Exercicis i problemes

27 Aquesta funció relaciona l’espai recorregut per una moto amb el temps.

a) A quina distància està l’àrea de descans?

b) Troba la TVM en els intervals [0, 9], [0, 5] i [6, 9].

c) Quina és la velocitat mitjana en el primer tram abans del descans? I en el segon? Quina relació hi ha entre les velocitats mitjanes i les TVM de l’apartat anterior?

d) Troba la velocitat mitjana del viatge.

28 Un cos, en caiguda lliure, adquirix una velocitat que augmenta uns 35 km/h cada segon. Deixem caure una bola de ferro des dalt d’un penya-segat.

a) Escriu l’expressió analítica de la funció que relaciona el temps des que es va deixar caure amb la velocitat a la qual cau.

b) Representa-la en uns eixos.

c) Suposant que la bola no es frena amb l’aire, quina velocitat portarà als 3 s? I als 10 s?

d) Si la bola xoca contra el sòl a una velocitat de 420 km/h, quant ha tardat a caure?

29 L’altura, h, a la qual es troba en cada instant, t, una fletxa que llancem amb l’arc cap amunt amb una velocitat de 40 m/s és h = 40t – 5t 2 .

a) Representa gràficament la funció.

b) Digues quin n’és el domini de definició.

c) En quin moment aconseguix l’altura màxima? Quina és aquesta altura?

d) En quin moment es clava la fletxa al sòl?

e) En quin interval de temps la fletxa està a una altura superior a 35 metres?

30 Resol analíticament i gràficament aquests siste-

32 Observa aquests gràfics funcions discontínues i contesta en cada una d’aquestes: b) Quin n’és l’eix de simetria? c) Quins en són els punts de tall amb els eixos? a) Quins són els punts de discontinuïtat? Explica la raó de discontinuïtat en cada punt. b) Quin n’és el domini de definició? c) Indica, si té, els màxims i els mínims relatius. d) En quins intervals és creixent? I decreixent?

31 a) Calcula b i c perquè el vèrtex de la paràbola y = x 2 + bx + c estiga en el punt (3, 1).

Per A Pensar Un Poc M S

33 Enguany, Verònica ha aconseguit collir de la seua producció 240 kg d’alvocats que hui es vendrien a 1,20 €/kg. A partir d’ara, cada dia que passa es fan malbé 4 kg, però el preu augmenta 0,10 €/kg. Quan ha de vendre els alvocats per obtindre el màxim benefici? Quin serà aquest benefici?

34 Amb un rectangle de cartolina de 50 cm × 20 cm, volem fabricar una caixa amb tapadora.

a) Escriu el volum en funció de x, V (x).

b) Donant valors a x, representa el gràfic de V (x).

c) Quin és el domini de V (x)?

35 Donada la següent funció periòdica:

Dona’n el període i els valors de la funció en x = 1;

36 Troba l’expressió analítica corresponent a cada una de les paràboles representades:

37 Dibuixa i escriu l’equació, en cada cas, de les paràboles que complixen aquestes condicions: a) L’eix és x = 2, el coeficient de la x 2 és –1 i talla l’eix X en un sol punt. b) Té el vèrtex en el punt (3, –2) i té la mateixa forma que y = x 2 c) Té el vèrtex en l’origen de coordenades i passa pel punt (–3, –18). a) Observa que si x = 3 cm, AS = 7 – 3 = 4 cm. Quant mesura PS ? Quina és l’àrea del nou quadrat? b) Quina és la funció que relaciona x amb l’àrea del quadrat? Indica’n el domini. c) Usa una escala adequada en cada eix i representa-la. a) Què podem dir de la TVM de la funció en l’interval [6, 8]? I en l’interval [11, 13]? b) Quina TVM té la funció en [3, 6]? c) Quina és la taxa de variació mitjana de la funció en l’interval [4, 9]? I en [8, 43]? a) Pren O com a origen i troba l’equació de la trajectòria de la pilota des que ix del trampolí fins que toca l’aigua.

38 Dibuixa un quadrat ABCD de 7 cm de costat. Sobre el costat AB, marca un punt P que diste x de A, i dibuixa un nou quadrat PQRS inscrit en l’anterior.

39 Una funció, f (x), és periòdica de període 5, i la seua TVM en [1, 3] és 1.

40 En una piscina hi ha un trampolí a 6 m de l’aigua. Des d’allí, deixem caure una pilota rodant i cau a l’aigua a 10 m de la vertical del trampolí. La trajectòria és una paràbola amb vèrtex en el punt de caiguda.

Tamb Pots Fer Aix

41 Observa que el gràfic de y = f (x) talla l’eix X en x = –2, x = 0 i x = 4. Pren valors positius en els intervals

(–2, 0) i (4, +∞), i negatius en (– ∞, –2) i (0, 4).

Tenint això en compte, podem afirmar que:

• El domini de definició de la funció y = ()fx 1 és Á – {–2, 0, 4}.

• El domini de definició de la funció y = ()fx és [–2, 0] ∪ [4, +∞).

Raonant de manera similar, digues el domini de definició de y = ()fx 1 i y = ()fx , per a les següents funcions donades pels gràfics: m b) Dona’n el domini de definició.

10 m a) Y X a) Y X

Y X

Y X b) Y X d) c) Y X c) Y X d) b) Y X

HO HAS ENTÉS? REFLEXIONA

42 Digues, raonadament, si és vertadera o falsa: a) Si una funció és discontínua en un punt, aquest punt no pertany al domini de definició. b) Si un punt no pertany al domini de definició d’una funció, aquesta no pot ser contínua en aquest. c) Una funció periòdica sempre és contínua. d) El pendent d’una recta és la TVM de qualsevol dels seus intervals. e) La TVM d’una funció periòdica en qualsevol interval de longitud igual al període és 0. f ) Si en una paràbola la TVM d’un interval és 0, el vèrtex està en el punt mitjà d’aquest interval. g) Totes les funcions no lineals tenen almenys un màxim o un mínim relatiu. h) Si una funció periòdica és decreixent en tot el seu domini, aleshores no és contínua.