Taller de matemàtiques

INFORMA’T

Corbes de regressió

En aquesta unitat hem aprés a dibuixar i interpretar la recta que millor s’emmotla a un núvol de punts (regressió lineal). No obstant això, hi ha casos en els quals el núvol de punts corresponent a una distribució bidimensional adopta formes com les que veus a la dreta (exponencial, logarítmica, polinòmica…).

Existixen mètodes de matemàtica superior que permeten trobar tant les equacions de la recta de regressió com les de les altres corbes, i valorar el grau d’aproximació del núvol de punts a la corba trobada.

LLIG, APRÉN PEL TEU COMPTE, INVESTIGA I ARGUMENTA

Mesurem la desigualtat: corbes de Lorenz i índex de Gini investiga

Els gràfics del marge s’anomenen corbes de Lorenz i representen la distribució de la riquesa entre la població de tres països diferents.

La verda passa pel punt (75, 10), això significa que en aquest país el 75 % més pobre posseïx un 10 % de la riquesa total. També passa per (96, 50), és a dir, el 4 % dels més rics posseïxen el 50 % de la riquesa total.

Analitza els tres gràfics representats i indica quin correspon a un país utòpic (tots tenen la mateixa riquesa); quin a un país molt injust, i quin, a un país moderadament just.

A vegades, en lloc de comparar amb gràfics, resulta més operatiu i més precís fer-ho amb nombres. Per aquest motiu va aparéixer el coeficient de Gini, que va ser una mesura desenvolupada per l’estadístic italià Corrado Gini el 1912.

L’índex de Gini és un nombre comprés entre 0 i 1: si fora 0, estaríem enfront d’una perfecta igualtat (tots tenen el mateix) i si fora 1, la desigualtat seria absoluta (un té tot i els altres, res).

Per a mesurar-ho podem usar les corbes de Lorenz. Si prenem l’àrea davall de la diagonal del quadrat com 1/2 (àrea d’un triangle rectangle de base i altura 1), el coeficient de Gini serà l’àrea que hi ha entre la bisectriu i la corba de Lorenz dividit per 1/2, és a dir, multiplicada per 2. El coeficient de Gini se sol expressar com un percentatge, d’aquesta manera se’l coneix com índex de Gini.

Espanya el 2021 tenia un índex de Gini de 33. Observa com estaven aleshores alguns altres països del món: Noruega: 25; Uruguai: 40; Brasil: 49; Tanzània: 40; Índia: 35; Estats Units: 42. Els països amb major i menor índex de Gini són, respectivament, Sud-àfrica amb 63 i Eslovàquia amb 23. Tin en compte que els menors índexs de Gini no coincidixen exactament amb els països més desenvolupats, ni els majors amb els menys desenvolupats, encara que segurament hi ha una certa correlació.

Busca en Internet i fes una taula amb dades, com, per exemple, PIB, nivell de felicitat, esperança de vida i índex de Gini, de països més i menys desenvolupats. Després, estudia la correlació que hi ha entre diversos parells de variables i trau conclusions.

Autoavaluaci

1 De les següents distribucions bidimensionals, digues en quins casos la correlació és positiva, en quins és negativa i en quins no veus correlació: a) Altura d’una persona - Grandària del seu gos. b) Distància d’un viatge d’avió - Preu del bitllet. c) Latitud d’un lloc de l’hemisferi nord - Temperatura mitjana anual. d) Altura - Pressió atmosfèrica. e) Profunditat de la mar - Pressió de l’aigua.

2 Associa a cada una de les distribucions bidimensionals de l’exercici anterior una d’aquestes correlacions: r = –1 r = 0,83 r = –0,92 r = 0,23 r = 1

3 Associa cada núvol de punts amb una de les correlacions següents: r = 1 r = –0,83 r = 0,97 r = 0,18

➜ anayaeducacion.es Resolucions d’aquests exercicis.

5 S’han anotat les hores d’estudi de 10 estudiants de 4t A per preparar un examen de Matemàtiques, i la nota obtinguda en aquesta prova. Aquests són els resultats: a) Representa les dades en un núvol de punts. b) Traça-hi a ull la seua corresponent recta de regressió. c) Quin d’aquests valors és el coeficient de correlació? r = 0,64 r = 0,96 r = –0,87 r = 0,25 d) Si et sembla, pots trobar el valor de r amb la calculadora.

6 Sabem que la recta de regressió corresponent a les dades de l’exercici anterior té l’equació següent: y = 4,04 + 1,12x a) Estima quina nota obtindria un estudiant que haguera dedicat 3,5 hores a preparar l’examen. I si no haguera estudiat res (0 hores)? b) Consideres fiables aquestes estimacions? Explica per què.

7 La correlació entre les temperatures mitjanes mensuals d’una ciutat i el temps mitjà que els seus habitants es queden a casa els caps de setmana és de –0,89. Et sembla raonable aquest valor? Explica-ho.

Serà positiva o negativa la correlació entre la pluja caiguda mensualment a la Corunya i el temps mitjà d’estada a casa els caps de setmana?

4 Aquests són les altures (en cm) i la talla del peu dels components de l’equip de judo de l’institut.

SITUACIÓ D’APRENENTATGE a) Quines variables que es relacionen en aquesta distribució bidimensional? b) Representa el núvol de punts. c) És una relació estadística o funcional? d) Traça-hi a ull la recta de regressió.

Reflexiona

Revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que es detecten.

Per a això, descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica corresponent, reflexiona de manera individual i compartix en grup.

Posa A Prova Les Teues Compet Ncies

Fes l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducacion.es.