ANDALUCÍA
INCLUYE PROYECTO
MUESTRA
DIGITAL
José María Arias Cabezas Ildefonso Maza Sáez
1
E S O
CÓMO ES TU LIBRO
e
Con Bruño aprendes Matemáticas investigando, descubriendo y explorando la Naturaleza. En solo 5 ETAPAS cíclicas puedes adquirir mediante situaciones de aprendizaje las competencias y saberes necesarios para tu desarrollo personal, intelectual, social y emocional.
e
(Prepárate para el aprendizaje)
(Indaga sobre los saberes)
e
e
(Valora tu aprendizaje)
(Conoce los saberes)
e (Aplica lo aprendido y crea conocimiento)
LA UNIDAD
Te presentamos la unidad en una doble página.
¿Para qué sirven...?
Relaciona la imagen con los saberes que se van a estudiar en la unidad. Se trata de responder a la pregunta que muchas veces te planteas. ¿Para qué sirven las matemáticas?
En esta unidad descubriremos juntos
Estos son los saberes que adquirirás al trabajar esta unidad.
e Para que compruebes que las matemáticas son muy útiles, te pedimos que pienses y reflexiones sobre otra aplicación de los saberes de la unidad a la vida real.
2
e
Doble página e
RECURSO ENLAZADO A UN QR Sorpréndete viendo en este QR todos los recursos de una sección, vídeos y applets de GeoGebra para que, de una forma dinámica, puedas comprender mejor los conceptos abstractos.
ACTIVIDAD DE INDAGACIÓN Se trata de que EXPLORES en tu cerebro sobre los saberes que ya tienes relacionados con lo que vas a estudiar, es decir, traerlos de la memoria a medio plazo a la memoria a corto plazo.
MOODLE es una plataforma de aprendizaje mediante ordenador y tableta. El Moodle de Matemáticas de Bruño contiene: cálculo mental, cuestionarios por cada día de clase y pruebas de examen, todo ello autoevaluables.
CARNÉ CALCULISTA Potencia y ejercita las destrezas básicas matemáticas con una nueva cuenta cada día para que adquieras mucha soltura en el cálculo.
EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS Utilizamos la metodología de dificultades aisladas. Para cada contenido matemático se resuelve el mejor ejercicio o problema resuelto, presentado de forma que no se complique en las operaciones y su única dificultad sea el contenido que se estudia.
Aquí tienes una situación problemática resuelta ELABORA protagonizada por un Objetivo de ACTIVIDADES Desarrollo Sostenible. PARA CONSTRUIR CONOCIMIENTO Son ejercicios y problemas para que realices en clase o en casa.
Cómo es tu libro
3
REPASA Y ELABORA Son los ejercicios y problemas más importantes de toda la unidad para que puedas repasarla observando los resueltos y haciendo los propuestos.
ACTIVIDADES FINALES A continuación te encontrarás con dos páginas de actividades para cada una de las sesiones de clase y una propuesta final de problemas para el conjunto de la unidad.
COMPRUEBO MIS COMPETENCIAS Te propone problemas en el contexto de la situación de aprendizaje inicial de la unidad.
e Una evaluación final para que la hagas y con un QR para que compruebes las soluciones.
COMPETENCIA DIGITAL con Geogebra, CalcMe y Hoja de cálculo en Moodle. ➜ Ejercicios y problemas para que comprendas mejor los conceptos matemáticos abstractos con el uso de applets de GeoGebra. ➜ Planteamiento y resolución de ejercicios y problemas con CalcMe y Hoja de cálculo. ➜ En cada unidad tienes una prueba con Moodle en la que puedes utilizar los applets de GeoGebra y CalcMe.
4
EVALUACIÓN INICIAL Es una prueba resuelta que te sirve de modelo para la evaluación inicial y como repaso de saberes esenciales de Educación Primaria.
Secciones finales
SITUACIONES DE APRENDIZAJE Plantean una situación global que te permitirá trabajar en equipo y para la que necesitarás todos los conocimientos que has adquirido. Además, podrás comunicar los resultados en diferentes formatos usando tu creatividad.
ACTIVIDADES DE RECUPERACIÓN Ejercicios para que prepares la recuperación final del curso.
EVALUACIÓN FINAL Modelo de prueba que te sirve de autoevaluación final.
Cómo es tu libro
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Proyecto digital
Tu libro digital es... INTUITIVO Fácil de usar y diseñado para conseguir tu mejor aprendizaje.
SINCRONIZABLE Los cambios que realices se sincronizan automáticamente al conectar cualquiera de los dispositivos con los que trabajes.
UNIVERSAL Es compatible con los entornos virtuales de aprendizaje (EVA) y las plataformas educativas (LMS, LTI).
VERSÁTIL Utilízalo según tus necesidades: como complemento a tu libro impreso o como único material para conseguir tu aprendizaje.
MULTIDISPOSITIVO Visualízalo en cualquier tipo de dispositivo (ordenador, tableta, smartphone…), a cualquier tamaño y resolución de pantalla. Es compatible con todos los navegadores, sistemas operativos de escritorio (Windows, Mac, Linux...) y dispositivos móviles (Android, iOS y Chromebook).
INCLUSIVO Personaliza tu aprendizaje adaptando su funcionalidad a tus necesidades.
TRAZABLE Integrado sobre las aulas digitales de los EVA y LMS, tu profesor puede visualizar los resultados de las actividades que has realizado.
6
DESCARGABLE Puedes trabajar sin conexión a internet y descargarlo en más de un dispositivo.
Te presentamos todas las unidades de tu libro en formato digital y adaptables a tus
Entra y encontrarás gran variedad de recursos digitales para que aprendas de otra manera: vídeos y applets de GeoGebra y Hojas de cálculo.
Y gran cantidad de actividades interactivas con trazabilidad para que tu profesor o profesora las pueda valorar.
Proyecto digital
7
Índice Evaluación inicial
10
SABERES BÁSICOS
12
Avances en Matemáticas
13
1 Números naturales y divisibilidad
14
¿Cómo se utilizan los números naturales? 2 ¿Cómo se resuelven problemas? 3 ¿Cómo se factoriza un número? 4 ¿Qué es el M.C.D. y el m.c.m.?
16 18 20 22
2 Números enteros
30
¿Para qué sirven los números enteros? 2 ¿Cómo se representan gráficamente? 3 ¿Cómo se suman y restan? 4 ¿Cómo se multiplican y dividen?
32 34 36 38
1
1
3 Fracciones
46
¿Para qué sirven las fracciones? 48 2 ¿Cómo se usan las fracciones? 50 3 ¿Cómo se suman y restan fracciones? 52 4 ¿Cómo se multiplican y dividen fracciones? 54 1
4 Números decimales ¿Qué es el sistema decimal? 2 ¿Cómo se suman, restan y multiplican? 3 ¿Cómo se dividen? ¿Cómo es la jerarquía? 4 ¿Cómo se aproximan y se resuelven problemas? 1
8
62 64 66 68
5 Potencias y raíz cuadrada ¿Para qué se usan las potencias? 2 ¿Cuáles son las propiedades de las potencias? 3 ¿Para qué se utiliza la raíz cuadrada? 4 ¿Cómo se calcula una raíz cuadrada?
80
Situación de aprendizaje
94
6 Sistema métrico decimal
98
1
¿El dinero es una magnitud? 2 ¿La longitud es una magnitud? 3 ¿La masa y la capacidad son magnitudes? 4 ¿La superficie es una magnitud? 1
7 Proporcionalidad y porcentajes
82 84 86
100 102 104 106
114
¿Qué son las razones y las proporciones? 116 2 ¿Qué es la proporcionalidad directa? 118 3 ¿Qué es la proporcionalidad inversa? 120 4 ¿Qué son los porcentajes? 122 1
8 Ecuaciones de 1.er grado ¿Para qué sirven los tipos de lenguaje? 2 ¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes? 3 ¿Cómo se resuelve una ecuación de 1.er grado? 4 ¿Cómo se resuelven problemas? 1
70
78
130 132 134 136 138
SABERES BÁSICOS
146
SABERES BÁSICOS
234
Avances en Matemáticas
147
Avances en Matemáticas
235
9 Elementos en el plano
148
14 Funciones, tablas, gráficas
¿Cuáles son los elementos básicos en el plano? 2 ¿Cómo se opera con ángulos? 3 ¿Cómo se clasifican los ángulos? 4 ¿Qué relaciones hay entre ángulos?
150 152 154 156
10 Triángulos
164
y probabilidad
1
0 Repaso: ¿Qué es un triángulo?
166 1 ¿Cómo se aplica el teorema de Pitágoras? 168 2 ¿Cómo se dibujan triángulos? 170 3 ¿Qué son el baricentro y el ortocentro? 172 4 ¿Qué son el circuncentro e incentro? 174
Situación de aprendizaje
11 Los polígonos
186
¿Qué son los polígonos? 2 ¿Qué son los cuadriláteros? 3 ¿Qué es la circunferencia? 4 ¿Qué es el círculo?
188 190 192 194
12 Perímetros y áreas
202
¿Cómo se calculan perímetros y áreas (I)? 2 ¿Cómo se calculan perímetros y áreas (II)? 3 ¿Cómo se calculan longitudes y áreas? 4 ¿Cómo se calcula el área de figuras redondas?
¿Qué son las coordenadas cartesianas? 238 2 ¿Para qué sirven las funciones? 240 3 ¿Cómo se hacen las tablas de frecuencias? 242 4 ¿Para qué sirve la estadística? 244 5 ¿Cuándo un experimento es aleatorio? 246 6 ¿Cómo se resuelven problemas de probabilidad? 248 1
Situación de aprendizaje Actividades de recuperación Evaluación final
258 260 263
182
y la circunferencia
1
236
1
204 206 208 210
13 Cuerpos geométricos
218
¿Cuáles son los poliedros regulares? 2 ¿Qué son los prismas? 3 ¿Qué son las pirámides y sus troncos? 4 ¿Qué son los cuerpos de revolución?
220 222 224 226
1
Índice
9
EVALUACIÓN INICIAL 1
Contesta a las siguientes cuestiones:
a) Unidades de millar: 7 Centésimas: 2
a) En el número 47 503,629, ¿qué cifra ocupa el lugar de las unidades de millar? ¿Y el de las centésimas?
