1 x2

 ,  x2   h 

w 1  F2 ( x1 , x2 )dx2 , t t 0 2h h

(4.24)

3 1   ( x1, x2 )dx2 . t t 0 2h h 3

Таким образом, на основе асимптотического метода построена математическая модель динамического изгиба микрополярных ортотропных упругих тонких балок с независимыми полями перемещений и вращений: уравнения движения (3.18), физические соотношения (3.19), (3.21) геометрические соотношения (3.20), граничные условия (4.6) (либо (4.7), (4.8)) и начальные условия (4.24). 5. Сравнение моделей прикладной одномерной теории изгиба микрополярных упругих тонких балок построенной на основе асимптотического метода и метода гипотез. Как уже было отмечено выше, в работах [11-13,15,16] прикладная одномерная модель балок, пластин и оболочек построена на основе метода гипотез. Принятые гипотезы для микрополярных балок имеют следующие содержания: 1) нормальный элемент, первоначально перпендикулярный к оси симметрии, остается после деформации прямолинейным, свободно вращается на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины и не оставаясь перпендикулярным к деформированной оси.

Вследствие этого имеем линейный закон изменения перемещений u1 ,u2 и свободного поворота  3 :

u1  x2 1 x1 , t , u2  wx1 , t , 3  3 x1 , t  , где

(5.1)

 1  полный угол поворота нормального элемента, w  прогиб балки, 3 

угол свободного поворота; 2) при определении деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений для силового напряжения

 21 сначала примем

 21   21 x1 , t  .

(5.2)

После определения указанных величин, значение  21 окончательно определим как сумму значения (5.2) и результата интегрирования первого уравнения движения из (2.1), для которого потребуем, чтобы усредненная по ширине прямоугольника ее величина была равна нулю. Введя сравнивание, убеждаемся, что эти гипотезы соответствуют свойствам асимптотического решения начально-краевой задачи (2.1)-(2.9) плоской микрополярной теории упругости в тонкой прямоугольной области. Теперь будем сравнивать основные уравнения, граничные и начальные условия прикладной одномерной модели микрополярных упругих тонких балок ((3.18)-(3.21), (4.6)-(4.8), (4.24)) с основными уравнениями, граничными и начальными условиями той же модели построенной на основе метода гипотез [15,16]. Как убеждаемся, разница лишь в выражении момента M 11 : речь идет о величине A12 h 2  Y  Y  , которая присутствует в формуле (3.19) и которая отсутствует в A22 3





аналогичной формуле работ [15,16]. Это результат того, что по асимптотическому методу в формуле обобщенного закона Гука (2.3) для величины 11 силовое напряжение  22 не пренебрегается относительно силового напряжения  11 , но по методу гипотез, как и в классической теории, такое пренебрегание оправдано. Отметим, что численные результаты тоже подтверждают это пренебрегание. Таким образом, можем констатировать, что построенная прикладная одномерная модель микрополярных упругих тонких балок построенной в работах [15,16] представляет собой асимптотически точную модель. Լ.Մ. Մարգարյան

Միկրոպոլյար օրթոտրոպ առաձգական բարակ ձողերի դինամիկական կիրառական մոդելի կառուցումն ասիմպտոտիկ մեթոդով Աշխատանքում սինգուլյար-գրգռման ասիմպտոտիկ մեթոդի հիման վրա կառուցված է միկրոպոլյար օրթոտրոպ առաձգական բարակ ձողերի կիրառական դինամիկ մոդելը: Այս մոդելի միջոցով մաթեմատիկորեն հիմնավորվում է վարկածների մեթոդի հիման վրա կառուցված համապատասխան մոդելը:

100

L.M. Margaryan Construction of Dynamic Aapplied Model of Micropolar Orthotropic Elastic Thin Bars with the Asymptotic Method In the present paper applied dynamic model of micropolar orthotropic elastic bars is constructed on the basis of the singularly perturbed asymptotic method. On the basis of this model corresponding model, constructed on the basis of the hypotheses method, is mathematically justified. Литература 1. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек.//Сб.: Материалы I Всесоюзной школы по теории и численным методам расчета оболочек и пластин. Тбилиси: изд-во Тбилисск.ун-та. 1975. С. 51-149. 2. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. Москва: Наука. 1976. 510с. 3. Агаловян Л.А. Асимптотическая теория анизотропных пластин и оболочек. Москва: Наука. 1997. 414с. 4. Kaplunov J.D., Kossovich L.Yu., Nolde E.V. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies. Academic Press. 1998. 225p. 5. Rogacheva N.N. The Theory of Piezoelectric Plates and Shells. Boca Ration: SRS Press. 1994. 260p. 6. Саркисян С.О. Общая двумерная теория магнитоупругости тонких оболочек. Ереван: изд-во АН Армении. 1992. 232с. 7. Устинов Ю.А. Некоторые свойства однородных решений неоднородных плит.// Доклады АН СССР. 1974. Т. 216. N4. С. 755-758. 8. Саркисян С.О. Прикладные одномерные теории балок на основе несимметричной теории упругости.//Физическая мезомеханика. 2008. Том 11. N5. С. 41-54. 9. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости.//Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. N1. С.129-147. 10. Саркисян С.О. Теория микрополярных упругих тонких оболочек.// Прикладная математика и механика. 2012.Том76. Вып.2. С.325-343. 11. Sargsyan S.H. Effective Manifestations of Characteristics of Strength and Rigidity of Micropolar Elastic Thin Bars.//Journal of Materials Science and Engineering. 2012. Vol. 2. N1. P.98-108. 12. Саркисян С.О. Общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин.//Известия НАН Армении.Механика.2011.T.64. N1. с.58-67. 13. Саркисян С.О. Общая динамическая теория микрополярных упругих тонких оболочек.// Доклады АН России. 2011. Том 436. N2. С.195-198. 14. Саркисян С.О. Построение математической модели микрополярных упругих тонких балок асимптотическим методом.// Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Естественные науки. 2012. N 5. С. 31-37.

101

15. Sargsyan S.H., Margaryan L.M. Mathematical Model of Dynamics of Micropolar Orthotropic Elastic Thin Bars with Free Fields of Displacements and Rotations.//Journal of Mechanics Engineering and Automation. 2012. Vol. 2. P. 110-118. 16. Маргарян Л.М., Саркисян С.О. Математические модели динамики микрополярных анизотропных (ортотропных) упругих тонких балок.// Известия НАН Армении. Механика. 2012. Tом 65. N1. С. 17-28. 17. Iesen D. The plane micropolar strain of orthotropic elastic solids.//Archives of Mechanics. 1973. Vol. 5. N3. P. 547-561. 18. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений тонкой пластинки // Прикладная математика и механика. 1974. Том 38. Вып. 6. С. 1072-1078. 19. Гусейн-Заде М.И. Асимптотический анализ граничных и начальных условий в динамике тонких пластинок// Прикладная математика и механика. 1978. Том 42. Вып. 5. С. 899-907. Сведения об авторе: Маргарян Лилит Мкртичовна – кандидат физ.-мат наук, асистент каф. алгебры и географии Гюмрийского государственного педагогического института им. М. Налбандяна. E-mail: m.liloo@mail.ru Поступило в редакцию 07.05.2012

102

2013

№1

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 539.3

Н.С.Асланян ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ МИКРОПОЛЯРНЫХ ИЗОТРОПНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН Բանալի բառեր` միկրոպոլյար, իզոտրոպ, առաձգական, բարակ, սալ, մոդել: Ключевые слова: микрополярный, изотропный, упругий, тонкий, пластинка, модель. Keywords: micropolar, elastic, plate, thin, isotropic, model. В работе на основе метода гипотез построена модель термоупругости микрополярных изотропных тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. Введение. Обзоры исследований по общей теории микрополярных упругих тонких пластин и оболочек осуществлены в работах [1,2]. В работах [3-6] на основе качественных результатов асимптотического метода интегрирования трехмерной краевой задачи микрополярной теории упругости в тонких областях, сформулированы адекватные гипотезы и построены общие математические модели микрополярных упругих тонких пластин и оболочек. В работе [7] асимптотическим методом изучена трехмерная краевая задача микрополярной термоупругости. В данной работе развивается подход работ С.О.Саркисяна [3-6] на основе качественных сторон результата асимптотического метода [7], сформулированы соответствующие гипотезы и построена модель микрополярной термоупругости изотропных тонких пластин. Отметим, что задача термоупругости для микрополярных тонких оболочек поставлена в работе [8]. 1.Постановка задачи. Рассмотрим изотропную упругую пластинку постоянной толщины 2h как тонкое трехмерное тело. Оси 1 ,2 криволинейной ортогональной системы координат отнесем к срединной плоскости пластинки, ось z будет перпендикулярна срединной плоскости пластинки. Будем исходить из основных уравнений трехмерной несимметричной теории статической термоупругости с независимыми полями перемещений и вращений [9]:

103

Уравнения равновесия  1   1   1 H1    H 211    H1 21   31   H1H 2  2   H1H 2 1  z H1H 2  2 12 

1 H 2   0, H1H 2 1 22

 32 1   1   1 H 2     H 2 12    H1 22    H1 H 2  2   z H 1H 2 1  H 1H 2 1 21 

1 H 1   0, H 1H 2  2 11

 1   1    H 213    H1 23   33  0,  H1H 2 2   z H1H 2 1 

(1.1)

 1   1   1 H1    H 211    H121   31   H1H 2  2   z H1H 2 1  H1H 2 2 12 

1 H 2       32   0,  H1H 2 1 22  23

 1   1   1 H 2    H 2 12    H1 22   32   H1H 2  2   H1H 2 1  z H1H 2 1 21



1 H1         0, H1H 2  2 11  31 13 

 1   1    H 2 13    H1 23   33   12   21  0.  H1H 2  2   H1H 2 1  z

Физические соотношения термоупругости

    11   22  33    2  3   2    

 11 

1  11    22   33    t  , 

 22 

    1  22  11  33   22    11   33    t  ,  22     2  3   2    

11 

    1 33  11   22   33    11   22    t  ,  33     2  3   2     1       12   21 ,  12     12      21  4  4  4 1     (1.2)   21   12 ,  21      21     12  4  4  4

 33   12  21

 13 

     13   31 , 4  4

 13 

1    13      31  , 4

104

 31 

     31   13 , 4  4

   23 4      32 4 

 23   32

11 

1     31     13 , 4   1   32 ,  23      23      32 , 4  4   1   23 ,  32      32      23  . 4  4 Геометрические соотношения

 31 

1 V1 1 H1  V , H1 1 H1H 2  2 2

12 

1 V2 1 H1  V  3 , H1 1 H1H 2  2 1

13 

1 V3  2 , H1 1

 32 

V2  1 , z

1 11  H1 1 12  H1

 31 

1 V2 1 H 2  V , H 2  2 H1H 2 1 1

 21 

1 V1 1 H 2  V  3 , H 2  2 H1H 2 1 2

V1 1 V3  2 ,  23   1 , z H 2  2

 33 

1 1  1 H1 H 2 2 1   1 H 1 H 2

 22 

V3 , z

(1.3)

H1 1 2 1 H 2 2 ,  22   1  2 H 2  2 H1 H 2 1 H 1 1 1 1 H 2 1 ,  21   2 ,  2 H 2  2 H1 H 2 1

13 

1 3 , H 1  1

 31 

1 , z

 32 

 2 , z

 33 

3 , z

 23 

1 3 , H 2  2

Уравнение стационарной теплопроводности

1    H 2        H1H 2  1  H1 1   2 

 H1    2    2  0.  H 2  2  z

(1.4)



 

Здесь,  ,  - тензоры силовых и моментных напряжений;  ,   тензоры де 

формаций и изгибов–кручений. V ,  -векторы перемещения и независимого поворота соответственно;  -функция температуры,  , ,     

упругие постоянные, а

 2 1  

 ,  ,  ,  ,    

t -линейный коэффициент температурного расширения 105

микрополярного материала пластинки; 1  A1, 2  A2 -коэффициенты Ламе криволинейной ортогональной системы координат 1,2 , расположенной в серединной плоскости пластинки. К основным уравнениям микрополярной теории термоупругости (1.1)(1.4) присоединим соответствующие граничные условия. На лицевых плоскостях пластинки z   h примем граничные условия первой граничной задачи микрополярной теории упругости :

 3i   pi ,  33   p3 , 3i  mi , 33  m3 (1.5) На поверхности края пластинки  в зависимости от способа приложения внешней нагрузки или закрепления ее точек, граничные условия записываются в силовых и моментных напряжениях, перемещениях и поворотах или в смешанном виде. Для температурного поля пластинки как на лицевых плоскостях z  h , так и на поверхности края  для определенности будем считать заданными значения температурной функции. Будем предполагать, что толщина пластинки мала по сравнению с другими размерами пластинки в плане. Будем исходить из следующей основной концепции: в статическом случае общее термоупругое состояние тонкого трехмерного тела, образующего пластинку, состоит из внутренного состояния, охватывающего всю пластинку и пограничных слоев, локализирующихся вблизи поверхности края пластинки  . Построение общей прикладной–двумерной теории термоупругости микрополярных упругих тонких пластин тесно связано с построением внутренней задачи. Считая, что метод гипотез, наряду с чрезвычайной наглядностью, очень быстро и относительно просто для инженерной практики приводит к окончательным результатам, будем строить модель термоупругости микрополярных изотропных тонких пластин на основе метода гипотез. Сами гипотезы будем формулировать на основе результата асимптотического анализа поставленной трехмерной граничной задачи микрополярной теории термоупругости в тонкой трехмерной области пластинки [7]. 2. Исходные гипотезы. С учетом качественных результатов [7] асимптотического решения систем уравнений (1.1)-(1.4) с указанными выше граничными условиями и самого процесса асимптотического интегрирования этой граничной задачи, в основу предлагаемой ниже модели микрополярной термоупругости изотропных тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений можем ставить следующие достаточно общие гипотезы [3-6]: 1) В качестве кинематической вводится предположение о линейном распределении компонентов векторов перемещения и независимого поворота по координате z следующего характера:

