C om es presenten les funcions 2

Tant en l’estudi de les matemàtiques com en altres ciències o en la vida quotidiana, ens trobem freqüentment amb funcions.

Les funcions ens vénen donades de molt diverses formes: mitjançant el seu gràfic, per una taula de valors, per una fórmula o mitjançant una descripció verbal (enunciat).

Mitjançant el gràfic

La funció de la dreta ve donada pel gràfic. Descriu el consum d’aigua en un centre d’estudis al llarg d’un dia laborable.

Com millor es pot apreciar el comportament global d’una funció és mitjançant la seua representació gràfica. Per això, sempre que pretenguem analitzar una funció, intentarem representar-la gràficament, qualsevol que siga la forma en la qual, en principi, ens vinga donada.

Mitjançant un enunciat

Quan una funció ve donada per un enunciat o una descripció, la idea que ens en podem fer és, quasi sempre, quantitativament poc precisa. Però si l’enunciat s’acompanya amb dades numèriques, la funció pot quedar perfectament determinada. Vegem dos exemples de funcions que relacionen l’altura sobre el nivell del mar amb el temps transcorregut :

• Fèlix va eixir al matí de la seua casa de camp, va seguir un camí que portava al cim d’una muntanya, va menjar dalt i va tornar a poqueta nit.

• Maria va eixir de sa casa, a la platja, a les 9 a.m. Va caminar 45 min fins al cim d’un turó que està a 250 m d’altura sobre el nivell del mar, es va quedar 10 minuts contemplant les vistes i va tardar 30 min a tornar a casa.

Pensa I Practica

1 Analitzem el gràfic de dalt.

a) Quant temps es mesura el consum d’aigua en el centre d’estudis?

b) Durant quines hores el consum d’aigua és nul?

c) Quan és creixent el consum? Quan és decreixent?

d) A quines hores s’aconseguixen els valors màxims i els valors mínims de consum d’aigua? Quins són aquests valors?

2 Fixa’t en les funcions altura sobre el nivell del mar - temps transcorregut que s’han descrit més amunt referents a les excursions fetes per Fèlix i Maria.

a) Representa el gràfic corresponent a Fèlix.

b) Representa el gràfic corresponent a Maria.

c) Si comparares els dos gràfics anteriors amb els dels teus companys, quins serien més pareguts, els de Fèlix o els de Maria?

Explica per què.

Exemple

Algú que guanye 54 000 €:

• Se situa en la 3a fila.

• Pels primers 45 000 € ha de pagar 7 250 €, i per la resta (54 000 € – 45 000 € = 9 000 €) ha de pagar el 35 %.

35 % de 9 000 € = 3 150 €

• Per tant, ha de pagar:

7 250 € + 3 150 € = 10 400 €

Mitjançant una taula de valors

Amb freqüència se’ns donen els valors d’una funció mitjançant una taula en la qual s’obtenen directament les dades buscades. No obstant això, en altres casos cal efectuar complexos càlculs per obtindre el que es busca.

|Exemple: la taula per al pagament a Hisenda

Observem aquesta taula amb la qual es calcula el que cada persona (contribuent) ha de pagar a Hisenda (quota íntegra) en funció del que va guanyar l’últim any menys els descomptes legalment admesos (base liquidable).

Exercici Resolt

Obtindre la quota íntegra que correspon a cada una de les següents bases liquidables: a) 9 500 € b) 25 000 € c) 50 000 € d) 85 000 €

Pensa I Practica

nota: La taula que maneja l’agència tributària és d’aquest tipus, però més complexa.

L’ús d’aquesta taula està exemplificat en el marge. Però el significat és aquest:

• Els guanys de 0 a 10 000 € no paguen res (0 %).

• Pel guanyat entre 10 000 € i 25 000 €, es paga el 15 %.

• Pel guanyat entre 25 000 € i 45 000 €, es paga el 25 %.

• Pel guanyat entre 45 000 € i 70 000 €, es paga el 35 %.

• Pel guanyat per damunt de 70 000 €, es paga el 45 %.

Per tant, el que ha de pagar algú que guanye 54 000 € es calcularia així: a) Aquesta quantitat correspon a la primera fila. Per tant, no es paga res. b) La quota corresponent a aquesta quantitat es troba directament, sense càlculs, en la fila 2a → Quota: 2 250 € c) Ens situem en la 3a fila. Pels primers 45 000 € cal pagar 7 250 €. Pels d) Ens situem en l’última fila. Pels primers 70 000 € cal pagar 16 000 €. Pels 15 000 € restants, cal pagar el 45 %, és a dir, 6 750 €. Per tant, cal pagar, en total, 16 000 € + 6 750 € = 22 750 €.

5 000 € restants, cal pagar el 35 %, que són 1 750 €. Per tant, caldrà pagar 7 250 € + 1 750 € = 9 000 €.

➜ anayaeducacion.es Funcions

3 Troba la quota íntegra que correspon a cada una de les següents bases liquidables: a) 12 000 € b) 20 000 € c) 45 000 € d) 100 000 €

4 La segona columna de la taula de dalt es pot obtindre a partir de la resta de les dades que hi ha en aquesta. Explica com.

Funcions definides mitjançant la seua expressió

L’expressió analítica és la forma més precisa i operativa de donar una funció. Però per a visualitzar-la es requerix un minuciós estudi posterior. Vegem alguns exemples:

|Exemple 1

Una bola que es deixa caure per un pla lleument inclinat porta una acceleració de 20 cm/s2. La distància, e, en centímetres, que recorre en funció del temps, t, en segons, ve donada per la fórmula e = 10t 2 .

|Exemple 2

El volum d’una esfera en funció del seu radi és: V = 3 4 πr 3 (r en cm, V en cm3)

|Exemple 3

El període, T, d’un cert pèndol ve donat en funció de la longitud, l (en m), per la fórmula T = l 2

El període és el temps, en segons, que tarda a fer una oscil·lació, anada i tornada.

|Exemple 4

L’augment, A, de la mida d’un objecte que es mira a través d’una lupa éss A = d 2 2 –. d : distància de la lupa a l’objecte, en cm. A: augment (nombre pel qual es multiplica la mida real).

Pensa I Practica

5 En l’exemple 1, calcula la distància que recorre la bola en 1, 2, 3, 4 i 5 segons. A quin temps correspon una distància de 2 m?

En l’exemple 2, troba el volum d’una esfera de radi 5 cm i el radi d’una esfera de volum 800 cm 3 .

6 Troba (exemple 3) el període d’un pèndol d’1 m de llarg. Quina és la longitud d’un pèndol amb un període de 6 segons?

7 Calcula la mida aparent, A, d’un objecte (exemple 4) per als següents valors de d : 0; 0,5; 1; 1,5; 1,9; 1,99

Per a d = 4 s’obté A = –1. Això vol dir que l’objecte es veu de la mateixa mida, però invertit. Interpreta els valors de A per a d : 10; 5; 2,5; 2,1; 2,01

NOTACIÓ

Si Dom f és el conjunt de tots els reals excepte x = –3, podem expressar-ho mitjançant la unió de intervals, (– ∞, –3) ∪ (–3, +∞), o així: Dom f = Á – {–3}