b) El número es: 250 406 c) El número es: 15,16
b) Escribe el número: Doscientos cincuenta mil cuatrocientos seis. c) Escribe el número: 15 unidades y 16 centésimas. 2
a)
Realiza las siguientes operaciones:
5 8 4 7 + 4 5 8 2 1 0 4 2 9
b)
c)
8 0 6 7 9 × 6 0 7 5 6 4 7 5 3 4 8 4 0 7 4 4 8 9 7 2 1 5 3
d) 6 7 0 5
5 8 7 8 2 + 4 1
b)
a)
4 2
5 7 1 – 3 6 2 8
4
c) 80 679 × 607
5 7 1 6 – 3 8 6 2 1 8 5 4 3 0 5 1 7
3 2 2 0 9
d) 6 705 : 32 sin decimales Realiza las siguientes operaciones: a) 87 – 24 × 3 3
b) (23 – 7) × 2 – 32 : 4 × 2 4
5
b) (23 – 7) × 2 – 32 : 4 × 2 = 16 × 2 – 8 × 2 = 32 – 16 = 16 a) 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
Calcula:
a) 25 b) 53 c)
a) 87 – 24 × 3 = 87 – 72 = 15
81
Calcula:
a) El mínimo común múltiplo de 4 y 6
b) 53 = 5 × 5 × 5 = 125 c) 81 = 9 a) m.c.m.(4, 6) = 12 b) M.C.D.(8, 20) = 4
b) El máximo común divisor de 8 y 20 6 Ordena las siguientes temperaturas de menor a mayor:
– 7 °C < – 3 °C < 0 °C < 2 °C < 5 °C < 8 °C
8 °C, – 3 °C, 5 °C, – 7 °C, 0 °C, 2 °C 7
Realiza las siguientes operaciones:
a)
2 4, 7 5 + 1 6, 4 8 1 4 1, 2 3 1
b)
c)
5, 7 4 × 7, 4 2 2 9 6 4 0 1 8 4 2, 4 7 6
d) 1 9, 7, 5 5, 8 2 3 5 3 4 0 3
a) 24,75 + 16,481 b) 57,16 – 38,62 c) 5,74 × 7,4 d) 19,75 : 5,8
10
Evaluación inicial
5 7, 1 6 – 3 8, 6 2 1 8, 5 4
8
Calcula y, si se puede, simplifica. 3 4
a) 2 + c)
3 2 – 4 3 3 3 d) : 4 5 b)
5 × 3 5 12
a) 2 +
3 8 + 3 11 = = 4 4 4
1
1
4
1
b)
1 3 2 9–8 = = – 4 12 3 12 1
3 1 5 c) × = 4 5 12
3 3 3 5 5 d) × = : = 4 5 4 4 3 1
MCI
9 Transforma las siguientes unidades:
24 km = 240 hm = 240 000 dm
24 km = ■ hm = ■ dm
6,45 g = 645 cg = 6 450 mg
6,45 g = ■ cg = ■ mg
38 hm2 = 380 000 m2 = 3 800 000 000 cm2
38 hm2 = ■ m2 = ■ cm2
524,3 L = 0,5243 kL = 52 430 cL
524,3 L = ■ kL = ■ cL 10 Calcula el valor del ángulo desconocido.
a)
A
a) Los ángulos de un triángulo suman 180° A + B + C = 180° ⇒ A = 180° – (B + C ) A = 180° – (85° + 43°) = 180° – 128° = 52° b) Los ángulos de un cuadrilátero suman 360°
43°
C B
b)
85°
105° 25l
A
B C
D
11 Calcula el perímetro y el área de estos polígonos:
a)
8,5 m 12,3 m 41 cm
b) 9 cm 40 cm
C = D = 90° ⇒ C + D = 180° A + B = 180° ⇒ A = 180° – B ⇒ A = 180° – 105° 25' 1 8 0° – 1 0 5°
1 7 9° 2 5l – 1 0 5° ⇒ 7 4°
6 0l 2 5l 3 5l
A = 74° 35 l a) Es un rectángulo. P = 2 × (12,3 + 8,5) = 2 × 20,8 = 41,6 m A = b × a ⇒ A = 12,3 × 8,5 = 104,55 m2 b) Es un triángulo. P = 9 + 40 + 41 = 90 cm b #a A= 2 40 · 9 = 180 cm 2 A= 2
A = r × R2 dio 5 cm. Toma 3,14 como valor de r A = 3,14 × 52 = 3,14 × 25 = 78,5 cm2 12 Calcula el área de un círculo de ra-
En Matemáticas hemos obtenido las siguientes calificaciones: 5, 7, 8, 6. Calcula la media aritmética. 13
Media aritmética =
14 Se extrae al azar una bola de una
E = {4B, 2N}
5+7+8+6 26 = = 6,5 4 4
caja que contiene 4 bolas blancas y 2 A = {4B} bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad 4 2 de extraer una bola blanca? Simplifi- P (A) = 6 = 3 ca el resultado.
Evaluación inicial
11
UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD UNIDAD
SABERES BÁSICOS
1 Números naturales y divisibilidad 2 Números enteros 3 Fracciones 4 Números decimales 5 Potencias y raíz cuadrada 6 Sistema métrico decimal 7 Proporcionalidad y porcentajes 8 Ecuaciones de 1.er grado En estas unidades se trabajarán contenidos del: Sentido numérico: desarrollando destrezas para utilizar correctamente distintos números y notaciones, y resolver problemas en diversos contextos de la forma más adecuada y con la precisión requerida, realizando los cálculos tanto mentalmente, como de forma manual y con asistentes matemáticos adaptándose a cada situación. Sentido algebraico: desarrollando la generalización de patrones en casos sencillos y modelizando situaciones de la vida cotidiana usando el lenguaje algebraico. Sentido socioafectivo: desarrollando destrezas para mejorar el aprendizaje, usar técnicas cooperativas de trabajo en equipo y reconocer la contribución de las matemáticas al desarrollo del conocimiento humano.
Avances en Matemáticas
El concepto de número y su uso se elaboró de forma lenta y nació por la necesidad de contar. El cero lo inventaron los hindúes por el año 500, lo llamaron «sunya», que quiere decir «vacío». Este fue un gran avance porque ya no se confundirían los números como el 205 con el 25. Para escribir el 205 se dejaba un espacio entre el 2 y el 5. Los árabes, hacia el siglo viii, también lo usaban y lo llamaban «céfer». Esta palabra dio origen a las palabras castellanas «cero» y «cifra». El matemático italiano Leonardo Fibonacci (1170-1240) fue el primero en escribir sobre los números arábigos en occidente. En 1202 escribió Liber Abaci (libro del ábaco), que sirvió para introducir los números arábigos en Europa. El matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) fue el que demostró, en 1545, que las deudas y los fenómenos similares se podían tratar con números negativos.
Fibonacci
Además de contar, surge la necesidad de medir, y así nacen los números fraccionarios. No siempre se puede medir con una unidad entera y gracias a los números fraccionarios se puede expresar la división de una unidad en partes y hacer cálculos con ella. Para medir las distintas magnitudes, en 1792 la Academia de París encargó crear un sistema cuyas medidas siguieran la misma relación de las potencias de 10. El sistema métrico decimal ha sido aceptado en casi todos los países. Mercedes Siles Molina (1966- ) Doctora en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Málaga y Catedrática de Álgebra en la misma universidad. Desde 2006 a 2011 coordinó el área de Física y Matemáticas de la Agencia Andaluza de Evaluación.
Mercedes siles Molina
Ha realizado contribuciones en el ámbito matemático y el cultural creando exposiciones como «El sabor de las Matemáticas» y «Universos Paralelos Dialogando». Puso en marcha en España el «Día del número π», creó el programa «steMatEsElla» para potenciar el talento de las jóvenes en disciplinas STEM y colaboró en la puesta en marcha del nodo andaluz de AMIT del que fue su primera vicepresidenta.
e
e Abre el applet del QR. 1
Observa el ejercicio resuelto y resuelve el propuesto.
2 Puedes seguir investigando con otras fracciones y generalizar.
Saberes básicos
13
UNIDAD
7 Proporcionalidad y porcentajes
¿Para qué sirven la proporcionalidad y los porcentajes? SITUACIÓN DE APRENDIZAJE: ODS 11. UNA CIUDAD SOSTENIBLE La proporcionalidad y los porcentajes se utilizan con mucha frecuencia en nuestra vida cotidiana y nos ayudan a comprender mejor nuestro entorno y tomar decisiones informadas. Por ejemplo, si en una ciudad sostenible en una zona de 5 000 ha se asigna el 60 % de su espacio a viviendas y el resto a zonas verdes, ¿cuántas hectáreas les corresponden a las zonas verdes?
En esta unidad descubriremos juntos:
1 ¿Qué son las razones y las proporciones? 2 ¿Qué es la proporcionalidad directa? 3 ¿Qué es la proporcionalidad inversa? 4 ¿Qué son los porcentajes?
e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En primer lugar, escribe el número de la unidad y el título: UNIDAD 7. Proporcionalidad y porcentajes. En el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de las proporciones o los porcentajes (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. No vale escribir porcentajes grandes y decorados. También debes hacer en el cuaderno el Explora y el Carné calculista de la primera sección.
1
¿Qué son las razones y las proporciones?
e
e
Sonia participa en la movilidad sostenible yendo a su centro escolar en bicicleta. Si recorre 6 km en un cuarto de hora, ¿qué velocidad lleva en km/h?
CARNÉ CALCULISTA 350,7 : 8,23
¿Qué es una razón? Una razón es la división entre dos cantidades comparables.
Una razón se representa a y se lee «a es a b» b Al número a se le llama antecedente, y al número b, consecuente.
1 Una botella grande tiene una capacidad de 1,5 L y una pequeña, de 0,5 L. Halla la razón de las capacidades e interprétala.
Capacidad botella grande 1,5 = =3 Capacidad botella pequeña 0,5
Observa que una razón no es una fracción. En una razón, los números pueden ser decimales y, en una fracción, tienen que ser números enteros.
La botella grande tiene 3 veces más capacidad que la botella pequeña. 0,5 L
1,5 L
1. Calcula mentalmente las razones entre las cantidades siguientes e interpreta el resultado:
2. Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado:
a) 2,5 kg de pescado cuestan 10 €
a) Una habitación mide 24,8 m2, y otra, 12,4 m2
b) Un coche recorre 500 km en 5 horas.
b) Juan pesa 66 kg, y María, 55 kg
c) 7,5 m de tela cuestan 15 €
c) Un tren va a 175 km/h, y otro, a 125 km/h
d) 2,5 kg de fruta se consumen en 2 días.
d) Un vaso contiene 300 mL, y otro, 250 mL
e) Un grifo vierte 15 L de agua cada 10 minutos.
e) Un coche cuesta 13 000 €, y otro, 10 000 €
¿Qué es una proporción? Una proporción es una igualdad entre dos razones. Se representa a = c y se lee «a es a b como c es a d». b
d
a, c " Antecedentes a, d "Extremos y también ) Se llaman: ) b, d "Consecuentes b, c "Medios La constante de proporcionalidad es el cociente entre un antecedente cualquiera y su consecuente. 2
3 kg 3,6 €
116
UNIDAD 7
2k
Halla el precio por kilo de cada caja de fresa de Huelva y compáralas.
g 2,4
€
3,6 2,4 = = 1,2 €/kg 3 2 Las dos cajas tienen el mismo precio por kilo.
En una proporción el producto de medios es igual al producto de extremos. 3 = 1,2 & )3 · 0,8 = 2,4 2 · 1,2 = 2,4 2 0,8 Se llama cuarto proporcional a un término desconocido de una proporción, conocidos los otros tres. 3
2,5 12,5 = x 4 4 · 12,5 = 20 x= 2,5
Calcula x en:
4
× 12.5 ÷ 2.5 = 20
Una proporción continua es aquella que tiene sus medios o sus extremos iguales.
Son proporciones continuas: 2 = 4 4 8
Se llama medio proporcional a los términos iguales de una proporción continua. 9 = x & x 2 = 9 · 4 = 36 & x = 36 = ± 6 x 4 3. Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno, para que formen proporción, las siguientes razones:
5 = Y 9 27 Y 18 b) = 7 42 9 1,8 c) = Y 2,4
a)
d)
6 = 3 6 12
4. Escribe las proporciones que puedas obtener con las razones siguientes y calcula su constante de proporcionalidad:
a)
6 1,5
b)
1,1 0,5
c)
2 0,5
d) 11 5
5. Calcula el cuarto proporcional o medio en: 6 4 = x a) x = b) x 7 16 2
1,2 12 = Y 0,7
c)
3,5 x = 2,1 4,2
d)
3,5 5,6 = x 2,8
PONTE en SITUACIÓN 4 Según los datos de la Agencia Europea del Medio Ambiente, un coche de gasoil
emite 104 g de CO2 por kilómetro y pasajero y un autobús de gasoil emite 68 g. Halla la razón de las cantidades e interprétala. 1. Datos: Coche: 104 g. Autobús: 68 g 2. Pregunta:
3. Planteamiento y operaciones: La razón: 104 = 1,53 68
Halla la razón e interprétala. 4. Solución: El coche emite 1,53 veces más CO2 por kilómetro y pasajero que el autobús
6. En un plano de la habitación de Silvia la longitud de una mesa mide 0,85 cm y la de un armario, 1,25 cm. Si en la realidad la longitud del armario es de 2,5 m, ¿Cuánto mide la longitud de la mesa?