106

Vi  ui (1 , 2 )  z i (1 , 2 ), V3  w(1,2 ) , i  i (1, 2 ) , 3  3 (1, 2 )  z  (1, 2 ) ,

(i=1,2) (i=1,2)

где u i , w -перемещения точек срединной плоскости по направлениям

(2.1) (2.2)

i и z ;

 i -полные углы поворота нормального к срединной плоскости элемента вокруг оси  i ; i свободные повороты точек трехмерной пластинки вокруг осей  i ;  3 -поворот точек срединной плоскости вокруг оси z , а  - интенсивность поворота точек трехмерной пластинки вокруг оси z . Кинематическая гипотеза (2.1), (2.2) в работах [3-6] названа обобщенной гипотезой Тимошенко в теории микрополярных пластин и оболочек. К статическим относятся следующие гипотезы :

 33 в обобщенном законе Гука (1.2) в формулах для  ii можем пренебрегать относительно силовых нормальных напряжений ii ; 2) Силовое напряжение

 i 3 (i  1, 2 ) , моментное напряжение  3i можно пренебрегать относительно моментного напряжения  i 3 (i=1,2); в обобщенном законе Гука (1.2) в формулах для

3) Для определения деформаций, изгибов-кручений, силовых и моментных напряжений, для силовых напряжений

 3i и моментного напряжения 33

сначала примем: 0

 3i   3i (1 , 2 ) (i=1,2), 33  33 (1 , 2 )

(2.3)

После определения указанных величин значения

 3i и 33 определим,

соответственно, как сумму значения (2.3) и результата интегрирования первых двух и шестого из (1.1) уравнений равновесия, для которых потребуем условия, чтобы усредненные по толщине пластинки величины были равны нулю; 4) Для температурной функции  примем закон линейного изменения по толщине пластинки:

  0 (1,2 )  z1(1,2 ),

(2.4)

Принятые кинематические, статические гипотезы и гипотеза о распределении температурной функции по толщине пластинки позволяют задачу об определении пространственного напряженно-деформированного состояния (НДС) микрополярной пластинки свести к двумерной задаче. 3. Определение компонентов тензоров деформаций и изгибов-кручений. Используя кинематическую гипотезу (2.1), (2.2) для компонентов тензора 



деформации  и тензора изгибов-кручений  , получим:

 11  111,2   zK11(1, 2 ) ,

 12  12 1 ,  2   zK12 (1 , 2 ) , 107

 22  22  1 ,  2   zK 22 ( 1 ,  2 ),  21  21  1 ,  2   zK 21 ( 1 ,  2 ),  13  13 ( 1 , 2 ),  31  31 ( 1 ,  2 ),

(3.1)

 32  32 (1,2 ) ,  11  k11 ( 1 ,  2 ) , 22  k22 (1,  2 ) , 33  k33(1,2 ) , 13  k131,2   zl13(1,2 ) ,

 23  23 (1, 2 ) ,  33  0 , 12  k12 (1,2 ) ,  31  0 , 21  k21(1,2 ) , 32  0 ,

(3.2)

 23  k23 1 ,2   zl23 (1 ,2 ) ,

(3.3)

где

11 

1 u1 1 A1  u2 , A1 1 A1 A2  2

22 

1 u 2 1 A2  u1 , A2  2 A1 A2  1

1 u2 1 A1 1 u1 1 A2 12   u1  3 , 21   u2  3 , A1 1 A1 A2  2 A2  2 A1 A2  1 13 

1 w  2, A1 1

31   1   2 ,

K11 

1 w  1 , A2  2

(3.5)

32   2  1 .

1  1 1 A1  2, A1 1 A1 A2  2

1  2 1 A2   1, A2  2 A1 A2 1 1  1 A 1 A1   1   , K 21  A  1  A A 2  2   , 2 2 1 2 1 A1 A2  2

1  2 K12  A1 1 1 1 1 A1 k11   2 , A1 1 A1 A2  2

1 2 1 A1  1 , A1 1 A1 A2  2 1 3 k13  , A1 1 1  l13  , A1 1 k12 

23 

(3.4)

K 22 

k22 

1  2 1 A2  1, k33  , A2  2 A1 A2 1

1 1 1 A2  2 , A2  2 A1 A2 1 1 3 k23  , A2  2

(3.6)

(3.7)

k21 

l23 

1  A2  2

(3.8) (3.9)

4. Определение компонентов тензоров силовых и моментных напряжений. Если иметь в виду физические соотношения (1.2), тогда на основе формул для деформаций, изгибов – кручений (3.1)-(3.3), имея в виду те же статические гипотезы 2)-4), для силовых и моментных напряжений получим:

108

11 



1  E

22  1    t  0  z









 11    22  1    t 1 , 1  2 E  22   11  22  1    t  0  z   11   22  1    t 1 , 2 1  1  2 (4.1)  12     12     21   z    12      21 ,

 11 





 21     21     12   z    21      12 ,  13     13     31 ,  23     23     32 , 0

 31     31     13 ,

 32     32     23 .

0 1   h 2 z 2  1   1   1    31   31 1 ,  2     A2  11   A  21   6  A1 A2  2  1  2   A1 A2  1         1 0  1 A1 1 1 A2 1      12   22   z  A2  11    A1 A2  2 A1 A2 1  A1 A2 1     1   0  1 A1 0 1 A2 0   A1  21   12   22  ,  A1 A2  2 A1 A2  2  A1 A2  1     0 1  h 2 z 2  1   1   1    32   32  1 ,  2     A2  12   A  22   6   A A    A1 A2  2  1  2 1 2 1      



(4.2)

(4.3)

 1  0 1  A2 1 1  A1 1     21   11   z  A2  12    A1 A2  1 A1 A2  2  A1 A2  1     

1  A1 A2  2

  0 0 0   A  22   1 A2  21  1 A1  11  ,  1  A1 A2  1 A1 A2   2   

 1  1   33   z  A2 13  A1 23 A1 A2  2  A1 A2   1







   

 1 ,  2  

p 3  p 3 p   p 3  3 , 2h 2    2 k 22   k11  k 33 , z

11    2 k11   k 22  k 33 ,

 22

 33    2 k 33   k11  k 22 , 12     k12     k 21 ,  21     k 21     k12 , 4 4 4 4 13  k13  z l13  23  k 23  z l 23        

109

(4.4)

(4.5)

 1  1  1 A1  31   z  A2 11  A1  21    A1 A2  2 A1 A2  2 12  A1 A2   1   0 0 m   m1 m1  m1 1  A2   22    23   32     31  1 ,  2   z 1    A1 A2   1 2h 2    1  1  1  A2  32   z  A2 12  A1  22    A1 A2  2 A1 A2  1 21  A1 A2  1















(4.6)



0  0 1  A1 m   m 2 m 2  m 2 11    31   13     32  1 ,  2   z 2    A1 A2   2 2h 2  

0 1   h 2 z 2  1   1   1   33   33 1 ,  2       A2  13   A    A1 A2  2  1 23  2   A1 A2 1   6     

1   1 1 0  0    1   0   0        12   21  z A   A    12   21  (4.7)     A1 A2 1  2 13  A1 A2  2  1 23             0

Здесь 11, 22 ,12 , 21, 13 , 23  постоянная часть, а 11, 22,12, 21, 13, 23  линейная часть от поперечной координаты z в соотношениях (4.1) и (4.5) соответственно. 5. Усредненные усилия, моменты и гипермоменты. С целью приведения трехмерной задачи микрополярной термоупругости для тонкой пластинки к двумерной, что уже выполнено для деформаций, изгибов–кручений, силовых и моментных напряжений, вводим статически эквивалентные им интегральные характеристики-усилия, моменты и гипермоменты: h

h h h 11dz , T22   22 dz , S12  12dz , S21   21dz , h h h h h h h h N13  13dz , N 23   23dz , N 31   31dz , N 32   32 dz , h h h h h h h h M11  z11dz , M 22  z 22 dz , M12  z 12 dz , M 21  z 21 dz , h h h h h h h h L11  11dz , L22  22 dz , L12  12 dz , L 21   21dz , h h h h

T11 



110

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

h L33 

33dz , h



L13 

13dz , h



L23 

h 13 

23dz , h

(5.5)



 z13dz , h

 z 23dz

 23 

(5.6)

h

6. Основные уравнения и граничные условия прикладной теории термоупругости микрополярных изотропных тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений. Уравнения равновесия в двумерном случае получим из равенств, опреде-

 31, 32 , 33 и моментные напряжения 31, 32 , 33 ,

ляющих силовые напряжения

в результате удовлетворения статических граничных условий (1.5) на лицевых плоскостях пластинки z =  h . Отметим, что система двумерных уравнений равновесия распадается на две отдельные системы - для задачи изгиба и обобщенного плоского напряженного состояния. Физические соотношения термоупругости получим на основании формул (5.1)(5.6) для усредненных усилий, моментов и гипермоментов с использованием соответствующих формул (4.1)-(4.7) для силовых и моментных напряжений. Основная система уравнений задачи термоупругого изгиба микрополярных тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений будет выражатся так: Уравнения равновесия







 

1  1  A2 N13  A1 N 23   p3  p3 A1 A2 1 A1 A2  2



 1    1  1 A1 1 A2  31   A2 M 11   A1 M 21  M 12  M   A1 A2  2 A1 A2  2 A1 A2  1 22  A1 A2 1   







 h p1  p1  1  1   32   A2 M 12   A A  A1 A2  2 1  1 2





    A M 22   1 A2 M 21  1 A1 M 11     1  A1 A2 1 A1 A2  2   



 h p 2  p 2







   



1  1  1 A1 1 A2 A2 L11  A1 L 21  L12  L  A1 A2  1 A1 A2   2 A1 A2  2 A1 A2   1 22



 

 N 23  N 32   m1  m1

111



 (6.1)









1  1  1 A2 1 A1 A2 L12  A1L22  L21  L  A1 A2 1 A1 A2  2 A1 A2 1 A1 A2  2 11



 

 N 31  N13   m2  m2



 1   1  L33   A2 13  A1 23  (M 12  M 21 )   h m3  m3 A A   A A    1 2 1 1 2 2  Физические соотношения термоупругости N13  2h   13  2h   31 , N23  2h   23  2h   32 ,









N31  2h   31  2h   13 , M11 

M 22 

2 Eh3 3(1   2 )



N32  2h   32  2h   23 ,

K11 K 22  1   t 1 , M 12



2h3    K12     K 21 , 3

2 Eh 3 2h 3 ,   K  K   1          K 21     K 12  (6.2) M  11 22 t 1 21 3 3(1   2 )

L11  2h  2 k11   k 22  k33 , L12  2h   k12     k21 , L33  2h  2 k33   k11  k 22 , 13 



2h 3 4 l13 , 3  

1 w 13   2 , A1  1 31   1   2 ,

L22  2h  2 k22   k11  k33, L21  2h   k21     k12 ,  23 

2h 3 4 l 23 . 3  

Геометрические соотношения 1 w 23   1 , A2   2

32   2   1 ,

1  1 1 A1 1  2 1 A2   2, K 22    1, A1 1 A1 A2  2 A2  2 A1 A2 1 1  2 1 A1 1  1 1 A2 K12    1  , K 21    2  , A1 1 A1 A2  2 A2  2 A1 A2 1 1 1 1 A1 1  2 1 A2 k11   2 , k22   1 , k33  , A2  2 A1 A2 1 A1 1 A1 A2  2 1 2 1 A1 1 1 1 A2 k12   1, k21   2 , A1 1 A1 A2  2 A2  2 A1 A2 1 K11 

l13 

(6.3)

1  1  . , l 23  A1  1 A2   2 К системе уравнений (6.1)-(6.3) присоединим граничные условия (при

1  const ) [5,6]: M11  M11* или K11  K11* ; M12  M12* или K12  K12* , 112

N13  N13* или w  w * ;

(6.4)

L11  L*11 или k11  k11* ; L12  L*12 или k12  k12* ;  13  *13 *

или l13  l13 . Система уравнений (6.1)-(6.3) и граничные условия (6.4) представляют собой математическую модель термоупругой изгибной деформации микрополярных изотропных тонких пластин. Основная система уравнений плоской задачи термоупругости микрополярных тонких пластин с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться так: Уравнения равновесия   1   1   1 A1 1 A2 A2 T 11   A1 S 21   S12  T 22   A1 A2  2   A1 A2  2 A1 A2  1  A1 A2  1    





  p1  p1 ,   1  1   1 A2 1 A1  A2 S12  A T  S 21  T 11  22 1   A1 A2 1 A1 A2  2  A1 A2  2  A1 A2 1  





(6.5)



  p 2  p2 ,













1  1  A2 L13  A1 L23  S12  S 21   m3  m3 . A1 A2 1 A1 A2  2 Физические соотношения термоупругости 2 Eh 11   22  1    t  0 , T 22  2 Eh 2  11  22  1    t  0 , T11  2 1  1 

S12  2h   12     21 , L13  2 h

4 k13 ,  

1 u1 1  A1 1 A1 A2 1 u 2 1 12   A1 1 A1 A2 1  3 k13  , A1  1 11 

S 21  2h   21     12 ,

(6.6)

4 k 23 .   Геометрические соотношения L 23  2 h

A1 1 u 2 1 A2 u2 , 22   u1 ,  2 A2  2 A1 A2 1 A1 1 u1 1 A2 u1   3 , 21   u2  3 ,  2 A2  2 A1 A2 1 1  3 k 23  . A2  2

(6.7)

К системе уравнений (6.5)-(6.7) присоединим следующие граничные условия

1  const

[5,6]:

T11  T11* или u1  u1* ; S12  S12* или u2  u2* ; L13  L*13 113

или k13  k13 ,

(6.8)

Система уравнений (6.5)-(6.7) и граничные условия (6.8) представляют собой математическую модель обобщенного плоского напряженного состояния термоупругости микрополярных тонких пластин. Заключение. Основные результаты работы: 1) построена математическая модель изгибной термоупругой деформации микрополярных тонких пластин; 2) построена математическая модель термоупругости обобщенного плоского напряженного состояния микрополярных тонких пластин. В дальнейшем на основе построенных прикладных моделей будут изучаться некоторые конкретные задачи термоупругого деформирования микрополярных пластин.

