F uncions quadràtiques 9

Funcions quadràtiques

El curs passat vam fer una suau introducció a l’estudi de les paràboles. Ara repassarem allò i avançarem una mica en el seu tractament.

Observa les paràboles següents amb les seues respectives equacions:

Analitzant-les, podem realitzar les afirmacions següents:

Les funcions y = ax 2 + bx + c, amb a ≠ 0, anomenades quadràtiques, es representen totes mitjançant paràboles i són contínues en tot Á.

Cada una d’aquestes paràboles té un eix paral·lel a l’eix Y.

La seua forma depén de a, coeficient de x 2, de la manera següent:

• Si dues funcions quadràtiques tenen el mateix coeficient de x 2, les seues paràboles corresponents són idèntiques, encara que poden estar situades en posicions diferents.

• Si a > 0, tenen les branques cap amunt, i si a < 0, cap avall.

• Com més gran siga |a |, més estilitzada és la paràbola.

Taules De Valors Amb Calculadora

La calculadora ens permet elaborar, de manera ràpida i eficient, una taula de valors corresponent a qualsevol funció, en l’interval que vulguem i amb els increments desitjats. Observa com ho fem per a la funció y = –x 2 + 3x + 4.

Es tria 3:Taula en l’opció de �. Apareix f (x) i, a continuació, s’introduïx l’expressió. Tin en compte que per a escriure la x cal prémer les tecles x ) x ) x + 3 x ) + 4= Apareix aquesta pantalla, on has d’indicar el primer i l’últim valor de x i la grandària del pas:

Representació de funcions quadràtiques

Per a representar una funció quadràtica donada per la seua equació, només cal obtindre uns quants dels seus punts. Començarem calculant el vèrtex de la paràbola, per a trobar, després, alguns punts que l’envolten.

• Trobem l’abscissa del vèrtex de la paràbola y = ax 2 + bx + c → x0 = – a b 2

• Calculem el valor de la funció en algunes abscisses pròximes al vèrtex.

• Els talls amb els eixos poden vindre’ns bé per a la representació:

— Amb l’eix X, es resol l’equació ax 2 + bx + c = 0.

— Amb l’eix Y, és el (0, c ).

Exercici Resolt

Representar la paràbola d’equació y = –x 2 + 3x + 4.

Obtenim el vèrtex:

Abscissa: x0 = – 2 3 – = 1,5 → Ordenada: f (1,5) = 6,25 → Vèrtex: (1,5; 6,25)

Obtenim punts pròxims al vèrtex:

En el nostre cas, com el vèrtex està en x = 1,5, li donem els valors de –2 a 5 i anem d’1 en 1 (pas).

Per veure els valors que no ixen, has de moure’t cap avall amb el cursor.

Podem observar que, a causa de la simetria de la paràbola respecte al seu eix, les ordenades dels punts que estan a la mateixa distància del vèrtex coincidixen. És a dir, com que el vèrtex està en x = 1,5, llavors f (1) = f (2); f (0) = f (3)…

Vegem que – x 2 + 3x + 4 = 0 té dues solucions, x = –1 i x = 4; i que f (0) = 4. Però aquests punts de tall amb els eixos ja apareixen en la taula.

Pensa I Practica

1 Associa cada un dels coeficients de la x 2 amb la paràbola corresponent:

• a = –1

• a = 2

• a = –3 1

➜ anayaeducacion.es Representa funcions quadràtiques.

2 Representa les paràboles següents: a) y = x 2 – 2x + 2 b) y = –2x 2 – 2x – 3 c) y = 3 1 x 2 + x – 2 d) y = –x 2 + 4 e) y = –2 1 x 2 + 2 f ) y = 3x 2 + 6x + 4

3 Dibuixa en la teua llibreta la representació gràfica d’aquestes funcions quadràtiques: a) y = (x – 1) · (x – 3) b) y = 2(x – 2)2 c) y = 2 1 (x + 2) · (x – 2) d) y = (x – 1)2 + 5