Proporcionalidad y porcentajes
117
2
¿Qué es la proporcionalidad directa?
e
e
CARNÉ CALCULISTA 3 6+3 1 : · 4 5 2 3
Ana tiene tres nietos y les da al final del verano 150 € por hacer compost con los residuos orgánicos. Calcula mentalmente cuánto le corresponde a cada uno.
¿Qué son magnitudes directamente proporcionales? Para saber si dos magnitudes son directamente proporcionales no basta con comprobar que, al aumentar una magnitud, la otra aumenta también. En estos casos, las magnitudes pueden ser directamente proporcionales, pero se debe confirmar. Para ello, hay que comprobar que, al aumentar una el doble, el triple, etc., la otra aumenta el doble, el triple, etcétera.
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando: a) Al aumentar una cantidad de una de ellas el doble, el triple, etc., el valor correspondiente de la otra queda aumentado de igual forma. b) Al disminuir una cantidad de una de ellas la mitad, un tercio, etc., el valor correspondiente de la otra queda disminuido de la misma forma.
Constante de proporcionalidad directa La constante de proporcionalidad directa se calcula dividiendo una cantidad cualquiera de la 2.a magnitud entre la correspondiente de la 1.a 5
Se venden ensaladas envasadas de 250 g según la tabla: N.º de ensaladas
1 2 3
4
5
10 15 20
Coste (€)
3 6 9 12 15 30 45 60
Halla la constante de proporcionalidad. Las dos magnitudes son directamente proporcionales porque al aumentar el número de ensaladas en el doble, triple, etc., el coste de las ensaladas aumenta en el doble, el triple, etc. La constante de proporcionalidad directa es: 3 = 6 = 9 = … = 3 €/ensalada 1 2 3
7. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales?
a) El número de hojas de un libro y su peso.
8. Copia y completa las siguientes tablas para que las
magnitudes sean directamente proporcionales: Magnitud A
3
5
b) La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer 200 km
Magnitud B
20
c) El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una valla.
No. botellas de agua
2
Capacidad (L)
3
d) El lado de un cuadrado y su perímetro.
118
UNIDAD 7
9
4
10
7
10
15
12
Problemas de proporcionalidad directa En estos problemas intervienen dos magnitudes y hay que hallar una cantidad desconocida de una magnitud conociendo tres cantidades, es decir, hallar el cuarto proporcional. Hay que determinar si las magnitudes son directamente proporcionales. Se estudian dos métodos para resolverlos.
Resuelve un problema por reducción a la unidad: a) Se calcula la cantidad de la segunda magnitud, correspondiente a la unidad de la primera magnitud. b) Multiplicando ese valor por la cantidad que interese, se calcula cualquier valor. 6
Cuatro libros iguales cuestan 48 €. ¿Cuánto costarán 7 libros?
a) Si 4 libros cuestan 48 €, 1 libro cuesta 48 : 4 = 12 € b) 7 libros cuestan 7 · 12 = 84 € Cuatro libros iguales cuestan 48 €
Resuelve un problema por el método de regla de tres directa: Para resolver los problemas de regla de tres directa se sigue el procedimiento: a) Se identifican las magnitudes que intervienen y sus unidades. b) Se colocan las magnitudes y las cantidades poniendo en último lugar la incógnita. c) Se determina si la proporcionalidad es directa. Es directa cuando va de + a + o de – a – d) Se forma la proporción y se calcula el cuarto proporcional. Magnitud A (Unidad) (D) Magnitud B (Unidad) Cantidad conocida: a ⎯→ Cantidad conocida: b ⎯→ 7
Cantidad conocida: c
⎫ c a b ·c ⎬ & = &x= x a b Cantidad desconocida: x⎭
Si 5 kg de melocotones cuestan 7,2 €, ¿cuánto costarán 12,5 kg?
• La magnitud de la pregunta es Dinero (€); va en último lugar. • Es de proporcionalidad Directa (D), porque al aumentar el número de kilos, aumenta el dinero que cuestan, va de + a + Masa (kg) (D)
Dinero (€)
5 ⎯⎯⎯→ 7,2 2 & 5 = 7,2 & x = 12,5 · 7,2 = 18 € 12,5 ⎯⎯⎯→ x x 5 12,5
9. Una máquina hace 300 tornillos en 4 h. ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer 900 tornillos? 10. Compramos 3 kg de higos por 8,76 €. ¿Cuánto costarán 8 kg? 11. Una caldera consume 100 L de gasoil en 8 h. ¿Cuánto gastará en 5 h? 12. Un grifo hace subir el nivel de un depósito de agua 12,6 cm en 3 horas. ¿Cuánto subirá el nivel en 5 horas y media?
5 kg de melocotones cuestan 7,2 €
13. Por la impresión de 120 carteles para una fiesta nos han cobrado 67,2 €. ¿Cuánto nos costará imprimir 350 carteles? 14. En un campamento con 45 estudiantes, compran para desayunar una barrita de nueces para cada uno y pagan 32,4 €. Al aumentar en 32 estudiantes el campamento, ¿cuánto pagarán por el total de las barritas?
Proporcionalidad y porcentajes
119
3
¿Qué es la proporcionalidad inversa?
e
e Cinco agricultores de Jaén recogen en 4 h una cosecha de aceitunas. ¿Cuánto tardará un solo agricultor en recoger la cosecha?
CARNÉ CALCULISTA 587 : 7,5
¿Qué son magnitudes inversamente proporcionales? Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando: a) Al aumentar una cantidad de una de ellas el doble, el triple, etc., el valor correspondiente de la otra queda disminuida a la mitad, a la tercera parte, etcétera. b) Al disminuir una cantidad de una de ellas a la mitad, a la tercera parte, etc., el valor correspondiente de la otra queda aumentada el doble, el triple, etcétera.
Constante de proporcionalidad inversa La constante de proporcionalidad inversa se calcula multiplicando una cantidad cualquiera de la primera magnitud por la cantidad correspondiente de la segunda magnitud. 8
Un agricultor de Granada recoge en 60 h una cosecha de manzanas. N.º de agricultores
1
2
3
4
5
6
Tiempo (h)
60 30 20 15 12 10
Halla la constante de proporcionalidad. Las magnitudes son inversamente proporcionales porque al aumentar el número de agricultores el doble, el triple, etc., el tiempo disminuye a la mitad, a la tercera parte, etc. Un agricultor recoge en 60 h una cosecha de manzanas.
La constante de proporcionalidad inversa es: 60 · 1 = 30 · 2 = 20 · 3 = … = 60
15. ¿Qué magnitudes de las siguientes son inversamente proporcionales?
a) La altura de un árbol y su edad. b) La velocidad de un ciclista y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija. c) El número de obreros y el tiempo que tardan en hacer una obra. d) Las longitudes de los lados de un rectángulo de 20 cm2 de área.
120
UNIDAD 7
16. Copia y completas las siguientes tablas para que las magnitudes sean inversamente proporcionales:
Magnitud A
1
3
5
10
15
Magnitud B
✎
✎
✎
3
✎
Magnitud A
4
6
9
12
36
Magnitud B
✎
8
✎
✎
Problemas de proporcionalidad inversa El esquema de estos problemas es similar al de la proporcionalidad directa. Se van a ver dos métodos de resolución, pero recuerda que lo primero que hay que hacer es determinar si las magnitudes son inversamente proporcionales.
Resuelve un problema por reducción a la unidad: a) Se calcula el valor de la segunda magnitud, correspondiente a la unidad de la primera magnitud. b) Dividiendo ese valor por la cantidad que interese, se calcula cualquier valor deseado. Cuatro obreros hacen una obra en 21 días. ¿Cuántos días tardarán en hacer la obra 7 obreros? 9
a) Si 4 obreros tardan 21 días, un obrero tardará: 4 · 21 = 84 días b) 7 obreros tardarán: 84 : 7 = 12 días
Resuelve un problema por el método de regla de tres inversa: Para resolver los problemas de regla de tres inversa se sigue el procedimiento: a) Se identifican las magnitudes que intervienen y sus unidades. b) Se colocan las magnitudes y las cantidades poniendo en último lugar la incógnita. c) Se determina si la proporcionalidad es inversa. Es inversa cuando va de + a – o de – a + d) Se forma la proporción invirtiendo la primera razón y se calcula el cuarto proporcional. Magnitud A (Unidad) ( I ) Magnitud B (Unidad) Cantidad conocida: a ⎯→ Cantidad conocida: b ⎯→
Cuatro obreros hacen una obra en 21 días.
Razón invertida.
Cantidad conocida: c
⎫ c b a ·c ⎬ & = &x= x a b Cantidad desconocida: x⎭
10 Un coche recorre una distancia en 5 h a una velocidad de 60 km/h.
Si la velocidad aumenta a 75 km/h, ¿cuánto tardará?
• La magnitud de la pregunta es Tiempo (h); va en último lugar. • Es de proporcionalidad Inversa (I), porque al aumentar la velocidad, disminuye el tiempo que tarda en recorrer la distancia, va de + a – Velocidad (km/h) (I)
Tiempo (h) Razón invertida. 60 ⎯⎯⎯⎯→ 52 & 75 = 5 & x = 60 · 5 = 4 h 75 ⎯⎯⎯⎯→ x x 75 60
17. Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales. 18. Una piscina se llena en 15 h con un grifo que vierte 120 L/min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar la piscina otro grifo que tiene un caudal de 240 L/min?
19. Un rectángulo tiene 12 m de base y 7 m de altura. Otro rectángulo con la misma área tiene 5 m de base. ¿Cuánto mide de altura? 20. Siete obreros tardan 9 h en hacer una obra. ¿Cuánto tardarán 3 obreros?
Proporcionalidad y porcentajes
121
4 ¿Qué son los porcentajes?
e
e Si de cada fajo de billetes tomas 20 €, calcula mentalmente cuántos euros coges. Escribe la fracción que representa el número de euros que has cogido, CARNÉ simplifícala y pásala a número decimal CALCULISTA 4 1+5 d n 3 4 3
100 €
100 €
100 €
¿Qué es un tanto por ciento y cómo se calcula? Tanto por ciento
Razón
Decimal
15 %
15 100
0,15
Metodología del triángulo mágico
Cálculo de la cantidad final, F Se multiplica la cantidad inicial, I, por el porcentaje, P, como decimal.
15 % = 0,15 ⇒ F = I · P ⇒ F = 4 300 · 0,15 = 645 €
÷ ×
El tanto por ciento de una cantidad se puede interpretar como una razón y como un decimal.
11 Calcula el 15 % de 4 300 €
F
I
El tanto por ciento de una cantidad es una o varias de las 100 partes iguales en que se puede dividir dicha cantidad. El símbolo del tanto por ciento es %
4300 × 0.15 = 645
P
12 Halla el 20 % de 300 € aplicando la regla de tres.
F = Final
Dinero (€) (D)
I = Inicial
Dinero (€)
100 ⎯⎯⎯⎯→ 300 ⎯⎯⎯⎯→
P = Porcentaje
20 2 & 100 = 20 & x = 300 · 20 = 60 € x x 300 100
La línea vertical multiplica (×):
Cálculo de la cantidad inicial, I
F=I×P La línea horizontal divide (÷): F P F P= I I=
Se divide la cantidad final, F, entre el porcentaje, P, como decimal. 13 El 15 % de una cantidad es 240. ¿Cuál es la cantidad?
240 = 1600 € I= F &I= P 0,15
21. Calcula:
a) 16 % de 450
b) 25 % de 792
c) 7,5 % de 600
d) 12,5 % de 80
22. En una clase de 25 alumnos, el 24 % son chicos. Calcula el número de chicos y de chicas.
122
UNIDAD 7
240 ÷ 0.15 = 1600
23. En un pueblo, 1 400 personas se dedican a la agricultura. Este número de personas corresponde al 40 % de la población. ¿Cuántos habitantes hay en total? 24. Raquel lleva recorridos 9 km de una ruta de 15 km. ¿Qué porcentaje de la distancia de la ruta lleva recorrida?