Ն. Ս. Ասլանյան Միկրոպոլյար իզոտրոպ բարակ սալերի ջերմաառաձգականության հիմնական հավասարումները Աշխատանքում վարկածների մեթոդի հիման վրա կառուցված է իզոտրոպ բարակ սալերի ջերմաառաձգականության անկախ տեղափոխություններով և պտույտներով մաթեմատիկական մոդելը:

N. S. Aslanyan General Equations of Thermo Elasticity of Micropolar Isotropic Elastic Thin Plates In the present paper model of thermo elasticity of micropolar isotropic elastic thin plates with free fields of displacements and rotations is constructed on the basis of hypotheses method. Литература 1. Саркисян С.О. Микрополярная теория тонких стержней, пластин и оболочек// Известия НАН Армении. Механика. 2005. Т. 58. №2. С. 84-95.

2. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V. A. 2009. “On generalized Cosserat-tape theories of plates and shells:a short review and bibliography”.//Arch. Mech (Special Issue) DOI 10. 1007/s 00419-009-0365-3. Springer-Verlag. 3. Sargsyan S.H. Effective Manifestations of Characteristics of Strength and Rigidity of Micropolar Elastic Thin Bars// Journal of Materials Science and Engineering. 2012. Vol.2. N1. P.98-108. 4. Саркисян С.О. Математическая модель микрополярных упругих тонких пластин и особенности их прочностных и жесткостных характеристик //Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. Вып. 2. С. 148-156. 5. Sargsyan S.H. Mathematical Models of Micropolar Elastic Thin Shells// Advanced Structured Materials. Shell-like Structures. Non-classical Theories and Applications. Springer.2011.Vol. 15. P.91-100. 6. Саркисян С.О. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек.// Физическая мезомеханика. 2011. Т. 14. . №1. С. 55-66.

114

7. Варданян С.А., Саркисян С.О. Асимптотический анализ уравнений и граничных условий термоупругости микрополярных тонких пластин// Известия НАН Армении. Механика. 2007. Т. 60. № 3 . С.64-77. 8. Sargsyan S.H. Mathematical Models of Thermoelasticiti of Micropolar Elastic Thin Shells // 9 th International Congress on Thermal Stresses 2011, June 5-9, Budapest. Budapest University of Technology and Economics and Hungarian Academy of Sciences. 9. Nowacki W. Couple-Stresses in the Theory of Thermoelasticity// Irreversible Aspects of Continuum Mechanics and Transfer of Physical Characteristics in Moving Fluids// IUTAM Symposia.Vienna,1966.Editors H.Parkus, L.I.Sedov. Springer-Verlag.Wien.New York. 1966. P.259-278.

Сведения об авторе: Асланян Наира Самвеловна - Учительница математики Гюмрийского Академического лицея. Соискатель каф. мат. анализа и дифференциальных уравнений Гюмрийского государственного педагогического института им. М. Налбандяна. E-mail: asnaira73@mail.ru Поступило в редакцию 23.05.2012

115

№1

2013

ХИМИЧЕСКАЯ ФИЗИКА УДК 661.184:53.082.4

A.A. Шагинян, Л.Г. Арсенян, А.Г. Погосян ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИОТРОПНОГО ЖИДКОГО КРИСТАЛЛА ПРИ ПОМОЩИ КОМПЬЮТЕРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Բանալի բառեր՝ համակարգչային գիտափորձ, մոլեկուլային դինամիկա, սիմուլյացիա, լիոտրոպ հեղուկ բյուրեղ: Ключевые слова: компьютерный эксперимент, молекулярная динамика, симуляция, лиотропный жидкий кристалл. Keywords: computer experiment, molecular dynamics, simulation, lyotropic liquid crystal. Проведено 500 нс молекулярно-динамическое (МД) исследование лиотропного жидкого кристалла, состоящего из плоских мицелл пентадецилсульфоната натрия (ПДСН). Методом компьютерного эксперимента получены важные параметры, характеризующие динамическую структуру лиотропных жидких кристаллов. Установлено хорошее соответствие между данными полученными компьютерным и физическим экспериментами. Введение. С конца прошлого столетия в экспериментальную науку начали внедряться новые методы исследования, обобщенно именуемые «компьютерным экспериментом», а темпы его развития продолжают стремительно расти. Исследования ученых последних лет показали, что методы и возможности «компьютерного эксперимента», можно эффективно использовать для исследования структуры и свойств многокомпонентных молекулярных систем в динамике. В этом плане применение метода «компьютерного эксперимента» может в частности стать перспективным для изучения динамических свойств и структуры жидких кристаллов (ЖК), в том числе лиотропных жидких кристаллов (ЛЖК). Для этого созданы и развиваются специализированные алгоритмы и инструменты расчета, наиболее распространенным из которых является метод «молекулярной динамики» (МД).

116

Совместное применение методов физического и компьютерного экспериментов могут стать взаимодополняющими и могут быть источником получения совершенно новых знаний о строении и свойств сложных молекулярных систем. Целью настоящей статьи является исследование молекулярной структуры и динамических свойств ЛЖК при помощи компьютерного эксперимента, с применением метода молекулярной динамики (МД), с сопостовлением с данными рентгеноструктурного анализа и других физических методов. В данной работе впервые сделана попытка с применением компьютерного эксперимента расшифровать структуру лиотропной системы поверхностноактивного вещества (ПАВ) -вода на примере системы пентадецилсульфоната натрия (C15H31SO3Na)-вода Методы исследования. При изучении динамической структуры и свойств ЛЖК использованы следующие методы, подходы и пакеты программ:  для моделирования движения молекул и атомов использован метод МД;  равновесную конфигурацию системы определили методом минимизации свободной энергии системы, с учетом силовых полей функционирующих в ней;  машинные расчеты проводились при помощи пакета программ GROMACS,  компьютерные эксперименты проводились на “АрмГриде”, на 50 процессорах Xeon 3.06GHz. Компьютерный эксперимент проводилось для двух отдельных систем. Изначально была построена и симулирована в течении 10 нс физического времени система, состоящая из 512 молекул ПДСН и приблизительно 9000 молекул воды. После чего, с целью выяснения зависимости структуры и свойств системы от ее физических размеров, была построена меньшего поразмера система, состоящая из 64 молекул ПДСН и приблизительно 1200 молекул воды. Для второй системы симуляция проводилась в течение 50 нс. Отметим, что в обоих случаях весовое соотношение концентраций воды и ПДСН одинакова и равняется: Свода /Свода=1, что количественно означает присутствие18 молекул воды на одну молекулу ПДСН. Для построения моделей систем ПДСН-вода, сначала на основе теоретических и эксперементальных данных, используя компьютерную программу Hyperchem (HypercubeInc.) [1] была построена модель одной молекулы ПДСН с противоионом – атомом натрия (рис. 1). После построения модели отдельной молекулы ПДСН, с помощью, разработанного нами ранее, программного пакета Mdesigner [2], методом репликации этой молекулы были получены системы из 512 и 64 молекул ПДСН в виде плоских мицелл, с тем же количеством противоионов соответственно.

117

Рис.1.Модель молекулы ПДСН с противоионом – Na+

Следующим шагом было помещение плоских мицелл в водную среду, состоящую из моделей молекул воды типа TIP3P [3]. Симуляции обеих систем проводились в ансамбле NPT, в одинаковых условиях – при постоянной температуре T  300K и постоянном нормальном давлении 1 ат. Изначально для обеих систем была проведена симуляция в течение около 300 пс в ансамбле NVT, при постоянном объеме. Контроль постоянной температуры производился динамикой Ланжевина (Langevindynamics) [4], с коэффициентом разгрузки (damping1

coefficient) 5пс . Для контроля постоянного давления был использован Langevin piston Nose-Hoover method [5]. При вычислении энергии несвязанных электростатических взаимодействий использовался метод PME, с точностью до 6

10 , а между парами атомов радиус обрезания был установлен в 14 Å. Координаты и скорости атомов записывались с интервалом 0.1 нс, а визуальное представление систем реалиизовывалoсь с помощью программного пакета VMD. Минимизация свободной энергии систем и симуляция проводились используя программу NAMD, с силовым полем CHARMM27 [6], на параллельном компьютерном кластере, работающем с операционной системой Linux. Парциальные заряды силового поля для молекулы ПДСН были генерированы с помощью сервера Dundee PRODRG [7]. После симуляций были вычислены динамические изменения величин некоторых структурных параметров, такие как толщина плоской мицеллы, межплоскостное расстояние системы, площадь приходящая на одну молекулу ПДСН на поверхности мицеллы. Результаты компьютерного эксперимента были сопоставлены с результатами, полученными физическим экспериментом. Были иссле-

118

дованы также величины некоторых микроскопических параметров, получение которых физическим экспериментом в данный момент невозможно. Суть МД симуляции состоит в нахождении минимума свободной энергии, то есть равновесного состояния системы. При использовании пакета программ NAMD величина энергии на каждом шаге интегрирования записывается в специальный файл.

Рис. 2. Зависимость свободной энергии системы ПДСН/вода, от времени симуляции.

На рис.2. представлена кривая изменения свободной энергии системы ПДСН/вода, процессе симуляции. Как видно из рисунка, свободная энергия системы в процессе симуляции уменьшается и начиная с 15-20 нс практически остается постоянной. Следовательно можно полагать, что после 15-20 нс симуляции система ПДСН/вода находится практически в равновесном состоянии. Результаты и их обсуждение. На рисунках 3 и 4 представлена динамика изменений свободных энергий для систем с 512 и 64 молекулами ПДСН соответственно. Из рисунков видно, что для системы состоящей из 512 молекул ПДСН минимум энергии еще не достигнут так как в течении всего времени симуляции имеет место беспрерывно уменьшающийся градиент энергии, в то время как для системы 64-ПДСН после начального уменьшения, начиная с 22 нс симуляции средняя величина свободной энергии остается практически неизменным, то есть можно сказать, что после 22 нс симуляции достигается равновесное или некое устойчивое состояние системы. В дальнейшем данный факт подтвердится также при обсуждении ряда других параметров системы.

119

Рис. 3. Зависимость свободной энергии системы мицелла/вода от времени симуляции. Мицеллы состоят из 512 молекул ПДСН.

Рис. 4. Зависимость свободной энергии системы мицелла/вода от времени симуляции. Мицеллы состоят из 64 молекул ПДСН.

Важнейшим макропараметром лиотропной системы, получаемым физиическим экспериментом, является межплоскостное расстояние (или суммарная толщина плоской мицеллы и межмицеллярного водного прослоя).

120

В компьютерном эксперименте межплоскостное расстояние определялось из данных изменения средней величины толщины повторяющихся структурных единиц в направлении оси z, и так как изначально построение системы велось таким образом, что нормаль к поверхности плоской мицеллы совпадает с направлением оси z, то межплоскостное расстояние представляет собой суммарную толщины плоской мицеллы и межмицеллярного водного прослоя. Динамика изменения межплоскостного расстояния при T  300K для систем с 512 и 64 молекулами ПДСН преставлена на рисунках 5 и 6. Как видно из рисунков в обоих случаях, в процессе симуляции имеет место увеличение межплоскостного расстояния. При этом, если для системы с 512 молекул ПДСН после 10 нс симуляции эта величина принимает значения 91-92 Å, то для системы с 64 молекулами ПДСН после 50 нс симуляции она становится равной 97-98 Å. Для понимания причин увеличения межплоскостного расстояния, была определена толщина плоской мицеллы,то есть среднее расстояние между полярными группами молекул ПДСН, расположенных на противоположных поверхностях мицеллы, в направлении оси z. Вычисление проводится следующим образом: для каждого из половин мицеллы, по оси z, определяется некая средняя плоскость на которой в среднем расположены атомы серы полярных групп молекул ПДСН и за тем вычисляется расстояние между этими поверхностями как zверх-zниж. В качестве величины толщины плоской мицеллы на каждом временном шаге расчета определяется величина zверх-zниж. Таким образом определяется толщина плоской мицеллы как функция от времени симуляции.

Рис. 5. Зависимость межплоскостного расстояния системы, состоящей из 512 молекул ПДСН и воды, от времени симуляции.

121

Рис.6 Зависимость межплоскостного расстояния системы, состоящей из 64 молекул ПДСН и воды, от времени симуляции.

На Рис. 7 и 8 представлена зависимость толщины мицелл с 512 и 64 молекулами ПДСН от времени симуляции.

Рис.7 . Зависимость толщины плоской мицеллы, состоящей из 512 молекул ПДСН, от времени симуляции.

122

Рис. 8. Зависимость толщины плоской мицеллы, состоящей из 64 молекул ПДСН, от времени симуляции.

