Exercicis i problemes resolts

1 Domini de definició

Indicar quin és el domini de definició d’aquesta funció: y = 36xx 9 –2 +

L’arrel quadrada es pot calcular si l’expressió davall de l’arrel és positiva o 0.

Resolem 3x 2 + 6x – 9 = 0 → x1 = –3, x2 = 1. I estudiem el signe en els intervals (– ∞, –3), (–3, 1) i (1, +∞).

• Si x ≤ –3 → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0

• Si –3 < x < 1 → 3x 2 + 6x – 9 < 0

• Si x ≥ 1 → 3x 2 + 6x – 9 ≥ 0

Fes-ho tu Calcula el domini de definició de la funció següent: y = xx 21420 2 +

2 Gràfic d’una funció discontínua

Donat el gràfic de la dreta: a) Trobar-ne el domini. b) En quins punts talla els eixos? Estudiar el signe de la funció. c) Trobar la TVM en els intervals [−4, −2] i [0, 1]. És creixent o decreixent en aquests intervals? d) Indicar els punts de discontinuïtat de la funció. Quin tipus de discontinuïtat presenta en cada un?

Per tant, podem donar a x qualsevol valor menor o igual que –3 o bé qualsevol valor major o igual que 1.

Per tant, el domini d’aquesta funció, f, és: Dom f = (– ∞, –3] ∪ [1, +∞) a) La funció no està definida en x = −1, ni en x = 5. El seu domini és Dom = [–4, –1) ∪ (–1, 5). b) Talla l’eix X en els punts (−4, 0), (1/2, 0) i (3, 0). Està per damunt de l’eix X, després és positiva en els intervals [–4, –1), (−1, 1/2) i (3, 5) i negativa en l’interval (1/2, 3). c) TVM [−4, −2] = () () () ff 2 24 4 2 10 2 1 –––== d) Té dues discontinuïtats: en x = −1 presenta una branca infinita i en x = 3 un salt.

Representem y = 3x 2 + 6y – 9 perquè es veja clar on és positiu i negatiu el radicand. Atenció! Aquest no és el gràfic de f (x).

TVM [0, 1] = 10 12 3 –– = Mirant el gràfic, veiem que és creixent en [−4, −2] i decreixent en [0, 1].

Fes-ho tu Digues els intervals de creixement i decreixement de la funció anterior.

3 Obtenció de l’equació d’una paràbola a partir del vèrtex i un dels punts

Trobar l’equació de la paràbola el vèrtex de la qual és (3, –1) sabent que passa pel punt (2, –2).

Representar-la en uns eixos de coordenades.

Fes-ho tu Troba l’equació de la paràbola el vèrtex de la qual està en el punt (–2, –9) i que passa per (0, 1).

Una paràbola qualsevol és y = ax 2 + bx + c.

El valor de l’abscissa del vèrtex és x = 3.

Per tant: –b/2a = 3 8 b = –6a (*)

La paràbola passa per (3, –1) i (2, –2):

La