Problemas de descuentos y aumentos. Impuestos Un descuento es una cantidad que se rebaja al valor que cuesta. Estos problemas se pueden resolver de dos formas. 14 Unos pantalones tienen un precio de 72,4 € y tienen una re-
baja del 15 %. Calcula lo que se paga por los pantalones. a) Se puede calcular el precio final directamente:
F
÷
Si descuentan un 15 %, se paga: 100 % – 15 % = 85 % = 85 = 0,85 100
F = I · P ⇒ Precio final: F = 72,4 · 0,85 = 61,54 €
I
b) Se calcula el descuento y se resta del precio:
×
P
F=I×P
Descuento: el 15 % de 72,4 es 72,4 · 0,15 = 10,86 Precio final: 72,4 – 10,86 = 61,54 € Un aumento es una cantidad que se añade al valor que cuesta. Los impuestos son aumentos. Estos problemas se pueden resolver de dos formas.
IVA El IVA es el Impuesto sobre el Valor Añadido.
En el taller facturan por el arreglo de un coche 150,25 € y aumentan un 21 % de IVA. ¿A cuánto asciende la factura total? 15
a) Se puede calcular el precio final directamente: Si aumentan el 21 %, se paga el 100 % + 21 % = 121 % = 121 = 1,21
F
100
÷
F = I · P ⇒ Precio final: F = 150,25 · 1,21 = 181,80 €
I
b) Se calcula el IVA y se suma a la cantidad inicial: IVA: el 21 % de 150,25 es 150,25 · 0,21 = 31,55 €
×
P
F=I×P
Precio final: 150,25 + 31,55 = 181,80 €
PONTE en SITUACIÓN 16 Para mejorar el medio ambiente, se aumentan las 285 plazas de un tren hasta
342 plazas. ¿Qué porcentaje se ha aumentado? 1. Datos: • Plazas: 285 iniciales; 342 finales. 2. Pregunta: • ¿Qué porcentaje se ha aumentado?
3. Planteamiento y operaciones: P=
F ⇒ P = 342 → P = 1,2 I 285
Porcentaje = 120 % → Aumento = 20 %
4. Solución: El número de plazas ha aumentado un 20 %
25. Jorge compra unas deportivas que cuestan 62,5 €, y le descuentan el 30 %. ¿Cuánto paga?
27. La factura del hotel de las vacaciones ascendía a 1 232,5 €. Calcula el total añadiendo el 10 % de IVA.
26. Inés quiere comprar a plazos un ordenador que cuesta 1 200 €. Por pagarlo a plazos, le suben un 12 %. ¿Cuánto pagará en total?
28. Por un televisor nos han descontado 54,09 €, que supone un 15 % del precio inicial. ¿Cuál era el precio inicial del televisor?
Proporcionalidad y porcentajes
123
a) x = 6 & x = 6 · 5 = 2 5 15 15 7 = 28 & x = 7 · 12 = 3 b) x 12 28
Calcula el cuarto proporcional en: 17
a)
x = 6 5 15
b)
7 = 28 x 12
a) 35 = x & x = 35 · 6 = 5 42 6 42 b) 2 = 12 & x = 3 · 12 = 18 x 3 2
18 Calcula el cuarto propor-
cional en: a) 35 = x 42 6
b) 2 = 12 x 3
19 Calcula el medio proporcional en: a) 4 = x b) x = 16 x x 4 25
a) 4 = x & x 2 = 4 · 25 = 100 & x = 100 = ±10 x 25 b) x = 16 & x 2 = 4 · 16 = 64 & x = 64 = ±8 x 4
20 Calcula el 15 % de 400
F = I · P & 400 · 0,15 = 60
21 El 20 % de una cantidad es
I=
75. Calcula dicha cantidad.
F
÷ I × P
F & I = 75 = 375 P 0,20
29. Calcula el cuarto proporcional en: x 14 x 3 a) b) = = 5,4 8 12 1,6
32. Completa en tu cuaderno las tablas para que los pares de números sean inversamente proporcionales:
0,7 2,8 3,5 24 d) = = x x 2,8 6 30. Halla la constante de proporcionalidad directa o inversa en los siguientes casos:
3
6
10
15
60
✎
✎
3
✎
✎
8
10
12
20
30
a) Hemos comprado 5,6 kg de fruta por 8,4 €
✎
✎
✎
✎
5
c)
b) 8 máquinas han tardado 3 días en hacer cierto número de tornillos.
33. Calcula mentalmente:
c) Un coche ha recorrido 420 km en 4 h
a) El 10 % de 340
b) El 20 % de 500
d) Un grifo arroja 640 L en 4 min
c) El 25 % de 300
d) El 50 % de 820
31. Completa en tu cuaderno las tablas para que los pares de números sean directamente proporcionales:
34. Calcula:
124
1
2
3
4
5
✎
✎
24
✎
✎
2
5
15
20
30
10
✎
✎
✎
✎
UNIDAD 7
a) El 15 % de 895
b) El 85 % de 1 250
c) El 7,5 % de 480
d) El 0,5 % de 2 000
35. Completa en tu cuaderno:
a) El 20 % de ■ es 50
b) El 25 % de ■ es 30
c) El 10 % de ■ es 25
d) El 50 % de ■ es 120
22 Resuelve el siguiente pro-
blema por reducción a la unidad y por regla de tres: 5 kg de langostinos cuestan 32,5 €. ¿Cuánto costarán 12 kg?
• Por reducción a la unidad: a) Un kilo de langostinos cuesta: 32,5 : 5 = 6,5 € b) 12 kg costarán: 12 · 6,5 = 78 € • Por regla de tres: La magnitud de la pregunta es Dinero (€); va en último lugar. Es de proporcionalidad Directa (D), porque al aumentar el número de kilos, aumenta el dinero que cuesta, va de + a + Masa (kg) (D)
Dinero (€) 32,5 2 & 5 = 32,5 & x = 12 · 32,5 = 78 € x x 5 12
5 ⎯⎯⎯⎯→ 12 ⎯⎯⎯⎯→ 23 Resuelve el siguiente pro-
blema por reducción a la unidad y por regla de tres: 4 personas tardan 6 h en cargar un camión de fruta. ¿Cuánto tardarán 3 personas?
• Por reducción a la unidad: a) Una persona tardará: 4 · 6 = 24 h b) 3 personas tardarán: 24 : 3 = 8 h • Por regla de tres: La magnitud de la pregunta es Tiempo (h); va en último lugar. Es de proporcionalidad Inversa (I), porque al disminuir el número de personas, aumenta el tiempo que tardan, va de – a + N.º de personas (I) 4 3
Tiempo (h)
⎯⎯⎯⎯→ 62 3 6 4·6 ⎯⎯⎯⎯→ x & 4 = x & x = 3 = 8 h Razón invertida.
El precio de unos zapatos es de 27 €. Si tienen un descuento del 25 %, ¿cuánto cuestan? 24
Si descuentan el 25 %, se paga: 100% – 25 % = 75 % = 0,75 F = I · P & Precio final: F = 27 · 0,75 = 20,25 €
F
El precio de un ordena- Si el IVA es el 21 %, se paga: 100 % + 21 % = 121 % = 1,21 dor, con el 21 % de IVA inclui665,5 F = = 550 € = I I & Precio inicial: do, es de 665,5 €. ¿Cuánto P 1,21 costaba sin IVA? 25
÷ I × P
36. Por 4 días de trabajo me han pagado 250 €. ¿Cuánto cobraré por 13 días?
38. A Daniel le dan 20 € de paga, y sus padres deciden subirle el 15 %. ¿Cuál será la paga de Daniel?
37. Dos obreros hacen una zanja en 10 días. Si trabajan de forma uniforme, ¿cuántos días tardarán en hacer la misma zanja 5 obreros?
39. Por unos pantalones y una camisa me han cobrado 68 €. Si me hicieron un descuento del 15 %, ¿cuánto costaba la ropa?
Proporcionalidad y porcentajes
125
1
¿Qué son razones y proporciones?
40. Calcula las razones entre las cantidades siguientes e interpreta el resultado:
a) 5,5 kg de manzanas cuestan 8,25 € b) Un ciclista recorre 252 km en 7 h c) 15 L de aceite cuestan 34,5 € d) Se han gastado 52 L de agua en 7 días. 41. Calcula las razones entre las siguientes cantidades e interpreta el resultado:
a) Un coche tiene 180 CV, y otro, 124 CV b) Jaime tiene 60 libros, y Ruth, 40 libros. c) Un atleta ha completado la prueba en 4,28 minutos, y otro, en 4 minutos. d) Una caja de fresas tiene 750 g, y otra, 500 g 42. Calcula mentalmente y completa en tu cuaderno las siguientes razones para que formen proporción: b) Y = 24 a) 6 = Y 7 7 56 28 4,2 2,1 5 2,5 c) d) = = Y Y 3,7 3 43. Escribe las proporciones que puedas obtener con las razones siguientes y calcula su constante de proporcionalidad: 1,4 3,5 2,1 4,9 b) c) d) a) 5 7 8 12 44. Calcula el valor de x: 21 x 25 x b) a) = = x 7 49 36 3 12 x 6,4 c) d) = = x x 7,2 4,9
2 ¿Qué es la proporcionalidad directa? 45. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y cuáles no guardan relación de proporcionalidad?
a) El número de galletas de una caja y su peso. b) El peso de una persona y su edad. c) El número de habitantes de un municipio y su consumo de agua. d) La longitud de una circunferencia y su radio.
126
UNIDAD 7
46. Escribe dos magnitudes que sean directamente proporcionales. 47. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla para que las magnitudes sean directamente proporcionales:
Magnitud A
1
2
3
4
5
Magnitud B
✎
✎
✎
28
✎
48. Fabio ha dedicado 7 h a ayudar a su padre, que le ha dado 42 € como recompensa. ¿Cuánto le habría dado por 12 h? 49. Los padres de Concha han comprado 1,5 kg de pescado por 18,26 €. ¿Cuánto habrían pagado por 3,75 kg? 50. Un coche consume 7,8 L de gasolina cada 100 km. ¿Cuánto gastará en 540 km? 51. Por una compra de 70,5 €, en el supermercado nos han dado 6 papeletas para un sorteo. ¿Cuántas papeletas nos habrían dado por una compra de 94 €? 52. Por la impresión de 36 fotografías digitales nos han cobrado 11,52 €. ¿Cuál sería el coste de imprimir 48 fotografías? 53. En una granja se han recogido 3 460 kg de patatas en 5 días. Si se trabaja de forma uniforme, ¿cuántos kilos se recogerán en 12 días?
3 ¿Qué es la proporcionalidad inversa? 54. ¿Cuáles de las siguientes magnitudes son inversamente proporcionales?
a) El número de gallinas de un corral y el número de días que dura una cantidad de pienso. b) El número de horas que funciona una máquina, y su consumo eléctrico. c) La cantidad de agua que arroja un grifo por minuto, y el tiempo que tarda en llenar un depósito. d) El área de un triángulo y su perímetro. 55. Escribe dos magnitudes que sean inversamente proporcionales. 56. Completa la siguiente tabla para que las magnitudes sean inversamente proporcionales:
Magnitud A
3
5
10
12
20
Magnitud B
✎
✎
✎
2,5
✎
57. Una parcela en forma de romboide tiene 20 m de largo y 9 de ancho. ¿Cuánto medirá de ancho otra parcela que tiene igual área y 15 m de largo?
61. Calcula:
58. Cinco alumnos, que trabajan al mismo ritmo, tardan 8 h en hacer un trabajo de Geografía e Historia. ¿Cuánto tardarán 4 alumnos?