Для более легкого сопостовления динамики изменения межплоскостных расстояний и толщины мицелл, кривые рис. 5, 6 и 7,8 представим парно (рис. 9 и 10.)

Рис. 9 Зависимость межплоскостного расстояния системы, состоящей из 512 и 64 молекул ПДСН и воды, от времени симуляции.

123

Рис. 10. Зависимость толщины плоской мицеллы, состоящей из 512 и 64 молекул ПДСН и воды, от времени симуляции.

Как видно из рисунков 7, 8, 9 и 5, 6, 10 толщина плоской мицеллы как и межплоскостное расстояние для систем с 512 и 64 молекулами ПДСН, имеет тенденцию возрастания, хотя как мы можем видеть, в первом случае рост происходит медленнее и в меньших диапазонах. Для системы с 512 молекулами ПДСН после 10 нс симуляции величина толщины плоской мицеллы увеличивается всего на 1,5-2 Å, достигая ~ 41,5 Å т.е практически не меняется. В то время как для системы с 64 молекулами ПДСН после 50 нс симуляции толщина плоской мицеллы достигает значения 42,5 Å. Если для обеих систем мы сопоставим градиенты роста величины межплоскостного расстояния и толщины плоской мицеллы, то в обеих случаях можем фиксировать, что около 25% роста межплоскостного расстояния происходит за счет вклада молекул ПДСН, а остальные 75% за счет водного слоя. Следовательно, в конце симуляции толщина водного слоя может составить около 50-55 Å. По данным рентгеновской дифракции [8] величина межплоскостного расстояния в зависимости от соотношения концентраций вода/ПДСН находится в диапазоне 30-80 Å, и для данного концентрационного С вода соотношения  1 мы имеем довольно близкое совпадение экспериментальС ПДСН ных данных с результатами МД симуляции, с незначительными отклонениями. Таким обраом, методом компьютерного эксперимента можно исследовать динамику изменения молекулярной структуры сложных систем и получить данные сопоставимые с результатами физического эксперимента.

124

Ա.Ա.Շահինյան, Լ.Հ.Արսենյան, Ա.Հ.Պողոսյան Լիոտրոպ հեղուկ բյուրեղի հետազոտոթյունը համակարգչային փորձի օգնությամբ 500 նվրկ. Ժամանակահատվածում մոլեկուլային դինամիկայի մեթոդով ուսումնասիրվել է լիոտրոպ հեղուկ բյուրեղական համակարգը, որը բաղկացած է պենտադեցիլսուլֆոնատի մոլեկուլներից կառուցված հարթ միցելներից: Համակարգչային փորձի օգնությամբ ստացվել են մի շարք կարևոր բնութագրիչներ, որոնք նկարագրում են հեղուկ բյուրեղական համակարգի կառուցվածքը: Ցույց է տրվել, որ համակարգչային և ֆիզիկական փորձերի արդյունքները լավ համապատասխանում են միմյանց:

A.A.Shahinyan, L.H.Arsenyan, A.H.Poghosyan Investigationof Lyotropic Liquid Crystal Using Computer Computer Experiment Conducted 500 ns molecular dynamics study of lyotropic liquid crystal consisting of sodium pentadetcilsulfonate planemicelles. By the method of computer experiment are obtained important parameters characterizing the dynamic structure of lyotropic liquid crystal. Was found a good correspondence between the data obtained by the computer and physical experiments.

Литература 1. Hypercube Inc. URL: http://www.hyper.com/ 2. Shahinyan A.A., Poghosyan A.H., Yeghiazaryan G.A., GharabekyanH.H..Elec J. Nat. Sci. 1, 56, 2004. 3. Jorgensen W. L., Chandrasekhar J., Medura J. D., Impey R. W., Klein M.L.. J. Chem. Phys. 79, 926, (1983). 4. Levy R.M., McCammon J.A., Karplus M. Chem. Phys. Lett. 64, 4, (1979) 5. Feller S.E., Zeng Y.H., Pastor R.W., Brooks B.R..J. Comp. Phys.103, 926, (1995). 6. L. Kale, R.Skeel, M. Bhandarkar, R. Brunner et al., J. Comput. Phys., 1999, 151, pp.283-312. 7. A.W.Schuettelkpof, D.M.F. van Alten, ActaCrystallographica, 2004, 60, pp. 1355-1363. 8. A.A.Shahinyan, The role of structural organization of ionic micelles at the mechanism of forming macromolecules in emulsions, Acad. Publ. , 1985, pp.181, Yerevan. Сведения об авторе: Шагинян Арам Арташесович - Академик НАН Республики Армения, д.х.н., д.ф-м.н., профессор. Международный научно-образовательный центр НАН Республики Армения, научный руководитель. E-mail: shahinyan.aram@gmail.com

Арсенян Левон Грачикович - к.ф-м.н., Международный научно-образовательный центр НАН Республики Армения, научный сотрудник лаборатории "Биоинформатики". Погосян Армен Гамлетович - к.ф-м.н., Международный научно-образовательный центр НАН Республики Армения, старший научный сотрудник лаборатории "Биоинформатики". Поступило в редакцию 16.05.2012

125

2013

№1 ՏՆՏԵՍԱԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆ

ՀՏԴ 336.07

Վ. Հարությունյան, Կ. Սարգսյան ՖԻՆԱՆՍԱՏՆՏԵՍԱԿԱՆ ՃԳՆԱԺԱՄԸ ԵՎ ՊԵՏՈՒԹՅԱՆ ԿՈՂՄԻՑ ԻՐԱԿԱՆԱՑՎՈՂ ՖԻՍԿԱԼ ՔԱՂԱՔԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆԸ Բանալի բառեր` պետություն, ֆիսկալ քաղաքականություն, ֆինանսատնտեսական ճգնաժամ, խթանող, զսպող, գործիքներ, տնտեսական աճ, հարկեր, պետական ծախսեր: Ключевые слова: государство, фискальная политика, финансово-экономический кризис, стимулирующий, ограничивающий, инструменты, экономический рост, налоги, государственные расходы. Keywords: state, fiscal policy, financial-economic crisis, stimulating, restraining, tools, economic growth, taxes, state expenses. Հոդվածում բավական մանրամասնորեն դիտարկված են պետության կողմից վարվող ֆիսկալ քաղաքականության հիմնական ձևերը, դրանց բնորոշ գործիքները և կիրառման առանձնահատկությունները: Ներկայացված են Հայաստանում կառավարության ֆիսկալ քաղաքականության հիմնական ուղղությունները ու դրանց առանձնահատկությունները հետճգնաժամային ժամանակաշրջանում, ինչպես նաև՝ կոնկրետ առաջարկություններ` այդ քաղաքականության արդյունավետությունը մեծացնելու վերաբերյալ: Համաշխարհային փորձի ուսումնասիրությունը ցույց է տալիս, որ տնտեսական զարգացման տարբեր փուլերի ընթացքում մեծ կարևորություն ունի ոչ միայն դրամավարկային քաղաքականության, այլև մակրոտնտեսական մյուս կարևոր գործիքի ֆիսկալ քաղաքականության արդյունավետ իրականացումը։ Թե՛ դրամավարկային, թե՛ ֆիսկալ քաղաքականությունը պետության ընդհանուր տնտեսական քաղաքականության կարևոր բաղկացուցիչներն են: Վերջինս պետության կողմից իրականացվող գործառույթների համալիր է` ուղղված տնտեսական գործընթացների կարգավորմանը, կանոնակարգմանը և սահմանված թիրախային ցուցանիշների ապահովմանը: Թեև ֆիսկալ քաղաքականության տեսական հիմքը բավականաչափ ուսումնասիրված է, սակայն տնտեսագիտության այս ոլորտի գիտական ուսումնասիրությունների ուղղությունները դեռևս իրենց չեն սպառել: Այս ոլորտում

126

գոյություն ունեն մի շարք կարևոր և դեռևս չլուծված հիմնախնդիրներ, որոնց ազդեցությունը տնտեսության վրա պահանջում է ինչպես դրանց շուտափույթ և արդյունավետ լուծումներ, այնպես էլ ֆիսկալ քաղաքականության տեսական հիմքի հետագա կատարելագործում: Հատկապես կարևորվում է ֆիսկալ քաղաքականության նոր մոտեցումների և ուղղությունների մշակումը վերջին ֆինանսատնտեսական ճգնաժամից հետո` դրա բացասական ազդեցությունները հաղթահարելու և հետագա նմանատիպ մարտահրավերներին առավելապես պատրաստ լինելու համար: Ֆիսկալ քաղաքականությունը պետության կողմից ֆինանսական գործառույթների համալիր է` ուղղված պետական ծախսերի և եկամուտների ձևավորմանը: Այն իրենից ներկայացնում է պետական ծախսերի, հարկային քաղաքականության և պետական բյուջեի ցուցանիշների փոփոխման ու կառավարման ոլորտում պետական միջոցառումների համալիր` ուղղված տնտեսական աճին, լրիվ զբաղվածության ապահովմանը, ինչպես նաև վճարային հաշվեկշռի հավասարակշռմանը: Ֆիսկալ քաղաքականությունը` որպես տնտեսության վրա ներազդելու գործուն և ազդեցիկ մեթոդ, առավելապես դրսևորվեց՝ սկսած նախորդ դարի 30ական թվականներից, և դրա տնտեսագիտական հիմքի զարգացումը մեծապես կապվում է անգլիացի ականավոր տնտեսագետ Ջոն Մեյնարդ Քեյնսի հետ: Քեյնսը և հետագայում նաև նրա գաղափարական կողմնակիցները պետության ֆիսկալ քաղաքականությանը վերագրել են տնտեսության կայունացման ու աճի, լրիվ զբաղվածության ապահովման և գների մակարդակի վրա ներազդելու ամենագլխավոր դերը: Իրենց տնտեսագիտական ուսումնասիրությունների առանցքում քեյնսականները դիտարկում են համախառն պահանջարկը` ելնելով այն գաղափարից, որ հենց վերջինիս միջոցով է ձևավորվում համախառն առաջարկը: Ըստ այս տեսության` հարկերի դրույքաչափերի նվազեցումը հանգեցնում է համախառն պահանջարկի աճի, ինչն էլ, իր հերթին, ավելացնում է իրական ՀՆԱ ցուցանիշները, բարձրացնում շուկայական գները: Արդյունքում` սղաճի տեմպերը նույնպես աճում են, իսկ պետական բյուջեի դրամական մուտքերը կարճաժամկետ հատվածում կրճատվում են, և մեծանում է դրա պակասորդը: Ի հակադրություն այս տեսակետին՝ «առաջարկի տնտեսության» կողմնակիցները համարում են, որ համախառն առաջարկն է ձևավորվում համախառն պահանջարկը և ըստ նրանց` քեյնսյան տեսությունը հաշվի չի առնում համախառն առաջարկի ընդհանուր շարժի վրա հարկերի ազդեցությունը: Այս տնտեսագիտական տեսության կողմնակիցները կարծում են, թե հարկերի նվազեցումը խթանում է համախառն առաջարկը և ավելացնում է պետական բյուջեի հարկային մուտքերը, ինչի հետևանքով կրճատվում է բյուջեի պակասորդը: Սակայն ոչ բոլոր տնտեսագետներն են համաձայնվում այս տեսակետին: Իրականում, ճիշտ է, հարկերի նվազեցումը կարող է հանգեցնել հարկային մուտ-

127

քերի ավելացման, սակայն դրա համար բավականաչափ երկար ժամանակ է պահանջվում, այնինչ համախառն պահանջարկի վրա ազդեցությունը կրում է ավելի կարճաժամկետ բնույթ և ավելի տեսանելի է: Տնտեսագիտական տեսության մեջ այս երկու՝ իրար հակադիր մոտեցումներն էլ կիրառություն ունեն, և դրանցից որևէ մեկի գերակայությունը` գործնական կիրառության առումով, կախված է կոնկրետ երկրի տնտեսական իրավիճակից և պետության որդեգրած տնտեսական քաղաքականությունից: Ժամանակակից ֆիսկալ քաղաքականության հիմնական թիրախներն են տնտեսական աճը և լրիվ զբաղվածությունը, տարածքային անհամաչափ զարգացման համահարթեցումը, երկրի սոցիալ-տնտեսական զարգացումը և այլն: Հարկ է նշել, որ պետության ֆիսկալ քաղաքականությունը բնութագրելու համար անհրաժեշտ է պարզել դրա կոնկրետ նպատակները: Վերջիններից կարելի է առանձնացնել. -տնտեսական ցիկլային տատանումների կրճատումը, -ֆինանսատնտեսկան ճգնաժամերի հետևանքների հաղթահարումը, -տնտեսական աճի ապահովումը, -սղաճի կրճատումը կամ դրա համապատասխան տեմպերի պահպանումը, -լրիվ զբաղվածության ապահովումը և այլն: Ֆիսկալ քաղաքականության գերակա նպատակը պետական եկամուտների ձևավորման համար դրամական ռեսուրսների ներգրավումն ու կենտրոնացումն են համապատասխան ֆոնդերում, որոնց միջոցով իրականացվում է պետության տնտեսական, այդ թվում` ֆինանսական քաղաքականությունը: Այդպիսի ֆոնդերից, բնականաբար, ամենակարևորը պետական բյուջեն է: Վերջինս իրենից ներկայացնում է պետության ֆինանսական պլանը որոշակի ժամանակահատվածի համար (սովորաբար մեկ տարվա), որը բաղկացած է պետական եկամուտներից և ծախսերից: Ընդ որում, պետական բյուջեում արտացոլվում է դրանց մանրամասն կառուցվածքը: Արդյունավետ ֆիսկալ քաղաքականության էությունն արտահայտվում է պետական բյուջեի ճշգրիտ պլանավորման մեջ, ինչն ապահովվում է հարկային արդյունավետ համակարգի և բյուջետային միջոցների ծախսային ուղղությունների ճշգրիտ սահմանմամբ: Պետական ծախսերը և հարկային համակարգը տնտեսության կարգավորման կարևորագույն գործիքներն են: Վերջիններիս միջոցով հնարավոր է կառավարել ՀՆԱ աճը` ըստ սահմանված նպատակների և ցուցանիշների, քանի որ պետական ծախսերը և հարկերը անմիջական ազդեցություն են ունենում համախառն եկամտի, համախառն պահանջարկի, արտադրության ծավալային մակարդակի, զբաղվածության վրա: Կարելի է ասել, որ ներկայումս հարկային համակարգը պետական եկամուտների ձևավորման միջոցից վերածվել է համախառն պահանջարկի վրա ներազդելու գործիքի, ինչը, բնականաբար,

