La recta de regressió per a fer estimacions

Servix la recta de regressió per a estimar el valor de y que correspon a un nou individu del qual es coneix el valor de x ? Per descomptat que podem fer l’estimació, però, quin grau de fiabilitat té?

Sembla raonable pensar que com més forta siga la correlació, més fiable serà l’estimació, però, hi influïxen altres factors? Abans d’extraure conclusions definitives, vegem uns exemples.

|

Exemple 1

La longitud d’un rail de via de tren a 0 °C és de 10 m. La taula del marge ens mostra els allargaments, A (en mm), a diferents temperatures, T (en °C). A partir de les dades de la taula, ens preguntem per l’allargament que s’obtindria per a temperatures de 30 °C i 100 °C.

El primer que fem és representar les dades en un núvol de punts. Observem en el marge que s’ajusten quasi exactament a una recta, recta de regressió traçada en blau. Per la qual cosa donem per cert que el coeficient de correlació és molt proper a 1 Obtenim l’equació de la recta de regressió. Com que passa per (0, 0) i (50, 6), la seua equació és y = 50 6 x → y = 0,12x.

Per a 30 °C obtenim y ^(30) = 3,6 mm, i per a 100 °C, y ^(100) = 12 mm. Les dues estimacions poden ser molt fiables, sobretot la primera, ja que el valor de la temperatura està en el tram dels valors controlats. En la segona estimació la temperatura està fora de l’interval de valors, però poc allunyada.

|Exemple 2

Les estatures, E (en cm), i els pesos, P (en kg), de 8 jugadors de bàsquet vénen donats en la taula del marge Volem estimar, mitjançant la recta de regressió, el pes d’un nou fitxatge l’alçada del qual és de 208 cm. Per a això, representem les dades i la recta de regressió i trobem gràficament el pes que correspon a 208 cm: y ^(208) = 106

En aquest cas, la correlació no és tan alta com en l’anterior, per això, seria més prudent que diguérem que el pes que correspon a 208 cm és relativament proper a 106; per exemple, entre 102 kg i 110 k.

Pensa I Practica

1 Estima, amb les dades de l’exemple 1, l’allargament corresponent a una temperatura de 45 ºC. Consideres fiable l’estimació?

2 Estima, amb les dades de l’exemple 2, el pes d’un nou jugador l’estatura del qual siga de 180 cm. Consideres fiable l’estimació?

Estimacions

L’estimació és molt millor com més gran és |r |.

L’estimació només s’ha de fer per a valors de x pròxims a les dadess.

➜ anayaeducacion.es

La recta de regressió per a fer estimacions.

Exercici Resolt

Tornem a l’exemple del grup d’estudiants de l’exercici resolt de la pàgina 221 en què es relacionava l’altura amb la pressió atmosfèrica.

Calcular l’equació de la recta de regressió suposant que passa pels punts primer i últim de la taula.

Estimar la pressió atmosfèrica que correspon a altures de 600 m, 3 000 m i 5 000 m.

Com de fiable és cada una de les estimacions?

Quan podem fer estimacions?

Quines garanties d’èxit tenim quan fem estimacions basant-nos en la recta de regressió?

Com hem vist en els exemples anteriors, la seguretat en la previsió serà major com major siga el coeficient de correlació en valor absolut. És a dir:

• Si |r | és proper a 1 es podrà dir que, probablement, el valor real serà proper a la nostra previsió.

• Si |r | és xicotet, hem d’abstindre-nos de fer previsions.

Però encara per a valors grans de |r |, les previsions poden ser molt insegures si el punt de la recta de regressió sobre el qual fem l’estimació està molt allunyat dels punts coneguts. En l’exemple 1 de la pàgina anterior, considerem bastant segures les previsions d’allargament que vam fer per a temperatures de 30 °C i 100 °C. Molt menys segurs hauríem d’estar si, a partir de la fórmula, pretenguérem fer estimacions per a 500 ºC; probablement es cometrien errors importants.

Trobem l’equació de la recta de regressió suposant que passa pels punts (0, 760) i (2 184, 580):

Efectuem les estimacions: y ^(600) = 710,6 y ^(3 000) = 512,8 y ^(5 000) = 348

Estimem, quasi amb absoluta seguretat, una pressió atmosfèrica d’uns 710 mm a una altitud de 600 m. També és molt fiable una estimació

512 mm a una altitud de 3 000 m.

No obstant això, no hem de confiar en l’estimació de la pressió a 5 000 m, ja que les observacions de què disposem (en les quals es basen els nostres càlculs) són molt llunyanes a aquesta altitud.

Pensa I Practica

3 Estima, mitjançant la recta de regressió, la pressió corresponent a 1 000 m. És fiable l’estimació?

➜ anayaeducacion.es Estimació amb la recta de regressió.

4 Estima la pressió corresponent a una altitud de 6 000 m. Comenta com de fiable és aquesta estimació.