62. Álvaro se quiere comprar una cazadora de 90 €. Si le hacen el 15 % de descuento, ¿cuánto tendrá que pagar?
59. Un depósito se llena en 5 h con un grifo que vierte 180 L/min. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si el grifo tiene un caudal de 240 L/min?
4 ¿Qué son los porcentajes? 60. Calcula mentalmente:
a) El 20 % de 1 000
b) El 10 % de 320
c) El 25 % de 840
d) El 50 % de 700
a) El 15 % de 4 500
b) El 85 % de 490
c) El 6,5 % de 12 400
d) El 0,4 % de 295
63. En un pueblo de 4 800 habitantes, el 7 % de la población trabaja en una central eléctrica y el 12 % se dedica a la pesca. Calcula el número de personas que trabajan en la central y en la pesca. 64. Al padre de Ana le han rebajado 31,5 € por la compra de una batería de cocina. Si el descuento era del 15 %, ¿cuánto costaba la batería? 65. En un paquete de galletas de 250 g se afirma que 50 g son gratis. ¿Cuál es el porcentaje del peso que no pagamos?
66. Una persona escribe en un ordenador 2 500 caracteres en 20 minutos. ¿Cuántos caracteres escribirá en 50 minutos?
74. Un conductor invierte cuatro horas y media en hacer un recorrido de 405 km. En las mismas condiciones, ¿cuánto invertirá en recorrer 540 km?
67. Un sastre necesita 20,7 m de tela para hacer 3 trajes. ¿Cuántos metros necesitará para hacer 14 trajes?
75. En una excursión, 6 amigos llevan alimentos para 12 días, pero se encuentran con dos amigos que deciden unirse al grupo. ¿Para cuántos días tendrán alimentos?
68. Tres camiones cisterna tardan 12 días en transportar el agua de un depósito. ¿Cuánto tardarán 9 camiones iguales? 69. Una máquina envasa 350 paquetes de azúcar en 30 minutos. ¿Cuántos paquetes envasará en 2 horas y media? 70. 80 L de aceite pesan 72 kg. ¿Cuánto pesan 95 L? 71. Un panadero hace 120 kg de pan con 90 kg de harina. ¿Cuántos kilos de harina se necesitan para hacer 150 kg de pan?
76. Un videojuego cuesta 21 €. Si nos descuentan un 15 %, ¿cuánto pagaremos? 77. En un parque natural se han plantado 2 500 árboles. Si se seca el 7 % durante el primer año, ¿cuántos árboles se tienen que volver a plantar? 78. Una chaqueta costaba 77,2 €, y he pagado 57,9 €. ¿Qué porcentaje de descuento se ha aplicado?
72. En una carpintería regalan, por cada 12 m de moldura, 8 clavos para ponerla. ¿Cuántos clavos nos darán si compramos 72 m de moldura?
79. El año pasado pagábamos el kilo de pan a 2,4 €. ¿Qué porcentaje ha subido si ahora lo pagamos a 2,52 €?
73. Media docena de estudiantes de 1.o ESO tardan 15 h en maquetar la revista del centro. ¿Cuánto tardarán 4 estudiantes en hacer el mismo trabajo si todos trabajan por igual?
80. Por un kilogramo de harina hemos pagado 0,78 €. Si nos ha costado la harina un 4 % más cara que el año pasado, ¿a cuánto estaba el kilo de harina el año pasado?
Proporcionalidad y porcentajes
127
COMPETENCIAdigital con GeoGebra y CalcMe en Moodle 1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) De una producción de 27 500 vehículos eléctricos, un país matricula 6 600. ¿Qué tanto por ciento de vehículos eléctricos se han matriculado? SOLUCIÓN
En GeoGebra elige el applet: ¿Qué es un tanto por ciento y cómo se calcula? Se han matriculado: 0,24 = 24 %
2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Una falda cuesta 25,5 €. Si nos hacen un 12 % de descuento, ¿cuánto pagaremos por la falda? SOLUCIÓN
En GeoGebra elige el applet: ¿Qué es un tanto por ciento y cómo se calcula? Se pagan: 22,44 € ▼
3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) La factura del arreglo del coche con el 21 % de IVA incluido asciende a 635,25 €. Halla el valor de la factura antes de aplicar el IVA. SOLUCIÓN
En GeoGebra elige el applet: ¿Qué es un tanto por ciento y cómo se calcula? Valor inicial de la factura: 525 € ▼
4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) 60 personas tardan 36 días en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarán 40 personas? SOLUCIÓN
En GeoGebra elige el applet: Resuelve un problema por el método de regla de tres inversa: Interpretación gráfica. Tardarán: 54
128
UNIDAD 7
días ▼
COMPRUEBO mis COMPETENCIAS 81. En una zona residencial de 60 calles, han designado 9 calles peatonales. ¿Qué porcentaje de calles son peatonales? 82. En una comunidad de vecinos se desea que el 40 % de la energía provenga de fuentes renovables y el resto de fuentes convencionales. Si en la comunidad se han consumido, 5 400 kWh en un mes, ¿cuál es el consumo de fuentes convencionales? 83. Una planta de reciclaje en una ciudad sostenible procesa 1 500 kg de residuos en 3 horas. Si se necesita procesar 2 700 kg de residuos, ¿cuánto tiempo se necesitará? 84. En una ciudad sostenible, la velocidad media del tráfico disminuye a medida que aumenta la densidad de la población. Si la velocidad media es de 45 km/h cuando la densidad es de 560 hab/km², ¿cuál sería la velocidad media si la densidad aumenta a 800 hab/km²
e 1
Define qué son magnitudes directamente proporcionales y pon un ejemplo.
2
Calcula el cuarto proporcional en: 2,4 1,8 = x 3,6
a) x = 63 54 6 3 Calcula:
b)
a) El 15 % de 600
b) El 0,5 % de 940
4 Completa en tu cuaderno:
a) El 18 % de ■ es 504 5
b) El 12 % de ■ es 180
Una caldera consume 100 litros de gasoil en 8 horas. ¿Cuánto gastará en 5 horas?
Tres alumnos han trasladado unos libros de la biblioteca en 4 horas. ¿Cuánto hubiesen tardado 8 alumnos? 6
7 Un equipo de 12 arquitectos tardan 90 días en diseñar una urbanización. ¿Cuánto tiempo tardarán en diseñar la misma urbanización 15 arquitectos? 8 Por un aparato de radio pagamos 7,65 €. Si nos han hecho un 15 % de descuento, ¿cuál era
el precio inicial de la radio? Proporcionalidad y porcentajes
129
UNIDAD
8 er
Ecuaciones de 1. grado
¿Para qué sirven las ecuaciones? SITUACIÓN DE APRENDIZAJE: NUESTRO HUERTO Empleamos la resolución de problemas con ecuaciones en STEAM (Ciencia, Tecnología, Ingeniería, Arte y Matemáticas) con mucha frecuencia. Por ejemplo, queremos hacer un huerto escolar ecológico de forma rectangular y tenemos una valla de 48 m de longitud. Si queremos que el huerto mida el doble de largo que de ancho, ¿qué medidas tendrá?
En esta unidad descubriremos juntos:
1 ¿Para qué sirven los tipos de lenguaje? 2 ¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes? 3 ¿Cómo se resuelve una ecuación de 1.er grado? 4 ¿Cómo se resuelven problemas?
e Comienza la unidad en tu cuaderno con una portada. En primer lugar, escribe el número de la unidad y el título: UNIDAD 8. Ecuaciones de 1.er grado, en el resto de la página haz un dibujo que sea una aplicación de las ecuaciones (no vale repetir el del libro) y en la parte inferior escribe un texto de 2 o 3 líneas explicando la relación del dibujo con los contenidos de la UNIDAD. No vale escribir ecuaciones grandes y decoradas. También debes hacer en el cuaderno el Explora y el Carné calculista de la primera sección.
1
¿Para qué sirven los tipos de lenguaje?
e
e Calcula el resultado de las siguientes expresiones: a) Tenía 5 € y me han dado 7 €. ¿Cuántos euros tengo? CARNÉ CALCULISTA 402,23 : 7,6
b) En un rectángulo, un lado mide x metros y el otro lado mide 5 metros más. ¿Cuánto mide el lado mayor?
¿Qué son los tipos de lenguaje? Lenguaje natural El lenguaje natural es el que se emplea habitualmente para comunicarse con los demás.
Lenguaje numérico El lenguaje numérico es el que emplea números y operaciones para transmitir información. Lenguaje natural
Lenguaje numérico
Tenía 9 fresas y me he comido 4 ¿Cuántas me quedan?
9–4=5
Lenguaje algebraico El lenguaje algebraico es el que emplea números, letras y paréntesis, relacionados con operaciones, para transmitir información. Se utiliza en matemáticas y en otras ciencias sustituyendo al lenguaje natural. Lenguaje natural En dos jardines iguales, el año pasado había x rosales y este año han plantado 5 rosales más en cada uno. ¿Cuántos rosales hay este año?
Lenguaje algebraico 2(x + 5)
Expresión algebraica Una expresión algebraica es una combinación de números, letras y paréntesis, relacionados con operaciones. Los elementos de una expresión algebraica son: • Variable: Es la cantidad desconocida; se representa por una letra, normalmente x • Términos: Son cada uno de los sumandos; pueden ser literales si llevan variable, o independientes si no llevan variable. • Coeficientes: Son el número que multiplica a la variable y el término independiente. Si en una variable el coeficiente no está expresado, este vale 1 132
UNIDAD 8
Expresión algebraica
Variable
5x – 4
x
Términos
Coeficientes
Literal:
5x
5
Independiente:
–4
–4
Valor numérico
El valor numérico de la expresión 5x + 3 para x = 2 es:
El valor numérico de una expresión algebraica es el valor que se obtiene al sustituir la variable en la expresión algebraica por un número y realizar las operaciones.
5 · 2 + 3 = 10 + 3 = 13
Ecuación Una ecuación es una igualdad que solo se verifica para algunos valores de la variable. Ecuación: 2x + 3 = 13
• Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que hay antes y después del signo igual (=); el de la izquierda se llama primer miembro, y el de la derecha, segundo miembro.
Miembros:
• La incógnita de una ecuación es la variable o cantidad desconocida. • Una raíz o solución de una ecuación es el valor de la incógnita, que verifica la ecuación.
1.er
2x + 3
2.°
13
Incógnita: x Raíz o solución: 5
• Resolver una ecuación consiste en hallar el valor o valores de la incógnita para los que se verifica la ecuación.
Comprobación: 2 · 5 + 3 = 13
• Comprobar una ecuación es sustituir la raíz o solución en la ecuación y comprobar que en el 1.er miembro se obtiene el mismo resultado que en el 2.o miembro.
1. Escribe en lenguaje numérico las siguientes expresiones y calcula el resultado:
4. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores que se indican:
a) María tiene 125 libros y su primo Juan tiene el triple. ¿Cuántos libros tiene Juan?
a) 5x – 9 para x = 3
b) Un tren lleva una velocidad media de 90 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5 horas?
c) 4n para n = 7,5
2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a) Tenía x € y me han dado 23 €. ¿Cuántos euros tengo ahora? b) El lado de un cuadrado mide x metros. ¿Cuánto mide el perímetro? 3. En las siguientes expresiones algebraicas, escribe la variable, los términos literales e independientes y los coeficientes.
a) 5x + 7 b) – 4y + 3 c) x – 2 d) – 8n – 1
b) 3x + 10 para x = – 2 d) – 3a + 5 para a = 4 5. En las siguientes ecuaciones, escribe el 1.er miembro, el 2.° y la variable:
a) 3x – 5 = 4
b) x + 7 = 8x
c) – 6n = 4n + 5
d) – z + 1 = 9 – 7z
6. Dadas las siguientes ecuaciones, comprueba cuál de los valores dados es la raíz o solución:
a) 2x + 3 = 15
x = 4, x = 6
b) – 2x + 7 = 5
x = 1, x = – 5
7. Escribe la ecuación que resulta de la siguiente expresión y comprueba que x = 4 es la solución:
Tenía x €, me han dado el doble de lo que tenía y 7 € más; ahora tengo 19 €
Ecuaciones de 1.er grado
133
¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes?