128

պայմանավորված է տնտեսության կառավարման համակարգի զարգացմամբ և տնտեսական առաջընթացով: Ֆիսկալ քաղաքականության գործիքներով տնտեսության վրա ներազդումը կատարվում է ուղղակի և անուղղակի մեթոդներով: Ուղղակի մեթոդներից հիմնականը բյուջետային կարգավորումն է` համապատասխան եկամուտների ապահովման և ծախսերի իրականացման միջոցով: Անուղղակի մեթոդներով պետությունն ազդում է տնտեսվարողների ֆինանսական հնարավորությունների և երկրում համախառն վճարունակ պահանջարկի ձևավորման վրա: Հարկերի դրույքաչափերի փոփոխության, հարկային զանազան արտոնությունների տրամադրման, չհարկվող եկամտի շեմի փոփոխության միջոցով պետությունն ապահովում է համախառն պահանջարկի նախընտրելի մակարդակ, արտադրության կայուն ծավալներ և ամենակարևորը` տնտեսական աճի համապատասխան ցուցանիշներ: Հաշվի առնելով վերոգրյալը՝ ընդունված է տարբերակել ֆիսկալ քաղաքականության դիսկրեցիոն և ոչ դիսկրեցիոն ուղղություններ: Դիսկրեցիոն ֆիսկալ քաղաքականությունը պետության կողմից հարկերի և ծախսերի նպատակաուղղված մանիպուլյացիան է` արտադրության և զբաղվածության մակարդակները փոփոխելու, սղաճը վերահսկելու և տնտեսական աճը արագացնելու նպատակով: Այս քաղաքականության մեթոդներից կարելի է նշել հարկերի դրույքաչափերի փոփոխությունները, ինչպես նաև` պետական աջակցության ծրագրերի, պետական գնումների և պետական պատվերներով իրականացվող զանազան ծրագրերի ծավալային փոփոխությունները: Սոցիալ-տնտեսական ոչ բարենպաստ իրավիճակներում պետությունը կիրառում է դիսկրեցիոն ֆիսկալ քաղաքականության տարբեր գործիքներ` սոցիալական լարվածությունը թուլացնելու, ազգաբնակչության անապահով խավերին նյութական լրացուցիչ աջակցություն ցուցաբերելու, արտադրության հետագա անկումը կանխելու և գործազրկության մակարդակը նվազեցնելու նպատակով: Տնտեսվարողների և ազգաբնակչության եկամուտների կտրուկ նվազումը կանխելու համար կիրառվում են հարկային զանազան արտոնություններ, ինչպես նաև վերանայվում են որոշակի հարկերի դրույքաչափերը: Դիսկրեցիոն քաղաքականությունն իրականացվում է նաև պետական տրանսֆերտների և գնումների միջոցով: Վերջիններիս փոփոխությունը անմիջականորեն հանգեցնում է համախառն ծախսերի ուղղակի փոփոխության, որն էլ իր հերթին՝ համախառն պահանջարկի աճի: Դիսկրեցիոն ֆիսկալ քաղաքականության բնույթը և դրա այս կամ այն գործիքի կիրառումը հիմնականում կախված են երկրում տիրող տնտեսական իրավիճակից և պետության կողմից տարվող տնտեսական քաղաքականությունից: Ֆիսկալ դիսկրեցիոն քաղաքականության շրջանակներում առկա են ֆինանսական հետևյալ փոխկապվածությունները.

129

1. Պետական ծախսերի ավելացումը մեծացնում է համախառն պահանջարկը թե՛ մասնավոր սպառման և թե՛ ներդրումների աճի միջոցով, ինչի արդյունքում` աճում են արտադրության ծավալները և զբաղվածությունը, 2. Հարկերի ավելացումը նվազեցնում է տնտեսվարողների ու ազգաբնակչության եկամուտները և արդյունքում կրճատվում է համախառն առաջարկը, ինչն էլ իր հերթին հանգեցնում է արտադրության կրճատման և գործազրկության մակարդակի աճի: Տնտեսական անկման, մասնավորապես ֆինանսատնտեսական ճգնաժամերի արդյունքում պետությունը վարում է խթանող ընդլայնողական ֆիսկալ քաղաքականություն, ինչը դիսկրեցիոն ֆիսկալ քաղաքականության ոլորտում արտահայտվում է պետական ծախսերի զգալի ավելացման և հարկերի դրույքաչափերի կրճատման որոշակի համադրությունով: Հիմնականում այսօրինակ քաղաքականությունը ենթադրում է պետական բյուջեի զգալի պակասորդ, սակայն մյուս կողմից՝ այն թույլ է տալիս կանխել արտադրության զգալի անկումը: Պետական ծախսերի ավելացման հետևանքով տեղի է ունենում, այսպես կոչված,«դուրսմղման էֆեկտ»` պետության և մասնավոր ներդրումների մրցակցության արդյունքում, ինչպես նաև՝ արտադրության գործոնների վերաբաշխում` հօգուտ պետության: Պետության կողմից ծախսերի աճը, ի վերջո, բերում է շուկայական տոկոսադրույքների աճի, որն էլ, իր հերթին, նպաստում է մասնավոր ներդրումների կրճատմանը: Վերջիններիս նվազումը նպաստում է կապիտալի արտահոսքին և բացասաբար է անդրադառնում երկրում տնտեսական աճի ու ազգաբնակչության կենսամակարդակի վրա: Այս քաղաքականության արդյունավետությունը կախված է պետական ծախսերի օպտիմալ ծավալի սահմանումից: Ընդհակառակը, տնտեսական վերելքի շրջանում հավելյալ պահանջարկը զսպելուն և գների կայունությունը պահպանելուն միտված պետական ֆիսկալ դիսկրեցիոն քաղաքականությունը տարվում է պետական ծախսերի կրճատման և հարկերի ավելացման միջոցով։ Այսպիսի քաղաքականության կիրառման ժամանակ սովորաբար պետական բյուջեն հավելուրդային է. հավաքագրվող եկամուտները գերազանցում են նախատեսված ծախսերը: Ոչ դիսկրեցիոն ֆիսկալ քաղաքականությունը ենթադրում է պետական բյուջեի հարկային զուտ մուտքերի փոփոխություն` որպես հետևանք ազգային արտադրության ծավալների փոփոխության: Հիմնականում, պետական ծախսերը և հարկերը փոփոխվում են ինքնաբերաբար: Սա, որպես կանոն, արդյունք է հարկերի պրոգրեսիվ դրույքաչափերի և պետական տրանսֆերտային համակարգի: Ոչ դիսկրեցիոն ֆիսկալ քաղաքականությունը գործում է անկախ` շնորհիվ ներքին շուկայական կարգավորիչների: Վերջիններս պետության քաղաքականությունից անկախ գործող շուկայական մեխանիզմներ են, որոնց միջոցով զգալիորեն համահարթվում են տնտեսության անկումները և վերելքները: Ներքին կարգավորիչների առանձնահատկությունն այն է, որ հարկերի դրույքաչափերը փոխկապակցված են եկամուտների մակարդակի հետ, օրինակ,

130

եկամտահարկը, շահութահարկը և այլն: Հարկային մուտքերի փոփոխությունը` կախված եկամուտների մակարդակի փոփոխությունից, ներքին կարգավորիչների դրսևորման հետևանք է: ՀՆԱ բարձր աճի տեմպեր գրանցած ժամանակահատվածում հարկային մուտքերը մեծանում են՝ պայմանով, որ հարկային համակարգը պրոգրեսիվ է: Որպես հետևանք՝ սահմանափակվում է ազգաբնակչության գնողունակությունը, ինչն էլ, իր հերթին, զսպում է տնտեսական աճը: Իսկ տնտեսական անկման շրջանում տեղի է ունենում ճիշտ հակառակ գործընթացը: Ինչպես տեսնում ենք, ներքին կարգավորիչները տնտեսական կայունության ապահովման կարևոր գործիքներ են: Դրանք, պետության ֆիսկալ քաղաքականության կարևոր բաղադրիչներ լինելով, մեղմացնում են արտադրության ծավալների և զբաղվածության անցանկալի տատանումները, սակայն չեն վերացնում արտադրության ծավալային փոփոխության անբարենպաստ այլ հետևանքները: Ներքին կարգավորիչները հիմնականում ազդում են արտադրության ծավալների, գների մակարդակի և շուկայական տոկոսադրույքի վրա: Համախառն պահանջարկի կրճատման դեպքում ներքին կարգավորիչները կանխում են արտադրության ծավալների կտրուկ փոփոխությունները: Դրանց ազդեցությունը արտացոլվում է բյուջեների ցիկլային հավելուրդի կամ պակասորդի վրա: Ֆիսկալ դիսկրեցիոն և ոչ դիսկրեցիոն քաղաքականությունները կիրառվում են՝ հաշվի առնելով պետության կողմից վարվող տնտեսական քաղաքականության առանձնահատկությունները, ինչպես նաև` տնտեսության կարգավորման ուղղակի կամ անուղղակի ֆինանսական գործիքների և մեթոդների կիրառման հնարավորությունները: Պետության ֆիսկալ քաղաքականության արդյունավետությունը մեծապես կախված է դրա ճիշտ ժամանակին լինելուց և տնտեսական իրավիճակներին ժամանակին արձագանքելու կարողությունից: Զուտ քաղաքական նպատակներով դրա կիրառումը, ինչպես նաև արտաքին տնտեսական միջավայրում տեղի ունեցող ճգնաժամային իրավիճակները նվազեցնում են երկրում պետության ֆիսկալ քաղաքականության արդյունավետությունը: Այդ իսկ պատճառով ֆիսկալ քաղաքականության այս կամ այն ուղղությունը գործի դնելուց առաջ մեծապես կարևորվում է արտաքին և ներքին տնտեսական իրավիճակների, ինչպես նաև այդ քաղաքականությունների առանձնահատկությունները՝ հաշվի առնելով երկրի տնտեսության վրա դրանց հնարավոր ազդեցությունների ճշգրիտ գնահատումը: Ֆիսկալ քաղաքականությունն, ինչպես նշվեց, իրականացվում է իր գործիքակազմի միջոցով: Վերջինս ներառում է այն տնտեսական մեխանիզմները, որոնք ապահովում են ֆիսկալ քաղաքականության սահմանած նպատակների իրագործումը: Ֆիսկալ քաղաքականության գործիքների շարքին են դասվում պետական սուբսիդիաները և տրանսֆերտները, պետական գնումները, հարկերի և դրանց դրույքաչափերի փոփոխությունները, նոր հարկերի սահմանումը: Նշված գործիքներից յուրաքանչյուրը յուրովի է ազդում տնտեսության վրա:

131

Օրինակ, տարբեր հարկերի դրույքաչափերի փոփոխությունները տարբեր կերպ են ազդում թե՛ տնտեսական ցուցանիշների և թե՛ այն խթանների վրա, որոնց միջոցով ապահովվում է տնտեսական աճը: Պետական ծախսերի տարբեր ձևերի կիրառումը նույնպես տարբեր կերպ է ազդում տնտեսության վրա, քանի որ ծախսերի բազմարկիչի էֆեկտը տարբեր կերպ է ի հայտ գալիս: Օրինակ, բնական է, որ երկրի պաշտպանության համար ծախսերի ավելացումը այլ կերպ կազդի տնտեսության վրա, իսկ պետական տրանսֆերտների ավելացումը` մեկ այլ կերպ: Կախված տնտեսական ցիկլի համապատասխան փուլից, որում գտնվում է երկրի տնտեսությունը տվյալ ժամանակահատվածում, և պետության տնտեսական քաղաքականության առանձնահատկություններից՝ ֆիսկալ քաղաքականության գործիքները տարբեր կիրառություն են գտնում: Մասնավորապես տնտեսական անկման շրջանում որպես խթանող և ընդլայնողական ֆիսկալ քաղաքականության գործիքներ կարող են հանդես գալ. -հարկերի նվազեցումը, ինչպես նաև որոշ հարկատեսակների վերացումը, -տրանսֆերտների ավելացումը, -պետական գնումների ծավալների ավելացումը: Զսպողական ֆիսկալ քաղաքականության գործիքներից կարելի է առանձնացնել. -պետական գնումների ծավալների կրճատումը, -հարկերի դրույքաչափերի ավելացումը, ինչպես նաև նոր հարկերի սահմանումը, -պետական տրանսֆերտների կրճատումը: Իհարկե, գոյություն ունեն նաև ոչ շատ հաճախ կիրառվող այլ ֆիսկալ գործիքներ, մասնավորապես հասարակական աշխատանքները, որոնք պետությունը կազմակերպում է ժամանակավորապես գործազուրկ անձանց ներգրավելու միջոցով` զբաղվածության համապատասխան մակարդակ ապահովելու համար, գյուղատնտեսական սուբսիդիաները, որոնք տրամադրվում են գյուղատնտեսության ոլորտում համապատասխան եկամուտների մակարդակ ապահովելու համար և այլն: Այժմ անդրադառնանք ՀՀ-ում մինչճգնաժամային և հետճգնաժամային ֆիսկալ քաղաքականության առանձահատկությունների վերլուծությանը: Հարկ է նշել, որ ՀՀ–ում իրականացվող ֆիսկալ քաղաքականությունը մինչ ֆինանսատնտեսական ճգնաժամը` 2004 թվականից հետո, եղել է զսպողական: Այս քաղաքականության շնորհիվ զգալիորեն զսպվեց համախառն առաջարկը, ինչպես նաև կրճատվեց պետական բյուջեի պակասորդը, ինչը ճիշտ ուղղություն էր տնտեսական վերելքի տվյալ ժամանակահատվածում: Արդյունքում՝ հնարավորություն ընձեռվեց նաև կրճատել պարտք /ՀՆԱ ցուցանիշը: Այսպես, եթե 2000թվականին արտաքին պետական պարտքը ՀՆԱ-ի շուրջ 45 տոկոսն էր կազմում, ապա հետագա տարիներին այդ ցուցանիշն ունեցել է կայուն նվազման միտում և 2008 թվականի վերջին հասել է 13.2 տոկոսի։ Սա մեծապես

