Tendència i periodicitat 7

Un paracaigudista salta d’un avió a una determinada altura. La seua velocitat creix molt ràpidament al principi, però segons passa el temps, tendix a estabilitzar-se a causa del fet que la força del fregament de l’aire s’iguala a la gravetat. Aquest és el gràfic de la funció que relaciona la velocitat amb el temps:

Observem que la velocitat a partir d’un cert moment s’estabilitza al voltant d’un valor. Podem afirmar que:

En passar el temps, la velocitat tendix a 55 m/s (198 km/h).

Hi ha funcions en què, encara que només en coneguem un tros, podem predir com es comporten lluny de l’interval en què han estat estudiades, perquè tenen branques amb una tendència molt clara.

El gel puja la seua temperatura fins a arribar a 0 °C. A partir d’ací, es descongela a poc a poc mantenint la temperatura de 0 °C fins que es liqua per complet. Després, augmenta la temperatura de l’aigua que tendix a igualar-se amb la de l’habitació en la qual es troba.

El volum d’un cub en funció de la seua aresta és V = l 3. Com més gran siga l’aresta, més gran serà el volum.

És a dir, el volum creix indefinidament. Això s’expressa de la manera següent:

Quan l’aresta creix indefinidament, el volum tendeix a infinit.

En aquest gràfic es representa el començament d’una funció periòdica de període 7. Esbrinar els valors d’aquesta funció en els punts d’abscisses a = 10; b = 19 ; c

Periodicitat

En el marge s’ha representat la variació de l’altura d’una cabina d’una roda de fira quan aquesta fa una volta. Tarda mig minut (30 segons), i en aquest temps puja, arriba al punt més alt, baixa i arriba a terra. Però aquest moviment es repetix una vegada i una altra. La seua representació gràfica és aquesta:

En aquesta funció, el que passa en l’interval [0, 30] es repetix reiteradament. Es tracta d’una funció periòdica de període 30.

Funció periòdica és aquella el comportament de la qual es repetix cada vegada que la variable independent recorre un cert interval. La longitud d’aquest interval s’anomena període.

= 10 → f (10) = f (3) = 3 (ja que 10 = 7 · 1 + 3, i cada 7 unitats es repetix el valor de la funció)

→ f (19) = f (5) = 4 (ja que 19 = 7 · 2 + 5) c = 418,5 → f (418,5) = f (5,5) = 3 (ja que 418,5 = 7 · 59 + 5,5) d = 1 778 → f (1 778) = f (0) = 0 (ja que 1 778 = 7 · 254)

Pensa I Practica

1 La quantitat de radioactivitat que posseïx una substància es reduïx a la meitat cada any. El gràfic adjunt descriu la quantitat de radioactivitat que hi ha en una porció d’aquesta substància en transcórrer el temps.

A quant tendix la radioactivitat amb el pas del temps?

2 La cisterna d’uns serveis públics s’ompli i es buida, automàticament, cada dos minuts, seguint el ritme del gràfic adjunt.

a) Dibuixa el gràfic corresponent a 10 min.

b) Quanta aigua hi ha a la cisterna en els instants següents?

I) 17 min II) 40 min 30 s

III) 1 h 9 min 30 s