2
e
e Halla mentalmente por qué número tienes que sustituir cada recuadro para que se verifique la igualdad. ■ a) ■ + 5 = 8 b) ■ – 3 = 4 c) 5 · ■ = 35 d) =6 8
CARNÉ CALCULISTA 7:5+6·3 2 6 5 4
¿Cuándo una ecuación es de 1.er grado con una incógnita? Una ecuación de 1.er grado con una incógnita es una ecuación que solo tiene una incógnita y en la que el mayor exponente de la variable es 1 De las siguientes ecuaciones, di cuáles son de 1.er grado con una incógnita y por qué las otras no lo son: 1
a) x 2 + 6x – 5 = 0
b) 3x + 2 = 5
c) y + 2x = 4
a) La ecuación x 2 + 6x – 5 = 0 es de 2.o grado, porque hay un exponente 2 b) La ecuación 3x + 2 = 5 sí es una ecuación de 1.er grado con una incóg nita. c) La ecuación y + 2x = 4 no es una ecuación con una incógnita porque tiene dos incógnitas: x e y
8. De las siguientes ecuaciones, di cuáles son de 1.er grado con una incógnita y por qué las otras no lo son:
a) x + 7x – 3 = 0
b) 9x + 5y = 1
c) 3x + 7 = 8
d) x4 – 5x2 + 2x = 5
¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes? Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
5 +8 –6 7
Las ecuaciones 3x – 1 = 5 y 3x = 6 son equivalentes porque tienen la misma solución: x = 2
Suma y resta de términos literales Para sumar o restar dos o más términos literales con la misma va riable, se suman o restan los coeficientes y se pone la misma parte literal. 5x + 8x – 6x = (5 + 8 – 6)x = 7x
x–3=7 Sumamos 3 a los dos miembros y obtenemos: x – 3 + 3 = 7 + 3 & x = 10
134
UNIDAD 8
Regla de la suma y de la resta La regla de la suma y de la resta dice que, si se suma o se resta un mismo término a los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente.
Trasponer términos semejantes Trasponer un término consiste en pasarlo al otro miembro. Para resolver ecuaciones de 1. grado con una incógnita se trasponen, es decir, se pasan todos los términos literales a un miembro y los constantes o independientes al otro. Si un término de una ecuación está sumando, pasa al otro miembro restando, y si está restando, pasa sumando. er
En la práctica: se pasan los términos literales del 2.o miembro al 1.o, y los términos constantes del 1.er miembro al 2.o
4x – 6 = 2 + 3x Se pasa el 3x del 2.º miembro al 1.º; como está sumando, pasa restando. Se pasa el 6 del 1.er miembro al 2.º; como está restando, pasa sumando. 4x – 3x = 2 + 6 & x = 8
Regla del producto y de la división La regla del producto y de la división dice que si se multiplican o se dividen por un mismo número distinto de cero los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente. • Si un número está multiplicando a la incógnita, pasa al otro miembro dividiendo. 3x = 17
3x = 17 El 3, que está multiplicando a la x, pasa al otro miembro dividiendo. x=
17 3
Se dividen entre 3 los dos miembros de la ecuación: 3x = 17 & x = 17 3 3 3
• Si un número está dividiendo a la incógnita, pasa al otro miembro multiplicando. x =7 4
El 4, que está dividiendo a la x, pasa al otro miembro multiplicando. x = 7 · 4 & x = 28
x =7 4 Se multiplican por 4 los dos miembros de la ecuación: x = 4 · 7 & x = 28 4· 4
9. De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son equivalentes?
c) x – 3 = 5
a) 2x + 7 = 17
e) 2x = 6
b) 3x – 1 = 5
f) x/2 = 9
c) – 4x + 9 = 1
g) 7x = 6
d) – x + 5 = 0
h) x/5 = 8
10. Resuelve las siguientes ecuaciones:
12. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3 + 7x + 1 = 6x + 8
a) 8x + 9 = 2 + 6x + 4
b) 5x – 6 = x – 2 + 3x c) 7 – 5x – 3 = –6x + 5 d) 3x + 9 + 3x = 5x – 2 11. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
a) x + 2 = 3 b) x – 1 = 4
d) x + 7 = 3
b) –7x – 6 = x + 1 – 3x c) 3 – 4x = –8x + 12 d) 2 + 3x + 3 = 6x – 2 13. Antonio disponía de x € y su abuela le da el doble de lo que tenía. Si se gasta 5 €, le quedan 4 €. ¿Cuánto dinero tenía Antonio?
Ecuaciones de 1.er grado
135
3
¿Cómo se resuelve una ecuación de 1.er grado?
e
e
Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: a) x + 4 = 7
b) x – 2 = 3 x c) 5x = 35 d) = 6 5 e) ¿Cuánto vale la x del dibujo?
CARNÉ CALCULISTA 57,3 : 0,84
4 kg
x kg
7 kg
¿Cómo se resuelve mentalmente? Ecuaciones sin solución Hay ecuaciones en las que, al reducir términos semejantes, se eliminan todos los términos literales y no tienen solución.
Cuando las ecuaciones de 1.er grado son sencillas, se resuelven mentalmente.
3x + 5 = 4x + 8 – x 3x – 4x + x = 8 – 5 4x – 4x = 3 0 = 3, que es imposible.
a) x + 3 = 8
Pasa el 3 restando al 2.o miembro x = 8 – 3 = 5
b) x – 4 = 3
Pasa el 4 sumando al 2.o miembro
x=3+4=7 x=
9 7
c) 7x = 9
Pasa el 7 dividiendo al 2.o miembro
d) x = 8 6
Pasa el 6 multiplicando al 2.o miembro x = 6 · 8 = 48
14. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
a) x + 2 = 5
b) x – 4 = 1
c) 7x = 21
d) – x = 5 4
¿Cómo se resuelven con paréntesis? Para resolver una ecuación con paréntesis, se aplica el siguiente procedimiento: a) Se eliminan los paréntesis.
b) Se trasponen los términos.
c) Se reducen los términos semejantes.
d) Se despeja la incógnita.
2
Resuelve la siguiente ecuación: 7 – 3(2x – 5) = – 3x + 26
a) Eliminar paréntesis: 7 – 3(2x – 5) = – 3x + 26 7 – 6x + 15 = – 3x + 26 b) Trasponer términos: – 6x + 3x = 26 – 7 – 15 c) Reducir términos semejantes: – 3x = 4 3x = – 4 d) Despejar la incógnita: x=–4 3 136
UNIDAD 8
Se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta la regla de los signos. Un menos delante de un paréntesis cambia todos los signos que hay dentro del paréntesis. Los términos literales se pasan al 1.er miembro, y los constantes, al 2.o. Si un término está sumando, pasa al otro miembro restando; y si está restando, pasa sumando. Se suman o restan los términos de cada miembro. Si el 1.er miembro es negativo, se cambia la ecuación de signo y, si se puede, se simplifica. El número que multiplica a la incógnita pasa al otro miembro dividiendo.
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
17. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2x + 5(3x – 1) = x – 13
a) 5x – 3(4x – 2) = 4(2x – 1)
b) 5 – 4(2x – 3) = 2x + 7
b) 5 – 4(3x + 2) = 4 – 5(3x – 1)
16. Resuelve las siguientes ecuaciones:
18. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 7x – 5(3x + 2) = x – 4
a) 4 (3x + 1) – 4x = 8 – 2(x – 3)
b) 7x + 9 – 5x = 3(2x – 1) + 2
b) 5x – 3(2x – 1) – (x + 5) = 1 – 2(3x + 5)
¿Cómo se resuelven con denominadores? Resuelve la siguiente ecuación: x – 1 – 2x = 1 – 2x + 1 4 2 3 a) Eliminar denominadores: 3
m.c.m.(2, 4, 3) = 12 + 12 · x – 1 – 12 · 2x = 12 · 1 – 12 · 2x 1 4 2 3 6(x – 1) – 24x = 3 – 4(2x + 1)
Se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta la regla de los signos. Un menos delante de un paréntesis cambia todos los signos que hay dentro del paréntesis.
b) Eliminar paréntesis: 6x – 6 – 24x = 3 – 8x – 4 c) Trasponer términos: 6x – 24x + 8x = 3 – 4 + 6 d) Reducir términos semejantes: – 10x = 5 2x = – 1
El número que multiplica a la incógnita pasa al otro miembro dividiendo.
e) Despejar la incógnita: x=–1 2
19. Resuelve las siguientes ecuaciones: 13 5 4x = 1 a) x + 1 = b) – 4 2 4 6 3 6 20. Resuelve las siguientes ecuaciones:
b)
5x 9 x – = 4 4 8
21. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
3x 11 = x – –2 4 4 2
b)
4x + 5 = x + 13 3 3 3
Los términos literales se pasan al 1.er miembro, y los constantes, al 2.o. Si un término está sumando, pasa al otro miembro restando; y si está restando, se pasa sumando. Se suman o restan los términos de cada miembro. Si el 1.er miembro es negativo, se cambia la ecuación de signo y, si se puede, se simplifica.
10x = – 5
5 a) x + 4x = 6 3 2
Se halla el m.c.m. de los denominadores y se multiplican todos los términos por este m.c.m.; es decir, el m.c.m. se divide por cada denominador y su resultado se multiplica por el numerador correspondiente.
22. Resuelve las siguientes ecuaciones:
5x – 7 = x + 5 5x 2x + 3 = 5 b) 2x – – 3 6 2 3 2 6 3 23. Resuelve las siguientes ecuaciones: 26 3x – 4 – a) 4x – 5 = 9 9 3 x – 1 + 2 – 3x = x + 7 2 b) 4 8 3 24. Resuelve las siguientes ecuaciones: 5x + 1 47 2x – 3 –4= – a) x – 5 6 12 +5 19 4 3x – 1 x – 2x = – b) 24 8 6 a)
Ecuaciones de 1.er grado
137
4 ¿Cómo se resuelven problemas?
e
e
CARNÉ CALCULISTA 5 3 2 d – n 2 4 5
Resuelve mentalmente por tanteo el siguiente problema: Halla dos números sabiendo que uno es 2 unidades mayor que el otro y que, entre los dos, suman 12
¿Cuál es el procedimiento de resolución de problemas? Para resolver un problema, se debe leer varias veces el enunciado, hasta que se entienda muy bien cuáles son la incógnita, las preguntas y las relaciones o condiciones. En los problemas geométricos se debe hacer siempre el dibujo, y en los numéricos, un esquema. Los pasos a seguir son: 1. Incógnita: se escribe la incógnita. La ecuación se plantea más fácilmente si la incógnita se asocia al valor más pequeño. 2. Preguntas: se escriben las preguntas. 3. Planteamiento y operaciones: se escribe la relación o condición y se convierte en una ecuación que se resuelve. 4. Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas que plantea el problema y se comprueba que cumplen las relaciones dadas.
Resolución de problemas numéricos 4
Entre Ana y Julio tienen 800 €, y Julio tiene el triple que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
1. Incógnita:
3. Planteamiento y operaciones:
• x = Dinero que tiene Ana.