132

նպաստեց հետագայում նոր ֆինասական ռեսուրսներ ներգրավելու հնարավորությանը` ֆինանսատնտեսական ճգնաժամի բացասական հետևանքները հաղթահարելու նպատակով: Նշենք նաև, որ ֆիսկալ զսպողական քաղաքականությունն ուղեկցվել է նաև մեղմ զսպողական դրամավարկային քաղաքականությամբ: Սակայն տեղին է նշել, որ չնայած զսպողական տնտեսական քաղաքականության կիրառմանը, տնտեսության մեջ, այնուամենայնիվ, մինչև 2008թ. որոշակի գերտաքացում նկատվել է: Փաստացի պետական ֆիսկալ քաղաքականությունը այդ ընթացքում թեև եղել է զսպողական, սակայն ոչ բավարար չափով։ Սա արդյունք էր հիմնականում հարկահավաքման մակարդակի ոչ բարձր լինելու, տնտեսության որոշ հատվածներում մրցակցության բացակայության, ձևավորված կոշտ գների, ինչպես նաև տնտեսության կառուցվածքային բարեփոխումների իրականացման ոլորտում որոշակի բացթողումների: Նշված հանգամանքները էապես նվազեցնում են ճգնաժամային իրավիճակներին դիմակայելու տնտեսության ճկունությունը և ֆիսկալ քաղաքականության բազմարկիչ բնույթի ազդեցությունը։ Արդյունքում՝ տնտեսական վերելքի փուլում տնտեսությունը ավելի շուտ է հայտնվում գերտաքացման մեջ, իսկ ճգնաժամերի ժամանակ ավելի խորն է լինում տնտեսական անկման մակարդակը։ ՀՀ տնտեսության վրա ֆինանսատնտեսական ճգնաժամի ազդեցություններն սկսեցին պարզորոշ դրսևորվել 2008 թվականի հոկտեմբեր ամսից։ Հայաստանում ճգնաժամի ազդեցության առանձնահատկությունն այն էր, որ դրա առաջնային ազդեցությունը, այն է` ֆինանսական շուկաների խուճապ և բանկերի ու ֆինանսական այլ կազմակերպությունների իրացվելիության խնդիր չդրսևորվեցին։ Սա մեծապես պայմանավորված էր նրանով, որ Հայաստանում այդքան զարգացած չէ ֆինանսական շուկայի ֆոնդային հատվածը, բացատրվում է նաև այն հանգամանքով, որ ֆինանսական կառույցների վերահսկողության բավական խիստ քաղաքականություն էր կիրառվում ՀՀ ԿԲ կողմից: Սակայն Հայաստանում նկատվեց ֆինանսատնտեսական ճգնաժամի երկրորդային ազդեցությունը, որը տնտեսության վրա ներազդեց հետևյալ 4 ուղղություններով` - արտերկրից ստացվող մասնավոր տրանսֆերտների զգալի կրճատում, - համաշխարհային շուկաներում հումքի և հատկապես մետաղների գների նվազում, -արտահանվող ապրանքների և ծառայությունների արտահանման պահանջարկի անկում` համաշխարհային տնտեսության մեջ դրսևորված համախառն պահանջարկի անկման հետեւանքով, - ՀՀ տնտեսություն ներհոսող ներդրումների ծավալների անկում` համաշխարհային տնտեսությունում ֆինանսական ակտիվների իրացվելիության խնդիրների հետեւանքով։ Վերոնշյալ պայմաններում տնտեսական աճը 2008 թվականի վերջին նախորդ տարիների երկնիշ ցուցանիշներից նվազեց` կազմելով ընդամենը 6.8

133

տոկոս։ Իսկ արդեն 2009 թվականից` հայաստանյան տնտեսության մեջ սկսեցին ավելի վառ դրսևորվել ֆինանսատնտեսական ճգնաժամի բացասական հետևանքները։ Ըստ ՀՀ ազգային վիճակագրական ծառայության տվյալների` 2009 թվականի հունվար-ապրիլ ամիսներին 2008 թվականի նույն ժամանակահատվածի համեմատ, գրանցվեց 9.7 տոկոս տնտեսական անկում։ Ճգնաժամի բացասական հետևանքները հաղթահարելու և հետագա ավելի խորը անկումից խուսափելու համար թե՛ ֆիսկալ և թե՛ դրամավարկային քաղաքականությունները պետք է լինեն ընդլայնողական, այսինքն՝ մասնավոր հատվածի ծախսերի կրճատման դեպքում պետական հատվածը պետք է լինի ծախսողական, որպեսզի ապահովի պահանջարկի անհրաժեշտ մակարդակ և հակազդի ֆինանսական ներհոսքի կրճատման ազդեցությանը։ Ճգնաժամի համաշխարհային համընդհանուր բնույթի պատճառով մեծապես կարևորվում էր, որ բոլոր երկրներում միաժամանակ իրականացվեին խթանող մակրոտնտեսական քաղաքականություն, այդ թվում` ֆիսկալ։ Միայն մեկ կամ մի քանի երկրի խթանող քաղաքականությունն ուղեկցվելու էր այդ երկրների ներմուծման աճով՝ դանդաղեցնելով և շատ դեպքերում ձախողելով տնտեսական ակտիվության վերականգնման գործընթացը։ Հարկ է նշել, որ գրեթե բոլոր զարգացած խոշոր երկրներն էլ որդեգրեցին մակրոտնտեսական ընդլայնողական քաղաքականություն, ինչը, կարծում ենք, կնպաստի ճգնաժամի բացասական հետևանքների արագ հաղթահարմանը: Առանձին երկրների տնտեսությունների ներսում նույնպես անհրաժեշտություն էր առաջացել համակարգել ֆիսկալ և դրամավարկային քաղաքականությունները։ Մասնավորապես, միայն դրամավարկային քաղաքականության գործիքների կիրառմամբ բանկային տոկոսադրույքների նվազեցումը դեռևս բավարար չէր համախառն պահանջարկի զգալի չափով խթանման համար, քանի որ տնտեսության մեջ ռիսկերի ավելացման պարագայում բանկային համակարգի կողմից վարկավորման համար խիստ զգուշավոր կեցվածքը խոչընդոտում էր տոկոսադրույքի տրանսմիսիոն մեխանիզմների ազդեցության արդյունավետությանը։ Այս իրավիճակում առավել քան կարևորվում էր պահանջարկի ուղղակի խթանմանն ուղղված քաղաքականությունը, որի արդյունավետ տարբերակն ընդլայնողական ֆիսկալ քաղաքականությունն էր։ Այս դեպքում էլ պետական պարտատոմսերի ծավալների ընդլայնման միջոցով պետական պարտքի մեծացումը կարող էր հանգեցնել երկարաժամկետ տոկոսադրույքների անցանկալի աճի։ Նման պայմաններում առաջ է գալիս համակարգված դրամավարկային և ֆիսկալ քաղաքականության իրականացման անհրաժեշտություն։ Մասնավորապես, բացի տոկոսադրույքների իջեցումից, կենտրոնական բանկերից պահանջվում էր իրականացնել պետական պարտատոմսերի ուղղակի առքի մեծածավալ գործառնություններ՝ կանխարգելելու երկարաժամկետ տոկոսադրույքների աճը։ Բնականաբար, ընդլայնողական մակրոտնտեսական քաղաքականության իրագործման համար խիստ կարևորվում էր նաև

134

միջազգային կառույցների և դոնոր երկրների ֆինանսական օժանդակությունը։ Համաշխարհային ֆինանսատնտեսական ճգնաժամի հետևանքները մեղմելու համար ՀՀ կառավարությունը որդեգրեց մակրոտնտեսական քաղաքականության հետևյալ սկզբունքները.  հասարակության և գործարար միջավայրի հետ հաղորդակցման և շփումների ակտիվացում՝ ճիշտ ազդակներ հաղորդելու եւ տնտեսության մեջ միասնական օբյեկտիվ սպասումներ ձևավորելու համար,  տնտեսության իրական հատվածին օժանդակող ընդլայնողական ֆիսկալ և դրամավարկային քաղաքականության իրականացում։ Տնտեսության անկման պայմաններում կարևորվում է հակացիկլիկ հարկաբյուջետային և դրամավարկային քաղաքականության իրականացումը։ Ընդ որում, հակացիկլիկ քաղաքականության արդյունավետ իրականացման կարևոր նախապայման են մակրոտնտեսական և ֆինանսական կայունությունը, ինչպես նաև տնտեսության մեջ վերը ներկայացված խեղաթյուրումների բացառումը։ Տնտեսական քաղաքականության վերոնշյալ սկզբունքների հիման վրա կառավարության ընդլայնողական տնտեսական քաղաքականությունն ընթացել է հետևյալ ուղղություններով.  ենթակառուցվածքային նախագծերի իրականացում, ինչն անմիջապես նպաստելու էր ներքին պահանջարկին, հետևաբար և տնտեսական աճին ու նոր աշխատատեղերի ստեղծմանը,  հասցեական օժանդակություն ժամանակավոր ֆինանսական դժվարություններ ունեցող ձեռնարկություններին,  գործարար միջավայրի բարելավման և գործունեության համար անհրաժեշտ օժանդակություն փոքր ու միջին բիզնեսին` վերացնելով առկա խոչընդոտները,  սոցիալական ուղղվածություն ունեցող բյուջեի ծախսերի հետևողական իրականացում` թուլացնելու սոցիալական ճնշումները և հասարակության հոռետեսական սպասումները։ Վերը նշված ռազմավարական խնդիրների արդյունավետ իրականացման համար, կարծում ենք, ներկա փուլում ՀՀ կառավարության կողմից տարվող ֆիսկալ քաղաքականության ոլորտում մեծապես կարևորվում են հետևյալ մարտավարական միջոցառումների ընդգրկումը և իրականացումը. 1. ԱԱՀ դրույքաչափի նվազեցում` մինչև 15տոկոս, ինչը կնպաստի թե՛ ՀՀ-ում գների մակարդակի նվազեցմանը, թե՛ գործարար ակտիվության մեծացմանը և թե՛ համախառն պահանջարկի խթանմանը: 2. Շահութահարկի տարբերակված պրոգրեսիվ դրույքաչափերի սահմանում, իսկ փոքր և միջին ձեռնարկությունների համար շահութահարկի դրույքաչափի նվազեցում մինչև 15 տոկոս: 3. Եկամտահարկից անձնական նվազեցվող գումարի չափի մեծացում` մինչև

135

50000 ՀՀ դրամ, այլ կերպ ասած` եկամտահարկի գծով չհարկվող շեմի բարձրացում: 4. Եկամտահարկի դրույքաչափերի վերանայում: Մասնավորապես, ցածր և միջին եկամուտների մասով (մինչև 200,000 ՀՀ դրամ) դրույքաչափի նվազեցում մինչև 7 տոկոսի մակարդակ, որը մեծապես կնպաստի ազգաբնակչության հիմնական զանգվածի կողմից սպառման ծավալների աճին: Փոխարենը, բարձր եկամուտներ վաստակող (1000.000 ՀՀ դրամ և ավելի) անձանց համար պրոգրեսիվ բարձր դրույքաչափերի սահմանում: 5. Հաստատագրված վճարներով հարկվող տնտեսվարողների ցանկի վերանայում: 6. Տնտեսության իրական հատվածում գործող ընկերություններին ֆինանսական ռեսուրսներ ներգրավելու գործում աջակցելու նպատակով պետական երաշխիքային հիմնադրամների ստեղծում: 7. Նոր ստեղծվող ընկերություններին հարկային արտոնյալ ժամկետի տրամադրում, իսկ փոքր կամ ընտանեկան բիզնես ստեղծելու դեպքում` նաև առաջին երկու տարում ընդհանրապես հարկերից ազատում: 8. Գործազրկության նպաստի չափի ավելացում: 9. Գործազուրկ անձանց համար պետության կողմից հասարակական աշխատանքների կազմակերպում և դրանց դիմաց վճարում` միջին աշխատավարձի չափով: 10. Գործազուրկ անձանց վերամասնագիտացման նպատակով լայնամասշտաբ կրթական ծրագրերի մեկնարկի կազմակերպում և օժանդակում: 11. Անշարժ գույքի շուկայի ակտիվացման նպատակով հիփոթեքային վարկերի տոկոսադրույքների համաֆինանսավորում: Նմանատիպ միջոցառումներ արդեն իսկ մեկնարկել են, մասնավորապես երիտասարդ ընտանիքների և գիտնականների համար, սակայն այդ վարկերի տոկոսադրույքները դեռևս բավական բարձր են, օգտվելու պայմանները՝ սահմանափակ՝ ուստի և լայնորեն հասանելի չեն բոլոր ցանկացողներին: Նպատակահարմար կլինի, որ այդպիսի ծրագրեր իրականացվեն բնակչության այլ խավերի համար և վերանայվեն այդպիսի աջակցությամբ վարկերի թե՛ տոկոսադրույքները և թե՛ պայմանները: 12. Նախկինում ձևավորված հարկային ժամկետանց պարտավորությունների լրիվ ներում` պայմանով, որ ընկերությունները կշարունակեն իրենց գործունեությունը և նոր լրացուցիչ աշխատատեղեր կստեղծեն: 13. Նոր՝ հավելյալ աշխատատեղեր ստեղծող ընկերություններին հարկային արտոնությունների տրամադրում։ 14. Արտահանման ուղղվածություն ունեցող ձեռնարկություններին ֆինանսական աջակցության և հարկային արտոնությունների տրամադրում: 15. Ազատ տնտեսական գոտիների ստեղծում` հիմնականում ՀՀ հեռավոր շրջաններում տարածքային անհամաչափ զարգացման հիմնախնդիրները

