7 Funcions I

El concepte de funció ha anat evolucionant i perfilant-se al llarg del temps. Quins requisits se li ha anat exigint a aquest concepte?

— Una funció relaciona dues variables.

— Les funcions descriuen fenòmens naturals.

— Les relacions funcionals poden ser descrites mitjançant fórmules (relacions algebraiques).

— Les funcions poden ser representades gràficament.

Les següents són algunes de les contribucions més importants per a perfilar el paper de les funcions i la seua definició formal:

• Nicolau Oresme (segle xiv) va ser el primer a descriure les lleis de la naturalesa com a relacions de dependència entre dues variables.

• Galileu (segle xvi) va usar per primera vegada l’experimentació (va dissenyar, va experimentar, va mirar, va anotar) per a establir numèricament aquestes relacions.

• Descartes (segle xvii), amb l’algebrització de la geometria, va propiciar que les funcions pogueren ser representades gràficament.

• Leibniz (segle xvii), el 1673, va usar per primera vegada la paraula funció per a designar aquest tipus de relacions.

• Euler (segle xviii) va anar perfilant el concepte, al qual va donar precisió i generalitat. Va presentar una definició general molt rigorosa, que no dista molt de la que usem actualment. Va aportar la nomenclatura f (x).

• Dirichlet (segle xix) va ampliar el concepte de funció admetent, finalment, que una relació entre dues variables pot ser funció encara que no hi haja una expressió analítica que la descriga.

Amb el que ja saps, resol

Un exemple de funció

Un rellotge de sol no és exacte pel fet que la Terra, en el seu moviment al voltant del Sol, no va sempre a la mateixa velocitat.

El gràfic següent mostra en quants minuts s’avança o es retarda el rellotge de sol en el transcurs d’un any.

A partir d’aquest, ens podem fer infinitat de preguntes:

En quina data s’avança més?

En quina data es retarda més?

Què passarà l’any següent? I a l’altre?

Aquest comportament es repetix cada any. Recorda que aquesta mena de funcions s’anomena periòdiques

A quina velocitat cauen els objectes?

En l’Europa del segle xvi, la influència d’Aristòtil (filòsof del segle IV aC) era extraordinària i les seues creences no es qüestionaven. Segons Aristòtil, si es deixen caure dos cossos de pesos diferents, el més pesant arribarà abans al sòl. Es conta que Galileu, sent professor novençà de la Universitat de Pisa, va desmuntar aquesta creença mitjançant una experiència pública: va deixar caure dos objectes metàl·lics de pesos molt diferents des de la torre de Pisa. Van caure simultàniament. D’aquesta manera va demostrar les seues tesis però va ser expulsat de la universitat. És possible que en l’anècdota anterior hi haja molt de mite. No obstant això, sí que és cert que va experimentar sobre la caiguda d’un cos per un pla inclinat, controlant distàncies i temps.

❚ Reflexiona

1. a) Explica per què és periòdica la funció que descriu els avançaments o retards del rellotge de sol al llarg de l’any.

b) Indica en quines dates és exacte..

2. Es deixa caure una bola per un raïl lleument inclinat i es mesura la distància que recorre en diferents temps: a) Representa les dades anteriors sobre una quadrícula com la que tens a l’esquerra. Usa’ls per a obtindre la corba corresponent. b) Comprova que els valors obtinguts responen (amb molt bona aproximació) a la següent relació: e = 10t 2