• Dinero que tiene Ana + Dinero que tiene Julio = 800 €
• Dinero que tiene Julio: 3x
x + 3x = 800
2. Pregunta:
4x = 800
• ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
Dinero total 800 €
• Simplificando entre 4, tenemos x = 200 €
es la suma de
Ana x
Julio 3x
x + 3x = 800
4. Solución y comprobación: • Ana tiene 200 € y Julio tiene 3 · 200 = 600 € • Entre los dos tienen 600 + 200 = 800 € • Julio tiene 600 €, que es el triple de lo que tiene Ana: 200 €
138
UNIDAD 8
Resolución de problemas geométricos En los problemas geométricos se debe hacer siempre un dibujo con los lados proporcionales a los datos. Los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos. Si el perímetro mide 24 m, ¿cuánto mide cada lado?
Perímetro 24 m
5
es la suma de los lados
x+ 2
x
menor x
mediano x+1
mayor x+2
x+1 x + x + 1 + x + 2 = 24
1. Incógnita: • x = Medida del lado pequeño del triángulo. • Medida del lado mediano: x + 1
3. Planteamiento y operaciones: • Perímetro = 24 m • Lado pequeño + Lado mediano + Lado mayor = 24 x + x + 1 + x + 2 = 24
• Medida del lado mayor: x + 2
x + x + x = 24 – 1 – 2
2. Pregunta: • ¿Cuánto mide cada lado?
3x = 21 • Simplificando entre 3, tenemos: x = 7 m
4. Solución y comprobación: • El lado menor mide 7 m, el mediano 8 m y el mayor 9 m • El perímetro mide 7 + 8 + 9 = 24 m
25. Resuelve mentalmente por tanteo los siguientes problemas:
a) Óscar tiene 2 € más que su hermana Sonia. Si entre los dos tienen 16 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
28. Susana tiene el doble de dinero que su primo Tomás. Si entre los dos tienen 70,2 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
b) Si Alba tiene 3 € más que su primo Carlos y entre los dos tienen 13 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
29. El perímetro de un triángulo mide 36 m. ¿Cuánto mide cada lado sabiendo que son números pares consecutivos?
c) Marta tiene el doble de dinero que su hermano Luis y entre los dos tienen 15 €. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
30. En un triángulo isósceles, cada uno de los lados iguales mide 6 m más que el desigual. Si el perímetro mide 36 m, ¿cuánto mide cada lado?
d) Julia tiene el triple de dinero que su prima María. Si entre las dos tienen 16 €, ¿cuánto dinero tiene cada una?
31. Calcula las dimensiones de un campo de fútbol, sabiendo que el largo es el doble del ancho y que el perímetro mide 294 m
26. Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea 57 27. Calcula un número sabiendo que este más su mitad es igual a 39.
32. Una parcela de forma rectangular mide el doble de largo que de ancho. Si el perímetro mide 270 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho.
Ecuaciones de 1.er grado
139
Resuelve la siguiente ecuación: 6
7 + 2(x – 3) = 9 – 5(2x + 1)
a) Eliminar paréntesis
7 + 2(x – 3) = 9 – 5(2x + 1)
b) Trasponer términos
7 + 2x – 6 = 9 – 10x – 5
c) Reducir términos semejantes
2x + 10x = 9 – 5 – 7 + 6 12x = 3
d) Despejar la incógnita
4x = 1 x= 1 4
Resuelve la siguiente ecuación:
m.c.m.(4, 6, 2) = 12
7
x+1 = x –3 = + 5 x 4 6 2
a) Eliminar denominadores
12 ·
x–3 5 x+1 = 12 · x + 12 · – 12 · 4 6 2
b) Eliminar paréntesis
3(x + 1) – 2(x – 3) = 12x + 6 · 5
c) Trasponer términos
3x + 3 – 2x + 6 = 12x + 30
d) Reducir términos semejantes
3x – 2x – 12x = 30 – 3 – 6 – 11x = 21 & 11x = – 21
e) Despejar la incógnita
33. Despeja la incógnita x en las siguientes ecuaciones:
a) x + a = b c) ax = b
b) x – a = b d) ax = b
x = – 21 11
36. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x + x + x = 26 2 3 4 b) – x + x – x + x = 2 2 3 4 6
34. Despeja la incógnita x en las siguientes ecuaciones: a) a = c b) a = x x c b b a b x b c) d) = = x c a c
37. Resuelve las siguientes ecuaciones:
35. Resuelve las siguientes ecuaciones:
x –1 – x –2 + x – 3 – x – 4 = 2 4 2 3 6 3 3x – 1 4x + 2 + 5x – 3 7x + 4 = 11 – – – b) 4 4 2 3 6
a) 5x – 4(3x – 1) – (6x + 1) = 5(3x + 12) – 1 b) 7(3x –1) – 5(4x + 3) = 2(3x + 5) – 5(3x + 12)
140
UNIDAD 8
+ 2x – 3 + 2x – 4x 7 = – 4 5 3 + 5x – 4 + = b) 2 2x – 7x 1 6 8 a)
38. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
Encuentra dos números enteros consecutivos cuya suma sea 71 8
1. Incógnita:
3. Planteamiento y operaciones:
• x = Primer número.
Primer número + Número siguiente = 71
• El número siguiente: x + 1
x + x + 1 = 71
2. Pregunta:
2x = 71 – 1
• ¿Cuáles son los números?
2x = 70 x = 35
4. Solución y comprobación: Los números son 35 y 36 9 Para plantar un huerto esco
lar ecológico, se ha vallado un terreno rectangular con 560 m de valla y se sabe que el largo del terreno mide el doble del ancho más 40 m. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno?
1. Incógnita:
3. Planteamiento y operaciones:
• x = Medida del ancho.
2 · Ancho + 2 · Largo = Perímetro
• El largo mide el doble del ancho más 40, es decir: 2x + 40
2x + 2 (2x + 40) = 560
2 Pregunta: • ¿Cuáles son las dimensiones?
2x + 4x + 80 = 560 2x + 4x = 560 – 80 6x = 480 x = 80
x
4. Solución y comprobación: El ancho mide 80 m 2x + 40
El largo mide 2 · 80 + 40 = 200 m
39. El triple de un número menos 7 es igual a 38. ¿Cuál es el número? 40. Halla dos números sabiendo que uno es 5 veces mayor que el otro y que entre los dos suman 42
43. Halla un número sabiendo que la mitad de dicho número más su tercera parte, más su cuarta parte es igual a 26 44. Halla un número sabiendo que el cuádruple de dicho número más su cuarta parte es igual a 34
41. Una parcela de forma rectangular mide el triple de largo que de ancho. Si el perímetro mide 424 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho.
45. La suma del perímetro de un cuadrado y un triángulo equilátero es 56 cm. Sabiendo que el lado del triángulo y el del cuadrado son iguales, ¿cuánto mide el lado?
42. Juana tiene 5 € menos que Ana, y esta tiene 5 € menos que Antonio. Si entre los tres tienen 30 €, ¿cuánto tiene cada uno?
46. Con el dinero que tengo más la mitad de lo que tengo, más la mitad de la mitad de lo que tengo, más un euro, tendría 64 €. ¿De cuánto dinero dispongo?
Ecuaciones de 1.er grado
141
1
¿Para qué sirven los tipos de lenguaje?
3
¿Cómo se resuelve una ecuación de 1.er grado?
47. Escribe en lenguaje numérico las siguientes expresiones y calcula el resultado:
56. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:
a) Jorge tiene 8 € y su primo Antonio tiene 2 € más. ¿Cuántos euros tiene Antonio?
c) 5x = 15
b) Si Luisa tiene 17 canicas y su prima Sonia tiene el doble, ¿cuántas canicas tiene Sonia? 48. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a) Tenía x € y me han dado 2 €. ¿Cuántos euros tengo? b) Isabel tiene x libros y su hermana Marta el doble. ¿Cuántos libros tiene Marta?
a) x + 5 = 7
b) x – 3 = 2 x =6 d) 2
57. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x + 2(4x – 1) = x + 18 b) 1 – 3(x + 1) = 2x + 13 58. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5x – 4(2x + 3) = 2x – 17 b) 4x + 5 – 7x = 2(3x – 6) – 1 59. Resuelve las siguientes ecuaciones:
49. En las siguientes ecuaciones, escribe el 1.er miembro, el 2.° y la variable:
a) 7x – 4(2x – 5) = 3(5x – 2) – 6
a) 7(x – 5) = 3x – 4
b) 4 – 5(2x + 1) = – 3(4x – 5)
b) y + 6 + 5y = 4( y – 3)
50. Dadas las siguientes ecuaciones, comprueba cuál de los valores dados es la raíz o solución.
60. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x – 3 = 4
x = 1, x = 7
b) 7x + 3(5x – 3) – (5x + 1) = 7(2x + 2)
b) 5x + 13 = 3
x = 4, x = –2
61. Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 3x = 17 x +1 = 3 – b) a) 5 4 5 3 2 2
2
¿Cuándo dos ecuaciones son equivalentes?
a) 9x – 5(2x – 1) = – 3(x + 4)
51. De las siguientes ecuaciones, ¿cuáles son equivalentes?
62. Resuelve las siguientes ecuaciones: 5x 3 x 5x = 11 – x =– b) a) 7 – 4 2 2 2 3 6
a) 2x + 3 = 5
b) x – 1 = 2
63. Resuelve las siguientes ecuaciones:
c) 4x – 5 = 7
d) 7x – 4 = 3
a)
52. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 + 5x = 4x + 7
b) 4x – 5 = 1 + 3x
53. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: x =2 a) 4x = 20 b) 7
3x + 4x + 1 = 5 – 2 3 2
x 2x – 5 = 3x b) 4 – 4 3 2
64. Resuelve las siguientes ecuaciones:
x – 2x – 3 + 3 = 5x – 2 4 6 2 3 4x + 5 = 7x – 1 + 1 2 x b) – 3 6 3 2
a)
54. Resuelve las siguientes ecuaciones:
65. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 9x + 10 = 3 + 7x + 5 b) –5x – 7 = 2x – 1 – 9x
4x – 3 6x + 1 1 –5= – 2 3 6 +5 4 5x – 3 x 1 – 3x = – b) 4 2 8
55. Halla dos números sabiendo que uno es el doble del otro y que entre los dos suman 21
142
UNIDAD 8
a) 2x –
4 ¿Cómo se resuelven problemas? 66. Calcula dos números enteros consecutivos cuya suma sea 61 67. Calcula un número sabiendo que dicho número más su mitad, más su tercera parte es igual a 22
70. Silvia gasta la mitad de su paga en el cine y un sexto en golosinas. Si aún le quedan 4 €, ¿cuánto le han dado de paga? 71. Calcula tres números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 45
68. Juan tiene 12 € más que su prima Ana. Si entre los dos tienen 63 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
72. Cada lado de un triángulo mide 5 m más que el anterior. Si el perímetro mide 37,5 m, ¿cuánto mide cada uno de los lados?
69. Sara tiene el doble de dinero que su primo Alfonso. Si entre los dos tienen 24,6 €, ¿cuánto dinero tiene cada uno?
73. El perímetro de un rectángulo mide 26 m. El lado mayor mide 3 m más que el menor. ¿Cuánto mide cada lado?
74. Compré una camisa y una chaqueta por 72 €. La chaqueta costó 12 € más que la camisa. ¿Cuánto costó cada prenda?
82. Una parcela de forma rectangular mide 15 m más de largo que de ancho. Si el perímetro mide 170 m, calcula cuánto mide de largo y de ancho.
75. Reparte 800 € entre María y Juan, de forma que María reciba 200 € más que Juan.
83. Antonio, Santiago y Paloma son guardias de seguridad que han cobrado 1 057 € por hacer un trabajo. Santiago ha trabajado la mitad de días que Antonio, y Paloma el doble de días que Antonio. ¿Cuánto ha cobrado cada uno?