136

լուծելու, այդ տարածքների արտադրական և սոցիալական ենթակառուցվածքները զարգացնելու, ինչպես նաև աշխատուժի արտագաղթը կանխելու նպատակով։ 16. Հարկային վարչարարության առավել պարզեցում և թափանցիկության ապահովում։ Կարծում ենք, թե վերը նշված միջոցառումների իրականացումն էլ ավելի արդյունավետ ու հասցեական կդարձնի ՀՀ կառավարության կողմից իրականացվող ֆիսկալ քաղաքականությունը և կապահովի կայուն տնտեսական աճ` Հայաստանի տնտեսության համար առաջիկա ժամանակահատվածում։

В.Л. Арутюнян, К.С. Саргсян Финансово-экономический кризис и фискальная политика государства В данной статье рассматриваются главные формы, инструменты и главные особенности фискальной политики государства. Представлены главные направления фискальной политики в Армении и их особенности в пост-кризисном периоде. Также представлены конкретные рекоммендации для повышения эффективности фискальной политики Армении.

V.L. Harutunyan, K.S. Sargsyan The Financial-Economic Crisis and the State Fiscal Policy The present article aims to give a detailed analysis of the main types of state fiscal policy, tools used for the policy implementation and the peculiarities of their application. The main directions of the RA Government policy and their peculiarities in post-crisis period are also presented. There are also worked out several recommendations with the view to enhancing the effectiveness of the measures taken by the Government.

Գրականություն 1. Համաշխարհային ֆինանսատնտեսական ճգնաժամի պատճառները և դրա ազդեցությունը համաշխարհային տնտեսության վրա, Սոցիալ-տնտեսական զարգացման արդի հիմնախնդիրները Հայաստանի Հանրապետությունում: Հանրապետական գիտաժողովի նյութեր, Գիրք 1, Երևան 2012թ. (համահեղինակ՝ Վ.Հարությունյան): 2. Ֆինանսատնտեսական ճգնաժամը և պետության կողմից իրականացվող դրամավարկային քաղաքականությունը, Սոցիալ-տնտեսական զարգացման արդի հիմնախնդիրները Հայաստանի Հանրապետությունում: Հանրապետական գիտաժողովի նյութեր,Գիրք 1, Երևան 2012թ.: 3. Համաշխարհային տնտեսության մեջ առկա ցիկլերը, դրանց տեսակները և առաջացման պատճառները, Հայաստան, Ֆինանսներ և էկոնոմիկա ամսագիր N 4(142), ապրիլ 2012թ. (համահեղինակ՝ Խ.Սաֆարյան): Տեղեկություններ հեղինակների մասին. Հարությունյան Վլադիմիր Լիպարիտի - ՀՀ ԳԱԱ Մ. Քոթանյանի անվան տնտեսագիտության ինստիտուտի տնօրեն, ՀՀ ԳԱԱ թղթակից անդամ, տ.գ.դ., պրոֆեսոր: E-mail: info@economics.sci.am Սարգսյան Կարեն Սամվելի - ՀՀ ԳԱԱ Մ. Քոթանյանի անվան տնտեսագիտության ինստիտուտի գիտաշխատող, տ.գ.թ.: E-mail: kssargsyan@yahoo.com Տրվել է խմբագրություն 04.06.2012

137

2013

№1 ԱՇԽԱՐՀԱԳՐՈՒԹՅՈՒՆ

УДК 502.52

Լ. Մ. Մարտիրոսյան ՁՄԵՌԱՅԻՆ ՌԵԿՐԵԱՑԻԱՅԻ ԶԱՐԳԱՑՄԱՆ ՆՊԱՏԱԿՈՎ ԱՇՈՑՔԻ ՏԱՐԱԾԱՇՐՋԱՆԻ ԲՆԱԿԱՆ ՊԱՅՄԱՆՆԵՐԻ ԳՆԱՀԱՏՄԱՆ ՍԿԶԲՈՒՆՔՆԵՐԸ ԵՎ ՔԱՐՏԵԶԱԳՐՄԱՆ ՄԵԹՈԴՆԵՐԸ Բանալի բառեր՝ ռեկրեացիա, ձնածածկույթ, կոմֆորտայնություն, քարտեզ, մասշտաբ, չափելիություն, գործակից: Ключевие слова: рекреация, снежный покров, комфортность, карта, масштаб, измеряемость, коэффициент. Keywords: recreation, snow cover, comfort, map, scale, measurability, coefficient. Սույն հոդվածի նպատակն է գնահատել Շիրակի մարզի Աշոցքի տարածաշրջանի ձմեռային ռեկրեացիայի զարգացման ներուժը: Ունենալով խիստ բնակլիմայական պայմաններ և աղքատ լինելով հանքային ռեսուրսների պաշարներով` ռեկրեացիան Հայաստանի այս տարածաշրջանի համար կարող է լինել տնտեսական զարգացման կարևոր նախադրյալ: Մեկ հոդվածի սահմաններում դժվար է անդրադառնալ ռեկրեացիայի բոլոր տարատեսակներին, ուստի առավել նպատակահարմար ենք համարել վերլուծել Աշոցքի բնական պայմանների ձմեռային հանգստի կազմակերպման հնարավորությունները: Ներկայումս ոչ մեկի կողմից կասկածի տակ չի դրվում այն տեսակետը, որ ռեկրեացիայի և զբոսաշրջության կազմակերպման համար անհրաժեշտ են նպաստավոր բնակլիմայական պայմաններ և բարենպաստ բնական միջավայր: Շատ անգամներ է ընդգծվել այն հանգամանքը, որ ռեկրեացիայի զարգացման գլխավոր նախապայմանը բնական գործոններն են, որոնց գնահատումը առավել կարևոր է նշված ճյուղի զարգացման համար: Ռեկրեացիոն ռեսուրսների գնահատման գիտական հիմքերը դրվել են 20-րդ դարի 70-ական թվականներից խորհրդային գիտնականների կողմից: Որպես ռեկրեացիոն աշխարհագրության դասական գործեր՝ առավել նշանավոր են Վ.Ս.Պրեոբրաժենսկու (1975), Յու. Ա. Վեդենինի (1969), Ն.Ն. Միրոշնիչենկոյի (1969,1984), Բ.Ն. Լիխանովի (1973), Ն.Ս. Միրոնենկոյի, Ն.Տ. Տվերդոխլեբովի (1981) և այլոց աշխատությունները: Նշված գիտնականների ճնշող մեծամաս-

138

նությունը եկել է այն եզրահանգման, որ տարածքի համալիր գնահատումը կարևորագույն պայման է ռեկրեացիոն պոտենցիալի զարգացման համար: Այս առումով առավել բարդ է լեռնային ռեկրեացիոն ռեսուրսների գնահատումը, քանի որ անհրաժեշտ է հաշվի առնել որոշակի առանձնահատկություններ՝ պայմանավորված բարդ ռելիեֆով, կլիմայական պայմաններով (բարենպաստից մինչև անբարենպաստ), բազմազան լանդշաֆտներով, ձնասառցադաշտային ծածկույթով: Լեռնային ռեկրեացիայի կազմակերպման կարևոր խնդիրներից է ժամանակային-սեզոնային բաղադրիչի ճիշտ կազմակերպումը: Հենց սեզոնային վիճակը լեռնային երկրահամակարգերի համար հանդիսանում է ռեսուրս, ընդ որում, գործառական տարբեր նշանակություններով: Լեռների կլիմայական առանձնահատկություններով կարող է պայմանավորված լինել ռեկրեացիոն գործունեության բնույթը: Յուրաքանչյուր սեզոնին բնորոշ է ռեկրեացիոն գործունեության որոշակի տեսակ: Սեզոնային առանձնահատկության հաշվի առնելը կարևոր է ոչ միայն ռեկրեացիոն գործունեության արդյունավետ կազմակերպման համար, այլև անվտանգության նկատառումներով: Լեռնային երկրների ռեկրեացիոն յուրացման գործում մեծ կարևորություն է ստանում նպաստող և սահմանափակող գործոնների վերլուծությունը, որտեղ կլիմայական պայմաններն ունեն որոշիչ դեր: Այս առումով հատկապես առաջնային է համարվում մարդու ֆիզիոլոգիական կոմֆորտայնության հիման վրա իրականացված եղանակների տիպայնացումը 1: Եղանակների դասակարգման (տարանջատման) ժամանակ մեր կողմից նպատակահարմար է համարվել ցրտահարության քամի՝ ջերմաստիճանային շեմի կիրառումը:Նման մոտեցումը, մեր կարծիքով, առավել կարևոր է լեռնային ռեկրեացիայի կազմակերպման ժամանակ, քանի որ այսպիսի երկրաբնապահպանական ցուցանիշի կիրառումը թույլ է տալիս հստակեցնել դրսում գտնվող մարդու հնարավորությունները: Ըստ եղանակի բարենպաստության՝ լեռնային ռեկրեացիայի համար կլիմաները կարելի է դասակարգել հետևյալ հաջորդականութամբ. ա) բացառիկ բարենպաստ (տևողությունը՝ 210-240օր), բ) բարենպաստ (տևողությունը՝ 150 - 210 օր), գ)նվազ բարենպաստ (տևողությունը՝ 90150 օր): Բարենպաստության նվազագույն շեմը վերցված է 90 օր՝ նկատի ունենալով տնտեսական արդյունավետությունը2: Տարածքի բնական պայմանների ռեկրեացիոն գնահատման համար անհրաժեշտ է վերցնել, այսպես կոչված, հանգուցակետեր, որոնց տվյալների հիման վրա կարելի է իրականացնել գնահատումը: Բացի սրանից, գնահատման համար կարելի է օգտագործել փորձագիտական տվյալներ: Ստացված արդյունքների մշակումը կատարվում է վիճակագրական վերլուծության մեթոդով: Առավել ճշգրիտ արդյունքներ ստանալու համար կարևոր է նաև գնահատման սանդղակի ճիշտ ընտրությունը:

139

Աշոցքի տարածաշրջանի ձմեռային ռեկրեացիայի գնահատման համար կարելի է վերցնել 3 հանգուցակետ, որոնք օդերևութաբանական կայաններ և պոստեր են: Աշոցքի ձմեռային ռեկրեացիոն ռեսուրսների գնահատման արդյունքների քարտեզագրումը անհրաժեշտ է իրականացնել խոշոր մասշտաբով (առնվազն 1:100000), քանի որ ավելի փոքր մասշտաբի դեպքում հնարավոր չէ պատկերել կոմֆորտայնության պայմանների փոփոխությունը տարածաշրջանային և շրջանային մակարդակներում: Բնական և էկոլոգիական պայմաններից, որոնք ներազդում են ձմեռային հանգստի կազմակերպման վրա, մեր կողմից ընտրվել են 10 ցուցանիշներ, որոնցից 9-ը կլիմայական է, և 1-ը՝ ոչ կլիմայական: Ցուցանիշների ընտրության գլխավոր պայմանը պետք է լինի համեմատականությունը և դիտարկումների վստահելիությունը: Նկատի ունենալով վերևում ասվածը՝ նպատակահարմար ենք համարել տվյալներ վերցնել “Справочник по климату СССР, вып. 16, Арм ССР”, ինչպես նաև ՀՀ ջրաօդերևութաբանական վարչության կողմից հրատարակած տվյալները (տե՛ս աղյուսակ 1): Ի տարբերություն գոյություն ունեցող գնահատման բազմաթիվ սանդղակների, որոնց մեծ մասը 5 բալային է 3, մեր կողմից մշակվել է 7 բալային սանդղակ, որը, մեր կարծիքով, թույլ կտա ավելի լիարժեքորեն գնահատել ցանկացած գործոն: Գնահատման բալը մեծանում է կոմֆորտայնության գործոնի մեծացման հետ միասին: Ամենաբարձր բալը տասն է, իսկ ամենացածրը՝ մեկը: Ձմեռային հանգստի պայմանների գնահատման ժամանակ առավել բարձր բալերը ձևավորվում են ըստ հետևյալ ցուցանիշների. կայուն ձնածածկույթի տևողությամբ և բարձրությամբ, ձմեռային միջին ջերմաստիճաններով և արևային օրերի թվով: Ամենացածր բալերի ձևավորման պատճառ կարող է հանդիսանալ ձնաբքերով, մառախուղներով, ինչպես նաև ուժեղ քամիներով օրերի թիվը: Գնահատման բալերի մեծությունը սահմանվել է պայմանական անընդհատ (աստիճանաձև) սանդղակով: Միևնույն ժամանակ առաջնային ցուցանիշների պարզ գումարումով չի կարելի ստանալ ճշգրիտ տվյալներ բնական պայմանների վերաբերյալ, որոնք ցույց կտան միջավայրի կոմֆորտայնությունը: Այս պատճառով յուրաքանչյուր ցուցանիշի համար սահմանվել են չափելիության (կարևորության) գործակիցներ՝ մեկից (առավել փոքր ցուցանիշ) մինչև հինգ (ամենաէական ցուցանիշի համար): Այս գործակիցները թույլ են տալիս արտահայտել միջավայրի յուրաքանչյուր բաղադրիչի (տարր) հարաբերական դերը ձմեռային հանգստի և մասնավորապես լեռնադահուկային սպորտի կազմակերպման համար:

140

Մառախուղով օրերի թիվը ( 5 ամիսների միջին)

Բուքով օրերի թիվը ( 5 ամիսների միջին)

Թխամպամած օրերի թիվը

Բացարձակ նվազագույն t (C)

Ամասիա

1876

- 9,5

-36

134

Աշոցք

2009

-11,6

-42

140

107

Պաղակն

2004

-12,7

-42

138

Գործակից K

Պարզկա օրերի թիվը

Ձմեռային միջին t (C)

Դիտակետ

Կայուն ձնածածկույթի տևողությունը (օր) Ձնածածկույթի միջին բարձրությունը (սմ)

Բարձրությունը ծ.մ (մ)

Ուժեղ քամիներով օրերի թիվը ( 5 ամիսների միջին)

Աշոցքի տարածաշրջանի 3 դիտակետերի տվյալները

Աղյուսակ 1.

