Variacions d’una funció 6

PENSA I PRACTICA

El temps de son (hores al dia dormint) de les persones en els dos primers anys de vida és una funció decreixent (a més edat, menys hores de son).

Com saps, les funcions s’analitzen d’esquerra a dreta: com evolucionen els valors de y en augmentar els valors de x. Donem, per tant, les definicions següents: Una funció f és creixent en un interval quan: x2 > x1, aleshores f (x2) > f (x1)

Anàlogament, la funció f és decreixent en un interval quan: x2 > x1, aleshores f (x2) < f (x1)

Una funció pot ser creixent en uns intervals i decreixent en uns altres.

La funció està definida en l’interval [–7, 11].

És creixent en els intervals (–7, –3) i (1, 11).

És decreixent en l’interval (–3, 1).

1 Observa la funció de la dreta i indica en quins intervals és creixent i en quins és decreixent.

(Suposarem que si la funció està definida només en els intervals en els quals la veus dibuixada).

Taxa De Variaci Absoluta I Relativa

La taxa de variació absoluta ens dona el canvi que una variable presenta d’un cert moment a un altre posterior. Per exemple, si el salari mensual mínim interprofessional el 2018 va ser de 735,90 € i el 2022 va ser de 1 000 €, en el període 2018-2022 ha tingut una pujada o variació absoluta de 264,10 €

La taxa de variació relativa en un interval de temps és el quocient entre la variació absoluta i el valor que va prendre la variable en el moment inicial. El resultat es dona en tant per cent. Així, la variació relativa del salari mensual mínim interprofessional en el període 2018-2022 és:

Taxa de variació mitjana (TVM)

Per a mesurar la rapidesa de variació (augment o disminució) d’una funció en un interval, s’usa la taxa de variació mitjana o TVM.

S’anomena taxa de variació mitjana de la funció f en l’interval [a, b ] el quocient entre la variació de la funció i la longitud de l’interval.

TVM de f en [a, b ] = () () ba fb fa ––

Observa que la TVM de f en [a, b ] és el pendent del segment AB.

, , 735 90

264 10 = 0,3589, és a dir, un augment del 35,89 %.

Exercicis Resolts

1 Calcular la taxa de variació mitjana de la funció donada gràficament a la dreta en els intervals

5] i [5, 8].

Si f és creixent en [a, b ], aleshores TVM de f en [a, b ] > 0, i si f és decreixent en [a, b ], aleshores TVM de f en [a, b ] < 0. Atenció! No té per què ocórrer el contrari, és a dir, si la TVM de f en un interval [a, b ] és positiva la funció no té per què ser creixent en aquest interval, pot ser una part creixent i una altra decreixent (com ocorre en l’exemple resolt 2 a continuació).

En la figura veiem que: b) Com és la funció en cada un d’aquests intervals?

2 a) Trobar la TVM de la funció y = x2 – 4x + 5 en els intervals [2, 4] i [0, 3].

Pensa I Practica

b) Observant el gràfic veiem que la funció és creixent en l’interval [2, 4]. Observa que, encara que la TVM en l’interval [0, 3] és negativa, la funció té en aquest interval una part decreixent (interval [0, 2]) i una altra creixent (interval [2, 3]).

2 Troba la taxa de variació mitjana (TVM) de la funció f representada, en els intervals [1, 3], [3, 6], [6, 8], [8, 9] i [3, 9].

➜ anayaeducacion.es Taxa de variació mitjana.

3 Troba la TVM de la funció y = x 2 – 4x + 5 (exercici resolt 2) en [0, 2], [1, 3] i [1, 4].

4 Troba la TVM de les funcions següents en [–1, 1], [0, 3] i [2, 5].

a) y = 2x – 2 b) y = x3 – 2x + 1 c) y = –3

Màxims i mínims

El gràfic de l’esquerra mostra l’evolució del pes d’un jove durant 3 anys de la seua vida. Als 16 anys pesava uns 50 kg. Augmenta el pes fins a uns 55 kg. A partir d’ací, baixa fins a 52 kg, però es recupera i el pes augmenta fins als 70 kg, que va pesar amb 19 anys.

No hi ha dubte que el pes mínim durant aquests tres anys va ser amb 16 anys, i el màxim amb 19 anys, però hi ha dos moments en els quals aconseguix un màxim relatiu (55 kg) i un mínim relatiu (52 kg).

Una funció té un màxim relatiu en un punt quan en aquest la funció pren un valor major que en els punts pròxims. En tal cas, la funció és creixent fins al màxim i decreixent a partir d’aquest.

Anàlogament, si f té un mínim relatiu en un punt, és decreixent abans del punt i creixent a partir d’aquest.

La funció pot prendre en altres punts valors majors que un màxim relatiu i menors que un mínim relatiu. El major valor d’una funció en un interval s’anomena màxim absolut. Anàlogament, el menor valor d’una funció en un interval s’anomena mínim absolut.

Exercicis Resolts

1 Indicar quins són els màxims i els mínims de la funció següent.

2 Trobar els màxims i mínims d’aquesta funció.

Pensa I Practica

1 Observa la funció representada a la dreta i indica quins són els màxims i els mínims (relatius i absoluts).

Té un màxim relatiu en el punt d’abscissa –3. El valor és 2. Té un mínim relatiu en (1, –5).

El màxim absolut coincidix amb el màxim relatiu. Té un mínim absolut en (–7, –6).

Té un màxim relatiu en (–3, 4) i dos mínims relatius en (–5, 3) i en (5, –2). El mínim absolut coincidix amb un dels mínims relatius, (5, –2). Té dos màxims absoluts: (–8, 5) i (8, 5).

L ÍMIT D’UNA FUNCIÓ

Aquestes tendències es coneixen com a límits de funcions. En batxillerat aprendràs a reconéixer-les i a calcular-les a partir de les seues expressions analítiques.

Exercicis Resolts

1 En netejar el congelador, ha quedat en un got un tros de gel. Representar el gràfic de la variació de la temperatura d’aquesta aigua sabent que el gel ix del congelador a –10 °C, i tarda mitja hora a posar-se a 0 °C i 2 h més a descongelar-se. La temperatura exterior és de 20 °C.

2 A quant tendix el volum d’un cub quan creix la seua aresta?