76. Halla tres números enteros consecutivos que sumen 72 77. Un número más el doble de dicho número, más la mitad del mismo número suman 112. Calcula el número. 78. Los lados de un romboide se diferencian en 7,5 m. Si el perímetro mide 115 m, ¿cuánto mide cada lado? 79. Un número entero más el doble del siguiente es igual a 71. Calcula el número. 80. En un centro escolar hay 17 chicas más que chicos, y en total hay 1 087 alumnos. ¿Cuántos alumnos son chicos y cuántos son chicas? 81. Un autobús transporta 10 veces más personas que un coche. Si entre los dos llevan 55 personas, ¿cuántas personas lleva cada uno?
84. Tenemos 113 naranjas repartidas en 3 cajas. La mediana tiene 5 naranjas más que la pequeña, y la mayor tiene 7 más que la mediana. ¿Cuántas naranjas tiene cada caja? 85. En un corral, entre conejos y gallinas, hay 55 cabezas y 160 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay en el corral? 86. Alba tiene 13 sellos más que su hermana María. Si entre las dos tienen 67 sellos, ¿cuántos sellos tiene cada una? 87. Calcula tres números pares consecutivos cuya suma sea 42 88. Los tres ángulos de un triángulo son números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide cada uno?
Ecuaciones de 1.er grado
143
COMPETENCIAdigital con GeoGebra y CalcMe en Moodle 1 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Calcula el valor numérico de P (x ) = 7x + 9 para x = 3,25 SOLUCIÓN
En GeoGebra elige el applet: Valor numérico de una expresión algebraica. Tienes que introducir la expresión 7x + 9 y el valor de x = 3,25 P (3,25) = 31,75
2 Ejercicio (Calificación: 2,5 puntos) Resuelve la ecuación 2(x – 5) + 7x = 17. Interpreta la solución gráficamente. SOLUCIÓN
En GeoGebra elige el applet: Resolución de ecuaciones con coeficientes enteros. Tienes que introducir la ecuación 2(x – 5) + 7x = 17 Solución x = 3 La función correspondiente corta al eje X en el punto
(3, 0)
3 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Queremos hacer un huerto escolar ecológico de forma rectangular y tenemos una valla de longitud 48 m. Si queremos que el huerto mida el doble de largo que de ancho. ¿Qué medidas tendrá? (Introduce primero la medida menor) SOLUCIÓN
Tendrá de medidas: 8 m × 16 m
4 Problema (Calificación: 2,5 puntos) Ana ha comprado un libro con los 2/3 del dinero que tiene y un separador de páginas con 1/4 del dinero que le quedaba. Si ha gastado 18 €, ¿cuánto dinero tenía? SOLUCIÓN
Ana tenía: 24 € ▼
144
UNIDAD 8
COMPRUEBO mis COMPETENCIAS 89. En el huerto tenemos tres hileras con tomateras. Si recolectamos 28 kg de tomates y de la segunda hilera recogimos la mitad que en la primera, y en la tercera, el doble que en la primera, ¿cuántos kilogramos recolectamos en cada hilera? 90. Hemos cogido 3 calabacines. Si entre los tres pesan 850 g y el primero pesa 30 g menos que el segundo y el tercero pesa 40 g más que el segundo, ¿cuánto pesa cada calabacín? 91. Para preparar el terreno queremos comprar dos tipos de compost para mezclar. El compost A tiene un precio de 0,09 €/L y el compost B tiene un precio de 0,07 €/L. Si necesitamos 896 L de compost y queremos que nos salga a un precio de 0,075 €/L, ¿cuántos litros de cada tipo debemos mezclar? 92. Queremos trazar un rectángulo para plantar distintas flores de forma que el perímetro lo ocupen 32 plantas de caléndula. Estas plantas deben estar a 50 cm de distancia unas de otras. Si queremos que el rectángulo mida el triple de largo que de ancho, ¿cuáles serán sus dimensiones?
e 1
¿Qué es el valor numérico de una expresión algebraica? Pon un ejemplo.
2
Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
a) Sonia tiene x euros y su madre le da el triple de lo que tiene. ¿Cuántos euros tendrá? b) El lado menor de un rectángulo mide x metros y el mayor mide 5 metros más. ¿Cuánto mide el perímetro? Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones y di cuáles son equivalentes: a) x + 5 = 8 b) x – 1 = 5 c) 2x = 6 d) x = 3 2 4 Resuelve las siguientes ecuaciones: 3
a) 7x – 4 (3x + 2) = – 8x – 9 b) 3x – 3 (2x – 7) = 4 (3x + 1) – 13 5
Resuelve las siguientes ecuaciones:
3x 4x + x = 1 – 4 2 3 6 + 5x 2 x 9 = 7x – 3 2x + 1 – b) – 4 8 6 8 a)
Entre Pedro y Óscar tienen 67,5 €, y Pedro tiene el doble que Óscar. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? 6
7
Calcula un número sabiendo que dicho número menos su cuarta parte es igual a 51
Calcula las dimensiones de un campo de baloncesto cuyo perímetro mide 52 m y de largo mide el triple del ancho. 8
Ecuaciones de 1.er grado
145
SESIÓN 1
Pensamiento computacional Entre Ana y Julio tienen 800 €, y Julio tiene el triple que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Abre el applet: ¿Cuál es el procedimiento de resolución de problemas con ecuaciones?
Analiza la resolución del problema resuelto mediante la descomposición de las siguientes etapas: 1. Incógnitas: se escribe el concepto de la incógnita. 2. Pregunta: se escribe la pregunta o las preguntas. 3. Planteamiento y operaciones: se escribe la relación o condición y se convierte en una ecuación que se resuelve. 4. Solución: se escriben las respuestas a las preguntas que plantea el problema, se comprueba que cumplen las relaciones dadas.
e 1
Resuelve el ejercicio propuesto y comprueba la solución.
Utilizando el applet: ¿Cuál es el procedimiento de resolución de problemas con ecuaciones? resuelve los siguientes problemas: 2 Los lados de un triángulo son tres números enteros consecutivos. Si el perímetro mide 24 m, ¿cuánto mide
cada lado?
SESIÓN FINAL
3 Calcula las dimensiones de un campo de fútbol, sabiendo que el largo es el doble del ancho y que el perímetro mide 294 m
Una vez realizados los problemas anteriores, y ahora que ya tienes soltura suficiente como para no tener que escribir todos los pasos del plantemiento. Ha llegado el momento de utilizar solo el programa o la herramienta con el menor número de pasos posibles para resolver problemas. Así utilizarás la esencia de las matemáticas, es decir, que te dediques solo a pensar y que todas las operaciones las resuelva el programa.
e Utilizando el applet: ¿Cuál es el procedimiento de resolución de problemas con ecuaciones? resuelve los siguientes problemas escribiendo solo el nombre de la incógnita y la ecuación: Alba tiene en su móvil 12 canciones más que su hermana María. Si entre las dos tienen 62 canciones, ¿cuántas canciones tiene cada una? 1
2 Los tres ángulos de un triángulo son números enteros consecutivos. ¿Cuánto mide cada uno?
184
Situación de aprendizaje
SESIÓN 1
Investiga Explorar, cuestionar, trabajar de forma sistemática, visualizar, explicar, generalizar, justificar... son procesos que están en el centro del pensamiento matemático. Estas actividades están diseñadas para desarrollar tu capacidad espacial para trabajar como matemático utilizando programas y otras herramientas. Calcula la apotema de una pirámide regular cuadrangular de 10 cm de arista de la base y 12 cm de altura. Abre el applet: Desarrollo plano de una pirámide regular y cálculo de las apotemas Analiza la resolución del problema resuelto contestando previamente a estas cuestiones: a) Comprueba el teorema de Euler b) ¿Cómo es el desarrollo plano de una pirámide? Hazle girar. c) ¿Qué tipo de triángulo se forma con la altura de la pirámide, la apotema de la base y la apotema de la pirámide? d) ¿Qué teorema puedes aplicar para calcular la apotema de la pirámide?
e 1
Resuelve el ejercicio propuesto y comprueba la solución.
SESIÓN FINAL
2 Puedes resolver todos los ejercicios que quieras de este tipo.
Halla el área y el volumen de un cubo de arista 3 m Abre el applet: Cubo o hexaedro
Analiza la resolución del problema resuelto contestando previamente a estas cuestiones: a) Comprueba el teorema de Euler y hazle girar. b) ¿Cómo es el desarrollo plano de un cubo?
e 1
Resuelve el ejercicio propuesto y comprueba la solución.
2 Puedes resolver todos los ejercicios que quieras de este tipo.
Situación de aprendizaje
185
e SABERES I. Aritmética Señala en tu cuaderno la respuesta correcta.
1
Un comerciante compró 40 m de tela por 480 €. Si desea ganar 3 € en cada metro de tela, ¿a cuánto tiene que vender el metro? a) 12 €/m
6 Efectúa (–6)9 : (63 · 64) a) 36 b) 216 c) – 36
b) 9 €/m
d) – 216
c) 11 €/m
7 Sara ha recorrido un día 6 km 5 hm, y al día siguiente,
d) 15 €/m
7 km 2 hm 4 dam. ¿Qué distancia en metros ha recorrido entre los dos días?
2 El M.C.D.(36, 45) es:
a) 137,40 m
a) 9
b) 1 374 m
b) 180
c) 13 740 m
c) 20
d) No se puede calcular porque las longitudes tienen distintas unidades.
d) 4
3 Calcula 4 – 5 · (9 – 16) – 12 : 3
8 Una pistola para pintar gasta de forma uniforme 4 L
a) 17
de pintura cada 18 min. ¿Cuánto gastará la misma pistola en una hora y media?
b) 35
a) 33 L
c) 3
b) 20 L c) 50 L
d) 41
4 Calcula 3 : e 9 – 3 o + 5 4
a)
17 6
b)
7 6
c) – d)
8
2
6
d) 12,5 L
9 De 475 empleados de una empresa, 76 declaran no encontrarse satisfechos en su puesto de trabajo. ¿Qué porcentaje de empleados se sienten satisfechos en su puesto de trabajo? a) 84 %
7 6
5 6
5 Se dispone de medio litro de un jarabe edulcorante.
b) 16 % c) 76 % d) 6 %
10 Resuelve la ecuación:
¿Cuántas dosis de 2 mL se pueden obtener? a) 25 b) 250 c) 2,5 d) 2 500
260
Actividades de recuperación
a) – 7 b) 7 c) –
23 5
d) –
26 5
x+1 5 x–3 –x= – 4 3 2
e SABERES II. Geometría Señala en tu cuaderno la respuesta correcta.
1
El ángulo complementario de 42° 35l es: a) 90°
b) 136° 25l
c) 47° 25l
d) 133° 35l
2 El ángulo α de la siguiente figura mide: α
5 Un globo está sujeto al suelo con una cuerda de 37 m. El viento lo ha desplazado y la vertical del globo está a 12 m del punto de amarre. ¿A qué altura está el globo? a) 35 m
b) 1 225 m
c) 38,9 m
d) 49 m
6 Calcula el área de región coloreada en la siguiente figura:
120°
6 cm
a) 120°
b) 60°
c) 30°
d) 40°
3 Calcula el área de la figura siguiente: 2 cm
a) 113,04 m2
b) 15,08 m2
c) 93,60 m2
d) 19,44 m2
7 Calcula la longitud del arco de circunferencia de la
1 cm
siguiente figura: 1 cm
2 cm 120°
2 cm
4 cm
a) 13 cm2
b) 16 cm2
2
2
c) 12 cm
d) 14 cm
4 Una cuerda está a 8 cm de distancia del centro de una circunferencia de 17 cm de diámetro. Halla la longitud de la cuerda.
Redondea el resultado a dos decimales. a) 4,19 cm
b) 8,37 cm
c) 3,33 cm
d) 12,5 cm
8 Calcula la longitud de la circunferencia en la figura siguiente: 8 cm
17 cm 8 cm
6 cm
a) 34 cm
b) 16 cm
a) 314 m
b) 31,4 m
c) 19 cm
d) 15 cm
c) 6,37 m
d) 48 m
Actividades de recuperación
261
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