Բալային սանդղակի և չափելիության գործակցի համադրումը կարելի է արտահայտել կոմֆորտայնության գնահատման միասնական բանաձևով, որն առաջարկվել է Վ. Ի. Ֆեդոտովի կողմից 4: Վերջինս, ըստ էության, ներկայացնում է միջին թվաբանական և ունի հետևյալ տեսքը.



С 1 К 1  С 2 К 2  С 3 К 3  ...  С n K n K 1  K 2  K 3  ...  K n

որտեղ A-ն բնական պայմանների կոմֆորտայնության աստիճանի ընդհանուր գնահատականն է, C-ն գնահատման i-երորդ տարրի գնահատականն է բալերով,K-ն գնահատման i-երորդ տարրի չափելիության գործակիցը: Միջին կշռային բալը պատկերացում է տալիս ընդհանուր և հարաբերական բարենպաստության (կամ անբարենպաստության) մասին: Աղյուսակ 2.

Աշոցքի տարածաշրջանի 10 ցուցանիշների բալային գնահատումը

Դիտակետ Ամասիա Աշոցք Պաղակն

Գնահատման ցուցանիշները (բալերով) 1 6 4

2 6 4

3 4 3

4 7 7

5 7 7

6 4 5

7 5 4

8 4 5

9 5 3

10 5 3

Միջին (K) 5,4 4,7 4,9

Բոլոր գնահատականներն անհրաժեշտ է տալ առանց կլորացումների, այսինքն՝ հենց այնպես, ինչպես ստացվել է հաշվարկից հետո: Աղյուսակ 2-ում ներկայացված են բնական պայմանների ցուցանիշների բալային գնահատման արդյունքները:

141

Ստացված տվյալների հիման վրա, ինտերպոլյացիայի մեթոդով, հանգուցակետերի միջև տարված են իզոգծեր (իզովիտներ), որոնք ցույց են տալիս կոմֆորտայնության աստիճանի հավասար ցուցանիշները (նկ. 1): Քարտեզների կազմումը կարելի է իրականացնել GIS Mapinfo 5.0 ծրագրով: Մասշտաբի մեծությունը կարող է պայմանավորված լինել քարտեզի օգտագործման նպատակներով: Մեր կարծիքով, Աշոցքի տարածաշրջանի ձմեռային ռեկրեացիոն ռեսուրսների գնահատման քարտեզագրումը առավել նպատակահարմար է իրականացնել 1:100000 մասշտաբով: Առավել հիմնավորված դարձնելու համար գնահատման սկզբունքները ստորև ներկայացվում են մի քանի տվյալների գնահատման չափանիշները: Ձնածածկութային ռեսուրսների արդյունավետ օգտագործման համար շատ կարևոր են տեղի ընտրությունը և ձնաօդերևութաբանական պայմանների առանձնահատկությունը: Լեռնադահուկային սպորտի համար ձյան ծածկույթի ձևավորման նվազագույն բարձրությունը պետք է լինի 30սմ, իսկ զանգվածային հանգստի կազմակերպման համար՝ 40-50սմ 5: Նկատի ունենալով այս տվյալները՝ մեր կողմից երեք դիտակետերի համար էլ այս ցուցանիշը գնահատվել է առավելագույն արժեքով՝ 7 բալ, քանի որ, ըստ աղյուսակ 1-ի տվյալների, ձնածածկույթի միջին բարձրությունը երեք դիտակետերում տատանվում է 74-84սմ սահմաններում: Սա նաև ամենակարևոր գործոնն է լեռնադահուկային սպորտի համար, ուստի կարևորության գործակիցը գնահատվում է 5 բալ: Գնահատման ժամանակ մեր կողմից հաշվի են առնվել ոչ միայն բազմամյա միջին տվյալները, այլև հավանական զարգացման տարբերակները: Այս առումով լեռնադահուկային սպորտի կազմակերպման համար կարևորագույն գործոն հանդիսացող ձնածածկույթը, հավանական զարգացման ցանկացած տարբերակի դեպքում երաշխավորված է, քանի որ, ըստ բազմամյա դիտարկումների, ձնածածկույթ չձևավորվելու հավանականությունը բոլոր 3 դիտակետերում հավասար է 0-ի 6: Ձմեռային ռեկրեացիայի սահմանափակող գործոններից են ուժեղ քամիները: Ամասիայում ուժեղ քամիների առավելագույն ցուցանիշները դիտվում են մարտից-օգոստոս ընկած ժամանակահատվածում, որը չի խանգարում ձմեռային ռեկրեացիայի կազմակերպմանը: Այսպես՝ դեկտեմբերին Ամասիայում ուժեղ քամիների միջին թիվը նոյեմբեր-մարտ ժամանակահատվածում կազմում է 11 օր. այն լեռնադահուկային հանգստի կազմակերպման ժամանակահատվածի օրերի ընդամենը 7%-ն է, որն ընդհանուր առմամբ լավ ցուցանիշ է 7: Ելնելով բերված տվյալներից՝ գնահատման սանդղակում այս գործոնը կարող է ստանալ 5 միավոր: Նույն սկզբունքով գնահատվել են նաև մյուս դիտակետերի տվյալները:

142

Նկ.1 Աշոցքի տարածաշրջանի ձմեռային ռեկրեացիայի նպաստավորության աստիճանի գնահատման քարտեզ-սխեմա: Մ 1:500000:

Ձնածածկույթի դինամիկայի վրա մեծ ազդեցություն է թողնում բուքը, որը էական դեր է խաղում լեռնային, միջին լեռնային և բարձր լեռնային գոտիներում: Բքի ժամանակ մեծ փոփոխությունների են ենթարկվում ինչպես ձնածածկույթի բարձրությունը, այնպես էլ նրա խտությունը: Որոշ հատվածներում մեկ օրվա ընթացքում ձնածածկույթի բարձրությունը կարող է նվազել մինչև 50սմ 8, որը բացասական գործոն է լեռնադահուկային սպորտի կազմակերպման համար, ուստի գնահատվել է 4-5 բալ բոլոր դիտակետերի համար (տե՛ս աղյուսակ 2): Ձնածածկույթի բարձրության վրա զգալի ազդեցություն են թողնում մառախուղները: Բացասական ջերմաստիճանի և քամու բացակայության դեպքում մառախուղը, նստելով ձնածածկույթի վրա, նպաստում է ձյան հալվելուն ու խտանալուն: Մեկ օրվա ընթացքում մառախուղի ազդեցության տակ բացասական ջերմաստիճանի, բարձր խոնավության և քամու բացակայության պայմաններում ձնածածկույթի բարձրությունը կարող է նվազել մինչև 5սմ 8: Նկատի ունենալով այս հանգամանքը՝ մառախուղի գործոնը գնահատվել է որպես սահմանափակող և ստացել 3-5 բալ (տե՛ս աղյուսակ 2): Ընդհանրացնելով վերևում ասվածը՝ կարելի է կատարել որոշակի եզրակացություններ: 1. Չնայած համեմատաբար խիստ բնական պայմաններին՝ Աշոցքը ունի բոլոր հնարավորությունները ձմեռային ռեկրեացիայի զարգացման համար: Վեր-

143

ջինս կարող է դառնալ տարածաշրջանի տնտեսական զարգացման կարևոր նախադրյալներից մեկը: 2. Ըստ քարտեզագրման արդյունքների՝ իզովիտներն ունեն շրջանաձև տարածում, համաձայն որոնց՝ առավել բարենպաստ պայմաններով աչքի են ընկնում տարածաշրջանի կենտրոնական տեղամասերը և Ամասիայի ենթաշրջանը: 3. Լեռնային ռեկրեացիան (հատկապես բարձրլեռնային գոտում) օգտագործում է այնպիսի տարածքներ, որոնք չեն կարող արդյունավետ օգտագործվել հողօգտագործման այլ ոլորտներում և լրացնում են այն «վակուումը», որն առաջանում է բնական համալիրների տնտեսական օգտագործման ոլորտում: 4. Լեռնային ռեկրեացիոն բնօգտագործման ոլորտում պահպանելով երկրաբնապահպանական բաղադրիչը՝ բարձրացվում է լեռնային ռեկրեացիայի արդյունավետությունը, այն չի կարող զարգանալ առանց բնապահպանական բաղադրիչի (հանգստացողներին անհրաժեշտ են մաքուր օդ և մաքուր միջավայր):

Л.М. Мартиросян Принципи и методы картографирования естественных условий ашоцкого региона в целях развития зимней рекреации Целью данной статьи оценить потенциал зимней рекреации Ашоцкого региона. Имея очень суровые климатические условья и скудный запас полезных ископаемых, рекреация для этого региона Республики Армения может стать важной предпосылкой для экономического развития. В рамках одной статьи трудно анализировать все разновидности рекреации, по этому целесообразно исследование естественных ресурсов зимней рекреации Ашотского региона Ширакской области Республики Армения.

L.M. Matrirosyan The methods of Mapmaking and the Principles of the Assessment of Natural Conditions in the Area-district of Ashotsk for the Aim of the Development of Winer Recreation The aim of the given article is to assess the potential of winter recreation development in the district of Ashotsk in Shirak Region. Having severe climate and poor natural resources, the recreation for this area of Armenia can be of great significance for the economic development. It is difficult to mention all the types of recreation within the limits of a single article, that is why we prefer to analyse the chances of the organization of winter recreation/rest in the natural landscapes of Ashotsk.

144

Գրականություն 1.

Супруненко Ю.П. Геоэкологические принципи организации горно-рекреационного природопользования “ //Доклады комосии рекреационной географии и туризма”, М., 2007 с.4: 2. Мироненко Н. С. и др. Рекреационная география, М. Изд. МГУ 1981, с.57 3. Арманд Д. Л. Бальные шкалы в географии. //Изв. АН СССР, сер. Географическая, 1973, № 2 с. 111-123 4. В. И. Федотов и др. Региональные модели карт комфортности природной среды. //Вестник ВГУ, серия География и геоэкология, 2001, № 1б с. 17 5. Супруненко Ю. П. “Горы зовут”. Горно-рекреационное природопользование. ИГ РАН, М., 2003, с. 73 6. Справочник по климату СССР вып.16, Арм ССР, Тбилиси, 1973 7. Справочник по климату СССР вып.16, Арм ССР, Ленинград. 1967, ч. III 8. Преображенский В. С. и др. Методические указания по характеристике природных условий рекреационного района.-В сб.”Географические проблемы организации туризма и отдыха”.1975, вып. 1 9. Веденин Ю. А. Мирошниченко Н.Н. Оценка природных условий для организации отдыха. М. Меркурий, 1969 г. 198 с. 10. Мироненко Н.С., Твердоxлебов И.Т. “Рекреационная география”, М. МГУ, 1981г. 11. Лиханов Б.Н. Географическое изучение рекреационных ресурсов СССР и путей их использования, В сб.Т Итоги науки и техники. География СССР. Т. 9. - М., 1973. С. 58-69. 12. Ա. Ներսիսյան, Հայաստանի կլիման, Եր. 1964, էջ 210-211: Տեղեկություններ հեղինակի մասին. Մարտիրոսյան Լևոն Մովսեսի – աշխարհագրական գիտ. թեկն., դոցենտ, Գյումրու պետ. մանկ. ինստիտուտի աշխարհագրության ամբիոնի վարիչ: E-mail: mlevon2003@yahoo.com Տրվել է խմբագրություն 30.05.2012

145

ԳՊՄԻ Գիտական տեղեկագիր

Խմբագրումը և սրբագրումը՝ Համակարգչային շարվածքը՝

Ռ. Հովհաննիսյանի Լ. Կոստանյանի

Ստորագրված է տպագրության

17 դեկտեմբերի 2012 թ.

Ծավալը՝ 152 էջ: Թուղթը՝ А4: Տպաքանակը՝ 150: Գինը՝ պայմանագրային: Գյումրու Մ. Նալբանդյանի անվան պետական մանկավարժական ինստիտուտ Հայաստան, Գյումրի, Պարույր Սևակ 4

146