Funcions lineals 8

Funcions lineals en la vida quotidiana

La ciència està plena de funcions en les quals les variacions de les causes influïxen proporcionalment en les variacions dels efectes. Totes aquestes funcions es diuen lineals i es representen mitjançant rectes. Vegem-ne un exemple:

Si d’un moll pengem diferents pesos, es produïxen diversos allargaments. És a dir, la longitud del moll és funció del pes que s’hi penja. I és interessant destacar que aquesta funció és lineal.

En concret, suposem que el moll sense estirar mesura 30 cm i que s’allarga 15 cm per cada quilogram que hi pengem. La relació és: y = 30 + 15x (y: longitud en cm; x: pes en kg)

El domini de definició d’aquesta funció és [0, 6], suposant que per a pesos de més de 6 kg el moll es deteriora.

Funció de proporcionalitat: y = mx

y = mx

Les funcions de proporcionalitat es representen mitjançant rectes que passen per l’origen. Descriuen una proporció entre els valors de les dues variables. El pendent de la recta és la raó de proporcionalitat, m.

Per exemple, l’espai recorregut a velocitat constant, v, en funció del temps és: e = v · t, doonnde v és el pendent de la recta que relaciona e amb t.

Funció constant: y = n

Es representa mitjançant una recta paral·lela a l’eix X El pendent és 0.

La recta y = 0 coincidix amb l’eix X.

Per exemple, la distància d’un satèl·lit artificial a la Terra és constant, no depén del temps, t. L’equació seria d = 36 000, d: distància, en km; t: temps, que no apareix en l’equació.

Expressió general de la funció lineal: y = mx + n

La representació és una recta de pendent m que talla l’eix Y en el punt (0, n). El nombre n s’anomena ordenada en l’origen.

Per exemple, la recta F = 32 + 1,8C, representada en el marge, permet passar de graus centígrads, C, a graus Fahrenheit, F.

➜ Representa una recta i escriu l’equació a partir d’un punt i el pendent.

Atenci

Aquesta fórmula és molt útil. Aprén a usar-la!

Equació d’una recta en la forma punt-pendent

Amb molta freqüència hem d’escriure l’equació d’una recta de la qual en coneixem un punt i el pendent. La donem a continuació:

Punt: P (x0, y0) Pendent: m Equació: y = y0 + m(x – x0) justificació

• y = y0 + m (x – x0) és una expressió de 1r grau. Per tant, és una recta.

• El coeficient de la x és m. Per tant, el pendent és m.

• Si donem a x el valor x0 → y = y0 + m (x0 – x0) = y0 + m · 0 = y0. Per a x = x0 hem obtingut y = y0, és a dir, passa per (x0, y0).

❚ Recta donada peR dos punts

Per trobar l’equació de la recta que passa per dos punts, procedim així:

➜ Representa una recta i escriune la equació a partir de dos punts.

Exercici Resolt

Trobar l’equació de cada una de les rectes següents: a) Passa per (–5, 7) i té un pendent de 5 –3 . b) Passa per (–2, 7) y per (4, 5). a) Equació: y = 7 – 5 3 (x + 5). Això ja és l’equació de la recta.

• A partir dels dos punts, n’obtenim el pendent.

• Amb el pendent i un dels punts, n’obtenim l’equació.

➜ anayaeducacion.es Repassa l’equació punt-pendent.

Podem simplificar-la: y = 7 – 5 3 x – 5 3 · 5 → y = 4 – 5 3 x b) Comencem trobant-ne el pendent: m = 42() 57 6 2 3 1 ––– ==

Equació de la recta que passa per (–2, 7) i el pendent de la qual és – 3 1 : y = 7 – 3 1 (x + 2) → y = 3 19 – 3 1 x

Pensa I Practica

1 Representa les funcions següents: a) y = 2x b) y = 3 2 x c) y = – 4 1 x d) y = –3 7 x a) y = 3 b) y = –2 c) y = 0 d) y = –5

2 Representa.

3 Representa aquestes funcions: a) y = 2x – 3 b) y = 3 2 x + 2 c) y = – 4 1 x + 5 d) y = –3x – 1 a) Escriu l’equació del cost d’una bossa de creïlles en funció del pes. b) Escriu l’equació del cost d’una bossa de tomaques en funció del pes. c) Representa les funcions anteriors.

4 Un objecte mòbil, en l’instant inicial, està a 3 m de l’origen i se n’allunya amb una velocitat de 2 m/s. Troba l’equació de la seua distància a l’origen en funció del temps i representa-la.

➜ anayaeducacion.es Calcula el pendent d’una recta.

5 El preu de les creïlles al mercat és d’1 €/kg, i el de les tomaques, 2 €/kg.

6 Amb les dades que se’t donen, troba l’equació de cada una de les rectes següents: a) Passa per (–3, –5) i té un pendent de 9 4 . b) Passa per (0, –3) i té un pendent de 4. c) Passa per (3, –5) i per (–4, 7).